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CONTRIBUCIÓN AL ESTUDIO

DE DOS CONCEPTOS BÁSICOS

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RESUMEN

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INTRODUCCIÓN

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Introducción

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Introducción

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Introducción

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Introducción

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Introducción

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Introducción

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Introducción

Definición II

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Introducción

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Introducción

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10

Introducción

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Representación de predicados vagos

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11

Introducción

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Introducción

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PARTE I. ESTADOS LÓGICOS

CAPÍTULO 1. ESTADOS LÓGICOS BORROSOS

1.1. Definición y propiedades básicas

1.2. Preórdenes elementales

1.2.1. Identidad de preórdenes elementales

1.2.2. Relación de equivalencia entre estados lógicos

1.2.3. Estados lógicos de un -preorden elementalT

Introducción

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Definición 1.1.1

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T y|ya z FR yb ua z z |yb z F

a Fb X

g 2@ C6 E> @C9@AD :6 A6C57D7@6F E> >C5@>C9> >C >E5> >E549@6 5UC67MD A6M6 5UC67MD A6C5@C4DB

Hr

Estados lógicos: Definición y propiedades básicas

-6M6 >E ;VA@: 9> A6ML76OD7F :6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E A6CE5DC5>EF 9>;@C@96E A6M6

LD7D 5696 F Q F E@>ML7> E6C >E5D96E :P=@A6E LD7D A4D:R4@>7|ya z a X lm FHn

>E574A547D 7>:DA@6CD: Q A4D:R4@>7 5UC67MDB !>C6M@CD7>M6E >E5D96E :P=@A6E L76L@6E D :6E

>E5D96E :P=@A6E C6 A6CE5DC5>E Q 9>C65D7>M6E M>9@DC5> D: A6CZ4C56 9> UT yX FR z T

>E5D96E :P=@A6E 9> :D >E574A547D 7>:DA@6CD: ByX FR z

+D 9>M6E57DA@PC 9> :DE E@=4@>C5>E L76L@>9D9>E OVE@ADE 9>: A6CZ4C56 T yX FR z

L4>9> >CA6C57D7E> >C lHrF rmnB

Teorema 1.1.2

HB >E 4C E4O7>5<A4:6 9>: 7>5<A4:6 F D9>MVE E@T yX FR z y yX z FMin FMax z

>E 4CD 5UC67MD A6C5@C4DF >C56CA>E >: E4O7>5<A4:6 >E A6ML:>56BT

gB 2@ F >C56CA>E BT T T yX FR z T yX FR z

hB 2@ >C56CA>E BR R T yX FR z T yX FR z

Ejemplos 1.1.3

1. #D7D 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 A4D:R4@>7D F E> 9>;@C>C :DE E@=4@>C5>E 7>:DU| yX z

A@6C>E O6776EDE E4;@A@>C5>M>C5> A6C6A@9DE >C :P=@AD ;4??Q lrmn8

RKD| yb ua z Max yH |ya z F|yb z z

R W| yb ua z Max yH |ya z FMin y|ya z F|ybzzz

R r| yb ua z H |ya z |ya z|yb z F

9>C6M@CD9DE @ML:@ADA@6C>E 9> w:>>C>U!@>C>EF k@::M65 Q %>@AN>CODANF 7>EL>A5@XDU

M>C5>B -6CE@9>7DC96 :D 5UC67MD 9> +4YDE@>j@A?F F C6 >EW yx Fy z Max ym Fx y Hz

Hs


9@;<A@: A6ML76OD7 lrHn R4> B $9>MVEF 9>O@96| W yX FR KD| z W yX FR W

| z W yX FRr| z

D :D 9>;@C@A@PC 9> :D 5UC67MD F LD7D A4D:R4@>7 6576 E> A4ML:> R4>8W yX z

E@ Q EP:6 E@W yX FR KD| z ya z yb z H Max yH |ya z F|yb z z

Min y|ya z FH |yb z z F

W yX FR W| z E@ Q EP:6 E@ ya z yb z Min y|ya z FMax yH |ya z FH |yb z z z F

W yX FR KD| z E@ Q EP:6 E@ ya z yb z |ya z yH |yb z z F

LD7D 5696 LD7 9> >:>M>C56E 9> B $ M696 9> >Z>ML:6 XDM6E D AD:A4:D7 :6E Ua Fb X W

>E5D96E :P=@A6E 9> LD7D 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 R4> D:ADCA> :6E XD:67>E m QRKD| |

HB

+6E E4OA6CZ4C56E A:VE@A6E 9> 7>L7>E>C5D7VC :6E UA675>E 9> 4C E4OA6CZ4C56l|n X

O6776E6 Q E> 9>;@C>C A6M68|

": E4OA6CZ4C56 9> E>7V >: E6L675> 9> 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 F Q E> 9>;@C>

l|n }x X 8|yx z ~ B

y|zm X |

A6M6

2> 9@A> R4> 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 >E5V C67MD:@?D96F 6 R4> e5@>C> L4C56EfF E@

y|zm }x X 8|yx z�m~B

|

>E 9@E5@C56 9>: XDA<6F >E 9>A@7F >K@E5> D: M>C6E 4C >:>M>C56 5D: R4>l|nH a X

B !> @=4D: ;67MDF E> 9@A> R4> eC6 5@>C> L4C56Ef E@ >: A6ML:>M>C5D7@6 9>|ya z H |

F >EA7@56 F >E C6 XDA<6 QF L67 5DC56F >K@E5> D: M>C6E 4C >:>M>C56 5D:y|zm y|zm b X

R4> B "X@9>C5>M>C5>F 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 C6 5@>C> L4C56E E@ E4|yb z m |

A6ML:>M>C5D7@6F 9>;@C@96 A6M6 E@>C96 4CD ;4CA@PC 9> C>=DU| yx z N y|yx z z F N

A@PCF 5@>C> L4C56EB

Proposición 1.1.4

HI


2>D 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 R4> 5@>C> Q C6 5@>C> L4C56EF :DE A6C9@A@6C>E E@U|

=4@>C5>E E6C C>A>ED7@DE Q E4;@A@>C5>E LD7D R4> 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6

L>75>C>?AD D 8W yX FRKD| z

i) E@>C96 Fl|nH l n F sup} yx z 8x X~

ii) >E A6CE5DC5> E6O7> F D9>MVE D:ADC?D E4 M<C@M6 XD:67y|zm>C :6E L4C56E 9>inf} yx z 8x X~ y|zm F

iii) LD7D 5696 >:>M>C56 9> E> X>7@;@ADx X

|yx z yH z yx z |yx z B

Demostración. &6MDC96 F E> L74>OD R4> :DE 57>E A6C9@A@6C>E E6CW yX FRKD| z

C>A>ED7@DEB

i) 2>D F E> X>7@;@AD7V R4>a l|nH

LD7D 5696 W L67 5DC56F LD7D 5696 Q D:ADC?D7V E4 MVK@U

yx z ya z Min y|yx z FH |ya z z m

x X yx z ya z x

M6 XD:67 >C Ba

ii) 2>D F >C56CA>E LD7D 5696 Fb y|zm yb z yx z Min y|yb z FH |yx z z m x

:4>=6 D:ADC?D E4 M<C@M6 XD:67 >C B &6MDC96 96E >:>M>C56E 9>b b Fb

F >E >X@9>C5> R4> By|zm yb z yb z

iii) 2>DF L67 [:5@M6F Q F L67 A6CE@=4@>C5>F Qa l|nH b y|zm ya z yb z

L67 i Q iiW E> A4ML:@7V :D 7>:DA@PC

ya z yx z Min y|ya z FH |yx z z H |yx z F

9> :6 R4> E> 9>94A> R4> LD7D 5696 B #67 657D LD75>F|yx z yH z yx z x X

5DMO@SC E> A4ML:@7V R4>

Fyx z yb z Min y|yx z FH |yb z z |yx z

gm


:4>=6 yx z |yx z B

#D7D 9>M6E57D7 R4> :DE A6C9@A@6C>E E6C E4;@A@>C5>EF >C L7@M>7 :4=D7 E> 6OE>7XD R4>

D: X>7@;@AD7 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 :DE A6C9@A@6C>E i Q ii D:ADC?D7V 4C XD:67

MVK@M6 Q 4C XD:67 M<C@M6 B ": E4OA6CZ4C56 O6776E6 F 9>;@C@96 A6M6Ä

F 5>C97V A6M6 XD:67 M<C@M6 A>76 Q A6M6 XD:67 MVK@M6Ä yx z yx z Ä

B #67 657D LD75>F E> A4ML:> 57@X@D:M>C5> R4> E@ Q EP:6 E@Ä W yX FRKD| z

F QD R4> :D E4MD 9> 4CD A6CE5DC5> C6 D;>A5D D :D A6C9@A@PC 9> L>75>UW yX FRKD| z

C>CA@D D B +D A6C9@A@PC iii LD7D E> >EA7@O@7V >C56CA>E A6M6W yX FRKD| z Ä

#67 :D E>=4C9D 9>E@=4D:9D9 9> >E5D A6C9@A@PC >E >X@9>C5> R4>

(1)|yx z yH Ä z Ä yx z |yx z B

Ä yx z Ä yy z Ä yx z |yx z

LD7D 5696 B &6MDC96 4C >:>M>C56 9> F 96C9> D:ADCA> E4 MVK@M6x Fy X a X Ä

XD:67F E> A4ML:> R4>

LD7D 5696 F L67 :D L7@M>7D 9>E@=4D:9D9 9> yHzB /C@>C96 >E5DE 96E 9>E@=4D:U

Ä yx z Ä yy z Ä ya z Ä yy z H |yy z

x Fy X

9D9>EF E> X>7@;@AD7V R4>

LD7D 5696 LD7 9> >:>M>C56E 9> F A6C9@A@PC R4> >E5DO:>A> R4> QF

Ä yx z Ä yy z Min y|yx z FH |yy z z

x Fy X Ä W yX FRKD| z

L67 >::6F BW yX FRKD| z

+DE 57>E A6C9@A@6C>E 9>: 5>67>MD L>7M@5>C A6C6A>7 APM6 E6C :6E >:>M>C56E 9>

A4DC96 5@>C> Q C6 5@>C> L4C56E8 D:ADC?D E4 MVK@M6W yX FRKD| z | W yX FRKD| z

XD:67 D: M>C6E >C >: A6CZ4C56 9> L4C56E F >E A6CE5DC5> >C F >E 9>A@7F 96C9>l|nH y|zm |

56MD >: XD:67 A>76 Q >K@E5> 4C e:<M@5>f LD7D >: 7>E56 9> XD:67>E 9> 9D96 L67 :D

A6C9@A@PC iiiB "C :D .@=47D H L4>9> X>7E> 4C >Z>ML:6 9> >E5D96 :P=@A6 9>W yX FRKD| z

LD7D 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 57@DC=4:D7B|

gH


2. 2>D 4C V:=>O7D 9> b66:> L76ODO@:@?D9D Q :D 7>:DA@PC

Figura 1B "Z>ML:6 9> >E5D96 :P=@A6 O6776E6 9> :D 7>:DA@PC 'DKyHU|F|zB

yX F F F Fp z Rp yb ua z

9>;@C@9D E6O7> >::DB 2> A4ML:> R4> F X>7@;@AVC96E> 5DMO@SCp ya b z p W yX FRp z

R4> 5696E :6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E 9> :D ;67MD F A6C|ya z kH kgp ya z kH FkgQ 5D:>E R4> LD7D 5696 F E6C U>E5D96E :P=@A6E LD7D :Dlm FHn m |ya z H a X W

>E574A547D 7>:DA@6CD: O6776ED B "C >;>A56F E> 9>O> A4ML:@7 R4>yX FRp z

FMax ym F|ya z p ya b z Hz |yb z

L>76 LD7D >::6 ODE5D A6C R4> E> X>7@;@R4> W :6 A4D: >E|ya z p ya b z H |yb z

A@>756F QD R4>F 5>C@>C96 >C A4>C5D :D 7>:DA@PC F R4> >E XV:@9D >C 569Da ab ab

V:=>O7D 9> b66:>F E> 5>C97V8

|ya z p ya b z H kH kgp ya z H p ya z p yab z H

kH kgp yab z kgp yab z p yab z p yab z p yab z

kH kgp yb z kgp yab z p yab z

kH kgp yb z

|yb z F

9D96 R4> Q B 26C @C5>7>EDC5>E :DE 96E E@=4@>C5>Ep yab z p ya z kg p yab z p yab z

6OE>7XDA@6C>EB "C L7@M>7 :4=D7F E@ 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 9> :D ;67MD| kH kg p

56MD 4C XD:67 MDQ67 R4> H yM>C67 R4> m C6 L4>9> 6A477@7zF ODE5D 56MD7 | ya z

LD7D 6O5>C>7 4C U>E5D96 :P=@A6 O@>C 9>;@C@96F N>AN6 R4> E>Min yH F|ya z z |ya z W

22


9>M4>E57D 9> :D M@EMD ;67MD >KL4>E5DB "C E>=4C96 :4=D7F :6E >E5D96E :P=@A6E|

9@E5@C56E 9> C6 E6C C4CAD ;4CA@6C>E 9> L76ODO@:@9D9B (6 E> ND >E549@D96 E@ >K@EUp

5>C U>E5D96E :P=@A6E LD7D 9@E5@C56E D :6E >KL4>E56EBW Rp

3. -6CE@9>7DC96 >: M@EM6 A6CZ4C56 ODE> 9>: >Z>ML:6 DC5>7@67 Q 9>;@C@>C96 :D 7>:DU

A@PC

LD7D :6E >:>M>C56E 9> A6C L76ODO@:@9D9 L6E@5@XDF E> A6ML74>OD ;VA@:M>C5> R4>

R p yb ua z p yb ua z p yab zp ya z

F

a X

F E@>C96 :D 5UC67MD L7694A56 yvid. $LSC9@A>zB #D7D >E5Dp yX FR p z yx Fy z xy

7>:DA@PC >: E@=4@>C5> 7>E4:5D96 9D 9> C4>X6 E4OA6CZ4C56E O6776E6E R4> E6C >E5D96E

:P=@A6EB

Proposición 1.1.5

!D9D 4CD 7>:DA@PC O6776ED Q 4C U>E5D96 :P=@A6 9> F :6E E4OA6CZ4C56ER | R

O6776E6E 9>;@C@96E A6M6

E6C E@>ML7> U>E5D96E :P=@A6E 9> LD7D A4D:R4@>7 5UC67MD M>C67 6 @=4D:

ya z kH kg|ya z F kH Fkg lm FHn Q ya z lm FHn F

T R T

R4> >: L7694A56B

Demostración.

T y ya z FR yb ua z z ya z R yb ua z ykH kg|ya z z R yb ua z

kHR yb ua z kg|ya zR yb ua z

kHR yb ua z kg|yb z kH kg|yb z

yb z B

"E5D L76L6E@A@PC A6C::>XD R4> :6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E 9> :D ;67MD kH kgp ya z

E6C >:>M>C56E 9> B $: @=4D: R4> >C >: >Z>ML:6 DC5>7@67F L4>9> E4A>9>7 R4>yX FRP z

L>76 >E ;VA@: 9> A6ML76OD7 R4> 5DMO@SCkHp ya z kg� H F Min yH FkHp ya z kg z

gh


A4ML:> :D L76L6E@A@PC HBHBJB &DML6A6 E> ND >E549@D96 >C >E5> ADE6 :D >K@E5>CA@D 9>

6576 5@L6 9> >E5D96E :P=@A6E LD7D :D 7>:DA@PC BRp

4. "C lHgn L4>9> X>7E> >: E@=4@>C5> >Z>ML:68 4CD M>9@9D 9> C>A>E@9D9 lgHn E6O7> 4C

V:=>O7D 9> b66:> >E 4CD DL:@ADA@PC F X>7@;@ADC96N 8X lm FHn N yab z Min yN ya z F

2> A4ML:> R4>N yb z zB

>C A6CE>A4>CA@D F E@>C96 B

Min yN ya z FN ya b z z N yb z F

N Min yX FRN yb ua z z RN yb ua z N ya b z

5. -6M6 [:5@M6 >Z>ML:6F A6CE@9S7>E> :D 7>:DA@PC I|yb ua zH E@ |ya z |yb zm >C 6576 ADE6

R4> 5@>C> A6M6 U>E5D96E :P=@A6E D 5696E :6E 5D:>E R4> X>7@;@R4>C :DMin yX z

A6C9@A@PC8

LD7D 5696 LD7 9> >:>M>C56E W >E 9>A@7F DR4>::6E R4> 5@>C>C >: M@EM6 AD7VA5>7

|ya z |yb z ya z yb z F

a Fb X

9> M6C656C<D R4> B|

/CD 7>:DA@PC O6776ED E> 9@A> R4> >E 4C UL7>679>C E@ X>7@;@AD :DE 96E A6C9@UR T

A@6C>E E@=4@>C5>E8

i) >E 7>;:>K@XDF >E 9>A@7F LD7D A4D:R4@>7 QR R ya ua z H a X

ii) >E U57DCE@5@XD A6C 4CD 5UC67MDF 6 E>DFR T T T yR yb ua z FR yc ub z z R yc ua z

LD7D A4D:R4@>7 57<6 Ba Fb Fc X

24


"EL>A@D:M>C5> @C5>7>EDC5>E E6C :DE 7>:DA@6C>E A6C6A@9DE A6M6 L7>P79>C>E >:>M>C5D:>E

R4> E> 9>;@C>CF LD7D 4CD 5UC67MD A6C5@C4D3 Q 4C F A6M68T | yX z

I T| yb ua z sup}z lm FHn 8 T y|ya z Fz z |yb z~ B

#67 >Z>ML:6F LD7D :D 5UC67MD >: L7>679>C >:>M>C5D: R4> 7>E4:5D >EMin

IMin yy uxz H si x yy >B6BAB F

9>C6M@CD96 NDO@54D:M>C5> L7>679>C 9> ,Å9>:B "C >: $LSC9@A> L4>9>C X>7E> :6E >Z>MU

L:6E 9> L7>P79>C>E >:>M>C5D:>E MVE 45@:@?D96E >C :D L7>E>C5> M>M67@DB -4DC96 :D 5U

C67MD >E D7R4@M>9@DCD E> L4>9> 6O5>C>7 :D >KL7>E@PC =>C>7D: 9>: L7>679>C >:>M>C5D:

=>C>7D96B 2@ >E D7R4@M>9@DCDF >K@E5@7V 4CD ;4CA@PC A6C5@C4D Q >E57@AUT h 8 lm FHn

5DM>C5> 9>A7>A@>C5>F 9>C6M@CD9D =>C>7D967 D9@5@X6 9> :D 5UC67MDF 5D: R4>

96C9> >E :D LE>496@CX>7ED 9> F 9>;@C@9D A6M6

T yx Fy z h y Hz yh yx z h yy z z F

h y Hz h

'>9@DC5> >E5D >KL7>E@PC L69>M6E AD:A4:D7 APM6 E> >EA7@O> >C ;4CA@PC 9> B

h y Hz yy z h H yMin yy Fh ymz z B

I T| yb ua z h

"C L7@M>7 :4=D74F

I T| yb ua z sup}z lm FHn 8T y|a Fz z |b~

sup}z lm FHn 8h y Hz yh y|a z h yz z z |b~

+DE 96E L6E@O@:@9D9>E E@=4@>C5>E L>7M@5>C AD:A4:D7 :D >KL7>E@PC 9> 8IT|

h !> N>AN6 C6 >E C>A>ED7@6 R4> :D 5UC67MD E>D A6C5@C4DF ODE5D A6C R4> :6 E>D L67 :D @?R4@>79D Q >C :D

E>=4C9D A6ML6C>C5> LD7D R4> :DE ;4CA@6C>E 5>C=DC L76L@>9D9>E @C5>7>EDC5>EF lvid. $LSC9@A>nBIT|

i 2@ C6 9D :4=D7 D >7767F >EA7@O@7>M6E L67 A6C >: ;@C 9> E@ML:@;@AD7 :D C65DA@PCB

gJ

Estados lógicos; Definición y propiedades básicas

I*(b/a)=sup{ze[0,l]:T(na,z)<nb} =

=sup{z€ [0,1] :hS~l) (h(fia) + h(z)) < nb}

T Las dos posibilidades siguientes permiten calcular la expresión de / :

— si \ia < \kb , entonces h(iia) >h(¡xb) y h(\iá) +h(z) ^ h{¡ib) para todo

z. Por tanto, /i("1}(h(na)+h(z))<h(~l)(h(ixb))=fjLb para todo z,

luego /M(fc/a) = l;

— si, en cambio, \ia> ¡xb , será h{¡xa) < h([xb) y h(nb) -h(fia) E

(0,/*(0)], puesto que h{ixb)-h{ixa)^h(¡xb)<h(Q). Entonces es

I (b/a)=h(~l\h(ixb)-h(iia)). En efecto, en primer lugar se cumple

que I*(b/a)>h(-l)(h(nb)-h(na)), ya que

¿(_1) (¿(/xa) +(h(h^l)(h(iib) -h(¡xa)))) =

=/i(_1) (/i(/xa) +¿(M¿>) -Hua)) = /J (_1) (*(/*&)) =

teniendo en cuenta que h(h^~1^ (JC)) =x cuando x G [0,h(0)].

Por otra parte, para todo z>hS~v>(h(nb)-h(ná)) tendremos h(z)<

h(h(-l) (h(nb) - hbia)) = h(iib) -h(fia). Así,

h(na)+h(z)< hifib)^ h(0)

y aplicando /t(_1), h{-l\h(na)+h(z))> h{-l)(h(nb))= \íb .

Con todo ello se cumplirá que

lT(hla\A 1 si iia <nb =

^K°'a) \hS-l)(h{vLb)-h{na)) si \».a>\ib

=h{-1\Max(0Mfib)-h(na))) =

=h(-lHh(ixb)eh(na))),

26


": E@=4@>C5> 5>67>MD M4>E57D :D 7>:DA@PC >K@E5>C5> >C57> :6E >E5D96E :P=@A6E 9>

4CD 7>:DA@PC Q :6E L7>P79>C>E >:>M>C5D:>EB

Teorema 1.1.6

/C E4OA6CZ4C56 O6776E6 >E 4C U>E5D96 :P=@A6F A6C 4CD 5UC67MD A6C5@C4D L67| T T

:D @?R4@>79D >C :D E>=4C9D A6ML6C>C5>F 9> E@ Q EP:6 E@ BR R IT|

Demostración. 2@ F >C56CA>E LD7D 5696 QF L67| T yX FR z T y|aFR yb ua z z |b a Fb X

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7>E4:5D96 QD A6C6A@96 L67 9@;>7@7 :D >C4CA@DA@PC 9>: 5>67>MD 9> APM6 E> L7>E>C5D >C

lImnB

Teorema 1.1.7

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27


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T| yc ub z z inf

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A6C9@A@PC >C >E5> ADE6 >E 7>D:M>C5>

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V yX z yX F z

>E A>77D96 ODZ6 :D 7>=:D 9> @C;>7>CA@D 9>: modus ponensB 2> 9>C65D M>U

9@DC5> D: A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E A:VE@A6EB "E >X@9>C5> R4> >: A6CZ4C56L yX F z

XDA<6 Q E6C E@>ML7> >E5D96E :P=@A6E QF A6M6 >C >: ADE6 O6776E6F E> 9>C6M@CDCX

>E5D96E :P=@A6E L76L@6E D :6E 9@E5@C56E 9>: XDA<6 Q 9>: 565D:B

Ejemplos 1.1.8

1. -6CE@9>7>M6E :D >E574A547D 7>:DA@6CD: 9>;@C@9D >C >: L4C56 J 9> :6E >Z>ML:6E

HBHBhB +D 7>:DA@PC 9>;@C@9D >E A:VE@AD QF L67 5DC56F E> L4>9> DCD:@?D7 APM6 E6C E4E

>E5D96E :P=@A6E A:VE@A6EB "C L7@M>7 :4=D7F :6E UA675>E 9> F F E6C >E5D96E| l|n

:P=@A6E 9> F LD7D 5696 F QD R4>F E@ Q F E> A4MUyX F Ip z lm FHn a l|n I|yb ua z H

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E6 E6O7> 4C E4OA6CZ4C56 A:VE@A6 9> F| V X

V inf}|ya z 8a V~B

2> 9@A> R4> 4C E4OA6CZ4C56 A:VE@A6 >E A>77D96 ODZ6 E@ >: XD:67 E> D:ADC?DV | V

>C F >E 9>A@7F E@ >K@E5> 4C >:>M>C56 9> 5D: R4> BV a V |ya z V

2@ 4C E4OA6CZ4C56 >E A>77D96 ODZ6 F E> X>7@;@AD7V R4> E@ Q EP:6 E@V | V L yX F I|z

B #D7D A6ML76OD7 >E5D D;@7MDA@PC ODE5D A6CE@9>7D7 >C L7@M>7 :4=D7 R4> E@V l|nV

gI


F LD7D D:=[C F >C56CA>E E>7V 4C >E5D96 :P=@A6F A6M6 E> ND L76OD96V l|n V

DC5>7@67M>C5>B #67 657D LD75> E@ F >E >X@9>C5> R4> $9>MVE E>V L yX F I|z V l|nVB

A4ML:> R4> F QD R4>F E@ F >C56CA>E QF A6M6l|nVV a l|n

V|ya

Vz |ya z a

VV

D: E>7 A>77D96 ODZ6 F E> X>7@;@AD7V R4> BV | a V

2. 2>D 4C @C;UE>M@77>5<A4:6 lHmn Q :D 7>:DA@PC 9> 679>C LD7A@D: DE6A@D9D D :DyX F z

6L>7DA@PC F B 2> X>7@;@AD >C56CA>E R4> E@ Q EP:6 E@ E>a b a b a V L yX F z

A4ML:> :D A6C9@A@PC8

LD7D AD9D B %>E4:5D96 >X@9>C5>F QD R4>F E@ Q F A6M6

(2)a b V a V Q b V F

a Fb X V L yX F z a b V

Q F E> 5>C97V R4> B ": 7>A<L76A6 >E 5DMO@SC E>CA@::6W E@a b a a b b a Fb V V

A4ML:> :D A6C9@A@PC ygz Q A6C F E> A4ML:@7V R4> QF L67 5DC56Fa V a b a b a V

B "E56 A6C::>XD :D E@=4@>C5> 7>:DA@PC >C57> >E5D96E :P=@A6E Q ;@:576E lHmn8 4Cb V

A6CZ4C56 >E 4C ;@:576 E@ Q EP:6 E@ X>7@;@AD :DE 96E A6C9@A@6C>E E@=4@>C5>E8V

i) QV L yX F z

ii) Q Ba V b V a b V

+D A6C9@A@PC ygz L7>E>C5D 4CD ;4>75> 7>:DA@PC A6C :D M6C656C<D 9> :D 7>:DA@PC

7>EL>A56 D B /CD 7>:DA@PC E> 9@A> UM6CP56CD E@ LD7D A4D:R4@>7 LD7 9> >:>M>CU

56E A6C E> X>7@;@AD B "C lHrn E> 9>M6E57P R4> 4CD 7>:DA@PCa Fb X a b a c b

A:VE@AD 7>;:>K@XD Q 57DCE@5@XD >E UM6CP56CD E@ Q EP:6 E@ E> X>7@;@AD :D A6C9@A@PC ygz

LD7D 5696 >E5D96 :P=@A6B

!D96 4C A6CZ4C56 F E> 9>;@C> >: A6C9@A@6CD: MD5>7@D:F F A6M6 :DV yX z V

7>:DA@PC B "C >: ADE6 >C >: R4> E>D :D A:DE> 9> L76L6E@A@6C>EV{V yX V z{X V

30


X>79D9>7DE 9> 4C :>C=4DZ> :P=@A6 L76L6E@A@6CD: A:VE@A6F >: A6C9@A@6CD: MD5>7@D: >E 4CD

7>:DA@PC R4> 9D :4=D7 D :D A6C>A5@XD @ML:@ADA@PC 9> :D :P=@AD O@XD:4D9D A:VE@ADF A6M6

E> M6E57P >C :D @C57694AA@PC 9> :D M>M67@DB 2> X>7@;@AD R4> F >E 9>A@7F R4> :6EI TV V

L7>P79>C>E >:>M>C5D:>E O6776E6E 7>E57@C=@96E D A6CZ4C56E A:VE@A6E 9DC :D ;4CA@PC 9>

L>75>C>CA@D 9>: A6C9@A@6CD: MD5>7@D:5B !>O@96 D >E5D AD7DA5>7<E5@ADF :6E L7>P79>C>E >:>U

M>C5D:>E 7>A@O>C 5DMO@SC >: C6MO7> 9> A6C9@A@6CD:>E MD5>7@D:>E O6776E6EB $E<F D:

7>E57@C=@7 >: 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PC HBHBr LD7D L7>P79>C>E O6776E6E D: ADE6 A:VE@A6F

4CD 7>:DA@PC A:VE@AD >E 4C L7>679>C A:VE@A6 E@ Q EP:6 E@

$CV:6=DM>C5> D: ADE6 O6776E6F >E 4C >E5D96 :P=@A6 LD7D :D >E574A547D 7>:DU

V L yX F zV B

V yX z

A@6CD: A:VE@AD E@ Q EP:6 E@ QF 9> C4>X6F >E :D ;DM@:@D MVEyX F z V L yX F z

=7DC9> LD7D :D A4D: E> X>7@;@AD >: 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PCB "E @C5>7>EDC5> NDA>7 C65D7

R4> >K@E5>C 7>:DA@6C>E A:VE@ADE R4> C6 5@>C>C C@C=[C >E5D96 :P=@A6 L76L@6 A6M6 M4>EU

57D >: E@=4@>C5> >Z>ML:6B

Ejemplo 1.1.9

-6CE@9>7>M6E :D 7>:DA@PC A:VE@AD E6O7> 4C A6CZ4C56 9D9D L678X

E@ Q EP:6 E@ Fa | b Max yH |a F|b z

LD7D A@>756 E4OA6CZ4C56 O6776E6 Q B &6M>M6E A6M6 4C@X>7E6| yX z lm FHn

F A6M6 Q B 2>D 4C >E5D96 :P=@A6 9> C6 XDA<6 QX lm FHn | Id Hg

V | x V F

>E >X@9>C5> R4> LD7D 5696 F QD R4> !> >E5D ;67MDx | y y Max yH x Fy z y B

B &6MDC96 Q 9>O@96 D R4> F E> X>7@;@AD7V R4> QFl FH n V x V Hg

H Hg

DE<F LD7D 5696 B #67 A6CE@=4@>C5>F Q >: A6CZ4C56| y y lm FHn V lm FHn L y lm FHn F Id| z

E>7V @=4D: D A4DC96} F lm FHn~ HgB

J -6M6 E> L4>9> X>7 >C lHrnF >: @CX>7E6 9> >E5> 7>E4:5D96 [C@ADM>C5> >E A@>756 E@ :D 5UC67MD >E C6 L6E@5@XDB-4DC96 :D 5UC67MD >E L6E@5@XD >K@E5>C E4OA6CZ4C56E O6776E6E C6 A:VE@A6E R4> 9DC :4=D7 D A6C9@A@6CD:>EMD5>7@D:>E 9> E4OA6CZ4C56E A:VE@A6EB

hH


hg

1.2. Preórdenes elementales

+D :P=@AD ;4??Q D9M@5> NDO@54D:M>C5> 96E @C5>7L7>5DA@6C>EF :D L7@M>7D A6CE@E5> >C

A6CE@9>7D7:D 4CD :P=@AD A6C XD:67>E 9> X>79D9 R4> E6C >KL7>E@6C>E :@C=v<E5@ADE 5D:>E

A6M6 verdaderoF muy verdaderoF bastante falsoF >5AB +D E>=4C9D A6CE@E5> >C A6CE@U

9>7D7:D 4CD :P=@AD M4:5@XD:4D9D >C >: @C5>7XD:6 B bDZ6 SE5D [:5@MDF >: DCV:@E@E 9>lm FHn

:DE L76L@>9D9>E R4> 9>O>7<D X>7@;@AD7 4CD 7>L7>E>C5DA@PC ;4CA@6CD: 9> :D A6C>A5@XD

@ML:@ADA@PC ND 9D96 :4=D7 D @C5>CE6E >E549@6E >C :D :@5>7D547D lrF sF ssnB +D E@54DA@PC >C

5696E >E56E 57DODZ6E >E LD7>A@9D8 9> :DE M4ANDE L76L@>9D9>E R4> X>7@;@AD :D A6C>A5@XD

@ML:@ADA@PC >C :D :P=@AD A:VE@ADF >E 9>A@7F >: A6C9@A@6CD: MD5>7@D:F >E549@D7 DR4>::DE R4>

E>7<DC MVE 7>:>XDC5>E LD7D :D +P=@AD O6776EDB +D 7>;:>K@X@9D9 Q :D 57DCE@5@X@9D9 E6C

L76L@>9D9>E R4> LD7>A>C 7D?6CDO:>EF QF L67 5DC56F :6E L7>P79>C>E E>7<DC O4>C6E ADC9@U

9D56EB #D7>A> 7D?6CDO:> >K@=@7 >E5DE 96E L76L@>9D9>EF L4>E :D @ML:@ADA@PC E@>ML7> ND

E@96 :D A6C>A5@XD L>CED9D LD7D 7>L7>E>C5D7 7>:DA@6C>E >C57> 96E L7>M@EDEF >: DC5>A>9>C5>

Q >: A6CE>A4>C5>F 9> ;67MD R4> :D X>79D9 9>: DC5>A>9>C5> 6O:@=4> D :D X>79D9 9>:

A6CE>A4>C5>B $E<F :D 7>;:>K@X@9D9 E> X> A6M6 CD547D: >C E>C5>CA@DE 9>: 5@L6 si ... enton-

ces ... +D 57DCE@5@X@9D9 9D7<D XD:@9>? D: >CAD9>CDM@>C56 9> :DE 7>:DA@6C>E >C57> :DE

L7>M@EDE >E5DO:>A@9DE L67 :D @ML:@ADA@PCB

+D >E57>AND X@CA4:DA@PC 9> :D A6C>A5@XD @ML:@ADA@PC A6C :6E M>ADC@EM6E 9>

@C;>7>CA@D 9> 4CD :P=@ADF L4>E5D 9> MDC@;@>E56 >C :P=@AD A:VE@AD M>9@DC5> >: 5>67>MD 9>

9>94AA@PCF ND N>AN6 R4>F @C>X@5DO:>M>C5>F E@ E> 9>E>D >E549@D7 7>=:DE 9> @C;>7>CA@D LD7D

:D :P=@AD ;4??QF A6M6F L67 >Z>ML:6F :D 7>=:D 9>: modus ponens generalizadoF E> 9>OD

hh

Preórdenes elementales

>E549@D7 :D ;67MD MVE D9>A4D9D 9> 7>L7>E>C5D7 :D @ML:@ADA@PCB +6E 6L>7D967>E 9>

A6CE>A4>CA@D E6CF 9>E9> :6E >E549@6E 9> &$%2w* lJqnF 4C M69>:6 DA7>9@5D96 LD7D

A6CE574@7 7>:DA@6C>E 9> @C;>7>CA@D >C 4C E@E5>MD :P=@A6B $ >E5> 7>EL>A56F >C lHgF HiF HJn

L4>9>C >CA6C57D7E> 7>E4:5D96E R4> M4>E57DC A4VC96 4C L7>679>C 9D :4=D7 D 4C 6L>7DU

967 9> A6CE>A4>CA@DE >C :P=@AD ;4??Q Q D :D @CX>7EDB

"C >E5> A6C5>K56F LD7>A>F L4>EF A6CX>C@>C5> >E549@D7 R4S L76L@>9D9>E L7>E>C5DC

:6E L7>P79>C>E >:>M>C5D:>EF E@>C96 SE56E e7>L7>E>C5DC5>Ef 9> A4D:R4@>7 L7>679>CB

1.2.1. Identidad de preórdenes elementales

-6M>C?D7>M6E L67 @C5>C5D7 7>EL6C9>7 D :D E@=4@>C5> A4>E5@PCF ÉA4VC96 96E E4OU

A6CZ4C56E O6776E6E 9DC :4=D7 D: M@EM6 L7>679>C >:>M>C5D:Ñ $CD:@?DC96 >: ADE6 A:VE@A6F

>: E@=4@>C5> 5>67>MD M4>E57D R4S E4A>9> A6C >: A6C9@A@6CD: MD5>7@D:B

Teorema 1.2.1.1

!D96 F 4C E4OA6CZ4C56 L76L@6 9> F C6 >K@E5> C@C=[C 9@E5@C56W X X V yX z

9> 5D: R4> BW V W

Demostración. 24L6C=DM6E R4> >K@E5@>E> 5D: R4> Q X>DM6E R4> >::6 @ML:@UV V W

AD R4> B 2@ >K@E5> 4C >:>M>C56 A6C F >C56CA>E LD7D 5696 5>CUV W a W a V b W

97<DM6E R4> L>76 C6 F :6 A4D: >E @ML6E@O:>B 2@ C6 >K@E5> >C >EDE A6C9@Ua V b a W b a

A@6C>EF >E R4> QF E@ C6 E> 9D :D @=4D:9D9F 56MDC96 >C56CA>E QW V a W V b V

A6C F 5>C97<DM6E 9> C4>X6 Q C6 B +4>=6F ;67?6EDM>C5>F Bb W a V b a W b V W

hi

Identidad de preórdenes elementales

Corolario 1.2.1.2

2>DC F E> X>7@;@AD R4>V FW yX z

W V E@ Q EP:6 E@ W V

#67 A6CE@=4@>C5>F >: A6C9@A@6CD: MD5>7@D: 9>5>7M@CD 565D:M>C5> >: A6CZ4C56 D 57DXSE 9>:

A4D: E> 9>;@C>B

$: >E549@D7 >: ADE6 9> :6E L7>P79>C>E >:>M>C5D:>E O6776E6E :D E@54DA@PCF A6M6 >E

NDO@54D:F >E MVE A6ML:>ZD R4> >C >: ADE6 A:VE@A6B $CD:@?D7>M6E R4S 7>:DA@PC NDQ >C57>

96E E4OA6CZ4C56E O6776E6E A4DC96 E> X>7@;@AD R4> B|F I T| I T

-4DC96 E> 9>;@C> 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 E6O7> 4C A6CZ4C56 ODE> E> @C94A> 4C| X

L7>679>C 565D: E6O7> >: M@EM6 9> :D E@=4@>C5> ;67MD8|

": E@=4@>C5> 5>67>MD D;@7MD R4> D: X>7@;@AD7E> F Q L7>679>CDC 9> :D M@EMD

a |b E@ Q EP:6 E@ |a |b B

I T| I T |

;67MD >: A6CZ4C56 BX

Teorema 1.2.1.3

2>DC Q 96E 5UC67MDE A4D:>ER4@>7DFT T

E@ F >C56CA>EI T| IT | B

Demostración. 24L6C=DM6E R4> Q R4> F >C56CA>EI T| IT |aÇ|b IT| yb ua z H IT yb ua z

A6C :6 R4> F D9>MVE E@ ;4>E> E> A4ML:@7<Da b a b IT ya ub z H IT| ya ub z F

A6C :6 R4> E>7<D >C A6C57D 9> :D N@LP5>E@EB|b |a

&6MDC96 F >: 7>E4:5D96 ED:> 9> ;67MD @9SC5@ADB #67 5696 >::6 E@ Q EP:6 E@|aÇ|b

F A4ML:@SC96E> >: >C4CA@D96 9>: 5>67>MDBaÇ b

#D7D >E549@D7 :D 7>:DA@PC R4> >K@E5> >C57> Q 9>O>M6E A6CE@9>7D7 L67 E>LD7DU|

96 :6E ADE6E E>=[C E>D :D 5UC67MDB -6M>C?DM6E L67 BT Min

35


Teorema 1.2.1.4

E@ Q EP:6 E@F LD7D A4D:R4@>7 FIMin| IMin a X

E@ F >C56CA>E Q F LD7D 5696 B|a a |a |b a b b X

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Corolario 1.2.1.5

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Teorema 1.2.1.6

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Corolario 1.2.1.7

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5696 9>c X

Corolario 1.2.1.8

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F >C56CA>Eb m

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Teorema 1.2.1.9

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|

C6 5@>C>C L4C56EF E>7VC @=4D:>EB

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Corolario 1.2.1.10

Figura 2BU 24OA6CZ4C56E O6776E6E R4> =>C>7DC >: M@EM6 L7>679>C >:>M>C5D:B

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M@EM6 L7>679>C >:>M>C5D: LD7D :DE 5UC67MDE BMin F FW

iH

1.2.2. Relación de equivalencia entre estados lógicos

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Definición 1.2.2.1

| E@ Q EP:6 E@ I T| I T B

": E@=4@>C5> 7>E4:5D96 E> 9>M4>E57D 9> ;67MD E>CA@::DF

Proposición 1.2.2.2

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2>D >: A6CZ4C56 A6A@>C5> MP94:6 :D 7>:DA@PC 9>T yX FR z u } | 8 | T yX FR z~

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| |a H

ig

Relación de equivalencia entre estados lógicos

2> 9>C6M@CD C[A:>6 9> 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 F D: A6CZ4C56 9> L4C56E F R4>

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1.1. Bl|n|

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1.2. Bl|n|

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ih


": E@=4@>C5> 5>67>MD >E 9> 9>M6E57DA@PC >X@9>C5>F

Teorema 1.2.2.3

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LD7D 5696 F E@>C96 E@ >E C6 >E57@A5DB !D9Dk h y a z a X k h ymz supah y a z T

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LD75>F A6M6 E> A4ML:> R4>h y|a z h ymz h y|a z h y |z h ymz h y |z h ymz B

ii


h H yh y Ä|z h y Ä|z z hH ymz H B

$[C E@>C96 F C6 5@>C> L67 R4S 5>C>7 L4C56E 9>O@96 D 4C L6E@O:> A6ML675DU

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M@>C56 DE@C5P5@A6B

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9@E5@C56E ADE6E Q E>=[C :D 5UC67MD A6CE@9>7D9DB

iq

1.2.3. Estados lógicos de un T-preorden elemental

": A6C9@A@6CD: MD5>7@D: O6776E6F 6 L7>679>C >:>M>C5D:F DE6A@D96 D 4C E4OA6CZ4C56

O6776E6 F L>7M@5> 9>;@C@7 >: E@=4@>C5> L7>679>C >C57> >E5D96E :P=@A6E8|

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": L7>679>C 9D7V :4=D7 D 4C 679>C LD7A@D: >C >: A6CZ4C56 A6A@>C5> B +DT yX FR z u

9>;@C@A@PC 9>: 679>C >E >R4@XD:>C5> L67 >: 5>67>MD HBHBq D :D A6C9@A@PC6

E@ Q EP:6 E@ B| T yX F I T| z

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A6CE5DC5>E F QD R4> SE56E 9DC :4=D7 D: L7>679>C A6CE5DC5> Q E6C| F lm FHn I T H

E@>ML7> >E5D96E :P=@A6EW Q C6 L6E>>F >C =>C>7D:F >:>M>C56 MVK@M6B #D7D X>7:6 A6CE@U

9>7>M6E >: E@=4@>C5> 5>67>MDF

Teorema 1.2.3.1

": 679>C LD7A@D: E6O7> 5@>C> >:>M>C56 MVK@M6 E@ Q EP:6 E@ >E 4CT yX FR z u R

L7>679>C >:>M>C5D:B

Demostración. 2@ >K@E5> A6C LD7D 5696 F >C56CA>E| T yX FR zu | T yX FR zu

>E R4> LD7D 5696 QF L67 >: 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PCFI T I T| T yX FR z u

q "E 9>O@96 D R4> E> A4ML:> >E5D A6C9@A@PC L67 :6 R4> E> ND @CX>75@96 >: 679>C >C57> L7>P79>C>E >:>M>CU5D:>E D: 9>;@C@7 B

ir

Estados lógicos de preorden elemental

": 7>A<L76A6 >E 5DMO@SC E>CA@::6F E@ >C56CA>EF LD7D 5696 F E>

R infT yX FR z

I T I T| B

R I T| T yX FR z u

X>7@;@AD7V R4> F L67 E>7 >E5D96 :P=@A6BR I T| I T

bDE5DF L67 A6CE@=4@>C5>F 56MD7 4C L7>679>C C6 >:>M>C5D: LD7D R4> >: 679>C C6R

5>C=D >:>M>C56 MVK@M6B "E >X@9>C5> R4> E@ F >E @77>:>XDC5> >C >: AV:A4:6 9>:|

L7>679>C D 57DXSE 9>: 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PCBR

+D >R4@XD:>CA@D >C57> Q A6C94A> D >E549@D7 A6C9@A@6C>E 9> L>75>U| T yX F IT| z

C>CA@D D: A6CZ4C56 B "C >: ADE6 9> :D 5UC67MD '<C@M6 5>C>M6E >: E@=4@>C5>T yX F IT| z

7>E4:5D96 9> AD7DA5>7@?DA@PCB

Teorema 1.2.3.2

/C E4OA6CZ4C56 O6776E6 L>75>C>A> D E@ Q EP:6 E@ E> X>7@;@ADC :DE 96EMin yX F I Min| z

A6C9@A@6C>E E@=4@>C5>E8

i) E@ >C56CA>E Q|a |b a b

ii) E@ Q >C56CA>E|a�|b a� b |b b F

LD7D 5696 LD7 9> L4C56E a Fb XB

Demostración.

Dz +DE A6C9@A@6C>E E6C C>A>ED7@DEB "C >;>A56F

^ E@ F >C56CA>E F :6 R4> 6A477> E@ Q EP:6 E@|a |b I Min| yb ua z H I Min yb ua z

Wa b

^ Q E@ Q F E> 5>C97V R4>|a�|b a� b I Min| yb ua z |b I Min yb ua z b B

is


2@ Q y>: E4OA6CZ4C56 O6776E6 @9SC5@ADM>C5> C4:6zF >C56CA>EMin yX F I Min| z 0

E> X>7@;@ADC :DE E@=4@>C5>E A6C9@A@6C>E8

i) Fl|n|l n

ii) By|zm y zm

Demostración. 2> A4ML:>C :DE 96E A6C9@A@6C>EB

i) 2@ >C56CA>E >E 57@X@D:B 2>D F E> 5>C97V R4>l|n|

a l|n|

L67 E>7 >E5D96 :P=@A6F :4>=6 B

supbMin y b F I Min| ya ub z z sup

bMin y b FHz sup

bb a F

a l n

ii) 2>D ^9> C4>X6 E@ E>7<D 57@X@D:^F E@ E> A4ML:> R4>a y|zm y|zm a l n F

>C56CA>E F L4>E56 R4> B 24L6C=DM6E R4> F :6 R4> @ML:@AD L67 ia y zm 0 a l n

R4> B -DO>C 96E L6E@O@:@9D9>E8 R4> QF L67 5DC56F >K@E5Da l|n|

l|n|

b l|n|

F 5D: R4> Q F L67 :6 R4> F =7DA@DE D: 5>67>MD HBgBhBg Ql n |b�|a b� a mÇ|a a

>C A6CE>A4>CA@D W 6 O@>C R4> F >C A4Q6 ADE6 E> 9>;@C>C :6E E@=4@>C5>Ea y zm l|n|

A6CZ4C56E8

2> X>7@;@AD R4> F QD R4>F E@ @ML:@AD R4> QF L67 >: &>67>U

y|z|a }b X 8 |b�| a~ B

y z a y|z|a b y|z|a |b | a

MD HBgBhBgF E> A4ML:@7V R4> F A6C :6 R4> B $: 5>C>7 R4> Fb a b y z a a l n

>C56CA>E QF L67 5DC56F >K@E5@7V 4C F :4>=6 Qy z a b y z a y|z|a |b�|a b� a

F A6C :6 R4> F >E 9>A@7F BmÇ|a a a y zm

"C >: ADE6 9> :DE 5UC67MDE D7R4@M>9@DCDE :D AD7DA5>7@?DA@PC 9> :6E >E5D96E :P=@A6E 9>

4C L7>679>C >:>M>C5D: X@>C> 9D9D L67 >: E@=4@>C5>

Teorema 1.2.3.4

Jm


/C E4OA6CZ4C56 O6776E6 L>75>C>A> D F A6C 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCDFT yX F I T| z T

E@ Q EP:6 E@ E> X>7@;@ADC :DE 96E A6C9@A@6C>E E@=4@>C5>E8

i) E@ F >C56CA>E Q|a |b a b

ii) E@ Q F >C56CA>E F|a�|b a� b h y|b z h y|a z h y b z h y a z

LD7D 5696 LD7 9> L4C56E a Fb XB

Demostración. +D 9>M6E57DA@PC >E E@M@:D7 D :D 9>: 5>67>MD HBgBhBgF ED:X6 >C :6 R4>

A6CA@>7C> D :D A6C9@A@PC iiF L>76 >E E4;@A@>C5> A6CE@9>7D7 R4> E@ Q F|a�|b a� b

>C56CA>EF 5DC56 A6M6 F L>75>C>A>C D: @C5>7XD:6h y|b z h y|a z h y b z h y a z lm Fh ymz n F

L4>E56 R4>

!> >E5D ;67MDF A4DC96 Q E> 5>C97V R4> E@ Q EP:6

h y|b z h y|a z supbh y|b z h y|a z h ysup

b|b z h y|a z h ymz h y|a z h ymzB

|a�|b a� b IT| yb ua z IT yb ua z

E@ F >E 9>A@7F E@ Q EP:6 E@h y Hz yh y|b z h y|a z z h y Hz yh y b z h y a z z h y|b z

QD R4> >C >E> ADE6 Bh y|a z h y b z h y a z F h y Hz h H

$: X>7@;@AD7E> :D A6C9@A@PC i 5DMO@SC LD7D :DE 5UC67MDE D7R4@M>9@DCDEF :6E >E5D96E

:P=@A6E A6CE>7XDC :D M6C656C<DB +D A6C9@A@PC ii) C6 DA:D7D E4;@A@>C5>M>C5> APM6 E6C

:6E >E5D96E :P=@A6E LD7D :6E L7>P79>C>E >:>M>C5D:>E 9>;@C@96E D LD75@7 9> 4CD 5UC67MD

D7R4@M>9@DCDB ": E@=4@>C5> 5>67>MD 9D 4CD @9>D 9> E4 A6ML675DM@>C56B

Teorema 1.2.3.5

2@ 5@>C> 4C C[A:>6 C6 XDA<6 Q F >C56CA>E 5696E :6E >E5D96E :P=@A6E A6C| | H

L4C56E 9> >E5VC L67 >CA@MDBIT|

Demostración. 2@ F >C56CA>E QD R4> E@ E> A4ML:> R4>T yX F IT| z l|nH l nH a l|nH

JH

CAPÍTULO 2. LAS CLASES DE UN PREORDEN


2.2. Subconjuntos borrosos trapezoidales

Introducción

+DE A:DE>E 9> 4CD 7>:DA@PC O6776ED N>7>9DC 96E 9> E4E L76L@>9D9>E OVE@ADE8 :D

7>;:>K@X@9D9 Q :D U57DCE@5@X@9D9F A6M6 E> M4>E57D >C >: DLD75D96 @C@A@D: 9>: L7>E>C5>T

-DL<54:6B $9>MVEF E6C :6E U>E5D96E :P=@A6E MVE L>R4>T6E 9> >C57> DR4>::6E R4> >E5VCT

C67MD:@?D96EB +D 45@:@?DA@PC NDO@54D: >C :P=@AD ;4??QF 6 >C A6C576: ;4??QF 9> :6E E4OU

A6CZ4C56E O6776E6E :@C>D:>E D 576?6E ND L:DC5>D96 4CD 7>;:>K@PC E6O7> :D L6E@O@:@9D9 9>

6O5>C>7:6E A6M6 A:DE>E 9> D:=[C 5@L6 9> 7>:DA@6C>E O6776EDEB (6 E@>ML7> >E L6E@O:>

6O5>C>7 A:DE>E R4> E>DC E4OA6CZ4C56E O6776E6E :@C>D:>E 9>: 5@L6 9>EA7@56F L67 >::6 >C >:

E>=4C96 DLD75D96 9>EA7@O@7>M6E 4CD 7>:DA@PC 9> @C9@E5@C=4@O@:@9D9 R4> 5@>C> A6M6

A:DE>E D 5696E :6E 5@L6E 9> E4OA6CZ4C56E O6776E6E 57DL>?6@9D:>EF @CA:4Q>C96 >C >E5D

AD5>=67<D :6E C[M>76E 57@DC=4:D7>E O6776E6E Q :6E 57DL>A@6EF 5DC56 E@MS57@A6E A6M6

DE@MS57@A6EB

Ji


!D9D 4CD >E574A547D 7>:DA@6CD: O6776ED E> 9>;@C>C :DE A:DE>E M694:6yX FR z R

A6M6 :6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E7

B|Ra yb z R yb ua z

2@ >E 7>;:>K@XD E> X>7@;@AD7V R4> F >E 9>A@7F :DE A:DE>E 5>C97VC L4C56EB 2>R |a ya z H

A4ML:> D9>MVE >: E@=4@>C5> 7>E4:5D96F

Teorema 2.2.1

>E 57DCE@5@XD E@ Q EP:6 E@ LD7D 5696 BR |a T yX FR z a X

Demostración. E@ Q EP:6 E@T yR yb ua z FR yc ub z z R yc ua z T y|a yb z FR yc ub z z |a yc z

LD7D 5696 Ba Fb Fc X

"C LD75@A4:D7 LD7D :6E UL7>P79>C>E >:>M>C5D:>E E4E A:DE>E E>7VC >E5D96E :P=@A6ET I T|A6C L4C56EB "C >: ADE6 9> SE56E L7>P79>C>E :DE A:DE>E X>7@;@ADC :DE E@=4@>C5>E L76L@>9DU

9>EB

Teorema 2.2.2

2>D 4C UL7>679>C >:>M>C5D:F E> X>7@;@AD R4> LD7D A4D:R4@>7 >:>M>C56I T| T | |a$9>MVEF E> 9D7V :D @=4D:9D9 F LD7D A@>756 F E@ Q EP:6 E@ 5@>C>a XB | |a a X |

L4C56EB

r `DO@54D:M>C5> 6M@5@7>M6E >: E4L>7<C9@A> E@C6 9D :4=D7 D A6C;4E@PCB

JJ

Clases de una relación borrosa: Definición y propiedades básicas

Demostración. 2@>ML7> E> X>7@;@AD R4> F :4>=6T y|a F|b z |b |b I T| yb ua z |ab

LD7D 5696 B 2@ 5@>C> L4C56E >K@E5@7V D: M>C6E 4C A6C F L67 5DC56Fb X | a X |a H

F >E 9>A@7F F :4>=6 BT y|a F I T| yb ua z z I T| yb ua z |b |ab |b |a |

Teorema 2.2.3

+DE A:DE>E 9> :D >E574A547D 7>:DA@6CD: ;67MDC 4CD AD9>CDByX F I T| z

Demostración. 2> A6ML74>OD R4> E@ Q EP:6 E@ B "C L7@M>7 :4=D7F E@|a |b |b |a

F >C56CA>E LD7D 5696 F :4>=6F 56MDC96 F E> 5>C97V|a |b I T| yc ua z IT| yc ub z c X c a

R4> E@ Q EP:6 E@ BI T| ya ua z H I T| ya ub z |b |a

#67 657D LD75>F E@ @ML:@AD7V R4> F :4>=6F 56MDC96 E4L7>M6E|b |a T y|b Fz z T y|a Fz z

E6O7> F E> A4ML:> R4> B -6M6 LD7D 5696 LD7D >Ez I T| yc ua z IT| yc ub z a Fb X |aÇ|b

6 6 F E> E@=4> >: 7>E4:5D96 9>: 5>67>MDB|a�|b |a |b

": E@=4@>C5> 5>67>MD M4>E57D R4> :D A:DE> >E >: E4OA6CZ4C56 O6776E6 MVE|aL>R4>T6 9> >C57> DR4>::6E >E5D96E :P=@A6E R4> X>7@;@ADC B|a H

Teorema 2.2.4

2>D 4CD >E574A547D 7>:DA@6CD:F >E >: MVE L>R4>T6 9> :6E U>E5D96E :P=@A6EyX FR z |a T |

R4> X>7@;@ADC B|ya z H

Demostración. LD7D 5696 FUT y|a FR yb ua z z T yH FR yb ua z z R yb ua z |ab |b b X

:4>=6 B|a |

Corolario 2.2.5

2@ >E 4C UL7>679>C O6776E6F >C56CA>E >E >: U>E5D96 :P=@A6 MVE L>R4>T6 R4>R T |a T

e5@>C>f D: L4C56 Ba

2@ =>C>7D:@?DM6E :DE A:DE>E D 4C E4OA6CZ4C56 C6 XDA<6 A4D:R4@>7D M>9@DC5>M

56


E> 6O5@>C>C 7>E4:5D96E E@M@:D7>E D :6E DC5>7@67>EB

|M yb z sup}R yb um z 8 m M~ F

Teorema 2.2.6

2@ >E 4CD 5UC67MD A6C5@C4D Q >E 4CD 7>:DA@PC U57DCE@5@XDF >E 4C U>E5D96T R T |M T

:P=@A6 O6776E6 LD7D B $9>MVE E@ >E 7>;:>K@XDF >C56CA>E LD7DyX FR z R |M ym z H

5696 Bm M

Demostración.

T y|M a FR yb ua z z T ysupm M

R ya um z FR yb ua z z supm M

T yR ya um z FR yb ua z z

Bsupm M

R yb um z |Mb

Teorema 2.2.7

>E MVE L>R4>T6 R4> A4D:R4@>7 U>E5D96 :P=@A6 A4ML:@>C96 LD7D|M T | |ym z H

5696 Bm M

Demostración. 2@ LD7D 5696m M F T y|m FR yb um z z T yH FR yb um z z R yb um z |b

F :4>=6F 56MDC96 E4L7>M6EFb X

supm M

R yb um z |M yb z |yb z B

Corolario 2.2.8

2@ >E 4C UL7>679>C O6776E6F >E >: U>E5D96 :P=@A6 MVE L>R4>T6 9> >C57>R T |M T

DR4>::6E U>E5D96E :P=@A6E R4> A6C5@>C>C D F >E 9>A@7F R4> A4ML:DCT | M |ym z H

LD7D 5696 m M B

Jr


"C :DE E@=4@>C5>E ;@=47DE E> M4>E57DC APM6 E6C :DE A:DE>E 9> D:=4CDE 9> :DE|x7>:DA@6C>E O6776EDE MVE 45@:@?D9DE >C :D :@5>7D547DF 569DE >::DE AD:A4:D9DE E6O7> >:

@C5>7XD:6 Blm FHn

,Å9>:Ub764j>7 |x yy z IMin yy ux z H x y

y x�y

'>C=>7U,6=4>C

+4YDE@>j@A? |x yy z IW yy ux z Min yH FH x y z

Js


w:>>C>U!@>C>E |x yy z RKD yy ux z Max yH x Fy z

k@::M65|x yy z R

W yy ux zMax yH x FMin yx Fy z z

%>@AN>CODAN |x yy z Rr yy ux z H x xy

'DM9DC@ |x yy z Rm yy ux z Min yx Fy z

JI


&@L6 k@::M65 |x yy z RWH yy ux z H x x gy

&@L6 k@::M65 |x yy z RWg yy ux z H x xMin yx Fy z

]D=>7 |x yy z RY yy ux z yx

qm

2.2. Subconjuntos borrosos trapezoidales

+6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E 57@DC=4:D7>E Q 57DL>?6@9D:>E NDC Z4=D96 4C @ML675DC5>

LDL>: >C :DE DL:@ADA@6C>E 9> :D :P=@AD ;4??QF Q E6C MDQ67<D :6E >Z>ML:6E 9> A6C576:

O6776E6 >C :6E R4> E> 45@:@?DC >E5> 5@L6 9> ;4CA@6C>EB "C >E5> DLD75D96 6O5>C97>M6E 4CD

7>:DA@PC R4> L>7M@5> 9>;@C@7 :6E 57DL>A@6E A6M6 A:DE>E 9> :D M@EMDB

#D7D :D 9>;@C@A@PC 9> E4OA6CZ4C56E O6776E6E 57DL>?6@9D:>E A6CE@9>7D7>M6E A6M6

4C@X>7E6 >: A6CZ4C56 9> C[M>76E 7>D:>E B "E5> N>AN6 C6 E4L6C> 4CD =7DC 7>E57@AUX

A@PC L4>E56 R4> >E NDO@54D: 45@:@?D7 A6M6 4C@X>7E6 ODE> >C :D 9>;@C@A@PC 9> E4OA6CU

Z4C56E O6776E6E R4> e7>L7>E>C5DCf L7>9@AD96E O6776E6E D 57DXSE 9> 9>5>7M@CD9DE AD7DAU

5>7<E5@ADE C4MS7@ADE 9> >E56E [:5@M6EB #67 >Z>ML:6F 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 R4> 7>L7>U

E>C5> >: L7>9@AD96 altoF E6O7> 4C 4C@X>7E6 9> L>7E6CDEF E> 9>;@C> M>9@DC5> :D D:547D 9>

4CD L>7E6CDF M>9@9D SE5D >C D:=4CD >EAD:D C4MS7@AD Q R4> L4>9> A6CE@9>7D7E> A6C5@U

C4DB

Definición 2.2.1

/C E4OA6CZ4C56 O6776E6 57DL>?6@9D: >E 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 9>;@C@96 D LD75@7 9>

A4D576 LD7VM>576E A6M6 E@=4>l H F H F g F g n

qH

Subconjuntos borrosos trapezoidales

+6E LD7VM>576E E@>ML7> X>7@;@AD7VC :D 7>:DA@PC

Figura 14BU 24OA6CZ4C56E O6776E6E 57DL>?6@9D:>EB

ED:X6 >C 4C ADE6 LD75@A4:D78 A4DC96 6 B !> >E5D ;67MDF :D

HÇ H gÇ g F

H H g g

9>;@C@A@PC @CA:4Q> :6E 57DL>A@6E E@MS57@A6E Q DE@MS57@A6EF :6E C[M>76E 57@DC=4:D7>E

E@MS57@A6E Q DE@MS57@A6E Q :6E 57DL>A@6E eDO@>756Ef L67 4C6 9> E4E >K57>M6EF 5D: A6M6

L4>9> X>7E> >C :D .@=47D HiB

#D7D 6O5>C>7 E4OA6CZ4C56E O6776E6E 57DL>?6@9D:>E A6M6 A:DE>E 9> 4CD 7>:DA@PCF

7>A679>M6E >C L7@M>7 :4=D7 :DE 9>;@C@A@6C>E 9> MS57@AD =>C>7D:@?D9D lhIF JiF rgn >

@C9@E5@C=4@O@:@9D9 lqIF $LSC9@A>nB

Definición 2.2.2

/CD DL:@ADA@PC >E 4CD UMS57@AD =>C>7D:@?D9D E@ Q EP:6 E@ X>7@;@ADd 8X{X lm FHn T

LD7D A4D:R4@>7 57<6 8a Fb Fc X

i) d ya Fa z m F

ii) Qd ya Fb z d yb Fa z

iii) T yd ya Fb z Fd yb Fc z z d ya Fc z F

E@>C96 4CD 5UA6C67MDBT

qg


Definición 2.2.3

/CD 7>:DA@PC O6776ED E> 9@A> R4> >E 4CD U@C9@E5@C=4@O@:@9D9 E@ Q EP:6E 8X lm FHn T

E@

i) >E 4C UL7>679>C QE T

ii) >E E@MS57@ADBE

": E@=4@>C5> 5>67>MD M4>E57D APM6 6O5>C>7 4CD @C9@E5@C=4@O@:@9D9 D LD75@7 9> 4CD

MS57@AD =>C>7D:@?D9DB

Teorema 2.2.4

2>D 4C U>ELDA@6 MS57@A6 =>C>7D:@?D96F E> A4ML:> R4>yX Fd z T Rd yb ua z H

>E 4CD 7>:DA@PC 9> U@C9@E5@C=4@O@:@9D9F A6C :D 5UC67MD 94D: DE6A@D9D Dd ya Fb z T T

M>9@DC5> :D C>=DA@PC BT N yx z H x

Demostración. +DE L76L@>9D9>E 7>;:>K@XD Q E@MS57@AD E6C >X@9>C5>EF :D U57DCE@5@X@9D9T

E> 9>M4>E57D 9> :D E@=4@>C5> ;67MD8

T yRd yb ua z FRd yc ub z z T yH d ya Fb z FH d yb Fc z z

H T yd ya Fb z Fd yb Fc z z H d ya Fc z

FRd yc ua z

5>C@>C96 >C A4>C5D R4> Q E6C 94D:>E QF L67 5DC56F BT T T yH x FH y z H T yx Fy z

"E @C5>7>EDC5> 7>ED:5D7 R4> E@ >E 4CD MS57@AD 4E4D:F >: 5>67>MD DC5>7@67 C6d 8X{X

L4>9> E>7 DL:@AD96 D :D 7>E57@AA@PC 9> D 9>;@C@9D A6M6d lm FHn

d ya Fb z Min yH Fd ya Fb z z F

qh


QD R4>F D4C X>7@;@ADC96 :DE L76L@>9D9>E i Q iiF C6 A4ML:> :D 9>E@=4D:9D9 57@DC=4:D78d

E> 9>O>7<D X>7@;@AD7 R4> QF ODE5D 56MD7T yd ya Fb z F d yb Fc z z d ya Fc z d ya Fc z� H

Q M>C67>E R4> H LD7D R4> C6 E> A4ML:DBd ya Fb z Fd yb Fc z

#D7D 6O5>C>7 4CD @C9@E5@C=4@O@:@9D9 D LD75@7 9> 4CD MS57@AD A:VE@AD L69>M6E 45@:@?D7 >:

E@=4@>C5> 5>67>MDB

Teorema 2.2.5

2@ >E 4C >ELDA@6 MS57@A6 A:VE@A6F :D 7>:DA@PC 9>;@C@9D A6M68yX Fd z RdRd yb ua z H Min yH Fd y f ya z F f yb z z z Max ym FH d y f ya z F f yb z z z H d y f ya z F f yb z z

>E 4CD U@C9@E5@C=4@O@:@9D9 LD7D A4D:R4@>7 DL:@ADA@PC BW f 8X X

Demostración. +DE L76L@>9D9>E 7>;:>K@XD Q E@MS57@AD E6C >X@9>C5>E L67 :DE L76L@>9D9>E

i Q ii 9> :DE MS57@ADEF L67 5DC56F >E E4;@A@>C5> 9>M6E57D7 R4> >E U57DCE@5@XDFRd W

W yRd yb ua z FRd yc ub z z

Max ym FH Min yH Fd y f ya z F f yb z z z H Min yH Fd y f yb z F f yc z z z Hz

Max ym FH yMin yH Fd y f ya z F f yb z z z Min yH Fd y f yb z F f yc z z z z z

Max ym FH Min yH Fd y f ya z F f yb z z d y f yb z F f yc z z z z

H Min yH Fd y f ya z F f yb z z d y f yb z F f yc z z z

H Min yH Fd y f ya z F f yc z z z

Rd yc ua z B

Ejemplos 2.2.6

2@ 56MDM6E F :D ;4CA@PC @9>C5@9D9F Q >E 4CD 9@E5DCA@D 7>D:F E> 6O5@>C> :DX f Id d

U@C9@E5@C=4@O@:@9D9W

qi


Rd(b/a) = l-Min(l9d(a,b))

y las clases

¡jia(x) = l -Min(l,d(a,x))

que, como sabemos por el teorema 2.2.1, son W-estados lógicos borrosos de Rd. Las

clases \ia verifican:

— ixa(x)=0 si y sólo si Min(l,d(a,x)) = l o 1 <d(a,x);

— /xa(jt) = l si y sólo si Afin(l9d(a,x))=0 o d(a,x)=0 y que, si d separa

puntos, conlleva x =a,

— [ia(x)G(0,l) si y sólo si 0 < d(a,x) < 1, en cuyo caso [xa(x) = l-

d(a,x).

1. Con d(a,b) = \b-a\ , las propiedades anteriores se interpretan como:

— 1 < | a -JC | si y sólo si se cumple las dos condiciones siguientes: si a > x,

entonces 1 <a-jc y, si a <JC, entonces 1 <x-a; es decir, si a >JC, enton-

ces JC ^ a -1 y si a < x, entonces a +1 < x;

— |jt-a| =0 si y sólo jc=a;

— 0 < | j t - t f | < l si y sólo si, cuando x>a, entonces a<x<a + l y

cuando x < a, entonces a -1 < x < a.

De este forma el W-estado lógico

borroso fia es el subconjunto borroso

triangular [a-l,a,a,a + l] mostrado

en la Figura 15.

1

1. / \ t-1 t 111

Figura 15.- Número triangular borroso.

65


2. Con d(a,b)=\ \b-a\ con X>0 , el subconjunto borroso obtenido será:

A A

que podría ser visto como el número borroso «alrededor de a» si X > 1.

3. Si M = [a,fc] y d(x,y)= \y-x\ , de:

fxM(x)= sup Rd(x/z) = sup (l-Afi/i(l,d(x,z))) = zEM zEM

= sup Max(0,l -d(x9z)) = sup Afax(0,l - |JC-Z| ), zEM zGAf

se obtiene que

liM = [a-l9a9b9b + l].

4. Si consideramos la distancia d(a,b)= \f(a)-f(b)\ y se elige una función

monótona adecuada / , es posible conseguir diferentes conjuntos borrosos trapezoi

dales mediante las clases. En este caso:

— na(x)=0 si y sólo si \f{á) -f(x) | > 1 y si / fuese no-decreciente se

cumpliría que

• si x < <z, entonces f{x) ^f(a), por lo que ¡xa =0 si y sólo si / ( a ) -

f(x)>l,

• y si x > a, entonces f(x) >f(a), por lo que fia =0 si y sólo si f(x) -

f(a)> 1;

— iia(x) = 1 si y sólo si |/(a) -/(*) | =0 si y sólo si /(*) =/(a),

66


— 0 < na(x) < 1 si y sólo si 0 < \f(a) -/(JC) | < 1 y en ese caso, ¿ifl(jc) =

l-\f(a)-f(x)¡ •

Es interesante resaltar que si f=f+k con k una constante, se obtienen los mismos

conjuntos borrosos con/ que con/7.

Algunos ejemplos de subconjuntos borrosos obtenidos como clases de indistingui-

bilidades de este tipo son:

4.1. Con fx(x)=kx resulta

Mfl(*) = [ 0 - p 0 . * • * + -£]•

. ~ ~ , , x í k* S I J C < < 2 . . . , / , * 4.2. Con/?(jc) = 4 ,/ / f / fx ^ y siendo fc,r>0, se obtiene 1,2 1 k'x-(k-k)a six>a

que será un número triangular asimé

trico como el que aparece en la

Figura 16.

1

. / i \ 1 t-1/k a ••1/k* 1

Figura 16.- Número triangular asimétrico.

4.3. Si/3(x) = k{x-cx) SÍJC<C1

0 si cl < x ^ c2 con k > 0, para cualquier a con k(x-c2) si c2 <x

cl < a < c2 se obtiene

M a - [ c l - p c l > c 2 ' C 2 + £ ] '

un trapecio simétrico como el que aparece Figura 17.

67


5. -4DC96 E> A6CE@9>7D

Figura 17BU &7DL>A@6 E@MS57@A6B

fi yx zkH yx cH z E@ xÇcHm E@ cH x cg

kg yx cg z E@ cgÇx

A6C Q X>7@;@ADC96 F 7>E4:5DkH Fkg�m a cH a cg

R4> >E 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 57DL>?6@U

Figura 18BU &7DL>A@6 DE@MS57@A6B

|a lcHHkHFcH Fcg Fcg

Hkgn F

9D: DE@MS57@A6 A6M6 >: R4> DLD7>A> >C :D

.@=47D HsB

6. -6CE@9>7DC96 Q :D ;4CA@PCM lcH Fcg n

F E> 5@>C>fh

|M lcHHkFcH Fcg Fcg

Hkn F

Q A6C :D ;4CA@PC 9Dfi

9> C4>X6 4C 57DL>A@6 DE@MS57@A6 A6M6 >: 9> :D .@=47D HsB

|a lcHHkHFcH Fcg Fcg

HkgnF

+D 6O5>CA@PC 9> E4OA6CZ4C56E O6776E6E 57DL>?6@9D:>E M>9@DC5> A:DE>E 9> :D UW

@C9@E5@C=4@O@:@9D9 9>;@C@9D D 57DXSE 9> A@>75D ;4CA@PCF E> L4>9> =>C>7D:@?D7 >C >: E>C5@96

9>: E@=4@>C5> 5>67>MD Q R4> L>7M@5> 4CD 7>L7>E>C5DA@PC LD7D :6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E

57DL>?6@9D:>E 9> :D 9>;@C@A@PC gBgBHB

qs


Teorema 2.2.7

Sea /xE^(R) , /x es un subconjunto borroso trapezoidal si y sólo si existe una

función /:R->R, continua, lineal y estrictamente creciente, excepto para un inter

valo [/3x, /32] donde es constante, tal que:

ti(x)=»a(x)=Max(0,l-\f(a)-f(x)\)

pata cualquier punto a E [&x, (321.

Demostración.

Sea un trapecio \i = \ax,/3X, (32, a2] y consideremos la función:

f * "P i

/ ( * ) = 0 si P^x^p2

si jc^pj y p^-oo (0 si P1 = -0 0)

* - P 2 si p 2 £ * y $2*

+0° (® s* Pi = +0°) a2-p2

se verifica entonces que /xa(jt) = Afax(0,1 - | / (a ) -/(*) | ) = Afax(0,1 - |/(JC) | ) es

igual a /x, tomando cualquier a con (3l<a<32. Para demostrarlo, se deben distin

guir tres partes dependiendo de los valores que tome /xfl.

1. ixa{x) = 1 si y sólo si |/(JC) | =0, y esto ocurrirá para todo x £ [0X,/32], es

decir, donde \i toma el valor 1. Si 0l o j(32 fuese igual a -oo o a oo respecti

vamente, sucedería lo mismo, ya que la función tomaría el valor 0 para los

valores menores que j82, o mayores que (í^, dando lugar al valor 1 para \ia.

2. \ia{x) =0 si y sólo si 1 <* |/(JC) | . Supongamos en primer lugar que #!, /32

son distintos de -oo e oo, respectivamente, y sea x < j81 < <z, entonces, como

/ ( * ) = - , sera

69


13*-x 1 < - * 01-a1<01-x <* - a 2 < - j c <* a]>JC,

luego /ia(jc) =0 si x < ax, lo cual es verdad también para ¡i; si es a<(32<x,

por el mismo argumento se llega a que /¿fl(jt)=0 si a2<jc, hecho que, de

nuevo, es también cierto para \i.

Si 0l=-oo, entonces no existirá x£0l, luego sólo se dará /¿a(x) =0 para los

ot2 ^ x, lo que es igual para \i. De forma análoga se razonaría cuando /32 = °° .

3. Sea x tal que ax < x < 0{, entonces \xa vale

^ ) = i-l/Wl=i-^-= 1 J Ml - • — L = M ( s ) . j 8 1 - a 1 P i - a i P i " a i

Y para cuando $1<x<a1 se tendrá

«2"^2 «2~^2 P 2 ~ a 2

Recíprocamente, sea /xfl(x)=Max(0,l - | / ( a )- /(*) |) para cierta función/ en las

condiciones del enunciado del teorema. Se debe comprobar que \ia es un trapecio.

Supongamos, por ahora, que j81 ?¿ -00 y /32 ^ 00 :

— / es constante en [0l9j32] y fl£ [/3X,/32], luego para todo xE [j31,]32] es

M*) = i;

— tomemos x < (3l ^ a, se cumplirá que / (a) >/(*) por ser / no decreciente,

y sea

ct^ sup{x£R,x < p^.fia) -f(x) >l},

que existirá, ya que se define sobre un conjunto de números reales no vacío, por

ser / fuera de [j81,jS2] estrictamente creciente, y acotado superiormente. Es

evidente que para todo x < ax se verifica que fia(x) = 0, puesto que

70


\f(a) -f(x) | > 1. Para ax < x < f¡x será

lia(x)=Max(0,l-\f(a)-f(x)\) = l-f(a)+f(x),

que es una función lineal y creciente con ^ ( a j ) =0 y /xa(/32) = 1;

— sea ahora x> @2>a, con lo que f(a) <f(x). Se define

a2=inf{xGR,x>p2:f(x)-f(a)> 1},

que de nuevo existirá por ser el conjunto no vacío y estar acotado inferiormente.

Para todo x > a2 se verificará fia(x) =0 y para 02<x<a2 será

M*(*) = ! - / ( * ) + / ( * ) .

que es una función lineal y decreciente con valores límite ¡ia((32) = l y

M<*2)=0.

Resumiendo, ¡xa{x) =Max(0,1 - \f(a) -f{x)| ) = [a1,i81,j32.<*2].

Por último tuedan por considerar los casos en el que ^ = -00 o j32 = o o :

— si jSj = -00 y j32 ?f 00 se tendrá que para todo x < (32 es jua(Jt) = 1 y, toman

do a2 como en el punto anterior, /xa(x) = [-00 , -00 , /3 2 , a 2 ] ;

— si jS1 ?¿ -00 y |82 = 00 , de forma análoga será jnfl(Jt) = [a x , jSj, 00 , 00 ] ;

— y, por último, si /Sx = -00 y /?2 = 00 entonces / i f l s l y /xfl = [ -00 , -00 , 00 , 00 ] .

En la Figura 19 pueden verse las funciones lineales a trozos, / , que generan los

distintos tipos de subconjuntos borrosos trapezoidales mediante clases de la relación

RAy/x)=Max(0,\-\f(y)-f(x)\).

71


B

Figura 19B .4CA@6C>E :@C>D:>E D 576?6E Q E4OA6CZ4C56E O6776E6E 57DL>?6@9D:>E DE6A@D96EB

Rf yy ux z Max ym FH f yy z f yx zz

rg


rh

CAPÍTULO 3. ESTADOS LÓGICOS CLÁSICOS

3.1. Estados lógicos irreducibles

3.4. Estados lógicos minimales

Introducción

t4> :D :P=@AD ;4??Q A6C5>C=D A6M6 ADE6 :<M@5> D :D :P=@AD A:VE@AD O@XD:4D9D ND

L4>E56 >C >X@9>CA@D D:=4CDE A4>E5@6C>E E6O7> :D M@EMD :P=@AD A:VE@AD R4> DC5>E C6 E>

DL7>A@DODC 6 C6 LD7>A<DC 7>:>XDC5>EB /C >Z>ML:6 9> >::6 L4>9> E>7 :D M4:5@549 9>

;4CA@6C>E 9> @ML:@ADA@PC R4> L4>9>C 9>;@C@7E> >C :P=@AD O6776EDF M@>C57DE R4> >C :D

:P=@AD A:VE@AD E> A6CE@9>7D 4CD E6:D @ML:@ADA@PC8 >: A6C9@A@6CD: MD5>7@D:B ": 7D?6CDU

M@>C56 9> E>C5@96 A6M[C C6 9@EL6C> 9> 4C [C@A6 M>ADC@EM6 LD7D 9D7 @C;67MDA@PC

A6C9@A@6CD9DB '4AN6E >Z>ML:6E 9> 7D?6CDM@>C56 C6 M6CP56C6 L6C>C >C >X@9>CA@D >E5>

N>AN6 lgInB $E<F 5DC56 :D 7>L7>E>C5DA@PC 9>: A6C6A@M@>C56 A6C9@A@6CD96 A6M6 :DE 7>=:DE

9> @C;>7>CA@D DE6A@D9DE 9>O>C E>7 DML:@D9DEB ": 6OZ>56 9> >E5> -DL<54:6 >E >E549@D7 :DE

7>:DA@6C>E A:VE@ADE >C =>C>7D:F ;4C9DM>C5D:M>C5> >C :6 R4> A6CA@>7C> D :D 7>L7>E>C5DU

A@PC 9>: A6C6A@M@>C56 A6C9@A@6CD96F Z4C56 A6C :D 7>=:D 9>: modus ponens QF L67 5DC56F

9> :6E >E5D96E :P=@A6E 9> :D 7>:DA@PCB -6C >::6 E> L>7E@=4>C 96E L6E@O:>E DL:@ADA@6C>E8

L67 4CD LD75>F >E549@D7 :DE L6E@O@:@9D9>E 9> 57DE:D9D7 :6E A6CA>L56E DR4< 9>;@C@96E D:

M4C96 9> :D :P=@AD ;4??Q QF >C A6CA7>56F DL:@AD7:6E D :6E >E5D96E :P=@A6E O6776E6E QF

L67 657DF DO7@7 C4>XDE L6E@O@:@9D9>E D 9>ED776::6E L6E5>7@67>E >C :D A6CE574AA@PC 9>

E@E5>MDE :P=@A6E A6C 7>:DA@6C>E C6 M6CP56CDEB

rJ

3.1. Estados lógicos irreducibles

"C >: L7>E>C5> DLD75D96 E> A6CE@9>7DC E@>ML7> >E574A547DE 7>:DA@6CD:>E A:VE@ADE

9>: 5@L6 B ": 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PC LD7D L7>P79>C>E y5>67>MD HBHBrz L>7M@5>yX F z

6O5>C>7F L67 4CD LD75>F 4C L7>679>C DE6A@D96 D 4CD A:DE> 9> E4OA6CZ4C56E 9> QF L67X

657DF :D A:DE> 9> E4OA6CZ4C56E 9> ^:6E >E5D96E :P=@A6E ^ R4> E6C A>77D96EX L yX F z

ODZ6 >: modus ponens LD7D 4C A@>756 L7>679>CB "E L6E@O:> R4> :D 7>:DA@PC C6 E>D

57DCE@5@XDF 6 C@ E@R4@>7D 7>;:>K@XDF L>76 E@>ML7> E> L697V AD:A4:D7 E4 A@>77> 7>;:>K@X6 r

6 E4 A@>77> 57DCE@5@X6 B "E ;VA@: A6ML76OD7 R4> >: A@>77> 7>;:>K@X6 9> 4CD 7>:DA@PCt

5@>C> :6E M@EM6E >E5D96E :P=@A6E R4> SE5DB "C ADMO@6 >E56 C6 >E A@>756 A6C >: A@>77>

57DCE@5@X6F QD R4> L67 >Z>ML:6 :DE A:DE>E

E6C E@>ML7> >E5D96E :P=@A6E >C 4CD 7>:DA@PC 57DCE@5@XD QF >C ADMO@6F C6 5@>C>C L67 R4S

la F z }b X 8a b~

E>7:6 >C 4CD 7>:DA@PC C6 57DCE@5@XDB #D7D 4C A6C9@A@6CD: MD5>7@D: >: [C@A6 >E5D96V

:P=@A6 L76L@6 >E >: E4OA6CZ4C56 F :6 R4> E> X>7@;@AD 5DMO@SC LD7D A4D:R4@>7 7>:DA@PCV

A4Q6 A@>77> 7>;:>K@X6 Q 57DCE@5@X6 E>D 4C A6C9@A@6CD: MD5>7@D:B

Teorema 3.1.1

+D A6C9@A@PC C>A>ED7@D Q E4;@A@>C5> LD7D R4> >: A@>77> 7>;:>K@X6 Q 57DCE@5@X6 9> 4CD

7>:DA@PC E>D >: A6C9@A@6CD: MD5>7@D: 9> A@>756 E4OA6CZ4C56 L76L@6 >E R4> >:V X

A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E L76L@6E E> 7>94?AD D F >E 9>A@7 R4> E> X>7@;@R4> R4>V

BL yX F z }V~

rq

Estados lógicos irreducibles

Demostración.

1. +D A6C9@A@PC >E C>A>ED7@DB "C >;>A568

#67 N@LP5>E@E E> A4ML:> R4> Q L67 A6CE@=4@>C5> B &6MDC96 4Ctr V V L yX F z

>E5D96 :P=@A6 L76L@6 F LD7D 5696 F >K@E5@7V 4C F L67 E>7V L yX F z a V b X V V

L76L@6 QF L67 5DC56F F QD R4> >E 4C >E5D96 :P=@A6B 2> X>7@;@AD7V R4>a u b V la F z

QF A6M6 >E 4C >E5D96 :P=@A6 9>: A6C9@A@6CD: MD5>7@D:F EP:6 L697V E>7la F tr z la F t

r z

@=4D: D 6 D F L>76 C6 L4>9> E>7 @=4D: D F QD R4> E@ ;4>E> DE<F >C56CA>EX V X b la F tr z

QF L67 5DC56F >K@E5@7<DC 5D: R4> A6C F :6 R4>aH F F an X a aH an b a V

A6C94A@7<D D R4> F 9DC96 :4=D7 D 4CD A6C57D9@AA@PCB +4>=6 F :6 R4>b V la F tr z V

@ML:@AD R4> BV V

#D7D X>7 R4> F E4L6C=DM6E R4> >K@E5> Q E>D W A6M6V V c V V a V a F c V

5>C97>M6E R4> QF L67 :D @=4D:9D9 A6C >: A@>77> 57DCE@5@X6F E>7V W L67 A6CE@Ua V c a tr c

=4@>C5>F >K@E5@7VC 5D: R4> A6C F :6 R4> @ML:@AD7<DaH F Fan X a aH an c a V

R4> >C A6C57D 9> :6 E4L4>E56B $E< Bc V V V

2. +D A6C9@A@PC >E E4;@A@>C5>B "C >;>A568

24L6C=DM6E R4> Q E>D F E@ F >C56CA>E F L67 E>7L yX F z }V ~ a tr b a V b V V

>E5D96 :P=@A6 Q E@F L67 >: A6C57D7@6F >X@9>C5>M>C5> W L67 5DC56 >Ca V ya Fb z X V{X

DMO6E ADE6E B $E<F F 7>:DA@PC R4> E> A4ML:> 9> ;67MD @CX>7ED LD7D >:a V btr V

A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E

QF L67 >::6F :6E >E5D96E :P=@A6E L76L@6E 9>: A@>77> 7>;:>K@X6 Q 57DCE@5@X6 9> E>7VC B

}V ~ L yX F V z L yX Ftr z L yX F z }V ~ F

V

-6M6 >E 4C L7>679>C E>7V @=4D: D Btr

tr

V LyXF trz

V V

Corolario 3.1.2

rr


+D A6C9@A@PC C>A>ED7@D Q E4;@A@>C5> LD7D R4> 4C L7>679>C A:VE@A6 E>D >: A6C9@A@6CD:

MD5>7@D: 9> A@>756 E4OA6CZ4C56 L76L@6 >E R4> >: A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E L76UV

L@6E E> 7>94?AD D BV

Ejemplos 3.1.3

1. 2>D 4C V:=>O7D 9> b66:> L76ODO@:@?D9D E6O7> :D R4> E> 9>;@C> :D E@=4@>C5>yX Fp z

7>:DA@PC8

>E A:D7DM>C5> 7>;:>K@XDF L>76 C6 >E 57DCE@5@XDW LD7D A6ML76OD7:6 ODE5D 56MD7

a pb E@ Q EP:6 E@ p ya z m 6 p ya z�m Q p yb ua z�m B

p

A6C F Q Ba Fb Fc X p yb ua z�m p yc ub z�m p yc ua z m

": A6CZ4C56 >E 4C >E5D96 :P=@A6 9> F QD R4>F E@ QX }a X 8p ya z�m~ p a X

F >C56CA>E QF L67 5DC56F Q B E>7V 4C >E5D96a pb p yb ua z�m p yb z�m b X X

:P=@A6 L76L@6 E@ >K@E5>C >:>M>C56E >C >: V:=>O7D 9> b66:> A6C L76ODO@:@9D9 C4:DF

X>7@;@AVC96E>F D9>MVE >C >E> ADE6F R4> >E >: [C@A6 >E5D96 :P=@A6 L76L@6 9>X

B #D7D A6ML76OD7:6F E>D Q F E@ F >C56CA>EyX F p z V L yX F p z a V p ya z�m a X

Q E@ E> A4ML:@7V R4> LD7D 5696 F :4>=6 B $E<F LD7D 5696p ya z m a px x X V X

F 6 6 F E4L6C=DM6E Q 56M>M6E Q WV L yX F p z V X V X V X a X V b V

E@ E> 9@>E> F A6M6 E> 5>C97V R4> L67 E>7 4C >E5D96 :P=@A6EFb pa b V a V V

::>=DC96 D 4CD A6C57D9@AA@PCF :4>=6 9D96 F LD7D 5696 F 9>O> E>7a X V b V

F L>76 >E56 C6 >E L6E@O:>F QD R4> QF L67 5DC56F Qp ya b z m b pa b a b V

Bp ya ya b z z p ya ab z p ya z�m

2> ND L76OD96 R4> QF L67 >: 5>67>MD DC5>7@67F >: A@>77> 7>;:>K@X6 QL yX F p z }X ~

57DCE@5@X6 9> :D 7>:DA@PC >E >: A6C9@A@6CD: MD5>7@D: Bp X

2. !D9D 4CD ;4CA@PC C6 C4:D E6O7> 4C A6CZ4C56 F E> 9>;@C> :D 7>:DA@PC|8X lm FHn X

78


"E ;VA@: A6ML76OD7 R4> >E 4C L7>679>CF A4ML:@SC96E>F D9>MVEF R4>

a |b E@ Q EP:6 E@ |ya z m 6 |ya z�m Q |yb z�m B

| L yX F |z

QF >C A6CE>A4>CA@DF >E >: A6C9@A@6CD: MD5>7@D: B "C >;>A56F X>DM6E}X ~ | X

R4> B $C5>E R4> CD9D A6CX@>C> E>TD:D7 R4> >E 4C E4OA6CZ4C56X L yX F |z X

L76L@6 9> E@F L67 4CD LD75>F >K@E5>C >:>M>C56E A6C QF L67 657DFX a X |ya z m |

C6 >E @9SC5@ADM>C5> C4:DB -6ML76OD7 R4> >E 4C >E5D96 :P=@A6 >E E>CA@::6 L4>E56X

R4> E@ Q F >C56CA>E Q Ba X a |b |yb z�m b X

#D7D 9>M6E57D7 R4> >E >: [C@A6 >E5D96 :P=@A6 L76L@6F 56M>M6E 4CX V

Q F E> A4ML:@7V R4> 6 QF A6C >::6F LD7D 5696 E>7<DL yX F |z a V |ya z m b X

A6C :6 R4> W 6 QF L67 5DC56F B #67 657D LD75>F E@ >K@E5@>Ua |b V X |ya z�m V X

7D @ML:@AD7<D R4> QF LD7D 5696 F E> 5>C97<D R4>a X V |ya z�m b V X a |b

Q F A6C :6 R4>F 45@:@?DC96 >E5D [:5@MD 7>:DA@PC Q A6C F A6C::>XD7<D R4>b |a b V

F >C A6C57D 9> :6 E4L4>E56B $E<F B #67 5696 >::6a V V X

": A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6EF F 9> 4C L7>679>C >E >: MDQ67 A6CU

| X B

L yX F z

Z4C56 LD7D >: A4D: E> X>7@;@AD >: 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PCF

V LyXF zV B

2> >E549@D D A6C5@C4DA@PC E@ >E L6E@O:> >:@M@CD7 D:=4C6 9> :6E >E5D96E :P=@A6EF

X>7@;@ADC96F >: E4OA6CZ4C56 9> >::6E 7>E5DC5>F >: 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PCB

Definición 3.1.4

!>C6M@CD7>M6E D: E4OA6CZ4C56 9>: A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E ;67MD96 L67 :6E

R4> X>7@;@R4>C8W L yX F z

rI


V L yX F z }W~V

V L yX F zV B

": E@=4@>C5> 7>E4:5D96 M4>E57D 4CD AD7DA5>7<E5@AD 9> :6E >:>M>C56E 9> B

Teorema 3.1.5

2> A4ML:> R4> E@ Q EP:6 E@ >K@E5> 4C E4OA6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E 5D: R4>W I

Vi IVi W B

Demostración. 24L6C=DM6E R4> F DO7>X@DC96 A6M6 F E> 5>C97V R4>8W L yX F z L

:6 R4> E4A>9>7V E@ Q EP:6 E@ F A6C :6 R4> ODE5D 56MD7 B

V L }W~V

V LV y

V L }W~V z W

V L }W~V W I L }W~

": 7>A<L76A6 >E E>CA@::6 L4>E56 R4> E@ >K@E5> A6C >C56CA>EI LVi I

Vi W

V LV y

V L y I W zV z y

Vi IViz W y

V L y I W zV z y

Vi IViz

V L }W~V B

"E >X@9>C5> R4> E@ LD7D 96E >E5D96E :P=@A6E E> X>7@;@AD F >C56CA>EV FW V W W

Q E>7<D 4C >E5D96 :P=@A6 @77>:>XDC5> L67 :6 R4> D: 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PC E>W

7>;@>7>W L>76F A6M6 E> ND X@E56 >C >: 5>67>MD HBgBHBHF >E56 C4CAD 6A477> A6C BV W

$CD:@A>M6E A4VC96 6A477> R4> LD7D E> 9SVH F Vn F W L yX F z

"C L7@M>7 :4=D7 E> 9>O>C A6CE@9>7D7 :6E E@=4@>C5>E 7>E4:5D96EB

VH Vn W B

sm


Teorema 3.1.6

2@ A6C Q F >C56CA>EVH F FVn FW L yX F z VHF F Vn W W VH Vg

F F Vn W

B

Demostración. 2>D Q F >C56CA>E Q L67 5DC56 Fya Fb z VgF F Vn

a W a VH a VHb

:4>=6 B 2@ >E >X@9>C5> R4> LD7D 5696 F DE<a W b a W a WHb b X VH

F F Vn

BW

Teorema 3.1.7

2>DC F E@ E> X>7@;@AD R4> >C56CA>E E> A4MUVH F FVn FW L yX F z VHF F Vn W

L:> R4>

W VH Vn B

Demostración. &6M>M6E Q F E> 5>C97V R4> LD7D 5696 C6a W an

i HVi b W

>E L>76 E@ F :6 R4> >E @ML6E@O:>Ba W b a VHb F F a Vn

b

Teorema 3.1.8

2> X>7@;@AD R4> BVHF F Vn y

n

i HVi z

Demostración. 2@ C6 E> 9D >C56CA>E >E R4> Q F L67 :6 R4>a n

i HVib a

n

i HVi b

n

i HVi

>K@E5@7V 4C 5D: R4> Q F :6 R4> 9>M4>E57D R4>i a Vi b Vi

9>94A@SC96E> >: >C4CA@D96 9>: 5>67>MD E@C MVE R4> 56MD7 A6ML:>M>C5D7@6EB

y n

i HVizc y VH

zc F F y Vnzc F

Teorema 3.1.9

sH


2> X>7@;@AD R4> BVHF F Vn

n

i HVi

Demostración. 2>D F E@ F >C56CA>E 5DMO@SC Qya Fb z VHF F Vn

an

i HVi b

n

i HVi

L67 A6CE@=4@>C5> B 2@ >E >X@9>C5> R4> 5DMO@SC Ba n

i HVib a

n

i HVi a n

i HVib

": 5>67>MD hBHBq @C9@AD R4> E@ F LD7D A@>756E >E5D96E :P=@A6EFVHF F Vn W

L69>M6E A6CE@9>7D7 R4> :D @C5>7E>AA@PC 9> A6C AD9D >E 9@E5@C5D 9>: XDA<6F L4>E56W ViR4> :D L>75>C>CA@D D 9> C6 E> X>7V D;>A5D9DB #67 657D LD75>F :6E 5>67>MDE hBHBs QW

hBHBI @C9@ADC R4> 5DC56 :D 4C@PC A6M6 :D @C5>7E>AA@PC 9> >E5D96E :P=@A6E L>75>C>A>C D

F :6 R4> LD7D 4C >E5D96 :P=@A6 A4D:R4@>7D LD7>A> @C9@AD7 R4> 96E E@54DA@6C>E E6C

L6E@O:>EB $ :D X@E5D 9> >E56E 7>E4:5D96E E> A6CE@9>7D :D E@=4@>C5> 9>;@C@A@PCF

Definición 3.1.10

/C >E5D96 :P=@A6 E> 9@7V R4> >E 7>94A@O:> E@ Q EP:6 E@ >K@EUW L yX F z

5>C 5D:>E R4> F Q B 2> 9>C65D7V M>9@DC5>VH FVg L yX F z W VH W Vg W VH Vg LRD: A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E 7>94A@O:>EB

Ejemplo 3.1.11

2>D 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 9>;@C@96 E6O7> 4C 4C@X>7E6 Q A6CE@9SU|8X lm FHn X

7>E> :D 7>:DA@PC

2>D 4C >E5D96 :P=@A6 9> F L4>9>C 9D7E> 96E L6E@O@:@9D9>EF LD7D AD9D >:>M>CU

a b E@ Q EP:6 E@ Min y|a F|b z B

V

56 9> 8a V

82


^ E@ >E 5D: R4> F >C56CA>E A6C5>C97V D 5696E :6E >:>M>C56Ea |a V b X

5D:>E R4> F E>D|b

}l FHn~ }b X 8|b ~

>: A6CZ4C56 9> 5696E >::6EB $: E>7 LD7D 5696 E>Min y|a F|b z b }l FHn~ F

9D7V QF L67 5DC56F Wa b }l FHn~ V

^E@F L67 >: A6C57D7@6F F >E 5D: R4> >C56CA>E C6 >K@E5@7V 5D: R4>a |aÇ b X a b

Q >E5D7V eD@E:D96fBa

-6C 5696 :6 9@AN6F ODE5D 56MD7 A6C X>7@;@ADC96 F LD7DV }a~ }l FHn~ a |aÇ

R4> Q E>DC >E5D96E :P=@A6E 9> F A4ML:@>C96V F WH }a~ Wg } l FH n~ V

!> >E5D ;67MD E>7V 7>94A@O:> QF >E @CM>9@D56 L76OD7F R4> >E @77>94UWH Wg B V WH

A@O:>B "C A4DC56 D 5DMO@SC E>7V @77>94A@O:> E@C MVE R4> >K@=@7 D:=4CD A6C9@A@PCWg

9> A6C5@C4@9D9 D B|

2> X>7@;@ADC :6E E@=4@>C5>E 5>67>MDEB

Teorema 3.1.12

2@ A6C F >C56CA>E BW LR W VH Vg VH Vg W

Demostración. bDE5D A6C DL:@AD7 >: 5>67>MD hBHBsB

": 7>A<L76A6 9>: 5>67>MD DC5>7@67 5DMO@SC E> X>7@;@AD DTD9@>C96 4CD A6C9@A@PCB

Teorema 3.1.13

2@ A6C Q X>7@;@ADC96 R4> Q >C56CUVH FVg FW L yX F z VH Vg W W VH W Vg F

A>E >E 7>94A@O:> A6C BW W VH Vg

Demostración. #67 >: 5>67>MD hBHBr E> A4ML:> R4> B 24L6C=DM6E R4>W VH VgQ E>D 5D: R4> F R4> >K@E5@7V QD R4> E@C6W VH Vg a W VH Vg a VH Vg W

sh


F :6 A4D: >E A6C57D9@A567@6 A6C :D N@LP5>E@E 9>: 5>67>MDB -6CE@9>7>M6E R4>VH Vg VH a VHQ ^>: ADE6 A6C57D7@6 >E DCV:6=6^F E@ >K@E5> Q ::>=D7<DM6E D R4>a Vg b VH b W

C6 L>76 Q :6 R4> >E DOE4796F L67 5DC56 C6 9>O> >K@E5@7 F :6 A4D:a Wb a VHb a Vg

b b

@ML:@AD R4> B &6M>M6E Q F A6C :6 R4> F E@ >K@E5> 4C >:>M>C56VH W c W c VH c Vg d X

A6C Q F >C56CA>E Q Q F :6 R4> A6C57D9@A> :D N@LP5>Ud Vg d W yc Fd z W c VHd c VH

d

E@E 9>: 5>67>MDW E@ C6 >K@E5> 4C >:>M>C56 >C :DE A6C9@A@6C>E >K@=@9DE >E R4>d Vg W

Q A6M6 L67 N@LP5>E@EF E> 9D7<D :6 R4> A6C57D9@A> :DVH W VH Vg W VH VgE4L6E@A@PC 9> R4> BW VH Vg

Corolario 3.1.14

>E 7>94A@O:> A6C E@ Q EP:6 E@ E> A4ML:> R4> A6CW L W VH Vg VH Vg W

Q BW VH W Vg

": A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E @77>94A@O:>EF F =>C>7D >: M@EM6 L7>679>CLIR LcRR4> >: A6CZ4C56 565D:F F 9> >E5D96E :P=@A6EBL

Teorema 3.1.15

2> A4ML:> :D E@=4@>C5> @=4D:9D98

V LV

W LIRW B

Demostración. "E >X@9>C5> R4> E> X>7@;@AD

2@ C6 E> 9@>E> :D 9>E@=4D:9D9 A6C57D7@DF A6C::>XD7<D :D >K@E5>CA@D 9> 4C LD7 A6C

V LV

W LIRW B

ya Fb z

F LD7D 5696 >E5D96 :P=@A6 @77>94A@O:> F L>76 >K@E5@7<D D: M>C6E 4C >E5D96a Wb W V

7>94A@O:> 5D: R4> C6 E>7<D B $: E>7 7>94A@O:>F >K@E5@7VC F 9@E5@C56E 9> Fa Vb V WH FWg V

5D:>E R4> B +6E >E5D96E :P=@A6E A6C F L4>9>C E>7 @77>94A@O:>E 6V WH Wg Wi i HFg

si


C6F >C 5696 ADE6F E@>ML7> L69>M6E 9>EA6ML6C>7 A6M6 4C@PC 9> @77>94A@O:>E 9> :DV

;67MD

A6C F F @77>94A@O:>EB $N67DF L67 >: 5>67>MD hBHBs 5>C97>M6E R4>

V WH Wn F

Wi i HF Fn

!> >E5D ;67MDF >E @ML6E@O:> R4> >K@E5D 4C LD7 A6C LD7D 5696 >E5D96

WH Wn V B

ya Fb z a Wb

:P=@A6 @77>94A@O:> Q R4> >K@E5D 7>94A@O:> 5D: R4> C6 E>D BW V a Vb

Ejemplo 3.1.16

+D 7>:DA@PC 9>;@C@9D >C >: >Z>ML:6 hBHBHH C6 >E 7>;:>K@XDF >C =>C>7D:F L>76 E@ >E

57DCE@5@XDB #69>M6E 56MD7 E4 A@>77> 7>;:>K@X6 Q 6O5>C>7 4C L7>679>CB &6MDC96r

A6M6 4C@X>7E6 F A6M6 E4OA6CZ4C56 O6776E6 :D @9>C5@9D9 Q 4C D7O@57DUX lm FHn |

7@6 >C57> A>76 Q 4C6F E> 5>C97V R4> :6E >E5D96E :P=@A6E @77>94A@O:>E 9> E6C8 6 :6E

E@C=:>56C>E LD7D AD9D 5D: R4> W 6 >: A6CZ4C56 B #67Vx }x~ x lm FHn |xÇ l FHn

5DC56Fr y

x }lm F z~}x~ z }l FHn~ B

`>M6E X@E56 R4> E@ >E 7>94A@O:> >E 4C >E5D96 :P=@A6 R4> L69>M6E >:@M@CD7 E@CW

R4> >: 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PC ;D::> L67 >::6B 1>DM6E 6576E ADE6E R4> 5DMO@SC

L4>9>C DLD7>A>7B

sJ


Teorema 3.1.17

2@ Q A6C F >C56CA>E BVH FVg FW L yX F z VH Vg W W VH W VH Vg

Demostración. 1>DM6E R4> B 2@ >K@E5@>E> A6C F 56MDC96W Vg a W VH a VgQ ::>=D7<DM6E D R4> Q B #67 5DC56F C6 9>O>b VH b W ya Fb z W ya Fb z VH Vg

>K@E5@7 F >E56 @ML:@AD R4> QF A6M6 F 5>C97>M6E W E@ ;4>E>a W Vg W VH W VH Vg W

9@E5@C56 D ODE5D A6C 56MD7 Q A6C F LD7D 5>C>7F 9> C4>X6FVH Vg a W b VH Vg b W

R4> F Q F >C A6C57D 9> :D N@LP5>E@E 9>: 5>67>MDBa VHb a Vg

b ya Fb z W

Ejemplo 3.1.18

"C >: >Z>ML:6 HBHBI 9> :D LV=@CD hHF 9>;@C@M6E :D 7>:DA@PC

E@ Q EP:6 E@x | y Max yH |yx z F|yy z z B

&6M>M6EF D: @=4D: R4> D::<F Q F L>76 A6CE@9>7DC96 DN67DX lm FHn | Id � HgB

1>DM6E A6M6 E6C :6E >E5D96E :P=@A6E 9> >E5D 7>:DA@PCB 2>D 4C6 9> >::6E C6V

XDA<6F Q B "E >X@9>C5> R4>8 LD7D 5696 F L4>E56 R4>x V x y y Max yH x Fy z

9> >E5D ;67MD E@>ML7> 2@ >K@E5> A6C F E> 5>C97<D R4>y F l FH n V B x V x H H x

QF >C56CA>EF LD7D 5696 F A6C :6 R4> B +6E >:>M>C56Ex y y lm FHn V lm FHn y l FH n

C4CAD X>7@;@AD7VC R4> F QD R4> QF L67 5DC56FH y HgÇ y � H

g� H H y B

"C 7>E4M>CF :6E >E5D96E :P=@A6E L76L@6E 9> E6C 9> :D ;67MD

&6MDC96 F Q A6C Q

V l FH n W A6C W yH F z B

W l FH n VH l FH n }x ~ Vg l FH n }y ~ x Fy yH F z

9@E5@C56EF 5>C97>M6E 57>E >E5D96E :P=@A6E @77>94A@O:>EF QD R4> C@ C@ E6C}x ~ }y ~

>E5D96E :P=@A6EF X>7@;@ADC96

W VH Vg B

Teorema 3.1.19

s )M@5@M6E >: E4O<C9@A> L67 E>7 :D ;4CA@PC @9>C5@9D9B

sq


2>D Q F >C56CA>E >K@E5> 5D: R4>W LIR VH Vn W J I }HF Fn~

Wj JVj B

Demostración. "E >X@9>C5> R4> E> A4ML:> R4>

L4>E56 R4> L67 >: 5>67>MD hBHBsB -6M6 E> L4>9> E4L6C>7 R4> LD7D

i IyW Vi z W y

i IVi z W F

Wi IVi W Vi

5696 =7DA@DE D: 5>67>MD hBHBqF 5>C97>M6E R4> 5>C>7 R4> >K@E5> 9@E5@C56 9>:i I J I

XDA<6 ^ODE5D A6C @7 >:@M@CDC96 :6E A6C ^ 5D: R4> Qi I Vi W Wi JyW Vi z W

F QD R4> E@C6 E>7<D 7>94A@O:>F :6 R4> @ML:@AD R4> B1>DUi I J

yW Vi z W W Wi JVi

M6E R4> E> 9D :D @=4D:9D9B 2@ C6 ;4>E> DE<F A6M6

i I JyVi W z W

j JVj F

L697<DM6E 56MD7F L67 4CD LD75>F Q A6C :6 R4>a W ai I J

yVi W z yi I J

Vi z W

W QF L67 657DF 4C A6C F A6C :6 R4> E> 5>C97<D R4> C6 Qai I J

Vi bj JVj b W a W b a Vi

b

LD7D 5696 >C A6C57D 9> :D N@LP5>E@E 9>: 5>67>MDB $E<F Bi I Wj JVj

2@ 9>C65DM6E L67 D: A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E LD7D :6E A4D:>E >K@E5> 4Cn W

C[M>76 ;@C@56 9> >E5D96E :P=@A6E 5D: R4>VH F FVn

>: E@=4@>C5> 5>67>MD AD7DA5>7@?D D :6E >:>M>C56E 9> B

VH Vn W F

n

Teorema 3.1.20

sr


/C >E5D96 :P=@A6 L>75>C>A> D E@ Q EP:6 E@ >K@E5> 4C A6CZ4C56 ;@C@56 9> >E5D96EW n

:P=@A6E 5D: R4> E> 9D 4CD 9> :DE 96E A6C9@A@6C>E E@=4@>C5>E}Vi~i I

1. F 6Wi IVi

2. BWi IVi

Demostración. 2@ >K@E5@7V 4C A6CZ4C56 ;@C@56 9> >E5D96E :P=@A6E 5D: R4>W n }Vi~i I

F L49@SC96E> E4L6C>7 R4> LD7D 5696 B 2DO>M6E R4>VH Vn W Vi W i I

L67 >: 5>67>MD hBHBrF E@ LD7D 5696 F >C56CA>E >Ei IyVi W z W Vi W W i W

7>94A@O:> A6C Q E6C >E5D96E :P=@A6EF 9VC96E>yVH W z yi I H

yVi W z z W Vi W

:D A6C9@A@PC 1. 2@ L67 >: A6C57D7@6 >K@E5> 4C 5D: R4> F 56MDC96 A6M6i I Vi W W J

>: A6CZ4C56 9> <C9@A>E MVE L>R4>T6 5D: R4> Q F L67 >:i IVi W W

i I JVi W W

5>67>MD hBHBHI BWi JVi

": E@=4@>C5> =7V;@A6 7>E4M> :6E 7>E4:5D96E 6O5>C@96EB

L yX F z

n LR }W 8Wi HF Fn

Vi~

LI }W 8Wi HF Fn

Vi~

ss

3.2. Estados lógicos minimales

+D @C5>7E>AA@PC 9> 96E >E5D96E :P=@A6E E@>ML7> >E 4C >E5D96 :P=@A6F D4CR4> L4>9>

E>7 XDA<6B 1>DM6E E@ >K@E5>C >E5D96E :P=@A6E R4> C6 A6C5>C=DC D 6576 E6O7> 4CD >E574AU

547D 7>:DA@6CD: A4D:R4@>7DBL yX F z

Definición 3.2.1

/C >E5D96 :P=@A6 L76L@6 E> 9@A> M@C@MD: E@ Q EP:6 E@ C6 >K@E5> 6576V L yX F z

5D: R4> BW L yX F z W V

Teorema 3.2.2

2@ >E M@C@MD: >C56CA>E >E @77>94A@O:>BV L yX F z

Demostración. 2@ ;4>E> 7>94A@O:> >C56CA>E LD7D 96E >E5D96E :P=@A6EV WH Wg

A6C Q Q L67 5DC56 BWH FWg V WH V Wg WH FWg V

Ejemplo 3.2.3

"C >: >Z>ML:6 hBHBHs 9>: DLD75D96 DC5>7@67 5>C>M6E R4>

>E 4C >E5D96 :P=@A6 C6 M@C@MD: QD R4> A6C5@>C> D: >E5D96 :P=@A6

VH l FH n }x ~

W l FH n B

2@ :D 7>:DA@PC >E E@MS57@AD E6O7> F >C56CA>E E> X>7@;@AD :D @ML:@ADA@PC A6C57D7@DBV

89

Estados lógicos minimales

Teorema 3.2.4

Si la relación =» restringida a V (^ |^) es simétrica, entonces V es irreducible si y

sólo si es minimal.

Demostración. Por el teorema anterior si V es minimal entonces es irreducible.

Supongamos ahora que V no es minimal y veamos que es reducible. Sea WE L(X,=*)

con W^V, entonces V-W es un estado lógico propio de =», ya que si aEV-W y

a=>b, entonces bEV, por ser V un estado lógico; pero, además, b£W puesto que

si b E W como b=*a, por ser simétrica =* sobre V, tendríamos a E W9 por ser W

estado lógico, lo cual es una contradicción con a SÉ W, de esta forma bEV-W y

V-Wes un estado lógico. Por consiguiente, V se descompone como V= WU

(V-W). •

Para estudiar los estados lógicos minimales, se definen los siguientes conjuntos para

cada aGX:

Vfl = {fl}U{6GX:3ft1,62,...,fcBeX, AZ>0, con a=>bl,bl=*b2,...,bn**b}

Algunas propiedades interesantes de los conjuntos Va son las siguientes:

Proposición 3.2.5

Para todo a EX, Va es un estado lógico.

Demostración. Sea bEVa y b=>c, si b=a, entonces se cumplirá que cEVa sin

más que considerar una cadena de cero elementos y si b & a, existirán bx, ..., bn E

X tales que a=*bl,bl=*b2 ,..., bn=*b, con lo que se tendrá que cEVa, al considerar

la cadena bl9... ,bn,bEX. •

Proposición 3.2.6

Si VEL(X,=>) y a E V, entonces Va 9 V.

90


Demostración. 2>D F E@ F >C56CA>E 57@X@D:M>C5> Q E@ F >K@E5@7VCb Va b a b V b a

>C56CA>E 5D:>E R4> F F A6M6 Q >E 4CbH F Fbn X a bH bH bg F F bn b a V V

>E5D96 :P=@A6F E> A4ML:@7V R4> BbH F Fbn Fb V

Corolario 3.2.7

2@ F >C56CA>E Ba b Vb Va

Demostración. 2@ F >C56CA>E F :4>=6 Ba b b Va Vb Va

Corolario 3.2.8

2@ F >C56CA>E Ba b Q b a Va Vb

": 7>A<L76A6 9> >E5> [:5@M6 A676:D7@6 C6 >E A@>756F QD R4> 56MDC96 QX }a Fb Fc~

E> X>7@;@AD R4> Q E@C >MOD7=6 C6 >E}yaFcz F ycFaz F ybFcz F ycFbz~ Va Vb }aFbFc~

C@ Ba b b a

Teorema 3.2.9

#D7D 5696 E> X>7@;@AD R4> BV L yX F z Va VVa

Demostración. "C >;>A56F L67 :D L76L6E@A@PC hBgBqF LD7D 5696 >E F :4>=6a V Va V

Q A6M6 LD7D 5696 >E F E> X>7@;@AD7V Ba VVa V a V a Va V

a VVa

Teorema 3.2.10

>E M@C@MD: E@ Q EP:6 E@F LD7D 5696 F BV L yX F z a V Va V

Demostración. -6M6 5>C97>M6E R4> LD7D 5696 >E F :4>=6 E@Va VVa a V Va V V

>E M@C@MD:F B 2> 9>O> 9> 6OE>7XD7 R4> C4CAD >E XDA<6BVa V Va

#D7D :D A6C9@A@PC E4;@A@>C5>F E@ >K@E5> A6C F E> 5>C97V R4>W L yX F z W V W

QF L67 5DC56F >K@E5> 5D: R4> Ba W

Va Va VVa a W V Va W V

91


Corolario 3.2.11

2@ >: AD79@CD: 9> >E MDQ67 6 @=4D: R4> gF >C56CA>E >E M@C@MD: E@ Q EP:6 E@ LD7DV V

5696 LD7 9> >:>M>C56E >K@E5>C 5D:>E R4> Fa Fb V bH F Fbn X a bH bH bg F F

bn b B

Demostración. 2@ >E M@C@MD: >C56CA>E LD7D 5696 >E F :4>=6V a Fb V Va Vb V

B %>A<L76ADM>C5>F E>D F LD7D 5696 >K@E5@7VC A6Cb Va a V b V bH F Fbn X a bHF W L67 5DC56 Q F :4>=6 LD7D 5696 BbH bg F F bn b b Va V Va V Va a V

Corolario 3.2.12

2@ >E M@C@MD: >C56CA>E 6 O@>C 6 O@>C LD7D 5696 >K@E5>CV V }a~ a V bH F F bn5D:>E R4> F BX a bH bH bg F F bn a

Demostración. 24L6C=DM6E B #D7D 5696 5>C97>M6E R4> F :4>=6ÖV g b V b Va>K@E5@7VC 5D:>E R4> F W L>76 5DMO@SC 5>C97>M6E R4>bH F Fbn X a bH bH bg F F bn b

F L67 :6 R4> >K@E5@7VC 5D:>E R4> F Ba V Vb b H F Fb m X b b H b H b g F F b m a

$E< >K@E5>C F 5D:>E R4> BbH F Fbn b H F Fb m X a bH b m a

Teorema 3.2.13

>E M@C@MD: E@ Q EP:6 E@F LD7D 5696 F E> A4ML:> R4> BVa b Va a Vb

Demostración. 2@ >K@E5> 5D: R4> F >C56CA>E A6M6 Q 5>C97>Ub Va a Vb Vb Va Vb VaM6E Q C6 E>7<D M@C@MD:BVb Va Va#D7D :D A6C9@A@PC E4;@A@>C5>F E@ LD7D 5696 >E F E4L6C=DM6E R4> >K@E5D 4Cb Va a Vb>E5D96 :P=@A6 L76L@6 5D: R4> Q E>D F L67 :D L76L6E@A@PC hBgBq EDO>M6E R4>V Va b V

QF D9>MVEF L67 N@LP5>E@E F :4>=6F L67 :D M@EMD L76L6E@A@PCF QFVb Va a Vb Va VbDE<F W A6M6 F E>7V QF L67 :6 5DC56 F A6C :6 R4> FVa Vb b V Vb V Vb V Va Vb V VaQ E>7V M@C@MD:BVa

Ig


Teorema 3.2.14

(@C=[C >E5D96 :P=@A6 9>: 5@L6 R4> E>D C6 M@C@MD: >E 4C@PC 9> >E5D96E :P=@A6EVaM@C@MD:>EB

Demostración. 2>D C6 M@C@MD:F E@ A6C M@C@MD:>EF A6M6 FVa Vai IVi Vi a Va

>K@E5@7V 4C 5D: R4> F E> X>7@;@AD >C56CA>E R4> F L67 E>7 >E5D96 :P=@Ui I a Vi Va Vi ViA6 QF A6M6 F 5>C97>M6E R4> F A6C :6 R4> E>7<D M@C@MD:BVi Va Va Vi Va

Teorema 3.2.15

2@ C6 >E M@C@MD:F C6 L>75>C>A> D C@C=[C >E5D96 :P=@A6 M@C@MD:BVa a

Demostración. #67 E>7 C6 M@C@MD: >K@E5> 5D: R4> F E@ FVa V L yX F z V Va a W

A6C 4C >E5D96 :P=@A6F 5>C97>M6E QF L67 5DC56F C6 E>7V M@C@MD:BW V Va W W

Corolario 3.2.16

/C >E5D96 :P=@A6 >E 4C@PC 9> M@C@MD:>E E@ Q EP:6 E@ LD7D 5696 F >E M@C@UV a V VaMD:B

Demostración. +D A6C9@A@PC E4;@A@>C5> >E 57@X@D:B #D7D :D C>A>ED7@D A6CE@9>7>M6E R4>

E@ >K@E5> 5D: R4> C6 >E M@C@MD:F L67 >: 5>67>MD DC5>7@67 C6 L>75>C>A> Da V Va a

C@C=[C >E5D96 :P=@A6 M@C@MD:B

$ :D X@E5D 9> :6E 7>E4:5D96E 6O5>C@96EF :6E >E5D96E :P=@A6E M@C@MD:>E E> AD7DA5>7@U

?DC L67 5>C>7 5696E E4E >:>M>C56E A6C>A5D96E M>9@DC5> 4CD AD9>CD 9> LD7>E 7>:DA@6CDU

96E D 57DXSE 9> B #67 657D LD75>F :6E >E5D96E :P=@A6E F R4> E>7<DC :DE A:DE>E 9> 4CVa>:>M>C56 E> :D 7>:DA@PC ;4>E> 4C L7>679>CF E6C :6E R4> L>7M@5>C 9>5>7M@CD7 A4VC96 4C

>E5D96 :P=@A6 A4D:R4@>7D >E 4C@PC 9> >E5D96E :P=@A6E M@C@MD:>EF N>AN6 R4> E4A>9>V

5DC EP:6 A4DC96 :6E M@EM6E E6C M@C@MD:>E LD7D 5696 >:>M>C56 BVa a V

93

PARTE II. REPRESENTACIÓN DE PREDICADOS VAGOS

CAPÍTULO 4. LA EXTENSIÓN DE UN PREDICADO BORROSO

4.1. La extensión de un predicado

4.2. Obtención de la extensión de un predicado nítido mediante reglas

4.3. Obtención de la extensión de un predicado borroso mediante

reglas

4.4. Lógica asociada a un predicado borroso

Introducción

!6E >:>M>C56E E6C OVE@A6E LD7D :D A6CE574AA@PC 9> 4C E@E5>MD :P=@A6 O6776E68 :D

7>L7>E>C5DA@PC 9> :6E 5S7M@C6E :@C=v<E5@A6E XD=6E R4> 9>ODC A6CE@9>7D7E>F Q R4> 9DC

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L>7M@5DC A6CE574@7 L76L6E@A@6C>E :P=@ADE A6ML4>E5DEB "K@E5>C M4AN6E 5@L6E 9> 5S7M@C6E

:@C=v<E5@A6E XD=6E >C >: :>C=4DZ> CD547D:W L67 >Z>ML:6F NDQ D9Z>5@X6E XD=6E 5D:>E A6M6

altoF guapoF ricoF vagoF >5ABF NDQ D9X>7O@6E A6M6 cercaF lejosF muchoF pocoF bastanteF

>5ABF 6 @CA:4E6 E4E5DC5@X6EF L4>E56 R4> A6CA>L56E A6M6 silla L4>9>C E>7 O6776E6EB +DE

L76L6E@A@6C>E D5PM@ADE R4> E> A6CE@9>7DC NDO@54D:M>C5> >C :P=@AD ;4??Q E6C 9>: 5@L6

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5S7M@C6E XD=6E E> 7>L7>E>C5DC M>9@DC5> E4OA6CZ4C56E O6776E6EF =>C>7D:M>C5> XD:67D96E

E6O7> F E@>C96 M4AN6E :6E >E549@6E R4> DO679DC >: L76O:>MD 9> APM6 7>D:@?D7 :Dlm FHn

@9>C5@;@ADA@PC >C57> 4C 5S7M@C6 :@C=v<E5@A6 XD=6 Q 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 9>5>7M@CD96

lgsF iiF HmmF HmHnB +DE A6C>A5@XDE :P=@ADE E> 9>;@C>C A6M6 6L>7D967>EF 4CD7@6E 6

O@CD7@6EF E6O7> B "E5DE A6C>A5@XDE E> DL:@ADCF =>C>7D:M>C5> 9> ;67MD ;4CA@6CD:Flm FHn

D: =7D96 9> L>75>C>CA@D 9> :6E >:>M>C56E D: E4OA6CZ4C56 O6776E6F E@C 5>C>7 >C A4>C5D :D

@C5>7L7>5DA@PC R4> 9>: E4OA6CZ4C56 O6776E6 E> >E5S 7>D:@?DC96 lrF IHnB "E5D X@E@PC ND

9D96 :4=D7 D A6CE@9>7D7 9@E5@C5DE >E574A547DE D:=>O7D@ADE R4> M69>:@A>C >: A6ML675DU

M@>C56 9> :DE A6C>A5@XDE :P=@ADE DL76L@D9DE LD7D :D :P=@AD ;4??QB 2@C >MOD7=6F >E5D

:P=@AD L7>E>C5D 4C AD7VA5>7 ;4>75>M>C5> :6AD:B "C L7@M>7 :4=D7F :D 7>L7>E>C5DA@PC 9>

5S7M@C6E XD=6E M>9@DC5> E4OA6CZ4C56E O6776E6E 9>L>C9> >E57>ANDM>C5> 9>: 4C@X>7E6 9>

9@EA47E68 >E >X@9>C5> R4> alto C6 5@>C> >: M@EM6 7>;>7>C5> >C 9@E5@C5DE L6O:DA@6C>E

N4MDCDEB "C E>=4C96 :4=D7F :6E 9@E5@C56E E@E5>MDE 9> A6C>A5@XDE :P=@ADE A4ML:>C

L76L@>9D9>E 9@X>7EDEF 9DC96 :4=D7 D 9@;>7>C5>E E@E5>MDE :P=@A6E R4> L4>9>C E>7 DL76L@DU

96E 6 C6B "E56E D7=4M>C56E 9DC ;4>7?D D :D @9>D 9> R4> :DE A6C>A5@XDE :P=@ADE >C 4C

Iq

Introducción

E@E5>MD ;4??Q L4>9DC 9>L>C9>7 9> :D @C5>7L7>5DA@PC R4> :> 9>M6E D :6E E4OA6CZ4C56E

O6776E6EB !> N>AN6F :DE :>Q>E 9> :D :P=@AD A:VE@AD LD75>C 9> >E5DO:>A>7F L7>X@DM>C5>F

R4> :DE L76L6E@A@6C>E EP:6 L4>9>C 56MD7 96E XD:67>E 9> X>79D9 QF L67 A6CE@=4@>C5>F :DE

A6C>A5@XDE E> 9>;@C>C 9>EA7@O@>C96 :DE A6C9@A@6C>E ODZ6 :DE A4D:>E 4CD L76L6E@A@PC C6

D5PM@AD >E X>79D9>7DB $CV:6=DM>C5>F >C :P=@AD ;4??Q C6 E> 9>O>7<D 57D5D7 9> ;67MD

@C9>L>C9@>C5> :D @C5>7L7>5DA@PC 9> :6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E Q :D A6CE574AA@PC 9> 4C

E@E5>MD 9> 7D?6CDM@>C56 DL76K@MD96F >E 9>A@7F :D 7>L7>E>C5DA@PC 9> A6C>A5@XDE Z4C56

A6C :DE 7>=:DE 9> @C;>7>CA@DB

bDZ6 >E5D L>7EL>A5@XDF E> DO679D :D 7>L7>E>C5DA@PC 9> L7>9@AD96E O6776E6E >C >:

L7>E>C5> -DL<54:6B #67 4CD LD75>F N>M6E @C5>C5D96 >E5DO:>A>7 9> R4S 5@L6 9> @C;67MDU

A@PC 9@EL6C>M6E LD7D :D 6O5>CA@PC 9> 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 R4> 7>D:@A> :D ;4CA@PC 9>

>K5>CE@PC 9> 4C L7>9@AD96 O6776E6W 9> ;67MD DCV:6=D D APM6 4C E4OA6CZ4C56 A:VE@A6 >E

:D >K5>CE@PC 9> 4C L7>9@AD96 A:VE@A6B $ >E5> 7>EL>A56F LD7>A> A:D76 R4> 4C L7>9@AD96

O6776E6 E> AD7DA5>7@?DF Q >E56 L697<D 56MD7E> A6M6 9>;@C@A@PC 9> L7>9@AD96 O6776E6F

L67 :D >K@E5>CA@D 9> >:>M>C56E D :6E R4> C@ E> :>E L4>9> DL:@AD7 565D:M>C5> >: L7>9@AD96

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L7>9@AD96 XD=6 E6O7> A@>756 4C@X>7E6 9>5>7M@CD 57>E E4OA6CZ4C56E A:VE@A6E 9@EZ4C56EX Xm FXb FXH F

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(67MD:M>C5> E> 9>C6M@CD ODC9D 6 ;7DCZD 9> O6776E@9D9 DE6A@D9D D 4C L7>9@AD96XbO6776E6B &DMO@SC E> E4>:> E4L6C>7F 9> ;67MD >KL:<A@5D 6 @ML:<A@5DF R4> E6O7> >K@E5>Xb4C 679>C LD7A@D:F @C9@ADC96 R4> LD7D D:=4C6E >:>M>C56E >: L7>9@AD96 >E MVE DL76L@D96

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4.1. La extensión de un predicado

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La extensión de un predicado

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LD7D L7>9@AD96E A:VE@A6EB

Hmh

4.2. Obtención de la extensión de un predicado nítido mediantereglas

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Hmi

Obtención de la extensión de un predicado nítido mediante reglas

Teorema 4.2.1

B }Px PX 8 Pu Px~ lPu F z B

Demostración. 2@ F A6M6 LD7D A4D:R4@>7 F 5>C97>M6E R4>Pu Px Pu B B L Px B

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B

Definición 4.2.2

2>D :D ;4CA@PC 9>;@C@9D A6M6V 8PX }mFH~

V yPx z B yPx z infB L

B yPx z B

"E @CM>9@D56 L76OD7 R4> :D ;4CA@PC X>7@;@AD8V

i) F LD7D AD9D Q AD9D B $E<F E> A4ML:@7V R4>V yPx z B yPx z Px PX B L V yPx z H

E@ Q EP:6 E@ LD7D 5696 B "C LD75@A4:D7 E> A4ML:@7V R4>B yPx z H B L V yPu z H

B

ii) E@ Q EP:6 E@ W >E 9>A@7F ODE5D7<D A6C R4> >K@E5@>E>V yPo z m infB L

B yPo z m

D:=[C LD7D >: R4> BB L B yPo z m

Teorema 4.2.3

2> A4ML:> R4>

QV H yHz }Px PX 8Px B ~ B V H ymz }Px PX 8Px B ~ B F

E@>C96 >: A6ML:>M>C5D7@6 9> >CB B PXB

HmJ


-6C 5696 :6 9@AN6 Q 9> DA4>796 A6C :D D;@7MDA@PC 9> :D X>79D9 9> :D L76L6E@A@PC FPu

E>7V E4;@A@>C5> 9>;@C@78

o >E X>79D9o E@ Q EP:6 E@ F 6 E@ Q EP:6 E@ FPx V yPx z H Px B

LD7D 6O5>C>7 R4> E@>C96 2>P }x X 8 oPx >E X>79D9o ~ Bm F Bm }x X 8Px B ~B

A6CE@=4>F 9> >E5D ;67MDF :D >K5>CE@PC A6CZ4C5@E5D 9>: L7>9@AD96 BP

"E @C5>7>EDC5> 7>ED:5D7 R4> >K@=@7 R4> L>75>C>?AD D 5696 >E5D96 :P=@A6 FPu B L

>E >R4@XD:>C5> D DTD9@7 C4>XDE 7>=:DE D: A6CZ4C56 9>;@C@96 L67 +DE C4>XDE 7>=:DEB

DTD9@9DE E>7<DC F LD7D 5696 >:>M>C56 B -6CE@9>7DC96 :D @C5>7L7>5DA@PCPx Pu x X

:P=@AD NDO@54D: 9> :DE @ML:@ADA@6C>E si...entonces...F >E 9>A@7 :D @C5>7L7>5DA@PC MD5>7@D:F

>: DTD9@7 >E5DE 7>=:DE C6 E4L6C97<D 4CD M69@;@ADA@PC E4E5DCA@D:F D: E>7 4C >:>M>C56Pu

X>79D9>76B ": C4>X6 A6CZ4C56 9> 7>=:DE X>C97<D 7>L7>E>C5D96 L67 4C L7>679>C F QD

R4> :D 7>;:>K@X@9D9 Q :D 57DCE@5@X@9D9 9> C6 E> X>7<DC D;>A5D9DE L67 :DE C4>XDE

7>=:DEB #D7D >E5> C4>X6 L7>679>C E> X>7@;@AD7V R4> LD7D 5696 >E5D96 :P=@A6Pu B

L76L@6 F L4>E D: E>7 C6 XDA<6 F >K@E5@7V D:=[C A6C QFB L yX F z B L yX F z x Px B

A6M6 F E>7V #67 >::6F 9> C4>X6F 5>C97<DM6E >: 5>67>MD iBgBHFPx Pu Pu BB B lPu F z

B

Ejemplo 4.2.4

1. -6CE@9>7>M6E >: 4C@X>7E6 F Q >: A6CZ4C56 9> 7>=:DE8X

E@ Q EP:6 E@ A6C BPn Pm m kn k }m~

"X@9>C5>M>C5> >: A6CZ4C56 9> 7>=:DE >E 4C L7>679>CB &6MDC96 A6M6 L76565@L6

F 5>C97>M6E R4>u g

FlP2 F z }Pn P 8n gk Fk }m~~ #D7

>E 9>A@7F A6CE>=4@M6E :D >K5>CE@PC 9>: L7>9@AD96 Par. &6MDC96 9@E5@C56E L76565@L6E

A6CE>=4@7>M6E >: A6CZ4C56 9> M[:5@L:6E 9> AD9D 4C6 9> >::6EB

": A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E 9> E>7V

E@ Q EP:6 E@ >K@E5> 5D: R4> FB L y F z I B Mult} I~

Hmq


Q E@ DTD9@S7DM6E :DE 7>=:DE F >: A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E LD7D E>7<DCPn P2

9> :D ;67MD QF L67 A6CE@=4@>C5>F :D @C5>7E>AA@PC 9> 5696E >::6EB Mult} I ~ #D7

9D7<D >: A6CZ4C56 9> C[M>76E CD547D:>E LD7>EB

2. 26O7> >: A6CZ4C56 9> C[M>76E 7>D:>E A6CE@9>7>M6E >: E@=4@>C5> A6CZ4C56 9>

7>=:DE8

i) E@ >C56CA>E FPx Pkx F A6C k }m~

ii) E@ >C56CA>E FPx P Hx

E@>C96 >: A6CZ4C56 9> C[M>76E >C5>76EB +DE 7>=:DE DC5>7@67>E E6C >R4@XD:>C5>E D

:DE E@=4@>C5>EF >EA7@5DE >C :D C65DA@PC R4> N>M6E 45@:@?D968

E@ Q EP:6 E@ 6 A6C F 6 BPx Py y kx k }m~ y Hx

&6MDC96 A6M6 >:>M>C56 L76565<L@A6 >: C[M>76 HF >E ;VA@: A6ML76OD7 R4>

FlPHF z Q }m~

>E 9>A@7 :D A:DE> 9>: H >E5V ;67MD9D L67 :6E C[M>76E 7DA@6CD:>E E@C >: A>76B

Hmr

4.3. Obtención de la extensión de un predicado borroso mediantereglas

#DEDM6E D =>C>7D:@?D7 D A6C5@C4DA@PC >: M69>:6 DC5>7@67 LD7D 4C L7>9@AD96

O6776E6B "E5D7>M6E >C >: ADE6 >C >: R4> 9>EA6C6A>M6E :D ;4CA@PC 9> A6MLD5@O@:@9D9|PLD7D 4C A@>756 L7>9@AD96 B +D AD7DA5>7<E5@AD MVE 9>E5DAD9D 9> :D ;4CA@PC 9> A6MLD5@UP

O@:@9D9 >E R4> @C94A> 4C L7>679>CF R4> >E 4CD AD9>CDF >C >: A6CZ4C56 9> L76L6E@A@6U|PC>E FPX

"E5> 679>C L4>9> @C5>7L7>5D7E> 9>: M696 E@=4@>C5>8 E@ Q EP:6 E@ 5@>C> 4C

Px Py E@ Q EP:6 E@ |P yx z |P yy zB

Px Py Py

=7D96 9> X>79D9 MVE =7DC9> R4> B 2@ L49@SE>M6E DA>L5D7 R4> LD7D A@>756 >:>M>C56Px

F >E 565D:M>C5> X>79D9>76 >E >X@9>C5> R4> 9>O>7<D E>7 4C >:>M>C56 MVK@M6u Pu Pu

9>: 679>C F D: @=4D: R4> E@ >E 565D:M>C5> ;D:E6F 9>O>7<D E>7 4C >:>M>C56Po Po

M<C@M6 9> B +D 7>:DA@PC >E 4C L7>679>CF R4> @C94A> 4C 679>C >C >: A6CZ4C56

A6A@>C5> 9>;@C@96 M>9@DC5> :D 7>:DA@PC 9> >R4@XD:>CA@D8

Px Py |P yx z |P yy zB

24L6C=DM6E R4> A6C6A>M6E >: 4E6 9> 4C L7>9@AD96 =7D94D96 M>9@DC5> 4C A6CZ4C56 9>

7>=:DE =7D94D9DEF @C>KDA5DE 6 DL76K@MD9DEB 24L6C97>M6EF 9> C4>X6F R4> >: A6CZ4C56 9>

7>=:DE X@>C> 9D96 L67 4C UL7>679>C F LD7D A@>75D 5UC67MD F 57DE:DUT I 8PX{PX lm FHn T

9DC96 :DE 7>=:DE DL76K@MD9DE8

Hms

Obtención de la extensión de un predicado borroso mediante reglas

2@ F >C56CA>E F A6C =7D96 BPx Py I yPy uPx z

!>O@96 D: 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PC 9> L7>P79>C>E8

$N67DF E4L6C=DM6E R4> >K@E5> 4C L76565@L6 9>: L7>9@AD96 F >E 9>A@7 R4> >E

I yPy uPx z inff T yXFI z

I Tf yPy uPx z B

u P Pu

X>79D9>7DB *C5>7L7>5DC96 :6E >E5D96E :P=@A6E A6M6 M4C96E L6E@O:>E 9> X>79D9F 9>O>7V

A4ML:@7E> R4> LD7D 5696 >E5D96 :P=@A6 B &>C97>M6E R4>f yPu z H f I Tf yPx uPu z

QF 9> >E5D ;67MDF +D ;4CA@PC 9>;@C@9Df yPx z I yPx uPu z inff T yX F I z

f yPx zB |Pu 8PX lm FHn

A6M6

>E :D A:DE> 9> L7>679>CDA@PC 9>: >:>M>C56 B "E >X@9>C5> R4> X>7@;@ADF

|Pu yPx z I yPx uPu z inff T yX F I z

f yPx z

Pu |Pu

^ LD7D 5696 >E5D96 :P=@A6 F D9>MVE E@ Q EP:6 E@|Pu f f |Pu yPx z H f yPx z H

LD7D 5696 Wf

^ E@ Q EP:6 E@ F QF L67 5DC56F ODE5D A6C R4> E>D|Pu yPx z m inff T yX F I z

f yPx z m

LD7D D:=[C >E5D96 :P=@A6 Bf yPx z m f

+D >R4@XD:>CA@D

E@ Q EP:6 E@Px Py |Pu yPx z |Pu yPy z

9D >: A6CZ4C56 A6A@>C5> ;67MD96 L67 :DE A:DE>E8PXu

HmI


+D DL:@ADA@PC @C94A@9D F 9>;@C@9D A6M6 >E @CQ>AU

Px | HPu y|Pu yPx z z }Py PX 8 |Pu yPx z |Pu yPy z~B

|Pu 8PXu lm FHn |Pu y Px z |Pu yPx z

5@XDF L>7M@5@>C96 9>;@C@7 >: 679>C 565D:F

E@ Q EP:6 E@ FPx Py |Pu y Px z |Pu y Py z

LD7D >: A4D: >E >: >:>M>C56 MVE =7DC9> QF E@ >K@E5> D:=[C >E5D96 :P=@A6Pu | HPu yHz

A6C F >C56CA>E E>7V >: >:>M>C56 MVE L>R4>T6Bf yPo z Po | HPu ymz

+D A:DE> >E5D7V :D ;67MD9D L67 569DE :DE L76L6E@A@6C>E 9>: 5@L6 ex >E Pf R4>Px

56MDC >: M@EM6 =7D96 9> X>79D9B -4DC96 L69>M6E 9>A@7 R4> :DE L76L6E@UPx Py

A@6C>E >C :D A:DE> L7>E>C5DC 4C =7D96 M>C67 6 @=4D: 9> X>79D9 R4> :DE L76L6E@UPx

A@6C>E >C 7>EL>A56 D QF >C56CA>EF >: =7D96 D: A4D: >E X>79D9>7DPy |Pu |P yx z Px

L4>9> E>7 @9>C5@;@AD96 A6C B &>C>M6E L67 5DC56 4C 679>C @C94A@96 L67 R4>|Pu yPx z |Pu>E eE@M@:D7f D: 679>C >E5DO:>A@96 L67 B -6CE>A4>C5>M>C5>F LD7D AD9D F L69>M6E|P x X

9>;@C@78

6O5>C@>C96 :D ;4CA@PC 9> L>75>C>CA@D 9>: L7>9@AD96 =7D94D96 B

|P yx z P yx z |Pu yPx z I yPx uPu zF

P

Ejemplo 4.3.1

1. -6CE@9>7>M6E >: 4C@X>7E6 Q >: L7>9@AD96 E6O7> S:B ": L7>9@UX ym Fhn P $+&)

AD96 E4=@>7> :6E E@=4@>C5>E A7@5>7@6E 9> 4E68

^ E@ e >E altof A6C A@>756 =7D96 9> X>79D9F >C56CA>E LD7D 5696 5>CUx y x

97>M6E R4> e >E altofF A6C 4C =7D96 9> X>79D9 @=4D: 6 E4L>7@67Wy

^ E@ e >E altof A6C A@>756 =7D96 9> X>79D9 >C56CA>E LD7D 5696 >: =7D96x yÇx

9> X>79D9 e >E altof 9>L>C9>7V 9> A4VC5D E>LD7DA@PC >K@E5D >C57> > B 2@y x y y

>E M4AN6 M>C67 R4> >: =7D96 9> e >E altof 9>O>7V E>7 L>R4>T6 >C A6MLDUx y

7DA@PC A6C >: =7D96 9> e >E altofBx

"EA7@O@>C96 A6M6 7>=:DE >E56E A7@5>7@6E8

HHm


i) E@ Q F >C56CA>E F D: =7D96 HWPx x y Py

ii) E@ Q F >C56CA>E F D: =7D96 BPx x�y Py F yx Fy z lm FHn

#69>M6E DA>L5D7F D9>MVEF :6E E@=4@>C5>E >:>M>C56E 9@E5@C=4@96E8

iii) >E 4C L76565@L6Fu g

iv) >E 4C DC5@L76565@L6Bo H

+D A6C9@A@PC i) @C9@AD R4> >: L7>679>C R4> 7>L7>E>C5> D: A6CZ4C56 9> 7>=:DE 9>O>I

A6C5>C>7 >: 679>C 4E4D:8 E@ >C56CA>E B -4D:R4@>7 7>:DA@PC M6CPUx y I yy ux z H I

56CD C6 9>A7>A@>C5> >C :D E>=4C9D A6ML6C>C5> Q 7>;:>K@XDF A4ML:@7V 9@AND A6C9@U

A@PCF L4>E56 R4> E@ 5>C97>M6E B "C LD75@A4:D7 :6E L7>P79>C>Ex y H I yx ux z I yy ux z

>:>M>C5D:>E :6 A4ML:>CB #67 657D LD75>F :D A6C9@A@PC ii) E>TD:D R4> E@ E> 9D :D 9>E@U

=4D:9D9 >C56CA>E >: =7D96 9> :D 7>=:D >E ;4CA@PC 9> :6E XD:67>E 9> > Bx�y x y

-6M6 @C9@AD >: 4E6 LD7>A> :P=@A6 L>CED7 R4> D MVE E>LD7DA@PC >C57> > M>C67x y

E>7V >: =7D96 9> :D 7>=:D 9D9D L67 :D A6C9@A@PC ii)B "E5> N>AN6 E> L4>9> 7>A6=>7

56MDC96 6 O@>C :D 9@;>7>CA@D >C57> > 6 O@>C E4 A6A@>C5>B $E< L697<D E>7 L67x y F

>Z>ML:6 F 6 O@>C F A6C :D ED:X>9D9 9> >K@=@7 R4> E4FH yx Fy z x y Fg yx Fy zyx

XD:67 >E5S >C Blm FHn

+DE 96E A6C9@A@6C>E E> A4ML:>C 56MDC96 A4D:R4@>7D 9> :6E 96E L7>P79>C>E E@=4@>CU5>E8

Hz FIf yy ux z Min yH Ff yy zf yx z

z

gz FI Wf yy ux z Min yH FH y f yx z f yy z z z

96C9> :D ;4CA@PC L4>9> E>7 A4D:R4@>7 ;4CA@PC M6CP56CD C6 9>A7>Uf 8 ym Fhn lm FHn

A@>C5> LD7D :6=7D7 R4> Hz 6 gz 9>C :4=D7 D: 679>C 4E4D:B

HHH


2@ A6CE@9>7DM6E R4> 9>O> E>7 4C L76565@L6 >C56CA>E E> 9>O> X>7@;@AD7 R4>u g

F QD R4> >E 4C >E5D96 :P=@A6 LD7D :6E 96E L7>P79>C>EB &>C97>M6E >C56CUf ygz H f

A>E R4> :D A:DE> 9>: L76565@L6 E>7V8u g

F|g yx z Min yH F f yx z z f yx z

>C DMO6E ADE6EB 2@ @ML6C>M6E :D A6C9@A@PC 9> R4> E>D 4C DC5@L76565@L6 5>CUo H

97>M6E R4> 6O:@=D567@DM>C5> B $E< A4D:R4@>7 ;4CA@PC C6 9>A7>A@>C5> Qf yHz m f

X>7@;@ADC96 9D7V :4=D7 D 4CD >K5>CE@PC LD7D >: L7>9@AD96 altoBf yHz m F f ygz H

+D ;4CA@PC 9> A6MLD5@O@:@9D9 9>: L7>9@AD96 E>7V Q 9D7V :4=D7 DP |P |g f

4CD 9@X@E@PC 9>: 4C@X>7E6 A6M6 F 96C9> :6EX ym Fhn X ym FHn yH Fgz lg Fhn

57>E E4OA6CZ4C56E 9@EZ4C56E E6C >: E4OA6CZ4C56 9> DC5@L76565@L6E F :D ;7DCZD 9>XmO6776E@9D9 F Q >: E4OA6CZ4C56 9> L76565@L6E F 9>: L7>9@AD96 7>EL>A5@XDM>C5>B ":Xb XHL7>679>C E6O7> :6 9D B *ML6C@>C96 MVE A6C9@A@6C>E E6O7> >E5> L7>67UXb yH Fgz f

9>C L697>M6E AD:A4:D7 4CD >KL7>E@PC A6CA7>5D LD7D B #67 >Z>ML:6 L69>M6E|PE4L6C>7 R4> >: 7D5@6 9> A7>A@M@>C56 9> E6O7> >E A6CE5DC5>F 9> >E5> M696f Xb

2@ D9>MVE 56MDM6E A6C5@C4D 7>E4:5D7V R4>

f yx z ax bB

f

Q Ff yHz m f ygz H

Figura 21B "Z>ML:6 9> E4OA6CZ4C56 O6776E6 >K5>CE@PC 9>: L7>9@AD96 alto

HHg


lo que obligará a que f(x) =x-\ sobre Xb = ( 1 , 2 ) . El subconjunto borroso exten

sión de P = alto bajo estas condiciones adicionales se representa en la Figura 21.

2. Consideremos ahora el predicado P = «alrededor de 0.5» sobre X = [ 0 , 1 ] . Evi

dentemente 0.5 será un prototipo y podemos aceptar que 0 y 1 son ambos dos

antiprototipos, en la medida en que son los valores más alejados de 0.5. Por otra

parte, el grado de verdad de Px dependerá esencialmente de lo cerca o lejos que se

encuentre x de 0.5. Tenemos así que una distancia sería la forma «natural» de

establecer el grado de verdad de Px para cada x € X. Podemos elegir la distancia

| x -y | y, teniendo en cuenta que, a mayor distancia entre x e y, menor debe ser

el grado de la regla que relaciona Px con Py, las reglas de uso parecen ser:

i) si PJC, entonces Py, al grado 1 - |/(JC) - / (y ) | ;

ii) 0.5 es un prototipo,

iii) 0,1 son ambos antiprototipos,

w siendo / : [0, l ] - * [ 0 , 1 ] . La relación L (y/x) = 1 - |/(JC) - / (y) | es una W-indis-

tinguibilidad, que tiene a / como uno de sus estados lógicos. Al ser 0.5 un proto

tipo tendremos / (0 .5) = 1 y, por tanto,

Mojí*) =/7(*/0.5) = 1 - |/(0.5) -/(*) | =/(*).

Como debería cumplirse 0 =7^(0/0.5) =/(0) y 0=7^(1/0.5) = / ( l ) , la

función / estaría sujeta a esas condiciones. Las reglas establecidas tan sólo

hablan de distancia, por lo que aplicándolo en particular a los x e y que cumplan w w

IJC —0.51 = | y - 0 . 5 | parece razonable establecer que L (x/0.5)=L (y/0.5) , lo que conllevaría que / fuese una función simétrica respecto del eje JC =0.5.

Para este ejemplo tendremos que XQ = {0,1}, ^ = {1} , y X¿=(0,0.5)U

(0 .5 ,0) . Bastará por tanto imponer condiciones sobre el «modelo» / e n (0,0.5)

para determinar una extensión del predicado «alrededor de 0.5».

113

4.4. Lógica asociada a un predicado borroso

"C :D :P=@AD L76L6E@A@6CD: A:VE@ADF Q >C E4 >K5>CE@PC D :D :P=@AD 9> L7>9@AD96EF E>

9@EL6C> 9> 4C E@E5>MD 9> A6C>A5@XDE :P=@ADE O@>C >E5DO:>A@96B +D @C5>7L7>5DA@PC 9> :D

A6CZ4CA@PC F 9> :D 9@EZ4CA@PC F 9> :D @ML:@ADA@PC F 9> :D C>=DA@PC F 6 9> :Dx

>R4@XD:>CA@D F >E E4;@A@>C5>M>C5> A6C6A@9DW E@>C96 L6E@O:>F D9>MVEF =>C>7D7 >E5DE

A6C>A5@XDE D LD75@7 9> 4C E4OA6CZ4C56 9> >::DEF > @CA:4E6 9> 4C6 E6:6F E@ 45@:@?DM6E >:

6L>7D967 9> 2ND;;>7B

"C ADMO@6F A4DC96 E> A6CE@9>7DC L7>9@AD96E O6776E6EF C6 E> L7694A> :D M@EMD

E@54DA@PCF 9D96 R4> M4AN6E E@E5>MDE 9> A6C>A5@XDE E6C L6E@O:>EB d$!"` lIhn L76L4E6

67@=@CD:M>C5> :DE A6C>A5@XDE A6M6 :DE A6C>A5@XDE OVE@A6E (y, o, no)ByMin FMax FH j z

#>76 E> L4>9>C 45@:@?D7F A6M6 M4AN6E D4567>E NDC M6E57D96F 657DE ;4CA@6C>E LD7D

7>L7>E>C5D7 >E5DE A6C>A5@XDEF A6M6 :DE 5UC67MDEF 5UA6C67MDEF :DE ;4CA@6C>E 9> D=7>=DU

A@PCF :DE ;4CA@6C>E 9> C>=DA@PCF >5A lHIF hsnB bVE@ADM>C5>F :DE L76L@>9D9>E R4> E>

>K@=>C D >E5DE ;4CA@6C>E LD7D R4> 7>L7>E>C5>C A6C>A5@XDE E6C 9> 96E 5@L6E8

^ :D 7>E57@AA@PC D E4OA6CZ4C56E A:VE@A6E 9>O>C 9D7 :4=D7 D A6C>A5@XDE A:VE@ADE Q

^ 9>O>C X>7@;@AD7 D:=4CD 6 XD7@DE 9> :DE L76L@>9D9>E D:=>O7D@ADEU;4CA@6CD:>E 9>

:DE A6C>A5@XDEF A6M6 E6C A6CM45D5@X@9D9F DE6A@D5@X@9D9F @CX>7E@PCF >5AB

2@ >E L6E@O:> E>:>AA@6CD7 9@;>7>C5>E A6C>A5@XDEF ÉODZ6 R4S A7@5>7@6E 9>O>M6E

7>D:@?D7 5D: E>:>AA@PCÑ /CD L6E@O@:@9D9 >E 45@:@?D7 A7@5>7@6E N>47<E5@A6E DE6A@D96E D:

L76O:>MD R4> E> >E5S A6CE@9>7DC96F 5>C@>C96 >C A4>C5D :DE L76L@>9D9>E R4> X>7@;@ADC

HHi

Lógica asociada a un predicado borroso

:DE ;4CA@6C>E R4> 7>L7>E>C5DC :DE 9@E5@C5DE A6C>A5@XDEB 2@ >: L76O:>MD 7>R4@>7> R4> :D

A6CZ4CA@PC Q 9@EQ4CA@PC X>7@;@R4>C :D L76L@>9D9 9> @9>ML65>CA@D Q E> 45@:@?DC 4CD 5U

C67MD Q 4CD 5UA6C67MD LD7D 7>L7>E>C5D7 >E5DE 96E A6C>A5@XDEF 7>EL>A5@XDM>C5>F E>

9>O>C E>:>AA@6CD7 :DE ;4CA@6C>E Q B 2@ D9>MVE E> E>:>AA@6CD 4CD C>=DA@PCMin Max

;4>75> A4D:R4@>7DF :DE 57>E A6C>A5@XDE ;67MD7<DC 4CD 5>7CD 9> !> '67=DCB "C ADMO@6FN

E@ E> 9>O>C X>7@;@AD7 :D :>Q 9>: 5>7A@6 >KA:4E6 Q :D 9> C6 A6C57D9@AA@PCF C6E ::>XD7<D D

>:>=@7 :D 5UC67MD Q 5UA6C67MD 9> +4YDE@>j@A?B

"C >E5> DLD75D96 L:DC5>DM6E D:=4CDE L6E@O@:@9D9>E R4> E> 6;7>A>C LD7D 6O5>C>7 4C

E@E5>MD 9> A6C>A5@XDE M4:5@XD:4D96 DE6A@D96 D 4C L7>9@AD96F LD75@>C96 9>: M>ADC@EM6

L76L4>E56 LD7D 6O5>C>7 E4 ;4CA@PC 9> A6MLD5@O@:@9D9B -6CE@9>7>M6E 4C LD7 yX FP z

;67MD96 L67 4C 4C@X>7E6 Q 4C L7>9@AD96 F A4QD ;4CA@PC 9> A6MLD5@O@:@9D9 E>X P |P6O5@>C> D LD75@7 9> 4C L7>679>C B ": L76O:>MD DE< L:DC5>D96 DO7> M4ANDE L6E@O@:@9DUR

9>EF L67 :6 R4> E> ND 7>E57@C=@96 >: >E549@6 D: ADE6 >C >: R4> >: >E 4C L7>679>CR

>:>M>C5D:B

": E@=4@>C5> 9@D=7DMD A6CM45D5@X6 M4>E57D :D E@54DA@PC 4CD X>? 6O5>C@9D 8|P

|PPX lm FHn

|P

PX u |P

!>;@C@7 4C AV:A4:6 :P=@A6 E6O7> :DE L76L6E@A@6C>E 9>: A6CZ4C56 D 57DXSE 9> :D ;4CUPX

A@PC 9> A6MLD5@O@:@9D9 9>: L7>9@AD96 A6CE@E5> >C 9>;@C@7 4CD E>7@> 9> 6L>7DA@6C>E|P P yT FS FN F I FE z

R4> DA5[>C A6M6 >: A6CZ4C56 9> A6C>A5@XDE F 6L>7DC96 9> ;67MD ;4CUy F Fx F F z

A@6CD: E6O7> :DE L76L6E@A@6C>E C6 D5PM@ADEB $E<F LD7D :D A6CZ4CA@PC

>: XD:67 9> X>79D9 R4> E> :> D57@O4Q> >E

Px Py

115


"X@9>C5>M>C5>F L67 >: 9@D=7DMD DC5>E >KL4>E56 >E56 >E >R4@XD:>C5> D

T y|P yPx z F|P yPy z z B

96C9> B

T y|P y Px z F|P y Py z z F

Px yPx z

+D DL:@ADA@PC >E E@>ML7> @CQ>A5@XDB 2> >K@=@7VF D9>MVEF R4> E>D >L@Q>A5@XDF 9>|P;67MD R4> LD7D 5696 >K@E5D 4C 5D: R4>r lm FHn Px PX

"E5> A7@5>7@6 9> >KND4E5@X@9D9 L>7M@5> 9>;@C@7 :DE A6C>A5@XDE E6O7> Q R4> >E56

|P y Px z r B

lm FHn

E>D >R4@XD:>C5> D 9>;@C@7:DE E6O7> X u |PB

1. Los predicados como magnitudes

26O7> :6E L7>P79>C>E >:>M>C5D:>E E6C 6L>7DA@6C>E 9>;@C@9DE L67 7>E@94DUlm FHn

A@PC D LD75@7 9> :D ;67MD

E@>C96 4CD 5UC67MDB bDE5D A6C R4> :D 5UC67MD E>D A6C5@C4D L67 :D @?R4@>79D >C :D

IT yy ux z sup}z lm FHn 8 T yx Fz z y~ F

T

E>=4C9D A6ML6C>C5> LD7D R4> 5>C=D M4ANDE L76L@>9D9>E @C5>7>EDC5>EB ": E@=4@>C5>IT

5>67>MDF R4> DLD7>A> >C X>7E@6C>E :@=>7DM>C5> 9@;>7>C5>E >C lJF iHnF AD7DA5>7@?D DK@6U

MV5@ADM>C5> :6E L7>P79>C>E >:>M>C5D:>E E6O7> Blm FHn

Teorema 4.4.1

HHq


/CD 6L>7DA@PC O@CD7@D E6O7> >E 4C L7>679>C >:>M>C5D: 9> D:=4CD 5UC67MDI lm FHn

A6C5@C4D E@ Q EP:6 E@ ED5@E;DA> :DE L76L@>9D9>E E@=4@>C5>E8T

i) E@ Q EP:6 E@x y I yy ux z H F

ii) I y I yz uy z ux z I y I yz ux z uy z F

iii) >E M6CP56CD >C >: E>=4C96 D7=4M>C56FI

iv) >E A6C5@C4D L67 :D 9>7>AND >C >: E>=4C96 D7=4M>C56 QI

v) LD7D 5696 >C Fx�y�z lm FHn I yy ux z� I yz ux z B

$9>MVEF :D 5UC67MD R4> =>C>7D X>C97V 9D9D L678T I

T yx Fy z inf}z lm FHn 8 y I yz ux z~ B

": DC5>7@67 5>67>MDF D9>MVE 9> AD7DA5>7@?D7 :6E L7>P79>C>E >:>M>C5D:>E E6O7>

F L>7M@5> 7>A4L>7D7 :D 5UC67MD MVE =7DC9> LD7D :D R4> >E U57DCE@5@X6B $E<Flm FHn T I T

E@ >: L7>9@AD96 X@>C> 9D96 L67 4C A6CZ4C56 9> 7>=:DE R4> A6CE5@54Q>C 4C L7>679>CP

>:>M>C5D:F 5>C97V DE6A@D96 >: LD7 F R4> A6CE5@54Q> 4C E>M@=74L6 A6CM45D5@Uy lm FHn FTP z

X6 679>CD96F A4Q6 >:>M>C56 C>4576 >E :D 4C@9D9 Q >:>M>C56 DOE67O>C5> >: A>76B #67

5DC56F L69>M6E A6CE@9>7D7 >: L7>9@AD96 4CD MD=C@549F R4> DO7>X@D7>M6E A6M6 BP TP"E5D X@E@PC 9> :6E L7>9@AD96E =7D94D96E A6M6 MD=C@549>E L4>9> E>7 4CD 9> :DE =7DC9>E

DL675DA@6C>E 9> :D :P=@AD ;4??Q D :D :P=@AD 9> :6E L7>9@AD96EF Q >E5D7<D ;4>75>M>C5>

7>:DA@6CD96 A6C :D LD75> MVE ;74A5<;>7D 9> E4E DL:@ADA@6C>E8 :D 5>67<D 9> A6C576: O6776E6B

!@EL6C>7 9> :D MD=C@549 DE6A@D9D D: L7>9@AD96 L>7M@5> E>:>AA@6CD7 4CTP P

A6CZ4C56 9> A6C>A5@XDE E@C MVE R4> >:>=@7 4CD ;4CA@PC 9> C>=DA@PC ;4>75>B -6M6 ND

M6E57D96 &%*++$2 >C lqmnF 569DE :DE ;4CA@6C>E 9> C>=DA@PC ;4>75> E6C >R4@XD:>C5>EF D

57DXSE 9> 4C D456M67;@EM6 9> 679>CF D :D C>=DA@PC NDO@54D: B &6MDC96 >E5DN yx z H x

C>=DA@PCF L69>M6E 9>;@C@7 :DE A6C>A5@XDE M4:5@XD:4D9DE A6M6

r s TP yr Fs z

r NP yr z

r s SP yr Fs z N yT yN yr z FN ys z z z

r s ITP ys ur z

HHr


r s EP yr Fs z T y ITP yr us z F I

TP ys ur z z B

+DE A6C>A5@XDE DE< 9>;@C@96E E6C 4CD 5UC67MD F 4CD ;4CA@PC 9> C>=DA@PC ;4>75>T

F 4CD 5UA6C67MD F 4CD ;4CA@PC 9> @ML:@ADA@PC 9>;@C@9D L67 7>E@94DA@PC y4CD %UN S

@ML:@ADA@PCz F R4> A6@CA@9> A6C >: L7>679>C >:>M>C5D: D LD75@7 9>: A4D: E> AD:A4:D FIT |PQ 4CD U@C9@E5@C=4@O@:@9D9 B &69DE >E5DE ;4CA@6C>E NDC E@96 >E549@D9DE >C :D :@5>7D547DT E

E6O7> :P=@AD ;4??QF >Z>7A@>C96 >: LDL>: 9> A6C>A5@XDE DR4< D57@O4@96B

+6E 6L>7D967>E 9> @C9@E5@C=4@O@:@9D9 ;4>76C @C57694A@96E L67 w$%+ '"(,"% limnF

LD7D >: ADE6 9> :D 5UC67MD L7694A56 Q A6C >: C6MO7> 9> 7>:DA@6C>E L76ODO@:<E5@ADEW A6C

:D 5UC67MD M<C@M6 ;4>76C 45@:@?D9DE A6M6 =>C>7D:@?DA@6C>E 9> :DE 7>:DA@6C>E 9> >R4@U

XD:>CA@D A:VE@ADE >C :D 5>67<D 9> E4OA6CZ4C56E O6776E6E L67 d$!"` lIIn A6C >: C6MO7>

9> 7>:DA@6C>E 9> E>M>ZDC?DW 5DMO@SC %/2#*(* lJgn 45@:@?D :6E 6L>7D967>E 9> @C9@E5@C=4@U

O@:@9D9 LD7D :D 5UC67MD 9> +4YDE@>j@A? A6C >: C6MO7> 9> 7>:DA@6C>E 9> E@M@:@549B +6E

6L>7D967>E 9> @C9@E5@C=4@O@:@9D9 NDC E@96 >E549@D96E >C 57DODZ6E L6E5>7@67>E A6M6 lhiF

JHF qIF sJnB #67 >Z>ML:6F >C lsJn L4>9> X>7E> R4> 4C UL7>679>C E@>ML7> =>C>7D 4CDT

U@C9@E5@C=4@O@:@9D9 M>9@DC5> 4CD 9>;@C@A@PC A6M6 :D 45@:@?D9D A6C >C C4>E576T E

>Z>ML:6B !> N>AN6F >: 5>67>MD 9> AD7DA5>7@?DA@PC 9> @C9@E5@C=4@O@:@9D9>E lImn L>7M@5>

9>M6E57D7 R4> 569D U@C9@E5@C=4@O@:@9D9 5@>C> DE6A@D96 D: M>C6E 4C UL7>679>CBT T

Teorema 4.4.2

!D9D 4CD U@C9@E5@C=4@O@:@9D9 F >K@E5> 4C UL7>679>CT E 8X{X lm FHn T R 8X{X

F X>7@;@ADC96lm FHn

E yx Fy z Min yR yx uy z FR yy ux z z B

Demostración. #67 >: 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PC 9> @C9@E5@C=4@O@:@9D9>E >K@E5@7V 4CD

;DM@:@D 9> E4OA6CZ4C56E O6776E6E 5D: R4>}|j~j J

HHs


!>;@C@>C96

E yx Fyz infj JMin yI T|j yy uxz F I

T|jyx uyzz B

5>C97>M6E 4C L7>679>CB 2>7V E4;@A@>C5> L76OD7 R4>

R yy uxz infj JI T|j yy uxz F

96C9> Q B #>76 9>O@96 D :DE 9>E@=4D:9D9>E

(1)infj JMin ydj Frjz Min yinf

j Jdj F inf

j Jrj z F

dj IT|jyy uxz rj I

T|jyx uyz

5>C97>M6E

infj JMinydj Frjz Minydj Frjz

djrjF

Q :D 9>E@=4D:9D9 9> yHz E>7V X>79D9>7DB #67 657D LD75>F A6M6

infj JMinydj Frjz

infj Jdj

infj Jrj

E> A4ML:@7V R4>

Min yinfj Jdj F inf

j Jrjz Minydj Frjz F

Min yinfj Jdj F inf

j Jrjz inf

j JMinydj Frjz B

HHI


"C >: >Z>ML:6 g 9> iBhBH 45@:@?VODM6E :D U@C9@E5@C=4@O@:@9D9W Ef yx Fy z H

LD7D 6O5>C>7 4CD >K5>CE@PC 9>: L7>9@AD96 ÜeD:7>9>967 9> mBJfB +D @C9@EUfyx z f yy z P

5@C=4@O@:@9D9 9>EA6ML6C> A6M6

FEf yx Fy z W yMin yH FH f yx z f yy z F Min yH FH f yy z f yx z z z

L67 :6 R4> 5@>C> DE6A@D96 >: L7>679>C B '>9@DC5> >E5>Rf yy ux z Min yH FH f yx z f yy z z

L7>679>C E> L4>9> 6O5>C>7 4CD :P=@AD DE6A@D9D D: L7>9@AD96 L67 A4D:R4@>7D 9> :6EP

MS5696E R4> DLD7>A>C >C >E5> DLD75D96B +D 9>EA6ML6E@A@PC 9> C6 X@>C> 9D9D L67 >:Ef5>67>MD DC5>7@67F QD R4> >C S: :D 9>EA6ML6E@A@PC E> 7>D:@?D M>9@DC5> :D 5UC67MD BMin

": E@=4@>C5> 5>67>MD 7>EL6C9> D :D A4>E5@PC 9> L67R4S L4>9> E>7 9>EA6ML4>E5D 9>Ef:D ;67MD @C9@AD9DB

Teorema 4.4.3

2@ 4CD U@C9@E5@C=4@O@:@9D9 >E5V =>C>7D9D L67 4C [C@A6 E4OA6CZ4C56 O6776E6T |

>C56CA>E >K@E5> 4C L7>679>C X>7@;@ADC96

E yx Fy z T yR yy ux z FR yx uy z z B

Demostración. #67 >: 5>67>MD 9> AD7DA5>7@?DA@PC 9> @C9@E5@C=4@O@:@9D9>E E>7V8

L>76 D: A4ML:@7E> R4> E> 5>C97V R4>

E yx Fy z Min y IT| yy ux z F IT| yx uy z z F

Max y IT| yy ux z F IT| yx uy z z H

E yx Fy z T y IT| yy ux z F IT| yx uy z z B

Hgm


2. Un sistema de conectivas siguiendo a TARSKI

-6M6 >E A6C6A@96F &$%2w* 45@:@?P :DE E@=4@>C5>E 9>;@C@A@6C>E LD7D :DE A6C>A5@XDE

:P=@ADE 9>: AV:A4:6 L76L6E@A@6CD: A:VE@A6F 56MDC96 A6M6 A6C>A5@XD L7@CA@LD: :D @ML:@ADU

A@PC Q >: >:>M>C56 M<C@M6 9>: V:=>O7D 9> b66:> 9> L76L6E@A@6C>E8

^ Fr r m

^ Fr s r s

^ Fr s yr s z

^ Br s yr s z ys r z

2@=4@>C96 >E5> M69>:6F D A6C5@C4DA@PC E> >E549@D R4S 7>E4:5D96E E> 6O5@>C>C LD7D :D

:P=@AD DE6A@D9D D 4C L7>9@AD96F 45@:@?DC96 9> LD75@9D >: L7>679>C >:>M>C5D: A4DCUIT

96 >E :D 5UC67MD F 6 O@>C 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCDBT Min

1. La implicación

-6M6 QD E> ND A6M>C5D96F :6E L7>P79>C>E >:>M>C5D:>EF D: 9>;@C@7E> L67 7>E@94DU

A@PCF E6C O4>CDE ;4CA@6C>E 9> @ML:@ADA@PC ED:X6 >C :6 R4> A6CA@>7C> D :D A6C5@C4@9D9B

"C =>C>7D:F 4C L7>679>C >:>M>C5D: C6 E>7V A6C5@C46 ED:X6 E@ :D 5UC67MD D LD75@7 9> :D

R4> E> 9>;@C> >E 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCD C6 >E57@A5DB #D7D :D 5UC67MD >: L7>67UMin

9>C >:>M>C5D: >E >: 9> ,Å9>:

IMin yr usz H si s rr >B6BAB F

Q LD7D 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCD

A6M6 M6E57DM6E >C :D E>AA@PC HBgBH LV=@CD gqB

IT yr usz h y Hz yMax y ym Fh yr z h ys z z z h y Hz yh yr z h ys z z F

2. La negación

HgH


+D ;4CA@PC 9>;@C@9D A6M6

^ N yr z r r m I T ym ur z

7>E4:5D E@>ML7> 4CD C>=DA@PCF QD R4> X>7@;@AD

i) QN ymz H N yHz m

ii) >E C6 9>A7>A@>C5>FN

L>76 C6 E>7VF >C =>C>7D:F 4CD C>=DA@PC ;4>75> y4CD @CX6:4A@PCzF ED:X6 >C >: ADE6 >C >:

R4> :D 5UC67MD E>D D7R4@M>9@DCD C6 >E57@A5DB #67 >Z>ML:6F LD7D E> 6O5@>C>T Min

-6C 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCD >E57@A5D E> 6O5>C97V :6 M@EM6F QD R4> F

IMin ym ur z H r mm r�m B

T I T ym umz H

L4>E56 R4> Q F 9>O@96 Dm m I T ym ux z m I T ym ux z h y Hz yMax ym Fh ymz h yx z z z

h H yh ymz z m B

"C ADMO@6F A6C 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCD C6 >E57@A5D 7>E4:5D

I T ym ur z h y Hz yMax ym Fh ymz h yx z z z h H yh ymz h yx z z B

3. La disyunción

!>;@C@>C96 :D 9@EQ4CA@PC A6M6

^ Fr s r s I T ys ur z

7>E4:5D A4DC96 R4>T Min

122


#D7D D7R4@M>9@DCD >E57@A5D8

r s IMin ys ur z H r�m 6 yr m Q s Hzs >B6BAB B

T

#67 [:5@M6F A4DC96 :D 5UC67MD >E D7R4@M>9@DCD C6 >E57@A5D

r s H r�ms r m B

r s h y Hz yMax ym Fh ys z h yr z z z h y Hz yMax ym Fh ys z h yh H yh ymz h yr z z z z z

h y Hz yMax ym Fh ys z h ymz h yr z z z B

4. La conjunción

"E >X@9>C5> R4> LD7D Q D7R4@M>9@DCD >E57@A5DF D: 5>C>7 4CD C>=DA@PCT Min T

5DC 9SO@:F :D A6C>A5@XD A6CZ4CA@PC 9>;@C@9D A6M6

E>7V 5DMO@SC M4Q L6O7>B !> N>AN6 >C :6E 96E ADE6E 7>E4:5D

r s yr s z I ym u I ys ur z z

"C ADMO@6 LD7D 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCD C6 >E57@A5DF 5>C@>C96 >C A4>C5D R4>

h yr s z h yh y Hz yMax ym Fh yh H yh ymz h yr z z z h yh H yh ymz h ys z z z h ymz z z z

h yh y Hz yMax ym Fh ymz yh yr z h ys z z z z z

Min yh ymz FMax ym Fh ymz yh yr z h ys z z z z F

E> 5>C97V R4> E@ F >C56CA>Eh ymz h yr z h ys z

Bh yr s z Min yh ymz Fmz m

] E@ Fh ymz�h yr z h ys z

Hgh


h yr s z Min yh ymz Fh ymz yh yr z h ys z z z

h ymz yh yr z h ys z z B

+4>=6

] L67 5DC56

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5. La equivalencia

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h y Hz yMax ym Fh yr z h ys z z Max ym Fh ys z h yr z z z

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^ Fr s yr s z H Max yH r FH s z Min yr Fs z

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débil puesto cumple que I(r/r)>-, para todo r; propiedad que se enuncia como X-

reflexividad, con X = - en este caso. Si calculamos la lógica asociada obtenemos:

- N(r)=I(0/r) = l-r,

— r V s =I(s/r1) =Max(l -(1 -r),s) =Max(r,s),

— r As = (r'+s,), = l-Max(l-r,l-s)=Min(r,s),

_ r**s = W(Max(l -r,s),Afax(l -s,r)) =Max(0,Max(í -r,s) +Mox(l -s,r) -1) =

í Max(Q,r+s-l) si 1 -r<s \ í -(1 -(r+s)) si K r + j l \ Aíax(0,l-r + l - j - l ) s i l - r ^ j j \ l - ( r+j ) s i l > r + í )

= | l - r - í | ,

que son las conectivas inicialmente propuestas por ZADEH [93], salvo la equivalencia.

La relación borrosa de Reichenbach I(slr) = 1 -r + rs, tampoco en un preorden

aunque es 1-reflexiva y W-transitiva [71], la lógica asociada es la siguiente: 4

- tf(r)=/(0/r) = l - r ,

— rV4s=/(5/r/) = l - ( l - r ) + ( l -r )5 = r+5 + r5,

- rA5 = (r / + ̂ /) / = l - ( l - r + l - 5 - ( l - r ) ( l - 5 ) ) = r 5 ,

_ r**s = W(l -r + rs, l -s+sr)=Max(0,l -r+r$ + l -5+$r- l ) =

=Max(0,l -r-s+2rs) = l -r-s+2rs.

La conjunción y la disyunción vienen dadas, en este caso, por la t-norma producto II

y su t-conorma dual II* dada mediante la negación N(JC) = 1 -JC y conocida como

suma probabilística.

126

CAPÍTULO 5. ANTÓNIMOS Y SINÓNIMOS

5.1. Automorfismos sobre subconjuntos borrosos en un uni-

verso finito

5.2. Automorfismos sobre [0,1]

5.3. Representación de antónimos y sinónimos

Introducción

2@>C96 :D :P=@AD ;4??Q 4C @C5>C56 9> 7>L7>E>C5D7 A6CA>L56E :@C=v<E5@A6E 9>: :>CU

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Hgs


débil puesto cumple que I(r/r)>-, para todo r; propiedad que se enuncia como X-

reflexividad, con X = - en este caso. Si calculamos la lógica asociada obtenemos:

- N(r)=I(0/r) = l-r,

— r V s =I(s/r1) =Max(l -(1 -r),s) =Max(r,s),

— r As = (r'+s,), = l-Max(l-r,l-s)=Min(r,s),

_ r**s = W(Max(l -r,s),Afax(l -s,r)) =Max(0,Max(í -r,s) +Mox(l -s,r) -1) =

í Max(Q,r+s-l) si 1 -r<s \ í -(1 -(r+s)) si K r + j l \ Aíax(0,l-r + l - j - l ) s i l - r ^ j j \ l - ( r+j ) s i l > r + í )

= | l - r - í | ,

que son las conectivas inicialmente propuestas por ZADEH [93], salvo la equivalencia.

La relación borrosa de Reichenbach I(slr) = 1 -r + rs, tampoco en un preorden

aunque es 1-reflexiva y W-transitiva [71], la lógica asociada es la siguiente: 4

- tf(r)=/(0/r) = l - r ,

— rV4s=/(5/r/) = l - ( l - r ) + ( l -r )5 = r+5 + r5,

- rA5 = (r / + ̂ /) / = l - ( l - r + l - 5 - ( l - r ) ( l - 5 ) ) = r 5 ,

_ r**s = W(l -r + rs, l -s+sr)=Max(0,l -r+r$ + l -5+$r- l ) =

=Max(0,l -r-s+2rs) = l -r-s+2rs.

La conjunción y la disyunción vienen dadas, en este caso, por la t-norma producto II

y su t-conorma dual II* dada mediante la negación N(JC) = 1 -JC y conocida como

suma probabilística.

126

Introducción

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129

IntroducciónIntroducción

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Introducción

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C6E E@ E4L@SE>M6E AD:A4:D7 4C DC5PC@M6B #67 657D LD75>F :6E 5S7M@C6E :@C=v<E5@A6E 9>

L4>9>C L7>E>C5D7 5S7M@C6E E@CPC@M6EF R4> C6 E>7<DC XD:67>E 9@;>7>C5>E LD7D :D XD7@DO:>

:@C=v<E5@AD L>76 R4> L697<DC 5>C>7 DE@=CD96 4C E@=C@;@AD96 9@;>7>C5> M>9@DC5> :DE 7>=:DE

E>MVC5@ADE 9> BM

131

Introducción

"C >E5> -DL<54:6 DO679D7>M6E >: >E549@6 9> :6E D456M67;@EM6E 9> :D >E574A547D

F E@>C96 4C 4C@X>7E6 ;@C@56 Q 96C9> Q E6C 4CD 5UC67MD Q 4CD 5Uy yX z FT FS FN z X T S

A6C67MD L6E@5@XDE Q 4CD C>=DA@PC ;4>75>B "C liJn E> 7>D:@?P >E5> >E549@6 LD7D :DEN

A6C>A5@XDE B $9>MVEF E> >E549@DC :6E D456M67;@EM6E >C LD7DyMin FMax FH j z lm FHn

:DE 5UC67MDE D7R4@M>9@DCDEB "C lsgn E> >E549@D76C :6E D456M67;@EM6E E6O7> LD7Dlm FHn

:D 5UC67MD B #67 [:5@M6F E> DL:@ADC :6E 7>E4:5D96E 6O5>C@96E D :D 7>L7>E>C5DA@PC 9>Min

DC5PC@M6E Q E@CPC@M6EB

Hhg

5.1. Automorfismos sobre subconjuntos borrosos en un universofinito

2>D 4C A6CZ4C56 ;@C@56F 9>C65D7>M6E A6M6 ND E@96 NDO@54D: >C :DX }xH F Fxn~

M>M67@DF A6C D :D A:DE> 9> E4OA6CZ4C56E O6776E6E E6O7> F Q A6C D:yX z X yX z

E4OA6CZ4C56 9> ;67MD96 L67 :DE ;4CA@6C>E 9> L>75>C>CA@D E6O7> B !D9DEyX z }m FH~

4CD 5UC67MD F 4CD 5UA6C67MD Q 4CD ;4CA@PC 9> C>=DA@PC ;4>75>T S N 8 lmFHn lmFHn

lvid. $LSC9@A>nF LD7D AD9D LD7 9> E4OA6CZ4C56E O6776E6E E> 9>;@C>C :6E|F yX z

E4OA6CZ4C56E O6776E6E A6M6T y|F z F S y|F z F N y|z

FT y|F z yx z T y|yx z F yx z z

FS y|F z yx z S y|yx z F yx z z

N y|z yx z N y|yx z zB

-6CE@9>7DC96 :6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E C4:6 > @9>C5@9D9 9>;@C@96E A6M680 1 0 yxz m

Q LD7D 5696 W 9>C65D7V :D >E574A547D F Q1 yxz H x X LT FS y yX z z yX z FT FS F0 F1

E>7V :D >E574A547D F 96C9> >E :D 5UA6C67MD 94D:MT FN y yX z z yX zFTFT FN F0 F1 T

9> BT

!D9D 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 E> >EA7@O@7V|8X lmFHn

>KL7>E@PC O@>C 9>;@C@9D 9>O@96 D :D DE6A@D5@X@9D9 9> B /CD 5UC67MD >E positiva

Tx X|yx z T y|yxH z F|yxg z F F|yxn z z F

T T

lvid. $LSC9@A>nF 6 E@C 9@X@E67>E 9> A>76F E@8

Hhh

Automorfismos sobre subconjuntos borrosos en un universo finito

+DE 5UC67MDE Q E6C DMODE L6E@5@XDEF L>76 :D 5UC67MD 9> 4AYDE@>j@A?

T yx Fy z m @ML:@AD x m 6 y mB

T Min T

C6 :6 >EBT W

": A6CZ4C56 E>7V >: A6CZ4C56 9> DL:@ADA@6C>E O@Q>A5@XDEAut yLT FS y yX z z z 8

5D: R4>8yX z yX z

yT y|F z z T y y|z F y z z

yS y|F z z S y y|z F y z z

LD7D A4D:R4@>7 B|F yX z

": E@=4@>C5> 5>67>MD >E >X@9>C5>F

Teorema 5.1.1

>E 4C =74L6F R4> 9>C6M@CD7>M6E =74L6 9> D456M67;@EM6E 9>Aut yLT FS y yX z z z

BLT FS y yX z z

Teorema 5.1.2

#D7D 5696 E> X>7@;@AD R4> Q BAut yLT FS y yX z z z y0 z 0 y1 z 1

Demostración.

!>O@96 D R4> F E> A4MUy0 z yT y0 F|z z T y y0 z F y|z z Min y y0 z F y|z z

L:@7V R4> LD7D 5696 B #67 657D LD75>Fy0 z y|z | yX z y|z yT y1 F|z z

QF L67 5DC56F LD7D 5696 BT y y1 z F y|z z Min y y1 z F y|z z y|z y1 z | yX z

+4>=6

y0 z y|z yHzB

Hhi


#67 5DC56F :6E E4OA6CZ4C56E 4C@5D7@6E F >E 9>A@7F :6E V56M6E 9> F 5>C97VC A6M6a yX z

@MV=>C>E E4OA6CZ4C56E 4C@5D7@6EF 6 E>DF B $: E>7 4CD O@Q>AA@PC >E56 9D7Vy a z b

:4=D7 D 4CD L>7M45DA@PC E6O7> B #67 657D LD75>F A4D:R4@>7 E> >EA7@O@7V A6M6X | yX z

96C9> E6C 5696E :6E L4C56E 96C9> XD:> HB $E< :D @MD=>C 9> 4C E4OA6CU

| Sx {a1 , ,am}

y x z F

}aH F Fam~ |

Z4C56 A:VE@A6 R4>9D 9>5>7M@CD9D L67 :D @MD=>C 9> :6E E4OA6CZ4C56E 4C@5D7@6E R4> :6

A6ML6C>CB

!>C65>M6E L67 D :6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E A6CE5DC5>EB #D7D A4D:R4@>7k yx z k

Q A4D:R4@>7 F E@ F E> 9>;@C>C8x X k lm FHn AutLT FS y yX z z

x yk z y k z yx zB

Proposición 5.1.5

+D DL:@ADA@PC F LD7D A4D:R4@>7 F >E 4C D456M67;@EM6 9>x x X LT FS y lm FHn z

lm FHn FT FS Fm FH B

DemostraciónB #D7D A4D:R4@>7 Q 8x X r Fs lm FHn

x yT y r Fs z z y T yr Fs z z yx z yT y r F s z z yx z T y y r z F y s z z yx z

T y y r z yx z F y s z yx z z

T y x yr z F x ys z z F

Q 9> 4CD ;67MD E@M@:D7 E> L74>OD LD7D B &DMO@SC >E A:D76 R4> QS x ymz m

Bx yHz H

": E@=4@>C5> 5>67>MD M4>E57D A6M6 E6C :6E D456M67;@EM6E E6O7> BLT FS y yX z z

Hhr


Teorema 5.1.6

/CD DL:@ADA@PC >E 4C D456M67;@EM6 9> A6C Q8 yX z yX z LT FS y yX z z T S

4CD 5UC67MD Q 5UA6C67MD L6E@5@XDEF E@ Q EP:6 E@ >K@E5> 4CD ;DM@:@D 9> D456Ux x X

M67;@EM6E 9> Q 4CD L>7M45DA@PC 9> F 5D: R4>LT FS y lm FHn z s X

LD7D AD9D B

y|z yx z x y|ys yx z z z

x X

DemostraciónB +D DL:@ADA@PC F A6C A4D:R4@>7 L>7M45DA@PC 9>y|z yx z x y|ys yx z z z s

F >E O@Q>A5@XD A6M6 E> A6ML74>OD ;VA@:M>C5>F Q 9>;@C> 4C D456M67;@EM6F QD R4>8X

yT y|F z z yx z x yT y|F z ys yx z z z x yT y|ys yx z z F ys yx z z z z

T y x y|ys yx z z F x y ys yx z z z

BT y y|z F y z z yx z

2@>C96 DCV:6=D :D L74>OD LD7D B $9>MVE E> X>7@;@AD R4>S y0 z yx z x y0 ys yx z z z

Q Bx ymz m y1 z yx z 1

%>A<L76ADM>C5>F E@ F A6M68| yX z

5>C97>M6E R4>

"C56CA>E8

|yx z Sa XyT y a yx z F |yaz yx z z z B

y|z yx z y Sa XyT y a F |yaz z z yx z S

a XyT y y a z yx z F y |yaz z yx z z

Sa XyT y s H yaz yx z F x y|ya z z z z

Hhs


x y|ys yx z z z F

9>E9> R4>F L67 :D L76L6E@A@PC JBHBhF >E 4C V56M6 9> QF A6CE>A4>C5>Uy a z yX z

M>C5>F LD7D D:=4CD L>7M45DA@PC 9> B )OX@DM>C5>F E@ Qy a z s H yaz s X s H yaz yx z H

EP:6 E@ Ba s yx z

Teorema 5.1.7

/CD DL:@ADA@PC E6O7> F A6C 4CD 5UC67MDMT FN y yX z z yX z FT FT FN F0 F1 T

L6E@5@XD Q E4 5UA6C67MD U94D:F >E 4C D456M67;@EM6 E@ Q EP:6 E@ >K@E5> 4CDT N

;DM@:@D 9> D456M67;@EM6E 9> F Q 4CD L>7M45DA@PC 9> 5D: R4> E>x x X lm FHn s X

X>7@;@ADC :DE 96E A6C9@A@6C>E E@=4@>C5>E8

i) F LD7D AD9D Q AD9Dy|z yx z x y|ys yx z z z | yX z x X F

ii) F LD7D A4D:R4@>7 BN y x yk z z x yN yk z z k lmFHn

DemostraciónB 2@ i Q ii E6C A@>75DEF >C56CA>E

QF L67 >: 5>67>MD JBHBqF >E 4C D456M67;@EM6 9> B

y| z yx z x yN y|ys yx z z z z N y x y|ys yx z z z z N y y|z yx z z y|z yx z

MT FN y yX z z

%>A<L76ADM>C5>F E>D F A6M6 F L67 >: 5>67>MDAutMT FN y yX z z AutLT FT y yX z z

JBHBqF >K@E5@7V 4CD ;DM@:@D 9> D456M67;@EM6E 9> Q 4CD L>7M45DA@PC 9>x x X lm FHn s X

5D: R4> LD7D AD9D B !>E9> R4> F A6CE@Uy|z yx z x y|ys yx z z z | yX z y| z y|z

9>7DC96 F E> 5>C97V R4> Q W >E 9>A@7 R4>| k | Nykz y Nykz z y k z N y y k z z

x yN yk z z N y x yk z z B

HhI

5.2. Automorfismos sobre [0,1]

!> DA4>796 A6C >: 5>67>MD JBHBqF 4C D456M67;@EM6 9> >E5V A6MULT FS y yX z z

L4>E56 9> 4CD L>7M45DA@PC 9> Q 4C D456M67;@EM6 9> QF L67 5DC56F A6CX@>C>X lm FHn

>E549@D7 >: A6CZ4C56 9> D456M67;@EM6E E6O7> B "C lsgn E> >E549@P >: A6CZ4C56 9>lm FHn

D456M67;@EM6E 9> F A6CZ4C56 R4> 9>C65D7>M6ELMin FMax y lm FHn z lm FHn FMin FMax Fm FH

D LD75@7 9> >E5> M6M>C56 A6M6 B /CD DL:@ADA@PC O@Q>A5@XDF F L>75>C>A> DLH y lm FHn z

E@ Q EP:6 E@ >E 4CD ;4CA@PC A7>A@>C5>F L76L@>9D9 R4> >E >R4@XD:>C5> DAut LH y lm FHn z

R4> L7>E>7X> >: M<C@M6B #67 >Z>ML:6F :6E M69@;@AD967>E :@C=v<E5@A6E 6 E6Cx x g

D456M67;@EM6E 9> B "E549@D7>M6E DN67D APM6 E6C :6E D456M67;@EM6E A6C5@ULH y lm FHn z

C46E E6O7> A4DC96 :DE 5UC67MDE E6C D7R4@M>9@DCDE L6E@5@XDE Q C6 L6E@5@XDEBlm FHn

2>D :D >E574A547D F >E >X@9>C5> R4>Lg y lm FHn z lm FHn F F F0 F1 AutLg y lm FHn z

E@ Q EP:6 E@ >E 4CD O@Q>AA@PC Q X>7@;@AD

LD7D 5696 B -6M6 >E O@>C A6C6A@96 lHnF :D L7@M>7D >A4DA@PC 5@>C> A6M6

(1)yxy z yx z yy z F

(2)yx y xy z yx z yy z yx z yy z F

x Fy lm FHn

E6:4A@6C>E A6C5@C4DE :DE ;4CA@6C>E 6 B "KA>L56 LD7D F :DE E6:4Uyx z x a yxz m a m

A@6C>E E6C :DE [C@ADE R4> E6C O@Q>A5@XDEB #>76 E@ 9>O> ED5@E;DA>7 ygz >:yx z x a

[C@A6 XD:67 L6E@O:> LD7D >E HF QD R4> E@ 56MDM6E >C ygz E>a x y Hqq }m~

9>O> X>7@;@AD7

Him

Automorfismos sobre [0,1]

Q

Hq

Hq

Hqg

a Hq

a Hq

a Hq

ga

2>D :D ;4CA@PC 9@;>7>CA@DO:> F >E5D ;4CA@PC >E @=4D: D >C

ygq Hza gq a H LD7D 5696 q }m~B

f ya z ygq Hza gq a H m

Q F E@>C96 ;VA@: 9> A6ML76OD7 R4> C@C=[C 6576 L4C56 DC4:D :D ;4CA@PCBa m a H

!> >E5D ;67MDF >: A6CZ4C56 9> D456M67;@EM6E A6C5@C46E LD7D >ELg y lm FHn z

BAut c Lg ylmFHnz }*9~

2@C :D A6C9@A@PC 9> A6C5@C4@9D9 5DMO@SC 7>E4:5D A6M6 [C@A6 D456M67;@EM6 :D

@9>C5@9D9 lgnB ": D7=4M>C56 >E >: E@=4@>C5>B $: 9>;@C@7 F ygz E>f yz z H yH z z

A6CX@>75> >C

E@C MVE R4> E4E5@54@7 > L67 Q F 7>EL>A5@XDM>C5>B &6MDC96

f yxy z f yx z f yy z LD7D 5696 x Fy lm FHn F

x y H x H y x y t

6O5>C97>M6E R4> +4>=6 5>C@>C96 >C A4>C5D :D >KL7>E@PC 9>f y t z f y t zg m B f

#67 657D LD75>F A6C Q F :D >A4DA@PC yHz E6O7> E>

(3)yx z H F LD7D 5696 x lm FHn B

x e t F y e u g y t z ye t z ym FHng

57DCE;67MD >C

A6C B #67 yhzF Q >C $A?S: lHn LLB hsUhIF :DE [C@ADE E6:4A@6C>E 9>

(4)g y t u z g y t zg yu z F

t Fu lm F z g y t z H

yiz DA65D9DE E4L>7@67M>C5> Q O@Q>A5@XDE E6C B "E56 9D A6M6 7>E4:5D96 LD7Dg y t z e at

F 5>C@>C96 >C A4>C5D :D >KL7>E@PC 9> 8g

HiH

Automorfismos sobre [0,1 ]

Q(x)=g(-]nx)=e-ai-*x) =\*a * ^ 0 , 1 1 1 = xa.

Y, aplicando el mismo razonamiento que hicimos en el caso continuo, AutL2 ([0,1]) =

Ud}.

Es posible generalizar el resultado anterior a cualquier t-norma arquimediana

estricta. Como es conocido [54], una t-norma arquimediana estricta admite una repre

sentación de la forma

T(x,y)=h-i(h(x)h(y)),

para todo x,y G [0,1] , siendo h una biyeccion de [0,1] creciente. Si consideramos

£2* ([0,1])= < [ 0 , l ] , 7 \ r \ 0 , l > con T(x,y)=h-l(h(x)h(y)) y T* (x,y) =

h~l (h(x) +h(y) -h(x)h(y)), las ecuaciones (1) y (2) se escribirán como:

e(h-l(h(x)h(y)))=h-l(h(e(x))h($(y))),

d(h-l(h(x) +h(y) -h(x)h(y))) =h-l(h(6(x)) +h(d(y)) -h(6(x))h(6(y))),

y definiendo f=h o 0 o h~l, estas ecuaciones serán equivalentes a

f(h(x)h(y))=f(h(x))f(h(y)),

f(h(x) +h(y) -h(x)h(y)) =f(h(x)) +f(h(y)) -f(h(x))f(h(y)).

Realizando un cambio de variable tendremos

/(vw)=/(v)/(w),

/(v + w-vw) =/(v) +/(w) -/(v)/(w),

142


LD7D 5696 B !> >E5D ;67MD :D [C@AD E6:4A@PC LD7D E>7V :D @9>C5@9D9Bv Fw lm FHn f

+4>=6

R4> >E >R4@XD:>C5> D QF L67 A6CE@=4@>C5>F

f *9 h h H F

h h *9B

-4DC96 A6CE@9>7DM6E :D >E574A547D C6 >ELW FW y yX z z yX z FW FW F0 F1

L6E@O:> DL:@AD7 >: 5>67>MD JBHBq QD R4> C6 >E 4CD 5UC67MD L6E@5@XDB 2@C >MOD7=6W

4CD ;4CA@PC 9>;@C@9D A6M6 9D7V :4=D7 E@>MU8 yX z yX z y|z yx z x y|ys yx z z z

L7> 4C D456M67;@EM6 9> F A6M6 E> L4>9> A6ML76OD7 DL:@ADC96 :D L7@M>7DLW FW y yX z z

LD75> 9>: 5>67>MD A@5D96B "E @C5>7>EDC5>F L67 A6CE@=4@>C5>F >E549@D7 >: =74L6Lh y lm FHn z

Blm FHn FW FW Fm FH

#67 9>;@C@A@PCF E@Aut Lh y lm FHn z

-4DC96 F :D >A4DA@PC yJz @ML:@AD

(5)yMax ym Fx y Hzz Max ym F yx z yy z Hz F

(6)yMin yH Fx y z z Min yH F yx z yy z z B

x y H

Q L67 >::6 B $9>MVE L67 yqz 5>C97>M6E

ymz m MaxymF yxz yyz Hz F

yx z yy z H m

-4DC96

yx y z yx z yy z B

x y�H

L67 yJz Q

yx y Hz MaxymF yxz yyz Hz F

Hih

Automorfismos sobre [0,1 ]

e(l) = l=Min(l,$(x)+6(y)),

por (6). Así 0 ( x ) + 0 ( y ) > l y

d(x+y-l)=d(x)+6(y)-l.

Como consecuencia, las ecuaciones funcionales (5) y (6) son equivalentes a las ecua

ciones

d(x+y)=6(x)+d(y), six+y^l C7)

$(x+y-l)=6(x)+d(y)-í, six+y>í, <8)

con las condiciones iniciales 0(0) =0 y 0(1) = 1. Como es bien conocido [1], las

únicas funciones acotadas, recuérdese que exigimos que 0 sea biyectiva, que verifican

(7) son de la forma 0(JC) =XJC y con las condiciones iniciales sólo puede ser la identi

dad. Así, AutL3([0,l]) = {ld}.

Al igual que para las t-normas arquimedianas estrictas, una t-norma T es arqui-

mediana no estricta, si y sólo si admite una representación mediante una función h

biyectiva y creciente sobre [ 0 , 1 ] tal que

T(x ,y) =h~l (Max(0,h(x) +h(y) -1)).

Consideremos entonces L 3 * ( [ 0 , 1 ] ) = < [ 0 , 1 ] , 7 \ r * , 0 , 1 > con T(x,y) =

h-l(Max(0,h(x)+h(y)- 1» y T* (x,y)= /i"1 ( M m ( 1 , h(x)+ h(y))). Las ecua

ciones (5) y (6) pasan a ser

d(h-l(Max(0,h(x)+h(y)-l)))=h-l(Max(0,h(6(x))+h(d(y))-l)),

144


yh H yMin yH Fh yx z h yy z z z z h H yMin yH Fh y yx z z h y yy z z z z F

Q 56MDC96 9> C4>X6 >E5DE >A4DA@6C>E E6C >R4@XD:>C5>E Df h h H

f yh yx z h yy z z f yh yx z z f yh yy z z E@ h yx z h yy z H F

f yh yx z h yy z Hz f yh yx z z f yh yy z z H E@ h yx z h yy z�H B

#67 E>7 Q O@Q>A5@XDF 5>C97>M6E R4> :D [C@AD E6:4A@PC LD7D :DE DC5>7@67>E >A4DA@6Uf h

C>E >E :D @9>C5@9D9 :6 A4D: @ML:@AD R4> >: A6CZ4C56 9> D456M67;@EM6E 9> Lh y lm FHn z

E> 7>94A> D :D ;4CA@PC @9>C5@9D9B

HiJ

5.3. Representación de antónimos y sinónimos

Como se indicó en la Introducción del presente Capítulo, los automorfismos de

las estructuras LTS(&(X)) pueden constituir un buen modelo para representar los

sinónimos y antónimos en lógica fuzzy. Gracias a los dos apartados anteriores y a los

trabajos [45, 82] los automorfismos de LT S(&{X)) están caracterizados, para X

finito, cuando se consideran la t-norma Min y la t-conorma Max y un par formado

por una t-norma arquimediana estricta y su t-conorma dual.

Si como definición de sinonimia entre dos subconjuntos borrosos /¿, r¡ adoptamos

simplemente que exista un automorfismo 0 que transforme uno en el otro: 0(/x) =rj,

los siguientes teoremas muestran, para el caso de la pareja Min y Max, que «demasia

dos» subconjuntos borrosos serían sinónimos.

Teorema 5.3.1

Si ii,pG&(X) con X finito, las condiciones necesarias y suficientes para la

existencia de un automorfismo 6GAutLMin Max(&(X)) verificando 0(pi)=P son

I ( M ) O I = I ( P ) O I <9>

I M i l - l í p l i l . (10>

soporte de un subconjunto borroso respectivamente, y | j simboliza el cardinal

de un conjunto.

146

Representación de antónimos y sinónimos

Demostración. 2@ F 6 LD7D 5696 F >Ey|z y|z yx z x y|ys yx z z z yx z x X

>X@9>C5> R4> E@ >E 9>A@7 F >C56CA>E QF L67 >::6Fx y zm yxz m x y|ys yx z z z m

DE< B !> >E5D ;67MD 5>C97>M6E R4> +D @CA:4E@PC|ys yx z z m F s yx z y|zm y|zm y zm B

A6C57D7@D >E 5DMO@SC >X@9>C5>F :4>=6 E@ Q EP:6 E@ B -6M6 >E 4CDx y zm s yx z y|zm s

O@Q>AA@PC 9> E> A4ML:@7V yIzB !> ;67MD DCV:6=D E@ Q EP:6 E@ QX x l nH s yx z l|nHE>7V A@>756 yHmzB

%>A<L76ADM>C5>F A6CE574QDM6E 4C D456M67;@EM6 5D: R4> B #67 yIzFy|z

yHmz Q :D A6C9@A@PC F >K@E5@7V 4CD L>7M45DA@PC 9> 5D: R4>l|n|y|zm X

s y y zm z y|zmF

s y l nH z l|nH F

s y y zm l nH z y|zm l|nH

QF L67 >::6F

yx z m E@ Q EP:6 E@ |ys yx z z m F

yx z H E@ Q EP:6 E@ |ys yx z z H F

mÇ yx zÇH E@ Q E6:6 E@ mÇ|ys yx z zÇH B

-4DC96 E>D LD7D A@>756 F E@>ML7> >E L6E@O:> 6O5>C>7 4C D456M67UmÇ yx zÇH x

;@EM6 9> X>7@;@ADC96 B #67 >Z>ML:6F A6C :6E D456Ux LH y lm FHn z x y|ys yx z z z yx z

M67;@EM6E LD7D ODE5D7V >:>=@7 9> ;67MD R4>yx z x a a�mF a

:6 A4D: E> A6CE@=4> A6C

x y|ys yx z z z |ys yx z z yx z F

a :6=|ys yx z z yx z :6= yx z:6=|ys yx z z

�m B

Hir


El siguiente resultado estudia cuando la familia {6X} se puede reducir a un

único automorfismo.

Teorema 5.3.2

Sean /¿,p E&(X) dos subconjuntos borrosos con puntos sobre un universo finito.

Para que exista OGAutLi([09l]) y una permutación s deXtalque 0(¿I(S(JC))) =

p(x) para todo x G X9 es necesario y suficiente que se verifiquen las dos condicio

nes siguientes:

0 I O O O I = I ( P ) O I > I M i M t P l i l > ii) existe una permutación s de X y una ordenación de X9 {x¡ ,...,x¡ }, tal

que

donde < * es el orden parcial sobre [0, l ] 2 dado por

(x0,y0)< *(xl9yx) si y sólo si (x0,yQ)=(xl,yl) o (x0<xí y y0<yx).

Demostración. Si existe 0 y s verificando d(ix(s(x)))=p(x) para todo xEX9 por

el teorema 5.3.1 la condición i es cierta. Además, considerando una reordenación de

los elementos de X de tal forma que

(li(s(xii))9£...£(ii(s(xin))9

al ser 0 estrictamente creciente tendremos

(liisiXt^MXiJ) < * . . . < * (n(s(xin)),p(xin)).

Recíprocamente, si i y ii son ciertas, tomando 0:[O,1]-*[O,1] definida como

6(fi(s(x)))= p(x) obtenemos una biyeccion estrictamente creciente gracias al orden

148


$E<F LD7>A> 6L6754C6 D96L5D7 4CD 9>;@C@A@PC 9> E@C6C@M@D >C57> E4OA6CZ4C56E

O6776E6E C6 5DC DML:@DB +D E@=4@>C5> 9>;@C@A@PC >E :D D96L5D9D >C liJnB

Definición 5.3.3

^ /C D456M67;@EM6 9> E> 9@A> R4> >E 4C 2UD456M67;@EM6 E@ E>LT FT y yX z z

X>7@;@AD R4> LD7D 5696y|z | | yX z

^ /C D456M67;@EM6 9> E> 9@A> R4> >E 4C $UD456M67;@EM6 E@ E>LT FT y yX z z

X>7@;@AD R4> >E 4C 2UD456M67;@EM6 Q >K@E5> D: M>C6E 4C 5D: R4>g | yX z y|z |

B

+6E 2UD456M67;@EM6E Q :6E $UD456M67;@EM6E E>7VC :6E ADC9@9D56E D 7>L7>E>C5D7 E@CPC@U

M6E Q DC5PC@M6E 7>EL>A5@XDM>C5>B

Definición 5.3.4

!6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E E> 9@A>C E@CPC@M6E y7>EL>A5@XDM>C5> DC5PC@U|F yX z

M6Ez E@ >K@E5> 4C 2UD456M67;@EM6 y7>EL>A5@XDM>C5> 4C $UD456M67;@EM6z 5D: R4>

y|z B

-6C >E5D 9>;@C@A@PC E> MDC5@>C> 4CD L76L@>9D9 OVE@AD 9>: ;>CPM>C6 9> :D E@C6C@M@D8

E@ >E E@CPC@M6 y7>EL>A5@XDM>C5> DC5PC@M6z 9> F >C56CA>E >E E@CPC@M6 y7>EL>AU|

5@XDM>C5> DC5PC@M6z 9> F L4>E56 R4>F A6M6 E> A6ML74>OD ;VA@:M>C5>F >: @CX>7E6 9>|

4C 2UD456M67;@EM6 y7>EL>A5@XDM>C5> 4C $UD456M67;@EM6z >E 4C 2UD456M67;@EM6

y7>EL>A5@XDM>C5> 4C $UD456M67;@EM6zB

$ L>ED7 9> >::6F 4CD L76L@>9D9 @ML675DC5> R4>9D ;4>7D8 >: DC5PC@M6 9> 4C DC5PC@M6 C6

>E C>A>ED7@DM>C5> 4C E@CPC@M6B -6C >: ;@C 9> @CA:4@7:D >C >: M69>:6 E> A6CE@9>7D :D

E@=4@>C5> 9>;@C@A@PCB

HiI


Definición 5.3.5

/C E4O=74L6 E> 9@A> R4> >E 4C 2$UE4O=74L6 E@ E> A4ML:>C :DEG Aut LT FT y yX z z

57>E A6C9@A@6C>E E@=4@>C5>E8

i) -4D:R4@>7 >:>M>C56 9> >E 6 4C 2UD456M67;@EM6 6 4C $UD456M67;@EM6FG

ii) A6C5@>C> D: M>C6E 4C $UD456M67;@EM6 QG

iii) :D A6ML6E@A@PC 9> A4D:R4@>7 LD7 9> $UD456M67;@EM6E >E 4C 2UD456M67;@EU

M6B

": E@=4@>C5> 5>67>MD L4>9> X>7E> >C liJnB

Teorema 5.3.6

1. >E 4C 2UD456M67;@EM6 E@ Q EP:6 E@Aut LMin FMax y yX z z

y|z yx z x y|yx z z

A6C B} x~x X Aut LMin FMax y lm FHn z

2. >E 4C $UD456M67;@EM6 E@ Q EP:6 E@Aut LMin FMax y yX z z


A6C 4CD O@Q>AA@PC @CX6:45@XD 9> Q 9@E5@C5D 9> :D @9>C5@9D9 Qs X } x~x X

BAut LMin FMax y lm FHn z

3. 2@ >E 4C 2$UE4O=74L6 >C56CA>E >E 4C L7694A56 E>M@9@7>A56 9> :6E 96E E4O=74UG

L6E E@=4@>C5>E8

QGH } G 8 y|z yx z x y|yx z z~

FGg } G 8 y|z yx z |ys yx z z~

A4ML:@SC96E> D9>MVE R4> 5@>C> 5DC EP:6 96E >:>M>C56E8 :D @9>C5@9D9 Q >: 9D96GgL67 4CD O@Q>AA@PC A6C Q Bs s g Id S Id

#67 A6CE@=4@>C5> A4DC96 E> A6CE@9>7DC :D 5UC67MD Q :D 5UC67MD F :6E 2$UMin Max

E4O=74L6E @CA:4Q>C 5DC EP:6 4C $UD456M67;@EM6 9@E5@C56 9> :D @9>C5@9D9F >E5DC96 E@C

7>E57@C=@7 >: C[M>76 9> 2UD456M67;@EM6EB

HJm


-4DC96 E> A6CE@9>7D 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCD >E57@A5D Q E4 5UA6C67MD 94D: E>T

ND 9>M6E57D96 >C :D M>M67@D R4> 5696 >E 9> :D ;67MD8Aut LT FT y yX z z

A6C Q B -6M6 E> ND X@E56 >C :D E>AA@PC JBgF >:


} x~x X Aut LT FT y lm FHn z s Biy yX z

=74L6 >E5V A6ML4>E56 [C@ADM>C5> L67 :D @9>C5@9D9B $: E>7 >: 5>67>MDAut LT FT y lm FHn z

JBhBq 5DMO@SC XV:@96 LD7D 4C LD7 >C :DE A6C9@A@6C>E >KL4>E5DEF C6 >K@E5>CF ODZ6T FT

:D 7>L7>E>C5DA@PC 9>EA7@5DF MVE E@CPC@M6E R4> :D @9>C5@9D9F Q 4C 2$UE4O=74L6 >E5D7<D

;67MD96F >C >E5> ADE6F [C@ADM>C5> L67 4C $UD456M67;@EM6 9D96 L67 4CD O@Q>AA@PC 9>X

@CX6:45@XDB

Ejemplo 5.3.7

": E@=4@>C5> >Z>ML:6F D L>ED7 9> 4ED7 4C 4C@X>7E6 C6 ;@C@56F L4>9> M6E57D7 :D DLD7@U

A@PC 9> 9@E5@C56E E4OA6CZ4C56E O6776E6E DC5PC@M6EB -6CE@9>7>M6E :D XD7@DO:> :@CU

=v<E5@AD altura Q >: L7>9@AD96 P=alto 7>L7>E>C5D96 E6O7> >: 4C@X>7E6 M>9@DCUlm Fhn

5> >: E4OA6CZ4C56 O6776E6

+D ;4CA@PC 9D9D L67 >E 4CD O@Q>AA@PC @CX6:45@XD Q E>sH 8 lm Fhn lm Fhn s yx z h x

L4>9> 6O5>C>7 4C DC5PC@M6 9> A6M68|alto

2@ 56MDM6E 9@EL6C>M6E 9> 657D O@Q>AA@PC E6O7> @CX6:45@XDFsg yx z I x g lm Fhn

6O5>C@SC96E> >C >E5> ADE68

HJH


-6CX@>C> 7>ED:5D7 R4> M@>C57DE

>E56 C6 E4A>9> A6C B "C :D E@=4@>C5> ;@=47D L4>9> X>7E> :6E E4OA6CZ4C56E

|Ant alto yx z H |alto yx z F

|Ant altoO6776E6E 9>EA7@56EB

Figura 23B "Z>ML:6E 9> E4OA6CZ4C56E O6776E6E DC5PC@M6E 9> alto

HJg

CONCLUSIONES Y PROBLEMAS ABIERTOS

Conclusiones y problemas abiertos

PARTE I

Capítulo 1.

"C >: -DL<54:6 HF 4CD X>? @C57694A@96 >: A6CA>L56 9> >E5D96 :P=@A6F E> M4>E57DC

>Z>ML:6E 9> AV:A4:6 9>: A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E 5DC56 LD7D 7>:DA@6C>E O6776EDE

A6M6 A:VE@ADEB '4ANDE 9> >E5DE 7>:DA@6C>E E> 45@:@?DC NDO@54D:M>C5> A6M6 A6C9@A@6CDU

:>E >C M69>:6E 9> 7D?6CDM@>C56 DL76K@MD96B (6 569DE :DE 7>:DA@6C>E A:VE@ADE 5@>C>C

>E5D96E :P=@A6E L76L@6EF A6M6 M4>E57D >: >Z>ML:6 9>: ;@CD: 9> :D E>AA@PC HBHB

"C :D E>AA@PC HBgBH E> >E549@D A4VC96 96E E4OA6CZ4C56E O6776E6E 9DC :4=D7|F

D: M@EM6 L7>679>C >:>M>C5D:F >E 9>A@7F D: M@EM6 A6C9@A@6CD: MD5>7@D: O6776E6B 2>

6O5@>C>C A6C9@A@6C>E C>A>ED7@DE Q E4;@A@>C5>E LD7D R4> >E56 E4A>9DF 5DC56 >C >: ADE6 9>

:D 5UC67MD A6M6 A4DC96 :D 5UC67MD >E D7R4@M>9@DCDB +6E 7>E4:5D96E M4>E57DCMin

R4>F >C 5696E :6E ADE6EF ODE5D A6C R4> >E5SC C67MD:@?D96E LD7D R4> R4>9>C AD7DAU|F

5>7@?D96E L67 >: L7>679>C >:>M>C5D: R4> =>C>7DCF D: @=4D: R4> >C >: ADE6 A:VE@A6 >:

A6C9@A@6CD: MD5>7@D: 9>5>7M@CD 4C<X6ADM>C5> D :6E E4OA6CZ4C56E A:VE@A6EB !> N>AN6F

A4DC96 :D 5UC67MD >E D7R4@M>9@DCD >E E4;@A@>C5> A6C R4> :6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E

D:ADCA>C >: XD:67 A>76F R4> D:=[C L4C56 eC6 >E5Sf >C >::6EB

$ LD75@7 9> :D 7>:DA@PC 9> >R4@XD:>CA@D

9>;@C@9D >C :D E>AA@PC HBgBgF E> 6O5@>C> 4C MS5696 LD7D >:>=@7 4C 7>L7>E>C5DC5>

| E@ Q EP:6 E@ IT| IT F

ADCPC@A6 9> :D A:DE> 9> >R4@XD:>CA@DB +D >:>AA@PC 9> >E5> 7>L7>E>C5DC5> Z4E5@;@AD :D

45@:@?DA@PCF >C :6 R4> E> 7>;@>7> D L7>P79>C>E >:>M>C5D:>EF 9> E4OA6CZ4C56E O6776E6E

C67MD:@?D96EF ED:X6 >C >: ADE6 >C >: R4> 9@AN6E E4OA6CZ4C56E M4>E57>C 4C A6ML675DU

M@>C56 DE@C5P5@A6B "C LD75@A4:D7F A4DC96 >: 4C@X>7E6 9>: 9@EA47E6 >E ;@C@56F >E5> A6ML67U

5DM@>C56 C6 L4>9> DLD7>A>7 QF L67 5DC56F E@>ML7> >E L6E@O:> >:>=@7 4C 7>L7>E>C5DC5>

C67MD:@?D96B

HJi


#67 [:5@M6 >C :D E>AA@PC HBgBh E> 6O5@>C>C A6C9@A@6C>E C>A>ED7@DE Q E4;@A@>C5>E

LD7D R4> 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 E>D 4C >E5D96 :P=@A6 9> 4C L7>679>C >:>M>C5D:B -6M6

AD7DA5>7<E5@AD ;4C9DM>C5D: 7>E4:5D R4> >: A6CA>L56 9> >E5D96 :P=@A6 MDC5@>C> :D M6C6U

56C<D 9>: E4OA6CZ4C56 O6776E6 D LD75@7 9>: A4D: E> 9>;@C> >: L7>679>C >:>M>C5D:B

+DE A6C9@A@6C>E 6O5>C@9DE >C >E5D [:5@MD E>AA@PC L>7M@5>C AD7DA5>7@?D7 A4VC96

96E E4OA6CZ4C56E O6776E6E >E5VC 679>CD96E M>9@DC5> >: L7>679>C

"E5> L7>679>C >C57> E4OA6CZ4C56E O6776E6E E> A6CX@>75> >C 4C 679>C LD7A@D: LDEDC96 D:

| E@ Q EP:6 E@ IT| IT B

A6CZ4C56 A6A@>C5> 9>;@C@96 M>9@DC5> :D 7>:DA@PC 9> >R4@XD:>CA@D 9> :D E>AA@PC HBgBgB

!@AN6 679>C 7>E57@C=@96 D: A6CZ4C56 F A6C 4C L7>679>C A4D:R4@>7DF L7>E>C5DT yE FR z R

E@>ML7> 4C >:>M>C56 M<C@M6F ;67MD96 L67 :6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E A6CE5DC5>EF Q C6

5@>C> >C =>C>7D: 4C >:>M>C56 MVK@M6F ED:X6 A4DC96 >: L7>679>C >E >:>M>C5D:B t4>9D

A6M6 L76O:>MD DO@>756 :D >K@E5>CA@D 9> >:>M>C56E MDK@MD:>E 9> >E5> 679>CF 5DC56 >C >:

ADE6 9> 4C@X>7E6E ;@C@56E A6M6 @C;@C@56EB +6E >:>M>C56E MDK@MD:>E 9>: 679>C AD7DAU

5>7@?DC D 4C L7>679>C O6776E6B -4DC96 >: L7>679>C >E 4CD @C9@E5@C=4@O@:@9D9 Q >: 4C@U

X>7E6 >E ;@C@56F E> NDC 7>D:@?D96 >E549@6E >C :6E 57DODZ6E lhiF JHnB &DMO@SC A6CE@9>U

7DM6E @C5>7>EDC5> >: >E549@6 9> >E5> 679>C LD7A@D: >C57> E4OA6CZ4C56E O6776E6E E6O7> :D

A:DE> 9> 5696E >::6EF ByX z

Capítulo 2

"E5> -DL<54:6 A6M@>C?D 9>;@C@>C96 :DE A:DE>E 9> 4C L7>679>CF LD7D >E549@D7 D

A6C5@C4DA@PC :D 7>:DA@PC >C57> :DE L76L@>9D9>E 9> :DE A:DE>E Q :DE L76L@>9D9>E 7>;:>K@XD

Q 57DCE@5@XD 9>: L7>679>CB $9>MVEF E> 9>M4>E57D R4>F LD7D 4C L7>679>C O6776E6F :D A:DE>|a>E >: >E5D96 :P=@A6 MVE L>R4>T6 9> >C57> DR4>::6E >E5D96E :P=@A6E R4> >E5VC C67MD:@?DU

96E >C Ba

+D 45@:@?DA@PC NDO@54D: >C :P=@AD O6776ED 9> :6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E :@C>D:>E D

576?6EF 5DC56 :6E C[M>76E 57@DC=4:D7>E A6M6 :6E 57DL>A@6EF ND N>AN6 R4> E> NDQD @CX>EU

HJJ


La utilización habitual en lógica borrosa de los subconjuntos borrosos lineales a

trozos, tanto los números triangulares como los trapecios, ha hecho que se haya

investigado una relación que tenga como clases a estos subconjuntos borrosos. En la

sección 2.2 se obtiene que la W-indistinguibilidad

E(x,y)=Max(0,l-\f(x)-f(y)\) <D

permite obtener este tipo de subconjuntos borrosos cuando la función / tiene ciertas

características.

En este capítulo básicamente consideramos dos problemas abiertos interesantes.

En primer lugar, como se muestra en la memoria, una T-indistinguibilidad tiene aso

ciada una métrica generalizada por lo que sería conveniente estudiar las propiedades

de los entornos métricos, y de la topología inducida. En segundo lugar, es posible que

la W-indistinguibilidad que aparece en (1) permita definir nuevas operaciones entre

subconjuntos borrosos lineales a trozos, consiguiendo que los subconjuntos borrosos

resultantes de dichas operaciones conserven esta propiedad.

Capítulo 3

El Capítulo 3 está dedicado a estudiar dos tipos de estados lógicos clásicos: los

estados lógicos irreducibles y los minimales. Después de dar la definición de estado

lógico irreducible como aquel que no se descompone en unión de otros distintos a él,

se demuestra que estos estados lógicos caracterizan un preorden clásico. Por ende, los

estados lógicos reducibles no son esenciales y pueden eliminarse del teorema de

representación.

No obstante, también existen estados lógicos irreducibles que son superfluos y

que pueden eliminarse del teorema de representación, estados lógicos que son intersec

ción de otros estados lógicos. Este resultado nos ha llevado a considerar el estudio de

los estados lógicos minimales y su definición se da en la sección 3.2. En la memoria

se demuestra la equivalencia entre estos dos tipos de estados lógicos, cuando la rela-

156


ción es simétrica, y se obtienen caracterizaciones de los estados lógicos minimales que

muestran una importante propiedad de los mismos: todos los elementos de un estado

lógico minimal están conectados mediante cadenas de la relación del tipo

Los resultados obtenidos en este capítulo presentan dos aspectos interesantes:

1. La generalización a estados lógicos borrosos de los conceptos aquí presenta

dos. Esta generalización podría mostrar una fuerte relación con el orden entre

estados lógicos borrosos definido en la sección 1.2.3, debido a que los estados

irreducibles caracterizan un preorden clásico mientras que los estados lógicos

borrosos maximales de dicho orden caracterizan a los preórdenes borrosos. La

equivalencia, para relaciones simétricas, entre estados lógicos irreducibles y

minimales parece indicar que la obtención de subconjuntos borrosos maximales

debe ser diferente cuando la relación es una indistinguibilidad de cuando es un

preorden. Este hecho requiere, sin lugar a dudas, ser estudiado con más detalle.

2. La conexión de estos dos conceptos con la monotonía de una relación res

pecto a una operación binaria •. Como se ha mostrado en [17] los estados

lógicos permiten una caracterización de la monotonía de una relación cuando

ésta es un preorden. Quizá un estudio con más profundidad de este hecho permi

ta construir ejemplos de relaciones no monótonas que permitan modelizar distin

tos tipos de conocimiento que se caracterizan precisamente por su no monotonía.

157


PARTE II

Capítulo 4

"C >E5> ADL<54:6 N>M6E L7>E>C5D96 4C MS5696 9> 6O5>CA@PC 9> :D ;4CA@PC 9>

L>75>C>CA@D =>C>7D:@?D9D LD7D D:=4C6E L7>9@AD96E O6776E6E 6 =7D94D96EB ": MS5696 E>

ODED >C >: A6C6A@M@>C56 9>: 4E6 9>: L7>9@AD96 M>9@DC5> 4C E@E5>MD 9> 7>=:DE =7D94D96F

L67 :D >K@E5>CA@D 9> D:=4C6E >:>M>C56E R4> E6C L76565@L6E 6 DC5@L76565@L6E 9>: L7>9@U

AD96F L67 :D E4L6E@A@PC 9> R4> >: E@E5>MD 9> 7>=:DE L4>9> E>7 M69>:@?D96 M>9@DC5> 4C

L7>679>C O6776E6 Q L67 :D @C5>7L7>5DA@PC 9> :6E >E5D96E :P=@A6E 9> >E5> L7>679>CB 2>

6O5@>C>F >C56CA>EF 4CD ;4CA@PC 9> L>75>C>CA@D eMVE5>7f 9>: L7>9@AD96 R4> L4>9> A6CU

A7>5D7E> LD7D ADE6 LD75@A4:D7B

$ 57DXSE 9>: L7>679>C DE6A@D96 D: E@E5>MD 9> 7>=:DEF Q >C >: ADE6 >C >: R4> 9@AN6

L7>679>C >E >:>M>C5D:F 9DM6E >C :D E>AA@PC iBi 96E MS5696E LD7D DE6A@D7 4C A6CZ4C56

9> A6C>A5@XDE :P=@ADE M4:5@XD:4D9DE D: L7>9@AD96B "C A6CA7>56F >: L7@M>76 L>7M@5>

A6CE@9>7D7 :6E L7>9@AD96E O6776E6E A6M6MD=C@549>EF >E 9>A@7F A6M6 E>M@=74L6E E6O7> lm FHn

D 57DXSE 9> :D 5UC67MD DE6A@D9D D: L7>679>C >:>M>C5D:B

": E>=4C96 MS5696 45@:@?D 4C M>ADC@EM6 L76L4>E56 L67 &$%2w* LD7D :D =>C>7DU

A@PC >C :P=@AD A:VE@AD 9> :DE A6C>A5@XDE :P=@ADE D LD75@7 9> :D @ML:@ADA@PC Q 9>: >:>U

M>C56 M<C@M6 9>: V:=>O7DB "E5> MS5696 E> >E549@D A6C 4C L7>679>C >:>M>C5D:F 6O5>U

C@>C96 >C >: ADE6 9> :DE 5UC67MDE D7R4@M>9@DCDE C6 >E57@A5DE 4C O4>C A6CZ4C56 9>

A6C>A5@XDE M4:5@XD:4D9DEB

#D7D ;@CD:@?D7 >: ADL<54:6F E> DL:@AD >: DC5>7@67 MS5696 A6C :DE 7>:DA@6C>E O6776EDE

9> w:>>C>U!@>C>E Q 9> %>@AN>CODANB

-6M6 L76O:>MDE DO@>756E 9>E5DR4>M6EF >C L7@M>7 :4=D7F >: >E549@6 9> :D >K@E5>CU

A@D 6 C6 9> L7>9@AD96E R4> AD@=DC ;4>7D 9>: MS5696 L76L4>E56 Q R4> 6 O@>C AD7>?ADC

HJs


9> >:>M>C56E 9@E5@C=4@96E R4> DA5[>C A6M6 L76565@L6E 6 O@>C C6 E> DZ4E5>C D 4C E@E5>U

MD 9> 7>=:DE R4> 9>5>7M@C> E4 A6ML675DM@>C56B "C E>=4C96 :4=D7F 5DMO@SC E>7<D

@C5>7>EDC5> >E549@D7 APM6 L697<D 7>D:@?D7E> :D E<C5>E@E 9> XD7@DE :P=@ADE M4:5@XD:4D9DE

DE6A@D9DE D 96E 6 MVE L7>9@AD96E O6776E6EB "E5> ADM@C6 QD ;4> @C@A@D96 >C >: 57DODZ6

lqnB

Capítulo 5

"C >E5> ADL<54:6 E> >E549@DC :6E D456M67;@EM6E E6O7> F LD7D 4C 4C@X>7E6yX z X

;@C@56 Q A4DC96 :D 5UC67MD >E D7R4@M>9@DCD >E57@A5DF =>C>7D:@?DC96 >: 57DODZ6 7>D:@?D96

L67 )1-`*((*w)1 >C liJn LD7D :D 5UC67MD B +6E D456M67;@EM6E L4>9>C E>7 O4>C6EMin

ADC9@9D56E LD7D 7>L7>E>C5D7 :6E DC5PC@M6E Q E@CPC@M6E >C :P=@AD O6776EDB +D AD7DA5>7@U

?DA@PC 9> :6E D456M67;@EM6E 9> M>9@DC5> D456M67;@EM6E E6O7> Q O@Q>AUyX z lm FHn

A@6C>E E6O7> A6C94A> 9> ;67MD CD547D: D >E549@D7 :6E D456M67;@EM6E E6O7> BX lm FHn

"C :D M>M67@D E> 6O5@>C> R4> LD7D :DE 5UC67MDE D7R4@M>9@DCDEF 5DC56 L6E@5@XDE A6M6

C6 L6E@5@XDEF [C@ADM>C5> >K@E5> >: D456M67;@EM6 @9>C5@9D9B "E5D E@54DA@PC >E M4Q 9@;>U

7>C5> D A4DC96 E> A6CE@9>7D :D 5UC67MD F QD R4> LD7D SE5D A4D:R4@>7 O@Q>AA@PCMin

M6CP56CD E6O7> >E 4C D456M67;@EM6B !> >E5D ;67MD :D 7>L7>E>C5DA@PC 9> DC5PUlm FHn

C@M6E Q E@CPC@M6E 9D :4=D7 D E@54DA@6C>E 9@;>7>C5>E A4DC96 E> A6CE@9>7D :D LD7>ZD

R4> A4DC96 E> A6CE@9>7D 4CD LD7>ZD 94D: Q A6C D7R4@M>9@DCDByMin FMax z yT FT z T

!> N>AN6F A6M6 E> M4>E57D >C :D [:5@MD E>AA@PC 9>: ADL<54:6F >C >E5> [:5@M6 ADE6 EP:6

>E L6E@O:> NDO:D7 9> DC5PC@M6EF 9> DA4>796 E@>ML7> D: M69>:6 L76L4>E56B

/C @ML675DC5> L76O:>MD R4> ND R4>9D96 DO@>756 >C >E5> ADL<54:6 A6CE@E5> >C

9>5>7M@CD7 E@ :6E D456M67;@EM6E E6O7> F A4DC96 E> A6CE@9>7D 4CD 5UC67MD D7R4@UyX z

M>9@DCD C6 L6E@5@XD A6M6 :D 9> +4YDE@>j@A?F A6CE>7XDC E4OA6CZ4C56E A:VE@A6E 6 O@>CF

E@ C6 :6 NDA>CF >CA6C57D7 4C A6C57D>Z>ML:6F :6 R4> L>7M@5@7<D >K5>C9>7 :6E 7>E4:5D96E

6O5>C@96E D >E5> 5@L6 9> 5UC67MDEB

HJI

APÉNDICE

Apéndice

#7>E>C5DM6E >C >E5> DLSC9@A> :DE 9>;@C@A@6C>E Q L76L@>9D9>E OVE@ADE 9> :DE 5U

C67MDE Q 5UA6C67MDEF Z4C56 D :DE 9> L7>P79>C>E > @C9@E5@C=4@O@:@9D9>EF A6C >: 6OZ>56 9>

NDA>7F >C :D M>9@9D 9> :6 L6E@O:>F D456A6C5>C@9D :D M>M67@DB

1. NORMAS TRIANGULARES

Definición 1.1.

/CD C67MD 57@DC=4:D7 >E 4CD 6L>7DA@PC R4> X>7@;@AD :DE E@=4@>CUT T 8 lm FHng lm FHn

5>E L76L@>9D9>E8

^ $E6A@D5@X@9D98 FT yx FT yy Fz z z T yT yx Fy z Fz z

^ -6CM45D5@X@9D98 FT yx Fy z T yy Fx z

^ '6C656C<D8 E@ > >C56CA>E Fx x y y T yx Fy z T yx Fy z

^ -6C9@A@6C>E 9> A6C567C68 Q BT yx FH z x T yx Fm z m

+D 9>C6M@CDA@PC 9> C67MDE 57@DC=4:D7>E L76X@>C> 9> wB '>C=>7 lhInF Q E> DO7>X@DC

NDO@54D:M>C5> A6M6 5UC67MDE yvid. bB 2ANj>@?>7F Q $B 2Y:D7 lJinzB

$:=4C6E >Z>ML:6E 9> 5UC67MDE E6C8

^ La t-norma Z. 2> 9>;@C> A6M6F

^ La t-norma Min. !>;@C@9D A6M6 >: M<C@M6 9> 96E C[M>76EF

^ La t-norma Producto. !>;@C@9D A6M6 >: L7694A56 9> 96E C[M>76EF

Min yx Fy z x F E@ x yy F E@ x�yB

HqH

Apéndice

^ La t-norma de Lukasiewicz. !>;@C@9D A6M6F

yx Fy z x yB

#67 :DE L76L@>9D9>E 9> A6C567C6 Q 9> M6C656C<D >E ;VA@: 9> X>7 R4> E> X>7@;@ADF

W yx Fy z Max ym Fx y HzB

LD7D A4D:R4@>7 5UC67MD FT

/CD 5UC67MD >E A6C5@C4D E@ :6 >E A6M6 ;4CA@PC 9> 96E XD7@DO:>EB +D 5UC67MD C6 >E

Z T Min B

Z

A6C5@C4D Q >C ADMO@6 E@ :6 E6CB "C :D L7>E>C5> M>M67@D 5DC EP:6 A6CE@9>7DUMin F FW

M6E 5UC67MDE A6C5@C4DEB

Definición 1.2.

/CD 5UC67MD >E D7R4@M>9@DCD E@ >E A6C5@C4D Q E> X>7@;@AD LD7D 5696 R4>T x ym FHz

T yx Fx zÇxB

": E@=4@>C5> 5>67>MD lHFhqn >E 4CD @ML675DC5> AD7DA5>7@?DA@PC 9> :DE 5UC67MDE D7R4@M>U

9@DCDEF

Teorema 1.3.

/CD 5UC67MD >E D7R4@M>9@DCD E@ Q EP:6 E@ D9M@5> 4CD 7>L7>E>C5DA@PC 9> :D ;67MDT

96C9> >E 4CD ;4CA@PC A6C5@C4DF >E57@A5DM>C5> 9>A7>A@>C5> Q 5D: R4>

T yx Fy z h y Hz yh yx z h yy z z

h 8 lm FHn

B +D ;4CA@PC >E :D LE>496@CX>7ED 9> F 9D9D L678h yHz m h y Hz 8 lm FHn h

162

Apéndice

$ :D ;4CA@PC E> :> 9>C6M@CD =>C>7D967 D9@5@X6 9> :D 5UC67MD Q >E [C@AD ED:X6 :Dh T

M4:5@L:@ADA@PC L67 4CD A6CE5DC5> L6E@5@XDB +D 5UC67MD C6 >E D7R4@M>9@DCDF L>76Min

:DE 5UC67MDE E@ :6 E6CB >E5V =>C>7D9D L67 Q L67FW h yx z :C x W hW yx z H x B

Definición 1.4.

/CD 5UC67MD >E >E57@A5D E@ >E A6C5@C4D Q >E57@A5DM>C5> A7>A@>C5> >C AD9D XD7@DO:>T

>C Bym FHng

+D 5UC67MD >E >E57@A5D L>76 C6 :6 >EB #D7D :DE 5UC67MDE D7R4@M>9@DCDE E> X>7@;@ADW

R4> E6C >E57@A5DE E@ Q EP:6 E@ E4 =>C>7D967 D9@5@X6 X>7@;@AD Bf ymz

Definición 1.5.

/CD 5UC67MD >E L6E@5@XD E@ LD7D 5696T T yx Fy z�m x Fy ym FHn B

+DE [C@ADE 5UC67MDE A6C5@C4DE L6E@5@XDE E6C Q :DE >E57@A5DEBMin

+D @ML675DCA@D 9> :DE 5UC67MDE R4> N>M6E L4>E56 L67 >Z>ML:6 R4>9DMin F FW

7>;:>ZD9D >C :6E E@=4@>C5>E 7>E4:5D96EB

Definición 1.6.

!6E 5UC67MDE E6C @E6M67;DE E@ Q EP:6 E@ >K@E5> 4CD O@Q>AA@PCT FT 8 lm FHn

5D: R4> LD7D 5696 E> X>7@;@AD R4>lm FHn x Fy lm FHn

Hqh

Apéndice

yT yx Fy z z T y yx z F yy z zB

Teorema 1.7.

+DE [C@ADE 5UC67MDE A6C5@C4DE E6C8

^ :D 5UC67MD FMin

^ :DE D7R4@M>9@DCDE >E57@A5DE R4> E6C @E6M67;DE D :D 5UC67MD L7694A56 F

^ :DE D7R4@M>9@DCDE C6 >E57@A5DEF @E6M67;DE D :D 5UC67MD 9> +4YDE@>j@A?F QW

^ :DE 5UC67MDE R4> E6C E4MD 679@CD: 9> 5UC67MDE D7R4@M>9@DCDE Q :D 5UC67MD BMin

$ :D X@E5D 9> >E5> 7>E4:5D96F :DE 5UC67MDE A6C5@C4DE E> 7>94A>C D >E549@D7 :DE 5UC67MDE

Q +DE 5UC67MDE 9>: DLD75D96 i 9>: 5>67>MD E6C 5UC67MDE A6C5@C4DE 9D9DEMin F F W B

L67 e576?6Ef 96C9> E> A6ML675DC A6M6 >: M<C@M6 6 A6M6 D:=4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DU

CDB #D7D MVE 9>5D::>E L4>9> A6CE4:5D7E> lJinB

2. PREÓRDENES E INDISTINGUIBILIDADES

Definición 2.1.

!D9D 4CD 5UC67MD F E> 9>;@C> :D LE>496@CX>7ED A6M6T I T

I T yy ux z sup}z lm FHn 8T yx Fz z y~ B

+DE LE>496@CX>7EDE 9> :DE 5UC67MDE E6C8Min F FW

164

Apéndice

^ IMin yy uxz H si x yy >B6BAB F

^

^ I W yy uxz Min yH FH x yzB

-4DC96 :D LE>496@CX>7ED E> 9>;@C> D LD75@7 9> 4CD 5UC67MD A6C5@C4D L67 :D @?U

R4@>79D >C E4 E>=4C9D A6ML6C>C5>F L7>E>C5D M4ANDE L76L@>9D9>E @C5>7>EDC5>EF D:=4CD

9> :DE A4D:>E E6C8

1. T yx F IT yy ux z z y

2. E@ Q EP:6 E@ y@CA:4Q> 7>;:>K@X@9D9zIT yy ux z H x y

3. y57DCE@5@X@9D9zT y IT yy ux z F IT yz uy z z IT yz ux z

4. yL76L@>9D9 9> @C5>7ADMO@6zIT y IT yz uy z Fx z IT y IT yz ux z Fyz

5. >E M6CP56CD >C >: E>=4C96 D7=4M>C56 y zIT IT y ux z

6. >E DC5@M6CP56CD >C >: L7@M>7 D7=4M>C56 y zIT IT yy u z

7. yL7@CA@L@6 9> C>457D:@9D9zIT yy uH z y

+D LE>496@CX>7ED 9> 4CD 5UC67MD >E 4C UL7>679>CB 2> 9>C6M@CD UL7>679>CT T T

>:>M>C5D: =>C>7D96 L67 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 D|

I T| yy ux z sup}z lm FHn 8T y|x Fz z |y~B

HqJ

Apéndice

2> X>7@;@AD >: E@=4@>C5> 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PC lsqF Imn8

Teorema 2.2.

/CD 7>:DA@PC O6776ED >E 4C UL7>679>C E@ Q EP:6 E@ >K@E5> 4CD ;DM@:@DR 8X lm FHn T

9> 9> E4OA6CZ4C56E O6776E6E 5D: R4>8F |

R yy ux z inf| FI T| yy ux zB

-6M6 E> ND X@E56 >C :D M>M67@DF y5>67>MD HBHBrF LV=@CD gsz >: A6CZ4C56 9>

>E5D96E :P=@A6E 9> >E >: MDQ67 A6CZ4C56 A6C >: R4> E> X>7@;@AD >: 5>67>MD 9> 7>L7>UR

E>C5DA@PCB

Definición 2.3.

/CD 7>:DA@PC O6776ED E> 9@A> R4> >E 4CD U@C9@E5@C=4@O@:@9D9 E@ Q EP:6E 8X lm FHn T

E@

^ >E 4C UL7>679>CFE T

^ >E E@MS57@ADF BE E yx Fy z E yy Fx z

$: @=4D: R4> LD7D :6E UL7>P79>C>EF :DE @C9@E5@C=4@O@:@9D9>E D9M@5>C >: E@=4@>C5> 5>67>UT

MD 9> 7>L7>E>C5DA@PCB

Teorema 2.4.

/CD 7>:DA@PC O6776ED >E 4C U@C9@E5@C=4@O@:@9D9 E@ Q EP:6 E@ >K@E5> 4CDE 8X lm FHn T

;DM@:@D 9> 9> E4OA6CZ4C56E O6776E6E 5D: R4>8F |

Hqq

Apéndice

3. CONORMAS TRIANGULARES

E yy ux z inf| FMin y I T| yy ux z F I

T| yx uy z z B

Definición 3.1.

/CD A6C67MD 57@DC=4:D7 >E 4CD 6L>7DA@PC R4> X>7@;@AD :DET T 8 lm FHng lm FHn

E@=4@>C5>E L76L@>9D9>E8

^ DE6A@D5@X@9D98 FT yx FT yy Fz z z T yT yx Fy z Fz z

^ A6CM45D5@X@9D98 FT yx Fy z T yy Fx z

^ M6C656C<D8 2@ > >C56CA>E Fx x y y T yx Fy z T yx Fy z

^ A6C9@A@6C>E 9> A6C567C68 Q BT yx Fm z x T yx FH z H

+DE A6C67MDE 57@DC=4:D7>E E> E4>:>C DO7>X@D7 L67 5UA6C67MDE Q E6C 4C A6CA>L56 94D: D:

9> 5UC67MDE >C >: E>C5@96 9>: E@=4@>C5> 5>67>MD8

Teorema 3.2.

>E 4CD 5UA6C67MD E@ Q EP:6 E@ F 9>;@C@9D L67T T

>E 4CD 5UC67MDB

T yx Fy z H T yH x FH y z

$E< LD7D AD9D 5UC67MD 5>C>M6E DE6A@D9D 4CD 5UA6C67MDF L67 >Z>ML:6 :DE 5UA6C67MDE

DE6A@D9DE D :DE 5UC67MDE E6C8Z FMin F FW

^ La t-conorma Z^*. 2> 9>;@C> A6M6F

Hqr

Apéndice

^ La t-conorma Max. Min yx Fy z Max yx Fy z F

^ La t-conorma Suma probabilística. yx Fy z x y x y F

^ La t-conorma de Lukasiewicz. W yx Fy z Min yH Fx y zB

#67 :DE L76L@>9D9>E 9> A6C567C6 Q 9> M6C656C<D >E ;VA@: 9> X>7 R4> E> X>7@;@ADF

LD7D A4D:R4@>7 5UA6C67MD FT

/CD 5UA6C67MD >E A6C5@C4D E@ :6 >E E4 5UC67MD DE6A@D9DB

Max T Z

Definición 3.3.

^ /CD 5UA6C67MD >E D7R4@M>9@DCD E@ E4 5UC67MD DE6A@D9D :6 >EB !> :D M@EMDS

;67MD 4CD 5UA6C67MD E> 9@A> >E57@A5D E@ >E >E57@A5D E4 5UC67MD DE6A@D9DB

^ /CD 5UA6C67MD >E L6E@5@XD E@ E4 5UC67MD 94D: DE6A@D9D :6 >EBS

+6E 5>67>MDE 9> 7>L7>E>C5DA@PC LD7D 5UC67MDE E> X>7@;@ADC 5DMO@SC LD7D 5UA6C67MDEF

Teorema 3.4.

/CD 5UA6C67MD >E D7R4@M>9@DCD E@ Q EP:6 E@ D9M@5> 4CD 7>L7>E>C5DA@PC 9> :DT

;67MD

Hqs

Apéndice

96C9> >E 4CD ;4CA@PC A6C5@C4DF >E57@A5DM>C5> A7>A@>C5> Q 5D: R4>

T yx Fy z g y Hz yg yx z g yy z z F

g 8 lm FHn

F Q >E :D LE>496@CX>7ED 9> Bg ymz m g y Hz 8 lm FHn g

$ :D ;4CA@PC E> :> 9>C6M@CD =>C>7D967 D9@5@X6 9> :D 5UA6C67MD F Q >E [C@ADg T

ED:X6 :D M4:5@L:@ADA@PC L67 4CD A6CE5DC5> L6E@5@XDB /CD 5UA6C67MD D7R4@M>9@DCD >E

>E57@A5D E@ Q EP:6 E@ E4 =>C>7D967 D9@5@X6 X>7@;@AD R4> B "C56CA>E :D LE>496Ug yHz

@CX>7ED A6@CA@9> A6C :D @CX>7ED 9> F B -6M6 >E :P=@A6 L67 94D:@9D9F :D 5Ug g y Hz g H

A6C67MD >E A6C5@C4D Q C6 D7R4@M>9@DCDF Q :DE 5UA6C67MDE E6C D7R4@M>UMax FW

9@DCDE E@>C96 :D L7@M>7D >E57@A5DB +DE 5UC67MDE Q :DE >E57@A5DE E6C L6E@5@XDEBMax

$: @=4D: R4> E4A>9<D A6C :DE 5UC67MDEF :DE 5UA6C67MDE F E6C >EL>UMax F FW

A@D:M>C5> @ML675DC5>E L67 7>L7>E>C5D7 D 569DE :DE 5UA6C67MDE A6C5@C4DEB

Definición 3.5.

!6E 5UA6C67MDE E6C @E6M67;DE E@ Q EP:6 E@ :6 E6C E4E 5UC67MDE DE6A@D9DEBTH FTg

Teorema 3.6.

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4. TERNAS DE DE MORGAN

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169

Apéndice

Definición 4.1.

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Teorema 4.2.

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Definición 4.3.

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