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UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELADEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA

CONTRIBUCION AL MODELADO

MATEMATICO DE ALGUNOS PROBLEMASEN LA METALURGIA DEL SILICIO

FRANCISCO JOSE PENA BRAGE2003

Esta Tesis Doctoral fue presentada por Don Francisco Jose Pena Brage en el De-partamento de Matematica Aplicada de la Universidad de Santiago de Compostela parala obtencion del grado de Doctor en Ciencias Matematicas.

Fue dirigida por el Profesor Doctor Don Alfredo Bermudez de Castro y Lopez-

Varela, Catedratico de Matematica Aplicada de la Universidad de Santiago de Com-postela.

La defensa tuvo lugar el dıa 30 de Julio de 2003 ante el Tribunal constituido por losProfesores:

presidente:

Dr. D. Jesus Ildefonso Dıaz Dıaz, Universidad Complutense de Madrid.

vocales:

Dr. D. Francisco Ortegon Gallego, Universidad de Cadiz.

Dr. D. Jose Durany Castrillo, Universidade de Vigo.

Dra. Dna. Marıa del Carmen Muniz Castineira, Universidade de Santiago deCompostela.

secretario:

Dr. D. Rafael Munoz Sola, Universidade de Santiago de Compostela.

Obtuvo la Calificacion de Sobresaliente cum Laude.

Julio, 2003.

Agradecimientos

Deseo expresar mi mas profundo agradecimiento al profesor Alfredo Bermudez deCastro, director de esta tesis doctoral, por haberme ofrecido la posibilidad de realizareste trabajo. Su conocimiento y experiencia han sido de inestimable ayuda para com-prender muchos de los aspectos teoricos de esta memoria.

Asimismo, me gustarıa agraceder la colaboracion y el apoyo constante que he recibidoespecialmente por parte de tres miembros del Departamento de Matematica Aplicada:Oscar, Rafa y Pili, pues sin su trabajo desinteresado no habrıa podido terminar estamemoria.

Tambien deseo expresar mi gratitud a FerroAtlantica I+D que viene colaborandodesde hace anos con nosotros y que ha permitido que muchos licenciados hayamos tenidoun camino proximo a la empresa en el que desarrollar y ampliar nuestros conocimientosmatematicos. Muy especialmente, me gustarıa resaltar el interes mostrado por JavierBullon en este aspecto.

De la misma forma, debo mi mas sincero agradecimiento a todos los miembros delDepartamento de Matematica Aplicada por haber creado el mejor lugar de trabajo,tanto en el terreno de la investigacion como en el de la docencia. Quiero destacar enparticular a aquellas personas que me han facilitado mi labor docente cuando la tesisexigıa todo mi tiempo.

Por ultimo, quiero agradecer a mi familia y mis amigos (¡a todos!) el haber sido ca-paces de soportarme en los malos momentos y el ser responsables de todos los buenos.No existe vida sin vosotros, aunque a veces me empene en no verlo.

Santiago, Mayo de 2003.

Adicado a mina irma Anae o meu amigo Marcote:

por axudarme a loitar.

Indice general

I Simulacion de electrodos metalurgicos 3

1. Descripcion del proceso 51.1. El silicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. La reaccion quımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2. Los tipos de silicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. El horno de reducion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. El electrodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1. Los electrodos clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2. El electrodo ELSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Modelado matematico de electrodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.1. El acoplamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2. Los modelos bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.3. Los modelos tridimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.4. Otros modelos para el horno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Presentacion del modelo matematico 172.1. Las ecuaciones del electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1. Baja frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2. Corriente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.3. Corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. La ecuacion del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.1. Escritura en terminos de la entalpıa . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.2. La transformacion de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. El acoplamiento y los terminos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4. Relacion con el problema del “termistor” . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5. Revision bibliografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.1. Artıculos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.2. Artıculos teoricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Existencia de solucion para un modelo de electrodo 303.1. El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.1. El dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.2. Las condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

i

ii INDICE GENERAL

3.1.3. Las condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2. La formulacion variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.1. El problema electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.2. El problema termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3. El planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.1. Las hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.2. El termino de la entalpıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.3. La formulacion debil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.4. La formulacion “ultra-debil” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4. El resultado de existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.1. El problema truncado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.2. La existencia de solucion para el problema debil . . . . . . . . . 42

3.5. Nuevas estimaciones sobre la solucion de (PDT)M . . . . . . . . . . . . 523.5.1. El problema “ultra-debil” truncado . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.6. Paso al lımite cuando M → +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.7. Un intento de extension del teorema de existencia . . . . . . . . . . . . 63

4. La resolucion numerica del modelo axisimetrico 664.1. El dominio y el modelo electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.1. La inclusion del agua de refrigeracion en el dominio de calculo . 684.1.2. Las condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.1.3. La formulacion variacional electromagnetica . . . . . . . . . . . 71

4.2. El modelo termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2.1. Condiciones de contorno termicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2.2. La formulacion variacional del problema termico . . . . . . . . . 74

4.3. La resolucion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.1. Discretizacion temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.2. Un algoritmo iterativo para la entalpıa . . . . . . . . . . . . . . 754.3.3. La discretizacion espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3.4. El algoritmo completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5. Resultados numericos 795.1. El paquete informatico ELSATE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2. Ejemplos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

II Simulacion de una colada de silicio 87

1. Descripcion del proceso fısico 891.1. La placa de enfriamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2. Existencia de solucion para el caso bidimensional 922.1. El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.1.1. El dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

INDICE GENERAL iii

2.1.2. Las condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.1.3. Las condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.1.4. El contacto entre el silicio y la placa . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.2. La formulacion variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.3. El planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.3.1. Las hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.3.2. El termino de la entalpıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.3.3. La formulacion debil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.4. El resultado de existencia para (PD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.5. La determinacion de hI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3. La resolucion numerica del modelo bidimensional 1033.1. El dominio bidimensional y las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.2. Las condiciones de contorno termicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.2.1. Estimacion de los coeficientes de transferencia . . . . . . . . . . 1043.3. El contacto entre el silicio y la placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.4. El modelo completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.5. La resolucion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.5.1. Un algoritmo para la resistencia de contacto . . . . . . . . . . . 1063.5.2. El algoritmo completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4. Resultados numericos 109

A. Algunos resultados de Analisis Funcional 113A.1. Resultados sobre topologıas debiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

A.1.1. La topologıa debil σ(E,E ′). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113A.1.2. La topologıa debil ∗ σ(E ′, E). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

A.2. Las funciones semicontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115A.3. Los operadores maximales monotonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.3.1. La subdiferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118A.4. Resultados sobre espacios de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122A.5. Los espacios de Sobolev y otros espacios funcionales . . . . . . . . . . . 124

A.5.1. Una formula de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125A.5.2. Las desigualdades de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

A.6. Los espacios de funciones en QT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127A.6.1. Las distribuciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127A.6.2. Los operadores de sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

A.7. Resultados de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135A.7.1. Un resultado para el problema electromagnetico del electrodo . 135A.7.2. Un resultado para el problema termico del electrodo . . . . . . . 135A.7.3. Un resultado para el problema de la colada . . . . . . . . . . . . 138

A.8. Otros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

iv INDICE GENERAL

Indice de figuras

1.1. La cuba de un horno de reduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Distribucion de la corriente en los electrodos. . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Vista frontal de una placa y recorrido interno del fluido. . . . . . . . . 91.4. Fotografıa del mecanizado de un “nipple”. . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5. Fotografıa de dos electrodos Søderberg bajo placas. . . . . . . . . . . . 101.6. Esquema del electrodo ELSA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1. Analisis de algunos de los artıculos publicados. . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1. Rango de valores para r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.1. Esquema del dominio Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2. Condiciones de contorno: a) electromagneticas; b) termicas. . . . . . . . 70

4.3. Esquema del algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.1. Ventana principal de la aplicacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2. Cuadro de dialogo para la introduccion de datos. . . . . . . . . . . . . 80

5.3. Cuadro de dialogo para la visualizacion de campos escalares. . . . . . . 815.4. Demanda diaria de energıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.5. Evolucion de la temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.6. Temperatura en la zona de las placas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.7. Parte real de la densidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.8. Calor desprendido por efecto Joule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1.1. Esquema y foto de la colada clasica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891.2. Detalle de un corte longitudinal de la placa. . . . . . . . . . . . . . . . 901.3. Esquema y foto de una placa de colada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.1. Ejemplo de dominio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.2. Salto en la interfase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.1. Seccion media de la placa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.2. Fronteras del problema de la colada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.1. Temperatura a la entrada de la placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.2. Isoterma de fusion del cobre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

v

vi INDICE DE FIGURAS

4.3. Temperatura en la parte final del dominio. . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.4. Isoterma de solidificacion del silicio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Introduccion

La industria metalurgica produce gran una cantidad de materiales esenciales paranuestra sociedad. Productos como el acero o el silicio se producen industrialmente enhornos de reduccion. Aunque los principios basicos de fabricacion no han cambiado enmas de 100 anos, un gran esfuerzo de modelado numerico se ha realizado en las ultimasdecadas. El objetivo de esta memoria es el estudio desde un punto de vista analıtico,pero tambien numerico, de algunos de los problemas relacionados con esta industria.

El fenomeno mas interesante es la produccion en sı de las materias primas en elhorno de reduccion y este sera el primero que analizaremos. Las reacciones quımicasinvolucradas suelen precisar de grandes cantidades de calor, que provienen de la co-rriente electrica que atraviesa los electrodos de la cuba. Desde el momento en que losparametros termoelectricos y el efecto Joule dependen de la corriente y la temperatura,todo modelo matematico que pretenda describir este proceso debe tener en cuenta laecuacion de la energıa y las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell. En general,ambas estaran acopladas.

Antes de iniciar su estudio, veremos la relacion con otros problemas relacionados,especialmente el problema del “termistor”, en el que que la dependencia de la con-ductividad electrica respecto de la temperatura es el factor crıtico a analizar. Veremosque en la mayor parte de los artıculos que abordan este tema no se hace hicapie en eltermino de la entalpıa y en general, esta se toma igual a la temperatura.

Tras ello, plantearemos nuestro modelo en un dominio tridimensional. En la partetermica se considerara la existencia de cambio de estado “gradual”, de forma que laentalpıa no sea multıvoca. Existiran varios materiales, lo que se traducira en que losparametros termoelectricos podran depender del punto. En la parte electromagneticala principal suposicion que haremos sera que la corriente sea cuasi-estacionaria. Lacorriente podra ser variable en el tiempo (no necesariamente alterna). Pretendemosası investigar un problema mas sencillo que el correspondiente al cambio de fase a unatemperatura dada, pero analizado en un marco adecuado para su extension a este ultimocaso.

El resultado de existencia que se presenta extiende un resultado de Bossavit y Ro-drigues [26]. En la parte electromagnetica, el uso de condiciones de contorno diferentesnos obliga a utilizar teoremas de existencia y unicidad para un problema truncado dis-tinto del utilizado por estos autores. En la parte termica, el termino de la entalpıa noslleva a tener que usar operadores de sustitucion para poder tratar la derivada temporalde la entalpıa. Asimismo, el metodo de Boccardo y Gallouet [24] se extiende al caso

1

2 Introduccion

de funciones de Caratheodory monotonas en el termino de la derivada temporal, bajociertas condiciones, lo que permite mejorar el resultado de [26] donde el termino de laderivada temporal unicamente es lineal.

El estudio numerico se centra en un modelo axisimetrico para un unico electrodo, porlo que se usan las coordenadas cilındricas. El algoritmo se basa en una semidiscretizacionen tiempo mediante un esquema implıcito y un metodo de elementos finitos, continuoslineales a trozos en espacio.

En la segunda parte de este trabajo analizamos otro proceso fısico ligado a la pro-duccion de silicio. Se trata del enfriamiento del silicio, una vez que ha salido de lacuba, sobre placas de cobre refrigerado. En este caso, podremos probar un resultado deexistencia que contemple el cambio de fase. El problema reside en que la transmisionde calor entre el silicio y la placa es imperfecta, siendo desconocida la resistencia decontacto que se establece entre ambos. Aprovechando el hecho de que el calor evacuadopor la placa es conocido, se demuestra entonces un resultado de existencia de solucionpara cada calor experimental dado.

En la parte numerica se resuelve un modelo bidimensional correspondiente a laseccion media de la placa. Un algoritmo de punto fijo permite ajustar la resistencia decontacto que devuelve el calor evacuado obtenido experimentalmente.

Parte I

Simulacion de electrodosmetalurgicos

3

Capıtulo 1

Descripcion del proceso

1.1. El silicio

El silicio es el segundo elemento mas abundante en la corteza terrestre despuesdel oxıgeno. Existe fundamentalmente bajo la forma de dioxido de silicio en cuarzo oarena. El silicio en forma de cuarzo o cuarcita se emplea para producir silicio a escalaindustrial.

1.1.1. La reaccion quımica

Una reaccion quımica de reduccion entre el dioxido de silicio y sustancias carbonosaspermite obtener el silicio. La reaccion global es (ver [91]):

Si O2 + 2 C = Si + 2 CO.

El proceso real es mucho mas complejo e incluye en particular las reacciones:

(1 + x) Si O2 + (2 + x) C = Si + x SiO + (2 + x) CO,

(1 + x) Si O2 + (2 + x) C + (1 + x) O2 =

Si + x SiO2(humo de sılice) + (2 + x) CO2 + (calor).

Los productos que se obtienen de la reaccion son:

Silicio.

Humo de sılice1.

Energıa en forma de calor2.

1El humo de sılice se aprovecha para producir hormigones de alta resistencia.2A veces se recupera de los gases de salida.

5

6 Capıtulo 1. Descripcion del proceso

Este proceso tiene lugar en hornos, llamados “de reduccion” o tambien “de arcoelectrico”, pues en su interior se hace saltar un arco electrico que permite alcanzar tem-peraturas superiores a 2500 C, que hacen posible la reaccion.

La pureza del producto obtenido por este procedimiento, conocido como “silicio me-talurgico”, es de hasta el 98%. Se producen mas de 900.000 Tn de silicio metalurgicoen el mundo cada ano3 (ver [69]).

1.1.2. Los tipos de silicio

Se clasifican segun la cantidad de impurezas, de las combinaciones subsiguientes conotras sustancias y de sus aplicaciones:

Silicio electronico: es el mas puro de los empleados industrialmente, denomina-do de 9N (“9 nueves”≡ 99,9999999% de pureza). Se utiliza para la fabricacion delos semiconductores, en la que se requiere una precision en la conduccion electricamuy alta. Los procesos de produccion y refinamiento de este tipo de silicio pocotienen que ver con los estudiados en este trabajo.

Silicio solar: es de menor pureza que el anterior, aunque en la actualidad com-parte con el silicio electronico varias fases de produccion. Ultimamente se estandesarrollando tecnicas de obtencion menos refinadas para evitar el alto coste, tantoeconomico como medioambiental, que acarrea la generacion del silicio electronico(ver [90]). Sirve para fabricar las celulas fotovoltaicas de los paneles solares.

Silicio quımico: parte del silicio metalurgico se utiliza para combinarlo con HCly agua y ası obtener un material de alta superficie especıfica que se utiliza parala fabricacion de siliconas, productos de relleno, etc.

Silicio metal: es el silicio metalurgico que contiene un 1-2% de otros elementos.Se usa en aleaciones con otros metales, como el aluminio.

Ferrosicilio: es silicio metalurgico que contiene mas de un 2% de otros elementos.Existen dos tipos estandar segun su pureza: ferrosilicio 50% y 75%. Tiene menorvalor que el silicio metal y se usa para producir aceros al silicio.

1.2. El horno de reducion

Los principios basicos de la produccion de silicio no han cambiado desde finales delsiglo XIX, pues se sigue produciendo en los hornos de reduccion (ver Figura 1.1). Estosse componen de:

3Debido a que el consumo de energıa es muy alto (14kWh por kg de silicio producido), estasindustrias estan en lugares con facilidad de acceso a energıa a bajo coste. De hecho, en muchos casos,establecen polıticas de ahorro energetico tales como realizar desconexiones diarias de la red electricaen los momentos de mayor consumo (y por tanto de mayor coste).

1.2. El horno de reducion 7

Figura 1.1: La cuba de un horno de reduccion.

la cuba: es un cilindro de metal de unos 10 m de diametro y dos pisos de altura,preparado por su cara interior para resistir las altas temperaturas. Su parte su-perior esta abierta y es por donde se carga el horno. En la parte inferior posee unorificio de salida para el silicio lıquido.

los materiales de carga: suelen ser cuarzo y cuarcita (cuarzo con impurezas)en guijarros, como fuente de dioxido de silicio, y carbon y coque como sustanciascarbonosas. Su combinacion suele denominarse “mezcla”.

los electrodos: son los encargados de producir el calor necesario para la reaccionquımica. Suelen ser tres, distribuidos de forma simetrica respecto del eje de lacuba. Estan hechos de materiales carbonosos conductores de la electricidad, comografito, breas y coque. El calor se genera de dos formas: mediante el efecto Joule,por el paso de la corriente por todo el electrodo, y en su extremo inferior, al saltarel arco electrico.

el sistema de movimiento: tanto la cuba como los electrodos tienen un sistemade movimiento propio. La cuba realiza un movimiento de rotacion (una vueltacada dıa y medio, aproximadamente) para aprovechar mejor los reactivos de lamezcla. Los electrodos, debido a las altas temperaturas, se desgastan en su punta.Para mantener el arco electrico es necesario hacerlos descender periodicamente4

de forma que su desplazamiento diario es de unos 0,5 m.

4Asimismo, se debe reponer al material constitutivo de los electrodos por su parte superior.


Ademas de silicio, los hornos de reduccion sirven para producir otras ferroaleaciones,carburo calcico, hierro, acero, ...

1.3. El electrodo

Es el principal elemento de los hornos de reduccion. Como ya hemos comentado,son cilindros conductores de la electricidad cuyas dimensiones son considerables: engeneral, miden mas de 10 m de altura, alrededor de 1,5 m de diametro y pesan masde 10 toneladas. Asociados a ellos esta el sistema de transmision de la electricidad y elsistema de refrigeracion.

Una serie de transformadores cambia la corriente de la lınea de alta tension a unacorriente de bajo voltaje y de alta intensidad, de alrededor de 150 kA, adecuada parael proceso. Los hornos de silicio metal y ferrosilicio suelen ser trifasicos. En los hornosmodernos la corriente se transforma separadamente para cada fase, como se ve en laFigura 1.2.

Figura 1.2: Distribucion de la corriente en los electrodos.

La corriente entra al electrodo por un anillo de metal que lo abraza, a una alturaaproximada de 1 m sobre el nivel de carga de la cuba (ver Figura 1.1). El anillo noes una pieza unica, sino que se compone de 8 trozos iguales separados entre sı, que seconocen con el nombre de “placas”. Cada placa esta colgada por la zona superior yse oprimen contra la superficie del electrodo mediante una especie de ariete que actuasobre su parte central.

Las placas poseen un sistema de refrigeracion interna que consiste en una cavidadpor la que circula agua frıa a presion. En la parte superior de la placa, la cavidadse conecta a los tubos que traen y llevan el lıquido. En la Figura 1.3 puede verse unesquema de una placa tipo.

1.3. El electrodo 9

Figura 1.3: Vista frontal de una placa y recorrido interno del fluido.

1.3.1. Los electrodos clasicos

Los electrodos clasicos usados en la industria metalurgica son:

– los electrodos de grafito puro,

– los precocidos y

– los Søderberg.

Los electrodos de grafito puro se componen de barras de grafito que pueden ator-nillarse unas a otras a traves de piezas conocidas con el nombre de “nipples” (verFigura 1.4), o bien unirse entre sı por un mecanismo del tipo macho–hembra. Estoselectrodos se usan fundamentalmente en la industria del acero.

Los electrodos precocidos tienen una construccion analoga a los anteriores, pero elmaterial del que se componen es una mezcla de sustancias carbonosas (breas y coque),conocida como “pasta”, que se ha cocido previamente para endurecerla y eliminar lassustancias volatiles. Se usan, entre otras aplicaciones, para la produccion de silicio metal.

Los electrodos Søderberg pueden alcanzar mayores tamanos y son mas baratos quelos anteriores. Estan compuestos tambien de pasta, pero sin cocer. Es necesario uncilindro hueco de acero, llamada “virola”, que contenga los guijarros (o “briquetas”)de pasta hasta que estos se fundan y endurezcan. Es el propio calor del horno el quelos cuece, generalmente a la altura de las placas (por eso, estos electrodos tambien se


Figura 1.4: Fotografıa del mecanizado de un “nipple”.

denominan “autococidos”). La virola tiene adosadas aletas internas para la sujecion delelectrodo. El cuerpo del electrodo, ya cocido, aparece por debajo de la zona de placas,como se ve en la Figura 1.5 y cumple su funcion en la cuba del mismo modo que losprecocidos. Sin embargo, el movimiento descendente del electrodo arrastra consigo a lavirola, pues esta unida a el, con lo que al fundirse contamina con hierro el productofinal. Esta es la razon por la cual los electrodos Søderberg no son adecuados para laproduccion de silicio metal.

Figura 1.5: Fotografıa de dos electrodos Søderberg bajo placas.

El conocimiento de los procesos que se dan en la zona de cocido de la pasta y su posi-cion misma son muy importantes para controlar el funcionamiento de estos electrodos.Las briquetas de pasta comienzan a transformarse en lıquido a partir de los 100 C. Alos 550 C, ese lıquido ha perdido gran cantidad de volatiles y se ha endurecido. Duranteeste cambio la pasta, en principio no conductora, pasa a ser un electrodo conductor.

1.3. El electrodo 11

1.3.2. El electrodo ELSA

Varios proyectos han intentado conseguir electrodos autococidos que permitiesenla produccion de silicio metal (ver [86]). Con esta intencion, la empresa espanola Fe-rroAtlantica S.L. construyo un nuevo tipo de electrodo compuesto, denominado ELSA(electrodo de Sabon), que viene siendo utilizado en su planta de A Coruna desde 1991.Parece ser la solucion adecuada, pues su precio es de hasta un tercio del valor de unoprecocido. Hoy en dıa se utiliza para la produccion de silicio metal en varias plantas delmundo, teniendo una cuota de mercado del 25%.

Figura 1.6: Esquema del electrodo ELSA.


Este electrodo fue presentado hace casi una decada en [31] y desde entonces sussucesivas mejoras y su estudio a partir de modelos se han presentado en varios congresosde metalurgia (ver [29], [32], [30]).

Su constitucion. Como se ve en la Figura 1.6, el electrodo ELSA consta de unacolumna central de pasta precocida, grafito o similar. Alrededor se dispone una capade pasta de tipo Søderberg. Existe ademas una virola de acero para contener estapasta precocida. La gran ventaja de este electrodo es que su movimiento se lleva acabo haciendo descender su nucleo solido, que esta unido a la pasta allı donde estase ha solidificado. Este descenso no lleva aparejado la bajada de la virola, que actuasolamente como camisa de extrusion. Por este motivo se han eliminado las aletas desu cara interna. Otra importante ventaja del electrodo ELSA sobre los precocidos esque sus materiales constitutivos (pasta Søderberg y grafito) son producidos por masfactorıas en el mundo que los precocidos, por lo que los costes de transporte (quesiempre han sido importantes) se reducen.

La desventaja es que la polıtica de bajadas esta condicionada por la coccion de lapasta pues, si los descensos son muy rapidos, la pasta lıquida podrıa verterse por debajode placas.

Los elementos diferenciadores. El hecho de que, en cierta medida, el electrodoELSA sea un hıbrido entre los precocidos y los Søderberg es lo que mas lo diferencia deellos. Al componerse de dos materiales, su comportamiento termico y electrico cambia.Por un lado, la distribucion de corriente se modifica pues la electricidad tiene dosmateriales diferentes por los que transitar hasta la punta. Uno de ellos, el grafito, esmejor conductor electrico que el otro, al menos en el primer tramo despues de placas,cuando la pasta solida aun esta alrededor de 1000 C. Debido a que la corriente utilizadaes alterna, la densidad de corriente en el borde exterior es de una magnitud algo mayorque en el interior (el llamado “efecto piel”). Esto se produce tanto en la superficie delgrafito como de la pasta, haciendo que este efecto sea, globalmente, menos importanteque en los electrodos clasicos5.

1.4. Modelado matematico de electrodos

En contraste con la antiguedad de los hornos de reduccion, las innovaciones en elcampo de la produccion de silicio han venido dadas por la mejora de las tecnicas opera-tivas, de las que depende en gran medida el funcionamiento satisfactorio del horno. Lasimulacion numerica se ha usado con este fin, ya que el modelado mediante herramien-tas informaticas de los fenomenos que se dan en un horno permite analizar la influenciageneral que tiene la variacion de un determinado parametro, sin necesidad de acudir apruebas experimentales que suelen ser caras y difıciles.

5Este hecho nos hace ver que la barra de grafito no solo trabaja a efectos mecanicos, para la extrusiondel electrodo, sino tambien en el aspecto termoelectrico.

1.4. Modelado matematico de electrodos 13

Ası, desde los anos 70, se han desarrollado modelos matematicos y algoritmosnumericos para entender los principales problemas relacionados con la operativa delhorno. Los parametros que deben ser ajustados han sido muy diversos: la forma deaumentar la intensidad de corriente tras una parada, la magnitud y frecuencia de losdescensos del electrodo, la potencia de los sistemas de refrigeracion,... Algunos de estosparametros los veremos mas adelante con detalle aplicados al electrodo ELSA. Los re-sultados sobre los que se estudia su influencia han sido fundamentalmente tres: el campode temperaturas, los campos electromagneticos y la distribucion de tensiones (general-mente las de origen termico). Aparte de estos resultados, hay otros que se derivan delos primeros como, por ejemplo, la determinacion de la zona donde la pasta ya ha ter-minado de cocerse que esta estrechamente relacionada con el campo de temperaturas.En efecto, en condiciones normales se puede suponer que se tiene pasta solida en laisoterma de 550 C.

1.4.1. El acoplamiento

En general, las ecuaciones que describen los campos que nos interesa estudiar estanacopladas. Ası, la ecuacion del calor que nos proporciona la temperatura del electrodotiene, en nuestro caso, un termino fuente que deriva del efecto Joule y por tanto dependecuadraticamente de la densidad de corriente. A su vez, las ecuaciones de Maxwell, quedescriben el campo electromagnetico y en particular la densidad de corriente, dependende la temperatura a traves de parametros como la conductividad electrica. Otro tantopasa con los parametros de las ecuaciones que determinan los esfuerzos mecanicos, sobretodo cuando estas son de origen termico.

1.4.2. Los modelos bidimensionales

Aparte de los estudios realizados desde un punto de vista analıtico (ver [48], [25],[60]) y de los modelos de balances globales (ver [52], [58]), los modelos mas explotadoshan sido los bidimensionales. La ventaja mas clara de estos frente a los tridimensionalesesta en su mayor rapidez a la hora de ser resueltos numericamente. La mayorıa de losmodelos 2D se basan en la axisimetrıa (es decir, en la independencia de la coordenadaangular ϑ cuando se consideran coordenadas cilındricas (r, ϑ, z)), que presenta lacolumna vertical tanto en sus condiciones de contorno como en la distribucion delcampo de temperaturas y los campos electromagneticos.

Para poder usar un modelo axisimetrico hay que realizar una serie de suposiciones.La primera de ellas, y la mas importante, es que debe obviarse el efecto de proximidadde los otros electrodos, estudiando un electrodo como si estuviese aislado del resto. Ensegundo lugar, la entrada de corriente debe suponerse tambien axisimetrica en todaslas placas, algo que no ocurre en los electrodos modernos (ver Figura 1.2) donde cadaelectrodo recibe la corriente de dos de los tres transformadores que tienen diferentefase. Por ultimo, el dominio no puede incluir aletas como las que poseen los electrodosSøderberg.


A pesar de las simplificaciones, estos modelos se han aplicado a la mayor parte delos electrodos en uso, como detallaremos mas adelante. Ademas, en algunos trabajos enlos que se aborda un modelo tridimensional del horno, estos modelos se han usado paravalidar los resultados que se obtienen suponiendo axisimetrıa (ver [70] y tambien [11]).

Existe otro tipo de modelo bidimensional, que consiste en suponer que se tieneuna columna infinitamente larga en la direccion vertical, por la que fluye la corrienteelectrica (la densidad de corriente solo tendrıa componente vertical). Ası, el proble-ma tridimensional se podrıa reducir al estudio de un corte horizontal del electrodo acualquier altura. Este modelo es aproximadamente valido en la zona del electrodo queya esta sumergido en la mezcla, lejos de las placas. Realizando un corte horizontal detodo el horno, puede servir para estudiar el efecto conjunto de los tres electrodos en ladistribucion de corriente (ver [9], [60] y [80]).

Los electrodos clasicos. Vamos a revisar ahora los trabajos encontrados en la bi-bliografıa en los que se presentan modelos matematicos bidimensionales (o su resolucionnumerica) para electrodos clasicos.

En el caso de los electrodos de grafito, el estudio mas interesante es posiblementeel de las tensiones producidas en las uniones (entre grafito y “nipple”). Un modeloaxisimetrico resuelto con un metodo de elementos finitos puede verse en [51]. Por otrolado, en [62] los autores acoplaron el modelo termoelectrico axisimetrico desarrolladopor la empresa Elkem con un modelo de elementos finitos bidimensional (programadoen ANSYS) para las tensiones.

Para los precocidos, cabe citar los trabajos [42], [44] y [43] de D’Ambrosio et al. Sonestudios de la distribucion de temperaturas y/o tensiones usando modelos bidimensiona-les axisimetricos, resueltos mediante metodos de diferencias finitas. No se contempla elacoplamiento con las ecuaciones de Maxwell pues la fuente de calor es un dato. Se evitala no linealidad debida a la dependencia de los parametros respecto de la temperatura,considerando estos parametros constantes. En [43], se trata el caso evolutivo.

Respecto a los electrodos Søderberg, la companıa noruega Elkem ha desarrolladodesde los anos 70 una serie de programas para intentar entender mejor el funcionamien-to del horno. Desde sus inicios (ver [79]) se desarrollaron modelos axisimetricos paradescribir la temperatura, el campo electrico y las tensiones descritos muy escuetamenteen [66]. Un buen numero de recomendaciones sobre las operaciones en los hornos se hanapoyado en las simulaciones realizadas con estos programas (ver, por ejemplo, [67]). Enel campo del estudio de las tensiones en electrodos Søderberg, cabe citar [62], donde seusan los programas desarrollados por Elkem para calcular la temperatura y un programaen ANSYS para calcular las tensiones termicas (derivadas de un modelo bidimensional).

El electrodo ELSA. El electrodo ELSA funciona de modo diferente a los electrodosclasicos pues, a diferencia de estos, esta compuesto de dos materiales. El nucleo de grafitointerviene decisivamente no solo a efectos mecanicos sino tambien en la distribucion dela corriente y la temperatura, desde el momento en que es mucho mejor conductortermico y electrico que la pasta a temperaturas inferiores a 1000 C. Por otro lado, la

1.4. Modelado matematico de electrodos 15

inexistencia de aletas en la virola permite la axisimetrıa en la geometrıa que no poseenlos Søderberg.

En el caso de los electrodos ELSA, se han estudiado preferentemente dos problemasque aparecen en la operativa de los electrodos del horno: las perdidas de pasta lıquidabajo placas y las roturas del electrodo. Como ya hemos comentado, la magnitud de losdescensos del electrodo esta condicionada a que en la zona de placas, donde la viroladesaparece, haya una altura de pasta cocida suficiente como para que la pasta lıquida nose vierta. La determinacion de esta altura de pasta depende del campo de temperaturas,por lo que el termoelectrico fue el primer modelo abordado. Un modelo axisimetrico ysu resolucion numerica mediante elementos finitos se presenta en [10]. Este modelo tieneen cuenta la existencia de varios materiales, el acoplamiento entre la parte termica y laelectromagnetica y el uso de corriente alterna. El modelo evolutivo puede verse en [12].En el se consideran el movimiento del electrodo, las paradas del horno y los cambios deestado de la pasta.

Las roturas en los electrodos ELSA se pueden producir tanto en la zona donde laspasta no se ha cocido (y solo el grafito y la presion de las placas soportan el pesodel electrodo) como por debajo de placas (donde la pasta solida envuelve el grafito).En cualquier caso, se supone que lo mas probable es que las grietas comiencen en lasuniones (o en los “nipples”) entre barras de grafito. Uno de los factores que influyenen el aumento de las tensiones en zonas crıticas es la temperatura, por lo que convieneconsiderar modelos termomecanicos para calcular las tensiones debidas al peso y a losesfuerzos de origen termico y ası analizar los riesgos de rotura (ver [32]).

Para una vision mas detallada del trabajo de modelado efectuado por Bermudez etal. puede consultarse [11].

1.4.3. Los modelos tridimensionales

Para tener un conocimiento mas completo del horno o si la hipotesis de axisimetrıano es admisible, los modelos 3D son necesarios.

Los electrodos clasicos. Posiblemente, el primer modelo fue publicado por Innværet al. [65]. Otros trabajos aprovecharon este modelo para extraer conclusiones acerca delfuncionamiento del horno (ver [63], [64]). Aparte del trabajo de Innvær, en [68] tambiense utiliza un metodo de diferencias finitas para resolver un modelo tridimensional. Unmetodo de elementos finitos para resolver el modelo tridimensional se propone en [70].Estos artıculos describen unicamente el modelo: la geometrıa, ecuaciones y condicionesde contorno utilizadas, y presentan resultados numericos, pero no incluyen el analisismatematico ni del problema continuo ni del aproximado.

El electrodo ELSA El estudio de un modelo tridimensional para electrodos com-puestos se ha iniciado estos ultimos anos. Desde un punto de vista teorico y numericoen [17] ha sido tratado un modelo para el horno completo. En [11] se presentan algunos


resultados numericos y su comparacion con modelos axisimetricos. Para un tratamientomas detallado, ver [86].

1.4.4. Otros modelos para el horno

La mayor parte de la energıa necesaria para poner en marcha las reacciones quımicasde reduccion se produce en el arco electrico. Debido a las condiciones extremas delentorno, no es posible realizar mediciones directas, por lo que los modelos de simulacionpara el arco pueden mejorar el conocimiento sobre estos procesos. Existen dos tiposde modelo de arcos de corriente alterna: en los modelos magneto-hidro-dinamicos seplantean las ecuaciones de conservacion de la masa, la energıa y el momento, y las deconservacion para el campo magnetico, acopladas y en regimen evolutivo (ver [75]) yun modelo axisimetrico del arco electrico puede verse en [33]. Si lo que se pretendees unicamente determinar las caracterısticas electricas del arco como elemento de uncircuito, se puede plantear un modelo simplificado como en [7].

Capıtulo 2

Presentacion del modelomatematico

2.1. Las ecuaciones del electromagnetismo

Consideraremos las ecuaciones de Maxwell:

∇× e = −∂tb (ley de Faraday), ∇ · d = ρ, (2.1.1)

∇× h = ∂td + j (ley de Ampere), ∇ · b = 0, (2.1.2)

donde e es el campo electrico, j es la densidad de corriente, h es el campo magnetico, bes la induccion magnetica, d es el desplazamiento electrico y el escalar ρ es la densidadde carga electrica.

Suponemos, ademas, las leyes constitutivas clasicas:

d = εe, (2.1.3)

j = σe, (2.1.4)

b = µh, (2.1.5)

donde ε es la permitividad electrica, σ es la conductividad electrica y µ es la permeabi-lidad magnetica. Estas cantidades son propiedades macroscopicas de los materiales. Engeneral, son campos tensoriales que no solo dependen de la variable espacial x sino tam-bien de los campos e y h (ver [6]). Nosotros consideraremos el caso isotropo (donde losparametros son escalares) y lineal (sin dependencia de los campos electromagneticos).

2.1.1. Baja frecuencia

En muchas aplicaciones, cuando la frecuencia de variacion del campo magnetico es“baja”, se puede despreciar el termino ∂td en las ecuaciones de Maxwell (ver [74]). El

17

18 Capıtulo 2. Presentacion del modelo matematico

modelo ası obtenido se denomina “cuasi-estacionario”1. La primera ecuacion de (2.1.2)se debe cambiar por

∇× h = j. (2.1.6)

La ecuacion de conservacion de la corriente electrica. Tomando la divergenciade la ecuacion (2.1.6) se deduce que

∇ · (∇× h) = ∇ · j = 0.

Ahora, usando la ley constitutiva (2.1.4), se obtiene la ecuacion de conservacion dela corriente:

∇ · (σe) = 0. (2.1.7)

Una ecuacion para el campo magnetico en los conductores. De la ecuacionde Faraday y de la ley constitutiva (2.1.5) se deduce que

∂t(µh) + ∇× e = 0. (2.1.8)

En los materiales conductores la conductividad electrica es estrictamente positiva,por lo que en ellos podemos despejar e en funcion de j y usar la expresion (2.1.6) paraası obtener una unica ecuacion para el campo magnetico

∂t(µh) + ∇× (1

σ∇× h) = 0. (2.1.9)

En los materiales dielectricos no es posible conocer el campo electrico a partir de ladensidad de corriente, pues esta es nula en cada punto. Los campos electrico y magneticosatisfacen un sistema de dos ecuaciones, compuesto por (2.1.8) y (2.1.6):

∂t(µh) + ∇× e = 0 (2.1.10)

∇× h = 0. (2.1.11)

Observacion 1. A veces es posible suponer que el campo magnetico en coordenadascartesianas solo tiene una componente no nula y que ademas no depende de la variableen esa direcccion. Por ejemplo,

h = h(x, y)ez. (2.1.12)

De esta forma el problema pasa a ser bidimensional2. En efecto, se puede comprobarque

∇× (1

σ∇× h) =

(

0, 0,−∇ · ( 1

σ∇h)

)

, (2.1.13)

1El nombre proviene de que el desplazamiento electrico no depende del tiempo y el campo magneticofuera de los conductores se puede representar en cada instante por las ecuaciones del “campo estatico”:

∇ · b = 0, ∇× h = 0.

2Esto es lo que se entiende por “modelo electromagnetico bidimensional” en la Figura 2.1.

2.1. Las ecuaciones del electromagnetismo 19

por lo que la ecuacion (2.1.9) se convierte en

∂t(µh) −∇ · ( 1

σ∇h) = 0. (2.1.14)

Como veremos a continuacion, en el caso estatico la ecuacion (2.1.14) es formalmenteidentica a la ecuacion de conservacion de la corriente para corriente continua. La unicadiferencia esta en como aparece el parametro σ dentro del operador diferencial diver-gencia.

2.1.2. Corriente continua

Si la corriente es continua, entonces el campo electrico deriva de un potencial

e = ∇ϕ,ya que de la Ley de Faraday se deduce que ∇× e = 0. Con esta hipotesis, la ecuacionde conservacion de la corriente queda

∇ · (σ∇ϕ) = 0. (2.1.15)

2.1.3. Corriente alterna

La caracterıstica principal de la corriente alterna es que los campos electromagneticosvarıan con el tiempo de forma sinusoidal, lo que se traduce en que todos los camposinvolucrados en las ecuaciones de Maxwell son de la forma:

g(x, t) = Re (eiωt (x)), (2.1.16)

donde es un campo complejo (vectorial o escalar, dependiendo de la naturaleza de g)y ω = 2πf, siendo f la frecuencia de la corriente.

Las ecuaciones de Maxwell (2.1.1) y (2.1.2) pueden reducirse a ecuaciones escritasen las correspondientes incognitas complejas:

∇× = −iω , ∇ · = ρ, (2.1.17)

∇× = iω + , ∇ · = 0. (2.1.18)

Observacion 2. Cuando la corriente alterna es de baja frecuencia se desprecia el termi-no iω, proveniente de la derivada temporal del desplazamiento electrico. La primeraecuacion de (2.1.18) queda reducida a

∇× = . (2.1.19)

La ecuacion unica para el campo magnetico en los conductores es, en este caso,

iωµ + ∇× (1

σ∇× ) = 0 (2.1.20)

y el sistema que satisfacen los campos electrico y magnetico en los dielectricos es

iωµ + ∇× = 0, (2.1.21)

∇× = 0. (2.1.22)


2.2. La ecuacion del calor

La ecuacion de la transmision del calor es

e−∇ · (k∇θ) = F, (2.2.23)

donde los escalares ρ, c y k son la densidad, el calor especıfico y la conductividadtermica, θ es la temperatura, e es la entalpıa y F es la fuente de calor. Se ha denotadopor e = ∂te+ v · ∇e la derivada material de la temperatura, siendo v la velocidad delmedio.

El efecto Joule. Cuando la fuente de calor proviene del paso de la corriente electrica,se dice que el calor es debido al efecto Joule. La funcion F toma la forma

F = j · e = σ|e|2.

Recordamos que aquı e simboliza el campo electrico. En los materiales conductores (enlos dielectricos el efecto Joule es teoricamente nulo) se puede escribir:

F =1

σ|j|2,

por lo que, para corriente de baja frecuencia, tambien tenemos la expresion:

F =1

σ|∇ × h|2. (2.2.24)

Cuando se trata de corriente alterna, la fuente de calor se toma promediada en unciclo3. Ası, la expresion de F es:

F (x) =ω

2π

∫ 2πω

0

j(x, t) · e(x, t) dt =ω

2π

∫ 2πω

0

1

σ|j(x, t)|2 dt.

Echando mano de la expresion (2.1.16) para los campos en corriente alterna y teniendoen cuenta la ecuacion (2.1.19), valida para baja frecuencia, se llega a la conclusion deque

F =1

σ

(

Re )2

+(

Im )2

2=

|∇ × |22σ

. (2.2.25)

Si ademas estamos en el modelo bidimensional de la Observacion 1, entonces se tieneque

F =|∇ |2

2σ.

3La razon es que la temperatura cambia con el tiempo en escalas muy superiores al perıodo deoscilacion de la corriente (que suele fluctuar varias veces por segundo), por lo que a efectos de calen-tamiento del dominio, solo importa el promedio de calor producido.

2.2. La ecuacion del calor 21

El estado estacionario. En estado estacionario y en ausencia de movimiento (v=0)la ecuacion del calor es

−∇ · (k∇θ) = F. (2.2.26)

2.2.1. Escritura en terminos de la entalpıa

Si no hay cambio de estado se tiene que

e = g(θ) =

∫ θ

0

ρ(s) c(s) ds.

Cuando se consideran varios materiales, la funcion g tambien depende del puntodonde se evalua; concretamente,

e(x, t) = g(x, θ(x, t)),

con

g(x, θ) =

∫ θ

0

ρ(x, s) c(x, s) ds. (2.2.27)

De esta forma, la ecuacion (2.2.23) queda

ρ c θ −∇ · (k∇θ) = F, (2.2.28)

en el caso de que v sea nula o g no dependa explıcitamente de x.Si el dominio es homogeneo, se puede realizar un cambio de variable para trabajar

unicamente con la entalpıa como incognita:

e−∇ ·(

k

ρ c∇e)

= F. (2.2.29)

Si cada material del cuerpo cambia de estado a una temperatura θs(x) dada, entoncesla entalpıa se obtiene a traves de un operador multivaluado g del siguiente modo:

e(x, t) ∈ g(x, θ(x, t)),

donde

g(x, θ) =

∫ θ

0ρ(x, s) c(x, s) ds si θ < θs(x),

[ ∫ θs(x)

0ρ(x, s) c(x, s) ds,

∫ θs(x)

0ρ(x, s) c(x, s) ds+ ρ(x, θs(x))L(x)

]

si θ = θs(x),∫ θ

0ρ(x, s) c(x, s) ds+ ρ(x, θs(x))L(x) si θ > θs(x),

(2.2.30)siendo L(x) el “calor latente de solidificacion” o calor por unidad de masa necesariopara realizar el cambio de estado4.

4Se puede suponer θs(x) > 0 para garantizar que g(x, 0) = 0.


En algunos materiales se puede suponer que el calor latente se cede o se absorbede forma gradual, a lo largo de un intervalo de temperaturas [θs, θl]. Por ejemplo, en elcaso de la pasta que forma los electrodos Søderberg (y la parte externa de los ELSA),existen varios componentes distintos en ella, con temperaturas de solidificacion y caloreslatentes diversos. Es por ello que se supone que el cambio de estado se produce “entre”los 100 C y los 550 C. En estos casos, la entalpıa se expresa del siguiente modo:

e(x, t) = g(x, θ(x, t)),

donde

g(x, θ) =

∫ θ

0ρ(x, s) c(x, s) ds si θ < θs(x),

∫ θ

0ρ(x, s) c(x, s) ds+

∫ θ

θs(x)ρ(x, s) L(x)

θl(x)−θs(x)ds si θs(x) ≤ θ ≤ θl(x),

∫ θ

0ρ(x, s) c(x, s) ds+

∫ θl(x)

θs(x)ρ(x, s) L(x)

θl(x)−θs(x)ds si θ > θl(x).

(2.2.31)En cualquiera de las dos formas de escritura de g, la ecuacion de la energıa (2.2.23)

queda

e−∇ · (k∇θ) = F,e(x, t) ∈ g(x, θ(x, t)),

(2.2.32)

donde la pertenencia es una igualdad si el cambio de estado se produce en un rango detemperaturas.

2.2.2. La transformacion de Kirchhoff

Si la conductividad termica depende unicamente de la temperatura (caso de unmedio homogeneo), se puede introducir la funcion

u = β(θ) =:

∫ θ

0

k(s) ds, (2.2.33)

de forma que la ecuacion (2.2.28) se transforma en

ρ c θ −4β(θ) = F. (2.2.34)

Es decir, la escritura completa del problema serıa

e−4u = F,e(x, t) ∈ g

(

x, β−1(u(x, t)))

= h(x, u(x, t)),(2.2.35)

cuando v = 0 o g no depende de x.Si la ecuacion es estacionaria y sin movimiento (el termino θ es nulo), entonces se

puede realizar el cambio de variable u = β(θ) para pasar a la ecuacion

−4u = F.

Por tanto, en esta situacion, calcular la temperatura de la ecuacion del calor con kdependiendo de la temperatura es equivalente a calcular la incognita u en la ecuacioncon k constante.

2.3. El acoplamiento y los terminos no lineales 23

Observacion 3. Si no existe cambio de estado y el medio es homogeneo, se puedeaplicar la tranformacion de Kirchhoff a la ecuacion (2.2.29), escrita en terminos de laentalpıa, mediante

v = ξ(e) =:

∫ e

0

k(g−1(s))

ρ(g−1(s)) c(g−1(s))ds,

para obtenere−4ξ(e) = F,

o bien(

ξ−1(v))· −4v = F.

Observacion 4. Si existen varios materiales, los parametros anteriores dependerandel punto donde se evaluen. En este caso, la transformacion de Kirchhoff no se po-dra aplicar. En efecto, usando la expresion (2.2.33), el gradiente de β(x, θ) serıa

∇β(x, θ) = ∇x β(x, θ) + k(x, θ)∇θ.

La expresion∇x β(x, θ) (2.2.36)

representa el vector de las derivadas espaciales de β con respecto a x. La funcion βtiene una discontinuidad de salto en la frontera entre los materiales, por lo que laderivacion en (2.2.36) debe entenderse en el sentido de las distribuciones. La expresion(2.2.36) sera una distribucion con soporte contenido en la interfase entre materiales ysu presencia complicarıa notablemente los calculos tanto teoricos como numericos.

2.3. El acoplamiento y los terminos no lineales

En general, todos los parametros que hemos visto dependen de varias magnitudes.Las que nos interesan son, principalmente,

El punto x donde se evalua el parametro, debido a la existencia de varios mate-riales.

La temperatura θ a la que se evalua.

Acoplamiento. Cuando los parametros del problema electromagnetico dependen dela temperatura, tenemos un acoplamiento de las ecuaciones de Maxwell con la ecuaciondel calor. La razon principal del acoplamiento de la ecuacion del calor con las de Maxwellesta en que la fuente de calor deriva del efecto Joule y por tanto depende cuadratica-mente de la densidad de la corriente electrica.

Terminos no lineales. La dependencia en θ de los parametros de la ecuacion termicaes una causa de no linealidad en la ecuacion del calor. Otra causa es la existenciade condiciones de tipo conveccion–radiacion cuando sus coeficientes dependen de latemperatura.


2.4. Relacion con el problema del “termistor”

Existen dispositivos en los que la conductividad electrica del material y, por tantola resistividad electrica, depende fuertemente de la temperatura. Como el efecto Joulees 1

σ|j|2, dependiendo de cual sea la relacion del campo electrico y de σ respecto de

θ (creciente, decreciente,...) el calor podra aumentar (pudiendose entrar en un cırculoretroalimentado de aumento de la temperatura que se conoce como blow up) o disminuir.Es por ello que este problema tiene especial interes en el diseno de aparatos comosensores termicos, fusibles,...

En el estudio del comportamiento termoelectrico de estos sistemas (agrupados bajoel termino ingles “thermistors”) se deben considerar las ecuaciones de Maxwell y laecuacion del calor, acopladas a traves de la fuente de calor (el efecto Joule). De ahı vienela similitud con el problema que nosotros consideramos. La diferencia se encuentra enque, en el problema del “termistor”, la no linealidad mas importante es la dependenciade σ respecto de la temperatura, por lo que la dependencia en θ de los demas parametrosno siempre es considerada. Ademas, en el problema del “termistor” un caso interesante(y bastante estudiado) es aquel en el que la conductividad electrica tiende a cero cuandola temperatura aumenta mientras que, en nuestro caso, todos los parametros dependende la temperatura y se puede suponer que son funciones acotadas inferiormente por unaconstante positiva para cualquier valor de θ.

2.5. Revision bibliografica

En esta seccion describimos una serie de artıculos publicados sobre el problematermoelectrico acoplado y del “termistor”. En la Figura 2.1 hemos recopilado las prin-cipales caracterısticas de ellos. La clasificacion no pretende ser exhaustiva ni en lostrabajos ni en sus caracterısticas, sino mas bien representativa del estado actual de lasinvestigaciones.

2.5.1. Artıculos numericos

En el artıculo de Elliott y Larsson [50] se estudia un sistema acoplado entre laecuacion termica evolutiva, con coeficientes constantes y la ecuacion de conservacionde la corriente (para corriente continua) con conductividad termica dependiente de latemperatura. Se consideran dos casos: un modelo semidiscretizado en espacio y otrocompletamente discretizado mediante elementos finitos. La discretizacion temporal delsegundo se basa en un metodo de Euler retrogrado con linealizacion semi-implıcita. Enambos casos se prueban cotas de error de orden optimo, bajo condiciones de regularidad,hasta dimension tres. Se establece la existencia de tales soluciones regulares en el casobidimensional.

Con la misma parte termica que el anterior, se presenta el artıculo de Parietti yRappaz [82]. La diferencia reside en la parte electromagnetica, donde se considera laecuacion para la corriente alterna (2.1.20). Al cambiar ∇× = 0 por ∇h = 0, el modelo

2.5. Revision bibliografica 25

que plantean es bidimensional. Consideran un metodo de elementos finitos para estemodelo, demuestran la existencia de solucion para el problema aproximado y analizanlas estimaciones del error en L2 y H1.

En el terreno de la resolucion numerica presentamos el artıculo de Clain et al. [39].Su modelo incluye la dependencia de los parametros termoelectricos respecto de la tem-peratura. Aunque usan la ecuacion electromagnetica (2.1.9) con derivada temporal, lacorriente que consideran es alterna. El principal aspecto del artıculo es el planteamientode un algoritmo para la resolucion numerica, basado en dos escalas de tiempo, una parala temperatura y otra para el campo magnetico.

2.5.2. Artıculos teoricos

Primeramente, analizamos un artıculo de Allegretto y Xie [2] relacionado con elmodelo unidimensional. En la parte termica ρ y c son constantes, mientras que laconductividad termica depende de la temperatura. En la parte electromagnetica seconsidera corriente continua y la conductividad electrica dependiente de θ. A traves desub y super-soluciones y el principio del maximo, demuestran la existencia de solucion.

Modelos bidimensionales

En este apartado tratamos los artıculos que comparten tienen como caracterısticacomun que el modelo electromagnetico es bidimensional.

En un modelo bidimensional de corrientes de baja frecuencia, cuando el campomagnetico es paralelo a uno de los ejes (ver Observacion 1), se puede simplificar laescritura de la ecuacion unica para el campo magnetico (2.1.20), ya que se puede reem-plazar el termino ∇×( 1

σ∇×h) por ∇·( 1

σ∇h). Ademas, el efecto Joule pasa de involucrar

un rotacional a tener un gradiente.En el caso de la corriente continua, la ecuacion de conservacion de la corriente

no cambia de dos a tres dimensiones por lo que estos artıculos, en principio, tratanconjuntamente los modelos bi y tridimensionales (ver, por ejemplo, [61])

Comenzamos con trabajos donde el modelo termico es estacionario (la derivadamaterial de la entalpıa se toma nula). Los artıculos de Clain y Touzani utilizan lassimplificaciones descritas para coordenadas cartesianas, por lo que son puramente bi-dimensionales. Ademas, supone que la corriente es alterna. Tanto la conductividadtermica como la electrica dependen de la temperatura. En [41] se prueba la existen-cia de solucion con condiciones de contorno Dirichlet y coeficientes acotados. Cuatroanos mas tarde, en el artıculo [40], los autores demostraron la existencia de solucionen las mismas condiciones, pero sin suponer la acotacion de los parametros, usandoestimaciones en L∞.

El artıculo de Bermudez y Munoz [15] aborda un modelo bidimensional distinto,en el que existe axisimetrıa, por lo que se usan coordenadas cilındricas y se suponeque los campos no dependen de la variable angular. Ademas, los parametros ρ y kpueden depender tanto del punto como de la temperatura (debido a ello, no utilizanla transformacion de Kirchhoff, como Clain y Touzani). La corriente se supone alterna.


Bajo estas condiciones, demuestran la existencia de solucion en espacios de Sobolev conpeso.

Analizamos ahora los trabajos donde el modelo termico es evolutivo. El artıculode Parietti y Rappaz [81] comparte las caracterısticas del de Clain y Touzani [41],anadiendo la componente evolutiva a la ecuacion termica. Todos los parametros sonconstantes, excepto la conductividad electrica. A pesar de que el modelo es diferente, losautores consiguen usan la misma metodologıa que la de Rodrigues [84] para demostrarsu resultado de existencia y unicidad.

Este ultimo trabajo [84] considera corrientes de baja frecuencia con el campo mag-netico paralelo a uno de los ejes. No toma la hipotesis de corriente alterna, por loque la ecuacion unica para el campo magnetico conserva el termino ∂t(µh). Tanto laconductividad termica como la electrica pueden depender del punto y la temperatura.La densidad y el calor especıfico son constantes.

Uno de los pocos trabajos con cambio de estado es el de Yuan [95]. Se trata demodelar el paso de corriente continua (mediante la ecuacion de la conservacion de lacorriente (2.1.15)) a traves de un material que cambia de estado. Todos los parametrosson constantes salvo la conductividad electrica, que depende de forma continuamentediferenciable de la temperatura. Las condiciones de contorno son de tipo Dirichlet. Lademostracion del resultado de existencia se basa en la de Shi, Shillor y Xu [87], explicadamas adelante, en la que Yuan detecto un error en la etapa de preprint.

Un artıculo bastante alejado de los modelos vistos aquı, pero incluido por completi-tud, es el de Bien [19]. La novedad reside en demostrar la existencia de solucion debilcuando se consideran las ecuaciones de Maxwell completas, sin despreciar la derivadatemporal del desplazamiento electrico.

Modelos tridimensionales

Como antes, comenzamos con trabajos donde el modelo termico es estacionario. Bajola suposicion de corriente continua, existe un buen numero de artıculos. Aunque no seha incluido en el Cuadro 2.1, diremos que la existencia de solucion debil fue dada porCimatti y Prodi en [38] con condiciones de contorno Dirichlet e hipotesis particularessobre σ. Cimatti tambien probo la acotacion de la temperatura, ası como la existenciade solucion, en [35]. En [36] se prueba la existencia, no existencia y unicidad de solucionpara un caso especial de condiciones de contorno mixtas. Como conclusion, en la primeraparte de [37], se estudia la existencia y unicidad de solucion con coeficientes regulares(en la segunda parte se abordan problemas bidimensionales con corriente alterna).

Howison, Rodrigues y Shillor retoman en [61] el problema, planteando hipotesis paralos parametros y condiciones de contorno mas generales que en [38].

El artıculo de Xu [92] esta basado en [3]. En aquel se trata, en parte, el mismoproblema de corriente continua, estacionario en la parte termica, pero buscando laexistencia con temperaturas arbitrariamente elevadas. El autor comprueba que existesolucion cuando la conductividad electrica se anula a partir de una temperatura dada.

En cuanto a trabajos con modelo termico evolutivo, consideramos primero aquellosque suponen corriente continua. En [5], se estudia la existencia, unicidad, regularidad

2.5. Revision bibliografica 27

y el blow up de un modelo termico evolutivo, con k = k(θ), mientras que el modeloelectromagnetico se basa en la corriente continua con σ = σ(θ).

Partiendo del mismo modelo, Gonzalez y Ortegon [56] debilitan las hipotesis sobrela conductividad termica, permitiendo que se anule para alguna temperatura de formaque la ecuacion termica se convierte en degenerada. En el trabajo [55] se profundizasobre estos aspectos. En la primera parte del ya citado [92] se demuestra la existenciade solucion para temperaturas arbitrariamente altas, a condicion de que el potencialsea suficientemente pequeno.

Yuan continuo el estudio del problema planteado en [95] intentando extender losresultados a tres dimensiones. En [96] demuestra la existencia de solucion debil global-mente acotada en el caso de que la conductividad electrica sea lispschitziana respectode la temperatura y estrictamente positiva. La existencia es solo local si eliminamos lahipotesis de positividad estricta.

En el caso de Shi, Shillor y Xu [87], se combina el estudio del problema del “ter-mistor” con el cambio de fase. El modelo matematico esta compuesto por la ecuacion(2.1.15) para el potencial electrico y el sistema (2.2.35) para la temperatura, siendo hel operador multivaluado proveniente de (2.2.30), con todos los parametros (ρ, c, L,...)constantes. Con condiciones de contorno mixtas para ambas incognitas, los autores de-muestran la existencia de solucion debil. La demostracion consiste en tomar la entalpıacomo lımite de una sucesion de funciones de clase C1 y discretizar en tiempo.

Los artıculos mas relacionados con la memoria que presentamos son los que estu-dian el modelo evolutivo termico, acoplado con las ecuaciones de Maxwell correspon-dientes al modelo cuasi-estacionario. En este sentido, Yin [93] analiza un modelo enun dominio acotado de R3. Su parte termica es evolutiva, con parametros k, ρ y cconstantes. Para el campo magnetico considera las ecuaciones (2.1.9) y ∇ · h = 0(pues µ > 0 constante). La conductividad electrica depende continuamente de la tem-peratura, esta acotada y es estrictamente positiva. Considera condiciones de contornoDirichlet para las dos incognitas. El autor demuestra la existencia de solucion debilpara el campo magnetico en L2(0, T ;H1

0(Ω)3) con ∇ · h = 0 y para la temperatura enL∞(0, T ;L1(Ω))∩L1(0, T ;W 1,1

0 (Ω)). La tecnica usada consiste en regularizar el segundomiembro, demostrar que el problema aproximado admite solucion unica y, por un argu-mento de compacidad, pasar al lımite en el parametro de regularizacion para establecerla existencia de solucion debil.

En el mismo ano 94, Bossavit y Rodrigues [26] publican un artıculo que extiendelos resultados de Yin. Parten del mismo modelo, salvo que:

1. Tanto la conductividad termica como la electrica pueden ser funciones de Cara-theodory de x y θ.

2. El dominio Ω es simplemente conexo y su frontera Γ esta compuesto de un numerofinito de superficies cerradas, Γi. Las condiciones de contorno electromagneticasresponden al caso de “paredes perfectamente conductoras” (h · n = 0 en Γ) o“paredes perfectamente permeables” (h × n = 0 en Γ y

∫

Γih · n = 0).

La demostracion se estructura de forma analoga a la de Yin, pasando a un problema


aproximado, luego de truncar el segundo miembro termico, para finalmente pasar allımite. La novedad se basa en la obtencion de las estimaciones a priori mediante lastecnicas de Boccardo y Gallouet [24]. Este artıculo ha sido el punto de partida pararealizar nuestro trabajo.

Para completar el estudio de la bibliografıa en este apartado, presentamos un trabajoposterior de Yin [94]. En el se tratan las ecuaciones de Maxwell sin la suposicion delmodelo cuasi-estacionario. La demostracion de existencia de solucion considera tambienlas estimaciones a priori de [24].

Como conclusion acerca de los modelos 3D (termicos) evolutivos para corrientecuasi-estacionaria, podemos decir que termino de la entalpıa ha sido usualmente sim-plificado: los parametros ρ y c se consideran constantes, no existe cambio de estado y lavelocidad se toma nula. Existen procesos industriales (por ejemplo, en los que el cambiode estado consume una gran cantidad de energıa) en los que serıa interesante eliminarestas restricciones. Nuestro trabajo tiene por objetivo estudiar las dificultades que seplantean al intentar remover esas limitaciones y conseguir un resultado de existencia lomas general posible.

Problema termico desacoplado

La cuestion de la existencia de solucion para la ecuacion termica evolutiva doble-mente no lineal desacoplada es de por sı un problema interesante. El artıculo de Grangey Mignot [57] trata la ecuacion d(Bu)/dt+Au = f , donde A y B denotan las subdifer-enciales de dos funciones convexas Φ y Ψ. El analisis desarrollado en [57] se basa en que

Φ y Ψ son continuas en los espacios de Banach V1 y V2, con V1c→ V2 un embebimiento

denso y compacto. Ademas A y B deben ser operadores acotados, A independientede t, Φ debe ser coercitivo y f tiene que estar en L∞(0, T ;V ′

1) con derivada temporalen Lp(0, T ;V ′

1). DiBenedetto y Showalter [47] obtuvieron la existencia en un caso masgeneral, en el que A tambien es independiente de t y A y B son operadores maximalesmonotonos, pero solo uno de ellos debe ser subdiferencial. Por otro lado, en Bermudez ySaguez [18], A se toma como la suma de una subdiferencial y otro operador dependien-te del tiempo que es dominado por A. La unicidad de solucion se demuestra tomandola monotonıa fuerte de B. En un artıculo posterior Bermudez, Durany y Saguez [13]asumen que A puede depender de t.

En [22] Blanchard y Francfort (ver tambien [21]) estudian un caso particular de laecuacion de Grange y Mignot en la que Bu = b(u), siendo b una funcion localmentelipschitziana y monotona creciente. El segundo miembro f esta enW 1,1(0, T ;W−1,q′(Ω)).Hacemos notar que en su demostracion se usa el Lema 1.5 de [4], escrito en condicionesmas restrictivas que el derivado de nuestro Lema 3.3.3. En el artıculo [23], los mismosautores estudian algunos casos donde B puede ser multıvoca.

Por otro lado, Decarreau, Rakotoson y otros analizan en [46] y [1] una ecuacionsimilar a la de Blanchard y Francfort cuando el segundo miembro es de L1(Ω) o unamedida acotada, respectivamente. Utilizan las tecnicas de Boccardo y Gallouet [24] paraobtener estimaciones sobre la temperatura. Su caso se diferencia del nuestro en que eloperador B no depende explıcitamente de la variable espacial x.

2.5.R

evision

bib

liografica

29

Elliott - Larsson, 95 [50]

Parietti - Rappaz, 99 [81]

Clain - Rappaz - Swierkosz - Touzani, 93 [39]

Allegretto - Xie, 92 [2]

Clain - Touzani, 97 [41]

Clain - Touzani, 97 [40]

Bermúdez - M

uñoz, 99 [15]

Parietti - Rappaz, 99 [80]

Rodrigues, 92 [83]

Yuan, 94 [94]Bien, 99 [19]

Cimatti, 91 [37]

Howison - Rodrigues - Shillor, 93 [60]

Xu, 00 [91]

Antontsev - Chipot, 94 [5]

González - Ortegón, 02 [56]

Yuan, 96 [95]

Shi - Shillor - Xu, 93 [86]Yin, 94 [92]

Bossavit - Rodrigues, 94 [26]

Yin, 98 [93] Este trabajo

MO

DE

LO T

ÉR

MIC

O

Modelo estacionario # # # # # #1 Modelo evolutivo # # # # # # # # #1 # # # # # # # # Velocidad nula # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Cambio de estado # # # Transf. de Kirchhoff # # # # constante # # # # # # # dependiente de x # dependiente de θ # # # #3 # # # # # # # dependiente de x,θ # # # constante # # # # # # # # # # # # # # # dependiente de θ # dependiente de x, θ # escrito en e # # # # # # # # # # # # escrito en h # # # # # # # # # # Condiciones de contorno D DR DR DR D D D D D D D D DR DR D D D DR D D D D unidimensional # # bidimensional # # # # # #2 # # # # tridimensional # # # # # # # # # # # # Corriente continua # # # # # # # # # # Corriente alterna # # # # # # Ec. de cons. de la corriente # # # # # # # # # # Ecuación para h # # # # # # # # # # Ecuaciones completas # # dependiente de θ # # # # # #3 # # # # # # # # # # # # dependiente de x, θ # # # # de existencia de solución # # # # # # # # # # # # # # # # # # # de unicidad de solución # # # # # # de acotación de solución # # # algoritmos # análisis del error # #

MO

DE

LO T

ÉR

MIC

O

Cua

.4

σ

teór

ico

k

ρ, c

Jou

le

Numéricos

Mo

de

lo

ES

TU

DIO

MO

D. E

LEC

TR

OM

AG

NÉ

TIC

O

nu

m.

3D evolutivos2D evolutivos2D estacionarios1D 3D estacionarios

3D evolutivos(corr. continua)

1Tra

tado

enparte.

2E

nco

ord

enadascilın

drica

s.3

Coefi

cientes

no

aco

tados.

4M

odelo

cuasi-esta

cionario

.D

:D

irichlet.

R:R

obin

.

Figu

ra2.1:

Analisis

de

algunos

de

losartıcu

lospublicad

os.

Capıtulo 3

Existencia de solucion para unmodelo de electrodo

3.1. El modelo

Como modelo electromagnetico vamos a considerar las ecuaciones de Maxwell paracorriente de baja frecuencia, es decir, la ecuacion (2.1.9). Los parametros µ y σ podrandepender del punto y, ademas, este ultimo dependera de la temperatura.

Para la parte termica, tendremos en cuenta la ecuacion de la energıa (2.2.32) y laexpresion para la entalpıa (2.2.31). Consideraremos que los materiales pueden cambiarde estado, pero el calor latente de fusion se cede o absorbe en un rango de valores, envez de a una temperatura dada. Los parametros ρ, c y k pueden depender del punto.Ademas, solo ρ y c dependeran de la temperatura. En concreto, supondremos que Ωse puede dividir en varios subdominios y que en cada uno de ellos los parametros ρy c no dependen del punto en cada subdominio. El termino fuente vendra expresadopor (2.2.24). En lo sucesivo, la velocidad se tomara nula.

3.1.1. El dominio

Trabajaremos en un dominio Ω acotado en R3, de frontera suficientemente regular,y en un intervalo temporal [0, T ] ⊂ R, con T > 0. Denotaremos QT = Ω × [0, T ].Supondremos que Ω se puede dividir en p subdominios disjuntos Ωi, i = 1, . . . , p, cadauno con frontera suficientemente regular.

Denotamos por Γ la frontera de Ω y suponemos que es lipschitziana.

3.1.2. Las condiciones de contorno

Condiciones electromagneticas. Consideramos las siguientes condiciones de con-torno para (2.1.9):

h× n = f en ΓD × (0, T ), (3.1.1)

(∇× h) × n = 0 en ΓC × (0, T ), (3.1.2)

30

3.2. La formulacion variacional 31

con Γ = ΓC ∪ ΓD, ΓC ∩ ΓD = ∅ y siendo n un vector unitario normal a la superficie.El dato f debe ser un campo vectorial tangente a la frontera (es decir, debe satisfacerla igualdad, f · n = 0 en ΓD).

Condicion termica. Por simplicidad, vamos a considerar una condicion de tipoDirichlet homogenea para la variable θ:

θ = 0 en Γ × (0, T ). (3.1.3)

A coste de pequenas complicaciones tecnicas, podrıamos considerar una condicion nohomogenea.

3.1.3. Las condiciones iniciales

Como vamos a estudiar el caso evolutivo, las ecuaciones (2.1.9) y (2.2.32) precisande condiciones iniciales

h = h0 en Ω para t = 0, (3.1.4)

e = e0 en Ω para t = 0. (3.1.5)

siendo h0 y e0 funciones dadas, elegidas en espacios que se concretaran mas adelante.

3.2. La formulacion variacional

3.2.1. El problema electromagnetico

Para obtener la formulacion debil del problema de valores iniciales y de contornodefinido por las ecuaciones (2.1.9), (3.1.1), (3.1.2) y (3.1.4), realizamos calculos for-males. Consideramos una funcion test v definida sobre Ω, por la que multiplicamos laecuacion (2.1.9). A continuacion integramos, primeramente en Ω,

∫

Ω

∂t(µh) · v +

∫

Ω

∇×(

1

σ∇× h

)

· v = 0. (3.2.6)

Ahora, usando la formula de Green dada por la Proposicion A.5.1 y suponiendosuficiente regularidad para las funciones involucradas, llegamos a

∫

Ω

∂t(µh) · v +

∫

Ω

1

σ(∇× h) · (∇× v) =

∫

Γ

1

σ((∇× h) × n) · v, (3.2.7)

donde n es un vector unitario normal a la superficie y dirigido hacia el exterior de Ω.La condicion de contorno (3.1.2) anula el termino frontera de (3.2.7) en ΓC . De acuerdocon la condicion (3.1.1), suponemos que v × n = 0 en ΓD × (0, T ) ası que, usando laspropiedades del producto mixto, obtenemos que esa integral en ΓD tambien es cero. Portanto

∫

Ω

∂t(µh) · v +

∫

Ω

1

σ(∇× h) · (∇× v) = 0 (3.2.8)

32 Capıtulo 3. Existencia de solucion para un modelo de electrodo

y gracias a la regularidad de µh y v,

d

dt

∫

Ω

µh(t) · v +

∫

Ω

1

σ(∇× h(t)) · (∇× v) = 0, t ∈ [0, T ]. (3.2.9)

Para conseguir una formulacion mas debil del problema de valores iniciales y decontorno definido por las ecuaciones (2.1.9), (3.1.1), (3.1.2) y (3.1.4), utilizaremosuna funcion test ζ definida sobre QT , suficientemente regular, para multiplicar laecuacion (2.1.9). Si integramos otra vez en Ω, usamos la formula de Green dada por laProposicion A.5.1 y tenemos en cuenta las mismas consideraciones para las condicionesde contorno que las hechas en la formulacion anterior, se consigue

∫

Ω

∂t(µh) · ζ +

∫

Ω

1

σ(∇× h) · (∇× ζ) = 0. (3.2.10)

Integrando en tiempo en [0, T ] y usando la formula de integracion por partes en elprimer sumando de (3.2.10), se obtiene

−∫

QT

(µh) · ∂tζ +

∫

QT

1

σ(∇× h) · (∇× ζ)

= −∫

Ω

µh(T ) · ζ(T ) +

∫

Ω

µh0 · ζ(0). (3.2.11)

Adicionalmente tomaremos la condicion ζ(T ) = 0, con lo cual el primer sumandodel segundo miembro de la ecuacion anterior desaparecera.

3.2.2. El problema termico

Desarrollamos ahora la formulacion debil del problema termico de valores iniciales yde contorno definido por las ecuaciones (2.2.32), (3.1.3) y (3.1.5). Lo haremos de maneraformal, suponiendo suficiente regularidad para las funciones involucradas. Considera-mos una funcion test w, definida en Ω, por la que multiplicamos la primera ecuacionde (2.2.32) e integramos primeramente en Ω para obtener

∫

Ω

∂tew −∫

Ω

∇ · (k∇θ)w =

∫

Ω

1

σ|∇ × h|2w. (3.2.12)

Usando una formula de Green, se tiene que∫

Ω

∂tew +

∫

Ω

k∇θ · ∇w −∫

Γ

k∂ θ

∂ nw =

∫

Ω

1

σ|∇ × h|2w. (3.2.13)

Pediremos que la funcion test w se anule en Γ× [0, T ] para eliminar el termino frontera.Gracias a la suposicion de regularidad, la ecuacion (3.2.13) se convierte en

d

dt

∫

Ω

ew +

∫

Ω

k∇θ · ∇w =

∫

Ω

1

σ|∇ × h|2w. (3.2.14)

3.3. El planteamiento del problema 33

Una formulacion mas debil del problema se consigue tomando una funcion test φdefinida sobre QT , suficientemente regular, que se anule en Γ× [0, T ]. Reescribiendo lospasos dados para alcanzar (3.2.13), se consigue

∫

Ω

∂te φ+

∫

Ω

k∇θ · ∇φ =

∫

Ω

1

σ|∇ × h|2φ. (3.2.15)

Integrando en tiempo en [0, T ] y usando la formula de integracion por partes en elprimer sumando, se obtiene

−∫

QT

e ∂tφ+

∫

QT

k∇θ · ∇φ =

∫

QT

1

σ|∇ × h|2φ−

∫

Ω

e(T )φ(T ) +

∫

Ω

e0 φ(0). (3.2.16)

Adicionalmente tomaremos la condicion φ(T ) = 0, de manera que el segundo terminodel segundo miembro se anulara.

3.3. El planteamiento del problema

Denotaremos V = H(rot; Ω). Consideramos el siguiente subespacio cerrado de V:

V0 =

f ∈ V : f × n = 0 en [H−1/200 (ΓD)]3

donde H−1/200 (ΓD) denota el espacio dual de H

1/200 (ΓD) que, a su vez, es el espacio de

funciones definidas sobre ΓD que extendidas por 0 sobre ∂Ω\ΓD, pertenecen a H1/2(∂Ω).Ademas, usaremos la notacion

W (X,Y) =

f ∈ L2(0, T ;X) : ∂tf ∈ L2(0, T ;Y)

.

Como la condicion de contorno del problema electromagnetico en ΓD no es homogenea,definiremos una nueva incognita, resultado de restarle al campo magnetico un levan-tamiento de la condicion de contorno. De esta manera, esta nueva incognita “trasladada”estara en el espacio W (V0,V

′0). Algunas de sus propiedades, que aparecen en [45, Vol.

5], pueden consultarse en el Anexo.

3.3.1. Las hipotesis

Sobre los parametros y la entalpıa.

Para la parte electromagnetica, supondremos que µ es una funcion medible en x yque σ es una funcion de Caratheodory en (x, s), es decir, medible en x y continua en s,ambas acotadas superiormente, e inferiormente por una constante positiva:

0 < µ∗ ≤ µ (x) ≤ µ∗ ∀x ∈ Ω, (3.3.17)

0 < σ∗ ≤ σ (x, s) ≤ σ∗ ∀s ∈ R, x ∈ Ω. (3.3.18)


Para la parte termica, suponemos que la funcion k es medible respecto de x y queesta acotada superiormente, e inferiormente por una constante positiva:

0 < k∗ ≤ k (x) ≤ k∗ c.p.d. en Ω. (3.3.19)

Ademas, la funcion g(x, ·) que aparece en (2.2.32) satisface las propiedades:

x 7→ g(x, s) es constante en cada Ωi, i = 1, . . . , p, para todos ∈ R,

(3.3.20)

g(x, ·) es uniformemente lipschitziana1 y estrictamentemonotona creciente en R, c.p.d. en Ω,

(3.3.21)

0 < g∗ ≤ ∂sg(x, s) ≤ g∗ ∀s ∈ R, c.p.d. en x ∈ Ω. (3.3.22)

Por comodidad, pediremos que

g(x, 0) = 0. (3.3.23)

Observacion 5. En el caso de que la entalpıa estuviese definida mediante la expre-sion (2.2.31), las siguientes condiciones garantizarıan que se cumpliesen la hipotesis(3.3.20)–(3.3.23):

Las funciones ρ y c son funciones continuas en s y constantes en x, para cada sub-dominio Ωi, i = 1, . . . , p. Ambas estan acotadas superiormente, e inferiormentepor una constante positiva:

0 < ρ∗ ≤ ρ (x, s) ≤ ρ∗ ∀s ∈ R, x ∈ Ω, (3.3.24)

0 < c∗ ≤ c (x, s) ≤ c∗ ∀s ∈ R, x ∈ Ω. (3.3.25)

El calor latente y las temperaturas de cambio de estado son constantes no negativasen cada subdominio y estan acotadas:

0 ≤ L(x) ≤ L∗ ∀x ∈ Ω, (3.3.26)

0 < θs(x) < θl(x) ≤ θ∗ ∀x ∈ Ω. (3.3.27)

Hemos de hacer notar que, bajo las hipotesis (3.3.19)–(3.3.27), g(x, ·) es una funcionC1 a trozos.

Sobre las condiciones de contorno.

Suponemos que existe un campo hf ∈ L2(0, T ;V) ∩ C0(

[0, T ];L2(Ω), ∂t(µhf ) ∈L2(0, T ;V′

0) tal que

hf × n = f en L2(

0, T ; [H−1/200 (ΓD)]3

)

. (3.3.28)

Un pequena discusion sobre las condiciones necesarias y suficientes sobre f quepermiten afirmar la existencia de hf en el caso estacionario puede verse en [17].

1Al ser g uniformemente lipschitziana, ya se tiene que ∂sg(x, s) existe y esta acotada superiormente,c.p.d. en Ω.


Sobre las condiciones iniciales.

Suponemos que

h0 ∈ L2(Ω), (3.3.29)

θ0 ∈ H10 (Ω) y e0 ∈ L2(Ω) con e0(x) ∈ g(x, θ0(x)). (3.3.30)

3.3.2. El termino de la entalpıa

Vamos a definir un operador de sustitucion para la entalpıa, siguiendo los pasosdados en la seccion A.6.2 del Anexo. Sea

ϕ(x, s) :=

∫ s

0

g(x, s) ds.

Definimos el funcional Q : L2(Ω) → R como sigue

Φ(τ) :=

∫

Ω

ϕ(x, τ(x)) dx.

Por las hipotesis (3.3.22) y (3.3.23) se puede ver que |g(x, s)| ≤ g∗s, lo que permiteaplicar el Lema A.6.20 y obtener que Φ es de clase C1 sobre L2(Ω) y que Φ′(τ) =g(·, τ(·)).

Proposicion 3.3.1. En las hipotesis anteriores, para cada 1 ≤ q <∞, se puede definirel operador G : Lq(Ω) → Lq(Ω) como sigue:

e = G(θ) si y solo si e(x) = g(x, θ(x)), c.p.d. en Ω. (3.3.31)

Ademas, G es acotado y continuo de Lq(Ω) en Lq(Ω).

Demostracion. Basta tener en cuenta las hipotesis (3.3.20), (3.3.21) y el Lema A.6.18.Observese que Φ′(τ) = G(τ) para cada τ ∈ L2(Ω).

Proposicion 3.3.2. En las hipotesis anteriores, la funcion g satisface la propiedad

(

g(x, s1) − g(x, s2))

(s1 − s2) ≥ g∗|s1 − s2|2 ∀s1, s2 ∈ R. (3.3.32)

Demostracion. Supongamos, sin perdida de generalidad, que s1 ≥ s2. Como g(x, ·) eslipschitziana, tambien es absolutamente continua, por lo que puede escribirse en funcionde su derivada,

g(x, s1) − g(x, s2) =

∫ s1

s2

∂rg(x, r) dr.

Por la hipotesis (3.3.22), se tiene que g(x, s1) − g(x, s2) ≥ g∗(s1 − s2).

Consideremos la inversa de la funcion g respecto de su segunda variable, es decir, lafuncion j : Ω × R → R tal que θ = j(x, g(x, θ)), para todo θ ∈ R. Para cada x ∈ Ω, laaplicacion j(x, ·) sera maximal monotona y, gracias a (3.3.32), lipschitziana.


Sea ψ : R → R una funcion no constante, monotona creciente, continua, con ψ(0) =0 y existiendo constantes no negativas M,N ∈ R tales que

|ψ(s)| ≤ M |s| +N ∀s ∈ R.

Sea β(x, s) =: ψ(j(x, s)) ∀s ∈ R, c.p.d. en Ω. Entonces, se tiene que

ψ(θ(x)) = β(x, e(x)) (3.3.33)

y ademas β(x, ·) es un operador maximal monotono en R. En efecto, es monotono porser composicion de funciones monotonas y continuas. Por otra parte es maximal, porqueel rango de la aplicacion s ∈ R 7→ s+ β(x, s) ∈ R es R, ya que

lıms→∞

s+ β(x, s) ≥ lıms→∞

s+ β(x, 0) = ∞

y analogamentelım

s→−∞s+ β(x, s) ≤ lım

s→−∞s+ β(x, 0) = −∞.

Como β es maximal monotono y continuo, podemos definir la funcion q : Ω×R → R

mediante

q(x, s) =

∫ s

0

β(x, r) dr,

de forma que es convexa, de clase C1 con respecto a su segunda variable y tal queq(x, 0) = 0 c.p.d. en Ω. Definimos el funcional Q : L2(Ω) → R como sigue

Q(e) =

∫

Ω

q(x, e(x)) dx. (3.3.34)

Debido al Lema A.6.20, la funcion Q es convexa, de clase C1 y ademas:

∂Q(e)(x) = β(x, e(x)) = ψ(θ(x)), c.p.d. en Ω,

siendo e(x) = g(x, θ(x)).

Observacion 6. El caracter finito de Q se deduce facilmente de integrar ∂sg(x, ·) enla segunda variable entre 0 y s. Teniendo en cuenta las hipotesis (3.3.22) y (3.3.23), seobtiene que

0 < |g(x, s)| ≤ g∗|s| c.p.d. en Ω.

En particular, de aquı se deduce que

|j(x, r)| ≤ 1

g∗|r| c.p.d. en Ω.

Consideramos la inclusion i : H10 (Ω) → L2(Ω) y denotamos por i∗ : L2(Ω) → H−1(Ω)

su traspuesta.

Lema 3.3.3. Existe una funcion Υ : H−1(Ω) → (−∞,+∞] convexa, s.c.i. y propia talque, si θ ∈ H1

0 (Ω), e ∈ L2(Ω) y θ(x) = j(x, e(x)), se tiene que


i) ψ(θ) ∈ ∂Υ(i∗(e)),

ii) Υ(i∗(e)) = Q(e).

Demostracion.Sea α(x, ·) el operador maximal monotono inverso de β(x, ·), respecto de la segunda

variable. Entonces α(x, ·) tambien es maximal monotono. Sea ξ(x, ·) tal que ∂ξ(x, ·) =α(x, ·) y Ξ : L2(Ω) → (−∞,+∞] definida por

Ξ(z) =

∫

Ωξ(x, z(x)) dx si ξ(·, z(·)) ∈ L1(Ω),

+∞ en otro caso.

Entonces ξ∗ = q y Ξ∗ = Q. Introducimos Λ = Ξ i. Entonces Ξ, y por tanto Λ, sonfunciones convexas, s.c.i. y propias en L2(Ω) y H1

0 (Ω), respectivamente. Sea Υ = Λ∗ :H−1(Ω) → (−∞,+∞] la funcion polar de Λ. Vamos a probar que

u = ψ(θ) ∈ ∂Υ(i∗(e))

o equivalentementei∗(e) ∈ ∂Λ(u).

En efecto, en primer lugar se tiene

∂Λ(u) ⊃ i∗(

∂Ξ(i(u)))

.

Ademas, si w ∈ L2(Ω), se satisface que

w ∈ ∂Ξ(i(u)) ⇐⇒ w(x) ∈ α(x, u(x)) ⇐⇒ u(x) = β(x, w(x)).

y entonces, gracias a (3.3.33), se deduce que

e ∈ ∂Ξ(i(u)) (3.3.35)

y finalmentei∗(e) ∈ ∂Λ(u) (3.3.36)

Para probar ii) notese que de (3.3.36) se deduce

Λ∗(i∗(e)) + Λ(u) = 〈i∗(e), u〉V ′, V = (e, i(u))L2(Ω),

de modo queΥ(i∗(e)) + Ξ(i(u)) = (e, i(u))L2(Ω). (3.3.37)

Por otra parte, (3.3.35) implica

Q(e) + Ξ(i(u)) = (e, i(u))L2(Ω). (3.3.38)

El resultado ii) se deduce inmediatamente de (3.3.37) y (3.3.38).


3.3.3. La formulacion debil

Planteamos el problema debil acoplado de valores iniciales y de contorno:

Problema debil (PD): Hallar h ∈ L2(0, T ;V), θ ∈ Lq(0, T ;W 1,q0 (Ω)) y e ∈ Lq(QT ),

con 1 < q <∞, tales que

h× n = f en L2(

0, T ; [H−1/200 (ΓD)]3

)

, (3.3.39)

e(t) = G(θ(t)) c.p.d. en [0, T ] (3.3.40)

y ademas

d

dt

∫

Ω

µh · v +

∫

Ω

1

σ(∇× h) · (∇× v) = 0 ∀v ∈ V0, (3.3.41)

d

dt

∫

Ω

ew +

∫

Ω

k∇θ · ∇w =

∫

Ω

1

σ|∇ × h|2w ∀w ∈W 1,q′

0 (Ω) ∩ L∞(Ω), (3.3.42)

en el sentido de las distribuciones definidas en (0, T ) y con las condiciones iniciales

h(0) = h0 en L2(Ω), (3.3.43)

e(0) = e0 en W−1,s, con s ∈ (1,3

2). (3.3.44)

Denotamos por q′ el conjugado de q(

1q

+ 1q′

= 1)

. Las igualdades (3.3.43) y (3.3.44) se

justifican a continuacion.

Regularidad para el campo magnetico. Vamos a comprobar que la funcion htiene una regularidad algo mayor que la pedida en el planteamiento del problema (PD),gracias a lo cual la condicion inicial tiene sentido en V′

0.

Lema 3.3.4. Para cada u ∈ L1(Ω), el operador A(u) : V → V′0 definido por

〈A(u)v, z〉V′

0, V0=

∫

Ω

1

σ(u)(∇× v) · (∇× z) ∀z ∈ V0,

es lineal y continuo de V en V′0. Ademas, existen una constante C > 0 independiente

de u tal que‖A(u)‖L(V,V′

0) ≤ C

y dos constantes a, b > 0 independientes de u tales que

〈A(u)v,v〉V′

0, V0+ a‖v‖2

L2(Ω) ≥ b‖v‖2V0. (3.3.45)

Demostracion. La linealidad es clara. Gracias a la acotacion de σ y usando la de-sigualdad de Holder, sabemos que

∣

∣

∣

∣

∫

Ω

1

σ(u)(∇× v) · (∇× z)

∣

∣

∣

∣

≤ C ‖v‖V‖z‖V0∀z ∈ V0,


siendo C una constante independiente de u. Por lo tanto,

‖A(u)v‖V′

0≤ C ‖v‖V.

Por otro lado, gracias a la acotacion de σ,

〈A(u)v,v〉V′

0,V0≥ 1

σ∗

∫

Ω

|∇ × v|2,

por lo que a puede ser cualquier numero positivo y b = mına, 1/σ∗.Como µ ∈ L∞(QT ) y h ∈ L2(0, T ;V0) ⊂ L2(QT ), entonces µh ∈ L2(QT ). Aplicando

el Lema A.6.8, sabemos que

〈∂t(µh),v〉V′

0,V0=

d

dt

∫

Ω

µh · v = −〈A(u)h,v〉V′

0, V0∀v ∈ V0,

Por tanto,∂t(µh) = −A(u)h ∈ L2(0, T ;V′

0).

Teniendo en cuenta que h − hf ∈ L2(0, T ;V0), que ∂t(h) − ∂t(hf ) ∈ L2(0, T ;V′0) y

la Observacion 21 de la seccion A.6.1, entonces h−hf ∈ C0([0, T ];L2(Ω)). Gracias a lashipotesis sobre hf , se tiene que h ∈ C0([0, T ];L2(Ω)) y ası la condicion (3.3.43) tienesentido en L2(Ω).

Regularidad para la entalpıa. Del mismo modo, estudiaremos la regularidad adi-cional de la entalpıa. Sabemos que el operador B : W 1,q

0 (Ω) → W−1,q(Ω) definidopor

〈B η,w〉W−1,q(Ω), W 1,q′

0 (Ω)=

∫

Ω

k∇η · ∇w ∀w ∈W 1,q′

0 (Ω),

es lineal y continuo de W 1,q0 (Ω) en W−1,q(Ω).

Si θ y e forman parte de la solucion del problema (PD), entonces

d

dt

∫

Ω

ew = −〈B θ,w〉W−1,q(Ω), W 1,q′

0 (Ω)+

∫

Ω

1

σ(θ)|∇ × h|2w ∀w ∈W 1,q′

0 (Ω).

Por el Lema A.6.8, podemos afirmar que

∂t e ∈ Lq(0, T ;W−1,q(Ω)) + L1(0, T ;L1(Ω)) ⊂ L1(0, T ;W−1,q(Ω) + L1(Ω)).

Usando la tercera inyeccion de Sobolev del Teorema A.5.2, puede verse que la apli-cacion que a cada f ∈ L1(Ω), le asigna Tf ∈W−1,s(Ω), definido por

Tf : ϕ ∈W s′

0 (Ω) 7→ Tf(ϕ) =

∫

Ω

f ϕ,

es lineal, continua e inyectiva si s′ > 3. Luego

L1(Ω) ⊂W−1,s(Ω),


siendo s ∈ (1, 32) el conjugado de s′. Por tanto

∂te ∈ L1(0, T ;W−1,s(Ω)) para cada s ∈ (1,3

2), s ≤ q.

Como ademas2 e ∈ Lq(QT ) ⊂ L1(0, T ;W−1,s(Ω)) entonces, por el Lema A.6.2,

e ∈ C0([0, T ];W−1,s(Ω)),

y la condicion (3.3.44) tiene sentido en W−1,s(Ω).

Observacion 7. No hemos sido capaces de demostrar la existencia de solucion parael problema (PD) que acabamos de plantear. La dificultad para probar un resultado deexistencia reside en que el segundo miembro de la ecuacion termica (el efecto Joule),pertenece al espacio no reflexivo L1(QT ). De hecho, en el artıculo [26], donde se trata unproblema ligeramente diferente, tampoco se obtiene solucion para el analogo a nuestro(PD).

3.3.4. La formulacion “ultra-debil”

El problema (PD) es una de las formulaciones debiles que uno puede plantear paraconcretar el sentido de las ecuaciones de evolucion abstractas. Otra de las formulacionesvariacionales consiste, grosso modo, en traspasar la derivada temporal a la funcion test.Esta formulacion, que denominaremos “ultra-debil”, sera para la que demostraremosnuestro teorema de existencia.

Las formulaciones (3.2.11) y (3.2.16) son la motivacion para plantear el

Problema ultra-debil (PUD): Hallar h ∈ L2(0, T ;V), θ ∈ Lq(0, T ;W 1,q0 (Ω)) y

e ∈ Lq(QT ), con 1 < q <∞, tales que

h× n = f en L2(

0, T ; [H−1/200 (ΓD)]3

)

, (3.3.46)

e(t) = G(θ(t)) c.p.d. en [0, T ] (3.3.47)

y ademas

−∫

QT

µh · ∂tζ +

∫

QT

1

σ(∇× h) · (∇× ζ) =

∫

Ω

µh0 · ζ(0) ∀ζ ∈ ZV, (3.3.48)

−∫

QT

e ∂tφ+

∫

QT

k∇θ · ∇φ =

∫

QT

1

σ|∇ × h|2φ+

∫

Ω

e0 φ(0) ∀φ ∈ Φq′, (3.3.49)

donde hemos usado los siguientes espacios de funciones test:

ZV =

ζ ∈ L2(0, T ;V0) : ∂tζ ∈ L2(QT ), ζ(T ) = 0

, (3.3.50)

Φq′ =

φ ∈ Lq′(0, T ;W 1,q′

0 (Ω)) ∩ C0(

[0, T ];L∞(Ω))

: ∂tφ ∈ Lq′(QT ), φ(T ) = 0

.

(3.3.51)

2Pues W1,s′

0 (Ω) ⊂ Lq′

(Ω) ∀q′ > 1 y por tanto Lq(Ω) ⊂ W−1,s(Ω).

3.4. El resultado de existencia 41

Observacion 8. Como ζ ∈ L2(QT ) y ∂tζ ∈ L2(QT ), entonces, por el Teorema A.6.11,se tiene que ζ ∈ C0 ([0, T ];L2(Ω)) y por tanto ζ(0) cobra sentido en L2(Ω), al igual quela condicion ζ(T ) = 0.

Por otro lado, como φ ∈ C0 ([0, T ];L∞(Ω)), las funciones φ(0) y φ(T ) estan enL∞(Ω).

3.4. El resultado de existencia

Ya estamos en condiciones de enunciar el resultado principal:

Teorema 3.4.1. Bajo las hipotesis (3.3.17)–(3.3.23), (3.3.28)–(3.3.30), el problema(PUD) tiene al menos una solucion.

Esquema de la demostracion. La prueba del teorema sigue la estructura de lademostracion del teorema principal de [26]. Los pasos son los siguientes:

1. Se plantea un problema debil en el que se trunca el termino debido al efecto Joule.

2. Se demuestra la existencia de solucion para el problema debil truncado, usando elteorema de punto fijo de Schauder. Entre tanto, se encuentran estimaciones parasu solucion, aunque las que se obtienen para la variable θ dependen del parametrode truncamiento.

3. Se plantea un problema ultra-debil truncado. Se comprueba que la solucion ha-llada para el debil tambien es solucion de este nuevo problema.

4. Se obtiene una estimacion adicional para la variable θ independiente del parame-tro de truncamiento usando tecnicas de [24].

5. Se realiza el paso al lımite en el truncamiento del problema ultra-debil.

3.4.1. El problema truncado

El operador de truncamiento

Se define el operador de truncamiento τM mediante

τM (u) = max (−M, min (u,M)) =

−M si u ≤ −M,

u si |u| ≤M,

M si u ≥M,

con 0 < M < +∞.


Sea eM0 = G(θM

0 ), con θM0 = τM (θ0). Entonces se puede ver que lım

M→+∞eM0 → e0 en

L2(Ω), con3∥

∥eM0

∥

∥

L2(Ω)≤ ‖e0‖L2(Ω) ≡ C0 (3.4.52)

y ademas eM0 ∈ L∞(Ω) ⊂ L2(Ω).

El problema debil

Para cada M > 0, consideramos el siguiente

Problema debil truncado (PDT)M : Hallar dos funciones hM ∈ L2(0, T ;V) ∩C0([0, T ];L2(Ω)) y θM ∈ L2(0, T ;H1

0(Ω)) tales que

hM × n = f en L2(

0, T ; [H−1/200 (ΓD)]3

)

, (3.4.53)

eM(t) = G(θM (t)) c.p.d. en [0, T ] (3.4.54)

y ademas

d

dt

∫

Ω

µhM · v +

∫

Ω

1

σ(θM)(∇× hM) · (∇× v) = 0 ∀v ∈ V0, (3.4.55)

d

dt

∫

Ω

eM w +

∫

Ω

k∇θM · ∇w =

∫

Ω

1

σ(θM)τM(|∇ × hM |2)w ∀w ∈ H1

0 (Ω), (3.4.56)


hM(0) = h0 en L2(Ω), (3.4.57)

eM(0) = eM0 en H−1(Ω). (3.4.58)

Observacion 9. Sea θM solucion del problema (PDT)M . Razonando sobre la ecuacion(3.4.56), podemos ver que ∂teM ∈ L2(0, T ;H−1(Ω)). Como ademas eM ∈ L2(QT ), porel Lema A.6.2 tenemos que eM ∈ C0([0, T ];H−1(Ω)) y ası la condicion (3.4.58) tienesentido en H−1(Ω), aunque se necesita eM

0 ∈ L2(Ω) para demostrar la existencia desolucion.

3.4.2. La existencia de solucion para el problema debil

Para demostrar la existencia de solucion del problema debil truncado usaremosun argumento de punto fijo: en primer lugar, comprobaremos la existencia y unicidadde solucion para los problemas electromagnetico y termico desacoplados. Luego, trascomprobar que estamos en las hipotesis adecuadas, utilizaremos el teorema de puntofijo de Schauder.

3En lo que sigue los sımbolos C, C0, C1,. . . serviran para representar cantidades constantes. Si noda lugar a confusion, estos sımbolos denotaran cantidades distintas segun el lugar.


Problema electromagnetico desacoplado

Definicion 3.4.1. Consideramos la aplicacion S1 : L1(QT ) → L2(0, T ;V) de modoque, para cada γ ∈ L1(QT ), gγ = S1(γ) ∈ L2(0, T ;V) ∩ C0([0, T ];L2(Ω)) es la unicasolucion del problema

d

dt

∫

Ω

µgγ · v +

∫

Ω

1

σ(γ)(∇× gγ) · (∇× v) = 0 ∀v ∈ V0 en D′(0, T ), (3.4.59)

gγ × n = f en L2(

0, T ; [H−1/200 (ΓD)]3

)

, (3.4.60)

gγ(0) = h0 en L2(Ω). (3.4.61)

La incognita gγ. El campo gγ no pertenece al mismo espacio sobre Ω que las fun-ciones test, pues no ocurre que su componente tangencial en ΓD sea nula. Esto imposi-bilita la obtencion de “estimaciones de energıa” en la ecuacion electromagnetica. Ahorabien, si tomamos gγ = gγ − hf se tiene que gγ × n = 0 en ΓD. Ademas, reescribiendola ecuacion (3.4.59), vemos que gγ ∈ L2(0, T ;V0) ∩ C0([0, T ];L2(Ω)) satisface

d

dt

∫

Ω

µgγ · v +

∫

Ω

1

σ(γ)(∇× gγ) · (∇× v) = − d

dt

∫

Ω

µhf · v

−∫

Ω

1

σ(γ)(∇× hf ) · (∇× v) ∀v ∈ V0 en D′(0, T ). (3.4.62)

gγ(0) = h0 − hf (0) en L2(Ω).

Lema 3.4.2. La solucion del problema (3.4.59)–(3.4.61) existe y es unica (es decir, laaplicacion S1 esta bien definida).

Demostracion. Usamos el Teorema A.7.1 considerando como espacio pivote (L2(Ω), ( )µ),definido en la Observacion 21 de la seccion A.6.1. De este modo, se obtiene la existen-cia de una unica solucion gγ ∈ L2(0, T ;V0) ∩ C0([0, T ];L2(Ω)). Por tanto, el problemaelectromagnetico desacoplado (3.4.59)–(3.4.61) tiene una unica solucion gγ = gγ + hf .

Repitiendo los razonamientos hechos para la regularidad de h se puede comprobarque, ademas, gγ ∈ L2(0, T ;V0) y que ∂t(µ gγ) ∈ L2(0, T ;V′

0).

Observacion 10. La seminorma |∇× v|2L2 no es equivalente a la norma en el espacio

V0, por lo que no tenemos garantizada la coercitividad que piden los resultados deexistencia y unicidad de Lions [77], que utilizan Bossavit y Rodrigues en [26].

Ahora veamos las propiedades que cumple esta aplicacion S1.

Lema 3.4.3. Existe una constante C > 0 independiente de γ tal que

‖S1(γ)‖L∞(0,T ;L2(Ω)) + ‖S1(γ)‖L2(0,T ;V) ≤ C ∀γ ∈ L1(QT ). (3.4.63)


Demostracion. Consideramos una solucion del problema debil trasladado, gγ. Por elLema A.6.8, podemos cambiar los terminos de la ecuacion (3.4.62),

d

dt

∫

Ω

µgγ · v = 〈∂t(µgγ),v〉V′

0,V0,

− d

dt

∫

Ω

µhf · v = −〈∂t(µhf ),v〉V′

0,V0.

Sabemos que gγ(t) ∈ V0 c.p.d. en [0, T ], ası que podemos tomarla como funcion testen (3.4.62) para obtener

〈∂t(µgγ), gγ〉V′

0, V0+

∫

Ω

1

σ(γ)(∇× gγ) · (∇× gγ) =

− 〈∂t(µhf ), gγ〉V′

0, V0−∫

Ω

1

σ(γ)(∇× hf ) · (∇× gγ). (3.4.64)

Ahora, gracias al Lema A.6.14 y a la acotacion de µ, el primer sumando de laecuacion anterior se puede transformar usando la igualdad

〈∂t(µgγ), gγ〉V′

0, V0=

1

2

d

dt

∫

Ω

µ|gγ|2.

El primer termino del segundo miembro se puede tratar del siguiente modo4 :

−〈∂t(µhf), gγ〉V′

0,V0≤ ‖∂t(µhf )‖V′

0‖gγ‖V0 ≤ Cε‖∂t(µhf )‖2

V′

0+ ε‖gγ‖2

V0.

El ultimo termino de la ecuacion (3.4.64) se puede acotar echando mano de ladesigualdad ab ≤ 1

2(a2 + b2):

−∫

Ω

1

σ(γ)(∇ × hf ) · (∇ × gγ) ≤ 1

2

(

‖∇ × hf‖2L2(Ω) +

∫

Ω

1

σ(γ)|(∇× gγ)|2

)

.

De esta manera, de la ecuacion (3.4.64) se deduce que

1

2

d

dt

∫

Ω

µ|gγ|2 +1

2

∫

Ω

1

σ(γ)|(∇× gγ)|2 − ε‖gγ‖2

V0≤

Cε‖∂t(µhf )‖2V′

0+

1

2‖∇ × hf‖2

L2(Ω). (3.4.65)

Sumando en ambos miembros∫

Ωµ|gγ|2 y tomando ε < mın

µ∗,1σ∗

, puede verseque la expresion

1

2

∫

Ω

1

σ|(∇× gγ)|2 +

∫

Ω

µ|gγ|2 − ε‖gγ‖2V0, (3.4.66)

que aparece en el primer miembro, esta minorada por C1 ‖gγ‖2V0

, con C1 > 0 indepen-diente de γ.

4Pues ab = δδab ≤ 1

2(δ2a2 + 1

δ2 b2) y tomamos δ =√

2ε.


La desigualdad resultante al suprimir la expresion anterior es

d

dt

∫

Ω

µ|gγ|2 ≤ 2

∫

Ω

µ|gγ|2 + C2

(

‖∂t(µhf )‖2V′

0+ ‖∇ × hf‖2

L2(Ω)

)

,

tiene la forma adecuada para aplicarle el Lema de Gronwall A.8.2 y ası obtener que

µ∗‖gγ(t)‖2L2(Ω) ≤

∫

Ω

µ|gγ|2 ≤ C3

∫ t

0

(

‖∂t(µhf )‖2V′

0+ ‖∇ × hf‖2

L2(Ω)

)

+

∫

Ω

µ|gγ(0)|2,

c.p.d. en [0, T ]. Luego‖gγ‖L∞(0,T ;L2(Ω)) ≤ C4,

con C4 una constante independiente de γ.Si en vez de suprimir el termino (3.4.66) en la ecuacion (3.4.65) tras sumar

∫

Ωµ|gγ|2,

se cambia por su minorante, obtenemos

1

2

d

dt

∫

Ω

µ|gγ|2 + C1‖gγ‖2V0

≤∫

Ω

µ|gγ|2 +C2

2

(

‖∂t(µhf )‖2V′

0+ ‖∇ × hf‖2

L2(Ω)

)

.

Integrando en [0, T ], podemos escribir que

‖gγ‖2L2(0,T ;V0) ≤ C5

(

∫

QT

µ|gγ|2 + ‖∂t(µhf )‖2L2(0,T ;V′

0)+

‖∇ × hf‖2L2(QT ) +

∫

Ω

µ|gγ(0)|2)

, (3.4.67)

donde hemos suprimido∫

Ωµ|gγ(T )|2 del primer miembro, al ser positivo.

Como el segundo miembro de (3.4.67) esta acotado, podemos concluir que

‖gγ‖L∞(0,T ;L2(Ω)) + ‖gγ‖L2(0,T ;V0) ≤ C6, (3.4.68)

con C6 independiente de γ. Gracias a las propiedades de hf , tenemos una acotacionanaloga para gγ en la que V0 debe ser reemplazado por V.

Lema 3.4.4. La aplicacion S1 es continua de L1(QT ) en L2(0, T ;V) para las topologıasfuertes.

Demostracion. Tomamos una sucesion γm → γ en L1(QT ). Denotamos gm = S1(γm).Por la estimacion obtenida en el Lema 3.4.3, gm esta acotada en el espacio de HilbertL2(0, T ;V). Por tanto, existe una subsucesion, que denotaremos tambien por gm, queconverge debilmente en L2(0, T ;V).

Convergencia de gm en la topologıa debil. Llamemos g al lımite debil de gm.Comprobemos que g = S1(γ).

Gracias a la convergencia debil de gm sabemos que, dado v ∈ V0,

−∫ T

0

(µgm,v)L2(Ω)∂tϕ −→ −∫ T

0

(µg,v)L2(Ω)∂tϕ,


para cada ϕ ∈ D(0, T ). Ademas,

gm × n g × n en L2(

0, T ; [H−1/200 (ΓD)]3

)

–debil.

Por otra parte, como γm → γ en L1(QT ), existe una subsucesion, que tambiendenotamos por γm, que converge puntualmente. Por tanto,

1

σ(

γm

) −→ 1

σ(

γ) c.p.d. en QT .

Ademas, ∇× vϕ ∈ L2(QT ). Por tanto, tenemos que

1σ(

γm(x, t))∇× v(x, t)ϕ(x, t) −→ 1

σ(

γ(x, t))∇× v(x, t)ϕ(x, t) c.p.d. en QT .

existe una funcion G = |∇ × v| |ϕ|/σ∗ ∈ L2(QT ) tal que∣

∣

∣

∣

∣

1

σ(

γm(x, t))∇× v(x, t)ϕ(x, t)

∣

∣

∣

∣

∣

≤ G(x, t) c.p.d. en QT .

Entonces, utilizando el Corolario A.4.4 del Teorema de la convergencia dominada deLebesgue, se obtiene que

1

σ(

γm

)∇× vϕ −→ 1

σ(

γ)∇× vϕ en L2(QT ). (3.4.69)

Ademas, usando el Corolario A.1.4, se obtiene la convergencia

∇× gm ∇× g en L2(QT )–debil. (3.4.70)

Ambas expresiones (3.4.69) y (3.4.70), junto con la Proposicion (A.1.1, iv), permitenafirmar que

∫

QT

1

σ(

γm

)(∇× gm) · (∇× v)ϕ −→∫

QT

1

σ(

γ)(∇× g) · (∇× v)ϕ. (3.4.71)

Por tanto, g cumple que

d

dt

∫

Ω

µg · v +

∫

Ω

1

σ(γ)(∇× g) · (∇× v) = 0 en D′(0, T ),

Por ultimo, veamos que g(0) = h0. En efecto, sabemos que gm esta acotada en elespacio de Hilbert L2(0, T ;V0). De manera analoga a lo hecho en el Lema 3.3.4, secomprueba la acotacion de ∂t(µgm) en L2(0, T ;V′

0). Teniendo en cuenta la Observacion21 de la seccion A.6.1, concluimos que gm esta acotado en W (V0,V

′0). De esta forma,

existe una subsucesion g g en W (V0,V′0)–debil, por lo que tambien es convergente

en C0([0, T ];L2(Ω))–debil. De este modo, se obtiene que

gm(0) g(0) en L2(Ω)–debil.


Ası g(0) = h0 − hf (0) y finalmente g(0) = h0.Por todo lo anterior, g es solucion de la ecuacion (3.4.59) escrita para γ. Por tanto

g = S1(γ).Convergencia de gm en la topologıa fuerte.Como solucion del problema electromagnetico desacoplado, la funcion gm cumple

∂t(µgm) + A(γm)gm = 0, (3.4.72)

gm(0) = h0 en L2(Ω). (3.4.73)

y la funcion g cumple ecuaciones analogas cambiando γm por γ. Si tomamos vm =gm − g, esta funcion satisfara

∂t(µvm) + A(γm)gm − A(γ)g = 0, (3.4.74)

vm(0) = h0 − h0 = 0. (3.4.75)

Si sumamos y restamos el termino A(γm)g deducimos que

∂t(µvm) + A(γm)vm =(

A(γ) −A(γm))

g. (3.4.76)

Notese que vm ∈ L2(0, T ;V0), por lo que vm(t) puede usarse como funcion test en laecuacion en el lugar de v. Integrando en [0, t] y usando (3.4.75), se consigue

1

2

∫

Ω

µ|vm(t)|2 +

∫

Qt

1

σ(γm)|∇ × vm|2 =

∫

Qt

(

1

σ(γ)− 1

σ(γm)

)

∇ × vm · ∇ × g.

Por un razonamiento analogo al usado para obtener la convergencia de (3.4.71), se tieneque el segundo miembro de la ecuacion anterior tiende a 0.

Gracias a (3.4.68) y a la acotacion de los parametros σ y µ, hallamos que

1

2

∫

Ω

|vm(t)|2 +

∫

Qt

1

σ(γm)|∇ × vm|2 −→ 0 c.p.d. en [0, T ]. (3.4.77)

y que∫

Ω

|vm(t)|2 ≤ C c.p.d. en [0, T ]. (3.4.78)

Por tanto, gracias a (3.3.45) y al Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue,

‖gm − g‖L2(0,T ;V) −→ 0. (3.4.79)

Problema termico desacoplado

Definicion 3.4.2. Consideramos la aplicacion S2 : L2(QT ) → L2(0, T ;H10(Ω)) de

modo que, para cada γ ∈ L2(QT ) y el correspondiente gγ = S1(γ), τγ = S2(γ) ∈L2(0, T ;H1

0(Ω)) es la unica solucion del problema (no lineal):

eγ(t) = G(τγ(t)) c.p.d. en [0, T ], (3.4.80)


d

dt

∫

Ω

eγ w +

∫

Ω

k∇τγ · ∇w =

∫

Ω

1

σ(γ)τM(|∇ × gγ |2)w ∀w ∈ H1

0 (Ω), (3.4.81)

eγ(0) = eM0 en H−1(Ω). (3.4.82)

Del mismo modo que en la Observacion 13, puede justificarse el significado de (3.4.82).

Lema 3.4.5. La solucion del problema (3.4.80)–(3.4.82) existe y es unica, ası que laaplicacion S2 esta bien definida.

Demostracion. Utilizaremos el Teorema A.7.3 donde

los espacios son V = H10 (Ω), W = L2(Ω),

la aplicacion ϕ es Φ (definida en la seccion 3.3.2), la subdiferencial ∂ϕ es G,

el operador A es tal que 〈Au, v〉H−1(Ω), H10 (Ω) =

∫

Ωk∇u∇v,

f es 1σ(γ)

τM(|∇ × gγ|2).

Es facil ver que se cumplen las hipotesis necesarias para aplicar el Teorema A.7.3de existencia y el Corolario A.7.5, que da la unicidad. Por tanto, existe una unica τγ ∈L2(0, T ;H1

0(Ω)) (y una unica eγ ∈ H1(0, T ;H−1(Ω)) ) solucion del problema (3.4.80)–(3.4.82).

Como τγ(t) ∈ H10 (Ω), eγ(t) ∈ L2(Ω) c.p.d. en [0, T ], podemos aplicar el Lema 3.3.3

con ψ(s) = s, para afirmar que existe una funcion Υ : H−1(Ω) → (−∞,+∞] convexa,s.c.i. y propia tal que, c.p.d. en [0, T ],

i) τγ(t) ∈ ∂Υ(i∗(eγ(t))),

ii) Υ(i∗(eγ(t))) = Q(eγ(t)),

donde Q esta definido mediante (3.3.34) e i∗ : L2(Ω) → H−1(Ω). Como ademas,τγ ∈ L2(0, T ;H1

0(Ω)), eγ ∈ H1(0, T ;H−1(Ω)), podemos aplicar el Lema A.6.9 con losespacios W = H−1(Ω) y W ′ = H1

0 (Ω) para deducir que la funcion t 7→ Υ(

i∗(eγ(t)))

esabsolutamente continua en [0, T ] y

d

dtΥ(

i∗(eγ(t)))

= 〈∂teγ(t), w〉H−1(Ω), H10 (Ω) para todo w ∈ ∂Υ

(

i∗(eγ(t)))

, c.p.d. en [0, T ].

En particular,

d

dtΥ(

i∗(eγ(t)))

= 〈∂teγ(t), τγ(t)〉H−1(Ω), H10 (Ω) c.p.d. en [0, T ]. (3.4.83)

Veamos ahora las propiedades que cumple la aplicacion S2.


Lema 3.4.6. Las siguientes cantidades estan acotadas para todo γ ∈ L2(QT ),

‖τγ‖L2(0,T ;H10 (Ω)), ‖eγ‖L2(QT ), ‖∂teγ‖L2(0,T ;H−1(Ω)), (3.4.84)

con una cota que depende de M .

Demostracion. Consideramos la ecuacion (3.4.81). Por el Lema A.6.8, podemos susti-tuir el primer sumando del primer termino por

〈∂teγ, w〉H−1(Ω), H10 (Ω) .

Ahora, como τγ pertenece a L2(0, T ;H10(Ω)), podemos tomarla como funcion test5 para

obtener, c.p.d. en [0, T ],

〈∂teγ, τγ〉H−1(Ω), H10 (Ω) +

∫

Ω

k|∇τγ |2 =

∫

Ω

1

σ(γ)τM (|∇ × gγ|2) τγ.

Haciendo acotaciones analogas a las del Lema 3.4.3, se llega a la conclusion de que

〈∂teγ , τγ〉H−1(Ω), H10 (Ω)+C

∫

Ω

|∇τγ |2 ≤ Cε‖1

σ(γ)τM(|∇×gγ|2)‖2

L2(Ω)+ε‖τγ‖2L2(Ω). (3.4.85)

Gracias a la desigualdad de Poincare podemos afirmar que, para ε suficientementepequeno,

‖∇τγ‖2L2(Ω) − ε‖τγ‖2

L2(Ω) (3.4.86)

esta minorada por C1‖τγ‖2H1

0 (Ω). Reemplazamos (3.4.86) por su minorante e integramos

en [0, t]. Aplicando (3.4.83) obtenemos

Υ(i∗(eγ(t))) + C1‖τγ‖2L2(0,t;H1

0 (Ω)) ≤ Q(eM0 ) + Cε‖

1

σ(γ)τM(|∇ × gγ |2)‖2

L2(Qt)

c.p.d. en [0, T ]. Como eγ ∈ L2(0, T ;L2(Ω)), utilizando ii) tenemos que

Υ(i∗(eγ(t))) = Q(eγ(t)) ≥ 0 c.p.d. en[0, T ].

Por tanto, Q(eγ(t)) se puede eliminar del primer termino de la desigualdad. Ademas,Q(eM

0 ) esta acotado pues eM0 ∈ L2(Ω). Ası, obtenemos

C1‖τγ‖2L2(0,t;H1

0 (Ω)) ≤ Cε‖1

σ(γ)τM(|∇ × gγ|2)‖2

L2(Qt)c.p.d. en [0, T ],

y como el termino debido al efecto Joule truncado esta acotado en L2(QT ), concluimos

‖τγ‖L2(0,T ;H10 (Ω)) ≤ CM ,

con CM dependiente de M . La segunda acotacion de (3.4.84) se da gracias a que G esun operador acotado de L2(QT ) en L2(QT ).

Finalmente, la acotacion de ∂teγ en L2(0, T ;H−1(Ω)) se obtiene directamente de laecuacion (3.4.81).

5No indicaremos la dependencia en tiempo para aligerar la notacion.


Lema 3.4.7. El conjunto τγ : γ ∈ L2(QT ) tiene al menos una subsucesion fuerte-mente convergente en L2(QT ).

Demostracion. Sabemos que eγ esta acotado en L2(0, T ;L2(Ω)) y que ∂teγ loesta en L2(0, T ;H−1(Ω)). Por el Teorema A.6.16, existe una subsucesion de eγ fuerte-mente convergente, a un lımite e, en L2(0, T ;H−1(Ω)). Por otro lado, la acotacion deτγ en L2(0, T ;H1

0(Ω)) implica que existe un subsucesion debilmente convergente a unlımite τ en L2(0, T ;H1

0(Ω)). Gracias al Lema A.3.10, sabemos que e = G(τ). Por tanto,∫ T

0

〈eγ − e, τγ − τ〉H−1(Ω), H10 (Ω) −→ 0. (3.4.87)

La dualidad de (3.4.87) se puede escribir como∫

Ω(eγ − e)(τγ − τ) ya que, tanto eγ − e

como τγ −τ , estan en L2(Ω). Por la Proposicion 3.3.2 se concluye la convergencia fuertede τγ en L2(QT ).

Lema 3.4.8. Sea i la inclusion de L2(0, T ;H10(Ω)) en L2(QT ). La aplicacion i S2 es

continua y compacta de L2(QT ) en L2(QT ) para las topologıas fuertes.

Demostracion. Tomamos una sucesion γm → γ en L2(QT ) fuerte. Denotamos τm =S2(γm).

Convergencia de τm en la topologıa fuerte. Por las estimaciones obtenidasen el Lema 3.4.6, τm esta acotada en el espacio de Hilbert L2(0, T ;H1

0(Ω)). Por tantoexiste una subsucesion, que denotaremos tambien por τm, que converge debilmenteen L2(0, T ;H1

0(Ω)) a τ . Por el Lema 3.4.7, existe una subsucesion de τm fuertementeconvergente a τ en L2(QT ).

Comprobemos ahora que τ = S2(γ). Como τm → τ en L2(QT )–fuerte, existe unasubsucesion de τm puntualmente convergente. Por la Proposicion 3.3.1, G es acotado enL2(QT ), luego es posible aplicar el Teorema de la convergencia dominada de Lebesguepara afirmar que

G(τm) −→ G(τ) en L2(QT ).

De este modo, para cada w ∈ H10 (Ω) y cada ϕ ∈ D(0, T ),

−∫ T

0

(G(τm), w)L2(Ω)∂tϕ −→ −∫ T

0

(G(τ), w)L2(Ω)∂tϕ.

Por otra parte, debido a la convergencia debil de ∇τm en L2(0, T ;L2(Ω)) y a quek∇wϕ ∈ L2(QT ), se tiene

∫ T

0

∫

Ω

k∇τm · ∇wϕ −→∫ T

0

∫

Ω

k∇τ · ∇wϕ.

Ademas, por la continuidad de S1, sabemos que gm converge fuertemente a g enL2(0, T ;V) por lo que, usando el Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue,se puede comprobar que

1

σ(γm)τM (|∇ × gm|2) −→

1

σ(γ)τM(|∇ × g|2) en L2(QT ).


Por ultimo, por el Lema 3.4.6, sabemos que em e en L2(QT ), donde em =G(τm). Asimismo, se deduce que em esta acotada en H1(0, T ;H−1(Ω)), por lo queexiste una subsucesion convergente, em e en H1(0, T ;H−1(Ω))–debil y por tan-to en C([0, T ];H−1(Ω))–debil, de donde e(0) = eM

0 . Por la unicidad del lımite enL2(0, T ;H−1(Ω)), se concluye que e = e y ası e(0) = eM

0 .De todo lo anterior, se deduce que τ satisface

d

dt

∫

Ω

G(τ)w +

∫

Ω

k∇τγ · ∇w =

∫

Ω

1

σ(γ)τM (|∇ × g|2)w ∀w ∈ H1

0 (Ω),

en D′(0, T ), es decir, es solucion de la ecuacion (3.4.81) escrita para γ.Compacidad de i S2.Consideramos un conjunto acotado K de L2(QT ), la imagen por S2 de K esta en

una bola de radio CM de L2(0, T ;H10(Ω)). Como ademas, por el Lema 3.4.7, existe una

subsucesion convergente en L2(QT ), la imagen de esa bola mediante i es relativamentecompacta. Por tanto, la composicion i S2 es compacta de L2(QT ) en L2(QT ).

Aplicacion del teorema de punto fijo de Schauder. La aplicacion

T = i S2 : L2(QT ) −→ L2(QT )

es continua y compacta. Por la acotacion del Lema 3.4.6, existe una constante CM > 0tal que

‖T (γ)‖Lq(QT ) ≤ CM ∀γ ∈ L2(QT ), (3.4.88)

por lo que el convexo cerrado y acotado BM = ϕ ∈ L2(QT ) : ‖ϕ‖L2(QT ) ≤ CM es apli-cado en sı mismo por T . Por el Teorema del punto fijo de Schauder (ver Teorema A.8.4)existe un punto fijo de T , θM ∈ BM , y por tanto (S1(θM , S2(θM)) es una solucion delproblema (PDT)M .


3.5. Nuevas estimaciones sobre la solucion de (PDT)M

Del Lema 3.4.3 obtenemos la acotacion del campo magnetico:

‖hM‖L2(0,T ;V) ≤ C ∀γ ∈ L2(QT ), (3.5.89)

con constante C > 0 independiente de γ y M .Hemos verificado que la derivada temporal del campo magnetico cumple

∂t(µhM) = −A(θM )hM . (3.5.90)

Entonces, gracias a la estimacion (3.5.89) y a las propiedades del operador A(θ), tambiense tiene que

‖∂t(µhM)‖L2(0,T ;V′

0) ≤ C, (3.5.91)

siendo C independiente de M .Para la variable θ, solo se puede obtener una acotacion a traves del Lema 3.4.6, pero

depende del parametro de truncamiento. En estas condiciones, no es posible pasar allımite en M .

Necesitamos usar otras tecnicas; concretamente, aplicaremos las ideas de la seccionIV del artıculo de Boccardo y Gallouet [24] a la parte termica de (PDT)M .6

Teorema 3.5.1. Bajo las hipotesis del Teorema 3.4.1, la solucion θ ∈ L2(0, T ;H10(Ω))

de la parte termica de (PDT)M satisface

‖θ‖Lq(0,T ;W 1,q0 (Ω)) ≤ C, (3.5.92)

con C > 0 independiente de M , y q cumpliendo

1 < q < 5/4. (3.5.93)

Demostracion. Se compone de varios pasos:

Acotacion de e en L∞(0, T ;L1(Ω)). Sea ψ la funcion real

ψ(s) =

−1 si s < −1,

s si s ∈ [−1, 1],

1 si s > 1.

Usamos ψ(θ(t)) como funcion test en (3.4.56) para obtener

〈∂te, ψ(θ)〉H−1(Ω), H10 (Ω) +

∫

Ω

k∇θ∇ψ(θ) =

∫

Ω

fM ψ(θ). (3.5.94)

donde fM = 1σ(θ)

τM (|∇ × h|2).Podemos aplicar el Lema 3.3.3 (ya que ψ es continua, monotona creciente y ψ(0) =

0), para afirmar que existe un funcional Υ : H−1(Ω) → (−∞,+∞] convexo, s.c.i. ypropio tal que

6En lo que resta de esta seccion cambiaremos hM , θM y eM por h, θ y e, respectivamente, parasimplificar la notacion.

3.5. Nuevas estimaciones sobre la solucion de (PDT)M 53

i) ψ(θ(t)) ∈ ∂Υ(i∗(e(t))),

ii) Υ(i∗(e(t))) = Q(e(t)),

donde Q esta definido mediante (3.3.34) e i∗ : L2(Ω) → H−1(Ω). Ademas, aplicando elLema A.6.9 con los espacios W = H−1(Ω) y W ′ = H1

0 (Ω), se deduce que

d

dtΥ(

i∗(e(t)))

= 〈∂te(t), ψ(θ(t))〉H−1(Ω), H10 (Ω) c.p.d. en [0, T ].

Integrando entre 0 y t, y utilizando el apartado ii) del Lema 3.3.3, el primer sumandode (3.5.94) es igual a

Q(e(t)) −Q(eM0 ) c.p.d. en [0, T ].

Una vez integrado en tiempo, el segundo sumando de (3.5.94) se puede reemplazarpor

∫

Qt

k∇θ ψ′(θ)∇θ. (3.5.95)

Usando la expresion de ψ′, (3.5.95) se reduce a

∫

Dt

k|∇θ|2,

donde Dt = (x, t) ∈ Qt : |θ| ≤ 1. Este es un termino no negativo, que despreciamos.El segundo miembro de (3.5.94), integrado en tiempo, se puede acotar del siguiente

modo:∫

Qt

fM ψ(θ) ≤∫

Qt

|fM ψ(θ)|.

Ahora, usando la desigualdad de Holder, se obtiene

∫

Qt

|fM ψ(θ)| ≤ ‖fM‖L1(QT )‖ψ(θ)‖L∞(QT ) ≤ ‖fM‖L1(QT ) ≤ C,

con una constante independiente deM . Se ha usado que ‖ψ(θ)‖L∞(QT ) ≤ 1. En resumen,

Q(e(t)) ≤ C +Q(eM0 ) c.p.d. en[0, T ].

Gracias a la hipotesis (3.3.22) se puede deducir que

0 < |j(x, r)| ≤ 1

g∗|r| c.p.d. en Ω, ∀r ∈ R, (3.5.96)

de forma que existe un r∗ ∈ R tal que j(x, r) > 1 si r > r∗, c.p.d. en Ω. Debido a laexpresion de ψ, se tiene que

q(x, r) =

∫ r∗

0

ψ(j(x, r)) dr +

∫ r

r∗dr = r + C+(x),


con C+ constante por subdominios. Analogamente, se puede demostrar que existen unaconstante r∗ y una funcion C− tales que

q(x, r) =

−r + C−(x) si r < −r∗,continua si r ∈ [−r∗, r∗],r + C+(x) si r > r∗.

c.p.d. en Ω. Debido a la propiedad (3.5.96), podemos afirmar que existe una constanteK tal que q(x, r) ≥ |r| −K. De hecho, el valor mınimo para K viene dado por

K = maxx∈Ω

maxr∈R

|r| − q(x, r) .

Por tanto se tiene que

∫

Ω

|e(t)| −K med(Ω) ≤∫

Ω

q(·, eM0 ) + C.

Luego,

e esta acotada en L∞(0, T ;L1(Ω)). (3.5.97)

y por las propiedades de j,

θ esta acotada en L∞(0, T ;L1(Ω)). (3.5.98)

Acotacion de ∇θ en L2(Bm). Para un m ∈ N dado, definimos el conjunto Bm =(x, t) ∈ QT : |θ| ∈ [m,m+ 1] y tomamos la funcion ψ,

ψ(s) =

−1 si s < −m− 1,

s+m si s ∈ [−m− 1,−m],

0 si s ∈ (−m,m),

s−m si s ∈ [m,m+ 1],

1 si s > m+ 1.

(3.5.99)

Usamos como funcion test ψ(θ) en (3.4.56) para obtener la misma ecuacion que(3.5.94). Integrando hasta t ≤ T , tenemos

∫ t

0

〈∂te, ψ(θ)〉H−1(Ω), H10 (Ω) +

∫

Qt

k∇θ∇ψ(θ) =

∫

Qt

fM ψ(θ). (3.5.100)

Del mismo modo que antes, podemos aplicar el Lema 3.3.3 con la nueva ψ. Ahorael primer termino de (3.5.100) queda

∫

Ω

q(x, e(x, t)) −∫

Ω

q(x, eM0 (x)).


El primer sumando de la expresion anterior es no negativo, por lo que se puede despre-ciar. El segundo sumando puede pasarse al segundo miembro y ser acotado por

∫

Ω|eM

0 |.Gracias a la estimacion de e en L∞(0, T ;L1(Ω)) obtenida previamente, se tiene que

la expresion anterior esta acotada por una constante independiente de t. El segundomiembro de (3.5.100) vuelve a ser menor o igual que una constante independiente deM . Por ultimo, el segundo sumando (3.5.100) se puede transformar como antes paraobtener

∫

Qt

kψ′(θ)|∇θ|2 ≤ C, c.p.d. en [0, T ].

Por tanto, podemos hacer t = T , usar la expresion de ψ′ y la hipotesis sobre k, paraconseguir

∫

Bm

|∇θ|2 ≤ C, con C > 0. (3.5.101)

Acotacion de ∇θ en Lq(Bm) en funcion de ‖θ‖Lr(Bm). Los valores admisibles parala constante r se determinan en la pagina 57. Usamos la desigualdad de Holder conexponentes 2

q> 1 y su conjugado (2

q)′ = 2

2−q, sobre

∫

Bm|∇θ|q para obtener

∫

Bm

|∇θ|q ≤(

∫

Bm

|∇θ|q 2q)q/2(

∫

Bm

12

2−q)

2−q2 =

(

∫

Bm

|∇θ|2)q/2

med (Bm)2−q2 ≤ C med (Bm)

2−q2 ,

gracias a la acotacion (3.5.101).Por la definicion de Bm, podemos afirmar que

∫

Bm

mr ≤∫

Bm

|θ|r

y ası,

med (Bm) ≤ 1

mr

∫

Bm

|θ|r.

En resumen:∫

Bm

|∇θ|q ≤ C(

∫

Bm

|θ|r)

2−q2

1

mr 2−q2

. (3.5.102)

Acotacion de ∇θ en Lq(QT ) en funcion de ‖θ‖Lr(QT ). Usamos la desigualdad deHolder para series A.8.1 con exponentes conjugados 2

2−qy 2

qen la ecuacion anterior,

para obtener

∞∑

m=n0

∫

Bm

|∇θ|q ≤ C

( ∞∑

m=n0

∫

Bm

|θ|r)

2−q2( ∞∑

m=n0

1

mr 2−qq

)q2

, (3.5.103)

con n0 > 0.


El conjunto Dn0 = (x, t) ∈ QT : |θ| ≤ n0 es, ademas, igual a ∪n0−1m=0Bm. Por tanto,

usando de nuevo la desigualdad de Holder,

∫

Dn0

|∇θ|q ≤(∫

Dn0

|∇θ|2)q/2

med (Dn0)2−q2 .

Como, gracias a (3.5.101),

(∫

Dn0

|∇θ|2)q/2

=

( n0−1∑

m=0

∫

Bm

|∇θ|2)q/2

≤ (n0C)q/2,

entonces∫

Dn0

|∇θ|q ≤ c(n0). (3.5.104)

Al juntar las acotaciones (3.5.103) y (3.5.104), podemos afirmar que

∫

QT

|∇θ|q =

∫

Dn0

|∇θ|q +∞∑

m=n0

∫

Bm

|∇θ|q ≤

c(n0) + C

( ∞∑

m=n0

∫

Bm

|θ|r)

2−q2( ∞∑

m=n0

1

mr 2−qq

)q/2

≤

c(n0) + C

(∫

QT

|θ|r)

2−q2( ∞∑

m=n0

1

mr 2−qq

)q/2

.

Acotacion de θ en Lr(QT ) en funcion de ‖θ‖Lq(0,T ;Lq∗(Ω)). Sea δ ∈ (0, 1) y q∗

definido por 1r

= δ1

+ 1−δq∗

, es decir,

1 − δ =( 1 − r

1 − q∗)q∗

r. (3.5.105)

Entonces se tiene, por la desigualdad de interpolacion A.4.6,

‖θ‖Lr(Ω) ≤ ‖θ‖δL1(Ω)‖θ‖1−δ

Lq∗(Ω).

Elegimos q∗ > 1 satisfaciendo, ademas,

r1 − r

1 − q∗q∗

r= q. (3.5.106)

Ahora, como ‖θ‖L1(Ω) ≤ C, de la desigualdad de interpolacion podemos deducir que

‖θ‖rLr(Ω) ≤ C ‖θ‖r 1−r

1−q∗q∗

r

Lq∗(Ω= C ‖θ‖q

Lq∗ (Ω). (3.5.107)

Finalmente, integrando en tiempo, se tiene la acotacion

‖θ‖rLr(QT ) ≤ C

∫ T

0

‖θ‖q

Lq∗(Ω)= C‖θ‖q

Lq(0,T ;Lq∗(Ω)). (3.5.108)


Acotacion de θ en Lq(0, T ;Lq∗(Ω)) en funcion de ‖∇θ‖Lq(QT ). Como q∗ cumple(3.5.106) y debe ocurrir r < q∗, para que tenga sentido la desigualdad de interpolacion,entonces q∗ > q. La inclusion W 1,q(Ω) ⊂ Lq∗(Ω) se dara si

1

q∗≥ 1

q− 1

3. (3.5.109)

Como la solucion del problema (PDT)M satisface una condicion Dirichlet en toda lafrontera de Ω, por la desigualdad de Poincare podemos afirmar que

‖θ‖Lq∗ (Ω) ≤ C ‖θ‖W 1,q0 (Ω) ≤ C ‖∇θ‖Lq(Ω).

Elevando a q la desigualdad anterior, integrando en [0, T ] y elevando a 1/q, resulta

‖θ‖Lq(0,T ;Lq∗(Ω)) ≤ C ‖∇θ‖Lq(QT ).

Acotacion (final) de θ en Lq(0, T ;W 1,q0 (Ω)). Enlazando las acotaciones obtenidas

en las etapas precedentes se obtiene

‖θ‖q

Lq(0,T ;Lq∗(Ω))=

∫ T

0

‖θ(t)‖q

Lq∗(Ω)≤ C

∫ T

0

‖∇θ(t)‖qLq(Ω) =

C‖∇θ‖qLq(QT ) ≤ c(n0) + C

(∫

QT

|θ|r)

2−q2( ∞∑

m=n0

1

mr 2−qq

)q/2

≤

c(n0) + C‖θ‖q 2−q2

Lq(0,T ;Lq∗(Ω))

( ∞∑

m=n0

1

mr 2−qq

)q/2

. (3.5.110)

El exponente q 2−q2

es menor que q siempre que q < 2. Ademas el exponente r 2−qq

debe ser mayor que uno para que la serie del segundo miembro de (3.5.110) converja.Las condiciones que deben cumplir los parametros q, r, q∗ y δ son:

q < 2, q∗ > 1, δ ∈ (0, 1), (3.5.111)

1

r= δ +

1 − δ

q∗⇐⇒ 1 − δ =

1 − r

1 − q∗q∗

r, (3.5.112)

r1 − r

1 − q∗q∗

r= q, (3.5.113)

1

q∗≥ 1

q− 1

3, (3.5.114)

r2 − q

q> 1. (3.5.115)

La ecuacion (3.5.112) obliga a que 1 < r < q∗ para que δ este en (0, 1). La expresionequivalente de (3.5.112) junto con (3.5.113) y (3.5.111) implican que r > q. De loanterior se deduce que q < r < q∗. De (3.5.113) se obtiene que q∗ = q

1−r+q. Por tanto,

q < r <q

1 − r + q, (3.5.116)


que se cumple si r ∈ (q, q+1). Por otro lado, la condicion (3.5.114) obliga a que q∗ ≤ 3q3−q

o equivalentemente r ≤ 43q. Ademas, (3.5.114) y r < q∗ conducen a que r < 3q

3−q. Por

tanto,

q < r < mın

q + 1,3q

3 − q,4

3q

. (3.5.117)

Puesto que 3q3−q

> 43q y q + 1 > 4

3qcuando q ∈ [1, 2], lo anterior se reduce a

q < r <4

3q. (3.5.118)

Esta es la condicion que debe cumplir r respecto de q, junto con la que nos da(3.5.115), esto es,

r >q

2 − q. (3.5.119)

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

q

r

r=q

r=q+1

r=q/(2−q)

r=4q/3

Figura 3.1: Rango de valores para r.

En resumen, es posible encontrar valores admisibles para los parametros satisfacien-do (3.5.111)–(3.5.115), siempre que

4

3q >

q

2 − q. (3.5.120)

El rango de valores admisibles para r en funcion de q esta indicado en gris en laFigura 3.1. Observese que el supremo para q es 5/4.

Por tanto, a partir de (3.5.110), se deduce la acotacion

‖θ‖Lq(0,T ;Lq∗(Ω)) ≤ C, (3.5.121)

y a continuacion‖∇θ‖Lq(QT ) ≤ C. (3.5.122)

Gracias a la condicion de contorno homogenea, podemos usar la desigualdad dePoincare para obtener que

‖θ‖Lq(0,T ;W 1,q0 (Ω)) ≤ C. (3.5.123)


Acotacion de e en∏p

i=1 Lq(0, T ;W 1,q(Ωi)). La acotacion (3.5.123) y la Proposicion

3.3.1 permiten afirmar que‖e‖Lq(QT ) ≤ C. (3.5.124)

Como g es lipschitziana y constante por subdominio, podemos decir que ∇e =∂sg(x, θ)∇θ en cada subdominio. Como ademas 0 < ∂sg(x, s) ≤ g∗, para todo x ∈ Ω ys ∈ R, ∇e esta acotada en Lq(Ωi × [0, T ]) para cada i = 1, . . . , p. Esto implica, juntocon (3.5.124), que

‖e‖∏pi=1 Lq(0,T ;W 1,q(Ωi)) ≤ C. (3.5.125)

Acotacion de ∂te en L1(0, T ;W−1,q(Ω)). De la ecuacion (3.4.56) obtenemos que

∂te = −∇ · (k∇θ) + fM .

Por la acotacion (3.5.123), tenemos que ∇θ esta acotado en Lq(QT ). Por tanto, su diver-gencia esta acotada en Lq(0, T ;W−1,q(Ω)). Por otra parte, el termino fM que provienedel efecto Joule esta acotado en L1(QT ), independientemente de M . Luego:

∂te esta acotada en L1(0, T ;W−1,q(Ω) + L1(Ω)). (3.5.126)

Ademas, como q < 32, el conjugado cumple q′ > 3 y por tanto,

L1(Ω) ⊂ W−1,q(Ω) (3.5.127)

y (3.5.126) implica que

∂te esta acotada en L1(0, T ;W−1,q(Ω)). (3.5.128)

Convergencia fuerte de eM en Lq(0, T ;Ls(Ω)). Por los teoremas de embebimientode Sobolev (A.5.2) y (A.5.3), sabemos que

p∏

i=1

W 1,q0 (Ωi)

c→ Ls(Ω) si s <

3q

3 − q,

Ls(Ω) → W−1,q(Ω) si s′ ≤ 3q′

3 − q′,

dondec→ denota embebimiento compacto y q′, s′ denotan los conjugados de q y s.

Ambas condiciones se cumplen si

3q

3 + q≤ s <

3q

3 − q.

Como q < 5/4, la desigualdad anterior se reduce a 1 < s < 3q3−q

. Si tomamos unexponente s en estas condiciones, la Proposicion A.6.17 nos permite afirmar que

eM converge fuertemente en Lq(0, T ;Ls(Ω)). (3.5.129)


Convergencia fuerte de θM en L1(QT ). Denotamos por e el lımite de eM enLq(0, T ;Ls(Ω)). Como la inversa de la funcion g respecto de su segunda variable eslipschitziana (ver seccion 3.3.2), entonces

|θM1(x, t) − θM2(x, t)| ≤ K|eM1(x, t) − eM2(x, t)|, c.p.d. en QT . (3.5.130)

Como eM converge, en particular, en L1(QT ), es una sucesion de Cauchy en L1(QT ). De(3.5.130) se deduce que θM tambien es una sucesion de Cauchy en L1(QT ) y por tanto

θM converge fuertemente en L1(QT ) (3.5.131)

a un lımite θ. Ahora, por la continuidad de G en L1(QT ),

e = lımn→∞

eM = G(

lımn→∞

θM

)

= G(θ).

Por otro lado, (3.5.131) implica que

existe una subsucesion de θM que converge puntualmente a θ en QT . (3.5.132)

3.5.1. El problema “ultra-debil” truncado

El paso al lımite no se puede realizar sobre el problema debil truncado, al no disponerde estimaciones suficientes sobre la derivada de la entalpıa. En vez de ello planteamosel

Problema ultra-debil truncado (PUDT)M : Hallar hM ∈ L2(0, T ;V) y θM ∈L2(0, T ;H1

0(Ω)) tales que

hM × n = f en L2(

0, T ; [H−1/200 (ΓD)]3

)

,

eM(t) = G(θM (t)) c.p.d. en [0, T ]

y ademas

−∫

QT

µhM · ∂tζ +

∫

QT

1

σ(θM)(∇× hM) · (∇× ζ) =

∫

Ω

h0 · ζ(0) ∀ζ ∈ ZV, (3.5.133)

−∫

QT

eM ∂tϕ +

∫

QT

k∇θM · ∇ϕ =

∫

QT

1

σ(θM )τM(|∇ × hM |2)ϕ+

∫

Ω

eM0 ϕ(0) ∀ϕ ∈ Φ2. (3.5.134)

La relacion entre ambos problemas. El nombre de “ultra-debil” se debe a que sepuede demostrar el siguiente

Lema 3.5.2. Toda solucion de (PDT)M es tambien solucion de (PUDT)M .

3.6. Paso al lımite cuando M → +∞ 61

Demostracion. Haremos la demostracion para la parte electromagnetica. Si hM essolucion del problema debil (PDT)M entonces

d

dt

∫

Ω

µhM · v +

∫

Ω

1

σ(∇× hM) · (∇× v) = 0 ∀v ∈ V0, en D′(0, T ).

Ahora bien, como todos los terminos de la ecuacion estan en L2(0, T ), la funciont 7→ (µhM(t),v)L2(0,T ) esta en H1(0, T ). Multiplicamos por una funcion ϕ ∈ D([0, T ]),nula en un entorno de T e integramos en tiempo para obtener

∫ T

0

d

dt

∫

Ω

µhM(t) · vϕ(t) +

∫ T

0

∫

Ω

1

σ(∇× hM(t)) · (∇× v)ϕ(t) = 0.

Usando integracion por partes en el primer sumando, se deduce que

−∫

QT

µhM(t) · ∂tψ(t) +

∫

QT

1

σ(∇× hM(t)) · (∇×ψ(t)) =

∫

Ω

h(0) ·ψ(0).

Como por el Lema A.6.7, el espacio de funciones formado por la sumas finitas defunciones v ⊗ ϕ forman un conjunto denso en ZV, tenemos lo buscado.

La demostracion para la parte termica es analoga, teniendo en cuenta que las fun-ciones correspondientes a v ⊗ ϕ formaran un conjunto denso en

ZH10 (Ω) =

ζ ∈ L2(0, T ;H10(Ω)) : ∂tζ ∈ L2(QT ), ζ(T ) = 0

,

que contiene a Φ2.

3.6. Paso al lımite cuando M → +∞De (3.5.89) se tiene que hM es un subconjunto acotado de L2(0, T ;V). Por tanto,

existe una subsucesion, que volvemos a denotar por hM , tal que

hM h en L2(QT )–debil, (3.6.135)

∇× hM ∇× h en L2(QT )–debil. (3.6.136)

Por (3.5.123), (3.5.132) y (3.5.125) podemos afirmar que existen subsucesiones deθM y eM (que podemos volver a denotar por θM y eM) tales que

θM → θ puntualmente en QT , (3.6.137)

∇θM ∇θ en Lq(QT )–debil, (3.6.138)

eM e en Lq(QT )–debil. (3.6.139)


Problema electromagnetico. Sabemos que para cada M , hM satisface la ecuacion(3.5.133). Vamos a comprobar que el lımite h cumple que

−∫

QT

µh · ∂tζ +

∫

QT

1

σ(θ)(∇× h) · (∇× ζ) =

∫

Ω

h0 · ζ(0) ∀ζ ∈ ZV.

Para ello restamos a (3.5.133) la ecuacion anterior y pasamos al lımite en cada terminoobtenido. En primer lugar,

−∫

QT

µ(

hM − h)

∂tζ −→ 0

pues ∂tζ ∈ L2(QT ). El siguiente termino,

∫

QT

1

σ(θM)(∇× hM) · (∇× ζ) −

∫

QT

1

σ(θ)(∇× h) · (∇× ζ),

se puede tratar sumando y restando∫

QT

1σ(θM )

(∇×h) · (∇× ζ), con lo que se convierteen∫

QT

1

σ(θM)

(

∇×hM −∇×h)

·(∇×ζ)+∫

QT

(

1

σ(θM)− 1

σ(θ)

)

(∇×h)·(∇×ζ). (3.6.140)

Para analizar la convergencia de la expresion anterior debemos tener en cuenta que

1

σ(θM )−→ 1

σ(θ)c.p.d. en QT , (3.6.141)

que se obtiene gracias a la convergencia puntual de θM y a la continuidad de σ. Como∇× ζ ∈ L2(QT ), por el Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue,

1

σ(θM)∇× ζ −→ 1

σ(θ)∇× ζ en L2(QT ). (3.6.142)

La convergencia hacia 0 del primer termino de (3.6.140) se tiene por la propiedad (A.1.1,iv) de la topologıa debil de L2(QT ). El segundo sumando de (3.6.140) tambien tiendea 0 gracias a (3.6.142).

Por ultimo, la diferencia de los segundos miembros de las ecuaciones para hM y hes identicamente nula.

Problema termico. Tambien sabemos que θM satisface la ecuacion (3.5.134). Pasamosal lımite en cada uno de los terminos para comprobar de que ecuacion es solucion ellımite θ. Tomamos una subsucesion de eM debilmente convergente en Lq(QT ). Como∂tϕ ∈ Lq′(QT ), por la propiedad (A.1.1, iv) de la topologıa debil de Lq(QT ), se obtienela convergencia

−∫

QT

eM ∂tϕ −→ −∫

QT

e ∂tϕ.

3.7. Un intento de extension del teorema de existencia 63

Para la convergencia del segundo termino de (3.5.134), basta tener en cuenta laconvergencia debil de ∇θM en Lq(QT ).

Como en la demostracion del Lema 3.4.4, podemos deducir que hM → h en L2(QT )fuerte ya que, gracias a 3.5.131, θM → θ en L1(QT ) fuerte. Por tanto

|∇ × hM |2 −→ |∇× h|2 en L1(QT ) fuerte.

Esto implica que τM(

|∇×hM |2)

→ |∇×h|2 en L1(QT ) fuerte. Gracias a la convergenciapuntual de la conductividad electrica y al Teorema de la convergencia dominada deLebesgue, el producto 1

σ(θM )τM(

|∇×hM |2)

converge en L1(QT ). Por otro lado, debido a

que ϕ ∈ C(

[0, T ];L∞(Ω))

, el primer termino del segundo miembro de (3.5.134) converge.Por ultimo, se tiene

eM0 −→ e0 en L2(QT ) fuerte (3.6.143)

y como ϕ(0) ∈ L∞(Ω), el segundo termino del segundo miembro de (3.5.134) converge.Luego se ha demostrado que θ satisface la ecuacion termica usando h en el efecto

Joule. El espacio de funciones test que se utiliza en la ecuacion que cumple θ es Φq′,que es admisible ya que Φq′ ⊂ Φ2 pues q′ > 3, donde q′ es el conjugado de q.

3.7. Un intento de extension del teorema de exis-

tencia

Se ha intentado demostrar un resultado de existencia mas general que el dado porel Teorema 3.4.1. La extension consiste en que la entalpıa viene expresada por (2.2.30),es decir, se admite que el operador g sea multivaluado.

Las hipotesis adicionales que hemos considerado son que la funcion g(x, ·) es unoperador maximal monotono en R, posiblemente multıvoco, para cada x ∈ Ω. La funcionx → g(x, s) es constante por subdominios. Ademas, suponemos que existen constantesM,N,C ∈ R+, tales que, dados s1, s2 ∈ R, para cada yk ∈ g(x, sk) k = 1, 2, se tienenlas desigualdades

|y1 − y2| ≤M |s1 − s2| +N, c.p.d. en Ω, (H1 )

(y1 − y2)(s1 − s2) ≥ C|s1 − s2|2, c.p.d. en Ω. (H2 )

Gracias a los Teoremas A.3.5, A.3.6 y a la Proposicion A.3.7, se puede definir, paracada 1 < q < +∞, un operador maximal monotono G : Lq(Ω) → Lq′(Ω) dado por

G(u) = e ∈ Lq′(Ω); e(x) ∈ g(x, u(x)), c.p.d. en Ω.

A partir de el, puede definirse su aproximacion Yosida de Gλ (ver Definicion A.3.4).La funcion Gλ estara acotada en Lq(Ω) independientemente de λ, si su argumentotambien lo esta en Lq(Ω).

Volvemos a plantear un problema debil (PD) del mismo modo que antes. La unicadiferencia reside en que la entalpıa es multıvoca y por tanto e(t) ∈ G(θ(t)) c.p.d.


en [0, T ]. Tambien como antes, pretendemos demostrar un resultado de existencia desolucion para una formulacion ultra-debil (PUD) analogo al anterior.

Los pasos seguidos coinciden con los de la demostracion del Teorema 3.4.1, solo queahora se regulariza la entalpıa, ademas de truncar el termino debido al efecto Joule enel problema debil. Para cada M > 0 y cada λ > 0 consideramos el siguiente

Problema debil regularizado y truncado (PDRT)Mλ : Hallar dos funciones

hMλ ∈ L2(0, T ;V) ∩ C0([0, T ];L2(Ω)) y θM

λ ∈ L2(0, T ;H10(Ω)) tales que

hMλ × n = f en L2

(

0, T ; [H−1/200 (ΓD)]3

)

, (3.7.144)

eMλ (t) = Gλ(θ

Mλ (t)) c.p.d. en [0, T ] (3.7.145)

y ademas

d

dt

∫

Ω

µhMλ · u +

∫

Ω

1

σ(θMλ )

(∇× hMλ ) · (∇× u) = 0 ∀u ∈ V0, (3.7.146)

d

dt

∫

Ω

eMλ w +

∫

Ω

k∇θMλ · ∇w =

∫

Ω

1

σ(θMλ )

τM(|∇ × hMλ |2)w ∀w ∈ H1

0 (Ω), (3.7.147)


hMλ (0) = h0 en L2(Ω), (3.7.148)

eMλ (0) = eM

0 en H−1(Ω). (3.7.149)

La existencia de solucion para el problema debil regularizado y truncado se obtienemediante el teorema de punto fijo de Schauder. Otra vez, las estimaciones obtenidasdependen del parametro de truncamiento y es necesario conseguir una estimacion adi-cional, usando tecnicas de [24], para la temperatura para poder pasar al lımite en λ yM . El hecho de haber cambiado el termino de la entalpıa por su aproximacion Yosida,nos permite obtener que

eMλ esta acotada en L∞(0, T ;L1(Ω)),

ademas del resultado ya conocido de que

θMλ esta acotada en Lq(0, T ;W 1,q

0 (Ω)), con q < 5/4.

Gracias el Teorema A.5.2, se tiene que

θMλ esta acotada en Lq(0, T ;Ls(Ω)), con s ≤ 3q

3 − q. (3.7.150)

La propiedad (H1 ) permite afirmar la acotacion de la entalpıa en el mismo espacio.Por tanto, eM

λ estara acotada en todos los espacios La′

(0, T ;Lb′(Ω)), interpolados entreL∞(0, T ;L1(Ω)) y Lq(0, T ;Ls(Ω)). Las relaciones para a′ y b′ que se deben cumplir son

1

b′= δ +

1 − δ

s, a′(1 − δ) ≤ q, δ ∈ [0, 1].

3.7. Un intento de extension del teorema de existencia 65

Nos interesa que Ls(Ω) → Lb(Ω), por lo que b′ ≥ s′. El valor mas pequeno valido parab corresponde a b′ = s′, lo que implica que

1

s′= δ +

1 − δ

s,

o equivalentemente, δ = s−2s−1

. Al mismo tiempo, pretendemos que a′ sea lo mas grandeposible. El valor maximo para a′ se obtiene con a′ = q

1−δ= q(s−1). Teniendo en cuenta

la cota para s en funcion de q dada en (3.7.150), se debe cumplir que

a′ < q

(

3q

3 − q− 1

)

. (3.7.151)

Con esta condicion, sabemos que

eMλ esta acotada en La′

(0, T ;Lb′(Ω)) y Lb′(Ω)c→W−1,q′(Ω),

dondec→ un denota embebimiento compacto. Como antes, se deduce de la ecuacion

termica que∂te

Mλ esta acotada en L1(0, T ;W−1,q(Ω)).

Por tanto, la Proposicion A.6.17 nos permite afirmar que

eMλ converge fuertemente en La′

(0, T ;W−1,q′(Ω)).

El problema estriba en que no podemos afirmar que converja en Lq′(0, T ;W−1,q′(Ω)),puesto que a′ ≥ q′ solo si q > 3/2, debido a la condicion (3.7.151). Como q < 5/4,encontramos que la entalpıa converge fuertemente en un espacio, pero no se puedeponer en dualidad con la temperatura, que es algo que necesitarıamos para poder pasaral lımite en λ.

Capıtulo 4

La resolucion numerica del modeloaxisimetrico

Abordamos ahora la resolucion numerica de un caso particular del sistema termo-electromagnetico: el caso de axisimetrıa. En la parte termica consideraremos el procesoevolutivo, con velocidad no nula. Ademas habra varios materiales, y los parametrospodran depender de la temperatura. Se contemplara el cambio de estado de algunosmateriales. Este modelo corresponde al electrodo ELSA.

Empezaremos detallando el dominio del problema y las particularidades de losdiferentes materiales. Expondremos las ecuaciones a resolver, ayudandonos de las yapresentadas en el capıtulo de la Introduccion. Para terminar la primera parte ex-pondremos las condiciones de contorno utlizadas. En la segunda parte, presentaremosel metodo numerico propuesto para la resolucion del problema, que constara de unaprimera semidicretizacion en tiempo y una segunda discretizacion en espacio. Por ulti-mo, mostraremos una serie de resultados obtenidos mediante el programa implementadoen ordenador aplicables al electrodo ELSA.

Apuntes sobre coordenadas cilındricas

Sea ex, ey, ez la base canonica del espacio vectorial de R3 y er, eϑ, ez la baselocal ortonormal asociada a las coordenadas cilındricas.

Consideremos el campo vectorial v. Este campo se expresara en funcion de cadauna de estas bases con la siguiente notacion:

v = vx ex + vy ey + vz ez = vr er + vϑ eϑ + vz ez.

Supondremos que las coordenadas (vr, vϑ, vz) son funciones escritas en coordenadascilındricas. Ası, por ejemplo, vr = vr(r, ϑ, z).

Sera util conocer la expresion de los principales operadores diferenciales para uncampo expresado en la base asociada a las coordenadas cilındricas. El gradiente de unafuncion escalar ϕ que dependa de (r, ϑ, z) sera:

∇ϕ =∂ϕ

∂rer +

1

r

∂ϕ

∂ϑeϑ +

∂ϕ

∂zez.

66

4.1. El dominio y el modelo electromagnetico 67

La divergencia de v se expresa del siguiente modo:

∇ · v =1

r

(

∂(r vr)

∂r+∂vϑ

∂ϑ+∂(r vz)

∂z

)

.

Analogamente, su rotacional es

∇× v =1

r

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

er r eϑ ez

∂∂r

∂∂ϑ

∂∂z

vr r vϑ vz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

4.1. El dominio y el modelo electromagnetico

Debemos resolver las ecuaciones de Maxwell acopladas con la ecuacion del calor.Como la corriente usada en los hornos es alterna, con una frecuencia de 50 Hz, esadmisible suponer que la frecuencia es baja y ası utilizar la ecuacion unica para el campomagnetico (2.1.20). Vemos que la incognita del problema electromagnetico sera , enprincipio una funcion vectorial compleja definida en R3.

Estudiaremos un electrodo aislado de los demas, por lo que haremos las suposicionesdescritas en la seccion 1.4.2. Si consideramos un sistema de referencia en coordenadascilındricas (r, ϑ, z) para el que el eje z sea el eje vertical del electrodo (ver Figura 4.1)y que el dominio es axisimetrico, entonces podemos asumir que el campo electrico esun vector que siempre se mantiene en el mismo plano coordenado ϑ constante y queademas no depende del valor de ϑ en ese plano:

(r, ϑ, z) = r(r, z) er + z(r, z) ez. (4.1.1)

Usando las ecuaciones (2.1.19), (2.1.20) y la suposicion de que σ no depende de ϑ,junto con la expresion del rotacional en cilındricas, podemos ver que el campo magneticoes de la forma

(r, ϑ, z) = ϑ(r, z) eϑ. (4.1.2)

y que la ecuacion unica para el campo magnetico en los conductores (2.1.20) es

iωµϑ −∂

∂r

( 1

rσ

∂(r ϑ)

∂r

)

− ∂

∂z

( 1

σ

∂ϑ

∂z

)

= 0. (4.1.3)

Por lo tanto, la incognita sera en realidad una funcion escalar compleja, definidasobre una seccion vertical del electrodo. Tomaremos un valor ϑ0 cualquiera y definiremoscomo dominio Ω del modelo la interseccion del plano coordenado ϑ = ϑ0 constante conel electrodo.

El parametro σ se tomara dependiente del punto y de la temperatura.

68 Capıtulo 4. La resolucion numerica del modelo axisimetrico

Figura 4.1: Esquema del dominio Ω

4.1.1. La inclusion del agua de refrigeracion en el dominio de

calculo

Como podemos ver en la Figura 4.1, el dominio esta formado por una seccion delnucleo interior de grafito, una de la capa de pasta (en varios estados), otra del acerodebida a la virola y una ultima de cobre formada por las placas. Estas, ademas, estan re-frigeradas por agua que influye de manera significativa tanto en el enfriamiento del elec-trodo como en la distribucion de la corriente electrica. El agua es un material dielectrico,por lo que la ecuacion (2.1.20) que usamos en el resto de los materiales no es validaaquı. Denotaremos por D la parte del dominio que ocupa el agua y por C al resto(conductores). El agua sera tenida en cuenta en el dominio del modelo electrico, C ∪D,pero no ası en el dominio termico, C, aunque denotaremos a ambos por Ω mientras nohaya peligro de confusion.

Como la densidad de corriente en el dielectrico es nula, la ecuacion (2.1.19) seconvierte en

∇× = 0 en D (4.1.4)

Una formulacion variacional, involucrando el campo electrico en D y el campomagnetico en C, puede ser usada para resolver este problema electromagnetico. Sitomamos dos funciones test vectoriales complejas y , multiplicamos las ecuaciones (2.1.20)y el sistema (2.1.21)–(2.1.22) por sus conjugados, integramos en Ω y usamos una formula

4.1. El dominio y el modelo electromagnetico 69

de Green, obtenemos que y satisfacen∫

Ω

iωµ · +

∫

C

1

σ∇× · ∇ × +

∫

D

· ∇ × = 0 (4.1.5)∫

D

∇× · = 0, (4.1.6)

donde hemos denotado por Ω el correspondiente dominio tridimensional a Ω y analo-gamente C y D. Notese que el campo electrico en D puede ser interpretado como unmultiplicador de Lagrange asociado a la condicion de rotacional nulo para el campomagnetico.

Otra posibilidad, que ha sido escogida en este trabajo por su sencillez, es usar unmetodo de penalizacion. Consiste en aproximar la ecuacion (4.1.4) por

−δ + ∇× = 0 en D, (4.1.7)

para un δ suficientemente pequeno comparado con σ. En este caso, obtenemos unaformulacion variacional simple:

∫

Ω

iωµ · +

∫

C

1

σ∇× · ∇ × +

∫

D

1

δ∇× · ∇ × = 0, (4.1.8)

que es equivalente a resolver la ecuacion (2.1.20) en todo el dominio Ω, considerandoal agua como un mal conductor electrico, es decir, mucho peor que los materiales deC. En lo que sigue denotaremos por σ a la conductividad electrica extendida por δ alsubdominio D.


La condiciones de contorno adecuadas para la anterior formulacion variacional (verel apartado 3.2.1) son:

a) Condicion esencial: × n dado.

b) Condicion natural: × n dado,

donde n denota al vector normal unitario dirigido hacia el exterior de la frontera en cadapunto. En nuestro caso, debido a la simetrıa cilındrica, la primera condicion significaque ϑ debe ser conocido en esa parte de la frontera1.

El calculo de ϑ. La intensidad IS que atraviesa una superficie S en cada instantede tiempo puede ser calculada mediante la expresion:

IS(t) =

∫

S

j(t) · n (4.1.9)

En el caso de la corriente alterna esta cantidad varıa de forma periodica de acuerdo conla frecuencia de la corriente:

1Esta es una condicion de tipo Dirichlet para la ecuacion (4.1.3).


Figura 4.2: Condiciones de contorno: a) electromagneticas; b) termicas.

∫

S

j(t) · n =

∫

S

Re (eiωt ) · n = Re(

eiωt

∫

S

· n)

= Re(

eiωtIS

)

(4.1.10)

El conocimiento de esta intensidad compleja IS nos permitira determinar el valorde ϑ. Tomamos un trozo de frontera ΓH del dominio bidimensional (ver Figura 4.2),entre los puntos P y Q y denotamos por γ

PQa la superficie generada por su rotacion

alrededor del eje z. La intensidad compleja que atraviesa γPQ

es, por el teorema deStokes,

IγPQ

=

∫

γPQ

· n =

∫

γPQ

∇× · n =

∫

ΓϑQ

· τ, (4.1.11)

donde τ es un vector unitario tangente a la curva ΓϑQ (ver Figura 4.2).

La integral de lınea anterior se puede simplificar tomando una parametrizacion delas curvas acorde con la orientacion dada en el teorema de Stokes y gracias a que ϑ nodepende de ϑ:

IγPQ

= 2π(r ϑ)(Q). (4.1.12)

Finalmente tenemos:

ϑ(Q) =Iγ

PQ

2π r(Q). (4.1.13)

La intensidad que se conoce en la realidad es la “intensidad eficaz” (RMS intensityen ingles), que es una especie de promedio de la intensidad real en un ciclo:

IRMS =

√

ω

2π

∫ 2πω

0

I(t)2. (4.1.14)

4.2. El modelo termico 71

Teniendo en cuenta la expresion de I(t) en funcion de la intensidad compleja, seconcluye que

IRMS =|I|√2. (4.1.15)

Como necesitamos conocer la intensidad compleja, supondremos que

I =√

2 IRMS + 0 i. (4.1.16)

En la practica, esto equivale a suponer que en la zona de contacto entre los cables quesuministran la electricidad y las placas, la corriente que entra esta en fase, lo que esadmisible una vez supuesta la axisimetrıa y teniendo en cuenta el escaso grosor de loscables.

Por otro lado, la condicion de contorno natural b) es adecuada para la zona de lafrontera donde salta el arco electrico, ΓE, pues allı puede asumirse que la corriente saleperpendicular a la superficie.

4.1.3. La formulacion variacional electromagnetica

Ahora ya podemos escribir las propiedades adecuadas de la funcion test en (4.1.8).De acuerdo con (4.1.2), tomaremos funciones test , de Ω en C3, de la forma

(r, ϑ, z) = ϑ(r, z) eϑ. (4.1.17)

Ademas en ΓH , donde el campo magnetico cumple la condicion de contorno esenciala), pediremos que × n = 0, (4.1.18)

o lo que es lo mismo, ϑ = 0.Por tanto, usando la expresion de los operadores diferenciales en coordenadas cilındri-

cas en la expresion (4.1.8), tenemos que la formulacion variacional del problema elec-tromagnetico es:

∫

Ω

iωµϑ

ϑ r +

∫

Ω

1

σ

(

1

r

∂

∂r(rϑ)

1

r

∂

∂r(rϑ) +

∂ϑ

∂z

∂ϑ

∂z

)

r = 0,

para toda funcion test , con ϑ|ΓH

= 0. (4.1.19)

4.2. El modelo termico

En el caso del electrodo ELSA, solo la pasta cambia de estado. Denotaremos por Ωp

la parte del dominio termico correspondiente a la pasta y por Ωr al resto. En la pastaconsideraremos la ecuacion (2.2.23) y en el resto, el sistema (2.2.32).

El efecto Joule se computara de acuerdo con la expresion (2.2.25) y usando lascoordenadas cilındricas:

F =|∇ × |2

2σ=

1

2σ

(∣

∣

∣

∣

∂ϑ

∂z

∣

∣

∣

∣

2

+

∣

∣

∣

∣

1

r

∂(rϑ)

∂r

∣

∣

∣

∣

2)

. (4.2.20)


Los parametros ρ, c y k se toman dependientes del punto y de la temperatura. Latemperatura, a su vez, dependera del punto y del tiempo.

El electrodo se desliza periodicamente para compensar el desgaste que sufre en lapunta. Como el movimiento es muy lento (varios centımetros por hora) y los materialesconstitutivos son repuestos por su parte superior, podemos suponer que v(x, t) = v(t)ez

y que el dominio Ω no depende del tiempo.Teniendo en cuenta estas suposiciones y la simetrıa cilındrica, la ecuacion que debe-

mos resolver es

∂e

∂t+ v(t)

∂e

∂z− 1

r

∂

∂r

(

r k∂θ

∂r

)

− ∂

∂z

(

k∂θ

∂z

)

=1

2σ

(∣

∣

∣

∣

∂ϑ

∂z

∣

∣

∣

∣

2

+

∣

∣

∣

∣

1

r

∂(rϑ)

∂r

∣

∣

∣

∣

2)

. (4.2.21)

La funcion e ∈ G(θ) viene dada a traves de g, como se explica en la seccion 3.3.2. Eloperador g se define mediante (2.2.27) en Ωr y por (2.2.30) en Ωp, donde se produce elcambio de estado.

4.2.1. Condiciones de contorno termicas

Consideraremos condiciones de contorno de tipo Dirichlet en ΓM (ver Figura 4.2),es decir, asumiremos que se conoce la temperatura en la parte de la superficie delelectrodo que se encuentra bajo la mezcla. Ademas, se incluira una condicion del tipoconveccion–radiacion sobre ΓR. Concretamente, escribiremos

k∂θ

∂n= h(θc − θ) + γ(θ4

r − θ4) sobre ΓR, (4.2.22)

donde h es el coeficiente de transferencia de calor por conveccion, θc y θr son las tem-peraturas externas de conveccion y radiacion, respectivamente y el coeficiente γ es elproducto de la constante de Stefan-Boltzman, 5,669 × 10−8 W/m2K4, por la emisivi-dad de la superficie del electrodo. La anterior ecuacion puede ser reescrita del siguientemodo

k∂θ

∂n= (θc − θ)

(

h+ γθ4

r − θ4

θc − θ

)

= (θc − θ)β(θ, θc, θr, h, γ), (4.2.23)

que sera la forma usada en la formulacion variacional del modelo termico.Introduciendo cantidades adimensionales, se puede obtener un coeficiente local de

transferencia de calor por conveccion: es el llamado numero de Nusselt, que se definepor

Nu(x) =h(x)Lk

,

donde L es la longitud caracterıstica de la superficie enfriada (o calentada).En el presente trabajo, los coeficientes de transferencia de calor en el aire han sido

estimados usando formulas de la bibliografıa. Basandose en el analisis de multitud deexperimentos, las correlaciones recomendadas en [78] para la conveccion libre de airesobre una superficie vertical son:

NuL = 0,59 (GrPr)1/4 si 104 ≤ GrPr ≤ 109

NuL = 0,13 (GrPr)1/3 si 109 ≤ GrPr ≤ 1012,

4.2. El modelo termico 73

donde NuL es una media de Nu(x) en la superficie involucrada. Pr y Gr son los numerosde Prandtl y Grashoff, definidos por

Gr =g β L3 4θ

ν2Pr =

µ c

k

donde g es la constante de gravitacion, 4θ es la diferencia de temperatura entre laplaca y el fluido, µ es la viscosidad dinamica, ν es la viscosidad cinematica, c es el calorespciıfico, k la conductividad termica y β es el coeficiente de dilatacion termica definidopor

β = −1

ρ

(

∂ρ

∂θ

)

π

siendo π la presion2.Para la conveccion libre en placas horizontales, en el libro [34] se recogen formulas

de varios autores. Para una placa calentada colocada cara arriba (o para una placaenfriada boca abajo) tenemos

NuL = 0,54 (GrPr)1/4 si 105 ≤ GrPr ≤ 2 × 107

NuL = 0,15 (GrPr)1/3 si 2 × 107 ≤ GrPr ≤ 3 × 1010,

mientras que para una placa calentada colocada cara abajo (o enfriada, boca arriba),

NuL = 0,27 (GrPr)1/4 si 3 × 105 ≤ GrPr ≤ 3 × 1010.

En la superficie de contacto entre las placas y el agua solo se ha considerado latransmision de calor por conveccion. La determinacion del correspondiente coeficientese ha realizado evaluando la cantidad de calor transferido del electrodo al agua. Unamedia de esta cantidad se puede calcular experimentalmente por

H = ρw cw Q(θo − θi) (4.2.24)

donde ρw y cw son una media de la densidad y el calor especıfico del agua en el rangode temperaturas en el que esta se encuentra dentro de las placas; θi and θo son latemperatura de entrada y salida del agua en los tubos de refrigeracion y Q es el caudalde agua. De este modo, un valor medio para h puede ser calculado mediante

h =H

S(θs − θo), (4.2.25)

siendo θs la media de la temperatura a la que se encuentra la superficie interior de laplaca en contacto con el agua y S el area de dicha superficie.

En la practica θs es desconocido, por lo que no podemos usar esta formula paraobtener el coeficiente de transferencia directamente. En realidad, hemos ajustado el

2Los parametros ρ, c, k, µ y ν de la definicion de Pr y Gr se refieren al fluido.


valor de h usando los resultados numericos: primero hemos resuelto el problema acopla-do para diferentes valores de h, luego hemos calculado el calor total intercambiado entreel electrodo y el agua, que se obtiene con

∫

ΓW

h(θ − θc)

y finalmente hemos seleccionado el valor de h de forma que este calor total intercambiadocoincida con el valor calculado con (4.2.24).

4.2.2. La formulacion variacional del problema termico

Tomaremos una funcion test w, de Ω en R, satisfaciendo w∣

∣

ΓM= 0. Multiplicamos

la ecuacion (4.2.21) por ella e integramos en el dominio Ω. El problema variacionalconsiste en hallar una funcion θ que cumpla

∫

Ω

e w r +

∫

Ω

k(θ)

(

∂θ

∂r

∂w

∂r+∂θ

∂z

∂w

∂z

)

r +

∫

ΓR

β(θ) θ w r =

∫

Ω

∣

∣∇× ∣

∣

2

2σ(θ)w r +

∫

ΓR

β(θ) θcw r, (4.2.26)

para toda funcion test w, con w∣

∣

ΓM= 0.

4.3. La resolucion numerica

4.3.1. Discretizacion temporal

Tomamos un intervalo temporal [0, T ] para la simulacion numerica y una parti-cion Π = t0, . . . , tN, con 0 = t0 < t1 < . . . < tN ≤ T y paso temporal ∆t =ti−ti−1, i = 1, . . . , N . Pretendemos encontrar un algoritmo que nos suministre unas fun-ciones (θn, n

ϑ) que sean aproximaciones de(

θ(·, tn), ϑ(·, tn))

, para cada n = 1, 2, . . . , N .Para integrar las ecuaciones en tiempo usamos un esquema implıcito de un paso.

Aproximamos la derivada total, e((r, z), t), en (r, z) ∈ Ω y t = tn+1 por una formula dediferencias finitas de dos puntos:

e((r, z), tn+1) ≈en+1(r, z) − en (Xn(r, z))

∆t, (4.3.27)

donde Xn(r, z) representa la posicion espacial ocupada en el tiempo tn por el puntomaterial que esta en la posicion (r, z) en el tiempo tn+1. En nuestro caso Xn viene dadopor

Xn(r, z) =

(

r, z −∫ tn+1

tn

v(t) dt

)

, (4.3.28)

salvo en las placas y la virola, donde simplemente es la identidad.

4.3. La resolucion numerica 75

4.3.2. Un algoritmo iterativo para la entalpıa

La entalpıa no siempre esta definida como una funcion univaluada diferenciable, porlo que no podemos usar metodos de tipo Newton en el esquema implıcito. En vez de ellousaremos un algoritmo iterativo, introducido en un marco mas general por Bermudezy Moreno (ver [14]). Esta basado en el siguiente resultado

Lema 4.3.1. Sea H un operador maximal monotono. Entonces, las siguientes afirma-ciones son equivalentes:

p ∈ H(s) − α s

p = Hαλ(s+ λp),

donde α y λ son parametros elegidos cumpliendo λα ≤ 12, y Hα

λ es la aproximacionYosida del operador H− αI, que se define como sigue

Hαλ(s) =

[I − ((1 − λα)I + λH)−1](s)

λ, s ∈ R. (4.3.29)

En el paso temporal n+1, introducimos una nueva funcion definida para cada puntode Ωp:

pn+1 = en+1 − α θn+1. (4.3.30)

De acuerdo con la definicion de e en la pasta, se tiene3

pn+1 ∈ G(θn+1) − α θn+1 (4.3.31)

y el Lema 4.3.1 establece que

pn+1 = Gαλ

(

θn+1 + λ pn+1)

, para 0 < λ ≤ 1

2α. (4.3.32)

Ahora, para resolver la ecuacion termica semidiscretizada en tiempo, se cambianlas apariciones de en+1 por αθn+1 + pn+1. Para determinar tanto θn+1 como pn+1 en elinstante tn+1, debemos introducir un proceso iterativo: comenzamos con un valor inicialde pn+1, por ejemplo pn, y lo actualizamos usando la formula (4.3.32) en cada iteracion.Otros aspectos del algoritmo pueden consultarse en [16].

4.3.3. La discretizacion espacial

Para la discretizacion espacial usaremos un metodo de elementos finitos. Mas con-cretamente, consideraremos una malla de elementos triangulares sobre el dominio Ωy aproximaremos la temperatura y el campo magnetico por elementos finitos contin-uos lineales a trozos. Por simplicidad en la notacion, omitiremos el subındice h quehabitualmente va asociado con la discretizacion por elementos finitos.

3Mas concretamente, se tiene que

pn+1(r, z) ∈ G(

(r, z), θn+1(r, z))

− α θn+1(r, z).


4.3.4. El algoritmo completo

Recordamos que, para cada paso temporal, debemos resolver un sistema acopladopor la fuente de calor debida al efecto Joule y los parametros electricos dependientesde la temperatura. Por este motivo, se utilizara un algoritmo de punto fijo, en el quese iterara actualizando alternativamente el campo magnetico y la temperatura. Comolas condiciones de contorno introducen un termino no lineal en la ecuacion termica, elbucle debido al punto fijo tambien servira para actualizar la temperatura allı dondese evaluan los coeficientes de transferencia de calor. Ademas, necesitamos asimilar eltermino

∫

Ωr

˙G(θ)w r a la matriz de masa del sistema y al mismo tiempo discretizar

temporalmente ˙G(θ). Para ello, consideraremos la aproximacion

˙G(θ)∣

∣

t=tn+1≈

G(θn+1)θn+1 θn+1 −G(θn) Xn

∆t, (4.3.33)

donde la parte G(θn+1)/

θn+1 se calculara con la temperatura obtenida en la iteracionde punto fijo anterior a la actual, como veremos de forma mas precisa en lo que sigue.

A su vez, en cada iteracion del punto fijo, se realizara el proceso iterativo descritoen el apartado 4.3.2 para calcular el valor de la temperatura y del multiplicador pn+1

en Ωp.

A continuacion, describiremos los tres bucles anidados que conforman el algoritmocompleto (ver tambien Figura 4.3).

1. Paso de tiempo inicial.- Sea θ0 dado, tomamos e0 = Gλ(θ0) 4 y p0 = e0 − αθ0.

Calcularemos 0ϑ como la solucion de la ecuacion lineal,

∫

Ω

iωµ0ϑ

ϑ r +

∫

Ω

1

σ (θ0)

(

1

r

∂

∂r(r0

ϑ)1

r

∂

∂r(rϑ) +

∂0ϑ

∂z

∂ϑ

∂z

)

r = 0,

para toda funcion test con ϑ

∣

∣

ΓH= 0.

2. Paso de tiempo n + 1.- Suponemos que θn, pn y nϑ son conocidos. Tomamos

en = pn+α θn si n ≥ 1. Entonces, en el instante de tiempo tn+1, las funciones θn+1

y n+1ϑ son obtenidas como el lımite de las sucesiones θn+1

s y n+1ϑ, s , construıdas de

acuerdo con el siguiente algoritmo iterativo:

a) Inicializacion: Tomamos θn+10 = θn, pn+1

0 = pn y n+1ϑ,0 = n

ϑ.

b) Iteracion s: Suponemos que θn+1s−1 y n+1

ϑ, s−1 son conocidos. Determinamos suce-

sivamente n+1ϑ, s y θn+1

s como sigue,

4Recordamos que Gλ es la aproximacion Yosida del operador G.


n+1ϑ, s es la solucion de

∫

Ω

iωµn+1ϑ, s

ϑ r +

∫

Ω

1

σ(

θn+1s−1

)

(

1

r

∂

∂r(rn+1

ϑ, s )1

r

∂

∂r(rϑ) +

∂n+1ϑ, s

∂z

∂ϑ

∂z

)

r = 0,

para toda funcion test tal que ϑ

∣

∣

ΓH= 0. (4.3.34)

θn+1s y pn+1

s son los lımites de las sucesiones θn+1s,k y pn+1

s,k calculadas me-diante:

1) Paso inicial: Tomamos θn+1s,0 = θn+1

s−1 y pn+1s,0 = pn+1

s−1 .

2) Paso k-esimo: Suponemos que θn+1s,k−1 y pn+1

s,k−1 son conocidos. Para

calcular θn+1s,k y pn+1

s,k procedemos del siguiente modo:

a) Primeramente, θn+1s,k es la solucion del problema lineal

1

∆t

∫

Ωr

G(θn+1s−1 )

θn+1s−1

θn+1s,k w r +

α

∆t

∫

Ωp

θn+1s,k w r +

∫

Ω

k(

θn+1s−1

)

(

∂θn+1s,k

∂r

∂w

∂r+∂θn+1

s,k

∂z

∂w

∂z

)

r +

∫

ΓR

β(θn+1s−1 )θn+1

s,k w r =1

∆t

∫

Ωr

G(θn) Xn w r +

1

∆t

∫

Ωp

(

en Xn − pn+1s,k−1

)

w r +

∫

ΓR

β(θn+1s−1 )θcw r +

∫

Ω

1

2 σ(

θn+1s−1

)

∣

∣∇× (n+1ϑ,s eϑ)

∣

∣

2w r

para toda funcion test w con w∣

∣

ΓM= 0. (4.3.35)

b) En segundo lugar, pn+1s,k es calculado en los vertices de la malla

que caen en Ωp por la formula

pn+1s,k = Gα

λ

(

θn+1s,k + λpn+1

s,k−1

)

. (4.3.36)

Observacion 11. La matriz del problema (4.3.34) es compleja y simetrica, pero nohermitiana. Para resolver el correspondiente sistema lineal se ha usado una factor-izacion gausiana del tipo A = LDLt. Un metodo similar ha sido empleado para resolverel sistema lineal (real) que surge de (4.3.35). Debemos observar que la matriz de estesistema no se modifica en el bucle mas interno del algoritmo, por lo que no es necesariorecalcular la factorizacion.


Figura 4.3: Esquema del algoritmo.

Capıtulo 5

Resultados numericos

5.1. El paquete informatico ELSATE

El algoritmo anteriormente descrito ha sido implementado en un programa de orde-nador. Para facilitar su uso por parte de la empresa FerroAtlantica S.L., se doto a laaplicacion de un interfaz grafico, preparado para operar bajo Windows 9x y WindowsNT/2000. Como se ve en la Figura 5.1, la ventana principal de este interfaz posee unmenu desplegable. Ademas, en ella, se muestra informacion sobre el directorio de traba-jo en uso, informacion sobre la simulacion en ejecucion y para visualizar los resultadosnumericos en forma de graficos de varios tipos.

Figura 5.1: Ventana principal de la aplicacion.

79

80 Capıtulo 5. Resultados numericos

Mediante los cuadros de dialogo llamados por el menu, el usuario puede

gestionar el sistema de directorios de trabajo: Permite la creacion de di-rectorios de trabajo, la eleccion de uno de ellos en cualquier momento durante lautilizacion del paquete y su posterior eliminacion,

escoger la malla patron para el metodo de elementos finitos: Se suminis-tran varias mallas de diferente refinamiento, de manera que el usuario no necesitaun programa para hacerlas. La aplicacion se encarga de modificar las dimensionesde las mallas de acuerdo con los datos geometricos que interesan al usuario,

Figura 5.2: Cuadro de dialogo para la introduccion de datos.

introducir de forma amigable los datos: Cada tipo de dato se introduce enun cuadro de dialogo adaptado a su naturaleza. Por ejemplo, en la Figura 5.2podemos ver el que se usa para introducir la conductividad termica del grafitomediante una tabla. Los bloques de datos que se pueden introducir son

1. las dimensiones de cada subdominio del electrodo,

2. la corriente electrica que entra en el electrodo (como funcion del tiempo),

3. las condiciones de contorno termicas (la temperatura para la condicion detipo Dirichlet y los coeficientes de radiacion y conveccion para la condicionde tipo Robin),

5.1. El paquete informatico ELSATE 81

4. Bajadas del electrodo (tabla de tiempos y descensos),

5. Desconexiones del horno de la red electrica,

6. Parametros termoelectricos y termomecanicos. Todos los coeficientes queaparecen en el modelo pueden ser introducidos como una funcion depen-diente de la temperatura, en cada material por separado. La dependenciapuede expresarse en forma de tabla o de polinomio, dando sus coeficientes,

Figura 5.3: Cuadro de dialogo para la visualizacion de campos escalares.

ejecutar los distintos tipos de simulaciones en el directorio de trabajo:Estas simulaciones son

1. la simulacion termoelectrica del proceso estacionario,

2. la simulacion termoelectrica del proceso evolutivo,

3. la simulacion termomecanica basada en las temperaturas halladas en algunade las otras dos.

En cada una de ellas existen varias opciones entre las que el usuario puede escoger.Por ejemplo, para la simulacion evolutiva, la temperatura inicial puede ser la tem-peratura del estacionario o venir dada en un fichero de temperaturas previamenteguardado. Para los calculos termomecanicos, se puede escoger a que altura colocarel “nipple” que une los grafitos, etc.

visualizar los resultados obtenidos: En el caso de los campos escalares, comola temperatura o el efecto Joule, se ofrecen multiples variantes; como se indicaen la Figura 5.3, se puede modificar el numero de colores, la zona del electrodoa representar, etc. Tras visualizarse el campo, el usuario tiene la posibilidad depulsar sobre un punto concreto de la pantalla para conocer el valor del campo enese punto. Hay que senalar que el modulo de visualizacion es propio y esta total-mente integrado en el interfaz, por lo que no es necesario poseer otro programade representacion grafica o salir de la aplicacion para poder ver los campos.


Figura 5.4: Demanda diaria de energıa.

5.2. Ejemplos numericos

El programa se ha usado para la simulacion de la evolucion de la temperatura de unelectrodo ELSA bajo condiciones de trabajo similares a las industriales. En particular,se ha considerado la frecuencia y duracion de los descensos del electrodo, ası como lasdesconexiones del horno de la red electrica, que se producen dos veces al dıa, coincidi-endo con la mayor demanda energetica. En la Figura 5.4 pueden verse las puntas demayor consumo diario.

Como temperatura inicial hemos tomado la correspondiente al estado estacionariosin conveccion, que ha sido determinada numericamente. En la Figura 5.5 se representala evolucion de la temperatura de un punto interno del electrodo a lo largo de dosdıas. Como puede verse en ella, en una situacion real el electrodo ELSA no alcanza lastemperaturas del estado estacionario. Como mucho, es posible hablar de un rango detemperaturas estable, en la que se mueve el electrodo entre dos paradas. En cualquiercaso, al ser los descensos de pequena magnitud, el aspecto global de los campos noparece verse muy influenciado por ellos.

Por otro lado, se puede ver en la Figura 5.6 como la temperatura desciende brusca-mente cerca de la superficie en contacto con el agua y el aire para volver a aumentaralrededor de un metro por debajo de la altura inferior de las placas, cuando la mezclade cuarzo y materiales carbonosos protegen la columna de las perdidas de calor.

La corriente electrica entra en el electrodo a traves de un area muy pequena en laparte superior de las placas, que corresponde a los cables que traen la corriente de lostransformadores; como hemos visto, la intensidad es un dato para el modelo. Aunque

5.2. Ejemplos numericos 83

Figura 5.5: Evolucion de la temperatura.

la corriente fluctua varias veces por segundo, la parte real de la densidad de corrientemostrada en la Figura 5.7 (que viene a ser una “instantanea” del electrodo para t = 0),nos permite ver que la mayor parte de ella pasa al grafito a traves de la parte inferiorde las placas. De acurdo con esta observacion, la produccion de calor por efecto Jouleen esta area es muy importante (ver Figura 5.8).

El calor necesario para la coccion de la pasta se obtiene del arco electrico a travesdel grafito, que es un muy buen conductor del calor, y ademas es producido por el efectoJoule principalmente en la zona inferior de las placas. La interaccion de ambos calen-tamientos y la refrigeracion debida al agua de las placas produce unos altos gradientesde temperatura en esa zona.


Figura 5.6: Temperatura en la zona de las placas.

5.2. Ejemplos numericos 85

Figura 5.7: Parte real de la densidad de corriente


Figura 5.8: Calor desprendido por efecto Joule.

Parte II

Simulacion de una colada de silicio

87

Capıtulo 1

Descripcion del proceso fısico

El silicio producido en los hornos de arco electrico se extrae en estado lıquido atraves de un orificio situado en la parte inferior de la cuba. El solido que se obtienetras su enfriamiento debe ser desmenuzado para obtener trozos de silicio del tamanodeseado. El silicio solidifica en forma de cristales. En el frente de cristalizacion, lasimpurezas que contiene el metal se desplazan a la parte aun lıquida, por lo que lamayor concentracion de estas se dara en las ultimas zonas que hayan alcanzado latemperatura de solidificacion.

Figura 1.1: Esquema y foto de la colada clasica.

El procedimiento mas sencillo consiste en almacenar el silicio lıquido en unos recipi-entes cilındricos (llamados cucharas), para dejarlo enfriar al aire (ver Figura 1.1). Perocon este sistema el eje central del bloque de silicio contendra un mayor porcentaje deimpurezas que los bordes y al triturarlo no es posible conseguir que la pureza de cada

89

90 Capıtulo 1. Descripcion del proceso fısico

trozo sea homogenea, como exigen algunos de los usos de este producto.

Figura 1.2: Detalle de un corte longitudinal de la placa.

Una alternativa, que ha sido desarrollada por FerroAtlantica S.L., es verter el siliciolıquido en una placa refrigerada para producir una delgada lamina de metal en la quela concentracion de impurezas sea constante en el sentido longitudinal (ver Figura 1.3).El sistema consiste en un canal que riega la placa en zig-zag y en una placa que esta in-clinada y posee un mecanismo que la hace vibrar para permitir que la lamina de siliciose deslize sin pegarse a la placa. Una serie de tubos por los que circula agua la enfrıanpor su parte inferior.

Figura 1.3: Esquema y foto de una placa de colada.

1.1. La placa de enfriamiento 91

1.1. La placa de enfriamiento

La placa se compone de varias seciones. Cada una de ellas mide casi 3 metros delargo, cerca de 2 metros de ancho y 50 mm de alto. Las dos primeras son de cobre;las restantes son de hierro, hasta alcanzar una longitud de unos 15 metros. El sistemade refrigeracion esta compuesto por varios grupos de tubos horadados en la placa (verfigura 1.2). Esta serie de seis tubos se repite a lo largo de toda la placa. Los tubos demayor diametro contienen en su interior otro tubo de diametro menor, soldado a suparte inferior, para que el agua circule por la parte superior del primero.

La capa de silicio cubre el 80% de la anchura de la placa. Se estima que la produccionronda las 8 toneladas de silicio por hora.

El objetivo es simular la transferencia de calor que se produce en la lamina de silicioy en la placa, con el fin de conocer mejor el proceso de enfriamiento. Hay varias razonespara ello: por un lado se desea aumentar el caudal de silicio enfriado, pero sin producirdanos (por fusion o deformacion) en la placa de cobre. Por otro, se pretende conocer (eintentar controlar) la zona de la lamina en la que el silicio acaba de solidificar, es decir,donde se concentran la mayor parte de las impurezas.

Capıtulo 2

Existencia de solucion para el casobidimensional

2.1. El modelo

A diferencia del modelo para el electrodo, el que vamos a considerar a continuaciones unicamente termico. Estudiaremos la ecuacion de la energıa (2.2.32) en un dominioespacial bidimensional. Habra varios materiales, de forma que los parametros ρ, c y kdependeran del punto; ρ y c podran depender, ademas, de la temperatura. Los mate-riales pueden cambiar de estado a una temperatura dada. Para el planteamiento delproblema se considerara una velocidad dependiente del punto espacial y del tiempo,aunque el resultado que presentaremos precisa la hipotesis de velocidad nula. La fuentede calor volumica sera nula.

2.1.1. El dominio

Trabajaremos en un dominio Ω acotado de R2 y en un intervalo temporal [0, T ], conT > 0. Notaremos QT = Ω × [0, T ].

Supodremos que Ω se puede dividir en dos subdominios Ω+ y Ω−, separados por lafrontera interna ΓI , de forma que Ω = Ω+ ∪ Ω−, Ω+ ∩ Ω− = ∅ (ver Figura 2.1).


Denotamos por Γ la frontera de Ω y suponemos que es lipschitziana. Suponemosque se puede dividir en dos partes, tambien lipschitzianas , ΓD y ΓR, de forma queΓ = ΓD ∪ ΓR, med (ΓD ∩ ΓR) = 0. Ademas, med (ΓD ∩ ∂Ω−) = 0. Denotaremos porΓa a una parte de ΓR ∩ ∂Ω− de medida no nula (ver Figura 2.1).

Vamos a considerar una condicion de tipo Dirichlet para la temperatura en ΓD,

θ = θD en ΓD × (0, T ). (2.1.1)

92

2.1. El modelo 93

Supondremos, como ası ocurre en el caso real, que θD es constante. Por lo tanto, unlevantamiento en Ω es la propia θD. A coste de pequenas complicaciones tecnicas, po-drıamos tratar una condicion variable con x. Ademas, consideraremos una condicion detipo conveccion-radiacion en ΓR,

k∂θ

∂n= hc(θc − θ) + hr(θ

4r − θ4) en ΓR × (0, T ), (2.1.2)

donde n es un vector unitario normal a la superficie dirigido hacia el exterior y hc,hr, θc y θr son funciones dadas. Con vistas a que el segundo miembro de (2.1.2) seala subdiferencial de una funcion convexa, cambiaremos la expresion θ4 de (2.1.2) por|θ|3θ, lo que no modificara el problema si θ ≥ 0.

2.1.3. Las condiciones iniciales

La resolucion de la ecuacion (2.2.32), al tratarse de un problema evolutivo, precisade condiciones iniciales,

θ(0) = θ0 en Ω para t = 0, (2.1.3)

e(0) = e0 en Ω para t = 0, (2.1.4)

siendo θ0, e0 funciones dadas cumpliendo que e0(x) ∈ g(x, θ0(x)), c.p.d. en Ω, donde gse define en la expresion (2.2.30).

2.1.4. El contacto entre el silicio y la placa

Como ya hemos indicado, supondremos que existe una frontera interna, ΓI , que di-vide el dominio en dos partes, que se denotaran con los subındices + y − (ver Figura 2.1).Ademas, cada funcion evaluada en la frontera ΓI , en la parte + de Ω, se notara conel subındice +, y analogamente para la parte −. Supondremos que en esa frontera latransmision del calor no es perfecta, sino que viene regulada por una ley del tipo,

−k+∂θ+∂n+

= hI(θ+ − θ−) en ΓI+, (2.1.5)

−k−∂θ−∂n−

= hI(θ− − θ+) en ΓI−, (2.1.6)

donde n+ y n− son vectores unitarios normales a la superficie dirigidos hacia el exteriorde Ω+ y Ω−, respectivamente. El coeficiente hI sera una funcion escalar desconocida.Notese que el flujo de calor es continuo, ya que tenemos

−k+∂θ+∂n+

= k−∂θ−∂n−

.

Sin embargo, las temperaturas a ambos lados de la frontera podran ser diferentes (verFigura 2.2).

94 Capıtulo 2. Existencia de solucion para el caso bidimensional

GR

GD

GI+

GI-

W-

W+

Ga

GR

GR

GR

Figura 2.1: Ejemplo de dominio. W- W+

µ+

µ-

Dominio

Tem

pera

tura

Figura 2.2: Salto en la interfase.

2.2. La formulacion variacional

Para obtener la formulacion debil del problema de valores iniciales y de contornodefinido por las ecuaciones (2.2.32), (2.1.1)–(2.1.4), (2.1.5) y (2.1.6), realizamos calculosformales. Consideramos una funcion test w definida sobre Ω, por la que multiplicamosla ecuacion (2.2.32). A continuacion integramos en Ω y usamos una formula de Greenpara obtener formalmente que

∫

Ω

∂tew −∫

Ω

ev · ∇w +

∫

Γ

ew v · n +

∫

Ω

k∇θ · ∇w −∫

Γ

∂ θ

∂ nw = 0. (2.2.7)

Pediremos que la funcion test w se anule en ΓD × [0, T ] y que ∇ × v = 0, v · n = 0en (Γ\ΓD)× [0, T ]. En el resto de la frontera, echamos mano de las condiciones (2.1.2),(2.1.5) y (2.1.6). Gracias a que w no depende del tiempo, la derivada temporal deltermino de la entalpıa se puede poner fuera de la integral, para conseguir finalmente

d

dt

∫

Ω

ew −∫

Ω

ev · ∇w +

∫

Ω

k∇θ · ∇w +

∫

ΓR

(hc + hr|θ|3)θ w+

∫

ΓI

hI(θ+ − θ−)(w+ − w−) =

∫

ΓR

(hcθc + hrθ4r)w. (2.2.8)

2.3. El planteamiento del problema

2.3.1. Las hipotesis

Sobre los parametros y la entalpıa.

Suponemos que la funcion k es medible respecto de x y esta acotada superiormente,e inferiormente lejos del cero:

0 < k∗ ≤ k (x) ≤ k∗ c.p.d. en Ω. (2.3.9)


Suponemos que la funcion g(x, ·), que aparece en (2.2.32) , satisface las propiedades:

g(x, ·) es un operador maximal fuertemente monotono en R,c.p.d. en Ω,

(2.3.10)

existen constantes M,N ∈ R+ tales que, dados s1, s2 ∈ R, paracada yk ∈ g(x, sk), k = 1, 2, se tiene

|y1 − y2| ≤M |s1 − s2| +N c.p.d. en Ω.

(2.3.11)

Por comodidad, pediremos que0 ∈ g(x, 0), (2.3.12)

lo que no supone ninguna restriccion.

Observacion 12. En el caso de que la entalpıa estuviese definida mediante la expre-sion (2.2.30), las siguientes condiciones garantizarıan que se cumpliesen las hipotesis(2.3.10) y (2.3.12):

Las funciones ρ y c son funciones continuas en s y medibles en x. Ambas estanacotadas superiormente, e inferiormente lejos del cero:

0 < ρ∗ ≤ ρ (x, s) ≤ ρ∗ ∀s ∈ R, c.p.d. en Ω, (2.3.13)

0 < c∗ ≤ c (x, s) ≤ c∗ ∀s ∈ R, c.p.d. en Ω. (2.3.14)

El calor latente y la temperatura de cambio de estado es medible respecto de x.Ademas, se dan las siguientes acotaciones:

0 ≤ L(x) ≤ L∗ c.p.d. en Ω, (2.3.15)

0 < θs(x) ≤ θ∗ c.p.d. en Ω. (2.3.16)

Por otro lado, la velocidad sera una funcion perteneciente a (L∞(QT ))3, con ∇ · v = 0y v · n = 0 en (Γ\ΓD) × [0, T ].

Sobre las condiciones de contorno.

Suponemos que

hc, hr ∈ L∞(ΓR), hc ≥ 0, hr ≥ 0 c.p.d. en ΓR, (2.3.17)

θc ∈ L2(ΓR) y θr ∈ L8(ΓR), (2.3.18)

hI ∈ L∞(ΓI), hI ≥ 0 c.p.d. en ΓI . (2.3.19)

Sobre las condiciones iniciales.

Suponemos que

θ0 ∈ H1(Ω), e0 ∈ L2(Ω) y e0(x) ∈ g(x, θ0(x)), c.p.d. en Ω. (2.3.20)


2.3.2. El termino de la entalpıa

Gracias a las hipotesis sobre g y a los Teoremas A.3.5 y A.3.6, existe una funcionj(x, ·) definida en R, s.c.i., convexa y propia, tal que g(x, s) = ∂sj(x, s). Esta funcionpuede tomarse de forma que j(x, 0) = 0. Ademas, supondremos que j satisface lasiguiente propiedad de medibilidad,

j es medible respecto a la σ-algebra de los subconjuntos de Ω × R

generada por los productos de conjuntos de Lebesgue de Ω y conjuntosde Borel de R.

(2.3.21)

De las hipotesis sobre g, se deduce el siguiente

Lema 2.3.1. La funcion j cumple que

j(x, s) ≥ 0 ∀s ∈ R, c.p.d. en Ω (2.3.22)

y ademasj(·, u(·)) ∈ L1(Ω) para cada u ∈ L2(Ω). (2.3.23)

Demostracion. Como 0 ∈ g(x, 0) entonces,

j(x, s) ≥ j(x, 0) + (0, s− 0).

Como j(x, 0) = 0, se deduce (2.3.22). Por otro lado, por la definicion de subdiferencial,

0 ≤ j(x, s) ≤ j(x, 0) + (s− 0, e), para cada e ∈ g(x, s).

Observese que la propiedad (2.3.11) implica que dom g(x, ·) = R, c.p.d. en Ω. Tomandovalor absoluto en ambos miembros, aplicando que j(x, 0) = 0 y las hipotesis (2.3.11) y(2.3.12), resulta

|j(x, s)| ≤ |j(x, 0)| + |s| |e| ≤ |s|(M |s| +N).

Por tanto, se tiene que∫

Ω

|j(x, u(x))| ≤M

∫

Ω

|u(x)|2 +N

∫

Ω

|u(x)|,

que es finito si u(x) ∈ L2(Ω).

Proposicion 2.3.2. En las hipotesis anteriores, se cumple que

i) la funcion j es un integrando normal convexo,

ii) se puede definir el funcional J : L2(Ω) → R como,

J(u) =

∫

Ω

j(x, u(x)) dx,

Este funcional J es convexo, s.c.i. (y propio). Ademas, para cada u ∈ L2(Ω), lasubdiferencial G = ∂J esta dada por

G(u) = e ∈ L2(Ω); e(x) ∈ g(x, u(x)), c.p.d. en Ω. (2.3.24)

Demostracion. El ıtem i) se deduce directamente de la Definicion A.3.5. El ıtem ii)se deriva de la Proposicion A.3.7.

2.4. El resultado de existencia para (PD) 97

2.3.3. La formulacion debil

Denotamos porH1ΓD

(Ω) el espacio de funciones deH1(Ω) que se anulan en la fronteraΓD. Denotamos por V el producto cartesiano H1

ΓD(Ω+) × H1

ΓD(Ω−) y por V ′ su dual.

El uso de este producto cartesiano de espacios se hace necesario ya que la temperaturapuede tomar valores distintos a cada lado de ΓI . Planteamos el problema debil de valoresiniciales y de contorno:

Problema debil (PD): Hallar θ ∈ L2(0, T ;H1(Ω+) × H1(Ω−)) y e ∈ L2(QT ),tales que

θ = θD en ΓD

e(t) ∈ G(θ(t)) c.p.d. en [0, T ]

y ademas

d

dt

∫

Ω

ew−∫

Ω

ev ·∇w+

∫

Ω+

k∇θ+ ·∇w+ +

∫

Ω−

k∇θ− ·∇w− +

∫

ΓR

(hcθ+hr|θ|3θ)w+

∫

ΓI

hI(θ+ − θ−)(w+ − w−) =

∫

ΓR

(hcθc + hrθ4r)w ∀w ∈ V (2.3.25)

en el sentido de las distribuciones definidas en (0, T ) y con la condicion inicial

e(0) = e0 en V ′. (2.3.26)

Observacion 13. Sean θ y e solucion del problema (PD). Razonando sobre la ecua-cion (2.3.25), podemos ver que ∂te ∈ L2(0, T ;V ′). Como ademas e ∈ L2(QT ), por elLema A.6.2 tenemos que e ∈ C0([0, T ];V ′) y ası la condicion (2.3.26) tiene sentido enV ′.

Observacion 14. De ahora en adelante cambiaremos la expresion∫

Ω+k∇θ+ · ∇w+ +

∫

Ω−

k∇θ− · ∇w− por el termino∫

Ωk∇θ · ∇w, para abreviar la escritura.

2.4. El resultado de existencia para (PD)

En una primera etapa, supondremos que el parametro hI es conocido. Si ademassuponemos que v = 0, estamos en condiciones de demostrar la existencia de solucionpara cada hI ∈ L∞(ΓI) dado:

Teorema 2.4.1. Bajo las hipotesis (2.3.9)–(2.3.12), (2.3.17)–(2.3.20) y v = 0, elproblema (PD) tiene solucion.

Demostracion.Definimos la variable θ = θ − θD. Escrito en la nueva incognita, el problema debil

(PD) consiste en hallar θ ∈ L2(0, T ;V ) y e ∈ L2(QT ), tales que

e(t) ∈ G(θ(t) + θD) c.p.d. en [0, T ] (2.4.27)


y ademas

d

dt

∫

Ω

ew +

∫

Ω

k∇θ · ∇w +

∫

ΓR

(

hcθ + hr|θ + θD|3(θ + θD))

w+

∫

ΓI

hI(θ+ − θ−)(w+ − w−) =

∫

ΓR

(hc(θc − θD) + hrθ4r)w ∀w ∈ V (2.4.28)

en el sentido de las distribuciones definidas en (0, T ) y con la condicion inicial

e(0) = e0 en V ′. (2.4.29)

Utilizaremos el Teorema A.7.6 para demostrar la existencia de solucion. Pasamos adefinir los operadores involucrados en el:

Consideramos el operador no lineal A : V → V ′, definido por

〈Au, v〉V ′ V =

∫

Ω

k∇u · ∇v +

∫

ΓR

(

hcu+ hr|u+ θD|3(u+ θD))

v+

∫

ΓI

hI(u+ − u−)(v+ − v−) ∀u, v ∈ V.

El operador A es la subdiferencial de un funcional convexo y diferenciable, ΦA :V → R, definido por

ΦA(u) =

∫

Ω

|∇u|2 +

∫

ΓR

hc|u|22

+ hr|u+ θD|5

5+

∫

ΓI

hI|u+ − u−|2

2.

Notese que, como el dominio Ω es bidimensional, si u ∈ H1(Ω), entonces u ∈Lp(Γ), para todo p ∈ (1,∞). Un caso similar puede verse en [97].

En estas condiciones, A y ΦA cumplen (A.7.27) y (A.7.28).

Se toma el operador B igual a G. Por tanto, ΦB es igual al funcional J definido enla Proposicion 2.3.2. De esta forma, se cumplen las hipotesis (A.7.29) y (A.7.30).

Por tanto, es posible aplicar el Teorema A.7.6 para afirmar que (2.4.27)–(2.4.29)tiene al menos una solucion (θ, e) (por lo que θ = θ + θD y e son solucion de (PD))satisfaciendo

θ ∈ L∞(0, T ;V ), ∂tθ ∈ L2(0, T ;L2(Ω)), (2.4.30)

e ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)), ∂te ∈ L∞(0, T ;V ′). (2.4.31)

2.5. La determinacion de hI 99

Observacion 15 (Caso v 6= 0.). Si v 6= 0, tenemos en la ecuacion un terminoadicional que se define mediante el operador C de L2(0, T ;L2(Ω)) en L2(0, T ;V ′),

(Cu)(t) = Ct(u(t)) c.p.d. en [0, T ],

donde Ct es una familia de operadores de V en L2(Ω), dados por

(Ctu, w)L2(Ω) = −∫

Ω+

u+v+(t) · ∇w+ −∫

Ω−

u−v−(t) · ∇w− ∀u ∈ L2(Ω), ∀w ∈ V,

con w+ = w∣∣Ω+

y w− = w∣∣Ω−

. Tras haber hecho un analisis de la bibliografıa, no

hemos encontrado un resultado de existencia valido con estas hipotesis, pues el operadorC ası definido no es maximal monotono. De esta manera, no es posible utilizar losartıculos de Grange y Mignot [57] y DiBenedetto y Showalter [47], englobando el terminoconvectivo en el operador A, que recoge tıpicamente el termino de difusion, ni tampocoBermudez, Durany y Saguez [13] al ser C multivaluado. Ademas, no entra dentro delmarco establecido en los trabajo de Bermudez y Saguez [18] y Hokkanen [59]. A pesar deque en estos trabajos C aparece explıcitamente en la ecuacion, las hipotesis requeridasno se cumplen.

Otra posible vıa son los teoremas de existencia para problemas parabolicos doble-mente no lineales de los trabajos de Alt y Luckhaus [4] o Blanchard y Francfort [23]cuando el termino de la derivada temporal procede de un operador multivaluado. Desgra-ciadamente, la funcion correspondiente a la entalpıa, g, no puede depender del punto,impidiendo considerar varios materiales en el dominio.

2.5. La determinacion de hI

En la practica, es posible conocer la temperatura de salida del agua de los tubos derefigeracion, pero es casi imposible conocer la funcion hI . Como veremos en la secciondedicada a la resolucion numerica, plantearemos un algoritmo que, partiendo de un valorpara hI dado, busque el valor para este parametro que reproduzca el valor experimentaldel calor evacuado por los tubos de refrigeracion.

En este apartado abordaremos el problema de probar la existencia de hI , tal que elcalor evacuado al agua por el modelo coincida con el calor medido experimentalmente, q.Si para responder a esta cuestion permitiesemos que hI ∈ L∞(ΓI), en caso de respuestaafirmativa serıa razonable suponer que existirıan muchas soluciones posibles. Ademas,no tendrıamos modo de discernir de entre todas ellas cual es la hI realista. Por eso,vamos a buscar la existencia de hI en el conjunto de las funciones constantes.

La idea consiste en demostrar que la aplicacion que a cada hI le asigna el calorevacuado, es continua. A partir de aquı, aplicando el Teorema de Bolzano sabremosque existe un rango en el que cada valor del calor evacuado proviene de algun hI . Paraaplicar este Teorema necesitamos que, para cada hI , la temperatura solucion de (PD)sea unica. Tras revisar la bibliografıa referida a este tipo de problemas, hemos concluido


que esto nos obliga a prescindir del termino de radiacion y por tanto a pedir que

hr = 0. (2.5.32)

Veremos a continuacion que, para el rango de valores mas probable en el que sepueden encontrar los calores medidos experimentalmente, la respuesta a la existenciade hI es afirmativa.

Teorema 2.5.1. En las condiciones del Teorema 2.4.1, si ademas consideramos lahipotesis (2.5.32), el problema (PD) tiene solucion unica.

Demostracion. La condicion (A.7.37) se satisface en las hipotesis del Teorema deexistencia (2.4.1). Para que se cumpla la condicion (A.7.36) del Teorema A.7.7 faltaque A sea un operador lineal, lo que se obtiene con (2.5.32). Por tanto, podemos aplicarel Teorema A.7.7 para concluir lo buscado.

Lema 2.5.2. Para cada hI ∈ L∞(ΓI), la solucion (θ(hI), e(hI)) de (PD) cumple lasacotaciones

‖θ(hI)‖L∞(0,T ;V ) ≤ C, ‖∂tθ(hI)‖L2(0,T ;L2(Ω)) ≤ C, (2.5.33)

‖e(hI)‖L∞(0,T ;L2(Ω)) ≤ C, ‖∂te(hI)‖L∞(0,T ;V ′) ≤ C, (2.5.34)

siendo C una constante independiente de hI .

Demostracion. Tenemos que

‖u‖2L2(Ω) + ΦA(u) ≥ ‖u‖2

L2(Ω) +

∫

Ω

k|∇u|2 = ‖u‖2V .

Es decir, si despreciamos en ΦA el termino∫

ΓIhI |u+ − u−|2/2, la propiedad de coerci-

tividad (A.7.28) cumple con constantes independientes de hI . Por tanto, las acotaciones(2.4.30)–(2.4.31) dadas por el Teorema A.7.6 no dependen de hI .

Teorema 2.5.3. La aplicacion T que, a cada hI ∈ L∞(ΓI) le asigna la solucion θ(hI)del problema (PD) con hr = 0, es continua de L∞(ΓI) fuerte en L2(0, T ;V )–debil.

Demostracion. Tomamos una sucesion hm tal que lımm→∞ hm = hI en L∞(ΓI).La sucesion θm = T (hm) esta acotada en X = u ∈ L2(0, T ;V ), ∂tu ∈ L2(0, T ;L2(Ω))gracias al Lema anterior, por lo que existe una subsucesion, que volvemos a denotarpor θm, que converge fuertemente a θ en L2(QT ). Por otro lado, se tiene la acotacionde em = e(hm) en L2(QT ) y, por tanto, la convergencia debil a e en ese espacio.

Obtenemos ası las propiedades siguientes:

θm θ en L2(0, T ;H1(Ω))–debil, (2.5.35)

θm → θ en L2(QT )–fuerte, (2.5.36)

θm θ en L2(0, T ;L2(Γ))–debil, (2.5.37)

em e en L2(QT )–debil. (2.5.38)

∂tem ∂te en L2(0, T ;V ′)–debil. (2.5.39)

2.5. La determinacion de hI 101

En particular, lımm→∞(em, θm)L2(QT ) = (e, θ)L2(QT ) y por el Lema A.3.10, se deduce quee ∈ G(θ). Por tanto, se tiene la convergencia de los terminos

〈∂tem, w〉V ′, V +

∫

Ω

∇θm · ∇w +

∫

ΓR

hcθm w +

∫

ΓI

hI((θ+)m − (θ−)m)(w+ − w−)

a

〈∂te, w〉V ′, V +

∫

Ω

∇θ · ∇w +

∫

ΓR

hcθ w +

∫

ΓI

hI(θ+ − θ−)(w+ − w−)

para todo w ∈ V . Por todo lo anterior, se deduce que (θ, e) es la solucion del problema(PD) para el parametro hI , luego θ = T (hI).

Consideramos ahora la aplicacion Q : L2(0, T ;V ) → R definida por

θ 7→ Q(θ) =

∫ T

0

∫

Γa

hc(θ − θc),

La funcion Q representa el calor extraıdo por Γa1 en el perıodo temporal [0, T ]. La

funcion Q es continua de L2(0, T ;V )–debil en R, si hc y θc cumplen (2.3.17) y (2.3.18).

Consideramos el valor q0 correspondientes al calor extraıdo cuando hI = 0 y q∞ =lım suphI→∞Q(θ(hI)). q0 representa un aislamiento total entre Ω+ y Ω−, mientras queq∞ representa un contacto perfecto. Estamos en condiciones de enunciar el Teoremaprincipal de este capıtulo:

Teorema 2.5.4. Supongamos que se dan las hipotesis (2.3.9)–(2.3.12), (2.3.17)–(2.3.20),(2.5.32), hI constante y v = 0. Para cada q ∈ (mınq0, q∞,maxq0, q∞) dado,existe al menos un valor hI ∈ (0,+∞) y, por tanto, una solucion de (PD), tal queQ(θ(hI)) = q.

Demostracion. Como QT : R → R es una funcion continua y varıa entre los valoresq0 y q∞, por la propiedad de Darboux alcanza cualquier valor entre ellos.

Observacion 16. La justificacion fısica de este Teorema es la siguiente. Supongamosque la condicion Dirichlet θD es mucho mas grande que el maximo de la temperaturainicial y que las temperaturas de conveccion y radiacion del aire:

θD >> max

θc, θr, supx∈Ω

θ0

.

Es decir, la condicion Dirichlet representa un aporte neto de calor al dominio, frente alas fronteras con condiciones de conveccion y radiacion, por las que se evacua calor (alser la temperatura del aire inferior). Recordamos que no existe fuente de calor en todoel dominio.

1En el problema real, Γa se corresponde con la parte que esta en contacto con el agua de refrigeracion.


Si hI = 0, no existe transferencia de calor entre la parte + y la −. Como en laparte − solo hay condiciones de conveccion-radiacion , no existira aporte de calordesde el dominio Ω+ y el calor que eventualmente salga por la frontera Γa sera elestrictamente necesario para que la temperatura en esa frontera tienda a θc conel tiempo. Por tanto, en q0 se alcanza un mınimo de la funcion Q.

Si hI = +∞ existe un contacto perfecto entre el silicio y la placa, por lo quela transmision de calor que se produce es optima. Esto implica que puede existirintercambio de calor entre Ω+ y Ω−. Supongamos que la temperatura en la fronteraDirichlet ΓD es mucho mayor que las alcanzadas en el resto del dominio, algo quese da en la colada de silicio, donde la frontera Dirichlet representa la zona enla que cae el silicio lıquido sobre la placa). Entonces, el aporte de calor de Ω+ aΩ− es positivo, por lo que la eventual salida de calor por Γa aumenta repecto delcaso anterior2. Es factible suponer entonces, que en q∞ se alcanza el maximo deQ para valores positivos de hI .

El Teorema 2.5 viene a significar en la practica que, independientemente del calormedido experimentalmente, existe un parametro hI constante que sirve para modelar laresistencia de contacto que se establezca entre el silicio y la placa, de forma que el calorevacuado es igual al medido.

2De hecho, Γa representa los tubos de refrigeracion de la placa. Si no evacuasen calor cuando latemperatura de silicio aumenta, su utilidad serıa nula.

Capıtulo 3

La resolucion numerica del modelobidimensional

El modelo que se estudia a continuacion es semejante al visto para el electrodo ELSA:se considera el caso evolutivo y bidimensional de la ecuacion del calor, con velocidad nonula. Existen varios materiales y los parametros pueden depender de la temperatura.El silicio cambia de estado en este proceso mientras que se pretende que la placa decobre no se funda.

Este problema se diferencia del estudiado para ELSA en que

se plantea en coordenadas cartesianas,

no existe fuente de calor (y por tanto la ecuacion del calor no esta acoplada conlas ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell) y

que existe un contacto imperfecto entre el silicio y la placa.

Seguiremos un planteamiento similar al realizado en el caso termoelectrico: comen-zaremos presentando el dominio y la ecuacion a resolver. Comentaremos algunos detallessobre la discretizacion de las ecuaciones, su formulacion variacional y el algoritmo em-pleado en su resolucion.

3.1. El dominio bidimensional y las ecuaciones

Dado que la anchura de la placa es mucho mayor que su altura y los gradientes detemperatura son mucho menores en la primera direccion que en la segunda, es factiblerestringir el problema al estudio de lo que ocurre en una seccion longitudinal de la placa(ver Figura 3.1). Tomaremos como dominio Ω ⊂ R2 la union de la seccion media de laplaca de cobre, Ωc, y de la lamina de silicio, Ωs.

En la placa, Ωc, se supondra que no se produce ningun cambio de estado, por loque se resolvera la ecuacion de la energıa en la forma (2.2.23). En la parte del dominioocupado por el silicio, Ωs, se resolvera el sistema (2.2.32) correspondiente a la ecuacionde la energıa con cambio de estado.

103

104 Capıtulo 3. La resolucion numerica del modelo bidimensional

Figura 3.1: Seccion media de la placa.

En nuestro caso, todos los parametros dependen del punto espacial (por haber dosmateriales, silicio y cobre) y de la temperatura. Ademas, la fuente de calor volumica esnula.

La velocidad a la que se mueve el silicio se supone constante y con solo componentehorizontal. La placa de cobre, por su parte, esta quieta. La velocidad es, por tanto,

v =

v∗ ex, en Ωs

0, en Ωc

3.2. Las condiciones de contorno termicas

En la frontera vertical izquierda del dominio correspondiente a la entrada del silicio,que denotaremos por ΓD, se supone conocida la temperatura a la que este sale de lacuchara (ver Figura 3.2). En el resto de las fronteras, denotadas por ΓR, se ha usadola condicion del tipo conveccion-radiacion (4.2.22). En la formulacion variacional delmodelo termico se escribira en la forma (4.2.23). En las superficies en contacto con elagua la radiacion se considera nula.

3.2.1. Estimacion de los coeficientes de transferencia

En el agua. Kays y Leung (ver [72]) desarrollaron soluciones analıticas para de-terminar el numero de Nusselt en flujos turbulentos completamente desarrollados enconductos anulares, basandose en datos empıricos para el esfuerzo cortante. Judd yWade presentaron datos experimentales para flujos de agua que se adaptan bien a es-tos resultados (ver [85]). Nosotros usaremos las formulas descritas, suponiendo que eltubo interior esta aislado (es decir, no conduce calor). Hemos considerado el efecto dela excentricidad de los tubos extrapolando los estudios de Leung, Kays y Reynolds en

3.3. El contacto entre el silicio y la placa 105

Figura 3.2: Fronteras del problema de la colada.

flujos de aire a nuestro caso (ver [85]). En general, la excentricidad hace que el numerode Nusselt medio baje y la diferencia entre el valor maximo y mınimo de Nu aumenteconforme lo hace la excentricidad.

En el aire. Hemos considerado las formulas introducidas en el apartado 4.2.1 paraconveccion libre en placas.

3.3. El contacto entre el silicio y la placa

Como ya se ha dicho en la presentacion del problema, la placa posee un mecanismovibratorio que permite el deslizamiento del silicio. Como la amplitud de las vibracioneses pequena comparada con el movimiento de la lamina de silicio, hemos supuesto que lavelocidad solo tiene componente horizontal. Sin embargo, un aspecto en el que incidende forma determinante las vibraciones es la transmision del calor entre el silicio y laplaca. Llamemos ΓI+ y ΓI− a las superficies de silicio y cobre en las que se produce elcontacto, θ+ a la temperatura del silicio y θ− a la del cobre (ver Figura 3.2). Debido ala vibracion, no podremos asumir que la transmision de calor es perfecta entre ambosmateriales, sino que supondremos que existe una transmision imperfecta (es decir, queexiste una “resistencia de contacto”), regulada por una ley del tipo siguiente:

−k(θ+)∂θ+∂n+

= hI(θ+ − θ−) en ΓI+, (3.3.1)

−k(θ−)∂θ−∂n−

= hI(θ− − θ+) en ΓI−. (3.3.2)

El coeficiente hI , es a priori desconocido y muy difıcil de medir de forma directa. Porello, en el apartado relativo a la resolucion numerica, veremos un algoritmo para sucalculo a partir de datos experimentales.


3.4. El modelo completo

A continuacion, como resumen de los apartados anteriores, presentamos el modelocompleto de la colada. Consiste en la ecuacion diferencial

e−∇ · (k∇θ) = 0e ∈ G(θ)

en Ω × [0, T ],

con las condiciones de contorno

θ = θΓDen ΓD × (0, T ),

k∂θ

∂n= h(θc − θ) + γ(θ4

r − θ4) = β(θ)(θc − θ) en ΓR × (0, T )

y la condicion iniciale(0) = e0, en Ω.

con e0 dado. Ademas, en la frontera entre grafito y pasta, se debe cumplir que

−k(θ+)∂θ+∂n+

= hI(θ+ − θ−) en ΓI+,

−k(θ−)∂θ−∂n−

= hI(θ− − θ+) en ΓI−.

3.5. La resolucion numerica

El primer paso es discretizar temporal y espacialmente la ecuacion. Para la entalpıausaremos el esquema (4.3.27) ya propuesto para el problema del electrodo ELSA y elalgoritmo para el operador multivaluado descrito en el apartado 4.3.2. La discretizacionespacial del problema variacional se hara con elementos continuos y lineales a trozossobre una malla triangular.

3.5.1. Un algoritmo para la resistencia de contacto

El sistema de colada instalado en la fabrica de Sabon, de la empresa Ferroatlantica,permite conocer la temperatura de salida del agua de los tubos de refrigeracion queatraviesan la placa, que denotaremos por θs. Gracias a este dato, podemos calibrar elcoeficiente hI , que regula el paso del calor entre el silicio y el cobre, del siguiente modo:Dado un valor para hI , se resuelve el problema numericamente y se obtiene el campode temperaturas, θ(hI). A continuacion, se calcula cuanto calor se transmitirıa al aguamediante la formula:

Q(hI) =

∫

ΓRA

h(θ(hI) − θs),

donde denotamos por ΓRA la parte de la frontera ΓR en contacto con el agua. Medianteun sencillo calculo, podemos deducir de Q(hI) la temperatura que teoricamente tieneel agua a la salida de los tubos, θn(hI); construımos la funcion f(hI) = θn(hI) − θs

y calculamos una raiz de f mediante el algoritmo de Regula Falsi con la variante deIllinois (ver [54]).


3.5.2. El algoritmo completo

La diferencia fundamental de este algoritmo con respecto al presentado para el pro-blema del electrodo ELSA es que no existe efecto Joule y por tanto no existe acoplamien-to. De este modo, no es necesario el segundo bucle para la busqueda de un punto fijo.Los parametros y la condicion de contorno que depende de la temperatura se actualizanunicamente al comienzo de cada paso de tiempo1. Sin embargo, el calculo de hI obligaa establecer un bucle externo al de pasos temporales.

Comenzaremos por ver como calcular f(hI), para un hI dado:

Paso de tiempo inicial.- Sea θ0 dado, tomamos e0 = Gλ(θ0) y p0 = e0 − α θ0.

Paso de tiempo n+ 1.- Suponemos que θn y pn son conocidos. Tomamos en = pn +α θn si n ≥ 1. Entonces, en el instante de tiempo tn+1, las funciones θn+1 y pn+1

son obtenidas como el lımite de las sucesiones θn+1s y pn+1

s , construıdas de acuerdocon el siguiente algoritmo iterativo,

Inicializacion: Tomamos θn+10 = θn y pn+1

0 = pn.

Iteracion s: Suponemos que θn+1s−1 y pn+1

s−1 son conocidos. Determinamos sucesiva-mente θn+1

s y pn+1s como sigue,

a) θn+1s es la solucion del problema lineal

1

∆t

∫

Ωc

G(θn)

θnθn+1

s w +α

∆t

∫

Ωs

θn+1s w +

∫

Ω

k (θn)

(

∂θn+1s

∂x

∂w

∂x+∂θn+1

s

∂y

∂w

∂y

)

+

∫

ΓR

β(θn) θn+1s w +

∫

ΓI+

hI

(

θn+1s,+ − θn+1

s,−

)

w+ −∫

ΓI−

hI

(

θn+1s,+ − θn+1

s,−

)

w− =

1

∆t

∫

Ωc

G(θn) Xnw +1

∆t

∫

Ωs

(

en Xn − pn+1s

)

w +

∫

ΓR

β(θn) θcw

para toda funcion test w con w∣

∣

ΓD= 0. (3.5.3)

b) pn+1s es calculado en los vertices de la malla que caen en Ωs por la

formula

pn+1s = Gα

λ

(

θn+1s + λ pn+1

s−1

)

. (3.5.4)

Observacion 17. Para resolver el sistema lineal real que aparece de (3.5.3) se ha usadoel mismo metodo que el empleado para resolver el sistema derivado de (4.3.35), es decir,una factorizacion gausiana del tipo A = LDLt.

1Es decir, respecto de los parametros y la condicion de contorno, el esquema para la discretizaciontemporal es explıcito.


El algoritmo empleado para encontrar una raiz de f(hI) es una variante del meto-do de la secante llamada algoritmo de Illinois, que acelera su convergencia (ver, porejemplo, [20]). La idea consiste en comenzar con dos valores h0

I y h1I de la resistencia

de contacto en los cuales f tenga distinto signo. Los siguientes iterantes se calculan delsiguiente modo:

hkI = hk−1

I − f(hk−1I )

hk−1I − hk−2

I

f(hk−1I ) − f(hk−2

I ), k ≥ 2 (3.5.5)

y hkI se considerara una buena aproximacion de la raiz de f si |hk

I − hk−1I | < ε para ε

dado.El valor hk

I se calcula como la abscisa del punto de interseccion entre la recta queune los puntos (hk−1

I , f(hk−1I )) y (hk−2

I , f(hk−2I )) y el eje de abscisas (donde se mide el

valor de hI). Pueden darse dos casos:

Si f(hk−1I ) · f(hk

I) > 0 entonces

(1) Tomamos k0 = k − 2.

(2) Sea hk+1I la raiz de la recta pasando por (hk

I , f(hkI )) y (hk0

I , γf(hk0I )), con

γ = 12.

(i) Si f(hk+1I ) ·f(hk

I) > 0 entonces dividimos γ por 2 y realizamos una nuevaiteracion interna de (2)2.

(ii) Si f(hk+1I ) · f(hk

I ) < 0, comprobamos si el algoritmo converge. En casocontrario, comenzamos una nueva iteracion desde (3.5.5).

Si f(hk−1I ) · f(hk

I) < 0, comprobamos si el algoritmo converge. En caso contrario,comenzamos una nueva iteracion desde (3.5.5).

El metodo requiere dos aproximaciones iniciales, pero la funcion f se evalua unasola vez por iteracion.

2Es decir, manteniendo k0 inalterado y aumentando k en una unidad.

Capıtulo 4

Resultados numericos

El algoritmo para resolver el problema de la colada ha sido implementado en unordenador mediante un programa escrito en lenguaje Fortran. Presentamos aquı los re-sultados de una simulacion sobre un dominio semejante al de la plancha de enfriamientoutilizada por Ferroatlantica S.L.

Figura 4.1: Temperatura a la entrada de la placa

En todas las figuras, el dominio es una seccion longitudinal de la placa junto con unaseccion de la lamina de silicio situado sobre ella. El silicio lıquido entra en el dominio

109


por la parte izquierda y el movimiento vibratorio lo desplaza hacia la derecha. Comose ve en la Figura 4.1, la temperatura en la lamina de silicio es superior en su interiorpues, tanto el aire como el agua a traves del cobre, extraen el calor del silicio lıquido.

Figura 4.2: Isoterma de fusion del cobre.

La temperatura de entrada se toma a 1600 C, casi 200 C por encima de su tem-peratura de fusion.

Logicamente, el comienzo de la placa es el lugar donde existe un mayor riesgo deque el cobre se funda o deforme por alcanzar altas temperaturas. Se han hecho variaspruebas para ajustar cual deberıa ser el caudal de agua a circular por los tubos derefrigeracion para evitar que el cobre alcance su temperatura de fusion, 1083 C. Laresistencia de contacto provoca que la temperatura deje de ser continua al pasar a travesde la interfase entre silicio y cobre. Como se ve en la Figura 4.2, la isoterma de 1083C no interseca la placa.

Tras avanzar un metro y medio, la lamina de silicio ha alcanzado una temperaturainferior a 1412 C, por lo que se puede suponer que ha solidificado. La altura a la quese produce el final de la solidificacion equivale a los 2/3 de la lamina (ver fig. 4.4) ydepende en gran medida, como ya hemos dicho, de las condiciones de conveccion y deradiacion del aire y del agua. Gracias al programa puede evaluarse el coste de variaresa altura, modificando las condiciones de contorno.

En la parte final del dominio se alcanzan temperaturas de alrededor de 1000C (ver

111

Figura 4.3: Temperatura en la parte final del dominio.

fig. 4.3) y la temperatura de ambos materiales es cada vez as proxima, toda vez que elsilicio ha cedido su calor latente al solidificarse.


Figura 4.4: Isoterma de solidificacion del silicio.

Apendice A

Algunos resultados de AnalisisFuncional

En este anexo incluimos definiciones y resultados de analisis funcional que se refe-rencian a lo largo del trabajo o que sirven para la mejor comprension del mismo.

Para la escritura del apartado sobre topologıas debiles, nos hemos basado funda-mentalmente en [28] y en [83].

El apartado sobre funciones semicontinuas proviene de [49].La parte dedicada a los operadores maximales monotonos es un extracto de [27],

de [8], de [89] y de [49].Los resultados sobre espacios de Lebesgue, al igual que los de Sobolev, pertenecen

a varias fuentes. Entre ellas, cabe citar [28] y [73].La seccion sobre funciones en QT ha sido entresacada de [45], [76], [88], [53] y [71].Los resultados de existencia y unicidad que se presentan se pueden ver en [45] y en

[47].

A.1. Resultados sobre topologıas debiles

A.1.1. La topologıa debil σ(E,E ′).

Sea (E, ‖ ‖E) un espacio de Banach y sea f ∈ E ′, donde E ′ es el dual de E.

Definicion A.1.1. La topologıa debil σ(E,E ′) es la topologıa menos fina de E quehace que todas las aplicaciones f ∈ E ′ sean continuas.

Proposicion A.1.1. Sea xn una sucesion en E. Se cumple que

i) [xn x en σ(E,E ′)] ⇔ [〈f, xn〉 → 〈f, x〉, ∀f ∈ E ′].

ii) Si xn → x en E fuerte, entonces xn x en σ(E,E ′).

iii) Si xn x en σ(E,E ′) entonces ‖xn‖E esta acotada y ‖x‖E ≤ lım inf ‖xn‖E.

113

114 Apendice A. Algunos resultados de Analisis Funcional

iv) Si xn x en σ(E,E ′) y fn → f en E ′ (es decir, ‖fn − f‖E′ → 0), entonces〈fn, xn〉 → 〈f, x〉.

Teorema A.1.2. Sean E y F dos espacios de Banach. Sea T un operador lineal ycontinuo de E en F. Estonces T es continuo de E debil σ(E,E ′) en F debil σ(F, F ′) yrecıprocamente.

Corolario A.1.3. Sea xn una sucesion que satisface xn x enL2(0, T ;H1

0(Ω)) debil1. Entonces

∇xn ∇x en L2(Ω × [0, T ]) debil.

Demostracion. Basta tomar E = L2(0, T ;H10(Ω)), F = L2(Ω× [0, T ]) y T (x) = ∇x.

Corolario A.1.4. Sea xn una sucesion que cumple que xn x enL2(0, T ;H(rot; Ω)) debil. Entonces

∇× xn ∇× x en L2(Ω × [0, T ]) debil.

Demostracion. Basta tomar E = L2(0, T ;H(rot; Ω)), F = L2(Ω × [0, T ]) y T (x) =∇× x.

A.1.2. La topologıa debil ∗ σ(E ′, E).

Sea E un espacio de Banach y E ′ su dual. Se tiene la inyeccion canonica J : E → E ′′

definida como sigue:

〈Jx, f〉E′′,E′ = 〈f, x〉E′,E ∀x ∈ E, ∀f ∈ E ′.

Para cada x ∈ E, se considera el elemento φx =: Jx ∈ E ′′ que, debido a la definicionde J , satisface φx : f ∈ E ′ → φx(f) = 〈f, x〉 ∈ R.

Definicion A.1.2. La topologıa debil ∗ σ(E ′, E) es la topologıa menos fina de E ′

que hace que todas las aplicaciones φxx∈E sean continuas.

Observacion 18. Cuando el espacio E es reflexivo, se identifican E y E ′′ mediante laaplicacion J , de forma que cada aplicacion ϕ ∈ E ′′ se puede identificar con otra φx ∈ E ′′

para algun x ∈ E y viceversa. Por tanto, es indiferente que sean continuas unas u otras,es decir, cuando E es reflexivo las topologıas sobre E ′, σ(E ′, E ′′) y ∗ σ(E ′, E), coinciden.

Proposicion A.1.5. Sea fn una sucesion en E ′. Se cumple que

i) [fn∗ f en σ(E ′, E)] ⇔ [〈fn, x〉 → 〈f, x〉, ∀x ∈ E].

1El significado de los espacios de ambos corolarios se explica en las secciones A.5 y A.6.

A.2. Las funciones semicontinuas 115

ii) Si fn → f en E ′ fuerte, entonces fn∗ f en σ(E ′, E).

Si fn f en σ(E ′, E ′′), entonces fn∗ f en σ(E ′, E).

iii) Si fn∗ f en σ(E ′, E) entonces ‖fn‖E′ esta acotada y ‖f‖E′ ≤ lım inf ‖fn‖E′.

iv) Si fn∗ f en σ(E ′, E) y si xn → x en E fuerte, entonces 〈fn, xn〉 → 〈f, x〉.

Teorema A.1.6. Sean X e Y dos espacios de Banach. Supongamos que A ∈ L(X, Y )es compacto y que

xn x en σ(X,X ′).

EntoncesA(xn) → A(x) en Y (fuertemente).

A.2. Las funciones semicontinuas

Definicion A.2.1. Sea E un espacio vectorial topologico localmente convexo real. Unafuncion ϕ : E → (−∞,+∞] se dice semicontinua inferiormente (s.c.i.) si satis-face las condiciones equivalentes,

a) x ∈ E : ϕ(x) ≤ a es cerrado ∀a ∈ R,

b) lım infx→x0 ϕ(x) ≥ ϕ(x0) ∀x0 ∈ E.

Proposicion A.2.1. Toda funcion convexa s.c.i. de E en (−∞,+∞] es tambien s.c.i.cuando E esta dotada de la topologıa debil σ(E,E ′).

A.3. Los operadores maximales monotonos

Sean X e Y espacios vectoriales y X × Y su producto cartesiano.

Definicion A.3.1.

Un operador (multıvoco) A es una aplicacion de X en el conjunto de las partesde Y .

El dominio de A es el conjunto D(A) = x ∈ X; Ax 6= ∅.

La imagen es el conjunto R(A) = ∪x∈XAx.

El grafo es el conjunto (x, y) ∈ X × Y ; y ∈ Ax.

El operador se dice unıvoco si Ax contiene un elemento, para todo x ∈ D(A).

En lo que sigue, X sera un espacio de Banach real, de norma ‖ ‖X , y X∗ su dual, denorma ‖ ‖X∗ . La dualidad entre dos elementos x ∈ X y X∗ ∈ X∗ se denota por 〈x, x∗〉o 〈x∗, x〉.


Definicion A.3.2.

Un operador A de X en X∗ se dice monotono si

〈x1 − x2, y1 − y2〉 ≥ 0, para cada xi ∈ D(A) y cada yi ∈ Axi, i = 1, 2.

Un operador monotono se dice maximal monotono si su grafo no esta contenidode forma propia en ningun otro grafo de un operador monotono de X ×X∗.

Un operador A de X en X∗ se dice cıclicamente monotono si, para cadasecuencia finita, x0, x1, . . . , xn de elementos de D(A), se tiene que

〈x0 − x1, y0〉 + . . .+ 〈xn−1 − xn, yn−1〉 + 〈xn − x0, yn〉 ≥ 0,

para cada yi ∈ Axi, i = 0, 1, . . . , n.

Un operador A de X en X∗ se dice acotado si aplica cada subconjunto acotadode X en un subconjunto acotado de X∗.

Definicion A.3.3. Sea A : X → X∗ un operador univaluado. Se dice que A es semi-continuo si es continuo de X con la topologıa fuerte, en X∗ con la topologıa debil, esdecir,

lımn→∞

Axn = Ax0 debil ∗,

para cada sucesion xn ⊂ D(A), convergente a x0 en X fuerte.

Teorema A.3.1. Sea X un espacio de Banach reflexivo y sean A y B dos operadoresmonotonos de X en X∗, tales que 0 ∈ D(A) y B es semicontinuo, acotado y ademas

lımn→∞

〈Bxn, xn〉‖xn‖X

= +∞, (A.3.1)

para cada sucesion xn tal que lımn→∞

‖xn‖X = +∞. Entonces, existe un x ∈ convD(A)

tal que2

〈u− x,Bx+ v〉 ≥ 0, para todo u ∈ D(A) y todo v ∈ Au.

Corolario A.3.2. SeaX un espacio de Banach reflexivo y sea B un operador monotono,semicontinuo y acotado de X en X∗, satisfaciendo la condicion (A.3.1). Sea A un ope-rador maximal monotono de X en X∗. Entonces R(A +B) = X∗.

2 convD(A) denota la envolvente convexa de D(A), es decir, el conjunto de todas las combinacionesconvexas de elementos de D(A),

convD(A) =

n∑

i=1

λixi ∈ X : λi ≥ 0,

n∑

i=1

λi = 1, xi ∈ D(A)

.

convD(A) denota la clausura de la envolvente convexa de D(A).

A.3. Los operadores maximales monotonos 117

Supongamos que X es reflexivo y estrictamente convexo, lo mismo que su dual X∗.Sea A un operador maximal monotono de X en X∗. Consideremos la aplicacion dedualidad R : X → X∗ definida por

Rx = x∗ ∈ X∗; 〈x, x∗〉 = ‖x‖2 = ‖x∗‖2.

Como la aplicacion de dualidad es semicontinua, por el Corolario A.3.2 se deduceque la ecuacion

R(xλ − x) + λAxλ 3 0 (A.3.2)

tiene al menos una solucion, para cada x ∈ X y cada λ > 0. Como X es estrictamenteconvexo, R−1 es univaluada lo que, junto con la monotonıa de R y A, implica la unicidadde xλ.

Definicion A.3.4.

Se denomina resolvente de A al operador Jλ : X → X definido por Jλx = xλ.

Se denomina aproximacion Yosida de A al operador Aλ : X → X∗ definidopor Aλx = R(x− Jλx)/λ.

Observacion 19. Dividiendo por λ en la expresion (A.3.2), se tiene que

R(xλ − x)/λ+ Axλ 3 0,

es decir,

Aλx ∈ AJλx, (A.3.3)

para cada x ∈ X y cada λ > 0.

Proposicion A.3.3. Para cada λ > 0,

a) Aλ es un operador monotono, acotado y semicontinuo de X en X∗.

b) Si ademas X∗ es uniformemente convexo, entonces Aλ es continuo.

c) Si X = H es un espacio de Hilbert, entonces Jλ = (I + λA)−1 es una contraccionde R(I + λA) en H y Aλ es lipschitziana de constante 1/λ.

Demostracion. La demostracion puede verse en [8].


A.3.1. La subdiferencial

Una importante clase de operadores monotonos consiste en los gradientes de fun-ciones convexas.

Consideremos un espacio de Banach real, X. Sea ϕ una funcion convexa s.c.i. de Xen (−∞,+∞]. Supongamos que ϕ es propia (es decir, no es identicamente +∞) y sea

D(ϕ) = u ∈ X : ϕ(u) < +∞.

Para cada u ∈ X, el conjunto

∂ϕ(u) = f ∈ X∗ : ϕ(v) − ϕ(u) ≥ 〈f, v − u〉 ∀v ∈ D(ϕ)

se denomina la subdiferencial de ϕ en u. Notese que ∂ϕ(u) es cerrado y convexo ypodrıa ser vacıo. Sin embargo, si ϕ es Gateaux-diferenciable en u, entonces ∂ϕ(u) sereduce a un unico punto y coincide con la derivada en el sentido de Gateaux.

Teorema A.3.4. Si ϕ es una funcion convexa, s.c.i. y propia, entonces ∂ϕ es unoperador maximal monotono de X en X∗.

Teorema A.3.5. Un operador A : X → X∗ es cıclicamente monotono si y solo si existeuna funcion ϕ sobre X, convexa, s.c.i. y propia tal que A = ∂ϕ. Ademas, A determinaa ϕ de forma unıvoca, salvo constante aditiva.

Teorema A.3.6. Todo operador A maximal monotono sobre R es cıclicamente monotono.

Definicion A.3.5. Sea Ω un subconjunto Lebesgue medible de RN . Una funcion j :Ω×R → (−∞,+∞] se dice que es un integrando normal convexo sobre Ω×R sise satisfacen las siguientes condiciones:

i) j(x, ·) : R → (−∞,+∞] es convexa, s.c.i. y propia, c.p.d. en Ω.

ii) j es medible respecto a la σ-algebra de los subconjuntos de Ω× R generada por losproductos de conjuntos de Lebesgue de Ω y conjuntos de Borel de R.

Se puede ver que, si j es un integrando normal convexo, entonces la funcionx ∈ Ω → j(x, y(x)) es medible, para cada y : Ω → R medible.

La condicion ii) extiende la condicion de Caratheodory clasica. En particular, lacondicion ii) es cierta si j(x, y) es finita, medible en x y continua en y.

Para lo que sigue, vamos a suponer que j cumple dos condiciones adicionales:

iii) j mayora a, al menos, una funcion h definida en Ω × R, del tipo

h(x, y) = y α(x) + β(x),

donde α ∈ Lq′(Ω), con 1q

+ 1q′

= 1, 1 ≤ q < +∞ y β ∈ L1(Ω).


iv) Existe al menos una funcion y0 ∈ Lq(Ω) tal que j(·, y0(·)) ∈ L1(Ω).

Definicion A.3.6. Se define la funcion J como sigue,

J(u) =

∫

Ωj(x, u(x)) dx si j(·, u(·)) ∈ L1(Ω),

+∞ en otro caso.(A.3.4)

Proposicion A.3.7. Supongamos que se satisfacen las condiciones i), ii), iii) y iv)de la Definicion A.3.5. Entonces la funcion J : Lq(Ω) → (−∞,+∞], con 1 ≤ q < +∞,es convexa, s.c.i. y propia. Ademas, para cada u ∈ Lq(Ω), la subdiferencial ∂J(u) vienedada por

∂J(u) = w ∈ Lq′(Ω); w(x) ∈ ∂j(x, u(x)), c.p.d. en Ω.

Tomemos ahora un intervalo finito [0, T ] de R. Supongamos que, para la funcionJ definida en (A.3.4), existe una funcion x0 ∈ Lp(0, T ;Lq(Ω)), 1 ≤ p < ∞, tal queJ(x0(t)) ∈ L1(0, T ).

Definicion A.3.7. Definimos el funcional IJ : Lp(0, T ;Lq(Ω)) → (−∞,+∞] mediante

IJ(u) =

∫ T

0J(u(t)) dt si J(u(t)) ∈ L1(0, T ),

+∞ en otro caso.

Proposicion A.3.8. Sea 1 < p, q < +∞. La funcion IJ es convexa, s.c.i. y propiasobre Lp(0, T ;Lq(Ω)). Su subdiferencial ∂IJ : Lp(0, T ;Lq(Ω)) → Lp′(0, T ;Lq′(Ω)) vienedada por

∂IJ (u) = w ∈ Lp′(0, T ;Lq′(Ω)) : w(t) ∈ ∂J(u(t)) c.p.d. en (0, T ).

Es decir, si denotamos G = ∂IJ , entonces

G(u)(t) = G(u(t)) c.p.d. en (0, T ),

para cada u ∈ Lp(0, T ;Lq(Ω)) .

Demostracion. La funcion IJ es propia pues IJ(x0) < +∞. Dada cualquier funcionu ∈ Lp(0, T ;Lq(Ω)), entonces u(t) ∈ Lq(Ω), c.p.d. en [0, T ]. Como J es convexa sobreLq(Ω), podemos afirmar que

J(λu1(t) + (1 − λ)u2(t)) ≤ λJ(u1(t)) + (1 − λ)J(u2(t)), c.p.d. en [0, T ],

para cada u1, u2 ∈ Lp(0, T ;Lq(Ω)). Integrando en [0, T ], se obtiene la convexidad de IJ .Tomamos ahora un → u en Lp(0, T ;Lq(Ω)) c.p.d. en [0, T ]. En particular, un → u

en Lα(QT ) con α = mınp, q y QT = Ω × [0, T ], de forma que existe una subsucesion,que volvemos a denotar por un, que converge puntualmente c.p.d. en QT . Como j(x, ·) :R → R es s.c.i., c.p.d. en Ω,

j(x, u(x, t)) ≤ lım infn→+∞

j(x, un(x, t)) c.p.d. en QT ,


con lo que, integrando en QT ,

IJ(u) =

∫

QT

j(x, u(x, t)) dx dt ≤∫

QT

lım infn→+∞

j(x, un(x, t)) dx dt.

Por la condicion iii) de la Definicion A.3.5, se tiene que la funcion f(x, y) = j(x, y)−y · α(x) − β(x) satisface f(x, un(x, t)) ≥ 0. Ademas,

f(x, u(x, t)) ≤ lım infn→+∞ f(x, un(x, t)) c.p.d. en QT ,

supn∈N

∫

QT

f(x, un(x, t)) dx dt < +∞.

Por el lema de Fatou,∫

QT

lım infn→+∞

f(x, un(x, t)) dx dt ≤ lım infn→+∞

∫

QT

f(x, un(x, t)) dx dt,

con lo que podemos decir que∫

QT

lım infn→+∞

j(x, un(x, t)) dx dt ≤ lım infn→+∞

∫

QT

j(x, un(x, t)) dx dt = lım infn→+∞

IJ(un).

Por tanto, IJ es s.c.i. en Lp(0, T ;Lq(Ω)).Por ultimo, veamos la expresion de ∂IJ . Por definicion, w ∈ ∂IJ (u) si y solo si

IJ(u) − IJ(z) ≤ 〈u− z, w〉, ∀z ∈ Lp(0, T ;Lq(Ω)).

Puesto que la dualidad entre espacios de Lebesgue tiene sentido como integral,∫ T

0

J(u(t)) dt−∫ T

0

J(z(t)) dt ≤∫ T

0

(∫

Ω

w(x, t)(

u(x, t) − z(x, t))

dx

)

dt. (A.3.5)

Dado un intervalo [a, b] ⊂ [0, T ] y una funcion z ∈ Lq(Ω) cualquiera, definimos lafuncion z ∈ Lp(0, T ;Lq(Ω)) por

z(t) =

z si t ∈ [a, b],

u(t) en otro caso.

Usandola en (A.3.5), tenemos que∫ b

a

(J(u(t)) − J(z)) dt ≤∫ b

a

(∫

Ω

w(x, t)(

u(x, t) − z(x, t))

dx

)

dt.

Como [a, b] es arbitrario, se concluye que la desigualdad es cierta c.p.d. en [0, T ],

J(u(t)) − J(z) ≤∫

Ω

w(x, t)(

u(x, t) − z(x))

dx ∀z ∈ Lq(Ω).

Es decir,J(u(t)) − J(z) ≤ 〈u(t) − z, w(t)〉 ∀z ∈ Lq(Ω),

por lo que w(t) ∈ ∂J(u(t)).


Proposicion A.3.9. Sean X e Y dos espacios vectoriales topologicos localmente con-vexos, sea T : X → Y una aplicacion lineal continua, de traspuesta T ∗ : Y ∗ → X∗. Siϕ : Y → (−∞,+∞] es convexa, propia y existe un punto y0 ∈ R(T ) en el que ϕ esfinita, entonces ϕ T : X → (−∞,+∞] es convexa, propia y se tiene que

T ∗∂ϕ(T u) ⊂ ∂(ϕ T )(u) para todo u ∈ X.

Si ademas ϕ es s.c.i. en Y y continua en y0, entonces ϕ T es s.c.i. en X y se tieneque

T ∗∂ϕ(T u) = ∂(ϕ T )(u) para todo u ∈ X.

El Lema siguiente es una ligera modificacion de la Proposicion 2.5 de [27]:

Lema A.3.10. Sea X un espacio de Banach real y sea A : X → X∗ un operadormaximal monotono. Si

xn x en X debil,

yn y en X∗ debil,

yn ∈ Axn para todo n ∈ N,

lım infn∈N

〈xn, yn〉 ≤ 〈x, y〉,

entonces y ∈ Ax. Si, ademas, lım supn∈N

〈xn, yn〉 ≤ 〈x, y〉, entonces

lımn∈N

〈xn, yn〉 = 〈x, y〉.

Demostracion. Para cada u ∈ D(A) y cada v ∈ Au se tiene,

〈u− xn, v − yn〉 ≥ 0,

es decir,〈u, v〉 − 〈u, yn〉 − 〈xn, v〉 + 〈xn, yn〉 ≥ 0.

Tomando el lımite inferior y gracias a la convergencia debil de las sucesiones xn eyn,

〈u, v〉 − 〈u, y〉 − 〈x, v〉 + lım infn∈N

〈xn, yn〉 ≥ 0,

por lo que,〈u, v〉 − 〈u, y〉 − 〈x, v〉 + 〈x, y〉 ≥ 0.

Hemos demostrado que

〈u− x, v − y〉 ≥ 0, ∀u ∈ D(A), ∀v ∈ Au.

Como A es maximal monotono, lo anterior implica que y ∈ Ax.


Por otra parte, como yn ∈ Axn,

〈x− xn, y − yn〉 ≥ 0, ∀n ∈ N.

Tomando el lımite inferior,lım inf

n∈N

〈xn, yn〉 ≥ 〈x, y〉,

lo que, unido a la condicion adicional sobre el lımite superior, implica

lımn∈N

〈xn, yn〉 = 〈x, y〉.

A.4. Resultados sobre espacios de Lebesgue

Sea Ω un dominio acotado de R3. Para 1 ≤ p ≤ ∞, usaremos los espacios de

Lebesgue, Lp(Ω). Denotaremos Lp(Ω) = [Lp(Ω)]3.

Lema A.4.1. Sea f ∈ L1loc(Ω) tal que

∫

Ω

f ϕ = 0, ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω),

entonces f = 0 c.p.d. en Ω.

Teorema A.4.2 (de Fatou). Sea fn una sucesion de funciones de L1(Ω) tal quefn(x) ≥ 0 c.p.d. en Ω, para cada n ∈ N. Entonces

∫

Ω

lım infn→∞

fn(x) ≤ lım infn→∞

∫

Ω

fn.

Teorema A.4.3 (de la convergencia dominada de Lebesgue). Sea fn unasucesion de funciones de L1(Ω). Supongamos que

a) fn(x) → f(x), c.p.d. en Ω.

b) existe g ∈ L1(Ω) : |fn(x)| ≤ g(x), c.p.d. en Ω, para cada n ∈ N.

Entoncesf ∈ L1(Ω) y ‖fn − f‖L1(Ω) → 0.

Corolario A.4.4. Sea fn una sucesion de funciones de Lp(Ω), 1 < p < ∞. Supon-gamos que

a) fn(x) → f(x), c.p.d. en Ω.

b) existe g ∈ Lp(Ω) : |fn(x)| ≤ g(x), c.p.d. en Ω, para cada n ∈ N.

A.4. Resultados sobre espacios de Lebesgue 123

Entoncesf ∈ Lp(Ω) y ‖fn − f‖Lp(Ω) → 0.

Demostracion. Pasando al lımite en la hipotesis b) se tiene que |f(x)| ≤ g(x) c.p.d.en Ω, por lo que

∫

Ω

|f(x)|p ≤∫

Ω

|g(x)|p

y ası f ∈ Lp(Ω). Por otro lado, Ahora, usando una vez mas las hipotesis, se ve que

|fn(x) − f(x)|p → 0, c.p.d. en Ω,

|fn(x) − f(x)|p ≤ 2p|g(x)|p, c.p.d. en Ω, ∀n ∈ N.

Como 2p|g|p ∈ L1(Ω), podemos aplicar el teorema de la convergencia dominada paraconcluir que

∫

Ω

|fn(x) − f(x)|p dx→ 0,

es decir, fn → f en Lp(Ω).

Lema A.4.5 (desigualdad de Holder). Sean f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp′(Ω), con 1 ≤ p ≤∞, 1

p+ 1

p′= 1. Entonces f · g ∈ L1(Ω) y

‖f · g‖L1(Ω) ≤ ‖f‖Lp(Ω)‖g‖Lp′(Ω).

Lema A.4.6 (desigualdad de interpolacion). Si f ∈ Lp(Ω)∩Lq(Ω) con 1 ≤ p ≤ ∞entonces f ∈ Lr(Ω) para todo p ≤ r ≤ q y se tiene la desigualdad

‖f‖Lr(Ω) ≤ ‖f‖αLp(Ω)‖f‖1−α

Lq(Ω) donde1

r=α

p+

1 − α

q(0 ≤ α ≤ 1).

Lema A.4.7. Sean f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp′(Ω) con 1 < p <∞ y 1p

+ 1p′

= 1. Entonces

∫

Ω

|fg| ≤ εp

p

∥

∥f∥

∥

p

Lp(Ω)+ε−p′

p′∥

∥g∥

∥

p′

Lp′(Ω), ∀ε > 0.

Teorema A.4.8. Sean fn una sucesion de Lp(Ω) y f ∈ Lp(Ω), tales que ‖fn −f‖Lp(Ω) → 0. Entonces existen una subsucesion fnk

y una funcion h ∈ Lp(Ω) talesque

a) fnk(x) → f(x) c.p.d. en Ω.

b) |fnk(x)| ≤ h(x) c.p.d. en Ω, para cada k.

Teorema A.4.9 (de Egorov). Sea Ω un dominio acotado de RN . Sea fn una suce-sion de funciones medibles tal que fn(x) → f(x) c.p.d. en Ω. Entonces, para cualquierδ > 0, existe un conjunto medible Ωδ ⊂ Ω tal que med (Ω\Ωδ) < δ y

fn −→ f uniformemente en Ωδ.


Teorema A.4.10. Sea Ω un subconjunto RN de medida finita. Sea fn una sucesion

de funciones, fn → f c.p.d. en Ω, fn acotada en Lp(Ω), p > 1. Entonces fn → f enLq(Ω), con q < p.

Demostracion. Sea K = supn≥1 ‖fn‖Lp(Ω). Sabemos que

|f(x)|p = lımn

|fn(x)|p c.p.d. en Ω

y por el Teorema de Fatou A.4.2,

∫

Ω

|f |p ≤ lım infn

∫

Ω

|fn|p ≤ Kp < +∞.

Por lo tanto, f ∈ Lp(Ω).Como fn(x) → f(x) c.p.d. en Ω, por el Teorema A.4.9, sabemos que para cada

δ > 0 existe un conjunto Ωδ, med (Ω\Ωδ) < δ tal que fn → f uniformemente en Ωδ.Escribimos

∫

Ω

|fn(x) − f(x)|q =

∫

Ωδ

|fn(x) − f(x)|q +

∫

Ω\Ωδ

|fn(x) − f(x)|q.

Como q < p, podemos usar la desigualdad de Holder A.4.5 con exponentes p/q yp

p−qpara obtener que

∫

Ω\Ωδ

|fn(x) − f(x)|q ≤(

∫

Ω\Ωδ

|fn(x) − f(x)|p)q/p(

∫

Ω\Ωδ

1)

p−qp ≤

(

∫

Ω

|fn(x) − f(x)|p)q/p

med (Ω\Ωδ)p−q

p ≤ (2K)q δp−q

p .

Dado ε > 0, tomamos δ > 0 tal que (2K)q δp−q

p < ε/2. Por otro lado, como fn → funiformemente en Ωδ, fijado δ, podemos hallar un ındice nδ tal que

∫

Ωδ

|fnδ(x) − f(x)|q < ε/2.

Resumiendo, dado ε > 0, existe nδ(ε) tal que ‖fnδ(ε)−f‖Lq(Ω) < ε, por lo que fn → f

en Lq(Ω).

A.5. Los espacios de Sobolev y otros espacios fun-

cionales

Sea Ω un dominio acotado de R3. Para 1 ≤ p ≤ ∞, usaremos los espacios de Sobolev

W 1,p(Ω) (para su definicion ver, por ejemplo, [28]),

A.5. Los espacios de Sobolev y otros espacios funcionales 125

H1(Ω) = W 1,2(Ω),

H(rot; Ω) = f ∈ L2(Ω) : ∇× f ∈ L2(Ω) , con la norma

‖f‖H(rot;Ω) =(

‖f‖2L2(Ω) + ‖∇ × f‖2

L2(Ω)

)12.

W 1,p0 (Ω) ≡ “clausura de D(Ω) en W 1,p(Ω)”.

W−1,p(Ω) es el dual W 1,p′

0 (Ω).

H−1(Ω) es el dual H10 (Ω).

Ademas, denotaremos H1(Ω) = [H1(Ω)]3.

A.5.1. Una formula de Green

Proposicion A.5.1. Sea Ω un dominio acotado con frontera Γ regular y sea n el vectornormal unitario exterior a la frontera en cada punto. Consideramos h ∈ H(rot; Ω) yσ = σ(x) una funcion medible, cumpliendo

σ(x) ≥ σ∗ > 0, c.p.d. en x ∈ Ω,

con ∇× ( 1σ∇× h) ∈ L2(Ω). Entonces, se verifica que

∫

Ω

∇×(

1

σ∇× h

)

· ζ =

∫

Ω

1

σ(∇× h) · (∇× ζ)

−∫

Γ

⟨

1

σ((∇× h) × n) , ζ

⟩

H−1/2(Ω), H1/2(Ω)

,

para toda funcion ζ ∈ H1(Ω).

Demostracion. Sabemos que (∇× v)i = εijk ∂jvk. Por tanto

∫

Ω

εijk ∂j

(

(1

σ∇× h)k ζi

)

=

∫

Ω

εijk ∂j(1

σ∇× h)k ζi +

∫

Ω

εijk (1

σ∇× h)k ∂jζi

‖ ‖ ‖∫

Γ

εijk (1

σ∇× h)k ζi nj

∫

Ω

∇×(

1

σ∇× h

)

· ζ∫

Ω

(

1

σ∇× h

)

k

(−εkji ∂jζi)

‖ ‖

−∫

Γ

(

εikj

(

1

σ∇× h

)

k

nj

)

ζi −∫

Ω

1

σ(∇× h) · (∇× ζ)

‖

−∫

Γ

⟨

1

σ((∇× h) × n) , ζ

⟩


A.5.2. Las desigualdades de Sobolev

Teorema A.5.2. Supongamos que Ω ⊂ RN es un abierto de clase C1 con frontera

acotada. Sea 1 ≤ p ≤ ∞. Se cumple que

si 1 ≤ p < N, entonces W 1,p(Ω) ⊂ Lp∗(Ω) donde1

p∗=

1

p− 1

N, (A.5.6)

si p = N, entonces W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω), ∀q ∈ [p,+∞), (A.5.7)

si p > N, entonces W 1,p(Ω) ⊂ L∞(Ω), (A.5.8)

con inyecciones continuas. Ademas, si p > N , se tiene W 1,p(Ω) ⊂ C0(Ω).

Teorema A.5.3. Supongamos que Ω ⊂ RN es un abierto acotado de clase C1. Sea1 ≤ p ≤ ∞. Se cumple que

si 1 < p < N, entonces W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω), ∀q ∈ [1, p∗) donde1

p∗=

1

p− 1

N, (A.5.9)

si p = N, entonces W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω), ∀q ∈ [p,+∞), (A.5.10)

si p > N, entonces W 1,p(Ω) ⊂ C0(Ω), (A.5.11)

con inyecciones compactas.(En particular, W 1,p(Ω) ⊂ Lp(Ω) con inyeccion compacta para todo p).

Los siguientes resultados, de [89] y de [53], permite calcular la derivada de la com-posicion de una funcion regular con otra en un espacio de Sobolev:

Lema A.5.4. Sea t 7→ G(t) una funcion uniformemente lipschitziana3 con G(0) = 0.Si u ∈ W 1,p

0 (Ω) entonces G(u) = G u ∈ W 1,p0 (Ω) y si G′ tiene un numero finito de

discontinuidades, entonces

∂xiG(u) = G′(u)∂xi

u c.p.d. en Ω,

o en el sentido de las distribuciones.

Teorema A.5.5. Sea f una funcion regular a trozos sobre R con f ′ ∈ L∞(R). Entonces,si u ∈ H1(Ω), se tiene que f u ∈ H1(Ω). Ademas, si L denota el conjunto de esquinasdel grafo de f , tenemos que

D(f u)(x) =

f ′(u(x))Du(x) si u(x) /∈ L,

0 si u(x) ∈ L.

3Es decir, existe una constante K > 0 tal que, c.p.d. en [0, T ], se tiene que

|G(t) − G(s)| ≤ K|t − s|.

A.6. Los espacios de funciones en QT 127

A.6. Los espacios de funciones en QT

Sea X un espacio de Banach, Ω un abierto de RN y T ∈ R

+. Denotaremos QT =Ω × [0, T ].

Definicion A.6.1.

a) Denotamos por Lp(0, T ;X), 1 ≤ p < +∞, al espacio (de clases) de funcionesf(t) : (0, T ) → X tales que:

i) f es medible en (0, T ).

ii) ‖f‖Lp(0,T ;X) =(

∫ T

0‖f(t)‖p

X

)1p< +∞.

b) Denotamos por L∞(0, T ;X) al espacio (de clases) de funciones f de (0, T ) en Xsatisfaciendo i) y

ii’) ‖f‖L∞(0,T ;X) = inf

c ∈ R : ‖f(t)‖X ≤ c, c.p.d. en [0, T ]

< +∞.

c) Denotamos por W 1,p(0, T ;X), 1 ≤ p ≤ ∞, al espacio (de clases) de funciones fde (0, T ) en X, tales que f ∈ Lp(0, T ;X) y ∂tf ∈ Lp(0, T ;X).

d) Denotamos por L1loc(0, T ;X) al espacio (de clases) de funciones f de (0, T ) en X

tales quepara todo compacto K ⊂ (0, T ), χ

Ku ∈ L1(0, T ;X),

donde χK

es la funcion caracterıstica del compacto K.

e) Denotamos por C0([0, T ];X) al espacio de funciones continuas de [0, T ] en X.

Proposicion A.6.1. Para 1 ≤ p ≤ +∞, Lp(0, T ;X) es un espacio de Banach.

Lema A.6.2. Si f ∈ Lp(0, T ;X) y ∂tf ∈ Lp(0, T ;X) (1 ≤ p ≤ ∞), entonces (salvouna posible modificacion en un conjunto de medida nula) f ∈ C0([0, T ];X).

Teorema A.6.3. Sea X un espacio de Banach y sea vn una sucesion de funcionestal que vn(t) → v(t) en X fuerte, c.p.d. en [0, T ], vn acotada en Lq(0, T ;X), q > 1.Entonces fn → f en Lp(0, T ;X), con p < q.

Demostracion. Basta aplicar el Teorema A.4.10 a la sucesion ‖vn(t) − v(t)‖X.

A.6.1. Las distribuciones vectoriales

Sea A un abierto de un espacio de Banach X.

D(A) es el espacio de las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto,contenido en A4.

4Escribiremos ası D(Ω) y D(0, T ) por C∞

0 (Ω) y C∞

0

(

(0, T ))

, respectivamente.


D(A) es el espacio D(A)3 = D(A) ×D(A) ×D(A).

D([0, T ]) es el espacio de las restricciones a [0, T ] de funciones de D(R).

D′(A) sera el dual de D(A) y D′(A) el dual de D(A).

Definicion A.6.2. Se designa por D′((0, T );X) el espacio de distribuciones de (0, T )con valores en X, definido por

D′((0, T );X) = L(D(0, T );X).

Proposicion A.6.4. Sea u ∈ L1loc(0, T ;X); la aplicacion

ϕ ∈ D(0, T ) 7→∫ T

0

ϕ(t) u(t) ∈ X

es una distribucion sobre (0, T ) con valores en X.

Identificaremos la funcion u con la distribucion asociada.

Proposicion A.6.5. Las funciones u, v ∈ L1loc(0, T ;X) definen la misma distribucion

si y solo si u=v c.p.d. en [0, T ].

La derivada distribucional.

Definicion A.6.3. Sea f ∈ D′((0, T );X) y un entero m ≥ 0. Entonces la derivadam-esima de u respecto de t es la distribucion de D′((0, T );X) dada por

ϕ 7→ (−1)mf(dmϕ

dtm), ϕ ∈ D(0, T ),

que se denota por dmfdtm

.

Notacion: Si u ∈ L1loc(0, T ;X) y X es un espacio de funciones de variable x, por

ejemplo X = Lp(Ω), entonces u se identifica con una funcion u(x, t) y u(t) denota lafuncion “x→ u(x, t)” c.p.d. en [0, T ]. La derivada distribucional du/dt se identifica conla derivada ∂u/∂t de D′(QT ).

Denotaremos la derivada de u respecto de t indistintamente por du/dt, ∂u/∂t o ∂tu.

Teorema A.6.6. Sea O un abierto acotado de RN × R y gn, g funciones de Lq(O),con 1 < q <∞, tales que

‖gn‖Lq(O) ≤ C, gn → g c.p.d. en O.

Entonces gn g en Lq(O) debil.


Lema A.6.7. El espacio de funciones formado por las sumas finitas∑

ψi ⊗ vi,

con vi ∈ V y ψi ∈ D([0, T ]), nula en un entorno de T , es denso en el espacio

ZV = ϕ ∈ L2(0, T ;V ) : ∂tϕ ∈ L2(0, T ;H), ϕ(T ) = 0

con la norma

‖ϕ‖ZV=

(∫ T

0

(‖ϕ(t)‖2V + ‖∂tϕ(t)‖2

H)

)

12

.

Definicion A.6.4. Sea V un espacio de Banach reflexivo y H un espacio de Hilbert,ambos separables. Ademas sea V denso en H. Identificando H con H ′, tenemos lacadena de inclusiones densas

V → H → V ′.

donde → denota inclusion continua.Dados f ∈ D′((0, T );V ′) y v ∈ V , podemos definir una distribucion escalar, 〈f, v〉V ′, V ,

mediante〈f, v〉V ′, V (ϕ) =

⟨

〈f, ϕ〉D′(0,T ),D(0,T ), v⟩

V ′, V∀ϕ ∈ D(0, T ).

Observacion 20. En el caso de que f ∈ L1loc((0, T );V ′), la definicion A.6.4 es la

natural. En efecto, sabemos que f se identifica con la distribucion

Tf : ϕ ∈ D(0, T ) 7→ Tf(ϕ) =

∫ T

0

f(t)ϕ(t) ∈ V ′.

Para cada v ∈ V podemos dedinir la aplicacion 〈f, v〉 ∈ L1loc(0, T ) definida por

〈f, v〉 : t ∈ R 7→ 〈f, v〉(t) = 〈f(t), v〉 ∈ R,

que tiene por distribucion asociada

T〈f,v〉 : ϕ ∈ D(0, T ) 7→ T〈f,v〉(ϕ) =

∫ T

0

〈f(t), v〉ϕ(t) ∈ R.

Ahora bien, se tiene que 〈Tf (ϕ)〉 = T〈f,v〉(ϕ) para todo v ∈ V .

Lema A.6.8. Sea u ∈ L1(0, T ;H) y v ∈ V . Entonces

〈∂tu, v〉V ′, V =d

dt(u, v)H en D′(0, T ).

Demostracion. Dada una funcion u ∈ L1(0, T ;H), su derivada temporal siempre sepuede definir en el sentido de las distribuciones en (0,T),

∂tu(ϕ) = −∫ T

0

u ∂tϕ ∀ϕ ∈ D(0, T ).


Como ∂tu ∈ D′((0, T );H) ⊂ D′((0, T );V ′), podemos aplicar la definicion anterior yconstruir la distribucion escalar 〈∂tu, v〉V ′, V mediante

〈∂tu, v〉V ′, V (ϕ) =⟨

〈∂tu, ϕ〉D′(0,T ),D(0,T ), v⟩

V ′, V=

⟨

(−∫ T

0

u ∂tϕ), v

⟩

V ′, V

= −(∫ T

0

u ∂tϕ, v

)

H

,

pues −∫ T

0u ∂tϕ ∈ H .

Por otro lado, podemos definir la distribucion escalar (u, v)H del mismo modo,

(u, v)H(ϕ) =(

〈u, ϕ〉D′(0,T ),D(0,T ), v)

H=

(∫ T

0

uϕ, v

)

H

∀ϕ ∈ D(0, T ).

La derivada de esta distribucion es, a su vez, otro elemento de D′(0, T ),

d

dt(u, v)H(ϕ) = −(u, v)H(∂tϕ) ∀ϕ ∈ D(0, T )

y por la definicion de (u, v)H, es igual a

−(∫ T

0

u ∂tϕ, v

)

H

,

con lo que se comprueba que

〈∂tu, v〉V ′, V =d

dt(u, v)H en D′(0, T ). (A.6.12)

El Lema siguiente se obtiene a partir del Lema 2.2 de [47], considerando la subdife-rencial como una aplicacion de un espacio en su dual.

Lema A.6.9. Sea W un espacio de Hilbert real. Sea ϕ : W → (−∞,+∞] una funcionconvexa, s.c.i. y propia. Sean u ∈ H1(0, T ;W ), v ∈ L2(0, T ;W ′) y v(t) ∈ ∂ϕ u(t) c.p.d.en [0, T ]. Entonces la funcion t 7→ ϕ(u(t)) es absolutamente continua en [0, T ] y

d

dtϕ(u(t)) = 〈w, u′(t)〉W ′, W para todo w ∈ ∂ϕ(u(t)), c.p.d. en [0, T ].

El espacio W (V, V ′). Consideramos dos espacios de Hilbert, reales y separables V, H .Supondremos que V es denso en H por lo que, identificando H con H ′, tenemos lacadena de inclusiones densas

V → H → V ′,

donde → denota inclusion continua.


Definicion A.6.5. Denotamos por W (V, V ′) al espacio

W (V, V ′) = u ∈ L2(0, T ;V ) : ∂tu ∈ L2(0, T ;V ′).

Proposicion A.6.10. El espacio W (V, V ′) dotado de la norma

‖u‖W (V,V ′) =(

‖u‖2L2(0,T ;V ) + ‖∂tu‖2

L2(0,T ;V ′)

)12 =

(∫ T

0

(

‖u(t)‖2V + ‖∂tu(t)‖2

V ′

)

)

12

es un espacio de Hilbert.

Teorema A.6.11. Cada u ∈ W (V, V ′) es, c.p.d. en [0, T ] tiene un representante con-tinuo de [0, T ] en H. De hecho, se tiene que

W (V, V ′) → C0([0, T ];H),

considerando el espacio C0([0, T ];H) con la norma de la convergencia uniforme.

Observacion 21. Es posible tomar en H cualquier norma equivalente a la usual deforma que el Teorema A.6.11 siga siendo cierto. Por ejemplo, tomemos V = H1

0 (Ω) yH = L2(Ω) con las normas usuales. Si µ ∈ L∞(Ω) esta acotada inferiormente por unaconstante positiva, podemos definir un nuevo producto escalar en L2(Ω),

(u, v)µ =

∫

Ω

µ u v ∀u, v ∈ L2(Ω).

Usando el espacio pivote (L2(Ω), ( )µ), la dualidad en V , V ′ opera de forma distintaa la usual. En efecto, tomemos dos funciones, u ∈ L2(0, T ;H1

0(Ω)) y v ∈ H10 (Ω)). De

acuerdo con el Lema A.6.8, podemos decir que la derivada temporal de u es tal que secumple

〈∂tu, v〉H−1(Ω), H10 (Ω) =

d

dt(u, v).

Usando el nuevo espacio pivote, podemos definir una “nueva derivada” del siguientemodo

〈∂µt u, v〉H−1(Ω), H1

0 (Ω) =d

dt(u, v)µ =

d

dt(µu, v),

por lo que∂µ

t u = ∂t(µu) en L2(0, T ;H−1(Ω)).

En cualquier caso, el Teorema A.6.11 sigue siendo valido por lo que, si u ∈ L2(0, T ;H10(Ω)

y ∂t(µu) ∈ L2(0, T ;H−1(Ω), se puede decir que u posee un representante continuo de[0, T ] en L2(Ω).

Lema A.6.12. Denotamos por D([0, T ];V ) al espacio formado por las restricciones a[0, T ] de las funciones de D(R;V ). Entonces

D([0, T ];V ) es denso en W (V, V ′).


Lema A.6.13. Sean u, v ∈W (V, V ′). Entonces

∫ T

0

〈∂tu(t), v(t)〉V ′, V +

∫ T

0

〈u(t), ∂tv(t)〉V ′, V = (u(T ), v(T ))H − (u(0), v(0))H.

Lema A.6.14. Sea u, v ∈W (V, V ′). Entonces

〈∂tu, v〉V ′, V =d

dt(u, v)H − 〈u, ∂tv〉V, V ′ en D′(0, T ).

Demostracion. Consideramos dos suceciones un, vn ∈ C1([0, T ];V ) tales que un → uy vn → v ambas en W (V, V ′). Sabemos que, para cada n ∈ N,

d

dt(u, v)H = (∂tun, vn)H + (∂tvn, un)H .

Gracias a la convergencia de las sucesiones un y vn en W (V, V ′), deducimos que

⟨

dun

dt, vn

⟩

V ′, V

−→⟨

du

dt, v

⟩

V ′, V

en L1(0, T ),

⟨

dvn

dt, un

⟩

V ′, V

−→⟨

dv

dt, u

⟩

V ′, V

en L1(0, T ).

Como ademas un → u y vn → v en C([0, T ];H), entonces (un, vn)H → (u, v)H ytodavıa

d

dt(un, vn)H −→ d

dt(u, v)H en D′(0, T ).

Lema A.6.15. Sean u ∈W (V, V ′) y v ∈ V . Se tiene que

〈∂tu, v〉V ′, V =d

dt(u, v)H en D′(0, T ).

Teorema A.6.16. Sean B0, B y B1 tres espacios de Banach con

B0 ⊂ B ⊂ B1, Bi reflexivos, i = 0, 1, (A.6.13)

la inyeccion B0 → B es compacta. (A.6.14)

Se defineW = v; v ∈ Lp0(0, T ;B0), ∂tv ∈ Lp1(0, T ;B1) ,

donde T es finito y 1 < pi <∞, i = 0, 1. El espacio W , dotado de la norma

‖v‖W = ‖v‖Lp0(0,T ;B0) + ‖∂tv‖Lp1(0,T ;B1),

es un espacio de Banach y, evidentemente, W ⊂ Lp0(0, T ;B0). Entonces, bajo lashipotesis anteriores, la inyecion de W en Lp0(0, T ;B) es compacta.


Proposicion A.6.17. Sean X, B e Y espacios de Banach, X ⊂ B ⊂ Y , con X → Bun embebimiento compacto.

Sea F un subconjunto acotado de Lp(0, T ;X) donde 1 ≤ p ≤ ∞ tal que ∂F/∂t =:∂f/∂t : f ∈ F es acotado en L1(0, T ;Y ). Entonces F es relativamente com-pacto en Lp(0, T ;B).

Sea F un subconjunto acotado de L∞(0, T ;X) y ∂F/∂t acotado en Lr(0, T ;Y )con r > 1. Entonces F es relativamente compacto en C0([0, T ];B).

A.6.2. Los operadores de sustitucion

Sea Ω un abierto de RN . Diremos que una funcion (x, s) 7→ f(x, s) definida sobreΩ × [0, T ] con valores en R, es medible en x y continua en s si se satisfacen lascondiciones siguientes:

la funcion f(·, s) es medible sobre Ω ∀s ∈ R;

la funcion f(x, ·) es continua sobre R c.p.d. en Ω.

Se dice que entonces que f es una funcion de Caratheodory.

Lema A.6.18. Sea Ω un abierto de RN , 1 ≤ p, q < ∞ dos numeros reales y f unafuncion de Caratheodory de Ω×R en R. Se supone que existe un b ≥ 0 y un a ∈ Lq(Ω)tales que la condicion de crecimiento

|f(·, s)| ≤ a(·) + b|s|p/q ∀s ∈ R, c.p.d. en Ω.

se satisface. Para toda funcion medible u de Ω en R, se define un operador B siendo(Bu)(x) := f(x, u(x)). Entonces B es continuo de Lp(Ω) en Lq(Ω).

En la bibliografıa, este tipo de operadores se conocen como operadores de Ne-mitsky u operadores de sustitucion.

Teorema A.6.19. Sean 1 ≤ p ≤ q < N , Ω un abierto de RN y f una funcion de R en

R. Se toma Bu := f(u(·)) para una funcion u de Ω en R. Entonces B es un operadorcontinuo de W 1,p(Ω) en W 1,q(Ω) si y solo si f es localmente lipschitziana y su derivada(que existe c.p.d.) satisface la condicion de crecimiento

∃a, b ≥ 0, |f ′(s)| ≤ a+ b|s|N(p−q)qN−qp ∀s ∈ R.

Si 1 ≤ p ≤ ∞ y f es lipschitziana sobre R entonces, para todo u ∈ W 1,p(Ω), se tieneque B(u) ∈ W 1,p(Ω) y ∇B(u) = f ′(u)∇u c.p.d. en Ω. Ademas, cuando 1 ≤ p < ∞, eloperador B es continuo de W 1,p(Ω) en sı mismo.

Sea f una funcion de Caratheodory. Tomamos

F (x, s) :=

∫ s

0

f(x, σ) dσ. (A.6.15)


Asimismo definimos, en un sentido que sera precisado, el funcional

V (u) :=

∫

Ω

F (x, u(x)) dx. (A.6.16)

Vamos a ver en que condiciones u 7→ V (u) es continua o de clase C1. Primeramentepresentamos el resultado siguiente, que se deduce del Lema A.6.18.

Lema A.6.20. Tomamos a ∈ L1(Ω), b ≥ 0 y 1 ≤ p <∞. Sea F una funcion de Ω× R

en R cumpliendo que

|F (x, s)| ≤ a(x) + b|s|p ∀s ∈ R, c.p.d. en Ω.

Entonces, si F es una funcion de Caratheodory, V definido mediante (A.6.16) es con-tinuo sobre Lp(Ω).

En particular, sea f de Caratheodory y sean a0 ∈ Lp′(Ω), con 1 < p < ∞, p′ =p/(p− 1), y b0 ≥ 0 tales que

|f(·, s)| ≤ a0(·) + b0|s|p−1 ∀s ∈ R, c.p.d. en Ω.

Tomamos F y V definidos mediante (A.6.15) y (A.6.16). Entonces V es de clase C1

sobre Lp(Ω) y se tiene que V ′(u) = f(·, u(·)).

Denotamos 2∗ = 2NN−2

. Recordamos que, por el Teorema A.5.2, H10 (Ω) ⊂ L2∗(Ω) con

inclusion densa y continua. Utilizando el Lema A.6.20, se puede demostrar el siguienteresultado.

Corolario A.6.21. Sea Ω un abierto de RN , con N ≥ 3, y F : Ω×R en R una funcionde Caratheodory, V definido por (A.6.16). Supongamos que existen a ∈ L1(Ω) y b ≥ 0tales que

|F (x, s)| ≤ a(x) + b|s|2∗ ∀s ∈ R, c.p.d. en Ω.

Entonces V es de clase C1 sobre H10 (Ω) y se tiene que V ′(u) = f(·, u). Si ademas Ω

es de clase C1 y acotado, las mismas propiedades son ciertas, reemplazando H10 (Ω) por

H1(Ω).

Proposicion A.6.22. Sea Ω un abierto de RN , p > 2 y f : Ω × R → R una funcionde Caratheodory con f(·, 0) = 0. Supongamos que la aplicacion s 7→ f(x, s) es de claseC1 c.p.d. en Ω y que existen a ∈ Lp/(p−2)(Ω) y b ≥ 0 tales que

|∂sf(·, s)| ≤ a(·) + b|s|p−2 ∀s ∈ R, c.p.d. en Ω.

Tomamos F y V definidos mediante (A.6.15) y (A.6.16). Entonces V es de clase C2 so-bre Lp(Ω), V ′ : Lp(Ω) → Lp/(p−1)(Ω) es uniformemente lipschitziana sobre los acotadosde Lp(Ω) y se tiene que V ′(u) = f(·, u), V ′′(u) = ∂sf(·, u). Mas concretamente, dadosϕ, ψ ∈ Lp(Ω),

V ′′(u)[ϕ, ψ] =

∫

Ω

∂sf(x, u(x))ϕ(x)ψ(x) dx.

A.7. Resultados de existencia y unicidad 135

A.7. Resultados de existencia y unicidad

A.7.1. Un resultado para el problema electromagnetico delelectrodo

Sean V y H dos espacios de Hilbert (sobre R) cumpliendo que V ⊂ H con inyeccioncontinua, V denso en H y V separable. Consideramos una forma bilineal a continuasobre V × V , que cumple la siguiente hipotesis de coercitividad: existen α > 0 y λ ∈ R

tales quea(v, v) + λ‖v‖2

H ≥ α‖v‖2V , ∀v ∈ V.

Formulamos el siguiente problema parabolico general:

Hallar una funcion u ∈ L2(0, T ;V ) ∩ C0([0, T ];H) tal que

d

dt(u(t), v)H + a(u(t), v) = (f(t), v)H , ∀v ∈ V, en D′(0, T ), (A.7.17)

u(0) = u0 (A.7.18)

con u0 ∈ H , f ∈ L2(0, T ;V ′) dados.

Teorema A.7.1. Bajo las hipotesis anteriores, el problema (A.7.17)–(A.7.18) tieneuna solucion y es unica.

La demostracion de este resultado puede verse en [45].

A.7.2. Un resultado para el problema termico del electrodo

Los siguientes resultados han sido extraıdos de [47].Denotamos por H1(0, T ;V ′) el espacio de funciones absolutamente continuas de

[0,T] en V y con derivadas en L2(0, T ;V ′).

Teorema A.7.2 (de existencia). Sea W un espacio de Banach reflexivo y V unespacio de Hilbert, siendo la inclusion i : V → W densa y compacta. Denotaremos pori∗ : W ′ → V ′ el operador dual. Supondremos que se cumplen las siguientes propiedades:

i) ϕ es una funcion convexa, s.c.i. y propia definida en W , continua en un punto deV . Ademas, ∂ϕ i es un operador acotado de V en P(W ′). Definimos el operadorB ≡ i∗ ∂ϕ i.

iii) El operador A : V → P(V ′) es maximal monotono y acotado.

Entonces, para cada f ∈ L2(0, T ;V ′) y cada v0 ∈ B(u0), existe al menos una ternau ∈ H1(0, T ;V ), v ∈ H1(0, T ;V ′) y w ∈ L2(0, T ;V ′) tal que

d

dt(Ru(t) + v(t)) + w(t) = f(t), (A.7.19)

v(t) ∈ B(u(t)), w(t) ∈ A(u(t)) c.p.d. en [0, T ], (A.7.20)

Ru(0) + v(0) = Ru0 + v0, (A.7.21)


siendo R la aplicacion de Riesz, R : V → V ′.

Teorema A.7.3 (de existencia). Sean los espacios V , W y los operadores A, B, ϕen las condiciones del teorema anterior. Supongamos, ademas, las propiedades:

i) La composicion ∂ϕ i esta acotada de L2(0, T ;V ) en L2(0, T ;P(W ′))).

ii) El operador A es acotado de L2(0, T ;V ) en L2(0, T ;P(V ′)) y es coercitivo, es decir,

lım‖u‖L2(0,T ;V ) → +∞

v ∈ Au

∫ T

0v(t) (u(t)) dt

‖u‖L2(0,T ;V )

= +∞.

Entonces, para cada f ∈ L2(0, T ;V ′) y cada v0 ∈ R(B), existe al menos una ternau ∈ L2(0, T ;V ), v ∈ H1(0, T ;V ′) y w ∈ L2(0, T ;V ′) tal que

d

dtv(t) + w(t) = f(t), (A.7.22)

v(t) ∈ B(u(t)), w(t) ∈ A(u(t)) c.p.d. en [0, T ], (A.7.23)

v(0) = v0. (A.7.24)

Observacion 22. El resultado de unicidad que aparece en [47] garantiza la unicidadde la solucion (u, v, w) en un espacio mas pequeno que el suministrado por el teoremade existencia previo. Para evitar este inconveniente, hemos reescrito el resultado deunicidad de [18] para aplicarlo a este caso.

Teorema A.7.4 (unicidad). En las hipotesis del Teorema A.7.2, si ademas A esun operador independiente de t, univaluado, lineal, simetrico y continuo de V en V ′,satisfaciendo

〈Av, v〉V ′, V ≥ α‖v‖2V para algun α > 0, (A.7.25)

entonces el problema (A.7.19)–(A.7.21) tiene una unica solucion (u, v) tal que u ∈H1(0, T ;V ) y v ∈ H1(0, T ;V ′).

Demostracion. Supongamos que el problema (A.7.19)–(A.7.21) admite dos solu-ciones distintas, (u1, v1) y (u2, v2). Definimos, para cada s ∈ [0, T ], la funcion deH2(0, T ;V ),

φs(t) =

−∫ s

t(u1(τ) − u2(τ)) dτ si t < s,

0 en otro caso.

Si restamos las ecuaciones que satisfacen ambas soluciones, las aplicamos a φs(t) eintegramos en tiempo entre 0 y s, obtenemos

∫ s

0

⟨

d

dt

(

Ru1(t) −Ru2(t) + v1(t) − v2(t))

, φs(t)

⟩

V ′, V

dt+

∫ s

0

⟨

A (u1(t) − u2(t)) , φs(t)⟩

V ′, Vdt = 0. (A.7.26)

A.7. Resultados de existencia y unicidad 137

La derivada de φs respecto de t es

φ′s(t) =

u1(t) − u2(t) si t < s,

0 en otro caso.

y por tanto∫ s

0

⟨

d

dt

(

Ru1(t) −Ru2(t))

, φs(t)

⟩

V ′, V

dt =

∫ s

0

⟨

d

dtRφ′

s(t), φs(t)

⟩

V ′, V

dt =

∫ s

0

d

dt〈Rφ′

s(t), φs(t)〉V ′, V dt−∫ s

0

〈Rφ′s(t), φ

′s(t)〉V ′, V dt = −

∫ s

0

‖φ′s(t)‖2

V dt,

pues φs(s) = 0 y φ′s(0) = 0. Del mismo modo,

∫ s

0

⟨

d

dt

(

v1(t) − v2(t))

, φs(t)

⟩

V ′, V

dt =

∫ s

0

d

dt〈v1 − v2, φs(t)〉V ′, V dt−

∫ s

0

〈v1 − v2, φ′s(t)〉V ′, V dt = −

∫ s

0

〈v1 − v2, u1 − u2〉V ′, V dt,

ya que tambien sabemos que v1(0) − v2(0) = 0.Por otro lado, gracias a que A es lineal, simetrico e independiente de t, obtenemos

que

d

dt〈A(φs(t)), φs(t)〉V ′, V = 〈A(φ′

s(t), φs(t)〉V ′, V + 〈A(φs(t), φ′s(t)〉V ′, V =

2 〈A(φs(t), φ′s(t)〉V ′, V ,

por lo que el segundo sumando del primer miembro de (A.7.26) es

∫ s

0

〈A(u1 − u2), φs(t)〉V ′, V dt =

∫ s

0

〈A(φ′s(t)), φs(t)〉V ′, V dt =

1

2

d

dt

⟨

Aφs(t), φs(t)⟩

V ′, Vdt = −1

2

⟨

Aφs(0), φs(0)⟩

V ′, V.

Resumiendo, la ecuacion (A.7.26) queda∫ s

0

‖φ′s(t)‖2

V dt+

∫ s

0

〈v1(t) − v2(t), u1(t) − u2(t)〉V ′, V dt+1

2

⟨

Aφs(0), φs(0)⟩

V ′, V= 0.

Debido a la monotonıa de B y a la propiedad (A.7.25) de coercitividad de A, todoslos terminos son no negativos, por lo que deben ser nulos:

∫ s

0

‖φ′s(t)‖2

V dt = 0,

∫ s

0

⟨

v1(t) − v2(t), u1(t) − u2(t)⟩

V ′, V= 0,

α‖φs(0)‖2V = 0.


De la primera igualdad se deduce que

u1(t) = u2(t) c.p.d. en [0, T ].

Como ambas son solucion de la ecuacion (A.7.19), encontramos que

dv1

dt=

dv2

dten D′(0, T ;V ′).

Ademas, ambas soluciones parten de la misma condicion inicial. Se deduce ası quetambien v1 y v2 coinciden.

Corolario A.7.5 (unicidad). En las hipotesis del Teorema A.7.3, si ademas A esun operador independiente de t, univaluado, lineal, simetrico y continuo de V en V ′,cumpliendo (A.7.25), entonces el problema (A.7.22)–(A.7.24) tiene una unica solucion(u, v) tal que u ∈ L2(0, T ;V ) y v ∈ H1(0, T ;V ′).

A.7.3. Un resultado para el problema de la colada

El siguiente resultado ha sido extraıdo de [18].Sean V y H dos espacios de Hilbert, tales que V ⊂ H con inclusion densa y com-

pacta. Identificamos H con su dual H ′.Sea ΦA un funcional convexo continuo de V en R. Se denota por A = ∂ΦA la

subdiferencial de ΦA. Suponemos que:

A es acotado sobre los acotados de V, (A.7.27)

∃λ > 0, ∃α > 0 tal que λ‖u‖2H + ΦA(u) ≥ α‖u‖2

V . (A.7.28)

ΦB designa un funcional convexo continuo de H en R, y B = ΦB es su subdiferencial.Suponemos ademas que se cumplen las siguientes propiedades:

B es acotado sobre los acotados de H, (A.7.29)

ΦB es fuertemente convexo con constanteω

2> 0, es decir,

ΦB((1 − λ)v1 + λv2) ≤ (1 − λ)ΦB(v1) + λΦB(v2) −1

2ωλ(1 − λ)‖v1 − v2‖2

H . (A.7.30)

Se define un operador C de L2(0, T ;V ) en L2(0, T ;H) de la forma siguiente:

(Cu)(t) = Ct(u(t)) c.p.d. en [0, T ],

donde Ct es una familia de operadores (no lineales) de V en H con

‖Ctu‖H ≤M‖u‖V . (A.7.31)

Supondremos que C cumple la hipotesis siguiente:

si uj, u ∈ L2(0, T ;V ) y si uj → u en L2(0, T ;H) fuerte, existe

una subsucesion ujm tal que Cujm Cu en L2(0, T ;V ′) debil.(A.7.32)

A.8. Otros resultados 139

f designa a una funcion dada satisfaciendo

f ∈ L∞(0, T ;V ′),df

dt∈ L2(0, T ;V ′). (A.7.33)

Se considera el problema:

d

dtBu+ Au+ Cu 3 f en D′((0, T );X), (A.7.34)

u(0) = u0; (Bu)(0) 3 ξ con u0 ∈ V ; ξ ∈ H, u0 y ξ dados con ξ ∈ Bu0. (A.7.35)

Se tiene el siguiente resultado de existencia:

Teorema A.7.6. Bajo las hipotesis (A.7.27)–(A.7.33), el problema (A.7.34)–(A.7.35)admite una solucion en el sentido siguiente:

existen u y v tales que

u ∈ L∞(0, T ;V ); dudt

∈ L2(0, T ;H),

v ∈ L2(0, T ;H); dvdt

∈ L∞(0, T ;V ′),

−dvdt

+ f − Cu ∈ Au c.p.d. en [0, T ],

v(0) = ξ en V ′, u(0) = u0 en H,

v(t) ∈ Bu(t) c.p.d. en [0, T ].

Consideremos las hipotesis adicionales:

A es un operador lineal simetrico, acotado de V en V ′, (A.7.36)

‖Ctu1 − Ctu2‖V ′ ≤ K‖u1 − u2‖H , ∀u1, u2 ∈ V. (A.7.37)

Se tiene el siguiente resultado de unicidad:

Teorema A.7.7. Bajo las hipotesis (A.7.27)–(A.7.33), (A.7.36) y (A.7.37), la soluciondel problema (A.7.34)–(A.7.35) es unica.

A.8. Otros resultados

Lema A.8.1 (desigualdad de Holder para series). Sean bn y cn dos sucesionesen R cumpliendo que 0 < bn · cn, para todo n ∈ N. Entonces, para 1 ≤ p ≤ ∞,

∞∑

n=1

bn · cn ≤( ∞∑

n=1

|bn| p)1/p( ∞

∑

n=1

|cn| q)1/q

,

con 1p

+ 1q

= 1.


Lema A.8.2 (de Gronwall). Sea y(t) una funcion absolutamente continua, no nega-tiva en [0, T ], con y(0) = 0 y tal que

d

dty(t) ≤ c(t)y(t) + F(t),

con funciones c(t) y F(t) no negativas e integrables en [0, T ]. Entonces

y(t) ≤ exp

(∫ t

0

c(τ)dτ

)∫ t

0

F(τ)dτ.

Teorema A.8.3 (Teorema de punto fijo de Schauder). Sea R un espacio deBanach, sea T un operador continuo de un conjunto convexo y cerrado M ⊂ R ensı mismo y sea T (M) relativamente compacto en R. Entonces el operador T tiene almenos un punto fijo.

Teorema A.8.4 (Teorema de punto fijo de Schauder, 2a version). Sea D unsubconjunto acotado, cerrado y convexo de un espacio de Banach B y sea T una apli-cacion continua de D en sı mismo. Si ademas T es una aplicacion compacta, entoncesT tiene un punto fijo en D.

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