TRABAJO MONOGRÁFICO CONTROL POR RETROALIMENTACIÓN DE LA TEMPERATURA DEL ISOCIANATO DE METILO (MIC) A LA SALIDA DE UN TANQUE RODEADO POR UNA CHAQUETA DE ENFRIAMIENTO, PERTURBADO POR CAMBIOS DE LA TEMPERATURA DE ENTRADA DEL ISOCIANATO DE

METILO

2010

Curso: Control de Procesos

Nombre: Loaiza Murillo Juan Código: 06070028

Control de Procesos

1) TITULO:

CONTROL POR RETROALIMENTACIÓN DE LA TEMPERATURA DEL ISOCIANATO DE METILO (MIC) A LA SALIDA DE UN TANQUE RODEADO POR UNA CHAQUETA DE ENFRIAMIENTO, PERTURBADO POR CAMBIOS DE LA TEMPERATURA DE ENTRADA DEL ISOCIANATO DE METILO

2) DESCRIPCIÓN BREVE DEL PROCESO:

La síntesis en escala industrial del isocianato de metilo involucra la participación de varios intermediarios químicos, siendo el monóxido de carbono y el fosgeno parte importante del proceso de producción.El monóxido se obtiene al combustionar el coque en un horno, para después hacer reaccionar el monóxido de carbono con cloro y así formar el fosgeno. Tanto el monóxido de carbono como el fosgeno se utilizan después de sus síntesis. Fosgeno y metilamina reaccionan en fase gaseosa para dar cloruro de N-metil carbamoílo (MCC). Los productos de reacción son luego atrapados en cloroformo y pasados a un separador, de donde se separa y recicla el fosgeno excedente. La cola de esta destilación alimenta un pirolisador, donde MCC se descompone para dar MIC y HCl, que es separado. En el último paso, MIC es separado del cloroformo por destilación y transferido directamente a los tanques de almacenamiento.

Las reacciones son:

2C (coque )+O2→2CO

CO+Cl2→COCl2( fosgeno)COCl2+CH3 NH 2→CH3 NHCOCl(MCC)+HClCH 3NHCOCl (MCC )→CH3 NCO(MIC )+HCl

El diagrama de bloques del proceso es el siguiente:

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3) ENUNCIADO DEL PROBLEMA:

Una vez producido el isocianato de metilo en el proceso es almacenado en grandes tanques refrigerados para posteriormente ser usado en algún otro proceso. Para este proceso se plantea colocar un tanque con una chaqueta de enfriamiento previo al paso del MIC hacia los tanques de almacenamiento.El objetivo de este proceso será asegurar que el isocianato de metilo llegue a los tanques de almacenamiento bajo las condiciones de estabilidad de la sustancia en cuestión.Es necesario controlar la temperatura a la que sale el MIC del tanque, pues las temperaturas elevadas facilitan la descomposición por polimerización, por ello se hace necesario mantener la temperatura a valores bajos mediante un sistema de control.

4) RAZONES PRINCIPALES PARA EL CONTROL DEL PROCESO

Variable TemperaturaSeguridad El isocianato de metilo es inestable a temperaturas

altas (descomposición por polimerización). De no controlarse la temperatura podría sucederse una explosión, tanto en este proceso como en el almacenamiento (conforme el MIC disminuye la temperatura aumenta y la presión también).

Operatividad Una posible fuga del MIC puede ocasionar la muerte de las personas que entren en contacto con ella (en el accidente de Bhopal se produjeron entre 2500 y 4000 muertes). Es extremadamente irritante y tóxico, al igual que sus productos de combustión (HCN, NOx y CO).

Ambiental La combustión del MIC puede generar gases tóxicos como HCN, óxidos de nitrógeno (genera la lluvia ácida) y monóxido de carbono

Eficiencia Al mantener el MIC a la temperatura deseada no se generará ningún producto y el MIC podrá ingresar al proceso subsiguiente a la mayor concentración posible. Aumentará la eficiencia del proceso.

Otro Permitirá el ingreso del MIC a los tanques de almacenamiento a la temperatura deseada, minimizando la refrigeración en los tanques de almacenamiento.

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5) ESQUEMA DEL PROCESO SIN CONTROL (LAZO ABIERTO)

Tendremos que:

Variable de control:

T (t )

Variable de manipulación: f c(t)

Variable de perturbación: T i(t )

Variable de estado:

T c(t)

Corriente 1 Sustancia: CH 3NCO (MIC ) (l)

f [ m3

min ] ; T i(t ) [ ºC ] ; c p[ KJKg . ºC ]; ρ[ Kgm3 ]

Corriente 2 Sustancia: CH 3NCO (MIC ) (l)

f [ m3

min ] ; T (t ) [ ºC ] ; c p[ KJKg . ºC ]; ρ[ Kgm3 ]

Corriente 3 Sustancia: Salmuera (25 % de Cl2Ca en agua)

f c(t) [ m3

min ] ; T c(t) [ ºC ] ; c pc [ KJKg . ºC ]; ρc [ Kgm3 ]

Corriente 4 Sustancia: Salmuera (25 % de Cl2Ca en agua)

f c(t) [ m3

min ] ; T ci [ ºC ] ; c pc [ KJKg . ºC ]; ρc [ Kgm3 ]

Volumen del tanque

V [m3 ]

Volumen de la chaqueta

V c [m3 ]

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6) DEFINICIÓN DEL SISTEMA Y PROCESO:

Información del proceso:

V=60m3 ;con 13mde largo y 2.43m de diámetro V c=15m3

ρ=960Kg

m3

c p=1.68KJ

Kg .ºC

ρc=1200Kg

m3

c pc=0.730KJ

Kg. ºC A=99.2m2

U=28.4KJ

min .m2 .ºC

Valores en Estado Estacionario:

f=0.699m3

min

f c=16.080m3

min T i=10 ºC T=0 ºC T c=−4 ºC T ci=−12 ºC

7) LISTA DE PRESUNCIONES:

El agitador tiene un ángulo de entrada de 60º, cuyo eje se sitúa a 1/3 de la altura total del tanque. Además, se considera que la agitación es perfecta en el tanque.

La capacidad calorífica de la chaqueta (que está hecha de acero para poder soportar el paso del MIC) se puede considerar muy inferior al sistema de intercambio de calor.

El área transversal del tanque es constante (como se observa en el esquema del proceso). Nivel de fluido de proceso en el tanque es constante (el tanque está completamente

lleno). El tanque está completamente cerrado, por tanto no hay pérdidas por evaporación del

fluido en el tanque. La pared externa de la chaqueta y el tanque tiene aislamiento térmico. No hay pérdidas de

calor al ambiente. Propiedades físicas constantes, sean estos densidad, capacidad calorífica, constante de

transferencia de calor, etc. La variación de la temperatura no las afecta significativamente.

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La chaqueta de enfriamiento esta siempre llena de fluido entonces el volumen del líquido en la chaqueta es constante.

Los dos fluidos son incomprensibles de modo que Cp=Cv

8) DESARROLLO DEL MODELO MATEMÁTICO: Balance de masa en estado dinámico:

Aplicamos el balance de materia tanto al tanque como a la chaqueta

Para el tanque:

ρ f ¿−ρ f out=d (ρV )dt

ρ [ f ¿−f out ]= ρd (V )dt

f ¿=f out=f Comodensidades soniguales , y volumenconstante

Para la chaqueta de enfriamiento:

ρc fc∈¿−ρc f c out=

d ( ρcV c)dt

¿

ρc ¿

f c∈¿=f c out=f cComodensidades soniguales , y volumen constante¿

Balance de energía en estado dinámico:

Aplicamos el balance de materia tanto al tanque como a la chaqueta

En el tanque:

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fρCpT i(t)−UA [T (t )−T c (t )]−fρC pT (t )=VρC v

dT (t )

dt

1 Ecuación,2incógnitas [T (t ), T c(t) ]

fρCp [T i(t)−T (t) ]−UA [T (t)−Tc (t )]=VρC v

dT (t )

dt

fV

[T i( t)−T (t) ]− UAVρCp

[T ( t)−Tc (t )]=d T ( t)

dt(1)

En la chaqueta de enfriamiento:

f c(t) ρcCpcT c i(t )+UA [T (t )−T c(t )]−f c(t )ρcCpc T c(t )=V c ρcC vc

dT c(t)

dt

2 Ecuaciones ,2 incógnitas [T (t ) , Tc (t )]

f c(t) ρcCpc [T c i−T c(t) ]+UA [T (t )−T c(t )]=V c ρcC v c

d Tc (t )

dt

f c (t )

V c[T c i−T c(t)]+ UA

V c ρcC pc[T (t)−Tc (t )]=

d T c(t )

dt

f c (t )

V c

T c i−f c (t )

V c

T c( t)+UA

V c ρcC pc[T ( t)−T c(t )]=

d T c( t)

dt(2)

9) ECUACIONES EN ESTADO ESTACIONARIO:

En el tanque:

fρCpT i(t0)−UA [T (t0)

−Tc (t 0)]−fρC pT (t 0)=0

fρCpT i−UA [T−Tc ]−fρC pT=0

fρCp [T i−T ]−UA [T−Tc ]=0

fV

[T i−T ]− UAρC pV

[T−T c ]=0(3)

En la chaqueta:

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f c ρ cCpc T ci (t 0)+UA [T (t0)

−T c(t 0)]−f c ρcC pcT c(t0 )=0

f c ρ cCpc T ci+UA [T−T c ]−f c ρcC pcT c=0

f c ρ cCpc [T ci−T c ]+UA [T−Tc ]=0

f c

V c[T ci−T c ]+ UA

ρcC pcV c[T−T c ]=0(4)

10) LINEALIZANDO LAS ECUACIONES Y EXPRESÁNDOLOS EN TÉRMINOS DE VARIABLES DE DESVIACIÓN:

Del balance en la chaqueta de enfriamiento, el producto de la temperatura en la chaqueta de enfriamiento con su temperatura es una función no lineal, por ello es necesario linealizarlo mediante series de Taylor.

f [ f c (t ) ,T c(t )]=f c (t )T c(t )=f cT c+ f c [T c(t)−Tc ]+T c [ f c (t )−f c ]

Reemplazando en (2)

f c (t )

V c

T c i−f c Tc+ f c [T c(t )−T c ]+T c [ f c (t )−f c ]

V c

+ UAV c ρcC pc

[T (t )−T c(t) ]=dT c(t )

dt(5)

Restando las ecuaciones del balance en estado dinámico (ecuaciones (1) y (5)) y estacionario (ecuaciones (3) y (4)), cada cual con su correspondiente, tendremos:

En el tanque:

fV [ (T i (t )−T i )−(T (t)−T ) ]− UA

VρC p[ (T (t )−T )−(T c(t)−T c) ]=

d [T (t )−T ]dt

(6)

En la chaqueta:

T ci−f cV c

T c i−f c T c+ f c [T c(t )−T c ]+Tc [f c ( t )−f c]

V c

+f cV c

Tc+UA

V c ρcCpc[ (T (t)−T )−(T c(t )−T c )]=

d [T c(t)−Tc ]dt

Tc i

V c( f c(t )−f c )−

f c [T c(t)−T c]+T c [ f c (t )−f c ]V c

+ UAV c ρcC pc

[ (T (t )−T )−(T c(t)−Tc ) ]=d [T c(t )−T c ]

dt(7)

Definiendo las variables de desviación:

T (t )=T (t )−T

T i (t )=T i (t )−T i

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Tc(t )=T c(t)−Tc

Ϝc(t)=f c (t )−f c

Reemplazando las variables de desviación en (6) y (7) tendremos:

En el tanque:

fV

[T i(t )−T(t )]− UAVρC p

[T(t )−Tc(t )]=d T(t)

dt(8)

En la chaqueta:

Tc i

V c

Ϝc(t)−f c Tc (t )+T cϜc(t)

V c

+ UAV c ρcC pc

[ T(t )−Tc (t )]=d Tc(t )

dt(9)

11) LAS ECUACIONES FINALES EN EL ESPACIO DE LAPLACE

Agrupando las ecuaciones con sus símiles:

En el tanque:

fV

T i(t )+UAVρC p

Tc (t )=d T(t)

dt+ UAVρC p

T(t )+fV

T(t)

fV

T i( t )+UAVρC p

Tc (t )=d T( t)

dt+ UAVρC p

T( t )+fρC p

VρCp

T( t)

fρCp

VρC p

T i(t)+UAVρC p

Tc(t )=d T(t)

dt+UA+ fρC p

VρC p

T(t )

k 1T i(t )+k2 Tc (t )=τ1

d T(t)

dt+T(t )(10)

k 1=fρC p

UA+ fρC p

, sindimensiones

k 2=UA

UA+ fρC p

, sindimensiones

τ1=VρCp

UA+ fρC p

, enminutos

En la chaqueta:

Tc i

V c

Ϝc( t)−T c

V c

Ϝc( t )+UA

V c ρcC pc

T( t )=d Tc (t )

dt+ UAV c ρcC pc

Tc( t)+f cV c

Tc( t )

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UAV c ρ cCp c

T(t )−(T c

V c

−T c i

V c)Ϝc(t )=

d Tc(t )

dt+UA+ f c ρ cCp c

V c ρcC pc

Tc (t )

k 3T (t )−k4 Ϝc (t )=τ2

d Tc (t )

dt+T c(t)(11)

k 3=UA

UA+ f c ρcC pc

, sindimensiones

k 4=T c ρcCpc−T c i ρ cC pc

UA+ f c ρcC pc

,ºC . sm3

τ 2=V c ρ cCp c

UA+ f c ρcC pc

, enminutos

Aplicando transformada de Laplace:

En el tanque:

De la ecuación (10):

L{k1 Ti(t )}+¿ L{k2 Tc(t )}=¿L{τ1

d T(t )

dt }+¿ L{T(t )}

k 1L{Ti (t )}+¿ k 2L{Tc (t )}=τ1L{d T(t )

dt }+¿ L{T(t )}

k 1T i(s)+k2 Tc (s)=τ1 sT(s)+T(s)

k 1T i(s)+k2 Tc (s)=( τ1 s+1 ) T(s)(12)

En la chaqueta:

De la ecuación (11):

L{k3 T(t )}−¿ L{k4 Ϝc (t )}=¿L{τ2

d Tc(t )

dt }+¿ L{Tc (t )}

k 3L{T(t )}−¿ k 4L{Ϝc(t )}=τ2L{d Tc(t )

dt }+¿ L{Tc (t )}

k 3T (s )−k 4 Ϝc(s )=τ2 sTc(s)+Tc(s )

k3

τ2 s+1T(s )−

k4

τ2 s+1Ϝc (s)=Tc(s )(13)

Reemplazando (13) en (12):

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k 1T i(s)+k2( k3

τ2 s+1T(s)−

k4

τ2 s+1Ϝc (s ))=(τ1 s+1 ) T(s)

k 1T i(s)−k2 k 4

τ2 s+1Ϝc(s )=( τ1 s+1 ) T(s )−

k2 k3

τ2 s+1T(s )

k 1T i(s)−k2 k 4

τ2 s+1Ϝc(s )=

(τ1 s+1 ) (τ2 s+1 )−k2 k3

τ2 s+1T(s )

T ( s)=[ k1

(τ1 s+1 ) (τ2 s+1 )−k2 k3

τ2 s+1 ]Ti ( s )−[ k2 k4

τ 2s+1

( τ1 s+1 ) ( τ2 s+1 )−k2 k3

τ 2s+1]Ϝc ( s )

T ( s)=[ k1 ( τ2 s+1 )τ1 τ2 s

2+(τ1+τ2 ) s+1−k2 k3 ]Ti ( s)−[ k2 k 4

τ1 τ2 s2+( τ1+τ2 ) s+1−k 2k3 ]Ϝc ( s)

T ( s)=( k1

1−k2 k3)[ (τ2 s+1 )

τ1τ2

1−k2 k3

s2+(τ1+τ2)1−k 2k 3

s+1 ]Ti ( s)−( k2 k4

1−k2 k3)[ 1

τ 1τ2

1−k2 k3

s2+(τ1+τ 2)1−k 2k 3

s+1 ]Ϝc ( s )

Finalmente:

T ( s )

T i (s )

=( k1

1−k2 k3)[ (τ2 s+1 )

τ1τ2

1−k2 k3

s2+(τ1+τ2)1−k 2k 3

s+1 ](14)

T (s )

Ϝc ( s)=( −k2 k4

1−k2 k3)[ 1

τ1 τ2

1−k2k 3

s2+( τ1+τ2 )1−k2 k3

s+1 ](15)

12) LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL PROCESO EN LAZO ABIERTO Y DESARROLLO DEL DIAGRAMA DE BLOQUES:

Función de transferencia del proceso:

G p (s)=T (s )

Ϝc (s )=( −k2 k4

1−k2 k3)[ 1

τ1 τ2

1−k2 k3

s2+( τ1+τ2 )1−k2 k3

s+1 ]Reemplazando los datos numéricos tendremos:

G p (s)=−0.337

21.64 s2+28.728 s+1= −0.337

(s+0.035 )(s+1.291)(16)

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Función de transferencia de la perturbación:

G x(s)=T (s )

Ti ( s)

=( k 1

1−k 2k 3)[ ( τ2 s+1 )

τ1 τ2

1−k 2k 3

s2+( τ1+τ2 )1−k2 k3

s+1 ]Reemplazando los valores numéricos tendremos:

G x(s)=0.325(0.777 s+1)

21.64 s2+28.728 s+1=

0.325(0.777 s+1)(s+0.035 )(s+1.291)

(17)

El diagrama de bloques del proceso en lazo abierto es el siguiente:

13) OBTENCIÓN DE LA RESPUESTA EN EL TIEMPO A UN CAMBIO TIPO ESCALÓN:

Función de transferencia de la perturbación:

Teniendo de (17):

G x(s)=T (s )

Ti ( s)=

0.325 (0.777 s+1)21.64 s2+28.728 s+1

A un cambio tipo escalón de la temperatura de entrada (función de forzamiento):

T i (s )=1s

Multiplicándolo por la función de transferencia:

T (s )=0.325(0.777 s+1)

21.64 s2+28.728 s+1x

1s

T (s )=0.325(0.777 s+1)

21.64 s3+28.728 s2+s

T (s )=0.325(0.777 s+1)

(s+0.035 )(s+1.291)s

Descomponiendo en fracciones parciales:

T (s )=A1

(s+0.035 )+

A2

(s+1.291)+A3

s

A1= lims→−0.035

(s+0.035)T ( s)=−7.192

A2= lims→−1.291

(s+1.291)T (s )=−0.000623

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Control de Procesos

A3=lims→0

sT (s )=7.193

Reemplazando los valores hallados:

T (s )=−7.192

(s+0.035 )+−0.000623

(s+1.291)+ 7.193

s

Hallando la transformada inversa de Laplace tendremos:

T (t )=−7.192 e−0.035 t−0.000623 e— 1.291t+7.193

En el Matlab tendremos:

>> h=tf([0.2525 0.325],[21.64 28.728 1])

Transfer function:

0.2525 s + 0.325

-----------------------

21.64 s^2 + 28.73 s + 1

>> j=tf([0 1],[1 0])

Transfer function:

1

-

S

>> H = h * j

Transfer function:

0.2525 s + 0.325

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Control de Procesos

-------------------------

21.64 s^3 + 28.73 s^2 + s

>> t=0:0.5:500;

step(H,t)

Función de transferencia del flujo del refrigerante:

Teniendo de (16):

G p (s)=T (s )

Ϝc (s )= −0.337

(s+0.035 )(s+1.291)

A un cambio tipo escalón del flujo de refrigerante (función de forzamiento):

Ϝc ( s)=1s

Multiplicándolo por la función de transferencia:

T (s )=−0.337

(s+0.035 )(s+1.291)x

1s

T (s )=−0.337

21.64 s3+28.728 s2+s

T (s )=−0.337

(s+0.035 )(s+1.291)s

Descomponiendo en fracciones parciales:

T (s )=A1

(s+0.035 )+

A2

(s+1.291)+A3

s

A1= lims→−0.035

(s+0.035)T ( s)=7.667

A2= lims→−1.291

(s+1.291)T (s )=−0.2078

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Control de Procesos

A3=lims→0

sT (s )=7.193 = -7.458

Reemplazando los valores hallados:

T (s )=7.667

(s+0.035 )+ −0.2078

(s+1.291)+−7.458

s

Hallando la transformada inversa de Laplace tendremos:

T (t )=7.667e−0.035 t−0.2078e— 1.291 t−7.458

En el Matlab tendremos:

>> h1=tf([-0.337],[21.64 28.728 1])

Transfer function:

-0.337

-----------------------

21.64 s^2 + 28.73 s + 1

>> j=tf([0 1],[1 0])

Transfer function:

1

-

s

>> H = h1 * j

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Control de Procesos

Transfer function:

-0.337

-------------------------

21.64 s^3 + 28.73 s^2 + s

>> t=0:0.5:130;

step(H,t)

14) ESQUEMA DEL PROCESO CON EL SISTEMA DE CONTROL. ESTO ES SENSOR-TRANSMISOR, CONTROLADOR, TRANSDUCTOR (CONVERTIDOR DE SEÑAL) Y VÁLVULA DE CONTROL:

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15) FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PARA EL SENSOR TRANSMISOR, CONSIDERANDO TIEMPO MUERTO:

Se trabaja con el sensor de temperatura tipo MBT 5250, es de contacto, se calibra para un rango de - 10ºC a 30 ºC, con un tiempo de respuesta de 0.05 min. La dinámica es de primer orden

H (s)=k t

τ t s+1

La ganancia es:

k t= ΔC(t )

ΔT (t )

= 20−4 mA

30−(−10 ) ºC=16 mA

40 º C=0.4

mAº C

Con un tiempo de respuesta de 0.05 min tendremos:

H (s)=0.4

mAº C

0.05 s+1

Como se puede ver del esquema del proceso, no existe una línea de transferencia que genere un tiempo muerto, pues la temperatura se toma directamente del tanque, pero cuando la temperatura del flujo de entrada al tanque cambia esto no es detectado en un primer momento por el sensor hasta que este fluido llena una parte considerable del tanque. Por ello considerando al tiempo muerto como el 2% del tiempo en que el flujo del MIC llena el volumen del tanque tendremos:

t 0=2min

H (s)=0.4

mAº C

0.05 s+1e−2 s

Aproximando con Padé tendremos:

e−t 0 s=

1−12t 0 s

1+12t0 s

Reemplazando tendremos:

e−2 s=1−s1+s

Finalmente:

H (s)=0.4

0.05 s+1 (1−s1+s )

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16) FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PARA LA VÁLVULA:

Hallando el coeficiente de la válvula:

Debemos determinar la caída de presión del punto 1 al punto 2 de la gráfica anterior. Esto lo hacemos mediante la ecuación de Bernoulli modificada.

P1

γ+v1

2

2g+z1=

P2

γ+v2

2

2g+z2+hf+hW

v1=v2=0La tuberiaes delmismodiámetro

hW=0 No se realizatrabajo entre los puntos 1 y2

P1−P2

γ+9m=hf

Las pérdidas por fricción vienen a ser:

h f=hL+hm

Donde:

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2

Control de Procesos

hL :Pé rdidas por fricci ó nenel tramode tuberia recta

hL=f Dv

2L2 Dg

hm:Pé rdidas por fricci ónenaccesorios , equipo, y otros

hm=∑ K v2

2 g

Hallando la velocidad de flujo de la salmuera, a partir del flujo de agua que va a la chaqueta

de enfriamiento( f c=16.080m3

min ), por recomendaciones para un sobredimensionamiento:

Qmax=2 f c

Qmax=32.16m3

min=0.536

m3

s

Usando el siguiente nomograma extraído del libro de mecánica de fluidos del Crane (página 3 - 11) podremos encontrar el valor de velocidad media.v=20

ms

Ahora, para hallar el valor del diámetro de la tubería usaremos la ecuación de continuidad:

Q=A . v

0.536m3

s=A .20

ms

π D2

4=A=0.0268m2

D=√ 4 (0.0268m2)π

D=0.185m

Por lo tanto, debemos usar una tubería de 8” de diámetro nominal (8” Cd 40, de acero comercial). Su diámetro interno es de 0.2027 m (Hallado en el apéndice XXXI del libro de flujo de fluidos de Valiente)

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Ahora podremos hallar el número de Reynold, para ello necesitamos conocer la viscosidad del fluido:

μ=2.8x 10−3 Kgm.s

Apéndice XX del libro de flujo de fluidos de Valiente

ℜ=Dvρμ

ℜ=(0.185m)(20

ms )(1200

Kg

m3 )2.8 x10−3 Kg

m. s

ℜ=1.59 x106

Para hallar el valor del factor de Darcy es necesario encontrar el valor de rugosidad relativa, para ello haremos uso nuevamente del libro de flujo de fluidos de Valiente (Apéndice XXV)

ϵD

=0.00025

Reemplazando la rugosidad relativa y el número de Reynold en la ecuación de Colebrook y mediante iteraciones podremos hallar el factor de Darcy:

1

√ f D=−2 log( ε

D .3,7+

2,5N ℜ√ f D )

f D=0.014912

Hallando ahora los valores de k para las pérdidas menores desde el punto 1 al punto 2 del sistema (Apéndice XXVII)

1codode 90º corto=0.9

1Te pasoderecho=0.4

Total=1.3

Finalmente, reemplazando en hL y hm tendremos:

hL=(0.014912 )(20

ms )

2

49m

2 ( 0.2027m )(9.8ms2 )

hL=¿ 73.57 m

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hm=(1.3 )(20

ms )

2

2(9.8ms2 )

hm=¿26.53 m

h f=73.57 m+¿26.53 m

h f=100.1m

Regresando a la expresión anterior:

P1−P2

γ+9m=100.1m

∆ Pγ

=91.1m

∆ P=91.1mx (1200Kgm3 )x ( 1 Kgf

1 Kg ) x ( 1m2

104 cm2 ) x( 14.2 psi

1Kgf

cm2 )=155.23 psi

Asumiendo que la caída de presión de la válvula es el 25% de la caída de presión total tendremos:

∆ PV

∆ PT+∆ PV

=0.25

∆ PV

155.23 psi+∆PV

=0.25

∆ PV=51.74

Luego, de la ecuación de dimensionamiento de la válvula:

Q=C v . vp .√ ∆PV

G f

Usando los valores que habíamos calculado:

∆ PV=51.74 psi

Gf=1.2

Como Q=0.536m3

s=850 gpm en el sobrediseño, entonces vp=1

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850 gpm=C v .1 .√ 51.74 psi1.2

C v=129.45 gpm

Acción de la válvula:

El tipo de acción de la válvula es abierta en falla, ya que se trata de una válvula que regula el flujo del refrigerante hacia el tanque, de ocurrir algún problema es preferible que la válvula quede completamente abierta por motivosde seguridad, pues la temperatura del MIC puede aumentar y ocurrir, de esta manera, una explosión.

Cálculo de la función de transferencia:

La válvula de control se puede representar mediante un retardo de primer orden con una constante de tiempo de 0.5 min

Gv (s)=kv

τ v s+1

Ganancia de la válvula:

Las ganancias que se producen en la válvula se pueden describir mediante el siguiente diagrama de bloques

k v=kmk vpk f

Donde:

k f=∆ f c(t )

∆ vp(t)

=C v √∆ PV

Gf

=Qmax

k f=850gpm

k vp=∆ vp(t)

∆ m(t)

= 0−1(15−3 ) psi

= −112 psi

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km=(15−3 ) psi(20−4 )mA

=0.75psimA

k v=(0.75psimA )( −1

12 psi ) (850 gpm)

k v=−53.125gpmmA

Función de transferencia de la válvula:

Gv (s)=−53.1250.5 s+1

17) USANDO CONTROLADOR PID:

Es recomendable usar un controlador tipo PID en este proceso, pues la variable que se desea controlar es la temperatura a la salida del tanque. La temperatura a la salida del MIC tiene constante del tiempo grande, lo cual implica que la manifestación de un cambio en el proceso es lenta, y por tanto este no será muy sensible al ruido, factor indispensable para usar este tipo de controlador.

Usar este tipo de control hace que el proceso al perturbarse demore más tiempo en regresar al punto de control, pero disminuye las oscilaciones y el sobrepaso alrededor del punto de control, lo cual es apreciablemente bueno para el mantenimiento de la válvula de control.

Gc(s )=k c(1+1τ I s

+τD s)Los tres parámetros (k c , τ I , τD )se deben ajustar para tener un control satisfactorio, pero para

ello primero debemos trabajar como si tuviéramos un controlador del tipo proporcional, para después hallar los valores óptimos mediante el método de Zieger Nichols.

18) ECUACIÓN CARACTERÍSTICA:

1+H (s)Gv(s )Gc (s )G p (s)=0

1+FTCA=0

Donde:

FTCA=H (s)Gv(s )Gc (s)G p(s)

FTCA ( funciónde transferencia decircuito abierto)

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FTCA=[ 0.40.05 s+1 ( 1−s

1+s )](−53.1250.5 s+1 ) [kc ] [ −0.337

( s+0.035 )(s+1.291) ]

Usando el Matlab tendremos:

Transfer function:

-7.161 s + 7.161

-----------------------------------------------------------

0.541 s^5 + 13.16 s^4 + 50.09 s^3 + 66.74 s^2 + 30.28 s + 1

Finalmente tendremos:

FTCA=(−7.161 s+7.161 )k c

0.541 s5+13.16 s4+50.09 s3+66.74 s2+30.28 s+1

Y la ecuación característica:

1+(−7.161 s+7.161 ) kc

0.541 s5+13.16 s4+50.09 s3+66.74 s2+30.28 s+1=0

0.541 s5+13.16 s4+50.09 s3+66.74 s2+30.28 s+1+ (−7.161 s+7.161 ) kc=0

0.541 s5+13.16 s4+50.09 s3+66.74 s2+( 30.28−7.161kc ) s+(1+7.161kc )=0

19) ANÁLISIS DE ESTABILIDAD: Prueba de Routh-Hurwitz

Teniendo una expresión de la forma:

Formando el arreglo:

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Reemplazando los valores de la ecuación característica tendremos:

0.541 50.09 30.28−7.161k c

13.16 66.74 1+7.161kc

47.346 (30.239−7.456kc ) 0

(58.335+2.072k c) ( 1+7.161k c) 0

La regla nos indica que si todos los valores de la primera columna tienen el mismo signo, en este caso positivo, entonces el sistema es estable. Para el presente sistema con tiempo muerto, todos los valores son positivos, y para que el último valor sea negativo la ganancia del controlador debe ser negativa y como este valor no se puede dar el sistema es estable.

Método de sustitución directa:

Teniendo la siguiente ecuación característica:

0.541 s5+13.16 s4+50.09 s3+66.74 s2+( 30.28−7.161kc ) s+(1+7.161kc )=0

Debemos reemplazar los siguientes valores:

s=ωu i(frecuenciaúltima)

k c=kc u(gananciaúltimadel controlador)

0.541 (ωui )5+13.16 (ωui )

4+50.09 (ωu i )3+66.74 (ωui )

2+(30.28−7.161kc u ) (ωu i )+(1+7.161kc u )=0

i (0.541ωu5 )+13.16 ωu

4−i (50.09ωu3 )−66.74ωu

2+(30.28−7.161kc u ) (ωu i )+(1+7.161kc u )=¿

0

i [ 0.541ωu5−50.09ωu

3+ (30.28−7.161k cu )ωu ]+[13.16ωu4−66.74 ωu

2+1+7.161kc u ]=0

Resolviendo ambas tendremos:

0.541ωu5−50.09ωu

3+(30.28−7.161kc u )ωu=0

13.16ωu4−66.74 ωu

2+1+7.161kc u=0

Usando el matlab tendremos:

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[w,k] = solve('13.16*w^4-66.74*w^2+1+7.161*k=0','0.541*w^5-50.09*w^3+30.28*w-7.161*k*w=0')

w =

-.13964530093562351626867755900014

-48.339192978417115856212796614251

-48.339192978417115856212796614251

2.2986381863701565160943515598469

2.2986381863701565160943515598469

k =

0.

-2.8723501419875308965709503584744

2.8723501419875308965709503584744

-.52604132058444821441034896146261

.52604132058444821441034896146261

Usaremos entonces los siguientes valores:

k cu=2.87235(mayor valor positivo)

ωu=48.3392radmin

20) PARÁMETROS DE AJUSTE DEL CONTROLADOR USANDO LA RECETA DE ZIEGLER NICHOLS:

Para ajustar los parámetros a sus valores óptimos cuando se usa un controlador PID debemos convertir la frecuencia última a periodo último

T u=2πωu

T u=2π

48.3392radmin

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T u=0.130minrad

Finalmente, para un controlador PID tendremos:

Ganancia proporcional (k c ):

k c=kc u

1.7=2.87235

1.7=1.6896

Tiempo de integración ( τ I ):

τ I=T u

2=0.130

2=0.065min

Tiempo de derivación ( τD ):

τ D=T u

8=0.130

8=0.01625min

Reemplazando en la función de transferencia del controlador:

Gc(s )=k c(1+1τ I s

+τD s)Tendremos:

Gc(s )=1.6896(1+ 10.065 s

+0.01625 s )Entonces, la ecuación característica es:

1+FTCA=0

Donde:

FTCA=[ 0.40.05 s+1 ( 1−s

1+s )](−53.1250.5 s+1 )[kc (1+ 1

0.065 s+0.01625 s)] [ −0.337

( s+0.035 )(s+1.291) ]Dado que, aunque hallamos encontrado el valor de ganancia del controlador óptimo, para hacer el diagrama de Bode y del lugar de raíz, es necesario trabajar con el kc.

21) ANÁLISIS DE ESTABILIDAD USANDO EL DIAGRAMA DE RAÍZ Y BODE

Diagrama de Raíz

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Este sistema tiene 6 raíces y tres polos, por lo tanto tres de ellas se dirigen a los polos, como se observa en el gráfico anterior (donde un polo está junto a las demás raíces), las demás raíces tienden al infinito, 2 pasando por la zona de estabilidad y la otra cruzando el eje real por la zona de inestabilidad. Como se ve, las raíces no cortan al eje imaginario, por tanto no se puede hallar un valor de K cu, lo cual explica los valores tan bajos calculados por el método de sustitución ( en el método de sustitución, mientras más términos tenga la ecuación habrán más resultados y una incertidumbre hacia cual será el valor verdadero). Posiblemente sea el tiempo muerto el que origina esta inestabilidad.

Diagrama de Bode

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Lo primero que ha de observarse es que la curva del ángulo de fase versus la frecuencia tiene un mínimo cercano a -180º, pero no llega a tocar este valor, por tanto el sistema es bastante estable aunque tendrá valores mínima estabilidad. Se observa que, conforme RM disminuye (lo cual tiene relación con que la amplitud a la entrada a la válvula aumente y disminuya la salida del transmisor) el ángulo de fase toma valores negativos, lo cual nos indica que los términos de retardo tienen mayor validez a frecuencias altas, lo inverso ocurre a frecuencias bajas, donde se observa que los tiempos de adelanto son los que predominan en el sistema.

22) OBTENCIÓN DE LA RESPUESTA EN EL TIEMPO. CAMBIE EL VALOR DE Kc Y COMPARE:

Para ello, del balance en estado estacionario tendremos:

T (s)

T i (s)

=G x(s)

1+H (s)Gv (s)G c(s)G p(s )

T (s)

T i (s)

=

0.325 (0.777 s+1)( s+0.035 )(s+1.291)

1+[ 0.40.05 s+1 ( 1−s

1+s )](−53.1250.5 s+1 )[1.6896(1+ 1

0.065 s+0.01625 s )][ −0.337

( s+0.035 )(s+1.291) ]

A un cambio escalón:

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T i(s)=1s

T (s )=

0.325 (0.777 s+1)( s+0.035 )(s+1.291)

1+[ 0.40.05 s+1 ( 1−s

1+s ) ](−53.1250.5 s+1 )[1.6896(1+ 1

0.065 s+0.01625 s )][ −0.337

( s+0.035 )(s+1.291) ]x

1s

Con un valor menor de 10% del Kc tendremos:

T (s )=

0.325(0.777 s+1)( s+0.035 )(s+1.291)

1+[ 0.40.05 s+1 ( 1−s

1+s ) ](−53.1250.5 s+1 )[1.52064 (1+ 1

0.065 s+0.01625 s)][ −0.337

(s+0.035 )(s+1.291) ]x

1s

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Control de Procesos

Con un valor mayor de 10% del Kc tendremos:

T (s )=

0.325 (0.777 s+1)( s+0.035 )(s+1.291)

1+[ 0.40.05 s+1 ( 1−s

1+s ) ](−53.1250.5 s+1 )[1.85856(1+ 1

0.065 s+0.01625 s )][ −0.337

( s+0.035 )(s+1.291) ]x

1s

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Al comparar las tres gráficas (con diferentes valores de Kc) se ve que todas son bastante estables, por tanto un valor no muy grande de este valor no tiene gran relevancia en la estabilidad. Por otra parte, se observa que cuando el valor del Kc es más pequeño, la desviación es mayor, esto se debe a que un Kc menor va a generar cambios más pequeños a nuestro proceso, y por ello más lento al regresar nuestro valor al set point.

23) ANÁLISIS DEL SISTEMA: SIN TIEMPO MUERTO, P, PI, SIN TIEMPOS DE RESPUESTA EN LA VÁLVULA Y EN EL SENSOR TRANSMISOR, ETC:

De los cálculos anteriores podemos resumir convenientemente:

G p (s)=−0.337

21.64 s2+28.728 s+1

Función de transferencia para el sensor transmisor, sin tiempo muerto y tiempo de respuesta.

H (s)=0.4mAºC

Función de transferencia para la válvula de control sin tiempo de respuesta.

Gv (s)=−53.125

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Usando controlador Proporcional

Gc(s )=k c

De la función de transferencia de circuito abierto en el nuevo sistema:

FTCA=H (s)Gv(s )Gc (s)G p(s)

FTCA=(0.4 ) (−53.125 ) (kc )[ −0.337

21.64 s2+28.728 s+1 ]Luego con ayuda del matlab:

FTCA= 7.161

21.64 s2+28.73 s+1

Análisis de estabilidad:

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Se nota que, a pesar de no considerar tiempo muerto ni tiempos característicos para nuestros elementos del lazo de control, al sólo usar un controlador proporcional el proceso puede desestabilizarse, tal como nos lo muestra el diagrama de Bode y de lugar de raíz. Pese a ello, a valores bajos funciona bien, pero también es posible que se desestabilice y no pueda controlar el sistema en una emergencia. Por tanto, un control proporcional para nuestro tanque de enfriamiento del MIC no es recomendable.

Usando controlador Proporcional Integral

τ I=0.065

Gc(s )=k c(1+ 10.065 s )

FTCA=(0.4 ) (−53.125 )[kc (1+ 10.065 s )] [ −0.337

21.64 s2+28.728 s+1 ]

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Control de Procesos

El sistema es muy estable, y ello se observa de ambos diagramas de donde los valores de las raíces no tocan el eje imaginario y además están muy alejados de la zona de inestabilidad (lugar de raíz). En el diagrama de Bode observamos que no toma valores de ángulo de fase de -180º, por tanto, con un controlador PI sería suficiente para controlar nuestro proceso de enfriamiento de MIC.

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