controlabilidad y observabilidad - d e a - departamento de...

CONTROL II (Elo y Bio) Prof. Ing. Carlos F. Martín (2013) 1

CONTROL II (Elo y Bio)

Tema:

Controlabilidad y Observabilidad

de las Plantas a Controlar

Prof. Ing. Carlos F. Martín

Año: 2013


Controlabilidad de Sistemas Lineales Invariantes: Los conceptos de Controlabilidad y Observabilidad presentados primero por Kalman, R.E juegan un papel importante en los aspectos teóricos y prácticos del control moderno. Las condiciones sobre la controlabilidad y la observabilidad gobiernan la existencia de una solución de un problema de control óptimo. Esto parece ser la diferencia básica entre la teoría de control óptimo y la teoría clásica de control. En esta última, las teorías de diseño son dominadas por métodos de prueba y error, por lo que dado un conjunto de especificaciones de diseño, el diseñador desconoce en el inicio si existe una solución o no. Por otro lado, la teoría de control óptimo, para la mayor parte de los problemas, cuenta con criterios para determinar desde el inicio si la solución de diseño existe o no para los parámetros del sistema y los objetivos del diseño. Se mostrará que la condición de controlabilidad de una planta está íntimamente relacionada con la existencia de soluciones de la realimentación de sus estados con el propósito de ubicar los valores característicos del sistema de control en lazo cerrado en forma arbitraria. El concepto de observabilidad se relaciona con la condición de observación o estimación de las variables de estado a partir de las entradas y de las salidas, las cuales son generalmente medibles, (y menor cantidad). Una forma de ilustrar la motivación para la investigación de la controlabilidad y observabilidad se puede realizar al hacer referencia al diagrama de bloques de un sistema multivariable mostrado en la figura 1a) La figura (1a) muestra un proceso con la dinámica descripta por:

)()()(

tuBtxAdt

txd+= Lazo Abierto (1)

El sistema de control de lazo cerrado, (hay muchos otros esquemas), se forma al realimentar las variables de estado a través de la matriz realimentación K de ganancias constantes. Por lo que de la figura 1: )()()( trGtxKtu +−= (2) En donde:

( )u t : es la acción de control, (px1).- K: es la matriz de realimentación con elementos constantes, (p x n).- G: es la matriz de pre-compensación, (p x q).-

)(tr : es la señal de entrada referencia, (salida deseada), (q x 1).- El sistema de control de lazo cerrado se describe mediante:


[ ])()()()(

trGtxKBtxAdt

txd+−+=

(qx1) (px1) (nx1)

)(tr + + (qx1)

(pxq) _ + (qxn)

(nx1)

(px1)

(a)

(pxn) (qx1) (px1) (nx1)

)(tr + + (qx1)

(pxq) _ + (qxn)

(nx1)

(px1)

(b)

Observador

(pxn)

Figura 1 Entonces:

)()()()()(

trGBtxBKAdt

txd+−= (3)

En donde: )( nxnKBAAc −= )( qxnGBBc = Este problema también se conoce como: diseño por ubicación de polos mediante la realimentación del estado. En este caso, el objetivo de diseño es encontrar la matriz K, tal que los valores característicos de Ac sean fijados por el diseñador. La palabra “polo” se refiere a los polos de la función de transferencia de lazo cerrado (si p = q = 1), que serán los mismos que los valores característicos de Ac. Se puede demostrar que la existencia de una solución al diseño por ubicación de los polos, con valores de los mismos asignados en forma arbitraria a través de la realimentación del estado, está basada

)(tu )(tx

∫ dt C )(ty

)(txK

A

K

)(tu )(tx

∫ dt C )(ty

)(txK

A

)(ˆ tx

K


directamente en la controlabilidad de los estados de la planta. El resultado es que: Si la planta de la ecuación (1) es controlable, existe una matriz de realimentación con elementos constantes K que permite que los valores característicos de Ac=(A-BK) sean asignados en forma arbitraria. Una vez que se ha diseñado el sistema en lazo cerrado se debe tratar con el problema práctico de implementar la realimentación de las variables de estado. Existen dos problemas prácticos en la implementación del control por realimentación del estado. Uno es que el número de variables de estado puede ser excesivo por lo que el costo de detectar cada una de estas variables de estado para la realimentación puede ser prohibitivo. El otro problema es que no todas las variables de estado están físicamente accesibles. Por lo tanto, podría ser necesario diseñar y construir un observador que estime el vector de estado a partir del vector de salida ( )y t

y de la entrada ( )u t . La figura (1b) muestra el diagrama de bloque de un sistema de lazo cerrado con un observador. El vector de estado observado

)(ˆ tx se utiliza para generar el control ( )u t a través de la matriz de realimentación K. La condición de que tal observador pueda ser diseñado para el sistema, es que la planta sea observable.

Concepto General de Controlabilidad de Sistemas Lineales Invariantes El concepto de controlabilidad se puede enunciar con referencia al diagrama de bloques de la figura 2

Figura 2 Se dice que el proceso es completamente controlable si cada variable de estado del proceso, partiendo de un estado inicial cualquiera, se puede llevar a un estado final arbitrario en un tiempo finito también arbitrario, a través de alguna acción control no restringida ( )u t . En forma intuitiva, es sencillo entender que si una de las variables de estado es independiente de la acción control ( )u t , no habría forma de dirigir esta variable de estado en particular al estado deseado en un tiempo finito por medio de un esfuerzo de control. Por lo tanto se dice que este estado en particular no es controlable y que la planta no es completamente


controlable o simplemente es no controlable mientras haya por lo menos un estado que sea no controlable. Como ejemplo sencillo de una planta, no controlable, la figura 3 ilustra un diagrama de estado de un proceso lineal monovariable 1== qp , con dos variables de estado, dónde: uu ≡ y yy ≡ , escalares.- Figura 3: Debido a que u (t) afecta solamente al estado x1 (t), x2 (t) es no controlable. En otras palabras, será imposible llevar x2(t) de un estado inicial x2 (to) a un estado deseado x2 (tf) en un intervalo de tiempo finito (tf - to) mediante el control u (t). Por lo tanto, se dice que el sistema no es completamente controlable. El concepto de controlabilidad mencionado anteriormente se refiere a los estados y se conoce como controlabilidad del estado. La controlabilidad también se puede definir para las salidas del sistema de tal forma que exista una diferencia entre la controlabilidad del estado y la controlabilidad de la salida.

Definición de Controlabilidad del Estado para Sistemas Lineales Invariantes Considere que un proceso lineal multivariable e invariante con el tiempo se describe mediante las siguientes ecuaciones dinámicas:

)()()(

tuBtxAdt

txd+= (4)

( ) . ( ) . ( )y t C x t D u t= + (5) En donde:

( )x t es el vector de estado de (nx1) ( )u t es el vector de entrada o acción de control de (px1) ( )y t es el vector de salida de (qx1)

A, B, C y D las matrices de los coeficientes con dimensiones apropiadas. Dado un sistema situado en un estado inicial arbitrario ),(tox se dice que es


Completamente controlable si puede ser llevado a otro estado )(tfx

mediante un vector de entrada (señal de control) sin restricciones en un tiempo finito. El siguiente teorema demuestra que la condición de la controlabilidad depende solo de las matrices A y B. El teorema también proporciona un método de prueba para la controlabilidad del estado. Teorema 1: (Es general y fundamental) Para que la planta descripta por las ecuaciones de estado (4) sea de estado completamente controlable, es necesario y suficiente que la matriz denominada de controlabilidad S, tenga rango máximo, es decir, n.

2 1. . ...... .

n

nxnpS B A B A B A B

− = (6)

La demostración de este teorema no será tratada aquí, se puede consultar en cualquier libro de sistemas de control óptimo. Aunque este criterio es muy directo no es sencillo emplearlo en forma manual para sistemas de elevado orden y/o con muchas entradas, aún con p = 2 habrán 2xn columnas en S y por ende un gran número de posibles combinaciones de matrices de orden (nxn). En estos caso se puede hallar SxST que es de orden (nxn), entonces si SxST es no singular, S tendrá rango n pues el rango de S es igual al rango de SxST. Ejemplo 1: Dada las matrices A y B de una planta:

0 2 1

0 1 0

1 4 3

A

−

= −

; 1 0

0 2

0 5

B

=

a) ¿Será controlable? b) ¿Se cumplirá la condición de controlabilidad utilizando una sola entrada?

a) Se tiene que 1 0 0 1 1 3

0 2 0 2 0 2

0 5 1 7 3 12

S

− − −

=

(3.6)

Utilizando las tres primeras columnas, se ve que el rango de S es 3 por lo tanto la planta es controlable utilizando las dos entradas disponibles. b) Si se usa la primera entrada, la nueva matriz B denominada ahora B1, tendrá una sola columna, la primera, con lo cual la matriz S1 será:

1

1 0 1

0 0 0

0 1 3

S

−

=


Se observa que el rango de S1 es 2, con lo cual con la entrada u1 (t) exclusivamente no es posible llevar a la planta desde un punto cualquiera a otro del espacio de estado, en consecuencia es no controlable.- Ahora utilizando solo la segunda entrada se tiene:

2

2 2 2 2

0 1 3

. . 2 2 2

5 7 12

S B A B A B

− − = =

� Rango de (S2)= 3

Por ende utilizando solo la segunda entrada la planta puede ser llevada a un punto del espacio de estado a partir de un punto inicial dado la misma será controlable.- Ejemplo 2: Consideremos la planta mostrada en la figura (3) que era no controlable. Por ende el rango de la matriz S deberá ser menor que 2. Tenemos que:

2 1

0 1A

− − =

− ;

1

0B

=

; [ ]1 0C = ; [ ]0D =

Por lo tanto la matriz de la controlabilidad será:

[ ]1 2

.0 0

S B A B−

= =

El rango de S es igual a 1, distinto de 2, por lo que la planta es de estado no controlable. En este caso x2(t) no se puede llevar de un punto cualquiera del espacio de estado a otro. Pruebas Alternativas para la Controlabilidad Existen otros métodos alternos para probar la controlabilidad, y algunos de éstos pueden ser más convenientes para aplicarse que la condición de la ecuación (6). Teorema 2: (Solo para sistemas SISO, lineales invariantes) “Para un sistema de simple entrada simple salida, (SISO), por ende: (q = p = 1), descrito por la ecuación de estado (4), el par (A,B) será controlable si A y B están en la forma canónica controlable o son transformables a la misma mediante una transformación lineal de semejanza”. La prueba de la segunda parte del teorema es directa ya que como se


especificó antes esta clase de transformación requiere que S tenga rango n, o sea no singular, para que exista P-1 pues P-1 = M-1.S-1. En cuanto a la primera parte del teorema se demuestra, si para este caso, la matriz S tiene siempre rango n. Si en la Función Canónica Controlable las matrices de la planta son A1 y B1, donde como se sabe:

−−−−

=

−1210

1

..

1..000

..........

..........

0..100

0..010

naaaa

A ;

=

1

0

..

..

0

0

1B

2 1

1 1 1 1 1 1 1. . ... .

nS B A B A B A B

− =

1

1 1 2

3

1 1 2 1 2 3

0 0 0 ... ... 1

... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

0 0 0 1 ... ...

0 0 1 ... ...

0 1 ... ...

1 ... ...

n

n n n

n n n n n n

S

a

a a a

a a a a a a

−

− − −

− − − − − −

=

− − − −

− − − − + +

Como se observa S será una matriz triangular inferior con la diagonal secundaria de unos, por ende el rango de S será (+1 o -1) dependiendo de n, por lo tanto su rango será siempre n y en consecuencia la planta en la F.C.C es controlable. Ejemplo 3: Sea la planta en la F.C.C

1

0 1 0

0 0 1

1 2 3

A

= − − −

; 1

0

0

1

B

=

� F.C.C

2

1 1 1 1 1

0 0 1

. . 0 1 3

1 3 7

S B A B A B

= = − −

� Rango de (S) = 3 pues |S| = -1

Teorema 3: (General para sistemas lineales invariantes MIMO o SISO pero Con valores característicos distintos).-


“Para una planta descrita por la ecuación (4) si está en la F. C. Diagonal, el par [A,B] es controlable si la matriz B no tiene filas totalmente nulas. La demostración es evidente, pues las ecuaciones de estado están completamente desacopladas unas de otras y la única manera de que los estados sean “alcanzados” es que los mismos estén controlados directamente por al menos una entrada”. Por lo tanto si alguna fila de B tiene todos los elementos ceros, esto indica que la correspondiente variable de estado no será “alcanzada” por ninguna de las entradas. Si la planta es de una entrada solamente, ningún elemento de la columna de B debe ser nulo, evidentemente. El teorema no sería válido para plantas en las que la matriz A se puede diagonalizar aun cuando hay valores característicos repetidos, todos los valores característicos repetidos asociados a bloque de Jordán de orden 1x1 Esto se aclara con el teorema siguiente cuando hay valores característicos repetidos. Antes veremos el ejemplo siguiente:

Ejemplo 4: Una planta tiene las matrices siguientes:

3 0 0

0 6 0

0 0 10

A

−

= − −

5

42

1

24

3

56

B

− = −

[ ]32 8 20C = −

Como los valores característicos son distintos la A está en la F.C.D. y la matriz B no tiene ningún elemento nulo, (filas), la planta será controlable. Teorema 4: Es válido en general para sistemas MIMO aun cuando los valores característicos múltiples tengan más de un bloque de Jordán asociado con cada valor propio múltiple, y dice: “Si A está en la forma canónica de Jordán el par [A, B] es controlable, si todos los elementos en las filas de B que correspondan a la última fila de cada bloque de Jordán no son cero. Se entiende que las filas de B que corresponden a los valores característicos simples no deberán tener todos sus elementos nulos”. La prueba de este teorema es simple, ya que la última fila de cada bloque


de Jordán corresponde a una ecuación de estado que está completamente desacoplada de las otras, por ende debe ser “alcanzada” por alguna entrada. Los elementos en las otras filas de B en cada bloque de Jordán, no necesitan ser diferentes de cero ya que los estados correspondientes están todavía acoplados a través de los números unos de los bloques de Jordán de la matriz A. Cuando se trata de sistemas SISO, (p=q=1), los valores característicos múltiples deberán tener solo un bloque de Jordán asociado con cada uno de ellos y también solo el elemento de la matriz B que corresponde a la última fila de cada bloque de Jordán no deberá ser nulo.- Ejemplo 4: Una planta a controlar de cuarto orden tiene tres de sus cuatro valores característicos iguales:λ1= λ2 = λ3 = λ y λ4 diferente, y tiene una sola entrada. Supongamos que las matrices A y B son:

4

1 0 0

0 1 0

0 0 0

0 0 0

A

λ

λ

λ

λ

=

1

2

3

4

b

bB

b

b

=

El teorema dice que b3 y b4 deben ser distintos de cero pero b1 y b2 pueden ser ceros y el sistema será controlable. Las ecuaciones de estado son:

1 1 2 1

2 2 3 2

3 3 3

4 4 4 4

. 1. .

. 1. .

. .

. .

x x x b u

x x x b u

x x b u

x x b u

λ

λ

λ

λ

•

•

•

•

= + +

= + +

= +

= +

El diagrama de estados sería el indicado en la figura 4. Como se puede apreciar b1 y b2 pueden ser nulos o no pero b3 y b4 deben ser distintos de cero para que la planta sea controlable. Ejemplo 5: Consideremos el ejemplo 2, en el mismo:

2 1

0 1A

− − =

−

1

0B

=

;

Con λ1= -2 y λ2 = -1 (auto valores distintos)


Chequear por el teorema 3 si el sistema es controlable: 1 1

0 1T

=

∴ ´ 11 1 1 1

. .0 1 0 0

B T B−

− = = =

Último elemento=0

Figura 4: Como el segundo elemento de la matriz *

B es cero, la variable de estado *

2x

es no controlable, en consecuencia la planta será no controlable ya que como se verá más adelante la controlabilidad no se altera con una transformación lineal.-

O la x2 ya que * *

1 1 2

*

2 2

x x x

x x

= +

=

Solución por Computadora La función svdesign en las herramientas del CSAD para Matlab tiene una opción que regresa la condición de controlabilidad de una planta SISO, (calcula la matriz S), una vez que se han introducido los parámetros de las ecuaciones lineales dinámicas o de la función de transferencia. Ejemplo 6: Una planta tiene las matrices siguientes:


2 0

0 2A

− =

−

1

2B

=

[ ]1 0.5C =

Según el teorema 4, como hay solo una entrada, sistema SISO, la planta no es controlable pues hay dos bloques de Jordán asociados con el valor característico λ=-2. En general para ver si la planta es controlable se aplicaría:

[ ]1 2

.2 4

S B A B−

= = −

� |S| = 0 por lo que el rango (S) = 1 ≠ 2 entonces la

planta es no controlable.

Esta planta se puede hacer controlable con otra entrada por ejemplo:

Con 1 0

2 1B

=

[ ]1 0 2 0

.2 1 4 2

S B A B−

= = − −

Aplicando el método general se puede ver que las dos primeras columnas de la matriz de la controlabilidad S el rango(S) = 2 = n, por ende esta planta ahora será controlable. Ejemplo7: El modelo de un proceso a controlar tiene las matrices siguientes:

1 2 1

0 1 0

1 4 3

A

−

= −

0

0

1

B

=

Como |sI - A| = 0 � s3 + (-5).s2 + 8.s + (-4) = 0, entonces λ1-2 = 2

y λ3 = 1; y: 2

0 1 4

. . 0 0 0

1 3 8

S B A B A B

− − = =

� | S | = 0 � rango(S) = 2 ≠ 3

por lo que el proceso es no controlable. Como se dijo y se verá más adelante si se hace una transformación lineal de semejanza, no se altera la condición de la controlabilidad. Si se lleva el modelo a la F. C. J. una matriz de transformación puede ser:

1 0 0

0 0 1

1 1 2

T

= −

⇒ Entonces se tendrá: 1

2 1 0

. . 0 2 0

0 0 1

jA T AT−

= =

y 1

0

. 1

0

jB T B−

= = −

Como la última fila de Bj, que corresponde al bloque de Jordán de (1x1) para λ3 = 1, es cero, la variable de estado transformada *

3( )x t es no

controlable. Como de T se ve que: *

2 3( ) ( )x t x t≡ significa que

2( )x t es la

variable de estado no controlable en el modelo original de la planta.


Ejemplo 8: Consideremos un proceso de tercer orden que tiene:

−

−

−

=

300

020

011

A ;

=

1

0

0

B ; [ ]111=C y 0=D

Luego: [ ]

−

==

931

000

000

..2 BABABS

� |S| = 0 � rango(S) = 1 ≠ 3 Por ende este proceso es de estado no controlable. En consecuencia no existirá una transformación lineal de semejanza que lleve el modelo original a la F.C.C, pues la matriz S no tiene inversa. Por otro lado como 0. =− AIs � ( )( )( ) 03.2.1 =+++ sss � 3;2;1

321−=−=−= λλλ ,

se puede llevar a la F.C.D y la matriz B de esta forma deberá tener alguna fila nula como mínimo (esto se verá en el teorema 10).

[ ]

−

==

100

010

011

321 pppT Por ende: ;

300

020

001

−

−

−

=dA

=

1

0

0

dB y [ ]101=dC

Como las dos primeras filas de Bd son nulas el proceso es de estado no controlable. Este resultado será evidente cuando veamos el teorema 10. Las variables de estado *

1x y *

2x serán no controlables.

Como )(.)(*

txTtx = resultará *

3

*

2

**

11

3

2

2

xx

xx

xxx

=

=

−=

Por ende las variables 1x y

2x del modelo original serán las no controlables. Ejemplo 9: Sigamos con la misma planta, si se desea obtener la F.C.C. se tendrá que hacer la descomposición directa de la Función de Transferencia de la misma

( )( )

( )( )( )

( )( )( ) )(

)(

23

21

3.2.1

2.1

6.11.6

2.3...

s

s

U

Y

sss

ss

sss

ssBSIsCGp =

+++

++=

+++

++=−=

−

De la misma resulta:

−−−

=

6116

100

010

A ;

=

1

0

0

B ; [ ]132=C y 0=D


Este modelo será de estado controlable ya que:

[ ]

−==

2561

610

100

..2 BABABS

� Rango(S) = 3 � planta controlable Sin embargo el modelo original, (ejemplo 6), con otras variables de estado era no controlable. Si en base a este último modelo (la FCC) se obtiene la forma canónica diagonal, pues los valores característicos son distintos, la nueva matriz Bd deberá tener todos sus elementos distintos de cero, por ende el modelo en la FCD será controlable, como se verá más adelante, también o será el sistema original (invariancia de la controlabilidad en una transformación lineal de semejanza).

[ ]

−−

−

−−

==

941

321

111

321 pppT ,

puede ser una matriz de transformación, por lo tanto:

−

−

−

== −

300

020

001

..1

TATAd ; y [ ]200 −=dC

Como todos los elementos de Bd son distintos de cero la planta será controlable.

Como en este caso ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )1 1 . 2

. . .1 . 2 . 3

s sGp C s I S B

s s s

− + += − =

+ + + ;

Se puede ver que hay polos y ceros comunes (-1 y –2 en este caso). Esto demuestra que en estos casos, cuando hay cancelación polo-cero en la Gp(s) de la planta), la controlabilidad de una planta SISO depende de la elección de las variables de estado de la misma.- Además la controlabilidad no cambia a través de una transformación lineal de semejanza. Estos dos puntos se tratarán en sendos teoremas mas adelante. Ejemplo 10: Veamos una planta con dos entradas y dos salidas, las matrices del modelo elegido son las siguientes, (está en la F.C.J):

−

−

−

== −

5.0

1

5.0

.1 BTBd


−

−

−=

1000

1100

0010

0000

A ;

=

01

00

10

01

B ;

−=

1011

1110C y

=

00

00D

La matriz B indica a simple vista que la planta es Controlable pues cumple con el teorema 4. La matriz de la controlabilidad sería:

[ ]

−−

−

−−==

01010101

03020100

10101010

00000001

32 BABAABBS

Su rango será el mismo que el de SST:

−

−=

4601

61400

0040

1001

TSS

Y como ,024 ≠=T

SS el rango será=4=n

Por lo tanto esta planta MIMO será controlable, a pesar de tener dos bloques de Jordán, (uno de 1x1 y otro de 2x2), asociados con el valor característico -1. También se puede formar con S, una matriz de 4 por 4 con cuatro columnas cualquiera de S y verificar que su determinante es distinto de cero. Por ejemplo con las columnas 1, 2, 3 y 5 de S se formará la matriz:

−

−

1101

2100

0010

0001

Su determinante tiene el valor (-1), por lo tanto el rango de la matriz S es 4 igual a n, por ende la planta es controlable.- Ejemplo final que resume lo visto hasta ahora: En el esquema de la figura 5, determinar un conjunto mínimo de entradas que permita conseguir que el sistema sea controlable. Razonar la respuesta.


Es un sistema de cuarto grado, constituyendo las variables de salida de cada bloque un conjunto adecuado de variables de estado del sistema. La entrada )(4 tu no afecta ninguna de las variables de estado, luego no afecta a la controlabilidad del sistema. La entrada )(

3tu afecta a las

)(1 tu + )(

3tu )(4 tu

+ + +

. -

+ + + )(ty

)(2 tu + +

+

Figura 5: variables de estado correspondientes a los últimos bloques, pero, como las variables de salida de los dos primeros bloques son controladas por las entradas )(1 tu y/o )(2 tu , entonces la variable de entrada al tercer bloque también está controlada con independencia de )(

3tu . Por lo que la entrada

)(3

tu no es necesaria para la controlabilidad de los dos últimos bloques colocados en serie. Para ver si la entrada )(1 tu es suficiente para garantizar la controlabilidad de los dos primeros bloques, (por tanto del sistema), habrá que ver si ambos bloques tienen el mismo comportamiento dinámico. Reduciendo el bloque realimentado resulta el de la figura 6. )(

3tu

)(1 tu )(1 tx )(4 tu

+ + )(3

tx )(4 tx + )(ty

+ +

. + +

)(2 tu )(2 tx +

+

Figura 6: Para controlar )(1 tx es necesaria la entrada )(1 tu , puesto que )(2 tu no le afecta. Para controlar simultáneamente )(1 tx y )(2 tx no basta con )(1 tu , pues al tener ambos bloques el mismo comportamiento dinámico, partiendo de condiciones iniciales nulas, el valor de )(1 tx será siempre el doble que el de

)(2 tx . Por tanto, el conjunto mínimo de entradas necesarias para controlar


el sistema son )(1

tu y )(2

tu .- Otra forma de llegar a la misma conclusión es realizar el estudio de las matrices de controlabilidad. El modelo de estado del sistema completo con todas las entradas se obtiene planteando primero las ecuaciones diferenciales de cada bloque, a saber:

⇒+= 11 )4(2 xsu uxtx 24)( 11 +−=& ⇒+=+ 221 )4( xsuu

2122 4)( uuxtx ++−=& ⇒+=++

3321)4( xsuxx

332134)( uxxxtx +−+=&

⇒+=43

)1(2 xsx 434

2)( xxtx −=&

En la forma matricial la ecuación de estado será:

+

−

−

−

−

=

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

0000

0100

0011

0002

1200

0411

0040

0004

u

u

u

u

x

x

x

x

x

x

x

x

&

&

&

&

Puede observarse que la última columna de la matriz B es toda de ceros, (la u4 no influye en el estado del sistema), por lo que se puede suprimir esa columna, quedando la matriz B de orden (4x3). Con ello la matriz de la controlabilidad queda:

−−−

−−−−

−−−−

−−

==

4218541025200000

644814416824413100

0646401616044011

001280032008002

][32 BABAABBS

Tomando por ejemplo las columnas 3º,4º, 5º y 6º, su determinante es 64 por lo tanto el rango (S) = 4, por lo que el sistema es controlable con las entradas u1, u2 y u3.- Para analizar el número de entradas que garantizan la controlabilidad del sistema, se verá primeramente si éste puede ser controlado mediante una única entrada. Para ello se verá si las matrices de controlabilidad Si (correspondiente a un sistema que sólo tuviera la entrada i-ésima) tienen el rango máximo del sistema. Para calcular cada Si, se utilizan las columnas de S correspondientes a la i-ésima entrada. Si la entrada es sólo u1, la S1 será:

−

−

−−

−−

=

54500

1442430

641641

1283282

1S


La primera fila es el doble de la segunda, (nótese que partiendo de condiciones iniciales nulas y utilizando sólo la entrada u1, la variable x1 vale siempre el doble que la x2), quedando el rango (S1)=3, con lo que el sistema no es controlable utilizando únicamente a u1.- Utilizando sólo la entrada u2, la matriz de controlabilidad resultante es:

−

−

−−=

18200

48810

641641

0000

2S

Donde la primera fila es de ceros, (la variable x1 no puede ser controlada), quedando rango (S2)=3, con lo que el sistema no es controlable con u2.- Para la entrada u3 queda:

−

−−=

421020

641641

0000

0000

3S

Las dos primeras filas de S3 son de ceros, (no se pueden controlar las variables x1 y x2), con lo que el rango (S3)=2 y, por tanto, el sistema no es controlable sólo con u3.- Dado que con ninguna entrada en solitario se puede controlar el sistema, se prueba ahora con la combinación de dos de ellas, u1 y u2:

−−

−−

−−−−

−−

=−

1854250000

481448241300

646416164411

01280320802

21S

Ahora el rango (S1-2)=4, por lo que el sistema es controlable con el conjunto mínimo de entradas u1 y u2.- Observabilidad de Sistemas Lineales Como ya se estudió hasta ahora, el modelo de estado refleja las relaciones entre los tres actores que describen el comportamiento de un sistema: entrada, estado, salida. También la forma en que la entrada repercute sobre la evolución del estado, así como las posibilidades de obtener un determinado valor para éste en un instante dado, mediante la elección adecuada de dicha entrada. Ahora se estudiara la forma en las que las variaciones en el valor del estado se manifiestan sobre la salida, con lo que se cubre la segunda etapa de la


interacción descripta por el modelo de estado y se completa el análisis del comportamiento del sistema completo. La idea de observabilidad se relaciona con la posibilidad de conocer el valor del estado de un sistema, a partir del conocimiento de la evolución de la entrada y de la salida que genera. La figura 7 muestra esta idea:

Figura 7: La observabilidad se presenta conceptualmente como una idea complementaria a la de controlabilidad; si la controlabilidad estudia la relación entrada-estado, ahora se va a ver la relación estado-salida. Se verá en que sistemas es posible conocer el estado en base a la entrada y la salida.- Esencialmente un sistema es observable si cada variable de estado del sistema “afecta” alguna de las salidas. En otras palabras, con frecuencia es deseable obtener información sobre las variables de estados midiendo las salidas y las entradas. Si cualquiera de los estados no se puede observar a partir de las mediciones de las salidas, se dice que el estado es no observable, y el sistema no es completamente observable, o simplemente no observable. Ejemplo11: Supóngase el sistema de la figura 8: )(tu )(ty Figura 8: Si se tiene un sistema con una función de transferencia como la de la figura 8 se puede elegir como variables de estado la salida y su derivada, por lo que se tendrán todos los estados conocidos a partir de la salida y por lo tanto será observable. Por el contrario, la planta de la figura 9 a pesar de ser controlable, pues el rango de la matriz S es 2, la planta no es observable puesto que si se obtiene la función de transferencia será


)(tu )(1 tx +

)(ty

_

)(2 tx Figura 9:

)2(

3

)(

)()(;

2

3

2

1

1

3

2

11

1

3

+==

+=

+

+

+=

+−

+ ssU

sYsGp

ss

s

sss

Este sistema, desde el punto de vista de su función de transferencia entrada-salida, se comporta como un sistema de primer orden y, conociendo )(tu e )(ty , solo se podrá detectar una variable de estado, luego el sistema no será observable. Como se ve, en este ejemplo, se impide la observabilidad con una cancelación de un polo con un cero en la función de transferencia de los sistemas lineales invariantes Monovariables. Los conceptos de controlabilidad y observabilidad son claramente distintos y, sin embargo como se verá, en lo que se refiere a cálculos son duales. La figura 10 muestra el diagrama de estado de un sistema lineal en donde el estado x2 no está conectado en alguna forma con la salida y(t). Una vez que se ha medido y(t) , se puede observar el estado x1(t), ya que x1(t) = y(t). Pero x2(t) no puede ser observado midiendo y(t) por lo que la planta es no observable. Figura 10: Definición de Observabilidad para Sistemas Lineales Invariantes Dado un sistema lineal e invariante en el tiempo que se describe mediante


las ecuaciones (4) y (5), se dice que el estado es observable si dada cualquier entrada ( )tu , existe un tiempo finito tf > to tal que del conocimiento de ( )tu para to ≤ t ≤ tf, las matrices A, B, C y D; y la salida

( )ty

para to ≤ t ≤ tf son suficientes para determinar ( )tox . Si cada estado del sistema es observable para un tf finito, se dice que el sistema es completamente observable, o simplemente observable. El siguiente teorema demuestra que la condición de observabilidad depende de las matrices del sistema A y C. El teorema proporciona también un método para probar la observabilidad del sistema. Teorema 5: (de aplicabilidad general) Para que la planta descripta por las ecuaciones (4) y (5) sea de estado completamente observable, es necesario y suficiente que la matriz llamada de observabilidad de orden (n q x n) tenga rango máximo, es decir, rango igual a n.

2

1

.

.

.

.

.

.n

n qxn

C

C A

C AV

C A−

=

(7)

La demostración no se tratará en este texto. Si la planta es SISO la matriz V se cuadrada de orden (nxn) y deberá cumplirse que su determinante sea distinto de cero.- Ejemplo 12: Sea la planta cuyas matrices son:

0 2 1

0 1 0

1 4 3

A

−

= −

; 1 0

0 2

0 5

B

=

; 4 0 0

0 2 4C

=

; 0 0

0 0D

=

a) Discernir si es observable o no

b) ¿Se cumplirá la condición de observabilidad utilizando una sola de las salidas?


a) 2

4 0 0

0 2 4

0 8 4.

4 14 12.

4 25 12

12 54 32

C

V C A

C A

−

= = − − −

−

Utilizando las 3 primeras filas, por ejemplo, se observa que el rango es 3, con lo cual se deduce que la planta es observable usando las dos salidas disponibles.

b) Si se usa solo la primera salida, la nueva matriz C, denominada ahora C1 será:

[ ]14 0 0C = �

1

1 1

2

1

4 0 0

. 0 8 4

. 4 24 12

C

V C A

C A

= = − − −

� Rango (V1) = 2 < n

Con lo cual con el conocimiento de ( )tu e ( )t

y solamente no es posible llegar a conocer el vector de estado. Ahora utilizando la segunda salida se tiene:

2

2 2

2

2

0 2 4

. 4 14 12

. 12 54 32

C

V C A

C A

= = − −

� Rango (V2) = 3

Por lo tanto, utilizando solo la observación de la segunda salida, es posible conocer el vector de estado.

Ejemplo13: Consideremos el sistema que se muestra en la figura (4), el cual era no observable. Las ecuaciones dinámicas del mismo eran:

2 0

0 1A

− =

−

3

1B

=

[ ]1 0C =

Por lo que la matriz de la observabilidad será: 1 0

. 2 0

CV

C A

= =

− � Rango (V) = 1 ≠ 2

Por ende el par [A, C] es de estado no observable. Ejemplo 14: Consideremos el proceso descrito por las ecuaciones dinámicas siguientes. Veremos que la observabilidad depende también, (cuando p = q = 1 y hay


polos y ceros comunes en Gp(s), de la elección de las variables de estado. Las matrices de la planta pueden ser las siguientes:

0 1

1 2A

=

− − ;

1

1B

=

− ; [ ]1 0C = ; 0D =

Luego:

[ ]1 1

.1 1

S B A B−

= = −

� Rango (S) = 1 ≠ 2 � planta no controlable

1 0

. 0 1

CV

C A

= =

� Rango (V) = 2 = n � planta observable

Si a través de una descomposición directa de la ( )

( )

( )

s

s

s

yGp

u= se lleva el

modelo a la F.C.C las matrices serán: 0 1

1 2A

=

− − ;

0

1B

=

; [ ]1 1C =

Evidentemente la planta será controlable, pues está en la F.C.C. Luego la matriz de la observabilidad será:

1 1

. 1 1

CV

C A

= =

− − � Rango (V) = 1 ≠ 2 � planta no observable

El presente ejemplo demuestra que la observabilidad también depende de la elección de las variables de estado cuando hay cancelación polo-cero en Gp(s). En el primer caso la planta es controlable pero no observable y en el segundo a la inversa. Hay razones bien definidas para este resultado (se verán en el teorema 9). Pruebas Alternativas para la Observabilidad Como con la controlabilidad, existen otros métodos alternativos para comprobar la condición de observabilidad de una planta a controlar. Estos se verán a continuación. Teorema 6: (Solo para plantas SISO, p = q = 1) “Para un sistema de simple entrada y simple salida (p = q =1), descrito por las ecuaciones:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

. .

. .

t t t

t tt

x A x B u

y C x D u

•

= +

= +

El par [A, C] es observable si A y C están en la F.C.O o son transformables a la F.C.O por medio de una transformación lineal de semejanza”.


La prueba de la segunda afirmación es directa, ya que se estableció que la transformación a la forma canónica observable requiere que la matriz de observabilidad V sea no singular, pues Q= (M.V)-1 = M-1 .V-1, o sea que para que exista Q, matriz de transformación, el determinante de V debe ser distinto de cero para que la inversa de V exista y en consecuencia también la matriz de transformación Q. Recordar que esto es válido solo para plantas Monovariables o sea una entrada, p =1 y una salida q = 1. En cuanto a la primera parte del teorema se demuestra si la matriz de observabilidad V tiene siempre rango igual a n. La demostración se plantea como una ejercitación para el alumno. La matriz V resulta una triangular inferior con números unos en la diagonal secundaria, por ende siempre será no singular, pues el determinante de V será –1 o +1 ≠ 0, según sea n. Por ejemplo si una planta está en F.C.O. o sea:

0 0 3

1 0 1

0 1 3

A

=

;

1

2

0

B

=

y

[ ]0 0 1C =

2

2

2

2

0 0 1

. 0 1 3

. 1 3 10

C

V C A

C A

= =

� Rango (V) = 3 pues el |V|=-1 � V es no singular siempre Teorema 7: (General para sistemas MIMO o SISO) “Para un sistema descrito por las ecuaciones dinámicas (4) y (5), si los valores característicos son todos distintos y A está en la F.C.D.; el par [A,C] será completamente observable si la matriz C no tiene columnas con todos sus elementos nulos”. La demostración es directa, pues si la j-ésima columna de C tiene todos sus elementos nulos, la variable de estado

( )j tx no aparecerá en la ecuación de

salida ( )t

y . Por lo tanto ( )j t

x será no observable.


Ejemplo 15: Consideremos el ejemplo 13, en el que la planta era no observable. Como la matriz A es diagonal, (λ1 = -2, λ2 = -1, son distintos), la prueba alternativa para la observabilidad requiere que la matriz C tenga al menos un elemento nulo, y como C = [1 0], el estado x2(t) será no observable y por ende el sistema será no observable. Teorema 8: (Forma Dual del Teorema 4).- Es válido en general para sistemas MIMO aun cuando los valores característicos múltiples tengan más de un bloque de Jordán asociado con cada valor propio múltiple, y dice: “Si A está en la forma canónica de Jordán el par [A, C] es observable, si todos los elementos en las columnas de C que correspondan a la primera fila de cada bloque de Jordán no son cero. Se entiende que las columnas de C que corresponden a los valores característicos simples no deberán tener todos sus elementos nulos”. Los elementos en las otras columnas de C en cada bloque de Jordán, no necesitan ser diferentes de cero ya que los estados correspondientes están todavía acoplados a través de los números unos de los bloques de Jordán de la matriz A. Cuando se trata de sistemas SISO, los valores característicos múltiples deberán tener un solo bloque de Jordán asociado con cada valor propio múltiple y también el elemento de la matriz C que corresponde a la primera fila de cada bloque de Jordán no deberá ser nulo.- Ejemplo 16: Consideremos el sistema visto en el ejemplo 4. Suponiendo que el mismo tiene dos salidas y1(t) e y2(t) , por ende la matriz C del mismo será de orden (2x4).

4

1 0 0

0 1 0

0 0 0

0 0 0

A

λ

λ

λ

λ

=

;

1

2

3

4

b

bB

b

b

=

; 1 2 3 4

5 6 7 8

c c c cC

c c c c

=

El diagrama de estado será el indicado en la figura 11: Los elementos de la matriz C que pueden ser nulos son: c2, c6, c3 y c7


Figura 11 Pero c1 y c5 no pueden ser simultáneamente nulos, pero uno puede ser nulo si al mismo tiempo el otro no lo es. Lo mismo para c4 y c8. Esto se resume en que: “Cada variable de estado deberá afectar directa o indirectamente a por lo menos una salida”. Ejemplo 17: Volvamos al ejemplo 7a, la planta tenía dos salidas. A simple vista la misma es observable, pues cumple con el teorema 8. Por ende deberá ser, con el método general, el rango de la matriz de la observabilidad igual a cuatro.

−

−−

−

−

−

−−

−

=

=

1100

2110

1010

1110

1010

0110

1011

1110

3

2

CA

CA

CA

C

V

Formando la matriz con las filas 2, 5, 6 y 7 se tendrá:


−−

−

−

−

2110

1010

1110

1011

;

Como su determinante es igual a (-1), el rango de la matriz de la observabilidad es igual a n=4 por ende la planta es observable.- Relación entre Controlabilidad, Observabilidad y Funciones de Transferencia. En el análisis clásico de sistemas de control, las funciones de transferencia se utilizan para modelar sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Aún cuando la controlabilidad y la observabilidad son conceptos y herramientas de la teoría de control moderna, se debe mostrar que están estrechamente relacionadas con las propiedades de las funciones de transferencia. Un sistema en general se puede subdividir en subsistemas a saber:

1. Un subsistema formado por todas las variables controlables y observables.-

2. Un subsistema formado solo por las variables controlables, formando el resto un subsistema con comportamiento desacoplado de las entradas.-

3. Un subsistema formado solo por las variables observables formando el resto un subsistema con comportamiento desacoplado de las salidas.-

Los tres subsistemas descriptos en la anterior enumeración tienen la particularidad de generar la misma función de transferencia, lo que significa que los tres son realizaciones diferentes de un mismo sistema en términos de entrada-salida. En concreto, el segundo es un subsistema controlable, el tercero como subsistema observable. En cuanto al primero, presenta alguna particularidad que se pasa a comentar: este subsistema es el de mínima dimensión que puede modelar la relación entre la entrada y la salida del sistema, por lo que se lo conoce como realización mínima del sistema. Al orden de dicha realización mínima se le conoce también como grado de Mc-Millan de dicho sistema. Existe un teorema, debido a Kalman, que caracteriza la realización mínima de un sistema en términos de controlabilidad y observabilidad.- Una realización dada por (A, B, C y D) es mínima si y solo si es controlable y observable.- En general, y como ya se ha mencionado en otras ocasiones, un sistema


lineal e invariante no posee una única realización en el espacio de estado. Sin embargo, las representaciones mínimas son únicas salvo por un cambio de base; en otras palabras, cualquier par de realizaciones mínimas están relacionadas por una transformación lineal.- Gráficamente la separación en subsistemas se puede representar de la forma mostrada en la figura 12, donde cada subsistema se compone de un grupo de variables de estado.

Figura 12: Separación simultánea de los subsistemas Controlable y Observable Analizándolos se tiene que:

• Existe un subsistema que es controlable y observable (subíndice a), que describe la realización mínima del sistema.

• Existe un subsistema que junto con el anterior forma un subsistema controlable, pero separado del anterior porque éste es no observable. Esto no supone que este que este subsistema sea controlable aisladamente (subíndice b).

• Existe un subsistema que, junto al primero, es observable, está desconectado de la entrada y, en consecuencia, no es controlable. Esto no quiere decir que este subsistema sea observable aisladamente (subíndice c).

• Finalmente, existe un subsistema que no pertenece a la parte observable y tampoco a la parte controlable, así que no es ninguna


de las dos cosas, ya que está desconectado de la entrada y de la salida (subíndice d).-

Esta separación en estos subsistemas si los hubiera no será tratada por ahora en la presente publicación.- Se verán plantas de realización mínima, o sea controlables y observables.- Ahora se enumerarán algunos teoremas muy importantes: Teorema 9: (Solo aplicable a sistemas SISO).- Si la función de transferencia Gp(s) entre la salida y la entrada de una planta lineal tiene cancelación de polos y ceros, el sistema será: o no controlable, o no observable, o no controlable ni observable, dependiendo de cómo se definan las variables de estado. Por otra parte, si la función de transferencia entre la salida y la entrada no tiene cancelación de polos y ceros, el sistema siempre se puede representar mediante las ecuaciones dinámicas como un sistema totalmente controlable y observable, cualquiera sean las variables de estado definidas. No se da la prueba para este teorema. La importancia del mismo es que si un sistema lineal se modela mediante la función de transferencia que no tiene cancelación de polos y ceros, se asegura que es un sistema controlable y observable, no importando como se obtenga el modelo en variables de estado. Se ampliará este punto con referencia al siguiente sistema SISO:

−

−

−

−

=

4000

0300

0020

0001

A ;

=

0

0

1

1

B ; [ ]0101=C ; [ ]0=D

Ya que A es una matriz diagonal, las condiciones de controlabilidad y observabilidad de los cuatro estados se determinan mediante inspección. Estos son

)(1 tx : Controlable y observable (C y O).

)(2 tx : Controlable pero no observable (C pero no O).

)(3 tx : No controlable pero observable (no C pero O).

)(4 tx : No controlable y no observable (no C y no O). El diagrama de bloques del sistema de la figura 13 muestra la descomposición de la F.C.D. del sistema.


Figura 13

Claramente la función de transferencia del subsistema C y O debe ser

)1(

1

)(

)(

+=

su

y

s

s

Mientras que la función de transferencia que corresponde a la dinámica descrita por las matrices (8) es:

)4).(3).(2).(1(

)4).(3).(2(.)..(

1

)(

)(

++++

+++=−= −

ssss

sssBAIsC

u

y

s

s (9)

Que tiene tres polos y ceros comunes. Este ejemplo ilustra que la función de transferencia de “orden mínimo” luego de cancelar los polos y ceros es el único componente que corresponde a un subsistema que es controlable y observable. Ejemplo 18: Consideremos una planta cuya función de transferencia es la siguiente:

)3).(2).(1(

)2).(1(

6.11.6

2.323

2

)(

)(

+++

++=

+++

++=

sss

ss

sss

ss

u

y

s

s

Las matrices del modelo que resulta de la descomposición directa de la misma, (Forma Canónica Controlable), serán:


−−−

=

6116

100

010

A ;

=

1

0

0

B ; [ ]132=C ; [ ]0=D

Por lo tanto la planta será controlable (como sabemos), pero como:

−−−=

=

92718

396

132

.

.2

AC

AC

C

V �|V| = 0 � Rango (V) = 1 ≠ 3

La misma será no observable. Su forma dual (F.C.O) será:

−

−

−

=

610

1101

600

A ;

=

1

3

2

B ; [ ]100=C ; [ ]0=D

Por ende será observable pero no controlable, pues:

[ ]

−

−

−

==

931

2793

1862

..2

BABABS � |V| = 0 �Rango (S) = 1≠ 3

Otro modelo de la misma planta puede ser el siguiente, (obtenido a través de una transformación lineal de similitud):

−

−

−

=

300

020

011

A ;

=

1

0

0

B ; [ ]111=C ; [ ]0=D

La función de transferencia deberá ser la misma o sea:

6.1.6

2.3.)..(

23

21

)(+++

++=−= −

sss

ssBAIsCGp s

Como:

[ ]

−

==

931

000

000

..2

BABABS � |V| = 0 �Rango (S) = 1≠ 3

� Planta de estado no controlable y

−−−=

=

911

311

111

.

.2

AC

AC

C

V �|V| = 0 � Rango (V) = 2 ≠ 3

� Planta de estado no observable La conclusión a la que se llega es, que dada una planta con una Gp(s) con polos y ceros comunes, las condiciones de controlabilidad y observabilidad


de la misma, dependen de cómo se eligen las variables de estado. Además, como ya se dijo, si la Gp(s) no tiene cancelación de polos y ceros, la planta será siempre controlable y observable cualesquiera sean las variables de estado elegidas. Teoremas de la Invariancia de la Controlabilidad y la Observabilidad. Ahora se investigarán los efectos de las transformaciones de semejanza sobre la controlabilidad y la observabilidad. También se investigarán los efectos de la realimentación del estado sobre la controlabilidad y la observabilidad. Teorema 10: Teorema de la invariancia debido a las transformaciones de semejanza. Considere el sistema descrito por las ecuaciones dinámicas (4) y (5). La transformación de semejanza

*

( ) ( ).t tx P x= , en donde P es no singular, transforma las ecuaciones a:

*

*( ) * *( ) ( )

** *

( ) ( )( )

. .

. .

tt t

t tt

d xA x B u

dt

y C x D u

= +

= +

en donde: * 1. .A P A P

−= y * 1.B P B

−= La controlabilidad de [A*, B*] y la observabilidad de [A*, C*] no se afectan por la transformación. En otras palabras, la controlabilidad y la observabilidad se conservan a través de transformaciones de semejanza. El teorema se comprueba fácilmente al mostrar que los rangos de S* y S y los rangos de V* y V son idénticos, en donde S* y V* son las matrices de controlabilidad y observabilidad, respectivamente, del sistema transformado. Tenemos que:

* * * * *2 * * 1 *. . ...... .

nS B A B A B A B

− =

Usando * 1. .A P A P−= y * 1

.B P B−= , nos queda: [ ].....................

111111*BPPAPPAPBPPAPBPS

−−−−−−= * 1 1 1 2 1 1

. . . . . ...... . .n

S P B P A B P A B P A B− − − − − =

* 1 2 1 1. . . ...... . .

nS P B A B A B A B P S− − − = =

Por lo tanto: * 1.S P S

−= (12) Como P-1 es no singular el rango de S será igual al de S*. Por lo tanto si la


planta es controlable con el modelo original, también lo será con el modelo transformado. Para la observabilidad se puede ver que:

*.V V P= (13)

Como P es no singular el rango de V será igual al de V*. Teorema 11: La Controlabilidad de una planta a controlar es invariante con respecto a la realimentación de los estados. Por ende el par [(A-BK), BG], para cualquier vector o matriz K (1xn), es controlable si y solo si el par [A, B] lo es. Se demuestra de la siguiente manera. La matriz de controlabilidad del sistema a lazo abierto es:

2 1. . ...... .

nS B A B A B A B

− =

y la matriz de controlabilidad del sistema a lazo cerrado será: 2 1

( . ). ( . ) . ...... ( . ) .n

KS B A B K B A B K B A B K B

− = − − − ; Si G = 1

No es difícil chequear que S y SK están relacionadas de la forma:

2

3

4

1 . .( . ). ...... ( . ) .

0 1 . ...... ( . ) .

0 0 1 ...... ( . ) ..

...... ...... ...... ...... ......

...... ...... ...... ...... ......

0 0 0 0 1

n

n

n

K

nxn

K B K A B K B K A B K B

K B K A B K B

K A B K BS S

−

−

−

− − − − −

− − − − −

=

Notar que como K(1xn) y B(nx1) , todos los elementos de la última matriz son escalares y como es triangular superior es no singular, por ende el rango de S es igual al de SK . Así el sistema de lazo cerrado es controlable si y solo si el de lazo abierto lo es. Por otra parte, si [A, B] no es controlable, no existe K que haga al par [(A-BK), B], sea controlable. En otras palabras, si la planta es no controlable, no puede convertirse n controlable el sistema de lazo cerrado por medio de la realimentación de los estados. Teorema 12: La Observabilidad de un sistema de lazo cerrado puede ser destruida por la realimentación de los estados. O sea, la observabilidad de un sistema no es


invariante (siempre) con respecto a la realimentación de los estados. El siguiente ejemplo demuestra esto: Ejemplo 19: Sea la planta siguiente:

6 10

1 3A

− − =

− − ;

0

1B

=

; [ ]2 2.5C = − ; 0D =

Se puede ver que el par [A, B] es controlable y el par [A,C] es observable, pues:

[ ]0 10

.1 3

S B A B−

= = −

� Rango(S) = 2 = n

2 2.5

. 9.5 12.5

CV

C A

− = =

− − � Rango (V) = 2 = n

La realimentación de los estados se define como: ( )( ) ( )

. . tt tu G r K u= − en donde: [ ]1 2

K k k= El sistema en lazo cerrado se describe por la ecuación de estado:

( ) ( ) ( )( . ). ( . ).t t tx A B K x B G r

•

= − +

1 2

6 10( . )

(1 ) (3 )A B K

K K

− − − =

− + − +

La matriz de la observabilidad en lazo cerrado es:

1 2

2 2,5

(2,5 9,5) (2,5 12,5).( . )

CV

K KC A B K

− = =

− −−

El determinante de V es: |V| = 6,25.K1 + 5. K2 – 48,75 Por lo que si K1 y K2 se eligen para que |V| = 0, el sistema en lazo cerrado será no observable. Como sabemos si un sistema es controlable pero no observable, deberá tener al menos un cero y un polo común la función de transferencia (pues ya se vio que la controlabilidad era invariante). O sea, si se elige uno o más polos que cancelen ceros de la Gp(s) vuelve a estos modos no observables. O sea que: 6,25. K1 + 5.K2 = 48,75 � K2 = 9,75 -1,25.K1 (14) Sería una recta en el plano K2 = f (K1), (la roja), y sus puntos serían valores de K = [K1 K2] que hacen al sistema de lazo cerrado no observable. Como

)8).(1(

)14.(5,2.)..(

1

)(++

+−=−= −

ss

sBAIsCG sp

Por lo tanto, si se eligen K1 y K2 de acuerdo a la relación (14), un polo se


ubicará en -14, y el otro en algún lugar del eje real. Para puntos fuera de esa recta, el sistema será observable, o sea ningún polo se ubicará en -14. Si además se desea que el sistema sea estable la relación entre K1 y K2 deberá ser:

[ ] 0).10.68().9(31

106.. 112

2

21

=−++++=+++

+=+− KKsKs

KsK

sKBAIs

Las restricciones serán: 09

2>+ K � 9- K

2>

y

0 )10.K-6.K(811

>+ � 3

4.

3

5 K 12 −> K

En el plano K2 = f (K1) la zona de estabilidad es sombreada y demarcada por las líneas azules en la figura 14. En ella también se observa la línea para que el sistema sea no observable (la roja, ecuación (14)). Para que el sistema sea estable y no observable:

⇒5 K

3,8

2

1

>

<K

en la ecuación 14.- En la gráfica están marcadas cuatro matrices K a saber:

1. [ ]08,7=K � polos en -14 y +5 2. [ ]58,3=K � polos en -14 y 0 3. [ ]75,90=K � polos en -14 y -4,75 4. [ ]152,4−=K � polos en -14 y -10

Si se elige [ ]152,4−=K resulta:

−

−−=

182,3

106cA ;

−=

=

4

00

GBc ; [ ]5,22 −=cC

Se elige G = - 4 para que M(0)= 1, sistema seguidor tipo 1.-

)14).(10(

)14.(.5,2.)...(

1

)(++

+−=+−= −

ss

sGBKBAIsCM ccs � Para G = - 4 �

)10(

10)(

+=

sM s

Esto demuestra también que la realimentación de los estados puede mover los polos paro no tiene ningún efecto sobre los ceros.


Figura 14: Principio de Dualidad. Este principio establece que: “Una planta será controlable (observable), si y solo si su planta dual es observable (controlable)”. O sea a partir de este principio de controlabilidad (observabilidad) de una planta cualquiera se puede verificar probando la observabilidad (controlabilidad) de su planta dual. Ejemplo 20: Una planta tiene las matrices siguientes:

−

−

−

=

300

021

101

A ;

=

1

0

0

B ; [ ]011=C ; 0=D

La forma dual será:

−

−

−

=

301

020

011

A ;

=

0

1

1

B ; [ ]100=C ; 0=D


Para el mismo:

[ ]

−

−

−

==

310

421

201

..2 BABABS � Rango ( S ) = 2 ≠ 3

Por ende el sistema original será no observable, conclusión que se puede llegar con:

TS

AC

AC

C

V =

−−

−=

=

342

120

011

.

.2

� Rango (V) = 2 ≠ 3 � planta no observable

Y como

−

−=

=

914

301

100

.

.2

AC

AC

C

V � Rango (V ) = 3 = n

Por lo tanto el sistema original será controlable. -------------------------------------------------

controlabilidad y observabilidad - d e a - departamento de...

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