controle avanÇado prof. andré laurindo maitelli dca-ufrn
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CONTROLE CONTROLE AVANÇADOAVANÇADO
Prof. André Laurindo MaitelliProf. André Laurindo Maitelli
DCA-UFRN
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IDENTIFICAÇÃO DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS SISTEMAS
DINÂMICOSDINÂMICOS
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IntroduçãoIntrodução• “É a determinação de um modelo matemático que
represente os aspectos essenciais do sistema, caracterizado pela manipulação dos sinais de entrada e saída que estão relacionados através de uma função de transferência contínua ou discreta”
• “É a determinação, com base em entradas e saídas, de um sistema em uma classe de sistemas especificados, ao qual o sistema em teste é equivalente”.
• Para processos industriais, o modelo pode ser obtido a partir do tratamento das medidas coletadas através de uma realização experimental
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IntroduçãoIntrodução
Processosaídaentrada
Modelo matemático do processo
Técnicas de Identificação
incertezas
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EtapasEtapas• Planejamento Experimental
– o sinal de entrada deve excitar todos os modos do sistema
– um bom método de identificação deve ser insensível às características do sinal de entrada
• Seleção da Estrutura do Modelo
– pode ser feita a modelagem usando leis físicas
– a modelagem pode ser do tipo caixa preta, quando não se tem nenhum conhecimento sobre o processo
– pode ser caixa cinza, quando se tem algum conhecimento
• Estimação de Parâmetros
– baseada em: dados de entrada e saída do processo, uma classe de modelos e um critério
• Validação
– verificação da adequação do modelo escolhido
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Laço de IdentificaçãoLaço de Identificação
Planejamento Experimental
Dados
Conjunto de modelos
Avaliação do modelo
Critério
Validação
OKusar
Não OK revisar
conhecimentoa priori
* O modelo pode ser deficiente devido a:- falha do procedimento numérico- critério mal escolhido- conjunto de modelos inapropriado- dados não informativos
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ProcedimentosProcedimentos• Diferentes procedimentos para a geração do
sinal de entrada, medição da saída e armazenamento dos dados:– Teste de resposta ao degrau– Teste de resposta em freqüência– Off-line– On-line
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ProcedimentosProcedimentos• Identificação de um processo pelo teste de
resposta ao degrau:
Processo Armazenamento de dados
entrada saída
• O teste só tem validade para processos lineares ou não-lineares linearizados em pontos de operação
• Não permite a identificação de modelos de ordem superior, pois o degrau tem pobre composição em freqüência
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ProcedimentosProcedimentos• Identificação de um processo pelo teste de
resposta em freqüência:
• Aplica-se um sinal senoidal de freqüência variável na entrada do processo
• Analisa-se as curvas de resposta em freqüência, identificando-se pólos e zeros
Processoentrada saídaAnalisador
de Espectro
módulo fase
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ProcedimentosProcedimentos• Identificação off-line:
– Excita-se o processo e armazenam-se as medidas de entrada e saída para aplicação e avaliação a posteriori dos algoritmos não recursivos
– É necessário o conhecimento da estrutura do modelo, envolvendo ordem e atraso de transporte
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ProcedimentosProcedimentos• Identificação on-line:
– Excita-se o processo e trata-se em tempo real as medidas de entrada e saída obtidas
– A aplicação em tempo real dos algoritmos de identificação é interessante para o rastreamento dos parâmetros variantes no tempo
– Supera uma desvantagem da aplicação off-line que é a necessidade de armazenamento de uma grande quantidade de dados.
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Estimação de ParâmetrosEstimação de Parâmetros
))k(u),k(y,(f)1k(y
ESTIMADOR
)k(u )k(y
Serão considerados modelos ARMAX:
)k(e)mk(ub...)2k(ub)1k(ub)nk(ya...)2k(ya)1k(ya)k(y m21n21
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Método dos Mínimos QuadradosMétodo dos Mínimos Quadrados
Supondo que foram feitas N medidas de entrada e saída:
)N(u),....,1(u),0(u )N(y),....,1(y),0(y
Definindo:
)N(y
)2(y
)1(y
Y
m
2
1
n
2
1
b
b
b
a
a
a
)N(e
)2(e
)1(e
e
)mN(u1N(u)nN(y)1N(y
)m2(u)1(u)n2(y)1(y
)m1(u)0(u)n1(y)0(y
X
eXY Tem-se:
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ExemploExemplo
)k(e)1k(bu)1k(ay)k(y
)N(e
)2(e
)1(e
b
a
)1N(u)1N(y
)1(u)1(y
)0(u)0(y
)N(y
)2(y
)1(y
eXY
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Método dos Mínimos QuadradosMétodo dos Mínimos Quadrados
• Problema a ser resolvido:– Dados Y e X, obter θ
• Solução: utilizar método dos mínimos quadrados. Escolher θ que minimize a função erro J:
N
1k
T2 ee)k(eJ
XYXYJ T
Mínimo quando: 0J
ˆ
0XXYXXYYY TTTTTT 0ˆXX2YX2 TT
YXXXˆ T1T
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Método dos Mínimos QuadradosMétodo dos Mínimos Quadrados
• Observações:– A solução existe se (XTX)-1, a chamada pseudo-
inversa, for não-singular– A seqüência escolhida de entradas {u(k)} deve
garantir a existência da não-singularidade– Se não houver a presença de incertezas (ruídos)
podemos achar em N=n+m passos– A matriz X cresce a medida que N cresce
YXXXˆ T1T
x
yp
yrMin Σ
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ExemploExemplo
)1k(u)1k(y8.0)k(y
Suponha y(0)=0 e que foi aplicada a seguinte entrada: u(0)=1 e u(1)=-1
Logo: y(1)= -0.8y(0)+u(0)= 1 y(2)= -0.8y(1)+u(1)= -1.8
8.1
1Y
11
10X
21
11
11
10
11
10XXT
11
12XX
1T
0.1
8.0
8.1
1
11
10
11
12
b
aˆ
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Propriedades Estatísticas do Propriedades Estatísticas do EstimadorEstimador
• Assumindo que e(k) é uma variável aleatória independente, gaussiana com média zero e variância σ2, ou seja,
0)k(eE ij2)j(e)i(eE
1) Média
eXXXXXXXeXXXXˆ T1TT1TT1T
eXXXˆ T1T }e{EXXXEEˆE T1T
Mas 0}e{E
ELogo:
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Propriedades Estatísticas do Propriedades Estatísticas do EstimadorEstimador
2) Covariância
TˆˆE
TT1TT1T eXXXeXXXE
1TTT1T XXXeeEXXX
IXX 21T Assim,
Os elementos da diagonal de Ψ representam as variâncias de cada parâmetro que compõe o vetor de parâmetros θ
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Propriedades Estatísticas do Propriedades Estatísticas do EstimadorEstimador
Para N observações:1T2
N
XX
N
Calculando:
1T2
NN N
XX
Nlimlim
Se o estimador for consistente:
1T
N N
XXlim
em que Γ é uma matriz constante não-singular
Então, 0limN
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Propriedades Estatísticas do Propriedades Estatísticas do EstimadorEstimador
Conclusão:
Se e E 0limN
Então quando N
O estimador é consistente
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Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados RecursivoQuadrados Recursivo
• Ideal para aplicações on-line em sistemas com parâmetros constantes e desconhecidos
)1N(e
)N(E
)1N(x
)N(X
)1N(y
)N(Y
T
1)e(Nm)1u(Nu(N)n)1y(Ny(N)1)y(N
)N(e
)2(e
)1(e
)mN(u)1N(u)nN(y)1N(y
)m2(u)1(u)n2(y)1(y
)m1(u)0(u)n1(y)0(y
)N(y
)2(y
)1(y
Generalizando, temos:
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Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados RecursivoQuadrados Recursivo
Já sabemos que:
Considerando: IZ)I(Z
NTNNN
TN
1
NTN YXPYXXXˆ
N
Logo, com (N+1) amostras: 1NT
1N
1
1NT
1N1 YXXXˆ
N
1N
NT
1N
1
1NT
1N1
y
Y
XXXˆ N
1N
N
1NTN
1
T1N
N
1NTN1
y
Y
xX
x
X
xXˆ N
1N1NNTN
1T1N1NN
TN1 yxYXxxXXˆ
N
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Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados RecursivoQuadrados Recursivo
Lema de Inversão de MatrizesLema de Inversão de Matrizes:
Sejam Anxn
bnx1, cnx1
A, (A+bcT) matrizes não-singulares
Então:
1111T11T bcAAbAc1AbcA
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Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados RecursivoQuadrados Recursivo
Definindo: 1T1N1NN
TN1N xxXXP
E usando o lema de inversão de matrizes, com:
T1N
T1NN
TN xc ,xb ,XXA
1
NTN
T1N1N
1
NTN
1
1N
1
NTN
T1N
1
NTN1N XXxxXXxXXx1XXP
NT
1N1NN
1
1NNT
1N1N PxxPxPx1IP
Temos que:
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Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados RecursivoQuadrados Recursivo
Assim: 1N1NNTN1N1N yxYXPˆ
1N1NNTNN
T1N1NN
1
1NNT
1N1N yxYXPxxPxPx1Iˆ
1N1NNTNN
T1N1NN
1
1NNT
1N1N1NNNTNN1N yxYXPxxPxPx1yxPYXPˆ
1N1NNT
1N1NNNTNN
T1N1NN1N1NN1NN
T1N
1
1NNT
1NN1N yxPxxPYXPxxPyxPxPx1xPx1ˆˆ
1N1NNT
1NNTNN
T1N1N1NN
T1N1NN
1
1NNT
1NN1N yxPxYXPxyxPx1xPxPx1ˆˆ
NT
1N1N1NN
1
1NNT
1NN1NˆxyxPxPx1ˆˆ
Finalmente, temos que:
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Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados RecursivoQuadrados Recursivo
Assim:
)1mN(u)N(u)1nN(y)N(yx T1N
Em que:
É chamado de regressorregressor e contém as informações de entrada e saída
NT
1NN1N
NT
1N1NNN1N
1NN
1
1NNT
1NN
PxKIP
ˆxyKˆˆ
xPxPx1K
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Seleção de PSeleção de P00 e e
1) Calculando os primeiros k pontos:
2) arbitrário
0
kTk
1
kTkk YXXXˆ
1
kTkk XXP
0
IP0
Na k-ésima iteração os valores de e se aproximamdaqueles calculados em 1) se α→infinito
k kP
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Seleção de PSeleção de P00 e e 0
1Tkk
11kk xxPP
1T
1k1k12k1k xxPP
1Tkk
T1k1k
T11
10k xxxx....xxPP
1Tkk
T1k1k
12kk xxxxPP
1
kTk
1ok XXPP
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Seleção de PSeleção de P00 e e 0
kTkkk YxPˆ
k
1k
kT
1kkk
y
Y
xXPˆ
kk1kT
1kkk yxYXPˆ
kk
1k
2k
1kT
2kkk yx
y
Y
xXPˆ
kk110T0kk yx....yxYXPˆ
kTk0
10kk YXˆPPˆ
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Seleção de PSeleção de P00 e e 0
Conclusão:Para (α grande) e arbitrário:IP0 0
0P 10
kTkkk YXPˆ 1
kTkk XXP
Isto significa que, nestas condições, o método recursivo aproxima-se do exato.
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Excitação PersistenteExcitação Persistente• O sinal de controle deve ser escolhido de
forma a excitar todos os modos do sistema;• Para tanto deve ser rico em freqüências• Um sinal muito utilizado na prática é o
PRBS (Pseudo Random Binary Signal), por possuir estas características
+1
-1
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Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Quadrados Recursivo com Fator de
EsquecimentoEsquecimento
• Utilizado para sistemas variantes no tempo;
• A idéia é dar um maior “peso” aos dados mais atuais;
• Deve-se ter um cuidado na escolha do fator de esquecimento;
• Alternativamente, pode-se utilizar outros métodos como o “reset” da matriz de covariância.
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Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Quadrados Recursivo com Fator de
EsquecimentoEsquecimentoDefinindo:
T2N1NN )N(e)2(e)1(e
NTNN EEJ
NTN
1
NTNN YXXXˆ
)N(e)1N(e....)2(e)1(e)k(eJ 2222N21N2N
1k
kNN
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Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Quadrados Recursivo com Fator de
EsquecimentoEsquecimento
)k(eJ 21N
1k
k1N1N
T2N1N1N )1N(e)N(e)2(e)1(e
Assim,
)1N(e
E
EN
1N
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Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Quadrados Recursivo com Fator de
EsquecimentoEsquecimento
1N
N
T1N
N
1N
N
e
E
x
X
y
Y
1NT
1N
1
1NT
1N1N YXXXˆ
1N
N
1NTN
1
T1N
N
1NTN1N
y
Y
xX
x
X
xXˆ
1N1NNTN
1T1N1NN
TN1N yxYXxxXXˆ
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Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Quadrados Recursivo com Fator de
EsquecimentoEsquecimento
NT
1NN1N
NT
1N1NNN1N
1NN
1
1NNT
1NN
PxKI1
P
ˆxyKˆˆ
xPxPxK
10
Usualmente λ entre 0.995 e 1
Definindo: 1T1N1NN
TN1N xxXXP
E usando procedimento semelhante ao caso sem esquecimento,obtém-se:
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Seleção da Estrutura do ModeloSeleção da Estrutura do Modelo
• A seleção da estrutura de um modelo, no caso de sistemas monovariáveis limita-se à determinação da ordem do modelo e a determinação do atraso de transporte;
• A partir desta afirmação surge um compromisso entre a capacidade de representação da dinâmica essencial do sistema e um número adequado de parâmetros que possibilite menor esforço para o processamento dos algoritmos de identificação e controle;
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Seleção da Estrutura do ModeloSeleção da Estrutura do Modelo
• Definindo: 2N
1kk
T1kNˆx)1k(y
N
1J
• Podemos utilizar o critério de Akaike para determinar a melhor estrutura:
p2JlnNAIC N
• em que N é o numero de medidas realizadas durante o experimento e p é o número de parâmetros utilizados no modelo estimado;
![Page 40: CONTROLE AVANÇADO Prof. André Laurindo Maitelli DCA-UFRN](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081419/552fc0f9497959413d8b734f/html5/thumbnails/40.jpg)
Seleção da Estrutura do ModeloSeleção da Estrutura do Modelo
• O critério é utilizado da seguinte maneira:– inicia-se com a utilização de um modelo de
baixa ordem, n=m=1, por exemplo;– aumenta-se a ordem do modelo estimado e o
critério é avaliado para cada incremento na ordem, utilizando um determinado conjunto de medidas;
– A escolha da estrutura adequada é baseada na menor taxa de variação do critério.