controle digital - ene.unb.br · transformada z modificada permite calcular valores entre os...
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Controle Digital
Prof. Adolfo Bauchspiess
ENE/FT/UnB
1CDig-ENE/UnB
1. Introdução - Sistema de Controle Digital
2CDig-ENE/UnB
Conversor A/D - Quantização
3CDig-ENE/UnB
Sistema de Controle Digital - Sinais
Obs: Referência e detetor de erro podem também ser implementados em software.(Ogata, Discrete Control)
4CDig-ENE/UnB
3.2 Efeito da Amostragem
• Hold Atraso no sistema realimentado prejudica a estabilidade e o amortecimento
Eq. A e(kT) u(kT) u(t)Eq. A diferenças
D/A Holde(kT) u(kT) u(t)
Atraso médio T/2 → análise do sistema contínuo com Hold
Ts
TsGh /2
/2)(
+= (Padé)
5CDig-ENE/UnB
Análise no domínio ω
• T →= exp(-jωT)
• Atraso T/2→redução de fase δϕ = - ωT/2T →= exp(-jωT)
6CDig-ENE/UnB
Exemplo 3.3
Redução da Margem de Ts
TsG
s
ssD
sssG
h +=
++=
+=
/2
/2)(
10
270)(
)1(
1)(
Margem de Fase
ML
TjDGfeedbackssys
GhDGfeedbackssys
DGfeedbackssys
→
−===
)1),2/exp(**()(2
)1,**()(1
)1,*()(0
ω
7CDig-ENE/UnB
Exemplo 3.3
-60
-40
-20
0
20
40
Mag
nitu
de (
dB)
Bode Diagram
sys0
sys1
sys2
)1),2/exp(**()(2
)1,**()(1
)1,*()(0
/2
/2)(;
10
270)(;
)1(
1)(
TjDGfeedbackssys
GhDGfeedbackssys
DGfeedbackssys
Ts
TsG
s
ssD
sssG h
ω−===
+=
++=
+=
-80
-60
100
101
102
-720
-540
-360
-180
Pha
se (
deg)
Frequency (rad/sec)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.5
1
1.5Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
8CDig-ENE/UnB
Controle PID por emulação (CDigPrj1)
T
kxkxxEulerdemétodopeloçãoDigitaliza
)()1( −+=&
)()1()()()(:
)()()()(:
0
+−= →=
=→=
∫ keT
Kkukude
T
KtuI
kKekutKetuP
i
tEuler
i
ηη
[ ])1()()()()(:
0
−−= →= kekeT
KTkute
T
KtuD dEuler
d
&
−+−+−
+++−= )2()1()21()(1)1()( ke
T
Tke
T
Tke
T
T
T
TKkuku ddd
i
)()1
1()(
)()( eT
T
eeKusT
sTK
se
susD d
id
i
&&&& ++=⇒++==
Projeto Contínuo→discreto: ~30BW, quase-contínuoPID discreto
9CDig-ENE/UnB
4 - Análise de Sistemas Discretos
Computador como controlador Dinâmico:
Caso Linear, finito: eq. de recorrência
Origem do nome:
eq. a diferenças (b0=b2=0)
10CDig-ENE/UnB
A Função de Transferência Discreta
Transformada Z de e0, e1,... ek,....
Exemplo:
11CDig-ENE/UnB
A Função de Transferência Discreta
)(
)(ˆ)(
zE
zUzH =
H(z)E(z) U(z)
12CDig-ENE/UnB
Pólos e Zeros
MatLab: >> H = tf([b0 b1 ... bm],[1 a1 a2 ... an],T)
>> H2 = zpk(z, p, k, T)>> H2 = zpk(z, p, k, T)
>> H2 = zpk(H)
>> H= tf(H2)
Ex: degrau unitário H(z) = z-1 → uk=ek-1 z-1
E(z) U(z)
T13CDig-ENE/UnB
Diagramas de Blocos
14CDig-ENE/UnB
Formas Canônicas
Forma Canônica Controlável (Franklin)15CDig-ENE/UnB
Forma canônica observável (Franklin)
16CDig-ENE/UnB
Resposta ao Pulso Unitário
Transformada da respostaTransformada da respostaao pulso unitário
17CDig-ENE/UnB
Exemplo:
18CDig-ENE/UnB
Convolução
Produto no domínioda frequência:
Convolução no domíniodo tempo discretodo tempo discreto
19CDig-ENE/UnB
BIBO Estabilidade
Entrada limitada:
Saída limitada se:
20CDig-ENE/UnB
Exemplo - BIBO Estabilidade
Sistema discreto:
Resposta a umPulso unitário:
Estabilidade:
21CDig-ENE/UnB
Modelo Discreto de Sistemas Amostrados
Pulso unitário
D/A A/DG(s)u(kT) u(t) y(t) y(kT)
Modelo discreto equivalente de G(s)22CDig-ENE/UnB
Exemplo:
Modelo discreto equivalente com ZOH
as
asG
+=)(
23CDig-ENE/UnB
4.4 Resposta Dinâmica
Procedimento:
1. H(z)
2. E(z)
3. U(z)=E(z) H(z)
4. u(kT)
H(z)E(z) U(z)
24CDig-ENE/UnB
Pulso Unitário
U(z)=1.H(z) Função de transferência discreta é a resposta ao pulso unitário.
25CDig-ENE/UnB
Degrau Unitário
26CDig-ENE/UnB
Exponencial
27CDig-ENE/UnB
Senóide GenéricaDecompondo em parcelas:
28CDig-ENE/UnB
Mapeamento de pólos – ζ e ωn ctes
29CDig-ENE/UnB
Correspondência com sinais contínuos
Com T=1 seg.
30CDig-ENE/UnB
Sequências temporais associadas às posições dos pólos dos pólos no plano Z
31CDig-ENE/UnB
Mapeamento de Linhas Características
NT
jssπ2
12 +=Mapeamento não unívoco:
32CDig-ENE/UnB
Resposta em Frequência
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
entrada
saída
Considerando
0 1 2 3 4 5 6 7 8-1
-0.8
-0.6
33CDig-ENE/UnB
Propriedades da Transformada Z
1. Linearidade
2. Convolução de sequências temporais
CDig-ENE/UnB 34
Propriedades da Transformada Z...
3. Deslocamento no tempo
4. Escalonamento em z
Ex:
CDig-ENE/UnB 35
Propriedades da Transformada Z...
6. a) Inversão por divisão longa
Ex:
CDig-ENE/UnB 36
Propriedades da Transformada Z...6.a) Inversão por divisão longa Ex:...
Por comparação direta:
CDig-ENE/UnB 37
Propriedades da Transformada Z...
6.b) Inversão por expansão em frações parciais
Ex:
CDig-ENE/UnB 38
5-Sistemas Amostrados
1. Sample & Hold
CDig-ENE/UnB 39
S&H – Análise Matemática
Separar Sample de Hold
Amostragem => modulação por impulsos
Propriedade*
CDig-ENE/UnB 40
T. Laplace de um sinal amostrado
Para o impulso
CDig-ENE/UnB 41
Segurador de Ordem Zero
CDig-ENE/UnB 42
Segurador de Ordem Zero
CDig-ENE/UnB 43
Espectro de um Sinal Amostrado
Representação da série de impulsos por Fourier
CDig-ENE/UnB 44’
Espectro de um Sinal Amostrado...
Tsπω 2= Freq. De amostragem (rad/s)
CDig-ENE/UnB 45
Espectro de um Sinal Amostrado...
Espectro de Amplitude
CDig-ENE/UnB 46
Espectro do sinal Amostrado → aliasing
2π
])2
([
)(
0
1
1
43421ω
πω
ω
TjR
dealiasjR
−
Exemplo – Alias
Sinais de 1/8 Hz e 7/8Hz amostrados a 1Hz
0.2
0.4
0.6
0.8
1
snT
n ωωπω +=+ 112
CDig-ENE/UnB 47
f0=1/8 -1 = -7/8 →senoide invertida0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
w1=2*pi*1/8; w2=2*pi*7/8; t=0:0.01:10; T=0:10,plot(t,sin(-w1*t),t,sin(w2*t),T,sin(-w1*T),'*')
Alias
Componentes de alta frequência geram erros quando amostrados
preceder S&H por filtro passa-baixas anti-alias
Remover componentes e espectrais acima de π/T
CDig-ENE/UnB 48
π/T → frequência de Nyquist
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Teorema da Amostragem
• π/T → frequência de Nyquist
Sinais sem componentes acima da freq. de Nyquist
CDig-ENE/UnB 49
são representados/recuperados de forma única
de suas amostras
A frequência de amostragem, ωs=2π/T deve ser pelo
menos duas vezes a maior frequência (π/T) do sinal.
Interpolação de Sinais Amostrados
• Filtro Passa-Baixas Ideal→reconstrução de r(t) a partir de suas amostras
T L(jω)
-π/T π/T ω
CDig-ENE/UnB 50
Resposta ao Impulso acausal
Interpolação de Sinais Amostrados ...
• Recuperação do sinal analógico
Propriedade de amostragem
T L(jω)
-π/T π/T ω
Propriedade de amostragem
Filtro ideal:
Acausal → Não é realizável!!
→adicionar atraso(ZOH)
CDig-ENE/UnB 51
Recuperação do sinal analógico, via ZOH do conversor A/D(Aceitar um atraso de T/2)
CDig-ENE/UnB 52
Atraso T/2
Senóideamostrada
CDig-ENE/UnB 53
Harmônica Fundamental:
ZOH)sin()( 0tAtv ω=
Alteração de amplitude e fase
Senóideamostrada
CDig-ENE/UnB 54
Harmônica Fundamental:
)sin()( 0tAtv ω= ZOH
Análise de Diagramas de Blocos
Funções de transferência discretas equivalentes?
CDig-ENE/UnB 55
Definição: Transformada de Laplacedo sinal amostrado
sTez =
Propriedade da Amostragem (E(s)*G(s))*= E(s)*G(s)*
Propriedade básica para Simplificar diagramas de blocos
CDig-ENE/UnB 56
*)()(*)(*
*))()(()(*
)()()(
:Importante
sGsEsU
sGsEsU
sGsEsU
≠=
=
zesTsUzU == )(*)(
notação
Exemplo
CDig-ENE/UnB 57
Retirando os sinais periódicos:
Denominando
Exemplo
Controlador:
Solução:
CDig-ENE/UnB 58
Modelo equivalente(Transf. Inv. Ao degrau)
Outro exemplo
Eq. do sistema:
Amostrando:
CDig-ENE/UnB 59
Não existe função de transferência (Y*/R*)
Sistema variante no tempo!!
≠
Obtenção Experimental do Ganho de Malha Aberta: sinal w, r = 0
1) Sinais w genéricos
CDig-ENE/UnB 60
função de transferência MA (E2*/E1*)
(sinal W fica misturado)
2) Sinal senoidal (uma exponencial por vez)
ω0 < π/T → sem sobreposição do espectro
CDig-ENE/UnB 61
G* = G p/ |ω| < π/T
F.T. MA!
3) F.T. MA: G com filtropassa-baixas anti-alias
|G| = 0 p/ |ω| > π/T
4) w aplicado via Sample & Hold
F.T. MA discreta
CDig-ENE/UnB 62
Transformada Z modificada
Permite calcular valores entre os instantes de amostragem
Verificar oscilações escondidas
→ escolher outra taxa de amostragem!!
1.4
→ escolher outra taxa de amostragem!!
→ Simulink
CDig-ENE/UnB 630 5 10 15 20 25 30 35 40
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Zero-OrderHold
StepScope
80
(s+3)(s+.5+25j)(s+.5-25j)
Processo
15(z-.9)
(z-1)(z-0.7)
ControladorDiscreto Ta=1seg
6. Sistemas Discretos EquivalentesExemplo:
(Eq. Diferencial)
CDig-ENE/UnB 64
u(kT) = u(kT-T) + Área
Alguns métodos de integração simples
1) Regra Retangular em Avanço (Euler)
2) Regra Retangular em Atraso
CDig-ENE/UnB 65
2) Regra Retangular em Atraso
3) Regra Trapezoidal
CDig-ENE/UnB 66
Alguns métodos de discretização
CDig-ENE/UnB 67
Mapeamento da Região de EstabilidadeRetangular em avanço Retangular em atraso Trapezoidal
CDig-ENE/UnB 68
z = 1 + Ts
a)
Filtro estável em s (SPE)pode ser mapeado em umfiltro discreto instável (pólos |zi|>1)
Equivalente Prewarp – Pré-Compensação
• Corrige a distorção que ocorre na frequênciadevido ao atraso T/2 do sistema discreto.
• Em geral, o ajuste do ganho é feito na frequência de corte do sistema → Neste ponto, ω1 , os sistema contínuo e discreto passam a ter o mesmo ganho.
CDig-ENE/UnB 69
Equivalente discreto via casamento Pólo-Zero (Pole-Zero Matching)
Regras heurísticas p/ zeros tb. z=esT
>> sd=c2d(sys,T,’matched’)
1. Pólos z=esT
2. Zeros finitos mapeados tb. por z=esT2. Zeros finitos mapeados tb. por z=esT
3. a) Zeros de H(s) em s = ∞ mapeados em HZP(z) em -1z = ej0 = 1 → z = ejπ = -1 (maior freq. possível em z)b) se se deseja um delay: mapear um zero em ∞ e os demais em -1
4. GanhoH(s)|s=0 = Hzp(z)|z=1
CDig-ENE/UnB 70
Exemplo: pole-zero matching
Solução:
Pólo em s = -a → pólo de H(z) em e-aT
Zero s = ∞ → zero de H(z) em z = -1
Ganho de H(s) em s = 0 é 1 → para casar
CDig-ENE/UnB 71
H(z) em z = 1 deve ter ganho (1 – e-aT)/2
3.a)
3.b)
Equivalentes “Hold” (Segurador)
CDig-ENE/UnB 72
>> sd = c2d (sys,T,’zoh’)
ou >> sd = c2d(sys,T)
Equivalente segurador de ordem zero
Exemplo: equivalente ZOH
CDig-ENE/UnB 73
Equivalente “Hold” de 1ª ordem (Segurador triangular)
h(t)
Resposta ao impulso:
Não-causal!!
CDig-ENE/UnB 74
O sistema contínuo é não causal, porém seu discreto equivalente é realizável (causal)!!
Equivalente segurador de 1ª ordem
Exemplo: equivalente discreto FOH
H(s) = 1/s2
Processo:
Signal
1s
Integrator1
1s
Integrator
1
Gain
CDig-ENE/UnB 75
Zero-OrderHold
SignalGenerator Scope
1s
Integrator3
1s
Integrator2
Integrator1Integrator
1
Gain2
1
Gain1
Gain
z -2z+12
T*T/6*[1 4 1](z)
DiscreteTransfer Fcn
Exemplo: equivalente discreto FOH
2
4
6
8
ref
yC
yZOH
yFOH
CDig-ENE/UnB 76
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8
-6
-4
-2
0
Exemplo: equivalente discreto FOH
2
3
4
ref
yC
yZOH
yFOH
CDig-ENE/UnB 77
10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5
-2
-1
0
1
10.8 10.9 11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6
-0.5
0
0.5
1
ref
yC
yZOH
yFOH
Cuidado com a extrapolação !!
2
4
6
8
440 450 460 470
-2
-1
0
1
2
ref
yC
yZOH
yFOH
CDig-ENE/UnB 78
100 150 200 250 300 350 400 450 500-8
-6
-4
-2
0
440 450 460 470
440 441 442 443 444
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
ref
yC
yZOH
yFOH
Reconstrução a partir das amostras
0 1 2 3 4 5 6 7-10
-5
0
5
10
5
10
>> reconstr(n);
y = A1*sin(w1*t+a1)+A2*sin(w2*t+a2)
n=4A1=4; A2=1;w1=2; w2=10;a1=pi/5; a2=pi/16;a1=0; a2=0;ws=15;
CDig-ENE/UnB 79
0 1 2 3 4 5 6 7-10
-5
0
0 1 2 3 4 5 6 7-5
0
5
for i=1:4:n-1y = A1*cos(a1)*sinc((w(i)*T/2)/pi)*sin(w(i)*t-w(i)*T/2)...
+ A1*sin(a1)*sinc((w(i)*T/2)/pi)*cos(w(i)*t-w(i)*T/2)... + A1*cos(a1)*sinc((w(i+2)*T/2)/pi)*sin(w(i+2)*t-w(i+2)*T/2-pi)...+ A1*sin(a1)*sinc((w(i+2)*T/2)/pi)*cos(w(i+2)*t-w(i+2)*T/2)...+ A2*cos(a2)*sinc((w(i+1)*T/2)/pi)*sin(w(i+1)*t-w(i+1)*T/2)...+ A2*sin(a2)*sinc((w(i+1)*T/2)/pi)*cos(w(i+1)*t-w(i+1)*T/2)...+ A2*cos(a2)*sinc((w(i+3)*T/2)/pi)*sin(w(i+3)*t-w(i+3)*T/2-pi)...+ A2*sin(a2)*sinc((w(i+3)*T/2)/pi)*cos(w(i+3)*t-w(i+3)*T/2);
...end
n =10
n = 5000
Especificação de projeto em Z(Dinâmica dominante de 2ª ordem sem zeros)
0.6
0.8
1
0.30.20.10.7π/T
0.6π/T0.5π/T
0.4π/T
0.3π/T
0.6
0.8
1
0.30.20.10.7π/T
0.6π/T0.5π/T
0.4π/T
0.3π/T
spec_z(zeta, tr, ts, T) - Mostra no plano z a regiao que atende a especificaçao
zeta - fator de amortecimento (%UP = exp-(pi*zeta)/sqrt(1-zeta^2))tr - tempo de subida 10 - 90% (wn >= 1.8/tr)ts - tempo de acomodaçao 1% (sigma >= 4.6/ts)T - taxa de amostragem
CDig-ENE/UnB 80
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.90.80.70.60.50.40.3
π/T
0.9π/T
0.8π/T
0.7π/T
0.6π/T0.5π/T
0.4π/T
0.3π/T
0.2π/T
0.1π/T
π/T
0.9π/T
0.8π/T 0.2π/T
0.1π/T
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.90.80.70.60.50.40.3
π/T
0.9π/T
0.8π/T
0.7π/T
0.6π/T0.5π/T
0.4π/T
0.3π/T
0.2π/T
0.1π/T
π/T
0.9π/T
0.8π/T 0.2π/T
0.1π/T
spec_z(.8, .5,1,.1)spec_z(.2, 1,10,.1)
7. Projeto utilizando Transformadas
• Controle Clássico – Transformada de Laplace
– Transformada Z
1
• Controle Moderno – Espaço de Estados
CDig-ENE/UnB 81
11 1 z-1z-1 z-1 y
11 1 z-1
z-1
y
1
-1 -0,008
0,04
r 1
-0,28
0,4
-1
x2
x1x2
x1
1,8
1,8
0,8
1
^^
-1
1
Processo
Canal PI
Observador
1
0,89
-0,8
-0,8
7. Projeto utilizando Transformadas
• Especificações (aprox. de 2ª ordem, sem zeros)
– Tempo de subida ↔ frequência natural
– Tempo de acomodação
– Sobressinal ↔ Fator de amortecimento
– Coeficiente de Erro de Velocidade
CDig-ENE/UnB 82
21 ζ
πζ
−
−
= eM p
Escolha da Taxa de AmostragemT deve levar, em Malha Fechada, a 6 amostras entre 0 e tr
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1
1.2
1.4
Inadequado
CDig-ENE/UnB 83
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
t/seg
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
T=1s; 3 amostras (0 e tr)
T=0,5 s; 6 amostras (0 e tr)
T=0,3 s; 10 amostras (0 e tr)22
22 ++ ss
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t/seg
r,y
Resposta “suave”
Adequado
Inadequado
Exemplo: Escolha da Taxa de Amostragem
Relação entre a frequência de amostragem e a frequência natural para N=10 (0 e tr) ?
A taxa de amostragem deve ser35 vezes a frequência natural !
CDig-ENE/UnB 84
35 vezes a frequência natural !
(aprox. de 2ª ordem, sem zeros)
Exemplo – Projeto Antena – rastreador angular
Especificações-Sobrepasso, degrau de entrada: 16%- Tempo de acomodação (1%) < 10 seg- ess rastreamento rampa de inclinação 0,01 rad/seg menor que 0,01 rad-10 amostras dentro de tr
CDig-ENE/UnB 85
)110(
1)(
+=
sssG
Antena
-0.01
0
0.01
0.02
0.03Root Locus
Imag
inar
y A
xis
)110(
1)(
+=
sssG
Malha Aberta
Projeto contínuo (em s)Proposta:
Compensador em AvançoCancelar polo em 0,1
1
110)(
++=
s
ssD
Root Locus
0.6
0.8
1
System: gGain: 0.998
CDig-ENE/UnB 86
-0.1 -0.05 0-0.03
-0.02
Real Axis
Malha Aberta
Solução
101,0
01,0
46,010
6,4
5,0%16
≥→≥
≥→≥
=→=
vv
p
KK
M
σσ
ζ
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6Pole: -0.5 + 0.865iDamping: 0.5Overshoot (%): 16.3Frequency (rad/sec): 0.999
Antena )110(
1)(
+=
sssG
Implementação discreta por emulação: Pole-Zero Matcing
1
110)(
++=
s
ssD
.2,018,010/
8,1
1.
segTsegtT
segt
naturalFreq
r
r
n
=→===
=ω
)( 1−= zzKzD
CDig-ENE/UnB 87
8187,0
9802,0
)(
2,0.11
2,0.1,01
1
1
==
==
−−=
−
−
ep
ez
pz
zzKzD
Ganho DC: 15,98187,01
9802,011)(lim)(lim
01=⇒
−−===
→→KKsDzD
sz
8187,0
9802,015,9)(
−−=
z
zzD
Implementação do Controlador8187,0
9802,015,9)(
−−=
z
zzD
CDig-ENE/UnB 88
Equação de recorrência:
Projeto Completo
CDig-ENE/UnB 89
Projeto Completo
CDig-ENE/UnB 90
Simulação do Projeto por emulaçãoStep Response
Am
plitu
de
0.8
1
1.2
1.4
System: ContínuoTime (sec): 3.58Amplitude: 1.16
System: Discreto T=0,2Time (sec): 3.6Amplitude: 1.21 Discreto T=0,2
Contínuo
110)(
ssD
+=
T=0,2 seg
CDig-ENE/UnB 91
Time (sec)
Am
plitu
de
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8187)-(
0.9802)-( 9.15 )(
0.9802)-( 1)-(
0.9934)+( 0.00199)(
1)(
z
zzD
zz
zzG
ssD
=
=
+=
21% de sobresinal em vez dos 16% especificados !
Simulação do Projeto por emulação
110)(
+= ssD
T=1 seg
1
1.5
System: discreto T=1Time (sec): 5Amplitude: 1.41
Step Response
Am
plitu
de
discreto T=1
contínuo
CDig-ENE/UnB 92
0.3679)-(z
0.9368)-(z 64.6 )(
0.9048)-(z 1)-(z
0.9672)+(z 0.048374)(
1)(
=
=
+=
zD
zG
ssD
41% de sobresinal em vez dos 16% especificados !
0 5 10 15 20 25 30 350
0.5
Time (sec)
Am
plitu
de
Projeto direto LGR no plano Z
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.9
0.80.70.60.50.40.3
0.2
0.1
0.9π/T
0.8π/T
0.7π/T
0.6π/T0.5π/T
0.4π/T
0.3π/T
0.2π/T
0.1π/T
contínuosistM pn ζω ).(,,
CDig-ENE/UnB 93
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0π/T
0.9π/T
0.8π/T
0.7π/T
0.6π/T0.5π/T
0.4π/T
0.3π/T
0.2π/T
0.1π/T
π/T
zgrid
er Tn
σζωσ −=⇒=
Projeto Aastreamento Antena
101,0
01,0
46,010
6,4
5,0%16
≥→≥
≥→≥
=→=
vv
p
KK
M
σσ
ζ
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.9
0.80.70.60.50.40.3
0.2
0.1
0.9π/T
0.8π/T
0.7π/T
0.6π/T0.5π/T
0.4π/T
0.3π/T
0.2π/T
0.1π/T
CDig-ENE/UnB 94
9048,0
64,0/2/10
10/
5,0 ==
====
− T
n
n
er
TN
TN
ππωπω
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.9
π/T
0.9π/T
0.8π/T
0.7π/T
0.6π/T0.5π/T
0.4π/T
0.3π/T
0.2π/T
0.1π/T
π/T
Coeficientes de Erro
z
zGzDz
z
zGzD
zRzE
s
sGZzzG
tipo
+−=
+=
−= −
1
)()(1
1
1)()(1
)()(
)()1()(
0
1
Tzzte
zGzDz
TzzE
zempolotemDGtipo
1)1lim()(
)()(1
1
)1()(
)1(1
2
−=∞→
+−=
=
CDig-ENE/UnB 95
p
z
Kte
GD
zGzDz
zzte
+=∞→
+=
+−−=∞→
→
1
1)(
)1()1(1
1
)()(1
1
1)1lim()(
1
vz
z
KzGzDz
Tz
zGzDzzte
1
))()(1)(1(lim
)()(1)1()1lim()(
1
21
∆
→
→
=+−
=
+−−=∞→
Tz
zGzDzK
zv
)()()1(lim
1
−=→
LGR Discreto 0)()(1 =+ zGzD
0.9048)-(z 1)-(z
0.9672)+(z0.048374)( KzG =
3
Root Locus
0.6
0.8
Root Locus
Controle Proporcional: muito lento e/ou oscilatório!
CDig-ENE/UnB 96
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
-3
-2
-1
0
1
2
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Controle Proporcional
• O raio dos pólos é sempre menor que 0,95
92,019
9048,05,0
=→=== −
v
T
KK
er → necessário compensador dinâmico
→ instável
CDig-ENE/UnB 97
v
)9048.0(
)9672.0(0484.0)1(lim
)()()1(lim
11 −+−=−=
→→ zTz
zz
Tz
zGzDzK
zzv
→ instável
Compensador em Avanço
)3679.0(
)9048.0()(
−−=
z
zzD → Emulação do Compensador em Avanço, T=1 seg, K=6,64
0.5
1
1.5
System: untitled1
Root Locus
1.5
System: dicreto T=1Time (sec): 5Amplitude: 1.47
Step Response
dicreto T=1
contínuo
CDig-ENE/UnB 98
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5 System: untitled1Gain: 6.7Pole: 0.522 + 0.639iDamping: 0.212Overshoot (%): 50.7Frequency (rad/sec): 0.907
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
0 5 10 15 20 25 30 350
0.5
1
Time (sec)
Am
plitu
de
Especificações no plano Z• Trazer os pólos mais para a esquerda→ aumentar o avanço.
5,05,0
61,010
)()()1(lim1
1.5,0
1
=→≥=→≤
−=→≥
−→
ζζ deespiral
rst
Tz
zGzDzKK
s
zvv
)05.0(
)8.0(6)(
−−=
z
zzD
1.4Step Response
Kv=1,26
Root Locus
CDig-ENE/UnB 99
0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time (sec)
Am
plitu
de
-1
-0.5
0
0.5
1
0.1π/T
0.2π/T
0.3π/T
0.4π/T0.5π/T
0.6π/T
0.7π/T
0.8π/T
0.9π/T
π/T
0.1π/T
0.2π/T
0.3π/T
0.4π/T0.5π/T
0.6π/T
0.7π/T
0.8π/T
0.9π/T
π/T
0.1
0.2
0.30.40.50.60.70.80.9
Pólo em z=0,74 e zero em z=0,8degradam a respostade sistema de 2ª ordem
Mp=29%, ts = 15 seg
Ajuste Fino )5.0(
)88.0(13)(
+−=
z
zzD
0.4
0.6
0.8
Root Locus
1
1.2
1.4Step Response
Kv=1,04
CDig-ENE/UnB 100
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
Time (sec)
Am
plitu
de
Cuidado!!Oscilações Escondidas
)8.0(
)8.0(9)(
+−=
z
zzD
0.8
1Root Locus
0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Am
plitu
de
1.4
CDig-ENE/UnB 101
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Time (sec)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Latência PrópriateEstritamenFunçãozz
zzD
)5.0(
)88.0(13)(
+−=
1.4
1.6
1.8
2Step Response
CDig-ENE/UnB 102
0 20 40 60 80 100 120 1400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time (sec)
Am
plitu
de
Projeto com pólo na origem
0.5
1
Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1)
Am
plitu
de
1
1.2
1.4
)9.0(
)83.0(6)(
+−=zz
zzD
CDig-ENE/UnB 103
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
Real Axis
Imag
Axi
s
Time (sec)
0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8