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CONTROLE IIProf. Samuel Bettoni 21/08/12
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Transformada Z
A transformada Z é aplicada a sinais discretos ou sinais amostrados.
Ex: Suponha que o seguinte sinal exponencial seja amostrado
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Transformada Z
Exemplo 1:
Expandindo o somatório:
Transformada Z:
Logo, a transformada Z de f(kT) édada por:
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Transformada Z
Exemplo 2 – Seja o sinal amostrado y(kT):
Transformada Z:
Transformada Z de y(kT):
ou
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Relação entre Plano S e Plano Z
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Relação entre Plano S e Plano Z Para mostrarmos a relação entre os dois
planos, considere um sinal amostrado e*(t).
Aplicando-se a transformada de Laplace nesse sinal, obtém-se:
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Relação entre Plano S e Plano Z Como o sinal e(kT) é constante dentro da
transformada, temos:
Pela propriedade da transformada de Laplace, uma função translada tem a seguinte transformada:
Assim,
(Propriedade da Transformada de Laplace)
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Relação entre Plano S e Plano Z A equação anterior torna-se a
transformada de Laplace do sinal amostrado e*(t):
Define-se a variável Z como . Logo,
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Relação entre Plano S e Plano Z
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Relação entre Plano S e Plano Z Como a transformada Z de um sinal
discreto é a transformada de Laplace com a substituição da variável z = esT, isto implica que todos os pontos no plano S tem seu ponto correspondente no plano Z.
Um ponto qualquer no plano S é dado por:
Já no plano Z esse ponto será:
js
sTez
Tez
eeezT
TjTTj
z e
)(
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Relação entre Plano S e Plano Z Eixo imaginário do Plano S:
Eixo imaginário do Plano Z:
0 , js
3600 e 1
z e
)(
zz
Tez
ezT
Tj
Círculo Unitário
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Relação entre Plano S e Plano Z Semi-plano esquerdo no Plano S:
Mapeamento no Plano Z:
0 , js
Tzez
Tez
ez
T
T
Tj
e 1
z e
)(
Região dentro doCírculo Unitário
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Relação entre Plano S e Plano Z Semi-plano direito do Plano S:
Mapeamento no Plano Z:
0 , js
Tzez
Tez
ez
T
T
Tj
e 1
z e
)(
Região fora doCírculo Unitário
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Relação entre Plano S e Plano Z
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Resolução Equações de Diferenças
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Resolução Equações de Diferenças Existem 3 técnicas básicas para a
resolução de equações de diferenças:
Primeiro método: solução clássica
Segundo método: procedimento sequêncial
Terceiro método: Transformada Z
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Resolução Equações de Diferenças Técnica: Procedimento Sequêncial Exemplo 1: Deseja-se encontrar m(k) a
partir da equação m(k) = e(k) – e(k-1) – m(k-1), sendo
Solução
,...7,5,3,1,0
,...6,4,2,0,1)(
k
kke
...54321)( 4321 zzzzkm
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Resolução Equações de Diferenças Técnica: Transformada Z Exemplo 2: Deseja-se encontrar m(k) a
partir da equação m(k) = e(k) – e(k-1) – m(k-1).
Solução
Transformada Z da equação:
)(1
1)(
)()()()( 11
zEz
zzM
zMzzEzzEzM
Transformada Z de e(k):
)1)(1()(
2
zz
zzE
,...7,5,3,1,0
,...6,4,2,0,1)(
k
kke
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Resolução Equações de Diferenças Técnica: Transformada Z Exemplo 2: Deseja-se encontrar m(k) a
partir da equação m(k) = e(k) – e(k-1) – m(k-1).
Solução
Transformada Z da equação:
12)1)(1(1
1)(
)(1
1)(
2
22
zz
z
zz
z
z
zzM
zEz
zzM
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Resolução Equações de Diferenças Técnica: Transformada Z Exemplo 2: Deseja-se encontrar m(k) a
partir da equação m(k) = e(k) – e(k-1) – m(k-1).
Solução
Podemos expandir M(z) em uma série de potência, dividindo o numerador pelo denominador (Método explicado mais a frente). Assim, M(z) será descrito por: ...4321)( 321 zzzzM
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Transformada Z Inversa
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Transformada Z Inversa
Para que a transformada Z se torne uma ferramenta útil na solução de uma equação de diferenças, é necessário o conhecimento de técnicas para obter a transformada Z inversa.
As técnicas que utilizaremos serão: Método da Série de Potência Método da Expansão por Frações Parciais Método da Inversão Método da Convolução Discreta
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Transformada Z Inversa
Método: Série de Potência
Técnica utilizada para encontrar a
transformada Z inversa de uma função E(z),
na qual a série de potência E(z) = e0 + e1 z-1
+ e2 z-2 + …, é obtida a partir de uma razão
entre o numerador e o denominador de
E(z).
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Transformada Z Inversa
Método: Série de Potência Exemplo: Encontre os valores de e(k) sabendo
que E(z) é dada pela função
SoluçãoDividindo o numerador pelo denominador, encontraremos que
23)(
2
zz
zzE