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Scuola Politecnica e delle Scienze di BaseCorso di Laurea in Ingegneria Informatica

Elaborato finale in Controlli Automatici

Controllo di sistemi discontinuiAnno Accademico 2016/2017

Candidato: Alessandro Di Paolamatr. N46/1085

Indice

1 Introduzione 1

2 Sliding Mode Control Classico 2

2.1 Sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Pro e Contro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Il Pendolo 8

3.1 Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Equilibri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Stabilizzazione del pendolo attraverso lo Sliding Mode Con-

trol 12

4.1 Scelta di σ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 Esistenza della regione di scivolamento . . . . . . . . . . . . 13

4.3 Progettazione del controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.4 Robustezza del controllore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Conclusioni 19

Bibliografia 20

ii

Capitolo 1

Introduzione

In questo lavoro di tesi e descritta con particolare attenzione una tec-

nica di controllo discontinua chiamata sliding mode control.

La tecnica dello sliding mode control verra applicata con successo all’e-

quazione del pendolo semplice in modo tale da stabilizzarlo intorno ad un

punto desiderato. Questa tecnica inoltre, migliora il comportamento di-

namico del sistema e diventa molto utile quando esso opera in presenza di

disturbi sconosciuti e incertezze di impianto.

Nel prima parte dell’elaborato sono descritti l’idea e gli obiettivi di questa

tecnica di controllo non lineare, e in che modo viene scelta la superficie

di scivolamento dove le traiettorie del sistema dovranno convergere e la

legge di controllo necessaria a trattenere queste traiettorie sulla superficie.

L’esempio utilizzato per mostrare l’implementazione e l’efficacia di questa

tecnica di controllo e il pendolo semplice di cui viene descritta la dinamica

e l’equazione del moto, utilizzare questo tipo di sistema e di particolare

importanza pratica perche equazioni simili a quella del pendolo descrivono

sistemi piu complicati come ad esempio il circuito a giunzione di Josephson

e il modello del generatore asincrono collegato ad un cavo infinito. Il ca-

pitolo fondamentale e dedicato all’applicazione dello sliding mode control

al pendolo, quindi come viene disegnata la superficie di scivolamento e la

scelta degli ingressi di controllo. Infine, le previsioni teoriche fatte, sono

validate dalla simulazione con il software Matlab di cui sono presentati i

risultati.

1

Capitolo 2

Sliding Mode Control

Classico

Lo Sliding Mode Control e una legge di controllo discontinua proposta

dall’ingegnere russo Vladimir Utkin.

Questa tecnica e ampiamente utilizzata per stabilizzare un sistema non li-

neare attorno ad un determinato punto oppure specifiche di inseguimento

di una traiettoria nello spazio di stato. Il nome allude al fatto che, per

risolvere le specifiche di controllo, la traiettoria del sistema viene forzata a

scivolare su una superficie detta sliding surface. Questa metodologia offre

robustezza e versatilita; infatti e stata applicata con successo in molti si-

stemi di controllo non lineare tra i quali i veicoli sottomarini, manipolatori

robotici e motori di autoveicoli,

2.1 Sintesi

Dato il sistema non lineare:x = f(x) + g(x)u

y = h(x)(2.1)

L’idea chiave e quella di trovare un ingresso u(x) capace di portare il

sistema in una posizione desiderata che puo essere sia costante nel tempo,

ad esempio stabilizzazione attorno ad un punto desiderato oppure variabile

nel tempo ovvero inseguimento di una traiettoria desiderata nello spazio

di stato.

2

Capitolo 2. Sliding Mode Control Classico

La legge di controllo discontinua viene definita come:

u(x) =

u+(x), σ(x) > 0

u−(x), σ(x) < 0(2.2)

dove σ(x) e una funzione scalare che dovra essere scelta in modo da

soddisfare le specifiche di regolazione (tracking).

In particolare un’adeguata scelta di σ(x) e della legge di controllo per-

mettono che tutte le traiettorie del sistema convergono verso la superficie

σ(x) e soddisfano la dinamica desiderata, in modo che il sistema a ciclo

chiuso diventa un sistema dinamico detto switched system. La dinamica

dello sliding, cioe il campo vettoriale definito sulla discontinuita, puo es-

sere ricavato atttraverso il controllo equivalente ueq.

Scegliamo:

σ(x) = P Tx (2.3)

dove P T e un vettore arbitrario di parametri.

Il controllo equivalente viene espresso come:

σ(x) = P T x = P T [f(x) + g(x)ueq] = 0 (2.4)

quindi:

ueq = −PT f(x)

P T g(x)(2.5)

3


Se vogliamo dare un’interpretazione grafica, la superficie divide lo spa-

zio di stato in due parti come mostrato in Fig 1:

Fig. 1: Superficie nello spazio di stato

In modo tale che:

x =

F+(x), x ∈ S+

F−(x), x ∈ S−(2.6)

dove:

S+ = {x ∈ R : σ(x) > 0}

S− = {x ∈ R : σ(x) < 0}

e

F+(x) = f(x, u+(x))

F−(x) = f(x, u−(x))

4


Quando i campi vettoriali di S+ e S− puntano alla superficie nella stes-

sa direzione le traiettorie la attraversano in maniera trasversale (crossing),

come di vede in Fig. 2. La regione dove avviene cio e detta proprio regio-

ne di attraversamento e la condizione algebrica che determina la dinamica

del crossing e data da:

LF+σ(x) · LF−σ(x) > 0 (2.7)

dove:

LFσ(x) = ∇σT · F (2.8)

Fig. 2: Crossing della superfice

Altrimenti quando i campi vettoriali puntano entrambi alla superficie,

le traiettorie la colpiscono e rimangono intrappolate su di essa come si

vede nella Fig. 3.

Le condizioni algebriche che garantiscono lo sliding sono:

LF+σ(x) < 0 LF−σ(x) > 0 (2.9)

5


Fig. 3: Sliding sulla superfice

La (2.9) implica anche la stabilita della regione di scivolamento e a

quel punto si dice che il sistema non lineare si trova in sliding mode ossia

in regime di sliding. In tale regime:

• σ(x) = 0

• Le traiettorie del sistema non escono dalla regione di scivolamento

Affinche la seconda condizione sia vera e necessario che la regione di

scivolamento sia stabile perche se cosı non fosse anche una piccola pertur-

bazione farebbe uscire le traiettorie da essa. Cio vuol dire che la u(x) che

si andra a scegliere deve soddisfare la (2.9).

Una volta che il sistema e in sliding mode ponendo:

σ(x) = 0

e sostituendo l’espressione del controllo equivalente nel modello del

sistema non lineare si ottengono le dinamiche a ciclo chiuso in sliding

mode dette anche sliding dynamics ossia le dinamiche del sistema dopo

aver applicato la ueq, ovvero la legge di controllo che trattiene le traiettorie

del sistema sulla superficie.

6


2.2 Pro e Contro

Lo sliding control risulta essere robusto rispetto a perturbazioni strut-

turali del sistema da controllare, ed e relativamente semplice da proget-

tare inoltre puo essere utilizzato per ”rinforzare” una determinata azione

di controllo, ad esempio puo essere utilizzato insieme ad un controllo inte-

grale per eliminare l’errore[2].

Oltre a tutti questi lati positivi pero lo sliding mode control porta con se

una serie di problemi implementativi tra cui quello piu importante e la

presenza del chattering.

Fig. 4: Chattering

Questo problema e dovuto al fatto che quando portiamo le traiettorie

sulla superficie di scivolamento il sistema comincia ad oscillare a frequenza

infinita in prossimita della stessa. Le soluzioni piu comuni per questo tipo

di problema sono:

• Introduzione di un’isteresi

• Introduzione di un ritardo

• Saturazione

Con l’introduzione di queste soluzioni c’e un aumento della sicurezza

del sistema ma una perdita in termini di qualita e performance.

7

Capitolo 3

Il Pendolo

In questo capitolo presentiamo il modello del pendolo semplice su cui

verra implementato un esempio di Sliding Mode Control.

Fig. 5: Pendolo Semplice

Il pendolo in figura e costituito da un’asta rigida di lunghezza l e una

massa m alla sua estremita, mentre θ denota l’angolo sotteso dall’asta con

l’asse verticale. Il pendolo e libero di oscillare su tutto il piano verticale

e la massa m si muove formando un cerchio di raggio l. Per descrivere

l’equazione del moto del pendolo dobbiamo identificare le forze che agi-

scono sulla massa, ovvero, una forza gravitazionale verso il basso uguale

8

Capitolo 3. Il Pendolo

a g e una forza di attrito resistente al moto che assumiamo proporzionale

alla velocita della massa con coefficiente di attrito k. Detto cio possiamo

scrivere l’equazione del moto in maniera tangenziale alla direzione:

mlθ = −mg sin θ − klθ +u

l(3.1)

3.1 Dinamica

Possiamo scrivere l’equazione del pendolo nella forma canonica ponen-

do:

x1 = θ

x2 = θ

quindi:

x1 = x2

x1 = θ

L’equazione di stato risulta:

x1 = x2

x2 = − gl sinx1 − k

mx2 + 1ml2

u(3.2)

I punti di equilibrio del sistema si trovano in (nπ, 0) ma per la descri-

zione fisica del pendolo e chiaro che ha solo due punti di equilibrio che

corrispondono ai punti (0,0) e (π, 0). Gli altri punti di equilibrio sono

ripetizioni di queste due posizioni che corrispondono al numero di oscilla-

zioni complete che fa il pendolo prima di arrestarsi in uno dei due punti

di equilibrio. Queste due posizioni pero, sono ben distinte l’una dall’altra

perche mentre il pendolo puo rimanere a riposo nel punto (0,0), difficilmen-

te ci rimane nel punto (π, 0) perche in questa posizione anche un disturbo

infinitesimale puo spostare il sistema.

9


3.2 Equilibri

Per la simulazione del sistema del pendolo sono stati utilizzati i para-

metri della seguente tabella:

Parametro Simbolo Valore

Massa m 0.1Kg

Lunghezza della corda l 1m

Gravita g 10m/sec2

Attrito k 0.02

Tabella 3.1: Tabella dei valori

In Fig. 6 e mostrata la simulazione a Matlab del pendolo partendo

da un’unica condizione iniziale nel punto [0 0]; si nota come il sistema si

stabilizza attorno al suo punto di equilibrio.

Fig. 6: Equilibrio del Pendolo

Mentre, in Fig. 7, e stato utilizzato un vettore costituito da quattro

condizioni iniziali, ovvero:

[0 0; −π2

π

2; −π π; −3π

2

3π

2]

10


che vanno a definire il bacino di attrazione verso il quale evolve questo

sistema dinamico perche le traiettorie del pendolo convergono tutte verso

lo stesso punto.

Fig. 7: Bacino di attrazione

11

Capitolo 4

Stabilizzazione del pendolo

attraverso lo Sliding Mode

Control

In questo capitolo applicheremo la tecnica dello sliding mode con-

trol al pendolo semplice introdotto nel capitolo precedente. Prendiamo

l’equazione del moto:

mlθ + klθ +mg sin θ =u

l(4.1)

L’obiettivo e quello di portare il pendolo in una posizione desiderata

ad esempio x1 = θ − δ1. Quindi poniamo proprio:

x1 = θ − δ1x2 = θ

(4.2)

in modo da poter scrivere il sistema nella forma i-s-u:x1 = x2

x2 = − gl sin(x1 + δ1)− k

mx2 + 1ml2

u(4.3)

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Capitolo 4. Stabilizzazione del pendolo attraverso lo Sliding Mode Control

4.1 Scelta di σ(x)

Al fine di raggiungere l’obiettivo di controllo procediamo con la scelta

di σ(x).

σ(x, xd) = P T (x)⇒[p1 p2

] [x1x2

]⇒ p1x1 + p2x2 (4.4)

essendo P T un vettore arbitrario di paramentri scegliamo:

p1 = α con α > 0

p2 = 1(4.5)

cosı la nostra regione di scivolamento diventa:

σ(x) = αx1 + x2 (4.6)

4.2 Esistenza della regione di scivolamento

Al fine di garantire l’esistenza della regione di scivolamento dobbiamo

verificare la condizione di trasversalita, ovvero:

Lg(σ) 6= 0 (4.7)

dove:

Lg(σ) = ∇σ · g(x) =[p1 p2

] [ 01ml2

]= p2

1

ml2(4.8)

dato che avevamo imposto p2 = 1 allora:

Lg(σ) =1

ml26= 0 (4.9)

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quindi e rispettata la condizione di trasversalita che garantisce l’esi-

stenza della regione di scivolamento.

4.3 Progettazione del controllo

Adesso dobbiamo derivare le dinamiche di scivolamento per vedere se

soddisfano l’obiettivo di controllo. La dinamica del controllo puo essere

scritta come:

σ(x) = 0 (4.10)

quindi:

σ(x) = αx1 + x2 = 0 (4.11)

Adesso sostituiamo i valori di x1 e x2 con quelli della (4.3) per trovarci

la ueq ovvero la legge di controllo che trattiene le traiettorie del sistema

sulla regione di scivolamento quando σ(x) = 0.

ueq = (kl2 − αml2)x2 + gml sin(x1 + δ1) (4.12)

Una volta trovata ueq la regione dove avviene lo scivolamento, come

mostrato in Fig. 6, e data dalla parte dello spazio di stato compresa tra

le due sinusoidi ovvero quando:

−1 ≤ ueq ≤ 1 (4.13)

quindi:

−1 ≤ (kl2 − αml2)x2 + gml sin(x1 + δ1) ≤ 1 (4.14)

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Fig. 8: Regione Di Scivolamento

Il campo vettoriale sulla regione di scivolamento e:

fs(x) = f(x) + g(x)ueq =

=

[x2

− gl sin(x1 + δ1)− k

mx2

]+

[01ml2

] [(kl2 − αml2)x2 + gml sin(x1 + δ1)

]=

[x2

−αx2

](4.15)

quindi il campo vettoriale di sliding sara:x1 = x2

x2 = −αx2(4.16)

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L’ingresso u(x) capace di attirare le traiettorie del sistema verso la su-

perficie di scivolamento e trattenerle su di essa e:

u(x) = −Lf (σ)

Lg(σ)︸︷︷︸ueq

−µ 1

Lg(σ)sign(σ) (4.17)

quindi:

u(x) = −(kl2 − αml2)x2 − gml sin(x1 + δ1)− µml2 sign(σ) (4.18)

u(x) =

−(kl2 − αml2)x2 − gml sin(x1 + δ1)− µml2 σ(x) > 0

−(kl2 − αml2)x2 − gml sin(x1 + δ1) + µml2 σ(x) < 0

(4.19)

dove il parametro µ e un guadagno che scegliamo arbitrariamente e che

garantira convergenza al punto desiderato nella superficie di sliding anche

in presenza di incertezza di modello, per cui il controllo e robusto.

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4.4 Robustezza del controllore

La simulazione numerica del sistema e stata fatta utilizzando il software

Matlab. Di seguito e riportata la tabella con i valori numerici utilizzati

per la simulazione.

Parametro Simbolo Valore

Massa m 0.1Kg

Gravita g 9.81m/sec2

Lunghezza della corda l 1m

Attrito k 0.02

Guadagno di controllo µ 4

Parametro α 1

Tabella 4.1: Valori utilizzati per la simulazione

Come mostrato in Fig. 9, il sistema e stato portato con successo nella

posizione scelta arbitrariamente δ1 = π2 , infatti dopo un tempo di circa sei

secondi il sistema si stabilizza in questa posizione.

Fig. 9: Stabilizzazione del sistema nel punto π2

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In Fig. 10 invece, si nota come la velocita del sistema tende a zero.

Fig. 10: Velocita del sistema

Nell’ultima immagine, Fig. 11, si nota come le traiettorie del sistema

convergono verso la superficie di scivolamento.

Fig. 11: Traiettorie del sistema sulla superficie di scivolamento

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Capitolo 5

Conclusioni

In questo elaborato si e data una dimostrazione pratica delle peculia-

rita dello sliding mode control e dell’implementazione di questo tipo di

controllo al pendolo semplice, portando il sistema nella posizione deside-

rata. Il risultato della simulazione dimostra la validita di questa tecnica

di controllo che puo essere applicata anche a sistemi piu complessi come

veicoli sottomarini, manipolatori robotici, diversi tipi di motori elettrici e

processi di controllo.

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Bibliografia

[1] Mario Di Bernardo, Dispense del corso Dinamica e ControlloNon Lineare.

[2] Hassan K. Khalil, Non Linear Systems, Prentice Hall terzaedizione, 2001.

[3] Jean-Jacques Slotine, Applied Non Linear Control, PrenticeHall prima edizione,1990.

[4] Valdim I. Utkin, Sliding Mode Control Design Principlesand Applications to Electric Drives, IEEE Transactions onindustrial electronics, vol.40 NO.1, pp 23-35.

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