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CONTROLLI AUTOMATICI

Ingegneria Gestionalehttp://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/ControlliAutomaticiGestionale.htm

Ing. Federica Grossi

Tel. 059 2056333

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MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI

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Introduzione -- 2Controlli Automatici

Principi di modellistica

• Problema: determinare il modello matematico che approssimi il

comportamento di un sistema dinamico

• Indagine diretta: Il sistema viene suddiviso in sottosistemi elementari

il cui modello matematico è facilmente identificabile e il modello

complessivo viene dedotto componendo i modelli dei sottosistemi

elementari e applicando leggi base della fisica. Applicabile a casi

semplici in cui, sotto certe ipotesi, l’introspezione fisica del sistema

permette la modellazione.

• Black box: il sistema si considera come una “scatola nera” di cui

occorre identificarne il comportamento mediante l’analisi dei segnali di

ingresso (opportunamente variati) e delle rispettive uscite (analisi

armonica). Utile in quei casi dove la fisica del sistema è così

complessa da non permettere una introspezione

• Gray box: Approccio misto: Sistema complessivo scomposto in

diversi sottosistemi interagenti, di cui alcuni modellati mediante

introspezione fisica e altri mediante l’analisi ingresso/uscita


Derivazione del modello mediante indagine diretta

• L’analisi energetica del sistema risulta un utile strumento per la

derivazione del modello matematico

• Dalla definizione di stato (grandezza che sintetizza la storia passata

del sistema utile al fine di calcolare l’uscita corrente) sembra

ragionevole scegliere, come variabili di stato, grandezze che

determinano quantità di energia accumulate nel sistema (Variabili

Energetiche).

• In ogni dominio energetico (tranne quello termico) ci sono due variabili

energetiche e due meccanismi di accumulo dell’energia che

dipendono, ciascuno, da una sola delle due variabili energetiche. Il

prodotto delle due variabili energetiche rappresenta la potenza in quel

particolare dominio energetico.

• In ogni dominio energetico esiste un parametro che lega le due

variabili energetiche e che caratterizza il meccanismo di dissipazione

dell’energia in quel dominio.


i due meccanismi elementari di accumulo della energia

Considerazioni energetiche

dominio accumulo capacitivo accumulo induttivo

E Cv1

2

2 E Li1

2

2elettrico

meccanico

traslanteE Mv

1

2

2EK

f1

2

1 2

meccanico

rotanteE J

1

2

2EK

c1

2

1 2

idraulico/pneumatico E C pf1

2

2 E L qf1

2

2

termico E C Tt manca

variabili

passanti

variabili

ai morsetti

l'energia accumulata

dipende dalle

Le variabili ai morsetti sono in realtà differenze


Derivazione di modelli matematici di sistemi fisici

• Scomposizione sistema complessivo in sottosistemi

elementari il cui modello matematico sia facilmente

derivabile (sotto opportune ipotesi)

• Composizione dei modelli matematici elementari mediante

principi base della fisica (conservazione dell’energia) per

derivare il modello complessivo:

• Sistemi elettrici: leggi di Kirchoff per le tensionie e per

le correnti

• Sistemi meccanici: Legge di Newton

• Sistemi idraulici: Equazioni di Bernoulli


Modelli di sistemi dinamici

• Si prenderanno in esame alcuni esempi di modelli matematici dinamici per:

• illustrare i procedimenti generali che usualmente si impiegano nella loro deduzione;

• chiarire le analogie esistenti fra modelli di sistemi fisici di diversa natura.

• In particolare, verranno descritti sistemi:

• elettrici

• meccanici

• elettro-meccanici

• idraulici

• termici

• Si dedurranno i modelli in forma di equazioni differenziali ordinarie del tipo:

• Il problema della soluzione di tali equazioni differenziali, cioè ricavare l'andamento di y(t) in funzione di u(t), verrà preso in esame successivamente:

Trasformate di Laplace


• Opeatore “D”: Per semplificare la scrittura delle equazioni differenziali si userà il simbolo (o operatore) D per indicare l'operazione di derivazione rispetto al tempo:

Ad esempio, se x1(t), x2(t) sono funzioni derivabili, e a1, a2 costanti, allora

• Si può dare un significato anche al simbolo 1/D (o D-1) ponendo

in cui K è un'opportuna costante.

Modelli di sistemi dinamici – Operatore “D”

L'operatore D si può trattare come se

fosse una costante: gode infatti della

proprietà distributiva rispetto alla

somma e della proprietà commutativa

con le costanti (non con le funzioni

del tempo).


Modelli di sistemi dinamici – Operatore “D”

• Questa relazione costituisce una notazione convenzionale, in quanto in realtà

l'operatore D non è invertibile, rappresentando una corrispondenza che non è

uno a uno, ma molti a uno:

tutte le funzioni che differiscono per una costante presentano la stessa

derivata:

• Per tale ragione 1/D non si può applicare ai due membri di una relazione

esprimente l'uguaglianza di due funzioni:

se è y(t) = x(t),

• D y(t) = D x(t)

• non è detto che sia D-1 y(t) = D-1 x(t)

(solo per cond. iniziali nulle).


Circuiti elettrici

Q0 è la carica iniziale del condensatoreN1 e N2 sono i numeri di spire del circuito primario e secondario


Circuiti elettrici

• Altri componenti di circuiti elettrici:

• Amplificatore operazionale

• Transistor

• Trattando con segnali logici, si possono considerare anche operatori logici quali:

• AND

• OR

• NOT

• NOR

• …

che costituiscono gli elementi di base delle Reti Logiche.


Circuiti elettrici

Le unità di misura delle grandezze elettriche nel sistema SI sono:

• Variabili:

• [v] = V, Volt;

• [i] = A, Ampere;

• [Q] = C, Coulomb;

• Parametri:

• [R] = , Ohm;

• [L] = H, Henry;

• [C] = F, Farad;

• In genere, i modelli matematici di circuiti elettrici (composizione di sistemi elementari) si ricavano applicando le

leggi di Kirchhoff

che esprimono il bilancio delle cadute di potenziale lungo le maglie o delle correnti ai nodi:


Circuiti elettrici

• Le leggi di Kirchhoff esprimono il bilancio delle cadute di

potenziale lungo le maglie o delle correnti ai nodi:

• La somma algebrica delle tensioni in una maglia è nulla;

• La somma algebrica delle correnti in un nodo è nulla.

v1

v2

v3

v4

v1= v2 + v3 + v4

i1

i2

i4

i3

i1 + i2 + i3 +i4 = 0


Circuiti elettrici - Esempio

Volendo ricavare, anziché la corrente i, la tensione d'uscita vu, si può operare la sostituzione i(t) = C D vu(t), mediante la quale si ottiene (vC(t) = vu(t)) l'equazione differenziale

che mette in evidenza la relazione tra causa vi ed effetto vu.



equazione

differenziale dt

tdvCtv

Rti

)()(

1)(

dt

tdvCi

tvR

i

C

R

)(

)(1

Kirchoff al

nodo A

i = iR + iC

A

i(t)v(t)

iCiR

ingresso uscita

condizioni iniziali nulle

iR

v CDv1equazione algebrica

nell'operatore D

Sistema del

1° ordine

1 accumulatore

di energia



equazione

differenziale

t

i idC

tRitv0

1)(

t

c

R

idC

v

Riv

0

1Kirchoff

alla maglia

vi = vR + vC


v RiC

D i

Dv RDiC

i

i

i

1

1

1equazione algebrica

nell'operatore D

Sistema del

1° ordine

vi(t) vc(t)vR

i(t)

Se interessa vc come uscita

cCDvi ci vRCDv 1ricordando che



equazione

integro-differenziale dt

tdvCtv

Rdttv

Lti

)()(

1)(

1)(

dt

tdvCi

tvR

i

dttvL

i

C

R

L

)(

)(1

)(1

equazione differenziale

del 2° ordine 2

211

dt

vdC

dt

dv

Rv

Ldt

di

Kirchoff al

nodo A

i = iL+ iR + iC

A

i(t)v(t)

iL iCiR

ingresso uscita


derivando ambo i membri

equazione algebrica

nell'operatore D

Sistema del

2° ordine

2 accumulatori

di energia



Se come uscita interessa la corrente nell'induttanza, ricordando che

v LDi

dt

tdvCi

tvR

i

dttvL

i

C

R

L

)(

)(1

)(1

Kirchoff al

nodo A

i = iL+ iR + iC

A

i(t)v(t)

iL iCiR

ingresso uscita


Consente di ricavare l'uscita

v(t) a partire dall'ingresso i(t)



dt

tdvCi

tvR

i

dttvL

i

C

R

L

)(

)(1

)(1

Kirchoff al

nodo A

i = iL+ iR + iC

A

i(t)v(t)

iL iCiR

ingresso uscita




v RiR

Se come uscita interessa la corrente nella resistenza, ricordando che





A

i(t)v(t)

iL iCiR

ingresso uscita dt

tdvCi

tvR

i

dttvL

i

C

R

L

)(

)(1

)(1

Kirchoff al

nodo A

i = iL+ iR + iC


vC

D iC1 1

Se come uscita interessa la corrente nei diversi componenti, ricordando che:


Sistemi meccanici

• In generale si cerca di adottare modelli a costanti concentrate, perchè di più facile

impiego, anche se spesso alquanto approssimativi e meno aderenti alla realtà di

quanto non lo siano nel caso dei circuiti elettrici: ad esempio, in un modello a

costanti concentrate la massa di una molla, (distribuita) è supposta trascurabile o

concentrata agli estremi della molla.

• Si cerca di adottare modelli lineari, anche se ciò implica la limitazione dello studio

a variazioni relativamente piccole delle grandezze in gioco.


Sistemi meccanici• I sistemi meccanici in moto traslatorio si possono considerare costituiti dai componenti

elementari:

• la massa,

in cui si concentrano le forze di inerzia,

• la molla,

in cui si concentrano le forze di richiamo elastico,

(se per x1 = 0 e x2 = 0 la molla non è caricata)

• l'ammortizzatore,

in cui si concentrano le forze di attrito viscoso.

• Si suppone che gli estremi di tali componenti

meccanici siano sottoposti a moto traslatorio orizzontale.

mf2

x

f1

f f

x1 x2

K

f f

x1 x2B


Sistemi meccanici

• Analogamente per sistemi in moto rotatorio:

• Forze coppie

• Masse inerzie

c(t), 1(t) c(t), 2(t)K

c(t), (t)J

Bc(t), 1(t) c(t), 2(t)


Sistemi meccanici

• Riduttore

In un riduttore ideale (senza perdite per attrito e con accoppiamento perfetto tra gli ingranaggi), la velocità viene ridotta del fattore kr

Poiché in questo meccanismo la potenza entrante deve essere uguale a quella uscente

la coppia risulta amplificata.

c1(t), 1(t)

c2(t), 2(t)


Sistemi meccanici

• Altri elementi:

Cinghia/puleggia Vite a ricircolazione di sfere

CammaBiella/manovella


Sistemi meccanici

Le unità di misura delle grandezze meccaniche nel sistema SI sono:

• Variabili:• [f] = N, Newton;

• [x] = m, metri;

• = m/sec, velocità;

• = m/sec2, accelerazione.

• Parametri:• [M] = kg, chilogrammi;

• [K] = N/m, coefficiente di rigidezza;

• [B] = N sec/m, coefficiente di attrito viscoso.

Oppure (caso rotatorio)

Variabili:[c] = N m;[ ] = rad;

= rad/sec;= rad/sec^2.

Parametri:[J] = kg\,m^2;[K] = N\,m/rad, coefficiente di rigidezza torsionale;[B] = N\,m\,sec/rad, coefficiente di attrito torsionale.


Sistemi meccanici - Esempio

• Carrelli con attrito

• Applicando la legge di Newton a ciascuna massa si ottiene

u(t)m2

x2(t)

m1

x1(t)



• Carrelli con attrito

• La variabile osservata del sistema è la velocita di m2 e quindi

• Dalle due eq.ni differenziali, utilizzando l'operatore D, si ottiene:

u(t)m2

x2(t)

m1

x1(t)


• Da

Si ricava

• Se si considerano per esempio per i parametri i valori numerici:

si ottiene l'equazione differenziale

la cui soluzione y(t) descrive l'andamento dell'uscita in funzione dell'ingresso u(t) e delle condizioni iniziali y(t0) =




• Le coppie applicate in questo caso sono:

• coppia esterna c(t)

• coppia dovuta alla molla torsionale ck(t) = k (t)

• coppia dovuta all'attrito torsionale cb(t) = B

• Applicando la legge di Newton si ha


Sistemi meccanici – Effetti non lineari

• Nei sistemi meccanici esistono fenomeni nonlineari che, per la discontinuità delle caratteristiche, non sono suscettibili neppure di una linearizzazione locale: il più importante di questi è l'attrito.

• Per rimanere nel campo dei modelli lineari si dovrebbe considerare il solo attrito viscoso.

• In realtà è presente anche l'attrito secco o attrito al distacco, consistente in una forza che equilibra la forza applicata, impedendo l'inizio del moto, finché questa non supera una soglia F_d, oltre la quale inizia il movimento e la forza si annulla.

• Inoltre può essere presente l'attrito coulombiano, caratterizzato da una forza nulla quando il corpo è immobile, costante quando esso è in movimento e tale da opporsi al moto.

• L'attrito al distacco e l'attrito coulombiano sono fenomeni tipicamente nonlineari, per cui, finché l'approssimazione risulta accettabile, nei modelli matematici si considera il solo attrito viscoso.



• Altri effetti non lineari eventualmente presenti in un sistema meccanico.

• Saturazione

La saturazione è un fenomeno comune a tutti i processi fisici: l'uscita y del

sistema è proporzionale all'ingresso x solo in un certo range di valori, mentre

rimane praticamente costante al di fuori di esso.



• IsteresiIl sistema di attuazione (riduttore) introduce solitamente un qualche effetto di

isteresi. Nel caso di riduttori, è dovuto al gioco d esistente tra gli ingranaggi.

• x: spostamento in ingresso

• y: spostamento in uscita

Il movimento dell'ingranaggio “pilota” non si trasmette all'altro fino a quando i denti delle due ruote non sono in contatto. Se la velocità di x cambia segno, allora y rimane costante per un certo tratto.

Non linearità a “due valori”: per ogni x vi sono

2 possibili valori di y, a seconda della “storia”

dell'ingresso. Si possono avere instabilità o

oscillazioni permanenti (cicli limite)



• Zona morta

L'uscita non risente di variazioni dell'ingresso contenute in una data

banda.

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