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Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 3, 1
Controlli Automatici T Regolatori PID
Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: [email protected] URL: www-lar.deis.unibo.it/~lmarconi
Parte 10bis Aggiornamento: Settembre 2010
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Parte 3, 2
Regolatori molto diffusi a livello industriale per la loro versatilità e il loro facile progetto mediante regole empiriche
Tempo derivativo
Tempo integrale
Posizione zeri
Realizzazione “fisicamente realizzabile”
PID ideale
Polo di fisica realizzabilità ad alta frequenza
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Parte 3, 3
Dallo scenario B abbiamo visto che tipiche strutture di controllo risultanti possono essere del tipo
PI)
PID)
Formulazione standard:
Formulazione standard:
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Parte 3, 4
Regolatori PI: regole di taratura
Dal diagramma di Bode si nota che complessivamente l’effetto utile del regolatore PI e’ quello di attenuare ad alta frequenza di una quantità che può essere scelta ad arbitrio ritardando l’intervento dello zero e di non sfasare (sfasamento negativo trascurabile a frequenze elevate)
Livello di attenuazione dipendente da e
Il PI si comporta complessivamente come una rete a ritardo
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Parte 3, 5
La taratura, nell’ottica delle reti correttrici, può essere eseguita calibrando l’intervento dello zero (che risulta essere il regolatore dinamico) al fine di imporre un certo margine di fase e una certa pulsazione di attraversamento per il sistema esteso
Caratterizzazione dell’effetto dello zero:
Entità dell’amplificazione
Entità dello sfasamento positivo
Regolatori PI
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Parte 3, 6 Regolatori PI
grad
i
Caratterizzazione dell’effetto dello zero
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Parte 3, 7 Tuning del regolatore PI
Problema: Dato il sistema esteso , una pulsazione di attraversamento desiderata e il margine di fase desiderato determinare la costante dello zero e il guadagno
Algoritmo:
Step 1: Leggere e quindi l’anticipo di fase necessario per soddisfare la specifica su
Posizionamento dello zero affinché alla pulsazione anticipi di
Step 2: Dal diagramma identificare il valore di che assicura l’anticipo di fase necessario e scegliere
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Parte 3, 8 ….Step 2
grad
i
Attenuazione necessaria per attraversare in
Step 3: Dal diagramma identificare il valore di amplificazione introdotto dallo zero per e scegliere il valore di come
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Parte 3, 9 Tuning PI: Esempio
specifiche
Step 1
Step 2
Step 3
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Parte 3, 10 Tuning PI: Esempio
Risposta al gradino del sistema in retroazione
Risposta al gradino del sistema del secondo ordine con
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Parte 3, 11 Tuning del PI: effetti collaterali zero
La calibrazione del PI piazza lo zero strutturalmente a frequenza inferiore rispetto a quella di attraversamento desiderata. Questo ha due possibili conseguenze:
Zero-polo del PI
1) La funzione di trasferimento in retro avrà uno zero più vicino all’asse immaginario rispetto alla dinamica dominante
possibili overshoot da zero molto maggiori rispetto a quelli attesi
2) Tale zero fungerà da attrattore per un ramo del luogo delle radici. Quindi il sistema in retro potrebbe avere una coppia polo-zero con valori comparabili (quasi cancellazione)
possibili code di assestamento
Esempio precedente
Poli in retro
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Parte 3, 12 Tuning del PI: zero in cancellazione
Per ovviare agli inconvenienti prima detti, un rimedio è quello di posizionare lo zero del PI in cancellazione con un polo del sistema a frequenze inferiori rispetto a
Una volta fissato lo zero non è più possibile assegnare arbitrariamente e con l’unico grado di libertà rimasto
Il guadagno statico può essere progettato:
• o per assegnare la pulsazione di attraversamento (non imponendo quindi di il margine di fase)
• o per assegnare il margine di fase (non imponendo quindi la pulsazione di attraversamento)
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Parte 3, 13 … Tuning del PI: zero in cancellazione
Algoritmo
Step 1 Fissare in modo che lo zero del PI cancelli un polo a bassa frequenza del sistema
Step 2 Identificare la frequenza per cui presenta una fase compatibile con ovvero
Imposizione del margine di fase
e fissare
Imposizione della pulsazione di attraversamento
Step 2 data fissare
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Parte 3, 14 … Tuning del PI: zero in cancellazione
Esempio precedente
specifiche
cancellazione
Imposizione pulsazione att.
Imposizione margine di fase
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Parte 3, 15
Risposta al gradino del sistema del secondo ordine con
Risposta al gradino del sistema in retroazione
Con assegnamento di
Con assegnamento di
… Tuning del PI: zero in cancellazione
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Parte 3, 16 Regolatori PID
Rispetto ai PI presentano uno zero aggiuntivo (e un polo di realizzabilità fisica). Possono in particolare essere visti come:
Significato azione derivativa: introdurre azione di controllo che sia “anticipativa” (reazione a fronte di cambiamenti dell’errore)
PI Rete anticipatrice
L’obiettivo della rete anticipatrice (ovvero dello zero aggiuntivo) è quello di migliorare il margine di fase (allargando anche la banda)
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Parte 3, 17
Tuning PID
Problema: Dato il sistema esteso , una pulsazione di attraversamento desiderata e il margine di fase desiderato determinare le costanti degli zeri, la costante del polo e il guadagno
L’algoritmo di tuning segue il paradigma precedente (non unico modo di procedere!) :
Step 1: Leggere e quindi l’anticipo di fase necessario per soddisfare la specifica su
Step 2: identificare di valori di tali che
I due zeri posizionati al fine di dare l’anticipo richiesto alla frequenza
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Parte 3, 18 …Tuning PID
Step 3: Dal diagramma identificare i valori di amplificazione introdotti dagli zeri e scegliere il valore di come
Step 4: Posizionare il polo una decade oltre la pulsazione
Questa scelta garantisce che l’attenuazione e lo sfasamento negativo introdotti dal polo sono trascurabili per
Scelta che garantisce l’attraversamento in
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Parte 3, 19 Esempio
specifiche
Step 1
Step 3
Step 2
Una possibile scelta, seguita in questo esempio, è di prendere i due zeri uguali
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Parte 3, 20 ...Esempio
Risposta al gradino del sistema del secondo ordine con
Risposta del sistema in retro
I due zeri del PID (che coincidono con due zeri del sistema in retro) sono la causa della grande sovraelongazione. Un rimedio a questo potrebbe essere quello di posizionare uno zero in cancellazione
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Parte 3, 21 Esempio tuning PID con cancellazione
cancellazione
Step 1
specifiche
Step 2
Step 3
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Parte 3, 22 ...Esempio
Risposta al gradino del sistema del secondo ordine con
Risposta del sistema in retro
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Parte 3, 23
Metodi di taratura mediante tabella
Sono metodi di taratura “convenzionali” spesso adottati in pratica per tarare strutture di controllo PID per sistemi industriali con poli reali. Esistono due diverse “filosofie” di taratura che si differenziano dal tipo di descrizione del sistema controllato
• Metodi ad anello aperto
Si basano sull’approssimazione del sistema controllato con un sistema del primo ordine con ritardo
• Metodi ad anello chiuso
Si basano sulla conoscenza, dedotta per via sperimentale, del margine di ampiezza del sistema e della frequenza caratteristica dove
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Parte 3, 24
Taratura ad anello aperto
Si suppone che il sistema controllato sia descritto da un sistema del primo ordine con ritardo del tipo
che potrebbe essere dedotto sperimentalmente valutando la risposta al gradino. Esistono poi tabelle, dedotte adottando criteri diversi, dalla cui lettura è possibile trovare i valori delle tre azioni (proporzionale, integrale e derivativa) come funzione dei tre parametri
Tipologie di tabelle:
• Ziegler-Nichols • Cohen-Coon • 3C • Criteri di ottimalità
Al fine di imporre certe caratteristiche della risposta del sistema in retro (sovraelongazione massima, rapporto tra due picchi di sovraelongazione, ecc.)
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Parte 3, 26 Criteri di ottimalità
Identificazione dei parametri “ottimi” per gli indici:
• IAE (Integral Absolute Error)
• ITAE (Integral Time Absolute Error)
Errore in retro a fronte di ingresso a gradino
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Parte 3, 27
Plant Risposta sperimentale
Tangente al p.to di flesso
Deduzione sperimentale del modello 1o ordine
• Metodo con calcolo del punto di flesso
Problema: Come ricavare i parametri , ovvero il modello del primo ordine equivalente, a partire da una risposta al gradino sperimentale?
1. Guadagno statico dall’andamento asintotico
2. Ritardo e costante di tempo dal calcolo della tangente nel punto di flesso della risposta sperimentale
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Parte 3, 28
Plant
• Metodo delle aree (potenzialmente meno sensibile a rumori)
….Deduzione sperimentale del modello 1o ordine
Dalla analisi di un sistema del primo ordine con ritardo si ha che
Risposta sperimentale
Dall’analisi sperimentale della risposta al gradino è quindi possibile ricavarsi i parametri seguendo l’algoritmo:
1. Guadagno statico dall’andamento asintotico
2.
3.
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Parte 3, 29
Taratura ad anello chiuso
Plant
La dinamica del sistema controllato viene stimata attraverso degli esperimenti sul sistema in retro con guadagno
Si assume che esista un valore di tale che il sistema in retro divenga semplicemente stabile
Attraverso questo esperimento si stima:
• Margine di ampiezza del plant:
• Pulsazione del plant ( ):