controlli lineari negli spazi di orlicz

Coutrolli lineari negli spazi di Orlicz.

GIUSEPPE PULVIRI~NTI - Co-IUSEPPE SANTAGATI (Catania) (*)

Santo. - /~ contenuto nsll'introduzione

I n t r o d u z i o n e .

Sin dato un s i s t ema mate r ia le il cui stato, r a p p r e s e n t a t o da u n n - v e t t o r e rea le x (~), si evolve al va r i a r e del tempo t in un in te rva l lo [0, T], secondo la legge desc r i t t a da una equaz iono d i f f e r e n z i a l e :

d~ (E) dt - - - - A ( t ) x = B ( t ) u i t ) + c( t ) ,

dove A(t), B(t), c(t) sono assegna te ma t r i c i n X ~t, n X m e n X i, r i spe t t i vamen te , ed u(t) un a rb i t r a r io m - v c t t o r e , def in i t i q.o. in [0, T].

Siano, poi, V e W due assegnat i ins iemi dello spazio euc l ideo ad n d imens ion i ed G)~ un so t to ins ieme di uno spazio l inea re ~ di m - v e t t o r i de f in i t i q.o. in [0, T].

D i remo ehe il Problema (P) ha soluzione (u, v) (il sistema materiale controllabile) in e~ X V se es is tono u ~ ~ (controllo permanente), v e V (controllo iniziale), in modo t h e vi sin a lmeno u n a soluzione (in senso classico o di CARA~ODORY) x(t, U, V) del la (E), x(O, u, v)-~ v, per la qua le si abbia x(T~ u, v)~ W ( W obiettivo).

I1 p rob l ema (P) b stato, in par~ieolare, s tud ia to (cfr., ad es., R. C o ~ I [4], [5], [6], [7] e le b ib l iogra f ie ivi r ipor ta te ) nel caso in cui 5,~ ~ un so t to ins ieme di uno spazio di t ipo L p e la risolubiliti~ di esso b s ta ta r i condot ta , seguendo u n ' i d e a di I t . A. AN~OS~EWICZ [1], al ve r i f i ca r s i di u n a ce r t a d i suguag l i anza sui dati . Ta l e d i suguag l i anza ~ s ta ta a n c h e s f ru t t a t a per lo s tudio di c lass ic i p rob lemi di ot~imizzazione, qual i ad esempio il p ro b l e ma del tempo min imo, quel lo del lo stato f ina le (iniziale) e quel lo del min imo sforzo; essa conduce a

(*) Lavoro esegaito nell'ambito dell'attivit/~ dei Gruppi di ricerea matematica del C.~.I~. I paragrafi 1 e 3 sono dovuti a G. PULVIRE~I, il paragrafo 2 ~ do~uto a G. SAb~TAGATL {l) Tutte le funzioni (risp. matrici) considerate nel loresente lavoro sono funzioni

numeriehe finite (risp. matrici ad elementi fanzioni numeriche finite).

166 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controlli lineari negli spazi di Orlicz

teoremi di esistenza ed a condizioni necessarie sotto forma di principi di massimo.

I~n questo lavoro s tadiamo il pcoblema (P) noneh6 alcuni problemi di ottimizzazione ad esso conuessi nel case in cui ~ 6 un sottoinsieme di uno spazio del tipo di 0RLICZ mettendo in evidenza punti in comune e fenomeni nuovi rispetto al ease di spazi del ripe L p.

Precisamente, nel paragrafo 1, dope aver r ichiamato (n. 1.1) alcune definizioni e proprietor inerenti gli spazi di 0a~ICZ (di fuuzioni scalari), abbiamo (an. 1.2 e 1.3) introdotto gli spazi di 0RLICZ di vettori e studiato alcune proprieti~ relative ad essi utili per il seguito; in particolare, introdotte sin una norton del ripe di 0r~LIcz che una norma del tipo di LUKEMBVRG, abbiamo messo in evidenza le relazioni ehe tra esse intercorrono, lndi abbiamo utilizzato tall norme, in o~casione (n. 1.4) dei teoremi di rappresentazione dei fanzionali lineari e eontinui su detti spazi, per il calcolo della norma di questi funzionali. Abbiamo, poi, re la t ivamente agli spazi in esame, studiato (n. 1.5) la riflessivith e riportato (n. 1.6) alcuni esempi.

Nel paragrafo 2, dope avere (n. 2.1) tradotto il problema (P) in altri ad esso eqttivalenti, abbiamo (n. 2.2) studiato alcnne applicazioni l ineari inerenti iI problema (P), provandone certi tipi di continuith (forte, debole, debole*); abbiamo quindi (n. 2.3) stabilito dei teoremi di chiusura re la t ivamente ad alcuni insiemi e siamo pervenuti (n. 2.4) a condizioni carat ter is t iehe di controllabiliti~, considerando come insieme ~ dei controlli permanenti o una sfera di nno spazio del tipo di 0RLIC~ precedentemente introdotto (riflessivo o no) ovvero P immagine inversa di una sfera di uno spazio ad esso isomorfo. Nel primo case, assumendo come insieme dei controlli permanent i una sfera, si 6 conferral alla maggior parte delle applicazioni, perb (nn. 2.5 e 2.6) non si pub dare la eondizioae earat ter is t ica di controllabilit~ mediante la norma di 0RL~CZ di certi daft ma bensi mediante la norma di LVKEMBCRG di essi, oppure si possono dare soltanto delle condizioni necessarie o sufficienti mediante la norma di 0RL~CZ; mentre nel secondo case la condi~ione caratte- ristica si pub dare mediante la norma di 0RLICZ. perb l ' ins ieme dei controlli permanenti non ~, in generale, una sfera.

Nel paragrafo 3; infine, dope avere (n. 3.1) studiato alcuni part icolari insiemi nonch6 delie applieazioni ad essi inerenti, abbiamo esaminato i problemi di ottimizzazione relativi al tempo minimo (n. 3.2), allo state finale (iniziale) (n. 3.3) ed al minimo s[orzo (n. 3.4) connessi al problema (P) stabilendo, nei vari casi, dei teoremi di esistenza e relativi principi di massimo; per essi abbiamo otteuuto forme diverse a secondo della suaccennata scelta del l ' insieme dei coutrotli permanent i e del l 'use della norma di 0RLICZ o di LUX]~[BUR~.

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controlli Iineari negli spazi di Orlicz 167

§ 1. - S p a z i d i O r l i e z d i v e t t o r i .

1.1. - A l c u n i r i c h i a m i sug l i spazi di 0 r l i c z (di f u n z i o n i scalari) .

Rinviando per una esposizione sistematica della teoria degli spazi di 0RLtCZ a M.A. KRASNOSEL'S~:H - Y.B. RU~*CKH [11]. r ichiamiamo in questo numel:o, per comodit~ di csposizione, a lcune notazioni, definizioni e proprieth che ci saranno utili, nei numeri successivi, per Fintroduzione degli spazi in cui s tudieremo il problema (P).

DEFINIZIONE 1.1.1. - Una funzione numerica M(u) definita in R (~) ~ delta N- funz ione se ha la rappresentazione :

lul

M(u) = f p(t)dt 0

~V L ~ E R,

dove p(t) ~ una funzione positiva per t ~ O, continua a destra per t ~ 0, non decrescente e soddisfacenle le condizioni :

p(O) --- O, lira p( t ) = -}- cx~. t-.+q-co

DEFINIZI0~E 1 .1 .2 . - Dicesi funzione complen~enlare di una N- funz ione M(u) la N- funz ione :

dove:

(+I

N(v) -- f q(s)ds o

q(s) ---- sup I t : p(t) ~ s }

~v t v ~ R~

con R + = { z : z e R , z ~ O } .

0vviamente q(s) verif iea le stesse propriet~ della funzione p(t) della Deft- nizione 1.1.1; d~ora in poi con M(u) e N(v) denoteremo sempre _N-funzioni eomplementar i [ l 'una dell 'altra.

(e) Con R deno t i amo lo spazio eucl ideo ad u n a d imens ione ; in g e n e r a l e deno te remo, come di consuet% con R'~ q~ in t e ro posif ivo, lo spazio euc] idco ad n d i m e n s i o n i con ]a n o r m a ab i tua le .

168 G. t)ULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controlli lineari negU spazi di Orlicz

DEFINIZIOI~E 1.1.3. - Si dice che la 17-funzione M(u) soddisfa la A~-con. dizione se esislono k ~ O, uo ~ 0 tali che :

M(2u) <_ kM(u) ~ u ~ Uo.

DEFINIZlOZ~E 1.1.4. - Diremo chela N-funzione M(u) soddisfa l'ipotesi (~) se esistono c ~ 1 e uo ~ 0 tali the:

1 M(u) < Uc M(cu) ~ U ~ U o .

]~ nolo il s eguen te t e o r e m a :

TEOR]~MA 1.1.1. - Condizione necessaria e sufficiente affinch~ la 17-funzione N(v) soddisfi la 5~-condizione ~ che la N-funzione M(u) verifichi l'ipolesi (~).

DnFIZ~IZlOZ~]~ 1.1.5. - Se M(u) ~ una~17-funzione, denoliamo con L~([0, T]) l'insieme (classe di Orlicz) di tulle le funzioni numeriche u(t) definite %o. in [0, T] per le quali :

T #

~(u ; M) = # M(u(t))dt ~ + (~). O C )

t / 0

DEFIZClZlO~E 1.1.6. - Se M(u) ~ una N-funzione, denotiamo con L~([0, T]) lo spazio di Banach delle funzioni numeriche u(t) definite q.o. in [0, T], tall che:

T

f u(t)v(t)dt < ~ ~ v ~ LN([O, T]),

0

c o n t a n o r m ( ~ :

T

0

: ~(v; lV) ~ 1 t (4).

(3) l ~a t u r a l m en t e , due lali f unz ion i che s iano q.o. ugual i in [0, T] si co,nsiderano come u n un ieo p u n t o di LM{[O, T]); ne l seguito~ av'~-ertenze del g e n e r e pe r cast ana logh i non s a r a n n o

p i~ e sp l i c i f amen te fat te.

(4) O v v i a m e n t e si ha :

T T

0 0

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controlli Iineari negli spazi di OrIicz 169

Tale spazio ~ detto spazio di OnLIC~ (ed ~ indicate con L~ in M.A. KRASNOSEL'SKII-Y. B. RUTICKII [11]).

0sserviamo che una norma equivalente a quella introdotta nella definizione precedente per lo spazio di ORLICZ, ~ la seguente, dovuta a W. L U X E M B U R G :

lo spazio di BA~rAOrI cosi ot~enuto lo denoteremo con L(M)([O, T]).

Notiamo, poi, the r i su l ta :

(1.1.~) II u lib.(M) <-- II U U~M ~ ~ [I U I1~(~'>,

e che le due norme differiscono per un fattore costante soltanto hello spazio L~'([0, T]), r ; > 1, tale spazio rignardandosi, di consueto, come lo spav, io di

ORLICZ generate dalta N-funzione M ( u ) - [u f r

Si hanno i seguenti teoremi :

TEOREMA 1.1 .2 . - Se ueLM([O, T]) e veLN([O, T]), valgono le seguenti disuguaglianze (di H6lder) :

T

f u(t)v(t)dt ~ IlutIL~IIVHL~, 0

T

f u(t)v(t)dt 0

T

f ~(t)v(t)dt ~ IIU[IL(~> fJvlli~" o

TEOREMA 1.1.3. - Se la N-funzione _~(v) soddisfa la Az-condizione, per ogni funzionale lineare e continue l su LN([0, T]) esisle uno ed un solo elemento u ¢ LM([O, T]) tale the

T

(1.1.3) l ( v ) - - f u(t)v(t)dt ~ v ~ LN( [0, T] ). 0

Annali di Matematica 22


Si ha inoltre :

(1.1.4)

(1.1.5) ilgll( ,, = HutI (M>,

(1.1.6)

Notiamo ehe ll/l}(n y e llull differiscono per un fattore eostante soltanto negli spazi L"([0, T]),~ r ~ 1; quindi , in generale, non vi ~ isometr ia tra L~([O, 2]) e (L~([0, T]))' ma solo, per la (1.1.4), i somorf ismo algebrico e topologico. Dalle (1.1.5) e (1.1.6) segue, invece, che sono congruent i gli spazi L(M)([0, T]) e (LN([0, T]))' nonch~ gli spazi L~([0, T]) e (L(m([0, T]))'.

Ricordiamo, infine, che vale il seguente

TEORE]SA 1.1.4. - Lo spazio LM([O 7 T]) ~ riflessivo s e e solo se la N- fun - zione M(u) verifica la h2-condizione nonch~ l'ipotesi (~).

1.2. - La c l a s s e di 0 r l i c z LM(O~ T; l~(m)).

Denotato con l~(m), m intero posltivo, p > 1, lo spazio euclideo ad m ~Tt

dimensioni con la norma lt~Vllzp(,~)- (E IxiI~)z] ~, poniamo la seguente : ]=1

DSFI~IZIONE 1.2.1. - Se M(u) ~ una N-funzione, denotiamo con L~(O, T; lP(m)) l'insieme ((;lasse di Orlicz di vetlori) di tutte le funzioni u(t) a valori in l~(m), fortemente misurabili in [0, T] (6), per le quali :

T

~(u, p; M) "- / M(L]u(t)Hzp(.~))dt < ~- cx~.

0

(5) Se X i~ uno spaz io di BA~ACH~ d e n o t i a m o , c o m e di sol i to , con (~0' e ()C)", r i s p e t t i v a m e n t e , il d u a l e e i l b i d u a l e ( for te) d i ~(; se, poi, ~ ~ u n f u n z i o n M e l i n e a r e e c o n t i n u o su X con I]£11(~)'

d e n o t i a m o la n o r m a di £~ c io~:

[12tl<xl'=supll£Yl: II y It×~ ~ I-

(~} O v v i a m e n t e se z(t) = ~ u n a f u n z i o n e a v a l o r i in lP(m}, f o r t e m e n t e m i s u r a b i l e

\~m(t) / i n [0, T], a l lo ra le f u n z i o n i n u m e r i c h e zj(t) ( j ~ 1 7 "..7 m) sono m i s u r a b i l i in [0, T ] e v i e e v e r s a .

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controlli lineari negli spazi di Orlicz 171

0 s s e r v i a m o ehe def in i ta per ogni funzione u(t) a valor i in lP(m), [orte- men te m i s u r a b i l e in [0, T], la funz ione n u m e r i e a :

lu[~ "t-->ltu(t)lltp(,~), t q.o. in [0, T],

si ha, ovviamento , il s e g u e n t e :

TEOREMA 1.2.1. - Condizione necessaria ~L~(O, T; lP(m)) ~ che sia [UI~ELM([O , T]).

Si hanno, inoltre, i seguent i t eo r emi :

e sufficiente affinch~ sia u e

TEOREM& 1.2.2. - Se u ~ LM(O, T ; l~(m)), u ~ u(t) ---

U i ELM( [0, T]) ( j --- 1, ..., m).

ult) ) , allora u.,(t)

Dr)rosTRAZlO)rE. - L ' a s se r to segue subito, in virtfi del la r e l az ione :

lui(t)l ~[lu(t)ll,p(,~ ) q.o. in [0, T] ( i = 1, ..., m),

per quan to osserva to in (8) e per la mono ton ia del la funzione M(u).

TEORE~A 1.2.3. - Se la N - f u n z i o n e M(u) verifica la h2-condizione e se

u i G LM([O, T]) (j = 1, ..., m), aUora u ( ~ u(t) - - • ) e LM(O, T; lP(m)).

u~Ct) DIMOSTRAZIOI~E. - A. tale scope basra r i co rda re che, sodd is facendo la

N - f u n z i o n e M(u) la 52-eondiz ione , la c lasse L~([0, T]) ~ (eft. M.A. KR~s)zo. SEL'SKII - Y.B. Ru~IC~:II [11], T h e o r e m 8.2, p. 64) uno spazio l ineare e quindi , r i su l t ando :

Ilu(t) fI,,(~) -< ~ J u/t)[ q.o. in [0, ~'], / '=1

si ha : T T

f f " M([]u(t)lld(,~))dt ~ M(.Z t uJ(t) l)dt < + c~. o o

1.3. - Gli spazi di v e t t o r i LM(O, T; l~(m)) (di 0r l icz) e L(M)(O, T; lP(m)) (di L u x e m b u r g ) .

Se M(u) ~ u n a N - f u n z i o n e , deno t i amo con LM(O, T; l~(m)) lo spazio l ineare (r ispet to al corpo reale) del le funzioni u(t)a valori in l~(m), fo r t emen te

172 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controlli Iineari negli spazi di Orlicz

misurabil i in [0, T], tall che :

T

f ,< u(t), v(t) > d t < oo o

v e LN(0, T ; W(m)),

dove-1 q_ _1 _-- 1 e < u(t), v(t) > = ~ ui(t)vi(t), avendo definito nel modo P P' t=1

abituale l 'operazione di addizione tra due suoi elementi e l 'operazione di moltiplicazione per uno scalare e elemento hullo, Or,~, l 'm-ve t to re a compo-

henri q.o. nulle in [0, T]. Si hanno i seguenfi Seoremi:

TEORE~_ 1.3.1. - Condizione necessaria e sufficiente affinch~ sia u e eLM(O, T; lP(m)) ~ the sia u ~ L ~ ( [ 0 , T]) ( j - - 1, ..., m).

DIMOSTRAZIONE.- La necessith segae subito osserwndo che per ogni w e L~¢([0, T]) detto v(t) l 'm-ve t to re (forCemente misurabile in [0, T]) a componenti tntSe nulle t ranne la j - e s i m a (j = 1, ..., m) che ~ uguale a w(t), r isul tando

T T

f <÷ o o

si ha. vELN(0, T; W(m)) e

T T

f = f < .(t), > at o o

w ~ Llv( [0, T] ) (j = 1, ..., m).

La. sufficienza, poi, si ha in quanto u(t) ~ for temente misurabile in [0, T] ed inoltre, per ogni v e LN(0, T; WOn)), essendo, per il Teorema 1.2.2, vi~LN([0, T]) (j ~-- 1, ..., m), r isal ta :

T T

o o

~ c ~ .

TEORElVlA 1.3.2. - Condizione necessaria e sufficiente affinch~ sia u e E LM(O, T; l~(m)) ~ che sia I u 1~ ~ LM([O, T]).

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controtli lineari negli spazi di Orlicz 173

DIMOSTRAZlONE. - La eondiz ione ~ neees sa r i a : infatt i , dal T e o r e m a 1.3.1, segue

T T

d J o o

L a condiz ione ~, al tresi , s u f f i e i en t e : infatt i , dal la re laz ione

lug(l) i ~ tt u(t) ll~,,) q.o. in [0, T] (j = 1, ..., m),

segue, per ogni w e LN([0, T]) :

lul(l)]w(t)[ ~[lu(t)[]tp(~)[w(t)] q.o. in [0, T] ( j = 1, ..., m),

da eui uIELM([O, T ] ) ( j - - 1 , ..., m) e quindi , pe r il T e o r e m a 1.3.1, l 'asser to.

TEOREMA 1.3.3 - Vale la seguente relazione di inclusione :

L~(O, T; lP(m)) ~ L~(O, T ; l~(m)).

DIMOSTRAZIONE. - Sia u E LM(O, T ; l~(m)) ; pe r ogni v 6 LN(0, T; l~'(m)), r isul ta , in virtfl del la (2.6)di M.A. KRASNOSEL'S~:II- Y.B. Ru~Ic~:II [11], p. 12:

1]u(t)lle~,~)llv(t)H,~'(~) ~ ~(llu(t)ll,~(~)) + N(I]v(t)ll~'(,,)) q.o. i~ [o, T]

e poieh~ :

(1.3.1)

si ha :

I < u(t), v(t) > t~llu(l)ll,p(,~)llv(t)lltp,(,,, ) q.o. in [0, T],

1< u(t), v ( t ) > I <~(lluCt)ll,~(.~)) + lv(tlv(t)ll,~,(.~)) q.o. in [o, T];

essendo, poi, ~ u(t), v(t) > misu rab i l e in [0, T], l ' asser to segue dal Teo rema 1.2.1.

T]~OREMA 1.3.4. - Se la N-funzione M(u) verifica la A2-condizione si ha:

LM(O, T ; lP(m)) = L~(O, T; l~(m)).

DIMOS~RAZlONE. - L ' a s se r to segue dai Teoremi 1.3.3, 1.3.1, 1.2.3 t enendo p resen te che, sodd i s faeendo la 1V-funzione /'~(u) 1~ h r c o n d i z i o n e , si ha (cfr. M.A. K ~ S ~ O S n L ' S K I I -- Y.B. RUTICKII [11], § 9, n. 5, p. 75) L~([0, T])=LM([O, T]).


TEOREMA 1.3.5. - Se u ~ LM(O, T ; lP(m) ', si ha :

T

suP{If < u(t), v ( t ) > d t l : p(v, p ' ; N ) ~ l l - - - I [ [ u l r l ] L M . o

DIMOSTRAZlOI~E. - D e n o t i a m o con A e B gli i n s i emi n u m e r i c i descr i t t i , T

r i s p e t t i v a m e n t e , da J f < u ( t ) , v ( t ) > dt] al va r i a re di v in L~(0, T; WOn)) o

T

con ~(v,p'; N ) ~ I e da i f Ilu(g)l}tP(m)w(t)dtl a l var i a re d i w i n LN([0, T ] ) c o n o

p(w ; N) ~ 1.

Avendos i :

T T

I f < u(t), v(t) > dt ~ f llu(O[]tp(m) [lv(t)llW(m)dt ~ v e LN(O, o o

T; WOn)) , p(v, p ' ; N ) ~ 1,

e r i s u l t a n d o Iv Iv" e LN( [0, T]) e p(]v Iv, ; N) ~ 1, segue :

(1.3.2)

T

P r o v i a m o , ora, t h e B_CA. Sia f Ilu(l)[lf(m)w(t)dt[ o

B ; posto :

(1.3.3) I(~ j) - - { t" t e [0, T] , u~(t) ~ 0 }, I(~ i) - - [0, T] - - I~ i) ( i -- I, ..., m)

e :

(1.3.4)

i I m \ l -p ~u#) ]~

0 q.o. in I~ i)

c o n s i d e r i a m o 1' m - v e t t o r o

(1.3.5) v(t) = v~(t) t"

q.o. in I~ j> (j ---- 1, ..., m),


Risultando :

(1.3.G)

T T

o o

e v e LN(O, T; lP'(m)) nonchi~ :

~(v, p ' ; lV) -- ~(w ; N) ~ 1,

si ha che

T

o

Quindi

EA.

(1.3.7) ll l u 1~ llL M ~ sup A.

Dalle (1.3.2) e (1.3.7) segue l'asserto.

TEOREMA 1.3.6. - Lo spazio lineare LM(O, T; l~(m)) con la norma

(1.3.8)

T

o

uno spazio di Banach.

DIMOS~RAZlO~E. - Che la posizione (1.3.8) definisca in LM(O, T; l~(m)) effet t ivamente una norma segue subito dal Teorema 1.3.5.

Proviamo, ora, che lo spazio normato cosi r isul tante i~ completo. A tale scopo osserviamo c h e s e {u~ k)} b una suecessione di CAuc~¥ di elementi di. L~(0, T; lP(m)), r i su l tando:

T

f tu~k)(t) - - u~h)(t)l [w(t)[dt ~__ o

/ ,

<_ f [] u(~)(t) - u(h)(t)l],p(,,)] w(t)tdt o

w e LN( [0, T] ), ~(w ; N) ~ i (j = 1, ..., m),

per il Teorema 1.3.5, le successioni {u~k) t ( j - - 1 , ..., m) di elementi di L~'([0, T]) sono di CAuc~Y o quindi convergenti ad elementi u i eL~( [0 , T])

176 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controtti lineari negli spqzi di Orlicz

(j -- 1, ..., m). Posto, allora,

u ~- u(t) =

essendo, per ogni k intero positivo

("'?) / \ u:Ct) I

s i h a :

Ilu(k)(t)- u(/)[]~(,~)~ ~" lu~)(t) - - u1(t) I q.o. in [0, T],

m k li u ( ~ , - ujj.~ ~ ~!L.~ ) - - , l l ~

e quindi l'asserto. In virtfi del Teorema 1.3.6 possiamo, allora, dare la seguente:

DEFI~ZIONE 1.3.1. - Se M(u) ~ una N-funzione, diciamo spazio di Orlicz di vettori lo spazio di Banach LM(O, T; l~(m)) delle funzioni u(t) a valori in l~(m), fortemente misurabili in [0, T], tall the:

T

f ~ u(t), v(t) ~ dt ~c~ o

v ~ LN(O, Y; W(m)),

con la norma : T

t o

: y(v, p'; 1 V ) ~ I } .

5Taturalmente, nello spazio L~(0, T; l~(m)) si possono introdurre altre norme equivalenti a quella da noi eonsiderata. Una di queste norme, del tipo di quella introdotta da W. LUXEMBURG nello spazio L~([0, T]) (cfr. n. 1.1), si ottiene ponendo, per ogni u e LM(O, T; lP(m)) :

( 1 . 3 . 9 ) [lu[[ijy):---inf{k'k > 0 , ~ ( ~ ; M ) ~ 1 I.

Invero, si ha, in virtfi del Teorema 1.3.2 e della (1.1.1):

(1.3.10) II u I]L(pza) -- Ill u I~IIL(.),

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controtli Iineari negli spazi di Orlicz 177

da eui segue, in manie ra ovvia, c h e l a (1.3.9) definisce effe t t ivamente una norma in LM(0, T; lP(m)) e inoltre, per il Teorema 1.3.5 e per le (1.3.10) e (1.1.2), si ha:

Poniamo, quindi , la

DEFINIZIONE 1.3.2. -- 8e M(u) ~ una 1g-funzione, diciamo spazio di Luxemburg di vettori lo spazio di Banach, the denotiamo con L(M)(O, T; l~(m)), delle funzioni u(t) a valori in IP(m), fortemente misurabili in [0, T], tall che:

T

f < u(t), v(t) >dr < cx~ 0

~) ~ LN(O, T; l~'(m)),

con la norma definita dalla (1.3.9).

1.4. - Teorema di rappresentaz ione dei f u n z i o n a l i i inear i e eont inui su LN(O, T; l~'(m))(7). Isomorf ismo t ra gli spazi LM(0, T; l~(m)) e (LN(O, T; l~'(m))) '. Congruenza t ra gli spazi L(M)(O, T; l~(m)) e (LN(O, T; l~'(m))) ' nonch~ t r a gli spazi L~(0, T; l~(m)) e (L(N)(O, T; l~'(m)))'.

Cominciamo con l 'osservare che, in virtfi del la (1.3.1) e dei Teoremi 1.3.2, 1.1.2 e 1.3.5 nonch~ della (1.3.10) si ha it seguente:

TEOI~E~ 1.4.1. -- Se u e LM(0, T; lP(m)) e v~ LN(O, T; l~'(m)) si hanno le seguenti disuguaglianze (del tipo di H61der):

F

(1.4.1) I f <u(t), v( t ,>dt I ~[,U[I~M[,V~L~, o

T

(1.4.2) f < u(t), v(t) >dt ] ~ Il u ][L~ IIV ][Le(.N,, 0

(1.4.3)

T

o

(7) 0 cib e h e b lo s t e s s o s u L(Iv)(O, T; l~'(m)) i i n f a t t i , i n v i r t f l d e l l a (1.3.1t) o g n i f u n z i o n a l e l i n e a r e e c o n t i n u o s u LN(O, T; lP'(m)) b u n f u n z i o n a l e l i n e a r e e c o n i i n u o s u L(N)(0~ T; lp'(m)) e v i c e v e r s a .


178 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: ControIli Iineari negli spazi di Orlicz

Da questo Teorema segue c h e s e u ELM(O, T; /P(rt~)), l 'applicazione

(1.4.4)

T

v - - > / < u(t), v(t) >dt ,

0

v ~ LN(O, T; W(m))

an funzionale l ineare e continuo su LN(O, T; lV'(m)). Come si deduce, perb, dal Theorem 14.1 di 3I. A. KRASNOSEL'SKI~--Y. B. RU~ICKH [11], p. 127, la (1.4.4) non d/~ la forma generale dei funzionali l ineari e continui su LN(O, T; l~'(m)). Per far si the ogni funzionale l ineare e continuo su L~(O, T; lP'(m)) sia rappresentabi le nella forma (1.4.4) assoggetteremo, conformemente a quanto fatto nel caso scalare (err. 3~. A. KRASNOSEL' SKII--Y. B. RUTICKII [11], § 14, n. 2, p. 130), la N- funz ione N(v) alia A2-condizione.

Proviamo, infatti, il seguente:

TEOREMA 1.4.2. -- Se la N- funzione N(v) verifiea la h2-eondizione, per ogni funzionale lineare e continuo 1 su LN(O, T; lt'(m)) esisle uno ed un solo elemento u ~ LZ~(0, T; l~(m)) tale the:

(1.4.5)

T

l(v) ----- f < u(t), v(t) > d t o

Si ha inoltre"

v ~ LN(0, T; lP'(m)).

(1.4.6) /I t I1(~), ~ il u [l C ~ 2 II l II(L~),,

(1.4.7) II t IliL~), = 1t-1],~(/,,

(1.4.S) [1111(L(~>)' = ll u II C ,

(1.4.99 ~ II t IlrL(N)V --< i1 u IlL, M) --< l1 t It(L~)), • k p" ]

DIMOSTRAZIONE. - - Sia I un funzionale l ineare e eoutinuo su LN(O, T; lV'(m)). Per ogni v~LN(O, T; lV'(m)), sia v(i) il vettore di Lg(o, T; l~'(m)) che ha nulle tutte le componenti t ranne la j - e s ima the 6 uguale a quella di ugual indiee di v, cio6 alia v¢(t). Si ha:

v - ~ v(i) t=1

e quindi : m

(1.4.10) l(v) = ~, l(v(J)).


Ma l 'applieazione VJ)-->l(v(i)) pub r iguardarsi come un funzionale l i l ineare e continuo definito in LN(10, T]); infatti, la ]inearit~t ~ ovvia ed inoltre la eontinuiti~ segue subito, poieh~, in virtfl del Teorema 1.3.5, si ha la seguente relazione:

I ~j(vi) I = I l(v+) i ~ I1 l l l(~), 11 v+ I1~ -

= 111 li(~), Ill v+ I,+ i l~ = I1 ~ ll(L~)' [l'~j I1~.~ V V; ~ L~([O, T]).

Poich~ la N-funzione N(v) soddisfa la 52-condizione, vale in LN([O, T]) il teorema di rappresentazione dei funzionali l ineari e eontinui e precisamente (cfr. Teorema 1.1.3), in corrispondenza al funzionale 1 i esiste uno ed un solo elemento uieLM([O, T]) per eui r isul ta:

7

(1.4.11) lj(vj) -: f v/t)ui(t)dt ~ v i e LN([0, T]). o

Dalle (1.4.10) e (1.4.11) si ha allora:

T

I vi(t)ui(t)dt ~ v ~ LN(O, T; lP'(m)), l(v) ]=x J

0

resta provata la (1.4.5). u (t)

Dimostriamo, ora, la (1.4.6). Cominciamo, all 'uopo, ad osservare che, per quanto sopra provato, gli spazi LM(O, T'~ lP(m)) e (LN(O, T; l~'(m))) ' sono isomorfi algebricamente, l ' isomorfismo essendo stabilito dall 'applieazione l ineare:

(1.4.12) u --> ~u

dove si ~ posto ~ u - - l . Tale applicazione ~ anche continua in quanto, per la (1.4.l), r isulta:

II ~u [I(L~), - - sup (I l(v) l "[] V I]L~, ~ 1 } ~ H U OL~ ~ U ~ LM(O, T; l~(m)).

Allora la prima disuguaglianza della (1.4.6) ~ dimostrata. Allo scopo di provarne la seconda, osserviamo che se v ~ LN(O, T; l~'(m)) si ha (efr. Teorema 1.3.3) che v e LN(O, T; l~'(m)) ed inoltre (err. M.A. KnASNOSEL'SKII-Y.B. RVTICKH [11], (9.12), p. 72):

11 v [ l ~ = []J v ]~, I/LN g ~(v, p'; N) + 1 ;


r isul ta pertanto, come volevasi :

T

II. I1~ _~ sup t f < -(~, v~ > dt o

• Ilvllc<-21 = 2 i[ z tI(c), .

Passiamo, ora, a d imostrare la (1.4.7). Si ha, intanto, in virtfi della (1.4.3):

e quindi :

If t If(~y), -< II ~ [l~,) •

Sarh sufficiente, allora, provare che:

(1.4.13) II/[J(L~)' ~ U U tl~<~>

perchb res t i acquis i ta la (1.4.7). A tale seopo not iamo intanto che, per i Teoremi 1.3.2 e 1.1.2, F applicazione

T

w --> f [l u(t)I[z,(,~)w(t)dt, o

un funzionale l ineare e cont inuo su Ln([0, Teorema 1.1.3, si ha:

rv ~ L~([0, T]),

T]) e pertanto, in virtfi del

Sia,

T

allora, I f ]l u(t)]llv(m)w(t)dt f o

Y, sicch~ weL~V([0, T]) e [ I w U n N ~ l ; in

(1.4.15) y __c X.

T

sup I f I o

T

Indiea to con X l ' i n s i eme numer ieo deseri t to da f < u(t), v(t) >dt al variare o

di v in L~V(0, T; l~'(m)) con [ I v [ I L ~ 1 e con Y l ' ins ieme numer ico descri t to Y

f " w(t)dt da I o [lu(/)~t'(~") al variare di w in LN([0, T]) con [IwllLN~I, proviamo ohe: o

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controtli lineari negli spazi di Orlicz 181

corr ispondenza a w(t), considerate le posizioni (1.3.3), (1.3.4) e (1.3.5), si ha la (1.3.6) nonchi~ v eLN(O, T; lP'(m)) ed inoltre [I v l[ L~. ---- [] w[[r~v < 1, per cui

T

0

La ( 1 . 4 . 8 ) segue, poi , subito osservando che l ' i n s i eme dei punt i v ~ L~r(O, T; l~'(m)) per cui [11 v I~" IlL (N /~ 1 ~ uguale (cfr. 1~[. A. KRAS/qOSl~L'S~:II- Y. B. RU~CKI:[ [11], Theorem 9.5, p. 79) all' insieme dei punt i v e LN(O, T; l~°'(m)) per cui ~(v, p' ; 1g) "<~ 1.

La (t.4.9) segue, infine, dalle (1.4.6), (1.4.7) e (1.4.8). I1 teorema ~, eosi, dimostrato. Dal Teorema 1.4.2 tenendo, in part icolare, presente la (1.4.6) ne viene

the, sc la N- funz ione N(v) verifiea la 5~-condi~ione, gli spazi LM(0, T; IP(m)) e (LAr(O, T; l~'(m))) ~ sono isomorfi a lgcbr icamente e topologicamente. Per quanto osservato nel n. 1.1, tale isomorfismo non i~, in gcncralc, una isomctr ia ; si ha isometr ia nel caso in cui L~(0, T; l~(m)) ~ un L'(0, T; l~(m)) con r > 1 (8). tknalogamente pub dirsi, in virtfi della (1.4.9), per gli spazi L(M)(O, T; l~(m)) e (L¢~)(0, T; W(m)))'. Dalle (1.4.7) e (1.4.8) segue, invece, che gli spa~i L(M)(O, T; l~(m)) e (L~V(0, T; l~'(m))) ' nonehi~ gli spa~.i L~(O, T; l~(m)) e (L(N'(0, T; l~'(m))) ' sono congruent i .

1.5.- ltiflessivitk deilo spazio LM(O, T; l~(m)) (e dello spazio L<M)(0, T; l~(m))).

Dimostr iamo il seguente teorema:

TEO~EMA 1.5.1. -- Se la N- funz ione M(u) verifica la A2-condizione nonch~ l' ipotesi (~), lo spazio LM(O, T; lP(m)) (risp. L(M)(O, T; lP(m))) ~ riflessivo e quindi congruente allo spazio (L~(O, T; l~(m)))" (risp. (L(M)(O, T; l~(m)))").

DIMOSTRAZIONE. -- Eseguiamo la dimostrazione del Teorema r i ferendoci allo spazio LM(0, T; l~(m)), essendo quelI~ relativa ~11o spa zio L(M)(0, T; l~(m)) per fe t t amente analoga.

Sia le(LM(O, T; /P(m)))'; per il Teorema 1.4.2, applicato allo spazio L~(O, T; lP(mj.) (M(u) soddisfa la h,-condizionc), esiste uno ed un solo e lemento v e LN(0, T; lP'(m)) tale che:

T

l(u) -= f < u(t), v(t) ~ dt o

u e L M ( 0 , T ; lP(,$)).

(s) Lo spazio L~'(O, T i l~(m)) ( r ~ 1) s i ' p u b r i g u a r d a r e come uno spazio di OI~LICZ di v e t t o r i in modo ana logo a q u a n t o fa t to ne l n u m e r o 1.1 p e r lo spazio Lr([0, T]).

182 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Cot~trolIi lineari negIi spazi di Orlicz

Fissato u E LM(O, T; tP(~rt)), al variare di 1 in (LM(O, T; l~(m))) ' si definisce un funzionale F in (LM(O, T; /r(m)))':

(1.5.1) 1 ---> F(l) : l(u),

che, come g noto in generate (eft., ad e s , G. FIC~EICA [9], cap. IV, n. 7), l ineare e continuo; pertanto F~(LM(0, T; l~(m))) ". Si b, eosi, stabil i ta una eorrispondenza tra LiU(0, T; l~(m)) e la varieti~ (LM(O, T; IP(m)))o ' dei punti di (L~(O, T; l~(m))) '' del tipo (1.5.1). Tale corrispondenza ~, come ~ noto (cfr., ad es , G. FIC~ERA [9]~ cap. IV, n. 7), lineare, biunivoca e si ha:

ed i~, quindi, una congruenza. Per provare la riflessivita di L~(O, T; lP(m)) r imane da far vedere che

(LM(O, T: lP(m)))g ' = (L~(O, T; l~(m)))", eiog che tutti i punti di (LM(0, T; l~(m))) '' sono funzionali l ineari e continui su (LM(O, T; lS(m))) ' del tipo (1.5.1). A tale scopo, sia H~(LM(O~ T; lP(m)))"; per l ' i somorf ismo algebrico e topologico tra gli spazi (LM(O, T; lP(m))) ' e LN(O, T; l~'(m)), che segue con lo stesso ragiona- mento fatto nel n. 1.4 per gli spazi LM(O, T; lr(m)) e (LN(O, T; l~'(m))) ' (M(u) verifica la 5~-condizione), ponendo:

/~(v) = H(1)

(v s LN(O, T; l~'(m)) ed l s ( L ~ ( 0 , T; lr(m))) ' corrispondenti neWisomorfismo sopra detto) si definisce in LN(O, T; lP'(m)) un funzionale ovviamente lineare nonch~ continuo poich~

i H(v) i = [ H(/): ~ [I HII(LM)" II gilC~H)' ~ II HU(C)" [I v 11~ ~ v e LN(O, T; l~'(m)).

Per il Teorema di rappresentazione dei funzionali lineari e continui su LN(O, T; WOn)) (M(u) verif ica l ' ipotesi (~) e quindi N(v), per il Teorema 1.1.1, la 52-condizione) si ha che esiste uno ed un solo u e L~(0, T; l~(m)) tale ehe:

ciob

T

IZI(v) = f < u(t), v(t) > d t = l(u), 0

quindi H ~ del tipo (1.5.1). I1 teorema b dimostrato.

H(1) -- /(u),

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controlli lineari negti spazi di Orlicz 183

1.6. - l l e u n i e s e m p i .

Coneludiamo il paragrafo 1 riportando (err. M.A. KRAS•OSEL'SKII--Y. B. RUTICKII [11], §4, n. 4, p. 27) alcuni esempi di N-funzioni soddisfacenti ipotesi del tipo di quelle dA noi considerate nei vari casi.

Un primo semplice esempio di N-funz ione verif ieante la h2-condizione nonch~ l ' ipotesi (:¢) ~ dato dalla funzione

M(u) l uL" = ( r > 1) r

che genera lo spazio (riflessivo) Lr(0, T; lP(m)) (r ~ 1). Altro esempio di N-funzione verif icante entrambe le suddette ipotesi ma

generante uno spazio di ORLICZ (riflessivo) non del tipo L r i~ la funzione:

M ( u ) - - [ u[ r (I log I u[[ + 1).

Infine, un esempio di N- funz ione verif icante F ipotesi (a) ma non la A2-condizione ~ dato dalla funzione

M(u)-~ e l , I - [u] - - 1

(la cui funzione eomplementare ~ N(v) ---- (1 + tv j) log(1 + J v ] ) - - j v I).

§ 2. - I1 p r o b l e m a d e l l a e o n t r o l l a b i l i t ~ t .

2.1. - Traduzione del problema (P) in a l t r i ad esso equivalenti .

In generale, come molte applicazioni mostrano, l'uso di controlli discontinui non pub essere evitato, cosicch~ b preferibile considerare F equazione (E) nel senso di C A R A T t t ] ~ O D O R Y , piuttosto che nel senso classico. Faremo, pertanto, delle ipotesi sui dati in guisa tale che A(t), B(t)u(t), c(t) siano integrabili secondo LEBESGUE in [0, T], per cui una soluzione della equazione (E) sar~t un n -ve t to re ivi assolatamente eontinuo verif icante la (E) q.o. in [0, T].

Detta, allora, ~P(t) una matrice fondamentale delFequazione:

d ~ (Eo) dt -- A(t)w,

per ogni assegnato m-ve t tore u(t), l ' un ica soluzione della (E)soddisfacente la condizione iniziale

x(0, u , v) - - v, v e V,

184 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controlli Iineari negli spazi di Orlicz

ha 1' espressione:

t x(t, u, v) = dP(t)d)-~(O)v -}- f cb(t)dp-~(~)B(~)u(~)d~ -4-

o

t

0

Posto, poi :

W(t~, t2)---ap(t~)a)-~(t2)B(t~) ~ t~e[O, T] c t~ q.o. in [0, T]

e denotate con FT e AT le applicazioni l ineari :

° I T . X ---> q ) (T /9 -~(O)x ,

T

AT: u ---> / IF(T, t)u(t)dt, o

da R '~ in R" la prima, e da ~ in R" la seconda, la risolubilit~ del problema (P), detto 0R~ l 'or igine di R ~, ~ equivalente al verificarsi della seguente relazione :

(2.1.1) T

OR'~ e S - - - I f ~/)(T)(I)-l(~)c(~)d~ } - - W .3f_ [~TV -~ AT6)~. o

Se l ' ins ieme S risulta limitato e convesso, definita, come di consueto, la sua funzione supporlo (o funzione di appoggio) ponendo"

hs(x')=sup{<x', ~ > ' x e S } ~x'e(R')',

in virtfi del teorema di separazione in senso stretto (cfr., ad cs., N. DU:NFORD- J .T . Sc~wAa~z [8], cap. V, n. 2, Theorem 10, p. 417) si ha:

(2.1.2) (OR'~e S) ¢:v (hs(x')~O ~ x'E(R")').

Ovviamente, dalle (2.1.1) e (2.1.2), segue ehe, se l ' ins ieme S 5, inoltre, chiuso, la relazione

(2.1.3) hs(x') ~ 0 ~ x ' e (R ' ) ' ,

eondizione carat ter is t iea per la risolubilith del problema (P). Per potere utilizzare la (2.1.3) come condizione di controllabilit'~ oceorre,

allora, considerare ipotesi sui dati atte .a garantire, tra l 'al tro, la chiusura

G. PULVIRENTI - G. S A N T A G A . T I : Controlli lineari negli spazi di Orlicz 185

de l l ' ins ieme S. ]~ note (cfr., ad es., R. GOZ~TI [4]) che l ' ins ieme AT6"~, e di conseguenza l ' i ns ieme S~ r isul ta chiuso se, sotto a leune ipotesi sugli altri dati, per esempio e'yY b una sfera dello spazio di BAzcA(J~ Lq0, T; l~'(m)), r > 1, p > 1.

Noi, pifi in generale, considereremo, anzichb gli spazi Lq0, T; lr(m)), gli spazi del ripe di ORLmz LM(O, T; lV(m)) introdot t i nel paragrafo 1. Si potrebbero anche considerare gli spazi LCM)(0, T; lV(m)), ma la relat iva trattazione b per fe t tamente analoga a quel la che noi faremo.

2.2. - Le a p p l i e a z i o n i YT e AT.

Poniamo, era, sui dati le ipotesi delle quali ci serviremo nel seguito:

i) A(t) sia una matrice n X n ad elementi integrabili secondo Lebesgue in [0, T],

ii) c(t) sia un n-vettore a componenti integrabili secondo Lebesgue in [0, T],

iii) B(t)--(bii(t)) sia una matrice n X m i cui elementi appartengano a Lr~([0, T]),

iv) V sia un sottoinsieme di R" limitato, chiuso e convesso,

v) W sia un sottoinsieme di R" limitato, chiuso e convesso.

Cib posto, si ha, ovviamente, il seguente

TEORESIA 2.2.1. -- Se ~ verificata l'ipolesi i), l'applicazione lineare F~, continua in R".

Inol t re proviamo il

TEOREMA 2.2.2. -- Se sono verificate le ipotesi i) e iii), l'applivazione lineare AT da LM(O, T; lP(m)) in R" ~ continua (forlemente).

D I M O S T R A Z I O N E . - - Cominciamo, intanto, col notare che 1' integrale T

f ~(T, t)u(t)dt per ogni u eLM(O, T; l~(m)) in quanto le component i esiste o

dell' n-vettore LF(T, t)u(t) = ~(T)6P-l(t)B(t)u(t) sono somme di prodotti di [unzioni cont inue in [0, T] per fuhzioni ivi in~egrabili secondo LEBESGUE, le pr ime provenendo dalla matr ice ~p(T)q~-l(t) e le seconde ot tenute (Teorema 1.1.2) come prodotto di un e lemento di B(t), appar tenen te a L~V([0, T]) (per l ' ipotesi iii)), per una componente ~di u(t), appar tenen te a LM([0, T]) (Teorema 1.3.1).

La cont inui th de l l ' appl icaz ione AT segue, poi, osservando the la matr ice dg(T)~-I(t) ~ (cont inua e quiudi) l imitata in [0, T] (ciob r isul ta I~P(T)t~-l(t)l~


1 86 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controlli Iineari negli spazi di OrIicz

cost. per ogni t e[0, T] (o)) e the, per l ' ipotesi iii), il vettore bi(t), ] -es ima riga della matriee B(t), appart iene allo spazio L~(0, T; W(m)); infatti, in virtfi del Teorema 1.4.1, si ha:

T T

f ~(T, ~) u(t)dt ~(.)<_ f I ¢(T)a,-~(t)~(t)~(t) I dt 0 0

T

_<, cos~. ~ ( ~ I bi,¢)u,(t) t)dt <-- cost. II u t1~, V u s L~(O, T; ~'(,n)). i = 1 J i = 1 p

o

I1 teorema 6, eosi, dimostrato. In virtfi di una nora proposizione (cfr. N. BOUR]3AKI [3], Prop. 6, p. 1037

dal teorema preeedente segue il

TEOI~EMA 2 .2 .3 . - Se sono verificate le ipotesi i )e iii), l'applicazione lineare AT da LM(O, T; lV(m)) in R" ~ debolmente continua.

Proviamo, inoltre, il

TEOREMA 2.2.4. -- Se sono verificate le ipotesi i) e iii) e se, inollre, la 2V-funzione M(u) verifica l' ipotesi (~), l' applicazione A~ da L~Z(O, T; lV(m))-- -- (LN(0, T: W(m)))' - - (L<N)(0, T; W(m)))' (~o) in R '~ d debohnente* continua.

DIMO~PRA~IONE. -- Osserviamo innanzi tat to ehe l 'appl ieazione A~, ~ da LM(O, T; lP(m)) in R" ; noi definiamo, a part ire da essa, una applicazione h~ da (LN(O, T; W(m)))' in R" nel modo seguente: detto g l ' i somorf ismo tra gli spazi L~(0, T; l~(m)) e (L~(O, T; IP'(m))) ' e v' l ' e lemento di (LN(0, T; W(m)))' corrispondente in tale isomorfismo ad u e LM(O, T; l~(m)), ciob v' : 2u, poniamo

A'Tv' "-- A TU.

]~ proprio del l 'applica~ione A~,, eosi definita, che noi proveremo la debole*

continuith in ogni punic ~ e (LlV(0, T; W(m)))' e in tal senso intenderemo quan- to espresso ne l l ' enuneia to re la t ivamente a l l 'uguagl ianza LM(O, T; IV(m))-- ---(LN(0, T; W(m)))'; per quanto r iguarda l 'uguagl ianza L~(0, T; lV(m))-~ _-- (Lm)(0, T; W(m)))' il procedimento b lo stesso e pertanto non lo r ipeteremo.

(~) Come di consueto, se Q--~(qj~) ~ una matrice ~Xv ad elementi reali, poniamo

I Q L =.~.l q:~l. (to) L'uguaglianza LM(O, T; /P(m))~(LN(O, T; lP'(m)))' ~, ovviamente, intesa nel senso

dell'isomorfismo algebrico e topologieo $ esistent% helle ipotesi poste, tra gli spazi LM(O, T; lP(m)) e (Liv(O, T; /P'(m)))' e 1'uguaglianza LM(O, T; lP(m))----~(L(Zv)(O, T; W(m)))' nel senso della eongruenza esistente tra detti spazi (cfr. Teorema 1.4.2).

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controtli lineari negti spazi di OrIicz 187

Allora, per dimostrare il teorema, faremo vedere che per ogni ~ ~ 0 esiste

un intorno (ne]la topologia debole* di (LN(O, T; l~'(m))) ') U~ di v' tale ehe, per ogni v' e U~, r isulta :

I1 hkv' -- h'rv~' I}~,(.)( = I] h r u - - h~ .u II~0(.)) <

o eib ehe ~ lo stesso per la linearitit di (AT e quindi di) A~:

l /A~(v ' - v-')lit,(.)( = l / A r ( u - ~ ) I1~ . ) ) < ~.

Gli elementi di (LN(O, T; WOn)))' sono rappresenta~i (TEoRE~A 1.4.2) da:

(2.2.1)

T

v ---> f ~ u(t), v(t) >dr, o

v e LN(O, T; lV'(m)), u fissato in L~(O, T; lP(m)).

Se nella (2.2.1) fissiamo veLN(O, T; t (m)) e facciamo variare u~L~(O, T;/r(m))-- -- (LN(0, T; W(m)))' otteniamo (n. 1.5) gli elementi della variet~ (Lr~(0, T; l~'(m)))~ ' ehe sono quelli ehe generano la topologia debole* di (LN(0, T; l~'(m))) '.

D'a l t ra parte, denotate con ~Vj(T, t) (j = 1, ..., n) le r ighe della matr ice W(T, t), essendo IF~(T, t )e LN(O, T; lV'(m)) (j = 1, ..., n), si ha ehe

T

f W(T, t)u(t)dt = 0

T

o

T °

\ / ~ , ( T , t), u ( t ) ~ d t

(Fl(v') )

\F.(v')/

una n - u p l a di elementi di (LN(O, T ; lP'(m)))o ' . Quindi, un intorno U~,(~) di

v' nella topologia debole* di (LN(0, T; lP'(m))) ' ~:

U~,(~) = { v'" v 'e (LN(O, T; l~'(m))) ', [ F j(v' - - v'){ < ~, 2" = 1, ..., n } - -

T

0

188 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controlli Ib~eari negli spazi di Orlicz

Se in corrispondenza ad ~ ~> 0 si prende ~ - - ~ , si ha:

T

=[ (/ i = 1

o

e l 'asser to ~, eosi, provato.

OSSERVAZlO~E 2 . 2 . 1 . - I1 risultato ottenuto nel teorema 2.2.4 dipende, ovviamente, da]la part icolare na tura dell 'applicazione AT; b noto, infatti (err. N. BOUm~AKI [3], Prop. 6, p. 103 ed Exem. p. 104), che in generale la debole* continuith di una applicazione l ineare ne impliea la forte ma non viceversa.

t

~i(T, t), u(t) - - u(t) > d t ~

2.3. - Gli insiemi FTV~ AT~'M,e, ATIM, e, S~, ~ e re la t ivi teoremi di chiusura.

Cominciamo, intanto, con l 'osservare che dal teorema 2.2.1 segue subito il

T]~OREMA 2.3.1. -- Se sono verificate le ipotesi i) e iv), l ' insieme FTV ~ un sottoinsieme compatto e convesso di R ' .

Allo scopo di precisare l ' ins ieme ~ che f igura in (2.1.1), facciamo ie seguenti posizioni

~ . ~ = { u - u + LM(0, T; ~(m)), /I u II C < ~, p > 0 },

~' = +' v' []( =,,+ t " ~ (L~(O, T; ~'(~)))', 11 v' ~),_<_ ~, p > o },

El,), e -- { v " v' e (L<N)(O, T; W(m)))', II v' tl( --

I~,~ = g-~ iv+ ,

essendo l 'applicazione l ineare definita dalla (1.4.12) che stabilisce isomorfismo algebrieo e topologico tra gli spazi LM(O, T; lP(m)) e (LN(O, T; /V'(m)))' nonchb eongruenza tra gli spazi LM(O~ T; lP(m)) e (L¢~)(O, T; lP'(m))) '.

Si hanno, allora, i seguenti altri teoremi:

T]~ORE~A 2.3.2. - Se sono verificate le ipotesi i), iii) e se inoltre la N-funzione M(u) soddisfa la h~-condizione e l'ipotesi (:¢), allora l 'insieme AT~'M,e ~ u n sottoins~eme compatto e convesso di R ' .

DI~OSTRAZlONE. -- Essendo, per il Teorema 1.5.1, lo spazio LM(O, T; lr(m)) riflessivo, in virtfi di un nolo risultato (cfr., ad es., E. t tILLE-R. S. P~ILLI~'S [10], p. 38) la sfera EM, p r isulta compatta nella topologia debole; essendo, poi, in virtfi del Teorema 2.2.3, l 'applicazione AT debolmente continua in LM(O, T; IP(m)) segue che ATZ~,p b u n sottoinsieme di /~'~ (compatto nella topologia debole e


quindi) compat to; AT~Af, p ~, inoltre, ovviamente, eonvesso.

TEOREMA 2.3.3. -- Se sono verificate le ipolesi i), iii) ed inoltre la N- funz ione M(u) soddisfa l ' ipotesi (o~), allora l ' insieme ATI~,~ ~ un sottoinsieme compatto e convesso di R".

DIMOSTRAZIO~E -- Invero, per un note teorema (efr., ad es., E. HILLE- R .S . PI-IIImlPS [10], p. 37), l ' ins ieme IM,~ di LM(O, T; 1~(~24)) (identificato con

v, di (LN(0, T; l~'(m))) ') ~ eompatto nella topologia debole* ; pertanto, la sfera ~N,p in virtil del Teorema 2.2.4, ne viene che l ' insieme ATIM, p - A~,E~v,~ (l'applicazione A} essendo stata definita nel corse della dimostrazione del Teorema 2.2.4) ~ un sottoinsieme di /{" (eompatto nella topologia debole* e quindi) eompatto. Pe r la linearit~ del l 'appl ieazione A~, e quindi anehe della A~, ne segue, poi, che l ' ins ieme ArlM, e ~ convesso.

I1 teorema 6, eosi, dimostrato. Inoltre, identif ieata la sfera EM, p di LM(0, T; l~(m)) con la sfera ZIN), P di

(L(N)(0, T; lP'(m))) ', seguendo lo stesso proeedimento della dimostrazione del teorema precedente, si ha il

TEOREMA 2.3.4. -- Se sono verificate le ipotesi i), iii) ed inoltre la N - f u n z i o n e M(u) soddisfa l'ipotesi (c¢), allora l ' insieme ATF, M.p ~ un sottoinsieme compatto e convesso di R '~.

OSSERVAEIOlq'E 2.3.1. - 5Totiamo ehe il Teorema 2.3.2 ~ case part icolare del Teorema 2.3.4; abbiamo, perb, preferito dare le dimostrazioni di entrambi allo scope di rendere indipendente il ease in eui si usi solo la norma di ORLICZ da quello in eui si usi anche la norma di LUXEMBURG.

Ricordando che la somma (diretta) finita di insiemi debolmente eompatti un insieme debolmente chiuso, in virt~l dei Teoremi 2.3.1, 2.3.4 e 2.3.3 si

hanno i seguenti teoremi:

TEOREMA 2.3.5. -- Se sono verificate le ipotesi i)-v) ed inoltre la N - f u n z i o n e M(u) soddisfa l ' ipotesi (~), allora l ' insieme

T

S~ 7_ { f ~(T)a)-l(t)c(t)dt I - - W + F~fV --~-AT~M,p o

un sottoinsieme compatto e convesso di R ~.

OSSERVAZlOI~E 2.3.2. -- Se la N- fanz ione M(u) verifiea, pure, la h2-condizione allora il r isultato preeedente segue, indipendentemente dall ' introduzione della norma di LUXEMBURG, sf ru t tando, anzieh~ il Teorema 2.3.4, il Teorema 2.3.2.


TEORnMA 2.3.6. - Se sono verificate le ipotesi i)-v) ed inoltre la N- funz ione M(u) soddisfa l' ipotesi (c~), allora l' insieme:

T

= t fo, f 0

un soltoinsieme compatto e convesso di R".

2.4. - T e o r e m i d i e o n t r o l l a b i l i t k .

Per quan to detto nel n. 2.1 e per i Teoremi 2.3.5 e 2.3.6 si hanno, al lora, i seguent i teoremi di controllabili t /~:

TEOREMA 2.4.1. -- Se sono verificate le ipotesi i)-v) ed inoltre la N - f u n z i o n e M(u) soddisfa l'ipotesi (:¢), condizione necessaria e sufficiente per la controllabililiz (perch~ il problema (P) sia risolubile) in ~.~,p X V ~ che sia verificata la relazione:

(2.4.1) hse(~' ) ~ 0 ~t x' E (R")'.

TEOREMA 2.4.2. -- Se sono verificate le ipotesi i)-v) ed inoltre la N- funz ione M (u) soddisfa l' ipotesi (:¢), condizione necessaria e suf[iciente per la conlrolla. bilildt (perch~ il problema (P) sia risolubile) in IM, p X V ~ che sia verificata la relazione :

(2.4.2) h~(x') ~ 0 ~ x~' ¢ (R")'.

2.5. - Funz ion l suppor to di ArEM, p e ArlM, e.

Essendo :

hs/x ' ) ---- h r (x') + h-w(X') + h~rv(X') + hArZM,/X') { f ¢(r;¢-qt)c(t;dt} 0

nonch6:

h~p(x') = h r (X') + h-w(X') + hrrv(~') + hATIM,/X')

0

x' e (R")',

ci occupiamo, ora, di dare delle espressioni espl ici te o delle va lu taz ioni di:

T

h : ~ r ~ M , z ( x ' ) - - s u p l f o

) < x'W(T, t), u(t) >t i t • u e "M, ~ e I

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controlli lineari negli spazi di OrIicz 191

T

hATIM, p(Xr) : supl f < x'W(T, t), u(t) > d t " u ¢ I~,p I o

~; + (R~) '.

Comineiamo, a tare scopo, col p r o w r e il seguente

TEORE]~A 2.51. -- Se sono verificate le ipotesi i), iii) ed inoltre la N- funz ione M(u) soddisfa l' ipolesi (o~), allora si ha:

dove si ~ posto x ' lF - - x 'W(T , .).

DIMOSTRAZIOhTE. - - In virtfi del Teorema 2.3.4 l'insie~ne ATY~M,p ~ un sottoinsieme compatto e convesso di R ' ; esso ~, inoltre, simmetrico rispetto al l 'origine. Si ha, allora, per ogni ~'~(R~)':

T

o

Per il Teorema 1.4.2, lo spazio L'U(0, T; lP(m)) ~ isomorfo algebrieamente e topologieamente allo spazio (LN(0, T; W(m)))' e denotato, come al solito, con v' l ' e lemento eorrispondente ad u in tale isomorfismo, eio/~ v' ~ ~u, si ha:

(~.5.2j It v, t t~ ) , .<_ II- I1~ ~ 2 I1 v, I1(~),.

Posto, allora, per ogni assegnato x 'e (R") ' :

T

G~,(v') -- / < oc'tF(T, t), u(t) > d t o

v' e (L~(O, T; W(m)))',

v'----> G~,(v') r isulta un funzionale l ineare e continuo su (LN(O, T; W(m)))', cio~ un elemento di (LN(0, T; W(m)))" ed essendo x'lF e LN(O, T; W(m)), in virtfi del Teorema 1.4.2, si ha (n. 1.5) G~, e (LN(O, T; W(m)))o'. Essendo, poi, LN(0, T; W(m)) congruente a (L~(0, T; W(m)))o', ne viene the

(2.5.3) [t G~, II(~),, = II ~ I]~ v ~'G (R-)'.

Dalle (2.5.1), (2.5.2) e (2.5.3) segue allora:

hAT~M,e(~')-- < ~ Sup{ i G~,(v') I li v' tl( L~,), ~ 1 } =- ~ Il x'lF L~ V- ~' e (R'~) '.

192 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controlli lineari negti spazi di Orlicz

Analogamente si ha:

, { G , , . v , 1} ~IIX,tI;]ILN ~z~c,~(R,,), h~,,~(x) ~ ~ ~ p t ~,v)l tl II(~), ~ 2 = :2

e quindi il teorema ~ dimostrato. Si ha. poi, il

TEOREMA 2.5.2. -- Se sono verificate le ipotesi i), iii) ed inoltre la 1V-funzione M(u) soddisfa l'ipotesi (~) allora si ha:

hATY'M./~') = ~ ll 9C'Vff IIL(N) ~- X' ~ (Rn) '. p"

DIMOSTRAZIOlqE. -- Come ATV.M,~ i~ un sottoinsieme di alF origine.

In virtfi della definizione dell 'applicazione A'r (data del Teorema 2.2.4) r isul ta:

osservato nel teorema precedente, F insieme R" compatto, convesso e simmetrico rispetto

AT~M,p - - A~'9'iN),p

nella dimostrazione

ed inoltre, posto al solito, v ' = ~u, si ha, per ogni x ' e (R")':

(2.5.4) h ~ , ~ , y ) = h+• ~-¢N),~ ~' (x') = ~ ~ .p I I < ~', A~v' > : "[I v' II(~+), <- 1 }.

Cib premesso, per ogni assegnato x 'e(R") ' , poniamo

T

G~,(v')-- < ~c', A'rv '> ( - - / <,ac'tF(T, t), u(t) ~ d t ) o

v' ~ (L<N)(0, T; l~'(m))) '.

Ragionando come nella dimostrazione del teorema precedente, notiamo che v'--> G~,(v'), per la congruenza esistente ira gli spazi LM(0, T; l~(m)) e (L(lV)(0, T; l~'(m)))', r isulta un funzionale l ineare e continuo su (L(N)(O, T; lP'(m))) ' cio~ un elemento di (L(N)(O, T; l~'(m))) '' ed essendo x'W eL(N)(O, T; lP'(m)), si ha G~, ~ (L(~)(O, T; W(m)))o' nonch~ :

'W (3.5.5) [/G+ tl(L~+)" = It ~ ttL~) V ~' ~ (R,)'.

Dalle (2.5.4) e (2.5.5) segue infine:

II v' ll( hArZM,/X') "--- ~ sup { I G~,(v')]" L(pN,) ), "~ 1 } = ~ tt X'W llL(e~) ~ X' e (R")'

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controlti lineari negli spazi di Orlicz 193

e il teorema b, cosi, dimostrato.

0SSERVAZIONE 2.5.1. -- N6tiamo che, in virtfi della (1.3.11), il Teorema 2.5.1 ~ una conseguenza del Teorema 2.5.2; ne abbiamo, perb, dato una dimostrazione diretta perchi), nel caso in c u i l a N-funzione M(u) verifichi anche la A,.-condizione, potendosi nella dimostrazione del Teorema 2.5.1 sostituire l 'uso del Teorema 2.3.4 con quello del Teorema 2.3.2, il suddetto Teorema 2.5.1 r isul ta indipendente dal l 'uso della norma di LUXEMBURG-.

Con procedimento perfet tamente analogo a quello seguito nella dimostrazione del Teorema 2.5.2, tenendo presente l ' isomorfismo algebrico e topologico esistente t~a gli spazi LM(0, T; lP(m)) e (LN(O, T; l~'(m))) ' nonch~ l 'uguaglianza ArIM.~----A~Z~v,~, si acquisisce anche il seguente

TEOREMA 2.5.3. -- Se sono verificate le ipotesi i), iii) ed inoltre la N- funz ione M(u) soddisfa 1 ~ ipotesi (a), allora si ha:

OSSnRVAZlON]~ 2.5.2. -- Dai Teoremi 2.5.1 e 2.5.3 si ha.:

hArf~1,~/2(x') <--k~r~M,/w') ~< hArtM,~(x') ~ x '~ (R")';

cib, del resto, si ottiene anche osservando ehe:

I;~,p/~ ~ Y'M,p ~ Iu, p.

O S S E R V A Z I O 2 q E 2.5.3. - Notiamo che, come gi/~ osservato nell ' introduzione, il porre ~ = Y~M,~ comporta il vantaggio di considerare come insieme dei controlli permanent i una sfera come accade nella maggior parte delle appli. cazioni. Perb si ha lo svantaggio di non avere una espressione della funzione supporto di ArEM, p mediante la norma di 0rtx, Icz di x'tF; si hanno solo delle valutazioni per difetto e per eccesso mediante tale norma oppure una rappre. sentazione della funzione supporto per mezzo della norma di LUXEMBUaC~ di v'W. Ponendo, invece, ~ = IM, p si ha il vantaggio di peter dare una espressione della funzione supporto mediante la norma di O~LlCZ di w'tIY e lo svantaggio di avere i controlli permanenti in un insieme che non ~, in generale, una sfera.

2.6. - A l c u n e c o n d i z i o n i di e o n t r o l l a b i l i t ~ m e d i a n t e la n o r m a (di 0 r l i e z o di Luxemburg) di ~'tI;.

Dai Teoremi 2.4.1 e 2.4.2, in virtfi dei Teoremi 2.5.1, 2.5.2 e 2.5.3, si hanno i seguenti teoremi:

AnnaU di Matematica 25


TEOREI~A 2.6.1. -- Siano verificale le ipotesi i)-v) ed inoltre la N-funzione M(u) soddisfi l' ipotesi (o~). Allora la relazione:

T

f o

< x', (P(T/P-~(t)c(t) >dr + h_w(Z') + hvTv(x') + ~ 1[ xqF [[LN / ~ 0 V ~'e(R")'

eondizione neeessaria per la controllabilitd~ (perch~ il problema ( P) sia risolubile) in Y.~,e X V, mentre la relazione:

T

f o

' ~[Ix'Wll ~ o < x , O9(T)ag-~(I)o(I) > d l + h_w(~C') + hPTV(OC' ) -~ 2 LNp, x' e (R') '

ne ~ condizione suffivienle.

TEOI~E~A 2.6.2. -- Se sono verifieate le ipotesi i)-v) ed inoltre la N-funzione M(u) soddisfa l'ipotesi (~). condizione necessaria e sufficiente per la controllabilit~ (perch~ il problema (P) sia risolubile) in ZM, e X V ~ che sia verificata la relc~zione:

T

f < x', (P(T)(b-~(t)c(t) > dt + h_w(x/) + hrrv(~') + l1 x'q; [[±j,,N) ~ 0 ~ x ' e (R")'.

o

T~.OREMA 2.6.3. - Se sono verifieate le ipotesi i)-v) ed inoltre la N-funzione M(u) soddisfa l'ipotesi (~), condizione necessaria e suf[i~iente per la controllabilit~ (pereh~ il problema (P) sia risolubile) in IM,~ X W e the sia verificata la relazione :

T

/ < x', @(T)@-l(t)c(t) > d r + h_w(X') + hr~-y(x') + e II ~e'~ I]L~ >~ 0

o

§ 3. - A l c u n i p r o b l e m i d i o t t i m i z z a z i o n e .

3.1. - Gl i i n s i e m i Stp, ~t e l oro f u n z i o n i suppor to .

Ci sarh utile considerare, per ogni t ~[0, T], delle applieazioni l ineari e degli insiemi defini t i in modo analogo a quanto fatto nel n. 2.1, e pree isamente le applieazioni :

I't : x --) (I)(t)~-l(0)x, a~ e R",

t

I IF(t, s)u(s)ds, u e La~(O, T; l~(m)) At" U ..->

o


e gli ins iemi :

t

0

t

0

0sse rva to che l ' i n s i eme del le res t r iz ioni a [0, t] delle funzioni di EM, p coincide con la s fera di cent ro l 'or igine e raggio ~ dello spazio L~(0, t; l~(m)) e che, sotto l ' ipo tes i (~) per la _N-funzione M(u), l ' i n s i e m e del le res t r iz ioni a [0, t] del le funzioni di IM, p coincide con l ' i m m a g i n e inversa in L~(0, t; lP(m)) (nello stesso senso del n. 2.3) del la s fera con cent ro l 'or ig ine e raggio ~ dello spazio (LN(O, t; W(m)))', si ha che, se sor~o ver i f ica te le ipotesi i), iii) nonch8 l ' ipo tes i (:¢) per la M(u), gli insiemi At~M,o e AtIM, p sono sot toinsiemi compat t i e convessi di R ' . Si ha, per tanto , il s eguen te t eo rema :

TEOREMA 3.1.1. -- Se sono verificate le ipotesi i)-v) ed inoltre la N-funzione t 7~t M(u) soddisfa l' ipotesi (:¢!, allora, per ogni t e [0, T], gli insiemi S e e Sp sono

sottoinsiemi compatti e vonvessi di R ' .

In base al r i sul ta to p r eceden te ~ possibile, quindi, cons ide ra re le funzioni

suppor to di S~ e S~ e pon iamo:

t

: hst(~') = I "~ x', dP(/)~-1(8)c(8) >d8 "-]- g~

(3.1.1) h(t, P . I

0

+ sup t < ~', - - w > : w ~ W} + sup { < x'O(t)(I)-~(0), v > : v e V } + t

+ s u p l ( < x , ' W ( t , s ) , u ( s ) : > d s ' u e Y , u,~ 1 , ~ x' e ( R ' ) ' 0

e :

(3.1.2)

t

f~(t: x') -- h~te(x' ) -- f ~ x', O(t)O-l(s)c(s) >ds + 0

+ sup { < ~', - - w > " w e W } + sup { < ~'(~(t)O-l(O), v > • v e V } + t

+ s u p l f < x'W(t, s), u(s) >ds " u e lM, e l ~ x' ~ (R")'. 0

Si ha il s eguen te


TEOREMA 3.1.2. -- Se sono verificate le ipolesi i)-v) ed inoltre la N- funzione

M(u) soddisfa l'ipotesi (a), allora la funzione h (risp. It) definita dalla (3.1.1) (risp. dalla (3.1.2)) gode delle seguenti proprietdb:

a) Per ogni r e [0 , T], x'---> h(t, ~') (risp. x' .--->It(t, x')) d una funzione positivamente omogenea e convessa in (R")' nonch~ limitata per Ux'llz~(,) < 1 e continua in (R') ' .

b) Per ogni x' e ( R ' ) ', t-->h(t, x') (risp. t--->flt(t, x')) ~ una funzione continua in [0, T], uniformemente rispetto ad x' in ogni soltoinsieme limilato di (R")'.

DI~OSTRAZIONE. -- P rov iamo il T e o r e m a con r i f e r imen to al la funzione h,

l ' a s se r to re la t ivo alla funzione /~ conseguendos i allo stesso modo qua lora si osservi che I~,p C 2~,2p.

D imos t r i amo la a). Che per ogni l e[0 , T] la funzione a~'--> h(t, ~') sia pos i t ivamente omogenea e convessa in (R")' nonch6 l imi ta ta pe r I]~'tlz~(~,)< ] si ha subito med ian te una sempl iee verif ica. La con t inu i th in (R') ' segue, allora, in virt~l di un noto t eo rema (cfr., ad es., 57. BOURBA:KI [2], Prop. 2, p. 92).

Dimost r iamo, ora, la b). Detto E un quals ias i so t to ins ieme l imitato di (R') ' , l 'asser to sarh consegui to non appena provato che sono con t inue in [0, T], u n i f o r m e m e n t e r ispet to ad vc'~ E, le appl icaz ioni :

(3.1.3)

t

,+f o

< x/, ¢P(t)O-l(s)c(s) > ds,

(3.1.4) t --> sup [ < x'(P(t)q)-l(0), v > " v ~ V },

(3.1.5) t ---> sup

t

o

~ x'~(t, s), u ( s )~ds U ~ - ~ M , ~ •

Essendo le appl icazioni (3.1.3) e (3.1.4) ind ipenden t i dallo spazio dei controlli pe rmanen t i , le re la t ive d imost raz ioni sono le stesse di quel le ana loghe di R. 0 o ~ 1 [7], n. 4.

Proviamo, allora, la sudde t ta propr ie th per l ' app l icaz ione (3.1.5). A tale scopo cominc iamo con l 'osservare che, essendo le mat r ic i @(t) e (P-l(t) cont inue in [0, T], esse sono ivi u n i f o r m e m e n t e con t inue ed inol t re si ha :

i @(t) I <:' cost., I ~P-l(t) I -< cost. ~ t e [0, T].

Sia [ un quals ias i punto de l l ' i n t e rva l lo [0, T]; per ogni ~E[0, T], ue~.~,e ,


~v' + E, si ha :

o o

T

o

< x'[@(t) - - O(+)]O-~(s)B(s), u(s) > Ids.

Essendo , poi, pe r ogni U+ZM, p, ~c'+E,

] < g+(~+-:(8)B(s), u(s) > I ~ cost. I B(s) IH u(s)[Its(,,,> q.o. in [0, T],

ed avendos i ~ --~ J B(s)]¢ LN([0, T]) e [ u J~ ¢ L~([0, T]), ne segue per ogni + e [0, T]:

T

o

dove X(s; [, ~) b la funz ione ca ra t t e r i s t i ca d e l l ' i n t e r v a l l o di e s t r emi [ e +;

c o n s e g u e n t e m e n t e , posto_ ~+ ~ ]B(s)]X(s ; t, ~), si ha ~ + LN([0, T]) ed ino l t r e :

Po ich~ la N-- funzione M(u)verif ica l ' i po t e s i ' (~), si ha (per la p rop r i e th di a s so lu ta c o n t i n u i t h de l la n o r m a di O R L I C Z , cfr. ~I. A. KRAS~OSEL'SKII--Y. B. Ru~IcKxI [11], § 10, n. 6, p. 88) chc pe r ogni s > 0 es is te ~, > 0 tale che per

ogni ~ e [ 0 , T] pe r cui I t --- ~ I < ~ , r i su l t a :

f gO(t)O-:(s)B(s)' [< u~s)>]ds <s X~ X '

D ' a l t r a par te per ogni ++[0 , T]. U+EM, p, x ' e E , si h a :

T T

f j < o,'i+O)- +(+)1+-:(8)~<8), .(8) > tab <_ cost. t®~)- +<+l f I B(8)t II :(8)tl,,<:>a8 <_

o o

~< cost. ] @(t) - - ¢P(+) ] ]t ~ IlL N I1 U ]}LpM --< cost. ] OP(ii - - Op(+)],


e quindi in eorrispondenza al numero s > 0 assegnato esiste ~z > 0 tale che

per ogni ~e[O, T] per eui I t - - ~ 1 < ~z, r isul ta:

T

0

~UG~M,e , ~ x ' e E .

Allora, posto ~ ~- min(~x, ~2), per ogni ~e[O, T] per eui I i - - ~ [ < ~, si ha:

- - x'e~(~ )~-~(s)B(s), .J

o o

-?

u

e quindi :

u+> s I o

s ~

sup < x ~(~)~ (s)B(s), u(s) > ds u ~ ZM+ <--

0

<: sup < x'~9(tJP-~(s)B(s), u(s) > d s u ~ ~M,p + ~ ~ e E.

O

L'asser to ~, eosi, provato.

3.2. - Problema del tempo minimo.

Se t~[O, T] diremo che il Problema (P~) ha soluzione (u, v) (il sistema materiale d controllabile al tempo t) in ~ X V se esistono u e ~g, v e V in modo che vi sia almeno una soluzione x(s, u, v) della (E), x(o, u, v ) - - v , per la quale si abbia x(t, u, v)E W.

Supposto che il problema (Pt) abbia soluzione per qualche t e l0 , T], si pone il problema di vedere se, detto z l ' es t remo inferiore dei suddetti valori

di t, il prob!ema (P~) ha qualche soluzione (u, v). ]~ questo il eosiddetto problema

del tempo minimo e la terna (% u, v) dicesi soluzione di detto problema. Con la stessa tecniea di dimostrazione usata da 1~. CoN~I in [7], n. 4,

facendo uso dei Teoremi 3.1.1, 3.1.2, 2.4.1 e 2.4.2, si ha il seguente

O. PULVIRENTI - O. SANTAGATI: Controlli lineari negti spazi di Orlicz 199

TEOREMA 3.2.1. -- Siano verificate le ipotesi i)-v) ed inoltre la I - f u n z i o n e M(u) socldisfi l' ipotesi (a); se il problema (Pt) ~ risolubile in E~,~ X V (risp. in IM,~X V) per qualche t e ]0, T], aUora l' insieme dei suddetli t ~ dotato di minimo.

Inol t re , aneora per il T e o r e m a 3.1.2, per quan to osservato nel n. 3.1, con p roeed imen to analogo a quello seguito da R. CoN~I in [7], n. 5, si ha, faeendo

9 " (risp. II x'tF~ IIL<~)),. la uso dei Teoremi =.~).2 e 2.5.3 e deno ta ta con ]la~'W,I[L~,,

no rma del punto x'tI;~ dello spazio L~(0, z; W(m)) (risp. L(N)(0, ~; WOn))) ind iv idua to dal la res t r iz ione a [0, z] di t----> ~'tF(z, t), si ha il seguente t eo rema che d~t il eosiddet to principio di mass imo per il tempo min imo :

TEO1RE~A 3.2.2. -- Siano verificate le ipotesi i)--v) ed inoltre la N - f u n z i o n e

M(u) soddisfi l' ipotesi (a) ; se (z, u, v) ~ soluzione del problema del tempo min imo

con (u, v ) e ZM,~ X V (risp. (u, v ) e IM,~ X V), ": ~ O, aUora esiste ~C'o e (R")' con [[ x~ ]1~<,) ---- 1 tale che:

(3.2.1) <--X'o, x(x, u , v ) > = s u p { < - - X o , w > ' w e W } ,

(3.2.2) t --i / --1 < ~o(1)(~)O (0), v > = sup { < Xoap(-:)¢p (0), v > • v e V t,

(3.2.3)

risp. (3.2.3')

< x'oq=(~, s), u(s) > d s -- ~ l] x'oW~ pIL<N), .j p+, ~:

0

~f

/ ' I < x'oW(x, s), u(s) > d s - - p [] XoW, IlL ~ • 0

OSSERVAZIONE 3.2.1. -- Nelle ipotesi del T e o r e m a 3.2.2 si ha anche che

condiz ione neeessa r i a pereh6 (% u, v) sia soluzione del p rob lema det tempo

min imo con (u, v) e ~ , ~ X V, • ~ 0, ~ che esista x~ ~ (R")' con II Xo tlz~(,) - - 1 per eui siano ver i f i ea te le (3.2.1), (3.2.2) ed inol t re :

(3.2.3")

T

0

Cib segue, ovviamente , dal fat to che, per la (1.3.11), la (3.2.3) impl ica la (3.2.3')7 oppure , d i r e t t amen te , facendo uso del T e o r e m a 2.5.1 an~ich~ del T e o r e m a 2.5.2.

3.3. - P r o b l e m a de l lo s t a t o f inale ( i n i z i a l e ) .

Suppos ta r i so lubi le Fequaz ione (E) e o m u n q u e si assegni u ~ e cons idera to l ' i n s i eme dei punt i di R" descr i t to da x(T, u, v) al va r i a re di u in o'~ e di

200 CJ. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Co~trolti Iineari negti spazl di Orticz

v in V, si pone il problema di vedere se, assegnato un punto Wo~ R ' , esistono

uce )~ e v ~ V t a l i ehe la distanza del punto zc(T, u, v) da n'o sia minima. ]~ questo il eosiddetto problema dello stato finale.

Se per ogni ~ 0 eonsideriamo il problema (P)con W : (Wo } ~ ~/~, R~ sfera uni tar ia di R ", il problema dello stato finale ~) equivalente a quello di garant i re l 'esistenza del minimo so del l ' ins ieme numerieo degli ~ per cui il problema (P) con W - - { w 0 }-}-~R~ ~ risolubile; se tale minimo esiste, detta

(u, v) una soluzione del problema (P) con W - - I wo I ~ ~oR~, la terna (~o, u, v) dicesi soluzione del problema delio stato finale.

Analogamente al numero preeedente, con la stessa teeniea di R. GONTI [71 nn. 6 e 7, in virtit dei Teoremi ,.3.0, 2.3.6, 2.4.1, 2.4.2, 2.5.2 e 2.5.3, si hanno i seguenti teoremi, il secondo dei quali esprime il principio di mass imo per lo stato finale:

TEORE~[A 3.3.1. -- Se sono verificate le ipotesi i)-iv) ed inoltre la N - f ~ n z i o n e M(u) soddisfa l' ipotesi (~), allora il problema dello stato finale ammette soluzioni in Y,M.e X V (risp. in IM,e X V) per ogni Wo ~ R ' .

TEOREMA 3.3.2. -- Siano verificate le ipotesi i)-iv) ed inoltre la N - f u n z i o n e

M(u) soddisfi l ' ipotesi (a); se (~o, u, v) ~ soluzione del problema dello stato

finale con (u, v) e .~M,~ }( V (risp. (u, v) e I~,~ X V), ~o ~ O, allora esiste Xo ~ (R")' con 11 xg 11~(~) - - 1 tale the"

(3.3.1) < xo, n'o - - x(T, u, v) > -" ~o,

l, 1 • (3.3.9) ~.. x'(P(T)(P-I(O), v > =- sup { < xoOP(T)~P - (0), v > v e V },

(3.3.3)

T

f < xoW(T, t), u(t) > d r -- g L] X'oW ll~N), o

T

0

OSSERVAZIONE 3 . 3 . 1 . - Analogamente a quanto detto nell 'Osservazione

3.2.1, condizione necessaria perch~ (~o, u, v) sia soluzioue del problema dello

stato finale con (u, v) ¢ EM,~ X V, ~o > O, i~ che esista ~c'o e (R~y con II x~ tlz~<-) -- 1 per eui siano verificate le (3.3.l), (3.3.2) ed inoltre:

(3.3.3")

T

92 ll x~W ll r.~ ~ f < ~c'o~( T, t), u(t) > d r ~ ' ~ II ~C~W [] LNp . o

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Controtti lineari negti spazi di Orlicz 201

OSSERVAZIONE 3.3.2. -- Poieh~ la (E) ~ una equazione differenziale ordina- ria, 1' ufficio di V e W ~ scambievole e quindi, analogamente al probtema dello stato finale, si pub impostare il problema dello stato iniziale e formulare il relativo teorema di esistenza nonchi~ il principio di massimo.

3.4. - P r o b l e m a de l m i n i m o s f o r z o .

Un altro problema di ottimizzazione i~, infine, quello, problema del minimo sforzo, eonsistente nel prorate , assegnati V e W, l 'esistenza di ueL~(O, T; l~(m)), x(O, u, v ) - - v E V, x(T, u, v)E W , p e r cui IlUlIL M sia minima.

P

Se, per ogni ~ ~ 0, poaiamo il problema (P) con ~9~- ~'M.e, il problema del minimo sforzo ~ equivalente a quello di garantire l 'esistenza del minimo

~o dei numeri p per eui il eorrispondente pr6blema (P) ha soluzione iu, v);

la terna (¢~o, u, v) dieesi, allora, soluzione del problema del minimo sforzo. In modo analogo a quanto fatto nei nn. 3.2 e 3.3 con riferimento ai

problemi del tempo minimo e dello stato finale (iniziale), con gli stessi ragio- namenti di R. C o ~ I [7] nn. 10 e l l , si pub dare un teorema di esistenza per il problema del minimo sforzo ed il relativo principio di massimo. Precisamente, in vir th dei Teoremi 2.3.5, 2.4.1 e 2.5.2, si ha:

TEOREMA 3.4.1. -- Siano verificate le ipotesi i)-v) ed inoltre ta N- funz ione M(u) soddisfi l'ipotesi (~): se esisle ~ ~ 0 per cui it problema (P) ha soluzione in ~'M,e X V, allora esiste la soluzione del problema del minimo sforzo.

TEOaEMA 3.4.2. -- Siano verificate le ipotesi i)-v) ed inoltre la N- funzione

M(u) soddisfi l'ipotesi (:¢); se (~o, u, v) ~ soluzione del problema del minimo

sforzo con (u, v)e E~,;o X IT, ~o > O, allora esiste Xo e (R')' con llX'ollt~<,)= 1 tale ehe:

< X'o, x(T, u, v) > -- sup ( <X'o, w > " w e W},

t __j_ < xo¢(T)~ (0), ~ > = s u p { < x ~ ( T ) ~ - ~ ( 0 ) , v > • v e V }, T

f < t), > d t ~- ;o ]txoWl]/N) • XoilY( T, ;~(t) .jR,

0

0 S S E R V A Z I O N E 3.4.1. - In maniera analoga a quanto fatto precedentemente, volendo dare una formulazione del principio di massimo facendo uso della norma di 0r~r,ICZ di x0~F, basra sostituire nel Teorema 3.4.2 l 'ul t ima uguaglianza con la seguente relazione:

T

~o2 , l ' [I ~o~ II,~ _< J < ~otVCT, t), u(t) >dr <_ ~o il X'o~ lt~,~. t "

o

Annali di Matematiea 26

202 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: ControIIi Iineari negli spazi di Orlicz

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