controllo dei robot a. rizzo controllo del moto controllo nello spazio dei giunti
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Controllo dei Robot A. Rizzo
Controllo del Moto
Controllo nello spazio dei giunti
Controllo dei Robot A. Rizzo
Controllo del Moto
Controllo nello spazio operativo
Controllo dei Robot A. Rizzo
Controllo nello spazio dei giunti
)(),()( qgqFqqqCqqB v
Determinare le n componenti di forza generalizzate tali che risulti :
)()( tqtq dA causa degli organi di trasmissione :
1 rmmr KqqK
)(qBBqB
Matrice diagonale e costante
Controllo dei Robot A. Rizzo
Controllo nello spazio dei giunti
dqFqKBK mmmrrm 1111 rvrm KFKF
)(),()( 11111 qgKqKqqCKqKqBKd rmrrmrr
Sostituendo otteniamo :
Dove :Attrito viscoso riportato all’asse del motore
Disturbo = Contributo dipendente dalla configurazione
Controllo dei Robot A. Rizzo
Controllo dei Robot A. Rizzo
Controllo indipendente ai giunti
2ri
iii k
bI
a
tvm R
kkF il coefficiente d’attrito viscoso
trascurabile rispetto al coefficiente d’attrito elettrico
Controllo dei Robot A. Rizzo
Controllo indipendente ai giunti
s
kk
IRs
kss
kk
IR
IsR
kk
IsR
k
sIsR
kk
IsR
k
sM
vt
av
vt
a
a
tv
a
t
a
tv
a
t
1
111
1 2
vm k
k1
vt
am kk
IRT
sTs
ksM
m
m
1
costante di guadagno velocità – tensione
costante di tempo caratteristica del motore
Controllo dei Robot A. Rizzo
Controllo in retroazione
Controllo dei Robot A. Rizzo
Controllo in retroazione
Un’efficiente riduzione degli effetti del disturbo d sull’uscita è assicurata da:
Un elevato guadagno degli amplificatori a monte del punto d’applicazione del disturbo;
La presenza, nel controllore, di un’azione integrale al fine di annullare, a regime ( costante), l’effetto della componente gravitazionale sull’uscita.
s
sTKsC c
c
1)(PI = Proporzionale Integrale
Controllo dei Robot A. Rizzo
Retroazione di posizione
s
sT1K)s(C P
PP
CV = 1 CA = 1,
kTV = kTA = 0
Controllo dei Robot A. Rizzo
Retroazione di posizione
sT
k
skk
IRkIsR
kk
IsR
k
sFm
m
vt
av
a
tv
a
t
11
11
1)(
sTs
sTKk
ssT
k
s
sTKsP
m
PPm
m
mPP
1
)1(1
1
)1()(
2
Blocco interno
Ramo di azione diretta :
H(s) = kTP
Ramo di retroazione :
Controllo dei Robot A. Rizzo
il sistema risulta intrinsecamente instabile
il sistema risulta stabile
Controllo dei Robot A. Rizzo
il sistema migliora notevolmente le sue caratteristiche di prontezza.
PTPPm
m
TP
r
sTkKk
sTs
k
s
s
1
11
1
)(
)(2
Fdt a ciclo chiuso
Controllo dei Robot A. Rizzo
Fdt disturbo-uscita
PTPPm
m
PTPPt
a
sTkKksTs
sTkKksR
sD
s
11
1
1
)(
)(2
Da essa si osserva che conviene aumentare KP in modo da ridurre l’influenza del disturbo sull’uscita durante il transitorio.
Conviene tuttavia scegliere KP con valori non molto elevati, per evitare che al sistema di controllo siano assegnate caratteristiche di risonanza poco accettabili.
Osserviamo, inoltre, che lo zero all’origine dovuto al controllore PI consente di annullare, quando è costante, gli effetti della gravità sulla posizione.
Controllo dei Robot A. Rizzo
Retroazione di posizione e velocità
C P (s ) = k p ; C A (s ) = 1 ; k T A = 0
s
sT1K)s(C V
VV
.
Controllo dei Robot A. Rizzo
m
VVPm
sTs
sTKKksP
1
1)(
2Fdt ramo diretto
riportando l’anello di retroazione in velocità in parallelo all’anello di retroazione in posizione
Fdt ramo in retroazione
TPP
TVTP kK
ksksH 1)(
ponendo TV = Tm lo zero del controllore cancella gli effetti del polo reale del motore
Controllo dei Robot A. Rizzo
211
1
)(
)(
sKkKk
skK
kk
s
s
VTPPmTPP
TV
TP
r
21
1
1
)(
)(
sKkKk
skK
ksTKkKk
sR
sD
s
VTPPmTPP
TV
mVTPPt
a
Controllo dei Robot A. Rizzo
211
1
)(
)(
sKkKk
skK
kk
s
s
VTPPmTPP
TV
TP
r
2
221
1
)(
nn
TP
s
ksW
m
nTVV k
kK2
m
nVTPP k
KkK2
Quindi, fissate le costanti di trasduzione kTP e kTV, si trova KV dalla prima eq. e successivamente KP dalla seconda equazione
Controllo dei Robot A. Rizzo
Retroazione di posizione velocità e accelerazione
C P(s) = K P; C V(s) = K V;
s
sT1K)s(C A
AA
;
Controllo dei Robot A. Rizzo
TAAm
m
ATAAmm
TAAm
m
kKk
TT
kKksT
kKk
ksG
1
1
11
)(
)(
1)(
2sG
s
sTKKKsP AAVP Fdt ramo di azione diretta :
Fdt ramo in retroazione :
s
kK
kksH
TPP
TVTP 1)(
Controllo dei Robot A. Rizzo
Scelta dello zero :
Oppure :
Controllo dei Robot A. Rizzo
211
1
)(
)(
sKKkKk
Kkks
kK
kk
s
s
AVTPPm
ATAm
TPP
TV
TP
r
21
1
1
)(
)(
sKKkKk
Kkks
kKk
sTKKkKksR
sD
s
AVTPPm
ATAm
TPP
TV
AAVTPPt
a
Stavolta le specifiche e il fattore di riduzione degli effetti indotti dal disturbopossono essere fissati indipendentemente.
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Stima dell’accelerazione
Controllo dei Robot A. Rizzo
Coppia precalcolata
Controllo dei Robot A. Rizzo
Hardware per sistemi di controllo assi
DSP per motion control (HCTL1100,LM628/9) Microcontrollori (MPC555, etc.) Schede controllo assi (GALIL,PMD, etc.)
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HCTL1100 Agilent (Ex HP)
Controllo dei Robot A. Rizzo
Controllo dei Robot A. Rizzo
Controllo dei Robot A. Rizzo
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LM628/9 National
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Microcontrollori
MPC555
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Schede controllo assi
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Controllo dei Robot A. Rizzo
Controllo dei Robot A. Rizzo
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CONTROLLO CENTRALIZZATO )(),()( qgqFqqqCqqB v
Trasmissioni : Krq = qm
cva
mvaaa
atr
vGv
qKiRv
iKK
1
Attuatori :
Controllo dei Robot A. Rizzo
uqgqFqqqCqqB )(),()(
rvatrv KKRKKFF 1
cvatr vGRKKu 1
Attrito viscoso meccanico e elettrico(matrice diagonale)
Ingresso di controllo del sistema
Sistema controllato in tensione
Controllo dei Robot A. Rizzo
Sistema controllato in coppia
cia
atr
vGi
iKK
1
F = Fv u = KrKtGivc = ;
uqgqFqqqCqqB )(),()(
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Controllo di sistemi non lineari
),( xtfx Esempio : robot
uqgqFqqqCqqB )(),()(
q
qx
)(),()(1 qgqFqqqCuqB
qx
Scegliamo come variabili di stato :
Controllo dei Robot A. Rizzo
Punto di equilibrio
0),( extfEsempio: Robot
0q )(qgu
)(),()(1 qgqFqqqCuqB
qx
Controllo dei Robot A. Rizzo
Stabilità dell’equilibrioUn punto di equilibrio xe è stabile nel senso di Lyapunov se partendo abbastanza vicino a xe all’istante iniziale, lo stato vi resterà vicino negli istanti successivi.
00 )(:0 ttxtxxxse ee Asintotica stabilità :
et
xtxtx
)(lim)( 0
Globale asintotica stabilità :
et
xtx
)(lim
In tal caso può esserci un solo stato di equilibrio
Uniforme stabilità : Indipendente da t (tempo invariante)
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Stabile
Instabile
Controllo dei Robot A. Rizzo
Asintotica stabilità
Globale asintotica stabilità
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Teorema di Lyapunov
),( xtfx Assumiamo che l’origine x=0 è un punto di equilibrio :
0)0,( tf
rxxN : Intorno dell’origine
L’origine è un punto di equilibrio STABILE se
0),(
0),(:),(
xtV
xtVNxxtV
Controllo dei Robot A. Rizzo
Asintoticamente stabile se
0),( xtV
TEOREMA DI LASALLE
0)0(
)(
f
xfx
Asintoticamente stabile se
0)(
0)(
xV
xV Ed inoltre 0)( xV solo per x=0
Controllo dei Robot A. Rizzo
Esempio
Sistema lineare Axx Data una P>0 soluzione di QPAPAT Con Q>0
PxxxV T)(E’ una funzione di Lyapunov, infatti
0
)(
QxxxPAPAx
PAxxPxAxxPxPxxxVTTT
TTTTT
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Controllo PD con compensazione di gravità
Stato del sistema TTT qq ,~
qqq d ~errore
Funzione candidata di Lyapunov:
0~~2
1)(
2
1~, qKqqqBqqqV PTT 0~, qq
Energia cinetica Energia potenziale elastica virtuale
Controllo dei Robot A. Rizzo
qKqqqBqqqBqV PTTT ~)(
2
1)(
uqgqFqqqCqqB )(),()(
uqgqFqqqCqqB )(),()(
qKqguqqFqqqqCqBqV PTTT ~)(),(2)(
2
1
Derivando
Da
Si ricava
Sostituendo :
),(2)( qqCqB Nullo ! Proprietà di
qKqgu P~)( Scegliendo :
qFqV T
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Azione proporzionale-derivativa
qKqKqgu DP ~)(
qKFqV DT )( 0V per q= 0q~
Postura di equilibrio :
uqgqFqqqCqqB )(),()(
qKqKqgqgqFqqqCqqB DP ~)()(),()(
0,0 qq All’equilibrio : 0~ qKP
qqqqq dd 0~
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Controllo PD con compensazione di gravità
• Tramite questa tecnica di controllo qualunque postura di equilibrio risulta globalmente asintoticamente stabile
• La componente gravitazionale va compensata in maniera perfetta (affinché il risultato sia garantito matematicamente)
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Feedback Linearization
uxbxfx n )()()(
)()(
1xf
xbu controllo
)(nxSe utilizziamo : )1(
21 n
n xkxkxk
01)1()( xkxkx n
nn
Controllo dei Robot A. Rizzo
Controllo a dinamica inversa di un manipolatore
(momento calcolato, feedback linearization) uqgqFqqqCqqB )(),()(
)(),(),( qgqFqqqCqqn
uqqnqqB ),()(
Posto :
),()( qqnyqBu Scelta la legge di controllo :
yq
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r qKqKy DP
r qKqKq PD
yq
Controllo dei Robot A. Rizzo
r qKqKq PD
2
22
21
00
00
00
nn
n
n
PK
nnn
n
n
DK
200
020
002
22
11
dPdDd qKqKq r
dPdDdPD qKqKqqKqKq
0~~~ qKqKq PD
Attraverso la scelta delle matrici KP e KD diagonali si ottiene un sistema disaccoppiato: la componente del riferimento ri influenza la sola variabile di giunto qi con una relazione i/o del secondo ordine caratterizzata da una pulsazione naturale ni e da un coeff. di smorz. i
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),()(~~)( qqnqqBqKqKqBu dDP PD Cancellazione dinamica
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Controllo nello Spazio Operativo
Controllo con inversa dello Jacobiano
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Controllo nello Spazio Operativo
Controllo con trasposta dello Jacobiano
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Controllo PD con compensazione di gravità
xxx d ~Errore nello spazio dei giunti
0~~2
1)(
2
1)~,( xKxqqBqxqV P
TT 0~, xqFunzione candidata di Lyapunov
Derivando
xKxqqBqqqBqV PTTT ~~)(
2
1)(
Simmetrica e difinita positiva
0dx qqJx A )( qqJxxx Ad )(~
xKqJqqqBqqqBqV PTA
TTT ~)()(2
1)(
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uqgqFqqqCqqB )(),()(
0),(2)( qqqCqBqT
xKqJqguqqFqV PTA
TT ~)()(
qqJKqJxKqJqgu ADTAP
TA )()(~)()(
Scegliendo come legge di controllo :
qqJKqJqqFqV ADTA
TT )()(
Definita positiva
Controllo dei Robot A. Rizzo
Postura di equilibrio
uqgqFqqqCqqB )(),()(
qqJKqJxKqJqgqgqFqqqCqqB ADTAP
TA )()(~)()()(),()(
0)()(~)(),()( qqJKqJxKqJqFqqqCqqB ADTAP
TA
0,0 qq All’equilibrio :
0~)( xKqJ PTA
0~ xxx d
Se lo Jacobiano è a rango pieno :
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Controllo PD con compensazione di gravità
qqJKqJxKqJqgu ADTAP
TA )()(~)()(
Tale schema di controllo rivela un’analogia con quello basato sulla trasposta dello Jacobiano
Controllo dei Robot A. Rizzo
Controllo a dinamica inversa
uqqnqqB ),()( qqnyqBu ,)( Controllo a dinamica inversa
yq
qqqJqqJx AA ),()(
qqqJxKxKxqJy APDdA ),(~~)(1
Per un manipolatore non ridondante scegliendo :
Matrici diagonali definite positive
Derivando una volta la relazione della cinematica differenziale qqJx A )(
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yq qqqJxKxKxqJq APDdA ),(~~)(1
xxxxxx dd ~~
qqqJxKxKxqqqJqqJqJq APDAAA ),(~~~),()()(1
0~~~)(~~~)( 11 xKxKxqJxKxKxqJqq PDAPDA
0~~~ xKxKx PD
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Controllo a dinamica inversa
qqnyqBu ,)(
qqqJxKxKxqJy APDdA ),(~~)(1
Controllo dei Robot A. Rizzo
Considerazioni conclusive• Il controllo nello spazio dei giunti è in genere più complesso del controllo nello spazio operativo
• In presenza di singolarità e/o ridondanza: • Negli schemi con trasposta di J se l’errore entra nel nullo di J il manipolatore si ferma in una configurazione diversa da quella desiderata• Negli schemi con inversa di J si devono trovare accorgimenti numerici (es. inversa ai valori singolari smorzati)
• Il controllo dei giunti è in un certo senso trasparente a tali problemi, in quanto ridondanze e singolarità vengono affrontate a monte, durante l’inversione cinematica, mentre in questo caso devono essere gestite all’interno dell’anello di controllo
• Se, come in questi casi, si usa lo Jacobiano analitico bisogna rifarsi a rappresentazioni minime dell’orientamento. Per utilizzare lo Jacobiano geometrico (più semplice da determinare) bisogna scegliere rappresentazioni più complesse (es. asse/angolo o quaternione unitario)
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Controllo dell’interazione
0hAll’equilibrio stavolta, con :
Controllo di cedevolezza
Utilizziamo una legge di controllo PD con compensazione di gravità nellospazio operativo
qqJKqJxKqJqgu ADTAP
TA )()(~)()(
Vettore equivalente delle forze di contatto
AAJTJ
che Ricordiamo
Controllo dei Robot A. Rizzo
qqJqqJ
qJpx A
P
)()(
)(
qqJ
pv
)(
xTxTo
oIv A
)(J = TA()JA
Dipende dalla configurazione
(Esempio manipolatore in singolarità di spalla)
Controllo dei Robot A. Rizzo
Modello semplice ma significativo del contatto: Ambiente elasticamente cedevole e disaccoppiato
K semi-definita positiva
exxdx
Posizione di equilibrio dell’ambiente non deformato
ATAT A
TA hhT ( )
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• La matrice Ka definisce la rigidezza dell’ambiente. Ove è possibile definire la sua inversa, essa rappresenta la cedevolezza dell’ambiente. E’ detta cedevolezza passiva perché descrive una caratteristica intrinseca dell’ambiente nello spazio operativo
• Ricordando che essa è semidefinita positiva ne consegue che il conceto di cedevolezza non è caratterizzato, a livello globale, su tutto lo spazio operativo, ma ca opportunamente specificato per quelle direzioni (l’immagine di Ka) lungo le quali il moto dell’organi terminale è vincolato dall’ambiente
• Invece la matrice Kp-1 rappresenta una cedevolezza attiva poiché è il risultato dell’applicazione di una opportuna legge di controllo di posizione
Controllo dei Robot A. Rizzo
Con il modello di ambiente
La relazione
Diventa
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All’equilibrio :
Controllo dei Robot A. Rizzo
• La posizione di equilibrio dipende dalla posizione di riposo per l’ambiente e dalla posizione desiderata imposta dal sistema di controllo del manipolatore• L’interazione dei due sistemi (ambiente e manipolatore) è influenzata dal peso associato alle rispettive caratteristiche di cedevolezza• E’ possibile agire sulla cedevolezza attiva in maniera tale da far dominare il manipolatore sull’ambiente o viceversa• Tale dominanza può essere selettiva rispetto alle direzioni (valori elevati degli elementi di Kp corrispondenti alle direzioni in cui si desidera che l’ambiente ceda, e viceversa)
Controllo dei Robot A. Rizzo
• Considerando adesso l’espressione della forza di contatto all’equilibrio si riconosce l’opportunità di accordare le caratteristiche di cedevolezza del manipolatore a quelle dell’ambiente, che può presentare caratteristiche differenti lungo direzioni diverse dello spazio operativo• Lungo direzioni in cui l’ambiente presenta rigidezza elevata è opportuno rendere il manipolatore cedevole affidando allo stesso il compito di graduare l’intensità dell’interazione mediante una scelta opportuna della posizione desiderata e viceversa
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• Ambiente rigido e manipolatore cedevole: x(inf)=xe, il manipolatore genera una forza dipendente da Kp che può essere specificata mediante la scelta della componente di (xd-xe) lungo la direzione di interesse
• Ambiente cedevole e manipolatore rigido: x(inf)=xd, è l’ambiente a generare una forza elastica lungo le direzioni di interesse
Controllo dei Robot A. Rizzo
Esempio
All’equilibrio :
Controllo dei Robot A. Rizzo
Il manipolatore domina sull’ambiente(cedevolezza passiva)
L’ambiente domina sul manipolatore(cedevolezza attiva)