controllo del moto e robotica industriale
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Controllo del moto e robotica industrialeControllo decentralizzato
Prof. Paolo Rocco ([email protected])
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [2]
Modello decentralizzato
Riprendiamo il modello dinamico del manipolatore:
dove Jmi e Dmi sono momento dâinerzia e coefficiente dâattrito viscoso del motore, mentre Ïlmi Ăš la coppia di carico per il motore i, pari a:
( ) ( ) ( ) Ï=++ qgqqqCqqB &&&& ,
Supponiamo che su ciascun giunto del manipolatore agisca un motore, il cui modello meccanico Ăš dato dallâequazione:
niqDqJ lmimimimimimi ,,1L&&& =ÏâÏ=+
iilmi nÏ=Ï
Nellâipotesi di rigiditĂ degli organi di trasmissione si ha anche:
iimi qnq =
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [3]
Modello decentralizzato
Scomponiamo la matrice di inerzia nella somma di un termine diagonale e costante (inerzie âmedieâ) e un termine residuo:
( ) ( )qBBqB â+=
Posto:
{ } { } { } 11,,, ââ==== NBNBNDJ rimimmim ndiagDdiagJdiag
riorganizzando le equazioni si trova:
( ) mmmmrm Ï=+++ dqDqBJ &&&
con:
( ) ( ) ( )qgNqNqqCNqNqBNd 11111 , âââââ ++â= mm &&&&
inerzie medie scalate per il quadrato dei rapporti di trasmissione
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [4]
Modello decentralizzato
Le equazioni prima ricavate si lasciano interpretare come le equazioni di un sistema lineare completamente disaccoppiato, soggetto ad un âdisturboâ derivante dai termini non lineari ed accoppiati del modello dinamico del robot:
PiĂč elevati sono i rapporti di trasmissione, minore Ăš la rilevanza del termine di disturbo.
+ (Jm+Br)â1qm
â
â
Nâ1âB(.)Nâ1
Nâ1C(.,.)Nâ1
Nâ1g(.)
â« â«
Dm
Ïm qm qm...
d
+ ++
+â
NON LINEAREACCOPPIATO
LINEAREDISACCOPPIATO
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [5]
Controllo indipendente dei giuntiIl modello decentralizzato della dinamica del robot Ăš alla base del controllo indipendente dei giunti, soluzione largamente adottata nei controllori robotici industriali.Lo schema prevede che ciascuna coordinata di giunto venga controllata in un anello di controllo monovariabile, ignorando gli effetti di accoppiamento dinamico indotti dalla meccanica del robot, che vengono trattati come disturbi.
I singoli problemi di controllo sono assimilabili a quelli del controllo di servomeccanismi.Il metodo si affida pesantemente allâeffetto disaccoppiante degli alti rapporti di riduzione delle trasmissioni adottate nella robotica. Senza questo effetto, trascurare la variabilitĂ dellâinerzia del carico e gli effetti di accoppiamento meccanico con gli altri giunti sarebbe poco giustificato
Ï2
Ïn
R1
Ï1qmd1
R2
Rn
qmd2
qmdn
qm1
qm2
qmn
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [6]
Il servomeccanismo
Come Ăš noto, nei suoi tratti essenziali un servomeccanismo di posizione Ăšcostituito da un motore, un riduttore ed un carico.
Il problema di controllo si pone nei termini di governare il moto del carico, modulando opportunamente la coppia erogata dal motore.
Possono presentarsi diversi scenari per quanto riguarda la sensorizzazione del sistema: si puĂČ infatti disporre, per la soluzione del problema di controllo, di misure di posizione o velocitĂ del motore e/o di misure della posizione del carico.
motore
riduttore
carico
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [7]
La dinamica elettrica
Supponiamo di adottare un motore a corrente continua, il cui circuito elettrico Ăš, come Ăš noto, il seguente:
Il motore, caratterizzato meccanicamente da un momento dâinerzia Jm, eroga una coppia Ïm proporzionale alla corrente Inel circuito dâarmatura, conseguente allâimposizione di una tensione V. Su questo circuito, avente resistenza R ed induttanza L, agisce anche la forza controelettromotrice E, proporzionale alla velocitĂ angolare Ïm del motore.
rotore (armatura)
spazzola
spazzola
commutatore
alloggiamentostatore
(magnete)
R L
EV
I
1
N.B. Le considerazioni che faremo saranno in realtĂ valide anche per un motore brushless a magneti permanenti, il cui modello elettrico Ăš assimilabile, per mezzo di opportune trasformazioni di variabili, a quello del motore a corrente continua.
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [8]
La dinamica elettrica
Il sistema Ăš retto dalle seguenti equazioni:
Traducibili nello schema a blocchi:
R L
EV
I
1
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )ttq
tJttKIt
tKtEtEtILtRItV
mm
mm
m
Ï=Ï=Ï
=ÏÏ=
++=
&
&
&
V â+ KsL+R1
Jms1
s1
K
I Ïm
EqmÏm
Si osservi che la forza controelettromotrice accoppia la dinamica elettrica con la dinamica meccanica.
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [9]
Il controllo di corrente
Disponendo della misura di corrente, si puĂČ chiudere un anello di controllo sulla corrente stessa:
Vista la dinamica veloce legata ai transitori elettrici si potrĂ progettare RI(s) per ottenere una banda passante molto ampia, dellâordine delle migliaia di rad/s. Nel progetto del regolatore di corrente si potrĂ inoltre assumere la forza controelettromotrice come un disturbo di bassa frequenza. Una volta chiuso lâanello di controllo della corrente, questo potrĂ ritenersi praticamente istantaneo ai fini del progetto del controllore di posizione esterno:
V â+ KsL+R1
Jms1
s1
K
I Ïm
E
RI(s)+â
Io qmÏm
( ) ( ) ( )tKItKIt om â=Ï
Potremo quindi assumere come variabile di controllo per il controllo posizione/velocitĂ direttamente la coppia motrice Ïm
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [10]
Lâapprossimazione rigida (1/2)
Un primo modo di affrontare il problema di controllo del moto consiste nellâassumere lâinsieme motore, riduttore e carico come un sistema complessivamente rigido. In questo caso le equazioni del sistema sono le seguenti:
lm
llmll
lmmmmmm
nqqnqJ
qDqJ
=ÏâÏ=
ÏâÏ=+
netrasmissiocaricomotore
&&
&&&
( ) lrmmmmlrm qDqJJ ÏâÏ=++ &&&
(Dm: coefficiente di attrito viscoso motore, Jl: momento di inerzia carico, n: rapporto di trasmissione, Ïlm: coppia trasmessa lato motore, Ïl: coppia esterna lato carico).Possiamo eliminare ql e Ïlm dalle equazioni, ottenendo:
con:
nnJ
J llr
llr
Ï=Ï= ,2
Jq m Jlm ql
Ïm Ïl
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [11]
Lâapprossimazione rigida (2/2)
Il sistema rigido si puĂČ quindi descrivere in termini di funzione di trasferimento:
con:
Gv(s) s1Ïm qmqm
.Ïlr+
( ) ( )lrmmv JJsD
sG++
=1
Se il coefficiente di attrito Dm Ăš trascurabile (caso piĂč sfavorevole, perchĂ© lâattrito dĂ un contributo stabilizzante), si ha:
( )
lrm
v
JJ
ssG
+=”
”=
1
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [12]
Il controllo P/PI
Chiudiamo un controllore PI sulla velocitĂ , ed un controllore proporzionale sulla posizione:
Lo schema prevede di disporre di due misure, di posizione e velocitĂ , indipendenti. Tipicamente la misura di velocitĂ Ăš fornita da una dinamo tachimetrica.
Si tratta di uno schema di controllo in cascata: si progetta dapprima lâanello interno di velocitĂ su banda ampia, in modo da fornire anche una buona reiezione dei disturbi.Lâanello esterno, di posizione, si progetta su una banda piĂč ristretta.
Ïm qmqm.Ïlr
+ 1/sGv(s)RPI(s)Kpp++
â âqo
m
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [13]
Progetto del regolatore PI di velocitĂ
( )iv
ivpv
ivpvPI sT
sTK
sTKsR
+=ââ
â
ââââ
â+=
111
Ïm qm.Ïlr
+ Gv(s)RPI(s)+â
qom
.
Funzione dâanello:
Se Tiv Ăš sufficientemente grande, ossia se lo zero del PI Ăš sufficientemente in bassa frequenza, la pulsazione critica Ăš ben approssimata prendendo lâapprossimazione di alta frequenza di L: ( ) ,
ssL cv
vÏ
â
Posizionamento dello zero del PI.
100 101 102 103-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
dB
w (rad/s)
cvÏivT1
( ) cvivT
ÏĂ·= 3.01.01
( ) ( ) ( )iv
ivpvvPIv sT
sTs
KsGsRsL
+”==
1
”=Ï pvcv K
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [14]
Progetto del regolatore P di posizione
Il regolatore dellâanello di posizione âvedeâ lâanello chiuso di velocitĂ , di funzione di trasferimento:
La funzione dâanello Ăš quindi:
( ) ( ) ( )cv
ppvppp ss
Ks
sFKsLÏ+
==1
1
Eâ sufficiente prendere Kpp << Ïcv per garantire una banda sullâanello di posizione Ïcpâ Kpp. Lâintegratore tra velocitĂ e posizione assicura inoltre la precisione statica a fronte di riferimenti costanti a regime.
qmqm.
1/sFv(s)Kpp+â
qom qo
m.
( )cv
v ssF
Ï+â
11
100 101 102 103-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
dB
w (rad/s)
cpÏ cvÏ
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [15]
Anticipo di velocitĂ
Per rendere la risposta al riferimento di posizione piĂč pronta, Ăš possibile inserire un contributo di feedforward, noto come âanticipo di velocitĂ â: si deriva il riferimento e si somma questo contributo nel nodo sommatore dellâanello di velocitĂ .Spesso il contributo di feedforward viene pesato da un coefficiente kff compreso tra 0 e 1:
Ïm qmqm.Ïlr
+ 1/sGv(s)RPI(s)Kpp++
â âqo
m
s
+
Ïm qmqm.Ïlr
+ 1/sGv(s)RPI(s)Kpp++
â âqo
m
kffs
+
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [16]
Anticipo di velocitĂ e PID
Se si usa un solo sensore sulla posizione motore e la velocitĂ si ottiene differenziando la misura di posizione, si ottiene uno schema di controllo del tutto equivalente ad un regolatore PID:
Ïm qmqm.Ïlr
+ 1/sGv(s)RPID(s)+â
qom
Ïm qmqm.Ïlr
+ 1/sGv(s)RPI(s)Kpp++
â âqo
m
s
+
s
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [17]
Anticipo di velocitĂ e PID
Risulta:
Ïm
qm
RPI(s)Kpp++
â âqo
m
s
+
s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )sqsqsRsqsqKs
sTK
sqsqKssqssqsRs
momPIDm
ompp
ivpv
momppm
omPIm
â=â+âââ
ââââ
â+=
=â+â=Ï
11
( ) âââ
ââââ
â++= D
IPPID sT
sTKsR 11
âȘâȘâȘâȘ
â©
âȘâȘâȘâȘ
âš
â§
=
=
âââ
ââââ
â+=
pvpp
ivpI
p
pvD
ivpppvP
KKTK
T
KK
T
TKKK 1 (formule per il
passaggio dal P/PI al PID)
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [18]
Limitazioni del modello rigido
Il modello rigido non mette in evidenza nessun significativo limite di banda. In linea di principio si potrebbe quindi rendere il sistema in anello chiuso arbitrariamente veloce.
Allâatto pratico tuttavia emergono chiaramente limitazioni, sotto forma di vibrazioni, rumore, saturazioni, ecc..
Evidentemente il modello rigido non Ăš in grado di spiegare bene come si comporta un servomeccanismo.
Occorre complicare il modelloâŠ.
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [19]
Lâapprossimazione a due masse
Un secondo modo di affrontare il problema di controllo consiste nellâassumere lâinsieme motore, riduttore e carico come un accoppiamento elastico tra due corpi rigidi. In questo caso le equazioni del sistema sono le seguenti:
Schema a blocchi:
( ) ( )lmellmellm
llmll
lmmmmmm
qnqDnqqKnqJ
qDqJ
&&
&&
&&&
â+â=ÏÏâÏ=
ÏâÏ=+
netrasmissiocaricomotore J
D
K
m Jlmel
el
q ,m
q ,lÏ lÏ
âJls11
s
ÏlmDels+Kel Jms + Dm
1 1s
.qm â
n
â
n
Ïl
qm
.ql
ql
Ïm +
+
+
Ă un sistema di ordine 4 (ci sono 4 variabili di stato)
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [20]
Un sistema âSITOâ
Concentriamoci sulla risposta del sistema al comando di coppia Ïm (poniamo Ïl =0)Il sistema Ăš interpretabile come sistema ad un ingresso e due uscite (SITO: Single Input Two Outputs).
Ïm
qmqm.
1/sGvm(s)
nql1/sGvl(s)
nql.
Risolvendo lo schema a blocchi si ottiene:
( ) ( ) elmelmelmlrelmlr
elellrvm KDsDDJKsDJJDsJJ
KsDsJsG
+++++
++= 23
2)(
( ) ( ) elmelmelmlrelmlr
elelvl KDsDDJKsDJJDsJJ
KsDsG
+++++
+= 23)(
â„âŠâ€
âąâŁâĄ +== mlr
llr JJJ
nJJ ,2
i numeratori sono diversi
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [21]
Parametri notevoliPoniamo Dm=0 ed introduciamo i seguenti parametri:
2
2
2
2
21
21)(
pp
p
zz
z
vm ss
ss
ssG
Ï+
Ï
ζ+
Ï+
Ïζ
+”
=
ellr
elz
lr
elz
KJD
JK 1
2, =ζ=Ï
zpzp ζÏ+=ζÏÏ+=Ï 1,1
m
lr
JJ
=Ï
â„âŠâ€
âąâŁâĄ =”
J1
Si ottiene:
2
221
21)(
pp
p
z
z
vl ss
s
ssG
Ï+
Ï
ζ+
Ïζ
+”
=
(rapporto di inerzia)
(puls. naturale e smorzamento degli zeri)
(puls. naturale e smorzamento dei poli)
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [22]
Natural frequency e locked frequency
Si puĂČ anche rappresentare sinteticamente il sistema con il seguente schema a blocchi:
2
221
21)(
zz
z
z
z
lm ss
s
sG
Ï+
Ïζ
+
Ïζ
+=
Ïm qmqm.
1/sGvm(s) Glm(s)nql
Il sistema libero oscilla alla pulsazione dei poli di Gvm, ossia Ïp: questa pulsazione Ăš detta natural frequency.
Se invece si blocca meccanicamente il motore, il sistema oscilla alla pulsazione dei poli di Glm, ossia Ïz: questa pulsazione Ăš detta lockedfrequency.
JD
K
m Jl
el
el
JD
K
m Jlel
el
dove:
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [23]
Disposizione di poli e zeri
Come sono messi nel piano complesso poli e zeri di Gvm?
I poli sono a piĂč alta frequenza e piĂčsmorzati
2
2
2
2
21
21)(
pp
p
zz
z
vm ss
ss
ssG
Ï+
Ï
ζ+
Ï+
Ïζ
+”
=
11 >Ï+=ζ
ζ=
Ï
Ï
z
p
z
pIm
Re
ÏzÏp
âζzÏzâζpÏp
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [24]
Risposta in frequenza
Cha aspetto assume la risposta in frequenza di Gvm?
10-2
10-1
100
101
-20
-10
0
10
20
30
40
w/wz
|Gvm
|
risonanza
antirisonanza
Ï=1ζz=0.1
2
2
2
2
21
21)(
pp
p
zz
z
vm ss
ss
ssG
Ï+
Ï
ζ+
Ï+
Ïζ
+”
=
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [25]
Controllo P/PI sul motore
Nella robotica industriale i sensori sono di norma disposti solo dal lato motore. Concentrandoci sulla risposta al riferimento (Ïl=0) si ha:
Ïm qmqm.
1/sGvm(s)RPI(s)Kpp++
â âqo
m
s
+Glm(s)
nql
Ïm qmqm.
1/sGvm(s)RPI(s)Kpp++
â âqo
m
s
+Glm(s)
nql
s
Nel caso di velocitĂ ottenuta per derivazione della posizione:
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [26]
Controllo PI di velocitĂ motore
Ïm qm.
Gvm(s)RPI(s)+â
( )iv
ivpv
ivpvPI sT
sTK
sTKsR
+=ââ
â
ââââ
â+=
111
( ) ( ) ( )2
2
2
2
21
211
pp
p
zz
z
iv
ivpvvmPIv ss
ss
sTsT
sK
sGsRsL
Ï+
Ï
ζ+
Ï+
Ïζ
++”
==
Funzione dâanello:
Introduciamo il seguente parametro di progetto adimensionale:
Ă la pulsazione critica di progetto, valutata sul modello rigido (Kpv”), normalizzata alla pulsazione Ïz.z
pvcv
KÏ
”=Ï~
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [27]
Criterio di Bode
Ï=1ζz=0.1
Posizioniamo lo zero del PI una decade prima della pulsazione Ïz. Introduciamo un altro parametro adimensionale:
5.0~ =Ïcv 5.1~ =Ïcv
10-3 10-2 10-1 100 101-50
0
50
100
dB
10-3 10-2 10-1 100 101-200
-100
0
100
deg
10-3 10-2 10-1 100 101-50
0
50
100
150
dB
10-3 10-2 10-1 100 101-200
-100
0
100de
g
Il margine di fase Ăšelevato
[ ]adim.10, =ÏÏÏ= ivzivivT
Tracciamo il diagramma di Bode della f.d.t. dâanello:
zÏÏ zÏÏ
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [28]
Criterio di Bode
Dal criterio di Bode risulta sempre margine di fase molto elevato. Non emergono limiti significativiâŠGuardiamo perĂČ la risposta in frequenza in anello chiuso lato motore e carico:
CâĂš una risonanza lato carico che il criterio di Bode non coglie.
5.1~ =Ïcv
10-2 10-1 100 101 102-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
rad
motorecarico
zÏÏ
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [29]
Anello di velocitĂ : luogo delle radici
Tracciamo il luogo delle radici al variare di Ïcv:
Ci sono dei poli complessi il cui smorzamento prima aumenta e poi diminuisce.
Lo smorzamento massimo si ottiene per:
( )zcv
cv
ÏâÏ
âÏ
7.0
7.0~
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Real Axis
Imag
Axi
s~
N.B. In questo e nei successivi luoghi, per maggiore generalitĂ , gli assi sono normalizzati rispetto a Ïz
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [30]
Controllo P di posizione
qmqm.
1/sFv(s)Kpp++
âqo
m
s
+Glm(s)
nql
( ) ( )( )sL
sLsF
v
vv +
=1
Anello chiuso di velocitĂ
La funzione dâanello per il controllo di posizione Ăš: ( ) ( )s
sFKsL v
ppp =
Introduciamo anche in questo caso un parametro di progetto normalizzato:
z
pppp
KÏ
=γà la pulsazione critica di progetto, valutata sul modello rigido (Kpp), normalizzata alla pulsazione Ïz.
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [31]
Anello di posizione: luogo delle radici
Tracciamo il luogo delle radici al variare di Îłpp, per diversi valori di Ïcv:
Allâaumentare della banda dellâanello di velocitĂ si generano dei poli in anello chiuso poco smorzati.
5.0~ =Ïcv 1~ =Ïcv 5.1~ =Ïcv
-1 -0.5 0 0.5 1-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
Imag
Axi
s
-2 -1 0 1 2-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
Imag
Axi
s
-3 -2 -1 0 1 2-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
Imag
Axi
s
~
( ) ( )s
sFKsL v
ppp =
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [32]
Simulazioni
Simuliamo in Simulink il sistema completo:
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [33]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
t (s)
motorecarico
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
t (s)
motorecarico
Simulazioni
Sistema: Ïz=200, Ï=1, ζz=0.1
PI di velocitĂ : Ïiv=10 P di posizione: Îłpp=0.1
5.0~ =Ïcv 5.2~ =Ïcv
disturbo di coppia
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [34]
Limiti di prestazione
Abbiamo visto che allâaumentare della banda dellâanello di velocitĂ degradano le prestazioni del sistema di controllo, lato carico. Ă possibile quantificare questo degrado di prestazioni?Consideriamo la funzione di trasferimento dal riferimento alla posizione lato carico:
)()()(
sFsqsnq
lmom
l =
Ï=1ζz=0.03Ïiv=10Îłpp=0.1
Il picco di risonanza aumenta allâaumentare di cvÏ~
10-1 100 101 102-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
wc/wz
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [35]
Limiti di prestazione
Studiando lâandamento del picco di risonanza della risposta in frequenza (cosiddetta norma Hâ) si trova un andamento approssimabile dalla seguente funzione:
ζââĄ
ââ Ë21)(sFQL lm
Ï+Ï
Ï+ζ=ζ
1~21Ë
cvz
La norma dipende da:parametri dimensionali del servo e un parametro di progetto del controllo
La relazione approssimata supporta il progetto congiunto (progetto meccatronico) di servo e controllo
10-1 100 101-5
0
5
10
15
20
wc/wz
QL inf esatta QL inf approx.
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [36]
Controllo P sul carico e PI sul motore
In molte altre applicazioni, come nelle macchine utensili, lâanello di posizione Ăšchiuso lato carico:
Nel caso di velocitĂ motore ottenuta per derivazione della posizione:
Ïm qmqm.
1/sGvm(s)RPI(s)Kpp++
â â
s
+Glm(s)
nqlnqol
Ïm qmqm.
1/sGvm(s)RPI(s)Kpp++
â â
s
+Glm(s)
nql
s
nqol
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [37]
Controllo P di posizione
( ) ( )( )sL
sLsF
v
vv +
=1
Anello chiuso di velocitĂ : nulla cambia nel suo progetto
La funzione dâanello per il controllo di posizione Ăš ora:
( ) ( ) ( )sGs
sFKsL lm
vppp =
qmqm.
1/sFv(s)Kpp++
â
s
+Glm(s)
nqlnqol
2
221
21)(
zz
z
z
z
lm ss
s
sG
Ï+
Ïζ
+
Ïζ
+=
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [38]
-3 -2 -1 0 1 2-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
Imag
Axi
s
-3 -2 -1 0 1 2-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
Imag
Axi
s
-3 -2 -1 0 1 2-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
Imag
Axi
sLuogo delle radici
Tracciamo il luogo delle radici al variare di Îłpp, per diversi valori di :
Allâaumentare della banda dellâanello di velocitĂ si complica il progetto dellâanello di posizione. Anche per piccoli valori di Kpp il sistema puĂČ diventare instabile
cvÏ~
5.0~ =Ïcv 1~ =Ïcv 5.1~ =Ïcv
5.0max âÎł pp63.0max âÎł pp07.1max âÎł pp
( ) ( ) ( )sGs
sFKsL lm
vppp =
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [39]
Simulazioni
Simuliamo in Simulink il sistema completo:
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [40]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
t (s)
motorecarico
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t (s)
motorecarico
Simulazioni
Sistema: Ïz=200, Ï=1, ζz=0.1
PI di velocitĂ : Ïiv=10 P di posizione: Îłpp=0.1
5.0~ =Ïcv 5.2~ =Ïcv
disturbo di coppia
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [41]
Simulazioni
Sistema: Ïz=200, Ï=1, ζz=0.1
PI di velocitĂ : Ïiv=10 P di posizione: Îłpp=0.7
5.1~ =Ïcv
Il sistema Ăšinstabile
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4
-3
-2
-1
0
1
2
3x 10
6
t (s)
motorecarico
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [42]
Limiti di prestazione
Anche in questo caso Ăš possibile quantificare il degrado di prestazioni connesso allâaumento della banda dellâanello di velocitĂ .Consideriamo la funzione di trasferimento dal riferimento alla posizione lato carico:
)()()(
sFsqsnq
lol
l =
Ï=1ζz=0.03Ïiv=10Îłpp=0.1
Il picco di risonanza aumenta allâaumentare di cvÏ~
10-1 100 101 102-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
w/wz
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [43]
Limiti di prestazione
Studiando anche in questo caso lâandamento del picco di risonanza della risposta in frequenza (la norma Hâ) si trova un andamento approssimabile dalla seguente funzione:
ζââĄ
ââ Ë21)(sFQL l
Ï+Ï
Îł+
ÎłâÏ+
ÏÏ
+ζ=ζ
11
~1
5.01~2
1
Ë
cv
pp
ppcv
z
Il degrado di prestazioni Ăš molto piĂčevidente rispetto al caso di chiusura dellâanello di posizione lato motore.
10-1 100 101-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
wc/wz
QL inf esatta QL inf approx.
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [44]
Identificazione dei parametri
Per il progetto del controllore, o anche per valutare i limiti di prestazione, occorre disporre di stime di ζz, Ïz e Ï. Per identificarne sperimentalmente i valori, si possono utilizzare gli strumenti di analisi forniti da alcuni CN commerciali.
0 5 10 15 20 25 30-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
( )22
2 141
)(
)(
Ï+
Ïζ
âÏ
Ï
zzm
pm
jF
jF
Utilizzando un controllore che conferisce banda passante molto blanda, la funzione di trasferimento dâanello si sovrappone a quella in anello chiuso Fm(s) . Inoltre:
10-1 100 101 102 103-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
w (rad/s)
dB
anello chiusoanello aperto
R(s)qm
â
qmKt
I
sinusoidalsweep
frequencyresponse
+ + +o o
Gvm (s) s1qm
.
Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [45]
Procedura dâidentificazione
Possiamo formalizzare una procedura di identificazione nei seguenti passi:
1. Progettare un controllore PID con Ïc << Ïz dove Ïz Ăš una stima approssimata di Ïz
2. Eseguire un esperimento in anello chiuso e riportare su grafico lâandamento del modulo |Fm(jÏ)|
3. Dal diagramma ricavare Ïz and Ïp come le pulsazioni di minimo e massimo e: âdB=|Fm(j Ïp)|dB â |Fm(j Ïz)|dB
4. Calcolare:
âȘâȘâȘ
â©
âȘâȘâȘ
âš
â§
Ï+Ï
â=ζ
âÏ
Ï=Ï
=âââ â
âââ â
121
1
10
2
2
20
z
z
p
dB
^ ^