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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)
CONTROLO
Computadores (LEEC)
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)
CONTROLO1º semestre – 2007/2008
Transparências de apoio às aulas teóricas
Capítulo 10 – Diagrama de Bode e Relação Tempo-Frequência
A definição de Função Resposta em Frequência e o traçado do diagrama de Bode consideram-se conhecimentos já adquiridos pelos alunos. As respectivas
transparências incluem-se neste conjunto para o manter self-contained embora não tenham sido apresentadas nas aulas teóricas.
Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal
o, A
ntón
ioPa
scoa
lRevisão: Março de 2007
1/Cap.10Março.2007
©M
. Isa
bel R
ibei
ro
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2007/2008
Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Resposta em Frequência
• O que é o estudo da Resposta em Frequência de um SLIT?– Análise da resposta a uma entrada sinusoidal
Figura retirada de Análise de Sistemas Lineares M Isabel
Resultados de um teste com um 2CV numa estrada de perfil sinusoidal, com velocidades crescentes:
Até 30Km/h as oscilações de posição do condutor e da via são
Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001
Reprodução proibida
• Até 30Km/h as oscilações de posição do condutor e da via são semelhantes, i.e., quando o piso sobe o condutor sobe e vice-versa,
• Por volta dos 70Km/h a amplitude das oscilações ao nível do condutor é muito maior do que a amplitude do perfil da via,
o, A
ntón
ioPa
scoa
l• A 80/85Km a amplitude das oscilações é semelhante à observada a 70Km/h; no entanto, a diferença de fase é da ordem dos 180º, i.e., quando a estrada se eleva o condutor vai assento abaixo, quando a estrada vai abaixo o condutor bate com a cabeça no tejadilho
2/Cap.10Março.2007
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. Isa
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rocom a cabeça no tejadilho,
• A 150Km/h as oscilações ao nível do condutor são quase imperceptíveis, pelo que a condução se torna bastante agradável !
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Resposta em Frequênciaconceito (revisão)
G(s)r(t)=A sinw1t y(t)
221A)s(R ω
= )s(GA)s(Y 221ω=
entrada sinusoidalcomo é a componente forçada da resposta ?
21
2s)s(R
ω+)(
s)( 2
12 ω+
)ps()ps)(ps()s(N)s(G
n21 +++=
L
Assumem-se pólos simples sem
perda de generalidade
∑++=n
i21 Rcc)s(Y ∑= +
+ω−
+ω+
=1i i11 ssjsjs
)s(Y
)j(Gj2
A)s(Gjs
Ac 1js1
11
1ω−−=
ω−ω
=ω−= j2js 1ω
11js1
12 c)j(G
j2A)s(G
jsAc
1=ω=
ω+ω
=ω=
tsn
tjtj i11 eRe)j(GAe)j(GA)t(y −ωω− ∑+ω+ω−−=
o, A
ntón
ioPa
scoa
l1ii11 eRe)j(G
j2e)j(G
j2)t(y
=∑+ω+ω−−=
resposta forçada resposta natural
)t()t()t(
3/Cap.10Março.2007
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ro)t(y)t(y)t(y nf += A resposta em frequência de um SLIT analisa a evolução da
componente forçada da resposta a uma entrada sinusoidal.
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Resposta em Frequênciaconceito (revisão)
AA
resposta natural
)t(ye)j(Gj2
Ae)j(Gj2
A)t(y ntj
1tj
111 +ω+ω−−= ωω−
resposta forçada natural
G(s) – função complexa de variável complexa
)s(Gargje)s(G)s(G =)j(Gargj
11
)j(Gargj11
1
1
e)j(G )j(G
e)j(G)j(Gω
ω−
ω=ω
ω−=ω−
ímpar função )j(Gargparfunção )j(G
ω
ω
)j(Gargj
)j(Gargj11
1
1
e)j(G)j(G
e)j(G)j(Gω
ω−
ωω
ω=ω−)j(gj
111e)j(G )j(G ω=ω
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ −
ω=ω−ω−ωω e.ee.e)j(GA)t(y
)j(Gargjtj)j(Gargjtj
1f
1111
componente forçada da saídao,
Ant
ónio
Pasc
oal
⎟⎠
⎜⎝ j2
)j()(y 1f
))j(Gargtsin()j(GA)t(y 111f ω+ωω=
4/Cap.10Março.2007
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ro
))j(g()j()(y 111f
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Resposta em Frequênciaconceito (revisão)
SLIT tí
G(s)r(t)=A sinw1t yf(t)=A|G(jw1)|sin(w1t+argG(jw1))
• SLIT contínuo• Excitado por um sinal sinusoidal• A componente forçada da saída é ainda:
– Um sinal sinusoidal com a mesma frequência– Amplitude e fase do sinal de saída relacionadas
com a amplitude e fase do sinal de entrada
componente forçada do sinal de saída
desfasagem
sinal de entrada
sinal de saída
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
5/Cap.10Março.2007
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. Isa
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ro
• |G(jw1)| - ganho de amplitude para a frequência w1
• arg G(jw1) – desfasagem para a frequência w1
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Função Resposta em Frequência
F ã R t F ê i G(j )
ω==ω
js)s(G)j(G
• Função Resposta em Frequência G(jw)– Função de transferência calculada ao longo do
eixo imaginário
• Para sistemas causais e estáveis• A Função Resposta em Frequência é a
Transformada de Fourier da Resposta Impulsional
)]t(h[TF)j(G =ω )]t(h[TF)j(G =ω
Representação gráfica da Função Resposta em Frequência
• Que funções é preciso representar ?• |G(jw)|• Arg G(jw)
• Que tipo de representação
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
• Que tipo de representação• Diagrama de Bode• Diagrama de Nyquist• Diagrama de Nichols
Estudo daestabilidade deSLITs em cadeiafechada
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIADiagrama de BodeAproximação assimptótica
Representação gráfica da Função Resposta em FrequênciaRepresentação gráfica da Função Resposta em Frequência• 20 log|G(jw)| como função de w (escala logaritmica)• Arg G(jw) como função de w (escala logaritmica)
exemplo
2nn21
2nn11
)w/s(w/s21)(s1(s)w/s(w/s21)(sT1(K
)s(G22
11
+ξ+τ+
+ξ++=
2)w/jw(w/w2j1)(jwT1(K +ξ++
função de transferência
2nn21
nn11
)w/jw(w/w2j1)(s1(jw)w/jw(w/w2j1)(jwT1(K
)jw(G22
11
+ξ+τ+
+ξ++= função resposta em
frequência
Característica de amplitude
))w/jw(w/w2j1()s1(jw
))w/jw(w/w2j1()jwT1(K)jw(G
2nn21
2nn11
22
11
+ξ+τ+
+ξ++=
quociente de produtos de termos
O di d B d ( lit d ) tO diagrama de Bode (amplitude) representa
)jw(Glog20)jw(GdB=
2 ))w/jw(w/w2j1()jwT1(K)jw(G +ξ++++=
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
dB
2nn2dB1dB
dBnn1dB1dB
))w/jw(w/w2j1()s1(jw
))w/jw(w/w2j1()jwT1(K)jw(G
22
11
+ξ+−τ+−−
+ξ++++=
soma algébrica de termosCaracterística de fase
7/Cap.10Março.2007
©M
. Isa
bel R
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rotermosCaracterística de fase
))w/jw(w/w2j1arg()s1arg()jwarg(
))w/jw(w/w2j1arg()jwT1arg(K arg)jw(Garg2
nn21
2nn11
22
11
+ξ+−τ+−−
+ξ++++=
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)
K)s(G =dBdB
K)jw(G =
⎪⎧ > 0Kseº0função de transferência
K)jw(G =⎪⎩
⎪⎨⎧
<
>=
0K se º180
0K se º0)jw(Garg
função de transferência
função resposta em frequência
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
180º
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)
s10)s(G =
jw10)jw(G =
( ) wlog20dB20jw10)jw(GdBdBdB
−=−=
Recta com declive –20dB/década
passando em 0dB para w=1
º900)jwarg()10arg()jw(Garg −=−=
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
• Qual é o ganho estático deste sistema ?
9/Cap.10Março.2007
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ibei
ro• Qual é o ganho de baixa frequência ?• Declive da assímptota ? E se o sistema tivesse dois pólos na origem ?• Qual é a componente forçada da resposta deste sistema à entrada
r(t)=2sin(100t) ?
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)
sT11)s(G+
=jwT11)jw(G
+=
( )2característica de amplitude
( )2dB
wT1log20)jw(G +−=
1wTT1w <<⇒<<Baixa frequência
dB01log20)jw(GdB
=−≅ assímptota de baixa
1wTT1w >>⇒>>Alta frequência
dB
Tlog20wlog20wTlog20)jw(GdB
−−=−≅
Recta com declive
frequência
assímptota de alta frequência
Recta com declive –20dB/década passando em 0dB para w=1/T
característica de fase
)wT(arctg)jwT1arg()jw(Garg −=+−=
1wTT1w <<⇒<<Baixa frequência º0)jw(Garg ≅
π
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
1wTT1w >>⇒>>Alta frequência2
)jw(Garg π−≅
T1w =4
)jw(Garg π−=
10/Cap.10Março.2007
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)
sT11)s(G+
=jwT11)jw(G
+=
T=0.5Pólo = - 2
0 dB/dec
assimptota de baixa frequênciaassimptota de alta frequência
- 20dB/dec0 dB/dec
0º
- 45º
- 90º
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
w=2rad/s – frequência de corte do pólo
11/Cap.10Março.2007
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)
T 0
sT11)s(G+
=jwT11)jw(G
+=
T=0.5Pólo = - 2
3dB
2 200.2
5.71º
2 200.2
5.71º
T1w =
dB32log20)wT(1log20)jw(G 2dB
−=−=+−=
º45)j1arg()jw(Garg −=+−=
T101w = º71.510
j1arg)jw(Garg −=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−=
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
Um pólo de multiplicidade 1 contribui para a fase
T10 10g)j(g ⎟⎠
⎜⎝
T10w = ( ) º71.5º90j101arg)jw(Garg +−=+−=
12/Cap.10Março.2007
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roUm pólo de multiplicidade 1 contribui para a fase total com um ângulo que varia, de uma década
antes a uma década depois, de 0º a –90º passando a –45º na frequência de corte.
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeLargura de Banda – Relação Tempo-Frequência
Largura de Banda (a 3dB)
• Banda de frequência na qual o módulo da função resposta em frequência não cai mais de 3dB emresposta em frequência não cai mais de 3dB em relação ao ganho de baixa frequência.
Ko
Ko-3dB
• A Largura de Banda traduz a capacidade de um
wwBW
sistema reproduzir mais ou menos perfeitamente os sinais aplicados à sua entrada
Num SLIT de 1ªordem, sem zeros,
Largura de Banda =frequência de corte do pólo
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
corte do pólo
13/Cap.10Março.2007
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ro
LB=2rad/s
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeLargura de Banda – Relação Tempo-Frequência
1
11 ws
w)s(G+
=2
22 ws
w)s(G+
=12 ww >
ganho estático unitário
w1 w2
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
1/w11/w2
Largura de banda maior
14/Cap.10Março.2007
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Resposta mais rápida
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo duplo
2)5s(250)s(G+
=
PERGUNTAS
• Ganho estático ?• Declive da
• Assimptota de baixa frequência• Assimptota de alta frequência
• Fase para B i f ê i• Baixas frequências
• Altas frequências
RESPOSTAS
• Ganho estático = G(s)|s=0 = 10 = 20dB• Declive da
• Assimptota de baixa frequência• O sistema não tem pólos nem zeros na origem• declive = 0db/dec
• Assimptota de alta frequência• # pólos - # zeros = 2• declive = -40dB/dec = 2 * (-20dB/dec)
• Fase para • Baixas frequências
• Sistema é de fase mínima• Sistema não tem pólos e zeros na origem• Fase para é igual a 0ºs/rad0w →
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
• Fase para é igual a 0• Altas frequências
• Sistema é de fase mínima• # pólos - # zeros = 2• Fase para é igual a –180º
s/rad0w →
∞→w
15/Cap.10Março.2007
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ro
A contribuição para a amplitude e para a fase de um pólo duplo é a soma das contribuições
de dois pólos reais simples.
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo duplo
2)5s(250)s(G+
=
2)5s(250)s(G+
=2
10)s(G⎞⎛
=
forma das constantes de
tempo
)5s( + 2
5s1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
Deste modo a assimptota de baixa frequência correspondente ao pólo duplo passa em 0dB
6dB6d
2*5.71ºo,
Ant
ónio
Pasc
oal-90º
2*5 71º
-180º
16/Cap.10Março.2007
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ibei
ro2*5.71º
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeRelação Tempo Frequência
Sistema 1 Sistema 2
22 )5s(250)s(G+
=)5s(
50)s(G1 +=
Sistema de 1ª ordemPól l i l 5
Sistema de 2ª ordemPólo real duplo em 5
Sistema 1 Sistema 2
Pólo real simples em –5Ganho estático = 10
Pólo real duplo em –5Ganho estático = 10
• Qual dos dois sistemas tem a maior largura de banda?• Qual dos dois sistemas é mais rápido ?
s/rad 5LB1 =
s/rad 15.3LB2 ≅
Resposta a uma entrada escalãoCaracterística de amplitude junto da frequência de corte
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
17/Cap.10Março.2007
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo na origem e pólos reais não nulos
)100s)(10s(s100)s(G
++=
• Ganho estático ?
3 pólos Assimptota de alta frequência com declive de 3*(-20) = - 60dB/dec
0 zeros3 (-20) = - 60dB/dec
)100/s1)(10/s1(s1.0)s(G++
=
0.1 1 10 100 1000
- 20
- 40
- 60
- 80
- 100o,
Ant
ónio
Pasc
oal
- 90º
- 180º
0º
18/Cap.10Março.2007
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bel R
ibei
ro
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007
- 270º
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) - – pólo na origem e pólos reais não nulos
)100s)(10s(s100)s(G
++=
• Ganho estático ?
3 pólos Assimptota de alta frequência com declive de 3*(-20) = - 60dB/dec
0 zeros3 (-20) = - 60dB/dec
)100/s1)(10/s1(s1.0)s(G++
=
0.1 1 10 100 1000
- 20
- 40
- 60
- 80
- 100o,
Ant
ónio
Pasc
oal
- 90º
- 180º
0º
19/Cap.10Março.2007
©M
. Isa
bel R
ibei
ro
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007
- 270º
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)
Q l é t ib i ã d f t d ti (1+j T) ?• Qual é a contribuição de um factor do tipo (1+jwT) ?Características assimptóticas de amplitude e fase simétricas
relativamente às obtidas para um pólo real com a mesma frequência de corte
2)wT(1log20jwT1log20 +=+ )(gjg
1wT >> Tlog20wlog20)wTlog(20)wT(1log20 2 +=≅+
+ 20dB/dec
T=0.1
20
90º
3dB20
45ºo,
Ant
ónio
Pasc
oal
Um zero de multiplicidade 1 contribui para a fase
frequência de corte do zero
20/Cap.10Março.2007
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bel R
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INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007
Um zero de multiplicidade 1 contribui para a fase total com um ângulo que varia, de uma década
antes a uma década depois, de 0º a 90º passando a +45º na frequência de corte.
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – um pólo e um zero reais
)1.0s()10s(1.0)s(G
++
=
contribuição do zero
ganho estático
20dB
40dB
-20dB/dec
ganho estático
0.01 0.1 1 10 100 w (rad/s)
-20dB
-40dB Excesso pólos-zeros = 0
Assimptota de alta frequência com declive nulo
90º
p q
90
45º
0º0.01 0.1 1 10 100 w (rad/s)
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
- 90º
- 45º
Não há pólos nem zeros na origem Excesso pólos zeros = 0
21/Cap.10Março.2007
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INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007
p g
A fase para muito baixa freq. é nulaExcesso pólos-zeros = 0
A fase para muito alta freq. é nula
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeRelação Tempo-Frequência
• Ganho de Baixa Frequência
00wK)jw(Glim =
→ganho estático do sistema
y(t)lim)s(G limKt0s0 ∞→→
==Para uma entrada escalão unitárioGanho da
Resposta em Frequência à frequência w=0q
2)1s(s)s(G+
=2)1s(
1)s(G+
=
1 100.1 0.1 1 100dB0dB
-20dB -20dB
-40dB-40dB
+20dB/dec-20dB/dec
-40dB/deco,
Ant
ónio
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22/Cap.10Março.2007
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
10 <ζ≤
2nn
2
2n
wsw2sw)s(G
+ζ+= ganho estático
unitário2
1)jw(G⎞⎛
=
10 <ζ≤
2
nn ww
ww2j1
)j(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−ζ+
2
Característica de amplitude
2
nndB w
www2j1 log20)jw(G ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−ζ+−=
22
2
2
dB ww2
ww1log20)jw(G ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ζ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
nn ww ⎠⎝⎠⎝
nww << dB0)jw(GdB≅ Assimptota de baixa frequência
nww >>2
n
2
2n
2
dB ww2
wwlog20)jw(G ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ζ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≅
n
2
n wwlog40
wwlog20 −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≅
Assimptota de alta
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
nn ww ⎠⎝frequência
Declive de –40dB/dec
passando em 0dB para w=wn
23/Cap.10Março.2007
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w=wn é a frequência de corte associada ao par de pólos complexos conjugados
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
10 <ζ≤
2nn
2
2n
wsw2sw)s(G
+ζ+=
10 <ζ≤
1.0=ζ
2.0=ζ
3.0=ζ
5.0=ζ
22707.0 ==ζ
o, A
ntón
ioPa
scoa
l707.00 <ζ<Para a característica real apresenta um pico de ressonânica
2nr 21ww ζ−= frequência de
ressonância
24/Cap.10Março.2007
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nr ζ ressonância
nr w w 0 →⇒→ζnr ww <
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
10 <ζ≤
2nn
2
2n
wsw2sw)s(G
+ζ+=
10 <ζ≤1.0=ζ
2.0=ζ
3.0=ζ
5.0=ζ
22707.0 ==ζ1=ζ
dB6
707.00 <ζ<Para a característica real apresenta um pico de ressonânica
2nr 21ww ζ−=
2r121)jw(G
ζζ=
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
212 ζ−ζ
ζ=
21)jw(G n
em unidades lineares, numa situação de ganho estático unitário
25/Cap.10Março.2007
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Para embora haja sobreelevação na resposta no tempo não há ressonância na resposta em frequência
707.0>ζ
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
10 <ζ≤
2nn
2
2n
wsw2sw)s(G
+ζ+=
1)jw(G
10 <ζ≤
)jww2s)(jww2s(w)s(G
dndn
2n
−ζ++ζ+=
2
nn ww
ww2j1
)jw(G
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−ζ+
=
Característica de fasejw
212
n
n
ww1
ww2
arctg)jw(Garg θ−θ−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
ζ−=
njw
nww <<
σ1jw
θ1º0)jw(Garg ≅
nww >>
σθ2
º180)jw(Garg −≅
nww = º90)jw(Garg −=
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
26/Cap.10Março.2007
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w=wn é a frequência de corte associada ao par de pólos complexos conjugados
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
10 <ζ≤
2nn
2
2n
wsw2sw)s(G
+ζ+=
1)jw(G
10 <ζ≤
)jww2s)(jww2s(w)s(G
dndn
2n
−ζ++ζ+=
2
nn ww
ww2j1
)jw(G
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−ζ+
=
1.0=ζ
2.0=ζ
3.0=ζ
5.0=ζ
27070ζ 22707.0 ==ζ
1=ζ
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
0=ζComo são os diagramas de amplitude e fase para ?
27/Cap.10Março.2007
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. Isa
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INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007
ζg p p
Como é o diagrama de Bode (amplitude e fase) para um par de zeros compexos conjugados?
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeSistema com pólos complexos – Tacoma Narrows Bridge
Tacoma Narrows• em Puget Sound, junta da localidade de Tacoma, Washington
• Ponte suspensa aberta ao tráfego só alguns meses• Em 7.Nov.1940 a ponte caiu pelo efeito de forças que nela
t ti l d tactuavam, em particular do vento
O f f
o, A
ntón
ioPa
scoa
l• O efeito do vento induziu uma excitação na frequência natural do sistema
• O sistema tinha um comportamento (macro) como o de um sistema de 2ª ordem com pólos complexos conjugados
28/Cap.10Março.2007
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http://cee.carleton.ca/Exhibits/Tacoma_Narrows/http://maclab.alfred.edu/students/harttm/default.htmlhttp://www.urbanlegends.com/science/bridge_resonance.html
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeSistemas de Fase Não Mínima
10s)s(G += 10s)s(G −
1s)s(G1 +=
1s)s(G2 +=
sistema de fase mínima sistema de fase não mínima
10wj1
10)jw(G+
10wj1
10)j(G−
jw110.10)jw(G1 +
=jw110.10)jw(G2 +
−=
2
2
211
10w1
.10)jw(G)jw(G⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
==
a mesma característica de
amplitude2w1+
)w(arctg10warctg)jw(Garg 1 −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= )w(arctg
10warctgº180)jw(Garg 2 −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+=
zθθ pθpθ pθzθ
pz1 )jw(Garg θ−θ=pz2 )jw(Garg θ−θ=
180º
-10 -1 -1 10o,
Ant
ónio
Pasc
oal
0º
90º0.1 1 10 100
0º
90º0.1 1 10 100
180º
29/Cap.10Março.2007
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- 90º - 90º
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeSistemas de Fase Não Mínima
10s)s(G += 10s)s(G −
1s)s(G1 +=
1s)s(G2 +=
sistema de fase mínima sistema de fase não mínima
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
30/Cap.10Março.2007
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeIdentificação de Sistemas
3 S• 3 SLITs• Todos com a mesma característica de amplitude• Características de fase distintas
Sistema 1
Sistema 2o,
Ant
ónio
Pasc
oal
Sistema 3
31/Cap.10Março.2007
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeIdentificação de Sistemas
• 3 SLITs3 SLITs• Todos com a mesma característica de amplitude• Características de fase distintas
( )10s1s10)s(G
±±
±=
Sistema 1
Sistema 2
Sistema 3
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
32/Cap.10Março.2007
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10s1s10)s(G1 +
−=
10s1s10)s(G2 −
+−=
10s1s10)s(G3 +
+=
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodePólos dominantes e não dominantes
*25 25)25s4s)(as(
a*25)s(G 2 +++=
)25s4s(25)s(G 2 ++
=
a=1a=3
a=8
a=8
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
a=1
a=3
33/Cap.10Março.2007
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a 1
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodePólos dominantes e não dominantes
ww ζζ2nnp
2
2nnz
2
2n
2n
pp
zz
z
p
wsw2swsw2s
ww
)s(G+ζ+
+ζ+= Sistema 1 1 0.2 1 0.5
Sistema 2 1 0.7 1 0.5Sistema 3 1 0.5 1.2 0.5Sistema 4 1.2 0.5 1 0.5
pnzn w wpz
ζζ
identifique os sistemasidentifique os sistemas
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
34/Cap.10Março.2007
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