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¿Conviene la nota media simple en los exámenes conjuntosde enserianza secundaria?

Cuando los hombres, como legisladores y exami-nadores, pretendemos simplificar la calificación de losescolares, buscamos una sola nota como síntesis del co-nocimiento del alumno. El primer obstáculo con elque tropezamos es con la división del curso escolaren asignaturas. El segundo, advertido solamente poraquellos que tienen una preocupación pedagógica máshonda, consiste en la parcelación de cada asignaturaen cuanto a conocimientos, comprensión, actitudes, et-cétera. Mas la simplicidad presiona sobre nosotros detal modo que nos empuja a recaer en la nota únicacomo medio resolutorio para la decisión uniforme so-bre los examinandos.

Es innegable que, conseguida una nota como com-pendio de los saberes del alumno, podemos arbitrariao rigurosamente determinar el punto de partida delcual se logrará una calificación determinada. El proce-dimiento a que estamos acostumbrados y que porello surge con fresca espontaneidad es el de la mediaaritmética.

¿Qué es o representa la media aritmética? La me-dia aritmética es ahora un parámetro estadístico que seobtiene al dividir la suma de todas las puntuacionespor el número de sujetos examinados. No interesa eneste momento todo el aparato científico que supone laadmisión de la media; pero sí conviene saber que entérminos de probabilidad media aritmética y esperan-za matemática coinciden. También se admite que lamedia representa el centro de gravedad de las puntua-ciones consideradas en su cantidad y es el valor centralque convierte en mínimo el segundo momento de unadistribución estadística. El hecho de que todos los va-lores intervengan con su cuantía hace que la mediaaritmética se vea muy afectada por las discrepanciasde los extremos.

Un sencillo ejemplo nos puede hacer patente la in-fluencia de los extremos. Si los sujetos A y B hanobtenido, respectivamente, las siguientes puntuaciones:A (5-5-5-6-6) y B (1-66-7-7), la media aritmética27:5 = 5,40 es la misma para los dos; pero nadie ase-guraría que ambas puntuaciones son equivalentes. To-dos los jueces, excepto el primero, han concedido unpunto más a B que a A. Se comprende que el exa-minando B es mejor que el A, pero... el primer juezha rebajado excesivamente la nota de B y su decisiónha pesado con exceso sobre el valor medio. Igualpodría haber acontecido por el extremo superior.

Admitimos que el procedimiento operatorio es ele-mental, ya que la suma de todas las notas divididas

JOSE FERNANDEZ HUERTA

por cinco se hace elementalmente, y, simplificaría aúnmás si se duplicase el total y se dividiese por 10. Esun criterio económico el que completa al estadístico;pero ric, podríamos encontrar otra medida de tenden-cia central que fuese de tanta o más garantía que lamedia?

Conviene detenernos unos instantes. Pensemos en losjueces. Para aquellos examinadores que consideran laspuntuaciones subjetivas (si nos referimos a éstas espor la única razón de ser las que tanto de hechocomo legalmente son las predominantes en España)como números invariables, lo que contraría todas lasinvestigaciones realizadas hasta la fecha, es innegableque la media aritmética constituye el mejor valorcentral cuando las puntuaciones se distribuyen simé-tricamente. Pero, para quienes las puntuaciones subje-tivas son evaluaciones de gradación sin precisión nu-mérica, la media aritmética pierde virtualidades por nointeresar el número sino el orden. También la mediapierde validez si las puntuaciones se distribuyen asi-métricamente.

El nuevo valor central que puede sustituir en estesegundo caso a la media aritmética es el valor me-diano o mediana. ¿Qué nos señala la mediana? Lamediana es un valor posicional que nos indica aque-lla puntuación que deja tantos valores por debajo comopor encima. Ordenadas todas las puntuaciones de ma-yor a menor, la mediana es el valor que ocupa elcentro de la serie. También la mediana posee pro-piedades estadísticas. Estas propiedades son la posi-cional y la de convertir en mínimo las diferenciasdel primer momento absoluto.

Si operamos con dos, tres o cinco jueces, la me-diana aparece como más equilibrada que la media.Viene a representar en el campo de la ordenación depuntuaciones lo que la posición ecléctica en el doctri-nal: no se deja arrastrar por los extremos. Dejan depreocupar los excesos de un juez, ya que su valor ocu-paría el extremo. Si truncamos la puntuación de loscinco jueces por separación de la del que puntuó conmenor nota, ,ritié nos interesa la cuantía de los pun-tos que tal juez otorgó? Igual mínimo será en esecaso B con 0, 1, 2, 3, 4 6 5 puntos. La mediana nosufre alteración aunque sí la sufriese la media.

En los ejemplos A y B anteriores las medianasserán 5 y 6, respectivamente, lo que confirma aquellatendencia que advertimos de un punto más al escolarB. Ofrece la ventaja, ya aparente, de eliminar el in-flujo pernicioso o provechoso de una de las notas.

LA NOTA MEDIA SIMPLE EN LOS EXÁMENES CONJUNTOS

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Si proponemos dos nuevos ejemplos C y D (1-7-7-7-

7-) y D (5-5-5-5-9-) y estudiamos sus dos medidas detendencia central, advertimos que las dos medias coin-ciden, mientras que las medianas serían 7 y 5, respec-tivamente.

Cuando analizamos las puntuaciones comprobamosuna clara tendencia para el sujeto C de obtener sietepuntos y para el D de obtener cinco. Pero en el pri-mero uno de los jueces le otorgó solamente un punto,es decir, le rebajó la nota por razones imprevisibles;mientras que en el segundo otro, o el mismo juez,se la incrementó exageradamente. Estas anomalías tem-porales desaparecen al utilizar la mediana, gracias ala cual concedemos que el escolar C supera al D, loque no ocurirría con la media.

Abogamos, en principio, por la mediana en lugar deal nota media cuando se utilizan puntuaciones subje-tivas de escaso número de jueces. La nota es másequilibrada y, lógicamente, más comprensible.

Sería suficiente esta sustitución de medidas de ten-dencia central para resolver las dificultades que apa-rezcan? El legislador, en fecha muy reciente (4 de ju-nio de 1954), dice: "Sin embargo, si el presidentejuzgara excesiva, en algún caso, la discrepancia entrela puntuación dada por los distintos vocales el ejer-cicio de un alumno, podrá someterlo al juicio deltribunal en pleno."

Con esta determinación se establece un criterio su-perior al de la media de los miembros del tribunalrestringido: la media de los cinco miembros. Peroeste nuevo criterio sólo entrará en vigor cuando el pre-sidente juzgue excesiva la discrepancia. Luego su fina-lidad no consiste en proporcionar un arma técnica,sino en evitar el exceso de benevolencia o de durezacon este alumno precisamente. Supuesto un nivel equi-valente de juicio y de aptitud examinadora en los jue-ces, la divergencia exagerada, en algún caso, no puedeser originada más que por prejuicios o factores in-dependientes al mismo examen.

No obstante, la orden ministerial introduce un nue-vo valor: la discrepancia. Media, discrepancia y nuevamedia (aunque esto último no se indique), parece serel camino a seguir para alcanzar la nota definitiva.Así, aparecen ahora dos focos en la calificación: me-dia y discrepancia. Esto último lo podríamos expresarde otro modo si proponemos en lugar de discrepancia(que parece ceñirse más al caso de tribunal restringi-do) el término variabilidad.

Para nosotros, media o mediana y desviación típicao error probable serán los aspectos que consideremosal sustituir por términos científicos los primeramenteexpuestos. Otra ventaja ofrece la variabilidad: la po-sibilidad de eliminar el supuesto que hemos subraya-do: el de nivel equivalente de juicio y aptitud exami-nadora. La ciencia nos enseña la irrealidad de estaequivalencia. La experiencia también.

Como vía introductoria para clarificar el procedi-miento apoyado solamente en media o mediana y va-rianza o error probable, ofrecemos un ejemplo a basede cinco supuestos. Estos supuestos, cuya coinciden-cia es improbable se presente en algún tribunal, re-presentan las calificaciones atribuídas u otorgadas porcinco jueces (E, F, G, H, I), a diez alumnos innume-rados.

E 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6F 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4G 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8H 2 3 3 4 5 5 6 7 7 8

I 1 2 3 4 5 5 6 7 8 9

Las medias respectivas son: 5 -3 - 7 - 5 - 5 y la mediageneral de todas las puntuaciones es 5. Las medianasserían idénticas a las medias y la general también.

Un pequeño análisis de las notas nos dirá que mien-tras para los tres primeros jueces los alumnos poseíanuna información similar, para los dos últimos existíangrandes variabilidades. Es cierto que entre E, F y Gse manifiesta clara discrepancia, ya que mientras F pa-rece exigir mucho a sus alumnos, G se presenta alta-mente benévolo. El juez E aparece como el más ponde-rado.

Los valores o notas dadas por E, F y G, son com-parables entre sí y cualquiera medida de tendenciacentral que empleemos a partir de las tres notasnos proporcionará la solución esperada; pero sonequiparables E, F y G con H e I?

Anticipémoslo. No son equiparables. No lo son por-que las puntuaciones concedidas por H e I presionanmás sobre la media del conjunto de las cinco notasque cada una de las otras tres. De los primeros juecespodría afirmarse poca aptitud discriminativa durantelos exámenes debida ora al tiempo de examen, ora altipo de preguntas, ora a la rigidez de criterio o acualquier otra causa. No obstante la diferente elevaciónde las notas en dichos tres jueces, estamos radicalmen-te incapacitados para determinar cuál es el mejor. Lostres son científicamente iguales. Sólo podremos deter-minar la superioridad de uno de ellos cuando utilice-mos otros criterios que faciliten tal caracterización.

Pero las notas de H e I es probable que no se pue-dan comparar con las tres antedichas. En el campo delos juicios o notas se puede admitir que los juecesjuzguen lo mismo cuando sus medias y variabilidadson científicamente iguales (en variabilidad incluimostanto la varianza como la forma y las covarianzas).Esa igualdad estadística no presupone la eliminaciónde la dispersión de muestral de notas, que existirá,sino que las diferencias entre los valores indicados seanexplicables por la misma fluctuación muestral. Las di-ferencias no han de ser significativas.

Dados estos supuestos básicos, ¿han juzgado lo mis-mo el juez E y el juez I? Nuestra primera impre-sión es negativa. Quién afirmaría que han juzgadolo mismo si mientras la variabilidad del primero al-canza un rango total de tres (4, 5 y 6), la del últimoabarca nueve (1, 2, ..., 8 y 9) ? Los elementos dejuicio parecen diferentes.

Ahora, quizá, se nos pretenda preguntar: acaso eljuez I es mejor que el juez E porque ha matizado máslas notas? Nuestra respuesta es dilatoria. No cabe res-ponder. No cabe responder porque el problema enfo-cado es distinto. La variabilidad de los juicios no re-suelve acerca de la exactitud del juez. Podría ocurrirque el juez con rango inferior haya juzgado con másprecisión que el juez con rango superior. Lo único queen verdad podemos concluir es acerca de la diversidaddiscriminativa; pero los elementos en que se apoyadicha diversidad son demasiado opacos.

Por otra parte, es de todos conocida la inconvenien-

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cia de sumar u operar con magnitudes heterogéneas.Si el estudio de las distribuciones de notas nos laspresenta como faltas de homogeneidad, nunca debensumarse, al igual que nadie totaliza en su heterogenei-dad dos clases distintas de objetos, corno no sea ele-vándolos el género superior común a todos. Así, nadiesuma mesas y sillas, como no sean bajo el concepto demuebles u otro superior. Y el total de ambos podrásumarse al de libros si lo elevamos a otro términosuperior: objetos. En ambos casos, hemos transfor-mado la heterogeneidad en homogeneidad; homoge-neidad en muebles u objetos.

Esto quiere decir, en nuestro caso, que dada una evi-dente heterogeneidad de notas, manifiesta en la diversi-dad significativa de medias y varianzas, sólo podremosaunar las puntuaciones para conseguir la nota mediacuando hayamos homogeneizado las puntuaciones,cuando las hayamos igualado en un género superior.De acuerdo con lo dicho, hemos de arbitrar un pro-cedimiento que nos permita homogeneizar las puntua-ciones.

Admitida la hipótesis de normalidad en las puntua-ciones de los escolares, se considerará científicamentelograda la homogeneidad cuando la media, varianza,forma y covarianzas son las mismas. Para simplificarel procedimiento nos referirnos solamente a la igualdadde medias y varianzas. Para la forma, véase la RevistaEspañola de Pedagogía, núm. 44, octubre-diciembre,1953, págs. 517-527.

Se concede que dos distribuciones corresponden ala misma población—en nuestro caso se admitiría ladiscriminación equivalente de los jueces—cuando sudefinición coincide. La definición económica se verificaa base de la igualdad práctica de media y desviacióntípica. Podría utilizarse el error probable por la indu-dable ventaja en su distribución: 75, 90 y 98 por 100más comprensible que la de la desviación típica. Porcomodidad presentaremos solamente el procedimientomás utilizado.

Si regresamos al último ejemplo de los cinco pro-fesores supuestos, advertimos una gran facilidad paraigualar las medias de todos mediante la adición o sus-tración de cierta cantidad. Con sumar dos a cada pun-tuación de B y restar dos a cada una de C, obten-dríamos la deseada igualdad de medias, ya que X: —= 5; -5-(b = 3; ge -= 7; 211 = 5; X, = 5, y Kb =

Xb ) : N . Yfi, + 2 = [ (Xb 2)1 : N.

Pero el proceso iniciado de este modo es inconve-niente, ya que es muy probable que al igualar lasdiscrepancias o variabilidades las medias obtenidas su-fran alteración, que debería ser revisada para conseguirla igualdad. Lo aconsejable es igualar primero, concierta aproximación, las variabilidades típicas y despuéslas medias por la vía que hemos citado. En el caso deque concedamos a priori índices de ponderación, seprocederá como luego indicaremos.

En el ejemplo base, las desviaciones típicas encon-tradas en los diversos jueces son las siguientes: E =0,67; F = 0,67; G --= 0,67; H =- 2,05; I = 2,58. Sinulterior demostración admitimos que dado el númerode alumnos las desviaciones típicas son diferenciables.

Para lograr la igualación es suficiente multiplicarpor un número que transforme en valores idénticostodos los obtenidos; así, si elegimos como tamaño de

desviación típica básico el del juez H, nos sería su-ficiente multiplicar todas las puntuaciones de E, F, yG por tres y la de I por 0,80. Aunque pudiera apro-ximarse más el factor no es necesario, dada la variabi-lidad admisible en el análisis de varianzas.

Hechas las multiplicaciones pertinentes, obtenemoslos siguientes conjuntos de puntuaciones: E (12-12-15-15-15-15-15-15-18-18); F (6-6-9-9-9-9-9-9-12-12); G 18-18-21-21-21-21-21-21-24-24); H (2-3-3-4-5-5-6-7-7-8) yI (0,8-1,6-2,4-3,2-4-4-4,8-5,6-6,4-7,2)

Completaremos la labor si las reducimos a la mismamedia, que, para mayor sencillez, haremos sea la ge-neral: 5. Con restar o sumar un constante obtendremoslas siguientes puntuaciones definitivas, con las que yapodremos componer la nota final.

E (2 - 2 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 8 - 8 -)F (2 - 2 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 8 - 8 -)G (2 - 2 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 8 - 8 -)H (2 - 3 - 3 - 4 - 5 - 5 - 6 - 7 - 7 - 8 -)I (1,8, - 2,6 - 3,4 - 4,2 - 5 - 5 - 5,8 - 6,6 -

7,4 - 8,2).

El valor central elegible como representativo de lanota alcanzada por cada sujeto debería ser el quecorrespondiese al obtenible de este último cuadro.

Si analizamos someramente los resultados, adverti-mos la igualdad de los jueces E, F y G, cuando se lesha suprimido su bondad o dureza y se los ha pesadode acuerdo con su aptitud discriminativa. Además, sepuede apreciar un mayor parecido en el conjunto depuntuaciones. El procedimiento está logrado.

El haber expuesto este procedimiento no debe llevaral pensamiento ilusorio de innecesidad del mismo,puesto que en nuestro caso teórico hemos propuestolos alumnos de modo ordenado. Lo que normalmenteocurrirá al juzgar los escolares es que se manifiesteclara variabilidad dentro de los valores asignables acada examinando por los jueces. El procedimiento, enprincipio, está logrado siempre que sean idénticas me-dia, o mediana y desviación típica o error probable y laforma de la distribución; pero sería más perfecto si lasintercorrelaciones posibles entre los valores dados semantienen dentro de los límites de igualdad. Renun-ciamos a exponer este procedimiento, que, más cientí-fico, sería excesivamente laborioso.

Tampoco debe suponerse que sea éste el único pro-cedimiento: escalas sigmas, T y C, junto a ecuacio-nes de regresión son otras tantas vías para lograr unaverdadera nota media. También pueden ser sometidasa crítica como el procedimiento mentado; pero cons-tituyen la base tanto para una sola materia, desdeperspectiva única, como para varias asignaturas o unasola con diferentes escorzos.

En qué nos apoyaremos cuando intentemos obte-ner un verdadero valor medio de asignaturas diferen-tes o de aspectos claramente diferenciables de unasola materia? El proceder lógico es el mismo aunquese complique algo la técnica. En cuanto hablamos dediferentes materias surge la cuestión de la "importan-cia" de dichas materias. Es legítimo, se preguntaránalgunos, que la materia A influya sobre la media lomismo que la materia B? A esta pregunta se respondecon dos soluciones: 1. Todas las materias admitidas aexamen son de la misma importancia. 2. Entre estas

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materias las más iamportantes son... B y D, la unacon mayor importancia que la otra.

En el primer caso, cuando todas las materias sonigualmente importantes, el proceso a seguir es exacta-mente el que hemos presentado respecto de una. Con-siste en igualar desviacioes y medidas de tendenciascentrales. Igualados dichos parámetros se consigue, des-pués de las transformaciones, averiguar la puntuaciónque corresponde a cada alumno en las asignaturas.La media o mediana para cada examinando produ-cirá la nota final.

En el segundo caso, es necesario conceder índices deponderación. Así, las materias A y C valen comodos, B como cuatro, D como cinco y E como tres.Pronto se advierte que un diez o un cero en la ma-teria D tiene más importancia para la nota final queun diez o un cero en las materias A o C.

Aunque se pueden serialar varios procedimientospara resolver la nueva complejidad, bosquejaremosuno que, dado lo ya expuesto, nos parece más sencillo.

Si queremos mantener la misma media general comosímbolo de la puntuación aprobatoria, el índice deponderación influirá directamente sobre la variabili-dad. La relación de ponderación parece actuar comoconstante que multiplica a todos los valores, luegola desviación típica de dichos valores queda multipli-cada. Así, si en el ejemplo de los cinco jueces E, F,G, H e I hubiéramos pensado que los jueces eranmaterias ligadas por los índices de ponderación E yF 2, G y H =3eI = 5, las desviaciones tí-picas parece debían ser: 0,67 — 0,67 —1,00 — 3,07 —

6,45. Estos resultados son el producto de multiplicarcada puntuación por su índice dividido entre dos. Perosi ahora utilizásemos el criterio anterior de iguala-miento de las varianzas nuestra meta sería la contrariade la deseada, ya que habríamos conseguido que, porla multiplicación realizada, creciese la desviación típi-ca, y, como se ha podido observar, operamos con pesosequivalentes a números e inversos de la variabilidad.

El procedimiento que seguiremos será contrario. Di-vidiremos las desviaciones típicas entre la ponderaciónconcedida. En nuestro caso obtendremos los siguientesvalores: 0,67— 0,67— 0,44 — 1,37— 1,03. El proce-dimiento operatorio posterior es como el que ya hemosdescrito. Igualaremos las desviaciones típicas y luegolas medias. Para igualar las desviaciones típicas, dejare-mos constantes las dos primeras asignaturas, multipli-caremos por 1,5 las puntuaciones de G, por 0,5 lasde H y por 0,65 ó 0,7 las de I. Las medias quedaránequiparadas al restar 5,5 a los resultados de G y sumar2,5 a H y 1,75 ó 1,50 a I. La puntuación de F seiguala sumando 2.

De este modo habríamos homogeneizado las puntua-ciones bajo la condición de índice ponderativo y lamedia final representaría lo que se habría proyectadoal ponderar la importancia de las diversas asignaturas.

Lo que nos permite concluir acerca de la inconve-niencia de utilizar la media aritmética simple o brutapara alcanzar una sola nota corno expresión simplistade los saberes del alumno.

Cualquier procedimiento indicado en este artículosatisfaría con más rigor la obtención de la nota única.