copie de mémoire - université constantine 1 · - au profil de la dent qui doit être une...

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOGRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MENTOURI-CONSTANTINE

FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR

DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

N° d’ordre : ………………………. Série : ……………………………..

Mémoire

Présenté pour obtenir le diplôme de Magister en Génie Mécanique

OPTION : CONSTRUCTION

Par :

Mme GHARBI Née DJEBBAR NADIRA

THEME :

AUTOMATISATION DU CALCUL DES DENTS D’ENGRENAGE

DANS UNE TRANSMISSION COMPOSEE

Soutenu le : ………/………/ 2005

Devant le jury :

Président Mr. NECIB Brahim Professeur Université Constantine

Rapporteur Mr. BOUGHOUAS Hamlaoui M.C Université Constantine

Examinateurs Mr. AMARA Idris M.C Université Constantine

Mr. BENISSAAD Smail M.C Université Constantine

REMERCIEMENTS

Ce travail a été réalisé au département de Génie Mécanique de l’Université Mentouri

de Constantine sous la direction scientifique du Professeur NECIB Brahim .

Je tiens à remercier très chaleureusement mon encadreur Monsieur H.Boughouas pour

son aide, sa disponibilité et ses conseils au long de ce travail, et pendant toutes mes années

d’étude.

Je remercie également Monsieur B.Necib de m’avoir fait l’honneur et le plaisir de

présider mon jury.

Ma gratitude va également à Monsieur I. Amara Maître de Conférence à l’Institut de

Génie Mécanique pour son aide durant toutes mes années d’étude et de travail, et aussi d’avoir

accepté d’être un membre de jury de ce mémoire.

Ainsi je remercie vivement Monsieur S. Benisaâd Maître de Conférence et Directeur

de l’Institut de Génie Mécanique de l’Université Mentouri de Constantine de m’avoir fait

l’honneur et le plaisir de participer à mon jury de mémoire.

Toutes mes reconnaissance et mon profond remerciement à mon mari Didine pour son

soutient moral, son aide et sa compréhension.

Je remercie aussi tous mes enseignants qui ont participé à ma formation, et qui m’ont

aidé à préparer ce mémoire notamment : Monsieur Z. Nemouchi, Monsieur M. Kadja,

Monsieur F. Mili, Monsieur A. Harkat, Monsieur M.S.Mesibah et Madame Z. Labed.

Je remercie également mon neveu Adel pour son aide pendant la préparation de ce

mémoire.

DEDICACES

Je dédie ce modeste travail à la mémoire de mon très chèr père Aissa et mon chèr beau père

Nouredine que je regrette leurs absence, et je demande à dieu le tout puissant de les accueillir

dans son paradis.

A ma très chère mère Badiâ pour ses sacrifices et son endurance pour moi.

A ma petite famille : Mon mari Didine et mes enfants : Mouhamed Saâd Edine, Ahmed Ramzi

et Nouredine.

A mes frères, leurs femmes et leurs enfants.

A toutes mes sœurs, leurs maris et leurs enfants.

A ma belle famille : belle mère, belle sœur et mes beaux frères.

A mes amis Nacéra, Ahlem et Habiba.

A mes collègues de travail Sonia, Sihem, Louiza et Rahima.

Sommaire INTRODUCTION................................................................................................................6

CHAPITRE I

THEORIE GENERALE SUR LES ENGRENAGES

I.1 Définition…………………………………………………………………………………..9

I.2 Géométrie et technologie………………………………………………………………….9

I.3 Fonctionnement des engrenages………………………………………………………...10

I.4 Profils conjuguées………………………………………………………………………..11

I.4.1 Définition…………………………………….……………………………………….11

I.4.2 Profil à développante de cercle……………………………………………………...12

I.4.3 Principe de la développante de cercle (cas de denture droite)……........................13

I.4.4 Propriétés de la développante de cercle……………………………........................13

I.5 ligne d’engrènement ou ligne d’action…………………………………………………14

I.6 Interférence………………………………………………………………………………15

I.7 Fonctionnement avec jeu………………………………………………..........................18

I.8 Rapport de réduction……………………………………………………………………19

I.9 Angle de pression………………………………………………………..........................20

I.10 Coefficient de correction de denture …………………………………………………21

I.11 Procédures de calcul des roues dentées à denture droite…………............................22

I.11.1 Module……………………………………………………………………………...22

I.11.2 Cercle primitif………………………………………………………..…………….22

I.11.3 Cercle de base………………………………………………………........................23

I.11.4 Cercle de pied………………………………………………………........................23

I.11.5 Cercle de tête……………………………………………………………………….24

I.11.6 Pas circulaire…………………………………………..…………………………...25

I.11.7 Pas de base……………………………………………………………………...…..26

I.11.8 Définition de la denture……………………………………...…………………….26

I.11.9 Entraxe……………………………………………………………….......................27

I.12 Les procédés de taillage des engrenages………………………………………….…..28

I.12.1 Taillage par reproduction………………………………………..………………..28

I.12.2 Taillage par génération…………………………………..………………………..29

CHAPITRE II

DETERMINATION DES CARACTERISTIQUES TECHNIQUES

D’UNE BOITE DE VITESSE D’UNE MACHINE-OUTIL

II.1 Détermination des caractéristiques techniques fondamentales des boites d’avance et

de vitesse d’une machine-outil…………………………………………………………...….34

II.1.1 Choix des vitesses de coupe et des avances limites………………………………34

II.1.2 Séries des nombres de tours des broches de machine-outil……………………..34

II.1.3 Conclusion…………………………………………………………….....................36

II.1.4 Valeurs normalisées de la raison………………………..………………...............37

II.1.5 Détermination des rapports de transmission des mécanismes de la chaîne

cinématique.…………………………………………………………………………………..38

II.1.5.1 Relation fondamentales cinématique de la commande de broche………….38

Nombre d’étage de vitesses de rotation………………………………......................38

L’étendue de réglage de la commande ……………………………………...……..39

Equation de réglage de la commande………………………………………...........39

II.1.6 Caractéristiques d’un groupe de transmission………………………….………..40

II.2 Méthode analytique pour déterminer les rapports de transmission………………...41

II.2.1 Rapport de transmission normal……………………………………………….....41

II.2.2 Rapports limites de transmission.…………………………………………….......41

II.2.3 Détermination des rapports de transmission……………………………….........42

II.3 Méthode grapho-analytique de détermination des rapports de transmission……...43

II.3.1 Réseau de structure………………………………………………………………...43

II.3.2 Tableau des nombres de tours…………………………………………………….44

CHAPITRE III

CONTRIBUTION A L’AMELIORATION DES METHODES

EXISTANTES

III.1 Situation des transmissions en groupe…..…………………………………………...47

III.2 Exposé de la méthode de calcul…….…………………………………………………48

III.2.1 Cas des engrenages cylindriques à denture droite ayant même module……...49

Application pratique de la méthode………………………………………………51

III.2.2 Cas des engrenages cylindriques à dentures droites avec modules différents...54

Cas où les modules sont des nombres entiers…………………………………….55

Cas où les modules sont des nombres décimaux…………………………………58

III.2.3 Cas des engrenages cylindriques à dentures hélicoïdales…………………..…..60

Cas où les roues dentées ont le même angle d’hélice……………………………60

Cas où les roues dentées n’ont pas le même angle d’hélice…………………….61

CHAPITRE IV

AUTOMATISATION

IV.1 Généralités……………………………………………………………………………..69

IV.2 Automatisation du calcul des caractéristique techniques fondamentales d’une boite

de vitesse d’une machine-outil………………………………………………………………69

IV.2.1 Calcul de la raison géométrique………………………………………………….69

IV.2.2 Calcul de la gamme de vitesses…………………………………………………...70

IV.2.3 Calcul du nombre de transmission………………………………………………70

IV.2.4 Calcul du nombre de groupes…………………………………………………….71

IV.2.5 Calcul du nombre de variantes…………………………………………………..71

IV.2.6 Graphique de la chaîne de structure…………………………………………….72

IV.2.7 Choix de la variante optimale……………………………………………………73

IV.2.8 Abaque de vitesses………………………………………………………………...74

Détermination de la position de la vitesse initiale………………………………74

Détermination des rapports de transmission……………………………………75

IV.3 Résultat du programme………………………………………………………………76

IV.4 Calcul de nombre de dent dans une transmission composée………………………78

PPCM inférieur à la valeur admissible…………………………………………..78

Résultat donné par le programme………………………………………………...80

PPCM supérieur à la valeur admissible………………………………………….81

Résultat donné par le programme………………………………………………..83

Conclusion……………………………………………………………………………...86

Perspectives…………………………………………………………………………….87

Bibliographie……………………………………………………………………… ..…89

Introduction

Introduction

Les engrenages sont largement utilisés dans l’industrie mécanique comme moyen de

transmission de puissance d’un arbre vers un autre. Ils sont obtenus par taillage sur des

machines-outils spéciales soit par reproduction soit par génération. La précision d’exécution

dépend essentiellement de la valeur et de la précision du rapport des trains d’engrenages

introduits dans la chaîne cinématique qui lie la rotation de la fraise et la rotation de la broche

porte-pièce.

Les engrenages sont utilisés comme moyen de transmission de puissance dans les

boites de vitesses et d’avances des machines où ils réalisent les vitesses, les couples et les sens

de rotation des éléments de machines. Ces transmissions peuvent être simples ou composées.

Ces engrenages doivent réaliser des rapports de transmission qui sont égaux au rapport des

nombres de dents des roues qui constituent la chaîne cinématique. Pour en arriver là il faut

calculer les nombres de dents des roues dentées qui doivent réaliser les différents rapports de

transmission. Le problème de détermination du nombre de dents pour une paire de roues

dentées qui doit réaliser un rapport de transmission donné a fait l’objet de plusieurs études [1-

4]. Mais ces méthodes ne considèrent que le cas de la transmission simple. Maintenant, si la

transmission est composée et que l’on veuille garder l’entraxe invariable et éviter la

correction de denture, il faut envisager une autre méthode de calcul. Ce problème a été abordé

par [5] dans le cas des engrenages cylindriques à denture droite et où les roues présentent le

même module. Notre travail consiste à apporter plus de détails à cette méthode et considérer le

cas des engrenages cylindriques à denture droite où le module des roues dentées varie d'une

transmission simple à une autre. Comme nous avons considéré le cas des roues cylindriques à

denture hélicoïdale ayant le même module et des angles d'hélice différents.

9

Introduction

Afin de faciliter les calculs et éviter les erreurs nous avons dû automatiser les méthodes

citées auparavant.

Pour résoudre ce problème nous avons divisé notre travail en quatre chapitres.

Dans le premier chapitre nous avons étudié les problèmes liés à l’engrènement de deux roues

dentées et la théorie exposée a permis de conclure que l’aptitude des roues à engrener

correctement ensemble et réaliser ainsi une transmission angulaire précise et douce du

mouvement est intimement liée :

- au profil de la dent qui doit être une développante de cercle.

- au pas: les dents doivent être réparties régulièrement sur le cercle diviseur.

- à l’épaisseur de la dent.

Toutes ces exigences doivent être réalisées par la technologie de fabrication dont la précision

d’exécution sera tributaire de la fiabilité des transmissions mécaniques à engrenages qui

équipent les différentes chaînes cinématiques.

A cet effet, dans le deuxième chapitre nous avons fait une analyse des transmissions

mécaniques à engrenages et principalement les différentes étapes de calcul cinématique des

boites de vitesses et d'avances des machines-outils.

En se basant sur les travaux antérieurs nous avons exposé les méthodes de

détermination des roues qui composent le train d’engrenages dans les transmissions

composées ainsi que notre contribution apportée à l'amélioration de ces méthodes.

Dans le quatrième chapitre, nous avons exposé la procédure d'automatisation du calcul

des nombres de dents qui réalisent une transmission composée de la chaîne cinématique des

boites de vitesses et d'avances des machines outils. Nous avons commencé par établir le

programme de calcul des caractéristiques techniques d'une boite de vitesses mise à l'étude en

l'occurrence l'étendue de réglage, la raison, la série des nombres de tours, le nombre de

10

Introduction

transmissions, le nombre de groupes, le nombre de variantes et la variante optimale. Cela nous

permet de construire le diagramme des rapports de transmission à partir duquel on établit un

deuxième programme qui nous permet de calculer cette fois-ci les nombres de dents dans la

transmission composée et cela en considérant le cas où les roues dentées des engrenages

cylindriques à denture droite ont le même module.

Le langage utilisé est le fortran qui est très connu dans le milieu universitaire.

Ces programmes ont été validés par un calcul manuel.

Ce travail s'est terminé par une conclusion et des perspectives.

11

Théorie générale sur les engrenages

I Théorie générale sur les engrenages I.1 Définition

Un engrenage est un mécanisme composé de deux roues dentées mobiles autour d'axes

de position fixe et dont l'une entraîne l'autre par l'action de dents successivement en contact et

on dit que les deux roues sont conjuguées. La plus petite roue est appelée pignon, la plus

grande est la roue[1]. Il existe quatre types d'engrenages différents.

denture

droite

denture

hélicoïdale

coniques

roue et vis sans fin

Les engrenages sont utilisés dans toutes les branches de la mécanique pour transmettre des

mouvements, de l'horlogerie jusqu'au réducteur de l'industrie lourde. La transmission se fait

avec un très bon rendement énergétique. La variation de vitesse obtenue entre l'entrée et la

sortie ne dépend que du nombre de dents des pièces en contact.

I.2 Géométrie et technologie

La géométrie et la technologie d’obtention diffèrent d’une roue dentée à une autre. Par

exemple dans le cas des roues à denture droite, les surfaces primitives sont des cylindres droits

13


d'axes parallèles. Aussi, les surfaces des dentures sont des cylindres dont les génératrices sont

parallèles aux axes. Les roues dentées peuvent être à contact externe (figure I.1) ou contact

interne (figure I.2).

Figure I.1:Contact externe figure I.2:Contact interne

Le transfert de la charge d'une dent à l'autre dépend beaucoup de la distribution des erreurs et

des déformations sur l’ensemble de la géométrie des dents [6]. Souvent, un transfert brutal, ne

peut être empêché. Ce dernier étant un générateur de surcharges dynamiques, de vibrations, de

bruit et en conséquence d'usure et de fractures prématurées, principalement sur les roues à

denture droites. Pour pallier à cet inconvénient, l’utilisation de la denture hélicoïdale

"rallonge" l'action de la dent .

Figure 2 :Engrenage hélicoïdale

14


I.3 Fonctionnement des engrenages

Pendant le fonctionnement d’une transmission, le contact d’une dent de la roue

menante avec une dent de la roue menée s’amorce au pied de la dent menante et au sommet de

la dent menée[7]. L’engrènement s’effectue sur toute la largeur des dents à la fois ( engrenage

à dentures droites ) .Pour que la transmission de la rotation à l’arbre mené soit continue,

l’attaque du couple de dents suivant doit se produire avant la fin de prise du couple précédent .

Dans les sections perpendiculaires aux axes des roues hélicoïdales, le contact s’établit de la

même façon que dans le cas des roues à dentures droites, mais du fait que les dents des roues

hélicoïdales sont disposées suivant les hélices, la phase de leur engrènement varie dans les

sections parallèles, contrairement aux engrenages à dentures droites où cette phase est la

même sur toute la largeur des roues. A la différence d’un engrenage droit, dans un engrenage

hélicoïdal le contact des dents s’établit non pas simultanément sur toute leur largeur, mais

progressivement. L’engrènement d’un couple de dents s’amorce à la racine de la dent menante

et sur l’arête de la dent menée.

Figure 3:Couple de dents en contact

15


I.4 Profils conjugués

I.4.1 Définition

Les intersections des surfaces des dentures d’une roue cylindrique, avec un plan

perpendiculaire à l’axe de rotation de la roue, sont appelées profils[8].

On dit que deux profils sont conjugués s’ils restent constamment tangents, pendant le temps

où les surfaces de dentures en contact assurent la transmission.

Le profil, utilisé pour les engrenages, est en général la développante de cercle.

I.4.2 Profil à développante de cercle

La développante d’un cercle (c), dit de base, de centre O, de diamètre D, est la

trajectoire dans le repère R(O, x , y, z )lié à (c) d’un point M appartenant à une droite D et qui

roule sans glisser sur C. Une développante est également l’enveloppe de la normale en M à D

dans le mouvement de D par rapport à C[9].

16


Y T’ (c) T

dh M’

h α M D’ θ M0 X

D

Z

Figure 5: Développante de cercle

T : centre instantané de rotation du mouvement de D par rapport à C.

C : base de ce mouvement (centre de base).

D : roulante de ce mouvement.

θ : définit la position du point M sur le profil en développante de cercle.

H : définit la position du point T sur le cercle de base.

α : repère la position angulaire du point T par rapport au point M.

I.4.3 Principe de la développante de cercle (cas de denture droite)

En faisant rouler sans glisser une droite sur un cercle, chaque point de cette droite

décrit, relativement au cercle, une courbe qui s'appelle une développante de cercle (figure6).

Cette dernière peut aussi être matérialisée par un fil sous tension que l'on déroule d'un cercle :

le bout du fil décrit la développante relativement au cercle duquel il est déroulé.

17


φφφθ invtg =−=

Figure 6 : Schématisation de la développante de cercle

I.4.4 Propriétés de la développante de cercle

• la développante de cercle ne peut avoir de points à l’intérieur du cercle développé.

• Le point Q est un point de rebroussement de la développante.

• Deux développantes d’un même cercle sont des courbes parallèles :

MM’ =QQ’ =M1M1’.

• La normale à la développante est tangente au cercle développé.

M1’ ’ M1 M’ M Q’ Q

Figure 7 : Propriétés de la développante de cercle

18


I.5 Ligne d’engrènement ou ligne d’action

L'approche se définit comme étant la phase où le point de contact C entre une paire de

dents sur la ligne d'action se déplace de T1 à O (figure8), soit du début du contact jusqu'au

point primitif. La retraite se définit comme étant la phase où le point de contact C entre une

paire de dents sur la ligne d'engrènement se déplace de O à T2 (figure8), soit du point primitif

jusqu'à la fin du contact.

Figure8 : Ligne d’engrènement (ou d’action)

Pour assurer une transmission continue du mouvement, il est nécessaire qu'un nouveau couple

de dents soit en approche avant que le couple précédent termine sa retraite. Il faut, qu'il y ait

au moins un couple de dent qui soit toujours en prise (figure9).

Figure 9 : Couple de dents en contact

19


Cette condition s'écrit : TpTg > Pb.

TpTg : Distance entre le point Tp et le point Tg le long de la ligne d'engrènement

Pb : Pas de base : distance entre deux dents consécutives le long de la ligne d'engrènement.

I.6 Interférences

On a vu précédemment que pour avoir un engrènement correct, il faut que le point de

contact des profils reste sur le segment T1T2 .

Le mouvement se fait sans interférence, si le point de contact se fait au delà du cercle de base

(figure10).

Figure 10 : Fonctionnement sans interférence

S’il en est autrement, càd le contact se fait en dessous du cercle de base, on dit qu’il y a

interférence(figure 11).

Figure 11 : Interférence de fonctionnement

20


Cela peut se produire dans deux cas :

• Lorsque le nombre des dents du pignon menant est faible devant celui de la roue

menée ; il y a alors coincement des dents : c’est l’interférence de fonctionnement.

• Lors du taillage, si le nombre de dents de l’engrenage taillé est insuffisant, il y a

interférence de fabrication. Ce phénomène se traduit par une diminution de la section

en pied de dent (figure 12) qui sera alors fragilisée puisque le profil de raccord de la

dent interfère avec une portion du profil utile de la développante de cercle.

Figure 12: interférence de fabrication

Cette condition s’écrit : c

2*

φsin2N =

Où N* est le nombre de dents minimum pour éviter ce type d’interférence .

ϕ est l’angle de pression.

Si le nombre de dents est imposé et inférieur à N*, on peut résoudre le problème d’interférence

de fabrication en effectuant un déport de denture x .Ceci revient à déplacer radialement la

crémaillère lors du taillage.

Le facteur de déport minimum *NN1x −= doit être positif pour éviter l’interférence (figure

13.a) ; s’il est négatif il y a interférence (figure 13.b)

On est à la limite d’interférence si : N = N* figure(figure 13.c).

21


Figure 13.a

Figure 13.b Figure 13.C

I.7 Fonctionnement avec jeu

Le jeu B est nécessaire pour le bon fonctionnement des engrenages. Il permet :

• Une bonne lubrification.

• Evite le blocage en cas de dilatation due à une variation de température.

Figure14.a:Fonctionnement avec jeu

22


Figure14.b : Fonctionnement sans jeu

Le jeu peut être contrôlé par une modification d’entraxe, un déport de fabrication ou une

modification de l’épaisseur des dents de l’outil à taillage.

I.8 Le rapport de réduction

On peut assimiler l’engrènement d’un pignon et d’une roue au roulement sans

glissement de deux cercles primitifs l’un sur l’autre.

Le rapport de transmission de l’engrènement est alors :dD

NN

ηη

ip

r

r

p ===

roue la derotation de Vitesse :ηpignondu rotation de Vitesse :η

r

p

Nr : nombre de dents de la roue

Np : nombre de dents du pignon

D : diamètre de la roue

d: diamètre du pignon

23


d

D

I.9 Angle de pression

Pour une position de contact quelconque entre le pignon et la roue le long de la ligne

d'engrènement, les angles de pressions respectifs Ør de la roue et Øp du pignon sont différents.

Cependant, lorsque ce point de contact se fait en O (point primitif), les angles de pression

deviennent égaux à Øc qui est aussi l'angle de pression de l'outil de taillage (figure 16).

Figure16 :Angle de pression

24


I.10 Coefficient de correction de denture

Lorsque le nombre de dents devient infini, le cercle primitif devient une droite, une

crémaillère est obtenue. Øc est l'angle de pression de la crémaillère est constant le long du

profil de la dent (figure17).

Figure 17 :Coefficient de correction de denture

Par exemple un outil - crémaillère est utilisée pour tailler un pignon ou une roue. En faisant

rouler sans glisser la droite primitive de la crémaillère sur le cercle primitif du pignon, et en y

associant un mouvement de coupe transversale, un profil en développante de cercle est obtenu.

L'engrènement d'un pignon et d'une roue peut être assimilé au roulement sans glissement de

deux cercles primitifs l'un sur l'autre. Le rapport de réduction de l'engrenage est alors :

dD

NN

nn

mp

G

G

pg ===

Pour un engrènement correct, la normale commune aux profils, dans toutes les positions de

contact, passe toujours par le point primitif O appelé pôle d'engrènement. Les profils qui

satisfont à cette condition sont des profils conjugués et le mouvement ainsi obtenu est continu

et le rapport de vitesse rigoureusement constant. Le point de contact se déplace suivant la ligne

d'action (ou ligne d'engrènement). L'angle de pression Øc (figure I.10) donne l'inclinaison de

la ligne d'engrènement relativement à la droite perpendiculaire à la ligne des centres.

25


Figure 18 :Angle de pression

I.11 Procédures de calcul des roues dentées à denture droite

Cette partie présente certaines formules de calcul selon les normes ISO. Dans la

désignation des diamètres, la lettre minuscule d est utilisée pour le pignon et la lettre

majuscule D est utilisée pour la roue.

Le pignon désigne généralement l'élément ayant le plus petit nombre de dents. La roue désigne

quand à elle l'élément ayant le plus grand nombre de dents.

I.11.1 Module

Le module, désigné généralement par m, est une caractéristique importante des

engrenages qui représente la dimension des dents. Il est égal au nombre de <mm> de diamètre

primitif par dent. Pour qu'il y ait engrènement correct entre un pignon et une roue, il est

nécessaire que leurs modules soient les mêmes.

I.11.2 Cercle primitif

26


Le cercle primitif (figure 19) représente la zone de contact où il y a roulement sans

glissement entre le pignon et la roue. On peut donc assimiler l'engrenage à deux cercles

primitifs qui roulent sans glisser l'un sur l'autre.

On détermine le diamètre primitif par la relation :

dentsdeNombreZavecZmD =×=

Figure 19 :Cercle primitif

I.11.3 Cercle de base

Le cercle de base sert à la construction de la développante de cercle (figure20). Le

cercle de base est le cercle à partir duquel le profil en développante commence. La normale au

profil est tangente au cercle de base et, par conséquent, la ligne d’action est aussi tangente aux

cercles de bases du pignon et de la roue.

Figure20 :Cercle de base

Le cercle de base est déterminé par la relation :

cb DD φcos×=

27


I.11.4 Cercle de pied

Le cercle de pied se trouve à fond de dent (figure21.).

Figure21 :Cercle de pied

On détermine le diamètre de pied par :

mhavec

hDDhdd

f

ff

ff

×=

×±=

×−=

25,1

2

2

Remarque :

Pour le calcul du diamètre de pied de la roue Df, il est utilisé :

- le signe + pour une roue à denture interne.

- le signe - pour une roue à denture externe.

I.11.5 Cercle de tête

Le cercle de tête se trouve au sommet des dents (figure22). C'est celui qui peut être

mesuré directement à l'aide d'un pied à coulisse.

Figure22 : Cercle de tête

28


Le diamètre de tête est déterminé par :

mhavec

hDDhdd

a

aa

aa

=

×±=×+=2

2

Remarque :

Pour le calcul du diamètre de pied de la roue Da, il est utilisé :

- le signe - pour une roue à denture interne.

- le signe + pour une roue à denture externe.

I.11.6 Pas circulaire

Le pas circulaire p correspond à la longueur de l'arc de cercle entre points homologues

de deux dents consécutives le long du cercle primitif (figure23). Il correspond donc à la

somme de l'intervalle i et de l'épaisseur t tous deux mesurés sur le cercle primitif.

Figure23 :Pas circulaire

Il est déterminé par :

mp ×= π avec pit ×== 5,0 (au cercle primitif)

29


I.11.7 Pas de base

Le pas de base Pb correspond à la distance entre deux dents consécutives le long de la

ligne d'action (figure24).

Figure24 :Pas de base

Le pas de base est calculé par la relation :

cb pp φcos×=

I.11.8 Définition de la denture

Figure25 :caractéristiques des dents

Les caractéristiques qui définissent la dent (figure25) sont déterminées comme suit :

Saillie : ha = m

Creux : hf = 1,25 × m

Jeu à fond de dent : c = 0,25 × m 30


I.11.9 Entraxe

L'entraxe C (figure26) représente la distance entre les centres du pignon et de la roue.

En fonctionnement normal, sa valeur est égale à la demi somme des rayons primitifs du

pignon et de la roue.

L'entraxe peut varier en fonction de la température du boîtier et des engrenages et

particulièrement lorsque les matériaux des engrenages et du boîtier sont différents.

Figure26 :Entraxe

Pour avoir un bon fonctionnement de l’engrenage, il faut assurer un jeu entre une paire de

dents. Il permet une lubrification efficace et d'avoir une marge de manœuvre en cas de

dilatation due à une variation de température.

Une diminution d'entraxe entraîne une diminution du jeu. La variation d’entraxe peut donc

servir à contrôler le jeu.

L’entraxe est calculé par :22

PR ZZmdDC +×=

+=

Remarque :

Pour le calcul de l'entraxe C, on utilise :

- le signe + pour un engrenage à denture externe.

- le signe - pour un engrenage à denture interne.

31


I.12 Les procédés de taillage des engrenages

Généralement on obtient les engrenages à développante de cercle par taillage, sur

machines outils spéciales, par reproduction ou par génération.

I.12.1 Taillage par reproduction

Ce procédé est basé sur l’emploi d’une fraise disque confectionnée d’après les profils

des dents. Son profil tranchant épouse la forme de l’entre dent. La fraise tourne et se déplace

en translation suivant la génératrice latérale de la dent. A chaque passe de la fraise le long de

l’axe de la roue on obtient un entre dent. Ayant parcouru toute la largeur de l’entre dent, la

fraise revient à sa position initiale ; après quoi la roue à tailler tourne d’un angle Ζ2πγ = où Z

est le nombre de dents de la roue à tailler et l’opération reprend pour tailler la dent suivante.

Roue à tailler

Figure 27 : Taillage par reproduction

32


I.12.2 Taillage par génération

Le procédé de taillage par génération consiste à imprimer à l’outil de coupe et à la roue

à tailler le mouvement relatif qu’auraient deux pignons correctement associés.

Dans ce cas l’outil de coupe doit représenter une crémaillère ou encore une roue dentée.

La crémaillère figure(28) effectue un mouvement de va-et-vient parallèlement à l’axe de la

roue à tailler ; alors que celle-ci est animée d’un mouvement double : elle tourne autour de son

axe et se déplace en même temps , le long de la crémaillère.

Figure 28 : taillage par outil-crémaillère

Le mouvement de la roue à tailler est donc celui de la roue dentée par rapport à la crémaillère :

c’est le principe de taillage par génération.

L’outil crémaillère peut être remplacé par un outil en forme de roue dentée, l’outil pignon.

Lors de taillage celui-ci est animé d’un mouvement de translation parallèle à l’axe de la roue à

tailler.

On imprime en même temps, à l’outil et à la roue un mouvement de rotation avec le même

rapport de vitesses angulaires qui aurait lien si l’outil et la roue se trouvaient en prise .

33


L’opération de taillage n’est pas continue, dans ce mode de taillage, et se décompose en une

série d’opérations successives composées de mouvement ascendant et descendant de l’outil

pignon et de la rotation de la roue à tailler .figure (29).

Figure 29 :taillage par outil-pignon

Le profil de la dent est obtenu comme l’enveloppe de toutes les positions de l’arête tranchante

de l’outil pignon .Figure (30).

Figure 30 :profil de la dent

34


Par ce procédé on peut obtenir les pignons à dentures intérieures puisque la crémaillère ne

peut pas engrener avec une roue intérieure.

Au lieu de l’outil crémaillère on emploie également une fraise hélicoïdale, dite fraise mère,

dont les profils dérivent de celui de la crémaillère.

En fin un procédé de taillage particulièrement répandu actuellement est le taillage par roulage

(ou laminage), l’outil en est la molette. Ce procédé est réalisable à froid ou à chaud, selon les

propriétés plastiques de la roue à tailler. Par ce procédé on obtient actuellement les pignons et

engrenages de petit module. Son avantage est que la même molette permet d’obtenir des roues

de même module mais ayant le nombre de dents voulu. Il suffit pour cela d’assurer le

mouvement relatif de la molette et de la roue dans le rapport voulu .Figure(31)

Figure 31 :taillage à la mollete

35


r

m

m

r

ZZ

ωωi ==

ωr : vitesse de rotation de la roue .

ωm : vitesse de rotation de la molette .

Zr : nombre de dents de la roue.

Zm : nombre de dents de la molette .

36

Détermination des caractéristiques techniques d’une boite de vitesse d’une machine-outil

II Détermination des caractéristiques techniques d’une boite de vitesse

d'une machine-outil

II.1 Choix des vitesses de coupe et des avances limites

Les vitesses limites et avances doivent correspondre aux conditions imposées par le

travail des outils les plus divers.

Le but de l’analyse des méthodes d’usinage ne consiste pas seulement à déterminer des limites

de variations du nombre de tours de la broche et les valeurs des avances, mais aussi à mettre

en évidence les opérations et les régimes d’usinage qui demandent la plus grande puissance,

les plus grands moments de torsion sur la broche et les plus grands efforts de traction pour les

avances [11].

II.2 Séries des nombres de tours des broches de machine-outil

Pour les machines-outils dont le mouvement principal est une rotation, les nombres de

tours limites des broches ηmax et ηmin peuvent être déterminés si l’on connaît les diamètres

limites des pièces à usiner dmax et dmin auxquelles correspondent les vitesses limites υmax et υmin

.

min

maxmax dπ

υ1000η

⋅⋅

= ……. (1) max

minmin dπ

υ1000η⋅⋅

= ……. (2)

Le rapport min

max

ηη

=nR s’appelle étendue de réglage des nombres de tours de la broche.

Ou encore min

max

ηη

=nR = dRRdd

⋅=⋅⋅

υυυ

minmin

maxmax ……. (3)

38


Comme on le voit, l'étendue de réglage des nombres de tours de la broche Rn d'une machine-

outil à l'étude dépend exclusivement du rapport entre les diamètres limites et entre les vitesses

limites de coupe prévues pour l'usinage de la pièce.

Donc afin de pouvoir, dans les limites indiquées, usiner une pièce de diamètre d avec la vitesse

la plus avantageuseυ , il faut pouvoir régler le nombre de tours de la broche de telle sorte que

d⋅⋅

=π

υη 1000

υ = [m/min]

D= [mm]

η = [tr/min]

Il faut ainsi avoir un réglage progressif et continu de η qui peut être obtenu au moyen de

certains systèmes de commande, soit mécanique, hydraulique, électrique….,mais qui ne sont

pas économiquement avantageux.

C’est pourquoi dans les machines-outils modernes on trouve des commandes de la broche

avec des nombres de tours étagés.

Si les nombres de tours de la broche forment une série dans les limites de η1= ηmin et ηz = ηmax

la vitesse de coupe la plus avantageuse satisfait aux inégalités :

1000

ηdπ j⋅⋅< υ <

1000ηdπ 1j+⋅⋅

…… (4)

Où ηj et ηj+1 sont les nombres voisins de la série η1,η2,η3….ηj,ηj+1….ηz Et cela à condition

que l'on prenne pour le travail la valeur qui est la plus rapprochée de υ on aura ainsi la

différence maximale ( )maxj∆υ entre υ et la vitesse de coupe obtenue effectivement υ j ou υ j+1

quand se situe au milieu de ces valeurs c'est-à-dire quand:

39


2.1000)( πd 1jj ++

=ηη

υ …… (5)

Et ( ) ⋅−

⋅⋅

= +

2ηη

1000dπ∆υ j1j

maxj

Il en résulte alors:

( ) υηηηη

1000dπ∆υ

j1j

j1jmaxj ⋅

+

−⋅

⋅=

+

+ ……. (6)

On pose ( ) υ11

∆υ ηη

j

jmaxj

j

1jj ⋅

+

−=⇒= +

ϕϕ

ϕ

On voit que :

( ) ∆υmaxj lorsque ϕj

La plus grande perte de vitesse de coupe aura lieu pour les intervalles de la série η pour

lesquels ϕ j aura la plus grande valeur.

II.3 Conclusion

Afin que ( )max∆υ soit égale pour n’importe qu’elle valeur de υ , pour tout les intervalles

de la série η il faut admettre ϕj = Cte = ϕ .Cela signifie que la série des nombres de tours de la

broche doit représenter une série géométrique.

On désigne habituellement la raison de la progression par ϕ.

Donc on peut écrire que :

η1 = ηmin

η2 = η1.ϕ

η3 = η2. ϕ = η1.ϕ2

ηz = η1ϕz-1 = ηmax 40


ηz = ηmin.ϕz-1 ⇒ (z-1)logϕ = logmin

max

ηη

Donc le nombre d’étages de vitesses :

Z = 1+(logmin

max

ηη

/ logϕ ) ……. (7)

ϕ = min

max

1

ηη

−z

= n

zR

1− ……… (8)

II.4 Valeurs normalisées de la raison

Les valeurs normalisées de la raison ϕ des séries normales de nombre de tours de

broche de machine-outil sont établies sur la base des considérations suivantes :

Les moteurs électriques employés sont généralement à deux vitesses, à courant triphasé, dont

le rapport du nombre de tours est égal à 2 : 3000/1500, 1500/750…( η =3000/p avec p le

nombre de paires de pôles ). C’est pourquoi, si le nombre ηx existe dans la série de nombre de

tours, un nombre ηy = 2ηx doit exister également et doit pouvoir s’exprimer sous la forme :

ηy = ηx. 1Eϕ

Avec E = nombre entier.

ηx. 1Eϕ = 2 ηx ⇒ ϕ = 21E

Or les séries des nombres recommandés sont en forme de progression géométrique dont les

raisons doivent satisfaire les conditions ϕ = 102E donc ϕ = 21E

= 102E ……. (9)

E1= 3E’ et E2 = 10E’ avec E’ quelconque.

Les normes ont retenu quatre valeurs de E2

E2 = 40, 20, 10, 5 ⇒ E’ = E2/10 = 4, 2, 1, 0.5 et E1 = 3E' = 12, 6, 3, 1.5

Alors on obtient les grandeurs de ϕ :

41


ϕ40 = 1040

= 212

ϕ20 = == 210620

1.12

ϕ10 = == 210310

1.26

ϕ5 = 2105.15

= =1.6

Les nombres de tours de broches ne peuvent s’écarter des valeurs indiquées sur les tables de

plus de 10(ϕ -1) %.

Le nombre d’étages Z doit être un produit des facteurs 2 et 3.

Les nombres d’étages les plus souvent utilisés sont : Z = 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24.

II.5 Détermination des rapports de transmissions des mécanismes de la chaîne

cinématique

II .5.1 Relations fondamentales cinématiques de la commande de broche

La chaîne cinématique des transmissions d’une commande de broche doit assurer :

L’étagement des nombres de tours ηde la broche selon la progression géométrique de raison

ϕ .

Le nombre d’étage Z de vitesses.

Les nombres de tours limites ηmin et ηmax.

Nombre d’étages de vitesses de rotation

On utilise des groupes multiplicateurs de transmission mis en prise consécutivement.

42


Pa

Pb

Pc

Le nombre des étages de vitesses de la broche Z est déterminé par la formule :

Z = Pa .Pb .Pc… ……. (10)

Pour notre figure Z = Pa . Pb . Pc = 3 . 3 . 2 =18

L’étendue de réglage de la commande

Rn = ......R.RRii

ηη

cbamin

max

min

max == ……. (11)

Ra = ......(14) R ....(13) R ......(12) ii

min)(

max)(c

min)(

max)(b

(Pa)min

(Pa)max

Pc

Pc

Pb

P

ii

ii

b ==

Equation de réglage de la commande

Les conditions cinématiques de réglage des commandes à série géométrique de nombre

de tours sont déterminées par les propriétés cinématiques des groupes multiplicateurs de

transmissions[12]. 43


Admettons que, dans une chaîne de transmissions séparées et constantes, soit branchée

une boite de vitesses dont l’étendue de réglage est Rk , avec les nombres de tours limites η1 et

ηk .(figure a)

Rn

1 2 3 p-1 p

(a) (b)

Pour élargir la série de nombre de tours de la broche, ajoutons à l’une des transmissions

simples une rangée de transmissions (2, 3,…p,..) qui forme un groupe multiplicateur de

transmissions à rapports i1, i2,…ip .(figure b).

A la mise en prise de la transmission i1, la boite à vitesses peut modifier les nombres de tours

η de la broche d’après la série géométrique η1, η2, η3… ηk.

Avec le groupe multiplicateur 2 on aura :

ηk+1, ηk+2,… η2k.

Par conséquent

ϕϕ

⋅=⋅

==== +

−

−k

1

k

1

1k

1k

12k

k

2k

1

2 Rη

ηηη....

ηη

ηη

ii …… (15)

Et à chaque mise en prise ultérieure du groupe multiplicateur, on augmente de ϕ.Rk le rapport

de transmission donc i1 :i2 :….ip = 1 : ϕ.Rk :( ϕ.Rk )2… ( ϕ.Rk )P-1 ……. (16)

Ainsi les rapports de transmissions des groupes multiplicateurs forment une progression

géométrique de raison ϕm = ϕ .Rk ……. (17)

44

Rk


II.6 Caractéristique d’un groupe de transmission

La raison d’une série de rapport de transmission d’un groupe peut s’exprimer : ϕp =R k.

ϕ = ϕ 1−kz .ϕ = kZϕ = ϕ x

Où Zk est le nombre d’étage de vitesses de l’ensemble des transmissions avec étendue de

réglage Rk précédant cinématiquement le groupe donné

i1 : i2 :i3…ip = 1 : ϕ x : ϕ 2x… ϕ (P-1) x …… (18)

Le premier groupe s’appelle le groupe fondamental précédé par l’ensemble de transmission à

un étage de vitesse : Zk =1 x1 = Zk =1.

Le deuxième groupe de transmission appelé groupe de changement d’engrenages Zk =P1

x2 =P1 . Avec P1 le nombre de transmissions dans le groupe fondamental.

Le troisième groupe de transmission Zk =P1P2 et x3 = P1P2 avec P2 est le nombre de

transmission séparées dans le deuxième groupe.

La caractéristique est égale au nombre d’étage de vitesses obtenues par les groupes qui

précèdent cinématiquement le groupe regardé.

II.2 Méthode analytique pour déterminer les rapports de transmission

Pour le calcul cinématique d’une commande de broche, les données initiales sont :

• La série géométrique de raison ϕ .

• Le nombre d’étages de vitesses Z (ηmin = η1 , ηmax = ηz ).

• Le nombre de tours du moteur.

On établit alors :

• La structure des transmissions en groupe de la commande.

• Le nombre de transmissions simples nécessaire

• On construit ensuite le schéma cinématique de la commande d’après

lequel on fait le calcul.

45


II.2.1 Rapport de transmission normal

Durant le calcul on essaye de donner à tous les arbres de la commande des nombres de

tours normalisés.

Toutes les séries normales de nombres de tours font partie de la série la plus fine de raison ϕ =

1.06 donc le nombre normal affectant n’importe quelle transmission se présente sous la

forme :

in =1.06± E ……. (19)

II.2.2 Rapports limites de transmission

Pour réduire l’encombrement des boites de vitesses on limite les rapports de transmission

2 i 41

≤≤ …… (20)

Ainsi l’étendue de réglage limite entre deux arbres sera :

8

412

ii

Rmin

maxlim ===

II.2.3 Détermination des rapports de transmission

D’après la formule de structure des transmissions en groupe de la commande, on

détermine les caractéristiques des groupes :

Formule de structure Z =pa . pb . pc…pr .

• D’après l’équation i1 :i2 :i3…ip =1 :ϕx : ϕ2x … ϕ (P-1) x on détermine pour chaque

groupe la valeur relative des rapports de transmission des groupes nécessaires pour

l’échelonnement des nombres de tours de la broche suivant la série géométrique

donnée. 46


• On détermine imin en l’exprimant sous la forme : imin = 9e

1 1ηη

ϕ=

ϕ : Exposant qu’on détermine à partir des séries normales de nombre de tours

• En posant en considération les valeurs imin lim et imax lim ainsi que les particularités des

transmissions simples et en groupes, on désigne approximativement les rapports des

transmissions simples et les rapports minimales des transmissions en groupes afin

d’obtenir, dans le produit imin de la commande totale. Dans ce but on exprime tous les

rapports sous la forme i = ϕ ± u de sorte que d’après la formule donnant imin

imin = i(Pa)min. i(Pb)min …i(Pr)min

La somme algébrique des exposants u est égale à 9

• Après avoir obtenu de cette façon les valeurs de i1 = imin pour toutes les transmissions

en groupe, on détermine les valeurs i pour les autres transmissions de chaque groupe à

l’aide de l’équation :

i1 : i2 : i3 =1 : ϕx : ϕ2x :…

II.3 Méthode grapho-analytique de détermination des rapports de transmissions

D’après ce qui précède, les rapports de transmissions leur gradation et la gradation des

nombres de tours de tous les arbres d’une commande peuvent être exprimés sous forme des

puissances de la raison ϕ.

C’est pourquoi, il est commode d’exprimer graphiquement les liaisons cinématiques d’une

commande avec échelles logarithmiques à intervalle constant entre les points voisins de

l’échelle égal à logϕ.

II.3.1 Réseau de structure

Le réseau de structure est un graphe qui met en évidence l’équation de réglage de la

commande.

47


Pour réaliser ce graphe on trace une série de lignes horizontales à intervalles réguliers égaux à

logϕ en nombres d’étages Z, et une série de lignes verticales à distance arbitraire.

D’après la formule de structure :

Formule de structure Z =pa.pb.pc…pr.=P

Calculons la caractéristique de chaque groupe

Marquons le point O symétriquement par rapport aux lignes horizontales.

En face de ce point et sur la ligne verticale marquons symétriquement autant de point qu’il y a

de transmission dans ce groupe (3), à des distances égales à la caractéristique de ce groupe

exprimée en échelle logϕ.

On réunit les points obtenus par des lignes avec O.

Dans le champ de deuxième groupe de chaque point de la ligne verticale, traçons

symétriquement autant de rayon qu’il y a de transmissions dans le groupe à des distances

égales à x2 = 3logϕ.

De même, dessinons de chaque point marqué sur la ligne verticale gauche de l’espace du

dernier groupe, symétriquement deux rayons à des distances égales à x3 = 9 logϕ.

Le réseau de structure comporte les données suivantes :

• Nombre de groupes de transmissions

• Nombre de transmission dans chaque groupe

• Ordre relatif de position constructive des groupes le long de la chaîne de transmission.

• Ordre de mise en prise cinématique des groupes.

• Etendue de réglage en groupe et de la commande entière.

• Nombre d’étage de vitesses.

48


Log R3 O Log Rn Log R2 Log R1

II.3.2 Tableau des nombres de tours

On détermine les valeurs réelles des grandeurs des rapports de transmission et des

nombres de tours de tous les arbres à l’aide de la construction d’un autre diagramme appelé

tableau de nombres de tours.

Il est construit conformément au schéma cinématique de la commande.

Une ligne verticale de ce diagramme correspond à chaque arbre.

Sur les lignes horizontales, à des intervalles égaux à logϕ sont indiqués les nombres de tours

dans les limites correspondant à chaque arbre.

49


Le rapport de transmission s’exprime sous la forme ϕm où m est le nombre d’intervalles

traversés par le rayon.

Pour une transmission croissante (accélératrice) le rayon est dirigé vers le haut et m>0.

Pour une transmission constante i = 1 ⇒ m = 0.

Pour une transmission décroissante le rayon est dirigé vers le bas et m<0.

50

Contribution à l’amélioration des méthodes existantes

III Contribution à l’amélioration des méthodes existantes

III.1 Situation des transmissions en groupe

Les engrenages sont largement utilisés comme moyen de transmission de puissance

d'un arbre vers un autre. Un certain nombre de facteurs entrent dans la sélection de la

commande par engrenages parmi lesquels nous pouvons retenir les variations de vitesses et les

rapports de transmission.

Les boites de vitesses et d'avances représentent un important sous système mécanique

dans lequel les transmissions entre les différents arbres peuvent être simples ou composées

[18]. Le rapport de vitesse est inversement proportionnel au nombre de dents des roues qui lui

ont donné naissance. Et parmi les facteurs qui influent sur la précision de la transmission, le

plus important est le rapport des vitesses et les méthodes de détermination du nombre des

dents des roues qui composent cette transmission. Le problème de détermination des nombres

de dents pour une paire de roues devant réaliser un rapport de transmission donné a fait l'objet

de plusieurs études [14, 15, 16] Mais ces méthodes ne considèrent que le cas de la

transmission simple (cas des réducteurs ou des multiplicateurs de vitesses).

Quelques unes de ces études concernent seulement l’obtention d’un rapport spécifique

de vitesse qui peut être rationnel ou irrationnel comme elles reposent sur des procédures par

tâtonnement.

Malheureusement de telles méthodes sont d’une utilité restreinte puisqu’elles

conduisent à des solutions uniques pour le train d’engrenage sans tenir compte du minimum et

du maximum du nombre de dents.

52


A cet effet le problème a été repris par A.Arabyan et GR.Shilett (1987). Ils proposent

une méthode qui consiste à trouver une fraction rationnelle qui approche à une tolérance près

le rapport de transmission souhaité.

Le numérateur et le dénominateur de la fraction ainsi trouvée sont factorisés et les

facteurs obtenus sont automatiquement à l’aide d’un programme informatique combinés en

différentes variantes de paires de roues qui peuvent conduire vers le train d’engrenages

adéquat.

L’avantage de cette méthode c’est qu’elle tient compte du minimum et du maximum

des nombres de dents.

L’inconvénient c’est que cette méthode a été élaborée uniquement pour les engrenages

cylindriques à denture droite. Le nombre de combinaisons est limité. Maintenant si la

transmission est en groupe (cas des boites de vitesses et d"avances),

il faut envisager une autre méthode de calcul. Ce problème a été abordé par [4] qui n'a

pratiquement considéré que les transmissions par roues cylindriques à denture droite et où les

roues de toute la chaîne cinématique ont le même module notre travail va consister à élargir

cette méthode vers les transmissions par roues cylindriques à denture droite et hélicoïdales et

ou l'on considère le module variable d’une transmission simple à une autre.

III.2 Exposé de la méthode de calcul

Soit la transmission en groupe suivante d’une partie de boite de vitesses, entre deux

arbres parallèles I et II :

La distance A (entraxe) entre les deux arbres I et II est constante et son expression est :

2dd

A pp ′+=

Avec dp = m . z et dp’ = m . z’

2)zm(zA′+

=

52


Pour une transmission en groupe qui contient j pairs de roues conjuguées l’expression de A

est :

2)z(zm

2)z(zm

2)z(zm

A jjj222211′+

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=′+

=′+

=

Avec zj : Nombre de dents de la roue menante.

z'j : Nombre de dents de la roue menée.

Nous allons considérer plusieurs cas:

III.2.1 Cas des engrenages cylindriques à denture droite ayant même module

Considérons que toutes les roues zj et z’j ont même module m donc : m1 = m2 = …. = m et

l’expression de A devient :

2)zm(z

2)zm(z

2)zm(zA jj2221

′+=⋅⋅⋅⋅=

′+=

′+= ……. (21)

A = z1 +z’1 = z2 +z’2 = ..... = zj + z’j = Cte

Donc dans une transmission en groupe et où l’entraxe A est constant, la somme des dents de

deux roues conjuguées est aussi constante :

zj + z’j = Sj = Cte …. (22)

Le rapport de transmission ij pour une paire de roues conjuguées s'écrit :

j

jj z

zi

′= …. (23)

53


j

jj i

zz =′ et zj = ij .z’j

Introduisons l'expression de z’j dans l’équation (22) on trouve zj en fonction du rapport de

transmission ij et la somme Sj .

jj

jj S

1ii

z ⋅+

= ….. (24)

Si l'on introduit l'expression de zj dans l’équation (22) on aura :

jj

j S1i

1z ⋅+

=′ …. (25)

Connaissant maintenant le rapport de transmission ij et la somme d’une paire de roues

conjuguées Sj, on peut calculer les nombres de dents zj et z’j à partir des deux relations (24) et

(25).

Les rapports de transmission ij sont calculés à partir du diagramme de structure.

En utilisant les méthodes de mise des ij sous la forme d’une fraction irréductible (26) :

.......k1k

1k

1k

1N

43

2

1

++

++

= =ba ….. (26)

Nous pouvons écrire :

j

j

j

jj b

azz

i =′

= …. (27)

j

j

ba

: est une fraction irréductible, donc aj et bj sont premiers entre eux.

On remplace par la valeur de ij dans les deux relations (4) et (5) on obtient zj et z’j en fonction

de aj et bj.

54


.....(29) Sba

bz

.....(28) Sba

az

jjj

jj

jjj

jj

⋅+

=′

⋅+

=

zj et z’j sont deux nombres entiers, pour cela Sj doit être un multiple de (aj + bj) .

Pour une transmission qui contient N paires de roues conjuguées qui donnent j

jj b

ai =

(Avec : j = 1, 2, …, N), la plus petite somme des dents Smin est égale au plus petit multiple

commun (PPCM) de ( a1 + b1, a2 + b2,…aj + bj ) .

Parfois le calcul nous donne des valeurs de zj et z’j trop petites par rapport au minimum de

dents que doit avoir une roue pour éviter les interférences de fonctionnement et de taillage, par

exemple pour une transmission à roues cylindriques à dentures droites zmin =17, et pour une

transmission à dentures hélicoïdales zmin = 13.

Alors il faut multiplier Smin par un entier k pour obtenir des valeurs acceptables de zj et z’j.

(32) ....... k SS

(31) .......k Sba

bz

(30) ......k Sba

az

minz

minjj

jj

minjj

jj

⋅=

⋅⋅+

=′

⋅⋅+

=

Application pratique de la méthode :

Soit la transmission composée qui représente une partie d’une boite de vitesse d’une fraiseuse

Figure III-1

55


Figure (III.1)

Pour calculer les rapports de transmission ; on a l’expression suivante : i = ϕm.

ϕ : est une valeur normalisée égale à 1.26 appelée raison de la progression géométrique.

m: est un exposant qui est égal au nombres d’intervalles traversés par le rayon réunissant les

points marquants les nombres de tours sur les lignes d’arbres qui composent le diagramme de

structure.

i1 = 1

( )0.6298

1.2611i

0.79361.26

11i

223

2

===

===

ϕ

ϕ

Il faut écrire i1, i2, i3 sous la forme de fraction irréductible. Pour cela utilisons la méthode des

fractions continues (26)

56

ϕ ϕ

i3

i2 i1

I II


2912

......212

11

11

11

16298.0

2923

.....511

13

11

17936.0

≈

++

++

+=

≈

++

++

=

i1 = 11

ba

1

1 =

S1 = a1 + b1 = 1 + 1 = 2

311912baS1912

ba

i

x132522923baS

2923

ba

i

333

3

33

2222

2

22

=+=+=

==

==+=+=

==

PPCM (a1 + b1, a2 + b2, a3 +b3) = PPCM (2, 52, 31) = 22 × 13 × 31 = 1612 > 120

Le PPCM est plus grand que la valeur admissible de la somme des deux plus petites roues

conjuguées cela implique une correction sur le rapport de transmission qui fait défaut et

apparemment c'est i3.

57


D’après le développement de i3 en fractions continues on peut prendre 85i3 = qui sera

vérifiée comme suit :

7600077062980

629806250∆i3 ⋅=⋅=⋅

⋅−⋅= % < 0.5 %

La condition est vérifiée donc i3 = 85

1385baSba

i 3333

33 =+=+=⇒=

PPCM (2, 52, 13) = 22 × 13 = 52 < 120

Le PPCM est plus petit que 120 (la somme maximale des nombres de dents de deux roues

conjuguées), ce qui vérifie la condition.

Donc: Sz = 52

dents 325285

8Sba

bz

dents 205285

5Sba

az

dents 29522923

29Sba

bz

dents 23522923

23Sba

az

dents 265211

1Sba

bz

dents 265211

1Sba

az

z33

33

z33

33

z22

22

z22

22

z11

11

z11

11

=⋅+

=⋅+

=′

=⋅+

=⋅+

=

=⋅+

=⋅+

=′

=⋅+

=⋅+

=

=⋅+

=⋅+

=′

=⋅+

=⋅+

=

58


On remarque que toutes les valeurs de zj et z’j sont supérieurs à 17, donc il n’y a pas

d’interférence entre les roues conjuguées, et toutes les valeurs sont acceptables.

III.2.2 Cas des engrenages cylindriques à dentures droites avec modules différents

Soit l’entraxe a constant entre deux arbres parallèles I et II et sur lesquels sont montés

successivement les roues z1…zj et z'1…z'j on aura:

j21

jjj222111

m......mm : avec2

)z(zm......

2)z(zm

2)z(zm

a

≠≠≠

′+==

′+=

′+=

......(33) m2azz

jjj =′+

On pose zj +z’j =Sj

Sj est la somme des nombres de dents de deux roues conjuguées.

On a le rapport de transmission ij qui doit être sous la forme d’une fraction irréductible :

......(34) ba

zz

ij

j

j

jj =

′=

Avec aj et bj sont deux nombres entiers entre eux.

De l’équation (33) et (34) on trouve les relations suivantes :

.....(36) ba

b2az

.....(35) )b(am

a2az

jj

jj

jjj

jj

+⋅=′

+⋅=

59


zj et z’j sont deux nombres entiers, donc les deux valeurs )b(am

a2a

jjj

j

+⋅ et

)b(amb

2ajjj

j

+⋅ doivent être entières, et pour que cette condition se réalise il faut que 2a

soit un multiple de mj( aj + bj ) et par conséquent 2a doit être le PPCM de mj (aj +bj) .

Les modules mj ont des valeurs normalisées qui peuvent être entières ou décimales, donc on

distingue deux cas différents :

a) Cas où les modules sont des nombres entiers

Dans ce cas aucun problème ne se pose, et on peut calculer le PPCM de mj( aj + bj ) .

Exemple de calcul :

Soit l’exemple vu précédemment avec les valeurs de mj suivante :

m1 = 2 m2 =3 m3 =1

i1 =1 i2 =2923 i3 =

85

i1 = 11

ba

1

1 =

412a

1)2(112a

)b(amb

2az

412a

1)2(112a

)b(ama2az

111

11

111

11

⋅=+

⋅=+

⋅=′

⋅=+

⋅=+

⋅=

60


1382a

8)1(582a

)b(amb

2az

1352a

8)1(552a

)b(ama

2az

85

ba

i

523292a

29)3(23292a

)b(amb2az

523232a

29)3(23232a

)b(ama

2az

2923

ba

i

333

33

333

33

3

33

222

22

222

22

2

22

⋅=+

⋅=+

⋅=′

⋅=+

⋅=+

⋅=

==

⋅⋅=

+⋅=

+⋅=′

⋅⋅=

+⋅=

+⋅=

==

2a doit être le PPCM de (3×52, 13, 4).

PPCM (3×52, 13, 4) = 3×4×13 =156

2a = 156 ⇒ a = 78 mm

On remplace par la valeur de a pour calculer zj et z’j

961318782z

601315782z

29523

29782z

23523

23782z

3941782z

3941782z

3

3

2

2

1

1

=⋅

⋅⋅=′

=⋅

⋅⋅=

=⋅

⋅⋅=′

=⋅

⋅⋅=

=⋅⋅=′

=⋅⋅=

61


z1 +z’1 = 78 < 120

z2 +z’2 = 52 <120

z3 +z’3 = 156 >120

La somme de z3 et z’3 ne vérifie pas la condition, donc la valeur de 2a qui est égale au PPCM

de (3×52, 13, 4) doit être inférieure à 120.

Pour cela on va modifier la valeur de i2 et i3 tout en respectant la marge de ∆i admissible.

Si l’erreur n’est pas spécifiée, on peut admettre une erreur admissible sur i égale ou inférieure

à 5% .

i2 = 0.7936 et qui peut être écrit sous la forme : 8.054=

∆i2 = 008.07936.0

7936.08.0=

− = 0.8 %

0.8 % < 5 % donc i2 = 54

i3 =0.6298 et qui peut être écrit sous la forme : 6363.0117=

∆i3 = 101.06298.0

6298.06363.0==

− %

1 % < 5 % donc i3 =117

Donc on a les nouvelles valeurs suivantes :

18117bas 117

ba

i

954bas 54

ba

i

211bas 11

ba

i

3333

33

2222

22

1111

11

=+=+=⇒==

=+=+=⇒==

=+=+=⇒==

62


2a = PPCM (4, 3×9, 18).

PPCM (4 ,3×9 , 18) = PPCM( 22 , 33 , 32 ) = 108 < 120

2a = 108 ⇒ a = 54 mm

dents 27412a

1)2(112a

)b(amb

2az

dents 27412a

1)2(112a

)b(ama2az

111

11

111

11

=⋅=+

⋅=+

⋅=′

=⋅=+

⋅=+

⋅=

dents 6618112a

11)1(7112a

)b(amb

2az

dents 421872a

11)1(772a

)b(ama

2az

dents 202752a

5)3(4252a

)b(amb

2az

dents 162742a

5)3(442a

)b(ama

2az

333

33

333

33

222

22

222

22

=⋅=+

⋅=+

⋅=′

=⋅=+

⋅=+

⋅=

=⋅=+

⋅=+

⋅=′

=⋅=+

⋅=+

⋅=

b) Cas où les modules sont des nombres décimaux

Dans cet exemple on prend les même valeurs de i1, i2, i3 avec mj suivants:

m1 = 2.25 m2 = 1.5 m3 = 3

m1 et m2 sont des nombres décimaux qui peuvent être écrits sous forme fractionnaire :

63


93242a

)b(axya2az

1842a

2942a

)b(axyb

2az

1842a

2942a

)b(axya2az

yx

231.5m

yx

492.25m

222

222

111

111

111

111

2

22

1

11

××

=+⋅

=

=×

=+⋅

=′

=×

=+⋅

⋅=

===

===

183112a

)b(axyb

2az

18372a

)b(axya

2az

93252a

)b(axyb

2az

333

333

333

333

222

222

×=

+⋅

=′

×=

+⋅

=

××

=+⋅

=′

Pour que z1, z’1, z2, z’2, z3, z’3 soient des nombres entiers, il faut que 2a soit le PPCM de (18,

3×9, 3×18).

PPCM (18, 3×9, 3×18) = PPCM (2× 32, 33, 2× 33) = 2 × 33 = 54 < 120.

2a = 54 ⇒ a = 27 mm

64


17 dents 11541154z

17 dents 754754z

dents 20271054z

17 dents 1627854z

17 dents 1218454z

17 dents 1218454z

3

3

2

2

1

1

⟨==′

⟨==

==′

⟨==

⟨==′

⟨==

On remarque que le nombre de dents de la plus part des roues est inférieur à 17 ce qui induirait

un problème d’interférence de taillage et de fonctionnement.

Donc il faut augmenter ces valeurs à des valeurs raisonnables pour assurer le bon

fonctionnement de l’engrenage.

Le nombre de dents que doit avoir la plus petite roue des engrenages qui composent la

transmission en groupe peut être choisi de telle façon à lever l’interférence de fonctionnement

et de taillage. Donc z3 doit être supérieur ou égal à 17.

A titre d’exemple prenons z3 = 20.

Soit k le coefficient de correction qui est égale à :

k = 857.2720

min

3 ==zz

Et comme k doit être un nombre entier on prend k = 3

z1 = 12 × 3 = 36

z’1 = 12 × 3 =36

z1 + z’1 = 72 <120

z2 = 16 × 3 = 48 65


z’2 = 20 × 3 =60

z2 +z’2 = 48 + 60 = 108 < 120

z3 = 7 × 3 = 21

z’3 = 11 × 3 = 33

z3 + z’3 = 21 + 33 = 54 <120

III.2.3 Cas des engrenages cylindriques à denture hélicoïdale

Considérons une transmission composée à engrenages cylindriques à denture hélicoïdale où

tera C2cosβ

)z(zm2

)z(zma =

′+=

′+=

Avec a : entraxe.

z et z’ : nombre de dents des roues conjuguées .

ma : module apparent .

mr : module réel .

β : Angle d’hélice de la dent.

Nous allons considérer deux cas :

III.2.3.1 Cas où les roues dentées ont le même angle d’hélice

Dans ce cas : cosβ1 = cosβ2 = …..= cosβj.

j

jjr

2

22r

1

11r

2cosβ)z(zm

.........2cosβ

)z(zm2cosβ

)z(zma

′+==

′+=

′+=

On suppose que le module réel mr est le même pour toutes les dents des roues.

L’expression de l’entraxe est donc :

a = z1 + z’1 = z2 +z’2 = ……= zj +z’j = Cte.

Et dans ce cas, on va suivre toutes les étapes de calcul pour le cas des engrenages à dentures

droites ayant même module, pour calculer le nombre de dents zj et z’j.

66


III.2.3.2) Cas où les roues dentées n’ont pas le même angle d’hélice :

te

j

jjrj

2

22r2

1

11r1 C2cosβ

)z(zm.......

2cosβ)z(zm

2cosβ)z(zm

a =′+

==′+

=′+

=

On suppose que le module réel mr est le même pour toutes les roues :

mr1 = mr2 = ……= mrj = mr

L’entraxe a s’écrit alors :

j

jj

2

22

1

11

2cosβzz

.......2cosβ

zz2cosβ

zza

′+==

′+=

′+=

zj +z’j = 2a cosβj …..(37)

Le rapport de transmission ijj

j

j

j

ba

zz

=′

= …..(38)

aj et bj sont deux nombres entiers entre eux.

Des deux équations (13) et (14) on trouve :

jjj

jj

jjj

jj

cosβba

b2az

cosβba

a2az

+=′

+=

zj et z’j doivent être entier par contre cosβj est un nombre décimale, donc en appliquant la

méthode des fractions continues on peut écrire cosβj sous forme fractionnaire : cosβj = j

j

yx

avec xj et yj deux nombres entiers entre eux .

La relation de zj et z’j s’écrira alors :

67


jjj

jj

jjj

jjj

y)b(ab

2az

y)b(axa

2az

⋅+=′

⋅+

⋅=

Pour que zj et z’j soient entiers, il faut que 2axj soit multiple de yj (aj + bj)

Exemple de calcul :

Soit une partie d’une boite de vitesse dont les rapports de transmissions sont les suivants :

332211i 1i 1iϕϕϕ

===

Avec ϕ = 1.6

Les roues dentées ont les angles suivants :

β1 =20 0 β2 = 25 0 β3 =18 0

1- Calcul de ij :

0.2441(1.6)

11i

0.390 (1.6)

11i

0.625 1.611i

333

222

1

===

===

===

ϕ

ϕ

ϕ

68


187

....311

11

12

139.0

85

211

11

11

1625.0

≈

++

++

=

=

++

+=

25061

6110

14

1244.0 =

++

=

31125061basba

25061i

25187basba

187i

1385basba

85i

3333

33

2222

22

1111

11

=+=+=⇒==

=+=+=⇒==

=+=+=⇒==

S3 est supérieure à 120 donc, il faut chercher une autre fraction ba qui satisfait les conditions :

120 ba

iba

⟨+

≈

On remarque que la fraction 256 = 0.24 pourrait convenir et pour s'en assurer calculons

l'erreur commise sur i en faisant cette approximation

69


| ∆i | = 66.124.0

24.0244.0=

−% < 5 %

Donc i3 = 31256

3333

3 =+=⇒= basba

2-Calcul de cosβ :

β1 = 20 0 ⇒ 0.9396cosβ1 =

0.951cosβ18β0.9063cosβ25β

30

3

20

2

=⇒=

=⇒=

3331

.....111

115

11

19396.0 ≈

++

++

=

10297

....212

119

11

1951.0

3229

.....211

19

11

19063.0

≈

++

++

=

≈

++

++

=

70


jjj

jj

jjj

jjj

y)b(ab

2az

y)b(axa

2az

⋅+=′

⋅+

⋅=

10297

31252z

3229

25182z

3331

1382

10297

3162z

3229

2572z

3331

1352

321

321

⋅=′⋅=′⋅=′

⋅=⋅=⋅=

aaaz

aaaz

On remarque que ces fractions donnent un PPCM très grand, il faut alors chercher des valeurs

de i1, i2, i3, β1, β2, β3 qui peuvent donner un PPCM inférieur à 120 , tout en respectant la marge

d’erreur admissible imposée sur les rapports de transmissions, et sur les angles d’hélices .

Pour cela on admet la valeur de i3, et on cherche les autres valeurs de i1 et i2 tel que S1 = k .S3,

et S2 = k’.S3, càd S1 et S2 soient égales à S3 ou des multiples de S3.

0.00950.631

0.6310.625∆i

0.6311912

19bet12a31bas

0.625bai

1

11

111

1

11

=−

=

=

==⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+=

==

∆i1 = 0.95% < 5%

22bet9a31bas

0.39ba

i22

222

2

22 ==⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+=

==

71


∆i2 = 4.6% < 5%

Donc les nouvelles valeur de i1, i2, i3 :

256

bai

229

bai

1912

bai

3

33

2

22

1

11 ======

10297

31252z

3229

31222z

3331

31192

10297

3162z

3229

3192z

3331

31122

321

321

⋅=′⋅=′⋅=′

⋅=⋅=⋅=

aaaz

aaaz

On remarque que ces nombres donnent un PPCM beaucoup plus grand que la valeur

admissible, et pour pouvoir calculer le nombre de dents, il faut que l’erreur sur le rapport de

transmission et sur l’angle d’hélice soit grande ce qui est inacceptable. A cet effet les calculs

nous mènent à supposer des angles d’hélices égaux dans toute la transmission.

Donc on peut conclure qu’on ne peut pas construire une boite de vitesse avec des roues

cylindriques à dentures hélicoïdales et possédant des angles d’hélice différents, car les calculs

nous donnent un nombre de dents très grand ce qui n’est pas acceptable.

72

046.0409.0

409.039.0

409.0229

2 =−

=∆

=

i

Automatisation

IV Automatisation

IV.1 Généralités

La seconde moitié du vingtième siècle pourrait bien être considérée comme l’age de

l’ordinateur .En effet, dans presque tous les domaines d’activité que ce soit l’ingénierie, la

physique, l’économie, la psychologie, la pédagogie, les sciences sociales, la médecine, le droit

et les affaires c’est-à-dire chaque fois que des données sont rassemblées, analysées et traitées,

interviennent les ordinateurs et leurs langages de programmation .Le fortran est l’un de ces

derniers, son nom résultant de la contraction de ‘FORmula TRANslation’ c’est-à-dire

traduction de formules.

IV.2 Automatisation du calcul des caractéristiques techniques fondamentales d’une

boite de vitesse d’une machine-outil

Considérons une boite de vitesses d’une fraiseuse horizontale ayant les caractéristiques

techniques suivantes :

Nombre de dents Z=18

La raison géométrique ϕ = 1,26

La vitesse de rotation minimale ηmin = 30 tr/min

La vitesse de rotation du moteur ηmot = 1450 tr/min

La puissance du moteur Pm = 7 kw

IV.2.1 Calcul de la raison géométrique

Le rapport des nombres de tours extrêmes représente l’indice des possibilités cinématiques

de la boite de vitesses qui est fonction des dimensions des pièces à usiner, il est noté Rn et

appelé étendue de réglage Rn 50.8330

1525ηη

min

max ===

74

Automatisation

Pour une fraiseuse on a : 20 ≤ Rn ≤ 60 donc la valeur trouvée est acceptable

Alors 1ZnR−=ϕ = 1.261.25950.8317 ≈= (valeur normalisée)

IV.2.2 Calcul de la gamme de vitesses

Les vitesses sont échelonnés suivant une progression géométrique de raison ϕ =1.26

Pour déterminer toute la gamme de vitesse on utilise la relation suivante : 1i

1i ηη −= ϕ avec i = 1,2,………..18

ηi 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ηi

Calculé

30

37.8

47.6

60

75.6

95.3

120

151

190.6

ηi

normalisé

30

36

48

60

73

95

120

152

194

ηi 10 11 12 13 14 15 16 17 18

ηi

Calculé

240

302.6

381

480

605

762.6

960.9

1210.7

1525.5

ηi

normalisé

240

305

382

480

580

762

965

1200

1525

Méthode de l’espace

La régularité de la série géométrique des nombres de tours de la broche permet de projeter les

boites de vitesses avec la plus simple structure composée de mécanismes élémentaires de deux

arbres et elles s’unissent successivement entre elles à une ou quelconques chaînes

cinématiques. Cette structure s’appelle « structure multiplicative »car les conditions

75

Automatisation

cinématiques de réglage de ces commandes sont déterminées par les propriétés des groupes

multiplicatifs de la transmission par engrenages et le nombre de vitesses est déterminé par la

méthode de la multiplication des nombres de vitesses des engrenages élémentaires aux deux

arbres.

En général le nombre de gradins de la boite de vitesses est Z = Pa.Pb……Pm où Pa, Pb, …Pm

sont le nombre d’engrenages dans le premier, deuxième…groupe

IV.2.3 Calcul du nombre de transmissions

Il est donné par la formule empirique :

P=1.66 log 2.7930

14501.66logηη

min

mot ==

On prend P = 3 (valeur normalisée )

Alors le nombre d’arbre sera P + 1 = 4 arbres

IV.2.4 Calcul du nombre de groupes

On décompose Z en produits de facteurs premiers et pour une commande à m étages ou

groupes de transmission et q étages ayant les nombres égaux de transmission séparée dans

chaque étage ,on peut calculer les K groupes constructifs suivant la relation

K =q!m!

Z = 18 = 3 × 3 × 2

Donc : m = 3 et q = 2

K = 326

q!m!

== = nombre de groupes constructifs

Donc il existe 3 groupes constructifs : 3 . 3 . 2 , 3 . 2 . 3 , 2 . 3 .3

Principe du choix du groupe

1ére priorité :

Le dernier chiffre du groupe doit être le plus petit, afin d’alléger la broche.

2éme priorité :

Le premier chiffre du groupe doit être le plus petit possible (vitesse élevée).

76

Automatisation

Donc en se basant sur ces principes on choisit le groupe 3 . 3 . 2 .

IV.2.5 Calcul du nombre de variantes

P= 182

36!2)!3(

!)!( 22

===q

m variantes

Pour chaque groupe on aura 63

18= variantes

Z = 3 . 3 . 2 = p1 . p2 . p3

Groupe de base on note 1 (31)1

2éme groupe on note 2 (32)p1

3éme groupe on note 3 (23)p1p2

Donc les six variantes seront :

(31)1 (32)3 (23)9 (31)1 (33)6 (22)3

(32)3 (31)1 (23)9 (32)2 (33)6 (21)1

(33)6 (31)1 (22)3 (33)6 (32)2 (21)1

3 3 2

1 2 3

1 3 9

1 1 3 3 9

3 3 2

1 3 2

1 6 3

1 1 6 6 3

3 3 2

2 1 3

3 1 9

3 3 1 1 9

3 3 2

2 3 1

2 6 1

2 2 6 6 1

3 3 2

3 1 2

6 1 3

6 6 1 1 3

3 3 2

3 2 1

6 2 1

6 6 2 2 1

77

Automatisation

Graphique de la chaîne de structure

(31)1 (32)3 (23)9 (31)1 (33)6 (22)3

(32)3 (31)1 (23)9 (32)2 (33)6 (21)1

(33)6 (31)1 (22)3 (33)6 (32)2 (21)1

78

Automatisation

IV.2.7 Choix de la variante optimale

Pour choisir la variante optimale, il faut que l’étendue de réglage de chaque variante ne

dépasse pas la valeur admissible Rg (étendue des rapports de transmission).

Rg = ϕxi ≤ 8

Résumons le critère de la variante optimale dans le tableau suivant :

Variante (31)1 (32)3

(23)9

(31)1 (33)6

(22)3

(32)3 (31)1

(23)9

(32)2 (33)6

(21)1

(33)6 (31)1

(22)3

(33)6 (32)2

(21)1

Ordre I II III I III II II I III II III I III I II III II I

Caractéristique 1 3 9 1 6 3 3 1 9 2 6 1 6 1 3 6 2 1

Intervalle max 9 12 9 12 12 12

Rg=ϕxi 8 16 8 16 16 16

Rg ≤ 8 oui non oui non non non

Il y a deux variantes à retenir :

(31)1 (32)3 (23)9 et (32)3 (31)1 (23)9

Parmi lesquelles il faut encore choisir une.

Pratiquement il faut que le graphique de structure soit entièrement contenu dans le triangle

isocèle .Donc la variante qui répond aux conditions est : (31)1 (32)3 (23)9.

IV.2.8 Abaque de vitesses

a) Détermination de la position de η0

Pour les boites de vitesse, les rapports de transmissions doivent vérifier la condition ¼ ≤ i ≤ 2

79

Automatisation

imin =1/4

imax = 2

Entre le moteur et l’arbre d’entré de la boite de vitesse, la transmission est assuré par

courroies.

D’ou η0 = ηmot . i0 . ηc

i0 : rapport de transmission par courroies-poulies.

ηc : rendement des courroies (ηc = 0.98 )

tr/min1920(0.25)

30)(i

ηη 3pmin

min0max ===

tr/min190.625 (2)1525

)(iη

η 3pmax

max0min ===

3ηη

1.66logpmin

mot ==

D’ou : 190 ≤ η0 ≤ 1920

-Il faut que η0 soit compris dans l’étendue de réglage 30-1525.

-Il est préférable que η0 coïncide avec une vitesse de la broche.

-Il est souhaitable qu’il soit proche de la vitesse maximale.

Prenons η0 = 965 tr/min = η16

68.098.01450

965.0

0 =×

==cmot

iηη

η

b) Détermination des rapports de transmission

On choisit généralement les rapports de transmission proche de l’unité afin d’économiser le

matériau, et que les éléments travaillent dans de bonnes conditions.

1er groupe :

i1 : i2 : i3 = 1 : ϕx : ϕ2x

Avec:x = 1 ⇒ i1 : i2 : i3 = 1: ϕ : ϕ2

80

Automatisation

On peut choisir un i2 et en déduire les autres.

On prend 3212

132

11i1i 1ii 1i

ϕϕϕϕϕ⋅=⋅=⇒=⇒=

Donc 22323

241

1ii1ii1i

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕ=⋅=⇒==⇒=

0.396(1.26)

1i 41 ==

0.499(1.26)

1i 32 ==

0.63(1.26)

1i 23 ==

2éme groupe :

i4 : i5 : i6 = 1 : ϕx : ϕ2x avec x = 3

i4 : i5 : i6 = 1 : ϕ3 : ϕ6

On prend i4 = ϕϕϕ

=⇒=⇒ 6255 i 1i 1

0.314(1.26)

1i 54 ==

0.63(1.26)

1i 25 ==

i 6 = 1.26

3éme groupe:

i7: i8 = 1: ϕx avec x = 9

i7: i8 = 1: ϕ9

On prend 3867 i1i ϕ

ϕ=⇒=

81

Automatisation

0.25(1.26)

1i 67 ==

2(1.26)i 38 ==

Tous les rapports calculés sont dans l’intervalle admissible ¼ ≤ i ≤ 2.

Moyennant cette théorie on établit un programme de calcul qui nous donne les résultats ci-

après.

IV.3 Résultat du programme

la valeur de l etendue de reglage Rn est 50.83333 la valeur calculee de la raison q est 1.259974

la valeur normalisee de q est 1.260000

les valeurs calculees des vitesses

30.00000 37.80000 47.62800 60.01128 75.61421

95.27390 120.0451 151.2569 190.5836 240.1354

302.5706 381.2390 480.3611 605.2549 762.6212

960.9027 1210.737 1525.529

le nombre de transmission est 3

le nombre d arbre dans la transmission est 4

le nombre de groupes constructifs est 3

le nombre de variantes est 18

il y a 6variantes pour chaque groupe

les 6variantes sont:

la premiére variante:

( 3 1) 1

( 3 2) 3

( 2 3) 9

la deuxième variante:

( 3 1) 1

( 3 3) 6

( 2 2) 3

82

Automatisation

la troisième variante:

( 3 2) 3

( 3 1) 1

( 2 3) 9

la quatrième variante:

( 3 2) 2

( 3 3) 6

( 2 1) 1

la cinquième variante:

( 3 3) 6

( 3 1) 1

( 2 2) 3

la sixième variante:

( 3 3) 6

( 3 2) 2

( 2 1) 1

l intervalle maximale de chaque variante:

9 12 9 12 12 12

la valeur de Rg est:

8

valeur acceptable 1


16

valeur inacceptable 2


8

valeur acceptable 3


16



16



16


83

Automatisation

Les résultats donnés par le programme concordent parfaitement avec ceux calculés

manuellement

IV.4 Calcul de nombre de dents dans une transmission composée

1er cas :le PPCM est inférieur à la valeur admissible

Soit l’exemple vu précédemment dans le chapitre 3 :

i1 = 0.6298

i2 = 0.7936

i3 = 1

Un nombre décimal peut être écrit sous la forme d’une fraction continue comme suit :

.......k1k

1k

1k

1N

43

2

1

++

++

=

......211

11

11

10.6298i1

++

++

==

k1 = 1, k2 = 1, k3 = 1, et k4 = 2

i1 ≈ 85 = 0.625

| ∆ i1| = |6298.0

625.06298.0 −| = 0.0076 = 0.7 %

i1 85 =

1

1

ba ⇒ a1 = 5, b1 = 8 et s1 = a1 + b1 = 13

84

Automatisation

i2 = 0.7936 =

.....511

13

11

1

++

++

k1 = 1, k2 = 3, k3 = 1, et k4 = 5

i2 ≈ 2923 = 0.7931

|∆ i2 | = |7936.0

7931.07936.0 −| = 0.0006 = 0.06 %

i2 = 2

2

ba

2923

= ⇒ a2 = 23, b2 = 29 et s2 = a2 + b2 = 52

i3 = 1 =3

3

ba

11= ⇒ a3 = 1, b3 = 1 et s3 = a3 + b3 = 2

PPCM ( 13, 52, 2 ) = 52 < 120

Donc la condition est satisfaite

Zmin = PPCM = 52

Z1 = dents 2052135Z

sa

min1

1 =⋅=⋅

dents 3252138Z

sb

Z min1

1'1 =⋅=⋅=

dents 29525229Z

sb

Z

dents 23525223Z

saZ

min2

2'2

min2

22

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

85

Automatisation

dents 265221Z

sb

Z

dents 265221Z

sa

Z

min3

3'3

min3

33

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

Résultat donné par le programme

les k(i) de la fraction continue

1 1 1 2 2

la valeur calculee de i est 0.6250000


1 3 1 5 2



1


les valeurs de i,a,b,s sont 0.6250000 5.000000 8.000000 13.00000



la valeur du ppcm est

52

la valeur de z(I) et zprim(I)

20.00000 32.00000


23.00000 29.00000


26.00000 26.00000


manuellement 86

Automatisation

2ème cas : le PPCM est supérieur à la valeur admissible

i1 = 0.7936 i2 = 0.6298 i3 = 0.5

i1 = 0.7936 =

.....511

13

11

1

++

++

k1 = 1, k2 = 3, k3 = 1, et k4 = 5

i1 ≈2923 = 0.7931

|∆ i1 | = |7936.0

7931.07936.0 −| = 0.0006 = 0.06 %

i1 = 1

1

ba

2923

= ⇒ a1 = 23, b1 = 29 et s1 = a1 + b1 = 52

......211

11

11

10.6298i2

++

++

==

k1 = 1, k2 = 1, k3 = 1, et k4 = 2

i2 ≈ 85 = 0.625

| ∆ i2| = |6298.0

625.06298.0 −| = 0.0076 = 0.7 %

i2= 85 =

2

2

ba ⇒ a2 = 5, b2 = 8 et s2 = a2 + b2 = 13

i3 = 0.5 =3

3

ba

21= ⇒ a3 = 1, b3 = 2 et s3 = a3 + b3 = 3

87

Automatisation

PPCM ( 13, 52, 3 ) = 156 > 120

Donc le PPCM est plus grand que la valeur admissible

On remarque que la valeur la plus grande de s est s2 = 52 ⇒ i2 = 0.7936

0.7936 =

.....113

11

1

++

+ ≈

54

|∆ i2 | = 0.008 < 0.05

Donc la valeur de i2 est acceptable

i2 = 54 =

2

2

ba ⇒ a2 = 4, b2 = 5 et s2 = a2 + b2 = 9

PPCM ( 13, 9, 3 ) = 117 < 120

Zmin = PPCM = 117

Z1 = dents 45117135Z

sa

min1

1 =⋅=⋅

dents 72117138Z

sbZ min

1

1'1 =⋅=⋅=

dents 6511795Z

sb

Z

dents 5211794Z

sa

Z

min2

2'2

min2

22

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

dents 7811732Z

sb

Z

dents 3911731Z

sa

Z

min3

3'3

min3

33

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

88

Automatisation

Résultat donné par le programme


1 3 1 5 2



1 1 1 2 2



2






156

les nouvelles valeurs de i,a,b,s:

0.8000000 4.000000 5.000000 9.000000


0.6250000 5.000000 8.000000 13.00000


0.5000000 1.000000 2.000000 3.000000


117


52.00000 65.00000


45.00000 72.00000

89

Automatisation


39.00000 78.00000


manuellement

90

CONCLUSION

Notre étude est basée essentiellement sur deux contributions à l’amélioration des

transmissions mécanique à engrenages.

La première consiste en un apport d’un plus d’explications et d’exploitation à la

méthode de calcul du nombre de dents des roues qui réalisent cette fois-ci une transmission

non pas simple mais une transmission en groupe entre deux arbres parallèles avec un entraxe

constant rencontrée surtout dans les boites de vitesses et d’avance de machine. Dans cette

méthode, qui peut s’appliquer aussi bien pour les roues cylindriques à denture droite que pour

les roues cylindriques à denture hélicoïdale, nous avons montré que si le module est différent

d’une transmission simple à une autre, il s’écrit alors sous forme d’une fraction.

La deuxième contribution consiste à automatiser la méthode de calcul du nombre de

dents des roues cylindriques à denture droite ayant le même module comme nous avons établi

un programme pour le calcul des caractéristiques techniques d’une boite de vitesse d’une

machine-outil mise à l’étude.

Ainsi avec ce travail nous pouvons prétendre avoir contribué à l’amélioration des

transmissions mécaniques à engrenages où le plus apporté réside essentiellement dans la

précision d’obtention du rapport de transmission et des méthodes de calculs du nombre de

dents des roues qui doivent le réaliser, car les engrenages qui doivent avoir un fonctionnement

particulièrement doux exigent une bonne précision de forme et une parfaite régularité de

division parce que ces écarts affectent surtout la douceur de rotation.

Les engrenages susceptibles de fonctionner dans les deux sens de rotation seront montés de

sorte que le jeu avec la roue conjuguée soit le plus faible possible, pour éviter des chocs

violents à l’inversion du sens de rotation. Il sera donc capital ici que des tolérances étroites sur

l’épaisseur des dents soient respectées.

PERSPECTIVES

Comme perspectives de ce travail :

Automatisation du calcul du nombre de dents dans une transmission composée dans les

cas suivants :

- transmission par roues cylindriques à denture droite avec module différent d’une

transmission simple à une autre.

- transmission par roues cylindriques à denture hélicoïdale ayant le même module.

- transmission par roues cylindriques à denture hélicoïdales avec module différent.

Automatisation du calcul des rapports de démultiplication dans la transmission

composée (cas des boites de vitesses et des boites d’avances).

BIBLIOGRAPHIE

[1] Gearing basics,Power transmission Design, July 1994 p.p 49-53

[2] Correction par déport de profil des dentures d’engrenages parallèles, J BERGERE

[3] F.Bernard et A. Bru, Elément de construction à l’usage de l’ingénieur, Dunod .

[4] N.S.ATCHERKANE ,Les Machines travaillant par enlèvement de métal ,Société des

publications mécaniques PARIS.

[5] Denis Gimpert ,The gear hobing process ,Gear Technology,Janv,Fev,1994 p.p 38-44.

[6] G.HENRIOT,Traité Pratique et Théorique des engrenages ,tome 2, Edition Dunod.

[7] V.Dobrovolski et co-auteur, Eléments de machines, Edition Mir 1974.

[8] G.HENRIOT,Traité Pratique et Théorique des engrenages ,tome 1, Edition Dunod.

[9] M. Aublin et co-auteurs, Systèmes mécaniques (Théorie et dimensionnement) Edition

Dunod 1998.

[10] F. Esnault, Construction mécanique (Transmission de puissance), Dunod 2000.

[11] WL.D Wong and J Alkinson, A knowledge cell approach to processing design

information, Journal of materials processing technology vol 107 Nov 2002 p 44-52.

[12] Sealing technology v 2004, Concept gearbox rewrits the rulls, June 2004 p 4.

[13] E.SONADO,Manuel Pratique du Tourneur Mécanicien ,tome 2 ,Edition Dunod

[14] W.C.ORTHWEIN (1982),Determination of Gear Ratios ,Journal of Mechanical Design

,Vol 104,p.p 775-777

[15] A.ARABYAN,G.R.SHIFLETT (1987), A Method for Determining the Various Gear

Trains that provide a specific velocity ratio,Jour of Mechanisms Transmissions and

Automation in Design ,Vol 109 p.p 475-479

[16] A.Arabyan ,G.R.Shiflett (1986),A method for determining all gear pairs which satisfy

velocity ratio and/or distance constraints,The Americain society of Mechanical Engineers,New

York,86-DET-90,p.p 1-6.

[17] Y.RENARD, Les machines à tailler par fraise-mère et leur utilisation.

[18] David Kress (1994), Selecting the best gear drive, Chemical Engineering/June,p.p 121-

125.

[19] J.P.Lamoitier, Exercices de programmation en Fortran IV, Dunod 1977.

[20] S.Lipschuts et A.Poe, Programmation Fortran (Théorie et application),Mc graw-hill

1987.

[21] N et S.Taibi, Pratique du Fortran 77, Berti édition 1991.

[22] Thèse d’état H. Boughouas (Contribution à l’amélioration des transmissions mécaniques

par engrenages) 1999

[23] Thèse d’état I. Amara (contribution à l’étude de la technique de la mesure

tridimensionnelle : application au contrôle des engrenages par calibre virtuel). 2004

مـلـخـص

العشيقات مـستـعمـلـة بـكـثـرة فـي نـقـل الحرآة فـي مـيـدان الـصنـاعـة الـميـكـانيـكـيـة مـن عمـود إلـى آخــر .و بـالتـصـاعـد نـحـصـل عـلـيهـم بـالنـحـت عـلى أآلت صنـاعـيـة خــاصــة إمـا بـالـنـسـخ أ الـصنـاعيــة حـيـث أن نـقـل الـحـرآــة بـيـن تتـمـثـل عـلـبـة الـسـرعـات و التـقـدم جــزء هــام فـي الماآينا

إن الـدقــة فـي نـقـل الـحرآـة تـرتبـط بـعـدة عــوامـل . مـختـلـف األعمـدة يـمـكـن أن تــكـون بـسـيـطـة أو مـرآـبـة ـيـة هــو نـسـبـة الـدوران و الـطــرق المـتبـعة لـحســاب عــدد أسنــان الـعـجالت الـمسنـنـة الـتـي تـؤلـف هـذا أآـثـرهـا أهم

.اإلنتقــال فـي الـحـرآـة و الـتي يـجـب أن تـحـقق الـنسبـة الـمـطلوبــة لــم تـأخــذ بـعـين االعتبار ســوى هـذا مـا شكـل مـوضــوع الـقـلـيل مـن الـبحـوث لـكـن الــطـرق الـمقتـرحـة

و . اإلنتـقـال بــواسـطـة الـعـجالت الـمـستـقـيمـة و حـيـث يـكون الـمقـيـاس مـتـسـاوي فـي جمـيـع الـسلـسلـة الـحرآـيـة ـات الـمـستـقـيمـة و لـكـي نـرفـع مـن نـسـبـة تـطبيــق هـذه الـطريقــة تـطرقنـا إلى الـعجالت األسطـوانـيـة ذات الـتسنـيـن

.الـحـلزونيـة و حـيـث نـعتـبـر المـقـياس مـتغـيـر مـن إنتـقـال بـسيـــط إلـى آخــر و مـن أجــل تــسـهـيـل الـتطـبـيـق و تـجـنـب األخــطـاء تـم وضــع بـرنـامـجيـن رقمـيـيـن حــيـث أن األول

ان الـعـجــالت فــي حــالـة نـقـل الـحـرآــة بـالتـجمـع و اآلخــر يـمكـنـنـا يـعـطـي حـسـاب ســريـع و دقـيـق لـعـدد أسنــو بـهـذا الـعمـل نـظـن . مــن حــســاب الـمـمـيـزات الـتـقنـيـة لـعـلـبة الـسرعــات لآللــة الـصنـاعـيـة الـمـراد دراستـهـا

لــتـعـشـيـقـات أنـنـا سـاهمنـا فـي تـحسـيـن نـقـل الـحرآـة بـواسـطـة ا Abstract:

The gears are largely used in the mechanical engineering industry like transmission resource of power of a shaft towards another. They are obtained by cutting on special machine tool either by reproduction or by generation.

In the machine tools gear box speed and advance represents a significant mechanical system in which the transmissions between the various shaft can be simple or composite. The precision of the transmission depends on several factors among which most significant is the ratio speeds and the methods of determination of the number of the teeth of the wheels composing this transmission and wich must carry out this ratio. This was the subject of few studies of research and the methods suggested practically considered only the transmissions by cylindrical wheels with right teeth and where the wheels of all the kinematic chain have the same module.

In order to increase the field of application we widened these method S with the transmissions by cylindrical with right teeth and helicoid wheels and where one considers the variable module of a simple transmission to another. And to facilitate the use and to avoid the errors calculation we worked out two data-processing programs of which one allows a calculation fast and precise numbers of teeth of the wheels in a composite transmission and the other bench calculation of the design features of one gear box speeds of machine tool. Thus with this work we think of having contributed to the improvement of the mechanical drives by gears.

RESUME :

Les engrenages sont largement utilisés dans l’industrie mécanique comme moyen de

transmission de puissance d’un arbre vers un autre. Ils sont obtenus par taillage sur des

machine-outils spéciales soit par reproduction soit par génération.

Dans les machines-outils les boites de vitesses et d'avances représentent un important

système mécanique dans lequel les transmissions entre les différents arbres peuvent être

simples ou composées. La précision de la transmission dépend de plusieurs facteurs parmi

lesquels le plus important est le rapport des vitesses et les méthodes de détermination du

nombre des dents des roues composant cette transmission et qui doivent réaliser ce rapport.

Ceci a fait l’objet de peu d’études de recherche et les méthodes proposées n’ont pratiquement

considéré que les transmissions par roues cylindriques à denture droite et où les roues de toute

la chaîne cinématique ont le même module.

Afin d’augmenter le champ d’application nous avons élargi ces méthodes aux

transmissions par roues cylindriques à denture droite et hélicoïdales et où l'on considère le

module variable d’une transmission simple à une autre.

Et pour faciliter l’application et éviter les erreurs de calculs nous avons élaboré deux

programmes informatiques dont l’un permet un calcul rapide et précis des nombres de dents

des roues dans une transmission en groupe et l’autre établi le calcul des caractéristiques

techniques d'une boite de vitesses de machine-outil mise à l’étude. Ainsi avec ce travail nous

pensons avoir contribué à l’amélioration des transmissions mécaniques par engrenages.

Mots clés : boite de vitesse - transmission en groupe – engrenage – rapport de

transmission - automatisation.

copie de mémoire - université constantine 1 · - au profil de la dent qui doit être une...

Documents