書くネタが Coq しかない

upcamp 2012 にて

自己紹介• http://qnighy.github.com/ を参照• いちねんせい• 2008 プログラミング組

やりたいこと• 数学の証明を自然言語で書かなければい

けないのは理不尽！• →Principia Mathematica

1+1 の証明 (Wikipedia より )ここまで 80 ページ強の議論が必要

やりたいこと• 今だったらこれをコンピューターでやれ

るよね• ↑ 正しさの検証も自動でできる！• ↑ あわよくば、証明の一部は自動化

目次• Coq とは何か• Coq の根底にある理論• Coq で何ができるのか• Coq をはじめる

Coq とは何か• 純粋関数型プログラミング言語＆定理証

明言語• 静的型付け• OCaml の影響を受ける• OCaml で実装されている• OCaml の製造元 INRIA が開発している• 名前は計算機科学者 Thierry Coqand に由来

すると思われる

Coq の特徴• 停止する保証のあるプログラムしか書け

ない( 再帰の記述に関する制限 )

• 証明モード( 対話的にプログラムを組み立てるモード )

コード例• Karatsuba 乗算のコード

• このあと停止性証明が続く

コード例• マージソートと停止性証明

Coq の特徴• 停止する保証のあるプログラムしか書け

ない• ( 再帰の記述に関する制限 )• → プログラムの正当性証明に用いられる

コード例• プログラムの正当性証明• (anarchy proof 30: Certified Compiler)

Coq の特徴• 停止する保証のあるプログラムしか書け

ない• ( 再帰の記述に関する制限 )• → プログラムの正当性証明に用いられる• → 数学の定理の証明に用いられる

コード例• Glivenko の定理の証明

コード例• √2 は無理数であることの証明• (anarchy proof 6: Sqrt 2)

Coq の根底にある理論• Coq における「証明」とは？• → Curry-Howard 対応

証明　：　命題

プログラム　：　型

Coq の根底にある理論• Curry-Howard 対応の例• 含意 (A ならば B): 関数 A -> B (Haskell)• 連言 (A かつ B): ペア pair<A, B> (C++)• 選言 (A または B): Either A B (Haskell)• 矛盾 ( ): ⊥ 到達不能型 Nothing (Scala)• 否定 (A でない ): A -> ⊥

Coq の根底にある理論• では、こういうコードは？• Definition A : False := A.• A が定義できたら、矛盾が導けてしまう。• ↑ 無限ループの禁止

Coq の根底にある理論• Coq は停止するプログラムしか書けない• これをどう保証するか？

• _ 人人 人人人人人人 _> 型システムの出番 <￣ Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y ￣

Coq の根底にある理論• 停止性を保証する型システム• Simply Typed Lambda Calculus• ↓ +polymorphism ( 型に依存した値 )• ↓ +type operators ( 型に依存した型 )• ↓ +dependent types ( 値に依存した型 )• Calculus of Constructions

Coq の根底にある理論• Calculus of Constructions (CoC)• ↓ + 再帰等• Calculus of Inductive Constructions (CIC)

• この CIC を Coq では用いている• CIC と集合論の ZFC は互換

( CIC(i)→ZFC(i-2), ZFC(i)→CIC(i+1) )

Coq で何ができるの？• 数学サイド• 有名なのは– ゲーデルの不完全性定理の証明

( 公理系が多層化するので、形式的な言語で書いたほうが議論しやすいと思われる )

– 四色問題の証明( 四色問題は数学的証明部とコンピューターによる探索部に別れる。 Coq ではこれを有機的に結合できるため、証明の信頼性が高まる )

Coq で何ができるの？• プログラミングサイド• プログラムを証明するという試みもいく

つか行われている– Coq 自体でプログラムを書く→他の言語へ出

力– C 言語プログラムの証明： Frama-C プラグイ

ン– Java プログラムの証明 : Krakatoa– 独自の言語 Why3ML で書いたプログラムの証

明• Z とかに比べるとまだ発展途上かも

Coq で何ができるの？

•というより

Coq で何ができるの？

•証明ができると

Coq で何ができるの？

•幸せになります( 主に自己肯定感が得られる )

Coq をはじめる•

Coq をはじめる• 日本語資料が少ない• コミュニティーが大きくない

• 最後に、いくつかの参考資料を紹介して終わります

Coq の資料• http://coq.inria.fr/– Coq 公式サイト

• プログラミング Coq– 女子大生による Coq プログラミング入門

• anarchy proof– 証明ジャッジ 練習用に使える

• あとは面倒くさいのでここを見て

コミュニティー• 名古屋にいろいろあるらしい– Coq Party, Proof Summit …

本• 本 (英語 )– Coq’art• Coq の本らしい

– TAPL• 型理論の本

おわり•