Coq の公理Masaki Hara (qnighy)

2016/04/23

型システムと公理系

Coq の型システム (CIC/pCIC)

強正規化性により正当化

Coq の公理系集合モデルにより正当化

HoTT の公理系- 亜群モデルにより正当化

両立しない

Coq の公理同一性

2 つの値の同一性を保証する。構成

何らかの値の存在を保証する。古典論理 選択 記述

真偽に基づく2 択の提供

存在するものを集めるCoq の項として書ける

同一性の公理関数の外延性 各点で等しい関数は等しい

FunctionalExtensionality.functional_extensionality

命題の外延性 同値な命題は等しい対応する公理なしCoq.Sets.Ensembles.Extensionality_Ensembles の帰結

証明非依存性 証明は区別できないProofIrrelevance.proof_irreleavance

JM 同値性 集合間の同値性はただ 1 つJMeq.JMeq_eq

値の強さ∀ 𝑥 ,∃𝑦 ,𝑃 (𝑥 , 𝑦 )

∀ 𝑥 ,∃!𝑦 ,𝑃 (𝑥 , 𝑦 )

∀ 𝑥 , {𝑦|𝑃 (𝑥 , 𝑦 ) } { 𝑓 |∀ 𝑥 ,𝑃 (𝑥 , 𝑓 (𝑥 ) )}

∃ 𝑓 , ∀𝑥 ,𝑃 (𝑥 , 𝑓 (𝑥 ) )各点での存在のみ。

各点での一意存在。

一様に存在。

具体的な項。 具体的な項。

一意選択∀ 𝑥 ,∃𝑦 ,𝑃 (𝑥 , 𝑦 )

∀ 𝑥 ,∃!𝑦 ,𝑃 (𝑥 , 𝑦 )

∀ 𝑥 , {𝑦|𝑃 (𝑥 , 𝑦 ) } { 𝑓 |∀ 𝑥 ,𝑃 (𝑥 , 𝑓 (𝑥 ) )}

∃ 𝑓 , ∀𝑥 ,𝑃 (𝑥 , 𝑓 (𝑥 ) )各点での存在のみ。

各点での一意存在。

一様に存在。

具体的な項。 具体的な項。

一意選択各点で一意存在するなら一様に存在ClassicalUniqueChoice.unique_choice

選択∀ 𝑥 ,∃𝑦 ,𝑃 (𝑥 , 𝑦 )

∀ 𝑥 ,∃!𝑦 ,𝑃 (𝑥 , 𝑦 )

∀ 𝑥 , {𝑦|𝑃 (𝑥 , 𝑦 ) } { 𝑓 |∀ 𝑥 ,𝑃 (𝑥 , 𝑓 (𝑥 ) )}

∃ 𝑓 , ∀𝑥 ,𝑃 (𝑥 , 𝑓 (𝑥 ) )各点での存在のみ。

各点での一意存在。

一様に存在。

具体的な項。 具体的な項。

選択各点で存在するなら一様に存在ClassicalChoice.choice

関係選択∀ 𝑥 ,∃𝑦 ,𝑃 (𝑥 , 𝑦 )

∀ 𝑥 ,∃!𝑦 ,𝑃 (𝑥 , 𝑦 )

∀ 𝑥 , {𝑦|𝑃 (𝑥 , 𝑦 ) } { 𝑓 |∀ 𝑥 ,𝑃 (𝑥 , 𝑓 (𝑥 ) )}

∃ 𝑓 , ∀𝑥 ,𝑃 (𝑥 , 𝑓 (𝑥 ) )各点での存在のみ。

各点での一意存在。

一様に存在。

具体的な項。 具体的な項。

関係選択各点での存在を一意存在に絞れるRelationalChoice.relational_choice

記述∀ 𝑥 ,∃𝑦 ,𝑃 (𝑥 , 𝑦 )

∀ 𝑥 ,∃!𝑦 ,𝑃 (𝑥 , 𝑦 )

∀ 𝑥 , {𝑦|𝑃 (𝑥 , 𝑦 ) } { 𝑓 |∀ 𝑥 ,𝑃 (𝑥 , 𝑓 (𝑥 ) )}

∃ 𝑓 , ∀𝑥 ,𝑃 (𝑥 , 𝑓 (𝑥 ) )各点での存在のみ。

各点での一意存在。

一様に存在。

具体的な項。 具体的な項。

記述各点での一意存在を具体的な項にDescription.constructive_definite_description

不定記述∀ 𝑥 ,∃𝑦 ,𝑃 (𝑥 , 𝑦 )

∀ 𝑥 ,∃!𝑦 ,𝑃 (𝑥 , 𝑦 )

∀ 𝑥 , {𝑦|𝑃 (𝑥 , 𝑦 ) } { 𝑓 |∀ 𝑥 ,𝑃 (𝑥 , 𝑓 (𝑥 ) )}

∃ 𝑓 , ∀𝑥 ,𝑃 (𝑥 , 𝑓 (𝑥 ) )各点での存在のみ。

各点での一意存在。

一様に存在。

具体的な項。 具体的な項。

不定記述各点での存在を具体的な項にIndefiniteDescription.constructive_indefinite_description

古典論理古典論理 命題の真偽で場合分けする証明

Classical.classic

情報つき排中律 命題の真偽で場合分けする構成対応する公理なしClassicalDescription.excluded_middle_informative

非古典論理のもとでの不定記述不定記述 各点での存在を具体的な項に

IndefiniteDescription.constructive_indefinite_description

ヒルベルトの 𝜀 「酒場のパラドックス」型不定記述Epsilon.epsilon_statement非古典論理では不定記述より強い