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Triângulos
Esféricos
J. Meléndez/R. Boczko IAG-USP
03
11
2011
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Elementos de
Geometria Espacial
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Grandes e pequenos
círculos
O Círculo
máximo
r = R
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B C
O
Plano
fundamental
p
Polo e plano fundamentais Polo
fundamental
P
Eix
o
fun
dam
en
tal
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Ângulo entre a porta verde e a
parede violeta
Ângulo
diedro
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Ângulo entre os planos a e b
b
a
i
i a b
Linha intersecção
dos 2 planos
Ângulo
diedro
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Ângulo diedro
b
b
i
Q
Ângulo diedro entre a e b
é o ângulo C entre a e b
a i
b i a
a
C
a a
b b
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Ângulo diedro A na esfera A
B C
O
A
b g
A ( b,g )
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Reta t tangente a uma
circunferência
r t
O
t r
T
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Ângulo diedro A dado por tangentes
B C
O
A
A
A
A ( b,g )
O símbolo será
usado com o
significado de
"Por definição"
Tangente, por A,
ao arco AC.
Será paralela ao
raio OC.
r // AC Tangente, por A,
ao arco AB.
Será paralela ao
raio OB.
s // AB
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Esfera
trigonométrica
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Ângulo central
A
O
b
C
b
r 1
b AÔC
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Triângulo
esférico
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Triângulo esférico numa
melancia
Triângulo esférico
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Definição de
Triângulo Esférico
A
B C
O
c
b
a
A, B, C = vértices a,b,c = lados
Triângulo
esférico é a
região da esfera
delimitada pela
intersecção,
dois a dois, de 3
planos
passantes pelo
centro da esfera
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Triângulo esférico A
B
C
O
c
b
a
r
r
r
a , b , c : lados do triângulo esférico = medidas dos ângulos centrais
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Lados do triângulo esférico A
B
C
O
c
b
a
r
r
r a
b
c
a , b , c : lados do triângulo esférico = medidas dos ângulos centrais
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Ângulos do Triângulo Esférico A
O
A
A
A,B,C = ângulos diedros = ângulos entre cada um dos pares de círculos
B
C
B’ C’
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Elementos de um Triângulo
Esférico
A A
B
B
C
C a
b
c
A,B,C = vértices
A,B,C = ângulos diedros
a,b,c = lados do triângulo
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Fórmula do co-seno num
triângulo plano
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Relacionar 3 lados e 1 ângulo
de um triângulo plano
a b
c
a
a2 = b2 + c2 - 2 . b . c . cos a
A B
C
Fórmula do co-seno
num triângulo qualquer
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Fórmula do
seno & co-seno
num triângulo
esférico
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Resumo das Fórmulas
de Trigonometria
Esférica
sen a . cos B = cos b . sen c - sen b . cos c . cos A
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
Co-seno
Seno
Seno & Co-seno
A
B
C
a
c
b
sen a sen b sen c ---- = ---- = ---- sen A sen B sen C
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Esterorradiano
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Ângulo sólido
A / R2
R
A
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Esterorradiano (esteradiano)
A / R2 R
A
A R2
1 sr
ângulo sólido subentendido no centro da esfera de raio
R por uma porção de superfície de área R2
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Ângulo sólido numa esfera
completa
A / R2
R
A Aesfera 4 p R2
esfera 4 p sr
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Fim