correction narration de recherche problème n°7 : le combat entre lhomme et la machine
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Correction narration de recherche problème n°7 :
Le Combat entre l’Homme et la Machine
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Quel Combat ?
Non : on veut savoir lequel calcule le mieux.
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Regardons l’énoncé
En math, 25 veut dire 22222. On dit 2 élevé à la puissance 5.
1) Combien vaut 35
2) Combien vaut 75 ?
3) Combien vaut 115 ?
4) Quel est le chiffre des unités de 55 ? 205 ? 415 ? 725 ? 985 ? 995 ? 1015 ? 127 5 ? 342 4565 ? 14 520 000 005 487 123 3695 ?
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Début de la rechercheVous vous lancez dans les calculs de puissance. Mais que veut dire 3 puissance 5?
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La même question dans tous les groupes :
Est ce que 35 =3 5 ?
Vous en débattez mais les débats n’apparaissent pas toujours dans vos copies
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Ou ailleurs :
Vous aboutissez à une vraie réflexion mathématique : 35 3 5
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Une fois d’accord sur la notion de puissance (qui fait partie du programme de 4°), vous commencez à calculer.
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Certains n’indiquent pas comment ils calculent, les résultats sont vaguement écrits.
Alors qu’une ou deux phrases suffisent
La calculatrice vous permet d’avancer assez vite …
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Tous les groupes les uns après les autres font la même constatation :
Mais problème : est ce que ça fonctionne pour tous les nombres ?
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Mais problème : est ce que ça fonctionne pour tous les nombres ?
Certains se posent des questions :
D’autres utilisent ce truc sans chercher à le prouver.
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Mais problème : est ce que ça fonctionne pour tous les nombres ?
Ce sera notre discussion dans quelques instants…
Est ce que le chiffre des unités du résultat est celui du départ?
Mais d’abord, regardons un peu la suite du problème…
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L’apparition des difficultés
Arrivent ensuite plusieurs difficultés :
Autant dire, je n’ai pas trop envie de travailler…
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L’apparition des difficultésMais la vraie difficulté vient de la calculatrice
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L’apparition des difficultés
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L’apparition des difficultés
Certains ne se posent aucune question et recopient une partie de ce qu’ils lisent
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L’apparition des difficultés
Mais au fait, pourquoi la calculatrice ne veut pas écrire la réponse ?
1005 =100100100100100 =10 000 000 000
Donc la calculatrice ne permet pas de répondre aux dernières questions…
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Il faut trouver autre chose que la calculatrice pour les grands nombres…
Quel est le chiffre des unités de 55 ? 205 ? 415 ? 725 ? 985 ? 995 ? 1015 ? 127 5 ? 342 4565 ? 14 520 000 005 487 123 3695 ?
3 méthodes possibles :
1) Calculer à la main
2) Chercher une calculatrice plus performante
3) Trouver un « truc » qui fonctionne à tous les coups
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Où est la méthode?Avant de voir les 3 méthodes, remarquons que certains concluent sans expliquer, écrivant des nombres « au hasard? »
Ces résultats sont à l’encontre du « truc » que TOUT le monde a remarqué.
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1ère méthode : calculer à la main
Méthode peu utilisée pour les
grands nombres…
Attention à l’écriture
mathématique…
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1ère méthode : calculer à la main
Et le calcul est correct…
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1ère méthode bis : calculer à la main intelligemment
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2ème méthode : chercher une autre calculatrice plus performante
Un exemple : Excel
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3ème méthode : trouver un truc
Au fait : est ce que ça marche? Est ce que ça marche TOUT LE TEMPS, pour tous les nombres?
Il faut le vérifier !!!
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3ème méthode : trouver un truc
1) Où sont les vérifications?
2) Et est-ce suffisant? Pourquoi seulement 3 nombres?
Deux questions?
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3ème méthode : trouver un truc
C’est le même problème !
1) Où sont les vérifications
2) Et est-ce suffisant? Pourquoi seulement 3 nombres
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3ème méthode : trouver un truc
Certains d’entre vous ont bien suivi les conseils que nous avons donnés :
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Prouver « le truc »
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Prouver « le truc »
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Prouver « le truc »Dans toutes les multiplications, dans tous les produits, le chiffre des unités vient de la multiplication des unités des facteurs.
Ex : 27
29
2 3 3
5 4 00
7 7 3
7 9 = 6 3 Le 6 est mis en retenue…
Donc il reste à poser le 3
Qu’on ajoute à rien du tout à cause du zéro « de décalage ».
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Prouver « le truc »Dans toutes les multiplications, dans tous les produits, le chiffre des unités vient de la multiplication des unités des facteurs.
Ex : 15
1 2 5
7 5
3 0 00
1 5 0 00 0
1 8 7 5
5 5 = 2 5 Le 2 est mis en retenue…
Donc il reste à poser le 5
Qu’on ajoute à rien du tout à cause des zéros « de décalage ».
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Prouver « le truc »Si maintenant on veut multiplier 12 13 14
1 2
13
3 6
1 2 00
1 5 6
1 5 6
1 4
6 2 4
6 0 00
1 5 6 0 00 0
1 6 8 2 4 On retrouve le chiffre des unités comme la multiplication des chiffres des unités.
Donc 12 13 14= 16 824
Donc il suffit de regarder le chiffre des unités :
2 3 4 = 24…
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Prouver « le truc »
Donc pour trouver le chiffre des unités de 1015, il suffit de calculer 1 1 1 1 1 =1
Donc le chiffre des unités de 1015 est 1.
Donc pour trouver le chiffre des unités de 1275, il suffit de calculer 7 7 7 7 7 =16 087
Donc le chiffre des unités de 1275 est 7.
Maintenant regardons tous les chiffres élevés à la puissance 5
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Prouver « le truc »
Et là, on est sur que tout nombre qui se termine par 0, si on l’élève à la puissance 5, le résultat finira par 0
tout nombre qui se termine par 1, si on l’élève à la puissance 5, le résultat finira par 1
Et ainsi de suite…
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On résume
Qu’a t on démontré?
1) Dans une multiplication, le chiffre des unités vient de la multiplication des unités
2) Et si un nombre est élevé à la puissance 5, le chiffre des unités est le même que celui de départ.
Ceci est dû aux résultats de 05;15; 25;…
On prolonge ?