correction td7 sa
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7/24/2019 Correction TD7 SA
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TD SA n7 : lments de correction
1) Labaque de Black nest utilisable que dans le cas dun bouclage par retour unitaire ; cest
le cas ici. Pour ltude en frquence, on substitue ppar j . On obtient :
0,53,5
1 0, 2
je
T j j j
Dtermination du module
0,53,5
1 0, 2
jeT j
j j
220 3,5 20 20 1 0, 04dBT j Log Log Log
210,88 20 10 1 0, 04dB
T j Log Log
Dtermination de largument
0,53,5 1 0, 2jArg T j Arg Arg e Arg j Arg j
180
0,5 90 0, 2Arg T j Arctan
Une programmation de la calculatrice, en mode degr,permet dobtenir le tableau ci-dessous :
( / )rad s 0,1 0,2 0,5 0,7 1 1,5 2 2,5 3 4
dB
T j 30,9 24,8 16,9 13,9 10,7 7 4,2 2 0 -3,3
Arg T j -94 -98 -110 -118 -130 -150 -169 -188 -207 -243
Lieu de Black de la FT
Dphasage Entre/Sortie (deg)
Gain(dB)
-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-20
-10
0
10
20
30
40
6 dB
3 dB
1 dB
0.5 dB
0.25 dB
0 dB
-1 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
-20 dB
Figure 1
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7/24/2019 Correction TD7 SA
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Selon le critre de revers, la boucle obtenue par bouclage retour unitaire est instable. On ne
peut dont dfinir de marge la stabilit.
2) Correction proportionnelle
Il faut descendre le lieu de Black de sorte quil passe par le point de coordonnes BO
(0dB,-180+45=135).
On lit sur la courbe : ( ( )) 135 9, 75Arg T j GdB dB
Il faut dont ajouter -9,75dB la courbe pour obtenir une marge de phase de 45.
20 9, 75RLog K dB 9,75
2010 0,33RK
.
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Open-LoopGain(dB)
-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
6 dB
3 dB
1 dB
0.5 dB
0.25 dB
0 dB
-1 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
-20 dB
System: ftbo
Phase Margin (deg): -26.9
Delay Margin (sec): -0.157At frequency (rad/sec): 3
Closed Loop Stable? No
System: ftbocpro
Phase Margin (deg): 45
Delay Margin (sec): 0.698At frequency (rad/sec): 1.13
Closed Loop Stable? Yes
Figure 2
3) Correcteur avance de phase
Le correcteur avance de phase a pour structure : 1
11
a T pC p avec a
T p
Il permet dajouter une avance de phase max1
arcsin1
a
a
la pulsation
1
T a
.
Ici, le lieu de black de la FTBO coupe laxe des 0dB en un point dabscisse0
207dB
la
pulsation de coupure0
3,1 /c dB rad s .
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Pour obtenir une marge de phase de 45, on va donc devoir ajouter une avance de phase de
max 207 135 72 la pulsation 0 3,1 /c dB rad s .
Le calcul donne :
Il reste compenser le gain introduit par ce correcteur la pulsation correcteur,
On calcule 0c dBC j 2.0136 + 6.1575j =6,48 72 ; Ce correcteur apporte bien 72 dephase supplmentaire comme requis, mais aussi il amplifie dun facteur 6,48 cette pulsation.
Cette amplification modifie la pulsation de coupure qui permet de dfinir la marge de phase !
On compense donc cette amplification non souhaite pour rtablir la pulsation de coupure etpar suite
Au final, 1 2.093
0,1544.1 0.0531
pC p
p
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Open-LoopGain(dB)
-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
6 dB
3 dB
1 dB
0.5 dB
0.25 dB
0 dB
-1 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
-20 dB
System: ftbo
Phase Margin (deg): -26.9
Delay Margin (sec): -0.157
At frequency (rad/sec): 3
Closed Loop Stable? No
System: ftbocavan
Phase Margin (deg): 44.9
Delay Margin (sec): 0.261
At frequency (rad/sec): 3
Closed Loop Stable? Yes
Figure 3
max
max
max
1 sin1arcsin
1 1 sin
1
aa
a
Ta
40
53
a
T ms
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4) Correcteur retard de phase
Le correcteur retard de phase a pour structure : 1
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T pC p avec b
b T p
Le but est de modifier le lieu de Black de la fonction de transfert corrige en boucleouverte de sorte que le critre de revers soit respect.
Le correcteur retard de phase permet dajouter du gain en basse frquence ou, selon
un autre point de vue, de diminuer le gain au del dune certaine frquence. Cest ce second
point de vue qui nous intresse ici, on va attnuer le gain dans la boucle ouverte, de sorte que
le lieu de la figure 1 sabaisse au dessous du point critique. Il faut alors dimensionner ce
correcteur pour que le retard de phase induit nait pas dinfluence dans la bande de frquence
autour du point critique.
A partir de la pulsation de coupure1
T
, la correcteur retard de phase apporte une
attnuation de 20Log b dB.
On doit dimensionner ce type de correcteur pour avoir une marge de gain de 10dB. Ici, le lieu
de black de la FTBO coupe laxe des -180 de dphasage en un point dordonne
2,9GdB dB la pulsation de 2, 32 /rad s .
Pour obtenir la marge de gain de 10dB, il faut donc ajouter 12,9dB cette pulsation.
Pour que le retard de phase introduit par ce correcteur ne soit pas oprant dans la gamme de
frquence autour du point critique , on va considrer une frquence de coupure du
correcteur plus petite dun facteur 10, approximation classique dune dcade pour lesfonctions de transfert du 1erordre.
Le calcul donne
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Open-LoopGain(dB)
-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
6 dB
3 dB
1 dB
0.5 dB
0.25 dB
0 dB
-1 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
-20 dB
System: ftbocret
Gain Margin (dB): 9.41
At frequency (rad/sec): 2.16
Closed Loop Stable? Yes
Figure 4
20 ( ) 12,9
1
10
Log b
T
4,42
4,31
b
T
1 4, 31
1 19,05
pC p
p
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-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
6 dB
3 dB
1 dB
0.5 dB
0.25 dB
0 dB
-1 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
-20 dB
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Open-LoopGain(dB)
Figure 5
Au regard des marges de stabilit, le correcteur retard de phase est, ici, plus performant.
Remarque : le fait que le correcteur retard de phase ait une marge de phase de 45, identique
celles obtenues pour les correcteurs proportionnel et avance de phase est fortuit.
La fonction de transfert considrer pour tracer le lieu de black demand est :
0,53, 5 1 4, 31
1 19, 05 1 0, 2
jj eFTBOC j
j j j
( / )rad s 0,1 0,2 0,5 0,7 1 1,5 2 2,5 3 4
dB
T j 25 15,35 4,74 1,41 -2 -5,82 -8,6 -10,9 -12,9 -16,2
Arg T j -133 -132 -129 -132 -140 -156 -174 -188 -211 -246
Etude des erreurs de positions et de vitesse dans les diffrents cas de figure :
Le cours donne les dfinitions de ces erreurs en fonction de lordre et du t ype du systme. On
peut prfrer, dune manire plus gnrale, recalculer ces erreurs partir de leurs dfinitions
intrinsques :
lim
lim
positiont
vitesset
t pouruneentreen chelon
t pouruneentreen rampe
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0
20
1lim 1
1lim 1
positionp
vitessep
p FTBF pp
p FTBF pp
Si le bouclage envisag est unitaire :
1
1 11 1
FTBO p denFTBOFTBF p
FTBO p FTBO p denFTBO numFTBO
Au final,
0
0
lim
1lim
positionp
vitesset
denFTBO
denFTBO numFTBO
denFTBO
p denFTBO numFTBO
1.
Le systme possde un intgrateur dans la chane directe, on peut donc affirmer que
lerreur de position est nulle, quelque soit la correction envisage.
2. Le systme est de type 1. Plus le gain dans la boucle est important et plus lerreur de
vitesse est faible.
0,53,5
1 0, 2
peFTBONC j
p p
0,33
RK
1 2.0930,1544.
1 0.0531
p
p
1 4, 31
1 19,05
p
p
0
1limp
denFTBO
p denFTBO numFTBO
1
0,33 3,5
1
0,1544 3,5
1
3,5
Erreur de vitesse 87 % 185% 28,6%
Ici, selon ce critre, cest le correcteur retard de phase qui est le plus performant.
Au final, cest le correcteur retard de phase qui est le plus adapt des 3 correcteurs
envisags. La boucle obtenue est la fois plus stable et un suivi de consigne plus rapide.