corrigé exercice 1 : diffÉrentes configurations d’un train...
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CORRIGÉ EXERCICE 1 : DIFFÉRENTES CONFIGURATIONS D’UN TRAIN ÉPICYCLOÏDAL. .............................. 1
CORRIGÉ EXERCICE 2 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE IV. ................................................................. 2
Exemple 2.1 : Poulies Redex. ......................................................................................................... 2
Exemple 2.2 : Boîtier de commande de raboteuse. ........................................................................ 3
CORRIGÉ EXERCICE 3 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE III. .................................................................. 4
Exemple 3.1 : Réducteurs ATV. ...................................................................................................... 4
CORRIGÉ EXERCICE 4 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE I. .................................................................... 5
Exemple 4.1 : Treuil-Palan de pont roulant. .................................................................................... 5
Exemple 4.2 : Réducteur à 2 vitesses. ............................................................................................ 9 Vous devez être capable de déterminer la loi E/S en vitesse de trains épicycloïdaux selon 2 méthodes différentes :
par la cinématique graphique (voir exercice du treuil-palan),
à l’aide de la relation de Willis.
Corrigé Exercice 1 : DIFFÉRENTES CONFIGURATIONS D’UN TRAIN ÉPICYCLOÏDAL.
Question 1 : Reprendre le train de type II du cours et compléter les tableaux suivants, représentant les différentes configurations possibles de ce train.
Caractéristique du train épicycloïdal
Satellite Porte
satellite Planétaire
A Planétaire
B Relation de Willis Raison de base du train
2 4 1 3 1/0 3/0 4/0. 1 . 0
4/0
1/0 1 32'
3/0 1 2''0
( 1) . .zz
z z
Utilisation possible
Pièce d’entrée
Pièce de sortie
Pièce fixe/bâti 0
Relation de Willis simplifiée avec e et s, et en tenant compte de la pièce qui est fixe
Rapport de transmission : /0
/0
e
s
i
1 3 4 /0 /0. 0e s /0
/0
e
s
i
1 4 3 /0 /01 . 0e s /0
/0
1e
s
i
3 1 4 /0 /0. 0s e /0
/0
1e
s
i
3 4 1 /0 /0. 1 . 0e s /0
/0
1e
s
i
4 1 3 /0 /01 . 0s e /0
/0
1
1
e
s
i
4 3 1 /0 /0. 1 . 0s e /0
/0 1
e
s
i
4, 3 1 /0 1/0 2/0. 1 . 0s e e
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Corrigé Exercice 2 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE IV.
Exemple 2.1 : Poulies Redex. (Selon le concours École de l’Air filière PSI 2004)
Satellite 6, 10
Porte satellite 5
1
er cas : on choisit
Planétaire A 31
Planétaire B 24
Train épicycloïdal (de raison de base 1 ) :
31/0 1 24/0 1 5/0. 1 . 0
avec
5/0
31/0 2 6 241
24/0 31 100
( 1) . . 1,17z z
z z
2ème
cas : on choisit
Planétaire A 24
Planétaire B 31
Train épicycloïdal (de raison de base 2 ) :
24/0 2 31/0 2 5/0. 1 . 0
avec
5/0
24/0 2 10 312
31/0 24 60
( 1) . . 0,856z z
z z
Utilisation : 24 fixe par rapport à 0, 5 est l'entrée e et 31 la sortie s (5=e et 31=s)
D'où : /0 1 /01 . 0s e
/0
/0 1
15,9
1
e
s
D'où : 2 /0 2 /0. 1 . 0s e
/0 2
/0 2
5,91
e
s
On retrouve bien le même rapport de réduction dans les 2 cas. Ainsi le choix du planétaire A ou B n’a pas d’importance dans la relation de Willis.
31
6 10
5
24
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Exemple 2.2 : Boîtier de commande de raboteuse.
Question 1 : Déterminer, en fonction des nombres de dents des roues dentées, la relation entre
1/0 2/0 /0,e e set .
Train épicycloïdal :
Train simple : 8/0 1 13
13/0 8
( 1) .z
z
Utilisation : 110 e 28 e 11 s
D'où : 9 9 811 111/0 /0 2/0
10 9 10 9 13
. . . 1 . . 0B Be s e
C C
z z zz z
z z z z z
Question 2 : Déterminer, après avoir formulé l’hypothèse qui convient, la relation entre les iz liée aux
conditions géométriques de montage des roues dentées.
Pour le train épicycloïdal : 10 9 11 9B CR R R R 10 9 11 9B Cz z z z
Moteur 2
11 10
9B 9C
13
8
Moteur 1 Sortie
10/0 11/0 13/0. 1 . 0
avec
13/0
10/0 2 9 11
11/0 10 90
( 1) . .B
C
z z
z z
Satellite 9
Porte satellite 13
Planétaire A 10
Planétaire B 11
Si et seulement si les modules des 2 engrenages sont égaux,
car d=m ;z
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Corrigé Exercice 3 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE III.
Exemple 3.1 : Réducteurs ATV.
Voir exemple donné dans le cours (page 24) pour le schéma cinématique et le calcul...
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7
5
4
2
1
10d 10g
Emplacement du câble
Tambour (qui était non représenté sur le plan ci-dessus)
22
25
23
Corrigé Exercice 4 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE I.
Exemple 4.1 : Treuil-Palan de pont roulant. Étude analytique du réducteur seul (sans la partie frein).
Question 1 : Compléter le repère des pièces dans le tableau décrivant les 2 trains épicycloïdaux (droite et gauche).
Question 2 : Déterminer la condition géométrique de montage qui relie les iz .
Pour le 1er
train épicycloïdal : 10 1 22.dD D D 10 1 22.dz z z
(pour pouvoir engrener ensemble, il faut 10 1 2dm m m )
Pour le 2ème
train épicycloïdal : 10 4 52.gD D D 10 4 52.gz z z
(pour pouvoir engrener ensemble, il faut 10 4 5gm m m )
Question 3 : Indiquer les repères des pièces matérialisant l’entrée et la sortie du système.
Pièce d’entrée : arbre 1 Pièce de sortie : arbre 7
Train
épicycloïdal 1 Train
épicycloïdal 2
Satellite 2 5
Porte satellite 4 7
Planétaire A 1 4
Planétaire B 10d (droite) 10g (gauche)
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Question 4 : Déterminer littéralement, en fonction des nombres de dents, le rapport de transmission.
Train épicycloïdal 1 (de raison de base 1 ) :
1/0 1 10 /0 1 4/0. 1 . 0d avec
4/0
1/0 1 10 1021
10 /0 2 1 10
( 1) . .d d
d
z zz
z z z
Train épicycloïdal 2 (de raison de base 2 ) :
4/0 2 10 /0 2 7/0. 1 . 0g avec
28/0
10 104/0 1 52
10 /0 5 4 40
( 1) . .g g
g
z zz
z z z
Utilisation :
10 /0 10 /0
1/0 /0
7/0 /0
0d g
e
s
Par conséquent :
Train épicycloïdal 1 donne : /0 1 4/01 . 0e
Train épicycloïdal 2 donne : 4/0 2 /01 . 0s
D’où : /0 1 2 /01 . 1 . 0e s
10/0 10
1 2/0 1 4
1 . 1 1 . 1ge d
s
zz
z z
1 10 4 10/0
/0 1 4
( )( )
.
d ge
s
z z z z
z z
Question 5 : Compléter le tableau page précédente indiquant le nombre de dents, le module et les diamètres primitifs des différents pignons ou couronnes.
On a i i iD m z et 10 1 2
10 4 5
d
g
m m m
m m m
Question 6 : En déduire la valeur numérique du rapport de réduction du système.
A.N. : /0
/0
34e
s
Nombre de dents
Module Diamètre primitif
Pignon arbré 1 21 2 42
Pignon rapporté 2 51 2 102
Couronne 10d 123 2 246
Pignon arbré 4 23 3 69
Pignon rapporté 5 34 3 102
Couronne 10g 91 3 273
(10d et 10g solidaires du bâti).
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Étude graphique du réducteur seul (sans la partie frein).
Question 7 : Identifier les solides en mouvement quelconque. En déduire les positions des CIR qui seront nécessaires lors de l’utilisation d’une méthode graphique.
Solides en mouvement quelconque : Les satellites 2 et 5.
On aura certainement besoin d’utiliser : 2/0I D et 5/0I G (tout point de RSG est un CIR).
Question 8 : Imaginer et mettre en œuvre une démarche pour déterminer graphiquement (dans la position du système décrite sur la figure) le vecteur vitesse du centre F de la roue 5 par rapport au
bâti 0 : 5/0FV . (Justifier les différentes étapes de la construction).
7/0 5/0F FV V 5/0
5/0 4/0E E
I
V V
NB : 10d = 10g = 0 le bâti.
1) Tout point de roulement sans glissement est un Centre Instantané de Rotation donc :
2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point B, on obtient 2/0 2/1 1/0 1/0B B B BV V V V
(car, comme 2/1B I , on a 2/1 0BV ).
3) Connaissant 2/0I et 2/0BV , on détermine 2/0CV par la répartition linéaire des vitesses.
4) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point C, on obtient 4/0 4/2 2/0 2/0C C C CV V V V
(car, comme C centre de la rotation de 4/2, on a 4/2 0CV ).
5) Connaissant A et 4/0CV , on détermine 4/0 5/0E EV V par la répartition linéaire des vitesses.
6) Connaissant 5/0I et 5/0EV , on détermine 5/0 7/0F FV V par la répartition linéaire des vitesses.
4/0 2/0C C
A
V V
2/1B I
2/0D I
5/4E I
5/0G I
2/0
2/0 1/0B B
I
V V
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Question 9 : Justifier que 5/0 7/0F FV V . En déduire, en utilisant les propriétés du théorème de Thalès
(proportionnalité des côtés dans les triangles de répartition linéaire des vecteurs vitesse), la
relation entre 7/0FV , 1/0BV , 1R , 2R et 4R .
En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point F, on obtient 7/0 7/5 5/0 5/0F F F FV V V V
(car, comme F est le centre de la rotation du mouvement de 5/7, on a 7/5 0FV ).
D’après le théorème de Thalès, on a successivement :
5/0 5
55/0
1
2. 2
F
E
V R
RV
4/0 4
1 24/0
E
C
V R
R RV
2/0 2
22/0
1
2. 2
C
B
V R
RV
d’où 5/0 4/0 2/0 4
1 25/0 4/0 2/0
1 1. . . .
2 2
F E C
E C B
V V V R
R RV V V
donc 45/0 2/0
1 2
1. .
4F B
RV V
R R
Question 10 : En déduire, en fonction de 1R , 2R , 4R et 5R , le rapport de transmission.
Les mouvements de 1/0 et 7/0 sont des mouvements de rotation d’axe (AA’), donc :
7/0 7/0 7/0 4 5. ' .( )FV A F R R
1/0 1/0 1/0 1. .BV AB R
En remarquant que les deux vecteurs vitesses 7/0FV et 1/0BV ont même sens, on obtient le rapport de
transmission :
47/0 4 5 1/0 1
1 2
1.( ) . . .
4
RR R R
R R
1/0 4 5 1 2
7/0 4 1
4.( )( )
.
R R R R
R R
Question 11 : Retrouver, à l’aide du résultat de la question 2, le rapport de transmission en fonction du nombre de dents.
Comme 10 1 22.dR R R et 10 4 52.gR R R (voir question 2)
On a :
10 4 4 10 410 1 1 10 14 1
1/0
7/0 4 1 4 1
2. 2.4.( )( ) 4.( )( )
2 2 2 2
. .
g gd dR R R R RR R R R R
R R
R R R R
4 10 1 10 1 10 4 10 1 10 4 101/0
7/0 4 1 1 4 1 4
( )( ) ( )( ) ( )( )
. . .
g d d g d gR R R R R R R R D D D D
R R R R D D
C'est-à-dire en fonction du nombre de dents : 1 1 1 10 2 4 2 101/0
7/0 1 1 2 4
( . . )( . . )
. . .
d gm z m z m z m z
m z m z
1 10 4 101/0
7/0 1 4
( )( )
.
d gz z z z
z z
On retrouve bien le même rapport de transmission qu’avec la relation de Willis (question 4).
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Exemple 4.2 : Réducteur à 2 vitesses.
Question 1 : Déterminer la vitesse de rotation de l’arbre de sortie 1 en fonctionnement « Petite Vitesse », puis en fonctionnement « Grande Vitesse ».
Entrée Grande vitesse
Entrée
Petite vitesse
Sortie
28
36
8
25 13
34
37
19 17
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Train épicycloïdal 1 Train épicycloïdal 2
Satellite 37 36
Porte satellite 17 28
Planétaire A 19 17
Planétaire B 25 8
Train épicycloïdal 1 (de raison de base 1 ) :
19/0 1 25/0 1 17/0. 1 . 0 avec
17/0
19/0 1 25 371
25/0 37 190
83( 1) . . 4,37
19
z z
z z
Train épicycloïdal 2 (de raison de base 2 ) :
17/0 2 8/0 2 28/0. 1 . 0 avec
28/0
17/0 1 8 362
8/0 36 170
79( 1) . . 4,65
17
z z
z z
Réducteur roue 13 et vis sans fin 34 :
34/0 13
13/0 34
4141
1
z
z
(plus ou moins, selon que la vis ait un pas à droite ou à gauche)
Utilisation :
On a 19/0 18/0 , 28/0 1/0 et 25/0 13/0 (pièces solidaires entre elles)
De plus 8/0 0 (8 solidaire du bâti).
Par conséquent :
Train épicycloïdal 1 donne : 34/018/0 1 1 17/0. 1 . 0
41
Train épicycloïdal 2 donne : 17/0 2 1/01 . 0
D’où 34/018/0 1 1 2 1/0. 1 . 1 . 0
41
34/0
1/0 18/0 11 2
1.
411 . 1
1/0 18/0 34/00,033.( 0,107. )
Fonctionnement en petite vitesse ( 18/0 0 et 34/0 1500 / mintr ) 1/0 5,3 / mintr
Fonctionnement en grande vitesse ( 18/0 34/0 1500 / mintr ) 1/0 44,2 / min 54,8 / mintr ou tr
NB : si on choisit de prendre :
-0,107, on trouve 1/0 5,3 / mintr (petite vitesse) et 1/0 44,2 / mintr (grande vitesse)
+0,107, on trouve 1/0 5,3 / mintr (petite vitesse) et 1/0 54,8 / mintr (grande vitesse)
Comme les 2 vitesses sont dans le même sens, les solutions sont :
1/0 5,3 / mintr (petite vitesse) et 1/0 54,8 / mintr (grande vitesse)