Corrig exercice 2 Mthode de dichotomie pour la rsolution dune quation f ( x ) = 0 Thorme : Soit f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a0 ; b0 ] telle que

f ( a0 ) f ( b0 ) 0 , le corollaire du TVI assure alors que lquation f ( x ) = 0 admet une unique solution dans [a0 ; b0 ] . Donc [a0 ; b0 ] est donc un encadrement de damplitude b0 a0Etude dun exemple : Ici f est la fonction dfinie sur R par f ( x ) = x + 2 x 1 Justifier que f ( x ) = 0 a une unique solution dans R , montrer que 0 13

Corrig : f est un polynme donc drivable sur R. Pour tout x R , f ' ( x ) = 3 x + 2 2 > 0 Donc f est strictement croissante sur R.x

lim f ( x ) =

polynme

Le TVI assure alors que lquation f ( x ) = 0 admet une unique solution

x

lim x 3 = ; lim f ( x ) =x +

polynme

x +

lim x 3 = + ; et 0 ] ;+[

dans R.

De plus f est une fonction continue et strictement croissante sur lintervalle [0;1] , car sur R, et f ( 0 ) f ( 1 ) = 0 , 125 0 , le corollaire du TVI assure alors que lquation f ( x ) = 0 admet une unique solution

dans [0;1] .

Consquence:Lquation f ( x ) = 0 admet une unique solution

dans R, et [0;1]3

Mettre en place sur une feuille Excel le calcul dun encadrement damplitude 10 3 solution de lquation f ( x ) = x + 2 x 1 = 0 , par la mthode de Dichotomie. Corrig :n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 0 0 0,25 0,375 0,4375 0,4375 0,453125 0,453125 0,453125 0,453125 0,453125 bn M=(an+bn)/2 f(an) f(M) f(an)*f(M) 1 0,5 -1 0,125 -0,125 0,5 0,25 -1 -0,484375 0,484375 0,5 0,375 -0,484375 -0,19726563 0,09555054 0,5 0,4375 -0,19726563 -0,04125977 0,00813913 0,5 0,46875 -0,04125977 0,04049683 -0,00167089 0,46875 0,453125 -0,04125977 -0,00071335 2,9433E-05 0,46875 0,4609375 -0,00071335 0,01980734 -1,413E-05 0,4609375 0,45703125 -0,00071335 0,00952607 -6,7954E-06 0,45703125 0,45507813 -0,00071335 0,00440115 -3,1396E-06 0,45507813 0,45410156 -0,00071335 0,0018426 -1,3144E-06 0,45410156 0,45361328 -0,00071335 0,0005643 -4,0254E-07

de la

bn-an 1 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125 0,015625 0,0078125 0,00390625 0,00195313 0,00097656

test continuer continuer continuer continuer continuer continuer continuer continuer continuer continuer Stop

[0 ,4531250 ; 0 ,4541016] ; amplitude =0,000 9766 < 0,001

Lyce Berthelot L.Gulli

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Corrig exercice Dichotomie