Concours National Commun – Session 2012 – Filière MP

Corrigé du CNC 2012 : Physique 2

1èr Problème : Champ magnétique et induction

1 Partie1 : Magnétostatique dans le vide

1.1 Équation de Maxwell

1.1.1 Les équation de Maxwell :

√ −→∇.−→E (M, t) = ρ(M,t)

ε0;−→∇ ∧−→

E (M, t) = −∂−→B (M,t)∂t ;

−→∇.−→B (M, t) = 0 ;

−→∇ ∧−→B (M, t) = µ0

−→j (M, t) + 1

c2∂−→E (M,t)∂t

1.1.2 Les équations Maxwell en régime stationnaire :

√ −→∇.−→E (M) = ρ(M)

ε0;−→∇ ∧−→

E (M) = 0 ;−→∇.

−→B (M) = 0 ;

−→∇ ∧−→B (M) = µ0

−→j (M)

1.2 Loi de Biot et Savart

1.2.1

√Expression de

−→B une distribution volumique :

−→B (M) =

µ0

4π

∫∫∫

D

−→j (P ) ∧ −−→

PM

PM3dτ(P )

√Expression de

−→B une distribution linéique :

−→B (M) =

µ0

4π

∫

D

I−→dlP ∧−−→

PM

PM3

1.2.2 Direction du champ B pour un plan de symétrie P :

√Le champ

−→B est ⊥ au plan de symétrie :

−→B (M) ⊥ (P )

1.2.3 Direction du champ B pour un plan d’anti-symétrie P :

√Le champ

−→B est ∈ dans le plan d’anti-symétrie :

−→B (M) ∈ (P )

1.3 Flux du champ magnétique

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1.3.1 Propriété fondamental du flux :

√Le flux du champ magnétique

−→B est conservatif .

√Expression intégrale de la conservation du flux :

∮

Σ

−→B (M).d

−→S (M) = 0

1.3.2

√Déduire une relation de passage :

On applique la consevation du flux à un cylindre de bases dS1 et dS2 (= dS1) et de hauteur h (Σ = dS1∪dSlat ∪dS2).∫

dS1

−→B 1(M1).d

−→S 1 +

∫

dSlat

−→B (M).d

−→S (M) +

∫

dS2

−→B 2(M2).d

−→S 2 = 0

Lorsque h → 0, alors :∫

dSlat

−→B (M).d

−→S (M) → 0 et M1 ≡ M2 ≡ M + −d

−→S 1 = d

−→S 2 = dS−→n 12, on trouve : B2n = B1n

1.3.3

√Non, il n’y a pas de monopole magnétique.√Les lignes de champ du champ magnétique sont fermées.

1.4 Circulation du champ magnétique

1.4.1 Théorème d’Ampère :

√Établissement du théorème d’Ampère :

−→∇ ∧−→B (M) = µ0

−→j (M) ⇒

∫∫

Σ

−→∇ ∧−→B (M).d

−→S = µ0

∫∫

Σ

−→j (M).d

−→S ⇒

∮

Γ

−→B (M).d

−→l = µ0

∫∫

Σ

−→j (M).d

−→S (Stockes) :

⇒∮

Γ

−→B (M).d

−→l = µ0

∫∫

Σ(Γ)

−→j (M).d

−→S = µ0IenlΓ

√Cette formule reste valable dans l’ARQS. Mais pas en régime hautement variable.

1.4.2

Ãtablissement du seconde relation de passage :

Théorème d’Ampère pour un contour ABCDA (AB = CD = dl et BC = DA = h) :∮

ABCDA

−→B (M).d

−→l = µ0Ienl.

Lorsque h → 0, alors :∫

BC

−→B (M).d

−→l → 0,

∫

DA

−→B (M).d

−→l → 0 et M1 ≡ M2 ≡ M ; −−−→

AB =−−→CD = dl

−→t où

−→t est un

vecteur unitaire tangent à la surface en M, il vient :

B2t −B1t = µ0js

1.5 Champ et potentiel d’un dipôle magnétique

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1.5.1

√Relation entre potentiel-vecteur et le champ magnétique :

−→B =

−→rot

−→A

1.5.2

√Expression du champ

−→B en coordonnées cylindriques :

−→B =

µ0M4π

∣∣∣∣∣∣∣∣

3rz

(z2+r2)5

2

02z2

−r2

(z2+r2)5

2

2 Partie 2 : Chute d’un aimant dans un cylindre métallique

2.1 Courant induit dans le conducteur

√Expression de

−→A dans le conducteur :

−→A =

µ0M4π

a

[a2 + (z − zA)2]3/2−→u θ

√Mq

−→A dépend du temps :

Puisque l’aimant est en chute, alors zA = zA(t) d’où−→A =

−→A (M, t).

2.1.1

√Expression du champ électrique induit

−→E :

−→E (M, t) = −∂

−→A (M,t)∂t , soit :

−→E (M, t) = −3µ0Ma

4π

z − zA

[a2 + (z − zA)2]5

2

v−→u θ

2.1.2

√Expression du courant induit

−→j :

−→j = σ

−→E (Loi d’Ohm), soit :

−→j = −v

3µ0Maσ

4π

z − zA

[a2 + (z − zA)2]5

2

v−→u θ

2.2 Force exercée sur l’aimant

2.2.1

√Expression de la force élémentaire : d2−→F exercée sur dV = eadθdz :

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* La force de Laplace (force magnétique) exercé par l’aimant sur le conducteur est : d2−→F ′ =−→j dV ∧ −→

B .

*D’après le principe de l’action et de la réaction, la force exercée sur l’aimant est : d2−→F = − d2−→F ′. Soit :

d2−→F = −3µ2

0M2aσ

(4π)2dV

∣∣∣∣∣∣∣

− (2(z−zA)2−a2)(z−zA)[(z−zA)2+a2]5

03a(z−zA)2

[(z−zA)2+a2]5

√Expression de dFz exercé par un couronne dz :

dFz =

∫ 2π

θ=0

d2−→F .−→u z = −v

9µ20M2a3σe

8π

(z − zA)2

[(z − zA)2 + a2]5dz

2.2.2

√Détermination de la force de freinage

−→F (selon Oz) exercée sur l’aimant : On a

−→F = Fz

−→u z, avec :

Fz = −v9µ2

0M2a3σe

8π

∫ L

z=0

(z − zA)2

[(z − zA)2 + a2]5dz = −αv ⇒ −→

F = −α−→v

α =9µ2

0M2σe

8πa4

∫ L

−zAa

x2

(1 + x2)5dx

√La valeur approchée de α :

On a L ≫ a et si zA ≫ a alors : α ≃ 9µ2

0M

2σe8πa4

∫ +∞

−∞

x2

(1+x2)5 dx =9µ2

0M

2σe8πa4 I

α ≃ 9µ20M2σe

8πa4I =

45µ20M2σe

1024a4

2.2.3

√Application numérique :

α = 0, 145kg.s−1 ≃ 0, 15 kg.s−1

2.3 Mouvement de chute de l’aimant

2.3.1

√Écrire l’équation différentielle du mouvement :

dv

dt+

v

τ= g ⇔ d2z

dt2+

1

τ

dz

dt= g (τ =

m

α)

√Expression de la vitesse v :

v(t) =mg

α

(

1− e−tτ

)

= τg(

1− e−tτ

)

√Expression de la position zA(t) :

zA(t) = gτ2(

e−tτ − 1

)

+ τgt

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2.3.2

√Vitesse limite : Lorsque t ≫ τ on atteint le régime permanent : v = vl = cte (vitesse limite).

√Expression de la vitesse limite :

vl =mg

α= gτ

√Expression de la constante du temps :

τ =m

α

2.3.3

√Applications numériques :

vl = 0, 13m.s−1 ; τ = 13, 3ms ; zA(τ) = 0, 64mm

√Commentaire : le temps caractéristique du régime transitoire τ est très faible, on peut négliger la durée de ce régime.

2.3.4

√Temps total de chute T de l’aimant : On a v(t) ≃ vl, donc : T = L

vl= 11, 5 s

√Temps de chute libre (dans l’air) T ′ : T ′ =

√2Lg = 0, 55 s

√Commentaire : T ′ ≪ T , l’amortissement par induction est plus important l’amortissement par les frottements de

l’air.

2.3.5

√Ce système peut être utilisé comme amortisseur électromagnétique.

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2ème Problème : Étude d’un moteur thermique

1 Partie 1 : Généralités sur les moteurs thermiques

1.1√

Impossibilité d’un moteur monotherme :

Considérons une machine monotherme (i.e. en contact avec une seule source (T0). Alors :– Premier principe : ∆Ucycle = 0 = W +Q ⇒ W = −Q.– Deuxième principe : ∆Scycle = 0 = Q

T0

+Sc ⇒ Q = −T0Sc < 0 ⇒ W > 0 : c’est donc un récepteur (pas moteur).

1.2

1.2.1

√Sens des transferts thermiques :

Un moteur :– reçoit l’énergie thermique de la source chaude (Q1 est reçue).– cède l’énergie thermique à la source froide (Q2 est cédée).

√Signes des énergies thermiques :– Q1 > 0 car elle est reçue par le moteur– Q2 < 0 car elle est cédée par le moteur

1.2.2

√Condition du rendement maximale : les transformations sont réversibles .

√Définition du rendement : Le rendement est défini par : η = −W

Q1

√L’expression de ηmax pour le cycle réversible : ηmax = 1− T2

T1

1.3 Cycle réel

1.3.1

√Expression de l’entropie créée Sc (∆Scycle = 0) : Sc = −Q1

T1

− Q2

T2

1.3.2

√L’expression du rendement η′ pour le cycle réel : η′ = 1− T2

T1

− T2

Q1

Sc

√Commentaire : Puisque Sc > 0 et Q1 > 0, le rendement du cycle réel est inférieur à celui du cycle réversible

(η′ < ηmax).

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2 Partie 2 : Moteur à combustion interne

2.1 Cycle réversible

2.1.1

√Calcul du nombre de moles initiales nA : nA = PAVA

RTA= 0, 02mol.L−1 (GP )

2.1.2

√Relation entre TA et TB : La transformation "A→Bs" est ad. rév. ⇒ TAV

γ−1A = TBsV

γ−1B (VB = VBs).

√Expression de TBs : TBs = TAr

γ−1 (r = VA

VB)

2.1.3

√Valeur de rmax pour éviter l’autoallumage (ie : TBs < T ′ = 603 K) : r <

(T ′

TA

) 1

γ−1

= rmax = 5, 7

2.2 Cycle réel :

2.2.1

√Montrer l’égalité ? :

Les transformations A→Bs et C→Ds sont adiabatiques réversibles donc :

TAVγ−1A = TBsV

γ−1Bs et TCV

γ−1C = TDsV

γ−1Ds

puisque : VC = VB = VBs et VA = VD = VDs, en multipliant les deux équations on trouve : TATC = TBsTDs

2.2.2

√Montrer l’expression de TB :

On a :

ηc =TBs − TA

TB − TA⇒ TB = TA +

TBs

ηc− TA

ηc; (TBs = TAr

γ−1) ⇒ TB = TA

[

1 +1

ηc(rγ−1 − 1)

]

2.2.3

2.2.3.1√Expression de QBC de la transformation isochore B→C :

Loi de Joule + 1er principe ⇒ nACv(TC − TB) = ∆U = QBC ; (We = 0) ⇒ QBC = nACv(TC − TB)

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2.2.3.2

√Montrer l’expression de TC :

Les fuites thermiques sont négligeables (Qe = 0) donc : QBC = Qe︸︷︷︸

=0

+nPcal, d’où : TC = TB + nPcal

nACv

2.2.4

√Montrer l’expression de TD :

On a : ηd = TD−TC

TDs−TC⇒ TD = TC + ηdTDs − ηdTC ; avec TDs = TCTA/TBs = TC/r

γ−1 (d’après 2.1.2 et 2.2.1).d’où :

TD = TC

[

1 + ηd(1

rγ−1− 1)

]

2.2.5 Application numérique :

On a : TA = 300 K ; γ = 1,4 ; Cv = Rγ−1 = 20, 7 J/mol/K ; ηc = ηd = 0,95 et r = 5. D’où :

TB = 585K ; TC = 1425K ; TD = 782K

2.2.6

√Calcul de la pression PC : On a un GP, donc : PC = nARTC/VC = nAR

VArTC ; (VC = VA/r) ⇒ PC = 23, 7 bar

√PC < 50 bar : la contrainte est bien respectée.

2.3 Effet des frottements :

2.3.1

√Expression de la puissance instantanée des frottements : p(t) =

−→f .−→v = −µv2

2.3.2

√Expression de la vitesse moyenne : vm = 4NL (Le cylindre parcourt la distance 4L par cycle)

2.3.3

√Expression de la puissance moyenne Pf des frottements : Pf = −16µ(NL)2

2.4 Puissance mécanique utile

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2.4.1

2.4.1.1√Expression de QDA de la transformation isochore D→A :

Loi de Joule + 1er principe ⇒ nACv(TA − TD) = ∆U = QDA ; (We = 0) ⇒ QDA = nACv(TA − TD)

2.4.2

√Expression du travail total W échangé par le fluide aucours d’un cycle :

Le 1er principe : ∆Ucycle = 0 = W +QBC +QDA d’où : W = −nACv(TC − TB + TA − TD)

2.4.3

√Montrer l’expression de la puissance mécanique Pm du moteur :

La puissance mécanique du moteur = La puissance recue du fluide (−NW ) + la puissance perdue par les frottements,pendant N cycles ⇒

Pm = −NW + Pf ⇒ Pm = NnACv(TC − TB + TA − TD)− 16µ(NL)2

2.4.4

√Définition du rendement thermique η : η = Pm

NQBC

√Expression de η : η = 1 + TA−TD

TC−TB− 16N µL2

nACv(TC−TB)

2.5 Effet de N

2.5.1 Allure de Pm = 148N − 0.7N2

0 50 100 150 200 2500

1

2

3

4

5

6

7

8

9

N

Pm

(kW

)

2.5.2

√Expression de Nmax = NM : dPm

dN = 0 ⇒ NM = nACv(TC−TB+TA−TD)32µL2

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√Application numériques :

NM = 105 ; Pm = 7, 8 kW

2.5.3

√Allure de η(N) = 0.44− 2.10−3N :

0 50 100 150 200 2500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

N

η(N

)

√Valeur numérique de η(NM ) : η(NM ) = 0, 23

√Commentaire : Le rendement est faible alors que la puissance développée est maximale.

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Physique MP-MP* (Coll. Cap Prépa)Catégorie : Magasin > Livres > Physique > Physique Spé

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Lire un extrait du chapitre 2

Public visé : Étudiants en classes préparatoires scientifiques, filière MP-MP* (L1, L2), étudiants en physique, candidats au Capes et àl'agrégation

Présentation de l'ouvrage

Tout le programme 2014 sous forme d'exercices corrigés ! Parfaitement adapté aux élèves des classes préparatoires aux grandes écoles et àleurs besoins, ce manuel de physique est conforme au contenu et à l'esprit du nouveau programme 2014. Particulièrement pédagogique etprogressif, il propose des exercices corrigés qui permettent d'étudier toutes les notions indispensables à la filière MP-MP* : mécanique,transfert thermique, systèmes ouverts, électromagnétisme, ondes, physique quantique, physique statistique, optique.

Parmi les caractéristiques du livre :• Les encadrés « Rappel », « Méthode », « Synthèse » et « Attention » reprennent les points essentiels, récapitulent la marche à suivre,synthétisent les concepts complexes et permettent d'éviter les pièges classiques. Ces encadrés sont placés au fil du texte, aux endroitsoù ils sont le plus utiles.• De nombreux renvois permettent de faire le lien entre les différents exercices.• Les corrigés détaillés, illustrés de nombreuses figures de qualité, sont rédigés de manière à correspondre exactement à laprésentation demandée aux concours d’entrée aux grandes écoles.• Cet ouvrage a été écrit par des professeurs expérimentés de classes préparatoires qui ont pris soin de l’organiser avec clarté etpédagogie.

L’ensemble constitue un manuel cohérent, unique et un outil indispensable pour vous guider vers la réussite dans l’épreuve de physique !

Sommaire

01. Mécanique02. Transfert thermique03. Systèmes ouverts04. Électromagnétisme en régime stationnaire05. Électromagnétisme en régime variable06. Ondes07. Physique quantique08. Physique statistique09. Optique10. Exercices ouvertsAnnexe A Analyse vectorielleAnnexe B Analyse d'ordres de grandeur

Biographie des auteurs

Vincent Renvoizé, ancien élève de l'École normale supérieure de Lyon, est professeur en classes préparatoires PSI au Prytanée militaire deLa Flèche. Il est docteur en astrophysique ; sa thèse porte sur la dynamique et l’évolution des corps célestes compacts. Il a coordonné, dansla collection Cap Prépa, le manuel de physique MPSI-PCSI-PTSI (Pearson, 2013), ainsi que les trois manuels de physique de la deuxièmeannée (Pearson, 2010).

Pascal Archambault est professeur en classes préparatoires PSI∗ au lycée Saint-Louis (Paris).

Éric Bellanger, ancien élève de l'École normale supérieure de Lyon, est professeur en classes préparatoires PSI au lycée Stanislas (Paris). Ilest docteur de l’Institut de physique du globe de Paris ; sa thèse porte sur l’étude de phénomènes de courte période dans le champmagnétique terrestre et sur le couplage des phénomènes d’origine interne avec la rotation de la Terre. Il est l’un des auteurs du manuel dephysique MPSI-PCSI-PTSI (Pearson, 2013) ainsi que des manuels de physique de la deuxième année (Pearson, 2010).

Henri Gonnord est professeur en classes préparatoires PC au Prytanée militaire de La Flèche. Il est docteur en sciences des matériaux ; sathèse porte sur l'élaboration et la caractérisation de couches minces de carbone amorphe, un matériau dont certaines propriétés(électriques, tribologiques, optiques) se rapprochent de celles du diamant.

Antonin Marchand, ancien élève de l'École normale supérieure de la rue d’Ulm, est titulaire d’un doctorat réalisé à l’ESPCI en mécanique desfluides sur le thème de la tension de surface et des lignes de contact. D’abord enseignant à la préparation à l’agrégation de physique del’ENS, il est aujourd’hui professeur en classes préparatoires MP au Prytanée militaire de La Flèche. Il s’investit dans de nombreux projets demédiation scientifique.

Baptiste Portelli, diplômé du magistère de physique de l'ENS Lyon/UCBL, est titulaire d’un doctorat sur les fluctuations globales dans lessystèmes corrélés. Membre des jurys de concours d’entrée aux grandes écoles, il enseigne en classes préparatoires MP au lycée LaMartinière Monplaisir (Lyon). Il est l’un des auteurs des manuels de physique de la deuxième année (Pearson, 2010).

Christelle Poux est professeur en classes préparatoires PC∗ au lycée Louis-le-Grand (Paris).

Jérôme Ropert est professeur en classes préparatoires MP au lycée Jacques-Decour (Paris).

Eddie Saudrais est professeur en classes préparatoires PC au lycée Condorcet (Paris). Ancien élève de l'École normale supérieure deCachan, il est l’un des auteurs du manuel de physique MPSI-PCSI-PTSI (Pearson, 2013), ainsi que des manuels de physique de la deuxièmeannée (Pearson, 2010). Musicien amateur, il est particulièrement intéressé par l’acoustique. Son intérêt pour la typographie l’a amené àdévelopper plusieurs extensions pour LATEX.

Caractéristiques du produit

Auteurs : Renvoizé Vincent, Archambault Pascal, Bellanger Éric, Gonnord Henri, Marchand Antonin, Portelli Baptiste, Poux Christelle, RopertJérôme, Saudrais EddieNombre de pages : 304 pagesÉditeur : Pearson ; Date de parution : 04 juillet 2014 Collection : Cap Prépa

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24 Commentaire

3 0 Évaluez ceci

Adnane A dit :11 NOVMR 2016 À 19:38 MODIFIR

Le livre « méthode et annale » de phique et-il diponile ?

RÉPONDR

2 0 Évaluez ceci

al9ahira dit :11 NOVMR 2016 À 23:20 MODIFIR

Oui, veuillez conulter le lien http://al9ahira.com/outique-en-ligne/#!/~/earch/keword=coll.%20m%C3%A9thode%20et%20annale&offet=0&ort=relevance

RÉPONDR

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Mohamed Jalal Rahmani dit :11 PTMR 2016 À 12:40 MODIFIR

t-ce qu’il a de livre de phique pour ti 2 année

RÉPONDR

3 0 Évaluez ceci

al9ahira dit :11 PTMR 2016 À 13:55 MODIFIR

Le eul livre ur le marché dédié pécialement aux TI ont ceux de la collection « Prépa cience » d’llipe indiponile cheznou actuellement : 1ère année et 2ème année.Par contre, le élève de la voie TI travaillent volontier, en phique-chimie, ur le livre MPI-PTI et MP-PT.

RÉPONDR

2 0 Évaluez ceci

anaik dit :15 JUILLT 2016 À 10:24 MODIFIR

t ce que le livre « mille et une quetion de la phique en prépa » 2eme année Mp et diponile?

RÉPONDR

1 0 Évaluez ceci

al9ahira dit :15 JUILLT 2016 À 12:11 MODIFIR

L’ancienne édition et diponile.

RÉPONDR

1 0 Évaluez ceci

Thamii Lakhai dit :7 JUILLT 2016 À 03:25 MODIFIR

le livre de prolème mathématique corrigé ( C C ,,) , comien ça coûte ??

RÉPONDR

2 0 Évaluez ceci

al9ahira dit :9 JUILLT 2016 À 10:23 MODIFIR

Il coûte 55 Dh.

RÉPONDR

2 0 Évaluez ceci

Thamii Lakhai dit :15 JUILLT 2016 À 14:54 MODIFIR

Comment je peux l’acheter en ligne

RÉPONDR

9 0 Évaluez ceci

Chùùpa Cara dit :11 JUIN 2016 À 02:14 MODIFIR

alut la outique et fermée depui le déut de l’année. Je me demande ’il a un polème ou vou la réouvrirez ientôt et merci

RÉPONDR

4 2 Évaluez ceci

al9ahira dit :11 JUIN 2016 À 02:31 MODIFIR

La réouverture de la outique en ligne et pour ientôt inchallah.

RÉPONDR

6 0 Évaluez ceci

adellah dit :7 AOÛT 2015 À 16:15 MODIFIR

Je cherche xercice de mathématique : Oraux X-N, Algère 1.

RÉPONDR

7 0 Évaluez ceci

al9ahira dit :7 AOÛT 2015 À 16:25 MODIFIR

Cet article fera ientôt partie de nouveauté ur Al9ahira en Ligne.

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Adil dit :5 AOÛT 2015 À 21:29 MODIFIR

onjour, j’aimerai acheter: « Dictionnaire de géopolitique et de géoéconomique -PUF » et « Leçon philoophique ur La nature ». Ce ontvraiment deux ouquin indipenale pour le prépa commerciale et ce par expérience. J’aimerai ien le voir diponile chez vou danun futur proche. Merci.

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ouatta dit :20 MAI 2015 À 20:11 MODIFIR

onjour, j’ai eoin de roman propoé pour le programme de françai pour le cpge ! voire 20 diertation et 20 fiche j’attend votrerépone !

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al9ahira dit :20 MAI 2015 À 20:22 MODIFIR

onjour,Le 3 œuvre au programme aini que leur anale eront mie en vente ur la outique en ligne une foi diponile, et ce au courantdu moi de juin.

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aloua dit :6 AOÛT 2014 À 16:34 MODIFIR

onjour,vp quel ont le livre de TP que vou avez? n phique , chimie et I ? prière de me donner e nom et prix .Merci

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al9ahira dit :7 AOÛT 2014 À 09:11 MODIFIR

onjour,Le livre pour CPG pécialement dédié aux TP ont quai inexitant ; nou dipoon pour l’intant en Phique de celui-ci.

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aloua dit :2 JUILLT 2014 À 17:50 MODIFIR

onjour,vp j’haite à Marrakech, comment je peux effectuer me achat? !

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al9ahira dit :2 JUILLT 2014 À 17:56 MODIFIR

onjour, veuillez conulter ici

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rahim dit :6 AVRIL 2014 À 18:18 MODIFIR

vou pouvez m’envoer votre numero de tel vp?

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al9ahira dit :6 AVRIL 2014 À 18:53 MODIFIR

Le numéro de téléphone de Al9ahira et : 0539 34 33 20

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imane dit :29 MAR 2014 À 17:28 MODIFIR

onjour,

le livre » Reuir le TP de phique aux concour » et-il diponile ? ça coute comien ? mrc

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al9ahira dit :29 MAR 2014 À 18:42 MODIFIR

Affirmatif ! on prix et de 49 Dh. Vou pouvez conulter la fiche du livre ur la outique en ligne ici

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