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Corso di Analisi Matematica

Limiti di funzioni

Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale

A.A. 2013/2014

Universita di Bari

ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 39

1 Definizione di limite

2 Il calcolo dei limiti

3 Limiti notevoli


Limiti di funzioni

L’operazione di limite si puo estendere dalle successioni alle funzioni.

Serve a studiare il comportamento di una funzione quando la variabile

indipendente si avvicina ad un valore fissato oppure diventa molto

grande o molto piccola.

Consideriamo, come caso tipico, un intervallo I, un punto c ∈ I e una

funzione f a valori reali definita in I o al piu in I \ {c}.I puo essere

I limitato o illimitato;I chiuso o aperto.

c puo essereI interno ad I oppure uno dei suoi estremi (eventualmente +∞ o −∞).


Definizione di limite

Definizione

Sia f come sopra. Si dice che il limite per x tendente a c di f(x) e l e si

scrive

limx→c

f(x) = l

se per ogni successione {xn} tale che xn ∈ I \ {c} e tale che limn→+∞

xn = c

si ha

limn→+∞

f(xn) = l.

Se l = 0 f si dice infinitesima per x→ c.

Se l = ±∞ f si dice infinita per x→ c.

Se esiste limx→c f(x) = l, esso e unico.


Nella scrittura

limx→c

f(x) = l

puo accadere che

l ∈ R (limite finito);

l = ±∞ (limite infinito);

c ∈ R (limite al finito);

c = ±∞ (limite all’infinito);

Allora abbiamo da esaminare quattro situazioni:

1 limite finito all’infinito;

2 limite infinito all’infinito;

3 limite infinito al finito;

4 limite finito al finito.


Limite finito all’infinito

Esempio:

limx→−∞

ex = 0.

Interpretazione geometrica:

Definizione

Si dice che f ha un asintoto orizzontale di equazione y = l (l ∈ R)

per x→ +∞ se

limx→+∞

f(x) = l.

Si dice che f ha un asintoto orizzontale di equazione y = l (l ∈ R)

per x→ −∞ se

limx→−∞

f(x) = l.


Limite infinito all’infinito

Esempio:

limx→+∞

log1/2 x = −∞.

In questo caso puo accadere che esista una retta obliqua a cui il grafico di

f si avvicina quando x diventa sempre piu grande (o piu piccolo).


Asintoto obliquo

Definizione

Si dice che f ha un asintoto obliquo di equazione y = mx+ q

(m 6= 0, q ∈ R) per x→ +∞ se

limx→+∞

(f(x)− (mx+ q)) = 0.

Si dice che f ha un asintoto obliquo di equazione y = mx+ q

(m 6= 0, q ∈ R) per x→ −∞ se

limx→−∞

(f(x)− (mx+ q)) = 0.


Un criterio operativo per calcolare l’asintoto obliquo.

Proposizione

La funzione f(x) ammette asintoto obliquo per x→ +∞ se e solo se

1 esiste finito

limx→+∞

f(x)

x= m 6= 0,

2 esiste finito

limx→+∞

(f(x)−mx) = q.

In tal caso l’asintoto e y = mx+ q.

Analogo criterio vale per x→ −∞.


Limite infinito al finito

Esempio:

limx→0

1

x2= +∞.

Talvolta il comportamento di una funzione e diverso se x si avvicina a

c ∈ R da destra (x > c) invece che da sinistra (x < c).

Esempio: f(x) = 1x .

Per descrivere questo tipo di situazione si introducono i concetti di limite

destro e limite sinistro.


Limite destro

Definizione

Siano c ∈ R, l ∈ R∗, f : I \ {c} → R.

Si dice che il limite destro di f(x) per x tendente a c e l e si scrive

limx→c+

f(x) = l

se per ogni successione {xn} tale che xn ∈ I \ {c}, xn > c definitivamente

e tale che limn→+∞

xn = c si ha

limn→+∞

f(xn) = l.


Limite sinistro

Definizione

Siano c ∈ R, l ∈ R∗, f : I \ {c} → R.

Si dice che il limite sinistro di f(x) per x tendente a c e l e si scrive

limx→c−

f(x) = l

se per ogni successione {xn} tale che xn ∈ I \ {c}, xn < c definitivamente

e tale che limn→+∞

xn = c si ha

limn→+∞

f(xn) = l.


Relazione tra limite, limite destro, limite sinistro

Teorema

Sono equivalenti:

esiste

limx→c

f(x) = l;

esistono

limx→c−

f(x) = l = limx→c+

f(x).


Asintoti verticali

Interpretazione geometrica del limite infinito al finito:

Definizione

Si dice che f ha un asintoto verticale di equazione x = c se

limx→c+

f(x) = −∞ o limx→c+

f(x) = +∞

oppure se

limx→c−

f(x) = −∞ o limx→c−

f(x) = +∞.


Limite finito al finito

Esempi:

1 Si ha

limx→0

senx = 0.

Si noti che sen 0 = 0.

2 Sia

f(x) =

{1 se x 6= 0,

0 se x = 0.

Si ha

limx→0

f(x) = 1.

Si noti che f(0) 6= 1.


Funzioni continue

Definizione

Sia f : I → R, I ⊂ R intervallo. Sia c ∈ I. Si dice che f e continua in c

se esiste

limx→c

f(x) = f(c).

Si dice che f e continua in I se e continua in ciascun punto di I. Una

funzione non continua in un un punto c si dice discontinua in c.


Discontinuita

Definizione

Sia f : I → R, I ⊂ R intervallo. Sia c ∈ I. Si dice che f ha una

discontinuita a salto in c se esistono

limx→c−

f(x) = l1 ∈ R limx→c+

f(x) = l2 ∈ R l1 6= l2.

In tal caso il salto di f in c e dato da l2 − l1.

Si dice che f e continua da destra in c se esiste

limx→c+

f(x) = f(c).

Si dice che f e continua da sinistra in c se esiste

limx→c−

f(x) = f(c).


Non esistenza del limite

Il limite di una funzione puo anche non esistere.

Non esiste

limx→+∞

senx.


Definizione topologica di limite

Una definizione (equivalente) di limite di funzione, indipendente dal

concetto di successione.

Definizione

Un intorno di x0 ∈ R e un intervallo aperto che contiene x0, spesso

del tipo (x0 − δ, x0 + δ), con δ > 0 (centrato quindi in x0).

Un intorno di +∞ e ogni intervallo del tipo (a,+∞), a ∈ R;

Un intorno di −∞ e ogni intervallo del tipo (−∞, b), b ∈ R.


Definizione topologica di limite

Definizione

Si dice che una funzione f(x) verifica una certa proprieta definitivamente

per x→ c se esiste un intorno U di c tale che la proprieta vale per ogni

x ∈ U , x 6= c.

Definizione

Sia c ∈ R∗ e sia f definita almeno definitivamente per x→ c. Sia l ∈ R∗.Si dice che il limite di f(x) per x che tende ad c e l e si scrive

limx→c

f(x) = l oppure f(x)→ l per x→ c

se per ogni intorno Ul di l, esiste un intorno Vc di c, tale che

f(x) ∈ Ul ∀x ∈ Vc, x 6= c.


Teoremi sui limiti di funzioni

Derivano immediatamente dai corrispondenti teoremi sulle successioni.

Teorema (del confronto)

Se

1 per x→ c, f(x)→ l e g(x)→ l

2 definitivamente per x→ c f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)allora anche h(x)→ l per x→ c.

Corollario

Se per x→ c g(x)→ 0 e |h(x)| ≤ g(x) definitivamente per x→ c

allora anche h(x)→ 0 per x→ c .

Se per x→ c f(x)→ 0 e g(x) e limitata definitivamente per x→ c

allora f(x)g(x)→ 0 per x→ c .


Teorema (permanenza del segno)

Se per x→ c f(x)→ l > 0 allora f(x) > 0 definitivamente per

x→ c.

Se per x→ c f(x)→ l e f(x) ≥ 0 definitivamente per x→ c allora

l ≥ 0.

Teorema (permanenza del segno per funzioni continue)

Se f e continua in c e f(c) > 0 allora f(x) > 0 definitivamente per x→ c.


Algebra dei limiti, caso dei limiti finiti

Teorema

Se

limx→c

f(x) = l1 ∈ R limx→c

g(x) = l2 ∈ R.

Allora

per ogni K ∈ R, limx→c

Kf(x) = Kl1;

limx→c

(f(x) + g(x)) = l1 + l2;

limx→c

(f(x) · g(x)) = l1 · l2;

se l2 6= 0 e g(x) 6= 0 definitivamente per x→ c,

limx→c

f(x)

g(x)=l1l2;


Casi in cui i limiti sono +∞ o −∞Valgono le stesse regole viste per le successioni.

a+∞ = +∞a−∞ = −∞+∞+∞ = +∞−∞−∞ = −∞

a · ∞ =∞, (a 6= 0)a

0=∞, (a 6= 0)

a

∞= 0

Il segno di ∞ va determinato con la usuale regola dei segni.

Forme di indecisione:

+∞−∞ 0 · ∞ ∞∞

0

0.


Algebra delle funzioni continue

Teorema

La somma, la differenza, il prodotto e il rapporto di funzioni continue

sono funzioni continue (se ben definite) in ogni punto del loro

dominio.

Le funzioni elementari sono continue in ogni punto del loro dominio.


Limiti delle funzioni elementari

Funzioni potenza

limx→x0

xα = xα0 ∀α ∈ R, x0 ∈ (0,+∞)

limx→0+

xα =

{0 se α > 0

+∞ se α < 0

limx→+∞

xα =

{+∞ se α > 0

0 se α < 0



Funzione esponenziale.

limx→x0

ax = ax0 ∀x0 ∈ R, a ∈ (0,+∞)

limx→−∞

ax =

{+∞ se 0 < a < 1

0 se a > 1

limx→+∞

ax =

{0 se 0 < a < 1

+∞ se a > 1.



Funzione logaritmo.

limx→x0

loga x = loga x0 ∀x0 ∈ (0,+∞), a ∈ (0,+∞), a 6= 1

limx→0

loga x =

{+∞ se 0 < a < 1

−∞ se a > 1

limx→+∞

loga x =

{−∞ se 0 < a < 1

+∞ se a > 1



Funzioni trigonometriche.

limx→x0

senx = senx0 ∀x0 ∈ R

limx→x0

cosx = cosx0 ∀x0 ∈ R

limx→x0

tg x = tg x0 ∀x0 ∈ R, x0 6=π

2+ kπ, k ∈ Z

Si puo provare che non esiste il limite all’infinito di ogni funzione

periodica (non costante). Quindi, in particolare non esistono

limx→±∞

senx limx→±∞

cosx limx→±∞

tg x.

Inoltre

limx→−π

2+tg x = −∞ lim

x→π2−tg x = +∞.

Dalla periodicita si ricavano gli altri valori.



Funzioni trigonometriche inverse.

limx→x0

arcsenx = arcsenx0 ∀x0 ∈ [−1, 1]

limx→x0

arccosx = arccosx0 ∀x0 ∈ [−1, 1]

limx→x0

arctg x = arctg x0 ∀x0 ∈ R

limx→−∞

arctg x = −π2

limx→+∞

arctg x =π

2


Cambio di variabile nel limite

Teorema

Siano x0, t0, l ∈ R∗, siano f e g due funzioni tali per cui e ben definita la

funzione composta f ◦ g almeno definitivamente per x→ x0 e inoltre

risulti che

esiste limx→x0

g(x) = t0;

esiste limt→t0

f(t) = l;

g(x) 6= t0 definitivamente per x→ x0.

Allora esiste anche

limx→x0

f(g(x)) = limt→t0

f(t) = l.

La terza ipotesi non e necessaria se f e continua in t0 o (ovviamente) se

t0 = ±∞.


Continuita della funzione composta

Teorema

Siano g una funzione definita almeno in un intorno di x0 e f una funzione

definita almeno in un intorno di t0 = g(x0). Se

g e continua in x0;

f e continua in t0,

allora anche la funzione composta f ◦ g e definita almeno in un intorno di

x0 ed e continua in x0.


Limiti di polinomi

Dato un polinomio di grado n,

Pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a0

si puo scrivere

Pn(x) = anxn

(1 +

an−1anx

+an−2anx2

+ · · ·+ a0anxn

)da cui

limx→±∞

Pn(x) = limx→±∞

anxn.


Limiti di rapporti tra polinomi

Dati due polinomi

Pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a0

Qm(x) = bmxm + bm−1x

m−1 + · · ·+ b0

(con an, bm 6= 0) il limite del loro rapporto e dato da

limx→±∞

Pn(x)

Qm(x)=

limx→±∞

anxn

bmxm=

0 se n < m;

an/bm se n = m;

+∞ o −∞ se n > m.

Nel terzo caso, il segno e determinato dal segno del rapporto an/bm,

dal tipo di limite e dal fatto che n−m sia pari o dispari.


Limiti notevoli

Si ha

limx→0

senx

x= 1.

Si deduce che

limx→0

1− cosx

x2=

1

2

limx→0

tg x

x= 1

limx→0

arcsenx

x= 1

limx→0

arctg x

x= 1.


Prolungamento per continuita di una funzione

Sia

f(x) =

{senxx se x 6= 0,

1 se x = 0.

La funzione f risulta continua in x = 0.

Se una funzione f non e definita in x0 ma esiste finito

limx→x0

f(x) = l

f puo essere prolungata per continuita in x0, ponendo f(x0) = l.


Limiti notevoli

Si prova che

limx→±∞

(1 +

1

x

)x= e.

Si deduce che

limx→0

ex − 1

x= 1

limx→0

log(1 + x)

x= 1

limx→0

(1 + x)α − 1

x= α per ogni α ∈ R.

Piu in generale si ha

limx→0

ax − 1

x= log a = 1/ loga e

limx→0

loga(1 + x)

x= loga e = 1/ log a.


Gerarchia degli infiniti

Teorema

Si considerino le funzioni

(loga x)α xβ bx

con α, β > 0, a, b > 1. Per x→ +∞ ognuna e un infinito di ordine

inferiore rispetto alla funzione alla propria destra.

Esplicitamente:

limx→+∞

(loga x)α

xβ= 0 lim

x→+∞

xβ

bx= 0.


Gerarchia degli infiniti

Inoltre, ponendo 1/x = y, nel primo limite si ha

limy→0+

yβ(− loga y)α = 0.

Per α = 1

limy→0+

yβ loga y = 0.


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