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Corso di Laurea in
Statistica Matematica e Trattamento Informatico dei Dati
Anno Accademico 2003-2004
Prova Finale
“Analisi delle serie storiche e applicazioni”Relatori: Correlatore:Dott. Fabio Rapallo Dott. Emanuela SassoProf. Mauro Gasparini
Candidato: Daniele Rampoldi
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Prova Finale
Processi Stocastici e Serie Storiche
Per Serie Storica o Serie Temporale intendiamo una
successione di osservazioni ordinate logicamente secondo
una variabile t, che solitamente rappresenta il tempo.
Un Processo Stocastico è una famiglia di variabili
casuali descritte da un parametro t appartenente ad un
insieme T .
tX
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Prova Finale
Una Serie Storica è una parte finita di una singola realizzazione del
processo.
Dato un processo , esistono infinite possibili realizzazioni, tra le quali noi
osserviamo unicamente la successione dei risultati campionari ,
chiamata realizzazione o traiettoria del processo.
Processi Stocastici e Serie Storiche
tX Nxx ,...,1
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Prova Finale
Correlazione e indipendenza
Una prima distinzione tra i differenti processi stocastici riguarda
l’indipendenza o meno delle variabili casuali che lo compongono.
La quasi totalità dei processi normalmente considerati è a componenti
correlate, quindi non indipendenti.
Una importante eccezione è il processo definito “White Noise” di valor
medio nullo e varianza costante , che indicheremo:2a
2,0~ at WNA
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Prova Finale
Stazionarietà e Autocovarianza
Un’altra distinzione può essere fatta considerando il comportamento
della famiglia di variabili casuali rispetto alla variabile temporale.
Un processo è stazionario in senso stretto se la distribuzione
multivariata delle variabili casuali non è funzione di ,
per ogni .
È stazionario in senso debole se valgono le seguenti condizioni:
(1) (2)
(3)
tX
ktt XX ,...,1
ktt ,,...1
1k
tXE t , tXE t ,22
sttsXXE st ,,
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Prova Finale
La funzione di autocorrelazione
L’autocovarianza, come covarianza fra misura il segno e la
forza del legame lineare esistente fra al variare di k .
In analogia con il coefficiente di correlazione si introduce quindi la
funzione di autocorrelazione, definita come il coefficiente di correlazione
lineare fra le variabili casuali , al variare di k .
ktt XeX
ktt XeX
ktt XeX
,...2,1,0,
,
kperXVarXVar
XXCovXXEk
ktt
kttktt
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Prova Finale
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Prova Finale
Processi invertibili e periodici
Un processo stocastico è invertibile se esiste una funzione lineare
e un processo tale che, per ogni t, si possa scrivere:
L’invertibilità è quindi la possibilità di esprimere un processo tramite le
variabili casuali del “passato”.
tX h tAWN
tttt AXXhX ,..., 21
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Prova Finale
Il Teorema di Wold
Ogni processo stocastico stazionario di valor medio può essere decomposto
in due differenti processi stocastici, stazionari e fra loro mutuamente incorrelati,
, detti, rispettivamente, componente non deterministica e componente
deterministica , le quali hanno le seguenti rappresentazioni:
dove , mentre sono successioni di variabili casuali tali
che è una successione
di numeri reali tali che .
tX tZ
tZ tV
2,0~ at WNA
tVe
jj ,
,,...
sincos
22211
1
jtttt
jjjjjt
conAAAZ
ttV
jjjjj ejiogniperCovEE ,,,0,;0
jogniperj ,0
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Prova Finale
Modelli ARMA – Processo MA
Il Teorema di Wold introduce il modello lineare . Per la condizione
posta sui , possiamo considerarli trascurabili da un certo punto in poi.
Poniamo quindi:
e consideriamo quindi il processo stocastico Media Mobile di ordine q,
denotato , e definito da:
Un processo è sempre stazionario.
tZj
,...2,1,0
,...,1,
qqjper
qjperjj
qMAZt ~
qMA
qtqttt AAAZ ...11
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Prova Finale
Modelli ARMA
Se è noto si possono calcolare univocamente le autocovarianze.
In generale non è vero il contrario.
Se consideriamo i processi invertibili, esiste però corrispondenza
biunivoca fra parametri del modello e funzione di autocovarianza.
tZ
qMA
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Prova Finale
Modelli ARMA – Processo AR
Un processo ,se invertibile, si può scrivere come:
Tale struttura viene chiamata Auto Regressiva (AR) perchè
paragonabile ad una regressione della variabile al tempo t
(ovvero ) su se stessa ad un tempo precedente
(ovvero ).
qMAZt ~
tptptt AZZZ ...11
ZtZ
ptt ZZ ,...,1
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Prova Finale
Modelli ARMA
I modelli AR rispondono al tentativo di spiegare il presente in funzione
del passato, fino ad una certa “distanza” p.
I modelli MA rispondono al tentativo di spiegare il presente come la
risultante di una successione di impulsi casuali, statisticamente riassunti
nel WN .tA
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Prova Finale
Modelli ARMA
Consideriamo quindi il processo stocastico Auto Regressivo di ordine p e
Media Mobile q, indicato con e definito dalla relazione: qpARMAZt ,~
....... 1111 qtqttptptt AAAZZZ
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Prova Finale
Modelli ARIMA
L’introduzione dei modelli ARMA, stazionari ed invertibili, ci permette di
individuare il processo a partire dalla serie secondo criteri
statisticamente efficienti.
I modelli ARIMA nascono dal tentativo di generalizzare i risultati ottenuti
sui modelli ARMA.
Box e Jenkins proposero una procedura iterativa per la costruzione di un
modello ARIMA.
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Prova Finale
AnalisiPreliminari
Identificazione del modello
ARIMA
Stima dei parametri
Verifica del modello stimato Utilizzazione
del modello
Procedura iterativa di Box e Jenkins
RifiutoAccettazione
Passo di dataProc Gplot
Proc ArimaStatement Identify
Proc ArimaStatement Estimate
Proc ArimaStatement Forecast
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Prova Finale
Produzione mensile di elettricità in Australia
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Prova Finale
Produzione mensile di elettricità in Australia
Con trasformazione log ARMA(0,1) stagionale
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Prova Finale
Produzione mensile di elettricità in Australia
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Prova Finale
Produzione mensile di elettricità in Australia
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Prova Finale
Prezzo del petrolio al barileSpot Oil Price: West Texas Intermediate
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Prova Finale
Prezzo del petrolio al barile
Con trasformazione log ARMA(0,1)
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Prova Finale
Prezzo del petrolio al barile