corso di tecnica delle costruzioni ing. francesco porco...corso di fondamenti di tecnica delle...
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DICATEChDipartimento di Ingegneria Civile, Ambientale, del Territorio, Edile e di ChimicaPolitecnico di Bari
28 maggio 2020
Corso di FONDAMENTI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI
Ing. Francesco Porco
ESERCITAZIONE 3:
LA TRAVE – Parte 1
Progetto armature longitudinali
Politecnico di Bari
1) Analisi dei carichi unitari
2) Schema statico
3) Schema di carico
4) Sollecitazioni
5) Progetto delle armature (c.a.)
6) verifiche
PROGETTO DEGLI ELEMENTI STRUTTURALILA TRAVE
a) Armatura Longitudinaleb) Armatura Trasversale
Obiettivo
Esempio strutturale per illustrare il progetto di una trave in c.a.
Pianta architettonica del piano tipo
Pianta di tracciamento dei pilastri dalla 1^ alla 4^tesa
Carpenteria piano tipo
Per indicazioni dimensionali, il riferimento è il
D.M. Infrastrutture 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le
costruzioni § 7.4.6.1 Limitazioni Geometriche
Alcune regole di predimensionamento❑Trave a spessore portante: B=L/6 con L: luce da coprire.❑ In presenza di carichi verticali per il predimensionamento dell’altezza viene sovente utilizzate una formula che lega l’altezza H alla luce L della trave: H=1/10L, che per le usuali luci delle travi negli impalcati di edifici per civile abitazione conduce in genere altezze H di 50-60 cm.
ht
bt
bc
bt
ht
bt 20 cm
bt ht/2+bc+ht/2
bt 2bc
Trave emergente
Trave a spessore
D.M. Infrastrutture 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le costruzioni§ 7.4.6.1.1 – Limitazione geometriche: travi
bc : Altezza del pilastro ortogonale
all’asse della trave
bt : Larghezza della trave
ht : Altezza della trave
bt / ht 0.25
Telaio 1 – travata di bordo tra i picchetti 1-2-3-4-5
Telaio 1
(sezione
longitudinale)
TRAVATA 1-5
DI BORDO
323
309
309
309
309
309
309
1) Analisi dei carichi unitari
2) Schema statico
3) Schema di carico
4) Sollecitazioni
5) Progetto delle armature (c.a.)
6) verifiche
PROGETTO DEGLI ELEMENTI STRUTTURALILa TRAVE
D.M. Infrastrutture 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le costruzioni§ 2.5.3 - Combinazioni delle azioni
§ 2.6 – Azioni nelle verifiche agli Stati limite
Nel caso in esame, per gli S.L.U., la formula generale per la combinazione fondamentale da impiegare agli SLU diventa:
G2 = 1,3 carichi «ben» definiti (1 se il suo contributo aumenta la
sicurezza)
G1·G1 + G2·G2 + Q1·Qk1
Q1 = 1,5 (0 se il suo contributo aumenta la sicurezza)
G1 = 1,3 (1 se il suo contributo aumenta la sicurezza)
Analisi dei carichi unitari: TAMPONATURE ESTERNE
14
Analisi dei carichi unitari: TRAMEZZI
D.M. Infrastrutture 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le costruzioni§ 3.1.3.1 – Elementi divisori interni
Per un altezza di 2.70m si ha: 1.48 kN/m2 x 2.70m =3.99 kN/m
Analisi dei carichi unitari: SOLAI
G1
G1
G2
G2
Q
Q
CARICHI COMPLESSIVI AGENTI SULLA TRAVE: G1
4.85m
1.50m
G1 = peso proprio della trave (G1,trave) + peso proprio del solaio interno (G1,solaio)+ peso
proprio balcone (G1,balcone)
G1 = [2500 x 0.30 x 0.50] + [400 x 4.85/2] + [(400 x 1.5) + (2500 x 0.3 - 400) x 0.3]
=2050 kg/m = 2050 daN/m
Fascia pienacls
G1,traveG1,balcone
G1,solaio
CARICHI COMPLESSIVI AGENTI SULLA TRAVE: G2
4.85m
1.50m
G2 = sovraccarico permanente della trave (G2,trave) + sovraccarico permanente del solaio
interno (G2,solaio)+ sovraccarico permanente balcone (G2,balcone) + peso della tamponatura
(G2,tamponatura)
G2 = [84 x 0.30 + (2 x 30 x 0.20)] + [354 x 4.85/2] + [(185 x 1.5) + (25 x 1.07)] + [390 x
(3.09-0.5-0.04)] =2194.40 kg/m = 2194.40 daN/m
spessore
massetto
Massetto in
daN/m2
G2,trave
G2,balcone
G2,solaio
G2,tamponatura
CARICHI COMPLESSIVI AGENTI SULLA TRAVE: Q
4.85m
1.50m
Q = carico variabile del solaio interno (Qsolaio)+ carico variabile del balcone (Qbalcone)
Q = [200 x 4.85/2] + [400 x 1.5] = 1085 kg/m = 1085 daN/m
Qbalcone
Qsolaio
1) Analisi dei carichi unitari
2) Schema statico
3) Schema di carico
4) Sollecitazioni
5) Progetto delle armature (c.a.)
6) verifiche
PROGETTO DEGLI ELEMENTI STRUTTURALILa TRAVE
Schema statico per il progetto del solaio
SCHEMA STATICO PER IL PROGETTO DELLA TRAVE
L’analisi delle sollecitazioni per le combinazioni di carico allo S.L.U. viene condotta con riferimento a 2 schemi statici.L’adozione di due schemi nasce dall’esigenza di considerare due situazioni limite relative al vincolo esercitato dal pilastro di bordo nel confronto delle travi
Schema statico con pilastri di estremità (“schema ad H”)
Schema particolarmente indicato ai piani bassi (pilastri di maggiore dimensione)
Schema statico a trave continua
Schema particolarmente indicato ai piani alti (per la presenza dei pilastri di dimensione minore per effetto della risega)
1) Analisi dei carichi unitari
2) Schema statico
3) Schema di carico
4) Sollecitazioni
5) Progetto delle armature (c.a.)
6) verifiche
PROGETTO DEGLI ELEMENTI STRUTTURALILa TRAVE
M+max M+
max
M+max M+
max
M-max
M-max
M-max
Combinazioni di carico per schema ad H
M+max M+
max
M-max
M-max
M-max
M+max M+
max
Combinazioni di carico per schema a trave continua
Alcune considerazioni in presenza di simmetria (come nel caso in esame)
M+23 = M+
34
M-2 = M-
4
M+12 = M+
45
Asse
di
sim
me
tria
Incremento da normativa per la verifica delle armature longitudinali in presenza di sollecitazioni taglianti
Incremento momento in campata (da applicare se non si considerano i due schemi limite o se non si fanno tutti i caricamenti.......)
Asse d
i sim
metr
ia
1) Analisi dei carichi unitari
2) Schema statico
3) Schema di carico
4) Sollecitazioni
5) Progetto delle armature (c.a.)
6) verifiche
PROGETTO DEGLI ELEMENTI STRUTTURALILa TRAVE
a) Armatura Longitudinaleb) Armatura Trasversale
Nota preliminare
A differenza del solaio, in una trave sono sempre presenti, sia superiormente che inferiormente un numero di barre (anche dette “reggi-staffe”) pari a quello dei bracci delle staffe che si impiegano.
Numero di bracci: 2
Numero di barre superiori: 2 (1 per spigolo)Numero di barre inferiori: 2 (1 per spigolo)
Trave alta
Trave a spessore
Numero di bracci: 4
Numero di barre superiori: 4Numero di barre inferiori: 4
Bracci
Bracci
32
Caratteristiche dei materiali
§ Tab. 4.1.I DM 17/01/2018Rck =40 N/mm2, fck =32 N/mm2
fcd = cc fck / c = 0.85· 32 /1.5 = 18.8 N/mm2
=1917036 daN/m2
Acciaio B450C
fyd= 450/1.15 = 391 N/mm2
yd = fyd/E = 391/2100000 = 0.186%
FLESSIONE SEMPLICE RETTA: Sezione rettangolare a semplice armatura
PROGETTO CONDIZIONATO
= 0.416
k = 0.81
Progetto condizionatoNoti MSd , b e d
Dalla (2), con MRd=MSd si ricava x
Dalla (1) si ricava s (deve essere > yd)
Dalla (3) si ricava As
( )
( ) (3)416.01
(2)416.01
(1)
2
2
xr
xxk
x
-=
-=
+=
bdfM
bdfM
ydrd
cdrd
scu
cu
FLESSIONE SEMPLICE RETTA: Sezione rettangolare a semplice armatura
PROGETTO CONDIZIONATO
34
bd
As=r
percentuale
geometrica di
armatura
cdbd f 0.1 0.10.51.02
M
= 20%
= 100%
= 80%
= 60%
= 40%
m =rd
d
= 0.10
B450C
= 391 N/mm 2fyd
x/d
rd
= 0
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.1
0.2
cdfbd1.00.5
fydA s=
= 0
= 100%
= 80%
= 60%
= 40%
= 20%
II
III
IV
b
M2
M2
= 40%
= 100%= 80%
= 60%
rd =mbd
rd =mbd
f
rd
cd
f
rd
cd
x/d = 20% = 0
0.2
0.1
0.10.2 0.15 0.05
0.15
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
= 60%
= 80%
= 100%
0.3
0.2
0.1
=s
f
A ydf
cdbd
=s
f
A ydf
cdbd
= 0
= 20%
= 40%
= 80% = 100%
= 60%
0.1 0.20.05 0.15
0.50.40.30.20.1
IIa
IIa'
= 100%
= 80%
= 60%
IIa
a'
b
= 40%
ssA' =
A s
A
d
x
0.5
x/d= 0 = 20%
0.4
0.6
= 0
= 20%
= 40%
III
IV
FLESSIONE RETTA PROGETTO CONDIZIONATO
As20.251Sd
Rd
cd
Mm
bd f= =
Come controllo dei calcoli fatti a “mano”...
mrd = Mrd (=Msd) / (b d2 fcd)
= (As fyd) / (bd fcd) As As, commerciale
FLESSIONE RETTA – Sezione rettangolare doppia armaturaPROGETTO CONDIZIONATO mediante l’uso di tabelle
Progetto condizionato: dati MSd b h Rck B450C
determinare x (quindi x) , As
B 300 mm h 500 mm
71 mm d 429 mm
Geometria
sezione
MSd 122500 N mMomento massimo in campata AB
(C32/40) Rck 40 N/mm2 fcd 18.8 N/mm2
(B450C) fyk 450 N/mm2 fyd 391.3 N/mm2
Materiali
Esempio: Progetto condizionato in corrispondenza della sezione più sollecitata della campata 1-2
1 2
ssA' =
A s
A
d
x
b
d = h - = 500-71 = 429mm
copriferro di calcolo COPRIFERRO
staffa
= 50+10+22/2 = 71mm
Camp. 1-2 MSd = 122500Nm; 20.251Sd
Rd
cd
Mm
bd f= =
2/ 0.2752x900x250x15.78/391=24.98s cd ydA bdf f cm= =0.118; 0.1295; 8,00 cm2
App. 3 MSd = 152610Nm; 20.251Sd
Rd
cd
Mm
bd f= =
2/ 0.2752x900x250x15.78/391=24.98s cd ydA bdf f cm= =0.147; 0.1619; 10.01 cm2
App.1 MSd = 105100Nm; 20.251Sd
Rd
cd
Mm
bd f= =
2/ 0.2752x900x250x15.78/391=24.98s cd ydA bdf f cm= =0.101; 0.1133; 7.00 cm2
Camp. 2-3 MSd = 91800Nm; 20.251Sd
Rd
cd
Mm
bd f= =
2/ 0.2752x900x250x15.78/391=24.98s cd ydA bdf f cm= =0.088; 0.0971; 6,00 cm2
App. 2 MSd = 168650Nm; 20.251Sd
Rd
cd
Mm
bd f= =
2/ 0.2752x900x250x15.78/391=24.98s cd ydA bdf f cm= =0.162; 0.1836; 11.35 cm2
Uso della tabella
1 2 3
max =0.1067;mRd,max=
0.1209;mRd,max=
0.1663;mRd,max=
0.0923;mRd,max=
0.1484;mRd,max=
max =
max =
max =
max =
Progetto delle armature: schema riassuntivo dei risultati
A =8.00 cm2
A =7.00 cm2
A =11.35 cm2
A =6.00 cm2
A =10.01 cm2
2F22 = 7.60cm23F22 = 11.40cm2
3F22 = 11.40cm2
3F22 = 11.40cm2
2F22 = 7.60cm2
4F16 = 8.03cm2
4F16 = 8.03cm2 4F16 = 8.03cm2
6F16 = 12.05cm2
5F16 = 10.05cm23F18 = 7.63cm2
3F18 = 7.63cm24F18 = 10.17cm2
4F18 = 10.17cm2
5F18 = 12.71cm2
D.M. Infrastrutture 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le costruzioni§ 4.1.6.1.1 – Dettagli costruttivi: armatura delle travi
Progetto delle armature: schema riassuntivo dei risultati
A =8.00 cm2
A =7.00 cm2 A =11.35 cm2
A =6.00 cm2
A =10.01 cm2
2F22 = 7.60cm23F22 = 11.40cm2
3F22 = 11.40cm2 3F22 = 11.40cm22F22 = 7.60cm2
As,min = max (0,26 fctm· bt · d / fyk ; 0,0013 bt · d)
fctm = 0,30 fck2/3 per classi C50/60
Classe 32/40 → fck = 32 N/mm2 fctm = 0,30 ·322/3 = 3,02 N/mm2
As,min = max (0,26·3,02·300·429/450 = 224,5 mm2 (=2,25cm2); 0,0013 bt·d (= 1,673cm2)
As,max = 0,04 Ac = 0,04 · 300 · 500 = 6000 mm2 (=60 cm2)
Le quantità di armatura sono nei limiti prescritti dal D.M. 17/01/2018
cdbd f 0.1 0.10.51.02
M
= 20%
= 100%
= 80%
= 60%
= 40%
m =rd
d
= 0.10
B450C
= 391 N/mm 2fyd
x/d
rd
= 0
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.1
0.2
cdfbd1.00.5
fydA s=
= 0
= 100%
= 80%
= 60%
= 40%
= 20%
II
III
IV
b
M2
M2
= 40%
= 100%= 80%
= 60%
rd =mbd
rd =mbd
f
rd
cd
f
rd
cd
x/d = 20% = 0
0.2
0.1
0.10.2 0.15 0.05
0.15
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
= 60%
= 80%
= 100%
0.3
0.2
0.1
=s
f
A ydf
cdbd
=s
f
A ydf
cdbd
= 0
= 20%
= 40%
= 80% = 100%
= 60%
0.1 0.20.05 0.15
0.50.40.30.20.1
IIa
IIa'
= 100%
= 80%
= 60%
IIa
a'
b
= 40%
ssA' =
A s
A
d
x
0.5
x/d= 0 = 20%
0.4
0.6
= 0
= 20%
= 40%
III
IV
FLESSIONE RETTAVERIFICA
As,commercialecd
rdrd
fbd
Mm
2=
MSd MRdLa verifica è soddisfatta se:
Come controllo dei calcoli fatti a “mano”...
Camp. 1-2 AS,com = 11.40cm2
App. 3 AS,com = 11.40cm2
App. 1 AS,com = 7.60cm2
Camp. 2-3 AS,com = 7.60cm2
App. 2 AS,com = 11.40cm2
yds
cd
fA
bd f = = 0.122;
yds
cd
fA
bd f = = 0.187;
yds
cd
fA
bd f = = 0.187;
yds
cd
fA
bd f = = 0.122;
yds
cd
fA
bd f = = 0.187;
= 0.1165;
= 0.1692;
= 0.1692;
= 0.1165;
= 0.1692;
MRd = mRd bd 2fcd =120925 Nm >105100 Nm
MRd = mRd bd 2fcd =175628 Nm >122500 Nm
MRd = mRd bd 2fcd =175628 Nm >122500 Nm
MRd = mRd bd 2fcd =120925 Nm >105100 Nm
MRd = mRd bd 2fcd =175628 Nm >122500 Nm
MSdMRdmediante interpolazione
mRd
mRd
mRd
mRd
mRd
Verifica con l’uso della tabella
Per tutte le sezioni significative la verifica è soddisfatta.
Verifica Calcoli con VCA SLU
App. 1 AS,com = 7.60cm2yds
cd
fA
bd f = = 0.122; = 0.1165; MRd = mRd bd 2fcd =120925 Nm
Verifica Calcoli con VCA SLU
Camp. 1-2 AS,com = 11.40cm2yds
cd
fA
bd f = = 0.187; = 0.1692; MRd = mRd bd 2fcd =175628 Nm
Costruzione della distinta armature
390 390 390 390
105.1
122.5
168.5
91.8
152.60
100
50
150
200
100
50
150
200
100 100 100 3030
322: MR=175.6
222: MR=120.9
322: MR=175.6
222: MR=120.9
390 390 390 390
105.1
122.5
168.5
91.8
152.60
100
50
150
200
100
50
150
200
100 100 100 3030
322: MR=175.6
222: MR=120.9
322: MR=175.6
222: MR=120.9
322
222
222 322
222
222
222
222
222
122 122 122
390 390 390 390
105.1
122.5
168.5
91.8
152.60
100
50
150
200
100
50
150
200
100 100 100 3030
322: MR=175.6
222: MR=120.9
322: MR=175.6
222: MR=120.9
322
222
222 322
222
222
222
222
222
122 122 122
La
La
LaLaLaLaLaLa
La
La La La
La La La
La La
La
La
La
390 390 390 390
105.1
122.5
168.5
91.8
152.60
100
50
150
200
100
50
150
200
100 100 100 3030
322: MR=175.6
222: MR=120.9
322: MR=175.6
222: MR=120.9
322
222
222
322
222222
122 122 122 LaLaLaLaLaLa
La
La La
La La
La
La
In alternativa con riduzione delle sezioni di interruzione
❑ In ogni sezione devono essere garantiti minimo 4 ferri (1 per ogni spigolo).❑ La lunghezza massima della singola barra non deve superare i 12m.❑ La sovrapposizione delle barre inferiori è consigliata in corrispondenza degli appoggi (zona compressa – fibre tese: superiori).❑ La sovrapposizione delle barre superiori è consigliata in corrispondenza della mezzeria della campata (zona compressa – fibre tese: inferiori).❑ La lunghezza di sovrapposizione, per barre ad aderenza migliorata, si può fissare in maniera approssimata pari a 40 volte il diametro della barra in zona tesa, e 20 volte in zona compressa.❑ La distanza mutua (interferro) nella sovrapposizione non deve superare 4 volte il diametro della barra (§ 4.1.6.1.4)
Distinta armature
Disposizione delle armature longitudinali: confronto tra approcci diversi
1
2
cdbd f 0.1 0.10.51.02
M
= 20%
= 100%
= 80%
= 60%
= 40%
m =rd
d
= 0.10
B450C
= 391 N/mm 2fyd
x/d
rd
= 0
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.1
0.2
cdfbd1.00.5
fydA s=
= 0
= 100%
= 80%
= 60%
= 40%
= 20%
II
III
IV
b
M2
M2
= 40%
= 100%= 80%
= 60%
rd =mbd
rd =mbd
f
rd
cd
f
rd
cd
x/d = 20% = 0
0.2
0.1
0.10.2 0.15 0.05
0.15
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
= 60%
= 80%
= 100%
0.3
0.2
0.1
=s
f
A ydf
cdbd
=s
f
A ydf
cdbd
= 0
= 20%
= 40%
= 80% = 100%
= 60%
0.1 0.20.05 0.15
0.50.40.30.20.1
IIa
IIa'
= 100%
= 80%
= 60%
IIa
a'
b
= 40%
ssA' =
A s
A
d
x
0.5
x/d= 0 = 20%
0.4
0.6
= 0
= 20%
= 40%
III
IV
FLESSIONE RETTAAlcune considerazioni sul PROGETTO LIBERO a duttilità prestabilita
As,commercialecd
rdrd
fbd
Mm
2=
Si entra con un prefissato valore x=x/d; le ascisse relative ai
due ordini di curve consentono di individuare l’armatura
tesa corrispondente ed il momento resistente di calcolo
della sezione.
Ponendo Mrd=MSd
si ricava d
Dal progetto condizionato per l’appoggio 3 abbiamo ricavato:
App. 3 MSd = 152610Nm; 20.251Sd
Rd
cd
Mm
bd f= =
2/ 0.2752x900x250x15.78/391=24.98s cd ydA bdf f cm= =0.147; 0.1619; 10.01 cm20.1484;mRd,max= max =
x=0.2
Considerando il momento flettente di calcolo MSd = 152610Nm si ipotizzi di progettare
l’altezza d della trave affinché la profondità dell’asse neutro a rottura risulti x=0.2
(costante al variare dell’armatura compressa)
cdbd f 0.1 0.10.51.02
M
= 20%
= 100%
= 80%
= 60%
= 40%
m =rd
d
= 0.10
B450C
= 391 N/mm 2fyd
x/d
rd
= 0
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.1
0.2
cdfbd1.00.5
fydA s=
= 0
= 100%
= 80%
= 60%
= 40%
= 20%
II
III
IV
b
M2
M2
= 40%
= 100%= 80%
= 60%
rd =mbd
rd =mbd
f
rd
cd
f
rd
cd
x/d = 20% = 0
0.2
0.1
0.10.2 0.15 0.05
0.15
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
= 60%
= 80%
= 100%
0.3
0.2
0.1
=s
f
A ydf
cdbd
=s
f
A ydf
cdbd
= 0
= 20%
= 40%
= 80% = 100%
= 60%
0.1 0.20.05 0.15
0.50.40.30.20.1
IIa
IIa'
= 100%
= 80%
= 60%
IIa
a'
b
= 40%
ssA' =
A s
A
d
x
0.5
x/d= 0 = 20%
0.4
0.6
= 0
= 20%
= 40%
III
IV
mRd,=0%
mRd,=20%
mRd,=40%
Ponendo Mrd=MSd
mRd,=0% = 0,1484 = 427mm
mRd,=20% = 0,1802 = 388mm
mRd,=40% = 0,2296 = 343mm
mRd,=60% = 0,3172 = 292mm
mRd,=80% = 0,5150 = 229mm
mRd,=100% =1,3832 = 140mm
Quindi, a parità di
sollecitazione di calcolo, per
una duttilità prestabilita,
all’aumentare del quantitativo
di armatura compressa
diminuisce l’altezza della
sezione