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Lezioni di Lezioni di MatematicaMatematica
Le “curve di livello”Le “curve di livello”
I.T.C. “Cassandro” Barletta
Attraverso l’ elaboratore elettronico il grafico di una funzione di 2 variabili si può costruire:
• per punti
• con le “curve di livello”
x
z
y
Le curve di livello sono le linee che si ottengono sezionando la superficie y = f(x;y) con piani paralleli al piano XY
x
z
y
Le curve di livello sono le linee che si ottengono sezionando la superficie y = f(x;y) con piani paralleli al piano XY
x
z
y
Nel piano XY le curve di livello sono rappresentate da un “fascio di curve”
x
y
In questo esempio le curve di livello sono circonferenze concentriche:
Svolgiamo un esempio con i calcoli:
z = x2 + y2
Svolgiamo un esempio con i calcoli:
z = x2 + y2
Intersechiamo questa funzione con piani paralleli al piano XY. Questi piani hanno equazione: z = k
Si tratta di risolvere il sistema di equazioni:
z = x2 + y2
z = k
Si tratta di risolvere il sistema di equazioni:
z = x2 + y2
z = k
→k = x2 + y2
z = k
Si tratta di risolvere il sistema di equazioni:
z = x2 + y2
z = k
→k = x2 + y2
z = k
Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nell’ origine e raggio √ k .
Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: 2, 4, 6, 8, 10
Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: 2, 4, 6, 8, 10
x2 + y2 = k
Costruzione in 3-D per punti della funzionez = x2 +
y2
Esercizio:
Determiniamo alcune linee di livello della funzione:
z = x2 + y2 – 10x
Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:
z = x2 + y2 – 10x
z = k
Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:
k = x2 + y2 – 10x
z = k
z = k
z = x2 + y2 – 10x
Le sezioni ottenute hanno equazioni:
k = x2 + y2 – 10x
Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto
α = - a/2 β = - b/2
Le sezioni ottenute hanno equazioni:
k = x2 + y2 – 10x
Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto
C (5; 0)
Le sezioni ottenute hanno equazioni:
k = x2 + y2 – 10x
Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto
C (5; 0)
e aventi raggio: r = √ α2 + β2 – c
Le sezioni ottenute hanno equazioni:
k = x2 + y2 – 10x
Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto
C (5; 0)
e aventi raggio: r = √ 25 + k .
r = √ 25 + k
Dovendo essere: 25 + k ≥ 0 quindi:
k ≥ - 25
r = √ 25 + k
Dovendo essere: 25 + k ≥ 0 quindi:
k ≥ - 25
Le curve di livello non esistono se
k < - 25
Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: -25, -20, -15, -10, -5, 0
Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: -25, -20, -15, -10, -5, 0
Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: -25, -20, -15, -10, -5, 0
Per k = -25 si ha il Per k = -25 si ha il punto (5; 0)punto (5; 0)
Esercizio:
Determiniamo alcune linee di livello della funzione:
x
yxz
6
422
kzx
yxz
6
422
Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:
kzx
yxz
6
422
Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:
kzx
yxk
6
422
Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:
kz
xx
yxkx 6
6
46
22
Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:
kz
xx
yxkx 6
6
46
22
Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:
kz
xx
yxkx 6
6
46
22
04622 kxyx
Le sezioni ottenute hanno equazioni:
x2 + y2 – 6kx + 4 = 0Al variare di k, queste sono
equazioni di circonferenze con centro nel punto
α = 3k β = 0
Le sezioni ottenute hanno equazioni:
x2 + y2 – 6kx + 4 = 0Al variare di k, queste sono
equazioni di circonferenze con centro nel punto
α = 3k β = 0C (3k; 0)
Le sezioni ottenute hanno equazioni:
x2 + y2 – 6kx + 4 = 0Al variare di k, queste sono
equazioni di circonferenze con centro nel punto
α = 3k β = 0C (3k; 0)
e raggio: r = √ 9k2 - 4
r = √ 9k2 - 4
Dovendo essere: 9k2 - 4 ≥ 0 quindi:
r = √ 9k2 - 4
Dovendo essere: 9k2 - 4 ≥ 0 quindi:
k ≤ - 2/3 v k ≥ 2/3
r = √ 9k2 - 4
Dovendo essere: 9k2 - 4 ≥ 0 quindi:
k ≤ - 2/3 v k ≥ 2/3
Le curve di livello non esistono se
-2/3 < k < 2/3