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Cours 8: Cosmologie 1
Cours 8 : Éveil Cosmologie
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Cours 8: Cosmologie 2
Résumé du cours d’aujourd’hui
— Introduction à la cosmologie
— L’expansion de l’Univers et la loi de Hubble
— La principe de cosmologie
— La métrique de Robertson-Walker
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Cours 8: Cosmologie 3
Qu’est-ce que la cosmologie ?
— La cosmologie est l’étude de l’Univers entier : son histoire,
son évolution, sa composition, et ses dynamiques.
— Une question principale est de comprendre la structure de
l’Univers à les plus grandes échelles.
— La relativité générale est essentiel pour la cosmologie.
— Autre resources : (Schutz , 2009, Chapitre 12), (Hobson
et al., 2010, Chapitres 14, 15, 16), (Liddle, 2003)
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Cours 8: Cosmologie 4
Unité naturelle
— Dans la relativité générale, c’est commode d’utiliser les unité
avec lequel c = 1 et G = 1. Ça implique que
1 =G
c2= 7, 425× 10−28m kg−1
— Et la masse est exprimé avec les unités de [m]. Par exemple,
le soleil a une masse de :
M� ≈ 2× 1030 kg = 1500 m
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Cours 8: Cosmologie 5
Quand sont les effets de relativité
générale importants ?
— En gros, la théorie de gravité de Newton marche à une
bonne approximation quand
M
R� 1
— Pour le soleil,
M�R
=1, 5× 103m7× 108m
≈ 2× 10−6 � 1
— Pour la voie lactée,
M
R≈ M� × 10
11
15kpc=
1, 5× 103m× 1011
15× 103 × 3× 1016m≈ 3× 10−7
— Même pour les amas de galaxies (une association de plus
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Cours 8: Cosmologie 6
d’une centaine de galaxies liées entre elles par la gravitation)
avec R ∼Mpc,M
R≈ 10−4
— Sur les plus grandes échelles, superieurs de 10 Mpc, la
densité est presque constante, ρ ≈ 10−26kg m−3, et doncpour R = 6 Gpc,
M
R=
43πR
3ρ
R=
(ρ4π
3
)R2 ≈ 1
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Cours 8: Cosmologie 7
L’Univers est simple !
— Pour les échelles superieurs d’environ 10 Mpc :
— L’Univers est homogene. Par exemple, le nombre de
galaxies par unité de volume, les types de galaxies, leurs
chimie.
— L’Univers est isotrope. Par exemple, la température du
rayonnement de fond cosmologique (CMB) dépend très
faiblement de la direction d’observation dans le ciel :
2, 725. . . K ± 10−5 K. Le CMB est le nom donné aurayonnement électromagnétique issu de l’époque dense et
chaude à peu près 400.000 ans après le Big Bang.
— L’expansion de l’Univers est uniforme. On voit les
galaxies s’éloigner les unes des autres. Mais cet
écartement mutuel, que l’on pourrait prendre pour un
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Cours 8: Cosmologie 8
mouvement des galaxies dans l’espace, s’interprète en
réalité par un gonflement de l’espace lui-même.
— Cet observation nous mène au principe cosmologique. Nous
extrapolons que l’Univers est, à une très bonne
approximation, homogène et isotrope partout.
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Cours 8: Cosmologie 9
L’expansion de l’Univers
— C’était prévu en 1927 à partir de la relativité générale par
Georges Lemâıtre (prêtre belge).
— C’était observé en 1929 par Edwin Hubble. Il a remarqué
que toutes les galaxies s’éloigner de nous et que la vitesse de
recul v est linéaire par rapport de distance d’écartement r̃ :
v = H0r̃ H0 ≈ 70 km s−1/Mpc.
— Maintenent nous comprenons cette vitesse apparant comme
un gonflement de l’espace lui-même. C’est l’espace entre les
galaxies, pas la taille des galaxies elles-même, qui gonfle.
Nous parlons de la vitesse de Hubble d’une galaxie pour la
vitesse apparant d’une galaxie en cause de l’expansion de
l’Univers.
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Cours 8: Cosmologie 10
— La relation ne marche pas parfaitement parce que les
galaxies ont une vitesse particulière typiquement au
maximum 100 km/s. Donc il faut avoir les observations des
galaxies plus loin que plusieurs Mpc (r̃ � 1 Mpc) tel que lavitesse de Hubble est superieur à la vitesse particulière.
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Cours 8: Cosmologie 11
La métrique de l’Univers homogène et
isotrope partout : feuilletage de
l’espace-temps
— Nous allons jusifier la métrique de
Friedmann-Robertson-Walker
ds2 = c2dt2 − a2(t)(
1
1− kr2dr2 + r2dθ2 + r2 sin2θdφ2
).
(1)
dans les coordonnées standards où t est le temps
cosmologique, et {r, θ, φ} sont les coordonnées spatials avecr ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π et 0 ≤ π ≤ 2π. Le paramètre k est lacourbure et prend une valeur discret : k = {0,+1,−1}. Nousallons faire un argument physique que les coordonnées sont
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Cours 8: Cosmologie 12
« comobile ».— Rappelez-vous que la notion de simultanéité n’est pas
indépendent de référentiel. De plus, il n’y a pas un
référentiel inertiel global dans le RG. Donc c’est subtile de
définer un instant de temps.
— Nous faisons un feuilletage de l’espace-temps, en définissant
des hypersurfaces du genre espace tridimensionnelle. Nous
faisons l’approximation que c’est possible de faire le
feuilletage tel que chaque hypersurface ou tranche est
isotrope et homogene.
— Avec cet approximation, le moyen des positions de tous les
galaxies dans un volume de 10 Mpc× 10 Mpc× 10 Mpc a lescoordinées stationaires, xi =constant.
— Nous choisissons la coordonée temporelle, t = τ , le temps
propre d’une horloge qui se déplace avec les positions
stationaires : dτ = dt.
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Cours 8: Cosmologie 13
— La partie spatiale de la métrique donne la distance propre
(ou la « distance physique ») carré entre deux points séparépar dxi à un instant de temps t0 :
dl2(t0) = gij(t0)dxidxj
— L’expantion de l’Univers exige que dl2 augmente avec le
temps.
dl2(t0) < dl2(t1) = gij(t1)dx
idxj , t1 > t0
= a2(t1)gij(t0)dxidxj (2)
où a(t) est le facteur d’échelle.
— Et pour la métrique quadridimensionelle, en générale on
aurait
ds2(t) = c2dt2 + g0i dtdxi + a2(t)gij(t0)dx
idxj
Remarquez-vous que g00 = c2 parce que ds2 = c2dτ2 quand
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Cours 8: Cosmologie 14
dxi = 0. Supposons que g02 > 0. Ça veux dire que la
direction dy c’est differente que celle de −dy. Donc nousdevrions choisir les ~et · ~ey = g02 = 0 et le même pour x et z.C’est à dire ~et · ~ei = 0, et g0i = 0 et :
ds2(t) = c2dt2 + a2(t)gij(t0)dxidxj (3)
— Les hypersurfaces du genre espace tridimensionnelle
devraient être isotrope. Ça veut dire que chaque point a la
géometrie d’un point sur la surface d’une sphère avec le
centre à l’origine de notre système de coordonnées. Ce
critère exige que :
dl2(t0) = gij(t0)dxidxj = grr(r, t0)dr
2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2
Mais n’importe quel point peut être l’origine de notre
système de coordonnées. Et notre condition d’isotropie ici
est beaucoup plus restrictive que dans le cas d’un trou noir
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Cours 8: Cosmologie 15
(le cas pour lequel il y a un seul centre de symétrie.)
— La courbure d’espace-temps est décrit par un teneur qui
s’appele le tenseur de Ricci. Il est une fonction des symboles
de Christoffel. Le scalaire de Ricci R est la contraction du
tenseur de Ricci :
R = Rii (4)
— Et donc, de plus, nous exigeons que le scalaire de Ricci,
Ri i = constant. Pour la métrique
dl2(t0) = B(r)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2
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Cours 8: Cosmologie 16
nous trouvons le tenseur de Ricci (spatial) :
R11 = −B′
rB
R22 =1
B− 1− rB
′
2B2
R33 = sin2 θR22 (5)
— Le scalaire de Ricci (spatial), Ri i nous donne
R = gijRji = B−1R11 + r
−2R22 + r−2 sin−2 θR33
= −B−1 B′
rB+ 2r−2
(1
B− 1− rB
′
2B2
)=
2
r2B− 2r2− 2 B
′
rB2
=2
r2
(d
dr
( rB
)− 1)
(6)
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Cours 8: Cosmologie 17
— Pour que l’espace-temps est homogene, nous devons résoudre
R = κ =2
r2
(d
dr
( rB
)− 1)
où κ est une constante.
— C’est très facile d’intégrer∫(1 +
r2κ
2)dr =
∫d( rB
)⇒
B =1
1 + r2κ/6 + C/r(7)
où C est une constante d’integration.
— On obtient
R11 =2κr − 6C/r2
κr3 + 6r + 6C(8)
— Mais proche d’origine, r → 0, nous voulons quel’espace-temps reste non singulaire (Rij reste finie). Ça
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Cours 8: Cosmologie 18
donne C = 0 et
B =1
1 + r2κ/6=
1
1− r2koù k est la courbure de l’espace et
dl2(t0) =
(1
1− r2k
)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2
— Nous le remplaçons dans (3). Donc nous avons la métrique
de Friedmann-Robertson-Walker (FRW) :
ds2(t) = c2dt2 − a2(t)gij(t0)dxidxj
= c2dt2 − a2(t)[(
1
1− r2k
)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2
](9)
— Il reste de démontrer que l’espace-temps de FRW est
homogene et isotrope partout. Plus tard nous considérons les
trois cas k = 0, k > 0, k < 0.
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Cours 8: Cosmologie 19
Equations dynamique de l’Univers
— Pour décrire expansion de l’Univers nous avons besoin des
équations d’Einstein. La partie droite est le tenseur
d’énergie-impulsion d’un fluid parfait :
8πTαβ = 8π[(ρ+ p/c2)UαUβ + gαβp
]où p est la pression et ρ est la densité de masse est énergie
relativiste, et Uα est la quadrivitesse du fluide.
— La partie gauche des équations d’Einstein, Gαβ , est la même
sort de calcul que nous avons fait pour obtenir Rαβ pour la
métrique de Schwarzschild mais ici nous devons, bien sûr,
utiliser la métrique de FRW.
— Vous avez trois possibilité pour trouver les symbole de
Christoffel : (1) la méthode nous avons utilisé pour la
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Cours 8: Cosmologie 20
métrique de Schwarzschild (2) une logiciel comme Maple
avec le package tensor, (3) la méthode suivant.
— On fait la correspondance entre les équations des géodesique
à partir de les symboles de Christoffel,
0 =d2
dτ2xα + Γαµν
∂xµ
∂τ
∂xν
∂τ= ẍα + Γαµν ẋ
µẋν (10)
et les équations des géodesique à partir des équations
d’Euler-Lagrange :
d
dτ
(∂L
∂ẋα
)− ∂L∂xα
= 0 (11)
où
L = gαβ ẋαẋβ
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Cours 8: Cosmologie 21
— Le tenseur d’Einstein devient simplement :
G00 =3
a2(t)
(a′2 + k
)g00
Gij =
[2
a(t)a′′ +
1
a2(t)
(a′2 + k
)]gij (12)
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Cours 8: Cosmologie 22
Références
Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativité
Générale, de boeck, Bruxelles.
Liddle, A. (2003), An introduction to modern cosmology, 172 pp.,
Wiley & Company, Chichester, UK and Hoboken, NJ.
Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge
University Press, Cambridge UK.