cours chapitre 1 cinématique 2017 -...
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Mécanique du point
1. CINÉMATIQUE du point
janvier 17 1
Objec.fs
• Connaitre le système de coordonnées cartésiennes et polaires ou cylindriques
• Connaitre l’expression des vecteurs posi.on, vitesse et accéléra.on dans les systèmes de coordonnées cartésiennes et cylindriques
• Connaitre la défini.on de quelques mouvements par.culiers
janvier 17 2
Sommaire
1. Défini.on 2. Référen.el 3. Repère 4. Vecteur vitesse 5. Vecteur accéléra.on 6. Exemples de mouvement 7. Récapitula.f
janvier 17 3
Sommaire
1. Défini<on – Défini.on – Objet
2. Référen.el 3. Repère 4. Vecteur vitesse 5. Vecteur accéléra.on 6. Exemples de mouvement 7. Récapitula.f
janvier 17 4
1. DÉFINITION • Etude du mouvement d’un point sans se préoccuper des causes (les forces) qui lui donnent naissance.
• Objet de la cinéma<que : – Décrire la posi.on – La vitesse – L’accéléra.on
d’un point au cours du temps
janvier 17 5
Sommaire 1. Défini.on 2. Référen<el – Nécessité d’un référen.el – Défini.on – Caractéris.que d’un référen.el – Exemples
3. Repère 4. Vecteur vitesse 5. Vecteur accéléra.on 6. Exemples de mouvement 7. Récapitula.f
janvier 17 6
2. REFERENTIEL • Nécessité d’un référen.el : – Mouvement d’un point – Observateur qui analyse – Emplacement de l’observateur
• Un référen.el (ou solide de référence) est un ensemble de points tous fixes les uns par rapport aux autres. L’observateur qui étudie le mouvement d’un point est lui-‐même immobile dans ce référen.el.
janvier 17 7
2. REFERENTIEL • Caractéris.que d’un référen.el : – Nom – Repère (Point O et 3 direc.ons fixes)
• Exemples : – Référen.el de Copernic – Référen.el géocentrique – Référen.el terrestre
janvier 17 8
Sommaire 1. Défini.on 2. Référen.el 3. Repère – Repère d’espace – Repère de temps – Systèmes de coordonnées (cartésiennes, polaires,
cylindriques)
4. Vecteur vitesse 5. Vecteur accéléra.on 6. Exemples de mouvement 7. Récapitula.f janvier 17 9
3. REPERES Où se trouve le point ? REPÈRE d’espace
• Lié au référen.el • Origine O fixe dans le
référen.el • Axes de référence (x,y,z). • Axes liés au référen.el.
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3. REPERES A quel moment ? REPÈRE de temps
• Instant 1, instant 2 • Date t1, date t2 • Durée t2 – t1
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3. REPERES • Coordonnées cartésiennes • Coordonnées polaires • Coordonnées cylindriques • Système de coordonnées à choisir en fonc.on du mouvement du point mobile: – Trajectoire circulaire → coordonnées polaires
• Passage d’un système de coordonnées à un autre
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3. REPERES Coordonnées cartésiennes • Dans le plan • Dans l’espace
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3. REPERES Coordonnées cartésiennes (suite)
•
• Vecteur posi.on
• Base fixe dans le référen.el
janvier 17 14
( )zyx ,,coordonnées longueur (en m)
zyx uzuyuxOM
++=
( )zyx uuu,,
3. REPERES Coordonnées polaires • Dans le plan
Coordonnées cylindriques • Dans l’espace
janvier 17 15
axe polaire
3. REPERES Coordonnées polaires (suite)
•
• Vecteur posi.on
• Base mobile dans le référen.el
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( )θρ ,
coordonnée radiale longueur (en m)
coordonnée angulaire (angle polaire, azimut) angle (en rad)
ρρuOM =
( )θρ uu,
3. REPERES Coordonnées cylindriques (suite)
•
• Vecteur posi.on
• Base mobile dans le référen.el
janvier 17 17
( )z,,θρcote longueur (en m)
zuzuOM
+= ρρ
( )zuuu,, θρ
3. REPERES Passage polaire → cartésienne ?
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?
?
??
=
=
=
=
y
x
u
u
yx
u!!
u!!
xu
yu
θ
3. REPERES Passage polaire → cartésienne
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θρ
θρ
θθ
θθ
θρ
θρ
uuu
uuu
yx
y
x
cossin
sincos
sincos
+=
−=
=
=
u!!
u!!
xu
yu
θ
3. REPERES Passage cartésienne → polaire ?
janvier 17 20
?
?
?tan?
=
=
=
=
θ
ρ
θ
ρ
u
uu!!
u!!
xu
yu
θ
3. REPERES Passage cartésienne → polaire
janvier 17 21
yx
yx
uuu
uuuxy
yx
θθ
θθ
θ
ρ
θ
ρ
cossin
sincos
tan
²²
+−=
+=
=
+=
u!!
u!!
xu
yu
θ
Sommaire 1. Défini.on 2. Référen.el 3. Repère
4. Vecteur vitesse – Défini.ons (vitesse moy., instant., angulaire) / Unités – Expression en coordonnées cartésiennes / polaires / cylindriques – Expression dans la base de Freinet
5. Vecteur accéléra.on 6. Exemples de mouvement 7. Récapitula.f
janvier 17 22
4. VECTEUR VITESSE Vitesse moyenne • Direc.on et sens ceux du
mouvement (de M1 vers M2).
• La norme renseigne sur la distance parcourue en moyenne par unité de temps.
• Unités SI – mètre/seconde – m.s-‐1
janvier 17 23
tOMOM
ttMM
VmΔ
−=
−= 12
12
21
4. VECTEUR VITESSE Vitesse instantanée • Vitesse = dérivée par rapport au temps du vecteur posi.on
• Durée élémentaire (infiniment pe.te) : dt
• Vecteur déplacement élémentaire :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) lddttVdtld
dtOMdtV
ttOMttOMtV t
=⇒==
Δ
−Δ+= →Δ 0lim
ldOMd =
janvier 17 24
4. VECTEUR VITESSE Expression en coordonnées cartésiennes • Vecteur posi.on
• Vecteur vitesse
• Norme du vecteur vitesse
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( )
( ) ²²² zyxVtV
uzuyuxtV
uzuyuxOM
zyx
zyx
++==
++=
++=
4. VECTEUR VITESSE Expression en coordonnées polaires / cylindriques • Vecteur posi.on
• Vecteur vitesse
• Norme du vecteur vitesse
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( )
( ) ²)²(² zVtV
uzuVuVtV
uzuOM
z
z
++==
++=
+=
θρρ
ρ
θθρρ
ρ
– Composante radiale
– Composante orthoradiale
θρ
ρ
θ
ρ
=
=
V
V
4. VECTEUR VITESSE Cas du mouvement plan (base de Freinet)
• Vecteur vitesse : Tangent à la trajectoire au point M
" (%)=' ( ↓% • Norme du vecteur vitesse ‖" (%)‖="=|'|
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Base de Freinet • Base mobile
• ( ↓% : vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté comme celle-‐ci
• ( ↓, : vecteur unitaire normal à la trajectoire et tourné vers la concavité
4. VECTEUR VITESSE Vitesse angulaire • Posi.on angulaire de M dans le plan Oxy : θ
• Vitesse angulaire = dérivée par rapport au temps de θ
• Vecteur vitesse angulaire :
• Sens posi.f : de x vers y zu
θω =janvier 17 28
Sommaire 1. Défini.on 2. Référen.el 3. Repère 4. Vecteur vitesse
5. Vecteur accéléra<on – Défini.on / Unités – Expression en coordonnées cartésiennes / polaires / cylindriques – Expression dans la base de Freinet
6. Exemples de mouvement 7. Récapitula.f
janvier 17 29
5. VECTEUR ACCELERATION • Varia.on du vecteur vitesse par rapport au temps
• Unités SI – mètre/seconde au carré – m.s-‐2
( ) ( )²
²dtOMd
dttVdta ==
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5. VECTEUR ACCELERATION Expression en coordonnées cartésiennes • Vecteur accéléra.on
janvier 17
( ) zyx uzuyuxta ++=
5. VECTEUR ACCELERATION Expression en coordonnées polaires / cylindriques • Vecteur accéléra.on
– Composante radiale
– Composante orthoradiale
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( )
θρθρ
θρρ
θ
ρ
θθρρ
2
²
+=
−=
++=
a
a
uzuauata z
5. VECTEUR ACCELERATION Cas du mouvement plan (base de Freinet) • Vecteur accéléra.on : + – Composante tangen.elle : at
• indique si la valeur de la vitesse change • mvt uniforme : at = 0
– Composante normale centripète : an • toujours posi.ve • toujours tournée vers le centre de courbure de la trajectoire au point considéré
• indique que la direc.on du vecteur vitesse change • mvt rec.ligne: an = 0
janvier 17
.↓% = /'//%
.↓, = "²/1
janvier 17 34
5. ACCELERATION Accéléra<on angulaire • Vecteur accéléra.on angulaire
janvier 17 35
zudtd
θω=
Sommaire 1. Défini.on 2. Référen.el 3. Repère 4. Vecteur vitesse 5. Vecteur accéléra.on
6. Exemples de mouvement – Mouvements rec.lignes – Mouvements circulaires – Mouvement parabolique
7. Récapitula.f
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6. EXEMPLES de MOUVEMENT • Mouvements rec.lignes – Quelconque – Uniforme – Uniformément varié – Sinusoïdal
• Mouvements circulaires – Quelconque – Uniforme – Uniformément varié – Sinusoïdal
• Mouvement parabolique
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6. EXEMPLES de MOUVEMENT
Mouvement rec<ligne • Trajectoire = por.on de droite • Une seule composante pour :
– Posi.on :
– Vitesse :
– Accéléra.on : • Origine O : posi.on de M à t = 0
janvier 17 38
( )tx( ) xx uvutxv
==
( ) xx uautxa
==
( )0
00
0 =
==
xtx
6. EXEMPLES de MOUVEMENT
Mouvement rec<ligne quelconque • Vecteur accéléra.on fonc.on quelconque du temps
• Des condi.ons ou les condi.ons ini.ales (à t=0) permehent de déterminer Vo et x0.
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( ) ( ) ( ) ( )dttvxdttfxtvtfxa ∫∫ =⇒==⇒==
6. EXEMPLES de MOUVEMENT
Mouvement rec<ligne uniforme • Vecteur vitesse constant
janvier 17 40
( )( )
tVxx
xtVxVx
VxuvutxvuVVtv
xa
xx
x
.0
.
0
00
000
000
=⎭⎬⎫
=
+=⇒=
=⎪⎭
⎪⎬⎫
==
==
==
6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement rec<ligne uniformément varié • Vecteur accéléra.on constant + mouvement rec.ligne
• Des condi.ons ou les condi.ons ini.ales (à t=0) permehent de déterminer Vo et x0.
janvier 17 41
( )( )
000000
000
.².21
. xtVtaxvtaxax
axuautxauaataxx
x
++=⇒+=⇒=
=⎪⎭
⎪⎬⎫
==
==
6. EXEMPLES de MOUVEMENT
Mouvement rec<ligne sinusoïdal • Équa.on horaire fonc.on sinusoïdale du type
avec : — ω : pulsa.on (en rad/s) — Xm : amplitude maximale du mouvement — Phase Φ à l’instant t : — ϕ : phase à l’origine
janvier 17 42
( )( ) ( )( ) ( )ϕωω
ϕωω
ϕω
+−==
+−==
+=
tXtaxtXtvx
tXx
m
m
m
cos²sin
cos
( ) ϕω +=Φ tt
6. EXEMPLES de MOUVEMENT
Mouvement rec<ligne sinusoïdal (suite) • Équa.on différen.elle
janvier 17 43
0² =+ xx ω
6. EXEMPLES de MOUVEMENT
Mouvement circulaire quelconque • Voir doc récapitula.f Mouvement circulaire • Trajectoire = cercle de centre O et de rayon R • Origine O : centre du cercle et axe Oz perpendiculaire au plan contenant la trajectoire
• Equa.ons horaires en coordonnées polaires
janvier 17 44
( )tcteR
θθ
ρ
=
==
6. EXEMPLES de MOUVEMENT
Mouvement circulaire uniforme (suite) • Vecteur vitesse angulaire constant
janvier 17 45
( )
( )
θω
θωθθθ
ωθθ
uRv
tt
ctetdtd
0
00
0
0 .0
=
+=⎪⎭
⎪⎬
⎫
==
===
6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement circulaire uniforme (suite) • Vecteur accéléra.on – Composante tangen.elle nulle
– Composante normale
ð Mouvement accéléré à accéléra.on centripète
janvier 17 46
0=ta
ρωω uRuRuRvaa nnn ²²²
00 −====
6. EXEMPLES de MOUVEMENT
Mouvement circulaire uniformément varié • Vecteur accéléra.on angulaire constant
• Les condi.ons ini.ales (à t=0) ou des condi.ons par.culières permehent de déterminer et .
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!!! = !!!0 = cte!! = !!!0.t + !!0
! =12!!!0.t
2 + !!0.t +!0
0θ 0θ
6. EXEMPLES de MOUVEMENT
Mouvement circulaire sinusoïdal • Équa.on horaire fonc.on sinusoïdale du type
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( )ϕωθ +Θ= tm cos
6. EXEMPLES de MOUVEMENT
Mouvement parabolique
janvier 17 49
6. EXEMPLES de MOUVEMENT
Mouvement parabolique (suite) • Condi.ons ini.ales
• Vecteur accéléra.on
• Vecteur vitesse
janvier 17 50
zxzzxx uvuvuvuvvtv
ztzxtx
αα sincos)0(
0)0(0)0(
00000
0
0
+=+===
===
===
0
0az
xa
=
==
OM! "!!!
=x = v0 x.t
z = 12a0.t
2 + v0z.t
• Vecteur posi.on
z
x
vtazvx
v00
0
. +=
==
6. EXEMPLES de MOUVEMENT
Mouvement parabolique (suite) • Trajectoire – Si V0x = 0 è mouvement rec.ligne uniformément varié suivant z
– Si V0x ≠ 0 è mouvement rec.ligne uniformément varié suivant z + mouvement rec.ligne uniforme suivant x
– équa.on de la trajectoire
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z = 12a0
xv0 x
!
"#
$
%&
2
+ v0zxv0 x
!
"#
$
%&
z = 12a0
x2
v02 cos2!
+ x tan!
6. EXEMPLES de MOUVEMENT
Mouvement parabolique (suite) • Flèche h – Al.tude maxi que peut aheindre le point mobile
• Portée d – Distance maxi que peut aheindre le point mobile
janvier 17 52
α²sin2²0g
vh =
α2sin²0gvd =
Sommaire
1. Défini.on 2. Référen.el 3. Repère 4. Vecteur vitesse 5. Vecteur accéléra.on 6. Exemples de mouvement
7. Récapitula<f è travail perso
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7. Récapitula<f • Système de coordonnées cartésiennes et polaires ou cylindriques + passage de l’un à l’autre
• Expression des vecteurs posi.on, vitesse, vitesse angulaire, accéléra.on et accéléra.on angulaire dans les différents systèmes de coordonnées
• Passages du vecteur posi.on au vecteur vitesse, du vecteur vitesse au vecteur accéléra.on
• Défini.on de quelques mouvements par.culiers
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