cours de logique mathematique - esen.tn · ecole supérieure d’economie numérique _____ a.u....
TRANSCRIPT
UniversitédeLaManouba
EcoleSupérieured’EconomieNumérique
__________________________________________________________________________________________
A.U.2016-17
1
COURS DE LOG IQUE MATHEMAT IQUE
2 E M E ANN E E L F I G
S Y L L A B U S , P L A N D U C O U R S & T R A V A U X D I R I G E S
T . M E L L A H
I-SYLLABUS 2
II-PLANDUCOURS 3
III-TRAVAUXDIRIGES 4
TDN°1-THEORIENAÏVEDESENSEMBLES 4TDN°2-LOGIQUEPROPOSITIONNELLE 5TDN°3-VALIDITED’ARGUMENTETDEMONSTRATIONDEFORMULES 7TDN°4-LOGIQUEDESPREDICATS 8
III-TRAVAILARENDRE 10PARTIEI:RECHERCHE 10PARTIEII:DEVOIRDEMAISON 10
IV-SUPPLEMENTS:EXAMENS 11
V-ANNEXE 14
UniversitédeLaManouba
EcoleSupérieured’EconomieNumérique
__________________________________________________________________________________________
A.U.2016-17
2
I-SYLLABUS
Objectifgénéral
L’objectif principal de ce cours est de connaître les notions de base de la logique et les
notions mathématiques utiles pour la conception d’algorithmes et le développement de
programmes.
Organisationmodule
Cemoduleestrépartien21hdecourset21hdetravauxdirigés.Parailleurs,ilnécessitede
lapartd’unétudiantassiduuntravailpersonnelde25hauminimum.
Prérequis
Commetoutcoursintroductif,aucunprérequisn’estexigé.
Evaluation
Cemoduleestsoumisaurégimemixte.Decefait, lamoyennedel’étudiantseracomptée
commesuit:test&TAF10%,devoirsurveillé20%etExamenfinal70%
Ledevoirsurveilléauralieulasemainedu07Novembre2016
L’examenfinalsedéroulerapendantlasessiondeJanvier2017
Références&ressources
Je vous invite à puiser dans les ressources pédagogiques disponibles gratuitement sur la
toile. Je vous suggère en particulier d’utiliser lemanuel de Kenneth H. Rosen « Discrete
mathematics and its applications» Seventh Edition 2012; ainsi que le site
www.mhhe.com/rosen où plusieurs exercices d’application sont disponibles, ainsi que des
exercicesinteractifs;
Par ailleurs, l’apprentissage est un processus personnel, je vous encourage notamment à
vous inscrireaucoursde« Introductionto logic»disponible, for free,sur lesiteCoursera
https://www.coursera.org/learn/logic-introduction
UniversitédeLaManouba
EcoleSupérieured’EconomieNumérique
__________________________________________________________________________________________
A.U.2016-17
3
II-PLANDUCOURS
ThéorieNaïvedesensembles
Notionsdebase
Règlesdefonctionnement
Opérationsurlesensembles,Algèbred’ensemble,dualité
Représentationgraphique(DiagrammedeVenn)
Argument;Inductionmathématique
LogiquePropositionnelle
Objetdelalogique
Fondements(propositions,connecteurs,variablesetformespropositionnelles)
Opérations logiques sur les propositions (connecteurs table de vérité, règles de
formation,loislogiques)
Démonstration de formules(Logique des tables de vérité, Théorie de
démonstration;TabledeBeth)
Logiquedesprédicats
Introduction
Syntaxedelalogiquedesprédicats
Théoriedevaliditéencalculdeprédicats
Déduction
Résolution
UniversitédeLaManouba
EcoleSupérieured’EconomieNumérique
__________________________________________________________________________________________
A.U.2016-17
4
III-TRAVAUXDIRIGES
TDN°1-THEORIENAÏVEDESENSEMBLES
ExerciceI:
1. Quelssontlesensembleségaux{r,t,s};{s,t,r,s},{t,s,t,r},{s,r,s,t}2. Indiquerlesensemblesfinisparmiceuxquisuivent:
A={lessaisons};B={lesétatsdesUSA};C={lesnombresentierspositifsinférieursà1};D={lesnombresentiersimpaires};E={lesnombresentierspositifsdiviseursde12};F={leschiensvivantsenTunisie}
3. Donnerlalistedesensemblessuivants:A={x:x∈IN,3<x<12};B={x:x∈IN,xestpair,x<15};C={x:x∈IN,4+x=3
ExerciceII:
1. DémontrerqueA={2,3,4,5}n’estpasunsous-ensembledeB={x:x∈IN,xestpair}
2. SoitA={{1,2,3},{4,5},{6,7,8}}a- QuelssontlesélémentsdeA?b- Diresilesrelationssuivantessontvraiesoufausses
1∈A;{1,2,3}⊂A;{6,7,8}∈A;{{4,5}}⊂A;∅∉A;∅⊂A
ExerciceIII
OnsupposequeU={1,2,3,…,9}etA={1,2,3,4,5};B={4,5,6,7};C={5,6,7,8,9};
D{1,3,5,7,9};E={2,4,6,8};F={1,5,9}
Trouver:A∩(B∪E);(A∩D)B;(AE)c;(B∩F)∪(C∩E)
ExerciceIV
1. SachantqueAetBsontdesensemblesetUestl’univers,écrireleséquationsdualesdeséquationssuivantes(A∪B)∩(A∪Bc)=A∪∅;(A∩U)∪(B∩A)=A
2. Démontrerque(U∩A)∪(B∩A)=A
ExerciceV
SurlediagrammedeVenndelafigureci-après,ombrerlesensemblessuivants
UniversitédeLaManouba
EcoleSupérieured’EconomieNumérique
__________________________________________________________________________________________
A.U.2016-17
5
A∩B∩C;A∪(B∩C);Ac∪B∪C;Ac∩Bc∩C;Ac∩(B∪C)
𝐴 ∖ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ;(𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐶 ;(𝐴! ∩ 𝐵) ∖ 𝐶
TDN°2-LOGIQUEPROPOSITIONNELLE
ExerciceI
EnnotantP,QetRlestroisaffirmationssuivantes:
P=«Pierrefaitdesmaths»
Q=«PierrefaitdelaChimie»
R=«Pierrefaitdel’Anglais»
Représenterlesaffirmationsquisuiventsousformesymbolique,àl’aidedeslettresP,Q,Retlesconnecteursusuels
1. «Pierrefaitdesmathsetdel’AnglaismaispasdeChimie»2. «PierrefaitdesMathsetdelaChimiemaispasàlafoisdelachimieetdel’Anglais»3. «IlestfauxquePierrefassedel’AnglaissansfairedeMaths»4. «IlestfauxquePierrenefassepasdesMathsetfassequandmêmedelachimie»5. «IlestfauxquePierrefassedel’AnglaisoudelachimiesansfairedesMaths»6. «PierrenefaitniAnglaisnichimiemaisilfaitdesMaths»
ExerciceII
LeprofesseurLeblondparlaitavecsonassistantLebrunetl’étudiantLeroux:
- Vousremarquerezquel’und’entrenousestblond,quel’autreestbrunetletroisièmeroux,ditceluiquialescheveuxbruns.Etpourtantaucund’entrenousn’aunnomquicorrespondàlacouleurdesescheveux!Amusant,non?
U
A
21
B
C
UniversitédeLaManouba
EcoleSupérieured’EconomieNumérique
__________________________________________________________________________________________
A.U.2016-17
6
- Tuasraison,ditleprofesseur.
Dequellecouleursontlescheveuxdel’assistant?
ExerciceIII
Déterminerlatabledevéritédechacunedesformesobtenuesàpartirde¬P∨Q∧¬R
ExerciceIV
SoitfuneformuledépendantdetroisatomesP,QRquipossèdedeuxpropriétés:
• f(P,Q,R)estvraiesiP,QetRsonttouteslestroisvraies• lavaleurdevéritédef(P,Q,R)changequandcelled’uneseuledestroisvariables
change
Construirelatabledevéritédefetdétermineruneformulepossiblepourf.
ExerciceV
1. Construirelatabledevéritédechacunedespropositionssuivantesetconclurequantàleurnature:
• P∨¬(P∧Q)• (P∧Q)∧¬(P∨Q)
2. Montrerque• ladisjonctionestdistributiveparrapportàlaconjonction:
P∨(Q∧R)≡(P∨Q)∧(P∨R)• l’opérationdedisjonctionpeutêtreécriteenfonctiondes
opérationsdeconjonctionetdenégation:P∨Q≡¬(¬P∧¬Q)3. DémontrerlesloisdeMorgan:
• ¬(P∧Q)≡¬P∨¬Q• ¬(P∨Q)≡¬P∧¬Q
4. Montrerque• «PimpliqueQetQimpliqueP»estlogiquementéquivalentà«Psi
etseulementsiQ»• P↔Qpeutêtreécriteàl’aidedestroisconnecteurs∧,∨et¬.
ExerciceVI
1. OnintroduitlesymbolebarredeScheffer«⏐»ouencore«barred’incompatibilité»,endéfinissantP⏐Qpar:PetQsontincompatibles–c’estàdire,PetQnepeuventpasêtrevraiesenmêmetemps-Donnersatabledevéritéetdémontrerquececonnecteursuffitàdéfinirtouslesautres.
2. Montrerquetouslesconnecteursdelalogiqueproportionnellesontdéfinissablesàpartirdesseulsconnecteurs:→et¬
UniversitédeLaManouba
EcoleSupérieured’EconomieNumérique
__________________________________________________________________________________________
A.U.2016-17
7
TDN°3-VALIDITED’ARGUMENTETDEMONSTRATIONDEFORMULES
ExerciceI
• DémontrersanstabledevéritéqueP↔(P↔Q)≡Q• SoitVlaconstante«vrai»etFlaconstante«faux»,vérifierégalement(sanstable
devérité)queP→F≡¬PV→P≡P
ExerciceII
Testerlavaliditédel’argumentsuivant:
Sij’étudie,alorsjen’échoueraipasenmathématiques
Sijenejouepasaubasketball,alorsj’étudierai
Maisj’aiéchouéenmathématiques
Donc,jejoueaubasketball.
ExerciceIII
Indiquersilesargumentationssuivantessontcorrectes:
1. DeP,P→qjedéduisR2. DeP∨Q,P→R,Q→R,jedéduisR3. DeP→Q,P→¬Q,P∨RjedéduisR4. DeP→Q,P→¬Q,PjedéduisR5. DeP→Q,¬P→¬QjedéduisP↔Q
ExerciceIV
Formaliserlesénoncéssuivantsendégageantlesconnecteurslogiques
(A) Silemeurtreaeulieulanuitsanstémoin,alorsPierreestl’assassin(B) Silemeurtreaeulieusanstémoinalorsilaeulieulanuit(C) Silemeurtreaeulieulanuit,alorsilaeulieusanstémoin(D) Lemeurtreaeulieulanuitousanstémoin(E) Pierreestl’assassin
Peut-ondéduire(E)deshypothèses(A),(B),(C),(D)
ExerciceV
Onsupposequel’onalesrèglesetfaitssuivants:
UniversitédeLaManouba
EcoleSupérieured’EconomieNumérique
__________________________________________________________________________________________
A.U.2016-17
8
• SiPierreratesontournoialorsPierreseradéprimé• S’ilfaitbeaualorsPierreiraàlapiscine• SiPierrenevapasàlapiscineilseradéprimé• Alapiscine,Pierrenes’entraînepas.• Pierreraterasontournois’ilnes’entrainepas.
1. Modéliserl’énoncéàl’aidedeformulesdelalogiquepropositionnelle2. ProuverquePierreseradépriméàl’aided’unepreuveendéductionnaturelle.Onpourra
utiliserletiersexclusousformedel’axiomeΓ⏐⎯P∨¬P
ExerciceVI
Démontrerque1. {P→ (¬Q↔(R∨S)),¬S}⏐⎯(P∧¬Q)→R2. ⏐⎯P→((P→Q)→((Q→M)→M))
ExerciceVII
IndiquerparlaméthodedetabledeBethsilesformulessuivantessontvalidesounon:
1. P→(Q→P∧Q)2. (A→B)∧(B→C)→(A→C)
TDN°4-LOGIQUEDESPREDICATS
ExerciceI
Traduirelesénoncéssuivantsenlogiquedesprédicats:
1. Chaquepersonneaimequelqu’unetpersonnen’aimetoutlemonde,oubienquelqu’unaimetoutlemondeetquelqu’unn’aimepersonne.
2. Ilyadesgensquel’onpeutroulertoutletempsetquelquefoisonpeutroulertoutlemonde,maisonnepeutpasroulertoutlemondechaquefois.
ExerciceII
Traduireenfrançaislesformulessuivantes:
1. ∀𝑥 𝐸 𝑥 → ∃𝑦 𝐶 𝑦 ∧ ∃𝑧 𝑀 𝑧 ∧ 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧
avecE(x):xestunétudiant,C(y):yestuncours,M(z):zestunmauvaisenseignant,T(x,y,z):xsuitlecoursyenseignéparz.
UniversitédeLaManouba
EcoleSupérieured’EconomieNumérique
__________________________________________________________________________________________
A.U.2016-17
9
2. ∀𝑥∀𝑦∀𝑧 𝑇 𝑥 ∧ 𝐶 𝑦, 𝑥 ∧ 𝐶 𝑤, 𝑥 ∧ 𝐷 𝑦, 𝑧 ∧ 𝐷 𝑦,𝑤 →
𝐺 𝑓 𝑔 𝑦 ,𝑔 𝑧 ,𝑔 𝑤
avecT(x):xestuntriangle,C(x,y):yestlecotédex,D(x,y):xestdifférentdey,G(x,y):xestunplusgrandquey,f(x,y):sommedexetdey,g(x):longueurdex.
ExerciceIII
Onsupposeque(a,b,c)prennesesvaleursdansununiversdediscoursquiestunepartiedeIR3tellequeb2-4ac>0;quelleestlavaleurdevéritédespropositionssuivantes:
1. ∀𝑎∀𝑏∀𝑐∃𝑥 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 2. ∃𝑥 ∀𝑎∀𝑏∀𝑐 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
ExerciceIV
Onconsidèrelelangagecomposéde{a,b:constantes,f:symbolefonctionnel,P:symbole
deprédicat}
• ledomaine𝐷 = { 1,2}
• l’interprétation𝐼définie:
𝐼 𝑎 = 1, 𝐼 𝑏 = 2
𝐼 𝑓 1 = 2, 𝐼 𝑓 2 = 1
𝐼 𝑃(2,1) = 0, 𝐼 𝑃(2,2) = 0, 𝐼 𝑃(1,2) = 1, 𝐼 𝑃(1,1) = 1
Etablirlavaleurdevéritédesformulessuivantes:
1. 𝐼(𝑃(𝑏, 𝑓 𝑏 )
2. 𝐼(𝑃(𝑎, 𝑓 𝑎 )
3. 𝐼(∀𝑥∀𝑦𝑃 𝑦, 𝑥 )
4. 𝐼 ∀𝑥∀𝑦𝑃 𝑦, 𝑥 → 𝑃(𝑓 𝑥 , 𝑓 𝑦 )
UniversitédeLaManouba
EcoleSupérieured’EconomieNumérique
__________________________________________________________________________________________
A.U.2016-17
10
III-TRAVAILARENDRE
PARTIEI:RECHERCHE
Présenterunerevuedeserreursderaisonnement,appeléeségalementleserreursdelogique.
PARTIEII:DEVOIRDEMAISON
NB:Cetravailestàremettrelasemainedu26Novembre2016;
QuestionI
Aucoursdel’enquêtedontilestchargé,uncommissairedepoliceeffectueleraisonnementsuivant:
• SiJeann’apasrencontréPierrel’autrenuit,c’estquePierreestlemeurtrierouqueJeanestunmenteur
• SiPierren’estpaslemeurtrier,alorsJeann’apasrencontréPierrel’autrenuitetlecrimeaeulieuaprèsminuit
• Silecrimeaeulieuaprèsminuit,alorsPierreestlemeurtrierouJeanestunmenteur.
IlenconclutquePierreestlemeurtrier.
Sonraisonnementest-ilcorrect?Justifierendéterminantlavaliditédesonargument.
QuestionII
Laformulesuivanteest-elleunetautologie?Justifierenutilisantunraisonnementparl’absurde.
⊢ (𝑃 → 𝑄) ∧ (𝑄 → 𝑅) → 𝑃 → 𝑅
QuestionIII
Prouverlethéorèmesuivant(Onn’utiliserapasleraisonnementparl’absurde)
⊢ (𝐴 ∨ 𝐵) → (¬𝐶 → ¬𝐴) → (𝐶 → 𝐷) → ¬𝐵 → 𝐷
UniversitédeLaManouba
EcoleSupérieured’EconomieNumérique
__________________________________________________________________________________________
A.U.2016-17
11
IV-SUPPLEMENTS:EXAMENS
ExamendeLogiqueMathématique;SessiondeJanvier2016;Durée:2h;
NB: Les questions sont indépendantes et peuvent être traitées séparément dans n’importe quel
ordre.
Question1(Equivalencelogique)
Montrer en utilisant les lois d’algèbre de propositions que la formule:¬(𝑅 ∨ (𝑄 ∧
¬𝑅 → ¬𝑃 )estéquivalenteàlaformule:¬𝑅 ∧ (𝑃 ∨ ¬𝑄).
Question2(Argumentation)
Soitl’énoncésuivant:
«L'utilisateur a contacté l'administrateur réseau, mais il n’a pas entré un mot de passe
valide.
L'accèsestaccordéàchaquefoisquel'utilisateuracontactél'administrateurréseau,ouila
entréunmotdepassevalide.
Donc l’accès sera refusé si l'utilisateurn'apas entréunmotdepasse valide, ou il n'apas
contactél’administrateur.»
Ceraisonnementest-ilvalide?Justifier.
Question3(Démonstrationdeformule)
Prouverquelaformulesuivanteestunthéorèmeenutilisantunedéductionnaturelle:
⊢ (𝑃 ∨ 𝑄) → (¬𝑇 → ¬𝑃) → (𝑇 → 𝑆) → ¬𝑄 → 𝑆
Question4(TabledeBeth)
Est-cequelaformulesuivanteestunthéorème?Justifierenutilisantl’arbredeBeth.
UniversitédeLaManouba
EcoleSupérieured’EconomieNumérique
__________________________________________________________________________________________
A.U.2016-17
12
𝑃 → 𝑆 ∨ 𝑄 → 𝑆 → 𝑃 ∨ 𝑄 → 𝑆
Question5(Formalisme&Théoriedesensembles)
Soientlesaffirmationssuivantes:
A:Lesbébésnesontpaslogiques
B:Onnepeutpasmépriserunepersonnequidresseuncrocodile
C:Lespersonnesillogiquessontméprisables
1-ModéliserenlogiquedeprédicatslesaffirmationsA,BetC.
2- Quelle conclusion peut-on tirer de ces affirmations? Justifier en utilisant le
diagrammedeVenn.
Question6(Formalisme)
Onconsidèrelaformule:∃𝑥 𝑥 > 0 ∧ ∀𝑦 (𝑦 < 0),oùxetysontdesentiers.
1-Donnerlanégationdecetteformule.Justifier.
2-Enoncerenfrançaislaformule,ainsiquesanégation.
ExamendeLogiqueMathématique;SessiondeJuin2016;Durée:2h
NB:Lesquestionssontindépendantesetpeuventêtretraitéesdansn’importequelordre.
Question1(Opérationssurlesformules)
La formule suivante est-elle une tautologie? Justifier en utilisant les lois d’algèbre depropositions.
((𝑃 ∧ ¬(𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ¬𝑅)
Question2(Argumentation)
Dansunemaisonhantée,lesespritssemanifestentsousdeuxformesdifférentes,unchantobscène et un rire sardonique, cependant nous pouvons influencer le comportement en
UniversitédeLaManouba
EcoleSupérieured’EconomieNumérique
__________________________________________________________________________________________
A.U.2016-17
13
jouantdel’orgueouenbrûlantdel’encens.Compte-tenudesdonnéessuivantes:
• Lechantnese faitpasentendre,àmoinsquenous jouionsde l’orguesansque lerirenesefasseentendre.
• Sinousbrûlonsdel’encens,leriresefaitentendresietseulementsilechantsefaitentendre.
• Encemoment,Lechantsefaitentendreetlerireestsilencieux.
etdelaconclusion:
Doncencemomentnousjouonsdel’orgueetnebrûlonspasd’encens;
Prouverqueceraisonnementestcorrect.
Question3(TabledeBeth)
La formule suivante est-elle une tautologie? Justifier en utilisant un raisonnement parl’absurde:
⊢ (𝐴 → 𝐵 → 𝐶 ) → ( 𝐴 ∨ 𝐵 → 𝐶)
Question4(Démonstrationdeformule)
Prouverquelaformulesuivanteestunthéorèmeenutilisantunedéductionnaturelle:
⊢ (𝐴 → 𝐵) ∧ (𝐴 → ¬𝐵) → ¬𝐴
Question5(Formalisme)
ConsidéronslelangageforméparlesconstantesaetfetlesprédicatsGetJ,lessymbolesutilisésontlessenssuivants:
• a:=l’équiped’Allemagne.• f:=l’équipedeFrance.• J(x,y):=xajouéunmatchcontrey.• G(x,y):=xagagnécontrey.
I-Exprimerenlogiquedeprédicatslesassertionssuivantes:
1. L’équipedeFranceagagnéunmatchetenaperduun.2. L’équipedeFranceetl’équiped’Allemagneontfaitmatchnul.3. Uneéquipeagagnétoussesmatchs.4. Aucuneéquipen’aperdutoussesmatchs.
UniversitédeLaManouba
EcoleSupérieured’EconomieNumérique
__________________________________________________________________________________________
A.U.2016-17
14
V-ANNEXE
Axiomes
A1:𝑃 → 𝑄 → 𝑃
A2:(P→ 𝑄) → ( 𝑃 → 𝑄 → 𝑅 → 𝑃 → 𝑅 )
A3:𝑃 → 𝑄 → (𝑃 ∧ 𝑄)
A4:𝑃 ∧ 𝑄→ 𝑃
A5:𝑃 ∧ 𝑄→ 𝑄
A6:𝑃 → 𝑃 ∨ 𝑄
A7:𝑄 → 𝑃 ∨ 𝑄
A8:(𝑃 → 𝑅) → ( 𝑄 → 𝑅 → 𝑃 ∨ 𝑄 → 𝑅 )
A9:¬¬𝑃 → 𝑃
A10: 𝑃 → 𝑄 → 𝑃 → ¬𝑄 → ¬𝑃
A11: 𝑃 → 𝑄 → 𝑄 → 𝑃 → 𝑃 ↔ 𝑄
A12: 𝑃 ↔ 𝑄 → 𝑃 → 𝑄
A13: 𝑃 ↔ 𝑄 → 𝑄 → 𝑃
Règles
• 𝑃,𝑃 → 𝑄 ⊢ 𝑄• 𝑃 → 𝑄,¬𝑄 ⊢ ¬𝑃• ¬(𝑃 ∧ 𝑄,𝑃 ⊢ ¬𝑄• 𝑃 ∨ 𝑄,¬𝑃 ⊢ 𝑄• 𝑃 → 𝑅,𝑄 → 𝑅 ⊢ 𝑃 ∨ 𝑄 → 𝑅• 𝑃 → 𝑄,𝑃 → ¬𝑄 ⊢ ¬𝑃
UniversitédeLaManouba
EcoleSupérieured’EconomieNumérique
__________________________________________________________________________________________
A.U.2016-17
15
Règled’affirmation Règlederéfutation
¬𝐴
𝐴
¬𝐴
𝐴
𝐴 ∨ 𝐵
↙↘
𝐴 𝐵
𝐴 ∨ 𝐵
𝐴
𝐵
𝐴 ∧ 𝐵
𝐴
𝐵
𝐴 ∧ 𝐵
↙↘
𝐴 𝐵
𝐴 → 𝐵
↙↘
𝐴 𝐵
𝐴 → 𝐵
𝐴
𝐵
𝐴 ↔ 𝐵
↙↘
𝐴 𝐴
𝐵 𝐵
𝐴 ↔ 𝐵
↙↘
𝐴 𝐴
𝐵 𝐵