cours de mmc esstt gc
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الجمهورية التونسية
رة التعليم العالي والبحث العلميوزا
جامعة تونس المدرسة العليـا للعلـوم والتقنيـات بتونـس
Cours Mécanique des Milieux Continus
Destiné aux étudiants de 1ère année Ingénieur en Génie Civil
Etablie par
Dr Mondher NEIFAR
Septembre 2011
Sommaire
CHAPITRE 1 : ELEMENTS DE CALCUL TENSORIEL EN BASES ORTHONORMEES.. 6
1. Convention d'indice muet................................................................................................... 6
2. Tenseurs euclidiens en bases orthonormées....................................................................... 6
2.1. Définitions.................................................................................................................. 7
2.2. Changement de base orthonormées............................................................................ 9
3. Tenseurs isotropes ............................................................................................................ 10
4. Multiplication des tenseurs............................................................................................... 10
5. Tenseurs gradient et divergence....................................................................................... 11
1. Tenseur gradient ........................................................................................................... 11
5.3. Tenseur divergence .................................................................................................. 12
CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS............................................. 14
1. Définition d'un milieu continu – Hypothèses de base ...................................................... 14
1.1. Notion de particule ................................................................................................... 14
1.2. Hypothèse de continuité ........................................................................................... 15
2. Repérage des milieux continus......................................................................................... 15
2.1. Configuration de référence et configuration actuelle............................................... 15
2.2. Relation entre les configurations actuelles et de référence : La transformation du
milieu continu....................................................................................................................... 16
2.3. Transformation linéaire tangente. ............................................................................ 17
2.4. Jacobien de la transformation................................................................................... 19
2.5. Champ des déplacements et champ des vitesses...................................................... 21
3. Description du mouvement .............................................................................................. 22
3.1. Trajectoire d'une particule........................................................................................ 22
3.2. Lignes de courant ..................................................................................................... 23
3.3. Ligne d'émission....................................................................................................... 24
3.4. Cas d'un mouvement permanent .............................................................................. 24
4. Dérivée matérielle et champ des accélérations ................................................................ 25
4.1. Dérivée matérielle .................................................................................................... 25
4.2. Champ des accélérations .......................................................................................... 25
4.3. Dérivée matérielle du gradient de la transformation................................................ 26
4.4. Dérivée matérielle du jacobien de la transformation ............................................... 27
4.5. Dérivée matérielle d'une intégrale de volume .......................................................... 27
2
4.6. Dérivée matérielle d'une intégrale de surface .......................................................... 28
5. Equations de conservation de la masse ............................................................................ 29
CHAPITRE 3 : LES DEFORMATIONS................................................................................. 31
1- Considérations intuitives .................................................................................................. 31
2- Tenseur de déformation lagrangien.................................................................................. 32
2-1 Tenseur de Cauchy à droite et tenseur de green-Lagrange ...................................... 32
2-1.1 Tenseur de Cauchy à droite .............................................................................. 33
2-1.2 Tenseur de Green-Lagrange ............................................................................. 34
2-1.3 Décomposition en fonction du champ des déplacements................................. 34
2-2 Décomposition polaire de la transformation linéaire tangente................................. 35
2-3 Directions principales de déformation et déformation principales .......................... 37
2-4 Variation de longueur d'un vecteur matériel élémentaire : Notion de dilatation ..... 38
2-4.1 Calcul de εNN en fonction de C (tenseur de Cauchy à droite) .......................... 39
2-4.2 Calcul de εNN en fonction de L (tenseur de déformation de Green-Lagrange). 39
2-5 Variation d'angle entre deux vecteur matériel élémentaires : Notion de distorsion. 40
2-6 Variation de volume matériel élémentaires : Notion de dilatation volumique ........ 42
2-7 Variation de surface matérielle élémentaires : Notion de dilatation surfacique....... 42
3- Cas des transformations infinitésimales........................................................................... 43
3-1 Définition : ............................................................................................................... 43
3-1.1 Définition ......................................................................................................... 44
3-1.2 Conséquences ................................................................................................... 45
3-2 Tenseur des petites déformations et des petites rotations : ...................................... 45
3-3 Expression de C, L, et U dans le cas des transformations infinitésimales : ............. 46
3-3.1 Tenseur de Cauchy à droite (C) : ..................................................................... 46
3-3.2 Tenseur de Green-Lagrange (L) :..................................................................... 46
3-3.3 Tenseur de déformation pure avant rotation (U) :............................................ 46
3-3.4 Tenseur des rotations (R) : ............................................................................... 47
3-4 Variation de longueur en transformations infinitésimales : ..................................... 47
3-5 Variation d'angle droit :distorsion dans le cas des transformations infinitésimales :
48
3-6 Variation de volume :dilatation volumique dans le cas des transformations
infinitésimales : .................................................................................................................... 49
3-7 Déviateur des déformations...................................................................................... 49
3-7.1 Définition : ....................................................................................................... 49
3
3-7.2 Significations physiques................................................................................... 50
3-8 Déformations planes (représentation géométrique) ................................................. 51
3-8.1 Définition ......................................................................................................... 51
3-8.2 Représentation géométrique du tenseur des déformations planes.................... 51
CHAPITRE 4 : LES CONTRAINTES .................................................................................... 54
1- Actions mécaniques sur un milieu continu et tenseur des contraintes ............................. 54
1-1 Les actions du milieu extérieur ................................................................................ 55
1-1.1 Les actions de contact ...................................................................................... 55
1-1.2 Les actions à distance....................................................................................... 56
1-2 Les actions mécaniques intérieures : notion de vecteur de contraintes.................... 56
1-3 Tenseur des contraintes de Cauchy .......................................................................... 57
1-3.1 Définition ......................................................................................................... 57
1-3.2 Relation entre vecteur contrainte et tenseur des contraintes ............................ 58
1-3.3 Symétrie du tenseur des contraintes de Cauchy ............................................... 59
2- Propriétés du tenseur des contraintes de Cauchy ............................................................. 60
2-1 Théorème de Cauchy................................................................................................ 60
2-2 Direction principales de contraintes et contraintes principales................................ 61
2-3 Déviateur des contraintes ......................................................................................... 62
2-4 Invariants des contraintes ......................................................................................... 63
3- Etat de contraintes planes – représentation géométrique ................................................. 64
4- Tri-cercles de Mohrs ........................................................................................................ 65
5- Equations d'équilibre ........................................................................................................ 67
CHAPITRE 5 : BASIC LAWS ................................................................................................ 69
1. Principle of linear momentum.......................................................................................... 69
2. Principle of angular momentum....................................................................................... 70
3. Energy and the First Law of Thermodynamics................................................................ 71
3.1. Power input .............................................................................................................. 71
3.2. Heat input ................................................................................................................. 72
3.3. First Law of Thermodynamics ................................................................................. 73
4. Entropy and the Second Law of Thermodynamics .......................................................... 74
4.1. Entropy in classical thermodynamics....................................................................... 74
4.2. Entropy changes in an irreversible process, The second law of thermodynamics ... 75
4.3. The Clausius-Duhem inequality............................................................................... 76
5. Principle of Virtual Power................................................................................................ 77
4
6. Principle of virtual work (or displacement) ..................................................................... 78
CHAPITRE 6 : LOIS DE COMPORTEMENT....................................................................... 81
1- Exemples de comportement ............................................................................................. 81
1-1 Comportement du caoutchouc naturel...................................................................... 81
1-2 Comportement de l’acier doux................................................................................. 81
2- Comportement élastique linéaire isotrope : lois de Hook généralisée ............................. 82
2-1 Approche en déformation......................................................................................... 83
2-2 Approche en contrainte ............................................................................................ 86
3. Viscous fluid .................................................................................................................... 88
3.1. Newtonian and non Newtonian viscous fluid .......................................................... 88
3.2. Newtonian viscous fluid........................................................................................... 89
3.3. Navier-Stokes equations for viscous fluid ............................................................... 90
Références ................................................................................................................................ 95
5
CHAPITRE 1 : ELEMENTS DE CALCUL TENSORIEL
EN BASES ORTHONORMEES
On considère l'espace euclidien E = ℝn, n ∈ IN*, muni d'une base orthonormée fixe B = ( ). Dans la pratique, n=3 et même 2 et E représente respectivement l'espace physique et le plan.
n21 e,...,e,e rrr
1. Convention d'indice muet Soit un vecteur de E, de composantes xxr i , i ∈1,2,…,n relativement à la base B. On a alors:
∑=
=n
1iiiexx rr
Et l'on notera : iiexx rr
= Définition (convention d'indice muet ou convention d'Einstein) La répétition d'un même indice dans une expression arithmétique vaut convention de sommation sur cet indice. Remarque : On écrira indifféremment iiexx rr
= ou jj exx rr=
Exemple : Soient et des vecteurs de E, de composantes respectives xxr yr i et yi, i 1,2,…,n,
relativement à la base B. Le produit scalaire de
∈
xr par yr , représenté par . et définie par : xr yr
∑=
=n
1iii yxy.x rr
s'écrira, en utilisant la convention d'indice muet :
ii yxy.x =rr
(ou encore ). kk yxy.x =rr
2. Tenseurs euclidiens en bases orthonormées
6
2.1. Définitions Définition On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E vers ℝ ou ℂ. Exemple : f : E →ℝ
→ xr ∑=
n
1iix
est une forme linéaire. Définition On appelle forme p-linéaire sur Ex…xE (p fois) toute application p-linéaire de Ex…xE vers ℝ ou ℂ. Exemple : f : ExE →ℝ ( xr , y ) → r y.x rr
est une forme bilinéaire. Définition Soit p IN*. On appelle tenseur d'ordre p sur E = ℝ∈ n, n ∈IN*, toute forme p-linéaire sur l'espace produit Ex…xE (p fois). Soit alors t un tenseur d'ordre p sur E et xr , yr , …, ur , et vr p vecteurs de E, de composantes respectives xi, yi,..., ui et vi, i∈1,2,…,n, relativement à la base B. On a alors:
t( , , …, , ) = t xr yr ur vr ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∑∑∑∑====
n
1iii
n
1iii
n
1iii
n
1iii ev,eu,...,ey,ex rrrr
Ou encore en utilisant la convention d'indice muet:
t( , , …, xr yr ur , vr ) = t( iiiiiiii ev,eu,...,ey,ex rrrr )
Exploitons à présent la p-linéarité du tenseur t. Il vient :
t( , , …, u , vxr yrr r
) = xi yj... uk vl t( lkji e,e,...,e,e rrrr ) On voit alors que le tenseur t est complètement caractérisé par l'ensemble des np scalaires t( lkji e,e,...,e,e rrrr ), (i,j,…,k,l) ∈1,…,np.
7
Cas où p = 1
t( ) = t = t(xr ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∑=
n
1iiiex r iiex r ) = xi t( ier )=xi ti
Le tenseur t de composantes ti = t( ier ), i ∈ 1,…,n, s'identifie au vecteur t de E ayant les mêmes composantes :
r
iiett rr=
Soit ∈ E. iieyy rr
=t( yr ) = ti yi = y.t r
r
Cette relation permet d'identifier tout vecteur iiexx rr= X E à un tenseur x d'ordre 1 de
composantes xi, i ∈ 1,…,n. Les vecteurs , i ∈ 1,…,n, s'identifient en particulier à des tenseurs du premier ordre eier i de composantes δij, j ∈ 1,…,n. Remarque : δij est le symbole de Kronecker . δij = 1 si i = j, et δij = 0 sinon. On a i ∈ 1,…,n, e∀ i( ) = = yyr y.ei
rri ∀ yr ∈ E, et ei( jer ) = ji e.e rr = δij ∀ j ∈ 1,…,n.
Cas où p = 2
t( ) = y,x rr tij xi yj (i,j) ∈ 1,…,n2
Le tenseur t s'identifie à la matrice T ayant les mêmes composantes que t.
Tij = tij = t( ji e,e rr ) Le tenseur de Kronecker δ de composante δij est un tenseur d'ordre 2 sur ℝn.
δ( y,x rr ) = δij xi yj = xi yj = y.x rr Cas où p = 3
t( ) = z,y,x rrr tijk xi yj zk (i,j,k) ∈ 1,…,n3
Un tenseur d'ordre 3 sur ℝn contient n3 composantes. Dans le cas où n = 3, c'est-à-dire E = ℝ3, on introduit le tenseur d'orientation ∈ . Les composantes de ce tenseur d'ordre 3 sont données par :
∀ (i,j,k) ∈ 1,…,n3, ⎪⎩
⎪⎨
⎧=∈
sinon de circulairen permutatio uneest si de circulairen permutatio uneest si
0)1,2,3((i,j,k)2)3,2,1((i,j,k)1
ijk
Le tenseur d'orientation ∈ permet d'exprimer les composantes du produit vectoriel yxz rrr∧=
où ( )∈ℝy,x rr 3. On a :
8
∀ i ∈ 1,…,n, zi = ∈ ijk xj yk Le tenseur d'orientation ∈ permet aussi d'exprimer le produit mixte ( zyx rrr || ) = )( zy.x rrr
∧ . On a :
( zyx rrr || ) = ∈ ijk xi yj zk
Cas où p = 4
t( w,z,y,x rrrr ) = tijkl xi yj zkwl (i,j,k,l) ∈ 1,…,n4
Un tenseur d'ordre 4 sur ℝn contient n4 composantes.
2.2. Changement de base orthonormées Examinons à présent comment se transforment les composantes d'un tenseur d'ordre p dans un changement de base orthonormée de l'espace euclidien E = ℝn, n ∈IN. Soient B = ( n21 e,...,e,e rrr ) et B =( n21 e,...,e,e
rrr) deux bases orthonormées de E, et soit P la
matrice de passage de B à B définie par :
jiji ePe rr= ∀ i ∈ 1,…,n.
Soit à présent t un tenseur d'ordre p sur E de composantes tij…kl, (i,j,…,k,l) ∈ 1,…,np relativement à la base B , et klijt … , (i,j,…,k,l) ∈ 1,…,np, relativement à la base B . On alors, par définition des composantes d'un tenseur et ∀ (i,j,…,k,l) ∈ 1,…,np : klijt … = t( ) lkji e,e,...,e,e
rrrr
= t( 'll'l'kk'k'jj'j'ii'i eP,eP,...,eP,eP rrrr )
= l'lk'kj'ji'i PP...PP t( 'l'k'j'i e,e,...,e,e rrrr )
= l'lk'kj'ji'i PP...PP 'l'k'j'it … Cas où p = 1 Le tenseur t s'identifie à un vecteur t
r de composantes ti = t( ier ) relativement à la base B et
de composantes it = t( ier
) relativement à la base B . On a alors :
∀ i ∈ 1,…,n it = jiP tj
On pose [t] = ; [ t⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
n
1
t.
tM ˆ ] = et [
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
n
1
t.
tM P ] = [ ijP ].
On retrouve ainsi la relation classique :
9
[ t ] = t[ P ] [t] Cas où p = 2 Le tenseur t est une forme bilinéaire de composantes tij = t( ji e,e rr ), (i,j) 1,…,n∈ 2,
relativement à la base B et de composantes ijt = t( ji e,err
) relativement à la base B . On a alors :
ijt = kiP ljP tkl
En posant [t] = [tij] ; [ t ] = [ ijt ] ainsi que [ P ] = [ ijP ], nous obtenons la relation matricielle connues :
[ t ] = t[ P ] [t] [ P ]
3. Tenseurs isotropes Définition Un tenseur t d'ordre p sur E = ℝn est isotrope lorsque ses composantes sont invariantes dans tout changement de repère orthonormé. Un tenseur isotrope est nécessairement d'ordre pair. Les composantes d'un tenseur isotrope du second ordre sur E = ℝn relativement à une base orthonormée sont de la forme :
tij = α δij (i,j) ∈ 1,…,n2 avec α ∈ℝ.
Les composantes d'un tenseur isotrope d'ordre 4 sur E = ℝn relativement à une base orthonormée sont quant à elles de la forme :
tijkl = α δijδkl + β δikδjl + γ δilδjk
4. Multiplication des tenseurs Définition On appelle produit de deux tenseurs t et t' d'ordre respectifs p et p' et on le note t ⊗ t' le tenseur d'ordre p+p' sur E = ℝn de composantes tij…kl t'i'j'…k'l'. Exemple Soit u le tenseur d'ordre 1 sur ℝ3 de composantes u1 = 1, u2 = 2, u3 = 0, et v le tenseur d'ordre 1 sur ℝ3 de composantes v1 = 2, v2 = 1, v3 = 5. On a :
10
[u ⊗ v] = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
0001024512
Définition On appelle contraction sur un indice d'un tenseur t d'ordre p sur E = ℝn par un tenseur t' d'ordre p' sur E = ℝn et on le note t . t' le tenseur d'ordre p+p'-2 sur E = ℝn de composantes tij…kl t'lj'…k'l'. Exemple ∈ .δ est le tenseur de composantes ∈ ijk δkl = ∈ ijl d'où ∈ .δ = ∈ . Définition On appelle contraction sur un indice d'un tenseur t d'ordre p ≥ 2 sur E = ℝn par un tenseur t' d'ordre p' ≥ 2 sur E = ℝn et on le note t : t' le tenseur d'ordre p+p'-4 sur E = ℝn de composantes tij…kl t'kl…k'l'. Exemple ∈:δ est le tenseur d'ordre 1 de composante ∈ ijk δjk =∈ ijj =0. D'où ∈:δ = 0.
5. Tenseurs gradient et divergence
1. Tenseur gradient Soit E = ℝn, n∈IN*, muni d'une base orthonormée B = ( n21 e,...,e,e rrr ). Soit Ω un ouvert de E, et f une fonction réelle définie sur Ω. Si f est différentiable au point kkexx rr
= ∈ Ω, et si i∈1,…,n est un indice quelconque mais fixé, on désigne par )(xfi
r∂ la dérivée partielle de f
par rapport à la variable xi au point : xr
)x(xfxf
ii
rr
∂∂
=∂ )(
Dans ce cas, le gradient de f au point xr est le tenseur du premier g = grad f de composantes gi = )(xfi
r∂ , i∈1,…,n relativement à la base B . On a donc :
grad f = ii exf rr )(∂
Ce tenseur s'identifie au vecteur gr de E ayant les même composantes gi, i∈1,…,n relativement à cette base. On a alors :
df( xr ) = gr .d xr = xxfirr).d(∂
11
Définition Soit à présent t une fonction tensorielle d'ordre p, p∈IN*, définie sur Ω. Les composantes tij…kl( ), (i,j,…,k,l) ∈1,…,nxr p de t relativement à la base B sont des fonctions des variables xi, i∈1,…,n. Si t est différentiable au point xr et si m ∈1,…,n est un indice quelconque mais fixé, on désigne par t( ) la dérivée partielle de t par rapport à la variable xm∂ xr m au point
. Cette dérivée est le tenseur d'ordre p dont les composantes relativement à la base B sont : xr
)x(x
txt
m
kl...ijkl...ijm
rr
∂∂
=∂ )( (i,j,…,k,l) ∈1,…,np.
Le gradient de t au point est alors le tenseur d'ordre p+1, g = grad t de composantes g
xr
ij…klm = )(xt kl...ijmr
∂ , (i,j,…,k,l,m) ∈1,…,np+1 relativement à la base B. On a donc :
dtij…kl( xr ) = )(xt kl...ijmr
∂ dxm
Exemple
Soit u la fonction tensorielle d'ordre 1 définie sur ℝ3 par : ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=
++=
3212
3231212
3211
xxxuxxxxxxu
xxxu
[grad u( )] = xr
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+++
213132
213132
xxxxxxxxxxxx
111
5.3. Tenseur divergence Définition On considère à présent un champ tensoriel de premier ordre u définie sur Ω de composantes ui, i∈1,…,n, relativement à la base B, fonctions des variables xi, i∈1,…,n. Si u est différentiable au point xr , sa divergence en ce point est alors le scalaire :
d = div u = )(xuiir
∂ Exemple On considère l'exemple précédent, div u = 2131 xxxx1 +++ . Définition Soit à présent t une fonction tensorielle d'ordre p, p∈IN*, définie sur Ω, de composantes tij…kl( ), (i,j,…,k,l) 1,…,nxr ∈ p, relativement à la base B , fonctions des variables xi, i∈1,…,n. Si t est différentiable au point xr , on peut alors définir p tenseurs d'ordre p-1 appelés divergences de t au point xr et notés div(q)t( xr ), q∈1,…,p. Les composantes de div(q)t( ) relativement à la base B sont données par : xr
12
(div(q)t( xr ))ij…rt…kl = )(xt kl...rst...ijs
r∂
(i,j,…,r,t,…,k,l) 1,…,n∈ p-1, q désignant ici le rang de l'indice s sur lequel porte la sommation. Si par exemple p = 2, on obtiendra deux tenseurs du premier ordre div(1)t( ) et divxr (2)t( xr ) de composantes respectifs )(xtiji
r∂ et )(xtijj
r∂ . Si le tenseur t( xr ) est symétrique ∀ Ω, alors
divxr∈
(1)t( ) = divxr (2)t( ) = divxr t( ). xr
Exemple Soit t( ) le tenseur du second ordre sur ℝxr 3 s'identifiant à la matrice suivante :
[t( )] = xr
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
321213
321312
321321
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
[div(1)t( )] = et [divxr
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++ 213132 xxxxxx03
(2)t( xr )] = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
211
21
213
xxxxx
xxx1
13
CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Cinématique : c'est l'étude et la description du mouvement du milieu sans considérer les efforts.
Avant : - on considérait des corps indéformables, représentés par leur centre de gravité
G. -Les grandeurs physiques qui leurs étaient attachées étaient représentées par
des fonctions vectorielles ( vr ,γr , Fr
). En mécanique des milieux continus :
- Les corps sont supposés déformables sous l'action de charges externes. - Les grandeurs physiques étudiées sont représentées par des fonctions tensorielles.
1. Définition d'un milieu continu – Hypothèses de base Idée intuitive A l'échelle microscopique, la matière apparaît discontinue. Cette discontinuité n'est pas décelable à l'échelle macroscropique : un milieu continu qui se déforme est formé de corps matériels occupant en totalité (de façon continue) un domaine de l'espace physique. Cette idée est à la base du concept de milieu continu. Dans tout ce qui suit, M désigne un milieu continu, ou corps matériel qui peut être un solide, un liquide ou un gaz.
1.1. Notion de particule Définition Soit M un corps matériel. On appelle particule de M un élément matériel de masse dm occupant au point M de l'espace physique le volume élémentaire dv. Le volume élémentaire dv est d'un point de vue macroscopique, "suffisamment petit" pour pouvoir être assimilé à un infiniment petit, tout en restant représentatif de la matière. Cette représentativité dépend de chaque milieu et elle sera requise à différentes échelles très différentes :
M
dv
dm M
14
- Cristaux constituant un métal (nm). - Paillettes dont se compose une argile (µm). - Grains d'un sable (mm). - Granulats entrant dans la composition d'un béton (cm). - Bloc d'un barrage en enrochement (m).
Si ρ désigne la masse volumique au point M, on a :
dm = ρ dv
1.2. Hypothèse de continuité Soit M un corps matériel continu. L'ensemble des particules de M occupe, à chaque instant t un domaine Ωt ouvert et connexe de l'espace physique. A tout point de Ωt correspond une et une seule particule.
2. Repérage des milieux continus On considère l'espace euclidien ℝ3, munie d'un repère orthonormé R = (O, 321 e,e,e rrr ) direct d'origine O supposé fixe.
2.1. Configuration de référence et configuration actuelle Définition Soit M un milieu continu. On appelle configuration de référence, ou configuration non déformée de M l'ensemble Ω0 des positions de ses particules à un instant de référence t0 quelconque mais fixé. Soit P une particule de M quelconque mais fixée. La position P0 de P à l'instant de référence est alors repérée par le vecteur :
kk0 eXOPX rr==
Les variables (X1,X2,X3) coordonnées des particules de M à l'instant de référence t0, sont appelées variables de Lagrange.
15
Définition Soit t l'instant actuel (on dit aussi l'istant courant). On appelle configuration actuelle, ou encore configuration déformée, de M à l'instant t l'ensemble Ωt des positions de ses particules à cet instant. Soit P la particule de M quelconque mais fixée considérée plus haut. La position Pt de cette particule à l'instant t est repérée par le vecteur :
iit exOPx rr==
Les variables (x1,x2,x3) coordonnées des particules de M à l'instant de courant t, sont appelées variables d'Euler
2.2. Relation entre les configurations actuelles et de référence : La transformation du milieu continu
L'application Ft de Ω0 sur Ωt : Ω0 → Ωt
Xra xr = Ft( X
r)
est appelé transformation du milieu continu M relative à l'instant t. Ft est une bijection de Ω0 sur Ωt. Par ailleurs, on appelle transformation du milieu continu M et l'on désigne par F l'application qui à X
r et t associe le vecteur xr . On a donc :
xr = F ( X
r,t) = Ft( X
r)
Cette relation peut s'écrire aussi parfois :
1er
2er
3er
Xr
P0
(t0)
O
Pt
Ω0 Ωt
(t) Ft
xr
16
xr = (xr Xr
,t) = xi(X1,X2,X3,t) ier ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
)()()(
,tX,X,Xxx,tX,X,Xxx,tX,X,Xxx
32133
32122
32111
La transformation Ft relative à l'instant t étant bijective, l'application réciproque existe et est une bijection de Ωt sur Ω0. On a donc : Ft
-1 : Ωt → Ω0
xr a Xr
= Ft-1( xr )
et nous écrivons aussi parfois :
Xr
= Xr
( ,t) = xxr i(x1,x2,x3,t) ier ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
)()()(
,tx,x,xXX,tx,x,xXX,tx,x,xXX
32133
32122
32111
2.3. Transformation linéaire tangente. Hypothèse : Soit t l'instant actuel quelconque mais fixé. La transformation Ft relative à cet instant est une bijection continûment différentiable et il en est de même de sa réciproque Ft
-1. Soit par ailleurs X
r∈ Ω0 quelconque mais fixé. Les applications t a F ( X
r,t) ainsi que
t a F (K∂ Xr
,t), K ∈1,2,3, sont continues. Cette hypothèse nous permet de considérer le gradient de Ft , grad Ft au point X
r. Ce
gradient noté F( Xr
,t) ou Ft( Xr
) ou plus simplement Ft et même F est le tenseur du second ordre appelé transformation linéaire tangente au point P0 et à l'instant t. Il est caractérisé par :
xr = Ft( Xr
) : F( Xr
,t) = grad Ft ( Xr
) ⇔ d xr = F( Xr
,t) d Xr
Ses composantes relatives au repère orthonormé fixe R = (O, 321 e,e,e rrr ) ont alors pour expression :
K
iiK X
xF∂∂
= ∀ (i,K) ∈ 1,2,32
La transformation linéaire tangente F au point P0 et à l'instant t est donc représentée par une matrice à 3 lignes et 3 colonnes :
17
F =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Et la relation d = F(xr Xr
,t) d Xr
s'écrit :
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
3
2
1
X
Xx
X
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
x
x
x
d
d
d
d
d
d
Théorème : La transformation linéaire tangente F( X
r,t) = grad Ft ( X
r) au point P0 de coordonnées
(X1,X2,X3) et à l'instant t, est inversible. Son inverse noté F-1( Xr
,t) ou Ft-1( X
r) ou plus
simplement Ft-1 et même F-1 n'est autre que le gradient grad Ft -1 de Ft -1 au point Pt de
coordonnées (x1,x2,x3) avec = Fxr t( Xr
) l'image de Xr
par Ft . Les composantes de F-1 relativement au repère R = (O, 321 e,e,e rrr ) sont :
i
KKi x
XF∂
∂= ∀ (K,i) ∈ 1,2,32
et la matrice représentative s'écrit :
F-1 =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
xX
xX
xX
xX
xX
xX
xX
xX
xX
La relation d X
r = F-1( xr ,t) d s'écrit : xr
18
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
3
2
1
x
x
x
xX
xX
xX
xX
xX
xX
xX
xX
xX
X
X
X
d
d
d
d
d
d
Exemple :
Ft
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
==
+=
33
22
211
XxXx
HX
)t(aXx
F =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
100010
0H
)t(a1
Ft -1
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
==
−=
33
22
211
xXxX
Hx
)t(axX
F-1 =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
100010
0H
)t(a1
2.4. Jacobien de la transformation Soit t l'instant actuel et X
r ∈ Ω0 quelconque mais fixé, et soit Ft la transformation du milieu
continu M relative à cet instant. Considérons, au point P0 de coordonnées (X1,X2,X3) extrémité du vecteur X
r, un volume matériel élémentaire dV bâti sur trois vecteurs matériels
élémentaires non liés d 1Xr
, d 2Xr
et d 3Xr
.
a(t)a(t)
X2 Configuration initiale Configuration actuelle
b
X1
H
LO 1er
2er Xr
xr
19
On a alors :
dV = ( 321 XXXrrr
ddd || ) = det [ 321 XXXrrr
ddd ,, )] = ∈ IJK 3K
2J
1I XXX ddd
La transformée de ce volume matériel élémentaire dans la configuration actuelle Ωt à l'instant t est alors le volume élémentaire dv bâti au point Pt de coordonnées (x1,x2,x3) extrémité du vecteur = Fxr t( X
r) sur trois vecteurs matériels élémentaires non liés d 1xr , d 2xr et d 3xr définis
par : d αxr = F. d αX
r, α ∈1,2,3
avec F : transformation linéaire tangente F( X
r,t) au point P0 à l'instant t. Il vient alors :
dv = det [ 321 xxx rrr ddd ,, )] = ∈ ijk 3
KkK2JjJ
1IiI XFXFXF ddd
= ∈ ijk 3K
2J
1IkKjJiI XXXFFF ddd
= det F ∈ IJK3K
2J
1I XXX ddd
= det F dV Le déterminant de F noté J( X
r,t) ou Jt( X
r) ou plus simplement Jt et même J est appelé le
jacobien de la transformation Ft au point P0 extrémité du vecteur Xr
.
∀ t, ∀ Xr
∈ Ω0 , J( Xr
,t) = det F et on a :
VvJ
dd
=
Théorème :
∀ t, ∀ Xr
∈ Ω0 , J( Xr
,t) > 0
1er
2er
3er
Xr
(t0)
O
Ω0 Ωt
(t) Ft
xr
P0
1Xr
dd 2Xr
d 3Xr
Pt
1xr
3x
d d 2xr
d r
20
2.5. Champ des déplacements et champ des vitesses Soit t l'instant actuel quelconque mais fixé, et soit Ft la transformation du milieu continu M relative à cet instant. Soit par ailleurs P une particule quelconque mais fixée de M , de position dans la configuration de référence Ω0 le point P0 extrémité du vecteur X
r, et de
position dans la configuration actuelle Ωt le point Pt extrémité du vecteur = Fxr t ( Xr
). Le déplacement de la particule P à cet instant est alors le vecteur :
XxPPu t0
rrr−==
On appelle champs des déplacement l'application u qui à t et X
r associe le vecteur ur de
déplacement de la particule P à cet instant : u : Ω0 x [t0, ∞+ [→ ℝ3
( Xr
,t)a i321i eX,X,XuXt,Xxut,X rrrrrr )()()( =−==u
i321i eX,X,Xuu rr )(= ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=
)()()(
,tX,X,Xuu,tX,X,Xuu,tX,X,Xuu
32133
32122
32111
La vitesse v de la particule P à l'instant courant t n'est alors autre que la dérivée par rapport au temps du déplacement t u(
r
a Xr
,t) de cette particule à cet instant :
)()( t,Xt
t,Xtx rrr
r
∂∂
=∂∂
=u
v
Exprimée sous cette forme, elle est ainsi fonction du temps et des variable de Lagrange (X1,X2,X3) coordonnées de la particule P dans la configuration de référence Ω0.
1er
2er
3er
Xr
P0
(t0)
O
Pt
Ω0 Ωt
(t) Ft
xrur
21
Or Xr
= Ft-1( ), donc v peut s'exprimer en fonction du temps et des variables d'Euler
(xxr r
1,x2,x3) coordonnées de la particule P dans la configuration actuelle Ωt et on a :
t∂∂
=u
vr (Ft
-1( xr ),t)
On appelle champ des vitesse l'application v qui à t et xr associe la vitesse v de la particule P à cet instant :
r
v : Ωt x [t0, [→ ℝ∞+ 3
( xr ,t)a vrr
=)( t,xv = t∂
∂u (Ft-1( xr ),t) = i321i ex,x,x r )(v
i321i ex,x,x rr )(vv = ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
)()()(
,tx,x,x,tx,x,x,tx,x,x
32133
32122
32111
vv
vv
vv
3. Description du mouvement
3.1. Trajectoire d'une particule Définition Soit P une particule quelconque mais fixée du milieu continu M . On appelle trajectoire de P le lieu des positions successives de cette particule au cours du temps. Point de vue lagrangien Soit X
r le vecteur position de la particule P dans la configuration de référence Ω0 et soit Ft
la transformation du milieu continu M relative à l'instant courant t. La trajectoire de P est alors la courbe géométrique ayant pour équation de paramètre t :
t a xr = Ft ( Xr
) Dans ce mode de description associé aux variables de Lagrange X1, X2, et X3 nous adoptons un point de vue consistant à suivre les particules dans leur mouvement. Ce point de vue, où l'on privilégie la particule est appelé point de vue lagrangien et la description du mouvement du milieu M qui en résulte est dite lagrangienne. Point de vue eulerien Soit Pt un point de l'espace de coordonnées (x1, x2, x3). On regarde au temps t passer la particule P avec la vitesse )( t,x,x,x 321v
r qui est une vitesse eulerienne.
22
Entre les temps t et t+dt, la particule P se déplace de xdr tel que :
dtt,x,x,xxd 321 )(vrr=
Donc, trouver les trajectoires en Euler revient à résoudre le système différentiel :
)( t,x,x,xdtxd
321vr
r
=
avec comme condition initiale : X)t(x 0
rr=
En notation indicielle : )( t,x,x,xdtdx
321ii v= avec i0i X)t(x = .
Remarque
- A un instant t fixé, à un endroit donné, il ne peut passer qu'une seule trajectoire (transformation bijective).
- Au cours du temps, à un endroit donné de l'espace, il peut passer une infinité de trajectoire.
3.2. Lignes de courant Définition Les lignes de courant au temps t fixé sont les courbes qui au temps t et en tout point de l'espace sont tangentes aux vecteurs vitesses des particules occupant ces points.
)x,x,x(M 321 et )dxx,dxx,dxx(M 332211 +++ appartiennent au temps t à la même ligne de courant si :
xd)t,x,x,x('MM 321rr == v λ
t fixe
1vr
2vr
3vr
t fixe, zoom autour d'un point de l'espace
)x,x,x(M 321
)dxx,dxx,dxx(M 332211 +++
)t,x,,x(x 321vr
23
Donc, trouver les lignes de courant à l'instant t revient à trouver la famille de courbes géométriques solution du système :
)t,x,x,x(dx
)t,x,x,x(dx
)t,x,x,x(dx
321
3
321
2
321
1
321 vvv==
Principe de résolution On fixe une des trois variables x1, x2 ou x3, et on détermine la variation des deux autres à partir de deux équations indépendantes.
3.3. Ligne d'émission Définition On appelle ligne d'émission à l'instant t fixé du point M(x1, x2, x3) le lieu géométrique des particules qui sont passées au cours du temps en M. La ligne d'émission du point M(x1, x2, x3) au temps t fixe est la courbe géométrique ayant pour équation de paramètre t :
τxr = Ft (Fτ -1( τ,xr )) avec t≤τ
3.4. Cas d'un mouvement permanent Définition Le mouvement d'un milieu continu M est dit permanent ou stationnaire, lorsque le champ des vitesses est indépendant du temps. La vitesse v
r d'une particule P à l'instant t ne dépend alors
que de la position géographique de cette particule :
)x((P) rrrvv =
Remarque
Les équations des trajectoires : )( t,x,x,xdtdx
321ii v= deviennent )( 321i
i x,x,xdtdx
v=
D'où pour tout temps t, on a : )()()( 3213
3
3212
2
3211
1
x,x,xdx
x,x,xdx
x,x,xdx
vvv== : il s'agit des
équations des lignes de courants. Donc les lignes de courants sont les mêmes à tout instant et se confondent avec les trajectoires.
24
4. Dérivée matérielle et champ des accélérations
4.1. Dérivée matérielle Soit P une particule quelconque mais fixée du milieu continu M et soit g(P,t) une grandeur physique (scalaire, vectorielle ou tensorielle) liée à la matière, ou grandeur matérielle. On appelle dérivée matérielle ou dérivée totale encore dérivée particulaire de g et l'on note ou g&
tg
dd , le taux de variation de cette grandeur lorsqu'on suit la particule P dans son mouvement.
Supposons que g est une grandeur scalaire. Soient alors (X1,X2,X3) les coordonnées de la particule P dans la configuration de référence Ω0 (variables de Lagrange), et soit (x1,x2,x3) les coordonnées de cette même particule dans la configuration de actuelle Ωt à l'instant t (variables d'Euler). Point de vue lagrangien
g(P,t) = g(X1,X2,X3,t) et on a : tgg
∂∂
=&
Point de vue eulerien
g(P,t) = g(x1,x2,x3,t) et on a : ii
i
i xg
tg
tx
xg
tgg v
∂∂
+∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
=&
d'où v.grad gtgg x+
∂∂
=&
La dérivé matérielle d'une grandeur vectorielle ou tensorielle exprimée dans un système de coordonnées cartésiennes s'obtient aisément en dérivant chacune de ses composante, à l'aide des relations fournies précédemment.
4.2. Champ des accélérations Soit P une particule quelconque mais fixée du milieu continu M . L'accélération γ
r de cette
particule à l'instant t n'est autre que la dérivée matérielle de sa vitesse à cet instant.
Si )( t,Xt
vrr
∂∂
=u ⇒ )( t,X
t2
2 rr
∂∂
=uγ
Si )( t,xrr v=v ⇒ )(dd t,x
trr v
=γ
On appelle champ des accélérations et désignerons par γ l'application qui à tout t et associe l'accélération
xr
γr
de la particule P à cet instant :
25
γ( ,t) = xr i321i ex,x,xt,xt
rrr )()(dd γγ ==v ⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
)()()(
,tx,x,x,tx,x,x,tx,x,x
32133
32122
32111
γγγγγγ
Propriété
jj
iii xt
vvv
∂∂
+∂∂
=γ ∀ i ∈ 1,2,3
vvv .grad xt
+∂∂
=γ
Autre écriture plus courante
vvvv 2 ∧++
∂∂
= xx21
trotgradγ
Démonstration :
Soit : 2vx21 grady = , 2vx2
1 grad=ω et vv ∧= xrotz . On a :
ki
k
i
kk vxv
xvv
∂∂
=∂
∂=
)(21yi ,
kvjijkiz ω=∈ et l
m
xv
∂∂
=∈ jlmjω
D'où : kl
m vxv
∂∂
∈=∈ jlmijkiz .
Or : kmilklimjlmijk δδδδ −=∈∈ .
D'où : ( ) ki
kk
k
ik
l
m vxv
vxv
vxv
∂∂
−∂∂
=∂∂
−= kmilklimiz δδδδ .
Donc 2v v.vv xxx 21- gradgradrot = soit 2vv v.v xxx 2
1 gradrotgrad +=
Par conséquent : vvvv 2 ∧++
∂∂
= xx21
trotgradγ
4.3. Dérivée matérielle du gradient de la transformation Soit F( X
r,t) le gradient de la transformation. F est une quantité lagrangienne. Donc sa dérivée
matérielle est :
t)t,X()t,X(
∂∂
=r
r& FF
En notation indicielle, on a : J
k
k
i
J
ii
JJ
i
Xx
xXtx
XXx
t ∂∂
∂∂
=∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
=vv
iJF&
On pose : )t,x()t,x( xrr
vgrad=G . On a alors :
)t,X().t,x()t,X(rrr
& FGF =
26
D'autre part, on a : d1- . IFF =
D'où : ( ) 1-1-1-1-1-1-1-1- ..G......dtd FF-FFF-FF0FFFF0FF ==⇔=+⇔= &&&&
On a donc : G.1-1- -FF =&
4.4. Dérivée matérielle du jacobien de la transformation
On a : J( Xr
,t) = det F = k3j2i1ijk FFF∈D'où :
)(div)t,X(J
)t,X(J)GGG(
FdetGFdetGFdetG
FFFGFFFGFFFG
FGFFFFGFFFFGFFFFFFFFF)t,X(J
332211
l3l3l2l2l1l1
lkj2i1ijkl3k3lji1ijkl2k3j2liijkl1
lkl3j2i1ijkk3ljl2i1ijkk3j2lil1ijk
k3j2i1ijkk3j2i1ijkk3j2i1ijk
v
r
r
&&&r
&
=
++=
++=
∈+∈+∈=
∈+∈+=∈
∈+∈+=∈
δδδ
Donc : )(div)t,X(J)t,X(J v
rr& =
4.5. Dérivée matérielle d'une intégrale de volume Objectif On a jusqu'alors présenté des dérivées matérielles de grandeurs physique liées à une particule. Beaucoup de grandeurs physiques sont attachées à un volume fini du milieu continu que l'on suit, plutôt qu'à une seule particule (exemples : masse, quantité de mouvement, …). Lors de la transformation, il faut donc prendre en compte :
- Les variations de la grandeur physique (dans le temps et l'espace) - Les variations du volume auquel elle se rattache.
Positionnement du problème : Soient :
- t un instant fixé, - une grandeur physique eulerienne. )t,x,x,x(h 321
- V volume matériel occupant le domaine de l'espace Ωt au temps t et Ω0 au temps t0 - Soit dv)t,x(h)t(I
t∫=
Ω
r
Calculons la dérivée matérielle de cette intégrale sachant que le domaine d'intégration varie au cours du temps, et que cette variation doit être prise en compte dans la différentiation. Pour ce faire, on réalise le changement de variable suivant :
)t(I&
27
xr = Ft ( Xr
) Ωt = Ft (Ω0)
V)t,X(Jv ddr
= H( X
r,t)= h(Ft ( X
r),t)
D'où : dV)t,X(J)t,X(H)t(I
0∫=Ω
rr
Et par conséquent :
( ) ( )( )( )( )dv)(div)t,x(h)t,x(h
dV)t,X(J)(div)t,X(H)t,X(H
dV)(div)t,X(J)t,X(H)t,X(J)t,X(H
dV)t,X(J)t,X(H)t,X(J)t,X(HdV)t,X(J)t,X(Hdtd)t(I
t
0
0
00
∫∫∫
∫∫
+=
+=
+=
+==
Ω
Ω
Ω
ΩΩ
v
v
v
rr&
rrr&
rrrr&
r&
rrr&
rr&
D'où le résultat :
( )∫∫ +=tt
dv)(div)t,x(h)t,x(hdv)t,x(hdtd
ΩΩv rr&r
4.6. Dérivée matérielle d'une intégrale de surface Soient :
- t un instant fixé, - S volume matériel occupant le domaine de l'espace Γt au temps t et Γ0 au temps t0 - )t,x,x,x(a 321
r une grandeur physique eulerienne.
- Soit ∫=t
sd)t,x(a)t(IΓ
rrr , le flux de ar à travers le domaine géométrique Γt.
Calculons la dérivée matérielle de cette intégrale sachant que le domaine d'intégration varie au cours du temps, et que cette variation doit être prise en compte dans la différentiation.
)t(I&
On réalise, cette fois encore, le changement de variable suivant : xr = Ft ( X
r)
Γt = Ft (Γ0) Soit un P0 un point quelconque de Γ0 de coordonnées (X1, X2, X3) et une surface matérielle élémentaire bâti au point P
Sdr
0 sur deux vecteurs élémentaires non liés et 1Xdr
2Xdr
. On a :
21 XdXdSdrrr
∧=
28
La transformée de est la surface élémentaire Sdr
sdr au point Pt de coordonnées (x1, x2, x3) bâtie sur les vecteurs élémentaires 11 Xd.xd
rr F= et 22 Xd.xdrr F= . On a :
21 xdxdsd rrr
∧= Par conséquent :
2KkK
1JjJijk
2k
1jijki
dXFdXF
dxdxds
=∈
=∈
Ce qui donne :
I
2K
1JIJK
2K
1JkKjJiIijkiiI
dSJdXdXJ
dXdXFFFdsF
=∈=
=∈
On a alors : Sd)t,X()t,X(Jsd 1rrrr . t −= F
Soit alors : a)t,X(A rrr
= (Ft ( Xr
),t). Il vient alors :
∫∫
−=
=
0
0
K1
Kii
t
dSFJA
Sd)t,X()t,X(J)t,X(A)t(I
Γ
Γ
rrrr
.F
et donc :
∫∫∫∫∫∫
−+=
−+=
−+=
−+=
++=
++=
−
−−−
−−−
−−−
−−−
t
0
0
0
0
0
ijijii
K1
Kijijii
Kij1
Kij1
Kii1
Kii
Kji1
Kji1
Kii1
Kii
K1
Kii1
Kii1
Kii
K1
Kii1
Kii1
Kii
ds)aG)(divaa(
dSJF)AG)(divAA(
dS)GFJAF)(JdivAFJA(
dS)GFJAF)(JdivAFJA(
dS)FJAFJAFJA(
dS)FJAFJAFJA()t(I
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
v
v
v
v
&
&
&
&
&&&
&&&&
On a finalement :
∫ −+=t
sd).a.a)(divdtad()t(I
Γ
rrrr
& G v
5. Equations de conservation de la masse Soit M un milieu continu pour lequel la masse d'un volume matériel dV se conserve au cours du temps (pas de réaction chimique, pas de changement de phase), … Point de vue eulerien
29
Soit :
- V : un volume matériel qui au temps t occupe le domaine Ωt
- )t,x,x,x( 321ρ : masse volumique exprimée en tout point de Ωt en variable d'Euler.
La masse du volume matériel V au temps t s'écrit : dv)t,x(m
t∫=Ω
ρ r
La conservation de la masse se traduit par : t0m ∀= & soit : ( ) tdv)(div)t,x()t,x(
t
∀+∫ Ω
ρρ vrr
&
D'où :
0)(div)t,x()t,x( =+ v rr& ρρ
Comme 0).(t
=+∂∂
= vρρρ grad & , alors 0)(div).(t
=++∂∂
vv grad ρρρ , ce qui donne :
0)(divt
=+∂∂
vρρ
car )(div).(xxx
)()(div
iii
vvv
vv
v ii
i grad ρρρρρρ +=
∂∂
+∂∂
=∂
∂=
La conservation de la masse se traduit alors de point de vu eulerien par l'une des équations équivalentes suivantes :
0)(div)t,x()t,x( =+ v rr& ρρ ⇔ 0)(div
t=+
∂∂
vρρ
Point de vue lagrangien A l'instant t, la masse du milieu continu est ∫∫ ==
0t
dv)t,X(J)t,X(dv)t,x(mt ΩΩρρ
rrr
A l'instant t0, la masse du milieu continu est ∫=
0
dv)t,X(m 00 Ωρ
r
La conservation de la masse implique que pour tout temps t, on a : mt=m0. D'où :
)t,X()t,X(J)t,X( 0
rrrρρ =
30
CHAPITRE 3 : LES DEFORMATIONS
1- Considérations intuitives Définition Un corps est dit déformable si lorsqu'on lui applique des efforts, les distances relatives entre ses particules sont variables au cours du temps (par opposition aux corps rigides). Exemple Ecrasement d'un échantillon cubique d'un matériaux déformable homogène (même matériaux, même densité, …, dans tout le volume) isotrope (les propriétés physiques sont les mêmes en tout point et dans toutes les directions. On suppose que cet écrasement se déroule dans des conditions idéales de compression simple (pression uniforme, pas de frottement entre l'échantillon et les embases de la presse). La transformation est dans ce cas linéaire :
xr = F ( Xr
,t) = Ft( Xr
) = [α] Xr
et donc :
[α] = Ft( Xr
) = grad Ft( Xr
) (Dans ce cas la transformation coïncide avec son gradient).
On observe :
θ0 θt
Lt L0
- raccourcissement de la hauteur, - allongement de la longueur, - conservation de l'angle droit, - variation de l'angle entre diagonale, - diminution du volume et de l'aire des faces latérales.
31
Notre objectif est de trouver un outil mathématique en mesure de retranscrire toutes ces informations : variation de longueur, d'angles, de surface, de volume au cours de la transformation. C'est le rôle du tenseur des déformations. Remarques
- Les déformations sont différentes des déplacements. - Les déformations sont des grandeurs adimensionnelles, car il s'agit de variations
relatives de mesures. - Dans tout projet de génie civil, les déformations sont des grandeurs dimensionnante de
l'ouvrage. - Il existe plusieurs méthodes de mesure et de suivi des déformations : jauges
d'extensométrie, extensomètre à fibre optique, extensomètre à corde vibrante, …
2- Tenseur de déformation lagrangien
Soit M un milieu continu dont les configurations successives sont observées relativement à un repère orthonormé direct R = (O, 321 e,e,e rrr ) de ℝ3 supposé fixe. On considère :
- F : transformation du milieu déformable M . - Ft : transformation relative à l'instant t. - Ω0 : état de référence de M . - Ωt : état déformé de M à t.
Soit P une particule fixée de M repérée par :
kk0 eXOPX rr== dans Ω0
kkt exOPx rr== dans Ωt
La notion de déformation, liée aux variations relatives de mesures est basée sur l'étude de la transformation de domaines matériel élémentaire, c'est-à-dire une approche locale qui utilise la transformation linéaire tangente (on peut passer au volume global en intégrant).
2-1 Tenseur de Cauchy à droite et tenseur de green-Lagrange On choisit deux vecteurs élémentaires de longueur au point P0 de Ω0 1X
rd et . Au temps t,
ils leurs correspond au point P
2Xr
dt extrémité de xr = Ft( X
r) deux vecteurs élémentaires 1xrd et 2xrd
vérifiant : 11 Xxrr dd F=
22 Xxrr dd F=
où F est la transformation linéaire tangente de composantes K
iiK X
xF∂∂
= , (i,K) ∈ 1,2,32.
Pour quantifier les variations de longueurs et d'angle au cours de la transformation, regardons comment évolue le produit scalaire de ces vecteurs élémentaires.
32
2-1.1 Tenseur de Cauchy à droite
2L
1KiLiK
2LiL
1KiK
2i
1i
21 XXFFXFXFxxxx d d d d d ddd ===rr .
Posons :
iLKit
iLiKKL FFFFC == ce qui équivaut à introduire le tenseur du second ordre tel que :
C = tF.F
C est un tenseur lagrangien car est fonction des variables de Lagrange : C( Xr
,t) = tF( Xr
,t).F( Xr
,t). On a donc :
2L
1KKL
21 XXCxx d d dd =rr .
d'où : 2121 XCXxxrrrr dddd ... =
C est appelé tenseur de Cauchy à droite : C = tF.F Propriété C est un tenseur d'ordre 2, lagrangien et symétrique (par construction), défini positif (SDP). En effet
0xXCX 2 ≥=rrr
ddd .. , donc C est positif Si , alors et donc 0XCX =
rrdd .. 0x
rr=d 0X
rr=d .
Comme F est inversible, C est inversible et on a C-1 = F -1.tF -1
1er
2er
3er
Xr
(t0)
O
Ω0 Ωt
(t) Ft
xr
P0
d 1Xr
d 2Xr
Pt
d 1xr d 2xr
33
2-1.2 Tenseur de Green-Lagrange Etudions la variation du produit scalaire :
212L
1KKLKL
2LKL
1K
2L
1KKL
2121 XXXXδC(XδXXXCXXxxrrrrrr d)(dd d )d dd d dddd .δ-C. .. =−=−=−
avec δ le tenseur de Kronecker.
On pose )( δ-CL21
= ; )KLKLKL δC(21L −=
L est le tenseur de déformation de Green Lagrange.
)( δ-CL21
=
Propriété L est un tenseur du deuxième ordre, symétrique et lagrangien par construction. On montrera par la suite que L contient toutes les informations pour décrire les déformations autour de Pt au temps t.
2-1.3 Décomposition en fonction du champ des déplacements Calculons de façon explicite les termes de C et L. Considérons le champs des déplacements
Xt,Xxt,Xrrrr
−= )()(u et son gradient lagrangien :
)()( t,Xt,X X
rrugradHL = ;
J
iiJ X
uH∂∂
=
On a )()( t,XXt,Xxrrrr u+=
Exprimons F en fonction de HL.
LiJiJ
J
ii
J
iiJ H
X)uX(
XxF +=
∂+∂
=∂∂
= δ
d'où la relation intrinsèque : F = δ + HL
Exprimons C en fonction de HL
C = tF.F donc L
KJLKI
LJI
LIJIJ
LKJKJ
LKIKIKJKIKJIK
tIJ HHHH)H)(H(FFFFC +++=++=== δδδ
soit L
KJLIK
tLIJ
tLIJIJIJ HHHHC +++= δ
d'où :
J
K
I
K
I
J
J
IIJIJ
tt
Xu
Xu
Xu
XuC
∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
+=
+++=
δ
LLLL .HH H H C δ
34
Exprimons L en fonction de HL. )( δ-CL21
= , d'où :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
++=
J
K
I
K
I
J
J
IIJ
tt
Xu
Xu
Xu
Xu
21L
21 )( LLLL .HH H H L
2-2 Décomposition polaire de la transformation linéaire tangente Théorème Toute transformation linéaire tangente admet une unique double décomposition en produit d'une déformation pure par une rotation telle que :
F = R .U = V .R où : F : transformation linéaire tangente (F( X
r,t) = grad Ft ( X
r) : tenseur lagrangien d'ordre 2)
R : tenseur de rotation du second ordre orthogonal (R-1 = tR soit tR.R = δ) de déterminent égal à 1. U : tenseur lagrangien de déformation pure avant rotation du second ordre symétrique défini positif
(les valeurs propres de U sont strictement positives). V : tenseur eulerien de déformation pure après rotation du second ordre symétrique défini positif (les
valeurs propres de V sont strictement positives). Démonstration 1) Montrons l'unicité de la décomposition F = R .U. en supposant que :
det
)( orthogonalest
⎩⎨⎧
==
1
t
RR.RR δ
et
positif défini symetrique
⎩⎨⎧U
U
Supposons la non unicité de la décomposition et donc F = R1 .U1 = R2 .U2
Considérons le tenseur de Cauchy à droite : C = tF.F = t(R1 .U1).(R1 .U1) = tU1 . tR1.R1 .U1 = tU1 . δ .U1= tU1.U1 Or U1 est symétrique donc tU1 = U1 et par conséquent C = U1
2. De même C = U2
2. Or U1 et U2
sont définis positifs et U12 = U2
2 donc U1 = U2 = U et R1 = R2 = R = F .U-1. 2) Montrons l'existence de la décomposition F = R .U avec :
det
)( orthogonalest
⎩⎨⎧
==
1
t
RR.RR δ
et positif défini
symetrique
⎩⎨⎧U
U
35
O sait que le tenseur de Cauchy à droite C est symétrique (C = tF.F), donc il est diagonalisable. Il est défini positif, donc ses valeurs propres C1, C2 et C3 sont strictement positives. Soit RD = (P0, ) un repère orthonormé direct associé aux directions principales de C. Donc C est représenté dans R
321 I,I,Irrr
D par la matrice diagonale :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
3
2
1
C000C000C
DRC avec C1 > 0, C2 > 0, C3 > 0
Soit Q la matrice de passage de RD vers R = (O, 321 e,e,e rrr ). Notons que Q est orthogonal et det Q = 1. On a C = tQ . .Q.
DRC Soit U le tenseur du second ordre représenté dans RD par la matrice :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
3
2
1
C000C000C
DRU
U est défini positif. Dans R = (O, 321 e,e,e rrr ), U est représenté par la matrice :
U = tQ . .Q DRU
Par construction, U est symétrique, défini positif avec U2 = C. Considérons le tenseur R tel que :
R = F .U-1
tR.R = t(F .U-1). (F .U-1) = tU-1.tF .F .U-1 = U-1.C.U-1 = U-1.U.U.U-1 = δ Donc R est orthogonal. Montrons que det R =1. Considérons pour cela le jacobien de la transformation : J = det F = det (R.U) = (det R) (det U) = (det R) Cdet = (det R) )(det F.Ft
= (det R) 2J = (det R) J (car J > 0). D'où det R = 1 3) Il convient de montrer l'existence et l'unicité de la décomposition F = V .R', V tenseur eulerien de déformation pure. Il suffit d'agir comme précédemment en considérant le tenseur de Cauchy à gauche B = F. tF qui est un tenseur eulerien symétrique défini positif.
36
4) On a F = R .U = V .R'. Montrons que R = R'. F = R .U = R .U. tR.R = (R .U. tR).R L'unicité de la décomposition impose que :
⎩⎨⎧
==
R' RV RR.U.t
d'où :
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
RR.V. UR R.U.V
t
t
2-3 Directions principales de déformation et déformation principales Par construction, on a vu que C, L et U ont les même directions principales ( 321 I,I,I
rrr)
relativement à la configuration initiale Ω0. Corollaire
- Les tenseurs U et V ont les mêmes valeurs propres - Les directions principales 21 i,i
rr et 3i
r de V sont les transformées par la rotation R des
directions principales 21 I,Irr
et 3Ir
de U, C et L. Démonstration Montrer que U et V ont les mêmes valeurs propres et que les directions principales de V s'obtiennent par rotation R des directions principales de U revient à montrer que : - pour α fixé, α ∈1,2,3 : si Uα est valeur propre de U associée à la direction , alors UαI
rα
est valeur propre de V associée à la direction R. αIr
ce qui reviendrait à écrire que : V.(R. ) = (V.R). = F. = (R.U).αI
rαIr
αIr
αIr
= R.(U. αIr
) = R.( Uα αIr
) = Uα (R. ) αIr
D'où αi
r = R. est direction principale pour V. αI
r
Exemple : Cas d'un disque plan
37
2-4 Variation de longueur d'un vecteur matériel élémentaire : Notion de dilatation
Soit un vecteur élémentaire de longueur X
rd X
rd dans Ω0.
Soit un vecteur unitaire dans la direction et le sens de Nr
Xr
d . Soit le vecteur élémentaire image de xrd X
rd par Ft.
Définition On appelle dilatation εNN dans la direction N
r au point P0 à l'instant t, la différence relative
entre les longueurs des vecteurs élémentaires xrd et Xr
d ramenée à la longueur initiale Xr
d .
1er
2er
3er
Xr
(t0)
O
Ω0 Ωt
(t) Ft
xr
P0
d Xr Pt
d xrNr nr
P0 1Ir2I
r
P0
1ir
2ir
R
P0 1ir
2ir
V
P0 1Ir
2Ir
RU
F = R .U = V .R
38
X
XxNN r
rr
d
dd −=ε (dilatation lagrangienne)
On a alors X)1(x NN
rr dd ε+= Remarque :
- εNN est sans unité (variation relative de longueur). - Il existe une dilatation eulerienne :
x
Xxnn r
rr
d
dd −=ε
- On a 1)1)(1( nnNN =−+ εε
2-4.1 Calcul de εNN en fonction de C (tenseur de Cauchy à droite) On a . 2121 XXxx
rrrr dddd .C.. = Soit et donc 21 XXX
rrrddd == 21 xxx rrr ddd ==
D'où XXx 2 rrr ddd .C.=
Or NXXrrr
dd = d'où NNXx22 rrrr .C.dd =
Or X)1(x NN
rr dd ε+= d'où 22
NN2 X)1(x
rr dd ε+= Par conséquent :
1NNNN −=rr
.C.ε En notation indicielle 1NCN LKLKNN −=ε
2-4.2 Calcul de εNN en fonction de L (tenseur de déformation de Green-Lagrange)
On a : 212121 X2XXXxx
rrrrrr dddddd L.... =− D'où en prenant et donc 21 XXX
rrrddd == 21 xxx rrr ddd == , on obtient :
N2NXXx222 rrrrr L..ddd =− soit N2NXXX)1(
2222NN
rrrrrL..ddd =−+ ε
D'où :
NN21
NN2NN
rr.L.=+ εε
Remarques :
39
- εNN traduit physiquement la variation de longueur entre les temps t0 et t autour de la particule P dans la direction N
r.
Si εNN > 0, alors il s'agit d'un allongement. Si εNN < 0, alors il s'agit d'un raccourcissement. Si εNN = 0, alors il s'agit d'une conservation de longueur.
-
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−==
−=−==
−=−==
1C1ee
1C1ee
1C1ee
333333ee
222222ee
111111ee
33
22
11
rr
rr
rr
.C.
.C.
.C.
εε
εε
εε
soit
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−=
−=
1C
1C
1C
3333
2222
1111
ε
ε
ε
2-5 Variation d'angle entre deux vecteur matériel élémentaires : Notion de distorsion
C Soit et deux vecteurs orthogonaux élémentaires en P1X
rd 2X
rd 0.
Soit et Nr
Tr
deux vecteurs unitaires de directions respectives 1Xr
d et 2Xr
d . Définition : On appelle distorsion entre les directions orthogonaux N
r et T
r au point P0 et au temps t,
notée γNT , l'opposé de la variation entre l'instant de référence t0 et l'instant actuel t, de l'angle que font entre elles ces directions matérielles.
ntNT 2θπγ −=
On définit aussi la demi distorsion :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −== nt
NTNT 22
12
θπγε
Explicitons la distorsion γNT :
1er
2er
3er
Xr
(t0)
O
Ω0 Ωt
(t) Ft
xr
P0
d 1Xr
Pt
d 1xr
Tr
Nr nr
d 2Xr
d
tr
2xr θnt
40
On sait que 212121 X2XXXxxrrrrrr dddddd L.... =−
ce qui équivaut à T2NXX)cos(xx 21
nt21
rrrrrr L.. dddd =θ
Or )sin()2
cos()cos( ntntnt γγπθ =−=
NNXX)1(x 11NN
1rrrrr .C.ddd =+= ε
TTXX)1(x 22TT
2rrrrr .C.ddd =+= ε
D'où : T2NXX)sin(TTXNNX 21
nt21
rrrrrrrrrr L.. .C. .C. dddd =γ
Soit :
TTNNT2N)sin( NT rrrr
rr
.C..C. L.. =γ
Remarques :
- Lorsque γNT > 0, il y'a entre t0 et t une diminution de l'angle que font entre elles les directions des vecteurs et N
rTr
. - Lorsque γNT < 0, il y'a entre t0 et t une augmentation de l'angle que font entre elles les
directions des vecteurs et Nr
Tr
. - Lorsque γNT = 0, il y'a entre t0 et t une conservation de cet angle droit. - Distorsion entre et : 1er 2er
2211
121212 CC
L2)2sin()sin( == εγ
- Distorsion entre et 1er 3er :
3311
131313 CC
L2)2sin()sin( == εγ
- Distorsion entre et 2er 3er :
3322
232323 CC
L2)2sin()sin( == εγ
- Distorsion entre 1I
r et 2I
r directions principales de L (et aussi de C et U) :
41
Dans RD = (P0, ), L est représenté par la matrice , C est
représenté par la matrice et on a et , d'où :
321 I,I,Irrr
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
3
2
1
L000L000L
DRL
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
3
2
1
C000C000C
DRC
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
001
I1
r
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
010
I2
r
0CC
0)sin(21
II 21==γ
donc 0
21II =γ et par conséquent les directions principales de déformations restent orthogonales deux à deux.
2-6 Variation de volume matériel élémentaires : Notion de dilatation volumique
Soit dV un volume élémentaire en P0. Soit dv le volume élémentaire en Pt au temps t image de dV par Ft.
On sait que VvJ
dd
=
Définition : On appelle dilatation volumique notée θv au point P0, à l'instant t, la différence relative entre les volumes élémentaires dv et dV ramenée au volume initial dV.
VVv
v ddd −
=θ
On a 1Jv −=θ
signification physique :
- Si θv > 0, il y'a entre t0 et t une augmentation du volume élémentaire. - Si θv < 0, il y'a entre t0 et t une diminution du volume élémentaire. - Si θv = 0, il y'a entre t0 et t une conservation du volume élémentaire.
2-7 Variation de surface matérielle élémentaires : Notion de dilatation surfacique
42
Soit une surface matérielle élémentaire au point PSdr
0 de Ω0 de coordonnées (X1, X2, X3). La transformée de est la surface élémentaire Sd
rsdr au point Pt de coordonnées (x1, x2, x3). On
a :
SdJsd 1rr . t −= F
D'où :
LK1
KL2
L1
LiK1
Ki2
ii2
dSdSCJ
dSFdSFJ
dsdssd
−
−−
=
=
=
r
On obtient alors : Sd..SdJsd 122 rrr −= C
Soit maintenant le vecteur unitaire normal à la surface élémentaire Nr
Sdr
:
SdSdN r
rr
=
On a alors :
N..NJSdsd 1222 rrrr −= C
Définition : On appelle dilatation surfacique θN d ans le plan de normale N
r au point P0, à l'instant t, la
différence relative entre les aires des surfaces élémentaires sdr et Sdr
ramenée à l'aire initiale Sdr
:
Sd
sdSdN r
rr−
=θ
Il vient ainsi : 1N..NJ 1
N −= −rr
C θ
3- Cas des transformations infinitésimales
3-1 Définition : Tout ce qui a été dit jusqu'alors sur les déformations est absolument général et indépendants de la grandeur relative des déformations.
En mécanique des milieux continus, et en particulier en mécanique des solides, il existe toutefois un cas particulier important : c'est le cas des "petites déformations" ou "transformations infinitésimales".
43
3-1.1 Définition Soit )( t,X
ru le champ des déplacements du milieu continu M .
Soit )()( t,Xt,X X
rrugradHL = : le gradient lagrangien du déplacement au point P0 au temps t.
La transformation est dite infinitésimale, ou infiniment petite, lorsqu'en tout point P0, et en tout temps t, la norme euclidienne de HL reste petite devant 1. C'est-à-dire :
∀ t, ∀ Xr
∈ Ω0 , 1<<LH ou encore 1<<∂∂
∂∂
J
i
J
i
Xu
Xu
Remarque Il existe une définition équivalente qui concerne le gradient eulérien HE et qui dit que la transformation est infinitésimale si en tout point Pt, et en tout temps t, la norme euclidienne de HE reste petite devant 1. C'est-à-dire :
∀ t, ∈ Ω∀ xr t , 1<<EH ou encore 1<<∂∂
∂∂
j
i
j
i
xu
xu
Montrons l'équivalence de ces deux définitions. F : )( t,X
ra xr = X
r+ )( t,X
ru
F : gradient de F de composantes )( t,XHXxF L
iJiJJ
iiJ
r+=
∂∂
= δ
F -1 : )( t,xr a Xr
= - xr )( t,xru
F-1 : gradient de F -1 de composantes )( t,xHxXF E
IjIjj
I1Ij
r−=
∂∂
=− δ
EKj
LIK
LIK
EKjKj
LIK
1Kj
LIK
j
K
K
I
j
IEIj HHH)H(HFH
xX
Xu
xuH −=−==
∂∂
∂∂
=∂∂
= − δ
d'où :
ELLE .HHHH −= et ELEL .HHHH += On a alors :
ELLE H HHH +≤
Si 1<<LH on obtient : H
HH
L
LE 1
1<<
−≤ et donc 1<<EH
D'autre part : ELEL H HHH +≤
Si 1<<EH on obtient : H
HH
E
EL 1
1<<
−≤ et donc 1<<LH
44
3-1.2 Conséquences Dans le cas d'une transformation infiniment petite, il est possible de négliger les termes en gradient lagrangien HL et eulérien HE des déplacements d'ordre supérieur ou égal à 2 devant ceux du 1er ordre. Dans le cas des transformations infinitésimales, le gradient lagrangien HL du déplacement en P0 au temps t est égal au 1er ordre au gradient eulérien HE du déplacement en Pt au temps t.
LELLE H.HHHH ≈−=
terme du 2nd ordre
D’où, dans une transformation infinitésimale, on écrit :
HHH LE == En petites déformations, on peut écrire indifféremment :
j
i
j
iij x
uXuH
∂∂
=∂∂
=
En petites déformation, il n'y a plus lieu de différencier variables d'Euler et variables de Lagrange (physiquement, tout se passe autour de P0 et demeure dans le domaine des petites déformations).
3-2 Tenseur des petites déformations et des petites rotations : La considération des petites déformations (transformation infinitésimales) apporte des simplifications considérables à la théorie générales évoquée précédemment. Soit H le gradient du champ des déplacements u. Ce tenseur du 2nd ordre se décompose en une partie symétrique et une partie anti-symétrique.
- Partie symétrique :
( HH t
21
+=ε ) : tenseur linéarisé des petites déformations de composantes :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
=i
j
j
iij x
uxu
21ε
Pour une transformation quelconque, on avait exprimé le tenseur des déformations de Green Lagrange par :
)( LLLL .HH H H L tt
21
++=
terme d'ordre 2, négligé en petites déformations
- Partie anti-symétrique :
45
( HH t
21
−=ω ) : tenseur linéarisé des petites rotations de composantes :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
−∂∂
=i
j
j
iij x
uxu
21ω
Remarque
ωε +=H
3-3 Expression de C, L, et U dans le cas des transformations infinitésimales :
3-3.1 Tenseur de Cauchy à droite (C) : On a : . LLLL .HH H H C tt +++= δ Dans le cas des petites déformations, en négligeant le terme du second ordre, on obtient :
LL H H C t++= δ soit
εδ C 2+=
3-3.2 Tenseur de Green-Lagrange (L) :
On a : )( LLLL .HH H H L tt
21
++=
Dans le cas des petites déformations, en négligeant le terme du second ordre, on obtient :
)( LL H H L t
21
+=
soit ε L =
3-3.3 Tenseur de déformation pure avant rotation (U) : On a : 2U C = Dans le cas des petites déformations : εδ C 2+= , avec ε symétrique et 1<<ε . Alors :
)(O2 2εεδεδ ++=+== CU D'où :
εδ U += et εδ U −=−1
46
3-3.4 Tenseur des rotations (R) : On a : soit R.U F = 1−= F.U R Dans le cas des petites déformations : ωεδδ ++=+= H F D'où : , et en négligeant les termes du second ordre : ωεεωδεδωεδ −++=−++= 2)()( . R
ωδ += R Remarque Soit 21 I,I
rr et les directions principales de déformation en P3I
r0 à l'instant t (directions
principales de C, U et L). Soit 21 i,i
rr et 3i
r les directions principales de déformation en Pt à l'instant t (directions
principales de V). On sait que αir
= R. αIr
, avec α ∈1,2,3. En transformations infinitésimales : αααα III)(i
rrrrω.ωδ +=+= . . Donc αi
r et diffèrent entre
elles d'un terme du premier ordre en H (ou ω). αIr
D'où en transformations infinitésimales, on ne parlera plus que de directions principales de déformations au point et à l'instant considéré associées aux directions propres du tenseur linéarisé des petites déformations ε )( t,xr . Les valeurs propres de ε )( t,xr sont appelées déformations principales au point et à l'instant considéré.
3-4 Variation de longueur en transformations infinitésimales : On a définit la dilatation εNN comme la variation de longueur relative de dans la direction N
r
au point P0 entre les instants t0 et t telle que :
X
XxNN r
rr
d
dd −=ε
avec : NXXrrr
dd = et X.xrr dd F= .
On a montrer dans le cas général que : NN21
NN2NN
rr.L.=+ εε .
Or en transformations infinitésimales, on sait que ε L = , et puisque c'est un terme en H
NN2NN εε <<
2. D'où en transformations infinitésimales, on a :
NNNN
rr..ε=ε
Remarque
47
En considérant la dilatation eulérienne x
Xxnn r
rr
d
dd −=ε , dans le cas des transformations
infinitésimales, les points de vue lagrangien et eulérien étant confondus au premier ordre en H et on a :
nnNNnnNNrrrr
.... εε === εε
3-5 Variation d'angle droit :distorsion dans le cas des transformations infinitésimales :
On a dans le cas général :
TTNNT2N)sin( NT rrrr
rr
.C..C. L.. =γ
Or 1NN NN += ε
rr.C. et 1TT TT += ε
rr.C. , et donc en transformations infinitésimales
sachant que , NNNN
rr..ε=ε TTTT
rr..ε=ε et ε L = , on obtient :
)1TT)(1NN(T2N)sin( NT ++
= rrrr
rr
.... ..
εεε γ
En faisant un développement limité au voisinage de 0, on obtient :
[ ][ ] )(OT2N)(OTT1)(ONN1T2N)sin( 222NT εεεεεεε +=+−+−=
rrrrrrrr .... .. .. γ
Donc )sin( NTγ est un terme d'ordre 1 en ε . Et comme 1<<ε , on alors :
T2NNT
rr .. ε =γ
et
TN21
NTNT
rr ..ε== γε : demi distorsion
Remarque
Sachant que , on a : ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
332313
232212
131211
εεεεεεεεε
ε
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
==
==
3333ee
2222ee
1111ee
ee
ee
ee
33
22
11
εε
εε
εε
rr
rr
rr
..
..
..
ε
ε
ε
Alors, ε11, ε22, et ε33 représentent les dilatations dans les directions , , et 1er 2er 3er respectivement.
48
D'autre part :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
==
==
2332ee
1331ee
1221ee
ee
ee
ee
32
31
21
εε
εε
εε
rr
rr
rr
..
..
..
ε
ε
ε
Alors les termes ε12, ε13, et ε23 représentent les demi distorsions entre les directions deux à deux perpendiculaires du repère R = (O, 321 e,e,e rrr ).
3-6 Variation de volume :dilatation volumique dans le cas des transformations infinitésimales :
On a et H F += δ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+===
333231
232221
131211
H1HHHH1HHHH1
detdetVvJ F
dd
)(OHHH1
)(OH)(OH))(OHH1)(H1(
HHH1H
HH1H
HHH
H1HHH1
)H1(J
2332211
213
212
2332211
3231
222113
3331
232112
3332
232211
H
HHH
++++=
+−++++=
++
+−
++
+=
Or 1
11111 x
uH∂∂
== ε ; 2
22222 x
uH∂∂
== ε ; 3
33333 x
uH∂∂
== ε
D'où :
)(div1)(tr1)(tr1J u+=+=+= εH et par conséquent la dilation volumique devient :
)(div)(tr1Jv u==−= εθ
3-7 Déviateur des déformations L'objectif est de décomposer la déformation en :
- une déformation avec variation de volume sans distorsion - une déformation sans variation de volume (à volume constant avec distorsion).
3-7.1 Définition : On appelle déviateur des déformations le tenseur symétrique du 2nd ordre défini par :
49
δε3
vθ−=e
On a alors :
e+= δε3
vθ
Partie isotrope ou partie
sphérique de ε
Variation de forme sans variation de
V v
Partie déviatorique de ε
3-7.2 Significations p
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
300
03
0
003
3v
v
v
v
θ
θ
θ
θδ est un tens
de référence. Alors toutes les dtenseur. Les dilatations dans chacune*
nnε
*nn =ε
où est un vecteur unitaire dansnr
La transformée d'une sphère sphérique).
A la partie isotrope de ε (c'est-à
sans changement de forme : (tr θ
A la partie déviatorique de ε (c'sans changement de volume : tr( e et ε ont les mêmes directions p
ariation deolume sansdistorsion
volumehysiques
eur isotrope qui ne dépend pas du repère orthonormé direct
irections de l'espace sont des directions principales de ce
des directions de l'espace sont égales entre elles et valent :
3θn
3θnn
3θn
3θn v2vvv ===
rrrrr .... δδ
une direction quelconque mais fixée.
matérielle élémentaire est donc une sphère (d'où partie
-dire au tenseur δ3
vθ ) est associé un changement de volume
vv )(tr)
3θ== εδ .
est-à-dire au tenseur e) est associé un changement de forme e) = 0.
rincipales.
50
3-8 Déformations planes (représentation géométrique)
3-8.1 Définition Soit u le champ des déplacements du milieu M . M est soumis à un état de déformation plane s'il existe un repère orthonormé direct dans lequel on puisse écrire :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
0ut,x,xuut,x,xuu
3
2122
2111
)()(
u
Soit R = (O, 321 e,e,e rrr ) ce repère. La transformation étant supposée infinitésimale, le tenseur des petites déformations au point Pt au temps t s'écrira relativement à ce repère comme suit :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
00000
2212
1211
εεεε
ε = tenseur des déformations planes.
Remarque La déformation se passe dans les plans de vecteur normal 3er .
3-8.2 Représentation géométrique du tenseur des déformations planes Soit R = (O, 321 e,e,e rrr ) un repère orthonormé direct dans lequel le tenseur des petites déformations ε au point Pt au temps t s'écrit :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
00000
2212
1211
εεεε
ε
Soient : 1ir
et 2ir
les directions principales de ce tenseur εI et εII les valeurs propres associées. Par convention, on prend 2i
r est directement orthogonal à 1i
r et εI ε≥ II.
Compte tenu de la forme de ε au point Pt, on peut dire que les déformations au point Pt se passent dans le plan (Pt, ). 21 e,e rr
Soient : nr : un vecteur unitaire de ce plan quelconque mais fixé. tr
: le vecteur unitaire directement orthogonal à nr . εnn : la dilatation au point Pt dans la direction nr . εnt : la demi distorsion au point Pt entre les directions nr et t
r.
51
L'idée est de caractériser l'état de déformation plane au point Pt au temps t par le vecteur :
tnMP ntnnnt
rr εε += Remarque L'état de déformation autour de Pt sera entièrement caractérisé lorsque le vecteur décrit l'ensemble des directions du plan de déformation (
nr
21 e,e rr ), c'est-à-dire que le vecteur tourne de 2π autour de P
nr
t dans ( ). 21 e,e rr
La question posée est la suivante : quand nr tourne de 2π autour de Pt dans le plan de déformations, que fait le point Mn? Les positions du point Mn peuvent être exprimées dans le repère tournant (Pt, t,n
rr ) où Mn a pour coordonnées (εnn, εnt). Dans le repère des directions principales de déformation (Pt, 21 i,i
rr) on a :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
II
I
00
εε
ε
Soit α l'angle que fait nr avec 1ir
.
Dans (Pt, 21 i,irr
) on a : et . D'où : ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛αα
sincos
nr ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛αα
ost
csin-
r
⎩⎨⎧
+−==
+==
ααεααεεαεαεε
sincos sincos sin cos
....
IIInt
2II
2Inn
tnnnrr
rr
ε
ε
εnn et εnt sont des grandeurs scalaires indépendantes du repère dans lequel on les exprime. Les deux dernières expressions peuvent s'écrire sous la forme :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−
==
−−
++
==
α)2(2
tn
)2(22
nn
IIInt
IIIIIInn
sin
cos
..
..
εεε
αεεεεε
rr
rr
ε
ε
2ir
nr
1ir
α
tr
52
Lorsque n décrit l'ensemble des directions du plan de déformation autour de Prt, soit lorsque
tourne de 2π, on voit que relativement au repère tournant (Pnr t, t,nrr ), Mn décrit un cercle de
centre )0,2
( III εεΩ + et de rayon 2
R III εε −= appelé cercle de Mohr.
Selon les expressions de εnn et εnt, quand nr tourne d'un angle α autour de Pt dans le plan physique, Mn tourne de -2α autour de Ω dans le plan de Mohr. Remarque Si α = 0, 1in
rr= , 2it
rr= , εnn = εI et εnt = 0 : pas de distorsion pour les directions principales.
Si α = 4π , εnn =
2III εε + et εnt =
2III εε − : distorsion maximale.
Si α = 2π , 2in
rr= , 1it
rr−= , εnn = εII et εnt = 0 : pas de distorsion pour les directions principales.
εnt
2ir
tr
ΩεII εI εnn
Mn
Pt -2α
nr
1ir
α
Pt
tr
nr
Plan de Mohr Plan Physique
53
CHAPITRE 4 : LES CONTRAINTES
Avant : En cours de mécanique générale, pour un solide indéformable, nous
considérions :
- Les actions mécaniques extérieures appliquées, - Les déplacements, - L'outil mathématique : champ vectoriel.
Maintenant : En mécanique des milieux continus, pour les milieux déformables, nous
considérons :
- Les actions mécaniques extérieures appliquées, - Les actions mécaniques intérieures (contraintes), - Les déplacements, - Les déformations, - L'outil mathématique : champ tensoriel.
grandeurs physiques qui leurs étaient attachées étaient représentées par des
- Les corps sont supposés déformables sous l'action de charges externes. - Les grandeurs physiques étudiées sont représentées par des fonctions tensorielles.
Remarques
- Si les déformations sont observables et mesurables directement (principe des jauges d'extensométrie), les contraintes ne sont généralement pas observables (effort internes).
- Les déformations et contraintes sont reliées par la loi de comportement du matériau considéré (rhéologie). On parle à titre d'exemple de loi élastique, loi élastoplastique, loi visqueuse, …
- La notion de contrainte est très importantes pour le dimensionnement des ouvrages : si les contraintes sont trop élevées au sein d'un solide, il y'a destruction de la cohésion internes entre particules et donc rupture.
1- Actions mécaniques sur un milieu continu et tenseur des contraintes
Définition On appelle actions mécaniques toutes actions qui se caractérisent par des forces ou des couples, ou bien par des densités linéiques, surfaciques, volumiques ou massiques de force,
54
par opposition aux actions non mécaniques liées à l'existence de flux (chaleur par exemple) ou de source (réaction chimique par exemple). On distingue parmi les actions mécaniques : les actions du milieu extérieur et les actions intérieures. Exemple
On considère une poutre (S) soumise à un essai de traction. q 2er et -q sont deux forces surfaciques extérieures agissant sur les bases de l'éprouvette (S).
2er
Séparons (S) en deux parties (S1) et (S2) par un plan virtuel (ABCD). Si (S) est en équilibre, alors (S1) et (S2) le sont aussi. Les forces agissantes sur (S1) sont -q 2er et une autre force exercée par (S2) dont la résultante est 12F
r.
12Fr
est une force extérieure pour (S1) et c'est une force intérieures pour (S).
q 2er
1-1 Les actions du milieu extérieur Ces action sont de deux types : les actions de contact et les actions à distances.
1-1.1 Les actions de contact Elles s'exercent sur la surface extérieure du milieu sous la forme d'une densité surfacique de force qr . Sur un élément de surface dS s'exerce une force élémentaire :
Sqf d d rr=
Exemple
- L'eau sur le parement d'un barrage. - Le vent sur la voile d'un bateau.
x3
x1 1er3e
2er
r
(S2)
AB
C
D
θ θA
B
nr12Fr
1er2er (S1)
55
1-1.2 Les actions à distance Elles se caractérisent sur chaque particule (dm, dv) par une action proportionnelle à la masse de la particule considérée. Sur une particule s'exerce une force élémentaire :
vFmF'f d d d ρrrr
== Exemple
- Force de pesanteur : gF rr= .
- Forces électromagnétiques.
1-2 Les actions mécaniques intérieures : notion de vecteur de contraintes
Ce sont les actions du milieu sur lui-même. Pour les définir autour d'un point P( xr ,t), il convient de couper le milieu M en deux parties (1) et (2) par une surface arbitraire S12 passant par P.
Considérons une facette élémentaire ∆S de l'interface fictive S12, de normale unitaire n . Soit r
Fr
∆ la force qu'exerce sur cette facette par les particules situées du côté de (c'est-à-dire du côté (2)) et au contact de cette facette. On défini le vecteur contrainte au point P et correspondant au à la direction et à l'instant t par :
nr
nr
dS)t,P,n(Fd
SF)t,P,n( lim
0S
rrrrr
=∆∆
=σ→∆
Si l'espace physique est rapporté à un repère orthonormé R = (O, 321 e,e,e rrr ) direct, P peut être remplacé par le vecteur position . xr
Le vecteur contrainte σ ou r
nσr est une fonction de la position, du temps, de l'orientation
de la facette élémentaire donnée par le vecteur unitaire nr , et du sens de nr .
Remarque :
1er2er
nr∆S
(2)
3er
xrP
Fr
∆(1)
S12
56
(i) L'action de (1) sur dS est )t,x,n(Fd rrr et l'action of (2) sur dS est )t,x,n(Fd rrr
− . L'équilibre de dS implique que :
0)t,x,n(Fd)t,x,n(Fdrrrrrrr
=−+
Donc )t,P,n()t,P,n( rrrrσ−=−σ
(ii) Le vecteur contrainte peut être décomposé en une composante normale et une composante tangentielle à la facette :
t.n. ntnnnrrr
σ+σ=σ
En mécanique des milieux continues : Si σnn >0 : contrainte normale de traction If σnn <0 : contrainte normale de compression.
σnt est généralement positive. En contrainte plane, elle peut être affectée d'un signe.
nrtr
n.nnr
σ
nσr
t.ntr
σ
(iii) En un point matériel P, il passe une infinité de surface élémentaire dSn, donc il existe une infinité de vecteur contrainte. Pour décrire l'état de contrainte en un point, la notion de vecteur contrainte est insuffisante. Il faut introduire le tenseur des contraintes.
1-3 Tenseur des contraintes de Cauchy
1-3.1 Définition Définition :
Considérons un point arbitraraire P du milieu M et rappelons la definition du vecteur contrainte correspondant aux facettes de normal extérieur 1er , 2er and 3er . Ces vecteurs contraintes sont respectivement ,
1errσ
2errσ and
3errσ .
1er3er2er
xr
2errσ
2er
1er 3er2er
xr
3errσ
P 2er
1errσ
3er P
1er
2er
3er
xr P 1er
57
)t,x,e( 1e1
rrrrr σ=σ ; )t,x,e( 2e2
rrrrr σ=σ ; )t,x,e( 3e3
rrrrr σ=σ .
Notons σij les composantes du vecteur contrainte jer
rσ dans la base ( , ,1er 2er 3er ).
iije ej
rrr σ=σ
( 3j32j21j1e eeej
rrrrr σ+σ+σ=σ )
Les neufs composantes de ces trios vecteurs contraintes sont les composantes du tenseur du second ordre nommé tenseur des contraintes de Cauchy )t,x( rr
σ :
Les composantes perpendiculaires aux facettes, (σ11, σ22, σ33), sont les contraintes
normales. Les composantes contenues dans les facettes, (σ12, σ13, σ21, σ23, σ31, σ32) sont les contraintes tangentielles.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σσσσσσσσσ
=σ
333231
232221
131211
)t,x( rr
1-3.2 Relation entre vecteur contrainte et tenseur des contraintes
Remarquons que : je ej
rrr σ=σ .
Cette relation entre le tenseur des contraintes σ et le vecteur des contraintes
jerrσ au point P peut être généralisée pour
tout vecteur unitaire en considérant un volume élémentaire constitué d'un tétraèdre de sommet P.
nr
La base de ce tétraèdre est de normal extérieure et ses trois autres faces sont de normal extérieur - , - et -
nr
1er 2er 3er comme le montre la figure.
Les forces agissant sur le tétraèdre sont :
r- Les forces à distance b - Les vecteurs contraintes sur les surfaces (APB), (BPC), (APC) and (ABC). Le vecteur contraintes agissant sur (ABC) est 3n2n1nn eee
321
rrrrσ+σ+σ=σ .
Le vecteur contraintes agissant sur (APB) est 331221111ee eee11
rrrrrrr σ−σ−σ−=σ−=σ− .
Com
posa
ntes
de
1errσ
Com
posa
ntes
de
2errσ
Com
posa
ntes
de
3errσ
2er
1er
3er 2er−
1er− 3er−
A
B
C P
P1
P3
P2
nrPn
58
Le vecteur contraintes agissant sur (BPC) est 332222112ee eee22
rrrrrrr σ−σ−σ−=σ−=σ− .
Le vecteur contraintes agissant sur (APC) est 333223113ee eee33
rrrrrrr σ−σ−σ−=σ−=σ− .
Les aires des surfaces sont : SABC = dΣ SAPB = dΣ = dΣ n1e.n rr 1. SBPC = dΣ = dΣ n2e.n rr 2. SAPC = dΣ 3e.n rr = dΣ n3. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique sur le tétraèdre, on obtient :
(ABC)) d(P,h ; dh d
d b d S S S S APCBPCAPBABC
=Σ=
γρ=ρ+σ+σ+σ+σ −−−
31v
vv321 eeen
vrrrrr
D'où,
)b-(h rrrrr
γρ=σ−σ+σ−σ+σ−σ 3jj3n2jj2n1jj1n e)n(e)n(e)n(321
Lorsque le tétraèdre tend vers P, h tend vers 0 et on obtient :
jijn ni
σ=σ or
nnrr σ=σ
1-3.3 Symétrie du tenseur des contraintes de Cauchy
Considérons un volume parallélépipédique centré sur P de dimensions dx1, dx2 et dx3. Les composantes de l'effort qui s'exerce sur
la facette de normal sont σ2er 12 dx1 dx3, σ22 dx1 dx3 and σ32 dx1 dx3.
Les composantes de l'effort qui s'exerce sur la facette de normal 2er− sont -σ12 dx1 dx3, -σ22 dx1 dx3 et -σ32 dx1 dx3.
Les composantes de l'effort qui s'exerce sur la facette de normal 3er sont σ13 dx1 dx2, σ23 dx1 dx2 and σ33 dx1 dx2.
Les composantes de l'effort qui s'exerce sur la facette de normal 3er− sont -σ13 dx1 dx2, -σ23 dx1 dx2 and -σ33 dx1 dx2.
Considérons le principe fondamental de la dynamique pour la rotation autour de l'axe x1:
3er
2er
1er
σ33
σ13 σ23
σ32
σ12σ22
−σ32 −σ13
−σ23
−σ12−σ22
−σ33+
59
''1x/x/ 11
Im θ=∑
[ ] 3212
32
2
2x
2x
2x
2x
2x
2x
23
22V
23
22x/
32123323
21231
3132x/
xxx)x()x(12
V)xx(V)xx(I
xxx)(2xxx2
2xxx2m
1
1
2
2
3
31
1
d d d dd
d d
d d d d d d d d d
d
d
d
d
d
d
+ρ
=
+ρ=+ρ=
σ−σ=σ−σ=
∫ ∫ ∫∫
∑
− − −
Donc
[ ] ''1 dd θ+
ρ=σ−σ 2
32
22332 )x()x(12
Lorsque le volume élémentaire tend vers le point P, dx2 et dx3 tendent vers 0 et donc σ32 = σ23.
En considérant les rotations par rapport à x2 et x3, on montre queσ31 = σ13 et σ12 = σ22. Le tenseur des contraintes de Cauchy est symétrique :
jiij σ=σ or
σ=σt
2- Propriétés du tenseur des contraintes de Cauchy
2-1 Théorème de Cauchy
Soit n et deux vecteurs unitaires. Considérons les vecteurs contraintes en un point P agissant sur les facettes de normal et
r 'nr
nr 'nr . Nous avons : nnrr σ=σ
'n'nrr σ=σ
n.)'n..(n'n..n)n.'.n(n.'.nn.'.n)n.'.(n'n. 'n
tttn
rrrrrrrrrrrrrrrrr tttt σ=σ=σ=σ=σ=σ=σ=σ
Somme des moments des forces par rapport à x1
Moment d'inertie par rapport à x1
Accélération angulaire par rapport x1
60
On peut écrire que : 'nnn.'n. 'nn
rrrrrr ∀∀= etσσ .
ou ⎩⎨⎧
σ+σ=σ
σ+σ=σ
't.'n.t.n.
't'n'n'n'n
ntnnnrrr
rrr
Si alors 'nn rr⊥
n'nnn'.t'n.t 't'nntrrrrrrr ⊥∀∀= etσσ
Le théorème de Cauchy énonce que sur
deux facettes quelconques orthogonale, les composantes des contraintes tangentielles normales à l'arête commune aux deux facettes sont égales en module ( 21 τ=τ ) et simultanément convergent ou s'écartent de l'arête.
2-2 Direction principales de contraintes et contraintes principales
Pour un point P où les composantes du tenseur des contraintes de Cauchy sont σij, on associe pour chaque direction nr le vecteur contrainte nσ
r :
nnrr σ=σ .
Les directions pour lesquelles nσ
r et nr sont colinéaire sont appelée direction principale de contraintes. Pour une direction principale de contrainte :
nnrr λ=σ
où λ, la magnitude du vecteur de contrainte, est appelée contrainte principale.
En notation indicielle, la dernière équation peut s'écrire comme suit :
jjij nn ij δλ=σ
0n)( jij =δλ−σ ij ou 0n).(rr
=− λδσ Les solutions de cette équations autre que la solution trivial 0n
rr= , s'obtiennent en
annulant le déterminant δλσ − . Soit :
nr
nσr
'nr 'nσr
tntr
σt't'nr'σ
n'.t't'n2rr
σ=τ
'n.tnt1rr
σ=τ
nr
n
σr
'nr'nσr
tntr
σ
't't'nr
σ
n'.t't'n2rr
σ=τ
'n.tnt1rr
σ=τ
61
0)Idet( =λ−σ or 0
332313
232212
131211
=λ−σσσ
σλ−σσσσλ−σ
Le développement de cette expression donne le polynôme de degré 3 en λ:
0III *3
*2
2*1
3 =−λ+λ−λ
où :
IIIIII*3
IIIIIIIIIIIIijijjjii*2
IIIIIIii*1
σσσ)det(I
σσσσσσ)σσσσ(21I
σσσσ)σI
=σ=
++=−=
++=== tr(
*3
*2
*1 II,I et sont des invariants de contraintes. σI, σII et σIII , qui sont les racines du
polynôme, sont les contraintes principales. On associe à chaque contrainte principale (σI, σII etσIII), une direction principale de
contrainte ( 321 jjjrrr
, et respectivement), solutions des équations:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=σ−σ
=σ−σ
=σ−σ
0j).I
0j).I
0j).I(
3III
2II
1I
rr
rr
rr
Comme le tenseur des contraintes est réel et symétrique, les contraintes principales sont
des valeurs réelles. Dans le repère des directions principales de contraintes, la matrice représentative du tenseur des contraintes est diagonale :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σσ
σ=σ ℜ
III
II
I
)(
000000
D
)jjj( 321Drrr
, ,=ℜ
2-3 Déviateur des contraintes
Soit σm la contrainte moyenne: )(31
m σ=σ tr
Le tenseur des contraintes peut se décomposer en une somme de deux tenseurs, un représente la partie sphérique ou isotrope de l'état des contraintes dans lequel toute contrainte
62
normale est égale à σm et toute contrainte tangentielle est égal à zéro, et l'autre est appelé partie déviatorique ou déviateur du tenseur des contraintes noté s:
s=σ - σm δ ; sij=σij - σm δij
Les directions principales du déviateur des contraintes sont les mêmes que celles du
tenseur des contraintes :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σσ
σ=σ ℜ
III
II
I
)(
000000
D
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σ−σσ−σ
σ−σ=ℜ
mIII
mII
mI
)(
000000
sD
2-4 Invariants des contraintes
Dans § 2.2, nous avons introduits trois invariants des contraintes . Nous introduisons ici trois autres invariants des contraintes qui sont plus utile pour décrire les lois de comportement et plus particulièrement les critères de limite élastique.
*3
*2
*1 II,I et
Le premier invariant, noté I1 , est la contrainte moyenne σm.
)(31I m1 σ=σ= tr
The deuxième et le troisième invariant, notés J2 et J3, sont issus du déviateur des contraintes :
⎩⎨⎧
==
=
)det( 3)tr()tr(
ssJsJ
33
22
Ces invariants peuvent être représentés géométriquement dans l'espace des contraintes
principales:
σ1 M(σI , σII σIII )
σ3
σ2
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
313
13
1
kr
H(I1 , I1 , I1)
O ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
616162
k1r
2kr
3kr
H
M Φ
kr
⊥c
63
2/32
3
2
1
JJ6
)3cos(
JHM
I3OH
=Φ
=
=
3- Etat de contraintes planes – représentation géométrique
Un état de contrainte en un point est dit plane si l'on trouve une facette sur laquelle ne s'exerce aucune contrainte, alors cette facette est nécessairement principale (pas de contraintes tangentielles. En prenant la normale à cette facette pour axe P x3, le tenseur σ s'écrira :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡σσσσ
=σ00000
2212
1211
Soit 1j
r et 2j
r les directions principales des contraintes du plan des contraintes, et
σI et σII les contraintes principales associées respectivement. On peut faire le choix suivant :
σI ≥ σII et 2jr
directement orthogonal à 1jr
Soit un vecteur unitaire. Nous cherchons une représentation géométrique de l'évolution du vecteur de contrainte
nr
nσr lorsque nr décrit toutes les directions du plan des
contraintes. Pour cela, on cherche le lieu géométrique du point M tel que :
t.n.PM ntnnnrrr
σ+σ=σ=
où tr
est le vecteur directement orthogonal à nr . Soit θ l'angle que fait n avec la première direction principale de contraintesbetween the
first principal direction and :
r
)n,j( 1rr ∧
=θ .
Nous avons alors dans le repère orthonormé direct (P, 1j
r, 2jr
) :
nr
2jr
θ
1jrP
64
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛θθ
)sin()cos(
nr and et .
lors :
+−===
+===
)cos()sin()sin()cos()..(.)(sin)(cos)..(.
θθσθθσσσσθσθσσσσ
IIInnt
2II
2Innn
nttnnnrrrr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛θθ−)cos()sin(
tr
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡σ
σ=σ
II
I
00
A
⎩⎨⎧
rrrr
ou encore
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
θ−σ−σ
=σ
θ−σ−σ
+σ+σ
=σ
)2sin(2
)2cos(22
IIInt
IIIIIInn
orsque décrit toutes les directions du plan, le point L nr ),(M ntnn σσ décrit dans le
repèr t e tournan (P, nr , tr
) un cercle appelé cercle de Mohr C de centre Ω(2
III σ+σ ,0), et
rayon 2
III σ−σ
.
orsque tourne d'un angle θ dans le plan physique, le point M tourne d'un angle - θ sur le M
4- Tri-cercles de Mohrs
trainte dans les cas général (cas tridimensionnel), et on consi
ΩσII σI
L nr 2 cercle de ohr.
n étudit ici un état de conO
dère le tenseur de contraintes dans le repère des axes principaux au point P :
σnn
σnt
M
P
C
-2θ
nr
1jr
2jr
nσr
nσr
θ
65
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σσ
σ=σ
III
II
I
000000
et on suppose que σI ≥ σII ≥ σIII.
Le vecteur contrainte agissant sur une facette de normal le vecteur unitaire est : ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3
2
1
nnn
nr
t.n.n. ntnnnrrrr
σ+σ=σ=σ Ce vecteur peut être représenté géométriquement dans le plan (P, tn
rr, ) par :
PMn =σr avec ),(M ntnn σσ
On a:
1nnn 23
22
21 =++
23III
22II
21Innn n.n.n.n. σ+σ+σ=σ=σ
rr 2
nt2
nn2
32
III2
22
II2
12
I2
n n.n.n. σ+σ=σ+σ+σ=σr
On obtient ainsi un système linéaire à trios equations dont les inconnues sont ,
et :
21n 2
2n2
3n
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
σ+σ=σ+σ+σ
σ=σ+σ+σ
=++
2nt
2nn
23
2III
22
2II
21
2I
nn2
3III2
2II2
1I
23
22
21
n.n.n.
n.n.n.
1nnn
ou encore:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σ+σσ=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σσσσσσ
2nt
2nn
nn2
3
22
21
2III
2II
2I
IIIIII
1
nnn111
Les solutions de ce système linéaire sont :
66
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
σ−σσ−σ
σ−σ−σ+
σ+σ−σ
=
σ−σσ−σ
σ−σ−σ+
σ+σ−σ
=
σ−σσ−σ
σ−σ−σ+
σ+σ−σ
=
))((
)2
()2
(n
))((
)2
()2
(n
))((
)2
()2
(n
IIIIIIIII
2III2nt
2IIInn2
3
IIIIIIII
2IIII2nt
2IIIInn2
2
IIIIIII
2IIIII2nt
2IIIIInn2
1
Or , , et σ0n 2
1 ≥ 0n 22 ≥ 0n 2
3 ≥ I ≥ σII ≥ σIII, ce qui implique :
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥σ−σ
−σ+σ+σ
−σ
≤σ−σ
−σ+σ+σ
−σ
≥σ−σ
−σ+σ+σ
−σ
0)2
()2
(
0)2
()2
(
0)2
()2
(
2III2nt
2IIInn
2IIII2nt
2IIIInn
2IIIII2nt
2IIIIInn
Si on considère les cercles C1, C2, et C3 de centres respectifs Ω1( 2IIIII σ+σ ,0),
Ω2( 2IIII σ+σ ,0), Ω3( 2
III σ+σ ,0), et de rayon respectifs2
IIIII σ−σ , 2
IIII σ−σ et 2
III σ−σ ,
se situe dans la région du plan hachurée limitée par C),(M ntnn σσ 1, C2, and C3.
C1, C2, et C3 sont les circles de Mohr's pour un état de contrainte tridimensionnel..
σntC2
M
5- Equations d'équilibre
On considère ici un milieu continu M en équilibre statique. Soit m une masse de ce milieu occupant un volume V limitée par la surface S. Les efforts agissants sur cette masse
Ω1 Ω3 Ω2
C3
C1
σnnσIII σIIP σI
67
sont les forces de contact induites par le tenseur des contraintes σ et les forces à distance par unité de masse représentées par le vecteur b
r. L'équilibre de cette masse s'exprime ainsi :
0dVbdS
VS
rr=ρ+σ ∫∫
ou en coordonnée cartésienne par :
0dVbdSnV iS jij =ρ+σ ∫∫ , i ∈ 1,2,3
L'intégrale de surface peut se transformer en intégrale de volume en utilisant le
théorème de la divergence (théorème d'Ostrogradski) et l'équilibre prend la forme suivante :
0dV)bx
(V i
j
ij =ρ+∂
σ∂∫ , i ∈ 1,2,3
pour un volume arbitraire V. Par conséquent, en tout point du milieu M , on obtient :
0bx i
j
ij =+∂
∂ρ
σ , i ∈ 1,2,3
qui expriment les équations indéfinies de l'équilibre. La forme générale de ces équations d'équilibre est :
0)(rr
=ρ+σ bdiv
68
CHAPITRE 5 : BASIC LAWS
We have studied the stress tensor and its properties, and several tensors describing strain
and deformation at a point. In general, the tensors vary from point to point and represent a tensor field.
In this chapter, the fundamental equations governing the dynamics and thermodynamics
of a continuous medium using the Eulerian description will be presented. These governing equations will be derived for a continuum in motion; it is obvious that they govern the special case of a continuum in equilibrium with its surroundings as well.
The equations derived in this chapter, which apply to any continuous medium, will not
be sufficient in number to determine the unknown tensor functions, because they will not include the constitutive equations characterizing the material. The constitutive equations and boundary and initial conditions must be added to obtain a well defined mathematical problem to solve for the stress and deformation distributions or the displacement or velocity fields.
1. Principle of linear momentum The momentum principle for a collection of particles states that the time rate of change
of the total momentum of a given set of particles equals the vector sum of all the external forces acting on the particles of the set, provided Newton's third Law of action and reaction governs the internal forces. The continuum form of this principle is a basic postulate of continuum mechanics.
Consider a given mass of the medium, instantaneously occupying a volume V bounded by surface S and acted upon by external surface forces nσ
r per unit area, and
body forces by unit mass. br
nr
The rate of change of the total momentum of the given mass is ∫ ρV
dV)v(dtd r where
dtd
denotes the material derivative of the integral. Then the momentum balance expressed by the postulate is
∫∫∫ ρ=ρ+σVVS n dV)v(
dtddV)b(dS rrr
Or in rectangular coordinates and by substituting nσr by n.rσ , we can write
∫∫∫ ρ=ρ+σV iV iS iij dV)v(
dtddV)b(dSn
The surface integral could be transformed into volume integral by using the divergence theorem (Gauss or Ostrogradski theorem), and by expressing the material derivative of the integral, we obtain:
P dV
V nσr
S ρbr dV
69
∫∫∫ ρ=ρ+∂
σ∂ iij dvVV iV j
dV)dt
(dV)b(dVx
Hence the momentum balance takes the form
0dVdtdv
bxV j⎢⎣ ∂
ii
ij =⎥⎥⎦
⎤⎢⎡
ρ−ρ+σ∂
∫
for an arbitrary volume V, whence at each point we have the Cauchy's Equations of motion
ii
iij
dtb
xργ=ρ=ρ+
∂ or γρ=ρ+σ
j
dvσ∂ rrb)(div
where γr
denotes the acceleration. Remark:
the special case of static equilibrium of the medium, important in solid mechanics, the accel
Ineration γ
r is zero and we refined the partial differential equations of equilibrium
(estab
2. Principle of angular momentum
collinear forces, the ction of particles is equal to
the vector sum of the moments of the external forces acting on the system.
lished in chapter 2).
In a collection of particles whose interaction are equal, opposite,
rate change of the total moment of momentum for the given colle
In the absence of distributed couples, we postulate the same principle for a continuum.
Thus:
∫∫∫ ρ∧=ρ∧+σ∧VVS n dV)vx(
dtdV)bx(dS)x( d rrrrrr
rectangular coordinates, by using
In n.nrr
σ=σ and using the permutation symbol : ijk∈
∫∫∫ ρ∈=ρ∈+σ∈VVS dt
By transforming the surface integral t e integral, we obtain:
kjijkkjijklkljijk dV)x(ddV)bx(dS)nx(
o a volum
v
∫∫∫ ∈ρ=ρ∈+⎥⎦⎣∂ VVV l dtx⎤
⎢⎡
σ∂
∈ kjijkkjijkkljijk dV)vx(ddV)bx(dV)x(
Since jj v
dtdx
= , this becomes
∫∫∫ ⎟⎟⎠
σδ+∂
∈V kljl
ldV
x⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∈ρ=ρ∈+⎞
⎜⎜⎝
⎛ σ∂V
kjkjijkV kjijk
kljijk dV
dtdv
xvvdV)bx(x
Then
70
0dVvvdVdt
dvb
xxdV
V kjijkVk
kl
kljijkV kljlijk =∈ρ−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−ρ+
∂σ∂
∈+σδ∈ ∫∫∫
Or 0dt
dvb
xk
kl
kl =−ρ+∂σ∂
by the equation of motion; 0vv kjijk =∈ since is
symmetric in indices jk while is skew symmetric, and
kjvv
ijk∈ kjkljl σ=σδ , then
for an arbitrary volume V, whence:
0dV
V kjijk =σ∈∫
0kjijk =σ∈
at each point. This yield:
for i=1 σ32 –σ23 = 0;
establishing the symmetry of the s or.
The symmetry of the stress tensor is related to the moment of momentum (or angular mom
3. Energy and the First Law of Thermodynamics
For our purposes, in the continuum mechanics, the thermodynamics system will usually be ch
he first law of thermodynamics relates the work done on the system and heat transfer into t
3.1. Power input
the non-polar case, the power input is the rate at which the external surface stress vecto
for i=2 σ13 –σ31 = 0; for i=3 σ21 –σ12 = 0;
tress tens
entum) principle in the general non-polar case (i.e. in the case where there are no assigned stress vector couples or body couples and no couple stresses).
osen as given collection of continuous matter. Then the system is a closed system not interchanging matter with its surroundings, the bounding surface of the system in general moves with the flow of matter
The system to the change in energy of system. We suppose for the present that the only
energy transfer in the system are by mechanical work done on the system by surface forces and body forces, by heat transfer through the boundary, and possibly by distributed internal heat sources
Inr nσr per unit area and body forces b
r by unit mass are doing work on the system
instantaneously occupying the volume V bounded by S. Then:
∫∫ ρ+σ=VS ninput dV)v.b(dS)v.(P rrrr
71
V)v.b(dS)vn( ∫∫ ρ+σ=V iiS ijij d
∫∫ ρ+σ∂∂
=V iiV iij
jdV)v.b(dV)v(
x
∫∫ ∂∂
σ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ+
∂
σ∂=
V j
iijV i
j
iji dV
xv
dVbx
v
∫∫ ∂∂
σ+ρ=V j
iijV
ii dV
xv
dVdtdv
v
Since ∫∫ ρ=ρV
iiV
ii dV
2vv
dtddV
dtdv
v
Hence
∫ ∫ ∂∂
σ+ρ=inputPV V j
iij
ii dVxv
dV2vv
dtd
∫∫ σ+ρ=VV
2 dVL:dVv21
dtd r
where
L is the spatial gradient of the velocity.
rmation and spin respectively. Or L = W + D where D and W are the rate defo
⎟⎟⎠
⎞⎛ ∂∂ vv1⎜⎜⎝ ∂
+∂
=i
j
j
iij xx2
D ; ⎟⎟⎠
⎞⎛ ∂∂ vv1⎜⎜⎝ ∂
−∂
=i
j
j
iij xx2
W
W is skew-symmetric and σij is symmetric, it follows that:
σ : D. hence
Wij σij = 0 so that σ : L =W
∫∫ σ+ρ=input dtP
VV2 dVD:dVv
21d r
e integrals. The first is the material derivative
of the kinetic energy of the system, while the second contributes to the internal energy or
ut
t rate Qinput consists of conduction through the surface S, and a distributed internal heat source of st
The input power is the sum of two volum
stress power.
3.2. Heat inp The heat inpu
rength r per unit mass. Then:
∫∫ ρ+−= dVrdS)n.q( VSinputQ rr
qr is the heat flux vector. T e negative sign is needed becausehwhere ∫S dS)n.q( rr is the
outward heat flux.
72
3.3. First Law of Thermodynamics When a system is carried through a cycle and returned to its initial state, we observe
(experimentally): 0dtPinput ≠∫ and 0dtQinput ≠∫
where ∫ dt denotes the integral throughout the cycle. Hence:
dtPWd input= and dtQQd input=
are not exact differential quantities. It is not possible to speak of the work content or the heat content of the system at any one time; work and heat are not state functions or system properties.
On the other hand, it is found that in any cycle:
[ ] 0dtQP inputinput =+∫ which show that there does exist a function, called the total energy of the system, Etotal such that
inputinputtotal QPE +=& and
dt)QP(dE inputinputtotal +=
is an exact differential
The total energy of the system will be considered as the sum of two parts, the kinetic energy K and the internal energy U.
∫ ρ=V
2dVv21K r and ∫ ρ=
VdVuU
where u denotes the internal energy per unit mass or specific internal energy. Then the first law takes the form:
∫∫∫∫∫ ρ+−σ+ρ=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ρ+ρ=
VSVV2
V2total dVrdS)n.q(dVD:dVv
21
dtddVuv
21
dtd
dtdE
rrrr
Converting the surface integral to volume integral by divergence theorem, and all terms
are collected on the left side, the result is:
0dVrD:dtdu)q(div
V=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ρ−σ−ρ+∫
r
for arbitrary choice of the volume V in the continuum. Hence we obtain the energy equation:
)q(divrD:dtdu r
−ρ+σ=ρ
or
i
iijij x
qrD
dtdu
∂∂
−ρ+σ=ρ with Cartesian components.
73
This energy equation is a field equation expressing at each point of the medium the conservation of energy.
4. Entropy and the Second Law of Thermodynamics
The first law of thermodynamics can be regarded as an expression of the inter-convertibility of heat and work, maintaining an energy balance, as such, it places no restriction on the direction of the process.
In classical mechanics of particles and rigid bodies, kinetic energy and potential energy
may be fully transformed from one to the other in the absence of friction or other dissipative mechanisms, the transformation can equally well proceed in either direction (example: swinging pendulum or a vibrating spring-supported mass).
The situation is quite different when thermal phenomena are involved. By means of a
friction brake, the kinetic energy of a flywheel can all be converted into internal energy; if the whole system is insulated the internal energy remains in the system causing its temperature to rise. As far as the first law is concerned, the process could equally well be reversed; the flywheel could be set in motion by converting internal energy into kinetic energy, while the temperature of the system decreases. Such a reversal never occurs; the frictional dissipation is an irreversible process. The second law of thermodynamics puts limits on the direction of such processes.
4.1. Entropy in classical thermodynamics The entropy concept first appeared in thermodynamics as a state function related to the
heat transfer. We have seen (section 3.3) that the heat input dtQQd input= and then the heat
input dtQ1qd inputρ= per unit mass is not an exact differential, but it is assumed in classical
thermodynamics that a function s, the specific entropy (or the entropy per unit mass) exists, such that in any reversible process:
rev
qdds ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
θ=
is a perfect differential.
To illustrate this by a simple example given in most thermodynamics text books, consider an ideal gas defined by the gas law
ρv=Rθ where R is the gas constant for the particular gas; and by the additional assumption that the specific internal energy is a function only of the temperature θ:
u=u(θ)
as suggested by experiments of Joule in 1843. Any process in such an ideal gas is reversible because whenever the independent variable, say specific volume v and temperature θ, return
74
to their initial values, so do the dependent variables, u and pressure p. The first law of thermodynamics takes the form:
pdvqddu −= For a constant-volume process, this gives
θ== dcqddu v
where cv is the specific heat at a constant volume. Then the assumption of u=u(θ) implies that cv is a function of θ only and that:
θθ= d)(cdu v in any process for an ideal gas. Hence, the first law can be written:
vdvRd)(cqd v θ+θθ=
Division by θ then shows that θqd is a perfect differential. Then:
)vv(Rd)(cqdss0
vv,p
v,p0000
ln +θθ
θ=θ
=− ∫∫θ
θ
gives the change in entropy for any process (necessarily reversible) in ideal gas. For this case, entropy is evidently a state function, returning to its initial values.
Since dsqd θ= , the first law can be written for an ideal gas in the following form known as Gibbs relations:
pdvdsdu −θ=
or for an homogeneous system in equilibrium:
pdVdSdU −θ= This shows that entropy S is the extensive variable conjugate to the intensive variable
temperature θ for calculating the thermal energy input in the same way that the volume V is the extensive variable conjugate to the stress , -p, for calculating the mechanical work input.
4.2. Entropy changes in an irreversible process, The second law of thermodynamics For any reversible process between two states, the change in s is computed if we know
the heat input and temperature history by:
rev
2
112qdsss ∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
θ=−=∆
Unfortunately, this may not be a useful equation for inelastic deformation processes in
materials if the required hypothetical reversible process is not known.
75
For a cyclic reversible process, we have:
0qddsrev
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
θ= ∫∫
while in an irreversible cyclic process, we still have 0ds =∫ but 0qd≠
θ∫ . In fact experience
indicates that in general:
0qd
irrev<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
θ∫
θqd is interpreted as the entropy input from outside carried by the heat input qd , thus in an
irreversible cycle, the net entropy input is negative. Since the entropy has been assumed to be a state function, returning to its initial value at the end of the cycle, the negative value for the net entropy input implies that entropy has been created inside the system; the internal entropy production is a result of dissipative irreversible processes (e.g. internal friction).
In an irreversible change from state 1 to state 2, the entropy increase is greater than the entropy input by heat transfer:
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
θ>∆
2
1 irrev
qds
because of the internal entropy production, which is always positive in an irreversible process.
The second law of thermodynamics postulates the existence of entropy as a state function satisfying :
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
θ=∆
2
1 rev
qds for a reversible process
and
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
θ>∆
2
1 irrev
qds for irreversible process
4.3. The Clausius-Duhem inequality The entropy input rate, carried by heat transfer into the mass system instantaneously
occupying the volume V bounded by the surface S, is defined by:
Entropy Input Rate ∫∫ θ−+
θρ
=SV
dS)n.q(dVr rr
where r is the internal heat supply per unit mass and unit time (possibly from a radiation field) and qr is the outward heat flux vector.
According to the second law:
Rate of Entropy Increase ≥ Entropy Input Rate or
76
∫∫∫ θ−+
θρ
≥ρSVV
dS)n.q(dVrdVsdtd r
r
This is the integral form of the Clausius-Duhem inequality.
Then after transforming the surface integral to a volume integral, we conclude the following local version of the Clausius-Duhem inequality holds at each point:
)q(div1rdtds
θρ−
θ≥
r
or
0)(dragq)q(div1rdtds
2≥θ
ρθ−
ρθ+
θ−=γ
rr
where γ is the internal entropy production rate per unit mass
5. Principle of Virtual Power Suppose that a body is in motion and that each point of the body is given a virtual
velocity v~r
from the actual configuration. We suppose that v~r
is of the same nature of vr but not necessary the identical. That's means:
For i=1,2 or 3 +∞<∫V2
i dVv~ and for i=1,2 or 3 and j=1,2 or 3 +∞<⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∫V2
j
i dVxv~
The virtual power input of the external surface and body forces is expressed as:
∫∫ ρ+σ=VS ninput dV)v~.b(dS)v~.(P~
rrrr
∫∫ ρ+σ=V iiS ijij dV)v~.b(dS)v~n(
∫∫ ρ+σ∂∂
=V iiV iij
jdV)v~.b(dV)v~(
x
∫∫ ∂∂
σ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ+
∂
σ∂=
V j
iijV i
j
iji dV
xv~
dVbx
v~
∫∫ ∂∂
σ+ργ=V j
iijV ii dV
xv~
dVv~
We have ijijijj
i W~D~L~xv~
+==∂∂
where L~ is the spatial gradient of the virtual velocity.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂∂
=i
j
j
iij x
v~
xv~
21D~ is the symmetric tensor: the rate of the virtual deformation tensor
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−
∂∂
=i
j
j
iij x
v~
xv~
21W~ is the skew-symmetric tensor: the rate of the virtual spin
77
Then 0W~ijij =σ and ijijijij D~L~ σ=σ The virtual power could then be expressed as:
∫∫ σ+ργ=V ijijV iiinput dVD~dVv~P~
or
∫∫ σ+γρ=VVinput dVD~:dVv~P~
rr
Hence
∫ ∫∫∫ σ+γρ=ρ+σV VVS n dVD~:dVv~dV)v~.b(dS)v~.(
rrrrrr
Surface forces action
Body forces action Stress
Virtual Power
Dynamic Virtual Power Virtual Power of external
mechanical forces
6. Principle of virtual work (or displacement) In the static of particles and rigid bodies, the principle of virtual work is an alternative
way of expressing the equilibrium conditions, and we shall see that in a deformable medium also it is equivalent to the equilibrium conditions.
Let's consider a continuum in equilibrium occupying at its deformable configuration the
space domain Ω bounded by Γ. We denote by Γ2 the part of Γ submitted to a known surface density force gr and Γ1 = Γ – Γ2 the part of G where the displacement ur is imposed and equal to u
r: uu
1/rr
=Γ .
This continuum is also submitted to a body forces field b
r and the Cauchy stress tensor
σ. We introduce σ~ a statically admissible stress distribution which is defined as one
satisfying the equilibrium partial differential equations in the interior of W and boundary conditions:
0b)~(divrr
=ρ+σ ; jiij~~ σ=σ
and gn.~
2/rr
=σ Γ
br
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛forcein
conditionboundary gr
Γ20rr
=γ Γ1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=Γ condition
boundary nt displaceme uu
1/rr
78
and σ~ verify <σσ∫V jiji dV +∞~~
We introduce a virtual displacement u~r
which is a kinematically admissible displacement distribution. It is one satisfying the prescribed displacement boundary conditions uu~
1/rr
=Γ and possessing continuous first partial derivatives in the interior of Ω. The principle of virtual work postulate:
verified: f one of the two following conditions isI
1) 0u~1/ =Γ
r
2) n11 // n..~
ΓΓ σ= we ha
σr r
ve
∫∫∫∫ =++ΩΓΓΩ
εσσρ dV ~:~dS u~).n.(dS )u~.g(dV )u~.b(12
rrrrrr
Demonstration
WIf e~ is the virtual work of external mechanical forces, then:
∫∫∫ ΓΓΩσ++ρ=
12dSu~).n.(dS)u~.g(dV)u~.b(W~e
rrrrrr
If 0u~
1/ =Γr
we have 0dSu~).n.~(dSu~).n.(11
=σ=σ ∫∫ ΓΓ rrrr
And if
11 // n.n.~ΓΓ σ=σ
rr then 0dSu~).n.~(dSu~).n.(11
=σ=σ ∫∫ ΓΓ rrrr
Hence, we obtain in the two cases
0dSu~).n.~(dSu~).n.(1
σ∫Γ 1=σ= ∫Γ
rrrr
σ~ is statically admissible and we have
Γσ=
2dSu∫∫Γ2
~).n.~(dS)u~.g( rrrr
If we report these two last relations in the expression of eW~ and considering the fact that Γ = Γ1 U Γ2, we obtain
∫∫ ΓΩσ+ρ= dSu~).n.~(dV)u~.b(W~e
rrrr
Let's develop now ∫Γ σ dSu~).n.~( rr
Virtual Work
Virtual work Known contact forces action
Body forces action
Contact forces acting on Γ1
of internal S.A. forces of external
mechanical forces
79
∫∫∫ ΩΓΓσ
∂∂
==σ dSu~).n.~( rr
σ dVu~~(x
dSu~n~( iijj
ijij ) )
Hence
∫∫∫Γ σΩΩ ∂
∂σ+
∂
σ∂= dV
xu~~dV
x
~u~dSu~).
j
iij
j
iji
r
Remark that
n.~( r
i
jij
i
jji
j
iij x
u~~x
u~~xu~~
∂
∂σ=
∂
∂σ=
∂∂
σ
And then ijiji
j
j
iij
j
iij
~~x
u~
xu~
21~
xu~~ εσ=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂∂
σ=∂∂
σ
We have then
∫∫∫Γ σΩΩ
εσ+∂
σ∂= dV~~dV
x
~u~ ijij
j
iji
r
Hence
dSu~).n.~( r
∫∫∫Ω ΩΩεσ+
∂
σ∂+ρ dV~~dV
x=
~u~dV)u~.b( ijij
j
ijiii
W~e
∫∫ ΩΩεσ+
∂
σ∂+ρ= dV~~dV)
x
~b(u~ ijij
j
ijii
σ~ is statically admissible, then 0x
~b
j
iji =
∂
σ∂+ρ= and we conclude that
W~ ∫∫ εσ=εσ= dVΩΩ
~:~dV~~ijije
80
CHAPITRE 6 : LOIS DE COMPORTEMENT
1- Exemples de comportement
1-1 Comportement du caoutchouc naturel
On considère l’essai de traction simple sur une éprouvette de caoutchouc naturel de longueur initiale L, et de section initiale L.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 2 4 6
L SF
a =Σ (MPa)
Examinons la courbe reliant la contrainte axiale SF
a =Σ et la d
axialeLL
a∆
=ε . On remarque qu’en dessous du point de rupture, la courbe obtenu
(F croissante) se superpose avec celle obtenue en décharge (F décroissante). Ceci le comportement est réversible. Le matériau est dit élastique.
La relation entre la contrainte et la déformation n’est pas linéaire. Ceci montre qu’edu point de rupture, le comportement du caoutchouc naturel est un comportement énon-linéaire.
1-2 Comportement de l’acier doux Considérons désormais un essai de traction simple sur une éprouvette d’acielongueur initiale L et de section initiale S. Examinons la courbe contrainte axiale daxiale.
l=L+∆L F
S
F
∆L
R e
L∆
uptur
éformation
e en charge
montre que
n dessous lastique
r doux de éformation
La =ε
81
On remarque qu’en dessous du point A(εa
e, σae) le comportement de l’acier doux est élastique.
De plus la relation entre la contrainte et la déformation est une relation linéaire. La pente E de (OA) est appelé module d’élasticité ou module d’Young. Le comportement est alors élastique linéaire. Le point A constitue la limite du domaine élastique. Si l’on continue à déformer l’éprouvette au-delà du point A, on remarque que la contrainte reste constante. Si au point A’, on décide de décharger l’éprouvette, on remarque que la courbe contrainte déformation suit un droite de pente E. Si l’on décharge jusqu’à l’annulation de l’effort F (point O’), on remarque que la déformation de l’éprouvette ne s’annule pas. Le matériau a subit une déformation irréversible εa
p. L’acier doux s’est plastifié. Le comportement de l’acier doux est alors un comportement élastoplastique. Si on charge de nouveau l’éprouvette, le comportement reste élastique linéaire jusqu’à la limite élastique σa
e et redevient plastique à partir de ce point. Si on continue à déformer l’éprouvette, la contrainte croit de nouveau à partir du point B. On dit que le matériau s’écrouie. La contrainte augmente jusqu’à une valeur critique σa
r : c’est la contrainte de rupture (Point C). Au-delà du point C, le comportement devient instable jusqu’à la rupture de l’éprouvette (point D). Si on a décidé de décharger l’éprouvette entre les point B et C, on constate que le matériau redevient élastique avec une limité élastique augmentée due à l’écrouissage. Un corps est dit déformable si lorsqu'on lui applique des efforts, les distances relatives entre ses particules sont variables au cours du temps (par opposition aux corps rigides).
2- Comportement élastique linéaire isotrope : lois de Hook généralisée
On considère ici le cas des petites déformations
82
2-1 Approche en déformation
On considère un essai de traction homogène d’une éprouvette parallélépipédique de longueur l et de section h x b. Cette éprouvette est constituée d’un matériau homogène, non pesant. Les faces latérales de cette éprouvette sont soumises à une distribution surfacique uniforme de force q.
Donc, le tenseur de contrainte est le même en tout point de l’éprouvette, et admet
l’expression suivante dans le repère orthonormé )e,e,e,O(R 321rrr
= :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡σ=σ
000000001
où σ1=q. Les directions de R sont des directions principales de contrainte.
On suppose que le matériau est isotrope. L’observation de l’éprouvette montre que sa déformation est homogène et elle il,n’y a pas de distorsion entre les directions de la base R. Le tenseur linéarisé des petites déformations est donc le même en tout point et ses directions principales sont ceux du repère R. Sa matrice représentative dans cette base est :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
εε
ε=ε
3
2
1
000000
Si l’éprouvette est équipée de jauges j1, j2 et j3 permettant de mesurer les trois déformations principales ε1, ε2, ε3, en variant la densité de force q , on remarque que :
- Le comportement est réversible (élasticité) - ε1 et σ1, sont proportionnelles (linearité) et sont de meme signe. - ε2 et ε3 égaux (isotropie), proportionnelle à σ1 (linéarité) et lui sont de signe opposé. Les deformation transversale ε2 and ε3 sont également proportionnelles à ε1 et lui sont de
signe opposé.. On peut écrire alors:
E1
1 =εσ ;
1
3
1
2εε
−=εε
−=ν
ce qui donne
E1
1σ
=ε ; 132 Eσ
ν−=ε=ε
La grandeur physique positive E est le module d’Young. Il est de même dimension que la contrainte. Le coefficient ν est appelé coefficient de Poisson.
x2
x3
3er1er
2er
q e 1r
-q er 1
83
Donc, pour un tenseur de contrainte de Cauchy σ dont la matrice représentative est
dans le repère ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡σ=σ
000000001
R )e,e,e,O(R 321rrr
= , correspond dans le cas de l’élasticité
linéaire isotrope un tenseur de déformation ε de matrice représentative dans le même repère :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ν−ν−
σ=ε
0000001
E1
R
Le matériau considéré étant élastique linéaire isotrope. La relation établie dans le repère R demeure valable dans tout repère orthonormé direct R'.
Si alors ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡σ=σ
000000001
'R⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ν−ν−
σ=ε
0000001
E1
'R et on a aussi:
si alors ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡σ=σ
00000000
2'R⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ν−
ν−σ
=ε00
01000
E2
'R
et
si alors ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σ=σ
3
'R
00000000
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ν−
ν−σ
=ε1000000
E3
'R
Si l’on considère maintenant le cas général d’un matériau élastique linéaire isotrope et
plaçons nous dans le repère )j,j,j,P(R 321trrr
=σ des directions principales de contraintes au point Pt à l’instant t. On a :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σ+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡σ+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡σ=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σσ
σ=σ σ
3
2
1
3
2
1
R00
000000
00000000
00000000
000000
Le comportement est linéaire, alors :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ν−
ν−σ
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ν−
ν−σ
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ν−ν−
σ=ε σ
1000000
E00
01000
E00
00001
E321
R
Donc
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σ+σν−σσ+σν−σ
σ+σν−σ=ε σ
)(000)(000)(
E1
213
312
321
R
84
Les directions principales de ε sont les mêmes que σ, les déformations principales sont :
[ ]
[ ]
[ ]⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
σ+σν−σ=ε
σ+σν−σ=ε
σ+σν−σ=ε
)(E1
)(E1
)(E1
2133
3122
3211
ou en introduisant 321R σ+σ+σ=σ=σ σtr tr :
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
σν+
+σν
−=ε
σν+
+σν
−=ε
σν+
+σν
−=ε
σ
σ
σ
3R3
2R2
1R1
E1
E
E1
E
E1
E
tr
tr
tr
Donc, dans )j,j,j,P(R 321t
rrr=σ
σσσν+
+σν
−=ε RRR σE
1δE
tr
On considère maintenat σR la matrice de σ dans )e,e,e,O(R 321rrr
= et Q la matrice de
passage de Rσ à R (Qij=cos ). Ainsi )e,j( ji
∧rr
QQ Rt
R σσ=σ and QQ Rt
R σε=ε et donc
QσQE
1QQE
QσE
1δE
Q Rtt
RRRt
R tr tr σσσσν+
+σν
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ν+
+σν
−=ε
Ainsi
RRR σE
1δE
tr ν++σ
ν−=ε
Cette relation est vrai quleque soit le repère R et nous avons la relation tensorielle :
σE
1δE
tr ν++σ
ν−=ε ou ijijij σ
E1δ
E tr ν+
+σν
−=ε
Remarques - Cette dernière relation montre que les distorsions γij = 2εij (i, j ≠ i) sont
proportionnelles aux contraintes de cisaillements. On introduit le module de cisaillement de Coulomb G définie par:
85
)1(2
EGν+
=
et on a:
G
ijij
σ=γ pour (i, j ≠ i)∈1,2,3
- mv σE
)21(3σE
1E3σ
E1δ
E tr tr tr trtr ννσννσνεθ −
=+
+−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
+−==
La dilatation volumique est proportionnelle à la contrainte moyenne σm. On introduit le module de compressibilité :
)21(3
EKν−
=
et on a
Kσm
v =θ
- En introduisant le déviateur des contraintes sij et le déviateur de déformation eij, on obtient :
[ ] sE
1σE
)21(sσE
1σE3σ
E1δ
Ee
3 mmmv νδνδνννσνδ
θ ++
−=+
++−=
++−=+ tr
Ainsi
mv σ
E)21(
3 νθ −
= et sE
1e ν+=
ou encore
Kσm
v =θ et sG21e =
2-2 Approche en contrainte Dans cette section nous allons exprimer le tenseur de contraintes de Cauchy en function
du tenseur linéarisé des petites déformations ε. Le matériau considéré étant élastique linéaire. Il y’a une relation biunivoque entre ε et σ.
Il existe alors un tenseur du 4ème ordre A, appelé aussi tenseur d’élasticité tel que :
σ = A : ε En notation indicielle nous avons:
σij = Aijkl εkl Le matériau est isotrope, et donc A l’est aussi. A prend alors la forme suivante:
Aijkl = λ δij δkl + µ1 δik δjl + µ2 δil δjk
86
Donc σij = (λ δij δkl + µ1 δik δjl + µ2 δil δjk) εkl
= λ εkk δij + µ1 εij +µ2 εij
= λ εkk δij + (µ1+µ2) εij En introduisant 2µ = µ1+µ2 on conclue :
σij = λ εkk δij + 2µ εij
ou σ = λ tr ε δ + 2µ ε
Le sgrandeurs physiques λ et µ sont les Modules de Lamé. Remarques: - Pour i, j ≠ i , nous avons σij = 2µ εij , alors µ = G. - tr σ = 3σm alors
3σm = tr [λ tr ε δ + 2µ ε] = (3λ + 2µ) tr ε
VV)23( ∆
µ+λ=
D’où µλθσ
32K
v
m +==
- et sσσ m +δ= e3
v += δθ
ε , then
e2)32(e
32sσ v
vvm µδθµλδ
θµδλθδ ++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++=+
Donc vm )32(σ θµλ += et e2s µ=
- G = µ et )1(2
EGν+
= alors )1(2
Eν+
=µ
)21(3
EKν−
= et µ+λ=32K donc
)21(3E
32
ν−=µ+λ ce qui implique :
)21)(1(E
ν−ν+ν
=λ et )1(2
Eν+
=µ
D’autre part, on peut exprimer E et ν en fonction de λ et µ. Alors :
µµ+λ
µ+λ=
23E et )(2 µ+λ
λ=ν
87
3. Viscous fluid
3.1. Newtonian and non Newtonian viscous fluid Experience indicates that a fluid at rest or in uniform flow can not sustain a shear stress.
Hence, in a fluid at rest, or in uniform flow, the maximum shear stress magnitude is zero, and the stress is purely hydrostatic state of stress:
σ = σr = -p δ
If this fluid is in motion, viscous stresses σv will be superposed to the rest stresses.
These viscous stresses are function of the rate strain tensor D and we have:
σ = σr + σv
σ = -p δ + F(D)
where F is a tensorial function verifying F(0)=0. To illustrate this purpose, we will consider the Couette rheometer test.
This rehometer, used to measure fluid viscosity, contains two coaxial cylinders: one is
hollow and fixed, and the other is moving. The viscous fluid occupies the empty space between the two cylinders. The moving part of the rehometer is animated with a rotation motion and the couple C and the angular velocity ω are measured. The fluid is Newtonian if we have a linear relation between C and ω. His mechanical viscous properties don’t depend on the strain rate and on the time.
If we keep the angular velocity constant and we observe a decrease of the couple C with
time, the fluid viscosity is then a function of time, and the sheared material becomes progressively more fluid. A such fluid is called thixotropic if it recuperates its initial mechanical properties after a long rest, and partially thixotropic if it dose not recuperate them entirely.
z C,ω
Moving cylinder
Viscous fluid Fixed cylinder
O
88
If for a fixed ω, C increase, the viscosity is then increase with time and the fluid becomes thicker. A such material is said anti-thixotropic if it recuperates all its mechanical viscous properties after a long rest time, and partially anti-thixotropic if it recuperates only a part of them.
3.2. Newtonian viscous fluid For a viscous Newtonian fluid, there is a linear isotropic relationship between σv and D:
σv= A : D
where A is a fourth order isotropic tensor.
As we done for linear isotropic elasticity, we can replace σ by σv and ε by D:
σv= ξ tr D δ + 2η D
and then
σ= (-p +ξ tr D) δ + 2η D where ξ and η are two parameters characterizing the viscosity of the fluid. ξ is the volume dynamic viscosity, and η is the shear dynamic viscosity.
If we consider the deviatoric tensors of stress s and rate strain D'. We consider also the mean pressure m-σp = .
s p +δ−=σ and 'D3DD +δ=
tr
Then
'D2D32p
)'D3DD(2)Dp(
D2)Dp(s p
η+δ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ η+ξ+−=
+δ=η+δξ+−=
η+δξ+−=+δ−
tr
tr tr
tr
Then we obtain the Navier Poisson Law of a Newtonian fluid:
⎩⎨⎧
η=κ−='D2s
Dpp tr
where η+ξ=κ32 is the bulk viscosity.
By considering these equations, the mean pressure p equals the thermodynamics pressure p if and only if one of the following two conditions is satisfied:
0D =tr or the Stokes condition 032
=η+ξ=κ .
The first condition is assured in incompressible fluid ( 0vdivD ==r tr ). The second
condition under which pp = is called the Stokes condition namely 032
=η+ξ . To see its
89
significance, we note that is the contribution to the mean pressure due to volume viscosity (or bulk viscosity) in addition to the thermodynamic pressure p.
Dtr κ−
The significance of the bulk viscosity appears further when we calculate the dissipation
power per unit volume. First we calculate the stress power per unit volume:
ijij2
kkkkij 'D'D2)D(DpDij η+κ+−=σ
The term dtdvp1
dtdp
dtd1pvdivpDp kk ρ−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
ρ−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ρρ
−−=−=−r , where
ρ=
1v is
the specific volume, may be positive or negative and can therefore represent a recoverable contribution to the elastic internal energy. This part may represent recoverable power not contributing to the internal entropy production, while the remaining terms are assumed to be always dissipative.
The dissipation power 2WD is therefore defined as :
ijij2
kkD 'D'D2)D(W2 ηκ += Nonnegative dissipation for arbitrary Dij is required by the second Law of
thermodynamic. Hence:
0≥η and 0≥κ or η−≥ξ32
Since 2WD is nonnegative, this part of the stress power contribute to an increase of the kinetic energy of the system. The dissipative potential WD as a function of the Dij may be used to express the constitutive equation in the form:
ij
Dvij D
W∂∂
=σ
where and are the recoverable stress and the dissipative stress
. ij
rij pδ−=σ ijij
vij pδ+σ=σ r
ijσvijσ
If the bulk viscosity vanishes ( 032
=η+ξ=κ ), the first term of WD ( )
vanishes and the volume change is non dissipative, the entire dissipation being given by the last term involving the deviatoric or shape-change rate of deformation.
2kk )D(κ
ijij 'D'D2η
For flow analyses, we usually make the Stokes condition assumption, then η−=ξ32
and the constitutive equation reduced to:
ijijkkijij D2D32p η+δη−δ−=σ
3.3. Navier-Stokes equations for viscous fluid The constitutive equations for a Newtonian fluid is
( ) ijijkkij D2Dp η+δξ+−=σ
90
If we consider ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂∂
= i
j
j
iij x
vxv
21D , the constitutive equations become:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂∂
η+δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ξ+−=σ i
j
j
iij
k
kij x
vxv
xv
p
Let's consider now the equations of motion
iij
ij bx
ργ=ρ+∂
σ∂
and by injecting the last form of the constitutive equation in this equation of motion, we obtain:
iii
j
j
iij
k
k
jb
xv
xv
xv
px
ργ=ρ+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂∂
η+δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ξ+−∂∂
By remarking that i
ijj x
.x ∂
∂=δ
∂∂ ;
ij
j2
ki
k2
xxv
xxv
∂∂
∂=
∂∂∂
we obtain the Navier-Stokes
equations
iijj
i2
k
k
iib
xxv
xv
x)(
xp
ργ=ρ+∂∂
∂η+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
η+ξ+∂∂
−
which can be write in the general form as
γρ=ρ+∆η+η+ξ+−rrrr bv)vdiv(grad)()p(grad
where ∆ is the Laplace operator.
For incompressible fluid, the Navier-Stokes equations become:
γρ=ρ+∆η+−rrr bv)p(grad
or
γ=+∆ρη
+ρ
−rrr bv)p(grad1
ρη is called the kinematics' viscosity.
If we consider the vorticity vector vrot21 rr =ω and by remarking that the Laplace operator
could be decomposed as: rot (rot))div(grad −=∆ , we obtain the following form of the Navier-Stokes equations:
γρ=ρ+ωη−η+ξ+−rrrr brot2)vdiv(grad)2()p(grad
and for incompressibility ( ): 0vdiv =
r
γ=+ωρη
−ρ
−rrr
brot2)p(grad1
91
For compressible fluid with no bulk viscosity ( η−=ξ32 ) we have:
γ=+∆ρη
+ρ
η+
ρ−
rrrr bv)vdiv(grad3
)p(grad1
For perfect fluid (incompressible and non viscous), we obtain a simple form of Navier-Stokes equations:
γ=+ρ
−rr
b)p(grad1
The all y-components and y-derivatives vanish, and we have for steady incompressible
plane flow:
As an example of an exact solution of the Navier-Stokes equations, for incompressible fluid, consider the steady plane flow between two parallel plates of infinite extent parallel to the xy-plane. Let's the xz-plane be parallel to the plane of flow, and let the only body forces be gravity in the negative z direction
- Continuity : or 0vdiv =r 0
zv
xv zx =
∂∂
+∂
∂.
- Navier-Stokes equations
zv
vx
vv
zv
xv
xp1 x
zx
x2x
2
2x
2
∂∂
+∂
∂=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
ρη
+∂∂
ρ−
zvv
xvvg
zv
xv
zp1 z
zz
x2z
2
2z
2
∂∂
+∂
∂=−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
ρη
+∂∂
ρ−
For laminar flow between parallel plates, we assume vz = 0. Then the continuity implies
0x
vx =∂
∂. Hence vx is independent of x. The Navier-Stokes equations become:
0zv
xp1
2x
2=
∂∂
ρη
+∂∂
ρ− and 0g
zp1
=−∂∂
ρ−
Hence )x(fgzp 1+−= ρ where f1(x) is an arbitrary function of x equal to the pressure distribution on the lower plate. Then:
)x('fzv
12x
2=
∂∂
η
Hence
)x(fz)x(fz)x('f21v 32
21x ++=η
where f2(x) and f3(x) are arbitrary functions of x.
H z
U
x
92
If The lower plate is stationary, then the boundary condition for a viscous fluid requires vx=0 at z=0, whence f3(x)=0. Then
0z)x('fz)x(''f21
xv
22
1x =+=
∂∂
η
Hence for all x and z which implies that and =0. Whence:
)x('f2)x(''fz 21 −= 0)x(''f 1 = )x('f 2
311 CxC)x(f += and 22 C)x(f = Then
212
x zCC2zv +=η
Since xpC1 ∂
∂= and
0z
x2 z
vC
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂η= , it follows that the pressure gradient is
independent of x and so is the wall shear stress. If the upper plate is moving to the right at a speed U, then the boundary condition at
z=H is vx=U, whence:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−η+=η 1
21
2x C
2HU
HzC
2zv
where xpC1 ∂
∂= remains undetermined. If the pressure at two points separated by horizontal
distance ∆x can be measured, then xpC1 ∆
∆= .
We can determine D and σ.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
η−+
η
η−+
η=
00C2H
HUzC
000
C2H
HUzC00
21D
11
11
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−η+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−
η+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
=σ
p0HU
2HzC
0p0HU
2HzC0p
21
1
1
The stress vector nσr on the surface with normal vector 3en rr
= of the plane z=0 is:
113n e2HCep rrr
−−=σ
93
U
gradient in the x-direction, a negative quantity for flow in the positive direction. Plane Poiseuille flow could take the following form:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−=η22
x 2Hz
2H
xp
21v
Hagen- Poiseuille flow in a horizontal cylinder of radius R results from comparable solution of the equations in cylindrical coordinates. The result is
( )22z rR
xp
41v −
∂∂
−=η
Two special cases are interest. In plane Couette flow, the horizontal pressure gradient is zero. With C1=0:
Plane Couette flow: zHUvx =
Giving a linear distribution of velocity. In plane Poiseuille flow, the speed of the
upper plate is zero. With U=0, the parabolic
velocity distribution is symmetric about 2Hz =
and is given by:
Plane Poiseuille flow: ( )Hzz2C
v 21x −
η=
in which xpC1 ∂
∂= is the constant pressure
H z
x
0xp
<∂∂
H z 0
xp
=∂∂
x
94
Références
• Frederick, D., Chang, T.S., “Continuum Mechanics”, Scientific Publishers, 1972. • Malvern, L.E., “Introduction to Mechanics of a Continuous Medium”, Prentice Hall,
1997. • Mase, G.E., “Continuum Mechanics”, Schaum's outlines, Mc Graw Hills, 1970. • Royis, P., "Mécanique des milieux continues", Cours de l'ENTPE, 2001.
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