cours - integrales doubles
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7/18/2019 Cours - Integrales Doubles
http://slidepdf.com/reader/full/cours-integrales-doubles 1/5
c Christophe Bertault - MPSI
Intégrales doubles
Les rĂ©sultats de ce chapitre seront tous Ă©noncĂ©s sans dĂ©monstration aucune. La construction de lâintĂ©grale double notammentsera admise. Le fait est que nous nâavons pas Ă notre disposition les thĂ©orĂšmes nĂ©cessaires Ă cette construction ; de plus nousmanquons de temps.
Dans tout ce chapitre, a,b,c, d sont des réels tels que a b et c d.
1 Intégrale double sur un rectangle
La construction de lâintĂ©grale double sur un rectangle [a, b] Ă [c, d] ressemble de prĂšs Ă la construction de lâintĂ©grale dâunefonction continue par morceaux sur un segment. Pour votre culture, signalons rapidement les Ă©tapes de cette construction.
⹠On commence par définir la notion de fonction en escalier sur [a, b]à [c, d]. Un découpage de [a, b]à [c, d] en petits rectanglesdisjoints de taille quelconque étant donné, une fonction en escalier sur [a, b] à [c, d] est alors par définition constante surchaque petit rectangle ouvert.
x y
z
[a, b] [c, d]
DĂ©coupage de [a, b] Ă [c, d]en petits rectangles disjoints.
x y
z
Fonction en escaliersur [a, b] Ă [c, d]
âą On dĂ©finit alors la notion dâintĂ©grale dâune fonction en escalier sur [a, b] Ă [c, d] ; au lieu de sommer des aires de petitsrectangles, on somme ici des volumes de petits parallĂ©lĂ©pipĂšdes. On vĂ©rifie que lâintĂ©grale ainsi dĂ©finie est linĂ©aire, positive. . .
PrĂ©cisĂ©ment, lâintĂ©grale de la fonction constante Ă©gale Ă 1 sur [a, b] Ă [c, d] est par dĂ©finition Ă©gale au volume du parallĂ©-lĂ©pipĂšde rectangle de base [a, b] Ă [c, d] et de hauteur 1 :
[a,b]Ă[c,d]
dx dy = (b â a)(d â c). Plus gĂ©nĂ©ralement, les
intĂ©grales doubles sâinterprĂštent comme des volumes (algĂ©briques).
⹠On définit ensuite la notion de fonction continue par morceaux sur [a, b] à [c, d]. Un découpage de [a, b] à [c, d] en petitsrectangles disjoints de taille quelconque étant donné, une fonction continue par morceaux sur [a, b] à [c, d] est alors pardéfinition continue sur chaque petit rectangle ouvert, prolongeable par continuité sur chaque petit rectangle fermé.
âą On montre alors quâon peut approximer toute fonction continue par morceaux sur [a, b]Ă [c, d] par des fonctions en escalieraussi prĂ©cisĂ©ment que nĂ©cessaire. Il faut ici utiliser un thĂ©orĂšme de Heine pour les fonctions de deux variables, issu dâunthĂ©orĂšme de Bolzano-Weierstrass pour les suites Ă valeurs dans R2.
âą Ce thĂ©orĂšme dâapproximation permet alors une dĂ©finition complĂšte de la notion dâintĂ©grale dâune fonction continue parmorceaux sur [a, b] Ă [c, d]. On montre Ă©galement que lâintĂ©grale ainsi dĂ©finie est linĂ©aire, positive. . .
Cela dit, dans ce chapitre, nous nous contenterons dâĂ©tudier les intĂ©grales doubles de fonctions continues â conformĂ©mentau programme.
1
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ThĂ©orĂšme (IntĂ©grale double sur un rectangle) On peut associer Ă toute fonction f â C
[a, b] Ă [c, d],R
un réel noté
[a,b]Ă[c,d]
f ou
[a,b]Ă[c,d]
f (x, y) dx dy jouissant des propriĂ©tĂ©s suivantes ; pour toutes fonctions f, g â C
[a, b]Ă [c, d], R
:
âą LinĂ©aritĂ© : âλ, ” â R,
[a,b]Ă[c,d]
(λf + ”g) = λ
[a,b]Ă[c,d]
f + ”
[a,b]Ă[c,d]
g.
⹠Positivité : Si f 0, alors
[a,b]Ă[c,d]
f 0. Croissance : Si f g, alors
[a,b]Ă[c,d]
f
[a,b]Ă[c,d]
g.
⹠Continuité :
[a,b]Ă[c,d]
f
[a,b]Ă[c,d]
|f |.
⹠ThéorÚme de Fubini :
[a,b]Ă[c,d]
f =
b
a
d
c
f (x, y) dy
dx =
d
c
b
a
f (x, y) dx
dy.
âą AdditivitĂ© par rapport au domaine dâintĂ©gration : Si u â [a, b] et v â [c, d] :
[a,b]Ă[c,d]
f =
[a,u]Ă[c,d]
f +
[u,b]Ă[c,d]
f et
[a,b]Ă[c,d]
f =
[a,b]Ă[c,v]
f +
[a,b]Ă[c,v]
f .
Explication
âą La propriĂ©tĂ© dâadditivitĂ© par rapport au domaine dâintĂ©gration est bien sĂ»r lâanalogue Ă deux variables de la relation deChasles.
âą Le thĂ©orĂšme de Fubini sous-entend, pour avoir un sens, que les applications x ââ d
c
f (x, y) dy et y ââ b
a
f (x, y) dx
définies sur [a, b] et [c, d] respectivement sont continues.
En pratique La propriĂ©tĂ© la plus importante pour le calcul effectif des intĂ©grales doubles est le thĂ©orĂšme de Fubiniselon lequel toute intĂ©grale double nâest quâun empilement de deux intĂ©grales simples.
Exemple
[0,1]Ă[0,2Ï]
(x + sin y) dx dy = Ï.
En effet Nous allons calculer cette intégrale de deux façons pour illustrer la validité du théorÚme de Fubini.
[0,1]Ă[0,2Ï]
(x + sin y) dx dy Fubini
=
1
0
2Ï
0
(x + sin y) dy
dx =
1
0
xy â cos y y=2Ï
y=0 dx =
1
0
2Ïx dx = Ï
et
[0,1]Ă[0,2Ï]
(x + sin y) dx dy Fubini
=
2Ï
0
1
0
(x + sin y) dx
dy =
2Ï
0
1
2 + sin y
dy = Ï.
Exemple Soient Ï â C
[a, b], R
et Ï â C
[c, d], R
. On pose, pour tout (x, y) â [a, b] Ă [c, d] : f (x, y) = Ï(x)Ï(y). Nous
savons que f â C
[a, b] Ă [c, d], R
. Alors :
[a,b]Ă[c,d]
f =
[a,b]Ă[c,d]
Ï(x)Ï(y) dx dy =
b
a
Ï
d
c
Ï
.
En effet
[a,b]Ă[c,d]
f =
[a,b]Ă[c,d]
Ï(x)Ï(y) dx dy Fubini
=
b
a
d
c
Ï(x)Ï(y) dy
dx =
Ï(x) ne dĂ©pend pas de y
b
a
Ï(x)
d
c
Ï(y) dy
dx
=
d
c
Ï(y) dy
scalaire
b
a
Ï(x)dx =
b
a
Ï
d
c
Ï
.
Exemple
1
0
x â 1
ln x dx = ln 2.
En effet
âą La fonction x ââ x â 1
ln x est continue sur ]0, 1[, prolongeable par continuité en 0 par la valeur 0 car
limxâ0
x
â1
ln x = 0 et prolongeable Ă©galement en 1 par la valeur 1 car ln x âŒxâ1 (x â 1). Cela justifie donc
lâexistence de lâintĂ©grale
1
0
x â 1
ln x dx.
2
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âą Nous allons calculer cette intĂ©grale au moyen dâune intĂ©grale double qui en apparence nâa aucun rapportavec elle. Soit Δ â ]0, 1]. La fonction (x, y) ââ xy = ey lnx est clairement continue sur [Δ, 1] Ă [0, 1].
[Δ,1]Ă[0,1]
xy dx dy Fubini
=
1
Δ
1
0
ey lnx dy
dx =
1
Δ
ey ln x
ln x
y=1
y=0
dx =
1
Δ
x â 1
ln x dx
Fubini=
1
0
1
Δ
xy dx
dy =
1
0
xy+1
y + 1
x=1
x=Δ
dy =
1
0
dy
y + 1 â
1
0
Δy+1
y + 1 dy
=
ln(y + 1) y=1
y=0
â
1
0
Δy+1
y + 1
dy = ln 2
â
1
0
Δy+1
y + 1
dy.
Nous venons donc de montrer la formule :
1
Δ
x â 1
ln x dx = ln 2 â
1
0
Δy+1
y + 1 dy.
âą Or : 0
1
0
Δy+1
y + 1 dy Δ
1
0
dy
y + 1 = Δ ln 2. Via le théorÚme des gendarmes : lim
Δâ0
1
0
Δy+1
y + 1 dy = 0,
ce qui nous donne aussitÎt le résultat souhaité.
2 Intégrales doubles sur un domaine borné
défini par des conditions simples
Pour le moment, nous avons seulement dĂ©fini lâintĂ©grale double dâune fonction de deux variables sur un rectangle. Mais enrĂ©alitĂ© on peut intĂ©grer une telle fonction sur bien dâautres domaines : disques, ellipses, triangles, patates gentilles, etc. Notreobjectif nâest pas ici de donner une dĂ©finition prĂ©cise des domaines autorisĂ©s : la dĂ©finition suivante, quoique restreinte, nousfournira dĂ©jĂ un lot suffisant dâexercices.
ThĂ©orĂšme (IntĂ©grale double sur un domaine dĂ©fini par des conditions simples) Soient Ï, Ï â C
[a, b],R
telles que
Ï Ï. On note D lâensemble
(x, y) â R2/ a x b et Ï(x) y Ï(x)
.
On peut associer Ă toute fonction f â C(D, R) un rĂ©el notĂ©
Df ou
Df (x, y) dx dy jouissant des propriétés suivantes ;
pour toutes fonctions f , g â C(D, R) :
âą LinĂ©aritĂ© : âλ, ” â R,
D(λf + ”g) = λ
D f + ”
D g.
⹠Positivité : Si f 0, alors
Df 0. Croissance : Si f g, alors
Df
Dg.
⹠Continuité :
Df
D|f |.
⹠ThéorÚme de Fubini :
Df =
b
a
Ï(x)
Ï(x)
f (x, y) dy
dx.
âą AdditivitĂ© par rapport au domaine dâintĂ©gration : Si D est dĂ©composĂ© en deux domaines disjoints E et F sur
lesquels lâintĂ©grale double de f est dĂ©finie :
Df =
Ef +
F f .
On dispose dâune dĂ©finition et de rĂ©sultats analogues dans le cas oĂč Ï, Ï â C
[c, d], R
avec Ï Ï et oĂč D est lâensemble
(x, y) â R2/ c y d et Ï(y) x Ï(y)
.
En pratique La propriĂ©tĂ© la plus importante pour le calcul effectif des intĂ©grales doubles est le thĂ©orĂšme de Fubiniselon lequel toute intĂ©grale double nâest quâun empilement de deux intĂ©grales simples.
Exemple
Soit D =
(x, y) â R2/ x2 + y2
1
le « disque trigonométrique ».
Alors :
D
x dx dy = 0.
Ce résultat paraßt naturel sur la figure ci-contre, car la portion « positive » du volumeconsidéré est annulée exactement par sa portion « négative ».
x
y
z
z
D
z = x
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En effet Tout dâabord : D =
(x, y) â R2/ â 1 y 1 et â
1 â y2 x
1 â y2
. Du coup :
Dx dx dy
Fubini=
1
â1
â 1ây2
ââ
1ây2x dx
dy =
1
â1
0 dx = 0 par paritĂ© de la fonction x ââ x.
Exemple SoitD
=
(x, y)â
R2/ 0 x 1 et 0 y 1
âx
. Alors :
D(x+2y) dx dy =
1
2.
D
z = x + 2y
xy
z
En effet
D(x+2y) dx dy
Fubini=
1
0
1âx
0
(x + 2y) dy
dx =
1
0
xy+y2 y=1âxy=0
dx =
1
0
(1âx) dx =
â (1 â x)2
2
x=1
x=0
= 1
2.
3 Changement de variables
Il existe une formule générale du changement de variables pour les intégrales doubles, mais elle ne figure pas à notre pro-gramme. Cela dit, pour vous aider à comprendre les deux cas particuliers étudiés ci-aprÚs, énonçons sans ses hypothÚses précisescette formule :
Ï(D)
f (x, y) dx dy =
Df
Ï(u, v)
J Ï(u, v)
du dv.
Dans cette formule, D est une partie de R2. Quant Ă Ï, câest une application de D dans R2 et si Ï(u, v) =
x(u, v), y(u, v)
,
alors par dĂ©finition le jacobien J Ï de Ï est le dĂ©terminant : J Ï =
âx
âu
âx
âv
ây
âu
ây
âv
. Enfin, f est une application de Ï(D) dans R.
Notez bien que, dans la formule du changement de variables,
J Ï
est la valeur absolue du dĂ©terminant J Ï et non ce dĂ©terminantlui-mĂȘme.
Nous ne donnerons quâun seul exemple explicite de changement de variables : celui consistant Ă passer des coordonnĂ©escartĂ©siennes aux coordonnĂ©es polaires.
ThĂ©orĂšme (Changement de variables coordonnĂ©es cartĂ©siennes/coordonnĂ©es polaires) Soient D une partie bornĂ©ede R2 « dĂ©finie par des conditions simples » et f â C(D, R). Alors :
Df (x, y) dx dy =
Ef (r cos Ξ, r sin Ξ) r dr dΞ,
oĂč
E est une partie de R+
ĂR telle que lâapplication (r, Ξ)
ââ(x, y) = (r cos Ξ, r sin Ξ) soit bijective de
E sur
D.
Explication Câest bien la formule gĂ©nĂ©rale du changement de variables, avec Ï : (r, Ξ) ââ (r cos Ξ, r sin Ξ). On a
alors : â(r, Ξ) â E , J Ï(r, Ξ) =
cos Ξ âr sin Ξsin Ξ r cos Ξ
= r, de sorte que :
J Ï(r, Ξ)
= |r| = r car E â R+ Ă R.
Exemple
â
ââeâx
2
dx =â
Ï (intĂ©grale de Gauss ).
En effet Lâastuce de cet exemple consiste Ă Ă©tudier lâintĂ©grale
[âR,R]2eâ(x2+y2) dx dy pour tout R â R+,
puis Ă faire tendre R vers â.
âą Soit R â R+. Alors :
[âR,R]2eâ(x2+y2) dx dy =
[âR,R]2eâx
2
eây2
dx dy Fubini=
R
âReâx
2
dx
2
âŁ.
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âą Or on a lâinclusion : BF (O, R) â [âR, R]2 â BF
O, Râ
2
. La fonction (x, y) ââ eâ(x2+y2) Ă©tantpositive, la propriĂ©tĂ© dâadditivitĂ© par rapport au domaine dâintĂ©gration nous donne alors lâinĂ©galitĂ© :
BF (O,R)
eâ(x2+y2) dx dy
[âR,R]2eâ(x2+y2) dx dy
BF (O,Râ 2)
eâ(x2+y2) dx dy â .
O
R
âą Utilisons Ă prĂ©sent la formule de changement de variables coordonnĂ©es cartĂ©siennes/coordonnĂ©es polaires.Lâapplication (r, Ξ) ââ (r cos Ξ, r sin Ξ) transforme [0, R] Ă [0, 2Ï] en B F (O, R).
BF (O,R)
eâ(x2+y2) dx dy =
[0,R]Ă[0,2Ï]
eâr2 r dr dΞ Fubini=
2Ï
0
dΞ
R
0
reâr2 dr
= 2Ï
â eâr2
2
r=R
r=0
= Ï
1âeâr2
.
Par consĂ©quent : limRââ
BF (O,R)
eâ(x2+y2) dx dy = Ï. De mĂȘme pour limRââ
BF (O,Râ 2)
eâ(x2+y2) dx dy.
âą Finalement, le thĂ©orĂšme des gendarmes appliquĂ© Ă â montre que : limRââ
[0,R]2eâ(x2+y2) dx dy = Ï.
Via âŁ, nous obtenons le rĂ©sultat voulu : limRââ
R
âReâx
2
dx
2
= Ï.
Exemple Soit D =
(x, y) â R2/ y 0 et 1 x2 + y2
4
. Alors :
D
(x + y) dx dy = 14
3 .
En effet Notons E = [1, 2] Ă [0, Ï]. Alors lâapplication (r, Ξ) ââ (r cos Ξ, r sin Ξ) est bijective de E sur D.
D(x + y) dx dy =
[1,2]Ă[0,Ï]
(r cos Ξ + r sin Ξ) r dr dΞ =
2
1
r2 dr
Ï
0
(cos Ξ + sin Ξ) dΞ
=
r3
3
r=2
r=1
Ă
sin Ξ â cos Ξ Ξ=Ï
Ξ=0 =
7
3 Ă 2 =
14
3 .
z
y
x
D
= x + y
5