cours math géométrie4 s5 debba

29
1 4 ) LMD ( :

Upload: abdo-emit

Post on 30-Jan-2016

231 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

Cours Math Géométrie3 S DEBBA

TRANSCRIPT

Page 1: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

1

������� ���� ������– ���� –

��� �������

���� ���� 4 ����� ������ ���� ���� !� "��#�� $������ %������

) ��'�LMD (

����)� ���*+ : �� -.%/�

Page 2: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

2

%���� ��������

����

���� ���� ������ � � �� ���� ���� ���� ����� ����� ������� ���� . ����� ��

���� ��� � � ����� ���� ������ ������:

* ���# �$�� %� �& ������ ' ��t ������ ������� ���� ��� (RtR =)(

) *��+�� ,��R���� *��+� .(

* �� %� �& ������ ������ �.�� ���# �$t /�+��� �.����� ,���R ��������

��#0�t(d Rv

dt=

���

.

* *���� �� ���1�� /�+���� *������ ��� ���# �$�� �& ������ ������R �������

��#0�t (2

2

d Rv

dt=

���

.

������� ������ �&��� �� � � 2�� ����)������( ������� 3���� 4 �� ��#�� ��5�� (

������ �6��. ���� ������ 7��1� ������)*������� �.����� ����.(

� 7#8� /���� ���� ���� %� ���� ��&��� ��� 3�� 9�� �IR �& 3IR �8��& (

������� ������� ��� 4 �� /����� � ����� ,�� ������ ' ���� ����� :���

������ ���� �& %1�� 4 �� ������� �������� . ���� 2����� �� ;� ,�� /�� �� 9�0

�� <������� ����� (������ �0. �& (������ ���� ��5�� ,��� ���� <�������t

x

y

z

R

v

Page 3: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

3

) ���;� =��> �& ��#�� .( ' � ����� � =���� � �& 3�� ���� 4 �� ����� ��

���. �?6� �������.

0���1

�& ���� ����� ���� nIR) nE � .< .� ( /��� %�f 7#8� IIR ⊃ �& nIR

�.��8��� ����� :{ }ItIRtfP n ∈∈= ,)(

������� ��� �.��8��f���� �� f .�@���� ���t���� ,��& .

* ��� � �2=n ���� 3�� ������� �. %��� . ��� � ��3≥n 3�� ������� �. %���

4���.

* /����� ��� � �f ���� � � ���� (����� ���� ���� ���� 3�� %��� (������ f

A ���� ���� ���� 3�� %��� /���+B� B��A � � � (/���+B� B��...

1��

1 .���g 7#8� ����� I �� IR �& IR �& ������ ������� %�� 2IR �������

��

))(,()( tgttf = ������ ��� ����� g ������ ������ f �� tx = � ytg =)( 3���

��& <����� <������ ���� �@��� ������ ������� <���� ����.� ���2IR . � �

�& <������� �. %�� �� %�2IR ��@��� ������ ������� <���� ,0. 3���� ���

����.

2 . �& ������� ���� � C�:����2IR �� ������ :

0),sin,cos()( ⟩= RtRtRtf

Page 4: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

4

�D� �����2E 4�0A� �?�E� 7�& )� .< .� ( '���2 ( )≈2IR.

����IE ⊃2 /����� ����

))(),(()(

: 2

tytxtft

IRIf

=

0���2

����0M �� ���� 2E *��+�� �. %��� )(tOM *��+�� ��� %�F 0OM �����.

%�Ft ��� 0t) ������� ,0.t ,�� %�F ±∞ .( ������ <��� � �M ���� %�F�

0M �&����� �� ��� (0MM ,�� ����� 0 %�F� ����. t ��� 0t) ������� ,0.t

,�� %�F±∞ .( *��+�� <����� �� ,�� ���)(tOM *��+��� <����� ��� %�F�

0OM.

��1�

*��+��)2,()( 2 tttOM = *��+�� ��� %�F )2,1(0 =OM %�F� ����. t ��� 1.

0��� 3

%���/����� �.

)())(),(()(

: 2

tOMtytxtft

IRIf

==

��. /���+B� %��A 3��0t *��+�� ��� � � 0

0 )()(

tt

tOMtOM

− ���� ���� %�� 0tt →

. /�+��� ,��� ������ ' � ��0t *��+0� )(tOM �� ��� #���� dt

tdM )( 0.

/�������))(),(()( tytxtft =� ��������� ����� � � /�����+B� B����A )(txt →

�)(tyt → ��. �����+�� (/���+B� �0��A 0t�AB���� ,��

Page 5: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

5

=

dt

tdy

dt

tdx

dt

tdM )(,

)()( 000

������ =���� �� <���+��� ���� ������ G?���

=

2

0

2

2

0

2

2

0

2 )(,

)()(

dt

tyd

dt

txd

dt

tMd.

�2�� : �AB.�0���H I��(Taylor-Young)

���)())(),(()(

: 2

tOMtytxtft

IRIf

==

,0. ����I ��5�� /���+B� �0��A� ����n ���� ����� C�� 0t �� ���� I ���

%8�Iht ∈+0���� :

0

0)(lim),(

)(

!

)(

)!1(

...)(

!2

)(

!1)()(

0

1

0

11

2

0

22

000

=++

−+

++++=+

−−

h

hh

dt

tfd

n

h

dt

tfd

n

h

dt

tfdh

dt

tdfhtfhtf

n

nn

n

nn εε

0��� 4

���ϕ �� ����� /��� I �& 2IR �� ����:

))(),((: tytxt �ϕ

������� ����)������ <�1���J�� ( �:��1��),( ϕC K� )(ΓC C��6�� �

�� C�+�����I ������ ϕ � t ����� � .)(ΓC ������ ���� )(tϕ ����. t

9���I . �� �� %���)(tx � )(ty �� %1�� �� )(ΓC.

Page 6: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

6

��1�

���[ ]+∞= ,0I �

+

−=

+=

2

2

2

1

1)(

1

2)((

t

tty

t

ttx

� #��� C�:��0� ���� %1�� � 0 � ��A �6�� 1.

%�� ���3 $4 $%�� $���� ����

/����� ���f ������ ���8 �& ������ 0t ������ ��. L� �� 0t8 �& %��� ���

C����� ���. =�� �� <���+� ������ ' . ' �� 2�M� ��8 �� N�?� ���

��. ������ ��0� <�� <���+���0t.

"����� 0���

���f �& ���� ����� nIR O��?� %�8� ,0. /���+B� B��A� �&��� I �� IR

�����0t �� I . �� ���f ��. /���+B� %��A 0t =��� �� ������P� 3�P& ( :

)())((')()( 0000 ttOtttftftf −=−−−

��

0

0

00

)(lim

tt

tt

ttO

=−

(*)

��� � �0)(' 0 ≠tf ������ �. %��� )( 0tf ���. ���� ���� (régulier).

��� � �0)(' 0 =tf ������ �. %��� )( 0tf C �+ ���� ����)C����� (.(stationnaire)

�� � � N�?��)( 0tf ������� ���. ���� ���� ∆ �& �?�E��� ������� nIR 4 ��

3������:

))((')( 000 tttftfy −+=

Page 7: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

7

������� �� 4 �� ������� 3��)( 0tf ������� �> *��+�� '�8�� �& )(' 0tf . �� ���

�AB��� (*) ����� �� �&����� ��)(tf���� �� f ���� ∆ �A G?�� ��&�����

�����t ���� �0��� 0tt − . ������� ,�� =���� � ��∆����� G������ f ��

%8�0tt − ����� �> /�+� ��8� �P& �������� )(' 0tf G��� ��8� Q&��

�����f %8� �� 0tt − *��+�� G����� � %��� )(' 0tf ��� *��+� )38�� ��.(

C �+�� ����� ���� �& G����� ������ :���f �& ���� ����� nIR B��A� �&���

/���+B�p C�� )2( ≥p O��?� %�8� ,0.I �� IR ����� 0t �� I . �� N�?��

0)(...)(' 0

)1(

0 === −tftf

p � 0)( 0

)( ≠tfp

������� ���� %�� :��.f ����� ∆ %8� �� 0tt =� ������ ,���� G�����

��

�� ���f ��. /���+B� %��A 0t =��� �� ������P� 3�P& (:

)()()( 0

)()(

00 tftttfypp−+=

��0�� �� ��� /��� ���+ �� $�B� � �� ��R�� ����H �������� ����� I�� :

0

0)(lim

),()(!

)()( 0

)(

00

=+=−+

h

h

hO

hOtfp

htfhtf p

p

ppp

%�� ���3 $4 ���� �2

%���� �������� ���

���f �& ���� ����� 2IR��� B� /���+B� B��A� �&��� ' O��?� %�8� ,0. I

��IR ����� 0t �� I .

Page 8: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

8

?��� �� N�:

<���+�f ��. 0t ���� ��0� ������ �> p K�� ����� �> ���� ��. �@6�

0)( 0

)( ≠tfp.

<���+���0)( 0

)'( ≠tfq �� pq ≥' ��0� 4#��� 5 )( 0

)(tf

p . ����q ��. �@6�

4��� �� ���� ����p K�� )( 0

)(tf

p 4#�� 5 )( 0

)(tf

q �� :��. (

��M �0���� ��.��+��)������ �>� .( ����

=

=

)()(

)()((

0

)(

0

)(

tfty

tftx

q

p

�� ����

))(),(( tytxG��R� �� ����.� ���& ��M �0���� . ������ �� M� � ��)( 0tf �����

�AB. �� (C��8 %6����0�H ,0. %6�� I�� :

0

0)(lim,

0

0)(lim

),(!

)(!

)()(

21

2100

=

=

+++=−+

h

h

h

h

hhxq

hhhx

p

htfhtf q

qp

p

εε

εε

3��� *��+�� ������ �P& )( 0 htf + ��8�� G��S� ),( yx �� ������� ,0.:

)

(!

)(!

2

1

+=

+=

hhxq

h

hhxp

h

qq

pp

εη

εξ

/5#

���� ����� 2: EIf → �� It ∈ � ���� Γ� ∞∈ Cf ���� p ��. �@6�

4��� �� ���� ����1 K�� 0)( 0

)( ≠tfp� q �� ����� ���� ���� ��. �@6� p

K��))(),(( )()( tftf qp ��M �0���� ) ��8� N�?��p � q( C��+�� (ξ �� �

C��+�ph��+�� Cη C��+� �� � q

h %8� �� h����� �>� �?6�� ���8 �& .

Page 9: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

9

������ <5���� :��. ����:

-��)� ����� :p � 4��& q C��+� ���� (�8�# ξC��+� �� � h C��+�� η

���8 �& ������ �� ��� � ��8�� � 0t G����� ,�� ������� ���� =��8 ,0. ��

∆.

��1�� ����� : p 4��&q C��+� �� %� :��. ���� (4��& ξ � η �� �

C��+�h ���� �P& �������� f G����� ��� ∆ ������ �& )( 0tf

�1�� ����� 1� : p �8�#q ����+� ���� :��. ���� (�8�# ξ � η �� ���8��

%8�h�@6 .���1�� ����� �� �8��� ���� ���� 3�� :��. %���.

f(t)

f(t0)

Y=fq(t0)

X=fp(t0)

f(t)

f(t0)

Y=fq(t0)

X=fp(t0)

Page 10: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

10

������ ����� : p �8�#q C��+� ���� :��. ���� (4��& ξ ����� ��8��

C��+�η C��+� �� h %8� �� h�@6 . ����� �� �8��� ���� ���� 3�� :��. %���

�%�;.

6���5�� 7��.��

���2: EIf → K� )( 2

2 IRE ≅ ����� )G�A ( ����Γ '���� It ∈0

)( 0 ±∞=t� ),,( jiOR �� G��8��� ������ �0�� 2E( ),( yx <����� f �& IR.

�. %���à %�F� ����. (�:��� 5 *��& %��� ���� t ��� 0t � � ��&� � �

0

)(lim

tt

tf

∞+=,�� ��� � �

0

22 )()(

tt

tytx

+∞→+ ��� � � �6�M �?6��

+∞→))(( tx �� +∞→))(( ty.

%��� ���P&à %�F� ����. �:���5 *�& %�� t ��� 0t %�+� ������ ' �&� ()(

)(

tx

ty.

1. ��� � �0

)(

)(lim

tt

tx

ty

±∞= �P& Γ '�8�� �& Q&��� *�& %�� oy.

f(t)

f(t0) Y=f

q(t0)

X=fp(t0)

y

x o

Γ

0tt →

Page 11: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

11

��1�

( )

−−=

2

2

)1(,

1)(),(

t

t

t

ttytx (

1

)(

)(lim

±∞=

t

tx

ty

'�5�

��� � � ±∞→)(tx � 0)( yty → 4 �� ������� �P& 3������0yy = =����� �M �

�����0�Γ.

��� � �±∞→)(ty � 0)( xtx → 3������ 4 �� ������� �P& 0xx = =����� ��M �

�����0�Γ.

��1�

�� *��?�� G��� �����0� �:���B

( )

++==

1

1,)(),()(

3

32

t

ttttytxxf

����+∞→

t

ty 1)(

→∞+ و

+∞→

t

tx )(

�P& 3��� 10 =y�����0� =���� �M � .

y

x o

Γ

y0

y

x o

Γ

x0

y

x o

Γ

y0=1

Page 12: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

12

L� � ���� :1

)(

±∞→

t

ty � 1

2)(

t

tx�P& 3��� 10 =x �����0� =���� �M � Γ.

2. ��� � �0

0)(

)(lim

tt

tx

ty

= '�8�� �& Q&��� ����� ���� ���& ox.

��1�

�� ������ ������ ������� ��� :

( ) ( )tttttytx −+= 223 ,)(),((

�:���B�� ��.��& �..

���� ±∞→

+∞→

t

ty )( و

±∞→

±∞→

t

tx )( ��� 3��� ±∞→

=

t

tx

ty0

)(

)(lim

3. <��� � �

0

*

)(

)(lim

tt

IRatx

ty

∈=

=���0

))()(lim(

tt

taxty

− <��� � �

0

))()(lim(

tt

taxty

±∞=−

y

x o

Γ

x0=2

y

x o

Γ

0tt →

Page 13: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

13

3������ 4 �� ������� '�8�� �& Q&��� *�& %�� ������� �P&axy =.

��1�

� ������ ������ �� :

( ) ( )233,)(),( ttttytx −=.

���� ±∞→

+∞→

t

ty )( و

±∞→

±∞→

t

tx )( ��� 3��� ±∞→

=

t

tx

ty1

)(

)(lim

=���±∞→

±∞=−

t

txty ))()(lim( ������ 3��� à �������� '��8�� �& Q&��� *�& %��

3������ 4 ��xy =.

4. ��� � �

0

*

)(

)(lim

tt

IRatx

ty

∈= �

0

))()(lim(

tt

IRbtaxty

∈=−.

������ �P&à 3������ 4 �� ������� %�� baxy += =���� �M� . ������� ' �&�

�������� ������� � ��� G��� �� =8à /��?�� C���+� ����� =8 � ���

))(()( btaxty +−������� %?�� �� /�& �� ������� % ����� .

y

x o

Γ

y=x

Page 14: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

14

��1�

�����0� �:���B�� *��?�� G��� �� ������

( )

−=

t

t

tttytx

3,

)2(

3)(),(

2

.

�� ��.0→t ��� ±∞→)(ty و ±∞→)(tx.

� �Γ ��� �:���5 *��& %�� 0→t.

����� ���� =��� :0

)(

)(lim

→t

tx

ty

���� ���& (

0

23

)2)(3(lim

2

=−−

t

tt

.

������ 3���à 4 �� ������� '�8�� �& =���� %�� 3������xy 2=.

=��� �1:

0

))(2)(lim(

t

txty �� 4� 0

2

3)

)2(

63_lim(

2

=−

t

ttt

t

������ 3���Γ ������� %�� )∆ ( 3������ 4 ��2

32 += xy%:�� =���� �M .

�������� �M�� � ��� G���à =��� 3��� :

2

3

2

23)

2

3)(2()()(

2

−−

−+=−−=

t

tttxtytϕ

04

7

)2(2

27)(

2

−=

t

t

t

tttϕ

�������Γ ������� /�& �� ∆ ����. +→ 0t �������� Γ �������� <�� �� ∆

����.−→ 0t.

Page 15: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

15

��1�

�����0� �:���B�� *��?�� G����� ������

( )

+

+

+

+=

1

1,

1

1)(),(

2

4

2

3

t

t

t

ttytx.

�� ��.+∞→t ��� +∞→)(ty و +∞→)(tx.

� �Γ%�� ��� �:���5 *��& +∞→t.

����� ���� =��� :+∞→t

tx

ty

)(

)(lim

(

���� ���&

+∞→

≅+

+

t

tt

t

1

1(lim

3

4

(

3���

+∞→

+∞=

t

tx

ty

)(

)(lim

������ 3���à =������ '�8�� �& Q&��� %�� yy'.

y

x o

Γ

2

32 += xy

+→ 0t

Γ

−→ 0t

Page 16: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

16

8��� %����� 3��) .*�����: (��� à �� %1���� �������

)(

)(

ty

tx �� It ∈

������ �. %��� ))(),(( tytxM �� �?.�� �� �8��#� ���� ���� à � � ���&� � �

�8�2),( Ivu ∈ K��

=

=

vu

vyuy

vxux

)()(

)()(

��1�

������ ������ ��� :( ) ( )23 1,3)(),( ttttytx −−=.

�8��#� ���� L�� <��� � � ��:

=���

−=−

−=−

vu

vu

vvvu22

33

11

33

=

=

vu

vyuy

vxux

)()(

)()(

����vu −= 3���

0)3(262

33

23

33

=−=−

−=−−

vvvv

vvvv

�� ����vu ≠ �P& ov ≠

� �032 =−v 3��� 3±=v � � 3∓=u

=��� L� �� ��R��:

)2,0()31,3333()3(

)2,0()31,33)3(()3( 3

−=−+−=−

−=−−=

ϕ

ϕ

Page 17: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

17

�'�����

������� ����� %�8� T0��������� <����� �$��� ,�� '����5� =8 ( �������

������.

1 .] [

−=

−=−

−=−

aaI

tyty

txtx

,

)()(

)()((

à ������� �$���� O %�8��� ,�� T0��� �������� [ [a,0

2 .

=−

−=−

)()(

)()((

tyty

txtx à ������� �$���� 'yy.

3 .

−=−

=−

)()(

)()((

tyty

txtx à ������� �$���� 'xx.

%����� $4 �9� (Changement de paramétrage)

���f ���� ����� 2: IRIf → ��6�� �� ������ �& �@� ���� (kC ��

f /��� %� ϕ �� ���� IIRJ →⊂:ϕ /��� :

*)(JC k∈ϕ

*ϕ %����

*)(1 JC k∈−ϕ

��� ������ %��� (Paramétrage admissible) ��6�� �� kC �� f %� (

/���g �� ���� 2: IRJg → ������ �& �@� �8�� ϕ �� f K�� :

))((

:: 2

tft

IRJfg

ϕ

ϕ

� →

Page 18: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

18

3��: /����� IJ →:ϕ ��6�� �� ������ �& ��@� ��� kC /��� � � :

*)(JC k∈ϕ

*IJ =)(ϕ

* 0)(' ⟩tϕ �� 0)(' ⟨tϕ

%���� /�.��(Abscisse curviligne) :

0��� 5

,0. ���� �06�& ����Γ /��� %� IRIs →: ��6 �� 1C ,0. I K�� :

)(')(': tftsIt =∈∀

K�Γ ������ %1���� � f %8� �� It ∈.

��'�5�

1 .�� ��� ������ /����� ��I ,�� IR �� )(' tft → ,0. ����� I /����� (

IRIs →: � ��&� � � ���� �06�& � �8� �It ∈0K��

duuftsItt

t∫=∈∀0

)(')(:) �� ���� �0��� ��)( 0ts.(

2 . ���� (������ �& #����� L� =��� /�� ����:

)(')(')(')(': 222tytxtftsIt +==∈∀

Page 19: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

19

3 . %������ ������ �@�)������ : (

���J � %�8� ϕ K�� /��� IJ →:ϕ �� ������ �@� f �8� ,����

/���ϕ ,0. ���� J K�� :

* )(1 JC∈ϕ

*ϕ %���� /���

*)(11 JC∈−ϕ.

�� :��. �0.� 0)(' ⟩tϕ �� 0)(' ⟨tϕ.

/����� ���IRIs →: ��� ���� �06�& ϕσ �s=��6 �� /��� � � 1C

,0.J.

����

)('))((')('))((')('')(', uufuususuJu ϕϕϕϕϕϕσ ===∈∀ �

��� � �0)(' ⟩tϕ�� U�����

)()'())((')(')(', ufufuuJu ϕϕϕσ �==∈∀

�P& 3����� �06�& � .

<��� � � ������ G?��0)(' ⟨tϕ ���� σ−���� �06�& � .

0���: ���� s& ,0. ���� �06�Γ � Iba ∈, K�� Aaf =)( � Bbf =)( (

G���� %�� ����)4��8�� %���� (AB,0. à �� 3� #���� )(ABl ������ �����

)()( asbs ��� � � (:

∫=b

adttfABl )(')(

Page 20: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

20

G���� %�� � AB �� Γ G���� %��� ��0���� ����� � � )4��8�� (AB,0. Γ.

��1�

+

−=−

+

−=

2

2

2

2

1

1)(

1

1)((

t

ttty

t

ttx

�$����� G���

−=−

=−

)()(

)()((

tyty

txtx3��� à ������� �$���� 'xx.

���� G��� �� �?� � �Γ %�8��� ,0. [ [+∞,0 ������� �$����� MR� �1 'xx .

�� $�B�)(tx� )(ty %�8��� ,0. /���+B� �0��A [ [+∞,0.

���� ��� 3���:

+

−−=

+=

22

42

22

)1(

41)('

)1(

4)('(

t

ttty

t

ttx

�0 ��� <��@��� %��8 ���:

������� %��Γ 3������ 4 �� ������� 1−=x=���� .

t

x’(t)

x(t)

y’(t)

y(t)

0 25 −

1

+∞

- - - 0

-1

+ + + - -

1 -∞

0

Page 21: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

21

����1−=t � 1=t�8��#� ������ ���� .

��1� 1

���f ������ ������� )G���� ( �&2IR�� ,�����

)1

,1

())(),(()(2

2 −−==

t

t

t

ttytxtf

1. <��@��� %��8 �.�)(tx � )(ty.

2. �� �������� ���M�� �.���� f ��� ���� ���M�� ' �� ������� .

3. �� ��)1,1( −− �8��#� ���� )��.��.(

4. ���������� �� Q+� .

�:�

1. �.��8� � ������{ })1,1 −−= IRD f.

����

22

22

2

)1(

)2()('

)1(

)1()('

−=

+−=

t

ttty

t

ttx

-1 1 x

y

Page 22: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

22

2. <��@��� %��8 U����� 3��� :

%:���� =������ �M�� :

1

2)(

)(lim

=

x

tx

ty

L� � �����

2

)2(2

+

+=−

t

ttxy

3��� ���

1

2

3)2lim(

=−

x

xy

� %:���� =������ �M�� � �

2

32 += xy

������ ��. ������ �� %:���� =������ �M�� �����)5

9,

5

6(

−−.

t

x’(t)

x(t)

y’(t)

y(t)

-∞ -1 0 1 2 +∞

- - -

0

-∞ 0

+∞

-∞

+∞

3

2

0

0

+ + - - +

-∞

2

1−

0 ∞+ +∞

-∞ 4

Page 23: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

23

�8��#��� ������)�?.���� ( � )1,1( −− %8� �� 2

511

+−=t �

2

512

−−=t.

��1� 2

���*

+∈ IRa f ������ �������� )G���� ( �&2IR�� ,�����

))cos1(),sin(())(),(()( tattatytxtf −−==

�� G���� %�� =���0=t ,�� π2=t ������� �� Γ.

�� ��

����S ,0. ������ �06�?�� � Γ.

%8� �� ����

π

2,0t:

( ))(')(')(' 222 tytxtS +=

22 )sin()cos( tataa +−=

[ ]222 sin)cos1( tta +−=

[ ]222 sincoscos21 ttta ++−=

y

x

y=2

1−

)1,1( −−

Page 24: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

24

2sin4)cos1((2( 222 t

ata =−=

���� � �

2sin2)('

tatS =

3���

∫=−=π

π2

0)(')0()2( dttSSSL

282

0cos4

2

2cos4

2sin2

2

0aaadt

taL =+−== ∫

π π

=�0���� � �.

Page 25: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

25

��::!��

!���1: ������ G��� f ��� �V����� :

2(ln )1

xx

x+ b) f(x)= 23 ( 6)x x −a) f(x) =

!���2 : ����à ��� f��� ������ : 3

1

x

te dt

−∫. f(x) = -x +

!���3 : ���a,b,c,d �� IR K�� c≠0� ad-bc≠0 � x

x

ae by

ce d

+=

+ (Γ): %�

(Γ)�� 3� ��� #��$9�6 =��8�� ��� �� ���� �& W ,=��� ������� )� .(

!���4 : �8��� ������ ���� ������ �����0:

)2

1t

t

−,

3

1t

t

+(

��8��� ������ ���� �1 C������� ����� ������ �����0 :

)1t

t+,2 2

tt

+(

�.�� �?.����� ������� C������� ������ ������ �����0:

, ln(1+t2))

2

3(1

t

t t+ −

Page 26: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

26

!���5: �@���� � ��t��������� �� ( G��A;� ��. )������� ( ������ ������:

4

4

cos

sin

x a t

y b t

=

= b)

sin 2cos

cos 2sin

x t t

y t t

= +

= +a)

!���6: ������ ������ G��A;� G��� :

1

1

( )

( )

tt

tt

x t e

y t e

+

=

=

d) 3

2 4

( )

( )

x t t t

y t t t

= −

= − c)

2

2 2

2( )

1

4(1 2 )( )

(1 )

tx t

t

ty t

t

= +

− =+

b)

2

2

1( )

2

2 1( )

tx t

t

ty t

t

+=

− =

a)

!���7: ��� ]∞ I = [-1;+� IR2 →f : I�� ������ /����� :

2 2

2 2

1 1( , )1 1

t t

t t

− −

+ +I, f(t) = ∈t ∀

• ����f.

• �� ��f %���� � �� �����I ��� f(I)( �� �>����� �> ������ /����� .

!���8 : ,������ ����G ������ ��:

2( ) (1 )

( ) 2(1 )

t

t

x t t e

y t t e

= −

= −

�� ���� %� �& ������� �06�?�� =��� �1G MR� ( G �� �������� �� ���� �����

t=1.

%���� =��� L ��� ��0�0�G) %�8��� ,0. %���� %�����] [,1−∞.(

Page 27: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

27

!���9 : ���*IRa ∈ �������� )G���� (��� ��� f H '����Γ H ������

��

))cos1(),sin((),()( tattayxtf −−==

1. �.S ,0. ������ �06�?�� Γ.

2. �� G���� %�� =���t = 0 ,�� t = 2π.

!���10 : ���f ������� )G���� ( ������ �&2IR �� ,�����

))1

,2

(),()(2

22

tt

ttyxtf ++==

1. <��@� %��8 �.�)(tx� )(ty.

2. %�+ �.Γ – ���� fH ������ ���8 �& f(1).

3. �� �������� ���M�� �.à ��� ���� ���M�� ' �� ������� .

4. �� ��(5, 6) �8��#� ���� )�?.��.(

5. ���������� �� Q+� .

!���11 : ���*IRa ∈ �������� )G���� ( ������ f '���� Γ �� ������

)2coscos2,2sinsin2(),()( tatatatayxtf +−==

3. �� ��)3cos1(4 2222 taayx ++=+ .������ �� U����� �1à ���:���� �� ��

:222 ayx =+ )( 1C �222 9ayx =+ )( 2C �. �1 ()( 2 Γ∩C �

)( 1 Γ∩C.

Page 28: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

28

4. ������ �� ��à ��6�A� ��� 3��� <�1���J� 4���� ��� ,�� ������� �$����

�����f %�8��� ,0. [ ]π,0.

5. <��@� %��8 �.� x(t) � y(t) %�8��� ,0. [ ]π,0 <���� �. (Γ %8� ��

���� :πππ

,3

2,

3,0=t ������ %�+ �. �1 (à ������ ���8 �& )

3

2(

πf.

6. ������ ����à .

7. ������ %�� =���à .

;3�����

1. O. ARINO ; C .DELODE ; J. GENET : Géométrie affine et

euclidienne, DUNOD, Paris , 2000

2. P. Florent ; G. Lauton ; M. Lauton : Calcul vectoriel,

géométrie analytique , tomes 1 et 2, Vuibert, Paris, 1981.

3. J. Lelong-Ferand ; J.M. Arnaudiès : Géométrie et

cinématiques, tome 3, 2e édition, Dunod, Paris, 1977.

4. M. Postnikov : Leçons de géométrie, tome1,edition Mir,

Moscou,1981.

5. A.Doneddu : espaces euclidiens et hermitiens, Géométries ,

nouveau cours de mathematiques, tome3, Vuibert, PARIS?

1980.

6. B. Calvo, J.Doyen : Cours d'analyse, tome 3, collection U ,

Paris,1977.

7. P. Martin : Applications de l'algèbre et de l'analyse à la

géométrie, collection U , Paris,1967.

Page 29: Cours Math Géométrie4 S5 DEBBA

29

��������

������ <�������..........................................................................................................2

���� ���8 �& ���� ����� �����...............................................................................6

���� ���8 �& ���� %�+.........................................................................................7

������ �& �@� (Changement de paramétrage)...............................................17

�������...............................................................................................................25

�8�����..............................................................................................................28