cours math géométrie4 s5 debba
DESCRIPTION
Cours Math Géométrie3 S DEBBATRANSCRIPT
1
������� ���� ������– ���� –
��� �������
���� ���� 4 ����� ������ ���� ���� !� "��#�� $������ %������
) ��'�LMD (
����)� ���*+ : �� -.%/�
2
%���� ��������
����
���� ���� ������ � � �� ���� ���� ���� ����� ����� ������� ���� . ����� ��
���� ��� � � ����� ���� ������ ������:
* ���# �$�� %� �& ������ ' ��t ������ ������� ���� ��� (RtR =)(
) *��+�� ,��R���� *��+� .(
* �� %� �& ������ ������ �.�� ���# �$t /�+��� �.����� ,���R ��������
��#0�t(d Rv
dt=
���
.
* *���� �� ���1�� /�+���� *������ ��� ���# �$�� �& ������ ������R �������
��#0�t (2
2
d Rv
dt=
���
.
������� ������ �&��� �� � � 2�� ����)������( ������� 3���� 4 �� ��#�� ��5�� (
������ �6��. ���� ������ 7��1� ������)*������� �.����� ����.(
� 7#8� /���� ���� ���� %� ���� ��&��� ��� 3�� 9�� �IR �& 3IR �8��& (
������� ������� ��� 4 �� /����� � ����� ,�� ������ ' ���� ����� :���
������ ���� �& %1�� 4 �� ������� �������� . ���� 2����� �� ;� ,�� /�� �� 9�0
�� <������� ����� (������ �0. �& (������ ���� ��5�� ,��� ���� <�������t
x
y
z
R
v
3
) ���;� =��> �& ��#�� .( ' � ����� � =���� � �& 3�� ���� 4 �� ����� ��
���. �?6� �������.
0���1
�& ���� ����� ���� nIR) nE � .< .� ( /��� %�f 7#8� IIR ⊃ �& nIR
�.��8��� ����� :{ }ItIRtfP n ∈∈= ,)(
������� ��� �.��8��f���� �� f .�@���� ���t���� ,��& .
* ��� � �2=n ���� 3�� ������� �. %��� . ��� � ��3≥n 3�� ������� �. %���
4���.
* /����� ��� � �f ���� � � ���� (����� ���� ���� ���� 3�� %��� (������ f
A ���� ���� ���� 3�� %��� /���+B� B��A � � � (/���+B� B��...
1��
1 .���g 7#8� ����� I �� IR �& IR �& ������ ������� %�� 2IR �������
��
))(,()( tgttf = ������ ��� ����� g ������ ������ f �� tx = � ytg =)( 3���
��& <����� <������ ���� �@��� ������ ������� <���� ����.� ���2IR . � �
�& <������� �. %�� �� %�2IR ��@��� ������ ������� <���� ,0. 3���� ���
����.
2 . �& ������� ���� � C�:����2IR �� ������ :
0),sin,cos()( ⟩= RtRtRtf
4
�D� �����2E 4�0A� �?�E� 7�& )� .< .� ( '���2 ( )≈2IR.
����IE ⊃2 /����� ����
))(),(()(
: 2
tytxtft
IRIf
=
→
�
0���2
����0M �� ���� 2E *��+�� �. %��� )(tOM *��+�� ��� %�F 0OM �����.
%�Ft ��� 0t) ������� ,0.t ,�� %�F ±∞ .( ������ <��� � �M ���� %�F�
0M �&����� �� ��� (0MM ,�� ����� 0 %�F� ����. t ��� 0t) ������� ,0.t
,�� %�F±∞ .( *��+�� <����� �� ,�� ���)(tOM *��+��� <����� ��� %�F�
0OM.
��1�
*��+��)2,()( 2 tttOM = *��+�� ��� %�F )2,1(0 =OM %�F� ����. t ��� 1.
0��� 3
%���/����� �.
)())(),(()(
: 2
tOMtytxtft
IRIf
==
→
�
��. /���+B� %��A 3��0t *��+�� ��� � � 0
0 )()(
tt
tOMtOM
−
− ���� ���� %�� 0tt →
. /�+��� ,��� ������ ' � ��0t *��+0� )(tOM �� ��� #���� dt
tdM )( 0.
/�������))(),(()( tytxtft =� ��������� ����� � � /�����+B� B����A )(txt →
�)(tyt → ��. �����+�� (/���+B� �0��A 0t�AB���� ,��
5
=
dt
tdy
dt
tdx
dt
tdM )(,
)()( 000
������ =���� �� <���+��� ���� ������ G?���
=
2
0
2
2
0
2
2
0
2 )(,
)()(
dt
tyd
dt
txd
dt
tMd.
�2�� : �AB.�0���H I��(Taylor-Young)
���)())(),(()(
: 2
tOMtytxtft
IRIf
==
→
�
,0. ����I ��5�� /���+B� �0��A� ����n ���� ����� C�� 0t �� ���� I ���
%8�Iht ∈+0���� :
0
0)(lim),(
)(
!
)(
)!1(
...)(
!2
)(
!1)()(
0
1
0
11
2
0
22
000
→
=++
−+
++++=+
−
−−
h
hh
dt
tfd
n
h
dt
tfd
n
h
dt
tfdh
dt
tdfhtfhtf
n
nn
n
nn εε
0��� 4
���ϕ �� ����� /��� I �& 2IR �� ����:
))(),((: tytxt �ϕ
������� ����)������ <�1���J�� ( �:��1��),( ϕC K� )(ΓC C��6�� �
�� C�+�����I ������ ϕ � t ����� � .)(ΓC ������ ���� )(tϕ ����. t
9���I . �� �� %���)(tx � )(ty �� %1�� �� )(ΓC.
6
��1�
���[ ]+∞= ,0I �
+
−=
+=
2
2
2
1
1)(
1
2)((
t
tty
t
ttx
� #��� C�:��0� ���� %1�� � 0 � ��A �6�� 1.
%�� ���3 $4 $%�� $���� ����
/����� ���f ������ ���8 �& ������ 0t ������ ��. L� �� 0t8 �& %��� ���
C����� ���. =�� �� <���+� ������ ' . ' �� 2�M� ��8 �� N�?� ���
��. ������ ��0� <�� <���+���0t.
"����� 0���
���f �& ���� ����� nIR O��?� %�8� ,0. /���+B� B��A� �&��� I �� IR
�����0t �� I . �� ���f ��. /���+B� %��A 0t =��� �� ������P� 3�P& ( :
)())((')()( 0000 ttOtttftftf −=−−−
��
0
0
00
)(lim
tt
tt
ttO
→
=−
−
(*)
��� � �0)(' 0 ≠tf ������ �. %��� )( 0tf ���. ���� ���� (régulier).
��� � �0)(' 0 =tf ������ �. %��� )( 0tf C �+ ���� ����)C����� (.(stationnaire)
�� � � N�?��)( 0tf ������� ���. ���� ���� ∆ �& �?�E��� ������� nIR 4 ��
3������:
))((')( 000 tttftfy −+=
7
������� �� 4 �� ������� 3��)( 0tf ������� �> *��+�� '�8�� �& )(' 0tf . �� ���
�AB��� (*) ����� �� �&����� ��)(tf���� �� f ���� ∆ �A G?�� ��&�����
�����t ���� �0��� 0tt − . ������� ,�� =���� � ��∆����� G������ f ��
%8�0tt − ����� �> /�+� ��8� �P& �������� )(' 0tf G��� ��8� Q&��
�����f %8� �� 0tt − *��+�� G����� � %��� )(' 0tf ��� *��+� )38�� ��.(
C �+�� ����� ���� �& G����� ������ :���f �& ���� ����� nIR B��A� �&���
/���+B�p C�� )2( ≥p O��?� %�8� ,0.I �� IR ����� 0t �� I . �� N�?��
0)(...)(' 0
)1(
0 === −tftf
p � 0)( 0
)( ≠tfp
������� ���� %�� :��.f ����� ∆ %8� �� 0tt =� ������ ,���� G�����
��
�� ���f ��. /���+B� %��A 0t =��� �� ������P� 3�P& (:
)()()( 0
)()(
00 tftttfypp−+=
��0�� �� ��� /��� ���+ �� $�B� � �� ��R�� ����H �������� ����� I�� :
0
0)(lim
),()(!
)()( 0
)(
00
→
=+=−+
h
h
hO
hOtfp
htfhtf p
p
ppp
%�� ���3 $4 ���� �2
%���� �������� ���
���f �& ���� ����� 2IR��� B� /���+B� B��A� �&��� ' O��?� %�8� ,0. I
��IR ����� 0t �� I .
8
?��� �� N�:
<���+�f ��. 0t ���� ��0� ������ �> p K�� ����� �> ���� ��. �@6�
0)( 0
)( ≠tfp.
<���+���0)( 0
)'( ≠tfq �� pq ≥' ��0� 4#��� 5 )( 0
)(tf
p . ����q ��. �@6�
4��� �� ���� ����p K�� )( 0
)(tf
p 4#�� 5 )( 0
)(tf
q �� :��. (
��M �0���� ��.��+��)������ �>� .( ����
=
=
)()(
)()((
0
)(
0
)(
tfty
tftx
q
p
�� ����
))(),(( tytxG��R� �� ����.� ���& ��M �0���� . ������ �� M� � ��)( 0tf �����
�AB. �� (C��8 %6����0�H ,0. %6�� I�� :
0
0)(lim,
0
0)(lim
),(!
)(!
)()(
21
2100
→
=
→
=
+++=−+
h
h
h
h
hhxq
hhhx
p
htfhtf q
qp
p
εε
εε
3��� *��+�� ������ �P& )( 0 htf + ��8�� G��S� ),( yx �� ������� ,0.:
)
(!
)(!
2
1
+=
+=
hhxq
h
hhxp
h
pp
εη
εξ
/5#
���� ����� 2: EIf → �� It ∈ � ���� Γ� ∞∈ Cf ���� p ��. �@6�
4��� �� ���� ����1 K�� 0)( 0
)( ≠tfp� q �� ����� ���� ���� ��. �@6� p
K��))(),(( )()( tftf qp ��M �0���� ) ��8� N�?��p � q( C��+�� (ξ �� �
C��+�ph��+�� Cη C��+� �� � q
h %8� �� h����� �>� �?6�� ���8 �& .
9
������ <5���� :��. ����:
-��)� ����� :p � 4��& q C��+� ���� (�8�# ξC��+� �� � h C��+�� η
���8 �& ������ �� ��� � ��8�� � 0t G����� ,�� ������� ���� =��8 ,0. ��
∆.
��1�� ����� : p 4��&q C��+� �� %� :��. ���� (4��& ξ � η �� �
C��+�h ���� �P& �������� f G����� ��� ∆ ������ �& )( 0tf
�1�� ����� 1� : p �8�#q ����+� ���� :��. ���� (�8�# ξ � η �� ���8��
%8�h�@6 .���1�� ����� �� �8��� ���� ���� 3�� :��. %���.
f(t)
f(t0)
Y=fq(t0)
X=fp(t0)
∆
f(t)
f(t0)
Y=fq(t0)
X=fp(t0)
∆
10
������ ����� : p �8�#q C��+� ���� :��. ���� (4��& ξ ����� ��8��
C��+�η C��+� �� h %8� �� h�@6 . ����� �� �8��� ���� ���� 3�� :��. %���
�%�;.
6���5�� 7��.��
���2: EIf → K� )( 2
2 IRE ≅ ����� )G�A ( ����Γ '���� It ∈0
)( 0 ±∞=t� ),,( jiOR �� G��8��� ������ �0�� 2E( ),( yx <����� f �& IR.
�. %���à %�F� ����. (�:��� 5 *��& %��� ���� t ��� 0t � � ��&� � �
0
)(lim
tt
tf
→
∞+=,�� ��� � �
0
22 )()(
tt
tytx
→
+∞→+ ��� � � �6�M �?6��
+∞→))(( tx �� +∞→))(( ty.
%��� ���P&à %�F� ����. �:���5 *�& %�� t ��� 0t %�+� ������ ' �&� ()(
)(
tx
ty.
1. ��� � �0
)(
)(lim
tt
tx
ty
→
±∞= �P& Γ '�8�� �& Q&��� *�& %�� oy.
f(t)
f(t0) Y=f
q(t0)
X=fp(t0)
∆
y
x o
Γ
0tt →
11
��1�
( )
−−=
2
2
)1(,
1)(),(
t
t
t
ttytx (
1
)(
)(lim
→
±∞=
t
tx
ty
'�5�
��� � � ±∞→)(tx � 0)( yty → 4 �� ������� �P& 3������0yy = =����� �M �
�����0�Γ.
��� � �±∞→)(ty � 0)( xtx → 3������ 4 �� ������� �P& 0xx = =����� ��M �
�����0�Γ.
��1�
�� *��?�� G��� �����0� �:���B
( )
−
++==
1
1,)(),()(
3
32
t
ttttytxxf
����+∞→
→
t
ty 1)(
→∞+ و
+∞→
t
tx )(
�P& 3��� 10 =y�����0� =���� �M � .
y
x o
Γ
y0
y
x o
Γ
x0
y
x o
Γ
y0=1
12
L� � ���� :1
)(
→
±∞→
t
ty � 1
2)(
→
→
t
tx�P& 3��� 10 =x �����0� =���� �M � Γ.
2. ��� � �0
0)(
)(lim
tt
tx
ty
→
= '�8�� �& Q&��� ����� ���� ���& ox.
��1�
�� ������ ������ ������� ��� :
( ) ( )tttttytx −+= 223 ,)(),((
�:���B�� ��.��& �..
���� ±∞→
+∞→
t
ty )( و
±∞→
±∞→
t
tx )( ��� 3��� ±∞→
=
t
tx
ty0
)(
)(lim
3. <��� � �
0
*
)(
)(lim
tt
IRatx
ty
→
∈=
=���0
))()(lim(
tt
taxty
→
− <��� � �
0
))()(lim(
tt
taxty
→
±∞=−
y
x o
Γ
x0=2
y
x o
Γ
0tt →
13
3������ 4 �� ������� '�8�� �& Q&��� *�& %�� ������� �P&axy =.
��1�
� ������ ������ �� :
( ) ( )233,)(),( ttttytx −=.
���� ±∞→
+∞→
t
ty )( و
±∞→
±∞→
t
tx )( ��� 3��� ±∞→
=
t
tx
ty1
)(
)(lim
=���±∞→
±∞=−
t
txty ))()(lim( ������ 3��� à �������� '��8�� �& Q&��� *�& %��
3������ 4 ��xy =.
4. ��� � �
0
*
)(
)(lim
tt
IRatx
ty
→
∈= �
0
))()(lim(
tt
IRbtaxty
→
∈=−.
������ �P&à 3������ 4 �� ������� %�� baxy += =���� �M� . ������� ' �&�
�������� ������� � ��� G��� �� =8à /��?�� C���+� ����� =8 � ���
))(()( btaxty +−������� %?�� �� /�& �� ������� % ����� .
y
x o
Γ
y=x
14
��1�
�����0� �:���B�� *��?�� G��� �� ������
( )
−
−=
t
t
tttytx
3,
)2(
3)(),(
2
.
�� ��.0→t ��� ±∞→)(ty و ±∞→)(tx.
� �Γ ��� �:���5 *��& %�� 0→t.
����� ���� =��� :0
)(
)(lim
→t
tx
ty
���� ���& (
0
23
)2)(3(lim
2
→
=−−
t
tt
.
������ 3���à 4 �� ������� '�8�� �& =���� %�� 3������xy 2=.
=��� �1:
0
))(2)(lim(
→
−
t
txty �� 4� 0
2
3)
)2(
63_lim(
2
→
=−
−
t
ttt
t
������ 3���Γ ������� %�� )∆ ( 3������ 4 ��2
32 += xy%:�� =���� �M .
�������� �M�� � ��� G���à =��� 3��� :
2
3
2
23)
2
3)(2()()(
2
−−
−+=−−=
t
tttxtytϕ
04
7
)2(2
27)(
2
→
≅
−
−=
t
t
t
tttϕ
�������Γ ������� /�& �� ∆ ����. +→ 0t �������� Γ �������� <�� �� ∆
����.−→ 0t.
15
��1�
�����0� �:���B�� *��?�� G����� ������
( )
+
+
+
+=
1
1,
1
1)(),(
2
4
2
3
t
t
t
ttytx.
�� ��.+∞→t ��� +∞→)(ty و +∞→)(tx.
� �Γ%�� ��� �:���5 *��& +∞→t.
����� ���� =��� :+∞→t
tx
ty
)(
)(lim
(
���� ���&
+∞→
≅+
+
t
tt
t
1
1(lim
3
4
(
3���
+∞→
+∞=
t
tx
ty
)(
)(lim
������ 3���à =������ '�8�� �& Q&��� %�� yy'.
y
x o
Γ
2
32 += xy
+→ 0t
Γ
−→ 0t
16
8��� %����� 3��) .*�����: (��� à �� %1���� �������
)(
)(
ty
tx �� It ∈
������ �. %��� ))(),(( tytxM �� �?.�� �� �8��#� ���� ���� à � � ���&� � �
�8�2),( Ivu ∈ K��
≠
=
=
vu
vyuy
vxux
)()(
)()(
��1�
������ ������ ��� :( ) ( )23 1,3)(),( ttttytx −−=.
�8��#� ���� L�� <��� � � ��:
=���
≠
−=−
−=−
vu
vu
vvvu22
33
11
33
⇔
≠
=
=
vu
vyuy
vxux
)()(
)()(
����vu −= 3���
0)3(262
33
23
33
=−=−
−=−−
vvvv
vvvv
�� ����vu ≠ �P& ov ≠
� �032 =−v 3��� 3±=v � � 3∓=u
=��� L� �� ��R��:
)2,0()31,3333()3(
)2,0()31,33)3(()3( 3
−=−+−=−
−=−−=
ϕ
ϕ
17
�'�����
������� ����� %�8� T0��������� <����� �$��� ,�� '����5� =8 ( �������
������.
1 .] [
−=
−=−
−=−
aaI
tyty
txtx
,
)()(
)()((
à ������� �$���� O %�8��� ,�� T0��� �������� [ [a,0
2 .
=−
−=−
)()(
)()((
tyty
txtx à ������� �$���� 'yy.
3 .
−=−
=−
)()(
)()((
tyty
txtx à ������� �$���� 'xx.
%����� $4 �9� (Changement de paramétrage)
���f ���� ����� 2: IRIf → ��6�� �� ������ �& �@� ���� (kC ��
f /��� %� ϕ �� ���� IIRJ →⊂:ϕ /��� :
*)(JC k∈ϕ
*ϕ %����
*)(1 JC k∈−ϕ
��� ������ %��� (Paramétrage admissible) ��6�� �� kC �� f %� (
/���g �� ���� 2: IRJg → ������ �& �@� �8�� ϕ �� f K�� :
))((
:: 2
tft
IRJfg
ϕ
ϕ
�
� →
18
3��: /����� IJ →:ϕ ��6�� �� ������ �& ��@� ��� kC /��� � � :
*)(JC k∈ϕ
*IJ =)(ϕ
* 0)(' ⟩tϕ �� 0)(' ⟨tϕ
%���� /�.��(Abscisse curviligne) :
0��� 5
,0. ���� �06�& ����Γ /��� %� IRIs →: ��6 �� 1C ,0. I K�� :
)(')(': tftsIt =∈∀
K�Γ ������ %1���� � f %8� �� It ∈.
��'�5�
1 .�� ��� ������ /����� ��I ,�� IR �� )(' tft → ,0. ����� I /����� (
IRIs →: � ��&� � � ���� �06�& � �8� �It ∈0K��
duuftsItt
t∫=∈∀0
)(')(:) �� ���� �0��� ��)( 0ts.(
2 . ���� (������ �& #����� L� =��� /�� ����:
)(')(')(')(': 222tytxtftsIt +==∈∀
19
3 . %������ ������ �@�)������ : (
���J � %�8� ϕ K�� /��� IJ →:ϕ �� ������ �@� f �8� ,����
/���ϕ ,0. ���� J K�� :
* )(1 JC∈ϕ
*ϕ %���� /���
*)(11 JC∈−ϕ.
�� :��. �0.� 0)(' ⟩tϕ �� 0)(' ⟨tϕ.
/����� ���IRIs →: ��� ���� �06�& ϕσ �s=��6 �� /��� � � 1C
,0.J.
����
)('))((')('))((')('')(', uufuususuJu ϕϕϕϕϕϕσ ===∈∀ �
��� � �0)(' ⟩tϕ�� U�����
)()'())((')(')(', ufufuuJu ϕϕϕσ �==∈∀
�P& 3����� �06�& � .
<��� � � ������ G?��0)(' ⟨tϕ ���� σ−���� �06�& � .
0���: ���� s& ,0. ���� �06�Γ � Iba ∈, K�� Aaf =)( � Bbf =)( (
G���� %�� ����)4��8�� %���� (AB,0. à �� 3� #���� )(ABl ������ �����
)()( asbs ��� � � (:
∫=b
adttfABl )(')(
20
G���� %�� � AB �� Γ G���� %��� ��0���� ����� � � )4��8�� (AB,0. Γ.
��1�
+
−=−
+
−=
2
2
2
2
1
1)(
1
1)((
t
ttty
t
ttx
�$����� G���
−=−
=−
)()(
)()((
tyty
txtx3��� à ������� �$���� 'xx.
���� G��� �� �?� � �Γ %�8��� ,0. [ [+∞,0 ������� �$����� MR� �1 'xx .
�� $�B�)(tx� )(ty %�8��� ,0. /���+B� �0��A [ [+∞,0.
���� ��� 3���:
+
−−=
+=
22
42
22
)1(
41)('
)1(
4)('(
t
ttty
t
ttx
�0 ��� <��@��� %��8 ���:
������� %��Γ 3������ 4 �� ������� 1−=x=���� .
t
x’(t)
x(t)
y’(t)
y(t)
0 25 −
1
+∞
- - - 0
-1
+ + + - -
1 -∞
0
21
����1−=t � 1=t�8��#� ������ ���� .
��1� 1
���f ������ ������� )G���� ( �&2IR�� ,�����
)1
,1
())(),(()(2
2 −−==
t
t
t
ttytxtf
1. <��@��� %��8 �.�)(tx � )(ty.
2. �� �������� ���M�� �.���� f ��� ���� ���M�� ' �� ������� .
3. �� ��)1,1( −− �8��#� ���� )��.��.(
4. ���������� �� Q+� .
�:�
1. �.��8� � ������{ })1,1 −−= IRD f.
����
22
22
2
)1(
)2()('
)1(
)1()('
−
−=
−
+−=
t
ttty
t
ttx
-1 1 x
y
22
2. <��@��� %��8 U����� 3��� :
%:���� =������ �M�� :
1
2)(
)(lim
→
=
x
tx
ty
L� � �����
2
)2(2
+
+=−
t
ttxy
3��� ���
1
2
3)2lim(
→
=−
x
xy
� %:���� =������ �M�� � �
2
32 += xy
������ ��. ������ �� %:���� =������ �M�� �����)5
9,
5
6(
−−.
t
x’(t)
x(t)
y’(t)
y(t)
-∞ -1 0 1 2 +∞
- - -
0
-∞ 0
+∞
-∞
+∞
3
2
0
0
+ + - - +
-∞
2
1−
0 ∞+ +∞
-∞ 4
23
�8��#��� ������)�?.���� ( � )1,1( −− %8� �� 2
511
+−=t �
2
512
−−=t.
��1� 2
���*
+∈ IRa f ������ �������� )G���� ( �&2IR�� ,�����
))cos1(),sin(())(),(()( tattatytxtf −−==
�� G���� %�� =���0=t ,�� π2=t ������� �� Γ.
�� ��
����S ,0. ������ �06�?�� � Γ.
%8� �� ����
∈
π
2,0t:
( ))(')(')(' 222 tytxtS +=
22 )sin()cos( tataa +−=
[ ]222 sin)cos1( tta +−=
[ ]222 sincoscos21 ttta ++−=
y
x
y=2
1−
)1,1( −−
24
2sin4)cos1((2( 222 t
ata =−=
���� � �
2sin2)('
tatS =
3���
∫=−=π
π2
0)(')0()2( dttSSSL
282
0cos4
2
2cos4
2sin2
2
0aaadt
taL =+−== ∫
π π
=�0���� � �.
25
��::!��
!���1: ������ G��� f ��� �V����� :
2(ln )1
xx
x+ b) f(x)= 23 ( 6)x x −a) f(x) =
!���2 : ����à ��� f��� ������ : 3
1
x
te dt
−∫. f(x) = -x +
!���3 : ���a,b,c,d �� IR K�� c≠0� ad-bc≠0 � x
x
ae by
ce d
+=
+ (Γ): %�
(Γ)�� 3� ��� #��$9�6 =��8�� ��� �� ���� �& W ,=��� ������� )� .(
!���4 : �8��� ������ ���� ������ �����0:
)2
1t
t
−,
3
1t
t
+(
��8��� ������ ���� �1 C������� ����� ������ �����0 :
)1t
t+,2 2
tt
+(
�.�� �?.����� ������� C������� ������ ������ �����0:
, ln(1+t2))
2
3(1
t
t t+ −
26
!���5: �@���� � ��t��������� �� ( G��A;� ��. )������� ( ������ ������:
4
4
cos
sin
x a t
y b t
=
= b)
sin 2cos
cos 2sin
x t t
y t t
= +
= +a)
!���6: ������ ������ G��A;� G��� :
1
1
( )
( )
tt
tt
x t e
y t e
+
−
=
=
d) 3
2 4
( )
( )
x t t t
y t t t
= −
= − c)
2
2 2
2( )
1
4(1 2 )( )
(1 )
tx t
t
ty t
t
= +
− =+
b)
2
2
1( )
2
2 1( )
tx t
t
ty t
t
+=
− =
a)
!���7: ��� ]∞ I = [-1;+� IR2 →f : I�� ������ /����� :
2 2
2 2
1 1( , )1 1
t t
t t
− −
+ +I, f(t) = ∈t ∀
• ����f.
• �� ��f %���� � �� �����I ��� f(I)( �� �>����� �> ������ /����� .
!���8 : ,������ ����G ������ ��:
2( ) (1 )
( ) 2(1 )
t
t
x t t e
y t t e
= −
= −
�� ���� %� �& ������� �06�?�� =��� �1G MR� ( G �� �������� �� ���� �����
t=1.
%���� =��� L ��� ��0�0�G) %�8��� ,0. %���� %�����] [,1−∞.(
27
!���9 : ���*IRa ∈ �������� )G���� (��� ��� f H '����Γ H ������
��
))cos1(),sin((),()( tattayxtf −−==
1. �.S ,0. ������ �06�?�� Γ.
2. �� G���� %�� =���t = 0 ,�� t = 2π.
!���10 : ���f ������� )G���� ( ������ �&2IR �� ,�����
))1
,2
(),()(2
22
tt
ttyxtf ++==
1. <��@� %��8 �.�)(tx� )(ty.
2. %�+ �.Γ – ���� fH ������ ���8 �& f(1).
3. �� �������� ���M�� �.à ��� ���� ���M�� ' �� ������� .
4. �� ��(5, 6) �8��#� ���� )�?.��.(
5. ���������� �� Q+� .
!���11 : ���*IRa ∈ �������� )G���� ( ������ f '���� Γ �� ������
)2coscos2,2sinsin2(),()( tatatatayxtf +−==
3. �� ��)3cos1(4 2222 taayx ++=+ .������ �� U����� �1à ���:���� �� ��
:222 ayx =+ )( 1C �222 9ayx =+ )( 2C �. �1 ()( 2 Γ∩C �
)( 1 Γ∩C.
28
4. ������ �� ��à ��6�A� ��� 3��� <�1���J� 4���� ��� ,�� ������� �$����
�����f %�8��� ,0. [ ]π,0.
5. <��@� %��8 �.� x(t) � y(t) %�8��� ,0. [ ]π,0 <���� �. (Γ %8� ��
���� :πππ
,3
2,
3,0=t ������ %�+ �. �1 (à ������ ���8 �& )
3
2(
πf.
6. ������ ����à .
7. ������ %�� =���à .
;3�����
1. O. ARINO ; C .DELODE ; J. GENET : Géométrie affine et
euclidienne, DUNOD, Paris , 2000
2. P. Florent ; G. Lauton ; M. Lauton : Calcul vectoriel,
géométrie analytique , tomes 1 et 2, Vuibert, Paris, 1981.
3. J. Lelong-Ferand ; J.M. Arnaudiès : Géométrie et
cinématiques, tome 3, 2e édition, Dunod, Paris, 1977.
4. M. Postnikov : Leçons de géométrie, tome1,edition Mir,
Moscou,1981.
5. A.Doneddu : espaces euclidiens et hermitiens, Géométries ,
nouveau cours de mathematiques, tome3, Vuibert, PARIS?
1980.
6. B. Calvo, J.Doyen : Cours d'analyse, tome 3, collection U ,
Paris,1977.
7. P. Martin : Applications de l'algèbre et de l'analyse à la
géométrie, collection U , Paris,1967.
29
��������
������ <�������..........................................................................................................2
���� ���8 �& ���� ����� �����...............................................................................6
���� ���8 �& ���� %�+.........................................................................................7
������ �& �@� (Changement de paramétrage)...............................................17
�������...............................................................................................................25
�8�����..............................................................................................................28