cours maths s1.by m.e.goultine
TRANSCRIPT
![Page 1: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/1.jpg)
Université Hassan IIFaculté des Sciences Juridiques,
Économiques et Sociales de Mohammedia
Année Universitaire 2008/2009
MATHEMATIQUES (Semestre 2) – ANALYSE –
Professeur : M.REDOUABY
![Page 2: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/2.jpg)
ANALYSEANALYSE
Contenu du cours :Contenu du cours :
A. Fonctions à une variable réelle
B. Fonctions à deux variables réelles
![Page 3: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/3.jpg)
Séance Séance n° 1n° 1
![Page 4: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/4.jpg)
A. Fonctions à une variable réelle
1.Introduction
a) Notion de fonctionb) Notion d’injectionc) Notion de surjectiond) Notion de bijectione) Bijection et bijection réciproque
![Page 5: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/5.jpg)
a) Notion de fonction
Définition
Une fonction est une relation entre deux
ensembles E et F telle que :
Chaque élément de E (ensemble des antécédents) a au plus une image dans F (ensemble des images)
![Page 6: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/6.jpg)
X1
X2
X3
.
.
.
.
.
.
Xn
Y1
Y2
Y3
.
.
.
.
.
.
Ym
E Ff
![Page 7: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/7.jpg)
E = ensemble E = ensemble de départ, contient ‘, contient ‘nn’ éléments :’ éléments :
XX1 1 ; X; X22 ; X ; X33 ; …. ; X ; …. ; Xn n ,,
Ce sont Ce sont les antécédents
F = ensemble F = ensemble d’arrivéed’arrivée, contient ‘, contient ‘mm’ éléments :’ éléments :
YY1 1 ; Y; Y22 ; Y ; Y33 ; …., Y ; …., Ymm
Ce sont Ce sont les images
Nous avons : ; ; ;
…….. ;
11y)x(f
32y)x(f
23y)x(f
mn y)x(f
![Page 8: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/8.jpg)
Y1 est l’image de X1 ; X1 est l’antécédent de Y1
Y3 est l’image de X2 ; X2 est l’antécédent de Y3
……
Ym est l’image de Xn ; Xn est l’antécédent de Ym
Pour que f soit une fonction, chaque élément de E doit avoir
au plus une image dans F
![Page 9: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/9.jpg)
ExempleExemple
x
IR
x
1IRf
I
f est une fonction car :
, x a une image et une seule, sauf « 0 » qui n’a pas d’imageIRx
![Page 10: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/10.jpg)
Ainsi, par une fonction, un élément de E ne peut jamais avoir plus d’une image dans F
![Page 11: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/11.jpg)
Exemple 1Exemple 1
f
f est une fonction car :
; ;
1y)
1x(f
X1
X2
X3
Y1
Y2
Y3
E F
2y)
2x(f
2y)
3x(f
![Page 12: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/12.jpg)
Exemple 2Exemple 2
f
f est une fonction car :
; ; n’a pas d’image
Chaque élément de E a au plus une image
1y)
1x(f
X1
X2
X3
Y1
E F
1y)
2x(f 3
x
![Page 13: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/13.jpg)
Exemple 3Exemple 3
f
f n’est pas une fonction car :
a deux images et 1x
X1
X2
X3
Y1
Y2
E F
1Y
2Y
![Page 14: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/14.jpg)
Remarque ImportanteRemarque Importante
Fonction et Application
Une application est une fonction particulière. C’est une fonction telle que chaque antécédent a exactement une image (s’il y a un antécédent qui n’as pas d’image alors c’est simplement une fonction et non une application)
![Page 15: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/15.jpg)
X1
X2
X3
X4
Y1
Y2
Y3
Y4
E FfExemple 1Exemple 1
Chaque antécédent a une image et une seul, f est donc mieux qu’une fonction, c’est une application
![Page 16: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/16.jpg)
X1
X2
X3
X4
Y1
Y2
Y3
Y4
E FfExemple 2Exemple 2
n’a pas d’image dans F, donc f n’est pas une application, mais simplement une fonction
3x
![Page 17: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/17.jpg)
Exemple 3Exemple 3
x
IR
x
1IRf
I
f est simplement une fonction car et non une application car 0 n’as pas d’image
![Page 18: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/18.jpg)
Exemple 4Exemple 4
x
IR2x
IRf
I
f est une application car chaque élément de IR admet une image et une seule « exactement une image »
![Page 19: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/19.jpg)
b) Notion d’injection « fonction injective »
Définition
f est une fonction de E vers F. f est dite injective lorsque chaque élément de F a au plus un antécédent dans E : un antécédent ou rien
![Page 20: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/20.jpg)
X1
X2
X3
X4
Y1
Y2
Y3
Y4
E FfExemple 1Exemple 1
Chaque élément de F a au plus un antécédent, f est donc une fonction injective
![Page 21: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/21.jpg)
X1
X2
X3
Y1
Y2
Y3
Y4
E FfExemple 2Exemple 2
Chaque élément de F a au plus un antécédent, f est donc une fonction injective
![Page 22: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/22.jpg)
X1
X2
X3
X4
Y1
Y2
Y3
Y4
E FfExemple 3Exemple 3
f n’est pas une fonction injective car :
a deux antécédents : et 1
Y 2x1
x
![Page 23: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/23.jpg)
Exemple 4Exemple 4
x
IR2x
IRf
I
f n’est pas injective car : par exemple 1 a deux antécédents +1 et -1
.
.
1
0
.
.
.
.
.
.
+1
0
-1
.
.
.
IR IRf
![Page 24: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/24.jpg)
Par contrePar contre
x
IR2x
IRg
I
g est injective car :
Si Y est négatif , alors Y n’a pas d’antécédent
Si Y est positif ,Y a un seul antécédent : Y)0Y(
)0Y(
![Page 25: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/25.jpg)
A retenirA retenir
2x
1x)
2x(f)
1x(f:E
2x;1x
f est une fonction de E vers F. f est injective si elle vérifie :
C’est-à-dire : deux antécédents ont la même image si et seulement si ils sont égaux
![Page 26: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/26.jpg)
RemarqueRemarque
f est une fonction de E vers F. Si f est injective alors : Card E Card F
Card E = nombre des éléments de E
E = : Card E = n
X1
X2
X3
.
.
.
.
.
.
Xn
![Page 27: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/27.jpg)
RemarqueRemarque
Méthode de la règle : Voir TD
![Page 28: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/28.jpg)
c) Notion de surjection « fonction surjective »
Définition
f est une fonction de E vers F. f est dite sujective lorsque chaque élément de F a au moins un antécédent dans E : un antécédent ou plusieurs antécédents
![Page 29: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/29.jpg)
« fonction surjective »
f est surjective si et seulement si :
y)x(f/ExFy
![Page 30: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/30.jpg)
X1
X2
X3
X4
Y1
Y2
Y3
E FfExemple 1Exemple 1
Chaque élément de F a au moins un antécédent, f est donc une fonction surjective
![Page 31: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/31.jpg)
X1
X2
X3
X4
Y1
Y2
Y3
E FfExemple 2Exemple 2
Chaque élément de F a au moins un antécédent, f est donc une fonction surjective
![Page 32: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/32.jpg)
X1
X2
X3
X4
Y1
Y2
Y3
Y4
E FfExemple 3Exemple 3
f n’est :ni injective : a deux antécédents et
ni surjective : n’a pas d’antécédent
4x
1x
4y1y
![Page 33: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/33.jpg)
RemarqueRemarque
f est une fonction de E vers F. Si f est surjective alors : Card E Card F
Card E = nombre des éléments de E
![Page 34: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/34.jpg)
RemarqueRemarque
Méthode de la règle : Voir TD
![Page 35: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/35.jpg)
d) Notion de bijection « fonction bijective »
Définition
f est une fonction bijective (ou une bijection) de E vers F si et seulement f est une application qui est à la fois injective et surjective
C’est-à-dire chaque élément de E a une image et une seule et chaque élément de F a un antécédent et un seul
![Page 36: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/36.jpg)
X1
X2
X3
X4
Y1
Y2
Y3
Y4
E FfExemple 1Exemple 1
f est une bijection de E vers F : f est injective f est surjective
![Page 37: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/37.jpg)
X1
X2
X3
X4
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
E FfExemple 2Exemple 2
f n’est pas bijective de E vers F :
f n’est pas surjective car y5 n’a pas d’antécédent
![Page 38: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/38.jpg)
X1
X2
X3
X4
Y1
Y2
Y3
E FfExemple 3Exemple 3
f n’est pas une bijection de E vers F : f n’est pas injective f n’est pas surjective
![Page 39: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/39.jpg)
X1
X2
X3
X4
Y1
Y2
Y3
E FfExemple 4Exemple 4
f n’est pas une bijection de E vers F car :
f n’est pas une application : x3 n’a pas d’image
![Page 40: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/40.jpg)
RemarqueRemarque
f est une fonction de E vers F.
Si f est bijective alors :
Card E = Card F
![Page 41: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/41.jpg)
e) bijection et bijection réciproque
E Ff
f-1
![Page 42: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/42.jpg)
X1
X2
X3
.
.
.
.
.
.
Xn
Y1
Y2
Y3
.
.
.
.
.
Yn
E Ff
f-1
x yf
f-1
![Page 43: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/43.jpg)
bijection et bijection réciproque
Comment passer de f à f-1 et inversement :
x)y(fy)x(f 1
![Page 44: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/44.jpg)
X1
X2
X3
.
.
.
.
.
.
Xn
Y1
Y2
Y3
.
.
.
.
.
Yn
E FfAinsi si:
![Page 45: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/45.jpg)
X1
X2
X3
.
.
.
.
.
.
Xn
Y1
Y2
Y3
.
.
.
.
.
Yn
EF f-1
alors:
![Page 46: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/46.jpg)
Relation fondamentale entre f et f-1
E Ff
f-1
yxff-1
x)x(ff:Ex 1 y)y(ff:Fy 1 et
![Page 47: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/47.jpg)
ExempleExemple
2x
IRf
Ix
IR
x
IR
I
f-1
xx2x)x(f1fIRx
x
IR
x2)x()x(1ffIRx
On a :
et :
![Page 48: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/48.jpg)
ExempleExemple
xln
IRf = ln
Ix
IR*
x
IRxe
IR*
I
f-1 = exp
xxlne)x(f1f*IRx
xxeln)x(1ffIRx
On a :
et :
![Page 49: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/49.jpg)
Séance Séance n° 2n° 2
![Page 50: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/50.jpg)
RemarqueRemarqueRelation entre
la courbe de f et la courbe de sa réciproque f-1
A retenir : La courbe de f «Cf» et la courbe de sa fonction réciproque f-1 «Cf-1» sont
symétriques par rapport à la 1ère bissectrice (la droite d’équation y = x)
![Page 51: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/51.jpg)
Y = xY
x45°
1
1
1ère bissectrice
2ème bissectrice
![Page 52: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/52.jpg)
Exemple Exemple
Y = x
la courbe de ln « logarithme népérien » et la courbe de sa réciproque exp « exponentielle » sont symétriques par rapport à la droite y = x
Cln
Cexp
![Page 53: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/53.jpg)
A. Fonctions à une variable réel
2. Domaine de définition
x
IR f
)x(f
IR
I
x\IRx
fD admet une image
)x(f\IRx est définie « on peut
la calculer »
![Page 54: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/54.jpg)
Exemples Exemples
1. Fonctions polynômiales :
fonction polynômiale (ou polynôme) de degré n
01n axa....nxa)x(f
IRDf
![Page 55: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/55.jpg)
Fonctions polynômiales
Exemples :
• ;
• ;
• ;
Pour toutes ces fonctions :
5xx3)x(f 2 15xxx7)x(f 23
[;]IRDf
24xxx7)x(f 245
![Page 56: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/56.jpg)
Exemples Exemples
2. Fonctions rationnelles :
P(x) et Q(x) sont deux polynômes
)x(Q)x(P)x(f
0)x(Q\IRxD
f
![Page 57: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/57.jpg)
Exemple :
Car , ainsi :
012x0)12x)(12x(0)x(Q
)1x)(1x(
1x2)x(f22
[;1][1;1][1;]Df
Fonctions rationnelles
012x
1x1x0)x(Q 2
1IRD
f
![Page 58: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/58.jpg)
Exemples Exemples 3. Fonctions racines (nèmes) :
; n est un entier naturel non nul
n = 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; ……….
A retenir :
• Si n est pair :
• Si n est impair :
n )x(u)x(f
0)x(u\IRxD
f
uDDf
![Page 59: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/59.jpg)
Fonctions racines (nèmes)
Exemples :
• « racine carrée » :
On doit avoir :
• « racine cubique » :
définie quelque soit x donc
1x2)x(f
3 1x2)x(f
1x2)x(u
[;2/1[D2/1x01x2f
[;]IRuDDf
![Page 60: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/60.jpg)
Exemples Exemples 4. Fonctions puissances :
; est un nombre rationnel
m et n sont deux entiers naturels non nuls
On écrit :
)x(u)x(f
n m)x(u)x(f
n/m
n/1)m)x(u(n/m)x(u)x(f
![Page 61: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/61.jpg)
Fonctions puissances Exemples :
1. ici
On a : ; racine impaire,
on regarde alors le domaine de définition de
: est une fonction polynômiale définie sur IR donc :
5/4)1x2()x(f 5/4
5 4)1x2()x(f
4)1x2(
4)1x2(
IRDf
![Page 62: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/62.jpg)
Fonctions puissances Exemples :
2.
On a : ; racine paire,
on doit avoir : et
4/3)1x2()x(f
4 3)1x2(
1)x(f
2/1x01x20)1x2( 3 [;2/1]D
f
0)1x2( 30)1x2( 3
![Page 63: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/63.jpg)
Exemples Exemples 5. Fonctions logarithmiques :
; désigne le logarithme népérien
Exemple : ;
or , tableau des signes
))x(uln()x(f ln
)x1ln()x(f 2
0)x(u\IRxD
f
0x1\IRxD 2f
)x1)(x1(x1 2
![Page 64: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/64.jpg)
Fonctions logarithmiques Exemple :
Ainsi :
)x1ln()x(f 2
[1;1]Df
x -1 11-x + + 0 -
1+x - 0 + +
1-x2 - 0 + 0 -
![Page 65: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/65.jpg)
Exemple 2 :
Tableau des signes :
Donc :
))5x)(7x2ln(()x(f
0)5x)(7x2(\IRxD
f
x -7/2 52x+7 - 0 + +
x-5 - - 0 +
Produit
+ 0 - 0 +
[;5][2/7;]Df
![Page 66: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/66.jpg)
Exemples Exemples 6. Fonctions exponentielles :
; alors
« l’exponentielle est toujours définie »
Exemples :
• ;
• ;
•
)x(ue)x(f
IRfD2xxe)x(f
2
uDDf
IRfDxe)x(f
2IR
fDe)x(f )2x/(1
![Page 67: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/67.jpg)
A. Fonctions à une variable réel
3.Continuité
x
IRI f
)x(f
IR
I
f est une fonction définie sur un intervalle I de IR
![Page 68: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/68.jpg)
3. Continuité
a)Continuité en un point a :
a
a droite de aa gauche de a
![Page 69: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/69.jpg)
3. Continuité
a)Continuité en un point a :
Définition : f est continue au point a lorsque :
limite à droite = limite à gauche = image de a
)a(f)x(fax
lim)x(fax
lim
![Page 70: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/70.jpg)
Exemples Exemples
1. ; continuité en 1
On a :
et ; f est donc continue au point 1
]2;1]xsi;x2]1;0[xsi;x)x(f
11x21x
lim)x(f1x
lim
11x1x
lim)x(f1x
lim
11)1(f
![Page 71: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/71.jpg)
2. ; continuité en 1
On a :
et ; f est donc discontinue au point 1
2/3)1(f
]2;1]xsi;x2[1;0[xsi;1x
)x(f
112x21x
lim)x(f1x
lim
2111x1x
lim)x(f1x
lim
2/3)1(f
![Page 72: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/72.jpg)
3. Continuité
b)Continuité sur un intervalle :
Définition :
f est continue sur l’intervalle lorsque f est continue en tout point de l’intervalle ouvert ; continue à gauche de b et continue à droite de a.
]b;a[I
[b;a]
![Page 73: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/73.jpg)
• f est continue à gauche de b lorsque :
• f est continue à droite de a lorsque :
)b(f)x(fbx
lim
)a(f)x(fax
lim
![Page 74: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/74.jpg)
a bx
à droite de a à gauche de b
Continuité sur un intervalle [a ; b]
![Page 75: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/75.jpg)
Exemples Exemples
1. ;
f est continue sur l’intervalle [0 ; 2] car :
• f est continue en tout point de l’intervalle]0 ; 2[ (en particulier au point 1),
• f est continue a droite de 0 et à gauche de 2.
]2;1]xsi;x2]1;0[xsi;x)x(f
![Page 76: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/76.jpg)
Exemples Exemples
2. ;
f n’est pas continue sur l’intervalle [0 ; 2] car elle discontinue au point 1
2/3)1(f
]2;1]xsi;x2[1;0[xsi;1x
)x(f
![Page 77: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/77.jpg)
Séance Séance n° 3n° 3
![Page 78: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/78.jpg)
Propriétés des fonctions continues
Si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I alors :
• est continue sur I
• est continue sur I ( )
• est continue sur I
• est continue sur I ( sur I )
gf
gf
g/f
f IR
0g
![Page 79: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/79.jpg)
Conséquences
• Les fonctions polynômiales sont continues sur IR
• Les fonctions rationnelles ; racines nèmes ; puissances ; logarithmiques et exponentielles sont continues sur leurs domaines de définition
![Page 80: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/80.jpg)
bijection et bijection réciproque
I Jf
f-1
f est une fonction bijective de I vers J. Si f est continue sur l’ intervalle I alors sa fonction réciproque f-1 est continue sur l’intervalle J (car les courbes de f et f-1 sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x)
![Page 81: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/81.jpg)
Remarque
f est continue sur l’ intervalle I
sa courbe Cf est continue « ne présente aucune coupure »
Voir TD (Exercice 2)
![Page 82: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/82.jpg)
Théorème des Valeurs Intermédiaires« T.V.I »
T.V.I : Si f est continue sur l’intervalle [a; b]
et alors f s’annule sur ]a ; b[ ;
C’est-à-dire : tel que :
0)b(f)a(f
[b;a]c 0)c(f
![Page 83: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/83.jpg)
Interprétation géométrique
I Ia b
c
f(a) < 0
f(b) > 0
![Page 84: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/84.jpg)
Ou
I Ia b
c
f(b) < 0
f(a) > 0
![Page 85: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/85.jpg)
Exemple
Montrer que la fonction
s’annule (au moins une fois) sur [0 ; 2]
La fonction f est une fonction polynomiale donc définie et continue sur IR, en particulier sur l’intervalle [0 ; 2]. De plus :
Donc d’après le T.V.I :
3xx)x(f 3
03)0(f 07)2(f et
[2;0]c0)c(f tel que
![Page 86: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/86.jpg)
A. Fonctions à une variable réel
4.Dérivabilité
x
IRI f
)x(f
IR
I
f est une fonction définie sur un intervalle I
I IIa bx0
![Page 87: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/87.jpg)
a) Dérivabilité en un point x0
Définition
On dit que la fonction f est dérivable en x0 si :
existe.
Cette limite « quand elle existe » est appelée : dérivée de f au point x0 et on la note f’(x0)
0
0
0xx
)x(f)x(f
xxlim
![Page 88: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/88.jpg)
Ainsi
0
0
0
0 xx
)x(f)x(f
xxlim)x('f
A retenir : toutes les formules de dérivation qu’on
utilise sont une conséquence directe de cette définition.
![Page 89: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/89.jpg)
Exemples
1. Pourquoi la dérivée d’une constante est égale à 0 ?
On pose : , soit C)x(f IRx0
Ix0
IR
![Page 90: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/90.jpg)
0
00 xx
)x(f)x(flim)x('f
0xx
0xxCClim
00xx
,IRx0Ainsi : 0)x('f
0
Ou encore (en notant x au lieu de x0) :
,IRx 0)x('f
![Page 91: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/91.jpg)
Exemples
2. Pourquoi :
On pose : , soit
bax2)'cbxax( 2
cbxax)x(f 2 IRx0
0
00 xx
)x(f)x(flim)x('f
0xx
Ix0
![Page 92: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/92.jpg)
Donc :
0
020
2
xx
)cbxax()cbxax(lim
0xx
0
020
2
xx
)xx(b)xx(alim
0xx
b)xx(ab)xx(alim000
0xx
bax20
![Page 93: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/93.jpg)
Ainsi :
,IR0x bax2)x('f
00
Ou encore (en notant x au lieu de x0) :
,IRx bax2)x('f
finalement :
bax2)x('fcbxax)x(f 2
![Page 94: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/94.jpg)
Exemples
3. Pourquoi :
On pose : , soit
2x
1'
x1
x1)x(f *IRx
0
0
00 xx
)x(f)x(flim)x('f
0xx
![Page 95: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/95.jpg)
Donc :
0
0
0
0 xx
x1
x1
lim)x('fxx
0
0
0
0xx
xx
xx
limxx
0000
0
0xx1
xxlim
)xx(xx
)xx(limxx
2
0
02
0x1)x('f
x1
![Page 96: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/96.jpg)
finalement :
20x
1)0x('f ,*IR
0x
Ou encore (en notant x au lieu de x0) :
,*IRx2x
1)x('f
Les formules qui suivront sont aussi conséquence directe de la définition précédente :
![Page 97: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/97.jpg)
b) Mémento du petit dériveur
fonction fonction dérivéea
( )
bax
x
x
lnx
Q 1x
x/21
1/x
![Page 98: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/98.jpg)
fonction fonction dérivée
xe
xSin
tanx xtan1 2
xe
xCos
xCos xSin-
![Page 99: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/99.jpg)
Plus général : (u désigne une fonction)
fonction fonction dérivéeau’
( )
bau
u
u
lnu
Q 1 uu'
u/2u'
/uu'
![Page 100: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/100.jpg)
fonction fonction dérivée
ue
u Sin
tanu u'u)tan(1 2
ueu'
u Cosu'
u Cos u Sinu'-
![Page 101: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/101.jpg)
Sans oublier, lorsque la fonction se présente sous forme de « blocs », qu’on a :
fonction fonction dérivée
vu
vu
vu v'v)(u'
v'u'
uv'u'v
u/v 2uv')/v(u'v
![Page 102: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/102.jpg)
Exercice
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1.f(x) =
2.f(x) =
3.f(x) =
4.f(x) =
5.f(x) =
)3xxln( 2 Sinxex
5 3)1x(
15/22 )1x(
1xx22
![Page 103: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/103.jpg)
c) Dérivabilité sur un intervalle
Définition
Une fonction f est dérivable sur l’intervalle[a ; b] si elle est dérivable en tout point de [a ; b]
![Page 104: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/104.jpg)
Exemples
1. définie et continue sur
définie pour
Donc la fonction f n’est pas dérivable sur
car f n’est pas dérivable en 0, mais
dérivable seulement sur l’intervalle
x)x(f
x21)x('f [;0]x
[;0[
[;0[ [;0]
![Page 105: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/105.jpg)
Exemples
2. définie et continue IR
Question : f est-elle dérivable sur l’intervalle [0 ; 2] ?
C’est-à-dire :
3 1x)x(f
3/2)1x(3
1)x('f3/13 )1x(1x)x(f
3 2)1x(3
1)x('f
![Page 106: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/106.jpg)
donc f n’est pas dérivable en x = 1, et par conséquent f n’est pas dérivable sur l’intervalle [0 ; 2]
3 2)1x(3
1)x('f
![Page 107: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/107.jpg)
RemarquesRemarques
1. f est dérivable en x0 f est continue en x0
2. f est dérivable sur [a ; b] f est continue sur [a ; b]
![Page 108: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/108.jpg)
Donc « contraposée »Donc « contraposée »
3. f est discontinue en x0 f n’est pas dérivable en x0
4. f est discontinue sur [a ; b] f n’est pas dérivable sur [a ; b]
Contraposée : p q non q non p
![Page 109: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/109.jpg)
la fonction f n’est pas dérivable en x0 car elle est discontinue en x0
x0
![Page 110: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/110.jpg)
Séance Séance n° 4n° 4
![Page 111: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/111.jpg)
Exercice Exercice «« Corrigé »
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1.f(x) =
2.f(x) =
3.f(x) =3xx
1x2)x'f)3xxln(2
2
SinxCosxexSinxex21)x('f
2)1x(
)1x(2)x('f1xx2
2
2
2
Sinxex
![Page 112: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/112.jpg)
Exercice Exercice « Corrigé »
4.f(x) =
5.f(x) =
5/35 3 )1x()1x(
15/22 )1x(
5 2)1x(5
3)x('f
15 132 )1x(15
x4)x('f
![Page 113: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/113.jpg)
Théorème de Rolle
Théorème : Si f est une fonction continue sur l’intervalle [a ; b] ; dérivable sur l’intervalle ouvert ]a ; b[ et : alors :
tel que
)b(f)a(f
[b;a]c 0)c('f
![Page 114: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/114.jpg)
Interprétation géométrique
a bc
f’(c) = 0
I
f(a) = f(b)
Il y a au moins un point de la courbe où la tangente est horizontale
![Page 115: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/115.jpg)
RemarqueRemarque
Les hypothèses du Théorème de Rolle :
a) f est continue sur [a ; b]b) f est dérivable sur ]a ; b[c) f(a) = f(b)
sont nécessaires.
![Page 116: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/116.jpg)
ExempleExemple
Peut-on appliquer le Théorème de Rolle à la fonction :
sur l’intervalle [0 ; 2] ?
3 2)1x(1)x(f
![Page 117: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/117.jpg)
RéponseRéponse
a) : la racine cubique « racine impaire » est définie sur IR, donc
Df = IR
• f est la somme d’une fonction constante
«1» et d’une fonction racine « » donc continue sur son domaine de définition IR, en particulier f est continue sur l’intervalle [0 ; 2]
3 2)1x(1)x(f
3 )1x(2
![Page 118: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/118.jpg)
RéponseRéponse
b)
ainsi f(0) = f(2)
0112)10(1)0(f 33
0112)12(1)2(f 33
![Page 119: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/119.jpg)
RéponseRéponse
c) Dérivabilité de f sur l’intervalle ]0 ; 2[
f n’est pas dérivable en x = 1 « f’(1) n’est pas définie », donc f n’est pas dérivable sur l’intervalle ]0 ; 2[
3 1x32)x('f
3/23 )1x(1)1x(1)x(f 2
![Page 120: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/120.jpg)
ConclusionConclusion
On ne peut pas appliquer le Théorème de
Rolle à la fonction
sur l’intervalle [0 ; 2] car l’hypothèse de dérivabilité n’est pas vérifiée !!!
Voir Exercice 5, Série de TD
3 2)1x(1)x(f
![Page 121: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/121.jpg)
Théorème des accroissements finis « T.A.F »
Théorème : Si f est une fonction :
alors :
a) continue sur [a ; b]b) dérivable sur ]a ; b[
[b;a]c
)c('f)ab()a(f)b(f
tel que :
![Page 122: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/122.jpg)
2ème version « T.A.F »
Théorème : Si f est une fonction :
alors :
a) continue sur [a ; b]b) dérivable sur ]a ; b[
[b;a]c
)c('fab)a(f)b(f
tel que :
![Page 123: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/123.jpg)
3ème version « T.A.F »… premier développement limité
Théorème : Si f est une fonction :
alors :
a) continue sur [a ; b]b) dérivable sur ]a ; b[
[b;a]c
)c('f)ab()a(f)b(f
tel que :
![Page 124: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/124.jpg)
Remarque : Pourquoi on dit :accroissements finis ?
Comme « 1ère version »
Si la dérivée première « f’ » est une fonction
bornée : sur l’intervalle considéré,
alors on a :
)c('f)ab()a(f)b(f
M)x('f
)ab(M)a(f)b(f
![Page 125: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/125.jpg)
Ainsi, si l’ordre de grandeur de f’ est fixé, les accroissements de la fonction f « f(b)-f(a) » sont bornés « finis »
![Page 126: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/126.jpg)
Interprétation géométrique
Veut dire : Il y a au moins un point de la courbe où la tangente est parallèle au segment AB
[b;a]c )c('fab)a(f)b(f
tel que
![Page 127: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/127.jpg)
Interprétation géométrique
a bc
Il y a au moins un point de la courbe où la tangente est parallèle au segment
AB
A
B
![Page 128: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/128.jpg)
Conséquences
f est une fonction continue et dérivable sur l’intervalle [a ; b] :
• Si f’(x)=0 ( ) alors f est constante
• Si f’(x) 0 ( ) alors f est croissante
• Si f’(x) 0 ( ) alors f est décroissante
… sur l’intervalle [a ; b]
b][a;x
b][a;x
b][a;x
![Page 129: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/129.jpg)
Preuve
x yI I
Soient x et y deux nombres quelconques de l’intervalle [a ; b] tels que : yx
• Si f’(x)=0 ( ), dans ce cas ; T.A.F :
: f est donc constante sur l’intervalle [a ; b]
b][a;x
cI
00)xy()c('f)xy()x(f)y(f
aI I
b
)x(f)y(f
![Page 130: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/130.jpg)
Preuve
• Si f’(x) 0 ( ), dans ce cas ; T.A.F :
car : et
f est donc croissante sur l’intervalle [a ; b]
b][a;x
0)c('f)xy()x(f)y(f
)x(f)y(f
0xy 0)c('f
![Page 131: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/131.jpg)
Preuve
• Si f’(x) 0 ( ), dans ce cas ; T.A.F :
car : et
f est donc décroissante sur l’intervalle [a ; b]
b][a;x
0)c('f)xy()x(f)y(f
)x(f)y(f
0xy 0)c('f
![Page 132: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/132.jpg)
A. Fonctions à une variable réel
5.Calcul de limites
« Règle de l’HOSPITAL »
Exemple :
Problème : lorsque :
et
?xSinx0x
lim
0x
0Sinx 0x
![Page 133: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/133.jpg)
La forme indéterminée
Exemples : 1. ;
2. ;
3. .
?00
xxlim 2
0x0xlim
0x
2x
xlim0x
x1lim0x
5xx5lim
0x
![Page 134: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/134.jpg)
La forme indéterminée
?00
Nous avons une forme indéterminée lorsqu’on ne peut pas prévoir le résultat d’avance.
Les formes indéterminées :
; ; ;
? ? ?0
![Page 135: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/135.jpg)
La forme indéterminée
?00Pour la forme indéterminée , on peut
utiliser la Règle de l’Hospital :
R-H : Si
alors
?00
)x(faxlim 0)x(gaxlim
)x(g)x(f
axlim )x('g)x('f
axlim
![Page 136: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/136.jpg)
ExemplesExemples
1.
Règle de l’Hospital :
?xSinx0x
lim
xSinx0x
lim 10Cos1
Cosx0x
lim
![Page 137: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/137.jpg)
ExemplesExemples
2.
Règle de l’Hospital :
?1xxln
xlim1
1xxln
xlim1
11/11x/1
xlim1
![Page 138: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/138.jpg)
ExemplesExemples
3.
Règle de l’Hospital :
?x1xe
xlim
20
20 x
1xexlim
0
1
0
ex2xe
xlim
0
0
![Page 139: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/139.jpg)
RemarqueRemarque
La règle de l’Hospital est un outilpuissant pour le calcul des limites. Elle peut être utilisée plusieurs fois
de suite.
![Page 140: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/140.jpg)
ExemplesExemples4.
Règle de l’Hospital « 1ère fois »:
Règle de l’Hospital « 2ème fois »:
?x
1xxexlim
20
x21xe
xlim0
21
2e
2xe
xlim
0
0
![Page 141: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/141.jpg)
ExemplesExemples5.
Règle de l’Hospital « 1ère fois »:
Règle de l’Hospital « 2ème fois »:
?x
xxxsinxlim
43
0
32
x4x31Cosx
xlim0
2x12x6Sinx
xlim0
![Page 142: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/142.jpg)
ExemplesExemples
Règle de l’Hospital « 3ème fois »:
0
7x246Cosx
xlim0
![Page 143: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/143.jpg)
Séance Séance n° 5n° 5
![Page 144: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/144.jpg)
A. Fonctions à une variable réel
6.Dérivées d’ordre supérieur;Formule de Taylor
Développements limités
![Page 145: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/145.jpg)
Dérivées d’ordre supérieur
La dérivée d’ordre n (on dit aussi : la dérivée nème) s’obtient en dérivant f n fois :
f f’ f’’ f(3)
f(n)
on dérive
on dérive
on dérive
on dérive
on dérive
![Page 146: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/146.jpg)
ExemplesExemples1.
• ;
• ;
• ; … ;
•
xln)x(f
x/1)x('f
2x/1)x(''f
3x/2)x(f )3(
nx/)!1n()1()x(f 1n)n(
![Page 147: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/147.jpg)
ExemplesExemples2.
• ;
• ; … ;
•
xe)x(f xe)x('f xe)x(''f
x)n( e)x(f
![Page 148: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/148.jpg)
Utilisation de la dérivée seconde « f’’ »
Convexité & Concavité
f f’ f’’on dérive
on dérive
![Page 149: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/149.jpg)
Convexité
Définition
Une fonction f est dite convexe sur l’intervalle [a ; b] lorsque sa courbe Cf sur l’intervalle [a ; b] est au dessus de toutes ses tangentes
![Page 150: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/150.jpg)
Interprétation géométrique
a b
fonction convexe :la courbe est au dessus de ses tangentes
![Page 151: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/151.jpg)
Concavité
Définition
Une fonction f est dite concave sur l’intervalle [a ; b] lorsque sa courbe Cf sur l’intervalle [a ; b] est au dessous de toutes ses tangentes
![Page 152: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/152.jpg)
Interprétation géométrique
a b
fonction concave :la courbe est au dessous de ses tangentes
![Page 153: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/153.jpg)
Convexité
Théorème
Si ceci , alors
la fonction f est convexe sur l’intervalle [a ; b]
0)x(''f ]b;a[x
![Page 154: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/154.jpg)
Concavité
Théorème
Si ceci , alors
la fonction f est concave sur l’intervalle [a ; b]
0)x(''f ]b;a[x
![Page 155: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/155.jpg)
ExemplesExemplesÉtudier la convexité des fonction suivantes sur leurs domaines de définition :
1. ;
2.
xln)x(f xe)x(f
![Page 156: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/156.jpg)
1.1. ;;
avec
xln)x(f
2x/1)x(''f
x/1)x('fxln)x(f
*fIRDx
ainsi
fDx 0)x(''f on a
La fonction « ln » est concave sur
*IR
![Page 157: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/157.jpg)
Interprétation géométrique
1
lnx
La courbe de « ln » est concavesur IR*+
![Page 158: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/158.jpg)
2.2. ;;
ceci
xe)x(f
0xe)x(''f
La fonction « exp » est convexe sur IR
IRDxf
![Page 159: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/159.jpg)
Interprétation géométrique
1
exp
La courbe de « exp » est convexe sur IR
![Page 160: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/160.jpg)
ExerciceExerciceÉtudier la convexité des fonctions suivantes sur leurs domaines de définition :
1. ;
2. ;
3. ;
4.
x)x(f x/1)x(f
3 x)x(f
5xx3x)x(f 23
![Page 161: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/161.jpg)
Dérivées d’ordre supérieurFormule de Taylor
Question fondamentale en Analyse :Connaissant la valeur de f au point a, peut-on donner une estimation de f(b) ???
a b
f(a)
f(b)
![Page 162: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/162.jpg)
Exemple « Météo »
Connaissant la température enregistrée Mardi, peut-on prévoir la température de Dimanche prochain ???
Mardi Dimanche
21°
24°
![Page 163: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/163.jpg)
Réponse « Taylor »
On peut donner une valeur approchée de f(b), à condition de connaître f(a)…mais aussi :
f’(a) ; f’’(a) ; f(3)(a) ; f(4)(a) ; …. ; f(n)(a) ; …
a b
f(a)
f(b)
![Page 164: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/164.jpg)
A savoir :
Notre estimation de f(b) est meilleure lorsque :
n est grand
b est proche de a
I Ia b
proches
![Page 165: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/165.jpg)
Exemple « Météo »
Connaissant la température de Mardi, il est plus simple de prévoir la température de Mercredi « proche de Mardi » que celle de Dimanche « loin de Mardi »
Mardi Dimanche
21°
?
Mercredi
22°
![Page 166: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/166.jpg)
La « fameuse » Formule de TaylorThéorème : Si f est une fonction dérivable à l’ordre n+1 alors :
[b;a]c
)a(''f!2)ab()a('f)ab()a(f)b(f2
)a(f!n
n)ab(...)a(f!3)ab( )n()3(3
)c(f)!1n()ab( )1n(
1n
avec
I IIa c b
![Page 167: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/167.jpg)
Développements limités : a=0 et b=x
Théorème : Si f est une fonction dérivable à l’ordre n+1 alors :
[x;0]c
)0(f!3x)0(''f
!2x)0('xf)0(f)x(f )3(
32
)c(f)!1n(
x)0(f!n
nx... )1n(1n
)n(
avecI Ic x
![Page 168: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/168.jpg)
Notation de YoungFormule de Taylor-Young
)0(f!3x)0(''f
!2x)0('xf)0(f)x(f )3(
32
)x(nx)0(f!n
nx... )n(
avec )c(f)!1n(
x)x( )1n(
![Page 169: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/169.jpg)
Remarque1. lorsque
2. n’est pas une fonction, c’est une manière symbolique d’écrire : quantité qui tend vers 0 avec x. Donc :
La différence de deux n’est pas 0 mais un , prendre par exemple
et Le produit de deux est un
0)x( 0x
)x(
)x()x( 2x
3x)x( )x(
![Page 170: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/170.jpg)
Quelques Développements limités importants
1. ; La formule de Taylor-Young donne :
)x(xe!nx...e
!2xxeexe n0
n0
200
Ainsi :
xe)x(f
)x(x!nx...
!2xx1xe n
n2(D1)
![Page 171: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/171.jpg)
c’est-à-dire : pour x proche de 0
Exemple :
!nx...
!2xx1xe
n2
...201,01,011,0e
...201,01,011,0e
![Page 172: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/172.jpg)
2. :
La formule de Taylor-Young donne :
• ;
• ;
• ;
• ;
• on obtient ainsi :
1)x1(x11)x(f
1)0(f
1)0('f)1()x1(1)x('f 2
!2)0(''f)1()x1(2)x(''f 3
!3)0()1()( )3(4)3( )1(6 fxxf
!n)0(f... )n(
![Page 173: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/173.jpg)
En remplaçant x par –x on obtient :
(D2) )x(xx...xxx1x11 nn32
)x(xx)1(...xxx1x11 nnn32
(D3)
En intégrant D3 on obtient :
)x(xx)!1n(
)1(...
3
x
2
xx 1n1n
n32)x1ln(
(D4)
![Page 174: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/174.jpg)
Application : calcul de limitesApplication : calcul de limites
Exemple : Calculer
Développement limité à l’ordre 1
x
1
)x1(lim0x
))x(xx(x1
e)x1ln(
ex
1
x
1
)x1(
(D4)
![Page 175: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/175.jpg)
Calcul de limitesCalcul de limites
Ainsi :
car
e1e))x(1(
elim0x 0x
x
1
)x1(lim
0)x(
![Page 176: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/176.jpg)
Séance Séance n° 6n° 6
![Page 177: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/177.jpg)
Calcul de limitesCalcul de limites
« « Exercice »Exercice »
Calculer :
1. ;
2. ;
)x
x)x11(e(xlim
x)x51(lim
x
![Page 178: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/178.jpg)
3. ;
4. ;
x3)x11(lim
x
2
x0x2xx1e
)xsinxcosx(lim
![Page 179: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/179.jpg)
corrigécorrigé
1.
On a :
Or lorsque alors
?)x
x)x11(e(xlim
)x11ln(x
ex)x11(
x 0x1
![Page 180: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/180.jpg)
Or
Remarque :
C’est qui joue le rôle de x ici, car
donc est proche de 0
)x1(
x1
x21
x1)
x11ln(
22
Développement limité à l’ordre 2 !!(D4)
0x1x1
x1
![Page 181: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/181.jpg)
Ainsi :
))x1(
x1
x21
x1(x
ex)x11(
22
)x1(
x1
x211
e
)x1(
x1
x21
ee1
![Page 182: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/182.jpg)
Or pour t proche de 0 ( ) on a :
Donc : ( )
)t(tt1te
Développement limité à l’ordre 1 !!(D1)
0t
)x1(
x1
x211
)x1(
x1
x21
e
x2/1t
![Page 183: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/183.jpg)
Par conséquent :
finalement :
))x1(
x1
x211(e
x)x11(
1
)x1(
x1
x2ee
))x1(
x1
x2e(x)x)
x11(e(x
![Page 184: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/184.jpg)
C’est-à-dire :
ConclusionConclusion
Car
))x1(
2e)x)
x11(e(x
2e)
x
x)x11(e(xlim
0)t(0t
lim)x1(lim
x
![Page 185: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/185.jpg)
2.2. :
On a :
Or :
x)x51(lim
x
)x51ln(x
ex)x51(
)x1(
x1
x5)
x51ln(
Développement limité à l’ordre 1 (D4)
![Page 186: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/186.jpg)
Car lorsque
Donc :
))x1(
x1
x5(x
ex)x51(
0x5 x
![Page 187: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/187.jpg)
Ainsi :
Car
5e
x
x)x51(lim
)x1(5
ex)x51(
C’est-à-dire :
0)t(0t
lim)x1(lim
x
![Page 188: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/188.jpg)
3.3. :
On a :
Or :
x3)x11(lim
x
)x11ln(x3
ex3
)x11(
)x1(
x1
x1)
x11ln(
Développement limité à l’ordre 1 (D4)
![Page 189: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/189.jpg)
Car lorsque
Donc :
))x1(
x1
x1(x3
ex3
)x11(
0x1 x
![Page 190: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/190.jpg)
Ainsi :
Car
3e
x
x3)x11(lim
)x1(3
ex3
)x11(
C’est-à-dire :
0)t(0t
lim)x1(lim
x
![Page 191: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/191.jpg)
Remarque
Refaire le calcul des 3 limites précédente en posant « au début » :
x1t
![Page 192: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/192.jpg)
4.4. :
Nous avons besoin des développements limités de Cos x et Sin x à l’ordre 3, car
le dénominateur montre qu’il faut développer la fonction à l’ordre 3
2
x0x2xx1e
)xsinxcosx(lim
xe
![Page 193: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/193.jpg)
Développements limités à l’ordre 3
de Cos x et Sin x
1. ; La formule de Taylor-Young à
l’ordre 3 donne :0''Cos
!2x0'xCos0CosCosx2
Cosx)x(f
)x(x0Cos!3x 33 )3(
![Page 194: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/194.jpg)
Or : ;
Donc :
C’est-à-dire :
10Cos 00Sin0'Cos 10Cos0''Cos 00Sin0Cos )3(
)x(xx02xx01Cosx 332
)x(x2x1Cosx 32
![Page 195: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/195.jpg)
De même pour la fonction Sinus
1. ; La formule de Taylor-Young à
l’ordre 3 donne :0''Sin
!2x0'xSin0SinSinx2
Sinx)x(f
)x(x0Sin!3x 33 )3(
![Page 196: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/196.jpg)
Or : ;
Donc :
C’est-à-dire :
00Sin 10Cos0'Sin 000'' SinSin
100)3( CosSin
)x(x16
3x02x1x0Sinx 32
)x(x6xxSinx 33
![Page 197: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/197.jpg)
Par conséquent :
Nous avons utiliser le D. L. de à l’ordre 3
2
x 2xx1e
xsinxcosx
)x(3x6/3x
)x(3x)6/3xx()2/2x1(x
xe
![Page 198: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/198.jpg)
Ainsi :
)x(6/1)x(3/1
)x(3x6/3x
)x(3x3/3x
2xx1e
)xsinxcosx(lim
2
x0x2
![Page 199: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/199.jpg)
B. Fonctions à deux variables réelles
2ème Partie du Cours
![Page 200: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/200.jpg)
Exemples introductifsI. Une entreprise commercialise 3 produits :
A, B et C. Le prix de vente unitaire du produit A est 12 DH, celui du produit B est 15 DH et celui du produit C est 22 DH.
On vend une quantité x du produit A, une quantité y du produit B et une quantité z du produit C. La recette R(x ; y ; z) est donnée par :
R(x ; y ; z) = 12x + 15y + 22 z La recette de cet exemple est une fonction
de 3 variables x, y et z
![Page 201: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/201.jpg)
Exemples introductifsII. Une entreprise fabrique 2 produits A et B.
Si x désigne la quantité fabriquée de A et y celle de B, la recette escomptée lors de la vente de x articles de A et de y articles de B est donnée par :
R(x , y) = -3x2 -2y2 +220x +140y Le coût d’une unité de A (respectivement
de B) qu’on note CA (respectivement CB) dépend des quantités x et y comme suit :
CA = 2x +y et CB = x +3y
![Page 202: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/202.jpg)
Exemples introductifsa. Exprimer en fonction de x et de y le coût
c(x , y) de fabrication de x unités de A et de y unités de B.
C(x , y) = x CA + y CB
= x (2x +y) + y (x +3y)
= 2x2 +3y2 +2xyOn obtient une fonction de 2 variables x et y
![Page 203: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/203.jpg)
Exemples introductifsb. Exprimer le bénéfice B(x , y) réalisé lors de
la vente de x articles de A et de y articles de B.
B(x , y) = R(x , y) – c(x , y) = (-3x2 -2y2 +220x +140y) – (2x2 +3y2 +2xy)
= -5x2 -5y2 -2xy +220x +140y
le bénéfice est une fonction de 2 variables x et y
![Page 204: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/204.jpg)
Séance Séance n° 7n° 7
![Page 205: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/205.jpg)
Exemples de fonctions à plusieurs variables
a. : 2 variables
b. : 2 variables
c. : 2 variables
xyeyxe)y,x(f
100xy
yx)y,x(f
xy3yx)y,x(f 33
![Page 206: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/206.jpg)
Exemples de fonctions à plusieurs variables
d. : 3 var
e. :3 var
f. :4 var
zyxxyzzyxf 35),,(
)4ln(),,( 22 zyxzyxf
tzyxtzyxf 23),,,(
![Page 207: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/207.jpg)
RemarqueRemarque
1. Dans le cas de n variables ( ), on peut noter les variables :
x1 , x2 , x3 , … , xn
la fonction f est notée dans ce cas :
f(x1 , x2 , x3 , … , xn)
5n
![Page 208: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/208.jpg)
RemarqueRemarque
2. On s’intéresse dans le cadre de ce cours aux fonctions de deux variables x et y
)y,x(fIRIR)y,x(
![Page 209: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/209.jpg)
1.Domaine de définition
),( yx
IRIRfD f
),( yxf
IR
I
Le domaine de définition est
un domaine du plan IR2
(IR2 = IR x IR)
![Page 210: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/210.jpg)
Interprétation géométrique
Le plan IR2
y
x
![Page 211: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/211.jpg)
Interprétation géométrique
Df
2IR
fD
![Page 212: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/212.jpg)
ExemplesExemples
1. :
et on a :
est définie (on peut la calculer)
Donc
yx2xyyx)y,x(f 22
IRx IRy
)y,x(f2
fIRIRIRD
x y
![Page 213: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/213.jpg)
Interprétation géométrique
le plan tout entier
IRIRDf
![Page 214: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/214.jpg)
ExemplesExemples
2. :
on doit avoir pour que
soit définie, donc
3y)yln(x)y,x(f 2
0y )y,x(f
[,0]IRDf
x y
![Page 215: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/215.jpg)
Interprétation géométrique
la moitié supérieure
du plan Sans l’axe Ox
fD
y
x
![Page 216: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/216.jpg)
ExemplesExemples
3. :
On doit avoir : et
pour que soit définie
Donc
1)yln()xln()y,x(f
0x
)y,x(f
[,0][,0]Df
0y
x y
![Page 217: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/217.jpg)
Interprétation géométrique
¼ du planSans les axes
fD
![Page 218: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/218.jpg)
RemarqueRemarqueà réviser :
Équation d’une droite dans le plan IR2 :
Une droite partage le plan en 3 zones…..
Équation d’un cercle dans le plan IR2 :
Un cercle partage le plan en 3 zones…..
Voir TD
![Page 219: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/219.jpg)
ExerciceExercice
Voir Exercice 1 « TD, Partie 2 »
![Page 220: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/220.jpg)
2.Courbes de niveaux & Sections
a) Courbes de niveaux :
Ce sont des sous ensembles du domaines de définition D.
Elles correspondent à des coupes horizontales de la surface z = f(x , y) projetées sur le domaine de définition D.
![Page 221: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/221.jpg)
a)Courbes de niveaux
Définition
La courbe de niveau k, notée Ck ou Nk,
est l’ensemble des points du domaine de
définition D tels que leur image f(x , y) est
égale à k :
k)y,x(f/D)y,x(
kC
![Page 222: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/222.jpg)
ExempleExemple
• :
La Courbe de niveau k : On cherche les couples (x , y) du domaine de définition IR2
tels que :
2xy)y,x(f 2
fIRD
k)y,x(f
![Page 223: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/223.jpg)
La Courbe de niveau k est la parabole d’équation :
C0 : (k=0) parabole d’équation
C1 :(k=1) // //
C-1 :(k=-1) // //
kxykxyk)y,x(f 22
kxy 22xy
1xy 2
1xy 2
![Page 224: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/224.jpg)
Elles correspondent à des coupes verticales de la surface z = f(x , y)
b) Sections ou « abaques »
![Page 225: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/225.jpg)
On fixe x : ( x = k ) et on trace la
courbe z = f(k , y) dans le plan Oyz
Sections selon x
y
z
![Page 226: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/226.jpg)
On fixe y : ( y = k ) et on trace la
courbe z = f(x , k) dans le plan Oxz
Sections selon y
x
z
![Page 227: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/227.jpg)
ExempleExemple
• :
Domaine de définition :
et ou et
)xyln()y,x(f
0x0xy
[,0][,0][0,][0,]fD
0y 0x 0y
![Page 228: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/228.jpg)
Interprétation géométrique
fD
![Page 229: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/229.jpg)
On fixe x : ( x = 1 ) et on trace la
courbe : z = f(1 , y) = ln y (y>0) dans le plan Oyz
Section selon x = 1
y
z z=ln y
![Page 230: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/230.jpg)
On fixe y : ( y = -1 ) et on trace la
courbe : z = f(x , -1) = ln -x (x<0) dans le plan Oxz
Section selon y = -1
x
zz=ln -x
![Page 231: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/231.jpg)
3. Dérivées partielles premières
Deux dérivées partielles premières
f’x(x,y)
f(x , y)
f’y(x,y)
1ère notation :
Selon x Selon y
![Page 232: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/232.jpg)
2ème notation
f(x , y)
Selon x
)y,x(xf
)y,x(
yf
: Se prononce « d rond »
![Page 233: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/233.jpg)
Règle de baseRègle de baseLes premiers pas…dans le calcul différentielLes premiers pas…dans le calcul différentiel
Lorsqu’on dérive par rapport à une variable, l’autre variable
est supposée constante
![Page 234: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/234.jpg)
Dérivées partielle première
par rapport à x
0
000
0
00
),(),(lim),('
xx
yxfyxf
xxyxfx
x est variable et tend vers x0, alors que y est fixé : y = y0
![Page 235: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/235.jpg)
Dérivées partielle première
par rapport à y
0
000
0
00
),(),(lim),('
yy
yxfyxf
yyyxf y
x est fixé : x = x0 alors que y est variable et tend vers y0
![Page 236: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/236.jpg)
RemarqueRemarque
Lorsqu’on calcule une dérivée partielle, on utilise les règles de dérivation d’une fonction d’une
variable réelle « car une des deux variable est fixée »
![Page 237: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/237.jpg)
ExemplesExemples
1. :
Selon x Selon y
3yxyx)y,x(f 42
yx2)y,x('fx 3y y4x)y,x('f
![Page 238: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/238.jpg)
ExemplesExemples
2. :
Selon x Selon y
yxxe)y,x(f 2y
xy2e)y,x('f yx 2y
y xxe)y,x('f
![Page 239: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/239.jpg)
ExemplesExemples
3. :
Selon x Selon y
xy3yx)y,x(f 33
y3x3)y,x('f 2x x3y3)y,x('f 2
y
![Page 240: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/240.jpg)
Séance Séance n° 8n° 8
![Page 241: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/241.jpg)
Dérivées partielles premières
f’x (x , y)
f (x , y)
f’y (x , y)
Selon x Selon y
fonctions de 2 variables
![Page 242: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/242.jpg)
Une dérivée partielle est unefonction de deux variables x et y, on peut alors la dériver à son tour!
![Page 243: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/243.jpg)
Schème de dérivation
f(x , y)
f’x(x,y) f’y(x,y)
f’’xx(x,y)
x
x x
y
y y
f’’xy(x,y) f’’yx(x,y) f’’yy(x,y)
quatre dérivées partielles secondes
![Page 244: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/244.jpg)
f’’xx : On dérive f 2 fois par rapport à x
f’’xy
f’’yx
f’’yy
Dérivées partielles secondesou d’ordre 2
: On dérive f par rapport à x ensuite par rapport à y « dérivée croisée »
: On dérive f 2 fois par rapport à y
: On dérive f par rapport à y ensuite par rapport à x « dérivée croisée »
![Page 245: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/245.jpg)
ExerciceExercice
Calculer les dérivées partielles premières et secondes des fonctions suivantes :
1. ;
2. ;
3. ;
yxxyyx3)y,x(f 32
xlnyylnx)y,x(f 22 yx)y,x(f
![Page 246: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/246.jpg)
1. :x
x x
y
yy
Remarque :
yxxyyx3)y,x(f 32
16),(' 3 yxyyxxf 133),(' 22 xyxyxyf
yyxxxf 6),(''
236),(''),('' yxyxyxfyxxyf
xyyxyyf 6),(''
''''yxfxyf
![Page 247: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/247.jpg)
2. :x
x x
y
yy
Remarque :
xyyyxxf /ln),(' xyxyxyf ln/),('
2/),('' xyyxxxf
yxyxyxfyxxyf /1/1),(''),(''
2/),('' yxyxyyf
''''yxfxyf
xlnyylnx)y,x(f
![Page 248: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/248.jpg)
3. :x
xx
y
yy
22/),(' yxxyxxf
3)(/'''' 22 yxxyyxfxyf
22),( yxyxf
22/),(' yxyyxyf
3)(/'' 222 yxyxxf 3)(/'' 222 yxxyyf
![Page 249: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/249.jpg)
RemarqueRemarque
a) Théorème de Schwartz
Si f est une fonction «de classe C2» alors les dérivées secondes croisées sont égales :
Toutes les fonctions économiques considérées dans ce cours vérifient le Théorème de Schwartz
''''yxfxyf
![Page 250: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/250.jpg)
RemarqueRemarque
b) Une fonction de deux variables admet :
1. 2 dérivées partielles d’ordre 1 « premières »
2. 4 dérivées partielles d’ordre 2
3. 8 dérivées partielles d’ordre 3
4. 16 dérivées partielles d’ordre 4 … etc
n. 2n dérivées partielles d’ordre n
![Page 251: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/251.jpg)
4.4. Quelques définitionsQuelques définitions
Définition
f est homogène de degré k lorsque :
et
a) Les fonctions homogènes :
fDyx ),( 0
),(),( yxfkyxf
![Page 252: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/252.jpg)
ExemplesExemples
1. :
Soit , on a :
225),( xyyxyxf
022 ))(()()(5),( yxyxyxf 23235),( xyyxyxf ),()5( 3223 yxfxyyx
f est homogène de degré 3
![Page 253: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/253.jpg)
2. :
Soit , on a :
22),(
yx
xyyxf
0
222222))((
),(yx
xy
yx
yxyxf
),(0),(),( yxfyxfyxf f est homogène de degré 0
![Page 254: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/254.jpg)
3. :
Soit , on a :
55),(
yx
yyxf
0
5555554),(
yx
y
yx
yyxf
),(4),( yxfyxf f est homogène de degré -4
![Page 255: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/255.jpg)
4. :
Soit , on a :
Si on prend par exemple et
On obtient :
1),( yxxyyxf
01),( 2 yxxyyxf
9)2,2()12,12( ff
f n’est pas une fonction homogène
2 1,1 yx
)1,1(2)12,12(4)1,1( fff
![Page 256: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/256.jpg)
Règle Pratique
Pour montrer que f est homogène (ou non homogène), on peut utiliser :
La définitionou
Le Théorème d’Euler
![Page 257: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/257.jpg)
Théorème d’Euler
f est homogène de degré k
),(),(),( '' yxyxyyxx fkyfxf
![Page 258: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/258.jpg)
ExempleExemple
225),( xyyxyxf
f est homogène de degré 3
x y
210),(' yxyyxxf xyxyxyf 25),(' 2
22 315),('),(' xyyxyxyyfyxxxf
),(3),('),(' yxfyxyyfyxxxf
On a :
![Page 259: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/259.jpg)
4.4. Quelques définitionsQuelques définitions
1. Cas d’une fonction d’une variable :
L’élasticité de f est par définition :
b) Elasticités
)()('),(xfxxfxfeE
xf
![Page 260: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/260.jpg)
ExempleExemple
2)( 2 xxxf
Exemple :
On a :
2
2
2
)12(
)(
)('),(
2
2
2
xx
xx
xx
xx
xf
xxfxfe
25)2,( fe
![Page 261: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/261.jpg)
f’x (x , y)
f (x , y)
f’y (x , y)
2. Cas d’une fonction de deux variables
),(
),('),(
yxf
yxxxfxfe ),(
),('
),(yxf
yxyyfyfe
Elasticité partielle par rapport à x
Elasticité partielle par rapport à y
![Page 262: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/262.jpg)
ExemplesExemples
225),( xyyxyxf x
210),(' yxyyxxf
22
22
5
10
),(
),('),(
xyyx
xyyx
yxf
yxxxfxfe
1. :
![Page 263: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/263.jpg)
225),( xyyxyxf y
22
22
5
25
),(
),('
),(xyyx
xyyx
yxf
yxyyfyfe
xyxyxyf 25),(' 2
![Page 264: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/264.jpg)
AinsiAinsi
225),( xyyxyxf x y
22
22),(5
10
xyyx
xyyxxfe
22
22),(5
25
xyyx
xyyxyfe
Exemple : x = 1 ; y = 1
4/9),( xfe 4/3),( yfeet
![Page 265: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/265.jpg)
ExemplesExemples
99,001,0),( yxyxf x
99,099,001,0),(' yxyxxf
01,001,0
),(
),('),(
99,001,0
99,001,0
yx
yx
yxf
yxxxfxfe
2. :
![Page 266: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/266.jpg)
99,001,0),( yxyxf y
01,001,099,0),(' yxyxyf
99,099,0
),(
),('
),(99,001,0
99,001,0
yx
yx
yxf
yxyyfyfe
![Page 267: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/267.jpg)
AinsiAinsi
x y
99,001,0),( yxyxf
99,0),( yfe01,0),( xfe
![Page 268: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/268.jpg)
D’une manière généraleD’une manière générale
x y
),( yfe),( xfe
ykxyxf ),(
![Page 269: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/269.jpg)
Séance Séance n° 9n° 9
![Page 270: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/270.jpg)
c) Différentielle totale
4.4. Quelques définitionsQuelques définitions
![Page 271: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/271.jpg)
dyyxyfdxyxxfdfyx
),('),(' 0000),(00
Définition
La différentielle totale de f au point (x0 , y0) avec les accroissements dx et dy est la quantité :
![Page 272: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/272.jpg)
ExempleExemple
)(),( 22 yxxyxyyxyxf
Calculer la différentielle totale de f au point (20,30) avec les accroissements
dx = 1 et dy = -1
![Page 273: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/273.jpg)
RéponseRéponse
Or : ,
,
)1()30,20('1)30,20(')30,20(
yfxfdf
500)1(160012100)30,20(
df
2100)30,20('2),(' 2 xx fyxyyxf
1600)30,20('2),(' 2 yy fxyxyxf
![Page 274: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/274.jpg)
InterprétationInterprétation
(x0,y0)
dxdy
(x0+dx,y0+dy)
Question : Lorsque x subit une légère variation dx «ou » (on passe de x0 à x0 +dx) et y subit une légère variation dy «ou » (on passe de y0 à
y0 +dy) , de combien varie la fonction f « » ?
xy
?f
![Page 275: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/275.jpg)
RéponseRéponse
1. Calcul direct :
2. Valeur approchée :
),(),(0000yxfdyydxxff
),(00yx
dff
![Page 276: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/276.jpg)
ExempleExemple
3/23/1),( yxyxU
Soit la fonction U (appelée fonction d’utilité) donnée par :
Calculer U(x,y) pour x=8 et y=1
De combien varie la fonction d’utilité U si x augmente de dx=0,1 et y diminue de dy=0,01
(Utiliser deux méthodes)
![Page 277: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/277.jpg)
RéponseRéponse
1. Calcul direct : On a :
; ; ;
);();(0000yxUdyydxxUU
)1;8()99,0;1,8( UU
..299,01,8 00511,03 23
80x 10y 1,0dx 01,0dy
![Page 278: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/278.jpg)
RéponseRéponse
2. Valeur approchée :
avec les accroissements
)1,8(dUU
01,01,0
dydx
)01,0()1,8('1,0)1,8(')1,8(
yUxUdU
![Page 279: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/279.jpg)
;
;
Donc :
C’est-à-dire :
On obtient ainsi :
121)1,8('
31),(' 3/23/2
xx UyxyxU
34)1,8('
32),(' 3/13/1
yy UyxyxU
)01,0(3/4)1,0(12/1)1,8(
dU
005,0)1,8(
dU
005,0U
![Page 280: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/280.jpg)
Variation Variation &&
Variation relative Variation relative
Quelques InterprétationsQuelques Interprétations EconomiquesEconomiques
![Page 281: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/281.jpg)
Le salaire S d’un employé a été
augmenté de 1300 DH
On parle ici de variation du Salaire :
Le nouveau salaire est :
ExempleExemple
1300' SSSS
1300S
![Page 282: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/282.jpg)
Le salaire S d’un employé a été
augmenté de 5% :
On parle ici de variation relative du
Salaire :
Le nouveau salaire est :
ExempleExemple
SS %5
SSSSSS 05,105,0'
%5SS
![Page 283: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/283.jpg)
A. Cas d’une fonction « économique » d’une variable
0
0
0
0
)()(lim)('
xx
xfxf
xxxf
Variation de f :
On rappelle que :
![Page 284: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/284.jpg)
Lorsque ; (f est continue)
On note : et
que l’on appelle respectivement différentielle de f et différentielle de x, on a donc :
ou encore
Exemples : • ;
• .
dxdfxf )('
0xx )()( 0xfxf
)()( 0xfxfdf 0xxdx
dxxfdf )('
dxx
dfxxf2
1)(
dxx
dfx
xf211)(
![Page 285: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/285.jpg)
Notations
dx : Variation infiniment petite de x
: Variation infiniment petite de f
: Variation très petite « faible» de x
: Variation très petite « faible» de f
df
xf
![Page 286: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/286.jpg)
En pratique
si la variation que subit x est faible : la variation subit par la fonction f est faible et on a :
Remarque : dans la formulenous avons remplacé :
par et par
xxff )('
x
dxxfdf )('
dx x df f
![Page 287: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/287.jpg)
Le coût global de la fabrication d’un bien en quantité x est donnée par la formule :
Pour une quantité x=10 (par exemple) :
2250)( xxC
150100250)10( C
Exemple
![Page 288: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/288.jpg)
Calculons l’écart (de 2 façons différentes) résultant d’une augmentation
1) Calcul direct :
donc
1x
12912125011250)11( 2 C
21150129)10()11( CCC
![Page 289: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/289.jpg)
2) Valeur approchée : en appliquant la formule :
On obtient :
xxCC )('
)1()20(2)(' CxxC
20C
![Page 290: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/290.jpg)
A retenirA retenir• Si x subit une faible variation , une valeur approchée de la variation de f est donnée par la formule :
xf
xxff )('
![Page 291: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/291.jpg)
On a :
L’élasticité de f au point x est :
Variation relative
x
fxfxxff
)(')('
xxff
xfexfx
fx
xf
xxfxfe
),()()(
)('),(
![Page 292: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/292.jpg)
Elasticité de f au point x :
xxff
xfe
),(
ff
xx
représente la variation relative de f
représente la variation relative de x
xxxfe
ff ),(
![Page 293: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/293.jpg)
ExempleExemple
f(x) représente une fonction économique dépendant de la quantité x d’un bien
distribué.
On suppose connaitre la valeur de f pour une quantité x=1000 et que l’élasticité en x=1000 est : e(f,1000) = 5.
![Page 294: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/294.jpg)
ExempleExemple
La quantité distribuée à baissé de 2% (980 unités ont été distribuées au lieu de 1000),
cela entrainera une variation relative de f :
f a baissé d’environ 10%
%10%25),( xxxfe
ff
![Page 295: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/295.jpg)
A retenirA retenir• Si x subit une faible variation relative , une valeur approchée de la variation relative de f est donnée par la formule :
désigne l’élasticité de f au point x
xx/
xxxfe
ff ),(
),( xfe
![Page 296: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/296.jpg)
Variation de f :
Nous avons vu que :
C’est-à-dire :
),(00yx
dff
dyyxyfdxyxxff ),('),(' 0000
B. Cas d’une fonction « économique » de deux
variables
![Page 297: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/297.jpg)
En pratique : si la variation que subit x est faible et la variation que subit y est faible : la variation subit par la fonction f est faible et on a :
Voir exemple précédent « paragraphe 4 c) : différentielle totale »
xy
yyxyfxyxxff ),('),(' 0000
![Page 298: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/298.jpg)
A retenirA retenir• Si x subit une faible variation et y subit une faible variation , une valeur approchée de la variation de f est donnée par la formule :
xy
yyxyfxyxxff ),('),(' 0000
![Page 299: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/299.jpg)
On a :
En divisant par f(x,y) :
Variation relative
yyxyfxyxxff ),('),('
yyxf
yxfx
yxf
yxf
ff yx
),(
),('
),(
),('
![Page 300: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/300.jpg)
On fait apparaître les variations relatives de x et de y :
yy
yxf
yxyf
xx
yxf
yxxf
ff yx
),(
),('
),(
),('
yyyfe
xxxfe
ff ),(),(
![Page 301: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/301.jpg)
Variation relative de f
ff
xx
représente la variation relative de f
et représentent les variations relatives de x et de y
yyyfe
xxxfe
ff ),(),(
yy
),( xfe ),( yfe et représentent les élasticités partielles par rapport à x et à y
![Page 302: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/302.jpg)
ExempleExemple
f(x,y) représente une fonction économique dépendant de deux quantités x et y de deux biens fabriqués.
On suppose connaitre la valeur de f pour une quantité x=1000 et y=500. Supposons aussi que les élasticités partielles en x=1000 et y=500 sont : e(f , x) = 5 et e(f , y) = 3
![Page 303: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/303.jpg)
ExempleExemple Suite à un incident technique, la fabrication des deux biens a légèrement varié : x a diminué de 4% et y a augmenté de 5%. Quelle variation cela entrainera sur la fonction économique f ?
la fonction économique f subira une baisse d’environ 5%
%5%53%)4(5 ff
![Page 304: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/304.jpg)
A retenirA retenir• Si x subit une faible variation relative et y subit une faible variation relative , une valeur approchée de la variation relative de f est donnée par la formule :
xx/yy/
yyyfe
xxxfe
ff ),(),(
![Page 305: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/305.jpg)
Suite du Cours
Fin de Fin de
l’interprétationl’interprétation EconomiqueEconomique
![Page 306: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/306.jpg)
Séance Séance n° 10n° 10
![Page 307: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/307.jpg)
d) Hessien de f
4.4. Quelques définitionsQuelques définitions
Rappel : déterminant d’ordre 2
bcaddb
ca
![Page 308: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/308.jpg)
Définition
Le Hessien de f au point (x , y) est la quantité :
),(),(
),(),(),(
''''
''''
yxyx
yxyxyx
fyyyx
xyxx
ff
ffH
![Page 309: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/309.jpg)
ExempleExemple
Soit la fonction
Calculer le Hessien de f aux points (0;0), (1;2) et (-2;1)
32),( xyyxyxf
![Page 310: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/310.jpg)
x
x x
y
yy
32),( xyyxyxf
32),(' yxyyxxf 22 3),(' xyxyxyf
yyxxxf 2),(''
232),(''),('' yxyxyxfyxxyf
xyyxyyf 6),(''
![Page 311: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/311.jpg)
Donc Le Hessien de f au point (x , y) estdonné par :
xyyx
yxyH yxf 632
3222
2),(
![Page 312: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/312.jpg)
Ainsi
;
;
;
00000
00)0,0(
fH
148100481210
104)2,1(
fH
254924127
72)1,2(
fH
![Page 313: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/313.jpg)
5.5. OptimisationOptimisationOuOu
Recherche d’ExtremaRecherche d’Extrema
![Page 314: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/314.jpg)
Extrema Ou
Extrémums
RemarqueRemarque
Maximum « MAX »
Minimum « MIN »
Ou
![Page 315: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/315.jpg)
Soit f(x , y) une fonction de deux variables
définie sur un domaine D
( )
On cherche les couples (x , y)
qui rendent f maximale ou minimale
2),( IRDyx
Problème
![Page 316: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/316.jpg)
Extrémum Extrémum locallocal ou ou globalglobal
Maxlocal
Maxlocal
Maxlocal
Maxglobal
Minlocal Min
globalMinlocal
Plus grand
Plus petit
![Page 317: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/317.jpg)
Un maximum global (s’il existe) est
un point (x0,y0) du domaine D qui vérifie :
:
Un minimum global (s’il existe) est
un point (x0,y0) du domaine D qui vérifie :
:
Dyx ),( ),(),(00yxfyxf
Dyx ),( ),(),(00yxfyxf
![Page 318: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/318.jpg)
On checrche les extrémums “locaux”
de la fonction f sachant qu’il n y a aucune
contrainte sur les variables x et y :
on dit que les variables x et y sont
indépendantes ou libres
a) Extrémums ”locaux” libres
![Page 319: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/319.jpg)
On parle alors d’éxtrémums libres
de la fonction f sur le domaine D
![Page 320: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/320.jpg)
Méthode à suivre
I. Etape 1 : Recherche des candidats
Remarque : On dit aussi points critiques ou points stationnaires
Ce sont les couples (x , y) solutions du système :
S :
0'0'
),(
),(
yx
yx
y
xff
![Page 321: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/321.jpg)
On doit résoudre le système S “ étape un
peu difficile !” et donner ses solutions :
(x0 , y0) ; (x1 , y1) ; (x2 , y2) ; etc...
Les couples (x0 , y0) ; (x1 , y1) ; (x2 , y2) ... sont les candidats ( ...pour être extrémums), ou les points critiques de la fonction f
(on dit aussi : points stationnaires de f)
![Page 322: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/322.jpg)
II. Etape 2
Nature des candidats
Max
Min
![Page 323: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/323.jpg)
II. Etape 2
Nature des candidats
Point-selleNi MaxNi Min
![Page 324: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/324.jpg)
II. Etape 2
Nature des candidats
Col Ni MaxNi Min
![Page 325: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/325.jpg)
Etape 2 : Nature des candidats
On calcule le Hessien de f pour chaque candidat.
Soit (x0 , y0) un candidat issu de l’étape 1 :
),(),(
),(),(),(
0000
000000 ''''
''''
yxyx
yxyxyx
fyyyx
xyxx
ff
ffH
![Page 326: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/326.jpg)
Etape 2 : Nature des candidats
Si Hf (x0 , y0) pas d’extrémum en (x0 , y0)
« Ni Max ni Min »
Il s’agit d’un Col ou un point-selle en (x0 , y0)
Si Hf (x0 , y0) f présente un extrémum
en (x0 , y0)
0
0
![Page 327: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/327.jpg)
Pour savoir s’il s’agit d’un Max ou d’un Min, on
regarde le signe de la dérivée seconde par
rapport à x (ou par rapport à y) :
Si :
f présente un Maximum en (x0 , y0)
Si :
f présente un Minimum en (x0 , y0)
0),(00
'' yxxxf
0),(00
'' yxxxf
![Page 328: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/328.jpg)
3ème cas : On ne peut pas conclure
Si Hf (x0 , y0) :
Dans ce cas, on ne peut rien conclure
Remarque : Dans ce cas, on peut faire appel à d’autres méthodes : Des estimations locales de la fonction au voisinage du point (x0 , y0) par exemple. Voir «TD : Partie 2 - Exercice 3»
0
![Page 329: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/329.jpg)
Exemple 1Exemple 1
Soit la fonction :
Trouver les extrémums « locaux » de la fonction f
yxxyyxyxf 9369343 22),(
![Page 330: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/330.jpg)
RéponseRéponseI. Etape 1 : Recherche des candidats On doit résoudre le système :
S :
Nous avons un seul candidat : le couple (7 , 9)
0'0'
),(
),(
yx
yx
y
xff
00
93386936
xyyx
97
93836936
yx
yxyx
![Page 331: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/331.jpg)
RéponseRéponseII. Etape 2 : Nature des candidats
On calcule le Hessien de f au point (7 , 9) :
),(),(
),(),(),(
''''
''''
yxyx
yxyxyx
fyyyx
xyxx
ff
ffH
3983
36),(
yx
fH
![Page 332: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/332.jpg)
RéponseRéponseLe Hessien de f ne dépend ici de (x , y), nous avons alors au point (7 , 9) :
f présente donc un extrémum au point (7 , 9)
Pour savoir s’il s’agit d’un Max ou d’un Min, on regarde le signe de la dérivée seconde par rapport à x :
039)9,7( f
H
![Page 333: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/333.jpg)
RéponseRéponse
f présente donc un Maximum « local » au point (7 , 9)
La valeur de ce maximum est :
06)9,7(''6),('' xxxx fyxf
660)9,7( f
![Page 334: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/334.jpg)
Exemple 2Exemple 2
Soit la fonction :
Trouver les extrémums « locaux » de la fonction f
333),( yxxyyxf
![Page 335: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/335.jpg)
I. Etape 1 : Recherche des candidats
On doit résoudre le système :
S :
0'0'
),(
),(
yx
yx
y
xff
00
)(3)(32
2
yxxy
42)2
(
2
22
xxx
xyyxxy
![Page 336: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/336.jpg)
Etape 1 : Recherche des candidats
S
Nous avons ici deux candidats (0 , 0) et (1, 1)
00
2
)3
1(
2
4 xx
xyxxxy
11
002
....
.... 10 yx
yx ou
xouxxy
![Page 337: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/337.jpg)
Etape 2 : Nature des candidatsOn calcule le Hessien de f aux points (0,0), (1,1) :
pas d’extrémum en (0,0)
pas d’
Extrémum en (1,1)
y
xyxH
f 63
36),(
0903
30)0,0(
fH
02793663
36)1,1(
fH
![Page 338: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/338.jpg)
RéponseRéponseOn regarde le signe de la dérivée seconde de f par rapport à x au point (1 , 1) :
f présente donc un Maximum « local » au point (1 , 1)
La valeur de ce maximum est :
06)1,1(''6),('' xxxx fxyxf
1)1,1( f
![Page 339: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/339.jpg)
Séance Séance n° 11n° 11«« Dernière Séance Dernière Séance »»
![Page 340: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/340.jpg)
On checrche les extrémums “locaux”
de la fonction f sachant que les variables x et y sont liées par une équation
appelée “contrainte”
Contrainte :
b) Extrémums ”locaux” liés
0),( yxg
![Page 341: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/341.jpg)
On parle alors d’éxtrémums de
la fonction f sur le domaine D liés par la
contrainte
Le problème est plus simple que
celui des extrémums libres :
0),( yxg
![Page 342: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/342.jpg)
x
y
z
(x , y) vérifiant la contrainte
Df
Surface
z=f(x , y)
MaxMax
Min
![Page 343: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/343.jpg)
x
y
zMax
Max
Min
0),( yxg
![Page 344: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/344.jpg)
Deux méthodes : Deux méthodes :
I.I. Méthode de substitution Méthode de substitution
OuOu
II.II. Méthode du multiplicateur Méthode du multiplicateur de Lagrangede Lagrange
![Page 345: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/345.jpg)
I.I. Méthode de substitutionMéthode de substitution
A partir de la contrainte ,
on exprime y en fonction de x (ou x en fonction de y) et on remplace dans la fonction f(x , y)
On obtient alors une fonction d’une variable réelle : on cherche ses extrémums
0),( yxg
![Page 346: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/346.jpg)
Exemple Exemple
Chercher les extrémums de la fonction :
Sous la contrainte
223),( yxxyyxf
2yx
![Page 347: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/347.jpg)
On pose :
« contrainte »
,
on remplace y par sa valeur dans f (x , y) :
2),( yxyxg
RéponseRéponse
xyyxg 20),(
![Page 348: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/348.jpg)
On obtient une fonction d’une variable : h(x)
RéponseRéponse
)2,(),( xxfyxf
)(4105 2 xhxx
22 )2()2(3 xxxx
![Page 349: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/349.jpg)
On cherche les extrémums de la fonction h(x) :
RéponseRéponse
)1(101010)(' xxxh
x 1 h’(x)
h(x)
+ 0 _
1
Max
![Page 350: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/350.jpg)
La fonction h présente un extrémum en x=1
Conclusion
La fonction f présente un seul extrémum sous la contrainte : un Maximum en (1 , 1)
RéponseRéponse
11121
yxxyx
2 yx
La valeur de ce maximum est : 1)1,1( f
![Page 351: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/351.jpg)
Remarque Remarque
On utilise la méthode de substitution lorsque la contrainte g permet d’exprimer facilement y en fonction de x (ou x en fonction de y)
![Page 352: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/352.jpg)
II.II. Méthode de LagrangeMéthode de Lagrange
On intègre la contrainte dans le problème en considérant la fonction de Lagrange « à 3 variables » suivante :
),(),(),,( yxgyxfyxL
est le multiplicateur de Lagrange
![Page 353: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/353.jpg)
II.II. Méthode de LagrangeMéthode de Lagrange
On cherche alors les extrémums « libres » de la fonction L :
Deux étapes :
Recherche des candidats Nature des candidats
Problème à 3 variables !!
![Page 354: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/354.jpg)
Etape 1 : Recherche des candidats Etape 1 : Recherche des candidats
On commence par résoudre le système :
S :
Les solutions (x1 , y1 , ) ; (x2 , y2 , ) ... du système S sont les candidatsles candidats
0),,(
0),,(
0),,(
'''
yx
yx
yx
LLL
y
x
1 2
![Page 355: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/355.jpg)
Etape 2 :Etape 2 : Nature des candidatsNature des candidats
On calcule le Hessien de L pour chaque candidat.
Soit (x1 , y1 , ) un candidat issu de l’étape 1 1
HL (x1 , y1 , ) 1
![Page 356: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/356.jpg)
''''''
''''''
''''''
),,( 111
LLL
LLL
LLL
yxL
H
yx
yyyyx
xxyxx
Calculé au point (x1 , y1 , ) 1
![Page 357: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/357.jpg)
Si HL (x1 , y1 , )
f présente un Maximum en (x1 , y1)
Si HL (x1 , y1 , )
f présente un Minimum en (x1 , y1)
01
01
![Page 358: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/358.jpg)
3ème cas : On ne peut pas conclure
Si HL (x1 , y1 , )
Dans ce cas, on ne peut rien conclure
1 0
![Page 359: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/359.jpg)
Exemple Exemple
Soit la fonction :
Chercher les extrémums de f sous la contrainte :
5),( yxyxf
122 yx
![Page 360: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/360.jpg)
On pose :
La fonction de Lagrange est donnée par :
1),( 22 yxyxg
RéponseRéponse
),(),(),,( yxgyxfyxL
)1(5 22 yxyx
![Page 361: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/361.jpg)
I. Etape 1 : Recherche des candidats
On doit résoudre le système :
S :
0100
222121
yxyx
0),,(
0),,(
0),,(
'''
yx
yx
yx
LLL
y
x
012/12/1
22 yxyx
![Page 362: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/362.jpg)
Egalité des deux premières équations :
On remplace dans la 3ème équation :
yxyx 2/12/1
22121 222 xxyx
![Page 363: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/363.jpg)
car x=y et
et
2
2
2
2 yx2
2
2
1 x
2
2
2
2 yx2
2
2
1 x
![Page 364: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/364.jpg)
Nous avons donc deux candidats :
avec
et avec
)2
2,2
2(
)2
2,2
2(
2
2
2
2
![Page 365: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/365.jpg)
Etape 2 :Etape 2 : Nature des candidatsNature des candidats
Calcul du Hessien de L :
En développant suivant la 1ère ligne par exemple :
1
022
220
202
),,(
yx
y
x
yxL
H
![Page 366: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/366.jpg)
On obtient :
y
xx
y
yyx
LH
22
202
02
222),,(
22 88 xy
)(8 22 yx
![Page 367: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/367.jpg)
Ainsi :
:
Maximum en
:
Minimum en
0228)
22,
22(
LH
)2/2,2/2(
0228)
22,
22(
LH
)2/2,2/2(
![Page 368: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/368.jpg)
ConclusionConclusion
La fonction f présente deux extrémums sous la contrainte :
Un Maximum en
Un Minimum en
122 yx
)2
2,2
2(
)2
2,2
2(
![Page 369: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/369.jpg)
6.6. Fonction composéeFonction composée
![Page 370: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/370.jpg)
Exemple
On considère la fonction à deux variables
suivante :
On pose :
Calculer
Cas simpleCas simple« « Une Une variable »variable »
223),( yxxyyxf
)2,1()( 2 ttftF
)(' tF
![Page 371: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/371.jpg)
1) Méthode directe :
On calcule puis on dérive :
RéponseRéponse
)2,1()( 2 ttftF)(tF
2222 )2()1()2)(1(3 tttt11863 234 tttt
81294)(' 23 ttttF
![Page 372: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/372.jpg)
2)2) Formule de dérivationFormule de dérivation
))(),(()( tvtuftF On pose :
avec et
On a alors :
)('))(),(())(),(()(' ')('' tvtvtutvtutF yx ftuf
1)( ttu 2)( 2ttv
![Page 373: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/373.jpg)
Cette formule de dérivation fait intervenir
les dérivées partielles de f :
22),( 3 yxxyyxf x y
xyyxf x 23),(' yxyxf y 23),('
![Page 374: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/374.jpg)
823)(2)(3' 2))(),(( tttutvf tvtux
732)(2)(3' 2))(),(( tttvtuf tvtuy
Ainsi :
,
,
On applique la formule :
)('))(),(())(),(()(' ')('' tvtvtutvtutF yx ftuf
ttt tt 21)8223( )7322(
81294 23 ttt
![Page 375: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/375.jpg)
A retenirA retenir
))(),(()( tvtuftF On considère la fonction à une variable définie par :
où f est une fonction de deux variables notées x et y : (x , y) f (x , y)
On a alors :
)('))(),(())(),(()(' ')('' tvtvtutvtutF yx ftuf
![Page 376: Cours maths s1.by m.e.goultine](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102614/557d2d06d8b42a80608b4e70/html5/thumbnails/376.jpg)
«« FinFin du du CoursCours »»