Chapitre 8

~k3

L’expérience de Stern et Gerlach

Quiz de bienvenue

1. L’aimant subit uniquement une force

2. L’aimant subit une force et un couple

3. L’aimant subit uniquement un couple

On considère un aimant placé dans un champ magnétique homogène.

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1.

Principe de l’expérience et interprétation

1922 : Stern & Gerlach (Argent)

1927 : Phipps & Taylor (Hydrogène)

Rappels de magnétostatique

Force de Lorentz

Particule chargée

Moment magnétique

Dipôle magnétique (spire de courant, aimant, etc.)

Couple

Moment magnétique placé dans un champ magnétique

Energie d’interaction :

Force :

Le moment magnétique d’une boussole s’oriente dans la direction du

champ magnétique afin de minimiser cette énergie d’interaction.

Si le moment magnétique est orienté selon le champ, il est attiré vers

les zones où le champ magnétique est plus intense.

Modèle classique de moment magnétique atomique

Electron (charge q<0, masse m) en

mouvement circulaire uniforme autour

d’un proton.

Moment cinétique

Moment magnétique :

est le rapport gyromagnétique.

Pour un électron,

Avec la définition plus générale , on montre que la

relation ci-dessus reste valable tant que densités de masse et de charge

sont proportionnelles. (exercice)

+

La précession de Larmor

Si est homogène, la force est nulle mais il existe un couple :

Théorème du moment cinétique :

Mais , donc

est la fréquence de Larmor.

Le moment magnétique décrit un mouvement de précession.

L’expérience de Stern et Gerlach : une mesure de

En moyenne :

Prédiction classique :

Tache allongée verticalement en

raison de l’orientation aléatoire

des moments magnétiques.

Dans les conditions de l’expérience (B = 0.1 T),

Déflexion verticale

proportionnelle à

Résultat expérimental

Stern et Gerlach observent deux taches, en accord avec ce qu’attendait

Stern en s’appuyant sur la vieille « quantification spatiale » de Bohr-

Sommerfeld.

Mais Einstein et Ehrenfest mettent en évidence des failles sérieuses

dans l’application de cette théorie à l’expérience de Stern et Gerlach.

Interprétation quantique

Espace de Hilbert décrivant le moment magnétique :

Observable : Valeurs propres : et

Hypothèse minimale :

On appelle et les vecteurs propres de

constitue une base de

Dans cette base,

2.

Construction des observables et

Succession de deux appareils de Stern et Gerlach

Qu’observe-t-on en aval du second

appareil de Stern et Gerlach ?

1. Une seule tache

2. Deux taches identiques

3. Impossible de prévoir le résultat

4. Je ne sais pas

Mesure de

1. Une seule tache au centre

2. Une seule tache décalée

3. Deux taches identiques

décalées selon z

4. Deux taches identiques

décalées selon x

5. Je ne sais pas

Qu’observe-t-on en aval du second

appareil de Stern et Gerlach ?

L’observable

Dans la base

(ii) Comme pour , les valeurs propres de sont

(i) est une observable

(iii) Dans l’état , un SG orienté pour mesurer produit 2 taches identiques

Choix de la phase de

Remplaçons la base par la nouvelle base

avec

Dans cette nouvelle base, que l’on appellera dorénavant :

NB : Les vecteurs propres de sont notés et :

L’observable

De même que , on a

Pour un repère direct, on choisit

Les observables , et

On montre que ces trois observables ne commutent pas (voir QCM) :

ou encore :

Succession de trois appareils de Stern et Gerlach

1. Une tache

2. Deux taches

Qu’observe-t-on en aval du troisième

appareil de Stern et Gerlach ?

Mesure selon un axe quelconque

Mesure de pour un système préparé dans

l’état par un premier appareil de Stern et Gerlach.

On montre que et (exercice)

Similaire à la loi de Malus

pour les photons

3.

Le produit tensoriel

Chapitre 5

Produit tensoriel de deux espaces de Hilbert

Soit un système quantique (a) décrit par l’espace de Hilbert de base

Soit un système quantique (b) décrit par l’espace de Hilbert de base

Si (a) est dans l’état et (b) est dans l’état , alors l’état du système

quantique global est noté

produit tensoriel

L’espace de Hilbert associé au système quantique global est appelé

espace produit tensoriel et est noté

La forme générale d’un état est :

Produit tensoriel de deux opérateurs

Soit un opérateur agissant dans

Soit un opérateur agissant dans

On définit le produit tensoriel (aussi noté ) comme

³A­ B

´j®mi ­ j¯ni =

³Aj®mi

´­³Bj¯ni

´

Exemples : plusieurs degrés de liberté

Rappel : oscillateur harmonique à 2D. Base :

à 3D :

4.

Description quantique

de l’expérience de Stern et Gerlach

Espace de Hilbert

avec

Superposition linéaire entre :

- un paquet d’ondes associé à un état magnétique

- un paquet d’ondes associé à un état magnétique

base de

Hamiltonien et opérateur d’évolution

On suppose pour simplifier que le champ magnétique est orienté selon z.

Evolution temporelle

Etat factorisé (non corrélé)

Evolution d’un paquet d’ondes

avec un potentiel

Evolution d’un paquet d’ondes

avec un potentiel

Après interaction avec l’appareil de Stern et Gerlach, l’atome est

dans un état dit intriqué : il existe une corrélation entre la position

de l’atome et son état de moment magnétique.

Un modèle de mesure en physique quantique

MESURE

OU

Evolution

Réversible Evolution

irréversible

Laser

Interprétation multi-univers de la physique quantique

On fait l’économie du postulat de la mesure

Observateur inclus dans le système quantique ?

?

- +

+ -