cours physique3 vibration

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    T

  • Oscillations libres non amorties des Systmes

    A un seul degr de libert

    Oscillations libres non amorties des Systmes

    A un seul degr de libert

    Oscillations libres non amorties des Systmes

  • Chapitre I Oscillations libres non amorties des systmes un seul degr de libert

    Physique 3 C.A-G.M Dpartement Sciences et Techniques Page 1

    Chapitre I

    Oscillations libres non amorties des systmes un seul

    degr de libert

    1. Introduction :

    Sous la vibration on comprendra tout les processus oscillatoires qui ont lieu dans les appareils et les

    machines comme la suite de lexcitation des constructions par des forces dynamiques.

    Les vibrations se prsentent pendant le transport et lexploitation.

    On distingue deux types de sources excitant les oscillations : extrieures et intrieures.

    Sources extrieures :

    - Irrgularit de la route ;

    - turbulence de latmosphre ;

    - bruit acoustique;

    - agitation de leau.

    Et comme sources intrieures :

    - Rotation non uniforme dun arbre ;

    - rotations des pices dune transmission ou des mcanismes.

    Dhabitude les vibrations produites par les sources extrieures sont plus intenses par rapport aux

    celles des sources intrieures.

    2. Classification des processus oscillatoires (vibratoires) :

    Processus oscillatoire

    Indtermin

    (Alatoire) Dtermin

    Mixte

    - Stationnaire

    - Non stationnaire (choc)

    - Parfaitement alatoire

    (bruit blanc)

    - Markovien.

    - Alatoire bande large.

    - Alatoire bande troite.

    Priodique Apriodique

    - Harmonique.

    - Poly-harmonique.

    - Presque priodique

    (Casi- priodique)

    - Transitoire

  • Chapitre I Oscillations libres non amorties des systmes un seul degr de libert

    Physique 3 C.A-G.M Dpartement Sciences et Techniques Page 2

    3. Caractristique dune oscillation sinusodale harmonique :

    Une oscillation est dite priodique, si les variations de son amplitude se reproduisent rgulirement

    au bout d'une priode constante. La figure ci-dessous montre la courbe dune oscillation signal priodique.

    La dure d'une priode corresponde une rotation de 360 degrs (ou 2 radians) sur le cercle

    trigonomtrique.

    La priode : Cest la dure d'un cycle, elle s'exprime en seconde et ses sous-multiples (voir units) :

    Milliseconde:1 0,001 Microseconde: 1 0,000.001 Nanoseconde: 1 0,000.000.001 La frquence : Elle correspond au nombre de cycles effectus par secondes. L'unit est lHertz

    (symbole Hz) avec ses multiples :

    Kilohertz, 1 kHz = 1000 Hz, Mgahertz, 1 MHz = 1000 000 Hz, Gigahertz, 1 GHz = 1000 000 000 Hz.

    On peut aussi associer les units suivantes : ms et kHz, s et MHz, ns et GHz.

    Exemple de calcul : Pour une frquence de 50 Hz la priode est gale : 20 . La pulsation : Elle s'exprime en / et se calcule l'aide de la formule :

    . !. " . !

    Cette fonction peut scrire (voir la figure ci-dessus): #$%& '. ()*$. % + ,& O : ': est lamplitude maximale, : la pulsation . , %: le temps , : la priode ,: Angle de phase , : frquence /0 " 1 .

  • Chapitre I Oscillati

    Physique 3 C.A-G.M

    4. Quelques processus oscillatoires

    Oscillatoire harmonique

    Casi- harmonique :

    Distortionnel sinusodal :

    Harmonique pendant le processus transitoire

    Harmonique pendant les battements

    Alatoire bande large :

    Alatoire bande troite

    Oscillations libres non amorties des systmes un seul degr de libert

    Dpartement Sciences et Techniques

    Quelques processus oscillatoires :

    :

    :

    Harmonique pendant le processus transitoire :

    Harmonique pendant les battements :

    :

    Alatoire bande troite :

    s des systmes un seul degr de libert

    Page 3

  • Chapitre I Oscillations libres non amorties des systmes un seul degr de libert

    Physique 3 C.A-G.M Dpartement Sciences et Techniques Page 4

    5. Dfinition de la vibration :

    On entend par vibration tout mouvement qui avec ou sans vitesse initiale, aprs un

    dplacement initial, oscille dune manire libre. Exemple :

    Systmes mcaniques : Masse-ressort, pendule simple.

    Systmes lectriques.

    Systmes acoustiques.

    Systmes optiques : lasers.

    6. Coordonnes gnralises :

    6.1. Coordonnes cartsiennes :

    On dfinit par les coordonnes cartsiennes dun point 1 par rapport lorigine 2 par le vecteur de position 2133333334 334

    6.2. Coordonnes cylindriques :

    334 213333334 . 5334 + 0. 53340

    6 . 78 . 7

    0 0

    Coordonnes cartsiennes :

    334 213333334 6. 53346 + 8. 53348 + 0. 53340

    6 68 80 0

    Coordonnes cartsiennes :

  • Chapitre I Oscillati

    Physique 3 C.A-G.M

    6.3. Coordonnes sphriques

    6.3. Angle dEuler :

    Prcession: par rotation de

    Nutation: par rotation de

    Rotation propre: par rotation de

    Oscillations libres non amorties des systmes un seul degr de libert

    Dpartement Sciences et Techniques

    sphriques :

    6 . 7. 98 . 7. 9

    0 . 7

    Coordonnes cartsiennes

    334 213333334 .

    par rotation de 9 autour de 20 : 6 : 6 et 8 : 8 par rotation de autour de 26 : 8 : 8< et 0 : 0< $0 , "@@ 7, @@ AA 9&.

    Les coordonnes gnralises, dun systme de B points matriels et C corps solides est dfinie par : D E. B F G. C coordonnes.

    On dsigne par :

    H$%&, H $%&, HE$%&, . . HD$%& Les coordonnes gnralises. HJ $%&, H J $%&, HEJ $%&, HDJ $%& Les vitesses gnralises. 7. Degr de libert :

    Cest le nombre de coordonnes indpendantes ncessaires pour dterminer la position de chaque

    lment dun systme pendant son mouvement tout instant.

    On crit alors : K F o K 3> F 6N 3> F 6N F : Degr de libert (ddl). K: Nombre de coordonnes gnralises. : Nombre de relations entre les coordonnes (nombre de liaisons). Exemple :

    Soit un systme mcanique constitu de deux points 1 et 1< relis par une tige de longueur O. Trouver le nombre de degr de libert de ce systme. 1P6,8, 0Q : 3 1

  • Chapitre I Oscillations libres non amorties des systmes un seul degr de libert

    Physique 3 C.A-G.M Dpartement Sciences et Techniques Page 7

    8. Etablissement de lquation du mouvement :

    Pour tablir lquation du mouvement pour un systme mcanique passif, il est impratif

    dtablir lquation diffrentielle qui reflte le comportement du mobile (systme) on se basant sur

    un modle mcanique bien connu.

    Un systme mcanique de protection ou disolation est dit passif sil est constitu des

    lments mcaniques ordinaires tels quun ressort, amortisseur. Et il est dit actif sil est constitu

    dun systme asservi. Les systmes semi-actifs se sont des systmes combins passif et actif en

    mme temps .

    Parmi les modles mathmatiques connus, on utilise souvent le modle de Maxwell qui

    repose sur un systme constitu dune masse et un ressort, et le modle de Kelvin-Voigt compos

    galement dune masse, un ressort et en plus un amortisseur.

    Approximation et hypothses :

    Dans notre cours, on considre que le systme est linaire et que la force damortissement

    est proportionnelle la vitesse on ne considre que lamortissement visqueux sans tenir compte

    des autres types damortissements ; et on utilise le modle de Maxwell et celui de Kelvin-Voigt

    pour modliser un systme mcanique. Aussi on considre que les lments mcaniques constituant

    le systme sont linaires et laction des perturbations extrieures est aussi linaire.

    Donc partir dun modle, on tabli lquation diffrentielle on se basant principalement sur le

    formalisme de Lagrange, et lintgration de lEDF permet de donner lquation finale du

    mouvement.

    Hypothses

    Rsultats

    Fo

    rma

    lism

    e d

    e H

    am

    ilto

    n

    Fo

    rma

    lism

    e

    de

    La

    gra

    ng

    e

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    Physique 3 C.A-G.M Dpartement Sciences et Techniques Page 8

    8.1. Formalisme de Lagrange :

    Ce formalisme repose sur la fonction de Lagrange X F 5 et dfini par :

    Y Z @ [\X\]J^ _ F

    \X\]`a

    b

    `c 0

    O X: Fonction de Lagrange : Lnergie cintique du systme 5: Lnergie potentielle du systme Pour un systme un degr de libert : 1 O

    @ [\X\]J _ F

    \X\] 0

    Pour un dplacement 6, lquation de Lagrange est une fonction de 6J , 6 et @ : X$6J , 6, @&, ainsi la variable ] sera remplace par 6. Pour une rotation 9 , ] sera remplace par 9 et lquation de Lagrange devient une fonction de 9J , 9 et @ : X$9J , 9 , @&, Exemple 1: Soit un systme mcanique constitu dune masse reli un ressort de raideur d . Trouver lquation diffrentielle.

    (1)-(2) et on divise par on aura : Lquation (3) peut tre aussi crite comme suit :

    qui est une quation diffrentielle ordinaire de second ordre sans second membre, o e est la pulsation propre du systme quon peut aussi appeler pulsation naturelle avec e f gh

    12 . . 6J <

    5 12 . d. 6< X F 5 On calcul

    X 12 . . 6J < F 5 12 . d. 6<

    Aprs drivation

    ijik F d. 6 ..... (2)

    llT mijikJn . 6o . (1)

    . 6o + d. 6 0 6o + d . 6 0 ... (3) po + e . p e

    @ [

    \X\6J_ F

    \X\6 0

    Lagrangien du systme :

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    Exemple 2: Pendule simple (pendule pesant)

    5 . q. r or r O$1 F 7& => 5 . q. O. $1 F 7&

    s F itiu : 5 F. q v \8w` W 5 F. q. P8w F 8`Q F. q. $O. 7 F O&

    5 . q. O. $1 F 7&

    Calcul du Lagrangien : X F 5

    On remplaant et 5 dans X par ses valeurs dj calcul on trouve :

    X 12 . . O

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    Physique 3 C.A-G.M Dpartement Sciences et Techniques Page 10

    8.2. Solution de lquation diffrentielle (EDF):

    On reprend lquation diffrentielle du premier exemple:

    Cest une quation diffrentielle du second ordre sans second membre dont la solution est de la

    forme :

    On drivant la relation (4), une fois pour obtenir la premire drive, et une deuxime fois pour

    obtenir la drive seconde, puis on remplace ces derniers dans lEDF (3) :

    On obtient

    Aprs arrangement des termes, on aura:

    Or Donc

    La solution est de la forme:

    6$@& . T +

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    Physique 3 C.A-G.M Dpartement Sciences et Techniques Page 11

    8.3. La force dans le mouvement harmonique:

    La force est donne par lquation fondamentale de la mcanique : s4 . 4 .

    Pour un systme une dimension 6 : s . lklT qui est gale aussi . 6o

    Or lquation diffrentielle est donne par : 6o + { 12 . .

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    Et on a :

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    9. Composition des mouvements harmoniques :

    9.1. Composition des mouvements harmoniques de mme direction :

    9.1.1. Composition des mouvements de mme pulsation:

    Soit : 6$@& . cos ${. @ + 9& et 6

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    b. Mthode complexe :

    Soit :

    6$@& . cos${. @ + 9& W 0$@& . $.T& 6

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    Physique 3 C.A-G.M Dpartement Sciences et Techniques Page 15

    Le mouvement rsultant est priodique si et seulement si, les pulsations des deux mouvements sont

    co-mesurables.

    La priode de la rsultante est :

    9.1.2.1. Calcul de lamplitude du mouvement rsultant :

    Pour faciliter la tache, on prend : 9 9< 0 Alors si 9 9< 0 , 0$@& 1 . .{1.@ + 2 . .{2.@ Quon peut crire comme suit :

    0$@& 1 . .$F

    2 &.@ + 2 . F.mF

    2 n.@ . .m+2 n.@ On pose la quantit . .$

    {1{2 &.T + < . .m{1{2 n.T $@& Ce qui donne : 0$@& $@&. .m+2 n.@ quon peut crire aussi sous la forme : 0$@& $@&. cos m+2 n . @ O :

    cos m{1{2< n . @ : Terme reprsentant loscillation. $@&: Amplitude du mouvement rsultant, et cest une fonction du temps @. $@& . .$

    {1{2 &.T + < . .m{1{2 n.T => < < +

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    Physique 3 C.A-G.M Dpartement Sciences et Techniques Page 16

    9.1.2.2. Phnomne de battement:

    Ce phnomne se produit quand les deux mouvements auront des pulsations peu diffrentes ou trs

    voisines trs proches {x{

  • Chapitre I Oscillations libres non amorties des systmes un seul degr de libert

    Physique 3 C.A-G.M Dpartement Sciences et Techniques Page 17

    9.2. Mouvements sinusodaux perpendiculaires:

    Exemple : cas dun corps se dplaant sur un plan tel que ses coordonnes se dplacent selon 6 et 8. 9.2.1. Mouvements sinusodaux perpendiculaires de mme pulsations :

    Soit deux mouvements sinusodaux de mme pulsation :

    - Lune selon laxe 6 : 6$@& . cos ${. @& - La deuxime selon laxe 8 : 8$@& . cos ${. @ + 9&

    La rsultante est une quation dellipse de centre 2 et contenu dans le rectangle: 6 ; 8 .

    Cas particulier:

    a- 9 0 => 8 . 6

    b- 0 9 < =>

    c- 9 < => mkn< + mun

    < 1

    d-

    < 9 =>

    e- 9 => 8 F . 6

    m6n< + m8n

    < F 2. 6. 8. cos$9& Cercle

    Cest une quation dune Ellipse de pente infrieure zro

    Cest une quation dune droite de pente infrieure zro

    a b c d e

    , e e 9 ! , !

    ! 9 , !

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    Physique 3 C.A-G.M Dpartement Sciences et Techniques Page 18

    9.2.2. Mouvements sinusodaux perpendiculaires de pulsations diffrentes:

    Soit :

    6$@& . cos${. @& quon peut crire sous la forme : 6$@& . cos $

  • Chapitre I Oscillations libres non amorties des systmes un seul degr de libert

    Physique 3 C.A-G.M Dpartement Sciences et Techniques Page 19

    Dautres part :

    6Jk 6J~$O X& 6J 6J`b 6J~$O 0& 0 (point de fixation) Lnergie cintique gale la somme de toutes les nergies de ses lments :

    v < mj . On . mzj . 6Jn! ! 2(!? . I! JG K2(!! !LM

    Remarques importantes :

    1- La solution gnrale est la somme de deux solutions :

    Une solution homogne dont lamplitude et lnergie diminue avec le temps ce quelles

    deviennent nulles. Cest une solution transitoire.

    Une solution particulire de pulsation ! et damplitude A gale : 6 5H>! ! 2(!? Cest une solution permanente ou stationnaire.

    2- Aprs un certain temps, le rgime transitoire disparait et le mouvement oscillatoire nest d

    quau mouvement permanent*. Pour , : ) * Pour N : *

  • Chapitre III Oscillations forces des systmes un seul degr de libert

    Physique 3 C.A-G.M Dpartement des Sciences Exactes et Technologie Page 33

    4- VARIATION DE LAMPLITUDE EN FONCTION DE LA PULSATION DE LA FORCE EXTERIEURE :

    6! 5H>! ! 2(!? 5

    !OP1 R !!S R2 (! !!S

    T

    6! 5!

    OP1 R !!S R2 (! !!S

    T 6

    OP1 R !!S R2U !!ST

    6!6 1OP1 R !!S R2U !!ST

    Avec : 6 @:&C et U 0:& V:V& est maximale pour R ::&SW H1 2U La valeur de ! pour laquelle lamplitude A est maximale dpend du rapport damortissement U 0:&. Remarques importantes :

    1- Quand le rapport damortissementU 0:& augmente, le point RR ::&SW , R VV&SWS se dplace vers la gauche.

    2- Lamplitude A varie non linairement en fonction de la pulsation !. 3- Lamplitude A diminue quand le rapport damortissement augmente.

  • Chapitre III Oscillations forces des systmes un seul degr de libert

    Physique 3 C.A-G.M Dpartement des Sciences Exactes et Technologie Page 34

    5- VARIATION DE LA PHASE EN FONCTION DE LA PULSATION DE LA FORCE EXTERIEURE :

    La phase est exprime par :

    G7 /0:B:&C/:CD /YZ& ZZ&

    K[/ZCZ&CL /\ ZZ&K[/ZCZ&CL

    G! G7 /\ R ZZ&S[/R ZZ&SC Ltude des variations de la phase permet dcrire

    Pour ::& 1 G1 7 ] ^ U

    Pour U 0 G7 0 7 0 F_ ` ^ R ::&S

    6-INTERPRETATION DES GRAPHES :

    Il y a trois cas :

    1er

    cas : Faibles frquences

    U a 1 (! a !) , 6 b 6 @:&C %&$ et 7 0

    2me

    cas : Hautes frquences

    U c 1 (! c !) , 6 b 0 et 7 ` Aux environs des hautes frquences, lamplitude dcroit jusqu ce quelle se rapproche de la valeur

    zro. En effet, la frquence de la perturbation extrieure est trs grande, donc les variations

    appliques sur la masse m sont trs rapides. Puisque la masse m possde une inertie, alors elle ne

    peut pas suivre ces variations.

    3me

    cas : Cas de la Rsonnance

    U b 1 (! b ! b !d) Lamplitude est maximale 6 6#1 V&\H[/\C pour ::& H1 2U 7 ] ^ U

    * Si e b f (systme sans amortissement) : Lamplitude tend vers linfini. Or en ralit les systmes sont tous amortis, donc lamplitude a

    toujours une valeur finie.

    * Si e a (systme faiblement amorti) : VghiV& b [\ et ! b ! b !d

  • Chapitre III Oscillations forces des systmes un seul degr de libert

    Physique 3 C.A-G.M Dpartement des Sciences Exactes et Technologie Page 35

    7-PHENOMENE DE RESONNANCE ET FACTEUR DE QUALITE :

    - Le phnomne de rsonnance apparait quand la pulsation de lexcitation se rapproche de pulsation

    propre du systme.

    - A la rsonnance lamplitude doscillation augmente jusqu dpassement des limites dlasticit des

    systmes mcaniques produisant leur destruction.

    - Dans les systmes lectriques (exemple : appareil de rception) ce phnomne permet de calculer

    le facteur de qualit Q qui augmente lorsque lamplitude maximale augmente :

    j 6#16 12U

    - Une autre mthode pratique permettant de dterminer le facteur de qualit :

    j :&:C/:k

    ! ![ : Cest la bande passante.

    Quand U augmente : Q augmente et la quantit ! ![ augmente aussi Donc la courbe de rsonnance est plus large, conduisant une

    diminution de lamplitude de rsonnance, donc de la qualit

    aussi.

  • Oscillations libres des systmes plusieurs degrs de

    Oscillations libres des systmes plusieurs degrs de

    libert

    Oscillations libres des systmes plusieurs degrs de

  • Chapitre IV Oscillations libres des systmes plusieurs degrs de libert

    Physique 3 C.A-G.M Dpartement des Sciences Exactes et Technologie Page 36

    Chapitre IV

    Oscillations libres des systmes plusieurs degrs de

    libert

    1. Introduction :

    Les systmes qui ncessitent plusieurs coordonnes indpendantes pour spcifier leurs position

    sont appels systmes plusieurs degrs de libert.

    Il ya autant dquations de Lagrange que de degrs de libert ou de coordonnes gnralises.

    Les systmes deux degrs de libert, bien que faisant partie des systmes degr de libert, sont traits part. En effet leur petite taille facilite les calculs analytiques, la comprhension des

    mthodes plus gnrales et lintroduction de la notion de couplage. Par ailleurs, ils permettent

    dexpliquer des applications utiles telles que ltouffeur de vibration (amortisseur) et la fixation des

    systmes.

    Dans ce qui suit, on sintresse aux oscillations libres des systmes deux degrs de libert

    comme un cas particulier des systmes plusieurs degrs de libert.

    Pour ltude des systmes deux degrs de libert, il est ncessaire dcrire deux quations

    diffrentielles du mouvement.

    0 , : Coordonnes gnralises

    0

    2. Les diffrents types de couplage pour un systme deux degrs de libert :

    Un systme oscillatoire deux degrs de libert possde deux coordonnes gnralises , , deux quations diffrentielles et deux pulsations propres , .

    2 . ! ". ! #. ! 2 !. "!. #!.

    Les deux seconds membres du systme reprsentent les termes de couplages.

    Les coefficients % et % : reprsentent la raideur ressort ; & et & : reprsentent lamortissement amortisseur ; ' et ' : reprsentent linertie masse . %, %,&, &, ', ': sont des constantes.

  • Chapitre IV Oscillations libres des systmes plusieurs degrs de libert

    Physique 3 C.A-G.M Dpartement des Sciences Exactes et Technologie Page 37

    Il existe quatre cas : Trois types de couplage

    Premier cas : Toutes les constantes sont nulles.

    Ce qui se traduit par

    - Deux quations, qui ne sont pas couples.

    - Le systme possde deux mouvements indpendants.

    Si les constantes ne sont pas nulles, le mouvement par la premire coordonne influe sur la

    deuxime, et on dit que les deux quations diffrentielles sont couples.

    Deuxime cas : %, % ( 0 , &, & 0 )* ', ' 0 On appelle ce type de couplage : Elastique ou capacitif, et les deux sous-systmes sont lis par un

    ressort (dans le cas dun systme mcanique) ou une capacit (dans le cas dun circuit lectrique).

    Exemple :

    1. Systmes mcaniques : Couplage lastique

    2. Systme lectrique : Couplage capacitif

    Troisime cas : %, % 0 , &, & ( 0 )* ', ' 0 On appelle ce type de couplage : Visqueux ou rsistif, et les deux sous-systmes sont lis par un

    amortisseur (dans le cas dun systme mcanique) ou une rsistance (dans le cas dun circuit

    lectrique).

    Exemple :

    1. Systmes mcaniques : Couplage visqueux

  • Chapitre IV Oscillations libres des systmes plusieurs degrs de libert

    Physique 3 C.A-G.M Dpartement des Sciences Exactes et Technologie Page 38

    2. Systme lectrique : Couplage rsistif

    Quatrime cas : %, % 0 , &, & 0 )* ', ' ( 0 On appelle ce type de couplage : Inertiel ou inductif, et les deux sous-systmes sont lis par une

    masse (dans le cas dun systme mcanique) ou une bobine (dans le cas dun circuit lectrique).

    Exemple :

    3. Etude des oscillations libres non amorties de deux pendules coupls :

    (Couplage parallle lastique)

    Les systmes les plus rpondus dans la pratique sont les systmes couplage lastique.

    3.1. Equation diffrentielle :

    1. Systmes mcaniques : Couplage inertiel 2. Systme lectrique : Couplage inductif

    + , -. ./01-. '2.1 3

    + , -. ./01-. '2.1 3

    |5| %. ./01 %. ./01

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    Lnergie cintique :

    6 67 67 or : 67 . +. -. 1 et 67 . +. -. 1 6 12 . +. -. 1 12 . +. -. 1

    Lnergie potentielle :

    9 97 97 95 or : 97 +. :. -. '2.1 , 97 +. :. -. '2.1 Et 95 . ;. 5 95 . ;. %. ./01 %. ./01 95 . ;. %./01 ./01 Pour le cas des petites oscillations : ./01 < 1 95 . ;. %1 1

    9 +. :. -. '2.1 +. :. -. '2.1 12 . ;. %1 1 9 +. :. -. '2.1 +. :. -. '2.1 12 . ;. %1 ;. %11 12 . ;. %1

    Le Lagrangien : = 6 9 = . +. -. 1 . +. -. 1 +. :. -. '2.1 +. :. -. '2.1 . ;. %1 ;. %11 . ;. %1 Equations de Lagrange :

    >>* ? @=@1A @=@1 0 >>* ? @=@1A @=@1 0

    B +. -. 1 B +. -. 1 ...(1)

    B +. :. -. ./01 ;. %1 ;. %1 B +. :. -. 1 ;. %. 1 ;. %. 1 B ;. % +. :. -1 ;. %1 ....(2) B +. -. 1 B +. -. 1 ......(3) B +. :. -. ./01 ;. %. 1 ;. %. 1 B +. :. -. 1 ;. %. 1 ;. %. 1 B ;. % +. :. -. 1 ;. %. 1 ....(4)

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    Daprs les relations (1) et (2) :

    +. -. 1 ;. % +. :. -. 1 ;. %. 1 0 Ce qui donne la premire quation du systme : +. -. 1 ;. % +. :. -. 1 ;. %. 1 Et daprs les relations (3) et (4) :

    +. -. 1 ;. % +. :. -. 1 ;. %1 0 Ce qui donne la deuxime quation du systme : +. -. 1 ;. % +. :. -. 1 ;. %. 1

    B B 0 +. -. 1 ;. % +. :. -. 1 ;. %. 1

    B B 0 +. -. 1 ;. % +. :. -. 1 ;. %. 1

    Terme de couplage cest le : C. ! qui est un couplage lastique. Si D Ressort fix aux points de fixation des deux pendules E et E autrement dit le ressort na aucune influence ou comme sil nexiste pas c'est--dire : C D.

    Le systme devient : +. -. 1 ;. % +. :. -. 1 0 +. -. 1 ;. % +. :. -. 1 0

    Donc le couplage est nul et les deux systmes sont indpendants.

    Si non : Pour simplifier la tche des calculs, on pose : - - - et + + + +. -. 1 ;. %2 +. :. -. 1 ;. %. 1 +. -. 1 ;. %2 +. :. -. 1 ;. %. 1

    Ou encore sous la forme suivante :

    +. -. 1 F;. %2 +. :. -G. 1 ;. %. 1 0 +. -. 1;. %. 1 ;. %2 +. :. -. 1 0

    Quon peut lcrire sous forme matricielle comme suit :

    H+. - 00 +. -I . J11K J;. %2 +. :. - ;. %2;. %2 ;. %2 +. :. -K . H11I L00M

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    3.2. Pulsations propres du systme:

    On suppose que la solution est de la forme :

    1* N. sin. * R 1 . 1 et

    1* N. sin. * R 1 . 1 On posant toujours : : - - - et + + + Les deux quations diffrentielles possdent deux solutions 1* et 1*, qui sont des fonctions priodiques et sont composes de deux fonctions harmoniques de pulsations diffrentes et

    damplitudes diffrentes. N, N, R sont des constantes et : est lune des deux pulsations propres du systmes.

    On reprend le systme :

    +. -. 1 F;. %2 +. :. -G. 1 ;. %. 1 0 +. -. 1;. %. 1 ;. %2 +. :. -. 1 0

    Et, on remplace 1 et 1 par leurs valeurs . 1 et . 1 , ce qui donne : +. -. ;. % +. :. -. 11 ;. %2. 12 0 +. -. ;. % +. :. -. 12 ;. %2. 11 0

    Quon rcrit sous la forme :

    +. -. ;. % +. :. -. 11 ;. %2. 12 0 ;. %. 1 +. -2. 2 ;. %2 +. :. - . 1 0

    Sous forme matricielle :

    J+. -2. 2 ;. %2 +. :. - ;. %;. % +. -2. 2 ;. %2 +. :. -K . H11I L00M Ce qui revient que le dterminant est nul:

    S+. -2. 2 ;. %2 +. :. - ;. %;. % +. -2. 2 ;. %2 +. :. -S 0 L+. -2. 2 ;. %2 +. :. -M T;. %U 0

    L+. -2. 2 ;. %2 +. :. -M T;. %U +. -. ;. % +. :. - VT;. %2U

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    ;.%27.W :- V ;.%27.W XYZ 5.[7.W \W 5.[7.W ]\W 2 57 . [W X^Z 5.[7.W \W 5.[7.W ]\W

    (Si ; 0 ou % 0 (pas de couplage) ]\W on a deux systmes indpendants) Lorsque le systme oscille avec lune de ses deux pulsations, on dit que le systme oscille dans un de

    ses deux modes quon appelle mode doscillation.

    Mode doscillation : cest ltat dans lequel les lments dynamiques du systme effectuent des oscillations

    harmoniques avec la mme pulsation qui correspond une de ses deux pulsations propres.

    3.3. Calcul des modes doscillation:

    Dans chaque mode, les deux masses effectuent des mouvements harmoniques simples avec la mme

    pulsation ou et les deux pendules passent par la position dquilibre en mme temps (instant).

    a. Premier mode :

    On remplace dans le systme : +. -. ;. % +. :. -. 1 ;. %. 1 +. -. ;. % +. :. -. 1 ;. %. 1

    Par qui est gale ]\W 2 57 . [W Aprs remplacement et simplification des termes, on obtient:

    ;. %. 1 ;. %. 1 ;. %. 1 ;. %. 1 Dans le premier mode les deux pendules ont la mme pulsation , la mme amplitude et un dphasage de _ ce qui implique que les deux pendules ont des mouvements opposs et le ressort subit soit une compression ou une traction chaque priode sauf le point du milieu de ce dernier qui

    reste fixe.

    ` `!

    a a ` `!

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    b. Deuxime mode :

    On remplace dans le systme : +. -. ;. % +. :. -. 1 ;. %. 1 +. -. ;. % +. :. -. 1 ;. %. 1

    Par qui est gale ]\W Aprs remplacement et simplification des termes, on obtient: ` `! Les deux pendules se dplacent dans le mme sens ce qui implique que le ressort ne subit aucune

    dformation (variation de longueur).

    3.4. Solutions des quations diffrentielles :

    Chacune des deux mouvements 1 et 1 possde deux composantes harmoniques de pulsations et : 1* N. sin. * R N. sin. * R 1* N. sin. * R N. sin. * R

    Dans le premier mode : , 1 1 N N Dans le deuxime mode : , 1 1 N N 1* b. sin. * R b. sin. * R 1* b. sin. * R b. sin. * R Conditions initiales:

    En posant : 10 1 , 10 0 10 0 , 10 0 1* b. . cos. * R b. . cos. * R 1* b. . cos. * R b. . cos. * R

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    10 b. sinR b. sinR b. sinR b. sinR 1 ..(1) 10 b. sinR b. sinR b. sinR b. sinR 0 ....(2) 10 b. . cosR b. . cosR b. . cosR b. . cosR 0 .(3) 10 b. . cosR b. . cosR b. . cosR b. . cosR 0 ...(4) (3)+(4) 2. b. . cosR 0 cosR 0 R V e (3)-(4) 2. b. . cosR 0 cosR 0 R V e (1)+(2) 2. b. sinR 1 2. b 1 b Bf (1)-(2) 2. b. sinR 1 2. b 1 b Bf En remplaant les valeurs de b, b, R et R dans le systme, on trouve :

    Si est peu diffrente de < (cas ou ; g) : On observe le phnomne de battement de pulsation i^i et les deux pendules ont la mme pulsation

    iYi (la diffrence entre les deux pulsations petite Battement) ; c'est--dire que chaque pendule oscille avec une pulsation qui est gale la moyenne des deux pulsations

    naturelles, avec un temps 6 k.eiYi et les deux pendules inter-changent lnergie.

    1* 1. cos 2 . * cos l 2 m . * 1* 1. sin 2 . * sin l 2 m . *

    1*

    1*

    1

    1

    * 1

    1 *

    6 4. _

    6o 2. _ 4. _

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    4. Etude des oscillations libres non amorties de deux pendules coupls en srie:

    (Couplage inertiel)

    Lnergie cintique : 6 67 67 Or : 67 . +. -. 1

    Et 67 . +. LF-. '2.1. 1 -. '2.1. 1G F-. ./01. 1 -. ./01. 1GM 6 12 . +. -. 1 12 . +. p-. 1 -. 1 2. -. -. 1. 1. cos 1 1q

    1 g 1 g cos 1 1 < 1 cos1 1 cos 1 . cos1 sin1sin1 < 1 1. 1 < 1

    Tel que : '2.1 < 1 , ./01 < 1, 11 < 1 6 12 . +. -. 1 12 . +. p-. 1 -. 1 2. -. -. 1. 1q

    6 12 . +. -. 1 12 . +. p-. 1 -. 1q Lnergie potentielle :

    9 +. :. -. '2.1 +. :. -. '2.1 +. :. -. '2.1 9 :. + +. -. '2.1 +. :. -. '2.1

    Le Lagrangien : = 6 9 = 12 . +. -. 1 12 . +. p-. 1 -. 1q :. + +. -. '2.1 +. :. -. '2.1

    + , -. ./01-. '2.1 3

    + , -. ./01 -. ./01-. '2.1-. '2.1 3

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    B +. -. 1 +. -. -1 -. 1 B + +. -. 1 +. -. -. 1 B + +. -. 1 +. -. -. 1

    B :. + +. -. ./01 B +. --1 -. 1 B +. -. -. 1 +. -. 1 B +. :. -. ./01 + +. -. 1 +. -. -. 1 :. + +. -. 1 0 +. -. -. 1 +. -. 1 +. :. -. 1 0 -. 1 L 77Y7M . -. 1 :. 1 0 -. 1 -. 1 :. 1 0

    On remarque que les deux quations sont couples par une masse (couplage inertiel). La solution est

    de la mme manire que la prcdente.

    On posant : + + + et - - - Le systme prcdent devient :

    Ou encore

    Solution :

    1* N. sin. * R 1 . 1 et

    1* N. sin. * R 1 . 1

    -. 1 :. 1 H ++ +I . -. 1 -. 1 :. 1 -. 1

    -. 1 :. 1 H ++ +I . -. 1 -. 1 :. 1 -. 1

    -. 1 :. 1 W . 1 -. 1 :. 1 -. 1 TrU

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    En remplaant les valeurs de 1, 1, 1 et 1 dans le systme TrU on trouve : : -. . 1 W.i . 1 0 : -. . 1 -. . 1 0 : -. . 1 W.i . 1 0 -. . 1 : -. . 1 0 Quon peut crire sous forme matricielle :

    s: -. -. 2-. : -. t . H11I L00M

    u: -. -. 2-. : -. u 0

    : -. -. 0 : -. V . -.

    XYZ \WY w ] \WY w X^Z \W^ w ] \W^ w

    5. Exemple des oscillations libres amorties dun systme deux degrs de libert :

    Soit le systme lectrique avec un couplage rsistif reprsent par la figure ci-dessous :

    En appliquant la loi des mailles on trouve :

    xy x xz xy{ 0xy x xz xy{ 0

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    |. / =. >/>* b |}. / / 0|. / =. >/>* b |}. / / 0

    Aprs drivation on aura : ( avec / ) |. >/>* =. >/>* /b |}. l>/>* >/>* m 0|. >/>* =. >/>* /b |}. l>/>* >/>* m 0

    On rarrange le systme :

    =. >/>* | |}. >/>* /b |}. >/>*=. >/>* | |}. >/>* /b |}. >/>*

    Qui peut tre aussi rcrit sous la forme :

    =. ~ | |}. ~ 1b . ~ |}. ~ =. ~ | |}. ~ 1b . ~ |}. ~

    La solution est de la forme :

    ~ ~. )i.Y~ ~. )i.Y avec : ~ . . ~~ . . ~ et ~ . . ~~ . . ~

    On remplaant ~, ~, ~ et ~ dans le systme prcdent on trouve : =. . ~ . . | |}. ~ 1b . ~ . . |}. ~=. . ~ . . | |}. ~ 1b . ~ . . |}. ~

    On rarrange une autre fois le systme :

    Hl 1b =. m . . | |}I . ~ T. . |}U. ~ 0T. . |}U. ~ Hl 1b =. m . . | |}I . ~ 0

    La mme procdure de rsolution que les prcdentes.

  • Oscillations libres des systmes

    plusieurs degrs de libert

    Application de la mthode matricielle

    Oscillations libres des systmes

    plusieurs degrs de libert:

    Application de la mthode matricielle

    Oscillations libres des systmes

    Application de la mthode matricielle

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    Oscillations libres des systmes plusieurs degrs de

    libert :

    Application de la mthode matricielle

    1. Energie cintique gnralise : (Oprateur ) On suppose que le systme est degr de libert, donc le nombre de variable est gale :

    , , , . Lnergie cintique gnralise :

    12 . . 12 . . . 12 . . Dans le cas ou . .

    12 . . . (1)

    En utilisant la mthode de ket et bras, et on dsigne par ket tout vecteur colonne :

    |

    .... !!" (2)

    Et bras tout vecteur ligne :

    # | . . . . (3) Le ket-bras scrit comme suit :

    # | . . . . .

    .... !!" (4)

    Qui peut aussi crit comme suit : # | $%&'( ; tel que : &'(

    !"

    $%&'(: trace de la matrice&'(, qui est gale la somme des carrs de la diagonale.

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    La drive de (4) :

    # | . . . . .

    .... !!" . . . . (5)

    Qui est gale aussi : # | On rcrit la relation (1) : . sous forme de ket-bras:

    12 . # | Quon rcrit sous la forma suivante :

    # |)| (6) Tel que : )

    !" (matrice masse) ) : cest une matrice carre de dimension * est sappelle Oprateur de , et on peut calculer les lments de cette matrice par les drives partielles :

    +,+-. O est lnergie cintique gnralise.

    2. Energie potentielle gnralise : (Oprateur /) 0 12 . 1. 12 . 1. . 12 . 1.

    Dans le cas o : 1 1 . 1 1 0 . 1. (7) 0 . 1. |# | | (8) 0 # |2| (9)

    Tel que : 2

    1 1 11

    !" (matrice raideur)

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    2 : cest une matrice carre de dimension * est sappelle Oprateur de 0, et on peut calculer les lments de cette matrice par les drives partielles :

    +3+-. O 0 est lnergie potentielle gnralise.

    3. Fonction de Lagrange gnralise et recherche de lquation diffrentielle :

    4 5 0 En remplaant les relations (6) et (9) dans 4 , on trouve :

    4 12 # |)| 5 12 # |2| 66$ 7 8489 5 848 0 848 12 . 88 # |)| 848 12 . 88 # |2| Selon la dfinition de la drive :

    ;

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    ++-. # |)| 2. # F|)| (11) Par remplacement on trouve :

    # F|)|I # F|2| 0 )|I J 2|J 0 KLKML )|J 2|J 0

    KLKML |J )N . 2|J 0

    (12)

    Lquation (12) reprsente lquation diffrentielle gnralise du systme.

    O : Oprateur de la fonction de Lagrange. KLKML : Oprateur de la drive seconde. )N : Matrice inverse de ). Tel que : )N PQR )STUV ) ; )M : matrice transpose 4. Equation des valeurs propres :

    On remarque que la solution de lquation (12) peut scrire de la faon suivante :

    W. XY.Z.M 66$ 5[.

    De (12) 5[ |J O|J 0

    (13)

    La relation (13) reprsente lquation des valeurs propres ([ : valeurs propres).

    66$ |J O|J 0

    O|J 5 [ |J 0

    \UV] 5 ^_. ` a

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    Exemple : Trouver les valeurs propres dun systme de deuxime degr

    O 74 44 49 |J bc O|J 5 [ |J 0 74 44 49 . bc 5 [. bc 0 74 5 [ 44 4 5 [9 . bc 0

    d411 5 [2 412421 422 5 [2d 0

    [ et [ sont les solutions de lquation. 5. Calcul des vecteurs propres :

    On reprend lexemple prcdent, chaque valeur propre [ a un vecteur propre efggh . [ A egggh bc [ A egggh bc

    Pour la premire valeur propre ^ ^i : j4 5 [ 44 4 5 [k . bc 0

    l4 5 [. 4. 04. 4 5 [. 0 m ? ? egggh bc (15) Pour la deuxime valeur propre ^ ^_ :

    j4 5 [ 44 4 5 [k . bc 0 l4 5 [. 4. 04. 4 5 [. 0 m ? ? egggh bc (16)

    6. Solution des quations diffrentielles :

    bc '. bc . XY.Zo.Mpqo r. bc . XY.ZL.MpqL l$ '. 11. Xs.[1.$t1 r. 21. Xs.[2.$t2$ '. 12. Xs.[1.$t1 r. 22. Xs.[2.$t2

    4 5 [. 4 5 [ 5 4. 4 0

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    7. Exemple :

    Cover.pdfChapitre 1_Cover.pdfchapitre1.pdfChapitre 2_Cover.pdfchapitre2.pdfChapitre 3_Cover.pdfChapitre 3.pdfChapitre 4_Cover.pdfChapitre 4.pdfChapitre 4-1_Cover.pdfChapitre 5.pdf