cours rdm - ms4 - partie 3
DESCRIPTION
Cours RDM IUT GCTRANSCRIPT
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Chapitre III
Calcul plastique des structures en flexion simple
1
mercredi 16 septembre 2009
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Calcul plastique des structures en flexion simple
Exemple
Mthode de calcul
2
Introduction
Le calcul plastique est abord dans ce cours dans le contexte des EC
Application au calcul des structures mtalliques :
- le rglement de calcul EC3 prvoit cette dmarche
- la loi de comportement du matriau acier est adapte
Les limitations pour nous :
on ne sintresse quau des sections sollicites en flexion simple (M et V)
Lintrt :
optimisation du rendement des structures
Hypothses et
observations
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Calcul plastique des structures en flexion simple
Exemple
Mthode de calcul
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Hypothses sur le comportement du matriau
Le matriau acier admet une loi de comportement lasto-plastique
Comportement dune section en acier de construction
En traction pure (N)
En flexion simple (M)
e (fy)
u (fu)
e (fy)
Hypothses et
observations
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Calcul plastique des structures en flexion simple
Exemple
Mthode de calcul
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Hypothses sur le comportement du matriau
Modle de comportement lasto-plastique parfait
En flexion simple (M)
e (fy)
En flexion simple (M)M
Mp
Modle de comportement lasto-plastique
parfait
Hypothses et
observations
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Exemple
Mthode de calcul
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Approche phnomnologique
Comportement dune section en plasticit sous M
M
MpComportement de la section S1
P
S1
G
M-
=E
M
P
Hypothses et
observations
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Exemple
Mthode de calcul
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Approche phnomnologique
Comportement dune section en plasticit sous M
M
Mp
P
Comportement de la section S1
S1
G
M-
=E
M
P
C
T
C
Tmax
Hypothses et
observations
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Exemple
Mthode de calcul
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Approche phnomnologique
Comportement dune section en plasticit sous M
M
Mp
P
Comportement de la section S1
S1
G
M-
M
P
C
T
=e=fy
Hypothses et
observations
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Exemple
Mthode de calcul
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Approche phnomnologique
Comportement dune section en plasticit sous M
M
Mp
P
Comportement de la section S1
S1
G
M-
M
P
C
T
=e=fy
Hypothses et
observations
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Calcul plastique des structures en flexion simple
Exemple
Mthode de calcul
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Approche phnomnologique
Comportement dune section en plasticit sous M
M
Mp
P
Comportement de la section S1
S1
G
M-
M
P
C
T
=e=fy
=e=fy
Hypothses et
observations
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Calcul plastique des structures en flexion simple
Exemple
Mthode de calcul
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Approche phnomnologique
Comportement dune section en plasticit sous M
M
Mp
P
Comportement de la section S1
S1
G
M-
M
P
C
T
=e=fy
=e=fy
Hypothses et
observations
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Calcul plastique des structures en flexion simple
Exemple
Mthode de calcul
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Approche phnomnologique
Comportement dune section en plasticit sous M
M
Mp
P
Comportement de la section S1
S1
G
M = MP
-
M
P
C
T
=e=fy
=e=fy
La section est totalement plastifie
le moment dans la section atteint sa valeur maximale
Mp
Hypothses et
observations
Mp
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Exemple
Mthode de calcul
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Approche phnomnologique
Comportement dune section en plasticit sous M
M
Mp
P
Comportement de la section S1
S1
G
M = MP
-
M
P
C
T
=e=fy
=e=fy
La section est totalement plastifie
la rotation devient indtermine
le moment dans la section atteint sa valeur maximale
Mp
Hypothses et
observations
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Exemple
Mthode de calcul
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Approche phnomnologique
Comportement dune section en plasticit sous M
M
Mp
P
Comportement de la section S1
S1
G
M = MP-
M
P
C
T
=e=fy
=e=fy
La section entirement plastifie se comporte comme une articulation interne :
on dit que lon a cre une rotule plastique
la rotation devient indtermine
le moment dans la section atteint sa valeur maximale
Mp
Hypothses et
observations
x
x
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Exemple
Mthode de calcul
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Calcul de A1 et A2
Comportement de la section S1
G
C
T
=e=fy
=e=fy
La section est totalement plastifie
A1
A2
Le problme est abord en flexion simple donc N=0
N=0 dA =0 -e dA1 + e dA2 =0
-e dA1 + e dA2 =0 -e A1 + e A2 =0 A1 = A2
Conclusion : lorsque la section est totalement plastifie, elle est partage en 2 sections daires gales. Lune est tendue, lautre comprime.
Hypothses et
observations
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Hypothses et
observations
Exemple
Mthode de calcul
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Calcul de Mp
Comportement de la section S1
G
C
T
=e=fy
=e=fy
La section est totalement plastifie
A1
A2
Mp =.zdA Mp =e.z dA1 + e.z dA2
S est le moment statique de la demi section calcul par rapport laxe y
Mp = e. z dA1 + e.z dA1 Mp = e. SyA1 + e.SyA1
y
z
Mp = e. 2.SyA1 Mp = 2Se
2S = Wply
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Hypothses et
observations
Exemple
Mthode de calcul
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Mthode de calcul
Une rotule plastique se comporte comme une articulation interne
Consquences :
Le degr dhyperstaticit interne et donc total est diminu de 1 chaque apparition dune rotule plastique
Si la structure est initialement isostatique totale alors lapparition dune rotule plastique entrane la ruine de la structure
Si la structure est initialement hyperstatique totale de degr n alors la ruine apparat la (n + 1)me rotule plastique par mcanisme plastique
Le calcul en plasticit (sous M) nest justifi que pour les structures hyperstatiques
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Hypothses et
observations
Exemple
Mthode de calcul
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Calcul pas pas...
Considrons une structure hyperstatique de degr n en quilibre statique sous un chargement extrieur quelconque
P
dHext = nb inconnues de liaison - 3
dHint = 3 x nb cadres ferms - relchements
dHtot = dHext + dHint = n
On cherche la charge de ruine par mcanisme plastique de cette structure
La ruine par mcanisme plastique apparat la (n+1)me rotule plastique
hyper n
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Hypothses et
observations
Exemple
Mthode de calcul
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Calcul pas pas...
Premier pas de calcul : recherche du chargement P1 qui cre la premire rotule plastique
On cherche la charge de ruine par mcanisme plastique de cette structure
Premier pas
On calcule le moment flchissant dans la structurepuis on rsout lquation suivante :Mmax = Mp = 2Se = Wply.fy
P M =Mmax=MpP1
hyper n
0PP1
0PP1
Mmax dpend de PP1 est la valeur particulire de P qui satisfait lquation
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Hypothses et
observations
Exemple
Mthode de calcul
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Calcul pas pas...
Second pas de calcul : recherche du chargement P2 qui cre la seconde rotule plastique
On cherche la charge de ruine par mcanisme plastique de cette structureSecond pas
P2
Le calcul est ralis en deux tapes : on cherche dabord le complment de charge P1 quil faut rajouter P1 pour obtenir la seconde rotule plastique.
P2 = P1 + P1
M=MpP1
= +
hyper n
hyper n hyper n-1
P1
Second pasPremier pas
Le problme est pos en utilisant le principe de superposition :
Mmax=M1+M2=Mp
M1M2
P1P1
-
Calcul plastique des structures en flexion simple
Hypothses et
observations
Exemple
Mthode de calcul
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Calcul pas pas...
On cherche la charge de ruine par mcanisme plastique de cette structure
On procde de cette manire jusqu obtention de la charge de ruine par mcanisme plastique
La rupture intervient au (n+1)me pas de calcul
La charge de ruine Pruine vaut :
Pruine = P1 + P1 + P2 + .... + Pn
1er pas
2me pas
3me pas (n+1)me pas
Un calcul en plasticit est donc une succession et une superposition de calculs lastiques
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Calcul plastique des structures en flexion simple
Hypothses et
observations
Exemple
Mthode de calcul
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Exemple : calcul plastique dune panne sur 3 appuis
p
a b c
Structure tudierHyperstatique de degr 1
l 2l
A la premire rotule plastique la structure devient isostatique
A la seconde rotule plastique la structure devient instable (mcanisme de ruine)
pruine = p1 + p11er pas
2me pas
1er rotule plastique
2me rotule plastique
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Calcul plastique des structures en flexion simple
Hypothses et
observations
Exemple
Mthode de calcul
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Exemple : calcul plastique dune panne sur 3 appuis
a b c
Structure tudierHyperstatique de degr 1
l 2lPremier pas
Recherche du chargement p1 qui cre la premire rotule plastique
0pp1
Mmax = X.p1.l 2Mmax = Mp = 2Se = Wply.fy
X.p1.l 2= Wply.fy
p1 = Wply.fy / (X.l 2 )
p
a b
l 2l
p1c
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Hypothses et
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Exemple
Mthode de calcul
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Exemple : calcul plastique dune panne sur 3 appuis
Second pas
Recherche du chargement p2 qui cre la seconde rotule plastique, donc la ruine de la structure : p2 = p1 + p1
Mmax = Mp = 2Se = Wply.fy
M + (p1.l 2)/2 = Wply.fy
P1P1