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34

Chapitre 3 : Dimensionnement de la prcontrainte

Au contraire des ouvrages en bton arm, le dimensionnement des structures en bton

prcontrainte est effectu pour satisfaire les conditions aux tats limites de service (ELS) qui

sont souvent les plus critiques par rapport aux ELU. Par la suite, on effectue les vrifications

aux tats limites ultimes (ELU). Dans le cas o la vrification par rapport ELU nest pas

respecte, les armatures passives seront ajoutes pour assurer ces conditions aux ELU.

3.1Dimensionnement de la section dune structure isostatique

Dans cette section, on tudie le dimensionnement simplifi dune section de la structure

isostatique.

Considrons une section bruite, dont les caractristiques sont les suivantes : la surface cbA , le

moment dinertie cbI , les distances de la fibre suprieure et de la fibre infrieure is VV , . La

section est subie les moments extrieurs maxmin ,MM avec 0max M (dans le cas inverse, on

peut retourner la section pour avoir cette hypothse). De plus, le comportement des matriaux

est suppos lastique linaire et les limites de contrainte pour le bton sont ct ff

Lobjection du dimensionnement consiste dterminer la force de prcontrainte P et son

excentricit 0e (par rapport du centre de gravit de la section) dun cble moyen fictif. Ce

dernier concept dsigne un cble quivalent dont leffet est le mme que celui du systme des

cbles de prcontrainte dans la section (figure 3.1).

(a) (b)

Figure 3.1 : Systme des cbles de prcontrainte (a) et cble moyen fictif (b)

Les conditions des limites de contrainte pour le bton nous donnent :

- sous le moment extrieur minM

en fibre infrieure :

c

cb

i

cb

i

cb

t fI

VM

I

VeP

A

Pf

min0 (3.1)

en fibre suprieure :

c

cb

s

cb

s

cb

t fI

VM

I

VeP

A

Pf

min0 (3.2)

- sous le moment extrieur maxM


35

c

cb

i

cb

i

cb

t fI

VM

I

VeP

A

Pf

max0 (3.3)


c

cb

s

cb

s

cb

t fI

VM

I

VeP

A

Pf

max0 (3.4)

Dans ces ingalits, les contraintes et les dformations du bton sont positives lorsquil sagit

de compressions et de raccourcissements. En plus, un moment flchissant est positif sil tend

comprimer la fibre suprieure dune poutre et tendre la fibre infrieure. Comme le moment

maxM est positif, on obtient donc les inquations suivantes :

t

cb

s

cb

s

cb

fI

VM

I

VeP

A

P

min0 (3.5)

c

cb

s

cb

s

cb

fI

VM

I

VeP

A

P

max0 (3.6)

c

cb

i

cb

i

cb

fI

VM

I

VeP

A

P

min0 (3.7)

t

cb

i

cb

i

cb

fI

VM

I

VeP

A

P

max0 (3.8)

La soustraction des relations (3.6) - (3.5) et (3.7)-(3.8), nous donne les inquations ci-dessous

qui constituent les conditions minimales pour la section du bton :

minmax MM

ff

I

V tc

cb

s

(4.9)

minmax MM

ff

I

V tc

cb

i

(4.10)

Ces deux ingalits conditionnent la section choisie de la structure et elles ne dpendent que

de la diffrence entre les moments flchissant, les limites de contraintes du bton et non pas

de la force de prcontrainte. Dans le cas o ces conditions ne sont pas vrifies, la section du

bton doit tre change.

Le dveloppement de deux inquations (3.5) et (3.8) montre que :

2min

0max

1

s

cbt

scb

cb

icb

cb

i

cbt

VP

If

P

M

VA

Ie

P

M

VA

I

VP

If (3.11)

Cette relation prsente un encadrement pour lexcentricit 0e du cble moyen fictif si la

valeur de P est fixe. Cet encadrement ],[ 21 est appel le segment de passage de traction

dans lequel se trouve le cble moyen fictif car il est calcul partir de la contrainte limite de

traction.

Un autre segment dont lusage est moins frquent appel noyau limite de compression peut

tre obtenu en dveloppant les inquations (3.6) et (3.7) :

36

4min

0max

3

icb

cb

i

cbc

s

cbc

scb

cb

VA

I

P

M

VP

Ife

VP

If

P

M

VA

I (3.12)

Les ingalits (3.11) et (3.12) conditionnent la position du centre de pression qui doit

appartenir lintersection ],[ 21 de ces deux segments ( ],[],[],[ 432121 ). Ce

dernier ],[ 21 est le segment de passage au sens strict.

Dans la pratique, et surtout pour le pr-dimensionnement, seule la notion de segment de

passage de traction est exploite pour dfinir la prcontrainte et son excentricit. Pour que ce

segment de passage soit ouvert, il est ncessaire que le terme gauche de (3.11) soit infrieur

celui droite. Il conduit :

tcb

sicb

sicbI fA

VVI

VVAMMPP

)(

)( minmax (3.13)

Si IPP le segment de passage se rduit un point

En pratique, la position du cble doit tre suffisante pour un enrobage minimal des cbles.

Dans ce cas, lexcentricit du cble vrifie la condition :

ii dVe 0 (3.14)

O id la distance minimale entre le cble et la fibre infrieure du bton.

A partir de la condition suivante :

ii

icb

cb

i

cbt dVP

M

VA

I

VP

If

max (3.15)

on obtiendra linquation :

ii

icb

cb

i

cbt

II

dVVA

I

V

IfM

PP

max

(3.16)

Si IIPP le segment de passage se rduit un point o ii dVe 0

En gnral, on calcule deux valeurs IP et IIP et puis la valeur minimale de P est le maximum

de IP et IIP . On distingue les cas suivants :

- Si III PP : la section est dite sous-critique. Dans ce cas tout le segment de passage est

lintrieur de la zone qui permet un enrobage suffisant.

- Si III PP : la section est dite sur-critique. Dans ce cas le segment de passage dcoupe la

zone denrobage

- Si III PP : la section est critique.

37

Figure 3.2 : Notion de section sous critique, section critique et section sur-critique.

Lensemble des segments de passage obtenus sur tout llment sappelle le fuseau de passage

(figure 3.3). Pour que les contraintes limites soient respectes partout et sous tous cas de

charge, il faut que le cble fictif soit lintrieur du fuseau de passage. Cette condition est

vrifie mme dans le cas o quelques cbles peuvent tre mis physiquement lextrieur de

cette zone.

Figure 3.3 : Fuseau de passage des cbles.

3.2 Dmarche itrative pour le dimensionnement

La procdure prsente au-dessus permet de dterminer la prcontrainte et la position du cble

moyen fictif (et donc du systme de cbles) chaque section. Nanmoins, elle ne nous donne

pas les informations concernant la force mettre en uvre au niveau des ancrages et donc les

calculs des pertes de prcontrainte ne pourront pas tre raliss.

En pratique, le dimensionnement est effectu suivant une dmarche itrative par les tapes

suivantes:

- tape 1 : on dtermine les conditions minimales (les ingalits 3.9 et 3.10) et puis dcide la

section choisie du bton

- tape 2 : on estime la position et la force pour la section mi trave de la poutre. Pour cela,

on calcule deux valeurs IP et IIP et puis la valeur minimale de P est le maximum de IP et IIP .

Puis la force mettre en uvre au niveau des ancrages est dtermine au moyen de

pourcentages forfaitaires de pertes de prcontrainte. Les valeurs de ces pourcentages

forfaitaires peuvent tre prises de lordre de 10% pour les pertes instantanes et 25% pour les

pertes totales long terme.

- tape 3 : partir de cette force de prcontrainte au niveau des ancrages, on calcule le type et

le nombre de cble.

- tape 4 : la valeur de la force de prcontrainte dtermine mi trave en tape 2 est

considre constante pour calculer lexcentricit dans les autres sections qui permet de

dterminer le fuseau de passage et donc de choisir le trac du cble fictif.

- tape 5 : on calcul ensuite les pertes de prcontrainte et effectue les vrifications de chaque

section (ces vrifications seront prsentes dans les chapitres suivants).

38

- tape 6 : Si une condition nest pas respecte, on peut modifier le trac (tape 4), voire le

nombre de cbles (tape 3) et reprendre les vrifications (tape 5). En cas de ncessit, on

peut modifier galement la gomtrie de la section du bton (tape 1).

La procdure du dimensionnement de la structure en bton prcontrainte est rsume sur le

diagramme suivant :

Figure 3.4 : Diagramme de la procdure de dimensionnement de la structure en bton

prcontrainte

3.3 Dterminer la force de prcontrainte au niveau dancrage et lexcentricit mi trave

Dans cette partie, on introduit de manire plus dtaille la mthode pour le calcul de la force

de prcontrainte au niveau dancrage et lexcentricit mi-trave dune poutre en post tension

ce qui correspond ltape 2 de la partie prcdente.

On considre qu la mise en tension des cbles, la poutre est subie seulement dun moment

flchissant gM d au poids propre avec la force de prcontrainte 1P mi trave. Les

contraintes critiques dans la section comprennent la contrainte en compression pour la fibre

infrieure et la contrainte en traction pour la fibre suprieure. Les conditions des contraintes

limites nous donnent :


1

0sup,maxsup,max

c

cb

ig

cb

ip

cb

pf

I

VM

I

VeP

A

P

(3.17)


39

cb

sg

cb

sp

cb

p

tI

VM

I

VeP

A

Pf

0sup,maxsup,max

1

(3.18)

O

maxP : force de prcontrainte mettre en uvre au niveau des ancrages

9.0/ max1 PP : valeur choisie en tenant compte les pertes instantanes de la prcontrainte

qui correspond une valeur forfaitaire de lordre de 10%.

1sup,sup, PP pk : valeur caractristique de la prcontrainte avec 1.1sup, p

11, ct ff :les contraintes limites en traction et en compression du bton au moment de la mise

en uvre de la prcontrainte.

De la mme manire, en phase de service, on considre que la poutre est subie dun moment

flchissant sM mi-trave en ajoutant la phase prcdente les actions dexploitations

variables ( qgs MMM ). La force de prcontrainte est 2P qui tient en compte en plus les

pertes diffres de la prcontrainte. Les contraintes critiques dans la section maintenant

consistent la contrainte en compression pour la fibre suprieure et la contrainte en traction

pour la fibre infrieure. On obtient donc les ingalits suivantes:


cb

is

cb

ip

cb

p

tI

VM

I

VeP

A

Pf

0inf,maxinf,max

2

(3.19)


2

0inf,maxinf,max

c

cb

ss

cb

sp

cb

pf

I

VM

I

VeP

A

P

(3.20)

O

75.0/ max2 PP : valeur choisie en tenant compte les pertes totales de la prcontrainte

(pertes instantanes et pertes diffres qui sont de lordre de 25%).

2inf,inf, PP pk : valeur caractristique de la prcontrainte avec 9.0inf, p

22 , ct ff : les contraintes limites en traction et en compression du bton dtermines en phase

de service.

La combinaison des ingalits dduit les conditions minimales pour la section du bton :

21

sup,

inf,

sup,

inf,)1(

tc

p

p

g

p

p

q

i

cb

ff

MM

V

I

(3.21)

40

1

sup,

inf,

2

sup,

inf,)1(

t

p

p

c

g

p

p

q

s

cb

ff

MM

V

I

(3.22)

On remarque que dans ces deux dernires inquations, leffet du poids propre sur les

conditions minimales de la section du bton est faible car la valeur 7.0sup,

inf,

p

p

. En

pratique, pour simplifier le calcul de la section du bton, on peut ngliger leffet du poids

propre dans ces deux ingalits dans un premier temps. Une fois que la section est choisie, le

poids propre peut tre rajout pour vrifier les conditions minimales de la section.

En outre les inquations de (4.17) (4.20) peuvent tre rcrites comme les suivantes :

];11

)(

[maxsup,

1

0

cbp

cb

igc

i

cb

AP

I

VMf

V

Ie

(3.23)

];11

)(

[maxsup,

1

0

cbp

cb

sgt

s

cb

AP

I

VMf

V

Ie

(3.24)

];11

)(

[maxinf,

2

0

cbp

cb

ist

i

cb

AP

I

VMf

V

Ie

(3.25)

];11

)(

[maxinf,

2

0

cbp

cb

ssc

s

cb

AP

I

VMf

V

Ie

(3.26)

Ces dernires relations de (3 .23) (3.26) prsentent les quatre ingalits linaire entre 0e et

max/1 P . Quand on trace les courbes linaires correspondantes aux quatre quations en prenant

le signe dgalit pour les relations de (3.23) (3.26), ces dernires dfinissent une zone dans

laquelle lexcentricit 0e et la force de prcontrainte maxP peuvent tre choisies. Ce

diagramme dite le diagramme de Magnel permet donc de dfinir la zone faisable pour le choix

de 0e (segment de passage pour la section mi-trave) et maxP (force de prcontrainte au

niveau dancrage). Pour la raison dconomie, lexcentricit est choisie maximale possible (en

considrant un enrobage minimal des cbles) et donc la prcontrainte maxP sera minimale.

41

Figure 3.5 : Diagramme de Magnel.

On peut galement dterminer maxP suivant le segment de passage de traction :

];11

)(

[]11

)(

[maxsup,

1

0

maxinf,

2

cbp

cb

sgt

s

cb

cbp

cb

ist

i

cb

AP

I

VMf

V

Ie

AP

I

VMf

V

I

(3.27)

];

)()(

[)( sup,

1

inf,

2

max

p

cb

sgti

p

cb

ists

si

cbI

I

VMfV

I

VMfV

VV

APP

(3.28)

Condition denrobage :

;]11

)(

[ 0maxinf,

2

ii

cbp

cb

ist

i

cb dVeAP

I

VMf

V

I

(3.29)

;

)1)(

(

1)(

inf,

2

max

cbcb

iiip

cb

ist

II

AI

dVV

I

VMf

PP

(3.30)

Donc la force de prcontrainte choisie au niveau dancrage ),max(max III PPP .

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