42

Chapitre 5 : Vrifications vis--vis des sollicitations normales (moments flchissant)

La vrification des sections courantes consiste dterminer les contraintes dans le bton qui

doivent satisfaire les contraintes limites autorises pour diffrentes phases de construction et

en phase de service.

Les calculs sont effectus sous les hypothses :

- Les sections droites de la poutre restent planes (hypothse de Navier)

- Il ny ait pas de glissement relatif entre le bton et les armatures (sauf dans le cas des cbles

disposs lextrieur du bton). a veut dire quune variation de dformation dans le bton

cre la position darmature une variation quivalente (de signe oppos) de la dformation de

larmature passive ou active. Le signe oppos est due la diffrence de convection de signe

entre les deux types de matriaux (valeur positive en compression pour le bton lorsquelle est

en traction pour les aciers).

En gnral, les contraintes dans un point dune section qui subissent les moments flchissant

sont calcules partir de la formule :

ch

h

cn

n

cn

n

cn

cI

yM

I

yM

I

yeP

A

Py

210)( (5.1)

Dans lquation (5.1) nous distinguons 1M les moments extrieurs au moment de la mise en

uvre de prcontrainte P (phase de construction) et 2M les moments ajouts ultrieurement

en phase de service. 1M correspond au poids propre de la structure alors que 2M sont les

actions dexploitations variables. En outre, cnA et cnI sont les caractristiques de la section

nette tandis que chI est le moment dinertie de la section homogne. Les paramtres ny et

hy sont les distances entre le point de calcul par rapport au centre de gravit des sections nette

et homogne.

Dans le cas o la section comporte les aciers passifs et aciers actifs, nous aurons les

dformations respectivement des aciers passifs s et des aciers actifs p :

)()(

)(

pchpcn

pp

p

scs

yyEA

P

y

(5.2)

o sy et py sont les coordonnes des aciers passifs et actifs dans la section considre,

)(),( pchpcn yy les dformations du bton la position des aciers actifs avant et aprs

linjection de coulis dans la gaine pour avoir une adhrence entre les cbles et btons.

5.1 Vrification aux tats limites de service

Les hypothses adoptes selon lesquelles :

- Les sections droites de la poutre restent planes (hypothse de Navier)

- Les contraintes soient proportionnelles aux dformations.

- Il ny ait pas de glissement relatif entre le bton et les armatures

- Le bton puisse rsister la traction (la limite en traction ctmf ). Cette valeur serait calcule

en fonction de lge du bton et donc au moment de la vrification (aprs la mise en tension

43

des cbles et en phase de service finale). Au-del de cette valeur, la section calcule serait la

section fissure (laire du bton tendu est nglige).

5.1.1 Catgorie de vrification

EC2 indique les justifications de trois catgories de A C o A tant la catgorie la plus

exigeante (voir tableau 5.1). En gnral, cest le matre douvrage qui choisi la catgorie

approprie.

Catgorie Combinaisons dactions pour la justification

de non traction du bton de louverture des fissures

A Non frquentes -

B Frquente Non frquentes

C Quasi permanentes Frquente

Tableau 5.1 : Catgories de vrification lELS

5.1.2 Limitations des contraintes

Les limitations de contraintes consistent :

- la contrainte maximale de compression du bton ne doit pas dpasser ckf6.0 sous

combinaison dactions non-frquentes. Cette limitation de contrainte de compression

vitera les fissures longitudinales. Cette valeur est galement celle maximale pour

toutes les combinaisons calcules juste aprs la mise en tension de prcontrainte.

- Si la contrainte du bton lors de la mise en uvre de la prcontrainte dpasse

ckf45.0 (sous la combinaison quasi-permanentes) les pertes de prcontrainte par

fluage doivent tre calcules avec un modle nonlinaire.

- La contrainte dans les armatures de prcontrainte en dduisant les pertes, sous

combinaisons quasi-permanentes, ne doit pas dpasser pkf65.0

- La contrainte de traction dans les armatures passives doit, sous combinaisons non

frquentes, rester infrieure ykf8.0

Ces vrifications sont effectues avec la valeur caractristique la plus dfavorable de la

prcontrainte ( %10 de mP ).

5.1.3 Ferraillage minimum des armatures des zones tendues

Dans les zones tendues du bton, de laire ctA , il est ncessaire de disposer des armatures

minimales. Le taux du ferraillage minimal sA est calcul, sous leffet des combinaisons non

frquentes dactions, par lquation :

ppctctmcss AAfkkA 1)( (5.3)

o :

p : la variation de contrainte dans les armatures de prcontrainte depuis ltat

correspondant labsence de dformation du bton au mme niveau

- La contrainte dacier passif s est lie au diamtre s des aciers passifs :

44

s (MPa) s (mm)

160

200

240

280

25

16

12

8

Tableau 5.2 : Taux de contrainte et diamtre des aciers

- le coefficient numrique ck (qui tient compte de la forme de la distribution des

contraintes dans la section) dpend de la gomtrie :

en traction pure : 1ck

pour la section rectangulaires et les mes des caissons et des sections en T (en flexion)

))(/1

1(4.0*2

ctm

edc

fhhbk

Nk

(5.4)

edN : leffort normal (positif en compression) passant dans la zone tendue

)1,min(* hh en m

5.11k : si edN est une compression

)3/(21 * hhk : si edN est une traction

ctmf : rsistance moyenne la traction du bton (valeur ngative)

pour les membrures des poutres-caissons ou en T (en flexion)

5.0)(

9.0

ctmbt

crc

fA

Fk (5.5)

crF : la force de traction dans la membrure juste avant fissuration

- le coefficient k prend en compte la dimension de la section

1k pour des mes de hauteur 3.0 m ou des membrures de largeur 3.0 m

65.0k pour des mes ou des membrures de dimension 8.0 m Pour des dimensions intermdiaires, on effectue une interpolation

- le coefficient 1 tient compte une adhrence imparfaite de lacier de prcontrainte au

bton :

p

s

1 (5.6)

s : le plus grand diamtre des armatures passives

pp A6.1 : le diamtre quivalent des armatures de prcontrainte pour les cbles forms

de plusieurs torons ou fils.

: coefficient numrique dpendant de ladhrence de larmature. En post-tension il prend

les valeurs suivantes :

45

Type darmature

Acier lisse

Torons 7 fils

Fils nervurs

Barres nervures

0.3

0.5

0.6

0.7

Tableau 5.3 : Coefficient

5.1.4 Ouverture des fissures

Louverture des fissures est limite 0.2mm pour les structures prcontraintes. Pour des

conditions plus svres, on impose labsence de dcompression du bton. La poutre doit avoir

un ferraillage passif pour respecter cette ouverture maximale de fissure.

Les rgles minimales concernant le ferraillage (prsents prcdemment) permettent

dconomiser le calcul fastidieux de louverture des fissures. On calcule dabord le ferraillage

passif. Puis en fonction de la contrainte dans ces aciers, le diamtre et lespace maximale des

armatures sont choisis de faon mieux rpartir la fissuration et diminuer louverture des

fissures (tableau 5.4)

s (MPa) 160 200 240 280

Diamtre maximal (mm) 25 16 12 8

Espacement maximal (mm) 200 150 100 50

Tableau 5.4 : Minimum de ferraillage

5.2 Vrification aux tats limites ultimes

La vrification aux tats limites ultimes sappuie sur les hypothses :

- Les sections droites restent planes jusqu rupture. - Les armatures adhrentes subissent les mmes dformations relatives que le bton

adjacent

- La rsistance en traction du bton soit nglige - Les lois contraintes dformations des matriaux (bton, aciers) soient connues (voir

galement chapitre 2).

La section de calcul est subie dun moment flchissant uM et un effort normal uN sous la

combinaison daction aux ELU des charges extrieures. La valeur positive de uN dsigne une

compression du bton.

Lide principale de la vrification consiste montrer que le point ( uN , uM ) situe

lintrieur du diagramme dinteraction de la section dans le plan ( N , M ). Ce diagramme

prsente lenveloppe des points ( intN , intM ) reprsentant les efforts internes associs toutes

les dformations admissibles de la section. La frontire du diagramme correspond la limite

de dformation dau moins un des matriaux (aciers ou bton) constituant la section.

46

Figure 5.1 : Diagramme dinteraction

En pratique, au lieu de tracer lensemble du diagramme, on dtermine le point correspondant

leffort uN appliqu (donc le moment rsistant rM de la section dterminer dans ce cas).

Ensuite, on compare le moment uM avec rM . La vrification est respecte lorsque uM est

plus petit que rM . En thorie, on doit dterminer deux valeurs des coordonnes rM par

rapport uN . Nanmoins, le signe du uM suffit dterminer le moment rsistant calculer.

Ici on suppose 0uM . Dans le cas inverse, on peut retourner la section pour avoir une

configuration correspondante.

5.2.1 Loi contrainte dformation du bton (voir galement chapitre 2)

La courbe de contrainte - dformation du bton dont la rsistance caractristique

60ckf MPa est simplifie par un diagramme parabole rectangle (figure 5.2). Elle est

prsente par la relation suivante :

000

2

000

2

2

2

5.3;

20);)1(1(

cucccdc

cc

c

ccdc

f

f

(5.7)

O la rsistance de calcul cdf est calcule :

c

ckcd

ff

(5.8)

avec :

5.1c : pour les combinaisons fondamentales ELU

85.0 pour leffet defforts long terme (vrification en flexion et compression) et 1 dans tous les autres cas.

47

Figure 5.2 : Loi de contrainte dformation du bton

En pratique, pour simplifier le calcul, on remplace le diagramme parabole rectangle par un

diagramme rectangulaire de contrainte cdf (lorsque lensemble de la section nest pas

comprim).

MPafMPa

f

MPaf

ckck

ck

9050400

508.0

508.0

(5.9)

Figure 5.3 : Diagramme rectangulaire simplifi

De plus, la valeur du palier horizontal du diagramme rectangulaire est rduite 10% lorsque

la largeur de la zone comprime (la gomtrie) diminue en direction de la fibre la plus forte

compression.

5.2.2 Loi contrainte dformation dacier de prcontrainte

Pour la simplification, le diagramme de la loi contrainte dformation dacier de

prcontrainte est prsent par la forme bilinaire (figure 5.4). La dformation ultime est

limite 00020uk . Le coefficient de scurit est 15.1s (sauf cas de chargement

accidentel).

Par ailleurs, il est possible de remplacer la branche suprieure du diagramme bilinaire par un

palier horizontal de valeur s

pk

s

kp

pd

fff

9.01.0 (sans limite uk ).

48

Figure 5.4 : Diagramme bilinaire de contrainte dformation dacier de prcontrainte

5.2.3 Loi contrainte dformation dacier passif

De la mme manire, la contrainte dformation dacier passif est caractrise par une courbe

bilinaire. Le coefficient de scurit est gal 15.1s (sauf cas de chargement accidentel) et

le paramtre yk

t

ff

k est le rapport entre la contrainte de la rupture et la limite lastique. La

dformation limite est 00010uk .

Il est galement possible de remplacer la branche suprieure du diagramme bilinaire par un

palier horizontal de valeur s

ykf

(sans limite uk ).

Figure 5.5 : Diagramme bilinaire de contrainte dformation dacier passif

49

Chapitre 6 : Vrifications vis--vis des sollicitations tangentielles (efforts tranchants)

Leffort tranchant dans la section droite dune poutre isostatique est la composante

perpendiculaire la fibre neutre, compte positivement vers le haut, et gal la somme des

forces appliques gauche de la section. Ces forces comprennent :

- des charges extrieures (y compris les ractions dappui) donnant leffort tranchant extrieur

Vext . Leffort tranchant extrieur se calcule par les mthodes habituelles de la rsistance des

matriaux. - des forces gnres par la prcontrainte sinP gauche de la section (voir figure 6.1).

Figure 6.1 : Effet de linclinaison de la force prcontrainte

Pour certaines raisons, il existe des cbles ancrs en trave. Dans ce cas, on vrifie les

sections situes immdiatement gauche et droite dun ancrage, en prenant en compte soit

zro, soit la totalit de leffort tranchant d au cble ancr (figure 6.2).

Figure 6.2 : Effet tranchant pour un cble ancr en trave

Au total, leffort tranchant total dans une section dune poutre isostatique scrit :

sin PVV ext (6.1)

En fonction du signe de sin , leffort tranchant de prcontrainte peut tre favorable ou dfavorable selon quil se cumule ou se retranche celui d aux forces extrieures. Dans la

majorit des cas, il se retranche en valeur absolue. En outre, selon le cas de charge, extV peut

varier entre min,extV et max,extV et donc V peut varier entre minV et maxV

La contrainte de cisaillement calcule au niveau y est la suivante :

)(

)()(

ybI

ySVy

(6.2)

50

o :

I : moment dinertie de la section calcule par rapport laxe Gz passant le centre de gravit

G et perpendiculaire V . Ce moment est gal cnI ou chI si la vrification est effectue avant

ou aprs linjection du ciment.

)(yS : moment statique par rapport laxe Gz de la partie de la section situe au dessus de

laxe horizontale y

)(yb : largeur de la section au niveau y. En bton prcontrainte, lpaisseur utile de lme des

poutres doit tre tenue compte de la prsence des gaines. Donc dans le calcul, cette largeur est

prise gale une largeur nette nomb .

2

)()(

ybybnom : cas dinjection de coulis

2.1)()( ybybnom : cas des gaines non injectes

: diamtre extrieur des gaines de prcontrainte (ou la somme des diamtres sil existe

plusieurs gaines la mme position verticale)

Pour la vrification, on utilise le couple de contrainte normale et contrainte tangentielle

, car dans le bton prcontraint, la contrainte normale au centre de gravit est non nulle

(elle est gale cAP / ). Cest dire que la vrification de contrainte de cisaillement au centre

de gravit nest pas toujours la plus dfavorable. Dans certaines structures, il faut galement

vrifier les sections denracinement des mes sur les membrures suprieures ou infrieures

des poutres.

Figure 6.3 : Enracinement mes/membrures

Cercle de Mohr

Le mcanique des milieux continus nous montre que ltat de contrainte bidimensionnelle

autour dun point est reprsent par un cercle dit cercle de Mohr. De plus, si le plan passant

par ce point tourne un angle , le vecteur contrainte tourne un angle de 2 sur le cercle de

Mohr.

yx

x

x

yx

yx

R

R

R

22tan

4

)(

)(2sin)(

)(2cos2

)(

0

2

2

0

0

(6.3)

51

Figure 6.4 : Cercle de Mohr autour un point

Dans lquation (6.3), langle 0 reprsente le plan sur lequel sexercent les contraintes

principales avec le plan Ox (fibre neutre de la poutre dans ce cas). Cet angle dfinit par

consquent une inclinaison probable des fissures par rapport la fibre neutre de la poutre. De

plus les valeurs de ces contraintes principales sont calcules partir de lquation :

22

1

22

2

4)(2

1

2

4)(2

1

2

xyx

yx

xyx

yx

(6.4)

On distingue les deux cas :

- cas sans triers actifs o la section droite sexerce une contrainte normale x et

contrainte tangentielle x alors que la facette est perpendiculaire, il ny a quune contrainte

tangentielle (contrainte normale 0y ). Lquation (6.3) scrit dans ce cas :

22tan

4

0

22

R

(6.5)

- cas avec triers actifs : par rapport au cas sans triers actifs, nous avons une contrainte

normale 0y dans la facette perpendiculaire. Cette contrainte verticale en compression est

gnre par les triers actifs (des monotorons ou des barres). Lutilisation des triers actifs est

conomique lorsque la poutre est de grande hauteur. Dans ce cas, on utilise lquation

gnrale (6.3). En comparaison avec (6.5), on constate que la prcontrainte verticale par

triers actifs permet de dcaler le cercle de Mohr du ct des compressions (donc de diminuer

la contrainte principale en traction) et de diminuer son rayon R (diminuer la contrainte en

cisaillement).

52

Figure 6.5 : Effet de contrainte verticale y sur le cercle de Mohr

Courbe intrinsque du bton

La courbe intrinsque du bton est lenveloppe des cercles de Mohr ltat de rupture (figure

6.5). Pour la raison de scurit, on peut utiliser une courbe intrinsque de scurit qui se

dduit partir de la courbe intrinsque par une homothtie de centre O et de rapport

/1 (figure 6.7).

Figure 6.6 : Courbe intrinsque du bton

Figure 6.7 : Courbe intrinsque de scurit du bton

6.1 Vrification aux tats limites de service

53

LEC2 nimpose aucune vrification des contraintes de cisaillement du bton aux ELS. En cas

de besoin, on peut vrifier les risques de fissuration du bton en utilisant les rgles par BPEL.

Selon les rgles BPEL, la courbe dintrinsque de scurit est limite par deux courbes : lune,

dans la zone des faibles compressions longitudinales, limite des risques de rupture par

fissuration du bton ; lautre, dans la zone des fortes compressions, limite le risque de rupture

par un excs de compression cumul leffet du cisaillement.

Dans le cas sans triers actifs 0y , ce domaine de scurit est dfini par les expressions

suivantes (avec 0 x ) :

ckxx

tkxck

ck

tk

ckxx

tktk

ffff

f

fff

4.0);3

2()6.0(2

4.0);3

2(4.0

2

2

(6.6)

Ce domaine est donc limit par :

- un arc de parabole si ckx f 4.0

- un arc dellipse si ckx f 4.0

Si 0x les deux courbes sont remplaces par

0;4.0 22 xtkf (6.7)

Figure 6.8 : Courbe intrinsque de scurit (selon BPEL)

Le cas avec triers actifs, lquation (6.6) sera remplace par :

ckyxyxtkyxck

ck

tkyx

ckyxyxtktkyx

ffff

f

fff

4.0)();()6.0(2

4.0)();(4.0

2

2

(6.9)

6.2 Vrification aux tats limites ultimes

6.2.1 Cas sans triers actifs

54

La fissure se propage suivante la direction perpendiculaire la direction de la contrainte

principale. Pour viter la rupture, on dispose les aciers de couture qui sont constitus dtriers

passifs perpendiculaires laxe de la poutre.

La poutre aprs la fissuration peut tre modlise par une poutre treillis qui comporte des

diagonales comprimes (les bielles) et les diagonales tendues par les triers passifs (figure

6.9)

Figure 6.9 : Poutre treillis aprs la fissuration

Les fissures perpendiculaires avec la direction de la contrainte principale en traction sont

inclins dun angle (avec

22tan ) sur lhorizontale. De plus on suppose que les triers

sont espacs rgulirement de s. Sur la figure (6.10), en considrant z la distance entre les

membrures de la poutre fissure, nous avons la longueur de la fissure suivant laxe de la

poutre :

;tan

zlc (6.10)

avec z est prise gale d9.0 o d est la distance entre la fibre comprime et larmature

tendue (acier actif ou passif) la plus loigne.

Figure 6.10 : Modle simplifie de la poutre treillis

Le nombre dtriers espacs de s quilibrant une bielle est dtermin donc :

55

tan

s

z

s

ln c (6.11)

Lquilibre des efforts scrit :

sinsin

VFVF cc (6.12)

On obtient les contraintes dans les matriaux (bton dans les bielles et acier dtriers) :

2sin

2

cos

;tan

zb

V

zb

F

sAz

V

An

V

nomnom

cc

swsw

sw

(6.13)

Figure 6.11 : Contrainte en compression dans la bielle de bton

Suivant le rglement, dans les calculs langle inclin est choisi dans lintervalle 0.1tan4.0 . La rsistance leffort tranchant de la section considre est gale la valeur minimale des rsistances des triers et du bton des bielles la compression.

Donc la vrification scrit :

),( ,, cdrsyrru VVMinVV (6.14)

La rsistance des triers est calcule la limite lastique rduite par le coefficient s . A partir

dquation (6.13), nous avons :

tan,

s

zfAV

s

yk

swsyr (6.15)

De la mme manire, nous obtenons la rsistance du bton des bielles la compression

partir dquation (6.13) :

KfzbV cdnomcdr 1,2

2sin

(6.16)

56

o :

MPaf

f

MPaf

ckck

ck

60)200

1(9.0

60;6.0

1

K : paramtre prsentant la variation de la rsistance au cisaillement en fonction de la

compression longitudinale du bton. Si cm est la contrainte moyenne dans la section :

cdcmcdcdcm

cdcmcd

cdcmcdcm

fff

ff

ff

K

5.0)/1(5.2

5.025.025.1

25.00/1

De plus, pour une ductilit suffisante, on vrifie que :

2

1 nomcd

s

yksw bffA

(6.17)

EC2 impose galement un minimum darmature dont au moins 50% sous forme dtriers ou

de cadres :

yk

ck

nom

sw

f

f

bs

A

08.0 (6.18)

Lespacement maximal des triers doit respecter ds 75.0max et cms 40max . De plus

lespacement transversale des armatures de renfort est limit par d75.0 et 60cm.

6.2.2 Cas avec triers actifs

Dans le cas o les triers actifs espacs 's et inclins de ' (la prcontrainte verticale P) sont utiliss, nous avons ltat de contrainte dans un point quelconque de coordonne y de la

section droite :

'cos')(

'

)(

)(

;'sin')(

'

;'tan

'cos

')(

'0

syb

P

ybI

ySV

syb

P

syb

P

I

yM

I

yeP

A

P

y

c

x

(6.19)

Il convient dadapter les formules de la partite prcdente o la rsistance des triers dans ce

cas est gale :

57

;2

tan

)tan

'sin'(cos

')

tan

sin(cos ',

yx

k

s

yk

swsyrs

zP

s

zfAV

(6.20)

o 'kP est la force la rupture de ltrier actif. Dans la plupart de temps nous avons les triers

verticaux o 2

'

. De plus, les triers actifs seront utiliss seulement dans les cas o la

hauteur de la section est importante.