2

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Национальный технический университет Украины

«Киевский политехнический институт»

А. Я. Карвацкий, Е. Н. Панов, С. В. Кутузов, И. Л. Шилович, Г. Н. Васильченко, С. В. Лелека

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕПЛО- ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МЕХАНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ АГРЕГАТОВ

Монография

Киев НТУУ «КПИ»

2012

3

ВВЕДЕНИЕ

Высокотемпературные процессы получения первичного алюминия, прокаливания наполнителя и графитирования электродных изделий принадлежат к наиболее энергоемким производствам промышленности. Удельные расходы электроэнергии (УРЭ) этих производств достигают 15500–16500 кВт·ч/т и 4500–6500 кВт·ч/т, соответственно. При получении, в некоторых кампаниях печей графитирования электродных изделий, не отвечающих заданным стандартам качества, УРЭ соответственно возрастают.

Высокая термонапряженность элементов конструкций и химическая агрессивность рабочих сред этих производств приводит к тому, что большинство конструкционных материалов электролизеров, шахтных печей и печей графитирования работают на предельно допустимых значениях своей огнеупорности и прочности [3, 5, 7]. Так, например, шамотные и муллитокорундовые огнеупоры печей эксплуатируются при температурах 1300 С и выше, а теплоизоляционные шихтовые материалы – выше 2000 С. Катодные кожуха алюминиевых электролизеров работают при температурах больших, чем 400 С и в условиях значительных пластических деформаций, величина которых может вызывать остаточные деформации, которые приводят к снижению срока эксплуатации и исключают возможность повторного применения кожухов в последующих кампаниях. Технологические характеристики указанных высокотемпературных объектов достигают таких значений: мощность – 1,2–12 МВт, сила тока – 100–320 кА, плотность тока – 20–30 А/см2, напряженность электрического поля – 100–150 В/м, плотность теплового потока 10–15 кВт/м2, механические напряжения (для пластических материалов, например, Ст.3 ~230 МПа, а для упругих материалов, например, карбид кремния – 850 МПа) и др. То есть, вышерассмотренные промышленные аппараты объединяет как высокие температуры протекания технологических процессов, так и высокие значения УРЭ.

Согласно с концепциями устойчивого развития и более чистого производства основными мировыми тенденциями усовершенствования алюминиевой [8, 10] и электродной [3, 7] промышленности являются следующие: переход от технологии Содерберга с самообжигающимися анодами к более прогрессивной технологии с предварительно обожженными анодами; повышение выхода по току до 96% с помощью новых технологий и до 93–95% на модернизированных традиционных технологиях; повышение силы тока на действующих электролизерах и внедрение мощных электролизеров новых конструкций на силу тока 300 кА и выше; уменьшение рабочего напряжения на электролизерах при соответствующем регулировании теплового режима; снижение УРЭ при производстве алюминия до

4

12500 кВт·ч/т; повышение энергетической эффективности печей графитирования непрямого нагрева (печи Ачесона) за счет усовершенствования регламентов подвода электроэнергии, оптимизации геометрии керна и применения керновой теплоизоляции с улучшенными теплофизическими характеристиками; снижение УРЭ при графитировании электродной продукции путем внедрения печей прямого нагрева (печи Кастнера) [5, 7].

Успешная реализация указанных тенденций невозможна без знания теплоэлектрического и механического (ТЭМ) состояния высокотемпературных агрегатов. Исходя, прежде всего, из вопросов экономической эффективности, для исследования ТЭМ состояния высокотемпературных объектов наиболее целесообразно применять численное моделирование с проведением ограниченного количества натурных экспериментов, то есть только для верификации численных моделей и задания корректных граничных условий (ГУ). Актуальность отмеченных проблем, их большое научное и практическое значение, определили выбор направления исследований: создание научных основ комплексной методики экспериментально-численного исследования физических полей, знание которых является необходимым при разработке новых и модернизации действующих конструкций высокотемпературных аппаратов, эффективных регламентов их эксплуатации, обеспечивающих ресурсоэнергосбережение и уменьшение техногенного влияния на окружающую среду.

Целью работы является создание научных основ комплексного теоретико-экспериментального исследования теплоэлектрического и механического состояния высокотемпературных агрегатов химических производств для разработки научно-обоснованных решений при усовершенствовании и проектировании энергоресурсосберегающего и экологически безопасного оборудования.

Первая глава монографии посвящена анализу состояния научной проблемы, направлений развития теоретико-экспериментальных исследований ТЭМ процессов в высокотемпературных аппаратах с учетом сложного теплообмена, фазовых переходов, газогидродинамики жидкости и контактного взаимодействия между элементами сложных конструкций. Обоснован выбор методов и заданий исследований.

Во второй главе сформулированы основные соотношения ТЭМ процессов в виде математических формулировок нелинейных краевых задач математической физики, описывающих физические поля технологических циклов высокотемпературных агрегатов.

Третья глава посвящена: описанию методик численного решения линейных и нелинейных краевых задач ТЭМ состояния с учетом контактного взаимодействия; численной реализации разработанных методик решения краевых контактных задач теории потенциала и теплопроводности, механики

5

твердого тела и гидродинамики жидкости в авторском программном обеспечении (ПО).

В четвертой главе изложены методики и результаты натурных экспериментальных исследований температурных и электрических параметров высокотемпературных агрегатов. Основные задания экспериментальных исследований состоят в определении: уровня температур на различных стадиях технологического процесса; характеристик внешнего теплообмена для задания ГУ при численном моделировании; данных для верификации численных моделей; теплопотерь и резервов для снижения УРЭ.

В пятой главе приведены результаты исследований, выполненных с помощью численного моделирования ТЭМ состояния высокотемпературных промышленных агрегатов.

В выводах приведены основные результаты проведенных исследований. В приложениях представлены аналитические выкладки, разработанные

методы и алгоритмы, результаты тестирования ПО и верификации разработанных численных моделей, расчеты погрешности измерений физических величин, технико-экономические расчеты.

6

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ, СИМВОЛОВ, ЕДИНИЦ, СОКРАЩЕНИЙ И ТЕРМИНОВ

a – температуропроводность, м2/с; A – срок эксплуатации электролизера, мес; b – темп охлаждения (нагрева), К/с, К/ч; B – энергия активации процесса графитирования, Дж/моль; массовый

расход топлива, кг/с; B – вектор магнитной индукции, Тл; c – массовая теплоемкость, Дж/(кгК); коэффициент сцепления

сыпучего материала, Па; ec – матрица демпфирования конченого элемента;

ijklC – изотропный тензор упругих постоянных четвертого порядка, Па;

d – межслоевое расстояние исследуемого материала, нм; D – матрица упругих характеристик материала; D – вектор электрической индукции, Кл/м2; E – электродвижущая сила поляризации, В; напряженность

электрического поля, В/м; модуль упругости при растяжении, Па; объемная плотность радиационного теплового потока, Вт/м3;

f – коэффициент сухого трения; F – число Фарадея, Кл/моль; свободная энергия, Дж; g – ускорение свободного падения, м/с2; G – модуль сдвига, Па; G – матрица коэффициентов влияния для потока дискретной функции; h – мольная энтальпия, Дж/моль; массовая энтальпия, Дж/кг; уровень

металла, м; H – объемная энтальпия, Дж/м3; H – вектор напряженности магнитного поля, А/м; матрица

коэффициентов влияния дискретной функции; I – сила тока на электролизере, А; единичная матрица;

vI0 – функция Планка, Втс/(м2ср);

vI – спектральная интенсивность излучения, Втс/(м2ср); j – плотность электрического тока, А/м2; J – термодинамические потоки; J2 – второй инвариант тензора девиаций напряжений, Па2; k – кинетическая энергия турбулентности, м2/с2;

ek – матрица теплопроводности конечного элемента; ek – матрица жесткости конечного элемента;

K – константа скорости процесса графитирования, с-1; коэффициент

7

поглощения, м-1; Kt – коэффициент неравномерности температурного поля; l – длина, м; определяющий размер, м; L – феноменологические или кинетические коэффициенты;

mL – теплота фазового перехода 1-го рода, Дж/м3 (Дж/кг); m – удельные потери, кг/кг;

wM – мольная масса газа, кг/кмоль; n – показатель преломления; внешняя нормаль к поверхности; N – матрица-строка коэффициентов функций формы; p – внешнее усилие, Па; давление, Па; P – давление, Па; электрическая мощность, кВт; q – плотность теплового потока, Вт/м2;

vq – плотность внутреннего источника теплоты, Вт/м3; Q – теплопотери, Вт;

рнQ – низшая рабочая теплота сгорания топлива, Дж/кг;

er – контактное электрическое сопротивление, Омм2;

r – контактное термическое сопротивление, (м2·К)/Вт; R – газовая постоянная, Дж/(мольК); R3 – трехмерная задача; s – мольная или массовая энтропия, Дж/(мольК), Дж/(кгК);

направление луча; S – тензор девиаторных напряжений, Па; площадь, м2; t – температура, С; T – абсолютная температура, К; u – перемещение, м; напряжение, В; массовая внутренняя энергия,

Дж/кг; U – электрический потенциал, В; внутренняя энергия, Дж; v – удельный объем, м3/кг; коэффициент Пуассона; частота, Гц; V – объем конечного элемента, м3; V – вектор скорости жидкости, м/с; w – удельный расход электроэнергии, кВтч/т; x,y,z – декартовые координаты, м; X – термодинамические силы; zyxX ,, – декартовые координаты, м;

– коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2К); – коэффициент линейного термического расширения жидкости, К-1;

кинетический коэффициент, м/(сКn); – электропроводность, (Омм)-1; – толщина, м; начальный зазор, м; символ Кронекера;

8

F – энергия Гельмгольца, Дж/кг; G – энергия Гиббса, Дж/моль; – абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, Ф/м;

деформация; скорость диссипации кинетической энергии турбулентности м2/с3;

– диссипация энергии, 1/с2; потенциал, Вт/м2; – электрохимический эквивалент получения алюминия, г/(Агод);

степень графитирования; удельное электрическое сопротивление, Омм;

– динамическая вязкость, Пас; безразмерные координаты; т – выход по току; – граница расчетной области ; – потенциал, В; угол внутреннего трения сыпучего материала, рад;

потенциал при прямом преобразовании Кирхгофа; – теплопроводность, Вт/(мК); – прямое преобразование Кирхгофа; – химический потенциал, Дж/моль; абсолютная магнитная

проницаемость среды, Гн/м; – число Пі; – безразмерная температура; – плотность, кг/м3; объемная плотность стороннего электрического

заряда, Кл/м3; – постоянная Стефана-Больцмана, Вт/(м2К4); тензор напряжений, Па; – время, с; тензор напряжений, Па; – расчетная область (элемент конструкции); – координаты точки источника , м.

Основные индексы:

0 – касается начального значения; * – касается фундаментального решения и его нормальной

производной; – касается верхнего временного уровня; С – касается углерода; d – касается окружающей среды; е – касается конечного элемента; ef – касается эффективного коэффициента; g – касается газа; kin – касается кинетических процессов на фронте кристаллизации; n – касается нормальной составляющей; Na – касается проникновения натрия;

9

r – касается радиационного потока; t – касается турбулентного потока; v – касается частоты излучения; – касается кондуктивного потока (теплопроводности); – касается тангенциальной составляющей; а, ан – касается анода; а.г. – касается анодных газов; а.э. – касается анодных эффектов; вх – касается входных параметров; г – касается гарнисажа; гр – касается греющего напряжения; к – касается катода; МПЗ – касается межполюсного зазора; н – касается настыли; ош – касается ошиновки электролизера; п – касается пластичности материала; под – касается подины; пот – касается потерь теплоты; р – касается жидкой фазы; с – касается серии электролизеров; ср – касается средней величины; т – касается твердой фазы; эл – касается электролита.

Другие символы:

“+”, “–” – означает, справа и слева от границы , соответственно; det – детерминант; div – дивергенция; Fo – число Фурье; Re – число Рейнольдса; grad – градиент; rot – ротор; – оператор Лапласа; – оператор Гамильтона (“набла”). Основные сокращения: BISON – лексический анализатор; CAD – computer-aided design; CFD – computer fluid dynamics; С++ – язык программирования высокого уровня; MFC – Microsoft Fundamentals Class;

10

RAM – оперативная память персонального компьютера; АЭ – анодный эффект; БТ – боковой токоподвод; ВТ – верхний токоподвод; КО – криолитовое соотношение; МГД – магнитогидродинамика; МГЭ – метод граничных элементов; МДВ – метод двойственной взаимности; МДО – метод дискретных ординат; ММВ – метод множественной взаимности; МПЗ – межполюсный зазор; МПХН – масса подовая холоднонабивная; МКЭ – метод конечных элементов; МКО – метод конечных объемов; МКР – метод конечных разностей; НИЦ «РТ» – научно-исследовательский центр «Ресурсосберегающие

технологии» НТУУ «Киевский политехнический институт»; НДС – напряженно-деформированное состояние; ОА – обожженный анод; ОАО – открытое акционерное общество; ПМГЭ – прямой метод граничных элементов; ПО – программное обеспечение; СА – самообжигающийся анод; СБС – сухая барьерная смесь; СЛАУ – система линейных алгебраических уравнений; ТВР – термопара вольфрам-рениевая; ТЭМ – теплоэлектрическое и механическое состояние; ТХА – термопара хромель-алюмелевая; УРЭ – удельный расход электроэнергии; УЭС – удельное электрическое сопротивление; ФРП – форма рабочего пространства.

11

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ОСНОВНЫЕ ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ ПРОМЫШЛЕННЫХ АГРЕГАТОВ

1.1. Общие характеристики объектов исследования

Высокотемпературные промышленные агрегаты, к которым относятся алюминиевые электролизеры, шахтные печи и печи графитирования, характеризуются такими общими чертами как: высокие температуры протекания технологических процессов 950–3000 С, большие значения УРЭ 4500–16500 кВтч/т, высокая химическая активность и агрессивность сред технологических процессов, одинаковая физическая природа процессов, которые формируют их ТЭМ состояние, общий математический аппарат описания физических процессов и близкие методы и методики их экспериментального исследования.

1.1.1. Алюминиевые электролизеры Алюминий в промышленных условиях получают электролитическим

способом из криолито-глиноземных расплавов в специальных ваннах, которые называются электролизерами Эру-Холла [1–3, 9, 35, 160]. Футеровка электролизных ванн выполняется углеродсодержащими материалами. На подине ванны накапливается слой расплавленного алюминия, а над ним находится слой электролита. Сверху на ванну установлен анод, который частично погружен в электролит. Роль катода выполняет расплавленный алюминий. Электролит представляет собой расплавленный криолит (Na3AlF6) с незначительным избытком AlF3, в котором растворен глинозем – Al2O3. В состав электролита также входят фториды NaF, CaF2, MgF2, LiF и целый ряд оксидов, которые поступают в него с исходными продуктами. Температура процесса электролиза близкая к температуре ликвидуса электролита и составляет примерно 950–965 С. При этом массовая доля глинозема в электролите составляет от 1 до 8%. Процесс электролиза заключается в электролитическом разложении глинозема, растворенного в электролите – Al2O3 = 2Al + 1,5O2. На катоде выделяется алюминий, а на аноде происходит окисления углерода с образованием смеси газов CO и CO2 по следующим реакциям: Al2O3 + 3C = 2Al + 3CO; Al2O3 + 1,5C = 2Al + 1,5CO2. На практике при электролизе расходуется глинозем, углеродный анод, фтористые соли, а также электроэнергия, необходимая для совершения электрохимического процесса и поддержания необходимой рабочей температуры процесса.

Электролизер является сложной конструкцией, включающей катодный и анодный узлы, ошиновку (катодную и анодную), опорные

12

металлоконструкции и систему газоулавливания. Классификацию электролизеров можно провести по следующим признакам:

по конструкции катодного кожуха катодного узла (балочный или рамно-шпангоутный, контрфорсный, шпангоутный и караксно-шпангоутный);

по типу анодного узла (с одним самообжигающимся анодом (СА) и с предварительно обожженными анодами (ОА));

по конструкции анодного токоподвода (с боковым (БТ) и верхним токоподводом (ВТ));

по мощности (малой – на силу тока 50–80 кА, средней – на силу тока 90–175 кА и большой – на силу тока 175–400 кА и выше).

Электролизеры с СА также называются электролизерами Содерберга [3]. Конструкции алюминиевых электролизеров различных типов и мощности представлены на рис. 1.1–1.3.

Катодное устройство алюминиевых электролизеров, как правило, состоит из следующих элементов [1–3, 9]. На днище катодного кожуха укладывается цокольная часть катодной футеровки, включающая несколько слоев теплоизоляции (например, один из материалов или их комбинации: пенодиатомит, вермикулит, силикат кальция), далее идут слои огнеупорного кирпича (шамота) и слой сухой барьерной смеси (СБС). В сумме цоколь имеет не менее чем 6, 7 слоев. На цоколе выкладываются боковые стенки, которые включают бровку (3–5 рядов шамотного кирпича) и угольные боковые блоки или плиты карбид кремния. Пространство между угольными блоками и катодным кожухом заполняется шамотной крупкой, в то время как плиты карбид кремния непосредственно приклеиваются к нему. На поверхности цоколя монтируется подина, которая состоит из угольных блоков со стальными катодными стержнями (блюмсами). Соединение между угольными блоками и блюмсами осуществляется заливкой специальным чугуном или с помощью специальных набивных масс (клея). Пространство между угольными блоками и периферией подины (между бортовой футеровкой и подовыми блоками) набивается подовой массой, которая при обжиге подины коксуется, образовывая подовый слой, который прочно связывает подовые блоки между собой.

Анодное устройство электролизера СА с боковым подводом тока (см. рис. 1.1) представляет собой угольный анод [11], который помещен в анодную раму. Подвод тока к аноду осуществляется с помощью стальных стержней, которые забиваются в него с боковых сторон в 3, 4 ряда. По мере сгорания анода нижние штыри вытягиваются и снова забиваются в тело анода только в верхней его части, где он еще не скоксованый, то есть мягкий или пластичный. Анодная рама подвешена к несущей конструкции электролизера, что позволяет перемещать анод вверх или вниз. Ток к анодным стержням подводится с помощью анодных спусков, которые в верхней части крепятся к

13

анодной шине. Анодные газы из под анодного укрытия через патрубок направляются в систему вытяжной вентиляции цеха.

Рис. 1.1. Электролизер СА с боковым подводом тока на силу тока 70 кА: 1,16 – теплоизоляционный материал; 2,15 – шамотный огнеупор; 3,13 – катодный и

бортовой углеграфитовые блоки; 4 – расплав алюминия; 5 – электролит; 6 – спеченный анод; 7 – жидкая анодная масса; 8,17 – анодная и катодная шины; 9 – анодные штыри;

10 – глиноземная засыпка; 11 – корка; 12 – бортовой гарнисаж и настыль; 14 – набивная масса; 18 – катодный кожух; 19 – блюмсы

Рис. 1.2. Электролизер СА с верхним подводом тока (С8-БМ) на силу тока 156кА: 1 – катодная шина; 2 – контрфорсный катодный кожух; 3 – цокольная футеровка;

4 – подовая секция; 5 – бортовой блок; 6 – металл; 7 – электролит; 8 – гарнисаж и настыль; 9 – самообжигающийся анод; 10 – анодный кожух; 11 – штырь; 12 – анодная шина

14

Рис. 1.3. Электролизер ОА на силу тока 320 кА: 1 – катодная шина; 2 – каркасно-шпангоутный катодный кожух; 3 – цокольная футеровка; 4 – подовая секция; 5 – бортовой блок; 6 – металл; 7 – электролит; 8 – гарнисаж и настыль;

9 – предварительно обожженный анод; 10 – анодная штанга; 11 – анодная шина

Анодное устройство электролизера СА с верхним подводом тока (см. рис. 1.2) состоит из анода, помещенного в анодный стальной кожух. Ток к аноду подводится с помощью вертикальных стальных стержней, запеченных в его тело. По мере срабатывания анода он опускается вниз при неподвижном анодном кожухе. В нижней части анодного кожуха размещаются газосборный колокол, анодные газы с которого направляются к двум горелкам. В горелках осуществляется дожигание СО до СО2, после чего газы поступают в систему газоулавливания и выбрасываются в атмосферу через систему газоочистки. Анодное устройство электролизера ОА (см. рис. 1.3) представляет собой анодный массив, который состоит с двух рядов обожженных анодов [11]. В анодах есть гнезда для ниппелей, служащие для подвода к ним тока через анодные штанги, которые непосредственно крепятся к анодным шинам. Контакт анода с ниппелем осуществляется чугунной заливкой. Для удаления анодных газов из-под анодных укрытий служит короб, образованный анодной рамой. После окончания монтажных робот для новых электролизеров или капитального ремонта для действующих выполняется их обжиг [3]. Срок межремонтной эксплуатации алюминиевых электролизеров составляет около 4–5 лет. Основной задачей обжига является коксование межблочных и периферийных швов подины, прогрев катодного и анодного устройств до температур, близких к эксплуатационным. Одновременно с этим осуществляется сушка электролизера и удаление летучих компонентов.

15

Задачи обжига изменяются в зависимости от типа анодного узла. Так, для электролизеров СА с БТ и ВТ при одновременной формовке нового анода основное внимание уделяется процессу обжига анода, а для электролизеров ОА – обжиг катодного узла. Обжиг электролизера может выполняться джоулевой теплотой, выделяющейся при прохождении электрического тока через анод, слой металла или коксовую мелочь (алюминиевою стружку), подину или продуктами сгорания жидкого (газообразного) топлива и называется пламенным обжигом. В процессе обжига должны быть обеспечены следующие температурно-тепловые режимы электролизера, чтобы предотвратить разрушение катода и в результате увеличить срок его эксплуатации. Продолжительность обжига в среднем составляет около 2–3 сут. Пуск электролизера начинается сразу же после окончания обжига [3]. Основными процессами при этом являются загрузка в пространство борт-анод кусковых материалов (CaF2, NaF, Na3AlF6), заливка в ванну жидкого электролита и его наплавление за счет загруженного криолита. Пуск считается завершенным, если уровень электролита достигает не менее 2/3 глубины шахты катода. Далее наступает послепусковой период, продолжительность которого составляет 11–15 сут, основными задачами которого являются выход электролизера на режимные параметры эксплуатации. В послепусковой период, в процессе снижения температуры электролита, на бортовой футеровке постепенно начинают образовываться твердые фазы в областях металла и электролита [3, 12], выполняющие очень важную функцию защиты футеровки ванн от химического и термического воздействия расплавов в процессе эксплуатации. Схема формы рабочего пространства (ФРП) показана на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Схема рабочего пространства электролизера: 1 – обожженный анод; 2 –глиноземная засыпка; 3 – корка; 4 – электролит; 5 – гарнисаж;

6 – бортовой блок; 7 – металл; 8 – настыль

16

Твердые фазы, которые образуются, являются как бы конструктивными элементами футеровки и имеют следующие условные названия: гарнисаж – на боковых стенках на уровне электролита; настыль – на боковых стенках на уровне металла и на подине; корка – в пространстве борт–анод над электролитом. Гарнисаж и корка содержат в основном составляющие электролита, а настыль может также содержать алюминий и его химические соединения [12].

В начальный период эксплуатации электролизера происходит интенсивная пропитка угольной футеровки, верхних слоев шамота и тепловой изоляции катодного узла натрием и фтористыми солями, что приводит к существенным изменениям физических свойств этих материалов [13–16].

1.1.2. Показатели электролиза алюминия

Алюминиевые электролизеры одновременно представляют собой электрохимические и тепловые агрегаты. Электрическая энергия, которая подводится к ним, расходуется не только на осуществление реакции разложения глинозема, но и на поддержание необходимой температуры электролиза, то есть на компенсацию теплопотерь в окружающую среду. Этим фактом объясняется то, что основные параметры электролиза находятся в определенной зависимости от тепловых процессов. К основным показателям, которые характеризуют процесс электролиза, относятся: катодный выход по току т ; удельный расход углерода анода Cm ,

кг/кг; среднее напряжение срu , В; УРЭ питw , кВтч/т; энергетический КПД

электролизера e ; анодная aj и катодная кj , А/см2 плотность тока. Катодный выход по току представляет собой отношение реально полученного на катоде металла к теоретически возможному, который определяется по закону Фарадея. Действительные значения т для алюминиевых электролизеров Содерберга лежать в пределах 83–90%, а для электролизеров ОА могут составлять 93% и выше [10]. В [2] приведена эмпирическая формула для расчета выхода по току, полученная М.А. Коробовым для электролизеров БТ и ВТ

елМПЗ58,0

21,03

т/12940exp

107,2561

thj

S

a

a , (1.1)

где aS – площадь анода, м2; МПЗh – расстояние (зазор) между

электродами, см; елt – температура электролита, С. На выход по току влияют и другие факторы, которые не вошли в (1.1). К ним, например, можно отнести: состав электролита, криолитовое отношение

17

(КО), длину настыли и т.д. Наибольшее значение выхода по току отвечает определенному уровню температуры электролита, который рассматривают как оптимальный и который лежит в пределах 955–965 С. По данным роботы [17], повышение температуры электролита на 10 С выше рекомендованной снижает т на 2–3 %. Причиной этого является ускорение реакции растворения и перехода растворенного алюминия в электролит. Одновременно при этом увеличивается интенсивность циркуляции электролита, ведущая к тому, что растворенный алюминий (ионы Al3+) быстрее уносится к аноду и поверхности электролита. Все это увеличивает потери алюминия и соответственно уменьшает выход по току. По данным [9] формула (1.1) дает несколько заниженные значения для более мощных электролизеров СА, в частности на силу тока 156 кА. В результате детального изучения производительности зарубежных электролизеров по данным [18] в [9] была получена следующая формула для определения выхода по току

Ahyt 032,03sin9,58AlF59,01388,07,163 3елт , (1.2)

где 3AlFy – избыток фторида алюминия по сравнению с криолитом, % (мас.); h – уровень металла, см; А – срок эксплуатации электролизера, мес. Формула (1.2) дает наоборот завышенные значения т не взирая на то, что в ней в отличие от (1.1) учитываются параметры электролита и срок эксплуатации электролизера. То есть получение формулы для вычисления т является достаточно не простой задачей. Удельный расход углерода при электролизе определяется по формуле [2, 9]

1CO2

13

2 NmC , (1.3)

где 5,1/135,1 тCO2N – содержание СО2 в анодных газах, моль.

Среднее напряжение на электролизере может быть определено из уравнения электрического баланса [2]

соша.е.поданелср uuuuuuEu , (1.4)

где E – ЭДС поляризации, В; соша.е.поданел , , , , , uuuuuu – падение

напряжения в электролите, анодном узле, подине (или катодном узле), от анодных эффектов, в ошиновке ванне и ошиновке серии, соответственно, В. ЭДС поляризации представляет собой сумму напряжения разложения глинозема с образованием СО2 (

0pE ) и перенапряжения на аноде ( E ), то есть

18

EEE p 0 .

Напряжение разложения глинозема для обратимой электрохимической реакции (Al2O3 = 2Al + 1,5O2) определяется из соотношения

nF

GE p

00 ,

где 0G – энергия Гиббса – разложения соединения на элементы, Дж/моль; n – количество электронов, принимающих участие в химической реакции; F = 96485,34 Кл/моль – число Фарадея. Энергия Гиббса определяется из уравнения Гиббса–Гельмгольца

000 sThG , (1.5)

где 0h – изменение мольной энтальпии участков химической реакции, Дж/моль; 0s – изменение мольной энтропии участков реакции, Дж/(Кмоль); T – абсолютная температура, при которой протекают реакция, К;

0sT – связанная энергия, Дж/моль. Термодинамические величины ( 00 , sh ) основных реакций, протекающих в алюминиевых электролизерах, можно определять из таблиц [2] в зависимости от температуры, после чего можно определить напряжение разложения. Например, при 1300T К 0

pE = 2,18 В. Анализ данных

приведенных в [2, 19] показывает, что напряжение разложения зависит от температуры электролиза, плотности тока, состава электролита и других факторов. Расчет перенапряжения на аноде можно выполнить по представленной в работе [19] зависимости E от выхода по току

т/1lg bE ,

где b – коэффициент, который для углерода равняется 0,8 В. Падение напряжения на элементах электролизера (1.4) можно приближенно найти из зависимости [2]. Зная срu несложно найти греющее

напряжение

сошсргр uuuu . (1.6)

Оценку эффективности алюминиевого электролизера можно выполнить на основе анализа его энергетического баланса [1, 2, 9, 19–22], который представляет равенство прихода и расхода энергии в электролизере. Под энергетическим балансом понимают объединение электрического и теплового

19

балансов. На практике различают два типа балансов, которые рассчитываются при температуре процесса или при температуре окружающей среды. От выбора температуры отсчета зависит только структура баланса, объем натурных испытаний и расчетов. Конечные же результаты не зависят от температуры отсчета, к которой приведен баланс, то есть являются идентичными. Энергетические балансы составляют как для действующих электролизеров, так и для проектируемых. Для действующих электролизеров энергетический баланс позволяет устранить недостатки, связанные с повышенными расходами электроэнергии. При этом результатом анализа баланса является выбор оптимального межполюсного зазора (МПЗ), который соответственно минимизирует тепловые потери. При проектировании новых ванн энергетический баланс позволяет: рассчитать необходимую толщину теплоизоляции; выбрать оптимальный МПЗ и определить необходимое количество энергии для сохранения теплового равновесия; определить распределение энергии внутри электролизера и его КПД; наметить способы интенсификации процесса электролиза путем повышения плотности тока, то есть повысить силу тока и, соответственно, производительность. При температуре электролиза уравнение энергетического баланса, записанное через изменение энтальпии в химических реакциях, принимает вид

пота.гисх.вх.pгр QHHHuI , (1.7)

где I – сила тока на электролизере, А; гр uI – приход энергии в

электролизер за счет подвода электроэнергии постоянного тока, Вт;

х.рH – изменение энтальпии веществ, принимающих участие в химических

реакциях, Вт; исх.вH – изменение энтальпии при нагреве исходных веществ, поступающих в электролизер, Вт; а.гH – изменение энтальпии анодных газов, покидающих электролизер, Вт; потQ – теплопотери в окружающую среду, Вт. Расчеты изменения энтальпии в (1.7) можно выполнить с использованием термодинамических данных, приведенных в [2, 19]. Наибольшая сложность при расчетах энергетических балансов состоит в определении теплопотерь в окружающую среду, что особенно касается проектируемых электролизеров. В последнее время для этого широкое применение получило математическое моделирование физических полей алюминиевых электролизеров [23–33]. При вычислениях теплопотерь необходимо учитывать изменение физических свойств материалов в процессе эксплуатации электролизеров [34]. На основе энергетического баланса можно установить связь между электрическими и тепловыми характеристиками [35]

20

грМПЗcp / rhqj , (1.8)

где cpcp / SIj – средняя плотность электрического тока на

электролизере, А/см2; cpпот / SQq – удельные потери теплоты, отнесенные

к площади среднего сечения электролита, Вт/м2; – удельное электрическое сопротивление (УЭС) электролита, Омсм; МПЗh – межполюсный зазор или расстояние, см; cргргр SRr – приведенное греющее сопротивление

электролизера, Омсм2; поданcр SSS ; анS – площадь анода, см2;

подS – площадь рабочей поверхности подины (катода), см2;

а.э.подангр / uuuIR – греющее сопротивление электролизера

с учетом сопротивления от анодных эффектов, Ом. Энергетический баланс электролизера позволяет также установить связь между потерями теплоты в окружающую среду и УРЭ. Из исходного уравнения энергетического баланса (1.7) вытекает выражение для определения УРЭ [2, 19]

1000т

сруд

uw , (1.9)

где = 0,3354 г/(Ач) – электрохимический эквивалент получения алюминия. Анализ уравнения (1.9) показывает, что УРЭ при электролизе алюминия состоит из трех статей потерь энергии: на разложение глинозема, на компенсацию теплопотерь в окружающую среду и потери в ошиновке. Из этого уравнения также следует, что интенсификация процесса электролиза за счет повышения плотности тока (и следовательно теплопотерь при неизменном МПЗ) связана с повышением УРЭ. Следовательно при сравнении разных типов электролизеров необходимо учитывать степень интенсификации процесса электролиза. Энергетический баланс также позволяет определить энергетический КПД электролизера, который представляет собой отношение полезно использованной энергии к подведенной, то есть [35]

ср

т

u

Ke

, (1.10)

где K – коэффициент, характеризующий полезно использованную энергию, В.

21

1.1.3. Шахтные печи для прокаливания наполнителя Классическая технология получения графитированного наполнителя для

изготовления электродной продукции основывается на многостадийном процессе с получением нуделя (помол сырого кокса, прокаливание во вращающихся печах, помол прокаленного кокса, изготовление смеси, прессование заготовки нуделя, обжиг нуделя в печах Ридгаммера, графитирование нуделя в печах Ачесона, помол нуделя) является значительно трудоемкой и энергоемкой [7, 37, 39, 239, 317]. Возможность применения шахтной печи, которая используется для прокаливания антрацита [239, 317–319], к непрерывному процессу графитирования кокса является чрезвычайно привлекательной как со стороны весомого уменьшения стадий технологического цикла с 8-и до 4-х (помол сырого кокса, прокаливание во вращающихся печах, непрерывное графитирование в шахтной электропечи, помол графитированного кокса), так и со стороны уменьшения удельных энергозатрат. Так только при графитировании нуделя в печах Ачесона УРЭ составляет около 3500 кВтч/т, а по предварительным оценкам УРЭ при графитировании нефтяного кокса в шахтной печи не превышает 2000 кВтч/т.

Анализ литературных источников [7, 37, 39, 239, 317–319] свидетельствует о том, что на данный момент технология получения графитированного нефтяного кокса в электропечах шахтного типа отработана недостаточно, а в Украине совсем отсутствует. Поэтому задача разработки новой технологии получения графитированного кокса и соответствующего технологического оборудования является чрезвычайно актуальной.

Анализ технологических особенностей процесса графитирования кокса в электрокальцинаторах и их конструкций [322]. Электрокальцинирование углеродсодержащего материала заключается в его нагревании до определенного уровня температур за счет джоулевой теплоты, выделяющейся при непосредственном прохождении электрического тока через графитируемый материал. Нагревание материала таким способом проводится в электрокальцинаторе, который представляет собой однофазную шахтную электропечь сопротивления, состоящую из металлической цилиндрической обечайки, которая футерована огнеупорными и теплоизоляционными материалами, с осевым размещением двух токоподводящих электродов (рис. 1.5). Внутренняя цилиндрическая полость электропечи, образованная огнеупорной футеровкой, предназначена для прохождения графитируемого материала через печь и может быть как постоянного, так и переменного по высоте поперечного сечения (например, электрокальцинатор с дроссель шайбой, см. рис. 1.5б, в) [317]. Сверху цилиндрической полости находится питающий узел, задачей которого является подача углеродсодержащего материала в электрокальцинатор, а снизу – разгрузочный механизм,

22

предназначенный для порционной выгрузки готового продукта из печи. Питающий узел и разгрузочный механизм работают дискретно и синхронно, обеспечивая при этом полную загрузку шахты электрокальцинатора графитируемым материалом в любой момент времени. Продолжительность прокалки материала зависит от уровня температур высокотемпературной зоны, который зависит от электрической мощности печи. Потому скорость подачи материала в шахту элекрокальцинатора и, соответственно, частота и масса дозы его выгрузки (загрузки) определяется размерами высокотемпературной зоны и продолжительностью прокаливания.

На практике, продолжительность нахождения обрабатываемого материала в зоне прокаливания (графитирования) регулируется производительностью механизма разгрузки, а уровень температур в зоне прокаливания – уровнем подведенной к электрокальцинатору электрической мощности.

а б в

Рис. 1.5. Конструкции рядовых электрокальцинаторов для прокаливания антрацита: а – электрокальцинатор без дроссель шайбы; б – электрокальцинатор с дроссель шайбой без

диффузора; в – электрокальцинатор с дроссель шайбой с конфузором и диффузором

Минимальный уровень температур в зоне прокаливания определяет качественные характеристики выгружаемого материала:

– свыше 1300 °С – удаление летучих из прокаливаемого материала (рядовые электрокальцинатры для прокаливания антрацита);

– свыше 1700 °С – удаление серы из прокаливаемого материала; – свыше 2200 °С – частичное или полное графитирование

прокаливаемого материала.

23

Соответственно, для эффективного внедрения технологии получения в электрокальцинаторе графитированного наполнителя электродных изделий необходимо создать конструкцию электропечи, позволяющую на пути движения обрабатываемого материала сформировать зону прокаливания с уровнем температур не ниже 2200 °С. Необходимый уровень температуры прокаливания материала определяется лабораторными исследованиями и зависит от физических свойств материала и его гранулометрического состава.

Проведенные авторами экспериментальные (рис. 1.6) и численные исследования электрических режимов работы рядовых электрокальцинаторов для прокаливания антрацита [239] показали, что при создании электрокальцинатора с конструкцией, удовлетворяющей указанным требованиям необходимо решить следующие задачи, которые направлены на:

– уменьшение неравномерности электрического и, как следствие этого, повышение равномерности температурного поля в горизонтальных сечениях электрокальцинатора. Основной причиной такой неравномерности полей является неоднородность загружаемого в шахту материала и его сегрегация при поступлении в приемную воронку;

– создание надежной системы управления электроснабжением электрокальцинатора, обеспечивающей минимизацию неравномерности в распределении электрического тока в графитируемом материале;

– обеспечение одинаковой скорости прохождения частичками прокаливаемого материала высокотемпературной зоны вне зависимости от их геометрических размеров;

– решение проблемы выгорания огнеупорной неэлектропроводной футеровки в зоне ее контакта с огнеупорной электропроводной футеровкой (в промышленности практически отсутствуют доступные огнеупорные неэлектропроводные материалы с температурой применения более 1850 °С);

– устранение нестабильности электрических характеристик процесса электрокальцинирования, связанной с дискретностью работы механизма загрузки/разгрузки.

а б

Рис. 1.6. Схема натурных измерений температур на рядовом электрокальцинаторе: а, б – вертикальные сечения электрокальцинатора; 1–28 – номера термопар

24

Патентный поиск, проведенный по конструкциям электрокальцинаторов для графитирования нефтяного кокса, направленный на решение поставленных задач, показывает следующее.

Патент US2004/0115115 A1 [325] (рис. 1.7) представляет собой вертикальную печь с индукционным нагревом для непрерывной высокотемпературной обработки материала.

Достоинства конструкции: – в оборудовании с помощью применения осевой загрузки материала,

решен вопрос с неоднородностью распределения электрической и тепловой нагрузок по горизонтальным сечениям печи;

– также решен вопрос с различной скоростью прохождения частичек материал через высокотемпературную зону прокаливания;

– высокая энергоэффективность установки обеспечивается за счет регенерации теплоты материала, выходящего из зоны прокаливания;

– возможность контроля уровня температуры процесса оптическими методами.

Недостатки конструкции: – применение в установке сложного и дорогостоящего оборудования –

индуктора, который имеет более низкий КПД по сравнению с прямым нагревом;

– сложность при решении вопроса футеровки камеры нагрева. Если камера футеруется угольными плитами, то в этом случае

необходимо решить вопрос с промежуточными слоями теплоизоляции между угольными плитами и кожухом.

Рис. 1.7. Вертикальная печь с индукционным нагревом для непрерывной высокотемпературной обработки материала:

1, 2 – горизонтальный и вертикальный шнеки подачи материала, соответственно; 3 – нагнетательное сопло; 4 – индукционный нагреватель; 5 – охлаждаемая стенка

25

Патент RU 2167377 C1 [325] (рис. 1.8) – электрокальцинатор с двумя потоками прокаливаемого материала.

Достоинства конструкции: – решен вопрос с защитой огнеупорной футеровки

электрокальцинатора; – отсутствует электропроводная огнеупорная часть футеровки

электрокальцинатора. Недостатки конструкции:

– не решена проблема с неравномерностью электрического и теплового полей по горизонтальным сечениям электрокальцинатора;

– не решен вопрос с различной скоростью прохождения частичек материала через зону прокаливания.

Патент US3807962(A) [325] (рис. 1.9) – электрокальцинатор с нижним электродом в виде смесителя.

Достоинства конструкции: – решена проблема с неравномерностью электрического и теплового

полей по горизонтальным сечениям электрокальцинатора за счет применения осевой загрузки и перемешивания графитируемого материала;

– отсутствует необходимость создания по всему горизонтальному сечению зоны прокаливания с температурой свыше 2200 °С.

Недостатки конструкции: – наличие в конструкции сложного технологического элемента –

нижнего вращающегося электрода; – не решен вопрос с различной скоростью прохождения частичек

материала через зону прокаливания.

Рис. 1.8. Электрокальцинатор с двумя потоками прокаливаемого материала:

1 – верхний электрод; 2 – нижний электрод; 3 – центральная шахта; 4 – боковая шахта; 5 – центральная выгрузка материала; 6 – боковая выгрузка материала;

7 – футеровка

26

Патент US6038247 [325] (рис. 1.10) – электрокальцинатор с горизонтальным кольцевым размещением токоподводящих электродов, которые попеременно включаются.

Достоинства конструкции: – решен вопрос с неравномерностью электрического и теплового полей

по горизонтальным сечениям электрокальцинатора. Недостатки конструкции: – наличие в конструкции сложного конструкционного элемента –

релейного коммутатора на большую силу тока; – необходимость создания по всему горизонтальному сечению зоны

прокаливания с температурой свыше 2200 °С; – не решена проблема с защитой огнеупорной неэлектропроводной

футеровки от воздействия высоких температур; – не решен вопрос с различной скоростью прохождения частичек

материала через зону прокаливания.

Рис 1.9. Электрокальцинатор с нижним электродом в виде смесителя: 1 – вход материала; 2 – электроды; 3 – смеситель-электрод; 4 – неподвижный цилиндр

из огнеупорного материала; 5 – выход материала; 6 – конвейер

Патент US4288407 (A) [325] (рис. 1.11) – электрокальцинатор с принудительной подачей в прокалочную зону инертного газа для создания псевдоожиженного слоя с целью улучшения условий перемешивания материала.

27

Рис 1.10. Электрокальцинатор с горизонтальным кольцевым размещением токоподводящих

электродов, включающихся попеременно: 1 – питающий трансформатор; 2 – релейный коммутатор; 3 – пары электродов; 4 – подача материала; 5 – зона графитирования; 6 – зона выгрузки материала

Рис. 1.11. Электрокальцинатор с принудительной подачей в прокалочную зону инертного газа для создания псевдоожиженного слоя с целью улучшения перемешивания материала:

1 – подача материала; 2 – электрод; 3 – зона нагрева; 4 – трубчатый электрод; 5 – зона охлаждения; 6 – подача газа; 7 – зона выгрузки материала

Достоинства конструкции: – решен вопрос с неравномерностью электрического и теплового полей

по горизонтальным сечениям электрокальцинатора за счет перемешивания в псевдоожиженном слое;

– решена проблема с различной скоростью прохождения частичек материала через зону прокаливания;

– реализован разогрев материала на пути его схода. Недостатки конструкции:

28

– сложность реализации конструкции. Наличие сложного конструкционного элемента – трубчатого электрода с системой газоподвода;

– необходимость в подаче инертного газа; – сложность при решении проблемы футеровки трубчатого электрода; – повышенные требования к питающему агрегату, из-за большой

площади рабочей поверхности трубчатого и осевого электродов. Как видно из рассмотренных патентов – варианты технических решений

в конструкциях электрокальцинатора различные и имеют как достоинства, так и существенные недостатки. Ни одна из приведенных конструкций электропечей не является оптимальной. В связи с этим можно сделать вывод о том, что проблема создания конструкции электрокальцинатора для графитирования кокса, в которой выполняются все выше сформулированные требования, остается не решенной. Поэтому дальнейшие направления работ по данной проблеме могут быть следующими: создание конструкции электрокальцинатора, в которой будут минимизированы все отмеченные недостатки рассмотренных конструкций; проведение математического моделирования физических полей новой конструкции [320, 321] с целью проверки правильности принятых технических решений, отработки режимных параметров и при необходимости внесение конструктивных изменений; создание промышленной установки и проведение натурных экспериментальных исследований для проверки реализации проектных решений и отработка пусковых и эксплуатационных режимов; подготовка технологической инструкции по эксплуатации электрокальцинатора.

1.1.4. Печи графитирования

Процесс графитирования является последним этапом в технологическом цикле производства графитированных изделий. Ему предшествуют следующие макроэтапы технологического цикла: подготовка наполнителя с выполнением этапов дробления, прокаливания и размола; добавка связующего и смешивание; прессование заготовок; обжиг заготовок с максимальной температурой 900–1200 С продолжительностью 20–40 сут; при необходимости пропитка заготовок каменноугольным пеком или искусственными смолами с повторным обжигом перед графитированием [5, 7, 36–39]. Обжиг заготовок обычно проводится в закрытых многокамерных кольцевых печах типа Ридгаммера, в которых нагрев осуществляется теплотой от сгорания газообразного топлива [40]. Целью обжига является термическая обработка изделий перед графитированием до температуры 900–1200 ºС, при которой органическое связующее должно перейти в кокс и скрепить частички наполнителя.

После обжига заготовки поддаются высокотемпературной обработке или графитированию при температурах 2000–3000 С [5, 7]. Процесс

29

графитирования в промышленных условиях проводится в однофазных электрических печах периодического действия косвенного (печь Ачесона, рис. 1.12) или прямого нагрева (печь Кастнера, рис. 1.13). Под термином «электрическая печь» в производстве электродной продукции понимают весь комплекс печного оборудования, который включает: собственно печь, трансформатор и короткую электрическую цепь (вторичный токоподвод).

В печах непрямого нагрева заготовки укладываются поперек продольной оси печи (то есть перпендикулярно направлению протекания тока), а в печах прямого нагрева – наоборот вдоль ее оси. Рабочим электрическим сопротивлением в печах Ачесона служит коксовая керновая пересыпка, а в печах Кастнера – непосредственно сами заготовки уложенные в свечки и материал для обеспечения электрического контакта между торцами заготовок. При пропускании электрического тока через печь графитирования происходит разогрев керна печи джоулевой теплотой до достаточно высоких температур [36, 37]. С целью минимизации теплопотерь и обеспечения защиты огнеупорной кладки печи от влияния высоких температур применяется теплоизоляционная шихта. В подине и боковых стенках печи имеются каналы, которые присоединены к вытяжной вентиляционной системе и также выполняют функцию защиты футеровки от высоких температур и сбора вредных для окружающей среды газов. На верх печи устанавливается газосборный зонт, который также имеет двойное предназначение [41]: для защиты окружающей среды от вредных газов, выделяющихся при графитировании, и уменьшения теплопотерь при использовании теплоизоляционного слоя в конструкции зонта.

Печь Кастнера по сравнению с печью Ачесона имеет определенные преимущества по следующим энергетическим и техническим характеристикам [7]: УРЭ и продолжительность графитирования заготовок; равномерность графитирования заготовок по их сечению и длине, что, соответственно, положительно влияет и на физические свойства электродных изделий.

К недостаткам печей прямого нагрева можно отнести следующие: высокие требования к качеству обожженных заготовок; сложность формирования рабочего пространства печи с обеспечением надежного контакта между заготовками в свечах во время всего процесса графитирования; наличие подвижных токоподводов и системы сжатия свечи из заготовок; высокие требования к питающим трансформаторам. Все это и определило то, что наибольшего распространения в СНГ получили печи непрямого нагрева Ачесона, которые представляют собой модернизированные печи для карбонизации.

Основными элементами печи Ачесона являются [36]: торцевые стенки; пол или подина; защитные экраны и токоподводы (см. рис. 1.12). Указанные

30

элементы образуют рабочий объем печи, часть которого без теплоизоляционной шихты называется керном. По конструкции печи Ачесона различаются на прямые и П–образные [46] (рис. 1.14), а за типом оборудования электрического питания на печи постоянного и переменного тока [42–44].

Подина печи выкладывается из шамотного огнеупорного кирпича или жаропрочного бетона, или их комбинации. При сооружении подины, как правило, формуются воздушные каналы и «температурные швы». Кладка подины выполняется на бетонном фундаменте, в котором имеется канал, соединенный с вытяжной вентиляцией.

Торцевые стенки печи Ачесона, также как подина, выкладываются и формуются из шамотного кирпича и огнеупорного бетона. Основным назначением торцевых стенок является обеспечение введения подводов тока в рабочее пространство печи. При этом участок контакта токоподводящих электродов со стенкой должен быть достаточно герметичен, в противном случае поверхности электродов могут активно окисляться, что значительно сокращает сроки их эксплуатации и, соответственно, самой печи.

Рис. 1.12. Печь косвенного нагрева Ачесона: 1,3 – торцевая и боковая стенки; 2 – подина; 4,5 – железобетонные колонны; 6 – воздушные каналы; 7 – токоподводы; 8 – графито-угольный защитный экран; 9 – графитовая стружка;

10 – теплоизоляция; 11 – керновая пересыпка; 12 – заготовки

Функцию защиты торцевых стенок от воздействия высоких температур выполняет защитный экран из угольных и графитовых блоков и слой графитовой стружки, которая засыпается между стенкой и экраном.

31

Рис. 1.13. Печь прямого нагрева Кастнера: 1,3 – торцевая и боковая стенки; 2 – подина; 4 – воздушные каналы; 5 – подвижный токоподвод; 6 – гнездо подвижного токоподвода; 7 – неподвижный токоподвод;

8 – заготовки; 9 – вставка; 10 – демпферная прокладка; 11 – теплоизоляция

а

б

Рис.1.14. Схемы основных типов печей графитирования: а) прямая или нормальная печь; б) П– образная печь; 1 – электроды для подвода тока; 2 – торцевые стенки; 3 – пересыпка керна; 4 – заготовки графитируемых электродов; 5 – теплоизоляционная шихта; 6 – боковые стенки; 7 – соединительный проводник;

8 – разъединительная стенка

32

Боковые стенки не являются несущими конструкциями, главной задачей которых является сохранение объема загруженных изделий и дополнительных материалов. Боковые стенки бывают двух типов: разборные и неразборные. Разборные стенки собирают и разбирают каждую кампанию печи. В неразборных стенках, также как и в подине, при их сооружении формуются вертикальные каналы, выполняющие функцию принудительного охлаждения во время кампании печи.

Во время кампании печи ее стенки работают в условиях значительных тепловых и механических нагрузок. Поэтому для повышения механической прочности печи по ее периметру устанавливаются железобетонные колонны, монолитно соединенные с железобетонным фундаментом.

Токоподводы печей графитирования выполняются из графитовых заготовок круглого или прямоугольного сечения. Количество электродов зависит от электрической нагрузки и их сечения, а схема установки – от схемы загрузки типовой продукцией. На многих заводах применяются токоподводы прямоугольного сечения 400400 мм со следующими схемами установки: 2-х рядная с 2-я вертикальными рядами по 4-е электрода; 3-х рядная с 3-я вертикальными рядами по 3-и электрода; 4-х рядная с 4-я вертикальными рядами по 3-и электрода. Во время кампании печи электроды воспринимают значительные тепловые нагрузки, для минимизации которых применяется водяное охлаждение: оросительное или закрытое. Значительным источником потерь электроэнергии при графитировании является контактные электрические сопротивления, имеющие место за пределами печи. Так, например, узел контакта между графитовыми токоподводами и алюминиевыми или медными шинами может приводить к потерям электроэнергии до 10–12 % [36], что соответственно значительно снижает КПД печи.

Размеры печей графитирования зависит от размеров графитируемых изделий и объема загрузки. Ширина печи Ачесона определяется длиной электродов, которые укладываются перпендикулярно продольной ее оси. Например, при производстве электродов длиной 1000–2480 мм ширина печи равняется сумме длин самого длинного электрода, толщины слоя теплоизоляционной шихты (500–700 мм на каждую сторону), толщине шунтирующих слоев и боковых стенок.

На практике применяют печи переменного тока длиной 4–20 м и печи постоянного тока – до 40 м. Более длинные печи при одинаковой мощности трансформатора являются более экономичными, благодаря повышению их активного электрического сопротивления, производительности и КПД при снижении УРЭ. Печи переменного тока имеют определенные ограничения по длине керна из-за значительного возрастания индуктивного сопротивления при увеличении их длины. Поэтому длина этих печей по керну не превышает 20 м.

33

Таблица 1.1 Характеристики печей графитирования

Мощность питающего агрегата, кВ·А

1250

2100

2950

3900

3000

4000

5000

5000

8000

8000

Длина печи по керну, м

6,5

8,0

12,35

17,0

10,0

10,0

10,0

12,0

16,0

20,0

Удельная мощность, кВ·А/т

195

260

220

230

300

400

500

415

500

400

Кампания печи графитирования включает три этапа [4]: 1 – загрузка

печи; 2 – осуществление процесса графитирования заготовок; 3 – охлаждение и разгрузка печи.

Загрузка печи начинается с укладки на подину слоя теплоизоляционной шихты. Данная операция также называется набивкой подины и выполняется в несколько слоев с уплотнением, высотой приблизительно до уровня нижних токоподводов, в зависимости от схемы загрузки и расположения токоподводов. На набитую подину устанавливают технологические металлические щиты по торцевым и боковым сторонах, которые формируют керн печи и, после загрузки которого удаляются. В объем образованный щитами постепенно, слой за слоем укладывается керн печи. Сначала засыпается слой керновой пересыпки толщиной ~100 мм (который называется нижний шунт – «постель»). Заготовки укладываются по рядам перпендикулярно продольной оси печи. Расстояние между заготовками определяется шаблоном, который зависит от схемы загрузки. После укладки каждого горизонтального ряда промежутки между заготовками и щитами засыпаются пересыпкой, выравниваются и уплотняются. Пространство между боковыми стенками печи и металлическими щитами постепенно заполняется теплоизоляционной шихтой.

После загрузки керна пустоты между щитами и торцевыми стенками засыпаются графитированным коксом и уплотняются. На верхний ряд заготовок насыпается верхний шунт или «одеяло» керна толщиной примерно 100–150 мм. Далее на верх печи насыпают теплоизоляцию толщиной не менее 750 мм и устанавливается газосборный зонт.

Материалом керновой пересыпки служит металлургический кокс, «серый» или графитированный с основным фракционным составом – 10–25 мм, а материалом теплоизоляции – теплоизоляционная шихта, состоящая из коксовой мелочи с добавками оборотной шихты, песка и древесной тирсы (фракция 0,5–10 мм). Масса пересыпочных и теплоизоляционных материалов почти в 2 раза превышает массу полезной

34

загрузки, то есть заготовок. В научной работе [39] приведены данные, что на протяжении 10–12 ч

температура всей загрузки печи остается постоянной, примерно 100 С. Этот факт объясняется испарением влаги, которая находится в керновой пересыпке, заготовках и частично в теплоизоляционной шихте. Автор работы [36] отмечает, что в пересыпочном коксе и теплоизоляционной шихте находится 7–9 % влаги, а при неудовлетворительном сбережении содержание ее значительно увеличивается. Поэтому следует избегать применения слишком влажных материалов, однозначно приводящих к увеличению энергозатрат печи за счет испарения избыточной влаги.

После подключения загруженной печи к электрической цепи начинается процесс графитирования заготовок. Главным фактором, который определяет графитирование углеродного вещества, является конечная температура, которая должна быть не менее чем 2500–3200 С [4, 36–40, 47, 48].

Загружаемый материал пересыпки печи является активным электрическим сопротивлением в общей электрической цепи агрегата графитирования: источник электропитания – короткая электрическая цепь – печь. Благодаря этому керн разогревается в результате непосредственного протекания электрического тока. На начальном этапе нагревания керн печи с обожженными заготовками имеет относительно большое электрическое сопротивление [48].

УЭС керновой пересыпки приблизительно в 400–500 раз более высокий, чем УЭС «зеленых» заготовок в начальный период, и где-то лишь в ~15–20 раз – на конец процесса графитирования. Поэтому горизонтальные слои пересыпки в керне являются основным источником выделения джоулевой теплоты за счет протекания электрического тока, а нагревание заготовок осуществляется теплопроводностью и радиационным теплообменом от гранул керновой пересыпки. Таким образом, нагревание заготовок не является прямым и, поэтому печи Ачесона получили название косвенного нагрева.

При нагревании рабочего пространства печи, в результате высоких температур из загруженного материала, выделяется достаточно большой объем вредных летучих веществ [49] (CO, CO2, SO2 и др.). Для минимизации выбросов СО в окружающую среду используют специальные укрытия печи [50], «утепленные» газосборные зонты [41] и уменьшают долю песка в теплоизоляционной шихте.

Подъем температуры при графитировании проводится с учетом физико-химических процессов, происходящих в заготовках на различных температурных интервалах, то есть дискретно с разными темпами повышения температуры. Переменный темп повышения температуры во время графитирования обеспечивается соответствующим регламентом введения электрической мощности в печь и дает возможность получить необходимую

35

плотность и прочность заготовок и, самое главное, минимизировать вероятность появления в них трещин [52, 53].

Из литературных источников [4, 5, 51] точно известно, что при графитировании на разных интервалах температур происходят разные физико-химические преобразования в заготовках. Так, например: при нагревании до температур 1200–1300 С происходит термическое расширение углеродных изделий; в интервале 1200–1600 С происходит перестройка кристаллической решетки и уплотнение структуры материала, а интервал 1600–2000 С называют перед кристаллизационным интервалом в связи с упорядочиванием структуры материала. В [51] отмечается, что в результате одновременного термического расширения и усадки в заготовках возникают внутренние напряжения, которые являются одной из основных причин трещинообразования. Поэтому для предотвращения этого рекомендуется в интервале изменения температур 1200–2100 С замедлить темп нагрева. При нагреве свыше 2100 С одновременно с процессом кристаллизации снова происходит термическое расширение.

Как выше отмечалось, технологический процесс графитирования определяется графиком изменения электрической мощности во времени, которая подводится к печи. Регламент подвода мощности при нагревании заготовок определяется экспериментально, то есть таким образом регулируют температуру в печи на определенных стадиях процесса графитирования изделий. В работах [41, 54] предложено методику оперативного определения температуры в керне при графитировании заготовок в П-образных печах постоянного тока, требующую только измерений подведенной мощности во времени и определения теплофизических свойств материала заготовок при соответствующих температурах, что дает возможность корректировки графика подвода мощности на его регулируемом участке в зависимости от достигнутой средней температуры керна в данный момент времени. В процессе графитирования заготовок суммарное электрическое сопротивление печи падает, а с достижением его определенного значения, отвечающего концу графика подвода мощности, процесс считают законченным и печь отключают.

Процесс охлаждения печи происходит естественным образом на протяжении нескольких суток. Для ускорения этого процесса иногда применяют «мокрое» тушение водой. При достижении температуры печи около 500–600 С заготовки выгружаются и далее они продолжают охлаждаться на открытом воздухе.

1.1.5. Структура и свойства графита. Показатели процесса

графитирования и характеристики качества электродных изделий Уникальные физико-химические свойства графита, такие как высокая

термостойкость и электропроводность, химическая инертность

36

и механическая прочность, существенная антикоррозионность и антифрикционность [7, 36, 56, 57], определили его широкое применение в различных областях промышленного производства: черная и цветная металлургия, атомная и электрохимическая промышленность, электротермия – электроды дуговых сталеплавильных печей и печей переплава цветных металлов, конструкционно-футеровочные материалы доменных и ферросплавных печей, аноды и катоды алюминиевых и магниевых электролизеров, тигли, нагреватели и формы для производства кремния и германия, различного типа электрохимические генераторы и др.

Графит представляет собой кристаллическую модификацию углерода и преимущественно имеет гексагональную структуру. Атомы в гексагональной структуре графита размещены параллельными слоями и в каждой плоскости образуют сетку из правильных шестиугольников с расстоянием между атомами 1,415А° [85]. Расстояние между слоями в структуре графита равняется 3,354А° и они смещены один относительно другого на величину расстояния между атомами в слое. Энергия связи между атомами углерода в слое составляет порядка 250–350 кДж/моль, энергия связи атомных слоев приблизительно в 10 раз меньше и составляет 26–38 кДж/моль [36, 74].

Структура графита определяет его основные свойства. Поэтому графит отличается следующими физическими свойствами:

небольшой плотностью – 1700–2200 кг/м3; значительной анизотропией, соответственно, кристаллической

решеткой с коэффициентом анизотропии для монокристаллов более чем 5;

значительной химической инертностью; хорошими антифрикционными свойствами с коэффициентом трения

по металлу 0,03–0,05 при рабочей скорости до 10 м/с; большими значениями электро- и теплопроводности в направлении

параллельном базисной плоскости; увеличением механической прочности с повышением температуры.

Так предел прочности на растяжение с увеличением температуры увеличивается в 1,5–2,5 раза, достигая своего максимума при 2400–2800 °С; предел прочности на сжатие увеличивается в 1,3–1,6 раза в интервале 2200–2300 °С; модули упругости и сдвига увеличиваются в 1,3–1,6 раза в интервале 1600–2200 °С. С повышением температуры до 3000 °С и выше механическая прочность достаточно резко снижается и при 3200 °С приближается к свойствам при 20 °С;

хрупкостью в интервале температур 20–2000 °С; большой магнитной восприимчивостью в направлении

перпендикулярном базисным плоскостям и незначительной в параллельном, то есть графит является диамагнетиком.

37

Основными составляющими при производстве искусственного графита, как было отмечено выше, являются [37, 58–60]: наполнитель – кокс (нефтяной, пековый, каменноугольный и др.), антрацит и термоантрацит [61–65, 77, 78]; связующее – каменноугольные пеки (мягкий, среднетемпературный и высокотемпературный), отличающиеся температурами размягчения [66, 79]. В нефтяных коксах содержится 90–98 % углерода [61, 64], а в пековом – 96,5–97,5 % [67]. Применение кокса игольчатой структуры [80] при изготовлении графитовых электродов повышает их качество. Например, при их использовании в электротермических печах игольчатый кокс способствует повышению плотности электрического тока [39]. Основной функцией связующего является придание связанности и пластичности электродной массе при формировании заготовок.

Из литературных источников известно [40, 51, 59, 62, 81], что на качество конечного продукта – электродных изделий значительно влияет выбор наполнителя и связующего и выполнение технологической карты подготовки «зеленых» заготовок к графитированию [4, 36, 37, 58, 68–73, 82].

Со структурной точки зрения, процесс графитирования, протекающий при высоких температурах, вызывает взаимное перемещение гексагональных слоев, которое сопровождается уменьшением межслоевого расстояния от 3,425А° (неупорядоченная, турбостатная структура) до 3,354А° (структура идеального графита) [36, 74, 85].

На практике в процессе графитирования невозможно получить графит с идеальной структурой потому, что часть вещества остается в турбостатном, неупорядоченном состоянии. Для оценки степени графитирования или степени трехмерного упорядочения материала используют следующее соотношение

3354,03425,0

23425,0

d

, (1.11)

где 0,3425 – межслоевое расстояние вещества с полностью неупорядоченной структурой, нм; 0,3354 – межслоевое расстояние идеального графитового монокристалла, нм; 2d – среднее межслоевое расстояние исследуемого материала, нм.

Среднее межслоевое расстояние определяется рентгенографическим анализом с помощью дифрактометра. Если воспользоваться предположением R. E. Franklin [75], что соседние слои углеродных сеток могут находиться только в крайних положениях, то есть либо в ориентированных слоях на расстоянии 0,354 нм, либо при отсутствии взаимной ориентации на расстоянии 0,344 нм, то связь между средним межслоевым расстоянием и

38

частью вещества, которое остается в турбостатном состоянии можно описать следующей зависимостью, полученной G. E. Bacon [76]

)1(0064,0)1(0086,0344.02 pppd , (1.12)

где p – часть слоев, находящихся в турбостатном состоянии; 0,0086 – разница между межслоевыми расстояниями 0,344 и 0,3354 нм.

На степень графитирования влияет множество факторов: температура процесса, время выдержки, состав газовой фазы, исходное сырье и его подготовка и т.д., но наиболее всего влияет температура процесса. Степень графитирования можно определить в зависимости от температуры процесса и времени выдержки

)exp(1 K , (1.13)

где τ – время, с; К – константа скорости процесса графитирования, с-1. Константа скорости процесса графитирования также зависит от

температуры и определяется на основе уравнения

RT

BAK exp , (1.14)

где T – температура процесса, К; R = 8,31441 Дж/(мольК) – газовая постоянная; А – константа уравнения, с-1; В – энергия активации процесса графитирования, Дж/моль. Коэффициенты A и B зависят от вида исходного материала [4]. К основным показателям процесса графитирования относят две группы показателей: технологические и режимные. Технологические показатели включают схему укладки керна, типы и размеры печей, сечение и длину графитируемых изделий, пересыпочные и теплоизоляционные материалы. К режимным параметрам относятся температурные и энергетические, которые являются тесно связанными между собой.

Основные характеристики температурного режима процесса графитирования включают: максимальную температуру в керне; время выдержки керна при максимальной температуре; темп нагрева заготовок; перепад температуры в заготовках и т.д. Энергетический режим является определяющим фактором температурного режима процесса графитирования, который сильно зависит от свойств керновой пересыпки и геометрии керна [83] и характеризуется регламентом подвода мощности в печь, продолжительностью кампании графитирования и удельным расходом электроэнергии. Процесс графитирования изделий является чрезвычайно энергоемким. Теоретические потери электроэнергии на графитирование электродных

39

заготовок, то есть на их нагрев до 2750 С, равняются 1800 кВт·ч/т, а фактические – на печах Ачесона составляют 4000–5000 кВт·ч/т (до 6500 кВтч/т при графитировании особенно качественных изделий [7]). Таким образом сверх 60% составляют тепловые потери в окружающую среду [84]. На печах Кастнера УРЭ значительно меньше и составляет ~3000–3500 кВтч/т. Продолжительность процесса графитирования в печах Ачесона – от 36 до 120 ч, а в печах Кастнера – от 10 до 30 ч.

Таким образом, исходя из УРЭ печи Ачесона, следует необходимость снижения теплопотерь при графитировании, например, за счет уменьшения продолжительности процесса. Однако на пути к ускорению процесса могут стоять такие две существенные преграды: 1) увеличение вероятности растрескивания углеродных заготовок при ускоренном нагревании; 2) недостаточная мощность печных трансформаторов.

С целью уменьшения вероятности растрескивания заготовок в трудах [83, 84, 86] рекомендуется процесс нагревания заготовок в печи графитирования разбить на три периода: в первом при значительной удельной мощности осуществляется быстрый подъем температуры до 1000 С; во втором (интервал температур 1000–2000 С) – уровень подвода мощности сохраняется неизменным или даже несколько снижается; в третьем – резко повышается подвод удельной мощности до 150–170 кВт/т. Предложенный график позволяет сократить общее время нагревания, уменьшить расход электроэнергии и повысить оборотность печи. Одним из важнейших факторов, влияющих на показатели графитирования, является операция загрузки [87, 95–97]. Рабочий объем печи должен быть заполнен керном таким образом, чтобы его электрическое сопротивление было одинаковым по всему его сечению. Это обеспечит равномерность распределения тока по всему сечению и, соответственно, более равномерное нагревание керна. Неравномерная укладка керна приводит к значительным перекосам в распределении тока особенно при высоких температурах.

Несимметричность укладки керна печи приводит в результате при осуществлении процесса графитирования к значительной разнице температур между центром и периферией порядка 300–400 С, а иногда и до 1000 С [62]. Такая разница температур на разных участках сохраняется практически на протяжении всей кампании графитирования, независимо от ее продолжительности.

Исследования [88] показали, что плотность укладки заготовок влияет на распределение температуры по сечению печи: при абсолютно плотной укладке температура более равномерна. При этом температура вверху печи отличается от температуры центра керна не более чем на 10 %. При ранее существующей практике укладки керна температура верха составляла около

40

60–65 % от температуры центра керна. В научной работе [89] предложено комбинированную схему загрузки

керна, состоящую в чередовании при укладке больших и малых заготовок. Такая схема, по мнению авторов [89], позволяет одновременно уменьшить относительную разницу в электрическом сопротивлении самой большой заготовки и промежутка между заготовками, создать более равномерное распределение тока в сечении керна и, соответственно, уменьшить температурные перепады.

Автор работы [90], анализируя способы компоновки керна в печах Ачесона указывает на то, что существующий способ укладки поперек печи пригодный не для всех марок графита в заготовках большого сечения. Поэтому было предложено продольное расположение заготовок в керне. Отмечено, что при поперечном расположении заготовок на боковых поверхностях сопротивление минимальное в центре заготовки, где и выделяется максимальное количество теплоты и, соответственно, достигается максимальная температура. По поперечному сечению заготовки создается температурное поле с локальными более высокими градиентами температуры.

Новую схему загрузки печи предложили и испытали на промышленной печи авторы изобретения [91]. В периферийные зоны керна (верх и низ) укладываются в два ряда заготовки диаметром 300 мм, а в центральную зону керна – заготовки диаметром 100; 125 и 150 мм. В результате выход заготовок малого сечения высшего сорта увеличился на 14–16 %.

Сущность разработанного в [90] способа состоит в том, что при укладке керна длинными заготовками (L > 0,7 м) они укладываются в отдельные пучки продольно с расстоянием между торцами не более 0,1L. При этом общая длина прослоек керновой пересыпки будет меньше нежели 0,1 от длины керна. Это приводит к уменьшению электрического сопротивления каждой свечки и перераспределению теплоты, выделяющейся в керновой прослойке и заготовках. Широкий диапазон изменений расстояния между торцами δ = 0,01–0,1L позволяет работать как в области метода Ачесона δ ≈ 0,1L, так и в области метода Кастнера δ ≈ 0,01L).

В [44] на основе анализа данных по техническому оснащению передела графитирования отработаны рекомендации по модернизации действующих и проектировании новых печей типа Ачесона. Например, рациональная длина печей Ачесона 16–20 м, ширина и высота около 3,5 м, расположение токоподводов по сечению торца печи должно быть равномерным и мощность электрического питания должна обеспечить силу тока до 200 кА.

Существенное влияние на показатели графитирования имеют вспомогательные материалы – пересыпка и теплоизоляционная шихта. Пересыпка определяет теплоэлектрический режим печи графитирования [39]. Исследования температурного поля на математической модели [92, 93]

41

показали, что распределение джоулевой теплоты по сечению керна определяется характером кривой температурной зависимости УЭС пересыпки и качеством теплоизоляции. Например, для материалов со значительной зависимостью УЭС от температуры (антрацит, сырой кокс) перепад температур между центром и периферией керна увеличивается.

Применение керновой пересыпки из графиторованного кокса позволило получить достаточно равномерное температурное поле в период всей кампании графитирования. Влияние зазора между заготовками и УЭС пересыпки на качество готовых изделий исследуется в [94]. Было установлено, что уменьшение УЭС пересыпки приводит к более равномерному распределению джоулевой теплоты между заготовками и пересыпкой и позволяет более равномерно нагревать заготовки.

Сейчас в промышленности отсутствуют универсальные показатели качества графитированных изделий. Поэтому требования к качеству определяются для каждого типа продукции отдельно, исходя из условий ее эксплуатации непосредственно в промышленных агрегатах. В зависимости от требований проводится оценка [39] по следующим показателям:

физические свойства: истинная и кажущаяся или объемная плотность и пористость, удельное электрическое сопротивление, теплопроводность, массовая теплоемкость, термический коэффициент линейного расширения;

механические свойства: прочность, модуль упругости и сдвига, коэффициент трения;

химические свойства: окисление, участие в реакциях образования карбидов;

содержание примесей: железа, серы и др. Температурные зависимости физических свойств графитированных

изделий исследовались Шулеповым С. В. [4], Веселовским Б. С. [64] и др. [38, 81]. Согласно данным приведенным в этих трудах с ростом температуры теплопроводность искусственного графита уменьшается, а массовая теплоемкость и механическая прочность увеличиваются. УЭС графитированных изделий, прошедших обработку при температурах больших чем 2500 С, является достаточно консервативной величиной: незначительно снижается до температуры 1000 С и далее с ростом температуры незначительно увеличивается.

При необходимости также проводят оценку коэффициента анизотропии физических свойств изделий, который зависит от способа прессования и исходного сырья. Содержание примесей зависит от зольности исходного материала и технологических добавок, которые вводятся в изделия при их формировании. Усредненные значения физических свойств графитированных изделий при комнатной температуре приведены в табл. 1.2 по данным [4, 38, 39, 64, 81].

42

Таблица 1.2 Физические свойства углеграфитовых изделий

Способ прессованияПоказатель

выжимание выжимание формовка

Максимальная величина зерна, мм 4–8 ≤ 0,1 ≤ 0,1 Объемная плотность, кг/м3 1500–1650 1500–1650 1550–1700 Теплопроводность, Вт/(м·К) >116 >116 70–140 Пористость, % 23–30 20–27 20–25 УЭС, мкОмм 6–13 6–13 8–20

Коэффициент линейного расширения, 10-6 К-1

1–3,5

1–3,5

1,5–5 Модуль упругости при растяжении, МПа 5–11 5–10 6–12 Предел прочности, МПа – на сжатие – на изгиб

15–30 5–15

20–40 12–25

25–60 10–35

В Украине выпускаются электроды разного диаметра от 200 до 700 мм и разной длины от 1600 до 2500 мм, подовые блоки для алюминиевых и аноды магниевых электролизеров, ниппельные заготовки, футеровочные плиты различных типоразмеров и т.д. В табл. 1.3 приведены физико-механические показатели качества графитированных электродов, выпускаемых в Украине (по данным СТП – 044 – 03).

Таблица 1.3 Физико-механические показатели электродов украинского производства

Значения показателя для марок графитового материала

ЭГ ЭГП ЭГС ЭГСП ДБ Плотность, кг/м3, min – объемная – истинная

1520 2200

1620 2200

1520 2200

1620 2200

1600 2200

Пористость, % , max 30 28 30 28 20 Удельное электрическое сопротивление, мкОм·м, max

12 10 9 8 10

Предел прочности, МПа, min – на сжатие – на изгиб

16,0 4,9

17,0 10

14,0 5,5

17,0 9,0

17,6

– Зольность, %, max 0,5 0,5 0,3 0,3 5 Принятые обозначения: Г – графит; Э – электродный; П – пропитанный; С – специальный; ДБ – доменные блоки.

43

1.2. Теоретико-численные и экспериментальные основы исследований термоэлектрического и механического состояния высокотемпературных агрегатов и процессов

1.2.1. Основные положения неравновесной термодинамики

В основе общих положений теплоэлектрических и механических (ТЭМ)

процессов лежат фундаментальные законы термодинамики необратимых процессов. Теория линейной и нелинейной термодинамики необратимых процессов развита в фундаментальных трудах Л. Онсагера [98–101], И. Пригожина [102–105], Х. Казимира [106, 107], К. Эккарта [108, 109], Д. Н. Зубарева [110], Р. Л. Стратоновича [111] и др.

Онсагер Л. предположил, что при небольших отклонениях от равновесия существует линейная связь между термодинамическими потоками

miJi ,1, и термодинамическими силами miX i ,1,

j

jiji XLJ , (1.15)

где ijL – феноменологические или кинетические коэффициенты,

которые определяются только в рамках молекулярно-кинетической теории; m – количество движущих сил и, соответственно, потоков в термодинамической системе.

ijL могут быть произвольными функциями параметров состояния ix

(температуры T , давления p , концентрации c и др.), однако они не зависят от iJ и iX . Под iX – понимают причину возникновения какого-либо i -го процесса релаксации термодинамической системы, то есть процесса ее перехода от неравновесного к равновесному состоянию, а под iJ – обобщенную скорость этого процесса, например, поток теплоты, массы вещества и т.д. Поэтому американский физик К. Эккарт в 1940 г. дал название соотношениям (1.15) термодинамические уравнения движения. Принцип симметрии Онсагера говорит о том, что коэффициенты ijL

феноменологических уравнений (1.15), кроме диагональных, подчиняются соотношению взаимности

jiLL jiij , . (1.16)

В 1931 г. Онсагер Л. в двух своих знаменитых научных трудах [98, 99] сформулировал одну из основных теорем линейной неравновесной термодинамики (1.15), (1.16). Свою «квазитермодинамическую» теорию необратимых процессов он построил на базе выражения для скорости

44

возникновения энтропии s , которой предшествовало (1.15)

iii

i

i

i

miJXd

dx

x

s

d

ds,1, , (1.17)

где – время; i

i x

sX

;

d

dxJ i

i .

В том же 1931 г. Онсагер Л. дал пояснения движению ионов в растворе [100].

В дальнейшем соотношения (1.16) были обобщены Х. Казимиром для случая термодинамических сил, которые имеют свой знак при обращении знака времени, и на векторные явления.

Классическая неравновесная термодинамика основывается на фундаментальном допущении о локальном равновесии. Концепция локального равновесия (постулат) впервые была предложена И. Пригожиным и заключается в том, что равновесные термодинамические соотношения справедливы для термодинамических переменных, которые определены в элементарном объеме. То есть система, которая рассматривается, подразделяется на огромное количество элементарных ячеек, достаточно больших, чтобы рассматривать их как макроскопические системы, но в то же время достаточно малых для того, чтобы их состояние било близким к состоянию равновесия.

В своих трудах [102–105] И. Пригожин уделил значительное внимание самоорганизации открытых термодинамических систем, диссипативным структурам и второму закону термодинамики. В своей работе [104] И. Пригожин пишет: «Жизнь больше не выглядит как островок сопротивлению второму началу термодинамики или как деятельность каких-то демонов Максвелла. Она возникает теперь как следствие общих законов физики в свойственной ей специфической кинетикой химических реакций, которые протекают в далеких от равновесия условиях. Благодаря этим специальным кинетическим законам потоки энергии и вещества создают флуктуационный и структурный порядок в открытых системах».

Яркими примерами диссипативных структур могут быть примеры объяснения возникновения турбулентности по Ландау Л.Д. и ячейки Бернара, приведенные в [112]. Соответственно схеме Ландау (предложенной в 1944 г.), турбулентность является результатом последовательной потери устойчивости течения с менее сложной структурой с формированием течений с более сложной структурой. Ячейки Бернара могут возникать при нижнем нагревании жидкости при потере устойчивости системы. При этом образуются конвективные потоки в виде шестигранных ячеек: внутри ячеек жидкость поднимается вверх, а на краях опускается вниз.

Согласно выше введенным функциям, которые зависят от времени, можно

45

переписать законы и соотношения из равновесной формы в локальную форму. Первый закон термодинамики или закон сохранения энергии

0 ee

J , (1.18)

где e – сумма плотности кинетической и внутренней энергии; eJ – вектор потока энергии (1.15).

Второй закон термодинамики

0 , ss

J , (1.19)

где – выработка энтропии (определяется из (1.17)). Важную роль в классической неравновесной термодинамике играет уравнение Гиббса–Дюгема

k

kk dcpdvduTds , (1.20)

где ,xuu – внутренняя энергия; ,xvv – удельный объем; ,x – химический потенциал; k – индекс составляющих химической

реакции. Фундаментальные законы и соотношения, полученные в рамках равновесной и неравновесной термодинамики, имеют определенное применение во многих практических задачах. Так, например, на основе постулата о локальном термодинамическом равновесии выводятся уравнения математической физики, в частности, записывается уравнение баланса энергии на границе раздела фаз при фазовых переходах (гарнисажные процессы в алюминиевых электролизерах, процесс кристаллизации и т.д.). Через энергию Гиббса в химической реакции разложения глинозема определяется напряжение разложения (1.5) и условия равновесия в системах с фазовыми переходами 1-го рода. Через изменение энергии Гельмгольца ( F ) определяется движущая сила при кристаллизации [113]

ckin slVn , (1.21)

где n – нормаль к границе раздела фаз; slV – вектор скорости

кристаллизации; kin – кинетический коэффициент; Tk

F

Bc

– движущая

сила кристаллизации; Bk – константа Больцмана; T – абсолютная температура. Этот перечень будет частично продолжен при описании

46

математического аппарата физических процессов, которые протекают в высокотемпературных агрегатах.

1.2.2. Теоретические основы теплоэлектрических и механических процессов сплошной среды

Теоретические и прикладные исследования в области

теплоэлектрических и механических процессов сплошной среды наиболее полно представлены в научных трудах Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшица [114, 115, 120, 122], Д. Андерсона [117], М. А. Тоннела [121], К. Бреббия [123], А. Д. Коваленко [124], Л. М. Качанова [125] и др.

Общее уравнение переноса теплоты или энергии для вязкой жидкости приводится в [114] со всеми последовательными математическими выкладками

k

iik x

vTs

sT

divV , (1.22)

где – плотность, кг/м3; T – абсолютная температура, К; s – удельная энтропия, Дж/(кгК); V – вектор скорости жидкости, м/с;

3,1 , ivi – компоненты скорости, м/с; – теплопроводность, Вт/(мК);

3,1, ,3

2

kix

v

x

v

x

v

x

v

x

v

x

v

x

v

i

iik

k

i

i

iik

i

k

k

i

k

i

k

iik – член

диссипативной энергии в виде теплоты за счет вязкости жидкости, Вт/м3;

ik – вязкий тензор напряжений, Дж/м3; – динамическая вязкость, Пас; – вторая динамическая вязкость [114], Пас; 3,1, kxk – декартовые координаты, м; ik – символ Кронекера. В уравнении (1.22) выражение слева является умноженная на T полная (субстанциональная) производная энтропии по времени dds / . Последняя определяет изменение энтропии единицы массы жидкости, перемещающейся в пространстве: dTds / является, соответственно, количеством теплоты, которую получает единица объема жидкости в единицу времени, а dTds / – количество теплоты отнесенное к единице объема. В правой части этого уравнения записано количество теплоты, которое получает единичный объем жидкости за счет теплопроводности и диссипации энергии. Если записать производные от термодинамических величин в виде

T

T

ss

p

, TT

ss

p

,

47

и поскольку pp

cT

sT

– является удельной теплоемкостью при

постоянном давлении, то

T

cs

T p , TcsT p .

С учетом последнего уравнения (1.22) окончательно принимает вид

k

iikp x

vTT

Tc

divV . (1.23)

Для твердых тел вследствие того, что 0V , уравнение (1.23) принимает вид [122]

,div ivp xqT

Tc , (1.24)

где ,iv xq – плотность внутреннего источника теплоты, природа которого может быть электрической, химической и др., Вт/м3. Значения плотности внутреннего источника теплоты за счет протекания постоянного электрического тока в однородной и изотропной среде определяется в соответствии с законом Джоуля–Ленца [115, 116]

221Ej

vq , (1.25)

где – электропроводность среды, (Омм)-1; Ej – вектор плотности электрического тока, А/м2; E – вектор напряженности электрического поля, В/м. Постоянное электрическое поле при отсутствии изменения во времени микроскопической напряженности магнитного поля удовлетворяет следующим уравнениям [115, 116]:

0rot ,0div EE , (1.26)

то есть является потенциальным, безвихревым полем с потенциалом , который связан с напряженностью электрического поля соотношением

gradE , (1.27)

и удовлетворяет уравнению Лапласа

48

0 , (1.28)

где – электрический потенциал, В. Для нелинейных задач постоянного или квазистационарного электрического поля при T справедливо следующее уравнение

0div j . (1.29)

В анизотропных телах направления векторов j и E вообще не совпадают и линейная связь между ними выражается следующими соотношениями [115]

3,1 , iEj kiki , (1.30)

где ik – симметричный тензор электропроводности второго ранга. Полная система гидродинамических уравнений должна иметь пять уравнений. Для жидкости, в которой протекают процессы теплообмена и внутреннего трения, кроме (1.23), еще записываются уравнения неразрывности и три – Навье-Стокса для каждой координаты (в векторной форме, соответственно, одно уравнение) [114, 117, 118]. Система уравнений неразрывности и Навье-Стокса для сжимаемой жидкости имеет вид [114]

,divgrad3

grad

,0div

VVgVVV

V

P (1.31)

где P – давление, Па; g – вектор ускорения свободного падения, м/с2. Для несжимаемой жидкости система (1.31) существенно упрощается [114] и в приближении Бусинеска–Обербека [119] принимает вид

,grad

,0div

000 VgVVV

V

TTP (1.32)

где 0 – плотность жидкости при температуре 0T , кг/м3; T

T

0

0

1

– коэффициент объемного термического расширения жидкости, К-1. Тензор напряжений в несжимаемой жидкости также принимает более простой вид

49

3,1, ,

kix

v

x

vp

i

k

k

iikik . (1.33)

Если электропроводная жидкость или газ находятся в магнитном поле, то при ее гидродинамическом движении индуцируются электрические поля и возникает электрический ток [115]. Но на ток в магнитном поле действуют силы, которые могут существенно влиять на движение жидкости. С другой стороны, этот электрический ток изменяет и само магнитное поле. В результате возникает сложная картина взаимодействия магнитных и гидродинамических явлений, которые в целом должны рассматриваться на основе связанной системы уравнений поля (Максвелла), уравнений движения жидкости и уравнения энергии.

При описании магнитогидродинамических явлений в электропроводной жидкости уравнения Навье-Стокса принимают следующий вид [115]

BjVVgVVV

divgrad3

gradP , (1.34)

где BVj – вектор плотности электрического тока, А/м2; HB – вектор магнитной индукции, Тл; – абсолютная магнитная проницаемость среды, Гн/м. Уравнения Максвелла [120, 121] определяют электромагнитное поле и являются основными уравнениями теории этих полей, то есть электродинамики

,0div

;div

;rot

;rot

B

D

jD

H

BE

(1.35)

где E – вектор напряженности электрического поля, В/м; H – вектор напряженности магнитного поля, А/м; ED – вектор электрической индукции, Кл/м2; – абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, Ф/м; – электропроводность среды, (Омм)-1; – объемная плотность стороннего электрического заряда, Кл/м3. В (1.34), (1.35) материальные уравнения для BD,j , записаны для электромагнитных полей в приближении изотропной среды. Если в электромагнитном поле 0E , а 0H , то говорят об

50

электрическом поле; если же наоборот 0E , а 0H , то поле называют магнитным. В общем случае электромагнитное поле является результатом наложения электрического и магнитного полей. E – представляет собой полярный вектор, а H – аксиальный. Основы теории упругости твердых тел достаточно полно изложены в [122–124]. Уравнения равновесия деформированного тела, находящегося в поле сил тяжести, имеет вид

3,1 ,0

igx i

k

ik , (1.36)

где ik – симметричный тензор напряжений kiik , Па; 3,1, kxk – декартовые координаты, м; – плотность, кг/м3; g – вектор ускорения свободного падения, м/с2. Термодинамическая работа изменения тензора деформаций определяется соотношением:

dVdVx

u

x

uRdV ikik

i

k

k

iik2

1,

или

ikikR , (1.37)

где 3.1 , iui – перемещения, м;

k

l

i

l

i

k

k

iik x

u

x

u

x

u

x

u

2

1 – тензор

деформации или

i

k

k

iik x

u

x

u

2

1 – тензор малых деформаций Коши.

Причем по определению тензор деформаций является симметричным kiik . Если деформация тела достаточно мала, то после прекращения действия внешних сил, которые вызвали эту деформацию, тело возвращается в исходное недеформированное состояние. Такие деформации называются упругими. При больших деформациях прекращение действия внешних сил не приводит к полному исчезновению деформации. При этом остаются остаточные деформации, а состояние тела отличается от того, в котором оно находилось до приложения к нему сил. Такие деформации называются пластическими. Компоненты тензора напряжений можно получить дифференцируя выражения для внутренней энергии U и свободной энергии F тела, соответственно, при постоянной энтропии S и температуре T

51

TikSikik

FU

, (1.38)

где ikik dTdSdU – внутренняя энергия; ikik dSdTdF – свободная энергия. Раскладывая функцию свободной энергии по степеням ik с точностью до членов второго порядка получаем выражение для F деформированного изотропного тела

,2

220 ikiiFF

(1.39)

где 0F – свободная энергия недеформированного тела; , – коэффициенты Ламе. Изменение объема при деформации тела определяется суммой ii . Если эта сумма равняется нулю, то при деформировании объем данного тела остается неизменным, а изменяется только его форма. Такие деформации без изменения объема называются сдвигом. Противным случаем является деформация с изменением объема, но без изменения формы. Такая деформация называется всесторонним сжатием. Деформацию тела можно представить в виде суммы деформаций чистого сдвига и всестороннего сжатия

3,1, ,3

1

3

1

kiikllikllikik . (1.40)

Для общего выражения свободной энергии деформированного изотропного тела можно записать вместо (1.39) выражение, воспользовавшись членом в скобках (1.40)

3,1, ,23

1 22

ki

KF llikllik , (1.41)

где 3

2K и – модуль всестороннего сжатия и модуль сдвига,

соответственно, ( 0,0 K ). Модуль сдвига в литературных источниках чаще всего обозначают буквой G . Воспользовавшись (1.38) можно определить тензор напряжений [122, 124]

3,1, ,3

12

kiK ikllikllikik . (1.42)

52

Тогда обратное выражение для тензора деформаций будет иметь вид

3,1, ,3

1

2

1

9

1

ki

K ikllikllikik . (1.43)

Выражения (1.42) и (1.43) является обобщенной формулировкой закона Гука для малых деформаций. В литературных источниках закон Гука чаще всего записывают через модуль упругости при растяжении и коэффициент Пуассона:

3,1, ,211

ki

vEikllikik , (1.44)

3,1, ,11

kivvE ikllikik , (1.45)

где

K

KE

3

9 – модуль упругости при растяжении, Па;

– коэффициент Пуассона, который определяется отношением поперечного сжатия к продольному растяжению и лежит в пределах (0–1/2). При учете температурной нагрузки закон Гука принимает вид [123]

T

Eikikllikik 21

1

211, i,k = 3,1 , (1.46)

где – коэффициент линейного температурного расширения, К-1; T – температурная нагрузка, К.

Уравнение равновесия (1.36) также можно записать в перемещениях. В векторной форме при температурной нагрузке будем иметь [122]

T

v

v

v

v

uu rot rot 12

213div grad

1

13. (1.47)

Теория пластичности является важнейшим разделом механики сплошной среды, задачами которого является определение перемещений и напряжений в деформированных телах за пределами упругости. Основные положения этой теории изложены в трудах [123, 125, 126] и многих других. К основным направлениям в теории пластичности можно отнести следующие: деформационная теория, теория пластического течения, теория пластичности, основывающаяся на концепции скольжения [127] и получила свое развитие в 50-х годах прошлого столетия.

Деформационная теория отличается от всех других моделей

53

пластичности, в которой связь между текущими напряжениями и деформациями такая, что если заданы напряжения, то определяются деформации, и наоборот. Теория пластического течения основывается на приращении деформаций и напряжений и требует знания предыстории нагружения. Теория пластичности, которая основывается на концепции скольжения, использует зависимости между напряжениями и деформациями, полученными из натурного эксперимента.

Из рассмотренных моделей пластичности теория пластического течения получила наиболее широкое применение на практике.

При формулировании теории поведения материала при упругопластических деформациях необходимо задать следующие соотношения [123]: а) соотношения между упругими напряжениями и деформациями до момента возникновения пластических деформаций; б) условия текучести, указывающие значение напряжения, при котором начинается пластическое течение; в) соотношения между напряжениями и деформациями, описывающие поведение материала при пластических деформациях. Условия текучести при изотропном упрочнении можно записать в следующей форме [123, 129]

0, kF ij , (1.48)

где k – параметр, характеризующий работу упрочнения ( p

ijijp dWk ) и мгновенное положение поверхности текучести

в n –мерном пространстве напряжений; pijd – приращения пластических

деформаций. При этом 0, kF ij – для нереологических теорий

пластичности. Функцию (1.48) можно переписать в виде

0, kfkF ijij , (1.49)

где ijf – скалярная функция напряжений ij , которая является

эквивалентным напряжением, ekv ; k – предел текучести. Связь между напряжениями и деформациями при пластических деформациях можно выразить в соответствии с ассоциативной теорией пластичности через закон течения, известный как принцип нормальности [123]

ij

ijpij

Fdd , (1.50)

54

где d – коэффициент пропорциональности, характеризующий пластические свойства материала 0 ; p

ij – тензор пластических

деформаций. Из (1.50) можно получить также уравнение Прандтля-Рейса при

условиях текучести Мизеса

dSd ijpij , (1.51)

где ijS – тензор девиаторных напряжений.

Дальнейшую формулировку задач пластичности можно проводить или в начальных деформациях, или в начальных напряжениях. Последнее носит более общий характер, потому и получило более широкое применение для разных условий текучести. Коэффициент пропорциональности d можно определить из соотношения [123]

klijklij

dCF

d

1, (1.52)

где kl

ijklij

FC

FH

; H’ – тангенс угла наклона касательной

к кривой, определяющей зависимость напряжения от деформации при

одноосном растяжении; jkiljiikklijijkl Gv

GvC

21

2 – изотропный

тензор упругих постоянных четвертого порядка; G – модуль сдвига, Па. Закон Гука с начальными деформациями можно записать в дифференциальной форме

pklklijklij ddCd . (1.53)

Выражение (1.52) можно использовать, подставив d в (1.53) для получения соотношения между приращениями напряжений и деформаций

klepijklij dCd , (1.54)

где rpklrpmn

ijmnijklepijkl C

FFCCC

/1 .

Последнее выражение можно переписать в форме

55

ekl

klmnijmn

eijij d

FFCdd

/1 , (1.55)

где klijkleij dCd – компоненты тензора приращений упругих

напряжений. Уравнение (1.55) означает, что истинные значения напряжений можно

вычислить с помощью соответствующих упругих напряжений, если взять эти значения в форме приращений. Кроме того, можно вычислить приращения начальных напряжений p

ijd , воспользовавшись следующим соотношением [123]

ekl

klmnijmnij

eij

pij d

FFCddd

/1 . (1.56)

Рассмотренные соотношения теории пластического течения используются для различных условий пластичности. Например, условия Мизеса [123, 129] для металлов, условия Дракера–Прагера [123, 128] для сыпучих материалов и др.

1.2.3. Математическое моделирование нелинейных задач математической физики с учетом контактного взаимодействия

На развитие математического моделирования нелинейных задач

математической физики с учетом контактного взаимодействия между сопряженными телами с использованием современных теоретических исследований значительный вклад внесли труды В. Л. Рвачева [130–133], А. Н. Подгорного [134], К. Бреббия [123, 135, 136], С. Крауча [137], J. C. Simo [138, 144, 145], О. Зенкевича [140], S. Cescotto [146–148], D. J. Benson [149], Н. Г. Крищука [151] и др.

Впервые понятие R–функций было введено В. Л. Рвачевым [130] в связи с необходимостью установления уравнений сложных локусов в процессе поиска приближенных решений некоторых пространственно контактных задач теории упругости. На основе разработанного математического аппарата теории R–функций в трудах [130–133] решена проблема применения классических вариационных методов для построения в явном виде координатных функций, которые точно удовлетворяют заданным краевым условиям для областей сложной формы, и разработан единый подход к проблеме построения координатных последовательностей основных вариационных и проекционных методов. Численные методы на основе R–функций позволили получить значительные успехи в решении целого ряда прикладных задач: теории упругости, электродинамики, теплофизики, включая задачи с фазовыми превращениями и т.д.

56

В монографии [134] изложены результаты исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) с учетом контактного взаимодействия с использованием метода конечных элементов (МКЭ) и прямого метода граничных элементов (ПМГЭ). Граничные условия контакта элементов конструкции формулируются в виде неравенств

,0

;01

mn

mn

mn uu

(1.57)

где mn

mn

mii

mn uunu , , , 1 – перемещения, начальный зазор (натяг)

и усилия по нормали к контактирующим поверхностям; 1, mm – индексы контактирующих тел. Первое неравенство (1.57) является условием непроникновения тел одно в другое и связано с силовым соотношением (второе неравенство (1.57)), поскольку закрытие зазора сопровождается контактным давлением. Разъединение подобластей отвечает нулевым контактным напряжениям

01 mn

mn

mn uu . (1.58)

Условия фрикционного взаимодействия на поверхности контакта принимаются в форме закона Кулона. Компоненты поверхностных напряжений подчинены соотношению

nf , (1.59)

где – тангенциальное напряжение (усилие), f – коэффициент сухого трения. В [134] при реализации ПМГЭ для контактных задач предложено суперэлемент вида

Fqg j , (1.60)

где ijiipipj KKKKg 1 , iiipip FKKFF 1 ;

ijK – матрицы, формирующиеся из коэффициентов влияния ПМГЭ;

jq – неизвестные перемещения и напряжения на границе контакта.

Таким образом, после исключения неизвестных неконтактирующих узлов суперэлемент (1.60) полностью описывает поведение подобласти и этого вполне достаточно для стыковки подобластей. В качестве примеров численной реализации предложенных методов в [134] представлены следующие: НДС фланцевых соединений, соединений лопаток турбомашин, ползучесть сложного ротора и т.д.

57

В работах К. Бреббия и др. [123, 135, 136] рассмотрена теория и практическое применение ПМГЭ к проблемам теплопроводности, механики деформированных тел, гидродинамики при абсолютном контакте между сопряженными телами. Крауч С. в труде [137] рассмотрел применение ПМГЭ (на базе постоянных элементов) для решения задач теории упругости с учетом различного контактного взаимодействия, в том числе, упругих контактов и контактов со сцеплением и трением с использованием условия Кулона–Мора

tgnc , (1.61)

где c и – коэффициент сцепления и угол внутреннего трения материала, которым заполнен контакт; , n – тангенциальное и нормальное напряжение в локальной системе координат, соответственно. J. C. Simo и R. L.Taylor в статье [138] предложили для решения нелинейных задач упругопластичности, решения которое не зависит от скорости нагружения, итерационную схему метода Ньютона [139] для определения (ассоциативный закон течения (1.50)). С использованием предложенной методики в работе рассмотрены примеры решения задач упругопластичности при условиях: изотропного, кинетического упрочнения и модели Дракера–Прагера. В монографии О. Зенкевича [140] и в трудах других авторов [141–143] изложены основы МКЭ и его практическое применение для решения линейных и нелинейных задач механики, включая пластичность, ползучесть, теплопроводность, электрический потенциал и гидродинамику.

В работах [144–151] предложены различные алгоритмы решения нелинейных контактных задач на основе МКЭ с использованием классического метода неопределенных множителей Лагранжа, метода штрафа и т.д.

1.2.4. Теоретические основы и современные

экспериментально-численные исследования процессов металлургии электролитического способа производства алюминия Фундаментальные положения электрохимии, на которых основываются процессы электролиза легких металлов, к которым относится алюминий, изложены в трудах Л. И. Антропова [152], В. В. Скорчеллетти [153] и др. Теоретические основы металлургии электролитического способа производства алюминия, особенности технологического процесса, конструкции алюминиевых электролизеров и методики расчетов

58

энергобалансов по данным натурных экспериментов наиболее полно представлены в работах В. В. Криворученко и М. А. Коробова [1], М. М. Ветюкова [2, 17], M. Sorlie и H. A. Oye [3], Г. С. Пряхина [20–22], Е. Н. Панова [35, 157–165] и др. Особенности технологического процесса производства алюминия, конструкции алюминиевых электролизеров и методики расчетов энергобалансов, представленные в трудах [1–3, 17, 20–22, 35] и др., описаны в п. 1.1.1, 1.1.2. В трудах [154–169] представлен значительный объем экспериментальных исследований тепловых и электрических процессов при обжиге, пусковом периоде, эксплуатации и результаты их обобщения. Так, например, по данным [154] перепад температуры между центральной зоной подины и периферией составляет перед пуском 400–800 С, а температура блоков в зоне периферийного шва не более 200–250 С. При таком распределении температур межблочные и периферийные швы обжигаются крайне неравномерно, что в результате вызывает нарушение монолитности подины. В работе [155] рассматриваются способы усовершенствования обжига на металле. Для обеспечения целостности шовных соединений на подину электролизера накатывают слой углеродной массы толщиной 15–20 мм. Предварительно подину обжигают форсунками длительностью 1 ч, потом засыпают слоем криолита и фтористого кальция толщиной около 250 мм, далее обжиг ведут на металле с использованием шунтов–реостатов. При таком обжиге можно достичь среднюю температуру подины около 660 С, а периферийных швов – не более 600 С. По данным [156] температура подины при ее обжиге должна расти по закону показательной функции. До 100 С нагрев должен совершаться со скоростью – 3 К/ч, потом ее можно плавно увеличивать и после 450 С возможно использование произвольной скорости нагрева. По мнению автора [156] это будет «идеальный обжиг», но на практике его реализация практически невозможна.

В работах [158, 159] получены обобщенные зависимости экспериментальных исследований для прогноза температуры при обжиге алюминиевых электролизеров. При обжиге на металле средняя безразмерная температура подины электролизера СА определяется из соотношения [158]

628,03 Fo10524,1 ,

где

Q

lt 0 ; 20

Folc

– число Фурье; t – средняя объемная

температура подины в момент времени , С; 0l – определяющий размер, м; – промежуток времени с начала обжига, с; , c , – теплопроводность

59

(Вт/(мК)), массовая теплоемкость (Дж/(кгК)) и плотность материала подины, кг/м3, соответственно; pIUQ – количество подведенной теплоты

в процессе обжига за промежуток времени , Дж; I – сила тока на электролизере, А; pU – греющее напряжение на электролизере, В.

При обжиге электролизера ОА средняя безразмерная температура подины определяется соотношением [159]

65,03 Fo1032,1

I

Ic ,

где cI – сила тока серии, А; I – текущее значение силы тока на электролизере, А. В работах [166–168] рассмотрен комплекс вопросов, связанных с определением оптимальных тепловых режимов подготовки и введения в эксплуатацию катодных устройств электролизеров. Работа [169] посвящена исследованию режимов обжига алюминиевых электролизеров СА на металлических пластинах. Результаты численного моделирования ТЭМ состояния алюминиевых электролизеров опубликованы в трудах С. А. Щербинина [170–172], M. Dupuis [24–26], В. В. Бояревича [26, 173], M. Sorlie [3], Г. В. Архипова [29–33, 182, 183], И. М. Будилова [174], Ю. В. Богданова [27], В. В. Тихомирова [175–179] и др. В этих работах рассматриваются методики и результаты численного моделирования физических процессов алюминиевых электролизеров в несвязанных и частично связанных постановках: теплоэлектрических, термомеханических и магнитогидродинамтческих (МГД). В математических постановках [23, 26, 27, 33, 173, 174] рассматриваются уравнения Максвелла (1.35). В результатах этих робот приводятся данные по магнитным полям и волновым процессам в электролизерах, циркуляции алюминия и электролита, перекосу зеркала металла и т.д. Авторами работы [172] рассматривается связанная математическая постановка, состоящая из уравнений диффузии и гидродинамики в поперечном сечении межполюсного зазора. Приводятся результаты расчетов по распределению газосодержания в электролите электролизеров СА и ОА. В работах [170, 171] сформулированы, соответственно, несвязанная и связанная постановки задач физических полей в электролизере. В этих постановках рассматриваются уравнения энергии и Навье-Стокса в приближении Бусинеска, а в уравнении электрического потенциала в [171, 174] входят составляющие как магнитной индукции, так и скорости циркуляции (1.34). В результатах этих работ приводятся поля температуры и электрического потенциала электролизеров, распределения скоростей циркуляции в электролите и металле.

60

В настоящее время достигнуты достаточно весомые результаты в разработке численных моделей физических процессов в сложных высокотемпературных промышленных агрегатах с использованием специализированного авторского программного обеспечения (ПО) и современных компьютерных технологий (CAD-CAM-CAE – Computer-Aided Design – Computer-Aided Manufacturing – Computer-Aided Engineering) [180], ядром которых являются различные универсальные вычислительные системы, к которым принадлежат ANSYS (Multiphysics, CFX, Fluent) [181], ABAQUS, STAR-CD, COSMOS/M и др.

ПО авторской разработки использовано в работах С. А. Щербинина, В. В. Бояревича (для расчета МГД процессов, рис. 1.15), Е. Н. Панова [160, 161] и др. В трудах M. Dupuis для расчета теплоэлектрических полей используется ANSYS (рис. 1.16), Г. В. Архипова – ANSYS, Star-CD и Cosmos/M для расчета теплоэлектрических полей, газодинамики, НДС и МГД процессов (рис. 1.17), В. В. Тихомирова – ABAQUS для расчета НДС катодных кожухов и катодов в целом [175–179] и др.

а б

Рис. 1.15. Результаты МГД расчетов электролизера ОА 500 кА [26]: а – скорость и эффективная турбулентная вязкость расплава металла; б – перекос зеркала

металла

а б Рис. 1.16. Численная 3D модель теплоэлектрических полей электролизера ОА 500 кА [26]:

а – расчетная сетка катода с ошиновкой; б – температурное поле

61

а б Рис. 1.17. Результаты расчетов на конец пламенного обжига электролизера ОА [32]:

а – поле скорости газовоздушной смеси (Star-CD); б – температурное поле катода (ANSYS)

В работах [184–187] соответственно рассматриваются следующие вопросы: анализ конструкций алюминиевого электролизера методами компьютерного моделирования с целью повышения их эффективности; исследования энергетического состояния и способов управления тепловыми режимами сверхмощных электролизеров; разработка конструкций электролизеров СА, рассчитанных на работу на повышенной силе тока; модернизация технологии производства алюминия на электролизерах с ВТ.

Математическое моделирование физических процессов в алюминиевых электролизерах является невозможным без знания температурных зависимостей физических свойств материалов футеровки с учетом изменения свойств из-за их пропитки расплавами электролита и металла. Данные по физическим свойствам футеровочных материалов приведены в [160, 161, 188–190]. Так, например, по данным [189] физические свойства подовых блоков изменяются в зависимости от срока эксплуатации электролизера, интенсивности их пропитки и температуры (рис. 1.18–1.21).

а б Рис. 1.18. Удельное электрическое сопротивление аморфных подовых блоков [189]: а – исходный блок и после 3 мес эксплуатации; б – после 65 мес эксплуатации

62

а б

Рис. 1.19. Теплопроводность аморфных подовых блоков [189]: а – исходный блок и после 3 мес эксплуатации; б – после 65 мес эксплуатации

а б

Рис. 1.20. Натриевое расширение аморфных подовых блоков [189]: а – исходный блок и после 3 мес эксплуатации; б – после 65 мес эксплуатации

а б Рис. 1.21. Прочность на сжатие аморфных подовых блоков [189]:

а – исходный блок и после 3 мес эксплуатации; б – после 65 мес эксплуатации

63

1.2.5. Теоретические основы и экспериментально-численные исследования процессов графитирования производства электродных изделий

Теоретические основы процессов графитирования и технология

производства изделий из искусственного графита в печах графитирования представлены в трудах G. E. Bacon [76] С. В. Шулепова [4], А. С. Фиалкова [38, 74], Е. Ф. Чалых [5, 36, 37, 61–63, 83, 95], Д. М. Кузнецова [7, 91], М. Р. Тарасевича [57] и др.

Структура и свойства графита, особенности технологического процесса производства графитированной продукции и конструкции печей графитирования, которые представлены в трудах [4, 5, 7, 36–38, 57, 61–63, 74, 76, 83, 91, 95] и др., описаны в п. 1.1.4, 1.1.5.

Экспериментальному исследованию высоких температур и математическому моделированию теплоэлектрических процессов, протекающих в печах графитирования, посвящено ограниченное количество работ: Д. М. Кузнецова [7, 192], В. П. Соседова [5, 191], В. Ю. Знамеровского [92, 93, 192–199], А. М. Фридмана [200], Е. Н. Панова [54, 55, 201–203, 205]. Это прежде всего можно объяснить стратегическим значением производства графитированной продукции, достаточно жесткой конкуренцией между различными производителями, сложностью проведения экспериментальных исследований на действующих печах графитирования и т.д. В научной работе [7] описаны основные исследовательские методы, применяющиеся в экспериментальном исследовании температур во время кампаний печей графитирования: прямые методы измерения температур (контактные и бесконтактные); метод «свидетелей»; метод непрямого измерения.

Контактные методы также можно разделить на термопарные и дилатометрические исследования. Измерения высоких температур в печах графитирования проводятся с помощью вольфрам-рениевых термопар (ВР 5/20) [204] до 1600–1700 С при использовании защитной керамики для термопарных электродов из оксида алюминия, до 2100 С – из оксида бериллия и до 2200 С – из спеченного оксида магния [7]. Графитовые дилатометры могут обеспечить измерение температур в печах графитирования в диапазоне 800–3000 С, но имеют существенные недостатки при использовании: слишком низкую механическую прочность и большую длину. Оценка погрешности измерения температур в промышленных печах графитирования термопарами ВР 5/20 приведена в [192].

Бесконтактные методы исследования высоких температур (900–2500 С) с помощью оптических средств измерений [5, 205] нашли достаточно широкое применение для контроля температуры в печах Ачесона [201].

64

Метод «свидетелей» был разработан в НИИГрафит и предусматривает в качестве термоиндикатора использование стеклоуглерода, который тяжело графитируется, и может быть практически применен до 3300 С [7]. Метод непрямого измерения, предложенный в [90] заключается в использовании графитового стержня, один конец которого находится в контакте с объектом измерения температур, а другой – поддерживается при постоянной температуре принудительным охлаждением. Боковая поверхность стержня теплоизолирована. По этому методу измеряется температура в промежуточной точке стержня и с использованием специальной номограммы определяется температура горячего его торца (до 2400 С).

По результатам экспериментального определения температуры в промышленных печах авторы работы [191] построили температурные поля для различных графитировочных печей, которые характеризуются существенной неравномерностью. Было установлено, что температурное поле, определяемое направлением теплового потока, зависит от УЭС пересыпочного материала и размера поперечного сечения керна.

Для определения рационального графика подъема мощности печи (рис. 1.22) на заготовках большого сечения авторы работы [191] провели ряд экспериментальных кампаний графитирования. Так, например, допустимая скорость нагревания в интервале 1000–1700 С составляет 25 К/ч при удельной мощности не более 60 кВт/ч. Авторы выделяют три характерных периода подъема мощности. В первый период нагрева в печь подается весьма значительная удельная мощность, что вместе с небольшими теплопотерями обуславливают достаточно быстрый подъем температуры до 1000 С. Во втором периоде подведенная мощность уменьшается и на таком уровне сохраняется до достижения 1700 С. В третьем периоде, когда возможность образования трещин в блоках практически исключена, температурный градиент может быть значительно выше, чем во втором периоде, подведенная мощность возрастает до 150 кВт/ч, что позволяет повысить конечную температуру процесса.

В [53] предложен простой способ построения температурной модели печи графитирования по экспериментальным данным и метод определения окончания кампании графитирования, что позволяет усовершенствовать регламент подвода мощности с целью снижения энергетических затрат. Следует отметить, что использование предложенной модели требует проведения экспериментальных исследований для каждого типа керна. Кроме этого, модель пригодна только для анализа относительно небольших изменений регламента.

В работе [201] разработана методика проведения измерений температур в технологическом процессе графитирования. Разработан специальный датчик для непосредственного контроля температур торцов заготовок до 2500 С

65

[211]. Выполнен комплекс экспериментов по оценке температурных режимов работы печи графитирования постоянного тока. Установлены характерные особенности режимов температурной обработки в печи и выполнено сопоставление температурных графиков нагревания заготовок и графика подвода электрической мощности. Установлена связь между температурным регламентом нагрева и качеством конечного продукта. Экспериментально определены характерные температурные зоны печи для управления процессом нагревания. Получены экспериментальные данные и разработана методика составления тепловых балансов печи графитирования [55].

0 20 40 60 80Время, ч

0

20

40

60

80

100

Сила тока

I2, кА

0

60

120

180

240

300

Напряжение

U2, В

0

5

10

15

20

25

Электрическое

сопротивление

R, м

Ом

0

3000

6000

9000

12000

15000

Электрическая

мощ

ность

P, кВт

R

U2

P

I2

неуправляемыйучасток

управляемыйучасток

Рис. 1.22. Электрические характеристики типовой кампании графитирования

Авторы работы [206] провели экспериментальное исследование с применением угольной пыли в качестве теплоизолирующего материала части боковых стен на действующих печах графитирования. По результатам опытной кампании авторы [206] сформулировали вывод о том, что частичная замена коксовой мелочи или антрацита экспериментальным материалом при его применении вдоль всей внутренней стенки печи может способствовать снижению теплопотерь и соответственно затрат электроэнергии при графитировании заготовок.

Из приведенных выше данных следует, что в промышленных условиях проблему достоверного экспериментального определения температур (особенно их распределения в керне), которые характеризуют окончание процесса графитирования (более чем 2500 °С) решить окончательно

66

невозможно. Более того, рассмотренные методы измерения температур керна значительно ограничены из-за относительно небольшого количества экспериментальных точек, которые можно контролировать в эксперименте, большой сложности проведения натурного эксперимента, необходимости привлечения квалифицированных специалистов, значительной стоимости экспериментального оборудования и собственно самого эксперимента. Поэтому для определения температурных полей в печах графитирования наиболее приемлемым является широкое применение методов математического моделирования [7, 193] в сочетании с отдельными экспериментальными исследованиями для проверки достоверности результатов моделирования.

В общем случае тепловое состояние печей графитирования описывается связанной системой уравнений теплопроводности (1.24) и электропроводности (1.29) [193, 195, 200, 207].

В трудах [193–199] авторами для расчетов распределения температурных полей в печи Ачесона предложено методику численного решения, основывающуюся на методе конечных разностей (МКР) с использованием контрольного объема (применяется расчетная сетка в виде параллелепипедов) при построении конечно-разностных аналогов исходных нелинейных уравнений в частных производных. Для аппроксимации нестационарного члена используется явные или неявные схемы с первым порядком аппроксимации по времени, а для диффузных – со вторым по координатам. Печь графитирования рассматривается как единая совокупная система, которая включает: источник электропитания, короткую цепь, графитируемые изделия, вспомогательные шихтовые материалы и футеровку печи. В предложенной трехмерной численной модели расчетным элементом является вертикальный полуряд, состоящий из заготовок, керновой пересыпки, теплоизоляции и кладки печи. На каждом временном шаге физические характеристики выбираются в зависимости от среднего значения температуры в контрольном объеме с учетом действия внутреннего источника теплоты [194].

Разработанная математическая модель применялась при исследовании параметров процесса графитирования: при известном регламенте подвода электрической мощности [195, 196]; при автоматизированной поддержке температурного поля, то есть для выбора оптимальной мощности при допустимом перепаде температуры в объеме графитируемой заготовки [197, 199]; на стадии охлаждения печи [198]. Проверка адекватности предложенной математической модели процесса графитирования проводилась по экспериментальным данным, полученным в [192].

Авторами робот [41, 54] предложено численную двумерную модель нестационарного теплового состояния печи графитирования в поперечном ее

67

сечении, которая основывается на решении нелинейного уравнения теплопроводности с внутренними источниками теплоты прямым методом граничных элементов (ПМГЭ) с использованием постоянных и линейных граничных элементов [123]. В разработанной численной модели величина внутренних источников теплоты задается из графика введения электроэнергии в печь, а их распределение в сечении керна – в виде пропорциональных соотношений, зависящих от координат и времени и выбираются на основании результатов натурного эксперимента, схемы пересыпки керна и УЭС пересыпочних материалов. В модели также учитывается влагосодержание пересыпочних и теплоизоляционных материалов.

Численная модель [41, 54] позволила авторам провести оценку теплового состояния печей при графитировании заготовок большого диаметра и разработать интенсивные графики ввода мощности. В работе [207] рассматривается трехмерная математическая модель температурного поля части печи графитирования (вертикальный полуряд, как и в работе [193]) в энтальпийной постановке. При решении уравнения теплопроводности методами МГЭ и МКЭ используется адаптивный алгоритм определения теплофизических параметров материалов печи, что обеспечивает необходимую точность результатов расчетов в условиях неполной информации об объекте моделирования.

На основе рассчитанного температурного поля [207] в работах [208, 209] выполнена разработка алгоритмов управления стадией разогрева печи графитирования Ачесона на основе анализа НДС электродных заготовок. В патентах [202, 203, 210], которые являются логическим продолжением экспериментально-расчетных работ [41, 52–55, 201, 207–209] представлены следующие изобретения: способ определения температуры заготовок в керне печи графитирования по размерам керна, теплофизическим свойствам заготовок и количеством подведенной электроэнергии [202]; способ определения коэффициента полезного действия печи графитирования по массе заготовок, размерам керна, теплофизическим свойствам материалов загрузки печи и количеством подведенной электроэнергии [203]; способ графитирования при котором изделия из углеродистых материалов нагревают в электрической печи и выдерживают при температуре графитирования до приобретения ими заданной степени графитирования [210]; устройство сигнализации определенного уровня температуры в печи графитирования, которое содержит плавкий датчик и сигнализатор [211].

68

1.3. Численные методы решения задач математической физики К основным и широко применяемым численным методам на практике решения задач математической физики можно отнести следующие: МКР, МКЭ, МКО, МГЭ, метод дискретных ординат (МДО), зональный метод (ЗМ) и др. Метод конечных разностей [117, 212, 213, 225, 226] основывается на аппроксимации конечными разностями исходного дифференциального уравнения в частных производных на определенном сеточном шаблоне, который является результатом дискретизации или замены непрерывной области совокупностью дискретных точек (узлов). В результате чего осуществляется переход от непрерывной к дискретной функции и решение исходного уравнения в частных производных сводится к решению системы алгебраических уравнений. Для получения конечно-разностного аналога уравнения в частных производных могут использоваться различные методы: разложение функций в ряд Тейлора; интерполяция функций полиномами; интегро-интерполяционный метод; метод контрольного объема. Первые три метода относятся к формальным методам построения разностных схем, потому что при этом используются только соответствующий математический аппарат без учета физических законов сохранения. При использовании ряда Тейлора одновременно четко определяется порядок аппроксимации полученной дискретной производной.

При использовании метода контрольного объема разностная схема строится на основе физических законов сохранения, следствием которых является определенное уравнение в частных производных. Если уравнение в частных производных записано в дивергентной форме, то закон сохранения можно получить, интегрируя это уравнение по контрольному объему применяя формулу Гаусса–Остроградского [227]. На практике этот метод всегда дает консервативные разностные схемы [213, 225]. В настоящее время метод контрольного объема выделился в отдельный метод [228] и получил название метода конечных объемов (преимущественно в зарубежной литературе) и был развит для неструктурированных сеток тел произвольной формы.

МКР применяется практически для всех задач математической физики с областями правильной геометрии, за исключением, например, задач радиационного теплообмена. Для областей со сложной геометрией необходимо выполнять преобразования исходных уравнений с помощью обобщенных криволинейных координат [117], что значительно усложняет алгоритм решения задачи.

Метод конечных элементов [140–151]. С точки зрения вычислительной математики основная идея МКЭ заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций,

69

каждая из которых определена на своей подобласти. То есть МКЭ основывается на одном из вариационных методов – методе Ритца (для задач теории упругости) и относится к одному из направлений диакоптики – общему методу исследования сложных систем путем их расчленения. При этом произвольная расчетная область разбивается на конечные элементы (например, на произвольные четырехгранники или шестигранники), внутри каждого из которых задаются некоторые функции формы, позволяющие определить искомую функцию внутри элемента по ее значениям в узлах, то есть в местах стыковки конечных элементов. В качестве координатных функций принимаются функции, тождественно равные нулю всюду, кроме одного конечного элемента, внутри которого они являются функциями формы. За неизвестные коэффициенты метода Ритца берутся узловые перемещения. Минимизация функционала энергии приводит к алгебраической системе уравнений, то есть аналогично вариационно-разностным методам.

Область применения МКЭ значительно расширилась после установления возможности получения уравнений, определяющих конечные элементы с помощью вариантов метода взвешенных невязок, такого как метод Галеркина или наименьших квадратов [227]. Это дало возможность теоретического обоснования МКЭ при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, МКЭ превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений в частных производных и их систем. Значительным недостатком МКЭ, как и других вариационных методов, является сложность получения априорных оценок.

Метод конечных объемов [216, 217, 228–230]. Наиболее эффективным численным методом решения CFD-задач (computational fluid dynamics) является МКО, имеющий несомненное преимущество по сравнению с другими численными методами, которое заключается в выполнении фундаментального закона сохранения энергии в каждой расчетной ячейке, вне зависимости от параметров дискретизации расчетной области, то есть не зависит от размеров и количества расчетных ячеек. МКО позволяет строить консервативные дискретные аналоги исходных дифференциальных уравнений на этапе своей формулировки, потому что отправной его точкой является интегральная формулировка законов сохранения массы, движения, энергии и т.д. (формула Гаусса и теорема Гаусса-Остраградского, как выше отмечалось). Интегральные соотношения МКО записываются для произвольного контрольного объема, а их дискретный аналог определяется суммированием по всем граням конечного объема потоков импульса, массы и т.д., с использованием соответствующих квадратурных формул. Поскольку интегральная формулировка законов сохранения не накладывает ограничений на форму контрольного объема, МКО пригодный для дискретизации уравнений гидрогазодинамики как на структурированных, так и на

70

неструктурированных сетках с различной формой ячеек, что также не накладывает ограничений на степень сложности геометрии расчетной области. Также МКО можно достаточно успешно применять как для задач гидродинамики, так и для задач теплопроводности твердых тел и целого ряда других задач, то есть решать сопряженные задачи.

Метод граничных элементов основывается на теории интегральных уравнений [123]. Суть метода заключается в преобразовании дифференциального уравнения в частных производных, описывающего поведение неизвестной функции внутри и на границах области, в интегральное уравнение, определяющее только граничные значения. После решения граничной задачи для определения распределения функции внутри области вместо решения системы уравнений используется простое интегрирование. При этом размерность задачи уменьшается на единицу.

В настоящее время твердо установлено, что метод граничных элементов является важным, альтернативным по отношению к существующим численным подходам по исследованиям в механике сплошной среды [123, 129, 135–137, 231, 232]. Существуют две основных формулировки МГЭ: прямая и непрямая. В прямой формулировке (ПМГЭ) неизвестные функции, входящие в интегральное уравнение, совпадают с функциями исходного дифференциального уравнения в частных производных и, поэтому имеют определенный физический смысл. В непрямой формулировке (НМГЭ) интегральные уравнения полностью выражаются через фундаментальное сингулярное решение [123] исходных дифференциальных уравнений, распределенное с неизвестной плотностью на границе области. Функции плотности не имеют определенного физического смысла, но когда они найдены, то значения физических функций исходной задачи может быть определено простым интегрированием. Эквивалентность прямой и непрямой формулировок была впервые доказана В. Д. Купрадзе [233].

Метод дискретных ординат [234–237] основывается на том же подходе, что и МКО, но имеет отношение к уравнению переноса. Этим фактом и объясняется его широкое применение в последнее время для решения задач гидродинамики потоков газа и жидкости при высоких температурах, алгоритмы которых построены на МКО и в которых обязательно необходимо учитывать радиационный теплообмен.

Зональный метод [214, 215] основывается на составлении уравнения баланса энергии для каждого элемента (зоны) объема и диффузной поверхности, окружающей весь объем частично прозрачного излучающего и поглощающего материала. Поверхностные и объемные зоны получают в результате дискретизации расчетной области. Температура каждой зоны принимается постоянной. Для записи уравнения баланса каждого элемента предварительно вычисляются коэффициенты облученности (КО) трех типов

71

с учетом поглощения среды: между элементами поверхностей, поверхностями и объемами и между объемами. Учитывая количество КО и то, что КО описываются многократными интегралами [214], эта процедура является достаточно громоздкой. Так, например, при N – поверхностных зонах и M – объемных, необходимо вычислять N2 – поверхностных КО, M2 – объемных КО и MN – КО объем–поверхность. В результате составления балансовых уравнений для каждой зоны расчетной области выходит система алгебраических уравнений относительно неизвестных потоков или температур. ЗМ можно применять вместе с другими методами, например, с МКР для расчета радиационно-кондуктивного теплообмена. Для выяснения формальных подходов, применяемых в вышерассмотренных численных методах, определенный интерес представляет рациональная классификация численных методов, которая представлена в монографии K. Brebbia и др. [123]. В ней показано, что для методов взвешенных невязок, на примере уравнения Пуассона ( 0 bu , где u – искомая функция, b – источник), можно применить следующую классификацию:

I. Исходная формулировка

12

dn

wuuwdqqwdbu ,

где – расчетная область; w – весовая функция; q – плотность потока;

21 – граница , причем на 1 заданы ГУ Дирихле uu , а на 2 заданы ГУ Неймана qq ; n – внешняя нормаль к ;

II. Ослабленная формулировка

112

dn

wuuqwdwdqbwdd

x

w

x

u

kk

,

где kx – координаты, mk ,1 ; m – размерность задачи; III. Обратная формулировка

1212

2 dn

wud

n

wuqwdwdqbwdudw .

Приведенная классификация позволяет установить отличия между разными приближенными методами. Другая существенная разница между подходами в численных методах заключается в выборе базисных функций, которые применяются для приближенного задания функции u и весовой функции w . Численные методы могут отличатся между собой по способу

72

задания базисных функций для представления u и w . Эти функции могут быть одинаковые и разные. Из рациональной классификации численных методов [123] следует, что основные численные методы можно разбить на следующие три группы:

1. МКР. Здесь обычно используются разные базисные функции для u и w , причем последние берутся в форме дельта-функций Дирака [227]. Большинство конечно-разностных схем основывается на формулировке І, хотя для некоторых подходов (подобных энергетическим, в которых используется контрольный объем) применяется формулировка ІІ.

2. МКЭ. Здесь обычным является использование одинаковых базисных функций для u и w , что приводит к симметричным матрицам. Схемы с конечными элементами основываются на ослабленной формулировке ІІ.

3. МГЭ. Схемы с граничными элементами обычно основываются на обратной формулировке ІІІ. Для весовой функции w здесь используется такая система базисных функций, которая преобразует интегралы по области в ноль и сводит, таким образом, задачу к определению только граничных функций. В теории МГЭ под w , как правило, понимают фундаментальное сингулярное решение исходного дифференциального уравнения в частных производных.

Исходя из рассмотренной классификации можно отметить, что МКО относится ко ІІ группе приближенных методов с ослабленной формулировкой и разными базисными функциями для u и w . Это также касается МДО и ЗМ, хотя эти методы имеют отношение только к уравнению переноса.

1.4. Выводы и задачи исследований

Анализ особенностей и показателей производства первичного алюминия

и графитированных электродных изделий, теоретических основ, экспериментальных исследований и математического моделирования процессов, которые сопровождают эти производства, выполненный на основе изучения литературных источников и практического опыта роботы авторов монографии, показывает следующее.

1. Значительные удельные расходы электроэнергии: от 4500–6500 кВт·ч/т при производстве графитированной продукции до 15500–16500 кВт·ч/т при промышленном получении первичного алюминия. То есть существует реальная потребность в снижении УРЭ этих производств.

2. Высокотемпературные агрегаты, а именно алюминиевые электролизеры и печи графитирования, использующиеся в технологических циклах электролитического получения алюминия и графитированных изделий, характеризуются общностью физической природы процессов, формирующих их теплоэлектрическое и механическое состояние, общим

73

математическим аппаратом их описания, методами и методиками экспериментального исследования.

3. В основе работы электролизеров Эру-Холла лежат теплоэлектрические и магнитогидродинамические процессы, протекающие в них и, определяющие основные эксплуатационные показатели их работы: выход по току, УРЭ, производительность и срок службы. На практике исследования этих процессов выполняется с помощью натурных экспериментов и математического моделирования, которые в литературных источниках часто имеют отдельный, самостоятельный характер.

4. На УРЭ и срок эксплуатации алюминиевых электролизеров наибольшее влияние оказывают теплофизические характеристики материалов футеровки и конструкций их катодных устройств. На теплофизические свойства футеровки катодов влияет их пропитка расплавами электролита и металла, влияние которого возрастает с увеличением срока эксплуатации. На целостность подины влияет ее НДС, которое определяется механическими ее свойствами, температурной нагрузкой во время обжига и эксплуатации, натриевым расширением. НДС катода в целом однозначно определяет срок службы алюминиевого электролизера.

5. Для уменьшения УРЭ, повышения производительности и соответственно снижения себестоимости производства переходят от электролизеров Содерберга к более современной технологии с обожженными анодами большой единичной мощности. Для повышения производительности электролизеров действующих конструкций выполняют их модернизацию с переходом на работу на повышенной силе тока.

6. При разработке новых конструкций и модернизации действующих широко применяют энергетические балансы, которые составляют на основе экспериментальных данных или данных математического моделирования физических полей, что особенно важно при разработке новых конструкций. В литературных источниках при расчетах энергетических балансов классические подходы к их составлению не всегда согласуются с современными возможностями компьютерных технологий.

7. При математическом моделировании физических полей в алюминиевых электролизерах недостаточно внимания уделяется контактному взаимодействию (различной физической природы: тепловой, электрической и механической) между контактирующими телами.

8. Анализ литературных источников по получению наполнителя для электродных изделий свидетельствует о том, что в настоящее время технология получения графитированного нефтяного кокса в электропечах шахтного типа отработана недостаточно. Поэтому задача разработки новой технологии получения графитированного кокса и соответствующего технологического оборудования является чрезвычайно актуальной.

74

9. Процесс графитирования электродных изделий проводится при температурах 2400–3000 °С в однофазных электрических печах периодического действия прямого (Кастнера) и косвенного (Ачесона) нагрева. В основном в СНГ применяются печи Ачесона, исключением является Новочеркасский электродный завод, в котором используются печи обоих типов.

10. Печи Ачесона характеризуются высоким уровнем непрямых теплопотерь (до 80% от подведенной электрической мощности) и соответственно УРЭ и значительной неравномерностью распределения температур в сечении керна, что в свою очередь влияет на качество готовой продукции. В то же время печи Кастнера характеризуются существенно меньшим УРЭ при меньшей неравномерности поля температур, прежде всего связанными с меньшей продолжительностью процесса графитирования по сравнению с печами Ачесона.

11. Температурный режим полностью определяет качество готовых электродных изделий, к показателям которого относятся УЭС и механические свойства. В промышленных условиях экспериментальные исследования уровня температур 2400–3000 °С, при котором проходит активная фаза графитирования, чрезвычайно сложные и очень затратные. Поэтому для исследования высокотемпературных условий и способов управления процессом графитирования в последнее время все больше применяется математическое моделирование с помощью адекватных численных моделей, которые прошли определенное тестирование. При этом экономическая сторона проблемы также становится определяющей.

12. В существующих математических моделях физических полей печей графитирования не учитывается НДС пересыпочных материалов, с помощью которого определяется поле давления в сыпучей части керна. Поле давления, в свою очередь, влияет на электропроводность пересыпки и, соответственно, на распределение джоулевой теплоты в керне, что является чрезвычайно важным в начальный период кампании графитирования.

13. В литературных источниках также недостаточно внимания уделяется расчетам мгновенных тепловых балансов печей графитирования, анализ которых может служить существенным инструментом поиска резервов энергосбережения при графитировании.

На основе проведенного анализа литературных источников актуальным является разработка научных основ в форме комплексной методики теоретико-экспериментального исследования физических полей, знание которых является необходимым при разработке новых и модернизации действующих конструкций высокотемпературных агрегатов, эффективных регламентов их эксплуатации, что в результате обеспечивает ресурсоэнергосбережение и уменьшает техногенное влияние на окружающую среду.

75

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1. Разработать новые методики и алгоритмы решения теплоэлектрических, термомеханических и гидродинамических задач с учетом нелинейности физических свойств и контактного взаимодействия. Построить на основе численных методов МГЭ, МКЭ, МКО, МДО, МСР и ЗМ системы дискретных уравнений для решения стационарных и нестационарных задач тепло-электропроводности, НДС, газогидродинамики и сложного теплообмена с учетом контактного взаимодействия, нелинейности физических свойств и наличия границы раздела фаз (твердое тело-жидкость).

2. Реализовать разработанные численные методики и алгоритмы в ПО и выполнить решения тестовых задач с целью проверки трудоспособности разработанных и программно реализованных численных методик.

3. Разработать методики и провести с использованием современной аппаратно-программной базы натурные эксперименты на действующих высокотемпературных агрегатах, выполнить их обработку, провести анализ и обобщение полученных результатов.

4. Разработать с использованием данных численных экспериментов методики составления теоретических энергетических балансов режимов эксплуатации алюминиевых электролизеров и печей графитирования.

5. Применить разработанное математическое обеспечение (методики, алгоритмы и ПО) для комплексного теоретико-численного исследования физических процессов промышленных объектов и осуществить проверку достоверности численных результатов путем верификации по данным натурных экспериментов, полученных на действующих высокотемпературных агрегатах; при необходимости внести уточнения в разработанные математические модели и алгоритмы. Внедрить разработанные методики и результаты исследований (в частности, в виде технических решений) в промышленность и научно-технические организации.

76

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МЕХАНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ

АГРЕГАТОВ

В этой главе приведены основные соотношения ТЭМ процессов в виде математических формулировок нелинейных краевых задач математической физики, описывающих физические поля технологических циклов высокотемпературных аппаратов цветной металлургии и электродной промышленности.

2.1. Алюминиевые электролизеры

Различают три основных технологических цикла электролизеров [1–3, 160,

161] (см. п. 1.1.1): обжиг катодного устройства, пусковой и послепусковой периоды (начало процесса электролиза) и эксплуатацию (электролиз алюминия из глиноземно-криолитовых расплавов). Первые два цикла характеризуются существенной нестационарностью теплоэлектрических полей, а третий –важнейший из циклов, во время которого и происходит процесс электролитического производства алюминия, можно отнести к квазистационарному процессу. Сроки технологических циклов алюминиевого электролизера в среднем составляют: обжиг – 2–3 сут; пусковой и послепусковой периоды – 11–15 сут; эксплуатация – 4–5 лет.

При численном моделировании ТЭМ процессов в алюминиевых электролизерах рассматривают следующие связанные и несвязанные задачи с учетом контактного взаимодействия между контактирующими элементами конструкции разной физической природы [160]: теплоэлектрические, магнитогидродинамические и механические.

Стационарное теплоэлектрическое состояние алюминиевого электролизера (см. рис. 1.1–1.3) с учетом магнитогидродинамики расплавов электролита и металла описывается системами уравнений Навье-Стокса в приближении Бусинеска и Максвелла [23, 26, 27, 33, 160, 171–174], которые содержат следующие уравнения: энергии, сохранения движения, неразрывности, электрического потенциала, вихря магнитного поля, плотности электрического тока и магнитной индукции

,

; ; ;0

;0

;3

2

;

0

000

0p

HB

BVjjHj

V

BjVVVgVV

jjV

Ut

IPtt

tXttXtc

T

(2.1)

77

где pc – массовая изобарная теплоемкость, Дж/(кгК); 0 – плотность при

температуре 0t , кг/м3; T,, zyx VVVV – вектор скорости, м/с;

z

,y

,x

–

оператор Гамильтона; t – температура, С; – теплопроводность, Вт/(мК); 3,, RzyxX – декартовые координаты, м; j – вектор плотности

электрического тока, А/м2; – электропроводность, (Омм)-1; – динамическая вязкость, Пас; – диссипация энергии, 1/с2; – коэффициент линейного температурного расширения, К-1; g – вектор ускорения свободного падения, м/с2; P – давление, Па; I – единичная матрица; B – вектор индукции магнитного поля, Тл; H – вектор напряженности магнитного поля, А/м; U – электрический потенциал, В; 0 – магнитная постоянная, Гн/м; – относительная магнитная проницаемость среды. Для однозначности постановки (2.1) записываются соответствующие ГУ. Численное решение нелинейной системы уравнений (2.1) является достаточно сложной процедурой [23, 171, 173]. Поэтому на практике для определения важнейших для ведения технологического процесса электролиза теплоэлектрических параметров и проведения на их базе расчетов энергобалансов вполне достаточно воспользоваться системой из двух уравнений (тепло- и электропроводности) и использованием эффективных коэффициентов теплопроводности, учитывающих движение расплавов электролита и металла [160].

При проектировании новых либо модернизации действующих алюминиевых электролизеров большое значение имеют данные их энергетических балансов, которые дают возможность оценивать энергетическую эффективность ванн при сравнении различных конструкций и определении резервов для снижения УРЭ. Перед выполнением расчетов энергобалансов необходимо сначала определить теплоэлектрическое состояние электролизера (см. рис. 1.1–1.3), которое описывается системой (2.2) с учетом контактного взаимодействия между элементами конструкции [239, 244, 246, 252–262, 323]

,0

;0

v XqXtt

XUt

ii

i (2.2)

где M,i 1 – индекс элемента конструкции; M – количество элементов

конструкции; 2v UtXq ii – плотность внутреннего источника теплоты

(1.25), Вт/м3. ГУ для уравнения электропроводности:

на шинопакетах

78

,

;0

njUt

U

n (2.3)

где n – внешняя нормаль к граничной поверхности;

nj – нормальная плотность тока, А/м2;

на границах контакта между элементами конструкции

,0

;

jn

jn erU (2.4)

где UUU ; jnjnjn ; er – контактное электрическое

сопротивление, Омм2; на других поверхностях

0 Un . (2.5)

ГУ для уравнения теплопроводности: на внешних границах контакта с окружающей средой

def ttttt n , (2.6)

где ef – эффективный коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2К);

dt – температура окружающей среды, С;

на осях симметрии

0 tn ; (2.7)

на границах контакта между элементами конструкции

,0

;

qn

qn rt (2.8)

где tt q – вектор плотности теплового потока, Вт/м2;

r контактное термическое сопротивление, (м2·К)/Вт. Уравнение теплопроводности в системе (2.2) записано в обобщенной

постановке стационарной задачи типа Стефана, в которой учитывается скачок теплопроводности на границах электролит-гарнисаж и металл-настыль

, ,

; ,

p

т

tt

ttt (2.9)

79

где т , p – теплопроводность твердой и жидкой фаз, соответственно,

Вт/(мК); t – температура фазового перехода, С. При учете ортотропизма физических свойств тепло- и электропроводности материалов в уравнениях (2.2) свойства записываются в виде матриц проводимости:

zz

yy

xx

0 0

0 0

0 0

,

zz

yy

xx

0 0

0 0

0 0

.

Теплоэлектрические поля процесса обжига джоулевой теплотой, пускового и послепускового периодов описываются связанной системой уравнений нестационарной теплопроводности (2.10) и квазистационарной электропроводности (первое уравнение системы (2.2)) при начальных условиях (2.11) и ГУ (2.3)–(2.9) при 0 [160, 161, 263]

2p UtXtt

tttc iii

, (2.10)

где – время, с. Начальные условия

3

0,, , RzyxXXtt

. (2.11)

При математическом описании пламенного обжига [28, 160, 264] используется только одно уравнение типа (2.10) при ГУ (2.6)–(2.8), в котором

вместо 2Uti записывается ivi VBQfq ,,, в.п

рн . Здесь viq – внутренний

источник теплоты (Вт/м3), который выделяется в пространстве между анодным массивом и подиной с объемом ( iV , м3); р

нQ – низшая рабочая теплота сгорания топлива, Дж/кг; B – массовый расход топлива, кг/с; в.п – коэффициент использования топлива.

Поскольку изменение термических состояний элементов конструкции алюминиевых электролизеров при их эксплуатации проходит достаточно медленно, то для математического описания НДС их катодных и анодных устройств можно воспользоваться несвязанной постановкой статической или квазистатической задачи термоупругопластичности, в которой не учитывается эффект связанности температурного поля и поля деформаций, а также сил инерции, обусловленных нестационарным температурным полем [32, 161, 175–179, 239, 266–268].

Для упругих тел дифференциальные уравнения механического движения и равновесия в тензорной форме принимают вид [122–124, 161, 267]

,3,1 ,0, ifijij (2.12)

80

где ij – компоненты тензора напряжений, Па;

ii gf – компоненты объемных сил, связанных с гравитационной нагрузкой, Па/м; g – ускорение свободного падения, м/с2. При температурной нагрузке тензор напряжений для изотропных материалов определяется обобщенным законом Гука

tG ijijkkijij 21

1

212 , i,j = 3,1 (2.13)

где 12

EG – упругий модуль сдвига, Па; Е – модуль упругости при

растяжении, Па; – коэффициент Пуассона; i,jj,iij uu 2

1 – тензор малых

деформаций Коши; u – перемещения, м; t – температурная нагрузка, полученная из решений задач (2.2)–(2.9) и (2.10), ( 2.11). ГУ для задачи термоупругости:

Дирихле

0iu , 321 ,,i ; (2.14)

симметрии

0iiun ; (2.15)

типа Неймана

ijij pn , 3,1i , (2.16)

где p – усилие, Па;

на границах контакта между элементами конструкции [134]

;

;0

;0

;0

n

nunun

n

unun

f

(2.17)

где начальный зазор в направлении нормали к контактирующим поверхностям, м; n – напряжения в нормальном направлении к поверхности контакта, Па; – тангенциальная составляющая напряжения, Па;

f коэффициент сухого трения.

81

Первое неравенство (2.17) является условием взаимного непроникновения тел и связано с силовым соотношением (второе неравенство (2.17)), поскольку закрытие зазора приводит к возникновению контактного давления. Третье уравнение (2.17) отвечает нулевым контактным напряжениям, что вызывает разъединение контактных тел. Четвертое неравенство описывает условия фрикционного взаимодействия тел (поверхностных напряжений) в форме закона Амонтона-Кулона.

Для учета натриевого расширения углеграфитовой части катода используется дополнительный температурный напор, который определяется по формуле [178, 239, 268]

/NaNat ,

где Na – деформация вызванная проникновением натрия в материалы футеровки [189]. Таким образом, для учета натриевого расширения углеграфитовых материалов в качестве температурной нагрузки (2.13) используется так званая натриевая температура

NaNa ttt p , (2.18)

где pt – расчетная температура в любой точке углеграфитовой части

катода при эксплуатации, полученная из решения задачи (2.2)–(2.9). В инкрементарной теории пластичности наступление пластичного

состояния можно связать с параметром аналогичным времени и все соотношения представлять через скорости [123, 125–127, 129]. Тогда уравнение равновесия, записанное через скорости, принимает вид [123, 239]

3,1 ,0, ifijij , (2.19)

где f , – производные по времени.

Неупругие деформации ( nij ) рассматриваются как начальные. Тогда

закон Гука можно записать через начальные напряжения и полную деформацию ( ij )

3,1, ,21

22

jiG

G nijijkkijij ,

где 3,1, ,21

22

jiG

G ijnkk

nnijij

– компоненты начальных

напряжений, Па; nij

elijijjiij uu ,,2

1 – тензор полной скорости

82

деформации; eij – упругая и I

ijTij

plij

nij – неупругая части тензора

полной скорости деформации; plij , T

ij – скорости пластической

и температурной деформации, соответственно; Iij – скорость начальной

деформации, обусловленная другими причинами. Наступление пластического состояния материала определяется критерием пластичности материала. Например, при использовании модели изотропного упрочнения [123, 129, 239], имеем

0, hhF eij , (2.20)

где 23Je – эквивалентное напряжение по Мизесу, Па; ijij SSJ2

12 –

второй инвариант тензора девиаций напряжений, Па2; 3,1, ,3

11 jiIS ijijij

– тензор девиаторных напряжений, Па; kkI 1 , Па; – предел пластичности

материала, Па; h – параметр, характеризующий работу упрочнения plijijdh .

ГУ задачи (2.19), (2.20) аналогичны задаче упругости (2.12)–(2.17), но записываются через скорости. При пусковых режимах мощных алюминиевых электролизеров для снижения влияния температурной нагрузки на катодные кожуха используется система принудительного воздушного охлаждения. Система уравнений газодинамики турбулентных потоков с учетом радиационного теплопереноса на основе, например, стандартной k модели включает уравнение энтальпии, неразрывности, движения, турбулентной энергии и скорости ее диссипации [218–223]

,

;

;0

;32

;

21t

t

Tt

tp

CGCk

Gkkk

kP

XEhc

hh

k

V

V

V

gVVVVV

V

(2.21)

83

где

2

tk

C – коэффициент турбулентной вязкости, Пас; k – массовая

турбулентная энергия, м2/с2; – скорость диссипации турбулентной энергии,

м2/с3; T

dTTch0

p – массовая энтальпия, Дж/кг; XTE – объемная плотность

радиационного теплового потока, Вт/м3; 21,,,, CCCk – параметры

(константы) k модели;

i

j

j

i

j

i

x

V

x

V

x

VG t ;

T

M

RPT

wop / –

плотность, кг/м3; opP – рабочее давление, Па; R – универсальная газовая

постоянная, Дж/(мольК); wM – мольная масса газа, кг/моль; T – абсолютная температура, К. Объемная плотность радиационного теплового потока при учете селективности физических свойств среды определяется по формуле [214, 239, 269–271]

00

2

4

4

dTIndIKXTE v , (2.22)

где vK и vn – спектральный коэффициент поглощения (м-1) и показатель

преломления; – телесный угол, ср; vI0 – функция Планка, Втс/(м2ср);

vI – спектральная интенсивность излучения (Втс/(м2ср)) для направления s в телесном угле d

sdsdKKIndsKsIsIs

s

s

svvvv

s

svvv

00

2

00 expexp , (2.23)

где 0s – отвечает границе области. Начальные условия при 0

.1

;1

;0

;0

X

Xk

X

TXT

V (2.24)

ГУ при 0 системы уравнений (2.21): входное сечение

84

;

;

вх

вх

v

TT

Vn (2.25)

выходное сечение

;0

;0

P

Tn (2.26)

на границах контакта с твердыми поверхностями

,0

;

V

n nqTT (2.27)

где nq – нормальная плотность теплового потока, Вт/м2. Для однозначности условий радиационного теплообмена на всех

границах, окружающих расчетную область, задается степень черноты. 2.2. Шахтные печи для прокаливания наполнителя Физическая модель процесса графитирования нефтяного кокса

в шахтной электропечи может быть сформулирована следующим образом. Конструктивно шахтная электропечь представляет собой стальную обечайку (кожух) (см. главу 1, рис. 1.5), которая внутри футерованная огнеупорными и теплоизоляционными материалами, в верхней и нижней торцевых частях которой находятся графитовые или углеграфитовые электроды. Шахтная печь оснащается системой водяного охлаждения пьедестала нижнего электрода, разгрузочного стола и боковой поверхности кожуха, а также системой газоотвода. В нижней части располагается разгрузочный стол, который вращается, с системой дозирования готового продукта. Нефтяной кокс, который является сыпучим материалом, двигается вниз вдоль вертикальной оси печи в полости, образованной конструкционными элементами печи, а газы, образующиеся в процессе выделения остаточных летучих и частичного окисления кокса за счет подсоса воздуха через систему разгрузки, наоборот, двигаются вверх. Поэтому рабочее пространство печи представляет собой двухфазную среду. Электрический ток непосредственно проходит через электропроводный кокс и вызывает его нагрев за счет выделения джоулевой теплоты. Скорость движения сыпучего материала является переменной величиной и определяется дозой и частотой его выгрузки. Для обеспечения непрерывности процесса на замену выгруженного в нижней части печи готового продукта в верхнюю ее часть через питатель подается исходный материал. Вследствие того, что нефтяной кокс является сыпучим материалом,

85

физические его свойства принимаются как эффективные значения, зависящие от температуры и давления. Процесс графитирования кокса сопровождается физическими процессами, связанными между собой: сложное движение сыпучего материала, вызванное действием сил гравитации и вращением разгрузочного стола; движение газов в обратном направлении; протекание электрического тока по электропроводящим элементам конструкции, включая кокс; сложный теплообмен внутри печи и вне с окружающей средой. Электрическое поле в печи считается безвихревым, термоэлектрические эффекты также не учитываются. Физические свойства всех материалов печи принимаются изотропными.

В процессе графитирования кокса, как было выше отмечено, происходит выход остаточных летучих органических компонентов и частичное окисление кокса аналогично процессу прокаливания антрацита [319], что вызывает выделение теплоты за счет химических реакций.

В соответствии со сформулированной физической моделью, процесс графитирования нефтяного кокса в шахтной электропечи можно записать в виде связанной системы дифференциальных уравнений в частных производных с использованием моделей Эйлера [326–330] и теплоэлектрического состояния [323], которая включает в себе уравнения неразрывности, сохранения движения, энергии и квазистационарной электропроводности:

,,1 ,0),(

1

;,3 ,)(

1)(

;2,1, ,),(

;2,1, ,

;2,1 ,0

2

chem,2

efV,

ef,

11

MiuTp

MiuT

TTH

jiquTp

TT

Tphh

jiGp

p

i

i

ii

Viii

iji

iiiiii

iiiiiii

iiii

jiijiiiiiiiii

iiiii

VV

g

VVVVV

V

(2.28)

86

где индексы 2,1i – относятся к двухфазной среде, то есть индекс 1 или g – означает газовую фазу, а индекс 2 или s – сыпучий материал – нефтяной

кокс; индексы Mi ,3 – относятся к твердым элементам конструкции печи;

M – общее количество элементов печи, включая двухфазную среду; 2,1 , ii

– объемная доля i -й фазы

2

1

1i

i ; – плотность, кг/м3; – время, с;

2,1 , iiV – вектор скорости газовой и сыпучей фаз, соответственно, м/с;

p – давление, Па; 2,1,, jijiij – объемный коэффициент передачи

импульса между газом и твердыми частичками сыпучего слоя и наоборот, причем 0ii , кг/(м3с); G – коэффициент взаимодействия частичка-

частичка [326, 328], Па; T

T

dTchref

p – массовая энтальпия в двухфазной среде,

Дж/кг; pc – массовая изобарная теплоемкость, Дж/(кгК); refT – температура

отсчета, К; 2pps – давление в сыпучей фазе, Па; ggg Tf ,g ,

gsss pTf ,,s – эффективная теплопроводность газовой и твердой фаз

с учетом радиационного теплообмена, соответственно, Вт/(мК);

efV, – объемный межфазный коэффициент теплопередачи, Вт/(м3К);

chem,Vq – объемная теплота от химических реакций, Вт/м3;

;2 ,1

;1 ,0

i

ii

T

p dTTTcH0

– объемная энтальпия в твердых элементах конструкции

печи, Дж/м3; – удельное электрическое сопротивление, Омм; u – электрический потенциал, В.

Для определения объемного межфазного коэффициента теплопередачи можно использовать соотношение вида [326]

s-gef,ef,

efV,6

s

s

d, (2.29)

где Pr,Res-gef, sf – эффективный коэффициент теплоотдачи газ–

твердые частички сыпучего слоя [326], Вт/(м2К); sdef, – эффективный диаметр

частичек, м; g

ssggs

d

ef,

ReVV

– критерий Рейнольдса [326];

87

g – коэффициент динамической вязкости газовой фазы, Пас; g

ggc

p,Pr –

число Прандтля газовой фазы; g – теплопроводность газовой фазы, Вт/(мК).

Объемный коэффициент передачи момента между газом и твердыми частичками сыпучего слоя определяются, например, по [327]

65,2

ef,4

3

gs

sgsgDgs d

CVV

, (2.30)

где 687,0Re15,01Re

24sg

sgDC

– функция гидравлического

сопротивления сыпучего слоя. Градиент давления sp сыпучего слоя имеет место тогда, когда

упаковка твердых частичек в слое не достигла своего максимального значения. В этом случае давление в слое сыпучего материала может быть определено как [328]

ssssssss gep 212 , (2.31)

где sse – коэффициент, учитывающий отношение пористости сыпучего слоя

после столкновений частичек;

1

3

max,

1

s

sssg – функция безразмерного

расстояния между частичками сыпучего слоя [329]; s – гранульная температура или кинетическая энергия гранул в двухфазном слое, м2/с2.

Начальные условия при 0

.0

;2,1,0

;0

;0

p

iX

Xu

TXT

iV (2.32)

Граничные условия при 0 : – на торцах верхнего (2.33) и нижнего электродов (2.34)

,n uTj n (2.33),0u (2.34)

88

где n – вектор внешней нормали к граничной поверхности; 1 TT – электропроводность материала, (Омм)-1;

– на границах контакта твердых электропроводных элементов конструкции печи для уравнения энергии рассматриваются условия (2.35), а для электропроводности – (2.36)

,0

;0

qn

T (2.35)

,0

;0

jn

u (2.36)

где TTT ; qnqnqn ; TT q – вектор

плотности теплового потока, Вт/м2; uuu ; jnjnjn ; ut j – вектор плотности электрического тока, А/м2; для

неэлектропроводных элементов система уравнений (2.36) не учитывается; – на границах внутренней полости шахтной печи (контакт двухфазная

среда – твердое сыпучее тело)

,

;0

sst

g

Vn

V (2.37)

где t – тангенциальное напряжение, Па; fr,kin,col, ssss –

динамическая вязкость сыпучего материала [329, 330], Пас; fr,kin,col, ,, sss –

вязкость, связанная со столкновением частичек, кинетической энергией частичек и с трением между частичками, соответственно, Пас;

– на границе контакта двухфазная среда – разгрузочный стол, который вращается, учитывается ускорение Кориолиса и центростремительное ускорение

2,1 ,2

id

d

d

di

ii rVVV

, (2.38)

где – частота вращения разгрузочного стола, рад/с; r – радиус вектор, м; – на внешних границах печи задаются условия конвективного

теплообмена, которые описывают воздушное и водяное охлаждение (например, пьедестала нижнего электрода)

def TTTTT n , (2.39)

где ef – эффективный коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2К);

dT – температура окружающей среды, К;

89

– на верхнем торце печи в месте загрузки кокса рассматриваются условия (2.40), а в зоне отсоса газовой фазы – (2.41)

,

;

in,

in,

ss

ss

GG

TT (2.40)

,0

;0

p

Tn (2.41)

где in,sG – массовый расход сыпучего материала на входе в печь, кг/с;

– в нижней части печи в месте разгрузки кокса записываются условия (2.42), а в зоне всасывания воздуха – (2.43)

,0

;0

p

T

n

n (2.42)

,

;

in,

in,

gg

gg

GG

TT (2.43)

где in,gG – массовый расход всасываемого в печь воздуха, кг/с;

in,gT – температура всасываемого в печь воздуха, К.

2.3. Печи графитирования

Математическая формулировка ТЭМ процессов в печах Ачесона и Кастнера

[41, 54, 193–199, 239, 272–276, 323, 324] (см. рис. 1.12, 1.13) основывается на системе дифференциальных уравнений теории потенциала, механики сплошной среды и включает нестационарное нелинейное неоднородное уравнение теплопроводности и квазистационарное уравнение безвихревого поля электрического потенциала, уравнение механического движения. Для замыкания системы уравнений записываются соответствующие начальные и граничные условия (Дирихле, Неймана и Фурье)

,3,1 ,0

;0),(/

;0,),(

1)(

,

2

if

PTU

UPT

TTH

ijij

(2.44)

90

где T

dTTTcH0

**p – объемная энтальпия, Дж/м3; *

pc – эффективная

массовая изобарная теплоемкость, в которой для материалов, содержащих влагу, учитывается теплоемкость и теплота испарения воды, а для графитируемых материалов – теплота сублимации при высоких температурах, Дж/(кгК); * – плотность, кг/м3; ),( PT – УЭС, зависящее от

температуры и давления, Омм; TT )(q – вектор плотности теплового

потока, Вт/м2; UPT

),(

1j – вектор плотности электрического тока, А/м2.

Энтальпийная форма записи уравнения теплопроводности используется для учета влагосодержания керновой пересыпки и теплоизоляции, теплоты сублимации заготовок [212, 271, 274]

mmpmmpm

TT

mpm

LTTTcTTc

dTTTcHm

2 mR0mR0mL0mL0

2/

000

,2/

2/00

m

m

TTT

TTmpm dTTTc (2.45)

где mT – температура испарения или сублимации (фазового перехода), К; 2/mmL TTT ; 2/mmR TTT ; T – температурный интервал сглаживания, К; 00 , mpmc и 00 , mpmc – свойства слева и справа от

температуры фазового перехода; mL – латентная теплота, Дж/м3. В материалах без влаги и без сублимации

p*p cc , * и

T

dTTTcH0

p .

Преимущества энтальпийной формулировки состоят в возможности использования простой и устойчивой схемы сквозного счета. Теплопроводность влагосодержащих материалов определяется аналогично (2.9)

91

;

. ,

,

; ,

mRmL

mR0

mL0mR0mL0

mL0

TTT

TTT

TT

TTT

TTT

T

pm

pmpmpm

pm

(2.46)

Для учета зависимости УЭС сыпучих материалов керновой пересыпки и теплоизоляции от давления под действием гравитационной и температурной нагрузок, что особенно важно на начальном этапе нагрева, используется модель Дракера-Прагера. Эквивалентное напряжение согласно модели Дракера-Прагера определяется соотношением [123, 128, 239]

21 JIekv , (2.47)

где

sin33

sin2 – константа сыпучего материала; – угол

внутреннего трения, рад. Предел текучести сыпучего материала определяется по формуле

sin33

cos6c, (2.48)

где с – величина сцепления между частичками сыпучего материала, Па. Учитывая (2.47) и (2.48) критерий текучести сыпучего материала можно записать в виде [123]

21 JIF . (2.49)

В результате решения системы (2.44) с учетом критерия (2.49),

определяются тензор и среднее гидростатическое напряжение 13

1Im

сыпучего материала. Тогда распределение давления в сыпучем материале определяется как mP .

Начальные условия

00TXT

. (2.50)

ГУ для уравнений теплопроводности и равновесия при 0 : на внешних поверхностях печи

92

точках;отдельных в - 0

;0

;def

u

n

n

TTTTT

(2.51)

на осях симметрии

;0

;0

un

n

T (2.52)

на границах контакта между элементами конструкции

;0

;0

qn

T

.0

;0

n

u (2.53)

ГУ для уравнения электрического потенциала при 0 : на токоподводах может задаваться плотность электрического тока

(условие Неймана)

UT

j

n)(

1c

; (2.54)

или значение потенциала (условие Дирихле)

UUc

; (2.55)

на торцевой части керна (в поперечном вертикальном сечении) задается нулевой потенциал (условие Дирихле)

U = 0, (2.56)

на остальных внешних поверхностях – условия отсутствия протекания электрического тока (условие Неймана)

0 Un ; (2.57)

на границах контакта между электропроводными элементами конструкции

.0

;

jn

jn erU (2.58)

93

2.4. Выводы В данной главе приведены математические формулировки задач

математической физики в виде связанных систем уравнений теории потенциала и механики сплошной среды с учетом радиационно-конвективного теплообмена, описывающие физические поля технологических процессов в высокотемпературных агрегатах. В частности, особенное внимание уделено теплоэлектрическим, термомеханическим и гидродинамическим задачам, в которых учитывается нелинейность физических свойств и контактное взаимодействие различной физической природы между элементами сложных конструкций.

94

3. МЕТОДИКИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА И ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ, СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА И МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

В данной главе приведено описание методик численного решения

линейных и нелинейных краевых задач ТЭМ состояния с учетом контактного взаимодействия между соединенными телами. В общем случае конструкцию промышленного агрегата можно представить в виде сложной области

nW

R

1

, которая является объединением множеств – элементов

конструкции (где W – количество элементов в ; 3,1n – размерность задачи). Границы можно представить в виде объединения множеств поверхностей 4321 , где 1 – объединения границ (плоских граней) с ГУ Дирихле, 2 – ГУ Неймана, 3 – ГУ конвективного типа, 4 – ГУ контактного взаимодействия между соединенными телами.

3.1. Задачи теории потенциала и теплопроводности При реализации ПМГЭ касательно рассмотренных постановок краевых

задач выполняются следующие основные этапы [252, 265, 278, 279]: замена интегралов по объему на граничные, если это возможно; дискретизация границ )4,1( ii и при необходимости – ; вычисление коэффициентов влияния; формирование матрицы системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) при ГУ на )4,1( ii ; устранение сингулярности СЛАУ и ее решение; определение компонент плотности потока на )4,1( ii .

Граничное интегральное уравнение классического МГЭ в прямой формулировке [123] для стационарной линейной задачи теплопроводности с внутренними источниками теплоты при 1,2-й краевых задачах имеет вид

,,,, ***

XdXuXqXdXuXqXdXqXttc v (3.1)

где c – коэффициент, зависящий от геометрии границы и элемента; X, – координаты источника и текущей точки , соответственно;

3,, RzyxX – декартовые координаты;

222

*

)()()(

1

4

1

,

1

4

1),(

zzyyxxXrXt

–

фундаментальное сингулярное решение стационарного уравнения теплопроводности (ньютоновский потенциал); Xr , – расстояние между

95

источником и текущей точкой ;

3222 )()()(

)()()(

4

1*),(*

zzyyxx

nzznyynxx

n

tXq zyx

– нормальная

производная от *t , умноженная на теплопроводность; nx, ny, nz – направляющие косинусы внешней нормали к плоскости. При дискретизации границ 3R задач используются линейные треугольные граничные элементы, а при дискретизации – тетраэдры. При этом нумерация вершин треугольников, окружающих узел j, выполняется таким образом, чтобы вершина, совпадающая с узлом j, имела номер 3 в каждом из указанных треугольников (рис. 3.1б). Для упрощения триангуляции плоских граней используется отображение 3D в 2D и наоборот (Приложение Б.1). В каждом треугольнике (с тремя узлами) выбирается линейная аппроксимация функций, например, температура и плотность теплового потока задаются формулами [252, 265]

),1(),(

);1(),(

213221121

213221121

qqqq

tttt (3.2)

где индексы 1,2,3 – касаются номеров вершин треугольников; (1,2) – косоугольная система координат, 1 ,2,1 ,1;0 21 ii . Координаты определяются из соотношений

).1(),(

);1(),(

);1(),(

213221121

213221121

213221121

zzzz

yyyy

xxxx

(3.3)

Дискретная форма (3.1) имеет вид

Nidtqdqtdtqtc v

N

j

N

jii

jj

,1 ,*

1

*

1

*

, (3.4)

где N – количество треугольников, на которые разбита поверхность расчетной области .

Для преобразования уравнения (3.4) в полностью граничное выражение используется частное решение уравнения Пуассона или отдельный случай метода двойственной взаимности (МДВ) [136, 252]:

vq

P2 ;

vDDD qzzyyxxP

6

222

, (3.5)

96

где D – индекс источника.

а б Рис. 3.1. Схема треугольника (а) и схема нумерации его вершин (б):

i – индекс узла источника; j – индекс текущего узла поверхности; i, j = 1,M; M – количество поверхностных узлов; r – расстояние между источником и текущим узлом;

(1,2) – косоугольная система координат; 1, 2, 3 – номера вершин трех треугольников, окружающих узел с индексом j

С учетом (3.5) интеграл по области в (3.1), (3.4) преобразуется в граничный с помощью II теоремы Грина [227]

dPqdtn

PPcD DD

** . (3.6)

Для преобразования интеграла по области (3.1) в граничные

интегральные выражения также можно воспользоваться МДВ [136, 278] (Приложение Б.2).

Если (3.4) переписать относительно граничных узлов, то коэффициенты влияния перестают быть зависимыми от функций (t, q) и, поэтому могут быть вычислены заранее:

,,1, ,),(*)1(

, ,),(*)1(

1

1

01

1

022121

1

1

01

1

022121

1

1

MjiddtJG

jiddqJH

K

kk

ij

k

K

kij

(3.7)

где K – количество треугольников, окружающих узел j (см. рис. 3.1б);

k – индекс треугольника; M – количество граничных узлов; J = 2S – якобиан; S – площадь соответствующего треугольника.

O

ZY

X i

Три треугольника окружают узел j

3 j

1

2

2

1

2

1

1

2

1 2

1 2

r 3

1

2

c

b a

источник

97

При ij несингулярные интегралы (3.7) определяются численно с помощью квадратурной формулы Хаммера [252]:

,

)(z )()(

)(z )( )()1(

4

1

1 1 322221

K

k

n

jkijkijki

zkjkiykjkixkjki

kij wzyyxx

nznyynxxJH

(3.8)

,,1,,)(z )()(

)1(

4

1

1 1222

21 Mjiwzyyxx

JGK

k

n

jkijkijkikij

(3.9)

где w , , 21 – узлы и вес квадратурной формулы Хаммера [123, 129]; n – число узлов квадратурной формулы; nx, ny, nz – направляющие косинусы

внешней нормали к плоскости треугольника (см. рис. 3.1а); S

pnx 2

1 , S

pny 2

2 ,

S

pnz 2

3 ; 3232

31313

3232

31312

3232

31311

y ,

,

yyxx

yxxp

zzxx

zzxxp

zzyy

zzyyp

;

23

22

21 pppJ ;

.)1(

;)1(

;)1(

2132211

2132211

2132211

jkjk

jkjk

jkjk

zzzz

yyyy

xxxx

– координаты узлов.

Коэффициенты влияния для температуры при i = j определяются следующим образом

,M iHHM

ijj

ijii 1 ,1

. (3.10)

Вычисление сингулярных коэффициентов влияния для потока выполняется с помощью аналитического определения сингулярных интегралов (Приложение А). Соответствующие формулы приведены в (3.11) для трех случаев номеров текущего узла и источника (см. рис. 3.1а):

98

.2 ,3 ,4

ctgArshctgArsh4

cos

;1 ,3 ,4

ctgArshctgArsh4

cos

;3 ,ctgArshctgArsh4

22

22

jic

Sab

c

bcSg

jib

Sac

b

cbSg

ija

Sg

kij

kij

kii

(3.11)

где S – площадь треугольника; a, b, c – длина сторон треугольника;

, , – углы треугольника; 1lnArsh 2 xxx ; k – номер треугольника,

то есть

K

kkijij gG

1

.

Матрица СЛАУ для каждого из элементов сложной области является полностью заполненной и в векторной форме будет иметь вид соответственно заданным ГУ I–III родов [252, 283, 287]

.

;

defef BGtGH

BGqHt

t (3.12)

где H , G – матрицы коэффициентов влияния (3.8)–(3.11) для температуры и плотности теплового потока, соответственно; B – вектор, связанный с внутренним источником теплоты (3.6).

В общем случае для сопряженной области , которая состоит из множества объемов с разными однородными свойствами, матрица (3.12) будет не полностью заполненной, то есть разреженной. Поэтому при решении СЛАУ вида (3.12) используется блочный или ленточный способ хранения матрицы [280]. Для исключения сингулярности матрицы системы (3.12) применяется сжатие геометрических размеров граней по контуру на 0,1–0,2 % от максимального линейного размера [252, 278]. Эта процедура происходит на этапе триангуляции и используется только при вычислении коэффициентов влияния G. Матрица СЛАУ записывается в ленточном виде. Решение СЛАУ осуществляется с помощью метода Гаусса с учетом ленточной структуры матрицы [280–282]. После решения СЛАУ определяются неизвестные потенциалы и плотности нормальных потоков на границах.

Для расчета компонент вектора плотности потока на границах i области предложена оригинальная методика определения компонент градиента потенциала [252, 278]. Если система координат 21, в треугольнике задается формулами (3.3), а температура – формулой (3.2), то плотность теплового потока вычисляется по закону Фурье [245]. При этом составляющие градиента температуры находятся из решения системы

99

линейных уравнений для каждого узла граничного треугольного элемента, которая имеет вид:

,

,,

;,,

;,

;,

;,

33n22n11n

332211

33221121

33221121

33221121

qqq

nx

tn

x

tn

x

tzyxq

tttzyxt

zzzz

yyyy

xxxx

zyx

(3.13)

,

;

;

3

1n33n22n11n

32323232

31313131

iiizyx qqqqn

x

tn

y

tn

x

t

ttz

tzz

y

tyy

x

txx

ttz

tzz

y

tyy

x

txx

(3.14)

,22

;22

;22

3

1n

3

1n

3

1n

izii

xy

yx

xz

iyii

zx

yz

zy

ixii

nq

S

pn

S

pn

z

t

S

pn

nq

S

pn

y

t

S

pn

S

pn

nq

x

t

(3.15)

где iqn – нормальная плотность теплового потока в i -м узле треугольника;

3232

3131

ttxx

ttxxpx

;

3232

3131

ttyy

ttyypy

;

3232

3131

zztt

zzttpz

.

Для получения (3.14) из (3.13) проводится дифференцирование 4-го уравнения системы (3.13) по 2,1 , ii . В результате получают уравнение:

100

,2,1 ,3333

ittz

tzz

y

tyy

x

txx

z

z

ty

y

tx

x

ttiiii

iiii

потому что

;

1,31

1

2132211

1

21 xxxxxx

32

2

2132211

2

21 1,xx

xxxx

,

и следовательно имеем, что

.2,1 , , , , 3333

ittt

zzz

yyy

xxx

ii

ii

i

ii

i

ii

i

i

При решении теплоэлектрической задачи (2.2) без учета термоэлектрических эффектов [115] при ГУ I–III родов с учетом температурной зависимости электропроводности используется итерационная процедура, в которой по очереди решаются уравнения электропроводности и теплопроводности [253]

.

;

;0

defef BGtGH

BqGtH

jGUH

t

uu

(3.16)

где uH , uG и H , G – матрицы коэффициентов влияния задач электро- и теплопроводности, соответственно.

Перед решением уравнения теплопроводности в (3.16) определяется внутренний источник теплоты в соответствии с законом Джоуля–Ленца (1.25) в граничных узлах. Компоненты вектора плотности электрического тока на границах i области находятся аналогично (3.15).

При наличии контактного термического сопротивления r между соединенными телами (2.8), например I и II, система уравнений для контактной границы принимает вид (Приложение Б.3)

.

;

BqGHtH

BqGtHIIIIIII

III

r (3.17)

где IH , I

G и IIH , II

G – коэффициенты влияния для температуры и плотности теплового потока, рассчитанные для І и ІІ тел, соответственно;

It – вектор температуры на границе контакта со стороны тела І.

101

Вектор IIt на границе контакта со стороны тела ІІ находится из соотношения qtt rIII . При абсолютном контакте 0r и соответственно

III tt . Аналогичная процедура применяется и для контактных задач электрического потенциала с ГУ (2.4)

.0

;0

jGHUH

jGUHIIUe

IIU

IIIU

IU

IIU

r (3.18)

где IUH , I

UG и IIUH , II

UG – коэффициенты влияния для электрического потенциала и плотности электрического тока, рассчитанные для І и ІІ тел, соответственно; IU – вектор электрического потенциала на границе контакта со стороны тела І. Вектор IIU на границе контакта со стороны тела ІІ находится из соотношения jUU e

III r . При решении нелинейной задачи теплопроводности в основу численной

методики положено прямое и обратное преобразование Кирхгофа [123] вместе с итерационным решением системы уравнений. Прямая подстановка Кирхгофа приводит к появлению некоторого потенциала

kkt

k ttdtttk

0

, (3.19)

где k – номер итерации; t

dttt

t0

1 – средняя интегральная

теплопроводность. Для областей с наличием фазового перехода (2.9), (2.30) потенциал будет определяться по формуле [252] (Приложение Б.4):

;

,2

,

2 ;

2 ,

822

;2

,

pт

тртp2тpт

т

tttttt

tt

tttttttt

tt

tttt

kk

kkkk

kk

k

(3.20)

при

102

; 2

;2

.2/ ,

,2

;2/ ,

т

pтрт

т

t

tt

t

ttt

tttt

ttt

t

(3.21)

Коэффициенты влияния вычисляются по формулам (3.8)–(3.11) при 1 .

Для решения системы дискретных уравнений типа (3.12) при ГУ I–IV родов используется частичная линеаризация по методу Ньютона [139, 252, 278, 284]

.

;

;

1

def1

ef

BHGqttH

BGqH

BtGHtGtH

kkkkk

kk

kk

kkkkk

kk

t

tt

tt

tt

(3.22)

Температура определяется в итерационном цикле из решения (3.22) по формуле 11 kkk ttt . Матрица системы уравнений (3.22) имеет плохую обусловленность, связанную с 1-м и 3-м уравнениями системы. Для устранения этого перед решением выполняется нормирование соответствующих строк матрицы и вектора свободных членов путем деления на kt либо применяется метод сопряженных градиентов [290] с приведением матрицы (3.22) к симметричному виду (Приложение Б.5). При граничных условиях I, II родов подстановка (3.19) или (3.20) при фазовом переходе 1-го рода (2.9), (3.22) приводит к полностью линейному уравнению, то есть Лапласа 0 или Пуассона 0 b . После решения которого, поле температур находится из обратного преобразования Кирхгофа и для случая (3.20), (3.21) при рт имеет вид [252]

.2/ ,/

;2

;2

,2

2

;2/ ,/

pтpт

pттттp

тp

тp

т2

тp

2тp

тт

tttt

tt

ttt

tttt

tt

t

При использовании ПМГЭ для задач сложного радиационно-кондуктивного теплообмена в прозрачных телах система линеаризованных дискретных уравнений включает, кроме уравнений для кондуктивного

103

теплового потока, также два уравнения для радиационного теплового потока и одно общее уравнение для описания общего взаимодействия этих потоков и окончательно принимает вид [277, 285, 286]

,

4

;4

;

;

;

;

13

13

1

1

BFH

HqGGTTHTH

qGFHTTH

qGFH

BHqGTTH

BTGHTGTH

BqGH

kr

kkr

kkr

kk

k

kr

kr

kkr

kr

kr

kkkkk

k

kд

kkkk

k

kk

T

TT

T

TT

TT

TT

(3.23)

где H , G – коэффициенты влияния для теплопроводности (3.8)–(3.11); 4TF ; rH , rG – коэффициенты влияния, описывающие радиационный

теплообмен с учетом эффекта экранирования лучей (3.24).

,,1, ,11

;,1, ,

MjihG

MjihH

ijj

j

iijijr

ijijijr

(3.24)

где – постоянная Стефана-Больцмана, Вт/(м2К4); – степень черноты поверхностей; ij – символ Кронекера; M – количество граничных узлов;

k

K

k ij

jiij ddi

rJh

1

1

01

1

0221221

1

,,coscos

)1(1

; ji , – углы

между нормалями к поверхностям диатермической полости, рад; 21,, i – коэффициент, определяющий прямую видимость между

поверхностями диатермической полости (Приложение Б.6); При использовании граничных линейных треугольных элементов

коэффициенты (см. рис. 3.1б) ijh также определяются численно с помощью

квадратурной формулы Хаммера [252]

104

L

k

n

jkijkijki

zijkiyijkixijkikij

zzyyxx

nzznyynxxJh

1 1222221

1

1

, ,,,

212222jii

zzyyxx

nzznyynxx

jkijkijki

zjijkyjijkxjijk

(3.25)

где ,, 21 – узлы и вес квадратурной формулы по симплексу;

n – число узлов квадратурной формулы Хаммера; nx, ny, nz – направляющие косинусы внешней нормали к плоскости (3.9); jkjkjk zyx ,, – координаты

узлов (3.9). При i=j и двойных узлах [277]:

ii

M

jij

ijiir HMiHH ,1 ,1

, (3.26)

MiH

G ii

iiir ,1 ,

1

. (3.27)

Нестационарная теплопроводность [257, 265, 279]. Применение ПМГЭ для решения нелинейного нестационарного уравнения теплопроводности требует предварительного выполнения определенных преобразований исходного уравнения. Во-первых это прямая подстановка Кирхгофа как и в (3.19)

T

dttT0

, (3.28)

где T – температура, К; – потенциал, Вт/м2. При использовании линейного закона для задания температурной зависимости теплопроводности имеем, что:

TT 10 2210 /TT .

Тогда средняя интегральная теплопроводность (3.19) будет определятся как:

T

dttT

T0

1 или T

210T

,

а потенциал можно представить в виде

TT .

105

Во-вторых умножим и поделим левую часть исходного уравнения теплопроводности на T , получаем

0 ,Xp

vqTT

T

TTTTc, (3.29)

где

TaTTc

T

p

– температуропроводность, м2/c.

В результате подстановки (3.28) в (3.29) и, используя замену

TTca

p

(средние интегральные свойства по объему), получаем

линеаризованное уравнение теплопроводности вида

0 ,1 2

Xqa

v . (3.30)

Последнее уравнение может быть справедливым для малых объемов и слабой зависимости свойств от температуры.

В-третьих согласно выполненным преобразованиям начальные и граничные условия примут вид:

начальные условия

00

X ; (3.31)

ГУ I рода

;, :101

XfX (3.32)

ГУ II рода

;0 :02

n (3.33)

ГУ III рода

; : d1

ef03 T

n (3.34)

ГУ IV рода при абсолютном контакте

,0

;0 :

1

1

04n

(3.35)

106

где dT – температура окружающей среды, К; T1 – обратное преобразование Кирхгофа.

Граничное интегральное уравнение (3.30) для ГУ I, II родов (3.32), (3.33) при использовании классического МГЭ имеет вид [123]

,***q*0

000

,

dddqaddqaddac

FFF

F vMM (3.36)

где Mc – коэффициент, зависящий от типа граничного элемента; M – индекс источника; F ,0 – время начала и конца процесса;

*q*, – фундаментальное сингулярное решение (3.30), зависящее от времени, и его нормальная производная.

Для 3R задач имеем [123], что:

FF

a

r

a 4exp

4

1*

2

2/3; (3.37)

FF

a

r

a

dq

4exp

4

2*

2

2/32/5, (3.38)

где r – расстояние между источником и текущей точкой ; rn d . В уравнении (3.36), кроме граничных интегралов, входят два интеграла

по объему, которые также необходимо преобразовать в граничные или совсем

исключить. Для преобразования интеграла вида

2

1

t* ddaqv в граничный

также можно применить, как и в стационарной задаче (3.5), (3.6), отдельный случай МДВ [136]. Тогда уравнение (3.30) можно записать в следующем виде:

a

P122 или

P

aP

12 ,

а (3.36) с помощью II теоремы Грина [227] примет вид

.**q

***q

00

0

00

,

,

FF

F

FF

F

ddnP

addPaPc

dddqaddac

MM

MM

(3.39)

Таким образом, в (3.39) уже отсутствует интеграл по , связанный с внутренним источником теплоты.

107

Для преобразования в граничный интеграл вида

d*0 можно

применить МДВ. Например, при использовании фундаментального решения,

которое не зависит от времени, интеграл вида

da

*1

представляют

с помощью аппроксимирующих функций (f) как

M

j

jj xfT

a 1

1 и далее

преобразуют в граничный [136, 288], где M – число граничных узлов. Существует также более сложная методика преобразования, основывающаяся на методе множественной взаимности [136]. Наконец, когда начальная температура тела или потенциал равняется нулю ( 0

0 , потому что 0

0T ), то и 0*

0

d . Соответственно,

(3.36) преобразуется в полностью граничное интегральное уравнение при отсутствии необходимости определения распределения температуры (потенциала) в промежуточные моменты времени внутренней части , где

F0 . То же самое можно получить, когда 00 [136].

Пусть в начальный момент времени 0 поле потенциала 0 является

решением уравнения Лапласа 002 , а в момент времени F поле

потенциала отвечает нестационарному уравнению теплопроводности

t

a

12 . Вычитая из второго первое уравнение, получаем

00

2 11

aa. (3.40)

Для начального момента 0 имеем, что 00 . То есть, если ввести замену 0 , интегральное уравнение для (3.30) будет полностью граничным, потому что 00

.**q

**q

00

00

,

,

FF

F

FF

F

ddn

PaddPaPc

ddqaddac

MM

MM

(3.41)

После решения (3.41) действительное значение потенциала в момент времени F можно найти из:

108

0F, (3.42)

а температуры – используя обратное преобразование Кирхгофа [136]

FF

T

1 . (3.43)

Для определения температуры в промежуточные моменты времени применяется процедура вычисления интегралов по с помощью численного интегрирования по тетраэдрам (Приложение Б.7). Перед тем, как записать соотношения для вычисления коэффициентов влияния, необходимо выбрать схему расчета по времени. При использовании МГЭ существует две схемы расчета нестационарных температурных полей [123]. По схеме 1 (рис. 3.2) на каждом шаге интегрирования по времени используется распределение температур (потенциала), полученное на предыдущем шаге по времени (как псевдоначальное условие) и при этом возникает необходимость в определении интеграла по объему вида

d*

0.

0 1 2 3 4

Рис. 3.2. Схема 1

Шаг интегрирования по времени constfff 11 может быть

постоянным и поэтому коэффициенты влияния для линейной задачи можно определить только один раз в начале вычислений [161, 264]. К недостаткам схемы 1 относится необходимость обязательного определения температурного поля внутри объема тела на каждом шаге интегрирования по времени и соответственно необходимость вычисления интеграла вида

d*

0.

В схеме 2 или интегральной схеме (рис. 3.3) изменение поля потенциала и потоков на предыдущих промежутках времени учитываются путем сложения соответствующих граничных интегралов.

0 1 2 3 4

Рис. 3.3. Схема 2

109

К недостаткам схемы 2 относится необходимость определения распределения потенциала и потоков на границах тела в предыдущие моменты времени и вычисление коэффициентов влияния для каждого момента времени. Основным преимуществом схемы 2 по сравнению со схемой 1 является возможность исключить процедуру вычисления интеграла

d*0

и более высокая точность.

При решении теплоэлектрической задачи наиболее эффективным является применение комбинированной схемы из двух описанных. В связи с тем, что схема 2 является более сложной по сравнению со схемой 1, в дальнейшем изложении численной методики рассматривается только схема 2. При этом переход на комбинированную схему не представляет определенных трудностей.

Допустим, что необходимо найти температурное поле (потенциал) в момент времени 4 по схеме 2 согласно рис. 3.3. Для этого следует найти распределение потенциала и потоков на границе тела в моменты времени 1, 2, 3 для определения вектора S правой части системы уравнений МГЭ

MiqGHSF

f

N

j

fj

fij

fj

fij

Fi ,1 ,

1

1 1

1

,

где M – количество граничных узлов; f – индекс определенного момента времени; F – количество интервалов по времени; 000 jj q, ; G,H

– коэффициенты влияния, соответствующие интерполяции по времени постоянными функциями [136, 279].

Последовательность выполнения расчетов следующая: 1. Момент времени 1. Вычисление 11

jj q, выполняется при

M,i,Si 1 00 ;

2. Момент времени 2. Вычисление 22jj q, выполняется при

M,iqGtHSM

jjijjiji 1 ,

1

11111

. При этом 01 iiH ;

3. Момент времени 3. Вычисление 33jj q, выполняется при

M,iqGtHSf

M

j

fj

fij

fj

fiji 1 ,

2

1 1

2

. При этом 21 0 ,f,H f

ii ;

4. Момент времени 4. Вычисление 44jj q, выполняется при

110

M,iqGtHSf

M

j

fj

fij

fj

fiji 1 ,

3

1 1

3

. При этом 310 ,f,H f

ii .

Дискретизация расчетной области аналогичная стационарным задачам. В каждом граничном треугольнике (элементе) потенциал и плотность потока задаются формулами

).1(),(

);1(),(

213221121

213221121

qqqq (3.43)

Введем линейную аппроксимацию по времени для потенциала и потока

,

;

1,1,

1,1,

f

ffjffj

f

ffjffj

qqq

(3.44)

где 1 fff .

Согласно (3.44) и, используя схему 2 [123, 136, 265] для учета изменения температуры по времени, запишем формулы для определения коэффициентов влияния:

f

f j

ddqaH ff

fFij1

*,,

11 для 1 f при 1 f , (3.45)

f

f j

ddqaH ff

fFij1

*1,,

12 для f при f , (3.46)

f

f j

ddaG ff

fFij1

*,,

11 для 1 fq при 1 f , (3.47)

f

f j

ddaG ff

fFij1

*1,,

12 для fq при f . (3.48)

Диагональные коэффициенты:

01 ,, fFiiH ,

а fFiiH ,,2 можно определить как при стационарной теплопроводности

111

MiHHHM

ijj

ijiifFii 1, ,21

,,

, (3.49)

где ijH – определяется через фундаментальные решения, зависящие от

времени [252, 257, 265]. Используя фундаментальные решения (3.37), (3.38) можно выполнить аналитическое интегрирование по времени (3.45)–(3.48) [265, 279]. При этом рассмотрим два характерных момента времени при F>1: f < F и f = F.

Коэффициент H2 при f < F

j

f

f j

fFFf

ff

fFij

a

r

a

r

ar

da

ddqa

H

1

22

3

*1,,

24erf

4

21

da

r

a

rf

fF

fF

1

1

F

2

4exp

j fFfFf a

r

a

r

r

d

4erf

4erf

4

2

1

2

3

.

4exp

4exp

2

1

F

2

1

1

1F

2

1

2

da

r

a

r

a

r

a

r

a

r

fF

fF

f

fF

fF

ffF

(3.50)

Коэффициент H1 при f < F

j

f

f j

fFFf

ff

fFij

a

r

a

r

ar

da

ddqa

H

24erf

4

1

22

3

*,,

1

112

da

r

a

rf

fF

fF

1F

2

4exp

j fFfFf a

r

a

r

r

d

1

22

3 4erf

4erf

4

.

4exp

4exp

2

11F

2

F

22

da

r

a

r

a

r

a

r

a

r

fF

fF

f

fF

fF

ffF

(3.51)

Коэффициент G2 при f < F

j

f

f j

fFFf

ff

fFij

a

r

a

r

ar

a

dda

G

1

22

*1,,

24erf

4

1

21

j fFfFf

f

f

F

F

a

r

a

rr

da

ar

a

r

1

22

1

2

4erf

4erf

41

4exp

.4

exp

4exp

2

1

1

2

2

1

2

da

r

a

r

a

r

a

r

a

r

fF

fF

fF

fFfF

(3.52)

Коэффициент G1 при f < F

f

f j

dda

G ff

fFij1

*,,1

113

j

fFFf a

r

a

r

ar

a

24erf

4

1 22

da

ar

a

rf

f

F

F1

2

4exp

.4

exp

4exp

2

4erf

4erf

4

1

2

1

1

22

2

1

2

da

ar

a

r

a

ar

a

r

a

r

a

r

a

r

r

fF

fF

fF

fFfF

fFfFfj

(3.53)

Коэффициент H2 при f =F

j

f

f j

fFFf

ff

fFij

a

r

a

r

ar

da

ddqa

H

1

22

3

*1,,

24erf

4

21

da

r

a

rf

fF

fF

1

1

F

2

4exp

.

4exp

21

4erf

4

1

1

1F

2

1

2

1

2

3

da

r

a

r

a

r

a

r

r

d

fF

fF

f

fFfFfj

(3.54)

Коэффициент H1 при f = F

f

f j

ddqa

H ff

fFij1

*,,1

114

da

r

a

r

a

r

a

r

ar

da

f

f

j

F

fF

fFFf

1F

2

22

3

4exp

24erf

4

.24

erf14

2

1

2

3

j

da

r

a

r

r

dfF

fFf

(3.55)

Коэффициент G2 при f = F

j

f

f j

fFFf

ff

fFij

a

r

a

r

ar

a

dda

G

1

22

*1,,

24erf

4

1

21

da

ar

a

rf

f

F

F1

2

4exp

.4

exp

24erf1

4

1

1

1

2

1

2

1

2

da

r

a

r

a

r

a

r

r

fF

fF

fFfFfj

(3.56)

Коэффициент G1 при f = F

f

f j

dda

G *f

ff,F,ij

1

1

da

ar

a

r

a

r

a

r

ar

a

f

f

F

F

fFFf j

1

2

22

4exp

24erf

4

1

(3.57)

115

.4

exp

21

4erf

4

1

1

1

2

2

1

2

da

ar

a

r

a

r

a

r

r

fF

fF

fFfFfj

Интегралы (3.50)–(3.57), аналогично стационарным задачам рассмотренным выше, определяются численно с помощью квадратурной формулы Хаммера [123]. Например, окончательные формулы для вычисления коэффициентов влияния H1 и G1 при f = F имеют вид:

K

k

n

fF

ijk

ijk

ijk

kf

fFij a

r

r

dJH

1 1 1

2

3,, 4erf1

4

11

Mjiwa

rfF

ijk ,1, ,12

21

2

,

(3.58)

,,1, ,14

exp

21

4erf

1

4

11

211

1

2

1 1

2

1

2

,,

Mjiwa

ar

a

r

a

r

a

r

rJG

fFijk

fF

ijk

K

k

n

fFijk

fF

ijk

ijkk

ffFij

(3.59)

где xerf – функция ошибок Гаусса, которая вычисляется с помощью специального ряда (Приложение Б.8); ijkr – расстояние между источником

и текущим узлом; zkjkiykjkixkjkiijk nznyynxxd z ; другие

обозначения такие же самые как и в (3.8), (3.9). Формулы для вычисления коэффициентов влияния H2 и G2 можно получить аналогично (3.58), (3.49). При вычислении коэффициентов влияния шаг интегрирования по времени необходимо определять из соотношения [136]

a

r

4

max 2

. (3.60)

При записи системы уравнений используется частичная линеаризация по температуре по методу Ньютона [139]

116

,22 2

;2

2 22

;22

,,11

,

1,

,1

,1

,

,,

FFkFFF

kFFF

kF

kFk

F

kFk

FFF

FFkFвефFF

kFFF

kFефFF

kFk

F

kFk

FFF

FFkFFF

kFFF

T

TT

T

T

TT

BSHqGTH

BSG

HTGH

BSqGH

(3.61)

где

;1,1,

1

1,1,,1,

BqG1H1

qG2qG1H2H1S

kFFF

kFFF

F

f

kffF

kffF

kffF

kffFF

; 221

,1

,,1,

F

f ffF

ffFffFffFF nn

PG

PG1PHPH1B

.

2

11

,1,

1

11

1,,,1,

kFвефFF

kFFF

F

f

kfвефfFfF

kffF

kffFF

T

T

G1H1

G2G1HH1S

В системе (3.61) первое уравнение описывает ГУ Дирихле и Неймана, второе – конвективного типа, а третье – условия абсолютного контакта между разными телами. Температура, аналогично (3.22) и (3.23), определяется в итерационном цикле из решения (3.61) по формуле 11 kkk TTT при 0B , 0

0

или 00T . В случае, когда 0

0T можно применить методику (3.40)–(3.43)

или методику определения температуры в промежуточные моменты времени и при этом вычислять интеграл по области

d*B

(см. Приложение Б.7). Матрица системы уравнений (3.61) имеет плохую обусловленность, связанную со 2-м и 3-м уравнениями системы. Для исключения этого аналогично (3.22), (3.23) перед решением (3.61) методом Гаусса используется сжатие граничных элементов или нормируются соответствующие строки матрицы и вектора свободных членов (путем их деления на kT ), или метод сопряженных градиентов (см. Приложение Б.5).

117

После решения (3.61) определяются неизвестная температура и плотность нормального теплового потока на границах. Вычисление компонент плотности теплового потока выполняется аналогично (3.15).

При необходимости расчета температуры в промежуточные моменты времени после решения системы (3.61) определяется температура в объеме каждой из подобластей W,k,k 1 по формуле

,1 ,2

121

1,

11,

1,,

11,,

,MiBT

TqGqGT

if

M

jjfijfF

M

jjfijfF

F

fjfijfF

M

jjfijfFiF

H

H

(3.62)

где M – количество внутренних узлов в каждой подобласти k . Коэффициенты влияния (3.62) вычисляются по формулам типа

(3.58),(3.59), но для внутренних узлов k . При решении нестационарных нелинейных задач для тел сложной

формы также эффективным методом является применение МКЭ [140, 142]. Так, например, система нелинейных уравнений нестационарной изотропной теплопроводности с использованием чисто неявной схемы с первым порядком аппроксимации по времени записывается в виде

,ˆ

ˆˆˆ1 1

Of

THTHcTTkTk

M

e

M

e

eee

eeee(3.63)

где M – количество элементов; T – температура на верхнем временном

уровне, К; T

dtttcTH0

p – энтальпия, Дж/м3; V

Te dVBBk ,

1S

Te dSNNk и V

Te dVNNc – матрицы теплопроводности,

внешнего конвективного теплообмена и теплоемкости или демпфирования, соответственно, которые вычисляются при 1p c ; N матрица

(строка) коэффициентов функций формы; NB ; V – объем элемента, м3;

21

ˆS

Te

S

Ted

V

TeV

e dSNqdSNTTdVNqf ; Vq – плотность

внутреннего источника теплоты в элементе, Вт/м3; q – плотность теплового потока, Вт/м2; 1S – площадь грани элемента, на которой задано ГУ III рода, м2; 2S – площадь грани элемента, на которой задано ГУ II рода, м2;

118

– шаг интегрирования по времени, с; dT – температура окружающей среды, К.

После линеаризации (3.63) по температуре по методу Ньютона [139], имеем

1

1

kkeke

pe

M

e

kkk

kekek

kee

TTTc

c

TTT

TkTT

T

Tk

,

1

1

1

M

e

kekeekkekee

M

e

e THTHcTTkTkf

(3.64)

где k – номер итерации. Система уравнений (3.64) на каждой итерации решается относительно

T . Искомая температура определяется как

11 kkk TTT .

При использовании формы записи системы уравнений типа (3.63) матрицы жесткости и демпфирования необходимо вычислить только один раз в процессе выполнения итераций. Методика (3.63), (3.64) является эффективной при решении задач с фазовыми переходами в обобщенной постановке (2.29), (2.30). При использовании МКЭ для дискретизации 3R используются четырех- и шестигранные элементы с 4-я и 8-ю узлами (тетраэдры и гексагедроны, соответственно) [239, 291]. Система линеаризованных уравнений решается методом Гаусса с учетом ленточной структуры матрицы или методом Гаусса-Зейделя [280, 290].

Для вычисления коэффициентов систем (3.63), (3.64) при дискретизации расчетной области 4-х узловыми тетраэдрами используется аналитическое интегрирование [142], а при 8-и узловыми гексагедронами – последовательное численное интегрирование с использованием квадратурных формул Гаусса [227] 3-го порядка точности, например, для ek имеем

,,,det2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1321

i j kkjikji

T

V

Te fdddJBBdVBBk

где JBBf Tkji det,, ; , – узлы и веса квадратурной

формулы Гаусса.

119

При решении сильно нелинейных стационарных задач типа Стефана в обобщенной постановке, которые имеют место при моделировании теплообмена в алюминиевых электролизерах с использованием эффективных значений теплопроводности в расплавах (при этом скачок теплопроводности при фазовом переходе твердое тело – жидкость может достигать нескольких порядков), наиболее эффективным методом является применение прямой подстановки Кирхгофа, аналитических соотношений для определения средней интегральной теплопроводности и ее производной по температуре при фазовом переходе и линеаризации по методу Ньютона, как это было применено к ПМГЭ (см. Приложение Б.4). Использование прямой подстановки Кирхгофа при наличии фазового перехода со скачком теплопроводности дает возможность перейти к интегральной форме записи коэффициентов переноса трансформированного уравнения теплопроводности и, таким образом устранить разрывы в функции производной средней интегральной теплопроводности по температуре, что в результате обеспечивает гарантированную сходимость при решении системы линеаризованных уравнений. После применения предложенной методики к дискретной системе уравнений МКЭ типа (3.63), имеем

, 1

ef1

1

1ef

ef

M

e

kkekeM

e

e

kM

e

kkk

kek

kekee

TTkkf

TTTT

TkT

T

TTk

(3.65)

где k – номер итерации; 21

0T

T

,

21

T

T при

TT 10 – для однородной среды; 10 , – коэффициенты линейной функции;

;2

;2

,

;2

, 1

822

;2

,

рт

2тр

т

т

T

TT

TT

TTTTTT

T

TTT

T

TT

T

TTT

T

120

;

2 ;

2 ,

,2

,

222

;2

,0

2

тp

2

тp

T

TT

TT

TTT

T

T

TTT

TTT

TT

TTT

T

T

при ; 2

;2

,2/ ,

,2

;2/ ,

т

pтрт

т

T

TT

T

TTT

TTTt

TTT

T

– с учетом

скачка теплопроводности на границе раздела фаз;

T – температура фазового перехода 1-го рода; T – интервал сглаживания;

рт , – теплопроводность твердой и жидкой фаз, соответственно;

– потенциал (3.19); ef – эффективный коэффициент теплоотдачи. Методика (3.65) в отличие от (3.63), (3.64) не накладывает ограничений на величину T , то есть T теоретически может быть как угодно малой величиной. При решении связанной нелинейной теплоэлектрической задачи с учетом термоэлектрических эффектов [115] и анизотропии свойств материалов система дискретных уравнений МКЭ принимает вид

,0

ˆ

ˆˆ0ˆ

ˆ

00

0

P

eU

eUP

eee ff

U

T

TkTk

Tkk

U

THc

(3.66)

где TH ˆ – производная энтальпии по времени, Дж/(м3с); U – производная электрического потенциала по времени, В/с;

V

Te dVBTBk ˆ – матрица теплопроводности элемента;

)ˆ(00

0)ˆ(0

00)ˆ(ˆ

T

T

T

T

zz

yy

xx

– матрица теплопроводности анизотропного

материала, Вт/(мК); V

TeUP dVBTTBTk ˆˆˆ – матрица

коэффициентов Зеебека элемента; V

TeU dVBTBTk ˆˆ – матрица

121

электропроводности элемента;

T

T

T

T

zz

yy

xx

ˆ00

0ˆ0

00ˆ

ˆ – матрица

электропроводности для анизотропного материала, (Омм)-1;

T

T

T

T

zz

yy

xx

ˆ00

0ˆ0

00ˆ

ˆ – матрица коэффициентов Зеебека [115]

материала, В/К; V

TP dVjTTBf ˆˆ – вектор тепловой нагрузки

конечного элемента, связанный с эффектом Пельтье [115]; j – вектор плотности электрического тока, А/м2;

21

ˆˆS

Te

S

Ted

V

T dSNqdSNTTdVNUUTf – вектор

свободных членов уравнения теплопроводности, связанный с источником теплоты и ГУ 2, 3-го родов, в котором e

VqUUT ˆ – плотность внутреннего источника теплоты в элементе, вызванная протеканием электрического тока (закон Джоуля–Ленца (1.25)), Вт/м3; UBU – градиент или напряженность электрического поля, В/м. Для решения системы дискретных уравнений (3.66) можно также использовать метод Ньютона (3.64), (3.65). При отсутствии термоэлектрических эффектов 0ˆ Tk e

UP , 0Pf система (3.66) упрощается к виду [239, 273]

.0

ˆ

ˆ0

0ˆ

ˆ

00

0

f

U

T

Tk

Tkk

U

THce

U

eee

(3.67)

При решении задач теории потенциала и теплопроводности с контактным взаимодействием между соединенными телами методами МКЭ для упрощения построения сложных численных моделей возможно применение приближенной методики, которая состоит в замене контактных поверхностей на тонкие слои с эффективными коэффициентами, что является вполне целесообразным при выполнении многих инженерных расчетов [256, 291]. Например, эффективная теплопроводность тонкого слоя толщиной определяется как r/ef , а эффективная электропроводность – er/ef . При этом сохраняется схема сквозного счета полей потенциалов, свойственная для МКЭ [142, 181].

122

3.2. Задачи статической термоупругости Для определения перемещений и усилий на границах в ПМГЭ граничное

интегральное уравнение термоупругости задачи имеет вид [123, 267]

,3,1, ,,21

12,

,,

*,

*

**

jiXtdXuv

vGXdXbXu

XdXpXuXdXuXpuc

kikjij

jijjijjij

(3.68)

где ju – вектор перемещений;

3,1, ,43116

1, ,,

*

jirrvGrv

xu jiijij – фундаментальное решение

Кельвина для фундаментальных перемещений тела;

ijjijiijij nrnrvn

rrrv

rvxp ,,,,2

* 2132118

1, – тензор

напряжений, соответствующий фундаментальному решению Кельвина;

ij – символ Кронекера; iirrxrr , – расстояние между точкой

источника , к которой прикладывается нагрузка, и текущей точкой x в пространстве, м; jj gb – гравитационная нагрузка; )()( iii xxxr ;

r

r

xx

rr i

ii

, – частная производная от расстояния r ; r

nr

n

r ii,

–

нормальная производная; 3

*, 18

21

r

r

Gv

vu i

kik

– тензор производных от

фундаментального решения, связанный с температурной нагрузкой. Интегралы по в (3.68) могут быть преобразованы в граничные [123]:

при гравитационной нагрузке имеем

Xdnrbv

nrbG

XdXbXu ikkkkijij

,,*

12

1

8

1, , (3.69)

при температурной нагрузке при условии, что поле температур в описывается уравнением Лапласа, имеем

.18

1

,21

12

,,,,

*,

xdnXtrXdXtr

nrrn

v

v

XtdXuv

vG

kkikkii

kik

(3.70)

123

После подстановки (3.69) и (3.70) в (3.68) получаем полностью граничное интегральное уравнение для определения векторов перемещений и усилий на границе

.3,1, ,18

1

12

1

8

1

,,

,,,,

,,

**

jixdnXtrXdXtr

nrrn

v

v

Xdnrbv

nrbG

XdXpXuXdXuXpuc

kkikkii

ikkkki

jijjijjij

(3.71)

Для определения компонент перемещений и тензора напряжений на \ используются следующие интегральные соотношения [123, 135]:

tdr

r

v

vdbudupdpuu i

jijjijjiji 3***

14

1; (3.72)

ijTijkijkkijkkijkij tGdbudupdpu

21

12*** , (3.73)

где

3,1,, ,32118

1,,,,,,2

*

kjirrrrrrvrv

u kjiijkjkiikjijk и

ijkjkiikjkjijkiikj

kjijkiikjijkijk

nvnnnrrvnrrnrrv

rrrrrvrvn

r

rv

Gp

413213

521314

,,,,,,

,,,,,,3*

– тензоры,

отвечающие фундаментальному решению Кельвина [123];

tdr

r

r

r

v

GvG

i

j

j

iTij

Tij

,3

,312

12 – тензор напряжений, связанный

с температурной нагрузкой (Приложение Б.9). Выражения (3.72) и (3.73) также сводятся к граничным [123]. При гравитационной нагрузке в (3.73) имеем:

mmnnmmijmmijjikijk rbrbrnv

vnrrbrb

rdbu ,,,,,,

*

1

1

8

1

,212

1,,,

dnbnbvnrnrrb ijjijiijmm

(3.74)

124

а при температурной нагрузке, если поле температур в описывается уравнением Лапласа, то есть 0, jjt , имеем

tdr

rrr

rvGv jiijT

ij 63

3

121

.21

1

321

114

1

,,,

,,,,,2

XdnXtv

rrr

XdXtnrnrrrv

nrrv

vG

kkij

ji

jiijjiij

mm

(3.75)

Для преобразования (3.72) в граничное интегральное выражение используется (3.69), (3.70), а для (3.73) – (3.74), (3.75). Для случая, когда интеграл связанный с температурной нагрузкой невозможно преобразовать в граничный, то есть когда 0, jjt , выполняется интегрирование по [267]

(см. Приложение Б.7). Для дискретизации границ , аналогично 3R задачам теории

потенциала, применяются линейные треугольные граничные элементы (рис. 3.1б), а для дискретизации – тетраэдры. Матрицы коэффициентов влияния являются симметричными и для упрощения процедуры их определения можно использовать следующую методику [267]:

333231

232221

131211

hhh

hhh

hhh

H ,

333231

232221

131211

ggg

ggg

ggg

G , (3.76)

где H и G – матрицы коэффициентов влияния, соответственно, при перемещениях и усилиях на границах тела размером MM 33 ;

M – количество узлов на границе тела; 322331132112 hh,hh,hh

и 322331132112 ,, gggggg . Коэффициенты влияния, которые входят в матрицы (3.76),

определяются аналогично задачам теории потенциала (см. п. 3.1):

K

k

n

jkijkijkikij

zyyxx

vJ

Gvg

1 1222

11

)(z )()(

43

116

1

(3.77)

125

,,1, ,)1()(z )()(

)(21222

2

Mjiwzyyxx

xx

jkijkijki

jki

,,1, ,)(z )()(

)1())((

116

1

1 1222

2112 Mjizyyxx

wyyxxJ

Gvg

K

k

n

jkijkijki

jkijki

kij

(3.78)

K

k

n

jkijkijkikij zyyxx

vJ

vh

1 1222

11

)(z )()(

21

18

1

222

2

)(z )()(

)3(

jkijkijki

jki

zyyxx

xx

,,1, ,)1()(z )()(

)()()(21222

Mjiwzyyxx

nzznyynxx

jkijkijki

zjkiyjkixjki

(3.79)

В формулах (3.77)–(3.80) используются обозначения аналогичные (3.8), (3.9). Остальные коэффициенты (3.76) определяются подобно (3.77)–(3.80).

Диагональные коэффициенты влияния для перемещений при i = j определяются как

M, iHHM

ijj

ijii 31 ,3

1

. (3.81)

При вычислении сингулярных диагональных коэффициентов матрицы G (3.76), например, для первого слагаемого (3.76) используются аналитические зависимости подобные (3.11) (см. Приложение А). При этом

вместо множителя 4

1 в (3.11) записывается – Gv

v

116

43.

Система дискретных уравнений задачи термоупругости при абсолютном контакте между соединенными телами также может быть представлена в векторной форме

BGpHu , (3.82)

где H , G – матрицы коэффициентов влияния для перемещений и усилий на границе тела (3.76), соответственно; T321 ,, uuuu – вектор

перемещений, м; T321 ,, pppp – вектор усилий, Па; B – вектор, включающий гравитационную и температурную нагрузки, определяется аналогично (3.77)–(3.80).

126

Для нахождения компонент тензора напряжений на границе используется специально разработанная методика (Приложение Б.10), построенная на решении системы 9-и линейных уравнений для каждого узла каждого треугольника на для получения производных перемещений по координатам, которые потом подставляются в закон Гука (2.13) для получения ij .

Методика численного решения двумерных задач теории упругости представлена в [267] и в Приложении Б.11.

При наличии контактного взаимодействия с учетом коэффициента сухого трения методика расчетов подобна, предложенной Подгорным А. М. и др. в монографии [134]. Сначала решается задача с абсолютным контактом, то есть предусматривается полное сцепление между контактирующими поверхностями. В результате получают усилия (нормальные напряжения) на границе. Далее производится проверка выполнения условия в каждом узле контактной поверхности

fn , (3.83)

где напряжения n и определяются соотношениями

pn n , Tnp n .

Если (3.83) выполняется, то на поверхности имеет место абсолютный контакт и расчеты заканчиваются. В противном случае имеем место проскальзывание. Тогда в узлах, где не выполняется условие (3.83) принимаются условия

2

fn . (3.84)

и изменяются граничные условия: напряжения стают известными, а нормальные усилия и перемещения остаются неизвестными и решение СЛАУ повторяется при уменьшенном числе неизвестных до выполнения условия (3.83) во всех узлах контактной поверхности. При этом контактное проскальзывание и отрыв определяются с точностью до граничного узла. Аналогичная итерационная процедура используется при решении контактных задач с применением МКЭ [134]. При рассмотрении в зоне контакта только зон с абсолютным контактом и зон с отрывом, то есть без учета коэффициента сухого трения между контактирующими телами алгоритм решения несколько другой (см. Приложение Б.3). Для решения линейных задач теории упругости наибольшее распространение получил МКЭ [134, 140–143]. Система дискретных

127

уравнений МКЭ для задачи термоупругости, полученная путем минимизации функционала полной потенциальной энергии, имеет вид [142]

M

e

M

e

ee fUk1 1

, (3.85)

где M – количество элементов; V

eee dVBDBkT

– матрица

жесткости конечного элемента; B – матрица градиентов, связывающая деформации и перемещения; D – матрица упругих характеристик материала; V – объем конечного элемента; U – вектор узловых перемещений элемента;

S

e

V

ee

V

ee dSpNdVDBdVGNfT

0

TT; eN – матрица

функций формы элемента; G – вектор объемных сил, например,

гравитационных; e0 – начальная деформация элемента, например, связанная

с температурной нагрузкой; p – вектор поверхностной нагрузки на элемент.

При использовании МКЭ для дискретизации 3R также как и для задач теории потенциала, применяются четырех- и шестигранные элементы с 4-я и 8-ю узлами (тетраэдры и гексагедроны, соответственно). Для вычисления коэффициентов системы уравнений (3.85) используется такая же методика, что и для (3.63), (3.64). После решения системы (3.85) при заданных ГУ прямым или итерационным методом с учетом ленточной структуры матрицы [280–282] получаем поле узловых перемещений. Векторы перемещений u , упругих деформаций и упругих напряжений в конечных элементах определяются следующими соотношениями:

UNu , (3.86)

UB , (3.87)

0 D . (3.88)

При учете начальных напряжений вектор напряжений конечного элемента определяется как

00 D , (3.89)

где 0 – вектор начальных напряжений. При решении геометрически нелинейных задач теории упругости,

имеющих место при больших перемещениях, можно воспользоваться методикой описанной в [140].

128

3.3. Задачи термоупругопластичности Для того чтобы исключить вычисление гиперсингулярных интегралов

[123], имеющих место при определении деформаций и напряжений внутри в процессе решения задачи термоупругопластичности с помощью ПМГЭ с использованием начальных напряжений, целесообразно применять комбинированную методику [129], включающую два этапы: на 1-м этапе на основе ПМГЭ решается граничная задача и определяются значения приращений перемещений и усилий во всех граничных узлах, далее с использованием этих данных определяются приращения перемещений внутренних узлов элементов (первое и второе уравнения системы (3.90)), на которые разбита ; на 2-м этапе вычисляются приращения деформаций и напряжений для каждого элемента по методике МКЭ (3, 4, 5-е уравнения системы (3.90)).

Согласно вышеописанной методике решения конечные разрешающие уравнения задачи упругопластичности имеют вид:

,

;

;

;

;

0

0

epep

ee

D

D

uB

SMuHpGu

SMpGuH

или

,

;

;

;

;

0

0

epep

ee

D

D

uB

SMuHpGu

SNxA

(3.90)

где GGHH ,,, – матрицы коэффициентов влияния для приращений перемещений u , u и усилий p , p ; x – вектор неизвестных приращений и усилий на ; M , N – векторы заданных напряжений и усилий на границе , причем в N также учитывается гравитационная и температурная нагрузка;

0S , 0S – члены, связанные с приращениями начальных напряжений; M – вектор, учитывающий гравитационную и температурную нагрузку для узлов в ; , – тензор приращений деформаций; B – матрица градиентов элемента ; e , e – тензор приращений упругих напряжений;

ep , ep – тензор приращений упругопластических напряжений; eD , epD – матрицы упругих и упругопластических свойств, соответственно,

которые представляют собой тензоры 4-го ранга

jkiljiikklijijklijkl Gv

GvCD

21

2 – изотропный тензор упругих

постоянных 4-го порядка;

129

1

kl

ijklij

rpklrpnm

ijmnijklepijkl

epijkl

FC

FHC

FFCCCD ; F – функция

(2.20) – условие текучести материала при изотропном упрочнении; H’ – тангенс угла наклона касательной к кривой, определяющей зависимость напряжения от деформации при одноосном растяжении.

Для решения упругопластической задачи, сформулированной в начальных напряжениях, используется шагово-итерационный алгоритм (Приложение Б.12), который впервые был применен Зенкевичем для МКЭ [140] и далее распространенный на ПМГЭ Бреббия, Телесом [123] и др. Рассмотренная методика является эффективной для разных моделей текучести материалов, например, Мизеса, Дракера-Прагера и др.

3.4. Задачи гидродинамики и конвективного теплообмена

с учетом теплового излучения Как отмечалось в п. 1.3, наиболее эффективным численным методом

решения CFD-задач (computational fluid dynamics) в настоящее время является МКО. В работе универсальная методика численного решения системы уравнений Навье-Стокса, энергии, турбулентной кинетической энергии и скорости ее диссипации для несжимаемой жидкости в приближении k [220] или k [221] моделей построена на алгоритме SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations или полунеявный метод решения уравнений, связывающих давление, впервые предложенный L. S. Caretto, S. V. Patankar, D. B. Spalding [228, 229]) на несмещенных и смещенных структурированных и неструктурированных тетраидальных и гексагедроноидальных сетках [228].

Наиболее близким к МКО методом численного решения задач радиационного теплообмена в излучающей и поглощающей среде является МДО, представленный в работах J. C. Chai, H. S. Lee, S. V. Patankar, J. Y. Murthy, M. Y. Kim, E. H. Chui, G. D. Raithby [234–337, 292, 293] и других авторов. МДО приспособленный для определения радиационного потока в средах с любой оптической толщиной, от теплообмена в диатермической среде до сильно поглощающей среды. МДО также позволяет выполнять расчеты радиационного теплообмена в системах с полупрозрачными стенками и при этом учитывать: рассеяние, селективность и анизотропию оптических свойств системы.

Численные методики, основывающиеся на этих методах детально рассмотрены в монографии [316], авторами которой являются специалисты НИЦ «Ресурсосберегающие технологии».

130

3.5. Методика расчета энергетического баланса алюминиевого электролизера при температуре окружающей среды

Основными показателями, определяющими энергетическую эффективность работы алюминиевого электролизера (см. п. 1.1.2), являются выход по току и удельный расход электроэнергии. Мощным инструментом анализа энергетического состояния алюминиевых электролизеров был и остается их энергетический баланс. Поэтому на практике проектирования новых и модернизации действующих агрегатов широкое применение получили энергетические балансы электролизеров, позволяющие оценивать как энергетическую эффективность ванн в целом, так и отдельных его статей и определять резервы и пути снижения УРЭ и повышения выхода по току. Другими словами можно сказать, что теоретический баланс является энергетическим паспортом алюминиевого электролизера.

Классическая методика составления или расчета энергобалансов электролизеров СА и ОА при температуре процесса и окружающей среды (рис. 3.4) достаточно полно представлена в [1, 2]. К основным недостаткам классической методики можно отнести: необходимость проведения экспериментов на действующих электролизерах и невозможность ее применения к проектируемым электролизерам. Использование численного моделирования трехмерных физических полей в алюминиевых электролизерах (см. п. 2.1, 3.1) вместо выполнения натурного эксперимента в сочетании с элементами классической методики позволяет устранить вышеотмеченные недостатки и выполнять расчеты энергобалансов электролизеров на стадии их проектирования. При этом для определения полей электрического потенциала и температуры можно применять несвязанную постановку задач типа (3.2)–(3.9).

Методика расчета электробаланса представлена в [255, 258, 260]. При решении несвязанной задачи с учетом контактного взаимодействия исходным параметром для расчета поля электрического потенциала электролизера является длина настыли, а для расчета поля температур – падение электрического напряжения в анодном узле и подине, омическое падение напряжения в электролите. Таким образом теплоэлектрические поля электролизера находятся методом последовательных приближений. Критерием сходимости при этом является или длина настыли под проекцией анода, или величина ее изменения, которая определяется из решения тепловой задачи.

После расчета поля электрического потенциала электролизера определяется падение электрического напряжения на отдельных его элементах. Сначала находится средний потенциал на соответствующих поверхностях элементов электролизера как средняя интегральная величина.

131

Рис. 3.4. Структурная схема энергобаланса при температуре окружающей среды электролизера ОА

Далее рассчитывается падение напряжения в элементах конструкции

электролизера как разница между средними значениями потенциалов соответствующих поверхностей: uпод, uан, uом МПЗ и падение напряжения в ошиновке электролизера

uош = umax – uан – uом МПЗ – uпод, (3.91)

где umax – максимальное значение рассчитанного электрического потенциала, В; uан – падение напряжение в аноде, В; uом МПЗ – омическое падение напряжения в МПЗ, В; uпод – падение напряжения в подине (катоде), В. Расчет падения электрического напряжения в МПЗ от электрохимических реакций разложения Al2O3 проходит в несколько этапов. Сначала определяется производительность электролизера при выходе по току т = 100%

10003600Al

I

M , (3.92)

где = 0,3354 г/(Aч) – электрохимический эквивалент получения алюминия; I – сила тока на электролизере, А. Далее определяется теплота сгорания анода (В)

I

MМE COСО2зг.ан

88009300 , (3.93)

132

где СО2М , СОМ – массовые расходы СО2 и СО, соответственно, кг/с. Потом определяется энтальпия ( pH , кДж/моль) или тепловой эффект

реакции разложения глинозема на инертном аноде [2] при температуре электролиза:

Al2O3 2Al+1,5O2, Al2O3O2Alp HHHH .

Далее энтальпия реакции пересчитывается в электрическое напряжение

nFHE /pAl2O3 , (3.94)

где n – число электронов, берущих участие в реакции; F = =96485,3 Кл/моль – число Фарадея. Напряжение электрохимической реакции при выходе по току 100 % определяется как

сг.анAl2O3эл.хим EEu . (3.95)

Величина uэл.хим прибавляется к омическому падению напряжения в электролите. В результате получаем падение напряжения в электролите

uэл = uом МПЗ + uэл.хим. (3.96)

При выходе по току < 100 % часть uэл.хим переходит в омическое падение напряжения в электролите. В последнюю очередь вычисляется рабочее напряжение (up, В) на электролизере

up = uан + uэл + uпод + uош. (3.97)

С использованием численного решения по элементам рассчитываются следующие параметры тока в электролизере: на торцах блюмсов и анодных штангах определяется распределение результирующих значений sumsum , Ij ; на подошве анода – распределения составляющих векторов плотности и силы тока sumsumzzyyxx , ;, ;, ;, IjIjIjIj . Также определяется суммарный ток через

электролизер в разных сечениях (например, подошвы анода, блюмсов, анодных штанг).

Вышеописанная методика рассчитана для выполнения расчетов полей электрического потенциала электролизеров разных типов при изменении длины подовой настыли, МПЗ, размеров катодных секций и их материалов, размеров бортовых блоков, технологических параметров эксплуатации и т.д. При этом выполняются расчеты электробаланса электролизера, распределений электрического тока и его плотности на анодных штангах, на подошве анода и на торцах блюмсов. Также вычисляются значения горизонтальных

133

составляющих тока и суммарный ток по элементам конструкции электролизера.

Методика расчета энергобаланса при температуре окружающей среды описана в трудах [255, 258, 260]. На первом этапе выполняется расчет плотности внутренних источников теплоты по данным электробаланса:

подподпод v /VIuq , ананан v /VIuq ,

где под vq , ан vq – объемная плотность внутренних источников теплоты

подины и анодного узла, соответственно, Вт/м3; подV , анV – объемы подины и

анодного узла, соответственно, м3. Затем определяется падение напряжения в МПЗ ( МПЗu , В), которое

расходуется на теплопотери

от.газAlTэл.химаэМПЗ омМПЗ 100/1 uuuuuu . (3.98)

Слагаемые (3.98) включают: омическое падение напряжения в МПЗ

под.анан.ф

МПЗМПЗ ом

1

Sf

hu

, (3.99)

где МПЗh – межполюсный зазор, м; ан.фf – коэффициент раскрытия анода

(или фактор увеличения площади подошвы анода); под.анS – площадь подошвы

анода, м2. падение напряжения от анодных эффектов

1440/аэаэpаэаэ vuuu , (3.100)

где аэu – напряжение АЭ, В; аэv – частота АЭ, ед./сут; аэ – длительность АЭ, мин; 1140 – количество минут в сутках.

потери падения напряжения с вылитым алюминием с учетом выхода по току

100

66018,140066004,1 ТэлвAlAl

I

ttMu , (3.101)

где вt – температура окружающего воздуха, С; элt – температура

электролита, С. – потери падения напряжения с отходящими газами с учетом выхода по

току

134

100

05,186,0 Твотх.газCOвотх.газCO2отх.газ

I

ttMttMu , (3.102)

где отх.газt – температура отходящих газов, С. Тогда внутренний источник теплоты в МПЗ (в электролите)

определяется как

МПЗМПЗ oмМПЗ v /VIuq ,

где МПЗV – объем электролита под подошвами анодов, м3. Напряжение от сгорания анодов с учетом выхода по току

100

88009300 ТCOСО2сг.ан

I

MМu . (3.103)

Греющее напряжение на электролизере

поданэлэл.химМПЗ омгр uuuuuu . (3.104)

Рабочее напряжение на электролизере

ошподанодэл.химМПЗ омр uuuuuu , (3.105)

где ошu – падение напряжения в ошиновке электролизера, В. Среднее напряжение на электролизере

сер ош.грср uuu , (3.106)

где сер ош.u – падение напряжения в ошиновке серии, В.

Удельный расход электроэнергии

1000

100Т

српит

uw .

Суточная производительность электролизера

241000Al

IM

.

На втором этапе выполняется итерационный расчет температурного поля (п. 3.1). Критерием окончания расчета является выполнение условия

Mitt ki

ki ,1,t

1 ,

135

где k – номер итерации; t – абсолютная погрешность расчета поля

температур, С; М – количество узлов. После расчета температурного поля определяются параметры ФРП

и температура электролита в пространстве борт-анод на продольной и поперечной сторонах. На третьем этапе производятся расчеты тепловых потерь. При расчетах теплопотерь энергетический контур электролизера ограничивается со стороны катода блюмсами, а со стороны анодного массива – анодными траверсами для электролизеров ОА (штырями для электролизеров СА). Внешние поверхности катодного узла подразделяются на следующие зоны: днище; нижний пояс уровень до блюмсов; средний пояс уровень подового блока по его толщине; верхний пояс уровень расплавов. Внешние поверхности анодного узла подразделяются на следующие зоны: глиноземная засыпка; анодные ниппеля и траверсы для ОА (верх и боковые поверхности анода и анодные штыри для СА). На отмеченных поверхностях зон вычисляются средние значения температуры и тепловых потоков.

В приходные статьи баланса при температуре окружающей среды входят: теплота от сгорания угольного анода ( сг.анu , В), ( сг.анu I, кВт); теплота от подведенной электроэнергии ( грu , В), ( грu I, кВт).

В расходные статьи баланса при температуре окружающей среды

входят: электрохимический процесс (100

TAl2O3

E , В), (

1000100T

Al2O3I

E

, кВт);

теплопотери с вылитым металлом ( Alu , В), ( Alu1000

I, кВт); теплопотери

с отходящими газами ( отх.газu , В), ( отх.газu1000

I, кВт);

теплопотери анодного и катодного узлов

поданМПЗ uuu , В, поданМПЗ uuu 1000

I , кВт.

136

3.6. Реализация эффективных методик решения краевых задач в программном обеспечении

3.6.1. Программное обеспечение для численного анализа

физических полей В этом параграфе приведено описание численной реализации

эффективных методик решения краевых контактных задач теории потенциала и теплопроводности, механики твердого тела и гидродинамики жидкости.

В основу архитектуры проекта, построенного на ПМГЭ, положено принцип деления задачи на ряд более простых, описание которых возможно свести в классы, создание от них соответствующих объектов и разбивка выполнения методов классов на разные потоки. Такой подход дает возможность с максимальной отдачей использовать многопроцессорные вычислительные системы для решения сложных научно-технических задач. В состав разработанного ПО входят следующие модули: модуль ведения исходных данных и предварительного просмотра конструкций – Препроцессор (Preprocessor); модуль Решатель (Solver) – решение задач математической физики (см. главы 2, 3); открытое ПО для визуализации результатов расчетов – Вьювер (Viewer).

Модуль ввода исходных данных и предварительного просмотра конструкций, разработан в среде Visual C++ с использованием DirectX For Windows, MFC классов и лексического анализатора BISON.

Ввод данных осуществляется загрузкой текстового файла конструкции (или специального файла-задания), для описания которой используется внутренний, упрощенный С-подобный язык программирования высокого уровня (Приложение Б.13), позволяющий значительно упростить процесс создания новых элементов (конструкций). Дальнейшее изменение конструкции, ее корректировка в пределах изменения заданных при описании параметров, осуществляется в самой программе. Модуль имеет интуитивно-понятный, многооконный интерфейс. Для предварительного просмотра данных используется плоскостная запись 3D объекта. Просмотр можно выполнять в каркасном или твердотельном виде и т.д. На выходе из модуля получают конкретизированный файл-задания для модуля Solver (см. Приложение Б.13).

На основе предложенных оригинальных методик и классического МГЭ разработан универсальный Solver – ПО для решения задач математической физики в трехмерных телах сложной формы (см. главы 2, 3). При разработке данного программного модуля использованы принципы структурного программирования, реализованные в ПО с помощью языка программирования С++. Например, ПО для решения задачи НДС при температурной нагрузке

137

содержит следующие составляющие: модуль лингвистического анализа конкретизированного файла-задания и разделения его на два файла-задания: для тепловой задачи и задачи механики, соответственно; модуль расчета температурных полей, градиентов температур и плотности тепловых потоков как на границах тела, так и внутри него; модуль расчета перемещений, деформаций и напряжений как на границах тела, так и внутри него.

Файлы заданий содержат специально разработанные ключевые слова, которые определяют: подобласти с указанием их имен и физических свойств; геометрические характеристики; начальные и граничные условия; условия проведения расчетов; переменные (см. Приложение Б.13). Файл-задания для тепловой задачи обычно содержит все элементы конструкций, а для задачи механики – только те элементы (твердые тела), в которых необходимо провести расчеты деформаций и напряжений. Прототипом для создания данной разработки является программный продукт “Электролиз” представленный в [160]. Описание ПО, разработанного на основе ПМГЭ, и результаты расчетов с его использованием представлены в работах [160, 161, 239, 244, 252–257, 259, 260, 263–267, 277–279, 283–287]. Примеры твердотельных моделей и их дискретизации, построенных с помощью ПО на основе ПМГЭ, приведены на рис. 3.5, 3.6.

ПО, построенное на методах МКЭ, МКО и МДО, также включает: Preprocessor, Solver и Viewer. В качестве препроцессорной части для построения сложных объектов применяются известные CAD – системы, в которых строится твердотельная модель, далее модель экспортируется в mesh-генератор (например, Open Source Software – GTS, ENGRID, NETGEN), после чего дискретная модель записывается в виде текстового файла. Solver – это ПО авторской разработки, код которого написан на языке высокого уровня Fortran (90, 95) с использованием опций для организации параллельных вычислений.

В Solvere выполняется чтение текстового файла записанной дискретной модели, присоединение необходимых начальных и граничных условий, определяется задание на расчет, выполняется решение задачи согласно разработанных алгоритмов решения задач математической физики (см. главы 2, 3) и записываются результаты расчетов в виде текстового файла в формате выбранного Viewer. В качестве Viewer используется любой из известных, например, Open Source Software – OpenDX или Tecplot.

Описание ПО, разработанного на основе МКЭ, МКО, МДО и результатов расчетов с его применением представлено в работах [239, 246, 261, 270–275, 291, 294]. Примеры твердотельных моделей и их дискретизация, которые разработаны на основе МКЭ, приведены на рис. 3.7–3.9.

138

а б

в г

Рис. 3.5. Твердотельные модели электролизера ОА-105 и их дискретизация при использовании ПМГЭ:

а, б – модель электрического состояния; в, г – модель теплового состояния; б – nodN 18672 – количество граничных узлов и elN 20901 – количество граничных

треугольных элементов; г – nodN 28389 и elN 27881

а б Рис. 3.6. Твердотельные модели и их дискретизация при использовании ПМГЭ: а, б – модель теплоэлектрического и механического состояния печи Кастнера

(прямоточного нагревания заготовок); б – nodN 14646 – количество граничных узлов

и elN 13011 – количество граничных треугольных элементов

139

Представленное ПО и разработанные на его основе численные модели ТЭМ состояния прошли тестирование на известных аналитических и численных решениях и верификацию по данным натурных экспериментов, полученных на действующих алюминиевых электролизерах и печах графитирования (см. Приложение В). Проведены исследования сходимости численных решений путем варьирования степенью их дискретизации.

а б

в г

Рис. 3.7. Твердотельные модели алюминиевого электролизера С-130 со шпангоутным катодным кожухом и их дискретизация при использовании МКЭ:

а, б – модель электрического состояния ( nodN 33233 и elN 131851); в, г – модель

теплового и механического состояния ( nodN 93183 и elN 364412)

140

а б

в г

Рис. 3.8. Твердотельные модели алюминиевого электролизера ОА-320 с каркасно-шпангоутным катодным кожухом и их дискретизация при использовании МКЭ:

а, б – модель электрического состояния ( nodN 33069 и elN 145733); в, г – модель

теплового и механического состояния ( nodN 43305 и elN 191975)

3.6.2. Программное обеспечение для априорной оценки

активного сопротивления керна печи графитирования Ачесона Из опыта работы специалистов НИЦ «РТ» на ОАО «Укрграфит»

известно, что достаточно часто кампании графитирования характеризуются значительной неравномерностью температурного поля по высоте керна. Этот перепад температур можно существенно уменьшить, применяя комбинированную пересыпку рядов керна путем применения разных по толщине керна слоев сырого, графитированного кокса и его смесей.

141

а б

б г

Рис. 3.9. Твердотельные модели печей графитирования и их дискретизация при использовании МКЭ:

а, б – модель теплоэлектрического и механического состояния печи Ачесона ( nodN 39141 и elN 207472); в, г – модель теплоэлектрического и механического

состояния печи Кастнера ( nodN 7086 и elN 5278)

Для проверки целесообразности изменения пересыпки керна

необходимо провести предварительную оценку электрических сопротивлений его рядов. Наиболее точно такую оценку можно провести с помощью трехмерной численной модели теплоэлектрического состояния печей графитирования (см. п. 3.6.1). Однако, выполнение таких расчетов является далеко непростой задачей, требует профессиональных навыков проведения расчетных робот и значительных затрат времени. С целью упрощения решения такой важной для производства задачи, как априорное определение электрического сопротивления рядов керна в зависимости от способа его пересыпки, этап подбора рациональной толщины слоев было решено автоматизировать. Для чего была разработана упрощенная методика

142

определения электрических параметров керна, которая основывается на свойствах параллельных проводников, и на ее основе разработано специализированное ПО, рассчитанное на использование технологами предприятий (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Внешний вид ПО для предварительного определения электрического сопротивления рядов керна

Данное специализированное ПО позволяет рассчитывать электрическое

сопротивление рядов керна с одно или двухслойной пересыпкой, а также определять объем необходимого пересыпочного материала. Рассчитанный объем необходимого пересыпочного материала несложно пересчитать в количество грейферов материала, который подается для формирования ряда, что значительно упрощает изменение технологической карты завалки печи в условиях производства.

Рассмотрим некоторые особенности формирования керна печи с помощью разработанного ПО, которые необходимо учитывать при оптимизации действующей завалки керна печи:

143

– известно, что рациональным расположением ниппельной подгрузки является 2–3 ряд керна. Однако, при этом необходимо учитывать, что расположение ниппелей во 2-м ряде керна приводит к снижению температуры нижнего ряда керна. Это происходит за счет того, что потери теплоты с нижнего ряда осуществляются не только в подинную теплоизоляцию, но и через ряд ниппельной подгрузки, который расположен выше, потому что ряд ниппельной подгрузки чаще всего имеет значительно большее электрическое сопротивление и, соответственно, меньшую электрическую и тепловую нагрузку, по сравнению с нижним рядом. Из данных экспериментальных исследований известны случаи, когда при формировании 2-го ряда керна из ниппелей малого диаметра и небольшой высоте керна, начиная с середины кампаний, верхний ряд по уровню температур догонял и даже опережал нижний ряд. В случае подобных схем при формировании керна, электрическое сопротивление верхнего ряда необходимо подбирать таким образом, чтобы его электрическое сопротивление было большим на 10–20 % по сравнению с нижним рядом;

– из опыта практической работы специалистов НИЦ «РТ» известно, что значительное влияние на электрическое сопротивление ряда керна оказывает степень уплотнения материала керновой пересыпки. Недостаточное уплотнение сыпучего материала в торцевой зоне заготовок приводит к незапланированному увеличению электрического сопротивления ряда керна и повышению перепада температур по длине заготовок в процессе их графитирования, что крайне негативно отражается на показателях качества готовой продукции. Потому при загрузке печи необходимо в обязательном порядке выполнять уплотнение материала керновой пересыпки по всей длине заготовок.

3.7. Выводы Согласно проведенных исследований и разработок можно

сформулировать следующие выводы: 1. Разработан комплекс эффективных численных методик решения

стационарных и нестационарных, линейных и нелинейных задач теории поля и механики сплошной среды с учетом радиационного и конвективного теплообмена, контактного взаимодействия между соединенными телами, которые являются необходимыми для определения ТЭМ состояния высокотемпературных агрегатов цветной металлургии и производства графитированной продукции.

2. Развиты теоретические основы МГЭ в прямой формулировке для решения линейных и нелинейных задач теории потенциала и теплопроводности и термоупругопластичности с учетом сложного теплообмена, фазовых

144

преобразований и контактного взаимодействия между сочлененными телами с использованием подстановки Кирхгофа и итерационных алгоритмов (см. п. 3.1, 3.2, Приложение А, Б).

3. Получены аналитические зависимости для определения сингулярных коэффициентов влияния для задач теории потенциала и теплопроводности при использовании ПМГЭ с треугольными линейными граничными элементами (см. Приложение А).

4. Сформулированы соотношения ПМГЭ при использовании граничных треугольных линейных элементов для определения: компонент плотности потока на границе тела для задач теории потенциала; компонент напряжений на границе тела для задач теории статической термоупругости (см. Приложение Б.10).

5. На основе прямого и обратного преобразований Кирхгофа получены соотношения для решения сильно нелинейной стационарной задачи типа Стефана в обобщенной постановке при использовании ПМГЭ (см. Приложение Б.4).

6. С применением векторного анализа сформулированы соотношения для определения прямой видимости между поверхностями диатермической полости для задач радиационного теплообмена при ПМГЭ с треугольными граничными элементами (см. Приложение Б.6).

7. Для решения сильно нелинейной стационарной задачи типа Стефана в обобщенной постановке с помощью МКЭ (см. систему (3.65)), которая имеет место при моделировании теплообмена в алюминиевых электролизерах, разработана комбинированная методика с использованием прямой подстановки Кирхгофа, аналитических соотношений для определения средней интегральной теплопроводности и ее производной по температуре и линеаризации по методу Ньютона.

8. Развиты методы и алгоритмы расчета теоретических энергобалансов при температуре окружающей среды алюминиевых электролизеров СА и ОА различной мощности.

9. Вышерассмотренные методики численного решения краевых задач сначала отрабатывались на 2R -задачах (например, см. Приложение Б.11), включая и осесимметричные, а потом были трансформированы на 3R -задачи.

10. Разработано ПО и комплекс численных моделей для моделирования теплоэлектрического и механического состояния высокотемпературных агрегатов цветной металлургии и производства электродной продукции.

11. Разработано специализированное ПО для априорной оценки активного сопротивления керна печи графитирования Ачесона для оптимизации действующей завалки керна печи, рассчитанное на использование технологами предприятий. Проверка разработанной методики и ПО в промышленных условиях показали удовлетворительное согласование с фактическими данными ОАО «Укрграфит». Максимальная разница между

145

рассчитанными и фактическими данными не превышает 20 %, а в среднем составляет около 3–4 %.

12. Проведено тестирование разработанного ПО на известных аналитических и численных решениях и выполнены исследования сходимости численных решений путем варьирования степенью дискретизации численных моделей (см. Приложение В).

13. Проведена верификация разработанных численных моделей ТЭМ состояния по данным натурных экспериментов, полученных на действующих алюминиевых электролизерах и печах графитирования (см. Приложение В).

146

4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРНО–ТЕПЛОВЫХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПРОМЫШЛЕННЫХ

АГРЕГАТОВ

Экспериментальные данные по температурно-тепловым полям и электрическим параметрам, которые получены на промышленных установках, в дальнейшем используются:

для определения уровня температур на разных стадиях технологического процесса, характеристик внешнего теплообмена и тепловых потерь в окружающую среду, составления энергетических балансов и определения резервов для снижения УРЭ;

для задания корректных граничных условий при проведении численного моделирования;

при проведении верификации численных моделей физических процессов промышленных агрегатов.

4.1. Методическое и аппаратно-программное обеспечение натурных экспериментов

В научно-исследовательском центре «Ресурсосберегающие технологии»

(НИЦ «РТ») для выполнения измерений температур в высокотемпературных промышленных агрегатах разработано комплексную многоуровневую методику исследований [54, 160, 161, 201, 238, 239]:

до 1200 С – 1-й уровень. Термопары хромель–алюмелевые (ТХА) [204], термопоинт производства фирмы Agema TPT 62;

до 1800 С – 2-й уровень. Термопары (ВР 5/20) [204]; до 2500 С – 3-й уровень. Оптические пирометры [161, 240] («Проминь

М І, М ІІ»). Непрямой способ измерения с помощью специального измерительного блока с термопарным зондом [241];

выше 2500 С – 4-й уровень. Численное моделирование с использованием моделей, которые прошли верификацию на данных натурных экспериментов, полученных при температурах меньших чем 2500 С.

Для определения плотности тепловых потоков на промышленных установках в интервале температур до 350 С применяются датчики типа ПТП-04 производства Института технической теплофизики НАН Украины.

Для измерения скорости воздушных потоков и отходящих газов и их температуры применяется термоанемометр TSI VelociCalc Plus 8388-M-GB и анемометр АСО–3.

Для автоматизации проведения экспериментальных исследований применяется специальный измерительный комплекс разработки НИЦ «РТ» [238].

147

Схемы термодатчиков с применением ХА и ВР термопар представлены на рис. 4.1–4.3. Схему установки визирной трубы для проведения измерений температуры внутри печи графитирования с помощью пирометра показано на рис. 4.4, а схему непрямого измерения – на рис. 4.5.

Рис. 4.1. Конструкция ХА термозонда на 2 термопары: 1 – чехол с нержавеющей стали; 2 – рукав с кремнийорганической резины; 3 – окись магния; 4 – пробка из окиси магния и высокотемпературного клея; 5 – горячие спаи

в алундовой одноканальной соломке; 6 – электроды термопар в муллитокремнеземной оплетке; 7 – внешние электроды во фторопластовой изоляции

Рис. 4.2. Термопарный щуп (в сборе) для измерения температуры расплава электролита

Рис. 4.3. Конструкция ВР термозонда на 2 термопары: 1 – керамический чехол МКРЦ; 2 – рукав из муллитокремнеземной ткани; 3 – нитрид бора

или окись магния; 4 – пробка из окиси магния и высокотемпературного клея; 5 – высокотемпературная вата; 6 – бумага; 7 – горячие спаи; 8 – двухканальная алундовая

соломка; 9 – внешние концы термопар во фторопластовой изоляции

148

Рис. 4.4. Схема установки визирной трубы (патент Украины 2781 [205]):

1 – визирная графитовая труба; 2 – крышка; 3 – кварцевое стекло; 4 – штуцер для подачи инертного газа; 5 – выпускной клапан; 6 – яркостный пирометр; 7 – заготовка; 8 – керновая

пересыпка; 9 – деревянный щит; 10 – теплоизоляция; 11 – боковая стенка печи; 12 – воздушный канал

Рис. 4.5. Схема непрямого измерения температуры торца заготовки: 1 – графитовый цилиндр с осевым отверстием – измерительный блок; 2 – термопарный зонд; 3 – заготовка; 4 –теплоизоляция; 5 – боковая стенка печи; 6 – деревянный щит

Измерительный комплекс [238] (рис. 4.6), разработанный в НИЦ «РТ»,

основывается на модулях сбора данных I-7018 производства компании ICP_DAS, которые позволяют проводить сбор данных с 8-и отдельных аналоговых входов и датчика температуры (расположенного около контактных площадок модуля) с частотой измерений до 10 Гц. Модуль I-7018 имеет гальваническую развязку до 3000 В и обеспечивает передачу цифровых данных по полудуплексному многоточечному последовательному интерфейсу RS-485 на расстояние до 1 км (среда передачи – витая пара). Количество модулей в одной сети может достигать 254 шт. В комплексе данные с I-7018 после преобразования в последовательный интерфейс RS-232 подаются на последовательный порт персонального компьютера. Преобразование интерфейсов RS-485↔RS-232 выполняется модулем преобразования I-7520 (ICP_DAS), который также имеет гальваническую развязку до 3000 В. После входа на последовательный порт

149

персонального компьютера данные считываются и обрабатываются специальным ПО (разработки НИЦ «РТ»), которые имеют следующие возможности:

– тестирование и формирование сети модулей сбора данных; – выбор частоты опроса модулей (до 1Гц); – выбор типа датчика (ХА, ВР, ПТП-04, напряжение) для каждого входа

модуля; – сохранение данных на внешнем или внутреннем носителях

с возможностью задания частоты сохранения; – отображение данных на экране дисплея в численном и графическом

виде в режиме реального времени.

Рис. 4.6. Схема измерительного комплекса

Оценка погрешности измерений температур представленными средствами приведена в Приложении Д и в статье [242].

Схемы промышленных агрегатов, на которых проводились измерения температурно-тепловых и электрических параметров с помощью представленного аппаратно-программного обеспечения натурных экспериментов приведены на рис. 1.1–1.6, 1.12.

4.2. Экспериментальные исследования алюминиевых

электролизеров 4.2.1. Данные энерготехнологических параметров

эксплуатации электролизеров разной мощности Энерготехнологические параметры эксплуатации алюминиевых

электролизеров необходимы для текущего контроля их энергетической эффективности, составления энергетических балансов, оценки пригодности для дальнейшей эксплуатации, задания граничных условий при проведении математического моделирования физических полей и их верификации и т.д.

150

На алюминиевых заводах СНГ эксплуатируются алюминиевые электролизеры различных конструкций и мощности. Так, например: на Запорожском производственном алюминиевом комбинате (ЗАлК), Кандалакшском (КАЗ), Богословском алюминиевых заводах (БАЗ) и других в производственном цикле задействованы алюминиевые электролизеры СА малой мощности с БТ (см. рис. 1.1) [1, 2, 160]; на Волгоградском (ВгАЗ), Братском (БрАЗ), Красноярском алюминиевых заводах (КрАЗ) и других – алюминиевые электролизеры СА средней мощности с ВТ (см. рис. 1.2); на Саяногорском (СаАЗ) и Уральском алюминиевых заводах введены в эксплуатацию электролизеры ОА большой мощности (см. рис. 1.3). Все эти заводы на данный момент принадлежат к одной мегакомпании ОК РУСАЛ.

Перечень основных энерготехнологических параметров алюминиевых электролизеров и экспериментальных данных, которые контролируются во время их штатной или опытной эксплуатации, включают:

– технологические параметры: рабочее напряжение; сила тока серии; падение напряжения в (аноде, катоде, ошиновке электролизера и электролизной серии); уровни металла и электролита; межполюсный зазор (МПЗ); состав электролита (CaF2%, MgF2%, криолитовое отношение (КО)); выход по току; удельные расходы (электроэнергии, фторида алюминия, криолита, анода и анода от окисления); содержание Na2O в глиноземе; анодные эффекты (АЭ) (частота, средняя длительность и напряжение); форма рабочего пространства (ФРП) (толщина гарнисажа и длина настыли); высота столба анода; конус спекания анода (на оси и периферии);

– мониторинг температур: электролита; воздуха в корпусе или в шинных каналах: на уровнях нижнего, среднего и верхнего поясов жесткости катодного кожуха; на поверхностях катодного кожуха (днище, боковые стороны – лицо и тыл, торцы – входной и выходной) и др.

Усредненные данные по энерготехнологическим параметрам алюминиевых электролизеров ЗАлК приведены в табл. 4.1, ВгАЗ – в табл. 4.2, ВгАЗ и УАЗ – в табл. 4.3.

Таблица 4.1

Средние значения технологических параметров эксплуатации действующих алюминиевых электролизеров ЗАлК

Параметр Опытные электролизерыЭлектролизеры-

свидетели

1 2 3

Средний срок эксплуатации, мес 3,1 12,8

Рабочее напряжение, В 4,75 4,77

Падение напряжения в катоде, мВ 350 449

151

Продолжение таблицы 4.1

1 2 3 Падение напряжения в аноде, мВ 347 347 Уровни: – металла, см – электролита, см

26 16

32,2 15,8

Температура электролита, С 952 960 ФРП, см: высота настыли на продольной стороне: – 10 см от бортовой футеровки (б/ф) – посредине – 5 см от анода

29,5 26,0 22,8

35,9 26,4 22,2

высота настыли на торцевой стороне: – 10 см от б/ф – 5 см от анода толщина гарнисажа на высоте 33 см от поверхности борта: – на продольной стороне – на торцевой

17,5 20,0

10,0 1,0

27,9 22,8

6,4 -0,7

Длина настыли под проекцией анода, см – на продольной стороне – на торцевой стороне

29,3 24,0

43,1 45,3

Состав электролита: – CaF2, % – MgF2, % – КО

7,0 2,3 2,68

6,7 1,4 2,69

Температура футеровки, С: – под слоем огнеупора – между 1 и 2 рядами теплоизолятора – на днище – под днищем

857 586 182 96

– –

265 163

Сила тока серии, кА 69,360 69,360 Выход по току, % 89,36 89,36 Содержание Na2O в глиноземе, % 0,31 0,31 Удельные расходы, кг/т: – фторида алюминия – криолита – анодной массы

21,54 27,53 519,22

21,54 27,53 519,22

Анодные эффекты: – частота, 1/сут – средняя длительность, мин – напряжение, В

0,419 2,9 36,3

0,419 2,9 36,3

УРЭ, кВтч/т

15 632

16 032

152

Таблица 4.2 Средние значения технологических параметров эксплуатации алюминиевого

электролизеров 2-й серии ВгАЗ Название параметра Рамный катодный

кожух Шпангоутный катодный кожух

1 2 3 Сила тока серии, кА 136164 136165 Рабочее напряжение, В 4,443 4,456 Падение напряжения в аноде, В 529,6 531,7 Падение напряжения в катоде, В 434,2 397,9 Падение напряжения в ошиновке, В 0,380 0,380 МПЗ, мм 53 54 Уровень металла, см 50,2 44,0 Уровень электролита, см 16,3 16,7 Температура электролита, ºС 950,3 952,2 Толщина гарнисажа, см 0 0 Длина настыли, см 110 110 Высота столба анода, см 163,6 163,7 Конус спекания анода на оси, см 123,8 123,9 Конус спекания анода на периф., см 100,0 100,0 CaF2 ,% 8,29 8,20 MgF2, % 0,50 0,50 LiF, % – – КО 2,20 2,23 Выход по току, % 90,5 91,4 УРЭ, кВтч/т Al 14723,2 14589,0 Удельные расходы:

– фторида алюминия, кг/т Al; – криолита, кг/т Al; – анодной массы, кг/т Al

35 0

537

35 0

537 Частота АЭ, 1/сут 0,89 1,41 Средняя длительность АЭ, мин 2:03 2:04 Напряжение АЭ, В 30,11 30,83

Таблица 4.3

Средние значения технологических параметров эксплуатации алюминиевых электролизеров типов С8-БМ (ВгАЗ) и ОА-300М1 (УАЗ)

Название параметра Тип – С8-БМ

Тип – ОА-300М1

1 2 3 Сила тока серии, кА 158,5 303 Рабочее напряжение, В 4,450 4,271 Падение напряжения: – в аноде, В – в катоде, В – в ошиновке электролизера, В

0,520 0,400 0,380

0,451 0,231 0,246

153

Продолжение таблицы 4.3 1 2 3

– в ошиновке серии, В 0,020 ~0,010 МПЗ, см 6,0 5,0 Уровни: – металла, см – электролита, см

50,0 16,5

18,0 20,0

Температура электролита, С 950,0 957,0 ФРП; – толщина гарнисажа, см – длина настыли/под проекц. анода, см

6

148/80

8-10

– /5-10

Высота столба анода, см 165 – Конус спекания анода: – на оси, см – периферии, см

125,0 85,0

– –

Состав электролита: – CaF2%, – MgF2%, – LiF%,

8,2 0,8 –

7,25 0,75 0,5

– криолитовое отношение 2,18 2,33 Выход по току, % 90,0 94,0 УРЭ, кВтч/т Al

15400,0

–

Удельные расходы: – фторида алюминия, кг/т Al – вторичного криолита, кг/т Al – анодной массы, кг/т Al – анодов, кг/т Al

35,0 44

535,0 -

22,0 7,0 –

535,0 Анодные эффекты: – частота, 1/сут – средняя длительность, мин – напряжение, В

0,8 2,1 28,7

0,0333

2,5 30,0

Анализ представленных данных по энерготехнологических параметрам алюминиевых электролизеров, например, ЗАлК показывает, что:

– высокие уровни металла (более 30 см в базовой конструкции) приводят к возникновению длинных настылей, которые заходят далеко под проекцию анода (на 43–45см); при этом периферийные торцевые катодные секции полностью закрыты настылью;

– гарнисаж на торцевых стенках очень тонкий или практически отсутствует;

– высокое значение падения напряжения в подине (до 450 мВ), что может быть также связано с ФРП и осадком;

– слишком большие значения УРЭ более 16 000 кВтч/т.

154

4.2.2. Температурный режим катодного узла при пламенном обжиге и пусковом периоде

На срок эксплуатации катодного устройства и алюминиевого электролизера в целом влияет как его конструкция и используемые футеровочные материалы, так и качество монтажа, обжига и пуска, а также эксплуатационные режимы. Из литературных источников [3, 161] известно, что вклад в срок службы электролизера от качества термической обработки подины во время ее обжига составляет примерно 25 %.

Пламенный обжиг катодов имеет определенные преимущества над другими видами обжига по управляемости процессом и достижении уровня температур подины близкого к рабочему значению, что обеспечивает мягкий пуск электролизера [3, 161]. Поэтому именно этот вид обжига получил широкое применение в мировой практике подготовки катодных устройств к эксплуатации.

Энергоаудит пламенного обжига алюминиевого электролизера СА БТ (КАЗ). Пламенный обжиг на жидком топливе проводится автоматизированной установкой фирмы HOTWORK (UK). Схема измерений температур в катоде электролизера БТ на силу тока 80 кА при его обжиге, а также в пусковой и эксплуатационный периоды представлена на рис. 4.7. В измерительной схеме используются 9 темозондов (то есть чехлов из нержавеющей стали 8 мм (см. рис. 4.1), в которых размещаются по 3 термопары ХА разной длины, всего 27 термопар). Верхние три термозонда заделываются загнутой торцевой частью в межблочные швы на глубину 2–3 см, а прямая их часть прижимается к подине шамотными кирпичами. После окончания обжига три верхних термозонда (на подине) удаляются. В пусковой период измерения проводятся по цокольных термопарах – 21 шт. В период эксплуатации – по 21 термопаре или по двум нижним рядам – 15 шт., то есть по мере выхода термопар из строя количество контролированных термодатчиков уменьшается.

При измерениях обжига контроль температур на подине (термопары 19–26) осуществлялся с помощью измерительного комплекса (ИК) (см. рис. 4.6). Контроль температур остальных 19 термопар выполнялся вручную с помощью термопарного переключателя и мультиметра. Частота измерений температур ИК – 5 с, а в ручном режиме:

– при обжиге – 1 ч; – в пусковой период и в режиме эксплуатации – 1 раз в сутки или 2–

3 раза в неделю. При обжиге также контролировались основные параметры работы автоматизированной установки HOTWORK, а в пусковой период – температура верхнего пояса катодного кожуха и температура в шинных каналах.

155

Продолжительность пламенного обжига опытного электролизера установкой HOTWORK с двумя горелками составила – 46 ч 44 мин. По скорости нагревания подины обжиг разделен на четыре периода (табл. 4.4, 4.5).

Рис. 4.7. Схема укладки термопар в катоде электролизера КАЗ

Таблица 4.4 Заданный регламент обжига

Начальная температура

tнач,С

Конечная температура

tкон., С Продолжительность

периода, ч 1 0 650 18 2 650 850 17 3 850 950 10 4 950 950 3

Таблица 4.5

Реально отработанный регламент обжига

tнач., С

tкон., С

Продолжи-тельность,

ч

Расход топлива,

м3

Часовой расход топлива, м3/ч

1 0 652,5 18,583 0,324 0,017 2 652,5 850,5 16,667 0,324 0,019 3 850,5 946,3 10,217 0,263 0,026 4 946,3 946,3 1,267 0,1 0,079

Итого: 46,733 1,01

156

Графики временного изменения температур катодного устройства опытного электролизера представлены на рис. 4.8–4.10, а поля температуры по вертикальным сечениям катода на конец обжига – на рис. 4.11.

Рис. 4.8. Изменение во времени температуры поверхностных термопар при обжиге опытного электролизера КАЗ

1

2

3

4

5

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

Время с начала обжига, ч

Средняя

тем

пература в

проекции

анода

, 'С

Рис. 4.9. Изменение во времени средней температуры в проекции анода при обжиге и в пусковой период опытного электролизера КАЗ: 1 – подины; 2 – под подовыми блоками;

3 – под слоем шамота; 4 – под слоем пенодиатомита; 5 – на подине по HotWork

157

1

2

3

4

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

Время с начала обжига,ч

Сред

няя

тем

пература

на

периферии

, 'С

Рис. 4.10. Изменение во времени средней температуры в проекции периферии подины при обжиге и в пусковой период опытного электролизера КАЗ: 1 – подины; 2 – под подовыми

блоками; 3 – под слоем шамота; 4 – под слоем пенодиатомита

Анализ экспериментальных данных показывает, что на конец обжига электролизера были достигнуты следующие уровни средних температур (tср) катода при соответствующих минимальном и максимальном значениях (tmin, tmax) и неравномерности температур (t = tmax – tmin):

– на поверхности подины – tср = 740,2 С, tmin = 384,8 С, tmax = 997,1 С, t = 612,3 С;

– под подовыми блоками – tср = 448,6 С, tmin = 293,9 С, tmax = 624,8 С, t = 330,9С;

– под двумя слоями шамота – tср = 353,2 С, tmin = 225,5 С, tmax = =491,0 С, t = 265,5 С;

– на днище (под тремя слоями пенодиатомита) – tср = 62,9 С, tmin = =50,83 С, tmax = 74,9 С, t =24,1 С. К основным показателям обжига также относятся коэффициент неравномерности температурного поля Kt и среднеквадратичное отклонение измеренных температур , которые определяются по формулам [161]

cptKt

,

11

2

12

nn

t

tn

i

n

ii

i

,

158

а

б

Рис. 4.11. Распределение температуры по вертикальным сечениям катода на конец обжига опытной ванны:

а – периферийное сечение; б – центральное сечение

159

где n

tt

n

ii

1cp – среднее значение измеренных температур, С;

ti – температура в локальных точках подины, C; n – количество точек измерений температуры. В идеальном случае Kt 0. Значения температур, и Kt для всей подины, проекции анода и периферии подины для 4-х горизонтальных сечений опытного электролизера приведены в табл. 4.6.

Таблица 4.6 Показатели обжига опытного электролизера КАЗ длительностью – = 47 ч

Поверхность: Для всей подины tср, C tmin, C tmax, C t, C , C Kt на подине 740,2 384,8 997,1 612,3 200,04 0,270 под подов. блоками 448,6 293,9 624,8 330,9 128,47 0,286 под 2-я слоями ША)* 353,2 225,5 491,0 265,5 101,25 0,287 под 3-я слоями ПД)** 62,9 50,8 74,9 24,2 11,74 0,186 Поверхность: В проекции анода tср, C tmin, C tmax, C t, C , C Kt на подине 796,6 523,9 997,1 473,2 186,86 0,234 под подов. блоками 498,4 365,8 624,8 259,0 124,79 0,250 под 2-я слоями ША 389,1 289,1 491,0 201,2 99,22 0,255 под 3-я слоями ПД 64,1 50,8 74,9 24,2 12,7 0,198 Поверхность: На периферии подины tср, C tmin, C tmax, C t, C , C Kt на подине 627,3 384,8 753,4 368,6 210,07 0,335 под подов. блоками 349,1 293,9 404,2 110,3 77,95 0,223 под 2-я слоями ША 281,3 225,5 337,2 111,7 79,03 0,281 под 3-я слоями ПД 60,5 50,8 70,2 19,3 13,67 0,226 Примечание: )* ША – шамот марки ША; )** ПД – пенодиатомит

Для сопоставления приведем показатели некоторых видов обжига электролизеров на силу тока 156 кА [161]: пламенный двумя форсунками (установкой без автоматизации) – = 7 ч;

tср = 212 C; = 70 C; Kt = 0,33; пламенный 4-я форсунками (установкой без автоматизации) – = 13 ч;

tср = 328 C; = 106 C; Kt = 0,32; на металле – = 50–72 ч; tср = 500–600 C; = 136–106 C; Kt = 0,272–

0,177; с формовкой анода – = 116 ч; tср = 504 C; = 78 C; Kt = 0,155.

Как видно из приведенных данных показатели обжига опытного электролизера отвечают:

160

– по коэффициенту неравномерности – обжигу на металле при = 50 ч; – по уровню средних температур подины значительно превышают

(на 140–240 C и более) приведенные показатели других видов обжига. Анализ экспериментальных данных по средним температурам катода

опытного электролизера КАЗ (см. рис. 4.9, 4.10) показывает что: на протяжении всего обжига штатные термопары установки HotWork

(см. рис. 4.9) показывают более высокую температуру подины (выше на 150–200 C) по сравнению с экспериментальными термопарами на подине под проекцией анода (см. рис. 4.9), которые были вмонтированы в межблочные швы и прижаты к поверхности подины для создания условий контроля действительной температуры подины. Поэтому расхождение в показаниях термопар дает основание допустить, что штатные термопары обжиговой установки показывают завышенную, то есть радиационную температуру;

разница температур (t) между слоями футеровки катода зависит от времени (длительности) обжига, теплофизических свойств, толщины и влажности материалов и принимает следующие значения: t в проекции анода –

t – по высоте подовых блоков составляет около 200 С и слабо зависит от времени после 10 ч обжига; t – по толщине 2-х рядов шамота составляет около 100 С и также слабо зависит от времени после 20 ч обжига; t – по толщине 3-х рядов пенодиатомита на конец обжига составляет около 350 С и имеет заметную практически линейную зависимость от времени обжига. t – в слое пенодиатомита достигает устойчивого состояния ~650 С в пусковой период при 100 ч после начала обжига;

t на периферии подины и цоколя – t – по высоте подовых блоков изменяется в пределах ~200–300 С и имеет после 28 ч обжига сильную нелинейную зависимость от времени (см. рис. 4.10), которая объясняется нестабильностью работы горелочного устройства в выходном торце (на 30–40 ч) и засыпкой глиноземом угла подины со стороны входного торца и глухой стороны (на 44 ч); t – по толщине 2-х рядов шамота составляет примерно 70 С и не сильно зависит от времени после 20 ч обжига; t – по толщине 3-х рядов пенодиатомита на конец обжига составляет около 250 С и имеет практически линейную зависимость от времени процесса; t – в слое пенодиатомита на

161

периферии достигает устойчивого состояния в ~450 С в пусковой период при 100 ч после начала обжига;

– данные по средним температурам под подовыми блоками свидетельствуют, что в проекции анода все межблочные швы скоксовались полностью по всей толщине подины, а на периферии – частично [161]: в верхних слоях – полное коксование, а в нижних – полукокс. Энергоаудит пламенного обжига алюминиевого электролизера СА БТ

(ЗАлК). Пламенный обжиг на природном газе выполнялся новой автоматизированной установкой фирмы «Промгазаппарат» (Украина), которая была разработана при научно-техническом сопровождении НИЦ «РТ» [243]. Для проведения термоаудита обжига в подину опытного электролизера во время монтажа катодного устройства было установлено 18 хромель-алюмелиевых термопар в цокольной части футеровки и 6 термопар на поверхности подины (рис. 4.12).

Рис. 4.12. Схема установки термопар при пламенном обжиге электролизера ЗАлК базовой конструкции:

61 tt – номера термопар, установленных на поверхности подины; 1–18 – номера

термопар, установленных в цоколе катодного узла

Термопары устанавливались в двух сечениях: на поперечной оси электролизера и в торце между периферийными подовыми секциями. По вертикали термопары располагались таким образом: на днище, между слоями вермикулита и шамота, под подовыми секциями. Чехлы для термопар – трубки из нержавеющей стали 8 мм. В каждый чехол устанавливались по три ХА термопары, связанные в единый жгут для удобства монтажа и точной фиксации места положения (см. рис. 4.1). Первая термопара в трубке

162

размещалась на продольной оси электролизера, 3-я – под периферийным швом, а 2-я термопара – по средине между первой и третьей.

Для управления мощностью газовых горелок на поверхности подины размещаются шесть штатных термопар, которые подключены к регулятору температуры установки пламенного обжига. Горелки устанавливаются в отверстия в укрытиях по две горелки вдоль продольных сторон бортов электролизера. Через щели в укрытиях устанавливаются по три контрольных термопары на продольных сторонах электролизера. После монтажа всех соединительных кабелей и газовых шлангов установка запускается. Поджег горелок и поддержание процесса горения по наперед заданному регламенту обжига выполняется в автоматическом режиме.

Для обеспечения автоматизации экспериментальных исследований использовался измерительный комплекс [238] (см. рис. 4.6). Результаты экспериментальных исследований уровня температур при обжиге подины электролизера ЗАлК представлены в табл. 4.7 и на рис. 4.13–4.16. На рис. 4.13–4.15 также приведены данные пускового периода опытного электролизера.

Таблица 4.7 Температуры катода достигнутые во время обжига

Температура 16 ч 48 ч 60 ч Средняя на поверхности подины 314 518 744 Под подовыми секциями в центре 180 430 580 Между вермикулитом и шамотом в центре 70 280 370 На днище в центре 25 70 80 Под секциями под срединой периферийного шва 90 250 320 Между вермикулитом и шамотом под срединой продольного периферийного шва

75

135

190

На днище под срединой продольного периферийного шва

25

50

70

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

0 40 80 120 160 200

Час, год

Температура

, °С

t1

t2

t3

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

0 40 80 120 160 200

Час, год

Температура

, °С

t4

t5

t6

а б

Рис. 4.13. Температуры на днище катода во время обжига и в пусковой период: а – торцевое сечение; б – осевое сечение

Время, ч Время, ч

163

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 40 80 120 160 200

Час, год

Температура

, °С

t7

t8

t9

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 40 80 120 160 200

Час, год

Температура

, °С

t10

t11

t12

а б

Рис. 4.14. Температуры между слоями вермикулита и шамота футеровки катода во время обжига и в пусковой период: а – торцевое сечение; б – осевое сечение

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 40 80 120 160 200

Час, год

Температура

, °С

t13

t14

t15

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 40 80 120 160 200

Час, год

Температура

, °С

t16

t17

t18

а б

Рис. 4.15. Температуры под подовыми секциями футеровки катода во время обжига и в пусковой период: а – торцевое сечение; б – осевое сечение

Анализ полученных экспериментальных данных, показывает, что на момент окончания обжига катода:

– поверхность подины прогрелась до температуры ~750 С при коэффициенте неравномерности температурного поля 22,0tK , что достаточно близко к рекомендованным значениям ( 15,0tK ) [161];

– межблочные швы полностью скоксовались, а периферийный шов находится на стадии коксования.

Установка для проведения пламенного обжига пригодна для внедрения в производство научно-обоснованного регламента обжига подины [161, 167, 168], в котором необходимо выдерживать темп нагревания 7 К/год

Время, ч Время, ч

Время, ч Время, ч

164

в интервале температур образования кокса 250–450 С с наиболее сильным газовыделением.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 10 20 30 40 50 60 70

Час від початку випалу, год

Температура,

оС Регламент випалу

t1t2t3t4t5t6

Рис. 4.16. Изменение температуры на поверхности подины во время обжига

4.2.3. Термические параметры и характеристики внешнего теплообмена при эксплуатации алюминиевых электролизеров

Схема измерений температур в катоде опытных электролизеров ЗАлК во время их эксплуатации приведена на рис. 4.17, а схема замеров на поверхностях катодного кожуха – на рис. 4.18, соответственно. Внешние измерения температур проводились с лицевой, тыльной и торцевых сторон катодного кожуха. Измерения температуры воздуха в шинном канале проводились при закрытых укрытиях шинных каналов. Замеры температуры на катодных кожухах проводились с помощью термопоинта и термозонда. Контроль температуры под днищем, в цокольной футеровке катода (на вертикальной оси: на днище, между огнеупорным и теплоизоляционным слоями) осуществлялись термопарами, установленными в процессе монтажа катодного устройства.

Результаты термометрического аудита опытных и рядовых электролизеров ЗАлК представлены в сравнительных табл. 4.8–4.10 и на рис. 4.18.

Термоаудит поверхностей катодных устройств алюминиевых электролизеров СА БТ КАЗ проводился на 3-х опытных ваннах (условные номера Д1–Д3) [244]. В процессе эксперимента измерялись распределение температуры на среднем поясе катодного кожуха и температура воздуха в шинных каналах. Эксперимент проводился при закрытых и открытых шинных каналах с целью оценки ошибки измерений температуры, вызванной

Время с начала обжига, ч

регламент обжига

165

раскрытием шинных каналов. Впервые в практике измерений на алюминиевых заводах СНГ контроль температур на катодных устройствах электролизеров при их эксплуатации проводился с помощью автоматизированного измерительного комплекса. При этом также контролировалась температура расплава электролита и воздуха под днищем. Кроме этого на одном из опытных электролизеров проводились измерения температур на днище по 6-и термопарам, которые были заложены в период монтажа катода под 3-я слоями пенодиатомита (см. рис. 4.7).

Рис. 4.17. Схема установки термопар в катодной футеровке электролизера ЗАлК: Т – термопара под днищем на высоте 100–150мм от фундамента; Т1 – термопара на днище

(внутри катода); Т2 – термопара между 1-м и 2-м рядами вермикулита; Т3 – термопара под слоем шамота

Таблица 4.8 Значение температуры воздуха вокруг электролизеров-свидетелей

эл-ра

Дата измер.

Продольная сторона Торцевая сторона tп.дн tв.к

tпв.п. , C tпср.п. , C tпн.п. , C tпв.п. , C tпср.п. , C tвн.п. , C C C К1 – 115,5

110-121 118,5

115-122 78,5

68-89 66

60-72 78,5

67-90 – 163 24

К2 – 88,5 79-98

82,5 74-91

69,5 62-77

85,5 76-95

82 78-86

– 121 24

Примечание: )* в числителе среднее значение, а в знаменателе tпmin – tпmax; tпв.п. – температура воздуха верхнего пояса (выше уровня подины); tпср.п. – температура воздуха среднего пояса (по высоте подины); tпн.п. – температура воздуха нижнего пояса (по высоте цоколя катода); tп.дн – температура воздуха под днищем (max); tв.к – температура воздуха в корпусе

166

Рис. 4.18. Электролизер ЗАлК Д1 (опытный)

167

Таблица 4.9 Значения температуры воздуха вокруг опытных электролизеров

эл-ра

Дата измер.

Продольная сторона Торцевая сторона tп.дн tв.к

tпв.п. , C tпср.п. , C tпн.п. , C tпв.п. , C tпср.п. , C tвн.п. , C C C Д1 – 92)*

89-95 54,5

52-57 49

47-51 – 71,5

71-72 – 99 29

Д2 – 120,5 96-145

92 77-107

76,5 76-77

– 88 83-93

46 40-52

107 22

Д3 – 81,5 75-88

89,5 77-102

71,5 63-80

– 54 53-55

– 102 24

Примечание: )* в числителе среднее значение, а в знаменателе tпmin – tпmax; tпв.п. – температура воздуха верхнего пояса (выше уровня подины); tпср.п. – температура воздуха среднего пояса (по высоте подины); tпн.п. – температура воздуха нижнего пояса (по высоте цоколя катода); tп.дн – температура воздуха под днищем (max); tв.к – температура воздуха в корпусе

Таблица 4.10 Сравнение средних и граничных значений температуры обследованных

контрольных и опытных электролизеров при их эксплуатации Параметр tcp, C tmin, C tmax, C Температура воздуха под днищем 142/103 121/99 163/107 Темп-ра воздуха в шинном канале по продольной стороне: нижний пояс средний пояс верхний пояс

74/66 103/79 102/98

62/47 74/52 79/75

89/80 122/107 121/145

Темп-ра воздуха в шинном канале по торцевой стороне: нижний пояс средний пояс верхний пояс

–/46 80/71 76/–

–/46 67/53 60/–

-/46 90/88 95/–

Темп-ра воздуха в корпусе 24/25 – – Темп-ра катодного кожуха на днище 246/174 225/164 266/185 Темп-ра катодного кожуха по продольной стороне: нижний пояс средний пояс верхний пояс

142/135 265/195 260/255

106/106 265/138 227/172

178/178 265/252 278/302

Темп-ра катодного кожуха по торцевой стороне: нижний пояс средний пояс верхний пояс

–/– –/–

266/335

–/– –/–

237/271

–/– –/–

293/378

Темп-ра в цоколе под шамотом –/846 –/834 –/858 Темп-ра в цоколе между вермикулитом –/597 –/597 –/597

Примечание: )* в числителе данные по контрольным, а в знаменателе по опытным электролизерам

168

Схема установки термопар с помощью специально разработанных креплений приведена на рис. 4.19. Результаты экспериментальных данных представлены в табл. 4.11–4.13 и на рис. 4.20, 4.21.

Рис. 4.19. Схема установки термопар на катодном кожухе электролизеров КАЗ: термопары 1–4 и 7, 8 – на поверхности катодного кожуха; термопары 5, 6 – в шинном канале

Таблица 4.11

Данные по температурам на поверхности катодного кожуха электролизера Д1 КАЗ Дата и время Температура среднего пояса tср.п,

С, термопар tшк, С tос,

С Примечание

1 2 3 4

19.02.2002 15:00 252 249 238 236 111 96 – шинные каналы

закрыты

20.02.2002 11:00 225 215 194 178 12 12 –16 шинные каналы

открыты Примечание: tср.п – температура на поверхности катодного кожуха в районе среднего пояса; tшк – температура воздуха в шинном канале; tос – температура окружающей среды

Анализ полученных экспериментальных данных показывает, что: изменение температуры, поверхности катодного кожуха, связанное

с раскрытием шинных каналов, в среднем составляет 15–50 С; характер изменения температур среднего пояса катода (см. рис. 4.20)

повторяет изменение температуры воздуха в шинных каналах (см. рис. 4.21). Пульсации температуры на этих графиках могут быть связаны

тем-ры

тем-ры

169

с погрешностями измерений (вызванными воздействием электромагнитного поля и др.);

Таблица 4.12 Данные по температуре на поверхности катодного кожуха электролизера Д2 КАЗ Дата и время Температура среднего пояса

tср.п, С, термопар tшк, С tос,

С Примечание

1 2 3 4 5 6

20.02.2002 13:11 228 211 241 224 234 224 100 110 -16 шинные каналы открыты

20.02.2002 15:36 229 213 244 228 238 225 115 113 -16 шинные каналы закрыты

21.02.2002 09:46 232 214 240 224 232 217 116 109 -28 шинные каналы закрыты

21.02.2002 11:22 228 213 242 225 233 218 120 111 -28 шинные каналы закрыты

210

220

230

240

250

260

270

280

22.02.200212:00

22.02.200218:00

23.02.20020:00

23.02.20026:00

23.02.200212:00

23.02.200218:00

24.02.20020:00

24.02.20026:00

24.02.200212:00

Час, год

Тем

пература,

'C

1-а терм-ра

7-а терм-ра

3-я терм-ра 2-а терм-ра

4-а термопара

8-а термопара

Рис. 4.20. Экспериментальные данные электролизера Д3, полученные с помощью ИК НИЦ «РТ»

Таблица 4.13

Экспериментальные данные по распределению температур на днище катодного кожуха электролизера Д3 КАЗ (термопары установлены согласно схемы рис. 4.7)

Дата и время Температура на днище под 3-я слоями ПД, С термопар

1 2 3 4 5 6

20.02.2002 10:42 138 122 111 150 139 132 20.02.2002 15:30 136 120 110 148 138 137 21.02.2002 12:30 141 124 112 156 145 135 24.02.2002 14:00 135 122 108 152 142 125 Среднее значение 137,5 122 110,25 151,5 141 132,25

шинные каналы закрыты

шинные каналы открыты

Время, ч

8-я термопара

4-я термопара

1-я терм-ра

2-я терм-ра

7-я терм-ра

170

0

20

40

60

80

100

120

140

160

22.02.200212:00

22.02.200218:00

23.02.20020:00

23.02.20026:00

23.02.200212:00

23.02.200218:00

24.02.20020:00

24.02.20026:00

24.02.200212:00

Час, год

Тем

пература,

'C5-а тп.

6-а тп.

Рис. 4.21. Изменение температуры воздуха в шинном канале электролизера Д3 КАЗ.

Данные получены с помощью ИК НИЦ «РТ»

изменение температуры электролита вызванное обработкой ванны составляет примерно 25–30 С;

температура воздуха под днищем катода Д3 составляет около 80 С, что в среднем на ~40–50 С ниже, чем температура воздуха в шинных каналах.

Энергоаудит поверхностей катодных устройств электролизеров ОА С-120 КрАЗ с верхним расположением (рис. 4.22) проводился также на 3-х опытных ваннах (условные номера Д1–Д3). При выполнении энергоаудита электролизеров С-120 проводился сбор данных по технологическим параметрам (табл. 4.14, 4.15) и измерения температур и плотности тепловых потоков поверхностей катодных кожухов (днище, боковые и торцевые стороны на 3-х уровнях) с помощью дистанционного инфракрасного пирометра Agema TPT 62 и датчиками плотности тепловых потоков ПТП–4, соответственно. При экспериментальных измерениях температур учитывалась степень черноты поверхностей. Определение степени черноты поверхностей выполнялось на основе базы данных подобных измерений [160] и проверялось по данным справочников и наладочными предварительными измерениями, в том числе и контактным датчиком (прижимная ХА термопара). Датчики плотности теплового потока устанавливались с помощью специального магнитного прижима на поверхность измерений (схемы измерений показаны на рис. 4.23). Датчики ПТП–4 позволяют получать значения плотности теплового потока на границе теплообмена катод с окружающей средой и, таким образом выполнить обобщение данных по конвективному теплообмену (используя закон Ньютона-Рихмана [245]) для задания граничных условий при моделировании температурных полей электролизера.

шинные каналы закрыты

шинные каналы открыты

Время, ч

171

В электролизерах передача теплоты через внешние поверхности осуществляется за счет сложного теплообмена, основным механизмом которого является конвекция, на которую накладывается тепловое излучение. Экспериментальные данные позволяют получить значения эффективных коэффициентов теплоотдачи [160].

Результаты экспериментальных данных по электролизерам С-120 КрАЗ представлены на рис. 4.24, 4.25 и в табл. 4.16.

Рис. 4.22. Эскиз продольного сечения электролизера ОА типа С-120 КрАЗ:

1 – подовый блок; 2 – глинозем; 3 – шамот; 4 – диатомит; 5 – заполнитель шамотный; 6 – холодно-набивная масса; 7 – бортовой блок; 8 – клей МХТДА; 9 – жаропрочный бетон

Таблица 4.14

Технологические параметры опытных электролизеров КрАЗ

эл-ра pu , Темп.

эл-та Уровень металла

Уровень эл-та

Глуб. шахты катода

Длинанасты ли

CaF2 КО I , T

В С см см см см % – кА % Д1 4,227 952,2 24,6 23,2 52 83,67 6,42 2,20 133 90,00 Д2 4,216 954,7 24,7 22,0 50 81,83 6,33 2,21 133 90,90 Д3 4,227 954,8 24,7 21,8 53 91 6,19 2,24 133 90,45

Сред-нее

4,22 953,9 24,7 22,33 51,67 85,5 6,32 2,22 133 90,45

Анализ полученных экспериментальных данных на КрАЗе показывает, что: – наиболее интенсивный теплообмен катодного кожуха с окружающей

средой имеет место на верхнем поясе продольных его сторон (см. табл. 4.16);

172

– наименее интенсивный теплообмен наблюдается на торцевых сторонах, в конструкции которых используется коробчатая структура, разработанная на основе условий прочности, но совсем не из условий теплообмена, что и приводит к малым значениям коэффициентов теплоотдачи от этих поверхностей к окружающему воздуху (см. табл. 4.16);

Таблица 4.15 Данные по анодным эффектам опытных электролизеров КрАЗ

электролизера Длительность

АЭ

Напряжение АЭ

Количество АЭ за месяц

мин В шт./мес

Д1 2,18 35,06 19 Д2 1,94 35,31 17 Д3 1,85 35,45 29

Среднее значение 1,99 35,27 21,67

Таблица 4.16 Осредненные экспериментальные данные по трем электролизерам КрАЗ

Поверхность Температура поверхности,

С tcеp/(tmin – tmax)

Плотность теплового

потока, Вт/м2 qcеp/(qmin – qmax)

Температура воздуха на нуле tд, С

Эффективный коэффициент теплоотдачи, Вт/(м·2·К)

cеp/(min- max)* Днище 91/(28-139)

711/(223-1354)

-9,5

6,7/(2,4-16,4)

продольные стороны Борт нижний пояс 82/(37-110)

763/(282-1313)

-9,5

8,8/(2,9-14,7)

Борт средний пояс 226/(120-290)

1189/(463-2670)

-9,5

9,9/(4,4-13,8)

Борт верхний пояс

266/(183-331)

2828/(1137-

4040)

-9,5

12,7/(10,4-18,5)

торцевые стороны Борт нижний пояс

101/(97-121)

494/(351-518)

-9,5

3,1/(2,8 – 3,7)

Борт средний пояс

141/(97-187)

958/(432-1391)

-9,5

4,8/(3,1-5,4)

Борт (коробка) верхний пояс

135/(82-152) 258/(216-301)

531/(343-717) -9,5 3,8/(2,6-5,3)

Примечание. )* – получено из закона Ньютона–Рихмана [245] д/ ttq

173

а

б

в

Рис. 4.23. Схема расположения точек измерений плотности теплового потока на катодном кожухе электролизера С-120 КрАЗ с помощью ИК (см. рис. 4.7):

а – на днище; б – на боковых сторонах (точки 1, 2, 3 – относятся к нижнему поясу, 4, 5, 6 – к среднему и 7, 8, 9 – к верхнему); в – на торцевых сторонах (1–4 – нижний пояс,

5–8 – средний и верхний в торцевой коробке)

Входной

торец

Выходной

торец

174

а – направление тока

б – направление тока —

Рис. 4.24. Распределение температуры на лицевой (а) и тыльной (б) сторонах опытного электролизера КрАЗ Д1

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 1 2 3 4

Відстань, м

Тем

пература,

'С

електролізер Д1

електролізер Д2

електролізер Д3

Середнє значення

Рис. 4.25. Распределение температур на днище опытных электролизеров КрАЗ в осевом поперечном направлении

Ширина днища, м

электролизер Д1

электролизер Д2

электролизер Д3

Среднее значение

175

– особенностью распределения температур на днищах катодов опытных электролизеров является наличие локальных максимумов температуры (см. рис. 4.25), которые совсем не совпадают с центральной частью днищ катодных кожухов, как это должно быть по логике распределения температур. Данная особенность наиболее вероятно вызвана пропиткой расплава металла в цокольную футеровку в местах отмеченных локальных максимумов температуры.

Результаты термометрического аудита опытных электролизеров ВгАЗ и УАЗ в режиме эксплуатации представлены в табл. 4.17, 4.18 и на рис. 4.26.

Таблица 4.17

Усредненные данные температуры катодных кожухов электролизеров ІІ серии ВгАЗ в режиме эксплуатации на проектную силу тока 130 кА

Параметр Катодный кожух рамного типа

Катодный кожух шпангоутного типа

Температура нижнего пояса по продольной стороне tн.п.П, С

153)* 140-172

139 106-180

Температура среднего пояса по продольной стороне tс.п.П, С

229 200-257

214 170-291

Температура верхнего пояса по продольной стороне tв.п.П, С

187 161-217

257 232-310

Температура нижнего пояса по торцу tн.п.Т, С

– –

Температура среднего пояса по торцу tс.п.Т, С

– –

Температура верхнего пояса по торцу tв.п.Т, С

156 125-177

123 106-143

Температура воздуха в корпусе tк, С

39

39

Примечание: )* в числителе среднее значение, а в знаменателе – минимальное и максимальное значения

Объем полученных экспериментальных данных по алюминиевым

электролизерам разных типов и конструкций является достаточным для задания корректных граничных условий при математическом моделировании

176

теплоэлектрических полей и проведении верификации разработанных численных моделей.

Лицо

Тыл

Входной торец

Выходной торец

Температура воздуха в шинном канале сторона Нижний пояс Средний пояс Верхний пояс t к лицо 40 42 45 39 тыл 56 60 61 39 вход 47 49 54 39 выход 50 56 58 39

Рис. 4.26. Опытный электролизер ІІ серии ВгАЗ шпангоутного типа на проектную силу тока 130 кА

177

Таблица 4.18 Усредненные данные температур катодных кожухов верхних электролизеров

С8-БМ ВгАЗ и ОА-300М1 УАЗ в режиме эксплуатации на проектную силу тока 156 кА и 300 кА

Параметр Тип С8-БМ

Тип ОА-300М1 [246]

Температура днища tдн , С

61)* 28–130

74 69–76

Температура нижнего пояса по продольной стороне tн.п.П, С

53 37–163

125 117–135

Температура среднего пояса по продольной стороне tс.п.П, С

204 171–247

263 250–275

Температура верхнего пояса по продольной стороне tв.п.П, С

266 235–334

283 271–296

Температура нижнего пояса по торцу tн.п.Т, С

87 62–118

94 84–109

Температура среднего пояса по торцу в коробке жесткости tс.п.Т, С

54 39–76

–

Температура среднего пояса по торцу в коробке tс.п.Т, С

267

230–350

151

139–186 Температура верхнего пояса по торцу в коробке tв.п.Т, С

–

352

322–397 Температура блюмсов tбл, С

177 156–198

164 146–176

Температура воздуха в корпусе tк, С

0

4

Температура воздуха в районе торцов tвозд.Т, С

84 78–90

92 86–116

Температура воздуха в районе днища и продольной стороны tвозд.П, С

–

10

-4 –15 Примечание: )* в числителе среднее значение, а в знаменателе – минимальное и максимальное значения

178

4.3. Экспериментальные исследования печей графитирования 4.3.1. Печь Ачесона на максимальную силу тока 100 кА Исследования кампании графитирования заготовок 610 мм с ниппельной подгрузкой проводились на П-образной печи постоянного тока ОАО «Укрграфит». В эксперименте (рис. 4.27) применялись 24 термопары (10 ВР 5/20 и 14 ХА), яркостный пирометр «Проминь М І, М ІІ» и термопоинт Agema TPT 62. Для обработки и записи экспериментальных данных, получаемых от термопар, использовался ИК НИЦ «РТ» [54, 201, 239] (см. рис. 4.7). Частота автоматизированных измерений составляла 5 мин, а в ручном режиме (яркостный пирометр, термопоинт) – 3 ч.

Целью данного эксперимента, кроме получения данных по температурам в печи во время кампании графитирования, было также определение погрешности измерения температуры, которую вызывает визирная труба [205] и измерительный графитовый блок [241] вследствие сильного влияния теплоотвода по материалам трубы и блока на уровень температуры горячей зоны печи (то есть зоны измерений). С целью минимизации влияния графитового блока и визирной трубы на показания термопар применялась специальная схема установки датчиков, которая показана на рис. 4.27б.

В процессе кампании графитирования проводился контроль температур в следующих зонах печи (см. рис. 4.27):

– в заготовках на глубине 700 мм: по оси – для заготовки верхнего ряда (термопара 6); по оси и на периферии – для заготовки нижнего ряда ( 2, 3, 4) (см. рис 4.27в);

– в заготовках верхнего и нижнего рядов по оси на глубине 50 мм ( 5, 1);

– в торцах заготовок нижнего ряда с помощью ХА термопары (17), яркостного пирометра через визирную трубу и графитового блока, в котором установлены термопары ( 7–10);

– на полу печи на расстоянии 1650 мм от боковой стенки ( 15); – на внутренней поверхности боковой стенки печи ( 16); – в теплоизоляции сверху керна на глубине 100 мм от поверхности

( 11–14); – отходящих газов ( 18); – на внешней поверхности газосборного зонта с помощью термопоинта. Плотность тепловых потоков измерялась на внешней поверхности

газосборного зонта с помощью датчиков ПТП-04.

179

а

зона контакта визирной трубы

с торцом заготовки

зона контакта графитового блока с торцом заготовки

б

в

Рис. 4.27. Схема установки термопар: а – общая схема; б – схема установки визирной трубы и графитового блока; в – схема

установки термопар в заготовках нижнего ряда

180

Термопары 11–14 устанавливались на 12-й час работы печи. При этом печь отключалась от сети электропитания. Измерения температуры торца заготовки с помощью яркостного пирометра начинались при достижении температуры торца заготовки выше чем 1000 ºС. Результаты температурных измерений представлены на рис. 4.28–4.29. На всех этих рисунках также показано изменение во времени электрической мощности во внешней цепи электропитания печи (переменный ток) – 1P и в короткой цепи печи (постоянный ток) – 2P .

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 10 20 30 40 50 60 70

Час, год

Температура

, `C

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

Потужність

, кВт 2

3

4

P1

P2

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 10 20 30 40 50 60 70

Час, год

Температура

, `C

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

1

2

17

P1

P2

а б

Рис. 4.28. Температуры в заготовках: а – по сечению заготовки нижнего ряда на глубине 700 мм (2 – по оси заготовки, 3 – сверху на расстоянии 260 мм от центра, 4 – сбоку на расстоянии 220 мм от центра); б – по оси заготовки нижнего ряда (1 – на расстоянии 50 мм от торца заготовки, 2 – на расстоянии

700 мм от торца заготовки, 17 – торец заготовки)

Проведенные измерения температур позволили определить скорость роста температуры в заготовках и перепады температуры по их оси и радиусу (рис. 4.30, 4.31). Вертикальные линии на этих графиках соответствуют местам перегиба графика подвода электрической мощности в печь.

По данным экспериментальных исследований рассчитаны температурные зависимости эффективного коэффициента теплоотдачи от внешней поверхности газосборного зонта (рис. 4.32а) и погрешности непрямого измерения температуры торца заготовки с помощью графитового блока (рис. 4.32б).

Результаты измерений температуры торца нижнего ряда заготовок разными способами представлены на рис. 4.33а и прогноз температуры торца заготовки после 40 ч кампании печи с учетом погрешности измерения температуры с помощью графитового блока (рис. 4.33б).

Анализ полученных экспериментальных данных позволяет сделать следующие выводы:

– температура торца заготовки на 62 ч превышает 2600 ºС, что вполне достаточно для полного графитирования всего массива заготовки (см. рис. 4.33б);

Время, ч Время, ч

Мощность

, кВт

181

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 10 20 30 40 50 60 70

Час, год

Температура

, `C

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

5

6

P1

P2

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Час, год

Температура

, `C

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

15

16

P1

P2

а б

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Час, год

Темпер

атура

, `C

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

22000

24000

14

12

13

11

P1

P2

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Час,год

Темпер

атура

, `C

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

18

P1

P2

в г

Рис. 4.29. Температуры в печи:

а – по оси заготовки верхнего ряда (6 – 700 мм от торца, 5 – 50 мм от торца); б – на полу и стенке печи (15 – пол, 16 – стенка); в – теплоизоляция сверху керна на глубине 100 мм от поверхности (11, 13 – под секцией зонта, расположенной около перемычки на расстоянии

4 м от глухого торца секции газозосборного зонта, 12, 13 – под секцией зонта с газоотводящим патрубком на расстоянии 4 м от глухого торца секции газосборного зонта);

г – отходящих газов

Время, ч Время, ч

Время, ч Время, ч

182

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 10 20 30 40 50

Час, год

Температура

, `C

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Швидкість

, `C

/год

.

2

3

4

Vt2

Vt3

Vt4

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 10 20 30 40 50

Час, год

Температура

, `C

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Швидкість

, `C

/год

.

1

2

Vt1

Vt2

а б

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 10 20 30 40 50

Час, год

Температура

, `C

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Швидкість

, `C

/год

.

5

6

Vt5

Vt6

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 10 20 30 40 50

Час, год

Температура

, `C

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

Перепад

темпер

атур

, `C

1

2

2-1

в г

Рис. 4.30. Скорость роста и перепады температуры в заготовках:

а – температура и скорость tV ее роста по сечению заготовки нижнего ряда на глубине

700 мм (2 – по оси заготовки, 3 – сверху на расстоянии 220 мм от центра, 4 – сбоку на расстоянии 220 мм от центра); б – температура и скорость ее роста по оси заготовки

нижнего ряда (1 и 2 по оси заготовки на расстоянии от торца 50 и 700 мм, соответственно); в – температура и скорость ее роста по оси заготовки верхнего ряда (5 и 6 по оси заготовки на расстоянии от торца 50 и 700 мм, соответственно); г – (1-2) перепад температуры по оси заготовки нижнего ряда (1 и 2 температуры по оси заготовки на расстоянии от торца 50

и 700 мм, соответственно)

Время, ч Время, ч

Время, ч Время, ч

Скорость

, К/ч

Скорость

, К/ч

Скорость

, К/ч

183

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 10 20 30 40 50

Час, год

Темпер

атура

, `C

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

Перепад

темпер

атур

, `C

2

6

6-2

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 10 20 30 40 50

Час, год

Темпер

атура

, `C

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

Перепад

темпер

атур

, `C

5

1

5-1

а б

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

0 10 20 30 40 50

Час, год

Перепад

температур

, `C

6-2

5-1

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 10 20 30 40 50

Час, год

Тем

пература

, `C

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

Переп

ад

температур

, `C

2

3

4

3-2

4-2

в г

Рис. 4.31. Температуры и перепады температуры в заготовках:

а – перепад температуры 6-2 между осями заготовок верхнего и нижнего рядов на глубине 700 мм (температуры: 2 – нижний ряд, 6 – верхний ряд); б – перепад температуры 5-1 между осями заготовок верхнего и нижнего рядов на глубине 50 мм (температуры: 1 – нижний ряд, 5 – верхний ряд); в – перепады температур между осями заготовок

верхнего и нижнего рядов на глубине 700 (6-2) и 50 мм (5-1); г – радиальные перепады температуры (при r = 315 мм) в заготовке нижнего ряда на глубине 700 мм (4-2 – по вертикали, 4-2 – по горизонтали), температуры (2 – по оси заготовки, 3 – сверху на

расстоянии 260 мм от центра, 4 – сбоку на расстоянии 220 мм от центра)

Время, ч

Время, ч Время, ч

Время, ч

184

40 80 120 160 200 240t, C

4

8

12

16

20 В

т/(м

2*К

)

12

0 500 1000 1500 2000 2500

t, C

0

200

400

600

t,

C

а б

Рис. 4.32. Результаты расчетов по экспериментальным данным (а) – эффективного коэффициента теплоотдачи ( ) от поверхности газосборного зонта и (б) – погрешности

непрямого измерения температуры ( t ) с помощью графитового блока [241]:

а – (1 – расчет по закону Ньютона-Рихмана, 2 – 241097,20123.044,3 ttt при коэффициенте детерминации 0,98)

0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

2000

2250

2500

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Час, год

Тем

пература

, `C

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

Блочок

17

1

Пірометр

P1

P2

0150300450600750900

10501200135015001650180019502100225024002550270028503000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

Час, год

Температура

, `C

Блочок

17

Пірометр

17 по блочку

а б

Рис. 4.33. Температура торца заготовки нижнего ряда, определенная различными способами (а) и с учетом погрешности графитового блока (б)

– увеличение скорости роста температуры заготовок совпадает с началом интенсивного подвода электрической мощности в печь. Наиболее явно это выражено для заготовок нижнего ряда (см. рис. 4.30а, б, в). Скорость роста температуры в диапазоне 1600–1800 ºС составляет: 150–180 К/ч для оси

Время, ч Время, ч

Пирометр

Пирометр

185

и периферии заготовки нижнего ряда; 120–160 К/ч для оси заготовки верхнего ряда;

– максимальный зафиксированный градиент температуры составляет (см. рис. 4.30г, 4.31): 570 К/м по оси заготовки верхнего ряда; 715 К/м по оси и периферии заготовки нижнего ряда; 760 К/м по радиусу заготовки;

– максимальный зафиксированный перепад температуры между заготовками верхнего и нижнего рядов составляет 420 ºС (см. рис. 4.31б);

– низкие значения эффективного коэффициента теплоотдачи от внешней поверхности газосборного зонта в диапазоне температур до 150 ºС (см. рис. 4.32а) обусловлены прежде всего высокой температурой окружающего воздуха в цеху графитирования.

4.3.2. Печь Ачесона на максимальную силу тока 117 кА

Исследования кампании графитирования 2874/2007 заготовок Ø3501980 мм с ниппельной подгрузкой проводились на П-образной печи постоянного тока. В эксперименте (рис. 4.34) применялись 42 термопары (12 ВР 5/20 и 30 ХА). Все остальное экспериментальное оборудование такое же самое как и в предыдущем эксперименте (см. п. 4.3.1).

Результаты экспериментальных исследований электрических и температурных характеристик кампании графитирования заготовок Ø3501980 мм приведены на рис. 4.35, 4.36. Анализ экспериментальных данных показывает, что:

– опытная кампания 2874/2007 на печи постоянного тока при графитировании заготовок Ø3501980 мм характеризуется низким уровнем температур заготовок верхнего ряда по сравнению с кампанией описанной в п. 4.3.1, что объясняется не только высоким значением УЭС керновой пересыпки верхнего ряда, но и тем, что высота печи (3400 мм) недостаточная для обеспечения надежной теплоизоляции верхнего ряда керна при высоте керна 2375 мм (повышенные теплопотери через верх печи);

– зафиксированный перепад температуры между заготовками верхнего и нижнего рядов превышает 500 °С, что также вызвано недостаточной теплоизоляцией верха печи и не совсем удачным подбором керновой пересыпки верхних рядов;

– причинами низкого уровня температур верхней части керна также является невысокая интенсивность подвода электрической мощности на хвосте кампании графитирования, обусловленная недостаточной мощностью агрегатов электропитания;

– неоднородность температурного поля печи закладывается еще на этапе формирования керна, причем на протяжении практически всего управляемого участка кампании эта неоднородность только увеличивается.

186

а

б

Рис. 4.34. Схема установки термопар и датчиков плотности теплового потока: а – по основному сечению (через центр заготовок); б – по вспомогательному сечению

(через центр шаблона слева от основного сечения); – ВР термопары; – ХА термопары

187

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

0 10 20 30 40 50 60 70

Час, години

Потужність

, кВ

т

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

Витрата е/е,

кВт×г

P1

P2

Q

0

50

100

150

200

250

300

0 10 20 30 40 50 60 70

Час, години

Напруга,

В; Сила струм

у, кА

0

5

10

15

20

25

30

Опір

, мОм

U2

I2

R

а б

0

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

2700

0 10 20 30 40 50 60

Час, години

Тем

пература,

`С

0

6000

12000

18000

24000

30000

36000

42000

48000

54000

Потужність

, кВ

т;

Витрати

е/е

× 1

0-1

, кВ

т×г

1

2

ВТ

P2

Q

0

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

2700

0 10 20 30 40 50 60

Час, години

Тем

пература,

`С

0

6000

12000

18000

24000

30000

36000

42000

48000

54000

Потужність

, кВ

т;

Витрати

е/е

× 1

0-1

, кВ

т×г

3

4

P2

Q

в г

Рис. 4.35. Электрические и температурные характеристики кампании графитирования

заготовок Ø3501980 мм: а – энергетические параметры кампании печи; б – электрические параметры кампании печи; в – температура в керне между заготовками нижнего ряда на расстоянии от торца заготовок: 650мм – 1 и 50 мм – 2; г – температура на оси заготовки нижнего ряда на

расстоянии от торца: 650мм – 3 и 50 мм – 4; 21, PP – электрическая мощность во внешней

(переменный ток) и короткой цепи печи (постоянный ток), соответственно; Q – суммарные потери электроэнергии в печи во время кампании;

RIU ,, 22 – напряжение, сила тока и полное электрическое сопротивление короткой цепи

печи, соответственно; ВТ – визирная труба [205]

Время, ч Время, ч

Время, ч Время, ч

Расход

э/э

, кВтч

Сопротивление,

мОм

Мощность

, кВт

Расход

э/э

10

-1, кВтч

Мощность

, кВт

Расход

э/э

10

-1, кВтч

188

0

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

2700

0 10 20 30 40 50 60

Час, години

Тем

пература,

`С

0

6000

12000

18000

24000

30000

36000

42000

48000

54000

Потужність

, кВ

т;

Витрати

е/е

× 1

0-1

, кВ

т×г

5

6

P2

Q

0

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

2700

0 10 20 30 40 50 60

Час, години

Тем

пература,

`С

0

6000

12000

18000

24000

30000

36000

42000

48000

54000

Потужність

, кВ

т;

Витрати

е/е

× 1

0-1

, кВ

т×г

7

8

P2

Q

а б

0

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

2700

0 10 20 30 40 50 60

Час, години

Тем

пература,

`С

0

6000

12000

18000

24000

30000

36000

42000

48000

54000

Потужність

, кВ

т;

Витрати

е/е

× 1

0-1

, кВ

т×г

9

10

P2

Q

0

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

2700

0 10 20 30 40 50 60

Час, години

Тем

пература,

`С

0

6000

12000

18000

24000

30000

36000

42000

48000

54000

Потужність

, кВ

т;

Витрати

е/е

× 1

0-1

, кВ

т×г

11

12

P2

Q

в г

Рис. 4.36. Электрические и температурные характеристики кампании графитирования заготовок Ø3501980 мм:

а – температура в керне между заготовками 3-го ряда на расстоянии от торца заготовок: 650мм – 5 и 50 мм – 6; б – температура на оси заготовки 3-го ряда на расстоянии от торца:

650мм – 7 и 50 мм – 8; в – температура в керне между заготовками верхнего ряда на расстоянии от торца заготовок: 650мм – 9 и 50 мм – 10; г – температура на оси заготовки нижнего ряда на

расстоянии от торца: 650мм – 11 и 50 мм – 12; 2P – электрическая мощность в короткой цепи печи

(постоянный ток); Q – суммарные потери электроэнергии в печи во время кампании

4.4. Экспериментальные исследования шахтных печей для

прокаливания наполнителя

При выполнении экспериментальных исследований на шахтной электропечи (электрокальцинаторе) при прокаливании антрацита на ОАО «Укрграфит» использовалось 28 термопар (26 ВР-5/20 и 2 ХА) и термопоинт [239]. Данные термопарных датчиков обрабатывались и записывались с помощью ИК НИЦ «РТ». Частота записи автоматизированных измерений составляла 1 измерение за 5 мин.

Схема установки термопар приведена на рис. 4.37.

Мощность

, кВт

Расход

э/э

10

-1, кВтч

Мощность

, кВт

Расход

э/э

10

-1, кВтч

Мощность

, кВт

Расход

э/э

10

-1, кВтч

Мощность

, кВт

Расход

э/э

10

-1, кВтч

Время, ч Время, ч

Время, ч Время, ч

189

а

б

Рис. 4.37. Схема установки термопар на электрокальцинаторе

В процессе эксперимента проводился контроль: – температуры под дроссель-шайбой (диафрагмой): на внутренней стороне футеровки; между кожухом и теплоизоляцией;

– температуры дроссель-шайбы:

190

на внутренней стороне футеровки; в средней части футеровки; между кожухом и футеровкой;

– температуры футеровки над дроссель-шайбой; на внутренней стороне футеровки; между кожухом и футеровкой;

– температуры отходящих газов. Результаты температурных измерений на электрокальцинаторе

представлены на рис. 4.38. Анализ полученных данных позволяет сделать следующие выводы: 1. Распределение температур с начала первой выгрузки прокаленного

материала в опытном электрокальцинаторе характеризуется резким смещением зоны высоких температур от горловины диафрагмы вниз к ее середине.

2. Температура футеровки диафрагмы (левая передняя сторона) превысила максимально допустимый диапазон рабочих температур, что может привести к ее разрушению и как следствие этого к отключению печи в начале ее эксплуатации. Данное допущение также подтверждается наблюдениями за температурой внешней поверхности металлического кожуха электрокальцинатора (наблюдения проводились оперативно с помощью термопоинта) – был зафиксирован явный перегрев левой стороны кожуха.

3. Смещение горячей зоны к левой стороне диафрагмы в начальный период эксплуатации и, соответственно, образование в этой зоне области материала с низким УЭС может привести к изменению пути протекания электрического тока. Изменение основной зоны прохождения электрического тока к левой стороне электрокальцинатора приводит к еще большему перегреву материала в этой области, что подтверждается интенсивным увеличением температуры в точке 12 – рис. 4.38е. Проблема неравномерности протекания электрического тока по сечению шахтной печи скорее всего носит случайный характер, который связанный со значительной неоднородностью физических свойств сыпучего материала, прокаливаемого в электрокальцинаторе.

4.5. Выводы Согласно проведенным исследованиям можно сформулировать следующие выводы:

1. Разработанные методики вместе с аппаратно-программным обеспечением натурных экспериментов позволили получить достаточно большие массивы экспериментальных данных по теплоэлектрическим параметрам исследуемых процессов на высокотемпературных агрегатах,

191

имеющих как самостоятельное значение для установления закономерностей изменения температуры в технологических процессах в зависимости от

1

2

0

0

100

200

300

400

500

600

700

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Час, год

Температура

, С

0

10

20

30

40

50

60

70

Вивантаження

, кг

34

5

0

0

100

200

300

400

500

600

700

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Час, год

Температура

, С

051015202530354045505560657075

Вивантаження

, кг

а б

8

10

14

0

0

100

200

300

400

500

600

700

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Час, год

Температура

, С

0

10

20

30

40

50

60

70

Виван

таження,

кг

18

19

20

0

0

100

200

300

400

500

600

700

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Час, год

Температура

, С

0

10

20

30

40

50

60

70

Вивантаження

, кг

в г

7

9

13

16

0

0

300

600

900

1200

1500

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Час, год

Температура

, С

0

10

20

30

40

50

60

70

Вивантаження

, кг

6

12

15

0

0

300

600

900

1200

1500

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Час, год

Температура

, С

0

10

20

30

40

50

60

70

Вивантаження

, кг

д е

Рис. 4.38. Результаты температурных измерений на электрокальцинаторе: а – огнеупорная футеровка над дроссель-шайбой; б – огнеупорная футеровка дроссель-шайбы (средина конфузора); в – между огнеупорной и угольной частями дроссель-шайбы

(внешняя сторона); г – между частями угольной футеровки дроссель-шайбы; д – между огнеупорной и угольной частями дроссель-шайбы (средина); е – между огнеупорной

и угольной частями дроссель-шайбы (внутренняя сторона); 0 – выгрузка; 1–20 – номера термопар в соответствии с рис. 4.37

Время, ч Время, ч

Время, ч

Время, ч

Время, ч Время, ч

Выгрузка,

кг

Выгрузка,

кг

Выгрузка,

кг

Выгрузка,

кг

Выгрузка,

кг

Выгрузка,

кг

192

подведенной мощности (электрической или тепловой), оценки теплопотерь и расчетов энергобалансов и на их базе определение резервов энергосбережения, так и использования для верификации численных моделей теплоэлектрического состояния и корректного задания граничных условий.

2. Поведенные экспериментальные исследования четко свидетельствуют о проблемах, имеющих место в технологических циклах высокотемпературных агрегатов и каким образом их необходимо решать. К таких проблемам можно отнести высокие значения УРЭ, повышение производительности, длинные настыли и тонкие гарнисажи, регламент обжига катодов алюминиевых электролизеров, значительная неравномерность электрического и температурного полей (особенно это касается электрокальцинаторов), разработка рациональных регламентов подвода электрической мощности в керне печей графитирования и т.д.

193

5. ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕПЛОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МЕХАНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ЭНЕРГОЕМКИХ

ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ АГРЕГАТОВ В этом разделе в обобщенном виде приведены численные модели и результаты численных исследований физических полей высокотемпературных агрегатов, к которым относятся алюминиевые электролизеры и печи электродного производства. Результаты численных экспериментов получены как с помощью авторского ПО, так и с использованием программных продуктов ANSYS, например, для фирм ОК «Русал» и ОАО «СибВАМИ» (РФ) [246, 261], которые имеют лицензии на пользование данным программным продуктом. Разработанное ПО и численные модели физических полей высокотемпературных агрегатов прошли соответствующее тестирование на данных других авторов и верификацию по данным натурных экспериментов (см. Приложение В).

5.1. Алюминиевые электролизеры

Как отмечалось во вступительной части монографии к основным мировым

тенденциям развития алюминиевой промышленности в XXI столетии [8] относятся следующие направления: переход от технологии Содерберга к более прогрессивной технологии с обожженными анодами; повышение производительности за счет увеличения силы тока на действующих электролизерах при их модернизации и внедрение мощных электролизеров новых конструкций на силу тока 300 кА и выше; снижение УРЭ при производстве алюминия. Реализация указанных направлений невозможна без знания теплоэлектрического и механического состояния алюминиевых электролизеров при их термической подготовке к пуску (или обжиге) и непосредственно эксплуатации на этапе их проектирования, то есть когда еще не существует действующей конструкции агрегата. Поэтому основным инструментом для получения таких априорных данных о ТЭМ состояние алюминиевых электролизеров является только математическое моделирование.

Основным направлением увеличения производства алюминия в мире является повышение силы тока на действующих заводах [163, 291]. Это прежде всего связано с экономической привлекательностью таких проектов. Однако простое механическое повышение силы тока на действующих электролизерах почти всегда ведет к значительному сокращения срока службы таких электролизеров, увеличения УРЭ и даже к снижению производительности по сравнению с вариантом до повышения силы тока. То есть при этом основной фактор повышения производительности за счет увеличения силы тока не срабатывает и в результате дополнительная электроэнергия идет на

194

бессмысленный нагрев окружающей среды. Поэтому для выполнения требований ресурсо- и энергосбережения при повышении силы тока на алюминиевых электролизерах прежде всего необходимо проводить модернизацию катодного устройства, разработку эффективного технологического регламента пуска и эксплуатации на основе расчетов энергетических балансов и НДС, технико-экономическое обоснование проекта (Приложение Е).

Разработка ресурсо- и энергосберегающих конструкций алюминиевых электролизеров, рассчитанных на эксплуатацию при повышенной силе тока, рассмотрим на примере базовой конструкции электролизера ОАО «Запорожский производственный алюминиевый комбинат» (ЗАлК) (см. рис. 1.1). Аналогичные подходы используются при модернизации электролизеров других конструкций.

Базовая конструкция электролизера ЗАлК (см. рис. 1.1) и многих других заводов СНГ характеризуется наличием в бортовой катодной футеровке «температурного шва», который имеет определенное термическое сопротивление и, соответственно, снижает теплоотвод в зоне образования ФРП (на действующих электролизерах гарнисаж очень тонкий или даже совсем отсутствует см. табл. 4.1) [291]. Поэтому на этих конструкциях электролизеров не рекомендуется увеличение силы тока с целью повышения их производительности по металлу более чем на 1– 2 кА по сравнению с базовым значением. В противном случае существует определенный риск, связанный со значительным сокращением срока службы электролизера и уменьшения выхода по току, что в свою очередь ведет к нежелательному повышению УРЭ.

Для реализации более значительного повышения силы тока, например, более чем на 5–15 кА необходима существенная модернизация действующей катодной бортовой футеровки, которая построена на концепции «неизолированного» борта [160] (то есть без теплоизоляционного шва) с применением современных огнеупорных материалов (графитированные и графитизированые катодные блоки, карбид кремниевые бортовые блоки [160, 291]), и создает благоприятные условия для формирования надежного гарнисажа (то есть способствует увеличению срока службы агрегата) при повышенной производительности алюминиевого электролизера.

«Неизолированный» борт катода создается непосредственным приклеиванием бортовых блоков к обечайке катодного кожуха. В качестве бортовых блоков можно использовать карбид кремниевые блоки. Карбид кремниевые блоки имеют определенные преимущества по сравнению с углеграфитовыми или графитированными, связанные с исключением возможности утечек тока через бортовую футеровку, что в свою очередь влияет на увеличение выхода по току на 0,5–1,5 % [239, 291].

Для реализации концепции «неизолированного» борта более всего подходит шпангоутный катодный кожух (см. рис. 1.1). Это связано с тем, что

195

в конструкции шпангоутного катодного кожуха, по сравнению с другими типами кожухов, отсутствуют шпильки для крепления фланцевых плит, которые находятся на внутренней стороне обечайки кожуха или их несложно перенести на внешнюю сторону. Наличие указанных шпилек делает невозможным операцию приклеивания бортовых блоков к обечайке кожуха. На ЗалКе в значительно большей мере применяется балочный катодный кожух нежели шпангоутный.

Основываясь на вышеизложенном материале выполнена разработка эскизного проекта модифицированного катодного узла электролизера ЗАлК со шпангоутным катодным кожухом и карбид кремниевыми блоками (рис. 5.1) [291]. В этой конструкции для уменьшения величины утечек тока через периферийные швы предусмотрено применение огнеупорного бетона, который заливается выше уровня блюмсов по периферии подины.

Предложенная конструкция катодного узла предусмотрена для применения в двух типах электролизеров, а именно в СА с боковым подводом тока (см. рис. 5.1а) и ОА (см. рис. 5.1б). Выбор электролизера типа ОА связанный с тем, что этот тип электролизера по сравнению с СА является более пригодным к эксплуатации на повышенной силе тока. Анодный узел ОА имеет определенный запас прочности для обеспечения протекания тока более высокой плотности, что имеет место при повышении силы тока на алюминиевом электролизере.

а б

Рис. 5.1. Эскизы конструкций модернизированных алюминиевых электролизеров ЗАлК с анодами СА (а) и ОА (б), рассчитанные на работу на повышенной силе тока:

1 – теплоизоляционный материал; 2,15 – шамотный огнеупор; 3 – катодный углеграфитовый блок; 4 – расплав алюминия; 5 – электролит; 8,16 – анодная и катодная

шины; 10 – глиноземная засыпка; 11 – корка; 12 – бортовой гарнисаж и настыль; 13 – карбид кремниевый бортовой блок; 14 – набивная масса; 17 – катодный кожух;

– толщина гарнисажа; H – длина настыли под проекцией анода; а – электролизер СА

БТ: 6 – спеченный анод; 7 – жидкая анодная масса; 9 – анодные штыри; б – электролизер ОА: 6 – обожженный анод; 7 – анодная штанга; 9 – траверса с ниппелями

196

Дальнейшее повышение эффективности работы модернизированных

электролизеров при увеличении силы тока можно рассматривать в следующих направлениях совершенствования технологии:

ведение процесса электролиза по наперед заданному значению перегрева электролита относительно температуры его ликвидуса;

оптимизация состава электролита, например, применение добавок фторида калия и закисление промышленного электролита до КО = 2,1 [295] и т.д.

Для определения пригодности модифицированных электролизеров для эксплуатации в условиях повышенной силы тока обязательно проводится комплекс сравнительных расчетов, включающих: теплоэлектрическое и механическое состояние в условиях эксплуатации, энергобалансы (электрические и тепловые) и оценку экономической целесообразности.

5.1.1. Теплоэлектрическое состояние и энергобалансы

алюминиевых электролизеров в режиме эксплуатации Для проведения расчетов теплоэлектрического состояния (ТЭ) алюминиевых электролизеров разных типов и конструкций во время их эксплуатации созданы соответствующие численные модели с использованием математических моделей, численных методик и ПО, которые описаны в главах 2, 3. Построение численных моделей ТЭ состояния рассмотрим на примере модернизированного электролизера ЗАлК (см. рис. 5,1б). Численные модели ТЭ состояния других типов и конструкций алюминиевых электролизеров строятся аналогичным образом и имеют похожие характеристики.

Геометрические характеристики трехмерных численных моделей ТЭ состояния модернизированного электролизера ЗАлК при эксплуатации приведены на рис. 5.2, 5.3. Разработанные численные модели позволяют выполнять следующие расчеты при базовой и повышенной силе тока: поле электрического потенциала и электробаланс электролизера; температурное поле, ФРП, тепловые потери и энергобаланс электролизера при температуре окружающей среды.

В численных моделях ТЭ состояния учтены следующие группы контактного взаимодействия:

в электрической модели: между катодной шиной и спусками; спусками и блюмсами; блюмсами, чугунной заливкой и подовыми блоками и периферийным швом; подиной и металлом; анодом и анодными штырями или ниппелями; штырями и штангами; штангами и анодной шиной; электролитом и бортовыми блоками (при отсутствии бортового гарнисажа);

197

в тепловой модели: между металлом и подиной; настылью и периферийным швом; бортовой футеровкой и настылью, гарнисажем, коркой и глиноземной засыпкой.

При построении тепловых численных моделей для удобства задания граничных условий и расчета теплопотерь катодный кожух условно разбивается на поясам разными условиями конвективного теплообмена (рис. 5.4): днище, нижний, средний и верхний пояса на продольной и торцевой сторонах.

Аналогичные тепловые модели ТЭ состояния были разработаны для следующих типов электролизеров с боковым и верхним подводом тока СА и ОА: БТ-70, С-130, С-160, С-175, С8-БМ, ОА-300М1, ОА-320. В представленных типах электролизеров применяются катодные кожуха следующих типов: балочные, контрфорсные, шпангоутные и каркасно-шпангоутные.

Результаты сопоставления результатов численных расчетов и верификации разработанных численных моделей представлены в Приложениях В.7, В.8, [314]. Верификация разработанных численных моделей термоэлектрического состояния проводилась путем сопоставления результатов расчетов электрического и теплового состояния действующих электролизеров с данными натурных экспериментов (см. главу 4).

Анализ данных (см. табл. В.8.1) показывает согласование между данными результатов расчетов физических полей и параметров эксплуатации алюминиевых электролизеров действующих конструкций с данными натурных экспериментов. Практически все расчетные значения электрических параметров и температур лежат в пределах погрешности измерений экспериментальных данных (Приложение Д). Расчетная ФРП по качественным и количественным параметрам отвечает экспериментально измеренной.

По результатам сопоставления данных расчетов с натурным экспериментом можно сделать вывод о том, что разработанные методики и на их основе численные модели электрического и теплового состояния, расчета энергобалансов можно применять для сравнительного анализа энергетической эффективности действующих и новых, модернизированных конструкций алюминиевых электролизеров разных типов при базовой и повышенной силе тока.

Электрические поля и электробаланс алюминиевых электролизеров действующих конструкций. Расчеты электрических полей и распределения тока по блюмсам и анодным штырям проводились с использованием технологических параметров эксплуатации действующих электролизеров (см. главу 4), УЭС конструкционных материалов бралось из [189, 300],

198

электролита [296–299] (см. табл. 4.1–4.3), контактных электрических сопротивлений [3, 300].

а б Рис. 5.2. Численная модель электрического состояния модернизированной конструкции

при эксплуатации алюминиевого электролизера ЗАлК (эскиз – см. рис. 5.1б): а – твердотельная модель; б – контактные поверхности

а б Рис. 5.3. Численная модель теплового состояния модернизированной конструкции при

эксплуатации алюминиевого электролизера ЗАлК (эскиз – см. рис. 5.1б): а – твердотельная модель; б – контактные поверхности

199

верхний пояс (ВП) торец ВП – продольная сторона (ПС) СП -ПС

средний пояс (СП) – торец нижний пояс (НП) –торец днище НП – ПС

Рис. 5.4. Разбивка катодного кожуха на пояса для задания ГУ конвективного типа

Физические свойства электролита в зависимости от технологических параметров, например, для электролизеров ЗАлК приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Данные по технологическим параметрам и свойствам электролитов действующих электролизеров БТ-70 ЗАлК

Электро- лизер

I, кA Выход по току,

%

tэл, С КО CaF2, %

MgF2

, % )*,

(Омм)-1 tL)**, C

Базовый

69,36 89,36 960-965 2,69 6,7 1,4 229,382/ 221,182

959,747/ 955,055

Опытный

69,36 89,36 952-960 2,68 7,0 2,3 224,76/ 214,738

955,335/ 949,347

Примечание: )* в числителе расчет по Wang [297], а в знаменателе – по Choudhary [296]; )** в числителе расчет по Solheim [298], а в знаменателе – по Dewing [299]

Результаты расчетов полей электрического потенциала и электробалансов электролизеров разных конструкций представлены в табл. 5.2. и на рис. 5.5.

Анализ результатов расчетов электрического состояния действующих электролизеров показал:

200

– электролизер БТ-70 ЗАлК имеет высокое значение рабочего напряжения ( pu ), что вызвано в первую очередь большим значением падения

напряжения в электролите (см. табл. 4.2). Наибольшую нагрузку электрическим током имеют анодные штанги;

– электролизеры СА БТ-70 и С-130 имеют устаревший дизайн катодной футеровки с «температурным» швом, поэтому для значительного повышения силы тока (на 5–15 кА) требуют модернизации катодной футеровки. При незначительном повышении силы тока на этих типах электролизеров (на ~2,5 кА) и соответствующем уменьшении МПЗ можно получить уменьшение

pu на 50–100 мВ при увеличении производительности электролизера

и уменьшении УРЭ. При этом также должна уменьшиться длина настыли под анодом;

– электролизер ОА-300М1 имеет современный дизайн катодной футеровки, поэтому на электролизере этой конструкции можно значительно повысить силу тока (на ~30 кА). При этом необходимо только отработать рациональные технологические параметры его эксплуатации.

Таблица 5.2 Сопоставление результатов расчетов электробаланса с экспериментальными

данными электролизеров разных конструкций Тип элек-тро- лизера

Длина настыли от борта/ сила тока см/кА

Рабочее напря- жение

рu , В

Падение напряжения в ошиновке

эл-ра,

ошu , В

Падение напряжения в анодном массиве

анодu , В

Падение напряже-

ния в подине

подu , В

Падение напряжения в электролите

(без учета АЭ) uэлектр=uом МПЗ

+uэл,хим) 2 БТ-70, СА

99/69,4 4,76 4,77)1

0,372/0,370 0,346/0,347 0,450/ 0,449

3,596 = = 1,788+1,808 (1,980+1,616) 3

С-130, СА

110/136,2 4,46 4,456

0,38/0,380 0,53/0,532 0,398/ 0,398

3,146 = = 1,338+1,808 (1,493+1,653)

ОА-300М1

11,9/303 4,27 4,273

0,247/0,246 0,45/0,451 0,23/ 0,231

3,343 = = 1,535+1,808 (1,644+1,699)

Примечание: ) 1 в числителе данные расчета, а в знаменателе – натурного эксперимента; ) 2 расчет uэл,хим проведенный при выходе по току 100%; ) 3 расчет составляющих uэлектр с учетом выхода по току < 100%. При выходе по току < 100% часть uэл,хим переходит в омическое падения напряжения в электролите

Тепловое состояние и энергобаланс алюминиевых электролизеров действующих конструкций. Расчеты температурных полей и ФРП проводились с использованием технологических параметров эксплуатации

201

действующих электролизеров (см. табл. 4.1–4.3), теплопроводности конструкционных материалов и расплавов [160, 291], температуры ликвидуса электролита [298, 301], контактных термических сопротивлений [3]. Результаты расчетов температурных полей и энергобалансов электролизеров разных конструкций представлены в табл. 5.3 и на рис. 5.6.

Анализ полученных данных по тепловому состоянию и энергобалансам (см. табл. 5.3) разных типов электролизеров показывают, что наибольшие теплопотери, отнесенные к подведенной энергии, имеет электролизер БТ-70 – 48,6 %, а наименьшие – ОА-300М1 – 42,6 % и, соответственно, наивысшую энергетическую эффективность (часть энергии, идущая на электрохимический процесс) или энергетический КПД имеет ОА-300М1 – 54,0 %, а низшую – БТ-70 – 48,4 %. То есть очевидным является факт преимущества конструкции ОА над СА.

а б

в

Рис. 5.5. Электрическое поле действующих алюминиевых электролизеров разных типов при базовой силе тока:

а – БТ-70, СА; б – С-130, СА; в – ОА-300М1

202

Термоэлектрическое состояние и энергобалансы модернизированных алюминиевых электролизеров при ступенчатом повышении силы тока. Известно, что при зафиксированном МПЗ с повышением силы тока на электролизере наряду с увеличением его производительности также повышается рабочее напряжение на ванне [20–22, 163, 164] и, соответственно, его составляющие: падение напряжения в ошиновке; падение напряжения в анодном массиве; омическое падение напряжения в электролите; падение напряжения в подине. В результате повышается среднее напряжение и соответственно УРЭ.

Таблица 5.3

Энергобалансы при температуре окружающей среды действующих алюминиевых электролизеров разных типов при базовой силе тока

ПРИХОДНЫЕ СТАТЬИ P, кВт U, B Доля, % Электроэнергия 306,13/557,63/

1220,2)* 4,414/4,095/4,027 81,609/80,259/79,376

Окисление анода 68,99/137,16/317,02 0,995/1,01/1,046 18,391/19,741/20,624 Всего приход энергии 375,12/694,781537,13 5,408/5,103/5,073 100,0/100,0/100,0 РАСХОДНЫЕ СТАТЬИ P, кВт U, B Доля, % Электрохим. процесс 181,07/360,02/832,08 2,611/2,644/2,746 48,357/51,750/54,005 Теплопотери анод + катод 182,06/313,75/655,94 2,625/2,304/2,165 48,622/45,099/42,573 Теплопотери с вылитым металлом

8,17/15,93/37,85 0,118/0,117/0,125 2,181/2,291/2,457

Теплопотери с уходящими газами

3,14/5,99/14,88 0,045/0,044/0,049 0,840/0,861/0,966

Всего расход энергии 374,44/695,69/1540,75 5,398/5,109/5,085 100,0/100,0/100,0 Небаланс 0,68/-0,91/-3,62 0,01/-0,01/-0,013 0,181/-0,131/-0,235

Электрические параметры Параметр U, В I, кA P, кВт Рабочее напряжение 4,759/4,443/4,271 69,4/136,2/303 330,084/604,982/1294,204 Греющее напряжение 4,414/4,095/4,027 69,4/136,2/303 306,128/557,625/1220,116 Среднее напряжение 4,806/4,495/4,283 69,4/136,2/303 333,318/612,090/1297,684 Полное падение напряжения в МПЗ

3,618/3,131/3,345 69,4/136,2/303 250,918/426,363/1013,470

- омическое падение напряжения в МПЗ

1,783/1,291/1,535 69,4/136,2/303 123,646/175,723/465,079

- напряжение электрохим. реакции

1,616/1,637/1,700 69,4/136,2/303 112,081/222,860/515,064

- напряжение в МПЗ от АЭ 0,027/0,172/0,109 69,4/136,2/303 1,846/23,394/32,876 -U от выхода по току < 1 0,192/0,032/0,001 69,4/136,2/303 13,345/4,385/0,451 Падение напр. в подине 0,450/0,434/0,231 69,4/136,2/303 31,212/59,095/69,993 Падение напр. в аноде 0,346/0,530/0,451 69,4/136,2/303 23,999/72,167/136,653 Греющее напряжение на теплопотери

2,635/2,298/2,153 69,4/136,2/303 182,736/312,839/652,322

Примечание. )* приведенные данные соответствуют типам электролизеров в следующем порядке – БТ-70/С-130/ОА-300М1

203

а

б

в

Рис. 5.6. Температурное поле действующих алюминиевых электролизеров разных типов при базовой силе тока:

а – БТ-70 (шпангоутный катодный кожух), СА; б – С-130 (шпангоутный катодный кожух), СА; в – ОА-300М1 (каркасно-шпангоутный катодный кожух)

204

Однако повышение силы тока также влияет на уменьшение длины настыли под анодом, что вызывает в свою очередь снижение падения напряжения в подине. Эффект снижения падения напряжения в подине за счет уменьшения длины настыли (при большой длине настыли под проекцией анодного массива – 10–20 см при базовой силе тока) может превышать эффект повышения падения напряжения в подине за счет увеличения силы тока.

Наибольший вклад в увеличение рабочего напряжения на электролизере за счет увеличения силы тока дает рост омического падения напряжения в электролите. Поэтому, чтобы не проиграть в УРЭ (то есть не увеличить УРЭ, а, наоборот, даже его уменьшить) при повышении силы тока на электролизере необходимо уменьшать МПЗ (то есть «зажимать» МПЗ). Поэтому расчеты электрического и теплового состояний, ФРП и энергобалансов модернизированных электролизеров при повышении силы тока проводились при меньшем значении падения напряжения в электролите по сравнению с базовым вариантом.

При расчетах термоэлектрического состояния модернизированных конструкций электролизеров (например, приведенных на рис. 5.1), рассчитанных на работу при повышенной силе тока, использовались следующие исходные данные: базовые технологические параметры эксплуатации (см. табл. 4.1–4.3), УЭС и теплопроводность конструкционных материалов [160, 291], электролита [296–299], температуры ликвидуса электролита [298, 301], контактных электрических и термических сопротивлений [3, 300]. Физические свойства углеграфитовых, графитированных, огнеупорных и теплоизоляционных материалов также брались из сертификатов ведущих производителей, таких как ОАО «Укрграфит», SGL CARBON GROUP, Scamol GROUP [291] и др.

Результаты расчетов теплоэлектрического состояния модернизированных электролизеров, ФРП, тепловых потерь и энергобалансов при температуре окружающей среды представлены на рис. 5.7 и в табл. 5.4–5.9.

Анализ полученных результатов расчетов показывает, что электролизеры ЗАлК типа СА БТ и ОА:

– при базовой силе тока 69,4 кА и базовом рабочем напряжении модернизированные электролизеры с «неизолированным» бортом катода показывают неудовлетворительные параметры эксплуатации: слишком толстый гарнисаж и длинные настыли, возможен режим работы ванны «холодный ход», замораживание углов анода в гарнисаж и т.д.;

при повышении силы тока на 5–20 кА на этих конструкциях ФРП значительно улучшается и становится близкой к оптимальной по толщине гарнисажа [160], что позволяет сделать вывод о пригодности рассмотренных конструкций для условий эксплуатации при повышенной силе тока;

205

а

б

в

Рис. 5.7. Теплоэлектрическое состояние модернизированных алюминиевых электролизеров разных типов при повышенной силе тока:

а – ОА-90 – сила тока 84,4 кА ( I 15 кА); б – С-130 – сила тока 146,2 кА ( I 10 кА); в – ОА-300М1 – сила тока 330 кА ( I 27 кА)

как и предполагалось, предложенная модернизация футеровки катода (см. рис. 5.1) может обеспечивать отвод большей части избыточной теплоты через катодный узел, которая вызвана повышением силы тока. Так, например,

206

при повышении силы тока на ~15 кА на конструкции (см. рис. 5.1а, БТ СА) тепловые потери на катоде увеличиваются на ~15 кВт по сравнению с действующей конструкцией, в то же время как на аноде это увеличение составляет всего ~5 кВт (то есть в 3 раза меньше). При повышении силы тока на ~20 кА на конструкции (см. рис. 5.1б, ОА) тепловые потери на катоде увеличиваются на ~20 кВт – табл. 5.5, 5.7, а на аноде, наоборот, даже уменьшаются, что исключительно связано с использованием современной конструкции анодного узла с обожженными анодами. Таким образом, тепловой режим анодных узлов при значительном повышении силы тока на модернизированных электролизерах с применением модернизированной катодной футеровки (см. рис. 5.7а) не является критичным;

слабым местом электролизера СА БТ (см. рис. 5.1а) при работе на повышенной силе тока являются анодные штанги, которые имеют наибольшую электрическую нагрузку. Электролизеры ОА (см. рис. 5.1б) такого недостатка не имеют;

в целом модернизированный электролизер СА (см. рис. 5.1а) может надежно работать при повышенной силе тока на 5–10 кА, а электролизер ОА (см. рис. 5.2б, 5.7а) – при повышении силы тока на 10–20 кА;

конструкция электролизера ОА по сравнению с СА имеет определенные преимущества в части выхода по току, УРЭ и срока эксплуатации.

По электролизерам ОАО «Волгоградский алюминиевый завод», РФ (ВгАЗ) типа С-130 (см. рис. 5.7б) с углеграфитовыми и карбид кремниевыми бортовыми блоками можно сделать следующие выводы:

– при базовой силе тока 136,2 кА и базовом рабочем напряжении 4,456 В модифицированные электролизеры с «неизолированным» бортом катода также показывают неудовлетворительные параметры эксплуатации: толстый гарнисаж и длинные настыли, возможен режим работы ванны «холодный ход» и т.д.;

– при повышении силы тока на 5–10 кА на этих конструкциях ФРП значительно улучшается, что позволяет утверждать о пригодности модернизированных электролизеров для условий эксплуатации на повышенной силе тока;

– предложенные модификации футеровки катодов обеспечивают при оптимальной ФРП отвод большей части избыточной теплоты через катодный узел, которая связана с повышением силы тока. Так, например, при повышении силы тока на 10 кА на конструкции с карбид кремниевыми бортовыми блоками (см. рис. 5.7б) тепловая нагрузка на катод увеличивается на 12,3 кВт, а на анод – на 6,1 кВт (в 2 раза меньше);

– в целом модифицированный электролизер с углеграфитовыми бортовыми блоками может надежно работать при повышении силы тока на 5–7 кА (табл. 5.8), а электролизер с карбид кремниевыми бортовыми блоками (см. рис. 5.7б) – при повышении силы тока на 7–10 кА;

207

Таблица 5.4

Теплопотери модернизированного электролизера СА БТ при повышении силы тока

Анод Поверхность Площадь теплообмена, м2 Теплопотери, кВт Глин-ная засыпка борт-анод 9,223 7,871/8,128/8,491)* Боковая поверхность анода 14,815 14,799/14,856/15,012 Верх анода 16,125 4,817/4,834/4,880 Анодные штыри 6,400 43,609/43,767/44,195 Всего: Анод 46,563 71,096/71,586/72,578

Катод Поверхность Площадь теплообмена, м2 Теплопотери, кВт Днище 68,486 8,974/8,722/9,213 Нижний пояс 14,802 9,832/9,557/10,005 Средний пояс 22,692 24,563/23,192/25,158 Верхний пояс 54,764 56,997/56,763/63,418 Блюмсы 2,031 16,655/16,195/16,972 Всего: Катод 162,775 117,020/114,427/124,766 Всего: Катод + Анод 209,338 167,452/186,013/197,344 Примечание. )* приведенные данные соответствуют силе тока в следующем порядке 74кА/79кА/84кА

Таблица 5.5

Теплопотери модернизированного электролизера ОА при повышенной силе тока Анод

Поверхность Площадь теплообмена, м2 Теплопотери, кВт Глин-ная засыпка 24,027 10,635/11,046/11,439)* Анодные ниппели 0,358 1,237/1,263/1,296 Анодные траверсы 9,498 38,560/39,270/40,154 Всего: Анод 33,883 50,432/51,580/52,889

Катод Поверхность Площадь теплообмена, м2 Теплопотери, кВт Днище 68,486 8,974/9,403/10,371 Нижний пояс 14,802 9,832/10,249/11,163 Средний пояс 22,683 24,563/26,671/30,790 Верхний пояс 54,764 56,997/65,393/78,526 Блюмсы 2,031 16,655/17,308/18,831 Всего: Катод 162,775 117,020/129,023/149,683 Всего: Катод + Анод 196,658 167,452/180,603/202,572 Примечание. )* приведенные данные соответствуют силе тока в следующем порядке 79кА/84кА/89кА

208

– конструкция с карбид кремниевыми бортовыми блоками по сравнению с углеграфитовыми бортовыми блоками имеет определенные преимущества в части повышения выхода по току (отсутствуют потери тока через бортовую футеровку) и снижения УРЭ;

– экономичность эксплуатации модернизированных конструкций при работе на повышенной силе тока, которая определяется УРЭ, достигается за счет «зажатия» МПЗ на 4–10 % для обеспечения неизменности падения напряжения в электролите (как при действующей силе тока 136,2 кА). Дальнейшее снижение УРЭ может быть обеспечено применением графитированных подовых блоков, закислением электролита и т.д.

Таблица 5.6 Энергобалансы на температуру окружающей среды модернизированного

электролизера СА БТ при повышенной силе тока 74/79/84кА ПРИХОДНЫЕ СТАТЬИ P, кВт U, B Доля, % Электроэнергия 305,064/323,969/348,017)* 4,122/4,101/4,143 80,451/80,368/80,529 Окисление анода 74,1297/79,138/84,146 1,002/1,002/1,002 19,549/19,632/19,471 Всего приход энергии 379,193/403,106/432,163 5,124/5,103/5,145 100,0/100,0/100,0 РАСХОДНЫЕ СТАТЬИ P, кВт U, B Доля, % Электрохим. процесс 194,564/207,710/220,856 2,629/2,629/2,629 50,352/51,072/51,124 Теплопотери анод + катод 179,692/186,013/197,344 2,428/2,355/2,349 46,503/45,737/45,682 Теплопотери с вылитым металлом

8,776/9,369/9,962 0,119/0,119/0,119 2,271/2,304/2,306

Теплопотери с отходящими газами

3,379/3,607/3,835 0,046/0,046/0,046 0,874/0,887/0,888

Всего потери энергии 386,410/406,699/431,997 5,222/5,148/5,143 100,0/100,0/100,0 Небаланс -7,217/-3,593/0,166 -0,098/-

0,045/0,002 -1,903/-0,891/0,038

Электрические параметры Параметр U, В I, кA P, кВт Рабочее напряжение 4,471/4,474/4,542 74,0/79,0/84,0 330,826/353,447/381,550 Греющее напряжение 4,122/4,101/4,143 74,0/79,0/84,0 305,064/323,969/348,017 Среднее напряжение 4,517/4,521/4,589 74,0/79,0/84,0 334,294/357,149/385,481 Полное падение напряжения в МПЗ

3,368/3,321/3,324 74,0/79,0/84,0 249,268/262,349/279,221

-омическое падение напряжения в МПЗ

1,533/1,486/1,489 74,0/79,0/84,0 113,464/117,369/125,070

- напряжение электрохим. реакции

1,627/1,627/1,627 74,0/79,0/84,0 120,435/128,572/136,710

- напряжение в МПЗ от АЭ 0,027/0,027/0,027 74,0/79,0/84,0 1,988/2,122/2,251 -U от выхода по току < 1 0,181/0,181/0,181 74,0/79,0/84,0 13,382/14,2861/15,190 Падение напр. в подине 0,385/0,387/0,401 74,0/79,0/84,0 28,490/30,573/33,684 Падение напр. в аноде 0,369/0,393/0,418 74,0/79,0/84,0 27,306/31,047/35,112 Греющее напряжение на теплопотери

2,331/2,309/2,351 74,0/79,0/84,0 172,474/182,420/197,510

Примечание. )* приведенные данные соответствуют силе тока в таком порядке 74кА/79кА/84кА

По электролизерам ОАО «Уральский алюминиевый завод», РФ (УАЗ) типа ОА-300М1 (см. рис. 5.7в, табл. 5.9):

– в отличие от действующих электролизеров малой и средней мощности на ЗАлК и ВгАЗ, электролизер ОА-300М1 имеет современную конструкцию и,

209

поэтому не требует реконструкции при повышении силы тока. При этом в оптимизации нуждается только его теплоэлектрическое состояние;

– рабочее напряжение на электролизере повысилось из-за увеличения падения напряжения в анодном массиве и подине, что привело к росту УРЭ на ~ 200 кВтч/т. Теплопотери электролизера увеличились на ~71 кВт. Производительность по алюминию увеличилась на 203,3 кг/сут по сравнению с базовой силой тока;

Таблица 5.7 Энергобалансы на температуру окружающей среды модернизированного

электролизера ОА при повышенной силе тока 79/84/89кА ПРИХОДНЫЕ СТАТЬИ P, кВт U, B Доля, % Электроэнергия 310,878/333,079/364,082)* 3,935/3,965/4,091 79,530/79,653/80,154 Окисление анода 80,017/85,081/90,146 1,013/1,013/1,013 20,470/20,347/19,846 Всего приход энергии 390,895/418,160/454,228 4,948/4,978/5,104 100,0/100,0/100,0 РАСХОДНЫЕ СТАТЬИ P, кВт U, B Доля, % Электрохим. процесс 210,018/223,310/236,602 2,658/2,658/2,658 53,769/53,441/52,120 Теплопотери анод + катод 167,452/180,603/202,572 2,120/2,150/2,276 42,872/43,221/44,624 Теплопотери с вылитым металлом

9,473/10,073/10,672 0,120/0,120/0,120 2,425/2,411/2,351

Теплопотери с отходящими газами

3,647/3,878/4,109 0,046/0,046/0,046 0,934/0,928/0,905

Всего потери энергии 390,590/417,864/453,955 4,944/4,975/5,101 100,0/100,0/100,0 Небаланс 0,305/0,296/0,273 0,004/0,003/0,003 0,078/0,071/0,060

Электрические параметры Параметр U, В I, кA P, кВт Рабочее напряжение 4,204/4,253/4,398 79,0/84,0/89,0 332,122/357,268/391,412 Греющее напряжение 3,935/3,965/4,091 79,0/84,0/89,0 310,878/333,079/364,082 Среднее напряжение 4,251/4,300/4,445 79,0/84,0/89,0 335,842/361,219/395,588 Полное падение напряжения в МПЗ

3,195/3,188/3,267 79,0/84,0/89,0 252,418/267,811/290,746

-омическое падение напряжения в МПЗ

1,360/1,353/1,432 79,0/84,0/89,0 107,420/113,640/127,409

- напряжение электрохим. реакции

1,646/1,646/1,646 79,0/84,0/89,0 130,001/138,229/146,457

- напряжение в МПЗ от АЭ 0,027/0,027/0,027 79,0/84,0/89,0 2,140/2,272/2,396 - U от выхода по току < 1 0,163/0,163/0,163 79,0/84,0/89,0 12,857/13,671/14,485 Падение напр. в подине 0,392/0,407/0,432 79,0/84,0/89,0 30,968/34,188/38,448 Падение напр. в аноде 0,348/0,370/0,392 79,0/84,0/89,0 27,492/31,080/34,888 Греющее напряжение на теплопотери

2,123/2,154/2,279

79,0/84,0/89,0

167,756/180,900/202,844

Примечание. )* приведенные данные соответствуют силе тока в таком порядке 79кА/84кА/89кА

– для снижения УРЭ, оптимизации ФРП и теплопотерь необходимо уменьшить МПЗ либо изменить состав электролита, разработать технические решения по интенсификации теплоотвода от анодного и катодного узлов. Технические решения по интенсификации теплопередачи могут включать следующие [246, 261]: увеличение поверхности теплообмена ниппелей анодов за счет увеличения их диаметра; уменьшение толщины глиноземной засыпки

210

анодов; обдув бортов катодного кожуха на среднем и верхнем поясах сжатым воздухом;

– предложенные технические решения позволили повысить силу тока на электролизере ОА-300М1 до 350 кА. При этом его производительность увеличилась до 2648,3 кг/сут, что на 355,6 кг/сут больше чем при базовой силе тока 303 кА.

Термоэлектрическое состояние и энергобалансы проектируемых алюминиевых электролизеров. При прогнозировании теплоэлектрического состояния проектируемых электролизеров отсутствуют экспериментальные данные, на основе которых можно проводить соответствующие расчеты. Поэтому в этом случае основываются на проектных рабочих параметрах и выбирают прототип близкий по конструкции и силе тока. Пример таких расчетов для электролизера ОА-320 приведен на рис. 5.8 и в табл. 5.10. При этом в качестве прототипа использовалась действующая конструкция ОА-250.

Таблица 5.8 Энергобалансы на температуру окружающей среды модернизированного

электролизера С-130 с углеграфитовыми бортовыми блоками при силе тока 141,2/146,2 кА

ПРИХОДНЫЕ СТАТЬИ P, кВт U, B Доля, % Электроэнергия 580,434/598,672)* 4,112/4,096 80,165/80,104 Окисление анода 143,611/148,697 1,017/1,017 19,835/19,896 Всего приход энергии 724,044/747,369 5,129/5,113 100,0/100,0 РАСХОДНЫЕ СТАТЬИ P, кВт U, B Доля, % Электрохим. процесс 376,949/390,301 2,670/2,670 52,004/52,162 Теплопотери анод + катод 324,898/334,139 2,302/2,286 44,823/44,656 Теплопотери с вылитым металлом 16,714/17,306 0,118/0,118 2,306/2,313 Теплопотери с отходящими газами

6,286/6,509 0,045/0,045 0,867/0,870

Всего потери энергии 724,847/748,254 5,135/5,119 100,0/100,0 Небаланс 0,802/0,885 0,006/0,006 0,111/0,118

Электрические параметры Параметр U, В I, кA P, кВт Рабочее напряжение 4,453/4,450 141,2/146,2 628,615/650,459 Греющее напряжение 4,112/4,096 141,2/146,2 580,434/598,672 Среднее напряжение 4,526/4,523 141,2/146,2 638,876/661,084 Полн. пад. напряж. в МПЗ 3,197/3,191 141,2/146,2 451,268/466,392 - омич. пад. напряж. в МПЗ 1,336/1,330 141,2/146,2 188,536/194,354 - напряжение электрохим. реакции 1,653/1,653 141,2/146,2 233,338/241,603 - напряжение в МПЗ от АЭ 0,156/0,156 141,2/146,2 21,955/22,733 - U от выхода по току < 1 0,053/0,053 141,2/146,2 7,438/7,702 Падение напр. в подине 0,363/0,335 141,2/146,2 51,243/48,965 Падение напр. в аноде 0,552/0,570 141,2/146,2 77,923/83,314 Греющее напряж. на теплопотери 2,296/2,280 141,2/146,2 324,095/333,254 Примечание.)* в числителе данные относятся к силе тока 141,2 кА, а в знаменателе к – 146,2 кА

Форма рабочего пространства алюминиевого электролизера ОА-320 представлена в Приложении В.7 (см. рис. В.7.3б). Полученные данные необходимы для прогнозирования теплоэлектрического состояния, рабочих

211

параметров эксплуатации, в частности, ФРП и энергетических балансов алюминиевых электролизеров на этапе их проектирования, когда еще не существует действующей конструкции [160, 161]. Без знания этих данных невозможно определить, какая из проектируемых конструкций, имеет лучшие технологические параметры эксплуатации, оптимальную ФРП, максимальный энергетический КПД, минимальный УРЭ и т.д. Применение численного моделирования физических процессов алюминиевых электролизеров значительно сокращает сроки выполнения робот и снижает себестоимость проекта.

а б

Рис. 5.8. Теплоэлектрическое состояние алюминиевого электролизера ОА-320 с каркасно-шпангоутным катодным кожухом:

а – поле электрического потенциала; б – поле температур

5.1.2. Механическое состояние катодов алюминиевых электролизеров в режиме эксплуатации

Для проведения расчетов напруженно-деформированного состояния

катодов алюминиевых электролизеров разных типов и конструкций при их эксплуатации созданы соответствующие численные модели с использованием математических моделей, численных методик и ПО, которые описаны в главах 2, 3. Построение численных моделей механического состояния рассмотрим на примере действующего электролизера С8-БМ (см. рис. 1.2). Численные модели НДС других типов и конструкций алюминиевых электролизеров строятся аналогичным образом и имеют похожие характеристики.

Геометрические характеристики трехмерной численной модели НДС катода алюминиевого электролизера С8-БМ (КрАЗ, ВгАЗ) при их эксплуатации приведены на рис. 5.9. Разработанные численные модели позволяют выполнять следующие расчеты при базовой и повышенной силе

212

тока с учетом контактного взаимодействия между элементами конструкции: поле перемещений с определением размеров зазоров, деформаций и напряжений; эквивалентные пластические деформации и напряжения катодного кожуха и т.д.

Таблица 5.9 Энергобаланс на температуру окружающей среды электролизера ОА-300М1

при повышении силы тока на 27 кА ПРИХОДНЫЕ СТАТЬИ P, кВт U, B Доля, % Электроэнергия 1340,636 4,063 79,520 Окисление анода 345,267 1,046 20,480 Всего приход энергии 1685,904 5,109 100,000 РАСХОДНЫЕ СТАТЬИ P, кВт U, B Доля, % Электрохим. процесс 906,229 2,746 53,584 Теплопотери анод + катод 727,563 2,205 43,020 Теплопотери с вылитым металлом 41,225 0,125 2,438 Теплопотери с отходящими газами

16,203 0,049 0,958

Всего потери энергии 1691,220 5,125 100,000 Небаланс -5,316 -0,016 -0,315

Электрические параметры Параметр U, В I, кA P, кВт Рабочее напряжение 4,331 330,000 1429,247 Греющее напряжение 4,063 330,000 1340,636 Среднее напряжение 4,344 330,000 1433,366 Полн. пад. напряж. в МПЗ 3,321 330,000 1095,776 - омич. пад. напряж. в МПЗ 1,511 330,000 498,519 - напряжение электрохим. реакции 1,700 330,000 560,961 - напряжение в МПЗ от АЭ 0,109 330,000 35,806 - U от выхода по току < 1 0,001 330,000 0,490 Падение напр. в подине/аноде 0,250/0,492 330,000 82,500/162,360 Греющее напряж. на теплопотери 2,189 330,000 722,247

В численной модели НДС, например, для контрфорсного катодного

кожуха контактные пары принимались следующими (см. рис. 5.9): между бетонными опорами и балкой под днищем катодного кожуха; контрфорсами и внешней стороной обечайки кожуха; внутренней стороной обечайки кожуха и катодной футеровкой; чугунной заливкой блюмсов и пазами в подовых блоках; подиной и СБС. Также в модели НДС, кроме температурной нагрузки при рабочих режимах, учитывались силовые нагрузки на катод: объемные силы тяжести за счет веса конструкции кожуха, футеровки и т.д.; давление на верхнюю поверхность подины за счет веса расплавов, подовой и бортовой настыли; натриевое расширение катодных и бортовых блоков, межблочных и периферийных швов. Поскольку катодный узел состоит из разнородных по своим механическим свойствам материалов, то для оценки их прочности используются разные теории прочности и, соответственно, определенный

213

набор критериев прочности: для хрупких материалов применяется критерий Мора [302] ( 31M ekv / , где 31, – главные напряжения ( 321 ), Па; , – предел прочности на растяжение и сжатие, соответственно, Па), для сыпучих – модель Дракера-Прагера (2.31)–(2.33) и для упруго-пластических – критерий Мизеса (2.20). Для катодных кожухов разных типов (балочных, контрфорсных, шпангоутных и каркасно-шпангоутных) также применяется специальная система оценочных параметров прочности, предложенная фирмой АлкорусИнжиниринг [175–179] и дополненная НИЦ «РТ» [268], которая включает в себя: максимальные значения прогибов катодного кожуха; меру пластичности конструкции; меру разрушения конструкции и меру остаточных деформаций катодного кожуха.

Таблица 5.10 Энергобаланс электролизера ОА-320 при температуре окружающей среды

ПРИХОДНЫЕ СТАТЬИ P, кВт U, B Доля, % Электроэнергия 1261,216 3,941 79,199 Окисление анода 331,243 1,035 20,801 Всего приход энергии 1592,459 4,976 100,000 РАСХОДНЫЕ СТАТЬИ P, кВт U, B Доля, % Электрохим. процесс 869,402 2,717 54,599 Теплопотери анод + катод 667,702 2,087 41,932 Теплопотери с вылитым металлом 39,649 0,124 2,490 Теплопотери с отходящими газами

15,595 0,049 0,979

Всего потери энергии 1592,347 4,976 100,000 Небаланс 0,112 0,0003 0,007

Электрические параметры Параметр U, В I, кA P, кВт Рабочее напряжение 4,140 320 1324,916 Греющее напряжение 3,941 320 1261,216 Среднее напряжение 4,191 320 1341,216 Полн. пад. напряж. в МПЗ 3,276 320 1048,416 - омич. пад. напряж. в МПЗ 1,441 320 461,130 - напряжение электрохим. реакции 1,682 320 538,159 - напряжение в МПЗ от АЭ 0,127 320 40,507 - U от выхода по току < 1 0,027 320 8,620 Падение напр. в подине/аноде 0,329/0,336 320 105,280/107,520Греющее напряж. на теплопотери 2,087 320 667,813

Система оценочных параметров прочности катодных кожухов [175]. При проектировании и модернизации для сравнительного анализа и оптимизации катодных кожухов алюминиевых электролизеров определяющее значение имеют количественные характеристики или оценочные параметры НДС металлоконструкции. Параметры прочности должны отвечать следующим

214

требованиям: давать возможность осуществлять сравнительный анализ разных конструкций; разрабатывать практические рекомендации по улучшению НДС конструкций для повышения их срока эксплуатации. При эксплуатации катодных устройств принимают, что все его элементы находятся в стационарном режиме работы, то есть их НДС имеет квазистационарный характер при установленной силовой и температурной нагрузках [175]. В конструкциях катодных кожухов при рабочих режимах возникают необратимые деформации, то есть их материал (ст. 3) находится в упругопластическом состоянии. В практических расчетах, с целью учета своеобразного коэффициента запаса прочности, можно не учитывать упрочнение материала за счет пластических деформаций, то есть использовать модель идеальной пластичности [175, 268]. При этом использование максимальных напряжений [175] для количественной оценки НДС катодных кожухов, например, для минимизации их веса, не имеет смысла, поскольку при условиях упругопластического состояния интенсивность напряжений не может превышать предела текучести материала кожухов. Поэтому в оценочные параметры прочности катодных кожухов наряду с максимальными перемещениями необходимо ввести следующие интегральные показатели [175]:

а б

Рис. 5.9. Численная модель НДС при эксплуатации катодного узла алюминиевого электролизера (см. рис. 1.1) с катодным кожухом контрфорсного типа:

а – твердотельная модель; б – контактные поверхности 1. Перемещения по трем контрольным точкам катодного кожуха

321, uuu , 1,3 мм, 50 ;мм 10 max min iuu ii, (5.1)

где 1u – максимальный прогиб торцевой стенки на уровне середины борта; 2u – максимальный прогиб продольной стенки на уровне середины борта; 3u – максимальный прогиб днища в центре;

2. Мера пластичности конструкции (интегральный параметр ) определяется как отношение площади конструкции S*, подверженной

215

пластической деформации, ко всей площади ее поверхности S. Этот параметр определяет долю областей конструкции или отдельных ее элементов, находящихся в состоянии пластического течения

10 ,*

S

S. (5.2)

3. Мера разрушения конструкции – интегральный параметр

*

**

S

S , (5.3)

где **S – площадь поверхности конструкции, на которой интенсивность пластических (остаточных) деформаций превышает некоторое критическое значение * (обычно принимают, что интенсивность остаточной деформации

* = 0,001 (0,1 %)); 4. Интенсивность пластических деформаций по Мизесу

213

223

212

21133

23322

22211eqv 2

332

. (5.4)

5. Мера остаточных деформаций катодного кожуха (после снятия нагрузки, дополнена НИЦ «РТ» [239]): Этот параметр характеризует долю областей с повышенным уровнем остаточных деформаций по отношению ко всей поверхности элементов конструкции

S

S **

strain r. . (5.5)

Результаты численных исследований НДС катодов разных конструкций,

рассчитанных на работу при различной силе тока представлены на рис. 5.10–5.12 и в табл. 5.11. Для проведения расчетов были отобраны конструкции катодных кожухов, которые могут работать как при проектной силе тока, так и при повышенной [239, 268]: катод С8-БМ СА с катодным кожухом контрфорсного типа и проектной силе тока 156 кА; катод С-130 СА с катодным кожухом шпангоутного типа и проектной силе тока 136 кА; катод ОА-320 с катодным кожухом каркасно-шпангоутного типа и проектной силе тока 320 кА. При выполнении численного моделирования НДС физические свойства материалов брались из [160, 178, 189] и по сертификатам производителей конструкционных материалов.

При расчетах НДС в качестве температурной нагрузки конструкции бралось поле температур, рассчитанное с помощью численных моделей

216

теплоэлектрического состояния, представленных в п. 5.1.1. При этом натриевое расширение углеграфитовой части катодной футеровки (подины) учитывалось по методике, описанной в главе 2 [178, 239, 268].

а б

в г

Рис. 5.10. НДС алюминиевого электролизера средней мощности С8-БМ (см. рис. 1.1, 5.9) во время эксплуатации с контрфорсным катодным кожухом

и с бортовым «температурным швом»: а – суммарные перемещения катода в целом; б – интенсивность напряжений

133221int max углеграфитовой части катода; в – эквивалентные

напряжения катодного кожуха по Мизесу (2.20); г – эквивалентные пластические деформации катодного кожуха по Мизесу (5.4) (черным цветом выделены области

остаточных пластических деформаций)

Уровень суммарных перемещений (см. рис. 5.10а) выходит за пределы ограничений (5.1), что объясняется большим значением Na = 2 %, которое может иметь место при сильной пропитке блоков [189]. Во всех других расчетах эта величина принималась 0,25 %.

Анализ полученных результатов показывает, что: – проведено сопоставление результатов численного моделирования

с расчетными данными по катодным кожухам электролизеров на силу тока 105–210 кА, выполненных фирмой ООО «АЛКОРУСИНЖИНИРИНГ» [177]. Большая часть оценочных параметров прочности согласуется между собой. Значительное отклонение наблюдается только по параметру , что объясняется другими условиями проведения расчетов в [177] (то есть без учета наличия катодной футеровки и контактного взаимодействия и т.д.);

217

Таблица 5.11 Сопоставление результатов расчетов НДС катодных кожухов

алюминиевых электролизеров Тип эл-ра, сила тока, кА

u1, мм u2, мм u3, мм , % eqv, % , % r,strain, %

С-130, 136,2

20,2 24,0 12,1 28,8 2,79 38,9 11,2

С-130, 146,2

21,5 24,6 12,8 30,6 2,87 39,7 12,1

С8-БМ, 158,5

29,9 19,4 48,4 11,74 0,65 26,5 3,11

ОА-320, 320

27,8 22,1 17,4 15,53 0,57 37,7 5,8

эл-ры на силу тока 105–210)1

12,6–48,4

15,6–18,8

5,1–17,9 2,75–13,5

0,34–1,35

0,24–6,67

–

Примечание. )1 – результаты расчетов катодных кожухов шпангоутного типа [177] – разработанные численные модели, в которых учитывается контактное

взаимодействие между элементами конструкции, можно использовать для проведения расчетов НДС разных конструкций катодов алюминиевых электролизеров на этапе как проектирования, так и модернизации при повышении силы тока с целью выбора наиболее совершенной конструкции в части параметров прочности и металлоемкости катодных кожухов, обеспечения целостности подины и т.д.;

– конструкция катодного кожуха должна обеспечивать механическую целостность катодной футеровки на протяжении всей кампании эксплуатации и иметь такие характеристики внешнего теплообмена верхнего пояса, чтобы обеспечить достаточный защитный гарнисаж [160]. В свою очередь механические условия также можно разделить на два противоположных требования. Катодный кожух с одной стороны должен обжимать футеровку, в частности, подину, чтобы она не разошлась по швам (межблочным и периферийным) и не образовались трещины, в которые моментально проникают расплавы, проходя под блоки, и разрушают ее в результате значительного подъема. С другой стороны катодный кожух должен давать возможность расширения хрупкой части катодной футеровки под действием температурной нагрузки и натриевого расширения. Сформулированным требованиям в наибольшей мере удовлетворяют катодные кожухи каркасно-шпангоутного и шпангоутного типа составной конструкции, а в меньшей – балочного типа и рамно-шпангоутные;

218

а е

б ж

в з

г и

д к

Рис. 5.11. Влияние изменения силы тока на НДС модернизированного катода алюминиевого электролизера С-130 со шпангоутным катодным кожухом

без бортового «температурного шва»: а–д – сила тока 136,2 кА; е–к – сила тока 146,2 кА; а, е – поле температур; б, ж – поле суммарных перемещений; в, з – поле интенсивности напряжений; г, и – поле суммарной

эквивалентной деформации; д, к – поле эквивалентной пластической деформации; черным цветом обозначены области пластической деформации (г, и) и остаточной пластической

деформации (д, к)

219

а б

в г

д е

ж з

Рис. 5.12. НДС катода алюминиевого электролизера ОА-320 с каркасно-шпангоутным катодным кожухом без бортового «температурного шва»:

а – поле суммарных перемещений; б – зазор между подовыми блоками и СБС ~2 мм; в – зазор между каркасом шпангоутов и обечайкой ~5 мм; г – поле интенсивности

напряжений; д – поле температур; е, ж – поле суммарной эквивалентной деформации, соответственно, каркаса шпангоутов в кожухе; з – поле эквивалентной пластической деформации катода (черным цветом выделены области остаточных пластических

деформаций)

220

– определены зоны пластичности и опасные зоны с интенсивностью пластических деформаций > 0,1 % катодных кожухов разных типов: контрфорсного, шпангоутного и каракасно-шпангоутного. К опасным зонам относятся: обечайка по продольной и торцевой сторонам;

– отсутствие «температурного шва» в бортовой футеровке модернизированных катодов и катодов современных мощных электролизеров ОА приводит к повышению температуры обечайки катодных кожухов и соответственно к увеличению площади зон пластичности;

– рассмотренные катодные кожуха в целом обеспечивают целостность подины. При этом рассчитанные эквивалентные напряжения по Мору в верхней части подины не превышают предел прочности на растяжение (изгиб) для углеграфитовых и графитированных материалов;

– в целом расчеты подтверждают определенные преимущества катодного кожуха каркасно-шпангоутного типа по сравнению со шпангоутным для электролизеров большой мощности [268]. Каркас шпангоутов каркасно-шпангоутных катодных кожухов, в отличие от обечайки, почти не имеет зон остаточных деформаций и поэтому может быть повторно применен во многих кампаниях алюминиевого электролизера. Это также касается катодных шпангоутных кожухов составного типа, в отличие от цельносварных. В цельносварных конструкциях катодного кожуха в состоянии пластичности находятся как обечайка, так и ребра шпангоутов, что непосредственно контактируют с ней.

5.1.3. Влияние изменения технологических параметров на энергоэкономические показатели эксплуатации

К основным технологическим параметрам, которые влияют на

энергоэкономические показатели эксплуатации алюминиевых электролизеров, относятся: сила тока, рабочее напряжение и выход по току. Известно, что сила тока напрямую связана с производительностью электролизера по металлу, а рабочее напряжение и выход по току непосредственно определяют его УРЭ.

Результаты сравнения энергоэкономических характеристик модернизированных электролизеров ЗАлК с действующими при изменении силы тока и выхода по току представлены на графиках рис. 5.13.

С использованием созданных численных моделей разработано ряд проектов по переводу электролизеров на работу на повышенной силе тока с целью увеличения их производительности при одновременном уменьшении УРЭ и увеличении срока эксплуатации [303]. Так, например, на ОАО ЗАлК разработано конструкции модернизированных алюминиевых электролизеров, которые по сравнению с действующими имеют достаточно весомое улучшение энергоэкономических показателей эксплуатации [239, 291]:

221

увеличение производительности на конструкции СА (см. рис. 5.1а) на 14– 40 т/год при повышении силы тока на 5–15 кА, а на конструкции ОА (см. рис. 5.1б) на 29–55 т/год при повышении силы тока на 10–20 кА; уменьшение УРЭ на конструкции СА на 830–1070 кВтч/т, а на конструкции ОА на 1470–2100 кВтч/т. Экономический эффект от внедрения этой разработки может достигать более чем 1,47 млн грн в расчете на одну кампанию 20 электролизеров при сроке окупаемости менее чем 7 мес. Аналогичные проекты по переводу алюминиевых электролизеров на эксплуатацию на повышенной силе тока были разработаны и внедрены в производство на других алюминиевых заводах СНГ (ОК Русал, ОАО ВгАЗ – экономический эффект – 9,17 млн руб/год).

69,4

79,0

84,0

89,0

89,4

91,0

91,0

91,0

499 57

9

615

652

1392

9

1408

9

1456

3

1603

4

Действующий

электролизер

СА

БТ

,I базо

вая

Модер

изи

рован

ный

электр

олизер

ОА

,I+

10кА

Модер

низи

рован

ный

электр

олизер

ОА

,I+

15кА

Модер

низи

рован

ный

электр

олизер

ОА

,I+

20кА

Сила тока, кА

Выход по току, %

Производительность, кг/сут

УРЭ, кВт*ч/т

69,4

74,0

79,0

84,0

89,4

90,0

90,0

90,0

499 53

6

609

57214

966

1497

7

1520

3

1603

4

Дей

ствую

щий

электр

олизер

СА

БТ

,I б

азовая

Модер

низи

рован

ный

электр

олизер

СА

БТ

,I+

5кА

Модер

низи

рован

ный

электр

олизер

СА

БТ

,I+

10кА

Модер

низи

рован

ный

электр

олизер

СА

БТ

,I+

15кА

Сила тока, кАВыход по току, %Производительность, кг/сутУРЭ, кВт*ч/т

а б

Рис. 5.13. Сравнение технологических и энергетических характеристик модернизированных алюминиевых электролизеров ЗАлК с действующими: а – электролизер СА БТ (см. рис. 5.1а); б – электролизер ОА (см. рис. 5.1б)

5.1.4. Влияние пропитки расплавами футеровочных и

теплоизоляционных материалов на теплоэлектрическое состояние и срок эксплуатации электролизеров

Катодный узел электролизера является одной из наиболее проблемных его

составляющих потому, что он включает в себя угольный катод с подводами тока, огнеупорную футеровку и теплоизоляцию, которые помещаются в металлический кожух. В процессе эксплуатации практически все элементы катода не подлежат замене или текущему ремонту. То есть все элементы катодного узла должны

222

обеспечить надежную эксплуатацию электролизера на протяжении всей кампании его эксплуатации. С другой стороны предназначение катодного узла многофункциональное: обеспечение не только механической прочности конструкции, но и высоких технологических и энергетических характеристик процесса получения алюминия. Последние определяются физическими свойствами угольной, огнеупорной и теплоизоляционной футеровки и ее дизайна в целом [294].

Одной из основных причин, приводящих к ухудшению технологических параметров электролизера и качества алюминия является изменение физических свойств футерувочных материалов в процессе его эксплуатации. Например, основной задачей углеродной футеровки является как функция катода, так и создание герметической емкости для расплавов металла и электролита. Однако, на практике, обеспечить полную герметичность не удается, возможно только снижение степени проникновения расплавов металла и фтористых солей. В свою очередь, степень проникновения расплавов под катодные секции определяется целым рядом факторов: свойствами материала подовых блоков, набивной массой, параметрами обжига и пускового периода, дизайном футеровки и ее деформацией вместе с катодным кожухом (катодный кожух должен обеспечивать целостность подины при рабочих температурных режимах (см. п. 5.1.2)), ФРП и другими факторами. В результате проникновения расплавов в огнеупор и теплоизоляцию термическое сопротивление цоколя значительно снижается, теплопотери увеличиваются, для компенсации которых необходимо повышать рабочее напряжение на электролизере. Все это ведет к увеличению УРЭ, то есть к ухудшению основной энергетической характеристики процесса производства алюминия.

Применение СБС, в качестве которых используются в основном сыпучие смеси оксидов (Al2O3, SiO2, CaO, MgO, Fe2O3), замедляет процесс пропитки, но полностью не исключает его.

При чрезмерном утеплении цоколя электролизеров изотерма проникновения расплавов в футеровку (800–850 С) может достигать верхних слоев теплоизоляции [3, 244], что может быть критичным для дальнейшей эксплуатации электролизера.

На рис. 5.14 показано рассчитанное тепловое состояние электролизера в начальный период его эксплуатации и после частичной пропитки материалов цоколя, что отвечает 2–3 годам эксплуатации при использовании качественных сертифицированных футеровочных материалов.

223

а б

Рис. 5.14. Сопоставление температурных полей катода в режиме эксплуатации без (а) и с учетом (б) влияния пропитки материалов фторсолями:

а – tдн = 66,9 C, Qдн = 21,2 кВт – средняя температура и теплопотери днища катода при исходных свойствах материалов футеровки (без учета пропитки); б – tдн = 93,5 C,

Qдн= 31,6 кВт – футеровочные материалы пропитаны фтористыми солями

С увеличением срока эксплуатации алюминиевого электролизера уровень температур в цоколе катода повышается, то есть изотермы со временем «дрейфуют» в низ футеровки. Это особенно характерно для огнеупорной части цоколя, но процесс «старения» футеровки электролизера проявляется и на его днище. Так, например, расчетная температура днища с увеличением срока эксплуатации повышается на ~27 C (то есть на 40 % относительно исходного ее значения), а теплопотери через днище увеличиваются на 10 кВт или в 1,5 рази.

Полученные данные свидетельствуют о том, что при прогнозе теплового состояния электролизера на дальнейшие периоды его эксплуатации необходимо обязательно учитывать изменение физических свойств футеровочных материалов под влиянием пропитки фтористыми солями.

5.1.5. Влияние изменения регламента подвода тепловой

мощности на темп подъема температуры при пламенном обжиге подины алюминиевого электролизера

Углеграфитовая часть катодов алюминиевых электролизеров набирается из отдельных блоков или катодных секций (КС), зазоры между которыми заполняются массой подовой холоднонабивной (МПХН). Поэтому конечным этапом подготовки катодов к эксплуатации является обжиг, основной целью которого является коксование межблочных и периферийных швов из набивной массы и достижение подиной эксплуатационных

224

температур. Существует много видов обжига катодов [3, 161, 263], но в последнее время наибольшего распространения в мире получил пламенный обжиг с использованием газообразного или жидкого топлива.

К основным критериям качества обжига принадлежат: конечные температуры и глубина коксования межблочных и периферийных швов; равномерность нагревания подины. Эти показатели равной мерой зависят как от качества используемых при монтаже материалов, качества самого монтажа так и от температурного режима обжига, то есть интенсивности (темпа) и длительности нагрева подины (или регламента обжига) [161, 168]. Оптимальной температурой поверхности межблочных швов и угольных блоков в конце обжига следует считать 800–900 С (среднее значение). До конца обжига межблочные швы должны быть скоксованы по всей глубине подины. Периферийные швы должны быть прогреты до температуры 450–550 С, а глубина их коксования в конце обжига должна составлять около 100–150 мм от поверхности [161, 168]. При обжиге подины в набивных швах протекают разные физико-химические процессы (выделение растворенной влаги и газов, синтез молекул полукокса, затвердевание связующего, переход полукокса в кокс). Каждый из перечисленных процессов характеризуется определенным интервалом температур. Наиболее важными с точки зрения получения монолитной и прочной подины является процессы образования полукокса. Исследования представленные в [161] показали, что температурный интервал образования полукокса для разных холоднонабивных масс составляет 250–350 С, а начало перехода полукокса в кокс отвечает температурам 300–350 С. То есть, для получения качественных швов, с максимальным выходом кокса из связующего необходимо снизить темп термообработки при прохождении интервала образования кокса 250–350 С. При этом рекомендованный темп термообработки составляет 6–7 К/ч [161, 168, 278].

При разработке регламентов обжига алюминиевых электролизеров широкое применение получило численное моделирование температурных полей в объеме электролизера. Основным заданием численного моделирования температурных полей при обжиге катодов является определение энергосберегающего регламента подвода мощности, который бы обеспечил научно-обоснованный темп нагрева подины [161, 264].

Для отработки регламентов обжига катодных устройств при их подготовке к эксплуатации, в которых учитываются фазы интенсивного газовыделения при коксовании набивной подовой массы, разработаны численные модели теплового состояния при пламенном обжиге катодных узлов в соответствии с математической формулировкой задачи (см. главу 2) и методами численного решения (см. главу 3). Пример численной модели для расчетов теплового состояния катодного узла базовой конструкции электролизера ЗАлК [257, 279] показан на рис. 5.15.

225

Результаты численных экспериментов по определению нестационарных температурных полей пламенного обжига катода электролизера ЗАлК длительностью 48 ч показаны на рис. 5.16, 5.17.

Анализ данных (см. на рис. 5.16(а–в), 5.17), полученных при регламенте обжига без учета фазы газовыделения, показывает, что:

– на конец обжига средний уровень температуры на поверхности периферийного шва и подины составляет 480 и 850С, соответственно, а в объеме шва и подины – 400 и 510 С, что отвечает требованиям [161];

в интервале температур образования полукокса и кокса 250–350 С с наибольшим газовыделением скорость термообработки подины достигает 13–23 К/ч, что значительно превышает рекомендованное значение [161].

Из проведенного анализа вытекает необходимость определения регламента обжига, в котором будут учтены требования [161] относительно скорости термообработки подины в интервале температур 250–350 С. При этом на интервалах температур менее 250С и более 350 С скорость термообработки подины не ограничивается. Результаты таких расчетов с длительностью обжига 48 ч представлены на рис. 5.16(г–е), 5.18.

Рис. 5.15. Геометрические характеристики численной модели для расчетов нестационарных полей температур при пламенном обжиге катода алюминиевого электролизера ЗАлК

на силу тока 70 кА: 1 – слой вермикулита; 2 – слой СБС; 3 – слой шамота; 4 – межблочный шов (набивная масса); 5 – подовый блок; 6 – периферийный шов (набивная масса); 7 – бортовой блок;

8 – слой вспученного вермикулита; 9 – заполнитель шамотный; 10 – слой торкрет массы; 11 – блюмсы

Анализ данных (см. рис. 5.16(г–е), 5.18) показывает, что:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

226

а г

б д

в е

Рис. 5.16. Нестационарные температурные поля при обжиге катода алюминиевого электролизера на силу тока 70 кА:

а–в – регламент обжига без учета особенностей фазы интенсивного газовыделения набивной массы; г–е – регламент обжига с учетом особенностей фазы интенсивного газовыделения набивной массы; а – 35 ч, tmax = 596 C; б – 42 ч, tmax = 849 C; в – 48 ч,

tmax = 985 C; г – 20 ч, tср, = 358 C, tmax = 417 C; д – 42 ч, tср, = 793 C, tmax = 938 C; е – 48 ч, tср, = 882 C, tmax = 995 C; tср,, tmax – средняя и максимальная температура подины

в текущее время, соответственно

227

0 10 20 30 40 50, год

0

100

200

300

400

500Потужність

, кВ

т1

2

0 10 20 30 40 50

, год

0

200

400

600

800

1000

Тем

пература,

С 1

2

а б

Рис. 5.17. Параметры пламенного обжига катода электролизера СА БТ на силу тока 70 кА ЗАлК, в регламенте которого не учитываются особенности фазы интенсивного

газовыделения набивной подовой массы: б – изменение во времени () тепловой мощности на горелках (1) и мощности, которая

воспринимается подиной (2); в – изменение во времени () средней температуры поверхностей подины (1) и периферийных швов (2)

0 10 20 30 40 50, год

0

100

200

300

400

Потужність

, кВ

т

1

2

0 10 20 30 40 50

год

0

200

400

600

800

1000

Тем

пература,

С

1

2

а б

Рис. 5.18. Параметры пламенного обжига катода электролизера СА БТ на силу тока 70 кА ЗАлК, регламент которого рассчитан с учетом особенностей фазы интенсивного

газовыделения набивной подовой массы: б – изменение во времени () тепловой мощности на горелках (1) и мощности, которая

воспринимается подиной (2); в – изменение во времени () средней температуры поверхностей подины (1) и периферийных швов (2)

ч ч

Мощность

, кВт

ч ч

Мощность

, кВт

228

– на конец обжига средний уровень температуры на поверхности периферийного шва и подины составляет 525 и 882 С, соответственно, а в объеме шва и подины – 435 и 534 С, что отвечает требованиям [161];

средний уровень температуры на конец обжига на поверхности периферийного шва и подины составляет 525 и 882 С, соответственно, а в объеме шва и подины – 435 и 534 С, что отвечает требованиям [161];

в интервале температур образования полукокса и кокса 250–350 С с наибольшим газовыделением средняя скорость термообработки подины не превышает 7,3 К/ч, что отвечает требованиям [161];

длительность обжига можно сократить на 4 ч без ухудшения его конечных термических характеристик.

Энергосбережение при термообработке катода обеспечивается за счет сокращения продолжительности обжига, например, на 4 ч. При этом конечные термические характеристики обжига не ухудшаются, а экономия природного газа составляет около 184 м3 на один катод. Применение предложенного регламента позволяет значительно уменьшить вероятность появления трещин в межблочных и периферийных швах, обеспечить «мягкий» пуск с напряжением не более 10– 12 В и повысить срок эксплуатации электролизера на 3–6 мес.

Аналогичные регламенты пламенного обжига катодов алюминиевых электролизеров разной мощности разработаны с помощью соответствующих численных моделей и внедрены в производство на других алюминиевых заводах СНГ.

5.1.6. Исследования внешнего теплообмена при

принудительном охлаждении катодов алюминиевых электролизеров при пусковых режимах

При пусковых режимах сверхмощных алюминиевых электролизеров

(мощностью более чем 1,2 МВт при силе тока более 300 кА), благодаря повышенному значению рабочего электрического напряжения, температура процесса электролиза превышает штатное значение как минимум на 150–250 С. При этом защитный бортовой гарнисаж и настыль совсем отсутствуют, что в результате вызывает значительный перегрев стальных конструкций катодных кожухов. Поэтому для более интенсивного отвода избыточной теплоты и уменьшения уровня температуры при пусковых режимах используется система принудительного воздушного охлаждения катодных кожухов, что в результате уменьшает уровень пластических деформаций и таким образом обеспечивает поддержку их несущей способности. Для получения значений эффективных коэффициентов теплоотдачи, необходимых при проектировании систем принудительного охлаждения катодов и численном моделировании теплового состояния электролизеров во время пусковых режимов, разработана численная

229

модель газодинамики и сложного теплообмена для пространства между двумя шпангоутами (рис. 5.19) в соответствии с математичкой формулировкой задачи (см. главу 2) и методами численного решения (см. главу 3).

Численные эксперименты проводились при задании избыточного давления или скорости воздуха во входных патрубках системы принудительного охлаждения катодного кожуха. Результаты расчетов при изменении входных параметров системы охлаждения катода приведены на рис. 5.19 и в табл. 5.12, 5.13. При выполнении расчетов системы принудительного охлаждения исследовалось влияние теплового излучения на αэф, а также изменение давления и скорости на входе в систему на значения αконв, αэф. Анализ полученных данных показывает, что при скорости обдува до 20 м/c максимальное значение эффективного коэффициента теплоотдачи среднего и верхнего поясов обечайки катодного кожуха увеличивается примерно в 2 раза (табл. 5.12), а при повышении скорости до 40 и 70 м/c – увеличивается соответственно в 3 и 4 раза. При увеличении избыточного давления до 1,2–5 кПа эффективный коэффициент теплоотдачи повышается в 3–5 раз (см. табл. 5.13) по сравнению с вариантом при отсутствии системы принудительного охлаждения.

а б в

Рис. 5.19. Результаты численного моделирования сложного теплообмена при использовании принудительного охлаждения среднего и верхнего поясов катода при

избыточном давлении воздуха во входных патрубках 1,25 кПа: а – векторное поле скорости maxV = 44 м/с; б – суммарный (конвективный и радиационный)

тепловой поток; в – эффективный коэффициент теплоотдачи

Результаты сопоставления данных расчетов с аналитическим решением представлены в табл. 5.14. Полученные данные по αэф были использованы при расчетах пусковых и рабочих режимов алюминиевых электролизеров ОА-300М1 (ОАО УАЗ, РФ) при их эксплуатации на повышенной силе тока [246].

230

Таблица 5.12

Данные расчетов при задании скорости воздуха во входных патрубках системы

Vвх, м/с

Reвх Vвых, м/с

qконв, Вт/м2

qрад, Вт/м2

qсум, Вт/м2

αконв, Вт/(м2·К) min-max

Т, С

αэф, Вт/(м2·К)

1 0,0 0 0,79 1149,5 4430,0 5258,2 0,7-5,1 225,4 23,3 2 20,0 68459 4,8 7949,9 4429,9 12262,2 1,9-30,0 264,9 46,3 3 40,0 136917 9,5 13017,7 4429,6 17327,6 3,3-48,9 266,2 65,1 4 70,0 239605 16,8 19598,7 4429,7 23909,2 5,2-73,7 265,9 89,9 Примечание: Vвх – скорость воздуха на входе в систему, м/с; Reвх – число Рейнольдса на входе в систему; Vвх – максимальная скорость воздуха на входе в систему, м/с; Vвых – максимальная скорость воздуха на выходе из системы, м/с; qконв – средний конвективный тепловой поток на обечайке среднего и верхнего поясов катодного кожуха, Вт/м2; qрад – средний радиационный тепловой поток на обечайке среднего и верхнего поясов катодного кожуха, Вт/м2; qсум – средний суммарный тепловой поток (конвекция + тепловое излучение) на обечайке среднего и верхнего поясов катодного кожуха, Вт/м2; αконв – коэффициент теплоотдачи на обечайке среднего и верхнего поясов катодного кожуха, Вт/(м2·К); Т = qконв/αконв – определяющая разница температур, С; αэф = qсум/Т – среднее значение эффективного коэффициента теплоотдачи (учитывающего конвекцию и излучение), Вт/(м2·К)

Таблица 5.13 Данные расчетов при задании избыточного давления воздуха

во входных патрубках системы Ризб,вх,

ат/Па

Vвх, м/с

Vвых, м/с

qконв, Вт/м2

qрад, Вт/м2

qсум, Вт/м2

αконв, Вт/(м2·К) min-max

Т, С

αэф, Вт/(м2·К)

1 0 0,19 0,79 1150,2 4430,0 5258,9 0,7-5,1 225,5 23,3 2)1 0 0,19 0,75 641,7 1819,2 2233,8 0,7-4,6 139,5 16,0 3)2 0 0,19 0,72 265,1 948,4 1149,5 0,4-4,0 66,3 5,8 4 0,0125

1266,6 43,9 10,3 13733,5 4429,7 18045,4 3,5-51,6 266,2 67,8

5 0,025 2533,1

62,3 14,6 17719,7 4429,7 22031,4 4,6-66,4 266,8 82,6

6 0,05 5066,3

88,1 20,7 22936,3 4429,8 27248,6 6,0-85,9 267,0 102,0

7 0,1 10132

124,8 29,4 29763,7 4429,9 34076,5 7,7-111,5 266,9 127,7

Примечание: )1 – уменьшен вклад излучения за счет снижения температуры теплоотдающей стенки с 300 до 200 С; )2 – уменьшен вклад излучения за счет снижения температуры теплоотдающей стенки с 300 до 100 С; Ризб,вх – избыточное давление на входе в систему охлаждения, Па

231

Таблица 5.14 Результаты сопоставления расчетов с данными аналитического решения

для адиабатного истечения идеального газа (воздуха) р1, Па

(абсолютное давление)

Расчет V, м/с

Адиабатное истечение)1 V, м/с

1 99333,1 43,9 46,3 2 100599,6 62,3 65,7 3 103132,8 88,1 93,3 4 108198,5 124,8 132,9

Примечание: )1

k

k

p

pvp

k

kV

1

1

211 1

1

2, где k – показатель адиабаты;

р1, р2 – давление на входе и выходе из сопла. Па; 1v – удельный объем на входе, м3/кг.

5.2. Печи графитирования

Как отмечалось во вступительной части монографии к основным мировым

тенденциям развития электродной промышленности в XXI столетии является повышение энергетической эффективности печей графитирования Ачесона путем усовершенствования регламентов подвода электроэнергии, оптимизации геометрии керна и применения керновой теплоизоляции с улучшенными теплофизическими характеристиками; снижение УРЭ при графитировании электродной продукции путем внедрения печей прямоточного нагрева Кастнера [5, 7].

Для определения эффективности технических решений, например, при изменении регламентов подвода мощности, оптимизации загрузки керна обязательно проводится комплекс сравнительных расчетов, включающих: теплоэлектрическое и механическое состояние в период кампании печи, энергобаланс и оценку экономической целесообразности принятых решений [239, 272, 274, 275].

Разработанные численные модели позволяют проводить оценку влияния на энергетические показатели работы печи целого ряда как конструктивных, так и технологических параметров кампании печи графитирования [239, 257, 262, 265, 272–276, 278]: геометрии керна; размеров заготовок и способа их укладки; толщины теплоизолирующих и пересыпочных слоев; физических свойств материалов печи и керна с учетом разного исходного влагосодержания; регламента ввода электрической мощности; условий теплообмена с окружающей средой и т.д.

Расчетными параметрами численных моделей являются следующие: электрические параметры печи; изменение во времени уровня температур конструкционных элементов печи и керна; теплопотери печи; изменение во

232

времени скорости нагрева керна; мгновенные и результирующий энергобаланс [54, 55]; КПД и УРЭ печи, степень графитирования заготовок и т.д.

5.2.1. Теплоэлектрическое и механическое состояние печей

графитирования Ачесона

Для проведения расчетов ТЭМ состояния печей графитирования косвенного нагрева разных конструкций, электрической мощности и загрузки керна во время кампании графитирования разработаны соответствующие численные модели с использованием математических моделей, численных методик и ПО, которые описаны в главах 2 и 3. Построение численных моделей ТЭМ состояния рассмотрим на примере печи постоянного тока (100 кА) во время кампании графитирования заготовок 610 мм без ниппельной загрузки. Численные модели ТЭМ состояния для других конструкций печей графитирования и загрузки керна строятся аналогичным образом и имеют похожие характеристики.

Геометрические характеристики трехмерной численной модели ТЭМ состояния печи постоянного тока во время кампании графитирования заготовок 610 мм приведены на рис. 1.12, 5.20. Физические свойства конструкционных материалов печи брались из [4, 37–39, 64, 81, 93, 97, 160, 310, 311], а зависимость электропроводности пересыпочных материалов печи от давления – [37, 310].

Результаты тестирования и верификации разработанных численных моделей представлены в Приложении В.7, В.9 (рис. В.7.4, В.9.1, В.9.2). Верификация разработанных численных моделей термоэлектрического состояния проводилась путем сопоставления результатов расчетов электрического и теплового состояния при действующем регламенте печи графитирования с данными натурных экспериментов (см. главу 4, п. 4.3.1).

Анализ данных (см. рис. В.9.1, В.9.2) показывает согласование между данными результатов расчетов физических полей и параметров кампании с данными натурных экспериментов. Практически все расчетные значения электрических параметров и температур лежат в пределах погрешности измерений экспериментальных данных (см. Приложение Д). По результатам сопоставления данных расчетов и натурного эксперимента можно сделать вывод о том, что разработанные численные методики и на их базе численные модели теплоэлектрического состояния можно применять для сравнительного анализа энергетической эффективности действующих и новых конструкций печей графитирования при базовых и модернизированных регламентах подвода электрической мощности.

233

Результаты численных экспериментов по определению ТЭМ состояния и результирующему энергобалансу печи Ачесона при графитировании электродов 610 мм с ниппельной загрузкой представлены на рис. 5.21–5.25.

Анализ полученных данных показывает, что: – на конец кампании достигается 98% графитирование заготовок [52,

273, 279] (см. рис. 5.23б) при УРЭ более чем 5500 кВтч/т; – наибольшая плотность внутренних источников теплоты за счет

протекания электрического тока в керне отвечает максимуму напряженности электрического поля (см. рис. 5.21б, г, е). При этом напряженность электрического поля имеет значительную неравномерность в объеме сыпучих материалов керна;

Рис. 5.20. Геометрические характеристики численной модели для расчетов теплоэлектрического и механического состояния во время кампании печи графитирования

Ачесона постоянного тока: 1 – графитовые токоподводы; 2 – шамотная стенка; 3 – графитовая пыль; 4 – графитовый блок; 5 – угольный блок; 6 – графитированный кокс; 7 – подкерновая теплоизоляция;

8 – обожженные заготовки; 9 – керновая пересыпка; 10 – верхняя теплоизоляция; 11 – воздушные каналы; 12 – боковая теплоизоляция; 13 – железобетонные колоны

– в керне печи во время кампании имеет место достаточно сильная

неравномерность температурного поля (см. рис. 5.21, 5.23б, 5.24а), что в основном вызвано неравномерностью напряженности электрического поля;

– на нагрев заготовок за все время кампании расходуется только 27 % подведенной электрической мощности (см. рис. 5.25), что почти в 1,6 раза меньше, чем на нагрев теплоизоляции 43%. Для повышения доли теплоты, которая идет на нагрев заготовок, можно применять «утепление»

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 12 13 2

234

газосборного зонта [41, 276] (за счет уменьшения теплопотерь) и сокращения продолжительности кампании за счет использования графика подвода мощности с большей интенсивностью [279];

а б

в г

д е

Рис. 5.21. Теплоэлектрическое состояние кампании печи Ачесона постоянного тока при графитировании заготовок 610 мм:

а, в, д – температурное поле; б, г, е – напряженность электрического поля; а, б – =30 ч; в, г – =50 ч; д, е – =68 ч – конец подвода электрической мощности

235

– наиболее действенным способом уменьшения УРЭ является сокращение длительности кампании печи при использовании более интенсивного графика подвода электрической мощности и уменьшение расхода электроэнергии на кампанию. При этом за счет нестационарности процесса уменьшается доля электрической мощности, идущей на нагрев теплоизоляции, что дает возможность снизить расход электроэнергии на кампанию и таким образом сократить УРЭ. Этот эффект также применяется в печах Кастнера;

– для определения возможности применения более интенсивного графика подвода электрической мощности в печь по сравнению с действующим необходимо иметь данные об НДС заготовок во время их нагревания (см. рис. 5.24) [275] в интервале температур 1000–2000 С, когда в заготовках протекают процессы расширения, перестройки кристаллической решетки и уплотнения структуры материала и т.д. (см. п. 1.1.5).

а б

Рис. 5.22. НДС сыпучих материалов керна печи Ачесона перед началом кампании графитирования (модель Дракера-Прагера [37, 310, 324] для учета зависимости УЭС

пересыпочных материалов от давления): а – суммарные перемещения; б – гидростатическое напряжение

Несмотря на значительную неравномерность температурного поля

заготовок (см. рис. 5.24а), условия критерия прочности Мора для хрупкого материала заготовок выполняются M ekv = = 1 < 10 МПа (см. рис. 5.24б). Поэтому с учетом роста прочности графитовых изделий с ростом температуры (см. п. 1.1.5) существует запас для более интенсивного нагревания заготовок (графитируемых электродов) за счет интенсификации графика подвода электрической мощности. Достижение большей равномерности температурного поля керна возможно лишь за счет изменения его конфигурации, применения теплоизоляционных материалов с меньшей теплопроводностью (рис. 5.26а) и т.д.

236

0 10 20 30 40 50 60 70, год

80

120

160

200

240

280U

, B

0

20

40

60

80

100

2

1

0 10 20 30 40 50 60 70

, год

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

T, K

1 2 3

а б Рис. 5.23. Изменение электрических и термических параметров кампании печи Ачесона

постоянного тока при графитировании заготовок 610 мм: а – электрические параметры: 1 – падение напряжения; 2 – сила тока; б – изменение

температуры заготовок: 1 – максимальная температура; 2 – средняя объемная температура; 3 – минимальная температура

а б

Рис. 5.24. Температурное поле и НДС заготовок 610 мм на 35 ч графитирования:

а – поле температур; б – поле эквивалентных напряжений по Мору 31M ekv

при = 45 МПа и =10 МПа (для обожженных заготовок по данным сертификата

ОАО «Укрграфит»)

ч ч

237

8,0%

2,5%

27,0%

43,0%

19,5%

на нагрів заготовок

на нагрів теплоізоляції та інших елементів печі

втрати до входу у піч (трансформатор, випрямляч, шинопакет і т.і.)

тепловтрати

на нагрів та випаровування вологи, хімічні реакції і т.і.

Рис. 5.25. Расходные статьи теоретического результирующего энергобаланса печи Ачесона

С использованием разработанных методик и численных моделей с помощью численного моделирования обоснован сокращенный регламент кампании графитирования с более интенсивным подводом электрической мощности в начале процесса (см. рис. 5.26) [239, 274, 279]. Показано, что при графитировании заготовок 400 мм обеспечивается 98 % графитирование при сокращении длительности кампании на 7 ч и уменьшении УРЭ на ~8–11 %. Сокращение длительности кампании на отдельной печи позволяет провести еще одну дополнительную кампанию на протяжении года. Научно-обоснованный регламент с более интенсивным по сравнению с действующим подводом электрической мощности внедрен на ОАО «Укрграфит» на печах косвенного нагрева постоянного тока. Предложенные технические решения защищены патентами Украины на полезные модели 15242, 25052, 26858 [241, 312, 313].

5.2.2. Теплоэлектрическое и механическое состояние печей

графитирования Кастнера

В последнее время на многих электродных предприятиях в мире широкое применение получил метод графитирования, который был предложен Кастнером еще в 90-е года XIX столетия [5, 7]. Как отмечалось в первой главе, суть этого метода состоит в прямом нагревании заготовок

на нагрев заготовок

на нагрев теплоизоляции и других элементов печи

потери до входа в печь (трансформатор, выпрямитель и т.д.)

теплопотери

на нагрев и испарение влаги, химические реакции и т.д.

238

электрическим током. Для этого специально подготовленные заготовки сжимаются в электродную «свечу» стык в стык и через них пропускается электрический ток. Заготовки нагреваются до температуры более чем 3000 С за счет джоулевой теплоты. При реализации метода Кастнера процесс проходит за 10–25 ч и поэтому УРЭ на графитирование значительно уменьшается по сравнению с методом косвенного нагрева Ачесона.

0 10 20 30 40 50

, год

0

2000

4000

6000

8000

10000

Потужність

, кВ

т

1

2

0 10 20 30 40 50

год

0

1000

2000

3000

4000

Tc

ep

, K

1

2

а б в

Рис. 5.26. Температурное поле на конец кампании графитирования заготовок 400 мм в печи Ачесона постоянного тока и параметры регламентов подвода мощности в печь: а – температурное поле на конец кампании графитирования ( = 50 ч) при интенсивном

регламенте подвода мощности (расчетная температура заготовок Тmіn = 2438 К, Тmax = 3214 К); б – регламент подвода электрической мощности в печь (1 – действующий регламент, 2 – регламент с более интенсивным подводом мощности (сокращенный));

в – изменение во времени средней объемной температуры заготовок (1 – при действующем регламенте, 2 – при сокращенном регламенте)

В НИЦ «РТ» разработаны эскизные проекты линейной и П-образной

печей прямоточного нагрева постоянного тока с одной и двумя свечами и проведено их численное обоснование [273]. Для выполнения обоснования проекта разработаны несколько численных моделей печи, одна из которых показана на рис. 5.27. Численные модели разрабатывались с использованием математических моделей, численных методик и ПО, описанных в главах 2 и 3. В представленной численной модели учитываются следующие группы контактного взаимодействия (см. рис. 5.27б): между свечой из заготовок и завалкой печи (теплоизоляцией); между торцами заготовок и графитовой пылью; между графитовыми токоподводами и вставками; между токоподводами и шамотной кладкой.

В процессе выполнения комплекса численных экспериментов ТЭМ состояния печи проведено значительное количество разных вариантов расчетов, основной задачей которых было определить размеры заготовок и печи, условия необходимого контакта между заготовками (рис. 5.28), конфигурацию свечки и график ввода электрической мощности, мощность и тип трансформаторов электропитания, которые обеспечивают

ч ч

Мощность

, кВ

т

Тср, К

239

графитирование заготовок за приемлемое время с УРЭ меньшим, чем в печах косвенного нагрева. Наиболее характерные из проведенных вариантов расчетов можно считать следующие:

1. Вар. 1 – заготовки 2002003000 мм (4 шт.), печь П-образная, количество свечей – 2, завалка печи – шихта теплоизоляционная толщиной 500 мм, УРЭ – 5573,5 кВтч/т (на 20 ч), 98 % графитирование [52, 273, 279] заготовок достигается на 13 ч кампании (ПВЕ – 3623 кВтч/т), максимальная электрическая мощность за период кампании – Pmax = 523 кВт. Трансформатор питания АСУ1600.

2. Вар. 2 – заготовки 2002003000 мм (4шт.), печь П-образная, количество свечей – 2, завалка печи – комбинированная (двухслойная) – шихта теплоизоляционная и муллито-кремнеземнистая вата суммарной толщиной 300 мм, УРЭ – 4616,5 кВтч/т (на 20 ч), 98 % графитирование заготовок достигается на 17 ч кампании (УРЭ – 3945 кВтч/т), максимальная электрическая мощность за период кампании – Pmax = 443 кВт. Трансформатор питания АСУ1600.

3. Вар. 3 – заготовки 2002003000 мм (4 шт.,), печь П-образная, количество свечей – 2, завалка печи – комбинированная (двухслойная) – шихта теплоизоляционная и муллито-кремнеземнистая вата суммарной толщиной 500 мм, УРЭ – 4643,5 кВтч/т (на 20 ч), 98 % графитирование заготовок достигается на 22 ч кампании, максимальная электрическая мощность за период кампании – Pmax = 449 кВт. Трансформатор питания АСУ1600.

1 2 3 4 5 6

а б

Рис. 5.27. Геометрические характеристики численной модели для расчетов теплоэлектрического и механического состояния во время кампании

печи графитирования Кастнера (рис. 1.13): а – твердотельная модель; б – контактные поверхности; 1 – шамотная кладка;

2 – теплоизоляция; 3 – заготовки; 4 – демпферная прокладка; 5 – вставки; 6 –токоподводы

240

а б

Рис. 5.28. Температурное поле «свечи» в зависимости от типа контакта между заготовками

сечением 400400 мм: а – в центральной части между торцами заготовок используется электроизолирующая

вставка, а на периферии торцов заготовок графитовый порошок (стружка); б – на периферийной части торцов заготовок контакт обеспечивается за счет сжатия

усилием 1,5 МПа, а в средней части – графитовой стружкой

4. Вар. 4 – заготовки 4004003000 мм (4 шт.), печь П-образная, количество свечей – 2, завалка печи – комбинированная (двухслойная) – шихта теплоизоляционная и муллито-кремнеземнистая вата суммарной толщиной 400 мм, УРЭ – 3244,3 кВтч/т (на 20 ч), 98 % графитирование заготовок достигается на 13 ч кампании (УРЭ – 2108,4 кВтч/т), максимальная электрическая мощность за период кампании – Pmax = 1182 кВт. Трансформаторы питания АСУ1600 (2 шт.). Результаты расчетов в виде распределения физических полей в разные моменты времени и графики электрических и термических параметров кампании, мгновенного энергобаланса приведены на рис. 5.29–5.31.

5. Вар. 5 – заготовки 2002003500 мм (2 шт.), печь линейная, количество свечей – 1, завалка печи – сажа толщиной 300 мм, УРЭ – 2467,85 кВтч/т, 98 % графитирование заготовок достигается на 15 ч кампании, максимальная электрическая мощность за период кампании – Pmax = 85 кВт. Трансформаторы питания АСУ100 (3 шт.).

6. Вар. 6 – заготовки 2002003000 мм (4 шт.), печь линейная, количество свечей – 1, завалка печи – шихта теплоизоляционная толщиной 500 мм, УРЭ – 4403,8 кВтч/т (на 15 ч), 98 % графитирование заготовок достигается на 10 ч кампании (УРЭ – 2935 кВтч/т), максимальная электрическая мощность за период кампании – Pmax = 542 кВт. Трансформатор питания АСУ1600.

Анализ полученных результатов численных экспериментов показывает, что: во всех приведенных вариантах расчетов достигается 98 %

графитирование [52, 273, 279] за время кампании печи. При этом графики

241

ввода электрической мощности находятся в пределах изменения электрических характеристик существующего трансформаторного оборудования ОАО «Укрграфит». Исключение составляют вар. 4, 5;

при более интенсивном графике подвода мощности (вар. 1, вар. 4, вар. 6) время кампании можно сократить до 12–15 ч. При этом по сравнению с менее интенсивными графиками ввода мощности (см. вар. 2, 3) УРЭ уменьшается, а темп нагрева заготовок увеличивается, температурные условия работы шамотной кладки улучшаются (огнеупорная кладка не успевает прогреться за время кампании до критического уровня температур);

при менее интенсивном графике подвода мощности (например, сопоставление вар. 2 с вар. 1) может наблюдаться обратный эффект: время кампании увеличивается, скорость нагревания заготовок снижается, температурные условия работы шамотной кладки ухудшаются (огнеупорная стенка может сгореть, поэтому вместо шамота необходимо применять материал с большей огнеупорностью, например, МКС-72 с температурой применения до 1700–1800 С);

для улучшения температурных условий работы шамотной кладки можно применять ряд технических решений: подобрать теплоизоляционный материал с более низкой теплопроводностью (см. вар. 5), увеличить его толщину, применить двухслойную теплоизоляцию с различной теплопроводностью (см. вар. 2–4), сократить время нагревания заготовок (см. вар. 1, вар. 4, вар. 6);

при увеличении количества заготовок в свече наблюдается более интенсивный рост температур (сопоставление вар. 1 с вар. 6);

при уменьшении толщины зазора между заготовками, который заполняется графитовым порошком или при увеличении усилия сжатия свечи неравномерность температур по длине заготовок уменьшается (см. рис. 5.28б);

немонотонность изменения темпа нагрева заготовок (см. рис. 5.31в) в начальный период кампании можно объяснить испарением влаги, которая находится в теплоизоляционной шихте. Наличие влаги в шихте является основным защитным барьером от перегрева шамотной кладки печи;

из анализа графиков изменения мгновенного энергобаланса печи (см. рис. 5.31г) следует, что: доля мощности, расходуемая на нагрев заготовок, значительно изменяется за время кампании (от более чем 50 %, в начальный период, до 3–5 % в конце кампании); основная часть подведенной мощности расходуется на нагрев теплоизоляции (50 % и более); мощность на теплопотери в период нагрева не превышает 10–23 % и зависит от материала теплоизоляции и толщины ее слоя. При увеличении поперечного сечения заготовок до 400400 мм по сравнению с 200200 мм часть подведенной мощности, расходуемой на нагрев заготовок, увеличивается и во второй половине кампании составляет ~17 %.

242

а

б

Рис. 5.29. Электрические поля кампании печи прямоточного нагрева с 2-я свечами при графитировании заготовок 4004003000 мм:

слева – электрический потенциал; справа – напряженность электрического поля; УРЭ – 3244,3 кВтч/т на 20 ч; Pmax = 1182 кВт; а – 5 ч кампании; б – 20 ч

В рамках обоснования данного проекта для ОАО «Укрграфит» также

выполнены расчеты НДС элементов конструкции печи с целью определения уровня напряжений в кирпичной кладке печи на конец кампании (рис. 5.32) и, что особенно важно, в период охлаждения печи. На основе этих расчетов можно оценить минимально допустимую суммарную толщину теплоизоляционных слоев в зависимости от типоразмеров заготовок.

Результаты проведенных работ по печам графитирования в виде методик, специализированного ПО и технических решений внедрены на ОАО «Укрграфит». Экономический эффект от внедрения этих разработок составляет около 1 млн грн.

5.3. Выводы В соответствии с проведенными исследованиями можно

сформулировать следующие выводы: 1. На основе методов МГЭ, МКЭ, МКО и МДО разработан комплекс

численных моделей для решения задач ТЭМ состояния с учетом контактного взаимодействия разной физической природы, составления энергетических балансов и определения энергосберегающих регламентов эксплуатации высокотемпературных агрегатов цветной металлургии и электродного

243

производства. Созданы численные модели обеспечивают практическую формализацию исследований ТЭМ состояния высокотемпературных агрегатов в процессе их проектирования и модернизации, разработки рациональных технологических регламентов эксплуатации.

а

б

в

г

Рис. 5.30. Температурные поля кампании печи прямоточного нагрева с 2-я свечами при графитировании заготовок 4004003000 мм:

слева – печь в целом; справа – шамотная кладка; УРЭ – 3244,3кВтгод/т на 20 ч; Pmax = 1182 кВт; а – 5 ч кампании; б – 10 ч; в – 15 ч; г – 20 ч

244

а б

в г

Рис. 5.31. Изменение электрических и термических параметров, статей энергобаланса кампании печи прямоточного нагрева при графитировании заготовок 4004003000 мм: а – электрические параметры: 1 – падение напряжения; 2 – сила тока; б – изменение

температуры заготовок: 1 – максимальная температура; 2 – средняя объемная температура; 3 – минимальная температура; в – темп подъема температуры в заготовках; г – изменение статей энергобаланса: 1 – подведенная мощность; 2 – мощность на нагрев теплоизоляции; 3 – мощность на нагрев футеровки; 4 – мощность на нагрев заготовок; 5 – теплопотери в

окружающую среду

2. Разработана численная модель системы принудительного охлаждения катодных кожухов мощных алюминиевых электролизеров, с помощью которой получены данные по эффективным коэффициентам теплоотдачи в зависимости от параметров системы, которые были использованы при расчетах пусковых и рабочих режимов алюминиевых электролизеров ОА-300М1 (ОАО УАЗ, РФ) при их эксплуатации на повышенной силе тока.

3. Разработанные численные модели прошли тестирование и верификацию по данным натурных экспериментов, проведенных на высокотемпературном

245

оборудовании, в результате чего установлено, что погрешность численных решений не превышает 10–15 %.

а б

в г

д е

Рис. 5.32. НДС шамотной кладки на конец кампании (20 ч) печи прямоточного нагрева при графитировании заготовок 4004003000 мм:

а – поле температур; б – перемещения; в, г, д – нормальные напряжения; е – интенсивность напряжений; = 13–36 МПа [178] предел прочности шамота на сжатия при комнатных

температурах

4. Результаты исследований ТЭМ состояния использованы при проектировании, модернизации, разработке энергосберегающих регламентов обжига и эксплуатации, для определения энергоэффективности и механической прочности конструкций алюминиевых электролизеров СА и ОА, печей графитирования косвенного и прямого нагрева.

5. Установлены закономерности ТЭМ состояния высокотемпературных промышленных объектов, что позволило существенно сократить сроки получения научно-обоснованных решений при проектировании и модернизации разных конструкций алюминиевых электролизеров с целью повышения силы тока, при

246

разработке энергосберегающих регламентов работы печей графитирования за счет усовершенствования графиков подвода электрической мощности.

6. Разработаны эффективные технические решения, включающие модернизацию катодной футеровки и эксплуатационных режимов по переводу различных типов и конструкций алюминиевых электролизеров СНГ на эксплуатацию на повышенной силе тока. Так, например, для ОАО ЗАлК разработаны конструкции модернизированных алюминиевых электролизеров, которые по сравнению с действующими имеют значительно улучшенные энергоэкономические показатели работы: увеличенную производительность на 14–40 т/год при повышении силы тока на 5–15 кА и уменьшении УРЭ на 830–1070 кВтч/т.

7. Впервые в Украине с использованием численного моделирования ТЭМ состояния разработано проект печи для прямоточного нагрева и графитирования электродных изделий, проведены исследования влияния размеров заготовок, количества свечей и контактного электрического сопротивления между заготовками на равномерность распределения температуры, рассчитан энергетический баланс печи и определена мощность источника питания в зависимости от типоразмера заготовок и количества свечей. Показано, что на печах прямоточного нагрева (Кастнера) УРЭ можно уменьшить в 1,5–2 раза по сравнению с печами косвенного нагрева (Ачесона).

ВЫВОДЫ

1. Монография посвящена решению важной научно-прикладной проблемы создания теоретических основ для разработки научно-обоснованных технических решений при усовершенствовании и проектировании энергоемких высокотемпературных агрегатов для получения первичного алюминия и графитированных изделий, которые направлены на энергоресурсосбережение и уменьшение техногенного влияния на окружающую среду. 2. Разработана комплексная методики теоретико-экспериментального исследования физических полей в высокотемпературных агрегатах. 3. Развиты теоретические основы ПМГЭ при решении линейных и нелинейных задач теории потенциала, теплопроводности и термоупругопластичности с учетом сложного теплообмена, фазовых превращений и контактного взаимодействия между соединенными телами с использованием подстановки Кирхгофа и итерационных алгоритмов. При использовании граничных треугольных линейных элементов получены аналитические зависимости для определения сингулярных коэффициентов влияния, компонент плотности потока и напряжений на границе тела, прямой видимости между поверхностями диатермической полости для 3R задач теории потенциала, НДС и радиационного теплообмена.

247

4. Разработан и реализован в ПМГЭ и МКЭ метод решения сильно нелинейных стационарных задач типа Стефана в обобщенной постановке, имеющих место при моделировании теплообмена в алюминиевых электролизерах с использованием эффективных коэффициентов теплопроводности расплавов, что дало возможность уменьшить погрешность определения ФРП с 85% и более до 10–15 %. 5. Выполнены исследования точности, сходимости и устойчивости численных решений. Проведено оценку достоверности предложенных численных методик и полученных результатов исследований на основе тестирования разработанного ПО при решении прикладных задач, для которых известны аналитические и численные решения. Результаты верификации разработанных численных моделей физических полей по данным натурных экспериментов показали, что погрешность численных решений не превышает 10–15 %. 6. Разработаны численные модели для расчетов ТЭМ состояния алюминиевых электролизеров и печей графитирования разных конструкций и мощности, с помощью которых разработаны новые конструкции алюминиевых электролизеров, рассчитанные на работу на повышенной силе тока, энергосберегающие регламенты обжига катодных узлов и подвода электрической мощности печей графитирования. 7. Развиты методы и алгоритмы расчета теоретических энергобалансов при температуре окружающей среды алюминиевых электролизеров СА и ОА разной мощности, что дало возможность разработать для ОАО ЗАлК конструкции модернизированных электролизеров, которые по сравнению с действующими имеют улучшенные энергоэкономические показатели эксплуатации: увеличенную производительность на 14–40 т/год при повышенной силе тока на 5–15 кА и уменьшенных УРЭ на 830–1070 кВтч/т. 8. С использованием численного моделирования ТЭМ состояния впервые в Украине разработан проект печи прямоточного нагрева для графитирования электродных изделий. Проведены исследования влияния размеров заготовок, количества свечей и контактного электрического сопротивления между заготовками на равномерность распределения температуры, рассчитан энергетический баланс печи и определена мощность источника питания в зависимости от типоразмера заготовок. Показано, что на печах прямоточного нагрева УРЭ можно снизить в 1,5–2 раза по сравнению с печами косвенного нагрева. 9. Разработаны на основе МКО и МДО численные методики решения задач газодинамики турбулентных потоков в приближении стандартной k модели с учетом радиационного теплообмена. Разработана численная модель системы принудительного охлаждения катодных кожухов мощных алюминиевых электролизеров, с помощью которой получены данные по эффективным коэффициентам теплоотдачи в зависимости от параметров системы, которые были использованы при расчетах пусковых и рабочих режимов алюминиевых электролизеров ОА-300М1 при их эксплуатации на повышенной силе тока.

248

Приложение А

Аналитические выкладки при получении соотношений для определения сингулярных коэффициентов влияния задач

теории потенциала

Для дискретизации поверхности используется триангуляция, поэтому возможны только три разных случая места положения текущего узла в треугольнике. Ограничения – текущий узел всегда находится в вершине треугольника с номером j=3 (рис. А.1).

а б в

Рис. А.1. Схема треугольника: а – текущий узел и источник совпадают (узел номер 3); б – источник находится в узле с

номером 1; в – источник находится в узле с номером 2

Случай 1 (см. рис. А.1а). Источник совпадает с текущим узлом i = j. Текущий узел и источник находятся в одном и том же треугольнике в вершине с номером 3. Тогда окончательно для коэффициента влияния имеем

,ctgArshctgArsh4sin

coscosln

4 233

c

S

ab

cbacab

c

Sg ii

где S – площадь треугольника; – теплопроводность; a, b, c – длины

сторон треугольника; , , – углы треугольника; 1lnArsh 2 xxx – функция обратного гиперболического синуса.

Случай 2 (см. рис. А.1б). Источник не совпадает с текущим узлом i j. Источник находится в том же треугольнике, что и текущий узел, но в вершине с номером i = 1. Тогда окончательно для коэффициента влияния имеем

2231

4ctgArshctgArsh

4

cos

b

Sca

b

abSg ij

.

3

1

2

a

b c

3

1

2

a

b c

3

1

2

a

b c

249

Случай 3 (см. рис. А.1в). Источник не совпадает с текущим узлом i j. Источник находится в том же треугольнике, что и текущий узел, но в вершине с номером i = 2. Тогда окончательно для коэффициента влияния имеем

2232

4ctgArshctgArsh

4

cos

a

Scb

a

baSg ij

.

Формулы преобразования координат. Определим радиус-вектор ( r

) в соответствии с рис. А.2.

221133 eerrrr o

;

.1

;1

;1

21322113223113

21322113223113

21322113223113

zzzzzzzzz

yyyyyyyyy

xxxxxxxxx

(А.1)

где zyx ,, – декартовые координаты;

),( 21 – косоугольная система координат, 1 ,2,1 ,1;0 21 ii . В соответствии с рис. А.2 коэффициент влияния для плотности потока

по треугольнику

2121 *2** dqdtSdqdtJqdt ,

где SJ 2 – якобиан, тогда 212 dSdd .

Рис. А.2. Схема треугольника для преобразования координат

z

x O

y

e1

e1 or

ir

3r

r

1

2

3,j

i

250

Выберем линейную интерполяцию функций t,q в треугольнике:

,

;

332211

332211

qqqq

tttt

где ti,qi – значения функций в узловых точках. Для коэффициента влияния имеем

k

kk

kij gddtSG 2121 *)1(2 , (А.2)

где

21

212121

1

2*)1(2 dd

r

SddtSg k

kk ,

ji rrr

, i = 1,2,3 – узел, в котором находится источник; j = 3 – текущий

узел треугольника. Имеем в соответствии с рис. А.2 0303 rrrrrrrr iii

.

Тогда iiii zzyyxxrr 3333 , ,

, где , , , 2321312321312321310 zzzzyyyyxxxxr

в соответствии с (А.1);

,cos22 22

221

21

222

222121

21

21

22211

20 babaeeeeeer

где 21 , ebea – стороны треугольника; – угол между сторонами.

Поэтому

,22cos2

cos222

2

22

2122

221

21

2

22

221

21

221

23

20322

3112

32

0302

32

032

iii

iii

i

iiiii

CBAbaba

babaBArr

rrre

rrerrrrrrrrrrrr

где .

;

;

23

23

23

332332332

331331331

iiij

iiij

iiij

zzyyxxC

zzzzyyyyxxxxB

zzzzyyyyxxxxA

251

Таким образом

.22cos2

1

2 21

2122

221

21

2

21

ddCBAbbaa

Sg

jk

jk

jkkkkkk

kk

Рассмотрим три особенности. 1. При i = 3:

0 ik

ik

ik CBA ;

2122

221

21

2

21

cos2

1

2dd

bbaa

Sg

kkkkk

kk . (А.3)

2. При j = 1:

;cos

;

;2

2

kkkik

kik

kik

baB

aC

aA

.cos121

1

2

cos22cos2

1

2

2122

221

21

2

21

21221

222

221

21

2

21

ddbbaa

S

ddabaabbaa

Sg

kkkkk

k

kkkkkkkkkk

kk

3. При j = 2:

;

;

;cos

2

2

kik

kik

kkkik

bB

bC

baA

.1cos12

1

2 2122

221

21

2

21 ddbbaa

Sg

kkkkk

kk

Случай 1 (см. рис. А.1а, рис. А.3). При определении интеграла (А.3) воспользуемся формулами

,

4

2Arsh

122 bac

bax

acbxax

dx (А.4)

252

где 1lnArsh 2 xxx ; 1

1'Arsh

2

xx ;

22

1222

12

222

1

222

,

,2

cos

,cos

,cos2

,sin

baahcah

ab

cba

baa

abbac

bh

Рис. А.3. Схема треугольника для проведения интегрирования соотношения (А.3)

;

4

2Arsh

2 2

2

2 bac

bax

aa

b

a

cbxax

cbxax

xdx (А.5)

.

4

2Arsh

8

4

4

22

222

bac

bax

aa

baccbxax

a

baxdxcbxax (А.6)

В результате будем иметь:

1

0

1

012

22

2121

2

212

2

cos2

1

2d

babad

Sg ;

.cos2

cos2

1

cos2

1

2

22

1

022

221

21

2

11

1

022

221

21

2

121

012

22

2121

2

21

baba

d

baba

dd

baba

Используя формулу (А.4), получаем:

.ctgArsh1

Arsh1

sin

cosArsh

1

sin

cosArsh

1

sin

cosArsh

1

sin

cos1Arsh

1

sin

cosArsh

1

sin2

cos22Arsh

1

cos44

cos22Arsh

1

cos2

2

12

2

2

2

2

2

2

2

22

1

02

21

1

02

212

1

0

22

22222

22

2121

022

221

21

2

1

22

22

ah

aa

ab

b

ab

baa

a

b

b

ab

ba

a

b

ba

aab

aba

a

baba

aba

ababa

d

3 1

2

а а1

h b c

253

Из формулы (А.5) находим

22

2

221

22

2

2

212

2

22

2

22

2222

2

222

222

2

22

222

22

21

02

213

2

1

0

2

22

221

21

21

022

221

21

2

11

2ctgArshArsh

cos

cos2cos2

cosArsh

cos1Arsh

cos

1cos21cosArsh

2

cos2

cos2

cos2

2

22

a

b

a

aaac

h

aa

a

b

a

b

a

abaaabba

h

b

h

ba

a

b

a

b

a

baba

h

ba

a

ab

a

baba

baba

d

.ctgArshcos

Arshcos

22

2

212

2

a

b

h

aa

a

b

Таким образом

ctgArshcos

Arshcos

2

cos2

22

2

212

2

22

2

221

22

21

022

221

21

2

112

a

b

h

aa

a

b

a

b

a

aaac

baba

d

Поэтому

.2

ctgArshArsh2

ctgArshcos1

Arshcos1

ctgArshcos

Arshcos2

ctgArsh1

Arsh1

1cos2

1

22

2

221

22

2

221

2

212

2122

2

221

22

2

222

2

212

22

22

2

212

222

2

221

22

2

2

122

1

022

221

21

2

1212

a

b

a

aaac

a

aa

h

aa

a

aa

a

b

a

aaac

a

b

ah

aa

a

b

a

a

b

h

aa

a

b

a

b

a

aaac

ah

aa

ababa

d

254

Следовательно

.2

ctgArshArshcos2

1

22

2

221

22

2

221

2

212

211

022

221

21

2

1212

a

b

a

aaac

a

aa

h

aa

a

aa

baba

d

Тогда

.2

21

ctgArsh2

2Arsh

1

21ctgArsh

Arsh1

cos2

1

2

1

02

221

22

22

21

1

02

2

21212

1

0222

1

02

221

22

22

1

02212

1

02

2

212122

22

2121

2

2121

a

bdaaac

a

a

aad

h

aaaa

a

da

bdaaac

adaa

a

dh

aaaa

ababa

dd

Из формулы (А.6) имеем

.ArshArsh

222

ArshArsh222

ArshArsh22

22

Arsh2

22

44

22Arsh

8

44

24

222

112

3

22

21

2

21

2

112

3

22

21

22

12

21

2

112

3

22

21

22

12

21

2

1

0

21

2

122

3

21

221

0

221

22

22

122

1

0

21

222

122

3

21

222

1

0

221

22

22

1221

02

221

22

2

ah

a

ah

aac

c

ha

c

aa

c

baac

ah

a

ah

aac

c

ha

c

aaaah

c

aac

ah

a

ah

aac

c

ha

c

aaaaac

c

aac

aca

aac

c

acaaaac

c

aac

aaac

aac

c

aaac

aaacc

aacdaaac

255

Следовательно

.ArshArsh222

2 112

3

22

21

2

21

21

02

221

22

2

ah

a

ah

aac

c

ha

c

aa

c

baacdaaac

Интегрируя по частям и используя формулы (А.4), (А.5), получаем:

1

02

2

2121 Arsh d

h

aaaa

2 ,

2

1

1

Arsh

221

2221

221

22

22

222

2

22

2221

2

2

'

2

21

2

2

21

2

21

aavdaadv

aaac

ad

h

ad

haa

h

dh

aa

h

aadu

h

aau

1

02

2122

2

2211

02

2122

2

2211

1

02

2122

22

2221

2

1

02

21221

2

222Arsh

2

22Arsh

2

aaac

daa

aaac

da

h

aaaa

aaac

adaa

h

aaaa

.

2rshArsh

2ctgArsh

2

ArshArsh22

ArshArsh

ctg2

Arsh2

22

2

2

22ArshctgArsh

2

2111

2

3

2221

112

3

21

2

2111

22

1

1

0

122

31

1

0

2

221

22

21

1

0

1222

1

c

baaa

h

aA

ah

aac

c

hcaaa

h

a

ah

aac

c

aaab

c

aa

h

a

ah

aac

c

a

Arsha

aah

aac

c

aa

c

aaacaa

ah

aac

c

aaa

Таким образом

256

.ArshArsh2

1

2ArshArsh

2

1

2

2ArshArsh

2ArshArsh

2

2ctgArsh

2

2ctgArsh

2

2

2ArshArsh

22

1ctgArsh

2

2

2ArshArsh

2ctgArsh

2

21

cos2

1

112

22

21

21

2111

2

2

221

21

211

2

3

211

2

3

22

221

21

21

211

2

3

22

21

21

2

221

2111

2

3

2221

2

22

221

21

2

2121

h

a

ah

aac

c

ca

bcbaacaabaaa

h

a

ah

aac

ca

b

ca

aabaac

h

a

ah

aac

c

h

h

a

ah

aac

c

hc

ca

baaa

a

aa

a

aa

a

b

h

a

ah

aac

c

ha

c

aabaac

aa

aa

c

baaa

h

a

ah

aac

c

hcaaa

a

baba

dd

Следовательно

.ArshArsh

2

1

cos2

1 112

22

221

21

2

2121

h

a

ah

aac

cbaba

dd

Упрощая последнее выражение, получаем:

h

ca

ah

aahcaac

h

ca

ah

aaaccaac

h

ca

ah

haaaaccaac

h

haa

ah

haaacaac

h

a

ah

aac

12

12

12

12

12

12

122

12

124

12

2211

222

12

12

112

ln)(

lnln2

ln

ln2

ln

lnlnArshArsh

.

sin

coscosln

sin

coscos2ln

sin

cosln

cosln

lnlnln)(

ln

2

221

2

221

22

21

2

112

12

12

12

ab

cbacabab

cabcababb

ab

cabcabac

ah

cabcabac

h

ca

ah

cbaac

h

ca

ah

aahcaac

257

Следовательно, окончательно имеем

.

sin

coscosln

4 2

ab

cbacab

c

Sg (А.7)

Случай 2 (см. рис. А.1б).

.

1cos21

1

2

1cos21

1

2

21

022

221

21

2

1211

02

2122

221

21

2

21

baba

dd

S

ddbaba

Sg

Имеем:

1

11

022

221

21

2

1211

1cos21

12

ddbaba

d

1

22

22

222

1

22

22

22

1

22

22

22

2

22

2

cos2cos2

cos2

baba

d

baba

d

baba

d

1

22

2222

22

22

32

1

2

22

22

221

22

22

22

2

22

cos44

cos22Arsh

2

cos2

cos2

cos2

baba

aba

a

ab

a

baba

baba

d

.Arshcoscos

Arshcoscos2

sin

cosArsh

cos

cos2cos2

12

2

2

22

222

2

22

22

2

1

2

22

2

2

222

2

22

22

2

2

h

a

a

b

h

ba

a

b

a

c

a

baba

b

ba

a

b

a

baba

a

baba

258

.Arsh1cos

Arsh1

sin

cosArsh

1

cos2

1

2

2

1

2

21

22

22

2222

h

a

ah

ba

a

b

ba

ababa

d

Поэтому

.Arshcos

Arshcos2

Arshcos

ArshArshcoscos

Arshcos

cos2

1cos21

1

12

21

2

22

2122

2

22

22

2

12

2

2212

2

2

22

2

22

2

22

22

21

022

221

21

2

1212

h

a

a

a

h

ba

a

a

a

c

a

baba

h

a

ah

ba

ah

a

a

b

h

ba

a

b

a

c

a

baba

baba

d

Тогда

.Arsh2

cosArsh

2cos2

1

Arshcos

Arsh

cos21

1cos21

1

12

11

02

2

222

122

1

0

22

22

22

1

02

122

11

02

2

222

12

1

022

2

1

0

22

22

222

22

212

12

2121

h

a

a

ad

h

ba

a

a

a

cdbaba

a

dh

a

a

ad

h

ba

a

ad

a

c

dbabaababa

dd

Имеем

.ctgArshsin

cosArsh

2

sin

2

coscos

ctgArshsin

cosArsh

2

sin

2

coscos2

2

cos

sin2

cos22Arsh

8

cos44

cos24

cos22cos2

222

22222

1

0

22

3

22222

1

0

22

22

22

22

2

1

0

22

22

2

a

ab

b

a

b

aacbc

a

ab

b

a

b

ababa

b

ab

ab

abb

b

baba

babab

abbdbaba

259

1

0

22

3

1

0

2

22

22

21

1

022

22

2

22

22

22

2

21

0 2

22

1

02

22

22

22

22

22

22

2

22

222

2

2

2

2

1

02

2

22

sin2

cos22Arsh

2

cos2cos2

2Arsh

2

1

cos22

cosArsh

2

1

cos22

cosArsh

2

2

,cos2

cos

cosArsh

cosArsh

ab

abb

b

ab

b

babaa

h

a

baba

da

h

ba

baba

ad

h

ba

vddv

baba

ad

dh

a

hba

hdu

h

bau

dh

ba

.ctgsin

cosArsh

2

cos

222

cosArsh

2

12

2

2

2

2

2

2

Arsha

ab

b

a

b

a

b

a

b

ac

h

ba

Следовательно

.2

ctgArshsin

cosArsh

2

cosctgArsh

sin

cosArsh

2

cos

2

sin

2

cos

Arsh2

ctgArshsin

cosArsh

2

cos

2

Arsh22

ctgsin

cosArsh

2

sin

2

coscos

Arsh2

ctgArshsin

cosArsh

2

cos

2Arsh

2

1

2ctgArsh

sin

cosArsh

2

sin

2

coscos1

1cos21

1

22

21

2

2

211

222

12

122

21

22

211

12

12

2

2

2

12

12

2

2

21

21

2

222

2

22

221

21

2

2121

b

ca

a

ab

b

ab

a

ab

b

a

bba

aaacacbbaabccb

h

a

a

a

a

ab

ba

aa

ba

aaaca

h

a

a

a

a

cArsh

a

ab

bba

aacbc

h

a

a

a

a

ab

b

a

b

aac

h

a

a

a

a

c

a

ab

b

a

b

aacbc

a

baba

dd

Тогда окончательно получаем

260

.

4ctgArshctgArsh

4

cos

4ctgArsh

sin

cosArsh

4

cos

22

22

b

caS

b

abS

b

caS

a

ab

b

abSg

(А.8)

Случай 3 (см. рис. А.1в). Окончательно получаем

.

4ctgArshctgArsh

4

cos

4ctgArsh

sin

cosArsh

4

cos

11cos2

1

22

22

22

2211

2

2121

a

cbS

a

baS

a

cbS

b

ba

a

baS

baba

ddg

(А.9)

261

Приложение Б

Описание разработанных методов и алгоритмов

Б.1. Отображение произвольной плоской грани с 3D в 2D и обратно при триангуляции

Рассмотрим произвольный полигон (рис. Б.1.1).

Рис. Б.1.1. Произвольный полигон

Запишем уравнения плоскости, которая проходит через три произвольные вершины многоугольника:

0

131213

121212

111

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

.0

1313

12121

1313

12121

1313

12121

yyxx

yyxxzz

zzxx

zzxxyy

zzyy

zzyyxx (Б.1.1)

Обозначим, что:

X(1)

Y(2)

Z

1

3

2

M2

M1

262

.

;

;

1313

1212

1313

1212

1313

1212

yyxx

yyxx

zzxx

zzxx

zzyy

zzyyzyx

(Б.1.2)

Тогда уравнение (Б.1.1) запишется в виде

0111 zyxzyx zyxzyx . (Б.1.3)

Положим, что 0 z . Тогда можно выразить из уравнения (Б.1.3) переменную z

CByAxz ,

где z

zyx

z

y

z

xzyx

CBA

111,, .

Тогда преобразование 2D3D или zyx ,,, 21 описывается следующей системой:

.

;

;

21

2

1

CBAz

y

x

(Б.1.4)

Обратное преобразование 3D2D или 21 ,,, zyx будет иметь вид

.

;

2

1

y

x (Б.1.5)

Замечание. Желательно выбирать наибольший по модулю определитель . Тогда алгоритм преобразования следующий: сначала находим наибольший из определителей (Б.1.2); выполняем преобразование 21,,, zyx по

(Б.1.4) (при этом 0* ); выполняем триангуляцию, а потом проводим

обратное преобразование 2D3D, zyx ,,, 21 по (Б.1.5).

Б.2. Применение метода двойственной взаимности для решения уравнения Пуассона

При решении уравнения Пуассона для преобразования интеграла по

области в граничные интегральные выражения можно использовать также метод двойственной взаимности (МДВ) [136, 278]. МДВ основывается на ІІ теореме Грина [227]. Важной особенностью данной методики является то, что

263

при ее применении также не выполняется дискретизация внутренней части области, потому что исходная задача полностью сводится к граничной.

Интеграл по области можно представить в виде

dub

D * . (Б.2.1)

В соответствии с [136], имеем

NP

j

jj xfb

1

, (Б.2.2)

где NP – число граничных узлов (здесь полюсные узлы не используются 0 , PMNP ),

),( jj xxRf (Б.2.3)

– специально подобранная функция – расстояние между источником и граничным узлом, j – вектор неизвестных коэффициентов.

Для определения коэффициентов используется уравнение (Б.2.2), которое записывается в виде:

Mib

xxRN

jjji ,1 ,,

1

(Б.2.4)

или

MiconstF j

N

jjij ,1 ,

1

(Б.2.5)

где i – индекс источника, а j – индекс текущего узла границы. Решение (Б.2.5) можно представить через обратную матрицу

jijj F 1 . (Б.2.6)

Однако более эффективно определять с помощью решения (Б.2.5), например, методом Гаусса, для каждой области.

Функции jf в граничном интегральном уравнении устанавливаются

через ju

и jq

:

31R

du j

; (Б.2.7)

264

n

RR

dq j

23, (Б.2.8)

где d = 12 для 3D задач. Граничное интегральное уравнение для уравнения Пуассона согласно

МДВ можно записать в виде:

dquuqucdquuquc jjji

N

j

jii

**

1

** , (Б.2.9)

или в дискретном виде через коэффициенты влияния

MiqGuHqGuHN

jjjiijjiij

N

jjijjij ,1 ,

11

, (Б.2.10)

где коэффициенты влияния ijij GH , слева и справа (Б.2.10) являются

одинаковыми, матрицы jiji qu

, – определяются из (Б.2.7) и (Б.2.8),

а коэффициенты определяются из (Б.2.6). Таким образом в правой части (Б.2.10) находятся только известные величины и, поэтому (Б.2.10) в дальнейшем можно свернуть в вектор-столбец Rj, Mj ,1 .

Обоснование выбора u [278]. Примем, что o3 ,ˆ kk xxRu . Тогда

nkx

R

d

R

x

R

d

R

x

u

x

R

d

R

x

u

kkkkk

,1 ,36ˆ3ˆ

2

222

2

22

.

Запишем Лапсасиан:

Rd

R

x

R

d

Ru

k k

22

36ˆ ; (Б.2.11)

1

2

2

2

2o2o

R

R

R

xx

x

R

R

xx

x

R kkk

k k

kk

k

; (Б.2.12)

3

2o2

2

2o

o

2

2

R

xxR

RR

xxR

R

xx

xx

R kk

kk

kk

kk

.

265

Тогда

k k

kk

k R

n

R

nR

R

RnR

R

xxR

x

RR

113

2

3

22

3

2o2

2

2

. (Б.2.13)

Подставим (Б.2.12), (Б.2.13) в (Б.2.11), получим, что

.3333336

1

136131

6ˆ

2

d

nR

d

RnR

d

RnRRn

d

R

d

R

R

n

d

R

d

Ru

Таким образом

d

nRu

33ˆ

. (Б.2.14)

Проверим полученный результат (Б.2.14).

При 12 ,3 dn 112

12

12

33333

d

n.

То есть Ru ˆ . Б.3. Соотношения ПМГЭ при решении контактных задач Для упрощения изложения методики решения контактных задач сначала

рассмотрим задачу линейной стационарной теплопроводности при граничных условиях Дирихле, Неймана и контактного взаимодействия (рис. Б.3.1) с использованием постоянных элементов [123, 160].

Рис. Б.3.1. Расчетная схема контактного взаимодействия двух тел

266

Систему уравнений для нахождения неизвестных температуры и плотности теплового потока на границах тел можно свести к виду

BAY , (Б.3.1)

где A – матрица СЛАУ; Y – вектор неизвестных на границах тел: температура и плотность теплового потока; B – вектор свободных членов системы уравнений.

При абсолютном контакте между телами 0r для расчетной схемы (см. рис. Б.3.1) имеем, что:

IIIIIIIIII

IIIIIIIIII

IIIIIIIIII

IIIIIIIIII

IIIII

IIIII

IIIII

IIIII

HGHGH

HGHGH

HGHGH

HGHGH

GHHGH

GHHGH

GHHGH

GHHGH

4443424141

3433323131

2423222121

1413121111

4444434241

3434333231

2424232221

1414131211

000

000

000

000

000

000

000

000

A ;

(Б.3.2)

8

7

6

4

4

3

2

1

t

q

t

q

t

t

q

t

Y ; (Б.3.3)

844743642

834733632

824723622

814713612

343242141

333232131

323222121

313212111

qGtHqG

qGtHqG

qGtHqG

qGtHqG

qGtHqG

qGtHqG

qGtHqG

qGtHqG

IIIIII

IIIIII

IIIIII

IIIIII

III

III

III

III

B ;

(Б.3.4)

4545 ; qqtt .

При наличии контактного взаимодействия между телами (2.8), то есть при 0r , для расчетной схемы (см. рис. Б.3.1) имеем, что

267

IIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIII

IIIII

IIIII

IIIII

IIIII

HGHGrHH

HGHGrHH

HGHGrHH

HGHGrHH

GHHGH

GHHGH

GHHGH

GHHGH

444342414141

343332313131

242322212121

141312111111

4444434241

3434333231

2424232221

1414131211

000

000

000

000

000

000

000

000

A . (Б.3.5)

При этом вектор неизвестных и вектор свободных членов остаются такими же самыми, как и при абсолютном контакте, то есть (Б.3.3) и (Б.3.4). Плотность теплового потока в теле ІІ – 45 qq , а температура определяется по формуле 445 qrtt . Проследим получение соотношений ПМГЭ на контактной границе при записи системы уравнений в векторной форме. Из граничных условий (2.8) имеем, что qttqtt rr IIIIII . Далее после подставки полученного соотношения в исходную систему уравнений, получаем:

.0

;0

,0

;0

,0

;0

/0

;0

qGHtH

qGtH

qGqHtH

qGtH

qGqtH

qGtH

qGtH

qGtH

IIIIIII

III

IIIIIII

III

IIIII

III

IIIIII

III

rr

r (Б.3.6)

В (Б.3.6) It – вектор температуры на границе контакта со стороны тела І; IIt – вектор температуры на границе контакта со стороны тела ІІ.

Аналогичные соотношения можно получить и для задачи электрического потенциала при ГУ (2.4):

,0

;0

jGHUH

jGUHIIUe

IIU

IIIU

IU

IIU

r (Б.3.7)

где IUH , I

UG и IIUH , II

UG – коэффициенты влияния для электрического потенциала и плотности электрического тока, рассчитанные для І и ІІ тел, соответственно; IU – вектор электрического потенциала на границе контакта со стороны тела І; IIU – вектор на границе контакта со стороны тела ІІ, который находится из соотношения jUU e

III r .

268

Представленные соотношения (Б.3.6) и (Б.3.7) справедливы как для двух-, так и для трехмерных задач. При решении нелинейной задачи теплопроводности с учетом контактного взаимодействия между телами используется прямое и обратное преобразование Кирхгофа [123, 252, 265, 277]

ttdtttt

0

, 1t ,

где – потенциал, Вт/м2; k – номер итерации; t

dttt

t0

1 – средняя

интегральная теплопроводность, 1 – обратное преобразование Кирхгофа. В результате для нелинейной контактной задачи теплопроводности с применением линеаризации по методу Ньютона [252] имеем

,

;

11

11

kkIIkkIIIIkkk

kIIkIIII

kIkkk

kIkII

trtt

tt

t

tt

HqGHtH

HqGtH

(Б.3.8)

где tt III , – температурная зависимость теплопроводности І и ІІ тел, соответственно; tr – температурная зависимость термического контактного сопротивления между телами. Температуру на границе тела І получаем в итерационном цикле

11 kkIkI ttt .

После чего, определяется температура на границе тела ІІ

qtt IIII tr .

Алгоритм решения контактной задачи теории упругости без учета проскальзывания между телами, то есть когда имеет место либо абсолютный контакт, либо отрыв, может быть следующим. Рассмотрим методику на примере контакта двух тел. Сначала на границе контакта между телами задаются граничные условия с нулевыми компонентами усилий – нормальных напряжений ( T0,0,0p ) и решается граничная задача отдельно для каждого тела, в результате чего определяются компоненты перемещений

269

( T321 ,, uuuu ) на этой границе для каждого из тел. Далее выполняется проверка по узлам

0 IIi

Ii

Ii

Ii unun , (Б.3.9)

где 3,1,, iuu IIi

Ii – компоненты перемещений І и ІІ тел,

соответственно; Iin – компоненты внешней нормали к поверхности контакта

І тела; начальный зазор в направлении нормали к контактирующим поверхностям. Если неравенство (Б.3.9) выполняется, то в этих узлах имеет место контакт или даже мнимое проникновение одного тела в другое и, поэтому в этих узлах задаются условия абсолютного контакта. На остальных узлах контактных поверхностей, на которых не выполняются условия (Б.3.9), то есть наблюдается отрыв одной поверхности от другой, задаются ГУ с нулевыми компонентами усилий. Далее решается совместная задача для двух тел с комбинированными ГУ на границе контакта: 1 – ГУ абсолютного контакта; 2 – ГУ без силовой нагрузки. Итерационная процедура продолжается до тех пор, пока не будут изменяться условия на контактной границе между телами.

Б.4. Применение преобразования Кирхгофа для решения нелинейной задачи теплопроводности с фазовым переходом 1-го рода

Пусть зависимость теплопроводности материала от температуры изменяется по графику представленному на рис. Б.4.1.

Рис. Б.4.1. График изменения теплопроводности в материале с фазовым переходом 1-го рода:

t – интервал сглаживания; 0t – температура фазового перехода

270

Аналитическое выражение для (t) согласно рис. Б.4.1, имеет вид:

;2

;2

.2

,

,2

;2

,

00

02

1 2 0

1 2

01

t

tt

t

ttt

tttt

ttt

t

Найдем прямое преобразование Кирхгофа t

dttt0

.

Рассмотрим три случая:

1. 20t

tt

.

Тогда t

tdtt0

11 .

2.

2

;2 00

tt

ttt .

Имеем, что:

t

tt

t

tt

tt

t

dtttt

ttdttdttdttt

2

1 2 0

1201

2

2

0000

0

22

замена ut

tt

20 ,

22 00t

uttut

tt

, тогда

;2222222

2222

1121122121 2 1 2 121 2

121212 121 2 0

12

ut

ut

ut

t

tu

t

tu

ttt

t

.222

2222

1

2

012

01

2

012

01

2

01

1201

0

tt

ttt

ttt

ttt

t

ttduu

t

tt

ttt

Поэтому при

2

;2 00

tt

ttt , получаем

271

tt

ttt

t 1

2

012

22

. (*)

Преобразуем полученные соотношения к виду удобному для нахождения обратного преобразования Кирхгофа t1 .

Имеем

.822

42

112

0122

012

1

2

02

012

ttttttt

tt

tttttt

t

3. 20t

tt

t t

tt

tt

dttdttdttt0

2

2

00

0

с использованием выражения (*) для 1-го интеграла, получаем

.2

2222222

222222

0201202

1210120212

1012

02

2

0012

01020

tttt

tt

tttt

tttt

tt

t

ttt

tt

tt

tt

ttt

tt

Поэтому, имеем

;

.2

,

2 ;

2 ,

822

;2

,

00201

0012

0122

012

1

01

tttttt

tt

tttttttt

tt

tttt

t

При этом t изменяется следующим образом:

на первом интервале от 0 до ;2101t

t

272

на втором интервале от 2101t

t

до ;2201t

t

на третьем интервале от 2201t

t

до .

Тогда обратное преобразование Кирхгофа при 1 < 2 (см. рис. Б.4.1) имеет вид

.2

,

;2

;2

,2

2

;2

,

20102

01

201101012

12

12

012

12

212

1011

1

ttt

t

tt

ttt

tttt

tt

tt

При 1 >2 обратное преобразование Кирхгофа имеет вид

.2

,

;2

;2

,2

2

;2

,

20102

01

201101012

12

12

012

12

212

1011

1

ttt

t

tt

ttt

tttt

tt

t

Приведенная методика является универсальной и может быть применена не только для ПМГЭ, но и к другим численным методам, например, к таким как: МКЭ и МКО.

Б.5. Алгоритм решения СЛАУ методом сопряженных

градиентов с учетом ленточной структуры матрицы

Пусть имеется следующая система линейных уравнений

dCx . (Б.5.1)

Причем матрица С – ленточная и несимметричная. Методика решения системы (Б.5.1) основывается на CG алгоритме [290]: 1. Сначала задаем начальный вектор решения при k = 0, пусть х0 = 0.

Потом находим вектор невязок как dCCxCxJp TT 000 )( для ленточной матрицы, где СТ – транспонированная матрица. В таком случае будем определять последовательность векторов невязок ,,, 210 ppp и решений

,,, 210 xxx и множество чисел k и k , в соответствии нижеприведенными соотношениями.

273

2. Алгоритм:

2.1.

0; if ,,

,

,

0; if ,0

21

11

1 k

k

k

kk

kk

kkk

Cp

xJCpC

CpCp

xJCpC TT

2.2. 1 kkkk pxJp ;

2.3.

2

2

,

,

k

k

kk

kkk

Cp

xJ

CpCp

xJxJ

;

2.4. kkkk pxx 1 .

3. Теоретически векторы kx и kp должны удовлетворять условиям:

dCCxCp TT kk ; 0, ki pp , для ki ; 0np ; xxn ,

где x – точное решение. Б.6. Определение прямой видимости между поверхностями

диатермической полости для расчета радиационного теплообмена Пусть в пространстве имеется треугольник с вершинами

333222111 3 2 1 z,y,x,z,y,x,z,y,x и вектор AB с вершинами AAA z,y,xA и BBB z,y,xB (рис. Б.6.1). Необходимо определить условия, при которых вектор AB пересекает внутренность треугольника 123 .

Допущение 1. Точки 1, 2 и 3 не лежат на одной прямой. Условия проверки:

12

13

12

13

yy

yy

xx

xx

или 12

13

12

13

zz

zz

xx

xx

.

Допущение 2. Точки А и В расположены по разные стороны от плоскости, на которой лежит 123 .

Условия проверки

0

z

z

131313

121212

111

131313

121212

111

-zz-yy-xx

-zz-yy-xx

-zz-yy-xx

-z-yy-xx

-yz-yy-xx

-z-yy-xx BBBAAA

.

274

При данных допущениях векторы A1r 1 , A2r 2 и A3r 3 создают

базис пространства 3R . Представим вектор AB в виде линейной комбинации векторов 1r , 2r и 3r

321 rrrAB . (Б.6.1)

Вектор AB пересекает внутренность 123 тогда и только тогда, когда

0 0 0 ,, . (Б.6.2)

Рис. Б.6.1. Схема для вычисления y,x

Обозначим ABa . Для определения ,, умножим равенство (Б.6.1)

скалярно на 31,i,i r . Получим систему линейных уравнений

.,,,

;,,,

;,,,

2332313

322

2212

31212

11

rrrrrra

rrrrrra

rrrrrra

(Б.6.3)

Для сокращения количества арифметических операций при вычислении y,x решение системы (Б.6.3) проводится следующим образом.

Определитель матрицы системы (Б.6.3) можно найти с помощью алгебраических дополнений 31 ,j,i,Aij

13311221112

1 A,A,A rrrrr .

Составим матрицу алгебраических дополнений с учетом симметрии (Б.6.3)

332313

232212

131211

AAA

AAA

AAA

A .

А

В

1

2

3

275

Условие (Б.6.2) выполняется, если все компоненты вектора

3

2

1

ra

ra

ra

,

,

,

A

неотрицательные, то есть

.0,,,

;0,,,

;0,,,

333223113

323222112

313212111

rarara

rarara

rarara

AAA

AAA

AAA

Б.7. Вычисление интеграла по объему

Поскольку каждая область разбивается на тетраэдры, то вычисление

интеграла по Ω можно свести к формуле

M

i Vi

dxdydzz,y,x*z,y,xd*1

0, (Б.7.1)

где М – количество тетраэдров, на которые разбита область Ω; V – объем тетраэдра. Для вычисления интегралов (Б.7.1) можно воспользоваться какой-либо из интерполяционных формул [289]. Например, для 5-и узлов будем иметь

)

4(**,,*,,

1iiAfBWfAJ

Vdxdydzzyxzyx , (Б.7.2)

где J – якобиан; А и В – вес кубатурной формулы; W 321 ,, ,

41321 ,i,,A ,i – узлы кубатурной формулы; 321 ,, – барицентрическая

система координат. Для 5-и узловой формулы (Б.7.2) имеем:

узлы вес W( 1/4, 1/4, 1/4, 1/4); A = -2/15;

A1( 1/2, 1/6, 1/6, 1/6); A2( 1/6, 1/2, 1/6, 1/6); B = 3/40. A3( 1/6, 1/6, 1/2, 1/6); A4( 1/6, 1/6, 1/6, 1/2).

Можно также воспользоваться кубатурными формулами более высокого порядка [289], например, с 11 или 14 узлами.

276

Для того чтобы определить интеграл (Б.7.2) численным способом, необходимо определить новую систему координат и вычислить якобиан (рис. Б.7.1).

Пусть (Хi, Yi, Zi) – координаты вершин с номером i и А(x, y, z) – произвольная точка внутри тетраэдра. Вводя барицентрическую систему координат (1, 2, 3, 4,), ( i 0 , i=1) получаем следующие формулы для преобразования координат

.

;

;

44332211

44332211

44332211

zzzzz

yyyyy

xxxxx

(Б.7.3)

Рис. Б.7.1. Тетраэдр

Выбирая в качестве основных координат 321 ,, и, подставляя

3214 1 , формулы (Б.7.3) можно представить у виде

.

;

;

4334224114

4334224114

4334224114

zzzzzzzz

yyyyyyyy

xxxxxxxx

(Б.7.4)

Тогда якобиан

321

321

321

zzz

yyy

xxx

J =

434241

434241

434241

zzzzzz

yyyyyy

xxxxxx

. (Б.7.5)

1

4

3

2

A

277

Геометрический смысл якобиана тетраэдра

J = 6V,

где V – объем тетраэдра. Теперь для применения интерполяционной кубатурной формулы (Б.7.2)

имеются формулы для преобразования системы координат (Б.7.3), (Б.7.4) и определения якобиана (Б.7.5).

Б.8. Ряд для вычисления xerf

Для вычисления функции ошибок Гаусса будем использовать такой ряд

0 0

2

5.1

2erf

2

n nn

n

nx

axxe

x ,

где 11 ,10 nn . Приближенно допустим, что

0

erfn

nax ,

где 210 ,

5.0 ,

22

xyn

yaa

xea nn

x

.

Погрешность не превышает значения

!1

2 1

N

xye

N

N ,

где N – количество членов ряда. Б.9. Определение тензора температурных деформаций,

напряжений и перемещений при использовании ПМГЭ Фундаментальное решение Кельвина

*, ,

1, 3 4

16 1ij ij i ju x v r rv Gr

. (Б.9.1)

Перепишем (Б.9.1) в виде

278

ij

jiij

jiij r

vr

rr

Gvrv

r

rr

Gvu

143

116

1143

116

13

,,* .

После дифференцирования получаем

.43

3

116

1

433

116

1

143

3

116

1

36

23

36

23

,

,26

,23

,*,

ijkkjiijkjik

ijkkjikji

ijk

jikkji

kij

r

rv

r

rrrrrrr

Gv

r

rv

r

rrrrrrr

Gv

rr

vr

rrrrrrr

Gvu

(Б.9.2)

После упрощения (Б.9.2), получаем

.18

2121

116

2

43

116

143

116

1

43116

143

34

116

1

4333

116

1

433

116

1

33

333

36

3

36

33

36

23

36

3*

,

r

r

Gv

v

r

rv

Gv

r

rvr

Gvr

rv

r

r

Gv

r

rv

r

rr

Gvr

rv

r

rrrr

Gv

r

rv

r

rrrrrr

Gv

r

rv

r

rrrrrrr

Gvu

ii

iiii

iiiii

iiii

ikkkkikkkkik

kik

(Б.9.3)

В результате для температурной нагрузки с учетом (Б.9.3), имеем

tdr

r

Gv

v

v

vGtdu

v

vGuB i

kikTii 3

*, 18

21

21

12

21

12

.14

13

tdr

r

v

v i (Б.9.4)

Деформации Tij , связанные с тепловой нагрузкой находим по формуле

279

tdr

r

r

r

v

vuuBB

i

j

j

iTij

Tjiijji

Tij

,3

,3,,,, 18

1

2

1

2

1

.

3

14

13

14

1

33

18

1

18

1

636

3

6

3

6

3

,3

,3

tdr

rrr

rv

vtd

r

rrrr

v

v

tdr

rrrr

r

rrrr

v

vtd

r

r

r

r

v

v

jiijjiij

jiijjiij

i

j

j

i

(Б.9.5)

Согласно (Б.9.5) температурные компоненты напряжений имеют вид:

tdr

rrr

rv

GvG jiijT

ijTij 63

3

12

12 , (Б.9.6)

а компоненты температурных перемещений

tdr

r

v

vu iT

i 314

1. (Б.9.7)

Б.10. Определение тензора напряжений на границе 3D области при использовании ПМГЭ

Рассмотрим треугольник (рис. Б.10.1).

Рис. Б.10.1. Схема треугольника

Запишем систему уравнений для координат, перемещений и усилий

произвольной точки треугольника с использованием косоугольной системы координат:

1

2

3

1

2

O

Z Y

X

280

.,,

;,,

;,,

;,,

;,,

;,,

;,

;,

;,

332211

332211

332211

332211

332211

332211

33221121

33221121

33221121

zzzyzyxzxzzzz

zyzyyyxyxyyyy

zxzyxyxxxxxxx

zzzz

yyyy

xxxx

nnnPPPzyxP

nnnPPPzyxP

nnnPPPzyxP

uuuzyxu

uuuzyxu

uuuzyxu

zzzz

yyyy

xxxx

(Б.10.1)

где 213 1 ; yxxy , zxxz , zyyz ;

zyx nnn ,,T n – вектор внешней нормали к треугольнику (грани), причем:

S

zzyy

zzyy

nx 2

3232

3131

, S

zzxx

zzxx

ny 2

3232

3131

,

S

yyxx

yyxx

nz 2

3232

3131

,

2S – удвоенная площадь треугольника. Дифференцируя 4-е уравнение системы (Б.10.1) по i , получаем

.2,1 ,3

333

iuu

z

uzz

y

uyy

x

uxx

z

z

uy

y

ux

x

uu

xxi

xi

xi

xi

i

x

i

x

i

x

i

x

потому что

;

1,31

1

2132211

1

21 xxxxxx

32

2

2132211

2

21 1,xx

xxxx

,

следовательно

;2,1 , , , , 3333

iuuu

zzz

yyy

xxx

xxii

ixi

i

ii

i

ii

i

i

281

x

uxxx

;

x

u

y

u yxxy 2

1;

y

uyyy

;

x

u

z

u zxxz 2

1;

z

uzzz

;

y

u

z

uzy

yz 2

1;

tG zzyyxxxxxx 21

1

212 ;

tz

u

y

u

x

u

x

uG zyxx

xx 21

1

212 .

Без учета температурной нагрузки, имеем:

21

2

21

2

2112

G

z

uG

y

uG

x

u zyxxx , (Б.10.2)

для Gx

uG

y

uG

x

u

y

u yxyxxy

221

, (Б.10.3)

для Gx

uG

z

u zxxz

, (Б.10.4)

тогда

3

1332211

32323232

31313131

.

;

;

iixixxxzxzyxyxxx

xxxxx

xxxxx

PPPPnnn

uuz

uzz

y

uyy

x

uxx

uuz

uzz

y

uyy

x

uxx

(Б.10.5)

С учетом (Б.10.2)–(Б.10.4) последнее уравнение системы (Б.10.5) перепишется в виде

282

.21

2

21

2

2112

21

2

21

2

2112

3

1

iixix

zz

z

xy

yy

zx

yx

xx

zzx

yyx

xzyx

zxzyxyxxx

PnG

z

uGn

x

u

nG

y

uGn

x

uGn

z

uGn

y

unG

x

u

nGx

uG

z

unG

x

uG

y

u

nG

z

uG

y

uG

x

unnn

тогда (Б.10.5) перепишется в виде

.

21

2

21

2

2112

;

;

3

1

32323232

31313131

G

P

z

un

x

un

y

un

x

un

z

un

y

un

x

un

uuz

uzz

y

uyy

x

uxx

uuz

uzz

y

uyy

x

uxx

iixi

zx

zz

yx

yy

xz

xy

xx

xxxxx

xxxxx

(Б.10.6)

Аналогичным способом можно получить систему типа (Б.10.6) для двух других координат y и z:

;

21

2

2112

21

2

;

;

3

1

32323232

31313131

G

P

z

un

y

un

z

un

y

un

x

un

y

un

x

un

uuz

uzz

y

uyy

x

uxx

uuz

uzz

y

uyy

x

uxx

iiyi

zy

zz

yz

yy

yx

xx

xy

yyyyy

yyyyy

(Б.10.7)

283

.

2112

21

2

21

2

;

;

3

1

32323232

31313131

G

P

z

un

y

un

x

un

z

un

y

unn

z

u

x

un

uuz

uzz

y

uyy

x

uxx

uuz

uzz

y

uyy

x

uxx

iizi

zz

zy

zx

yy

yzx

xxz

zzyzz

zzzzz

(Б.10.8)

Объединяя (Б.9.6) – (Б.9.8) получим систему (Б.9.9) из 9-ти уравнений для определения производных перемещений по координатам для треугольного элемента

BA jiu , , (Б.10.9)

где

zyxyzxz

yzzyxxy

xzxyzyx

nKnnnnKnnK

zzyyxx

zzyyxx

nKnnnKnnnK

zzyyxx

zzyyxx

nKnnKnnnnK

zzyyxx

zzyyxx

A

122

323232

313131

212

323232

313131

221

323232

313131

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

21

121K ,

21

22K ,

а правая часть для первого узла будет иметь вид

284

GP

uu

uu

GP

uu

uu

GP

uu

uu

B

z

zz

zz

y

yy

yy

x

xx

xx

/

/

/

1

32

31

1

32

31

1

32

31

.

При учете температурной нагрузки в начальных напряжениях правая часть для 1-го узла будет иметь вид

zz

zz

zz

yy

yy

yy

xx

xx

xx

nvvtGP

uu

uu

nvvtGP

uu

uu

nvvtGP

uu

uu

B

)21/()1(2/

)21/()1(2/

)21/()1(2/

11

32

31

11

32

31

11

32

31

.

Б.11. Методика решения двумерных задач теории упругости с

использованием ПМГЭ

Методика численного решения задачи (2.12)–(2.16) основывается на ПМГЭ [123, 267] с использованием для двумерного случая линейных граничных элементов и двойных узлов при углах между элементами меньших чем 150 (рис. Б.11.1). При этом расстояние между двойными узлами должна составлять 1–2 % от длины граничных элементов.

Граничное интегральное уравнение ПМГЭ для уравнения (2.12) (при 0ib ) при граничных условиях, которые заданы в виде перемещений

и усилий и температурной нагрузки, имеет вид

285

)()(),(21

12

)()(),()()(),()()(

*,

**

xdxtxuv

vG

xdpxuxduxpuc

kik

jijjijjij

, 2,1, ji , (Б.11.1)

где cij – коэффициент, зависящий от типа граничного элемента и типа узла (одинарный или двойной); ** , ijij pu – компоненты тензоров

фундаментальных перемещений и напряжений [123], соответственно;

iijj np – компоненты усилий на границе тела; ni – направляющие косинусы

внешней нормали к границе тела; – координаты источника (узла); x – текущие координаты граничного элемента; – граница тела (или подобласти для соединенных тел); – область (подобласть).

Рис. Б.11.1. Дискретизация границы 2D-области: – длина граничного элемента; ii yx ; – координаты граничных узлов

Уравнение (Б.11.1) записано для задач плоско-деформированного состояния (ПДС). Приведенное уравнение будет также справедливым и для плоско-напряженного состояния (ПНС), если провести следующие замены: на )1/( ; на ).1/( При условии, что 0, iit , интеграл по области в уравнении (Б.11.1) можно преобразовать в граничный [123].

В дискретной форме интегральное уравнение (Б.11.1) записывается как

СЛАУ относительно неизвестных на границе тела перемещений

y

x

u

u

u

u

2

1

или усилий

y

x

p

p

p

p

2

1 и, соответственно, для двумерной задачи имеет

размерность (2N; 2N ):

при менше чем – двойной узел

286

,1,2= ,)()()(

)()()()()()(

;1,= ,)()()(

)()()()()()(

2

2

12 22

11 21

2

12 22

11 21

1

2

1212

1111

2

1212

1111

NNiBpG

pGuHuH

NiBpG

pGuHuH

Ni

N

NjNjNjNi

N

jjjNi

N

NjNjNjNi

N

jjjNi

i

N

NjNjNij

N

jjij

N

NjNjNij

N

jjij

(Б.11.2)

где – количество граничных узлов в области (подобласти); , , , , 1122211211 GHHHH 222112 , GGG – матрицы коэффициентов влияния

для соответствующих перемещений и усилий;

2

1

B

B – вектор объемных

усилий, вызванный температурной нагрузкой. Коэффициенты влияния при использовании линейных граничных элементов определяются по формулам:

,)1(4

)1(4

)(1

1

*1

11

*1*

drudruduG ijnmj

ijnmj

nmijnm

j

(Б.11.3)

при ji

,)1(4

)1(4

)(1

1

*1

11

*1*

drpdrpdpH ijnmj

ijnmj

nmijnm

j

(Б.11.4)

при ji

N

ijj

ijnmiinm HH1

)()( ;2,1, mn Nji ,1, , (Б.11.5)

где – длина линейного граничного элемента, ijr – расстояние между

источником и текущей точкой границы области. При двойных узлах один из слагаемых (Б.11.3) или (Б.11.4) отсутствует.

Вектор объемных усилий при переходе от интеграла по области к граничным интегралам и дискретной форме получает вид

287

,,1, ;2,1, ;)(),(

,)()(),(21

12)(

1 1

*,

NjinkntdQtdP

dntQtdPxdxtxuv

vGB

N

jjkjk

N

jnjn

kknnknkin

jj

(Б.11.6)

где nP и nQ – коэффициенты, выражения для которых приведены в [123]. Для случая линейных граничных элементов интегралы в квадратных

скобках (Б.11.6) преобразуются к виду:

,)1(4

)1(4

1

1

1

11

1

drPdrPdP ijnj

ijnj

n

j

(Б.11.7)

,)1(4

)1(4

1

1

1

11

1

drQdrQdQ ijnj

ijnj

n

j

(Б.11.8)

где n=1,2. В предложенной методике все сингулярные коэффициенты влияния

(Б.11.3), (Б.11.7), (Б.11.8) определяются аналитически, то есть точно, а интегралы, не имеющие сингулярных особенностей, определяются численным методом с помощью квадратурных формул Гаусса [227]. CЛАУ вида (Б.11.2) записывается относительно неизвестных перемещений и усилий на границах подобластей. Матрица СЛАУ записывается в ленточном виде. Решение СЛАУ осуществляется с помощью метода Гаусса с учетом ленточной структуры матрицы [280–282, 290]. После решения СЛАУ определяются неизвестные перемещения и усилия на границах подобластей.

Перемещения и напряжения внутри области (подобласти), при необходимости, определяются по формулам:

,,1 ;,1 ;2,1,, ;)(),(

)()()()()(

11

11

NjMimnkntdQtdP

pGuHu

jkjk

N

jn

N

jjn

N

jjmijnm

N

jjmijnmin

jj

(Б.11.9)

288

,,1 ;,1 ;2,1,,

;21

12)(),(

)()()(

11

1

*

1

*

NjMimnk

tGntdVtdS

udppdu

nmijkjk

N

jnm

N

jjnm

N

jjknmk

N

jjknmkinm

jj

jj

(Б.11.10)

где M – количество узлов внутри области; ** , nmknmk pu – компоненты тензоров перемещений и напряжений [123], которые соответствуют фундаментальному решению Кельвина; nmnm VS , – компоненты тензора фундаментального решения для температуры и ее нормальной производной на границе области (подобласти). В (Б.11.9) матрицы H и G определяются также само, как и для границы области по (Б.11.3) и (Б.11.4). При этом источник находится не на границе, а внутри области. Для определения координат M точек (узлов) внутри подобластей для (Б.11.9) и (Б.11.10) применяется триангуляция.

После того, как решена граничная задача (Б.11.2) необходимо выполнить последний этап расчетов, то есть определить компоненты тензора напряжений на границах подобластей. Как известно, в теории МГЭ эта задача вызывает существенные проблемы. Это предопределяется тем, что на границе области формулы (Б.11.10) приобретают сингулярность, которая не может быть устранена. В связи с этим для расчета граничных значений nm необходимо применять другие способы.

В данном исследовании для определения напряжений на границах подобластей применяется оригинальная методика расчета. Данная методика основывается на аналитическом решении системы алгебраических уравнений, записанных для линейного граничного элемента относительно nm с использованием преобразования решений для тензора малых деформаций Коши и обобщенного закона Гука (3.13), который записывается в обратной форме. В результате для определения граничных значений nm окончательно получаем

,1

)()()()(

;,1 ,1

)()()()(

;1

)()()()(

21

112222

21122112

22

221111

An

npnp

NiAnn

npnp

An

npnp

iii

iii

iiii

(Б.11.11)

289

где iiii tGnnGnpnpAi

)1(2)()(2)()( 12212211 ;

i

ininin

uu

)()()( 1 .

При 0, iit интеграл по области в правой части (Б.11.1) не преобразуется в граничный, как это показано в вышерассмотренной методике при 0, iit . Поэтому для решения задачи статической термоупругости при температурной нагрузке, заданной, например, уравнением Пуассона или нестационарным уравнением теплопроводности, применяются другие подходы.

В этом случае компоненты температурной нагрузки в (Б.11.1) определяются из соотношения

;)1(2

)1()()(),(

21

12

2,*

,

tdr

rxdxtxu

v

vGB n

knkn 2,1n . (Б.11.12)

При переходе от интеграла по области (подобласти) к интегралам по треугольникам (по симплексу), на которые разбита область в результате триангуляции, получаем

,),(),(

),(

)1(2

)1(

1

1

01

1

0221

212

211

K

kk

nTnn ddt

r

rJuB (Б.11.13)

где Tnu – температурные компоненты деформации; K – количество

треугольников; k – индекс треугольника; J – якобиан перехода от косоугольной системы координат к прямоугольной. Интегралы (Б.11.13) определяются численно по квадратурным формулам Хаммера [123, 129].

Перемещения и напряжения внутри области (подобласти), при необходимости, определяются по формулам:

,,1 ;,1 ;2,1, ;)()()()()()(11

NjMimnupGuHu iTn

N

jjmijnm

N

jjmijnmin

(Б.11.14)

,,1 ;,1 ;2,1,, ;21

12

)()()()(1

*

1

*

NjMimnktG

udppdu

nmi

iTnm

N

jjknmk

N

jjknmkinm

jj

(Б.11.15)

290

где Tnu – определяется из (Б.11.13); T

nmTnm G 2 – температурные

компоненты напряжений; температурные компоненты деформации

n

m

m

nTnm

Tmn

Tnm Td

r

rTd

r

ruu

22,, )1(4

)1(

2

1. (Б.11.16)

При определении выражений в скобках (Б.11.16) используется численное интегрирование по треугольникам, аналогично (Б.11.13).

Б.12. Комбинированный шаговый алгоритм решения задачи пластичности

Предварительные замечания. Сумма начальных напряжений дает нам

пластические напряжения p

p0 .

Определение пластических деформаций. Известно, что пластическая деформация определяется законом пластического течения:

pij

ij

Fd d

ij

pij

F

,

где klijklij

CF

1,

klijkl

ij

FC

FH

или

klijkl

ij

klijklij

FC

FH

CF

.

Значит для определения пластической деформации необходимо сначала вычислить

klijkl

ij

klijklij

FC

FH

CF

,

а потом уже можно получить ij

pij

F

.

291

1

начало

Находим полные приращения при: 0 0 NxA – при полной нагрузке из x pu , – перемещения и усилия на ,

MuHpGu – перемещения на \ ,

uB ee D – упругие деформации и напряжения

по элементам , находим по e 23Jekv по Мизесу,

определяем масштабный множитель max,0 / eT , масштабируем полные упругие деформации и напряжения

0 и 0 e , чтобы попасть на поверхность текучести.

Запоминаем текущие напряжения в 0

1 e . Нулевое приближение получено. 0k

1 kk :

выполняем малое приращение нагрузки 1 , kkkk ,

находим по всем элементам k ee D e 12 , по

2 23Jekv список пластичных элементов, вычисляем

истинные напряжения в пластичных элементах по k epep D , в качестве 1-го приближения получаем

начальные напряжения по epe 0 , запоминаем текущие напряжения в пластичных элементах

ep 12 , выполняем присвоение 21 .

положим N = 0 и по полученным начальным напряжениям 0 получаем из решения системы уравнений 0 SxA

kk pu , и 0 SuHpGuk kk uB

k ee D – упругие деформации и напряжения,

по e 12 23Jekv список пластичных элементов, вычисляем истинные напряжения в пластичных элементах по k epep D , получаем начальные напряжения

по epe 0 , запоминаем текущие напряжения

в пл.элем. ep 12 , выполняем присвоение 21 .

0 if true false

конец

3

4

1

2

292

Б.13. Примеры файлов-задания

Исходный файл-задания для Preprocessora при решении стационарной задачи Стефана в параллелепипеде при граничных условиях 1,2-го родов: InputData Title "'Параллелепипед - задача Стефана '"; Signature " Паралелепіпед - задача Стефана' v 2.00"; Chapter "Загальні"; Double d_eta = 0.001 : " d_eta - Compressibility factor of the Flat", ""; Unsigned Iter = 9 : "Кількість ітерацій", ""; Double Precis = 0.00001 : "Точність розрахунку температурного поля", "'C"; Double n = 8 : " Число поділок на стороні", ""; Double dTm = 10 : "Інтервал згладжування - dTm", "К"; Chapter "Геометричні характеристики"; Double x0 = 0 : "Початкова точка: корд. x", "м"; Double y0 = 0 : "Початкова точка: корд. y", "м"; Double z0 = 0 : "Початкова точка: корд. z", "м"; Double dx = 1 : "dx – довжина сторони по х", "м"; Double dy = 1 : " по dy", "м"; Double dz = 0.5 : "по dz", "м"; Chapter "Теплофізичні властивості"; Double Lambda1 = 1 : "Теплопровідність твердого тіла - Lambda1", "Вт/(м*К)"; Double Lambda2 = 0.25 : "Теплопровідність розплаву - Lambda2", "Вт/(м*К)"; Double Tm = 850 : "Температура фазового переходу - Tm", "'C"; Chapter "Граничні умови"; Double t1 = 500.0 : "t1 - температура", "'C"; Double t2 = 1200.0 : "t2 - температура", "'C"; Task ThC = " ThermalConductivity("; // нижня сторона - Flat__Side_Bot (OXY) Define CompoundFlat "Flat__Side_Bot" MoveToFlat(x0, y0, z0); Vector(dx, 0, 0), n; Vector(0, dy, 0), n; Vector(-dx, 0, 0), n; Vector(0, -dy, 0), n; ; // тильна сторона - Flat__Side_Back (OXZ) Define CompoundFlat "Flat__Side_Back"

293

MoveToFlat(x0+dx, y0+dy, z0+dz); Vector(-dx, 0, 0), n; Vector(0, 0, -dz), n; Vector(dx, 0, 0), n; Vector(0, 0, dz), n; ; // верхня сторона - Flat__Side_Top (OXY) Define CompoundFlat "Flat__Side_Top" MoveToFlat(x0+dx, y0+dy, z0+dz); Vector(0, -dy, 0), n; Vector(-dx, 0, 0), n; Vector(0, dy, 0), n; Vector(dx, 0, 0), n; ; // чільна сторона - Flat__Side_Face (OXZ) Define CompoundFlat "Flat__Side_Face" MoveToFlat(x0, y0, z0); Vector(0, 0, dz), n; Vector(dx, 0, 0), n; Vector(0, 0, -dz), n; Vector(-dx, 0, 0), n; ; // права сторона - Flat__Side_Rigth (OYZ) Define CompoundFlat "Flat__Side_Rigth" MoveToFlat(x0+dx, y0+dy, z0+dz); Vector(0, 0, -dz), n; Vector(0, -dy, 0), n; Vector(0, 0, dz), n; Vector(0, dy, 0), n; ; // ліва сторона - Flat__Side_Left (OYZ) Define CompoundFlat "Flat__Side_Left" MoveToFlat(x0, y0, z0); Vector(0, dy, 0), n; Vector(0, 0, dz), n; Vector(0, -dy, 0), n; Vector(0, 0, -dz), n; ; Define Area "Parallelepiped" @ ThC$, Lambda1, ", ", Lambda2, ", ", Tm, ", ", dTm, ")"; MoveTo(x0, y0, z0); CompoundFlat "Flat__Side_Bot", BC1(t1,t1), Name "Side_Bot";

294

CompoundFlat "Flat__Side_Back", BC2(0,0), Name "Side_Back"; CompoundFlat "Flat__Side_Top", BC1(t2,t2), Name "Side_Top"; CompoundFlat "Flat__Side_Face", BC2(0,0), Name "Side_Face"; CompoundFlat "Flat__Side_Rigth", BC2(0,0), Name "Side_Rigth"; CompoundFlat "Flat__Side_Left", BC2(0,0), Name "Side_Left"; ; @ "Problem", " Iterations ", Iter, " Precision ", Precis; @ ""; @ " CompressibilityFactor(", d_eta, ");"; @ " DataForBalance;"; @ ";";

Конкретизированный исходный файл-задания для Solvera при решении стационарной задачи Стефана в параллелепипеде при граничных условиях 1,2-го родов: CompoundFlat Flat__Side_Top MoveTo(1.0000000000000000, 1.0000000000000000, 0.5000000000000000); Vector(0.0000000000000000, -1.0000000000000000, 0.0000000000000000), 8; Vector(-1.0000000000000000, 0.0000000000000000, 0.0000000000000000), 8; Vector(0.0000000000000000, 1.0000000000000000, 0.0000000000000000), 8; Vector(1.0000000000000000, 0.0000000000000000, 0.0000000000000000), 8; ; CompoundFlat Flat__Side_Bot MoveTo(0.0000000000000000, 0.0000000000000000, 0.0000000000000000); Vector(1.0000000000000000, 0.0000000000000000, 0.0000000000000000), 8; Vector(0.0000000000000000, 1.0000000000000000, 0.0000000000000000), 8; Vector(-1.0000000000000000, 0.0000000000000000, 0.0000000000000000), 8; Vector(0.0000000000000000, -1.0000000000000000, 0.0000000000000000), 8; ; CompoundFlat Flat__Side_Left MoveTo(0.0000000000000000, 0.0000000000000000, 0.0000000000000000); Vector(0.0000000000000000, 1.0000000000000000, 0.0000000000000000), 8; Vector(0.0000000000000000, 0.0000000000000000, 0.5000000000000000), 8; Vector(0.0000000000000000, -1.0000000000000000, 0.0000000000000000), 8; Vector(0.0000000000000000, 0.0000000000000000, -0.5000000000000000), 8; ; CompoundFlat Flat__Side_Back MoveTo(1.0000000000000000, 1.0000000000000000, 0.5000000000000000); Vector(-1.0000000000000000, 0.0000000000000000, 0.0000000000000000), 8; Vector(0.0000000000000000, 0.0000000000000000, -0.5000000000000000), 8; Vector(1.0000000000000000, 0.0000000000000000, 0.0000000000000000), 8; Vector(0.0000000000000000, 0.0000000000000000, 0.5000000000000000), 8;

295

; CompoundFlat Flat__Side_Face MoveTo(0.0000000000000000, 0.0000000000000000, 0.0000000000000000); Vector(0.0000000000000000, 0.0000000000000000, 0.5000000000000000), 8; Vector(1.0000000000000000, 0.0000000000000000, 0.0000000000000000), 8; Vector(0.0000000000000000, 0.0000000000000000, -0.5000000000000000), 8; Vector(-1.0000000000000000, 0.0000000000000000, 0.0000000000000000), 8; ; CompoundFlat Flat__Side_Rigth MoveTo(1.0000000000000000, 1.0000000000000000, 0.5000000000000000); Vector(0.0000000000000000, 0.0000000000000000, -0.5000000000000000), 8; Vector(0.0000000000000000, -1.0000000000000000, 0.0000000000000000), 8; Vector(0.0000000000000000, 0.0000000000000000, 0.5000000000000000), 8; Vector(0.0000000000000000, 1.0000000000000000, 0.0000000000000000), 8; ; Area Parallelepiped ThermalConductivity(1, 0.25, 850, 10); MoveTo(0.0000000000000000, 0.0000000000000000, 0.0000000000000000); CompoundFlat Flat__Side_Left, BC2(0.0, 0.0) Name Side_Left; CompoundFlat Flat__Side_Rigth, BC2(0.0, 0.0) Name Side_Rigth; CompoundFlat Flat__Side_Face, BC2(0.0, 0.0) Name Side_Face; CompoundFlat Flat__Side_Top, BC1(1200.0, 1200.0) Name Side_Top; CompoundFlat Flat__Side_Back, BC2(0.0, 0.0) Name Side_Back; CompoundFlat Flat__Side_Bot, BC1(500.0, 500.0) Name Side_Bot; ; Problem Iterations 9 Precision .00001 CompressibilityFactor(.001); DataForBalance; ;

296

Приложение В

Результаты тестирования ПО и верификации разработанных численных моделей

В.1. Стационарная теплопроводность Тест 1. Стационарная теплопроводность неограниченной пластины при наличии

внутреннего источника теплоты [304]: толщина 2 = 0,5 м; теплопроводность = 1; 14; 100 Вт/(м·К), плотность внутреннего источника теплоты qv = 15000 Вт/м3, условия конвективного типа = 20 Вт/(м2·К), t = 100 С (табл. В.1.1).

Таблица В.1.1 Результаты сопоставления по данным теста 1

Теплопроводность , Вт/(м·К)

Минимальная температура, tmin, C

Максимальная температура, tmax, C

Плотность теплового потока, q, Вт/м2

Точное решение

ПМГЭ (294 узла)

Точное решение

ПМГЭ (294 узла)

Точное решение

ПМГЭ (294 узла)

1 287,5 286,471 756,250 758,240 3750,00 3754,93 14 287,5 287,615 320,982 321,350 3750,00 3754,91 100 287,5 287,727 292,188 292,450 3750,00 3754,91

Тест 2. Стационарная задача Стефана: неограниченный слой толщиной = 0,5 м; температура фазового перехода фt = 500 С; теплопроводность твердого тела и расплава

т и р , соответственно; температуры на границах слоя при x1 = 0 м, t1 = 0 С и при x2 = ,

t2 =1000 С (табл. В.1.2). Таблица В.1.2

Результаты сопоставления по данным теста 2 Теплопроводность Положение границы раздела фаз/погрешность, м/%

рт / , Вт/(м·К) Точное решение ПМГЭ, 40 узлов по толщине слоя

ПМГЭ, 80 узлов по толщине слоя

20/2 0,45(45)/0 0,4505/0,88 0,4508/0,81 200/2 0,4950/0 0,4880/1,41 0,4938/0,24

Тест 3. Стационарная теплопроводность многослойной неограниченной плоской стенки при граничных условиях конвективного типа [304]: количество слоев – 2; толщины 1 = 2 = 0,065 м; теплопроводность слоев 21, ; условия конвективного типа 1 =

=20 Вт/(м2·К), t1д = 100 С; 2 = 20 Вт/(м2·К), t2 д = 1000 С (табл. В.1.3). Тест 4. Стационарная нелинейная теплопроводность [304]: неограниченный слой

толщиной = 0,5 м; теплопроводность зависит от температуры tt 10 ,

70 Вт/(м·К), =0,0005 К-1; граничные условия при x1 = 0 м, t1 = 0 С, а при x2 = ,

q2 = -10000 Вт/м2 (табл. В.1.4).

297

Таблица В.1.3 Результаты сопоставления по данным теста 3

Теплопроводность

21 / , Вт/(м·К) Температуры двухслойной стенки, t1/t2/t3, C Плотность

теплового потока, q, Вт/м2

Точное решение

ПМГЭ (259 узлов)

Точное решение

ПМГЭ (259 узлов)

14,0/14,0 511,765/550,0/588,235 511,873/550,0/588,128 8235,29 8237,481,4/14,0 179,096/913,559/920,904 179,242/913,416/920,758 1581,92 1584,840,014/1400,0 109,488/990,503/990,512 109,509/990,483/990,491 189,757 190,174

Таблица В.1.4 Результаты сопоставления по данным теста 4

x,м 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 t, C точное решение

951,9

903,2

853,5

803,0

751,6

699,2

645,7

591,2

535,5

478,5

t, C ПМГЭ, 40 узлов)*

952,0

903,2

853,6

803,1

751,7

699,3

645,8

591,3

535,5

478,6

t, C ПМГЭ, 80 узлов)*

952,0

903,2

853,5

803,1

751,6

699,2

645,8

591,2

535,5

478,5

Примечание. )* количество узлов по толщине слоя

Осесимметричные задачи. Тест 5. Цилиндр имеет радиус r0 = 1 м, высоту h = 1 м, теплопроводность =

= 2 Вт/(мК), плотность внутренних источников теплоты qv = 1500 Вт/м3. Граничные условия: на основаниях и оси цилиндра t/n = 0; на боковой поверхности – условия 3-го рода, температура жидкости tp = 100 C, коэффициент теплоотдачи = 20 Вт/(м2К). Результаты сопоставления расчетов с аналитическим решением [245] приведены в табл. В.1.5.

Таблица В.1.5 Результаты сопоставления по данным теста 5

Температура на оси цилиндра t0, C

Температура на боковой поверхности цилиндра t0, C

Плотность теплового потока на боковой поверхности

цилиндра q, Вт/м2 аналитическое

решение ПМГЭ аналитическое

решение ПМГЭ аналитическое

решение ПМГЭ

325 324,966 137,5 137,504 750 750,082

Тест 6. Цилиндр имеет радиус r0 = 2 м, высоту h = 1 м, теплопроводность (t) = =2+0.1t Вт/(мК). Граничные условия: на оси и боковой поверхности цилиндра t/n = 0; на основаниях цилиндра условия 1-го рода, t1 = 100 C, t2 = 200 C. Сопоставления проводились по координате соответствующих изотерм (t = 105, 115, 125 C и т.д.). Расхождение с аналитическим решением не превышает 0,025 мм.

298

Тест 7. Заданы условия стационарной задачи Стефана в цилиндре с радиусом r0 = 2 м и высотой h = 1 м: начальное положение плоской границы раздела фаз по высоте h1 = 0,1м, температура фазового перехода tf = 150 C, – 1t/n– = –2t/n+, где 1= 6 Вт/(мК) и 2 = =2 Вт/(мК) теплопроводности первой и второй фазы. Граничные условия: на оси и боковой поверхности цилиндра t/n = 0; на основаниях – условия 1-го рода, t1 = 100 C, t2 = 200 C. Численное решение по определению стационарного положения плоской границы раздела фаз совпадает с точным и составляет 0,75 м.

В.2. Нестационарная теплопроводность Тест 1. Нестационарная теплопроводность при охлаждении неограниченной

пластины при граничных условиях конвективного типа [304]: толщина пластины 2 = 20 мм, начальная температура 0t = 140 С, температура воздуха повt = 15 С, время

с начала охлаждения = 20 мин, теплопроводность резины = 0,175 Вт/(м·К), температуропроводность резины a = 0,833·10-7 м2/c, коэффициент теплоотдачи от резины к воздуху = 65 Вт/(м2·К) (табл. В.2.1).

Таблица В.2.1 Сопоставление данных аналитического и численного решений нестационарной задачи

теплопроводности неограниченной пластины Тип решения Температура на оси

пластины 0xt , С Температура на поверхности

пластины xt , С

Точное решение [304] 47,563 25,453 Численное решение ПМГЭ (150 узлов)

47,835 25,305

Тест 2. Задача теплопроводности при нагревании куба при наличии внутреннего источника теплоты 15000vq Вт/м3, коэффициент теплоотдачи =20 Вт/(м2·К).

Остальные исходные данные такие же самые, как и в тесте 2. Стационарное решение получено методом установления путем решения нестационарной задачи (табл. В.2.2).

Таблица В.2.2 Сопоставление данных аналитического и численного решений задачи теплопроводности

при наличии внутреннего источника теплоты Тип решения Температура в

центре куба 0xt , СТемпература поверхности

куба xt , С

Плотность теплового потока q,

Вт/м2

Точное решение [245] 354,46 287,50 3750 Численное решение ПМГЭ (750 узлов)

354,88 288,61 3783

Тест 3. Нестационарная теплопроводность при нагревании куба. Размеры: 500500500 мм. Теплофизические свойства: теплопроводность = 7 Вт/(м·К), массовая изобарная теплоемкость pc = 500 Дж/(кг·К), плотность = 1500 кг/м3,

температуропроводность a = 9,33(3)·10-6 м2/c. Начальная температура: 0t = 0 С.

Граничные условия: Фурье на верхнем и нижнем торцах куба, а на боковых поверхностях

299

адиабатные условия: температура воздуха повt = 100 С, коэффициент теплоотдачи

= 5; 50 Вт/(м2·К) (табл. В.2.3). Таблица В.2.3

Сопоставление данных аналитического и численного решений нестационарной задачи теплопроводности для куба при граничных условиях конвективного типа

Время, с/ч Аналитическое решение

[245], =5 Вт/(м2·К)

xx tt - 0 ,С

ПМГЭ, 8 интервалов на промежутке

0 F ,

(270 узлов)

xx tt - 0 ,С

Аналитическое решение

[245], =50 Вт/(м2·К)

xx tt - 0 ,С

ПМГЭ, 8 интервалов на промежутке

0F ,

(270 узлов)

xx tt - 0 ,С

7200/ 2 13,995-21,011 13,85-20,79 63,407-81,440 62,20-80,70 14400/ 4 28,008-33,881 27,75-33,56 88,533-94,184 86,05-93,29 21600/ 6 39,739-44,655 39,28-44,17 96,407-98,177 95,07-97,49 28800/ 8 49,558-53,673 48,85-52,97 98,874-99,429 98,03-99,00 36000/10 57,777-61,221 56,80-60,28 99,647-99,821 99,18-99,59 43200/12 64,657-67,540 63,42-66,37 99,889-99,943 99,65-99,82 50400/14 70,416-72,829 68,94-71,44 99,965-99,982 99,85-99,93 57600/16 75,236-77,256 73,56-75,69 99,989-99,994 99,94-99,97 64800/18 79,271-80,962 77,43-79,25 99,996-99,998 99,98-99,99 72000/20 82,649- 84,064 80,69-82,65 99,998-99,999 100-100

Таблица В.2.4 Сопоставление данных численных решений нестационарной задачи теплопроводности при

предварительном нагреве подового блока алюминиевого электролизера Время, с МКЭ ANSYS [181],

(1647 узлов) tmin/tmax , С

ПМГЭ, (356 узлов) tmin/tmax, С

1800 87,9/594,6 84,86/599,16 3600 158,18/611,72 159,22/615,44

а

б

Рис. В.2.1. Сопоставление данных численных решений нестационарной задачи теплопроводности при предварительном нагреве подового блока:

а – МКЭ [181], время – 3600 с; б – ПМГЭ, время – 3600 с

300

В.3. Радиационный теплообмен Тест 1. Стационарный радиационно-кондуктивный теплообмен через

многослойную стенку при граничных условиях конвективного типа [245, 304]: количество слоев – 3; 1-й и 3-й слои теплопроводные, а 2-й – диатермическая среда, толщины слоев – 1 = 2 = 3 =0,12 м; теплопроводность слоев 31 , ; степень черноты поверхностей,

ограничивающих 2-й слой = 0,8; условия конвективного типа – 1 = 20 Вт/(м2·К), t1 = 1200 С; 2 = 10 Вт/(м2·К), t2 = 27 С (табл. В.3.1).

Таблица В.3.1 Сопоставление данных аналитического и численного решений стационарной задачи

сложного теплообмена в многослойной неограниченной плоской стенке при граничных условиях конвективного типа

Теплопро-водность

31 / ,

Вт/(м·К)

Температуры многослойной стенки, t1/t2/t3/t4, C

Плотность теплового потока, q, Вт/м2

Точное решение

ПМГЭ (1944 узлов)

Точное решение

ПМГЭ (1944 узлов)

1,5/0,2 1129,60/1016,96/ 1012,60/167,8

1129,54/1017,36/ 1013,0/167,9

1408,005 1409,246

В.4. Термоупругость

Тест 1. Полуограниченная пластина толщиной h = 0,115 м и длиной = 1,7 м,

свободна от внешних сил, имеет постоянную температуру t1 = t2 = 1000C (рис. В.4.1). Материалы пластины: сталь 3, углеграфит. Физические свойства материалов приведены в табл. В.4.1. Требуется провести расчет ПНС. Результаты сравнительных расчетов представлены в табл. 2.

Рис. В.4.1. Схема полуограниченной пластины

Таблица В.4.1 Физические свойства материалов

Материал Теплопроводность , Вт/(мК)

КоэффициентПуассона

Модуль упругости

E, МПа

Коэффициенттермического расширения

, К-1

Сталь 3 45 0,3 202000 0,0000144 Углеграфит 8 0,2 10800 0,000005

x

y

O t1

t2

301

Таблица В.4.2 Результаты сопоставления по данным теста 1

Материал Перемещения, u1=ux=, м

Напряжения, 11= xx, МПа

Точное решение

ПМГЭ Точное решение

ПМГЭ

Сталь 3 0,02448 0,02448 0 -1,906/+0,168 Углеграфит 0,0085 0,0085 0 -0,0294/+0,00288

Тест 2. Полуограниченная пластина при размерах теста 1, свободна от внешних сил, имеет линейное распределение температуры по толщине при t1 = 950 C и t2 = 1000 C (рис. В.4.1). Материалы пластины: сталь 3, углеграфит (табл. В.4.2). Требуется провести расчет ПНС. Результаты сравнительных расчетов приведены в табл. В.4.3.

Таблица В.4.3 Результаты сопоставления по данным теста 2

Материал Перемещения, u1 = ux = , м

Напряжения, 11 = xx, МПа

Точное решение ПМГЭ Точное решение

ПМГЭ

Сталь 3 0,023868 0,023869 0 -5,967 +4,090

Углеграфит 0,0082875 0,008288 0 -0,0917 +0,0793

Тест 3. Полуограниченная пластина с размерами как в тесте 1, зажата с обеих торцов и имеет постоянную температуру t1 = t2 = 1000C (рис. В.4.2). Материалы пластины: сталь 3, углеграфит (табл. В.4.1). Требуется провести расчет ПНС. Результаты сравнительных расчетов представлены в табл. В.4.4.

Рис. В.4.2. Схема полуограниченной пластины

Таблица В.4.4 Результаты сопоставления по данным теста 3

Материал Перемещения, u1 = ux = , м

Напряжения, 11 = xx, МПа

Точное

решение

ПМГЭ Аналитическое

решение [305]

ПМГЭ

Сталь 3 0 0 -2875,0 -2888,5

Углеграфит 0 0 -53,38 -53,53

Во всех рассмотренных примерах ПНС число граничных узлов равнялось 245.

x

y

O t1

t2

302

В.5. Упругопластичность Тест. Рассмотрим упругопластическое состояние толстостенного бесконечного

цилиндра, находящегося под действием внутреннего давления [306]. Материал цилиндра идеально упругопластичный. Физические свойства материала: коэффициент Пуассона = 0,5, модуль упругости при растяжении E = 2105 МПа, предел текучести

T = 320 МПа. Внутреннее давление в цилиндре P = 150 МПа. Внутренний радиус

цилиндра 1r = 0,05 м и внешний – 2r = 0,08 м. В задаче плоскодеформированного

состояния в поперечном сечении бесконечного цилиндра необходимо определить: радиус границы текучести материала; распределение перемещений по радиусу; компоненты тензора напряжений в области пластичности материала. Основные аналитические соотношения приведены в [306]. Радиус границы пластичности материала ( Tr ) определяется из решения нелинейного уравнения

02

31

2

1ln

T

2

2

T

1

T

P

r

r

r

r.

Распределение перемещений по радиусу

r

r

Eu

2TT

2

3 .

Распределение напряжений в области пластичности ( T1 rrr ):

.ln23

;1ln23

;1ln23

2

2

T

T

T

2

2

T

T

T

2

2

T

T

T

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

z

r

В рассмотренном примере общее количество узлов для ¼ поперечного сечения

трубы составила 1581. Расчеты проведены в декартовой системе координат. Для пересчета компонент напряжений в цилиндрическую систему координат использовались следующие соотношения при 0 :

. , , zzyxr

303

Таблица В.5.1 Результаты сопоставления численных расчетов, выполненных по методике

(см. Приложение Б.12), с данными аналитических решений [306] Напряжения в зоне пластичности материала, МПа Граница

текучести Tr , м Перемещения

310u , м

при 2

1

rr

rr

r при

T

1

rr

rr

при T

1

rr

rr

z при T

1

rr

rr

Точное решение

(ТР)

ПМГЭ +МКЭ

ТР ПМГЭ +МКЭ

ТР ПМГЭ +МКЭ

ТР ПМГЭ +МКЭ

ТР ПМГЭ +МКЭ

0,0607 0,0605 0,102

0,0637

0,102

0,0638

-150

-78,45

-147,5

-79,31

219,50

291,06

221,47

289,69

34,75

106,3

36,97

105,2

В.6. Контактные задачи Тест 1. Теплопроводность. Между полубесконечными пластинами задано

термическое контактное сопротивление r (м2К/Вт). 1 , 2 (м) и 1 , 2 (Вт/(м2К)) –

толщина и теплопроводность верхней и нижней пластины, соответственно (рис. В.6.1).

1t , 4t (С) – температуры, заданные на внешних поверхностях пластин. Необходимо найти

температуры 2t , 3t и тепловой поток q (Вт/м2), проходящий через пластины.

Рис. В.6.1. Схема контактного теплового взаимодействия между пластинами

Точное решение задачи находится из решения системы из 3-х уравнений вида:

;

;

;

2

432

32

1

211

ttq

r

ttq

ttq

r

trttt

211221

1214121212 , qrtt 23 .

304

Таблица В.6.1 Результаты сопоставления по данным теста 1 при 1t = 200 С и 4t =100 С

32 / tt , С q , Вт/м2 r ,

м2К/Вт 21 / , м 21 / ,

Вт/(м2К) Точное решение

ПМГЭ Точное решение

ПМГЭ

0,5 0,2/0,2 2,0/2,0 185,714 114,286

185,714 114,286

142,857 142,857

0,05 0,2/0,2 2,0/2,0 160,0 140,0

160,0 140,0

400,0 400,0

0,75 0,3/0,1 3,7/1,2 191,133 109,113

191,133 109,113

109,360 109,360

Тест 2. Электропроводность. Между полубесконечными пластинами задано электрическое контактное сопротивление er (Омм2). 1 , 2 (м) и 1 , 2 (Омм)-1 –

толщина и электропроводность верхней и нижней пластины, соответственно (рисунок аналогичный рис. В.6.1). 1U , 4U (В) – электрические потенциалы, заданные на внешних

поверхностях пластин. Необходимо найти электрические потенциалы 2U , 3U и плотность

электрического тока j (А/м2), проходящего через пластины.

Точное решение задачи имеет вид:

e

e

r

UrUUU

211221

1214121212

, jrUU e 23 .

Таблица В.6.2 Результаты сопоставления по данным теста 2 при 1U = 2 В и 4U = 0 В

32 /UU , В j , А/м2 r ,

мкОмм2 21 / , м 1

21

1 / ,

мкОмм Точное решение

ПМГЭ Точное решение

ПМГЭ

10 0,3/0,3 45/45 1,270 0,730

1,270 0,729

54054,05 54054,0

100 0,3/0,1 55/0,15 1,717 0,00026

1,717 0,000257

17165,2 17165,0

5 0,3/0,1 25/75 1,25 0,75

1,25 0,75

100000,0 100000,0

Тест 3. Механическая контактная задача. Рассмотрим смешанную задачу механики твердого деформированного тела о вдавливании жесткого кольцевого штампа в полубесконечный слой упругого материала [134] (рис. В.6.1.). Трение между штампом и слоем материала не учитывается. Вдавливание штампа совершается без перекосов, то есть величина вдавливания constr . Слой материала опирается на

недеформированное основание без учета трения. Свойства материалов: E = 18,2 МПа – модуль упругости при растяжении, v = 0,3 – коэффициент Пуассона. Необходимо найти распределение контактного давления под штампом в зависимости от его радиуса.

305

Рис. В.6.1. Схема задачи о вдавливании кольцевого штампа в слой упругого материала: 1 – штамп; 2 – слой материала, который деформируется под действием штампа

Для осесиметричного случая и плоскодеформированного состояния аналитическое решение данной задачи получено в работе [307] асимптотическим методом без учета трения, при 1/ ah имеем

42

2126,0718,0811,1

/1 a

r

a

r

ar

DrP ,

где va

GD

1

– [134]; v

EG

12 – модуль сдвига, МПа; a = 0,1 м; = 0,01 м

– величина вдавливания штампа, которая определяется из выражения для D при 1D МПа.

Численное решение получено при 21 узлах на поверхности контакта.

Таблица В.6.3 Результаты сопоставления по данным теста 3

Радиус r , м

0,0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

Аналитическое решение [307]

rP , МПа

1,81

1,81

1,82

1,832

1,854

1,893

1,961

2,085

2,338

3,010

Численное решение rP , МПа

1,82

1,82

1,827

1,838

1,859

1,893

1,964

2,091

2,327

2,999

306

В.7. Результаты сопоставления численных экспериментов

а б

в г

Рис. В.7.1. Сопоставление результатов численного моделирования стационарных физических полей алюминиевого электролизера ОА-95 со шпангоутным катодным

кожухом в режиме эксплуатации: а, б – поле электрического потенциала без учета падения напряжения за счет

электрохимического процесса ( nodN 8551, elN 38360 – количество узлов и элементов,

соответственно); в, г – поле температур, полученное с учетом температурной зависимости теплопроводности ( nodN 15127, elN 65949 – количество узлов и элементов,

соответственно); а, в – данные расчетов в системе ANSYS [181]; б, г – данные расчетов, полученных с помощью авторского ПО построенного на МКЭ

307

а б

в г

Рис. В.7.1. Сопоставление результатов численного моделирования стационарных физических полей алюминиевого электролизера ОА-320 м каркасно-шпангоутным

катодным кожухом в режиме эксплуатации: а, б – поле электрического потенциала без учета падения напряжения за счет

электрохимического процесса ( nodN 33069, elN 145733 – количество узлов

и элементов, соответственно); в, г – поле температур, полученное с учетом температурной зависимости теплопроводности ( nodN 43305, elN 191975 – количество узлов

и элементов, соответственно); а, в – данные расчетов в системе ANSYS [181]; б, г – данные расчетов, полученных с помощью авторского ПО построенного на МКЭ

Расчеты, приведенные на рис. В.7.1(в, г), В.7.2(в, г), В.7.3а, выполнены

при следующих значениях теплопроводности в системе твердое тело – расплав (3.21) (см. рис. Б.4.1):

в системе гарнисаж-электролит – т = 2,5 Вт/(мК), p = 200 Вт/(мК),

t = 940 С, t = 300 С;

в системе настыль-металл – т = 4 Вт/(мК), p = 130 Вт/(мК),

t = 940 С, t = 300 С.

308

Здесь и далее в качестве теплопроводности расплавов используются эффективные значения [160].

Для оценки погрешности определения ФРП за счет уменьшения эффективных значений теплопроводности расплавов и увеличения интервала сглаживания проведены расчеты (рис. В.7.3б) при следующих значениях теплопроводности (3.21) (см. рис. Б.4.1) по методике (3.65):

в системе гарнисаж-электролит – т = 2,5 Вт/(мК), p = 1000 Вт/(мК),

t = 940 С, t = 5 С;

в системе настыль-металл – т = 4 Вт/(мК), p = 650 Вт/(мК), t =

=940 С, t = 5 С. Результаты расчетов, проведенные с помощью разработанного ПО,

сравнивались с данными численных экспериментов (В.7.1, В.7.2), которые были получены с помощью системы ANSYS. Причем задача теплового состояния электролизеров решалась при значениях p , т и t , при которых достигается

сходимость решения в системе ANSYS, то есть при t = 300 С и p = 130; 200

Вт/(мК). Данные расчетов электрических и тепловых полей, полученные с помощью ANSYS и авторского ПО, совпадают между собой в пределах погрешности 0,6 %, что является подтверждением работоспособности разработанной численной методики и соответствующего ПО (см. главу 3).

Результаты оценки погрешности определения ФРП, связанной с уменьшением значений эффективных коэффициентов расплавов и увеличением интервала сглаживания [314], показаны на рис. В.7.3.

а б

Рис. В.7.3. Изменение ФРП в зависимости от интервала сглаживания и скачка теплопроводности:

а – = 0,528 м – минимальная толщина бортового гарнисажа; б – = 0,075 м

309

При этом погрешность определения ФРП может достигать 86 % и более. Поэтому для решения этой проблемы при использовании системы ANSYS, например, применяется поэлементный анализ системы твердое тело – расплав и в зависимости от уровня температуры элемента выполняется соответствующая замена теплопроводности конечного элемента [246, 261].

а б Рис. В.7.4. Сопоставление результатов численного моделирования температурного поля печи графитирования Ачесона постоянного тока на конец регламента подвода мощности

(физические свойства материалов зависят от температуры, nodN 20699, elN 105975 – количество узлов и элементов, соответственно):

а – данные расчетов в системе ANSYS [181]; б – данные расчетов, полученных с помощью авторского ПО построенного на МКЭ

310

В.8. Результаты верификации численных теплоэлектрических моделей алюминиевых электролизеров

Таблица В.8.1 Сопоставление результатов расчетов энергетического состояния разных

типов электролизеров с натурным экспериментом Тип электролизера БТ-70

шпангоут-ный КК

С-130 балочный

КК

С-130 шпангоут-ный КК

С8-БМ контр- форсный

КК

ОА-300М1 каркасно-шпангоут-ный КК

Параметр uр – рабочее напряжение, B

4,76 4,77

4.443 4,443

4.456 4,456

4,456 4,456

4.271 4,271

I – сила тока, кА 69,36)* 69,36

136 136

136 136

173 173

303 303

tэл – температура электролита, С

963 960

951 950

953 952

971 972

957.5 957

ФРП, продольная

гарнисаж г,см

2,6 2-5

0,0 0,0

1.8 0,0

4.6 2

11.9 8-10

сторона настыль)** н,см

61 60-99

103 110

95 110

52 89

-10.7 -10

hконус.ц – высота конуса спекания на оси анода, см

103 101-110

123,7 123,8

123,9 123,9

131 133

-

tв.п.П –темп-ра КК на верхнем поясе на продольной стороне, С

245 227-278

236 161-217

254 232-310

263 265-268

308.3 271-296

tс.п.П –темп-ра КК на среднем поясе на продольной стороне, С

233 220-265

219 200-257

194 170-291

189 162-163

265.5 250-275

tн.п.П – темп-ра КК на нижнем поясе на продольной стороне, С

187 106-178

160 140-172

136 106-180

69 58-65

117.9 117-135

tв.п.Т –темп-ра КК на верхнем поясе по торцевой стороне, С

284 237-293

176 125-177

117 106-143

131 129-129

361.5 322-397

tдн – темп-ра КК на днище, С

142 125-155

154 -

103 -

82 60-139

72.1 69-76

wд – удельный расход электроэнергии, кВт×ч/т

16034 16032

14809 14723

14773 14589

17729 17460

13584.2 -

Примечание: )* – длина настыли отсчитывается от бортовых блоков; КК – катодный кожух; )** – в числителе данные расчета, а в знаменателе – эксперимент.

311

В.9. Результаты верификации теплоэлектрической численной модели печи графитирования Ачесона постоянного тока

0

20

40

60

80

100

120

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Время, ч

Сила

тока

, кА

I задано вэкспер.I задано вмодели

0

50

100

150

200

250

300

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Время, чНапряжение

, В

U экспер.

U модель

а б

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Время, ч

Эл

. сопротивление,

мОм

R экспер.

R модель

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Время, час

Мощность

, кВт

P экспер.

P расч.

в г

Рис. В.9.1. Сопоставление расчетных данных с натурным экспериментом по электрическим параметрам кампании печи графитирования Ачесона

постоянного тока (100 кА): а – сила тока; б – напряжение; в – электрическое сопротивление; а – мощность

312

0200400600800

100012001400160018002000

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Время, ч

Температура

, `С

2 экспер.

1 экспер.

1 модель

2 модель

0200400600800

1000

12001400160018002000

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Время, ч

Температура,

`С

3 экспер.

3 модель

4 экспер.

4 модель

а б

0100200300400500

600700800900

1000

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Время, ч

Температура,

`С

5 экспер.

5 модель

6 экспер.

6 модель

в

Рис. В.9.2. Сопоставление расчетных данных с натурным экспериментом по температурам

в характерных точках печи графитирования Ачесона (см. рис. 4.27) постоянного тока (100 кА):

а – (1 – в заготовке нижнего ряда по ее оси на расстоянии 700 мм от торца, 2 – в заготовке нижнего ряда по ее оси на расстоянии 50 мм от торца); б – (3 – в заготовке верхнего ряда по

ее оси на расстоянии 700 мм от торца, 2 – в заготовке верхнего ряда по ее оси на расстоянии 50 мм от торца); в – (5 – температура пола печи, 6 – температура стенки печи

на уровне средины керна)

313

Приложение Д

Оценка погрешности экспериментальных исследований температур

Д.1. Теоретические основы оценки погрешности эксперимента Оценка экспериментальных данных проводится по величине

погрешности их получения и доверительной вероятности, которая отвечает этой погрешности [204, 247–251]. Под погрешностью измерения физической величины понимают отклонение результатов измерения от ее истинного значения. На практике различают абсолютные и относительные ошибки измерений. Ошибки измерений также подразделяются по причинам их возникновения, то есть на методические, систематические, случайные и неопределенные.

Методическая погрешность связана с приближенным характером используемой функциональной зависимости и другими факторами.

Систематическая погрешность обуславливается влиянием известных и контролируемых факторов и определяется многократными измерениями. Обычно методическую и систематическую погрешности объединяют в одну и называют систематической.

Случайная ошибка связана с влиянием неизвестных и неконтролируемых параметров. Мерой случайной ошибки является дисперсия S

n

iixx

nS

1

21, (Д.1.1)

где n – число измерений;

n

iix

nx

1

1 – среднее арифметическое значение

измеряемой величины – наиболее вероятное значение; ix – отдельное значение измеряемой величины. На практике при проведении экспериментальных исследований количество измерений n является ограниченной величиной, поэтому для случайной ошибки отдельного измерения ( ix ) используется выборочная дисперсия

n

iii xx

nx

1

2

1

1. (Д.1.2)

314

При малом количестве измерений также используются поправочные коэффициенты, полученные на основе распределения вероятности Стьюдента [247, 248, 251]

n

iii xx

nx

1

2

1

1, (Д.1.3)

где – коэффициент Стьюдента. Значение определяется из таблиц в зависимости от числа измерений n и доверительной вероятности P . На практике экспериментальных исследований использовались следующие значения P = 0,68; 0,95; 0,997. Из математической статистики известно, что x и xS является также случайными величинами. При этом погрешность среднего значения величины x обратно пропорциональна корню квадратному из числа случаев, по которым получены значения величины x . С учетом последнего погрешность среднего результата прямых измерений находится по формуле

n

iixx

nnx

1

2

1

1. (Д.1.4)

Неопределенная погрешность включает в себя неучтенные остатки систематических ошибок, а также систематические и случайные погрешности инструментального характера. Они возникают вследствие ошибки измерительных приборов, инструментов и датчиков. В этот класс ошибок также включают ошибки считывания результатов со шкалы прибора, округления значений величин, табличных данных и т.д. В общем случае неопределенная (опытно-экспериментальная) ошибка среднего измерения величины x определяется по формуле

2окр

2пр

2дат x , (Д.1.5)

где окрпрдат ,, – погрешности измерительного датчика, прибора

и округления, соответственно. Полная ошибка прямого измерения величины x определяется по формуле

kxxx 222 , (Д.1.6)

где k2 – систематическая и методическая ошибка.

315

Тогда окончательно истинное значение измеряемой величины x можно представить в следующем виде

,997,0 при 31

;95,0 при 21

;68,0 при 1

Pxxx

Pxxx

Pxxx

k

k

k

(Д.1.7)

где xxx 3 ,2 , – границы доверительных интервалов;

x

xkk

– поправка на действие систематической ошибки k -го фактора;

kx – абсолютная систематическая ошибка k -го фактора.

Д.2. Оценка ошибки экспериментального исследования температур с помощью ТХА и ТВР Предельно допустимая основная (инструментальная или датчика) ошибка при использовании хромель-алюмелевых термопар по ГОСТ 3044–74 при доверительной вероятности 997,0P составляет [204]

30010216,03 4э.д.c. t , мВ,

что отвечает погрешности определения температуры

3001050,43 3 tt , С.

Максимальные значения ошибки приходятся на верхний температурный диапазон. При температуре 1000t С имеем tXA3 = 7,5 С при 997,0P ,

или tXA = 2,5 С при 68,0P . При использовании вольфрам-рениевых термопар (ВР 5/20) предельно

допустимая ошибка датчика по ГОСТ 3044–74 при доверительной вероятности 997,0P составляет [204]:

100010408,03 5э.д.c. t , мВ,

что отвечает погрешности определения температуры t 1500 С

tBP3 = 7,4 С при 997,0P или tBP = 2,5 С при 68,0P .

Класс точности автоматизированного измерительного комплекса [238], использующегося в натурных экспериментах, составляет пр = 0,1 %,

а окр = 0 благодаря применению ИК. Кроме этого, к опытно-

316

экспериментальной ошибке измерения температуры, необходимо отнести ошибку, связанную с измерением температуры холодных спаев (по данным эксперимента для разных термопар эта погрешность измерительного модуля I-7018 не превышает 2 С) и ошибку, связанную с неточностью установки горячих спаев в термопарном чехле (по экспериментальным данным – не превышает 5 С для ТХА и 10 С для ТВР). Тогда опытно-экспериментальная ошибка измерения температуры (Д.1.5) будет составлять

для ТХА – 2222XA 5215,2t 6,0 С;

для ТВР при 997,0P – tBP 10,5 С. При использовании автоматизированного измерительного комплекса [238] выполняются непрерывные измерения температуры и, соответственно, их запись во времени, то есть каждому моменту времени отвечает единичное измерение температуры одной термопарой. Поэтому случайная ошибка, связанная с количеством измерений одной и той же величины будет равняться нулю в формуле (Д.1.5). Тогда полная абсолютная и относительная погрешности измерения температур будут составлять

для ТХА – tt XAXA 6,0 С, 0,6100 oт

XA oт

t

tt %;

для ТВР – tt BPBP 10,5 С, 0,7BP oт t %. Из всего разнообразия систематических ошибок, имеющих место при измерениях температуры, наибольшее влияние по абсолютной величине вызывает ошибка, связанная с нестационарностью процесса ( ), которая определяется соотношением

,t

t

(Д.2.1)

где t

– темп изменения температуры, К/с;

– время проведения одного цикла измерений, с. Проведем оценку влияния на ошибку измерения температуры. Величину темпа нагрева примем равной 75 К/ч (который имеет место при нагреве заготовок, например, в печах графитирования), = 50 с (по 1 с на каждую термопару), уровень измеряемых температур 1000 С. Тогда

10003600

50750,001.

317

Подставляя полученные поправки и погрешности в формулу (Д.1.7), получаем для ТХА:

;997,0 приK 0,18001,011273

;68,0 приK 0,6001,011273

PT

PT

а для ТВР при = 0,0007

.997,0 приK 31,50007,011773

;68,0 приK 5,100007,011773

PT

PT

Д.3. Оценка погрешности экспериментального исследования

яркостной температуры с помощью визирной трубы

Измерение температуры торца электродных заготовок в печи графитирования выполняется оптическим пирометром (см. главу 4). Оценка ошибки ее измерения проведена на основе модели черного тела, в качестве которой рассматривался полый цилиндр конечной длины.

Эффективная степень черноты торца полого цилиндра или диатермической полости определяется по формуле [242]:

Te

e

b ,00

3

, (Д.3.1)

а яркостная температура из соотношения [242]

ln02

2я Tс

TсT , (Д.3.2)

где T – измеряемая температура. При этом величина e определялась с помощью зонального метода по

заданным температурам в диатермической полости, образованной полым цилиндром, путем решения соответствующей СЛАУ.

Для полого цилиндра с размерами, приведенными на рис. Д.4.1, проведены расчеты яркостной температуры для диапазона измеряемых температур пирометрами «Проминь М І, М ІІ».

Результаты расчетов погрешности измерения яркостной температуры следующие:

при экспериментальном значении Т = 2373 К = 2100 С действительная температура донышка канала (см. рис. Д.4.1) составляет 2365 К = 2092 С, то есть систематическая погрешность равняется 8 К;

318

эффективная расчетная степень черноты составляет = 0,98; систематическая погрешность измерения яркостной температуры при

фактическом уровне измеряемых температур лежит в пределах 6–9 К в сторону уменьшения. То есть яркостная температура по отношению к действительной всегда меньше.

Рис. Д.4.1. Трехмерный эскиз оптического канала для пирометрических измерений Основная абсолютная погрешность прибора при измерении яркостной

температуры в оптическом канале при доверительной вероятности 0,683 и количестве измерений не менее 5-и для каждого значения измеряемой температуры в соответствии с паспортными данными при температуре 2100 С составляет 23–27 С.

Суммарная погрешность измерений температуры с учетом погрешности прибора может быть принятой Tmax = (27+ 9) = 36 К, а с учетом паспортной случайной ошибки составляет Tmax = (51+9) = 60 К.

319

Приложение Е

Технико-экономические расчеты действующих и модернизированных конструкций алюминиевых электролизеров

Методика расчетов на основе чистой приведенной стоимости

проекта

Чистая приведенная стоимость проекта (NPV – Net Present Value) [308, 309]. Текущая стоимость будущих денежных потоков инвестируемого проекта рассчитывается с учетом дисконтирования за вычетом инвестиций

N

ii

i Invr

NCFNPV

1 1, (Е.1)

где N – количество периодов проекта (срок (лет) эксплуатации электролизера); iNCF – (Net Cash Flow, NCF) чистый денежный поток для i-го периода (года эксплуатации), грн; r – ставка дисконтирования в десятичном выражении (стоимость капитала, привлеченного инвестиционным проектом); Inv – начальные инвестиции в проект, грн.

Чистый денежный поток NCF (Net Cash Flow) включает в себя только разницу текущих поступлений и затрат, связанных с реализацией проекта (суммарный денежный поток инвестиционного проекта без учета платежей, связанных с его финансированием). В нашем случае NCF за каждый год эксплуатации будет определяться по формуле

AlNvarNvar CААNCF , (Е.2)

где NvarА – ежегодный выпуск алюминия-сырца электролизером, т/год;

NvarА – увеличение выпуска алюминия-сырца за счет повышения срока эксплуатации электролизера, т/год; AlC – прибыль от продажи 1-й тонны алюминия, грн/т.

Индекс прибыльности проекта (Profitability Index, PI), рассчитывается как отношение приведенных доходов, которые ожидаются от инвестиций, к сумме инвестиционного капитала

Inv

r

NCF

PI

N

ii

i 1 1

. (Е.3)

Срок окупаемости проекта (Pay-Back Period, PBP) (время, необходимое для покрытия начальных инвестиций за счет чистого денежного потока,

320

генерируемого инвестициями с учетом дисконтирования). Обычно определяется графическим способом NPV=f (срок проекта) при NPV=0. Для обозначения PBP также используется аббревиатура DPBP (Discounted Pay-Back Period) или DPB (Discounted Pay-Back).

Внутренняя норма рентабельности проекта (Internal Rate of Return, IRR). (Ставка дисконтирования, при которой суммарная приведенная стоимость прибыли от осуществленных инвестиций равняется стоимости этих инвестиций). IRR определяется по формуле

0

11

N

ii

i

IRR

NCFInv . (Е.4)

Результаты расчетов и сопоставление технико-экономических показателей действующих и модернизированных электролизеров. Расчеты проведены на примере ОАО «Запорожский производственный алюминиевый комбинат» по 2-м вариантам:

вар.1 – см. рис. 5.1а, при повышении силы тока на 10 кА по сравнению с базовой;

вар.2 – см. рис. 5.1б, при повышении силы тока на 15 кА по сравнению с базовой. Базовые исходные данные:

средний срок эксплуатации электролизера базовой конструкции –'

..ЭСZ =47,3 мес (3,942 лет);

базовая сила тока на электролизере – I = 69,360 кА; катодный выход по току – Т = 0,8936;

средняя длительность простоя в капитальном ремонте – пZ = 21,65 сут;

себестоимость 1 т алюминия – Са= 11610 грн/т; условно-постоянные расходы в себестоимости b = 10%; по данным НБУ на 02.11.2008 – 1$=1у.о.=5,82 грн; 1EUR = 7,51 грн; рыночная стоимость 1-й тонны алюминия – CAl= 2272,00 у.е.=

=22725,82=13223,04 грн/тAl)1;

стоимость электроэнергии на заводе – eeC / = 0,43 грн/(кВтч);

прибыль от продажи 1-й тонны алюминия – AlC = CAl – Са=13223-11610=1613 грн/тAl=277,15 у.е./тAl. Суточная производительность электролизера базовой конструкции, кг/сут

1 Примечание. Стоимость 1-й тонны алюминия взята из макроэкономических показателей за 2008 г.

ОК «Русал»

321

ТIP 24 , (Е.5)

где γ=0,3354 г/(А·ч) – электрохимический эквивалент получения алюминия.

92,4988936,0243354,036,69 P кг/сут.

Капиталовложения при изготовлении катодного узла электролизера, грн

i

n

iiCMK

1

, (Е.6)

где Mi – масса (объем) соответствующего материала, т (м3); Сi – стоимость материала, грн/т (грн/м3).

С учетом данных табл. Е.1–Е.3 определим капитальные вложения при изготовлении катодного узла базовой (Кбаз) и модернизированной (СА БТ) по вар. 1 (К1) конструкций:

грн.20,845183454,513767747,25295946,11976

427,63672646,67066248,41416912,0733096,208122,3

86,1664092,0258,016552,039177,02480,517352базK

= 31 588,52 у.е.

грн.56,206576454,513252244,5638747,25295946,11976

61,132016646,67066248,42065912,0760996,3901814,2

86,1664092,0258,016126,91224177,02480,5171981K

= 35 312,23 у.е. Экономическая эффективность модернизированного электролизера СА

БТ по вар. 1. Источниками образования экономического эффекта по рассматриваемому варианту являются:

снижение условно постоянных затрат в себестоимости алюминия за счет повышения его выпуска при увеличении силы тока на I 10 кА;

за счет уменьшения УРЭ и соответственно себестоимости производства алюминия;

повышение срока эксплуатации электролизера на 2–3 мес за счет применения новых материалов (силикат кальция S–1100 Е, бортовые блоки SICAL–78 и огнеупорный бетон) и дизайна катода, позволяющего оптимизировать температурное поле и ФРП ванны за счет снижения интенсивности пропитки расплавами футеровочно-теплоизоляционных материалов цоколя катода;

снижение затрат на капитальный ремонт электролизера из-за увеличения его срока эксплуатации ..ЭСZ = 2–3 мес.

322

Таблица Е.1 Стоимость материалов, используемых при изготовлении электролизеров

Материал Единица стоимости Значение величины 1 Заполнитель шамотный, ЗШБ-1.2 грн/кг 0,52 2 СБС – кварцевый песок грн/кг 0,18 3 Огнеупорный бетон (Al2O3+MgO) грн/кг 9,13 4 Огнеупорная замазка грн/кг 0,26 5 Вермикулит вспученный грн/м3 1664,86 6 Вермикулит грн/м3 2081,96 7 Силикат кальция, SiCa, S-1100 Е грн/м3 3901,96 8 Шамот, ША-5 грн/кг 0,91

9 Холодно-набивная масса (меж- блочные и периферийные швы)

грн/кг 4,25

10 Подовые блоки, углеграфит грн/кг 6,65 11 Бортовые блоки, углеграфит грн/кг 6,45 12 Бортовые блоки, SiC SICAL-78 грн/кг 13,61 13 Чугунная заливка блюмсов, чугун грн/кг 1,95 14 Блюмсы, Ст.3пс грн/кг 2,75 15 Углеграфитовые блоки (под SiC) грн/кг 5,24 16 Мертель грн/кг 0,55 17 Катодный кожух, Ст.3 грн/кг 5,45

Таблица Е.2

Характеристики катодного узла действующей (базовой) конструкции (эскиз – рис. 5.1а). Материал, марка Плотность, кг/м3 Объем, м3 Масса, кг 1.Заполнитель шамотный ЗШБ-1,2

1200

0.293

352

2. СБС – кварцевый песок 2020 0.123 248 3. Мертель 1200 0.033 39 4. Огнеупорная замазка 1800 0.009 16 5. Вермикулит вспученный 300 0.092 28 6. Вермикулит 375 3.220 1138 7.Шамот – ША-5 1950-2150 3.759 7330 8. Холодно-набивная масса (межблочные и периф. швы)

1500-1600

0.885

1416

9. Подовые блоки (углеграфит) 1600 4.416 7066 10. Бортовые блоки (углеграфит)

1600

2.295

3672

11. Чугунная заливка блюмсов

7300

0.271

1976

12. Блюмcы (Ст.3пс) 7856 0.674 5295 13. Катодный кожух (шпангоутный) Ст.3

7856

1.752

13767

323

Таблица Е.3 Характеристики катодного узла модернизированной конструкции (эскиз – рис. 5.1б) Материал, марка Плотность, кг/м3 Объем, м3 Масса, кг 1.Заповнитель шамотный ЗШБ-1,2

1200

0.165

198

2. СБС – кварцевый песок 2020 0.123 248 3. Огнеупорный бетон 3000 0.408 1 224 4. Огнеупорная замазка 1800 0.009 16 5. Вермикулит вспученный 300 0.092 28 6. Силикат кальция 225 2.814 633 7.Шамот – ША-5 1950-2150 3.902 7 609 8. Холодно-набивная масса (межблочные и периф. швы)

1500-1600

1.291

2 065

9. Подовые блоки (углеграфит) 1600 4.416 7 066 10. Бортовые блоки (карбид кремния)

2630

0.767

2 016

11. Чугунная заливка блюмсов 7300 0.271 1 976 12. Блюмсы (Ст.3пс) 7856 0.674 5 295 13. Углеграфитовые блоки (подставка под SiC блоки)

1600

0.399

638

14. Катодный кожух (шпангоутный) Ст.3

7856

1.687

13 252

Экономическая эффективность применения модернизированного

электролизера будет показана как за счет снижения себестоимости, так и за счет увеличения прибыли.

Суточное увеличение выпуска алюминия-сырца за счет увеличения силы тока (Е.5)

45,729,0243354,0101 P кг/сут.

Выпуск алюминия-сырца электролизером за год, т/год: на базовой конструкции

,101

365 3

..

пЭС

баз ZZ

PA (Е.7)

37,1791065,21942,3

136592,498 3

базA т/год;

на модернизированной конструкции

,101

365 3

....11

пЭСЭС

ZZZ

PPA (Е.8)

324

3

1 1065,115,4

136545,7292,498A 205,57 т/год.

Увеличение выпуска алюминия-сырца за счет повышения срока

эксплуатации электролизера:

,/3651000 ..

'....

11 ЭСЭСЭСп ZZZZ

PPA

(Е.9)

9,8315,4/942,315,465,213651000

,4527498,921

A т/год.

Снижение себестоимости алюминия-сырца за счет уменьшения условно-постоянных затрат при увеличении выпуска алюминия, грн/т

,11

11 AA

AbCbCC баз

aaу (Е.10)

где 1aC – себестоимость алюминия с учетом снижения УРЭ в вар. 1 за счет модернизированного дизайна катода, грн/т; eeaa CwCC /1 , w =

=1057 кВтч/т – разница между УРЭ по вар. 1 и базовому варианту;

eeC / =0,43 грн/(кВтч) – стоимость электроэнергии на заводе. Тогда:

1aC = 11610- 10570,43 = 11155,49 грн/т,

186,599,83205,57

179,371 11155,491,0

уC грн/т.

Снижение затрат на капитальный ремонт электролизера за счет увеличения срока эксплуатации:

,11

..'

..1

ЭСЭСк ZZ

KC (Е.11)

2626,5115,4

1

942,3

156,065762

кC грн/год.

Снижение стоимости капитального ремонта электролизера позволяет уменьшить восстановительную стоимость электролизера за счет:

а) снижение амортизационных отчислений

325

632,8915,4

12626,51

1

..

ЭС

кa ZCC грн/год;

б) снижение затрат на текущий ремонт и содержание оборудования

158,2225,0,8932625,0.. aрп CC грн/год,

где 0,25 – доля затрат на текущий ремонт и содержание оборудования. Суммарный экономический эффект на один модернизированный

электролизер (см. вар. 1) за год, грн/год:

,..

1..11

ЭС

базрпаку Z

ККСССААСEф

(Е.12)

15,4183845,20-206576,56

158,22,896322626,519,83205,57186,59Eф

= 38131,67 грн/год = 6551,83 у.е./год.

Срок окупаемости затрат на модернизацию за счет снижения себестоимости производства алюминия-сырца, мес

I

KZ

, (Е.13)

где базККK 1 – увеличение капиталовложений при модернизации электролизера, грн; ..11 рпаку СССААСI – снижение

эксплуатационных затрат, которые привели к уменьшению себестоимости алюминия, грн/год;

22731,36183845,20-206576,56 K грн; I 158,22,896322626,519,83205,57186,59 =

= 43609,11 грн/год;

43609,11

22731,36Z 0,521 год = 6,26 мес.

Прибыль за счет увеличения производительности при повышении силы тока и срока эксплуатации (без учета капитальных затрат на модернизацию), грн/год

2068179,37-83.9205,57Al1111 CAААП баз = 74510,04 грн/год = 12802,41 у.е./год.

326

где Al1С = CAl - Са1=13223-11155 = 2068 грн/тAl. Срок окупаемости затрат на модернизацию за счет получения прибыли

путем повышения силы тока и увеличения срока эксплуатации, мес

74510,04

22731,36

1П

KZ 0,31 год = 3,66 мес.

Чистая сверхприбыль за период всей кампании эксплуатации одного модернизированного электролизера на повышенной силе тока с учетом увеличения срока эксплуатации, грн

22731,36942,374510,04..1 KZПП ЭС 270987,21грн = =46561,38 у.е.

Экономическая эффективность модернизированного электролизера ОА по вар. 2. Источниками создания экономического эффекта по данному варианту являются:

снижение условно-постоянных затрат в себестоимости алюминия за счет увеличения его выпуска при повышении силы тока на I 15 кА;

за счет перехода на электролизер ОА. При этом значительно снижается УРЭ и следовательно себестоимость производства алюминия;

повышение срока эксплуатации электролизера на 2–3 мес за счет применения новых материалов (силикат кальция S–1100 Е, бортовые блоки SICAL–78 и огнеупорный бетон) и дизайна катода, что позволяет оптимизировать температурное поле и ФРП ванны благодаря снижению интенсивности пропитки расплавами футеровочно-теплоизоляционных материалов цоколя катода;

снижение затрат на капитальный ремонт электролизера из-за повышения его срока эксплуатации ..ЭСZ = 2–3 мес. Суточное увеличение выпуска алюминия-сырца за счет повышения

силы тока (Е.5)

88,10991,0243354,0151 P кг/сут.

Выпуск алюминия-сырца электролизером за год, т/год. на базовой конструкции

37,179базA т/год;

на модернизированной конструкции

,101

365 3

....11

пЭСЭС

ZZZ

PPA

327

31 1065,21

15,4

136588,10992,498A 219,04 т/год.

Увеличение выпуска алюминия-сырца за счет повышения срока эксплуатации электролизера:

,/3651000 ..

'....

11 ЭСЭСЭСп ZZZZ

PPA

10,4815,4/942,315,465,213651000

,88109498,921

A т/год.

Снижение себестоимости алюминия-сырца за счет уменьшения условно-постоянных затрат при повышении выпуска алюминия, грн/т:

,11

22 AA

AbCbCC баз

aaу

где 2aC – себестоимость алюминия с учетом снижения УРЭ за счет применения технологии ОА и модернизированного дизайна катода, грн/т.

eeaa wCCC /2 ,

где w = 1945 кВтч/т – разница между УРЭ по вар. 2 и базовому варианту; eeC / =0,43 грн/(кВтч) – стоимость электроэнергии на заводе.

Тогда:

2aC = 11610-19450,43 = 10773,65 грн/т,

235,40,4801219,04

179,37110773,651,0

уC грн/т.

Снижение затрат на капитальный ремонт электролизера за счет увеличения срока эксплуатации

,11

..'

..2

ЭСЭСк ZZ

KC

где 2K = 1,5 1K – капитальные вложения на модернизированный катод и модернизацию анодного узла (переход на ОА).

Тогда:

2K = 1,5 56,065762 = 309864,84 грн,

328

3939,7715,4

1

942,3

1309864,84

кC грн/год.

Снижение стоимости капитального ремонта электролизера позволяет уменьшить восстановительную стоимость электролизера за счет:

а) снижения амортизационных отчислений

949,3415,4

13939,77

1

..

ЭС

кa ZCC грн/год;

б) снижения затрат на текущий ремонт и содержание оборудования

237,3425,0949,3425,0.. aрп CC грн/год,

где 0,25 – доля затрат на текущий ремонт и содержание оборудования. Суммарный экономический эффект на один модернизированный

электролизер (см. вар. 2) за год, грн/год:

,..

2..11

ЭС

базрпaку Z

ККСССААСEф

15,4183845,20-309864,84

,34372,34949,779393,4801219,04235,4Eф

= 28789,28 грн/год = 4946,61 у.е./год.

Срок окупаемости затрат на модернизацию за счет снижения себестоимости производства алюминия-сырца, мес

I

KZ

,

где базККK 1 – увеличение капиталовложений при модернизации электролизера, грн; ..11 рпаку СССААСI – снижение

эксплуатационных затрат, которые привели к уменьшению себестоимости алюминия, грн/год:

126019,64183845,20-309864,84 K грн, I ,34372,34949,779393,4801219,04235,4 =

= 59155,46 грн/год,

59155,46

126019,64Z 2,13 год = 25,6 мес.

329

Прибыль за счет увеличения производительности при повышении силы тока и срока эксплуатации (без учета капитальных затрат на модернизацию), грн/год

4492179,37-48,01219,04Al2111 CAААП баз = 122817,35 грн/год = 21102,63 у.е./год,

где 2AlС = CAl - Са2=13223-10774 = 2449 грн/тAl. Срок окупаемости затрат на модернизацию за счет получения прибыли

путем повышения силы тока и увеличения срока эксплуатации, мес

122817,35

126019,64

1П

KZ 1,026 год. = 12,31 мес.

Чистая сверхприбыль за период всей кампании эксплуатации одного модернизированного электролизера на повышенной силе тока с учетом увеличения срока эксплуатации, грн

126019,64942,3122817,35..1 KZПП ЭС 358126,35 грн = =61533,73 у.е.

Расчеты по методике NPV. Условия выполнения расчетов: единица расчета – 1 электролизер; все расчеты проводятся при базовом значении срока эксплуатации '

..ЭСZ = 3,942 год, дополнительные капиталовложения в реконструкцию выпрямительной подстанции и общесерийной ошиновки (как доля для 1-го электролизера) принимаются как впK = 0,1K1= 0,1206577 =

=20657,7 грн; количество периодов проекта N = 4 (потому, что '..ЭСZ = 3,942

год при N = 4 – 4NCF умножается на 0,942 ); ставка дисконтирования r = 0,18 (18 %).

Рассмотрим 2 варианта проектов – 2 модернизированных электролизера; вар. 1 – модернизированный электролизер СА БТ (см. рис. 5.1а); вар. 2 – модернизированный электролизер ОА (см. рис. 5.1б).

Тогда начальные инвестиции для каждого из вариантов проектов будут следующими:

вар. 1 – 11 KInv + впK = 206577+20657,7 = 227 234,7 грн;

вар. 2 – анод22 KKInv + впK = 206577+103288,5+20657,7=

=330 523,2 грн. По вар. 2 также необходимо реконструировать анодный узел (то есть

перейти от СА к ОА). Поэтому для анодK условно примем 0,5 2K .

Чистый денежный поток NCF. NCF за каждый год эксплуатации будет определяться по формуле:

330

вар. 1 –

11

..a1Al11 АА

СССCCCААNCF рпаку =

=(205,6+9,8)

9,8205,6

2,5819,3265,62626,1865,1115513223 =

= 488 950,7 грн;

вар. 2 –

22

..a2Al22 АА

СССCCCААNCF рпаку =

=(219,0+10,5)

5,100,192

3,2373,9498,93934,2357,1077313223 =

= 621 265,1 грн.

NCF вычислено с учетом снижения себестоимости производства алюминия за счет увеличения производительности, срока эксплуатации и уменьшения УРЭ. Результаты расчетов NCF, NPV, PI, PBP и IRR, проведенные по формулам (Е.1)–(Е.4), сведены в табл. Е.4 и показаны на рис. Е.1–Е.3.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1 2 3 4

Срок эксплуатации, лет

NP

V, тыс

. грн

вар. 1 - модернизированный электролизер СА БТвар. 2 - модернизированный электролизер OA

Рис. Е.1. Чистая приведенная стоимость проектов

331

Таблица Е.4 Результаты расчетов экономической эффективности внедрения модернизированных

конструкций электролизеров по методике NPV

Параметр 1 год 2 год 3 год 4 год вар. 1 модернизированный электролизер СА БТ (рис. 5.1а),

NCF , грн 488 950,7 488 950,7 488 950,7 460 591,6 NPV, грн/у.е. 187 130,3/ – 538 287,1/ – 835 877,6/ – 1 073 446/184 441 PI 1,824 3,369 4,678 5,724 PBP, год/мес 0,467/5,605 IRR,% 115% 189,5% 207,7% 212%

вар. 2 модернизированный электролизер ОА (рис. 5.1б) NCF , грн 621 265,1 621 265,1 621 265,1 585 231,7 NPV, грн/у.е. 195 972,6/ – 642 155,6/ – 1 020 276,7/ – 1 322 133/227 171 PI 1,593 2,943 4,087 5,0 PBP, год/мес 0,561/6,729 IRR,% 88% 160% 179,5% 185%

Примечание. )* NCF – чистый денежный поток инвестиционного проекта, грн; NPV – чистая приведенная стоимость проекта, грн/у.е.; PI – индекс прибыльности проекта; PBP – срок окупаемости проекта, год/мес; IRR – внутренняя норма рентабельности проекта, %. Расчеты проведены при ставке дисконтирования 18%

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

1 2 3 4

Срок эксплуатации, лет

PI

вар. 1 - модернизированный электролизер СА БТвар. 2 - модернизированный электролизер OA

Рис. Е.2. Индекс прибыльности проектов

332

0

50

100

150

200

250

1 2 3 4

Срок эксплуатации, лет

IRR

, %

вар. 1 - модернизированный электролизер СА БТвар. 2 - модернизированный электролизер OA

Рис. Е.3. Внутренняя норма рентабельности проектов Выводы Экономическая эффективность за счет снижения себестоимости

производства алюминия-сырца. Модернизация электролизеров ЗАлК при переходе на повышенную силу

тока позволит получить следующий средний экономический эффект в расчете на один электролизер:

для электролизера СА БТ (см. вариант 1, рис. 5.1а) – 38 132 грн/год (6 552 у.е./год) при сроке окупаемости – 6,7 мес;

для электролизера ОА (см. вариант 2, рис. 5.1б) – 28 789 грн/год (4 946 у.е./год) при сроке окупаемости – 25,6 мес.

Экономическая эффективность за счет увеличения прибыли. Модернизация электролизеров ЗАлК при переходе на повышенную силу

тока с учетом увеличения срока эксплуатации и уменьшения УРЭ позволит получить следующую чистую прибыль в расчете на одну кампанию электролизера:

для электролизера СА БТ (см. вариант 1, рис. 5.1а) – 270 987 грн (46 561 у.е.) при сроке окупаемости – 3,7 мес;

для электролизера ОА (см. вариант 2, рис. 5.1б) – 358 126 грн (61 534 у.е.) при сроке окупаемости – 12,3 мес.

Экономическая эффективность по результатам расчета чистой приведенной стоимости проектов (NPV).

333

1. Методика расчета технико-экономического обоснования проекта, основывающаяся на определении NPV, включает все основные экономические параметры проекта в динамике, в том числе и определение максимальной стоимости инвестиционного капитала IRR (оценка рисков привлечения инвестиций) и, поэтому является наиболее приемлемой из рассмотренных методик оценки эффективности инвестиций.

2. Все из рассмотренных проектов являются эффективными с инвестиционной точки зрения, потому что их интегральные эффекты инвестиций намного больше нуля ( 0NPV ).

3. Модернизация электролизеров ЗАлК при переходе на повышенную силу тока с учетом увеличения срока эксплуатации и уменьшения УРЭ позволит получить следующее увеличение чистой дисконтной прибыли в расчете на одну кампанию электролизера:

для электролизера СА БТ (см. вариант 1, рис. 5.1а) при сроке окупаемости – 5,6 мес и внутренней норме рентабельности 115 %, чистая приведенная стоимость проекта – 1 073,4 тыс. грн или 184,4 тыс. у.е.;

для электролизера ОА (см. вариант 2, рис. 5.1б) при сроке окупаемости – 6,7 мес и внутренней норме рентабельности 88 %, чистая приведенная стоимость проекта – 1 322,1 тыс. грн или 227,2 тыс. у.е.

334

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Криворученко В. В. Тепловые и энергетические балансы электролизеров / В. В. Криворученко, М. А. Коробов. — М. : ГНТИ по черной и цветной металлургии, 1963. — 320 с.

2. Ветюков М. М. Электрометаллургия алюминия и магния : учеб. для вузов / М. М. Ветюков, А. М. Цыплаков, С. Н. Школьников. — М. : Металлургия, 1987. — 320 с.

3. Сорелье М. Катоды в алюминиевом электролизе / М. Сорелье, Х. А. Ойя ; пер. с англ. П. В. Полякова. — Красноярск : Краснояр. гос. универс., 1997. — 460 с.

4. Шулепов С. В. Физика углеграфитовых материалов / С. В. Шулепов. — М. : Металлургия, 1972. — 256 с.

5. Соседов В. П. Графитация углеродистых материалов / В. П. Соседов, Е. Ф. Чалых. — М. : Металлургия, 1987. — 187 с.

6. Графит как высокотемпературный материал / сб. ст. ; пер. с англ. — М. : Мир, 1964. — 424 с.

7. Кузнецов Д. М. Процесс графитации углеродных материалов. Современные методы исследования : монография / Д. М. Кузнецов, В. П. Фокин. — Новочеркасск : ЮРГТУ, 2001. — 132 с.

8. Welch B. J. Aluminum Production Paths in the New Millennium / B. J. Welch // JOM –WARRENDALE. — 1999. — 51(5). — P. 24—29.

9. Металлургия алюминия / [Ю. В. Борисоглебский, Г. В. Галевский, Н. М. Кулагин и др.]. — Новосибирск : Наука. Сибирская изд. фирма РАН, 1999. — 438 с.

10. Состояние и тенденции развития техники производства алюминия в мире / С. Н. Ахмедов, Ю. В. Борисоглебский, М. М. Ветюков [и др.] // Цветные металлы. — 2002. — 3. — С. 47—52.

11. Янко Э. А. Аноды алюминиевых электролизеров / Э. А. Янко — М. : Изд. дом «Руда и металлы», 2001. — 670 с.

12. Руссо В. Л. Теплофизика металлургических гарнисажных аппаратов : монография / В. Л. Руссо. — М. : Металлургия, 1978. — 248 с.

13. Schøning C. Cathode refractory materials for aluminium reduction cells / C. Schøning, T. Grande, O.J. Siljan // Light Metals. — 1999. — Р. 231—238.

14. Бабич В. Я. О выборе футеровочных огнеупорных и теплоизоляционных материалов катодного устройства алюминиевых электролизеров / В. Я. Бабич // Цветные металлы. — 1988. — 3. — С. 38—40.

15. Семенов В. С. Исследование особенностей теплопередачи в катодном устройстве алюминиевого электролизера : автореф. дис. на соискание науч. степени канд. техн. наук / В. С. Семенов. — Л., 1975. — 26 с.

16. Урда Н. Н. Исследование процессов теплообмена при свободной конвекции расплава фтористых солей, теплопроводности твердой фазы и материалов, пропитанных расплавом : автореф. дис. на соискание науч. степени канд. техн. наук / Н. Н. Урда. — Киев, 1974. — 27 с.

17. Теоретические основы электрометаллургии алюминия / [Г. А. Абрамов, М. М. Ветюков, И. П. Гупало и др.]. — М. : Металлургиздат, 1953. — 583 с.

18. Grjotheim K. Aluminium Smelter Technology / K. Grjotheim, B. J. Welch. — Disseldorf, Germany : Aluminium-Verlag, 1988. — 328 p.

19. Справочник металлурга по цветным металлам. Производство алюминия / под ред. Ю. В. Баймакова, Я. Е. Конторовича. — М. : Металлургия, 1971. — 560 с.

20. Крюковский В. А. О совершенствовании баланса алюминиевых электролизеров /

335

В. А. Крюковский, Г. С. Пряхин // Цветные металлы. — 2001. — 3. — С. 55—60. 21. О методах составления и анализа тепловых и энергетических балансов

электролизеров / А. В. Сысоев, А. Н. Аминов, Н. В. Марков, Г. С. Пряхин, Т. В. Межберг // Цветные металлы. — 2002. — 5. — C. 43—47.

22. О некоторых прикладных аспектах термодинамики и кинетики реакции электрохимического процесса в алюминиевом электролизере / А. В. Сысоев, А. Н. Аминов, Н. В. Марков, Г. С. Пряхин, Т. В. Межберг // Цветные металлы. — 2002. — 6. — C. 40—44.

23. Математическое моделирование физических полей в алюминиевых электролизерах : монография / под. ред В. И. Быкова, В. С. Злобина. — Красноярск : ИПЦ КГТУ, 2002. — 264 с.

24. Dupuis M. Computation of Aluminum reduction Cell Energy Balance Using ANSYS® Finite Element Models / M. Dupuis // Light Metals. — 1998. — P. 409—417.

25. Dupuis M. Thermo-Electric Design of a 400 kA Cell using Mathematical Models : A Tutorial / M. Dupuis // Light Metals. — 2000. — P. 297—302.

26. Dupuis M. Weakly Coupled Thermo-Electric and MHD Mathematical Models of an Aluminium Electrolysis Cell / M. Dupuis, V. Bojarevics // Light Metals, TMS. — 2005. — P. 449—454.

27. Расчет магнитогидродинамических характеристик и выбор схем ошиновок электролизера с ОА на силу тока 110кА для реконструкции электролизеров СА и БТ / Ю. В. Богданов, О. М. Cапожников, Б. И. Аюшин, В. К. Косыгин // Электрометаллургия легких металлов : сб. научн. труд. ОАО "СибВАМИ". — Иркутск : ОАО "СибВАМИ", 2006. — С. 157—163.

28. Газопламенный обжиг и связанные с ним процессы в углеродистых материалах / Ефимов А. А., Бахтин А. А., Сергеев В. А. [и др.] // Электрометаллургия легких металлов : сб. научн. труд. ОАО "СибВАМИ". — Иркутск : ОАО "СибВАМИ", 2006. — С. 33—42.

29. Arkhipov A. G. Calculations for aluminium reduction cells at preheating, start-up and after start up period / A. G. Arkhipov, P. V. Polyakov //Aluminium of Siberia–2004 : X Intern. conf. exhib., (Krasnoyarsk, Sept. 7—10, 2004) : proceedings of the conference. — Krasnoyarsk : Publish. «Bona Company», 2004. — P. 149—155.

30. Arkhipov A. G. Application of ANSYS for calculation of aluminium reduction cell preheating. / A. G. Arkhipov, P. V. Polyakov // of the Fourth conference of the software CAD-FEM GmbH users, (Moscow, April 21—22, 2004) : proceedings ; ed. by A. S. Shadsky. — М. : Poligon-press, 2003. — P. 323—329.

31. Working out the model of flame preheating with the account of the air-gas environment dynamics and fuel burning / A. G. Arkhipov, P. V. Polyakov, A. A. Dekterev, K. J. Litvintsev // Aluminium of Siberia–2005 : XI Intern. conf. exhib., (Krasnoyarsk, Sept. 13 —15, 2005) : proceedings of the conference. — Krasnoyarsk : Publish. «Bona Company», 2005. — P. 9—14.

32. Arkhipov A. G. Influence of technological and design parameters on cathode botom integrity at electric and flame preheating / A. G. Arkhipov, P. V. Polyakov // Aluminium of Siberia – 2008 : XIV Intern. conf. exhib., (Krasnoyarsk, Sept. 10—12, 2008) : proceedings of the conference. — Krasnoyarsk : «Verso», 2008. — P. 12—27.

33. Interaction between the cathode metal velocity field and cell sludge on 300 kA amperage. Bath-metal interface / O. V. Sluchenkov, P. V. Polyakov, S. I. Akhmetov, A. G. Arkhipov // Aluminium of Siberia – 2008 : XIV Intern. conf. exhib., (Krasnoyarsk, Sept. 10—12, 2008) : proceedings of the conference. — Krasnoyarsk : «Verso», 2008. — P. 169—178.

34. Коробов М. А. Теплопотери алюминиевых электролизеров / М. А. Коробов // Цветные металлы. — 1972. — 3. — C. 20—23.

35. Панов Е. Н. Тепловые процессы при электролитическом производстве алюминия и их влияние на показатели электролиза : автореф. дис. на соискание науч. степени докт. техн.

336

наук : спец. 05.14.04 «Промислова теплоенергетика» / Е. Н. Панов. — К., 1995. — 38 с. 36. Чалых Е. Ф. Оборудование электродных заводов : учеб. пособие [для вузов] /

Е. Ф. Чалых. — М. : Металлургия, 1990. — 238 c. 37. Чалых Е. Ф. Технология и оборудование электродных и электроугольных

предприятий / Е. Ф. Чалых. — М. : Металлургия, 1972. — 432 с. 38. Фиалков А. С. Углеграфитовые материалы / А. С. Фиалков. — М. : Энергия, 1979. —

320 с. 39. Производство электродной продукции / [А. К. Санников, А. Б. Сомов,

В. В. Ключников и др.]. — М. : Металлургия, 1985. — 129 с. 40. Zazula Jan M. On Graphite Transformations at High Temperature and Pressure Induced by

Absorption of the LHC Beam. : LHC Project Note 78/97, CERN–SL/BT(TA), 1997. 41. Кутузов С. В. Підвищення ефективності роботи печей графітації електродних

виробів : автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук : спец. 05.05.13 «Машини та апарати хімічних виробництв» / С. В. Кутузов. — К., 2007. — 22 с.

42. Ахметшин Н. Ф. Сравнение графитировочных печей различной конструкции / Н. Ф. Ахметшин // Вопросы графитации углеродистых материалов. — М., 1968, Ч.II. — С. 21—23.

43. Опыт эксплуатации графитировочной печи новой конструкции / Г. В. Дмитриева, С. Н. Ли, М. А. Рысс [и др.] // Электротермия. — 1964, Вып. 32. — С. 10—12.

44. Сычев В. А. Электротехническое оснащение передела графитации в производстве графитировочных электродов в СССР и за рубежом : [обзор. информ.] / В. А. Сычев, В. А. Розенберг, Я. В. Метелица // Производство легких цветных металлов и электродной продукции. — М. : 1987, Вып.1.

45. Серебренникова Л. Е. Анализ опыта графитации электродов в сдвоенной печи на ДЭЗЕ / Л. Е. Серебренникова // Вопросы графитации углеродистых материалов. — М., 1968, Ч.IІ. — С. 3—13.

46. Сасин А. Г. Реконструкция токопроводящего перехода сдвоенной печи графитации / А. Г. Сасин, Я. В. Метелица, Н. П. Стоячко // Цветные металлы. — 1980. — 8. — С. 48—49.

47. Whittaker M. P. The irreversible expansion of carbon bodies during graphitization / M. P. Whittaker, L. I. Crindraff // Carbon. — 1969. — Vol. 7, No 5. — Р. 195—198.

48. Темкин И. В. Производство электроугольных изделий / И. В. Темкин. — М. : Высш. шк., 1980. — 248 с.

49. Аленькин Д. А. Пути повышения экологических характеристик процесса графитации / Д. А. Аленькин, М. Г. Распопов, Т. Б. Власова // Технологические процессы и оборудование электродного производства : сб. научн. тр. НИИГрафит. — М. : ГосНИИЭП, 1989. — С. 77—81.

50. А.с. 1755025 СССР. Способ укрытия теплоизоляционной шихты печи графитации / П. П. Сапко, В. П. Овсянников (CCCР). — Открытия. Изобретения ; опубл. 1992, Бюл. 30.

51. Искусственный графит / [В. С. Островский, Ю. С. Виргильев, В. И. Костиков и др.]. — М. : Металлургия, 1986. — 272 с.

52. Коржик М. В. Метод оцінювання ступеня графітації / М. В. Коржик, А. І. Жученко // Автоматизація виробничих процесів. — 2004. — 1. — С. 52—54.

53. Вдосконалення регламенту графітації електродних виробів / М. В. Коржик, І. Л. Шилович, А. І. Жученко, О. Ю. Уразлина // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2004. — 2. — С. 107—110.

54. Расчетно-экспериментальное определение температурных полей керна в П-образных печах графитации постоянного тока / Е. Н. Панов, С. В. Кутузов, С. В. Лелека, И. Л. Шилович, М. Ф. Боженко // Промышленная теплотехника. — 2007. — 2. — С. 22—28.

337

55. Панов Е. Н. Оценка энергетической эффективности печей графитации постоянного тока / Е. Н. Панов, С. В. Кутузов, И. Л. Шилович, С. В. Лелека, М. Ф. Боженко // Енергетика: економіка, технології, екологія. — 2006. — 2. — С. 60—65.

56. Банников Г. К. Применение углеграфитовых изделий в промышленности / Г. К. Банников, Э. Э. Немировский. — М. : ЦБТИ, 1959. — 22 с.

57. Тарасевич М. Р. Электрохимия углеродных материалов / М. Р. Тарасевич. — М. : Наука, 1984. — 253 с.

58. Гасик М. И. Электроды рудовосстановительных электропечей / М. И. Гасик. — М. : Металлургия, 1984. — 248 с.

59. Капелянов В. Я. Повышение качества самообжигающихся электродов ферросплавных печей : Черная металлургия. Сер. Ферросплавное производство / В. Я. Капелянов ; Ин-т «Черметинформация». — 1990, Вып. 1.

60. Анализ эксплуатационной стойкости графитированных электродов / В. Г. Зеленкин, В. П. Качаев, А. К. Санников [и др.] // Цветные металлы. — 1989. — 5. — С. 68—72.

61. Чалых Е. Ф. Производство электродов / Е. Ф. Чалых. — М. : Металлургиздат, 1954. — 328 с.

62. Чалых Е. Ф. Технология углеграфитовых материалов / Е. Ф. Чалых. — М. : Металлургиздат, 1963 — 304 с.

63. Чалых Е. Ф. Обжиг электродов / Е. Ф. Чалых. — М. : Металлургия, 1981 — 116 с. 64. Веселовский В. С. Угольные и графитные конструкционные материалы /

В. С. Веселовский. — М. : Наука, 1966. — 227 с. 65. Кашелев И. М. Использование каменных углей в качестве углеродистого

наполнителя при изготовлении электродной массы / И. М. Кашелев, А. И. Солдатов, В. М. Страхов // Кокс и химия. — 2000. — 1. — С. 20—23.

66. Лазорин С. Н. Каменноугольная смола / С. Н. Лазорин, Е. А. Скрипник.— М. : Металлургия, 1985. — 118 с.

67. Степаненко М. А. Производство пекового кокса / М. А. Степаненко, Я. А. Брон, Н. К. Кулаков. — Харьков : Металлургиздат, 1965. — 310 с.

68. Электротермические процессы в химической технологии / [Я. Б. Данцис, В. А. Ершов, Г. М. Жилов и др.] — М. : Химия, 1984. — 464 с.

69. Сюняев З. И. Производство, облагораживание и применение нефтяного кокса / З. И. Сюняев. — М. : Химия, 1973. — 296 с.

70. Санников А. К. Принцип управления формирования структуры и свойств графитированных электродов / А. К. Санников // Цветные металлы. — 1990. — 9. — С. 58—61.

71. Капелянов В. Я. Об оптимизации температуры смешивания компонентов электродных и анодных масс / В. Я. Капелянов // Цветные металлы. — 1990. — 7. — С. 75.

72. Полисар Э. П. Формирование упругих свойств графита в процессе прессования / Э. П. Полисар, В. П. Савченко, В. Я. Котосонова // Цветные металлы. — 1983. — 6. — С. 59—61.

73. Усовершенствование технологии обжига электродных материалов / [В. П. Фокин, А. А. Малахов, С. А. Малахов и др.] // Цветные металлы. — 2002. — 4. — С. 48—51.

74. Фиалков А. С. Углерод, межслоевые соединения и композиты на его основе / А. С. Фиалков. — М. : Аспект Пресс, 1997. — 718 с.

75. Franklin R. E. The structure of graphitic carbons / R. E. Franklin. // Acta Crystallographica. — 1951. Vol. 4. — P. 253—261.

76. Bacon G. E. The interlayer spacing of graphite / G. E. Bacon // Acta Crystallographica. — 1951. Vol. 4 (6). — P. 558—561.

338

77. Красюков А. Ф. Нефтяной кокс (Производство, свойства) : [изд. 2-е, доп. и перераб.] / А. Ф. Красюков — М. : Химия, 1966. — 277 с.

78. Сюняев 3. И. Нефтяной углерод / 3. И. Сюняев — М. : Химия, 1980. — 271 с. 79. Привалов В. Е. Каменноугольный пек / В. Е. Привалов, М. А. Степаненко. — М. :

Металлургия, 1981. — 208 с. 80. Производство кокса игольчатой структуры / В. В. Фрязин, Б. М. Ежов,

В. С. Горюнов [и др.] // Химия и технология топлив и масел. — 1980. — 8. — С. 18—19. 81. Лутков А. И. Тепловые и электрические свойства углеродных материалов /

А. И. Лутков. — М. : Металлургия, 1990. — 175 с. 82. Карзунова Р. В. Влияние способа прессования на свойства графита / Р. В. Карзунова

// Совершенствование технологии и улучшение качества электродной продукции : cб. научн. тр., Вып. 5. — Челябинск : ГосНИИЭП, 1973. — С. 71—91.

83. Чичулин Н. И. Исследование режимов нагревания электродных заготовок при графитации / Н. И. Чичулин, В. П. Соседов, Е. Ф. Чалых // Совершенствование технологии и улучшение качества электродной продукции : cб. научн. тр., Вып.6. — Челябинск : ГосНИИЭП, 1974. — С. 128—134.

84. Чичулин Н. И. О режимах графитации углеродных изделий / Н. И. Чичулин, Б. И. Давыдович // Совершенствование технологии и улучшение качества электродной продукции : cб. научн. тр., Вып. 5. — Челябинск : ГОСНИИЭП., 1973. — С. 114—121.

85. Carlson A. An extended tight-binding approach for modeling supramolecular interactions of carbon nanotubes : a thesis for the degree of master of science : University of Minnesota / Anthony Carlson. — Minnesota, 2006. — 183 p.

86. Соседов В. П. О рациональном графике подъема мощности и температуры в процессе графитации / В. П. Соседов, В. Б. Сасс-Тисовский, А. С. Карманов // Цветные металлы. — 1967. — 2. — С. 62—63.

87. Электротермические процессы химической технологи : учеб. пособие [для вузов] ; под ред. В. А. Ершова. — Л. : Химия, 1984. — 464 с.

88. Волынский Б. А. Электрическое моделирование печей графитации электродов : автореф. дис. на соискание науч. степени канд. техн. наук / Б. А. Волынский. — М., 1949. — 24 с.

89. Результаты испытаний новых схем загрузки электродов и применение унифицированной теплоизоляционной шихты в графитировочных печах / [Б. М. Кузин, В. М. Белоусов, Г. Ф. Булатов и др.] // Вопросы графитации углеродистых материалов. — М., 1968, Ч. І. — С. 57—69.

90. Перевезенцев В. П. Совершенствование существующих и разработка новых технологий графитации углеродных материалов : автореф. дис. на соискание науч. степени докт. техн. наук : спец. 05.17.11 «Технология керамических, силикатных и тугоплавких неметаллических материалов» / В. П. Перевезенцев. — М., 1999. — 75 с.

91. А.с. 1350110 СССР. Способ укладки электродных заготовок в печи графитации / В. Ю. Знамеровский, В. А. Коцюр, Д. М. Кузнецов (CCCР). — Открытия. Изобретения ; опубл. 1987, Бюл. 41.

92. Знамеровский В. Ю. Некоторые технологические аспекты, определяющие энергоемкость передела графитации / В. Ю. Знамеровский, В. В. Яшкина, Г. В. Сандер // Повышение качества и эксплуатационной стойкости углеродной продукции : V Всесоюзная научно-техн. конф. электродной промышленности : тез. докл. и сообщ. — Челябинск, 1983. — С. 263—267.

93. Знамеровский В. Ю. Влияние удельного электросопротивления пересыпки на температурный режим печи графитации / В. Ю. Знамеровский, В. В. Яшкина // Цветные металлы. — 1985. — 2. — С. 39—41.

339

94. Wilkening S. Zur Berechnung der Storm – und Leistungsverteilung in Acheson – Grafitierungsöfen / S. Wilkening // 3 conf. on Carbon : Proc. — Baden–Baden, 1980. — P. 477—480.

95. Механизм нагревания цилиндрической электродной заготовки в графитировочной печи / М. Ф. Огнева, В. П. Соседов, Е. Ф. Чалых, Н. И. Чичулин // Цветные металлы. — 1974. — 10. — С. 42—45.

96. Доржиев М. Н. Некоторые закономерности процесса графитации электродных заготовок в электрических печах сопротивления / М. Н. Доржиев // Совершенствование технологии и улучшение качества электродной продукции : сб. научн. тр., Вып. 6. — Челябинск : ГосНИИЭП, 1974.— С. 40—45.

97. Влияние свойств междуэлектродной пересыпки на электрические, тепловые показатели и качество электродов / Н. Ф. Ахметшин, М. Н. Доржиев, Е. Н. Шабуров [и др.] // Вопросы технического прогресса в электродной промышленности : сб. научн. тр., Вып. 3. — Челябинск : ГосНИИЭП, 1971. — С. 205—213.

98. Onsager L. Reciprocal relations in irreversible processes / L. Onsager // Physical Review. — 1931.— Vol. 37. — P. 405—426.

99. Onsager L. Reciprocal relations in irreversible processes. II / L. Onsager // Physical Review. — 1931. — Vol. 38. — P. 2265—2279.

100. Onsager L. Initial recombination of ions / L. Onsager // Physical Review. — 1938. — Vol. 54. — P. 554—557.

101. Onsager L. Fluctuations and irreversible processes / L. Onsager // Physical Review. — 1953. — Vol. 91. — P. 1505—1512.

102. Prigogine I. Introduction to Thermodynamics of Irreversible Processes / I. Prigogine. — New York : Interscience, 1961.

103. Пригожин И. Р. Введение в термодинамику необратимых процессов / И. Р. Пригожин ; пер. с англ. — М. : Изд-во иностр. лит-ры, 1960. — 160 c.

104. Пригожин И. Р. От существующего к возникающему / И. Р. Пригожин ; пер. с англ. ; под ред. Ю. Л. Климонтовича. — М. : Наука, 1985. — 327 с.

105. Пригожин И. Р. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур / И. Р. Пригожин, Д. Кондепуди ; пер. с англ. — М. : Мир, 2002. — 461 с.

106. Casimir H. B. G. The Influence of Retardation on the London-van der Waals Forces / H. B. G. Casimir, D. Polder // Physical Review. — 1948. — Vol. 73, Issue 4. — P. 360—372.

107. Casimir H. B. G. On the attraction between two perfectly conducting plates / H. B. G. Casimir // Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences. — 1948. — Vol. 51. — P. 793—795.

108. Eckart C. The Thermodynamics of Irreversible Processes. I. The Simple Fluid / C. Eckart // Physical Review. — 1940. Vol. 58. —P. 267— 268.

109. Eckart C. The Thermodynamics of Irreversible Processes. II. Fluid Mixtures / C. Eckart // Physical Review. — 1940. Vol. 58. —P. 269—274..

110. Зубарев Д. Н. Неравновесная статистическая термодинамика / Д. Н. Зубарев. — М. : Наука , 1971. — 415 с.

111. Стратонович Р. Л. Нелинейная неравновесная термодинамика / Р. Л. Стратонович. — М. : Наука, 1985. — 480 с.

112. Осипов А. И. Термодинамика вчера, сегодня, завтра. Часть 2. Неравновесная термодинамика / А. И. Осипов // Соросовский образовательный журнал. — 1999. — 5. — С. 91—97.

113. Bulk Crystal Growth of Electronic, Optical & Optoelectronic Materials / Eds. P. Capper, A. Willoughby, S. Kasap. — Sothampton, BAE SYSTEMS Infrared Ltd, John Wiley & Sons, Ltd,

340

2004. — 503 р. 114. Ландау Л. Д. Гидродинамика : [изд. 5-е] / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. :

Физматлит, 2006. — 736 с. — («Теоретическая физика», T. VI). 115. Ландау Л. Д. Электродинамика сплошных сред : [изд. 4-е, стереотипное.] /

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Физматлит, 2003. — 656 с. — («Теоретическая физика», T. VIII).

116. Бессонов Л. А. Электромагнитное поле / Л. А. Бессонов. — М. : Высшая школа, 1986. — 263 с.

117. Андерсон Д. Вычислительная гидродинамика и теплообмен : в 2-х т. / Д. Андерсон, Дж. Тинненхилл, Р. Плетчер ; пер. с англ. под ред. С. В. Сенина, Е. Ю. Шельмана. — М. : Мир, 1990— .— Т. 1. — 1990. — 384 с. — Т. 2. — 1990. — 392 с.

118. Справочник по теплообменникам : в 2-х т. / пер. с англ. ; под ред. Б. С. Петухова, В. К. Шикова. — М. : Энергоатомиздат, 1987— .— Т. 1. — 1987. — 560 с. — Т. 2. — 1987. — 352 с.

119. Берковский Б. М. Вычислительный эксперимент в конвекции / Б. М. Берковский, В. К. Полевиков. — Мн. : Университетское, 1988. — 167 с.

120. Ландау Л. Д. Теория поля : [изд. 8-е, стереотипное] / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Физматлит, 2006. — 534 с. — («Теоретическая физика», T. II).

121. Тоннела М. А. Основы электромагнетизма и теории относительности / М. А. Тоннела ; пер. с фр. — М. : Иностр. литература, 1962. — 488 с.

122. Ландау Л. Д. Теория упругости : [изд. 5-е, стереотипное] / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Физматлит, 2007. — 264 с. — («Теоретическая физика», T. VII).

123. Бреббия К. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел ; пер. с англ. Корнейчука Л. Г. ; под ред. Э. И. Григолюка. — М. : Мир, 1987. — 524 с.

124. Коваленко А. Д. Основы термоупругости / А. Д. Коваленко. — К. : Наукова думка, 1970. — 307 с.

125. Качанов Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. — М. : Наука, 1969. — 420 с.

126. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / Васидзу К. ; пер. с англ. В. В. Кобелева, А. П. Сейраняна ; под ред. Н. В. Баничука. — М. : Мир, 1987. — 542 с.

127. Ильюшин А. А. Об основах общей математической теории пластичности / А. А. Ильюшин // Вопросы теории пластичности. — М. : Изд-во АН СССР, 1961. — С. 3—29.

128. Соколовский В. В. Статика сыпучей среды : [изд. 3-е, перераб. и доп.] / В. В. Соколовский. — М. : Физматлит, 1960. — 241 с.

129. Бенерджи П. Методы граничных элементов в прикладных науках / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд ; пеp. с англ. А. Ф. Зазовского и др. ; под ред. Р. В. Гольдштейна. — М. : Миp, 1984. — 494 с.

130. Рвачев В. Л. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей / В. Л. Рвачев, В. С. Проценко.— Киев : Наук. думка, 1977. — 235 с.

131. Рвачев В. Л. Алгебро-логические и проекционные методы в задачах теплообмена / В. Л. Рвачев, А. П. Слесаренко. — Киев : Наук. думка, 1978. —140 с.

132. Рвачев В. Л. Метод R-функций в задачах теории упругости и пластичности / В. Л. Рвачев, Н. С. Синекоп. — Киев : Наук. думка 1990. — 216 с.

133. Математическое моделирование температурных полей при затвердевании металлов в формах сложного профиля / В. Л. Рвачев, А. Н. Шевченко, Т. И. Шейко [и др.] // Математичні методи та фізико-механічні поля. — 1997. — Т.40, 1. — С. 59—65.

134. Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций / [А. Н. Подгорный,

341

П. П. Гонтаровский, Б. Н. Киркач и др.] ; отв. ред. В. Л. Рвачев. — К. : Наук. думка, 1989. — 232 с.

135. Бреббия К. Применение метода граничных элементов в технике / Бреббия К., Уокер С. ; пер. с англ. — М : Мир, 1982. — 248 с.

136. Boundary Element Methods in Heat Transfer / ed. L. C. Wrobel, C. A. Brebbia. — London & New York : CMP Southampton Boston & Elsevier Applied Science, 1992. — 294 p.

137. Крауч С. Методы граничных элементов в механике твердого тела / C. Крауч, A. Старфилд ; пеp. с англ. М. А. Тлеужанова ; под ред. А. М. Линькова. — М. : Миp, 1987. — 328 с.

138. Simo J. C. Consistent tangent operators for rate-independent elastoplasticity / J. C. Simo, R. L. Taylor // Comp. methods in applied mechanics and engineering. — 1985, Vol. 48. — P. 101—118.

139. Калиткин Н. Н. Численные методы : учеб. пособие / Н. Н. Калиткин ; под ред. А. А. Самарского. — М. : Наука, 1978. — 512 с.

140. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич ; пер. с англ. ; под ред. Б. Е. Победри. — М. : Мир, 1975. — 541 с.

141. Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Стренг Г., Фикс Дж. ; пер. с англ. В. И. Агошкова и др. ; под ред. Г. И. Марчука. — М. : Мир, 1977. — 349 с.

142. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд ; пер. с англ. А. А. Шестакова ; под ред. Б. Е. Победри. — М. : Мир, 1979. — 392 с.

143. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де Фриз ; пер. с англ. Г. В. Демидова, А. Л. Урванцева ; под ред. Г. И. Марчука. — М. : Мир, 1981. — 304 с.

144. Simo, J. C. An Augmented Lagrangian Treatment of Contact Problems Involving Friction / J. C. Simo, T. A. Laursen // Computers and Structures. — 1992. — Vol. 42, No. 1. — P. 97—116.

145. Laursen T. A. Algorithmic Symmetrization of Coulomb Frictional Problems Using Augmented Lagrangians / T. A. Laursen, J. C. Simo // Computers Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1993. — Vol. 108, No. 1&2. P. 133—146.

146. Cescotto S. Frictional Contact Finite Elements Based on Mixed Variational Principles / S. Cescotto, R. Charilier // Int. J. for Numerical Method in Engineering. — 1992. —Vol. 36. — P. 1681—1701.

147. Cescotto S. Large Strain Dynamic Analysis Using Solid and Contact Finite Elements Based on a Mixed Formulation – Application to Metalforming / S. Cescotto, Y.Y. Zhu // J. of Metals Processing Technology. — 1994. — Vol. 45. — P. 657—663.

148. Zhu Y. Y. Transient Thermal and Thermomechanical Analysis by Mixed FEM / Y. Y. Zhu, S. Cescotto // Computers and Structures. — 1994. — Vol. 53. — P. 275—304.

149. Benson D. J. A Single Surface Contact Algorithm for the Post-Buckling Analysis of Shell Structures / D. J. Benson, J. O. Hallquist // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1990. — Vol. 78, No. 2. — P. 141—163.

150. Contact force algorithm in explicit transient analysis using finite-element method / Fu-Jun Wang, Li-Ping Wang, Jian-Gang Cheng, Zhen-Han Yao // Finite Elements in Analysis and Design. –— 2007. — Vol. 3, Issue 6–7. — P. 580—587.

151. Крищук М. Г. Електротермомеханічний стан нелінійно деформованих контактуючих тіл : автореф. дис. на здобуття наук. ступеня докт. техн. наук : спец. 05.02.09 «Динаміка та міцність машин» / М. Г. Крищук. — К., 2007. — 41 с.

152. Антропов Л. И. Теоретическая электрохимия : [3-е изд.] / Л. И. Антропов — М. : Выс. шк., 1975. — 568 c.

153. Скорчеллетти В. В. Теоретическая электрохимия : [4-е изд.] / В. В. Скорчеллетти. — Л. : Химия, 1974. — 568 с.

342

154. Бегунов А. И. Некоторые результаты обжига и пуска первой очереди электролизеров цеха Иркутского алюминиевого завода / А. И. Бегунов, И. С. Матвеев, В. И. Чалых // Цветная металлургия. Бюл. ЦНИЭИЦМ. — 1963. — 9. — С. 38—40.

155. Бесштанов А. И. Исследование режимов работы и процессов обжига реконструированных электролизеров : автореф. дис. на соискание науч. степени канд. техн. наук : спец. 05.16.02 «Металлургия черных, цветных и редких металлов» / А. И. Бесштанов. — Иркутск, 1970. — 24 с.

156. Харченко В. Г. Особенности поведения подины при обжиге и пуске электролизеров / В. Г. Харченко // Цветные металлы. — 1984. — 4. — С. 34—38.

157. Исследование температурных режимов обжига катодных устройств алюминиевых электролизеров / Е. Н. Панов, Ф. К. Тепляков, С.А. Никифоров [и др.] // Цветные металлы. — 1987. — 8. — С. 40—43.

158. Обобщенные уравнения для определения режимных параметров обжига алюминиевых электролизеров и особенности обжига с формовкой анода / Е. Н. Панов, М. Ф. Боженко, Ф. К. Тепляков [и др.] // Цветные металлы. — 1991. — 4. — С. 34—38.

159. Обобщенные уравнения для определения режимных параметров обжига алюминиевых электролизеров с обожженными анодами / Е. Н. Панов, М. Ф. Боженко, С. В. Даниленко [и др.] // Цветные металлы. — 1992. — 7. — С. 30—31.

160. Тепловые процессы в электролизерах и миксерах алюминиевого производства : монографія / Е. Н. Панов, Г. Н. Васильченко, С. В. Даниленко, А. Я. Карвацкий, И. Л. Шилович, М. Ф. Боженко ; под общ. ред. Б. С. Громова. — М. : Изд. дом «Руда и металлы», 1998. — 256 с.

161. Обжиг и пуск алюминиевых электролизеров : монография / Б. С. Громов, Е. Н. Панов, М. Ф. Боженко, Г. Н. Васильченко, А. Я. Карвацкий, И. Л. Шилович. — М. : Изд. дом «Руда и металлы», 2001. — 336 с.

162. Панов Е. Н. Пусковые характеристики опытных электролизеров Содерберга, эксплуатируемых на повышенной силе тока / В. С. Кужель, В. А. Крюковский, Е. Н. Панов // Цветные металлы. — 2002. — 10. — C. 49—52.

163. Перспективы увеличения производства металла за счет повышения силы тока / А. Г. Баранцев, В. А. Крюковский, Е. Н. Панов, В. С. Кужель // Цветные металлы. — 2001. — 7. — С. 74 —77.

164. Кужель В. С. Обобщение результатов промышленных исследований и моделирование показателей электролизеров Содерберга, эксплуатируемых на повышенной силе тока / В. С. Кужель, В. А. Крюковский, Е. Н. Панов // Цветные металлы. — 2002. — 12. — C. 36—40.

165. Совершенствование автоматизированного питания глиноземом на электролизерах с самообжигающимся анодом / В. А. Крюковский, П. В. Поляков, Е. Н. Панов [и др.] // Цветные металлы. — 2008. — 11. — C. 74—77.

166. Шилович Т. Б. Експериментальне дослідження впливу температурного фактору на термічну міцність катодних блоків алюмінієвих електролізерів / Т. Б. Шилович // Наукові вісті НУТУ «КПИ». — 1999. — 1. — С. 93—97.

167. Шилович Т. Б. Експериментальне дослідження впливу температури на процеси коксування набивної маси при обпаленні алюмінієвого електролізера / Т. Б. Шилович // Наукові вісті НУТУ «КПИ». — 2000. — 6(14). — С. 41—46.

168. Шилович Т. Б. Теплові режими підготовки та введення в експлуатацію катодних пристроїв алюмінієвих електролізерів : автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук : спец. 05.14.06 «Технічна теплофізика та промислова теплоенергетика» / Т. Б. Шилович.

343

— К., 2004. — 20 с. 169. Вонсович Р. К. Оптимізація теплових режимів випалу алюмінієвих електролізерів

на металевих пластинах : автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук : спец. 05.14.06 «Технічна теплофізика та промислова теплоенергетика» / Р. К. Вонсович. — К., 2005. — 19 с.

170. Щербинин С. А. Численное исследование физических процессов в алюминиевом электролизере / С. А. Щербинин // Цветные металлы. — 1990. — 2. — С. 37—40.

171. Щербинин С. А. Исследование физических процессов в алюминиевом электролизере с самообжигающимся анодом на математической модели / С. А. Щербинин, Ю. А. Курашев // Цветные металлы. — 1995. — 7. — С. 33—35.

172. Пингин В. В. Математическое моделирование газогидродинамических процессов в алюминиевом электролизере / В. В. Пингин, П. В. Поляков, С. А. Щербинин // Цветные металлы. — 1998. — 5. — С. 104—109.

173. Бояревич В. В. Магнитогидродинамические волны границы раздела и распространение возникающего тепла, обусловленные динамическим взаимодействием токов в алюминиевом электролизере / В. В. Бояревич // Цветные металлы. — 1992. — 4. — С. 47—55.

174. Будилов И. М. Моделирование магнитно-гидродинамических процессов в промышленных электролизерах в ANSYS / И. М. Будилов, Ю. В. Лукащук // «ANSYS Solutions. Русская редакция», осень 2007. — Р. 13—18.

175. Выбор параметров в прочностных расчетах катодных кожухов алюминиевых электролизеров / В. В. Тихомиров, С. Н. Ахмедов, Б. С. Громов [и др.] // Цветные металлы. — 2003, 1. — С. 55—58.

176. Сравнительный анализ прочностных характеристик различных конструкций шпангоутных катодных кожухов / С. Н. Ахмедов, В. В. Тихомиров, Б. С. Громов, [и др.] // Цветные металлы. — 2003. — 5. — C. 41—44.

177. Прочностные характеристики катодных кожухов шпангоутного типа алюминиевых электролизеров на различную силу тока / В. В. Тихомиров, С. Н. Ахмедов, К. В. Елисеев [и др.] // Цветные металлы. — 2003. — 3.— С. 47—49.

178. Особенности деформации футеровки катодных устройств алюминиевых электролизеров / С. Н. Ахмедов, В. В. Тихомиров, Б. С. Громов [и др.] // Цветные металлы. — 2004. — 1. — С. 48—52.

179. Исследование напряженно-деформированного состояния шпангоутных катодных кожухов в зависимости от параметров футеровки / С. Н. Ахмедов, В. В. Тихомиров, Б. С. Громов, Р. В. Пак // Цветные металлы. — 2005. — 12. — С. 62—66.

180. SolidWorks. Компьютерное моделирование в инженерной практике / [А. А. Алямовский, А. А. Собачкин, Е. В. Одинцов и др.] — СПб. : БХВ-Петербург, 2005. — 800 с.

181. Каплун A. Б. ANSYS в руках инженера / A. Б. Каплун, Е. М. Морозов, М. А. Олферова. — М. : УРСС, 2003. — 270 с.

182. Третьяков Я. А. Расчеты термоэлектрических полей электролизера с учетом электрохимических реакций / Я. А. Третьяков, Г. В. Архипов, В. В. Пингин // Алюминий Сибири – 2006 : XII Междунар. конф. выст., (Красноярск, 5—7 сент. 2006г.) : сб. докл. — Красноярск : «Bona Company», 2006. — С. 38—45.

183. Проектирование балки коллектора электролизера с обожженными анодами на основе математического моделирования / В. Г. Шадрин, А Г. Архипов, Г. В. Архипов [и др.] // Алюминий Сибири – 2006 : XII Междунар. конф выст., (Красноярск, 5—7 сент. 2006г.) : сб.

344

докл. — Красноярск : «Bona Company», 2006. — С. 22—26. 184. Третьяков Я. А. Анализ конструкций алюминиевого электролизера методами

компьютерного моделирования с целью улучшения показателей работы : автореф. дис. на соискание науч. степени канд. техн. наук : спец. 05.16.02 «Металлургия черных, цветных и редких металлов» / Я. А. Третьяков. — Красноярск, 2004. — 23 с.

185. Сысоев И. А. Исследование энергетического состояния и разработка способа управления тепловым режимом электролизеров большой единичной мощности : автореф. дис. на соискание науч. степени канд. техн. наук : спец. 05.16.02 «Металлургия черных, цветных и редких металлов» / И. А. Сысоев. — Иркутск, 2007. — 16 с.

186. Поддубняк А. Б. Разработка электролизеров с самообжигающимся анодом и верхним токоподводом на силу тока 170–175 кА: автореф. дис. на соискание науч. степени канд. техн. наук : спец. 05.16.02 «Металлургия черных, цветных и редких металлов» / А. Б. Поддубняк. — Иркутск, 2007. — 16 с.

187. Бузунов В. Ю. Модернизация технологии получения алюминия на электролизерах с верхним токоподводом : автореф. дис. на соискание науч. степени канд. техн. наук : спец. 05.16.02 «Металлургия черных, цветных и редких металлов» / В. Ю. Бузунов. — Красноярск, 2001. — 30 с.

188. Архипов Г. В. Изменение свойств материалов футеровки в процессе эксплуатации электролизера / Г. В. Архипов, В. И. Борисов, А. М. Иванова // Технико-экономический вестник «Русского Алюминия». — 2004. — 8.

189. Ivanova A. M. Examination of physical and mechanical properties of relining materials before and after operation / A. M. Ivanova, V. C. Timofeyev, D. Y. Nikitenko // Aluminium of Siberia – 2008 : XIV International conf., (Krasnoyarsk, Sept. 10—12, 2008) : Proceedings. — Krasnoyarsk : «Verso», 2008. — P. 187—193.

190. Михайлюк Г. М. Проектирование балки коллектора электролизера с обожженными анодами на основе математического моделирования / Г. М. Михайлюк, М. Ю. Бабкин // Алюминий Сибири – 2006 : XII Междунар. конф выст., (Красноярск, 5—7 сент. 2006г.) : сб. докл. — Красноярск : «Bona Company», 2006. — С. 370—372.

191. Соседов В. П. Экспериментальное определение температурных полей керна печи при графитации углеродных материалов / В. П. Соседов, Г. Н. Матюшенко, М. А. Авдеенко // Конструкционные материалы на основе углерода : тем. отр. сб. тр. 10. — М. : Металлургия, 1975. — С. 42—47.

192. Методика исследования промышленных печей графитации / В. Ю. Знамеровский, Д. М. Кузнецов, В. А. Кошор [и др.] // Промышленная энергетика. — 1988. — 9. — С. 32—34.

193. Знамеровский В. Ю. Математическое моделирование процесса графитации / В. Ю. Знамеровский. — М. : Металлургия, 1994. — 64 с.

194. Знамеровский В. Ю. Особенности решения задач теплопроводности с внутренним источником теплоты / В. Ю. Знамеровский // Промышленная энергетика. — 1986. — 3. — С. 24—26.

195. Знамеровский В. Ю. Математическое моделирование процессов теплообмена в электрических печах сопротивления при производстве электродного графита / В. Ю. Знамеровский, В. В. Яшкина // Промышленная энергетика. — 1984. — 2. — С.31—33.

196. Яшкина В. В. Математическая модель тепловой работы печи графитации / В. В. Яшкина, В. Ю. Знамеровский // Современные достижения в области исследования, производства и эксплуатации углеродных материалов и изделий : Всесоюзная конф. мол. учен. и спец. : тез. докл. и сообщ.. — Челябинск, 1984, C. 50—51.

197. Знамеровский В. Ю. Математическая модель автоматического управления

345

мощностью электрической печи сопротивления при графитации углеродных изделий / В. Ю. Знамеровский, В. В. Яшкина // Промышленная энергетика. — 1987. — 8. — С. 42—44.

198. Разработка математической модели печи графитации на стадии охлаждения / В. Ю. Знамеровский, А. Н. Бусов, М. В. Полухина [и др.] // Совершенствование технологии электродного производства : сб. научн. тр. НИИГрафит. — М. : ГосНИИЭП, 1988. — С. 71—77.

199. Знамеровский В. Ю. Исследование режимов ввода энергии в печи графитации / В. Ю. Знамеровский, В. В. Яшкина // Промышленная энергетика. — 1985. — 11. — С. 40—42.

200. Методика моделирования тепловых полей печей графитации / А. М. Фридман, М. Г. Аветьян, Н. А. Михайлова [и др.] // Конструкционные материалы на основе углерода : тем. отр. сб. тр. — М. : Металлургия, 1978. — С. 6—11.

201. Методика экспериментальных исследований тепловых режимов и построения энергобалансов печей графитации / Е. Н. Панов, И. Л. Шилович, С. В. Кутузов [и др.] // «Электротермия – 2004» : научно-техн. конф., (Санкт–Петербург, 1—4 июня 2004 г.) : докл. — СПб. : 2004. — С. 106—117.

202. Пат. 23422 Україна, МПК7 C01B 31/04, G01K 3/00. Спосіб визначення середньої температури заготовок в печі графітації / Є. М. Панов, С. В. Кутузов, О. Ю. Уразлина, С. В. Лелека, І. Л. Шилович, М. Ф. Боженко, М. В. Коржик. ; заявник та патентовласник НТУУ „КПІ”. — u200613780 ; заявл. 25.12.2006 ; опубл. 25.05.2007, Бюл. 7.

203. Пат. 27050 Україна, МПК7 С01B 31/04, G05K 11/00. Спосіб визначення коефіцієнта корисної дії печі графітації / Є. М. Панов, М. Ф. Боженко, С. В. Лелека, І. Л. Шилович, М. В. Коржик. ; заявник та патентовласник НТУУ „КПІ”. — u200707000 ; заявл. 22.06.2007 ; опубл. 10.10.2007, Бюл. 16.

204. Преображенский В. П. Теплотехнические измерения и приборы : учебн. [для вузов] / Виктор Павлович Преображенский. — М. : Энергия, 1978. — 704 с.

205. Пат. 2781 Україна, МПК7 G01K 11/12. Візирна труба для пірометрії / Є. М. Панов, М. В. Коржик, І. Л. Шилович, С. В. Лелека ; заявник та патентовласник НТУУ „КПІ”. — 20031110174 ; заявл. 11.11.2003 ; опубл. 16.08.2004, Бюл. 8.

206. Vedin V. A. Operation eficiency improvement of graphization furnaces by means of development of thermal insulation / V. A. Vedin, S. K. Otroshchenko, V. I. Pirogov // Aluminium of Siberia – 2008 : XIV Intern. conf. exhib., (Krasnoyarsk, Sept. 10—12, 2008) : proc. of the conf. — Krasnoyarsk : «Verso», 2008. — P. 41—43.

207. Коржик М. В. Модель температурного поля печі графітації / М. В. Коржик, С. В. Кутузов // Наукові вісті НТУУ „КПІ”. — 2007. — . 1. — С. 17—23.

208. Коржик М. В. Структура системи керування піччю графітації / М. В. Коржик, А. І. Жученко // Наукові вісті НТУУ „КПІ”. — 2005. — 6. — С. 19—24.

209. Коржик М. В. Керування стадією розігріву печі графітації / М. В. Коржик // Автоматизація виробничих процесів. — 2006. — 2. — С. 69—78.

210. Пат. 66270 Україна, МПК7 C01B 31/04, H05B 3/60. Спосіб графітації / М. В. Коржик, І. Л. Шилович, А. І. Жученко, С. В. Лелека, О. Ю. Уразліна, О. А. Сасін ; заявник та патентовласник ВАТ „Укрграфіт”. — 2003098487 ; заявл. 15.09.2003 ; опубл. 16.05.2005, Бюл. 5.

211. Пат. 67404 Україна, МПК7 G05D 23/275, G08B 1/00. Пристрій для сигналізації рівня температури в печах графітації / Є. М. Панов, М. В. Коржик, І. Л. Шилович, С. В. Лелека, О. Ю. Уразліна, О. А. Сасін ; заявник та патентовласник ВАТ „Укрграфіт”. — 2003098488 ; заявл. 15.09.2003 ; опубл. 15.06.05, Бюл. 9.

212. Самарский А. А. Экономическая схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана / А. А. Самарский, В. Д. Моисеенко // Журнал выч. математики и мат. физики. — 1965. — Т. 5, 3. — С. 816—827.

346

213. Самарский А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. — М. : Наука, 1983. — 614 с.

214. Зигель Р. Теплообмен излучением / Р. Зигель, Дж. Хауэлл ; пер. с англ. ; под ред. Б. А. Хрусталева. — М. : Мир, 1975. — 934 с.

215. Оцисик М. Н. Сложный теплообмен / М. Н. Оцисик ; пер. с англ. ; под ред. Н. А. Анфимова. — М. : Мир, 1976. — 616 с.

216. Иванов К. А. Программный комплекс UNSS, ориентированный на решение задач внешней дозвуковой аэродинамики летательных аппаратов : автореф. дис. на соискание науч. степени канд. физ.-мат. наук : спец. 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» / К. А. Иванов. — М., 2006. — 24 с.

217. Любимов Д. А. Разработка эффективных комбинированных RANS/LES–методов для расчета сложных турбулентных струй : автореф. дис. на соискание науч. степени канд. техн. наук : спец. 01.02.05 − «Механика жидкости, газа и плазмы» / Д. А. Любимов. — М., 2008. — 20 с.

218. Launder B. E. Application of the energy-dissipation model of turbulence to the calculation of flow near a spinning disk / B. E. Launder, B. I. Sharma // Letters in Heat and Mass Transfer. — 1974. — Vol. 1. — P. 131—138.

219. Chien K.Y. Predictions of channel and boundary-layer flows with a low- Reynolds-number turbulence model / K.Y. Chien // AIAA Journal. — 1982. — Vol. 20, No. 1. — P. 33—38.

220. Launder B. E. The numerical computation of turbulent flows / B. E. Launder, D. B. Spalding //Comput.Methods Appl.Mech.Eng. — 1974. — Vol. 3, No. 1. — P. 269—289.

221. Wilcox D. C. Reassessment of the scale-determining equation for advanced turbulence models / D. C. Wilcox // AIAA Journal. — 1988. — Vol. 26, No. 11. — P. 1299—1310.

222. Coakley T. J. Turbulence Modeling Methods for the Compressible Navier-Stokes Equations / T. J. Coakley // AIAA Paper, AIAA 16th Plasmadynamics Conference 1983. — P. 83—1693.

223. Development of turbulence models for shear flows by a double expansion technique / V. Yakhot, S. A. Orszag, S. Thangam [et al.] // Phys. Fluids. — 1992. – A4, No. 7. — P. 1510–1520.

224. Granville P. S. Baldwin-Lomax Factors for Turbulent Boundary Layers in Pressure Gradients / P. S. Granville // AIAA Journal. — 1987. — Vol. 25, No. 12. — P. 1624—1627.

225. Самарский А. А. Разностные методы решения задач газовой динамики / А. А. Самарский, Ю. П. Попов. — М. : Наука, 1980. — 352 с.

226. [344]Марчук Г. И. Методы вычислительной математики : учебн. пособие / Г. И. Марчук. — М. : Наука, 1989. — 608 с.

227. [345]Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. — М. : Наука, 1984. — 831 с.

228. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / Патанкар С. ; пер. с англ. В. Д. Виленского. — М. : Энергоатомиздат, 1984. — 153 с.

229. Spalding D. B. Extending the frontiers of computational heat transfer / D. B. Spalding // CHT’08 : International Symposium on Advances in Computational Heat Transfer, (Marrakech, 11—16 May, 2008) : abstracts. — Marrakech; New York; Wallingford (UK), 2008. — Р. 11.

230. Craft T. Some swirling-flow challenges for turbulent CFD / T. Craft, H. Iacovides, B. Launder, A. Zacharos // CHT’08 : International Symposium on Advances in Computational Heat Transfer, (Marrakech, 11—16 May, 2008) : abstracts. — Marrakech; New York; Wallingford (UK), 2008. — Р. 17.

231. Громадка Т. ІІ. Комплексный метод граничных элементов / Т. ІІ. Громадка, Лей Ч. ; пеp. с англ. — М. : Миp, 1990. — 303 с.

232. Алейников С. М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих

347

пространственно неоднородных оснований / С. М. Алейников. — М. : Изд-во «АСВ», 2000. — 754 с.

233. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости / В. Д. Купрадзе. — М. : Физматгиз, 1963. — 472 с.

234. Chai J. C. Finite volume radiative heat transfer procedure for irregular geometries / J. C. Chai, H. S. Lee, S. V. Patankar // AIAA J. Themophys. Heat Transfer. — 1995. — Vol. 9, No 3. — P. 410—415.

235. Murthy J. Y. Finite Volume Method for Radiative Heat Transfer Using Unstructured Meshes / J. Y. Murthy, S. R. Mathur // J. Thermophys. Heat Transfer. — 1998. — Vol. 12. — P. 313—321.

236. Murthy J. Y. A finite-volume scheme for radiative heat transfer in semitransparent media / J. Y. Murthy, S. R. Mathur // Numerical Heat Transfer. — 2000. — Part B, 37. — P. 25—43.

237. Kim M. Y. Unstructured finite-volume method for radiative heat transfer in a complex two-dimensional geometry with obstacles / M. Y. Kim, S. W. Baek, J. H. Park // Numerical Heat Transfer. — 2001. — Part B, 39. — P. 617—635.

238. Панов Е. Н. Комплекс сбора данных для высокотемпературных промышленных агрегатов / Е. Н. Панов, С. В. Лелека, М. В. Коржик // ПиКАД. — 2005. — 2. — С. 28 — 30.

239. Physical processes modern investigation methods in power-intensive industrial equipments / E. N. Panov, A. Ya. Karvatsky, I. L. Shilovich [et al.] // Aluminium of Siberia – 2008 : XIV Intern. conf. exhib., (Krasnoyarsk, Sept. 10—12, 2008) : proceedings of the conference. — Krasnoyarsk : «Verso», 2008. — P. 124—132.

240. Свет Д. Я. Оптические методы измерения истинных температур / Д. Я. Свет. — М. : Наука.— 1982.— 296с.

241. Пат. на корисну модель 25052 Україна, кл. МПК7 G01K 3/00, СО1В 31/04. Спосіб визначення температури заготовок у високотемпературних печах / Є. М. Панов, С. В. Кутузов, В. В. Деркач, В. І. Кваша, І. Л. Шилович, А. Я. Карвацький ; заявник і патентовласник ВАТ «Укрграфіт». — u200702600 ; заявл. 12.03.2007 ; опубл. 25.07.2007, Бюл. 11. — 3 с.

242. Аналіз похибки вимірювання переохолодження міжфазної границі оптичним пірометром / В. І. Дешко, А. Я. Карвацький, О. В. Ленькін [та ін.] // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2003. — 4. — С. 35—41.

243. Шилович И. Л. Экспериментальное исследование пламенного обжига электролизеров ЗАлК установкой «Промгазаппарат» / И. Л. Шилович, В. М. Подгорецкий, С. В. Даниленко // Научно-технический Вестник НИЦ «Ресурсосберегающие технологии». — 2006. — 2. — С. 37—39.

244. Энергосберегающие конструкции футеровки катодного узла алюминиевых электролизеров / В. П. Шамшев, С. А. Панчук, С. А. Климов, А. Я. Карвацкий, Е. Н. Панов // Цветные металлы. — 2003. — 12. — C. 45—49.

245. Исаченко В. П. Теплопередача : учебн. для вузов / В. П. Исаченко, В. А. Осипова, А. С. Сукомел. — М. : Энергоиздат, 1981. — 416 с.

246. Некоторые особенности численного моделирования теплового поля алюминиевого электролизера / Ю. В. Богданов, А. В. Книжник, И. А. Сысоев, А. С. Разгус, Б. И. Зельберг, А. Я. Карвацкий, Е. Н. Панов // Электрометаллургия легких металлов : сб. научн. трудов ОАО "СибВАМИ". — Иркутск : ОАО "СибВАМИ", 2006. — С. 153—156.

247. Зайдель А. Н. Элементарные оценки ошибок измерений / А. Н. Зайдель — Л. : Наука, 1968. — 95 с.

248. Шенк Х. Теория инженерного эксперимента / Х. Шенк ; пер с англ. — М. : Мир, 1972. — 384 с.

249. Рабинович С. Г. Погрешность измерений / С. Г. Рабинович — Л. : Энергия, 1978.

348

— 262 с. 250. Сергеев О. А. Метрологические основы теплофизических измерений /

О. А. Сергеев — М. : Изд-во стандартов, 1972. — 154 с. 251. Новицкий П. В. Оценка погрешностей результатов измерений / П. В. Новицкий,

И. А. Зограф : [2-е изд., перераб. и доп.]. — Л. : Изд–во Энергоатомиздат, 1991. — 304 с. 252. Застосування методу граничних елементів для розв’язання тривимірних задач

теплопровідності / А. Я. Карвацький, П. Й. Дудніков, С. В. Лелека, А. І. Жученко // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2005. — 5. — С. 5—13.

253. Численное исследование температурных и электрических полей в алюминиевых электролизерах / А. Я. Карвацкий, П. И. Дудников, С. В. Лелека, В. В. Билько // Промышленная теплотехника. — 2003. — Т.25, приложение к 4. — С. 389—391.

254. Математическое моделирование теплового состояния алюминиевого электролизера / Е. Н. Панов, В. В. Пингин, А. В. Демидович, А. Я. Карвацкий // Цветные металлы. — 1996. — 9. — C. 70—74.

255. Карвацкий А. Я. Применение численного моделирования для расчета энергобаланса алюминиевого электролизера / А. Я. Карвацкий, Г. Н. Васильченко, В. В. Билько // Промышленная теплотехника. — 2008. — Т. 30, 2. — С. 33—40.

256. Расчетная оценка эффективности применения подовых блоков с повышенным содержанием графита для алюминиевых электролизеров на силу тока 156-160кА / О. Ю. Уразлина, В. И. Чурилин, Е. Н. Панов, Г. Н. Васильченко, А. Я. Карвацкий // Новые огнеупоры. — 2004. — 12. — С. 27—32.

257. Численное моделирование трехмерных нестационарных температурных полей в печах графитации и алюминиевых электролизерах / А. Я. Карвацкий, С. В. Лелека, С. В. Кутузов [и др.] // Вісник НТУУ “KПІ”. Хімічна інженерія, екологія та ресурсозбереження : зб. наук. праць. — 2008. — 1(1). — С. 46—51.

258. Современные подходы к расчету энергетического баланса электролизера / Е. Н. Панов, А. Я. Карвацкий, Г. Н. Васильченко, И. Л. Шилович, В. В. Билько // Алюминий Сибири – 2006 : XII Междунар. конф. выст., (Красноярск, 5—7 сент. 2006г.) : сб. докл. — Красноярск : «Bona Company», 2006. — С. 97—101.

259. Panov E. N. Computer modelling of three-dimensional physical fields in aluminium electrolyzers / E. N. Panov, A. Ya. Karvatskiy, S. V. Leleka // МEE’2002 : Second International Conference, (Katsiveli-town, 16—20 Sept., 2002) : proceedings. — К. : «Академперіодика» НАНУ, 2002. — P. 102—103.

260. К вопросу расчета энергобаланса алюминиевого электролизера / А. Я. Карвацкий, Г. Н. Васильченко, В. В. Билько, Д. М. Куштапин // Наука і освіта – 2006: IX Міжнародна наук.-практ. конф., (Дніпропетровськ, 2006.) : матеріали. — Дніпропетровськ, 2006. — Т. Технічні науки. — С. 5—13.

261. Подходы к численному моделированию теплового поля алюминиевого электролизера / Ю. В. Богданов, А. В. Книжник, Е. Н. Панов, А. Я. Карвацкий // Металлургия легких металлов. Проблемы и перспективы : II Междунар. науч.-практ. конф., (Москва, 20—22 ноября 2006 г.) : сб. трудов. — М. : МИСиС, 2006. — С. 43—46.

262. Повышение энергетической эффективности тепловых агрегатов алюминиевой и электродной промышленности / А. Я. Карвацкий, С. В. Кутузов, С. В. Лелека [и др.] // UKR-POWER 2007. Комплексное решение задач энергосбережения в промышленной и коммунальной энергетике на территории СНГ : ХХII междунар. конф., (Ялта, 11—15 сентября 2007 г.) : труды конф. — К., 2007. — С. 19—21.

263. Вонсович Р. К. Чисельне моделювання температурних полів електролізерів при випалі на алюмінієвих пластинах / Р. К. Вонсович, А. Я. Карвацький, I. В. Колесник // Наукові

349

вісті НТУУ “КПІ”. — 2004. — 2. — С. 100—106. 264. Карвацкий А. Я. Численное исследование температурных полей и основных

показателей пламенного обжига алюминиевых электролизеров / А. Я. Карвацкий, Т. Б. Шилович // Промышленная теплотехника. — 2003. — Т. 25, 1. — С. 50—56.

265. Використання методу граничних елементів для розв’язання нестаціонарних тривимірних задач теплопровідності / А. Я. Карвацький, П. Й. Дудніков, С. В. Лелека, С. В. Кутузов // Вісті Академії інженерних наук України. — 2006. — 2(29). — С. 14—21.

266. Карвацкий А. Я. Численное моделирование температурных деформаций и напряжений в подине алюминиевых электролизеров при их эксплуатации / А. Я. Карвацкий, И. Л. Шилович, С. В. Лелека // Научные и теоретические исследования в металлургии легких металлов : сб. науч. трудов ВАМИ. — СПб. : ВАМИ, 2000. — С. 125—128.

267. Карвацький А. Я. Застосування методу граничних елементів для розв’язання задач теорії статичної термопружності / А. Я. Карвацький, І. Л. Шилович, С. В. Лелека // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2001. — 3. — С. 64—71.

268. Исследование прочностных характеристик катодного кожуха для мощных алюминиевых электролизеров / С. Н. Ахмедов, В. В. Тихомиров, В. А. Козлов, Е. Н. Панов, А. Я. Карвацкий // Цветные металлы. — 2006. — 11. — C. 39—42.

269. Cергеев О. А. Теплофизические свойства полупрозрачных материалов / О. А. Cергеев, А. А. Мень. — М. : Стандартов, 1977. — 288 с.

270. Дешко В. І. Радіаційно-конвективний теплообмін при вирощуванні кристалів частково прозорих матеріалів методом Чохральського / В. І. Дешко, А. Я. Карвацький // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2001. — 2. — С. 17—24.

271. Дешко В. І. Моделювання складного теплообміну під час росту оксидних кристалів методами спрямованої вертикальної кристалізації / В. І. Дешко, А. Я. Карвацький, О. В. Ленькін // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2003. — 3. — С. 20—28.

272. Исследование электрического поля печи графитации / М. В. Коржик, А. Я. Карвацкий, И. Л. Шилович, О. Ю. Уразлина // Промышленная теплотехника. — 2005. — Т. 27, 3. — С. 25—31.

273. Расчетное обоснование внедрения технологического процесса прямоточной графитации на ОАО "Укрграфит" / А. Я. Карвацкий, И. Л. Шилович, С. В. Кутузов [и др.] // Вісник НТУУ “KПІ”. Хімічна інженерія, екологія та ресурсозбереження : зб. наук. праць. — 2008. — 1(1). — С. 42—46.

274. Применение численного моделирования для совершенствования процесса графитации электродной продукции в печах Ачесона / Е. Н. Панов, С. В. Кутузов, О. Ю. Уразлина, С. В. Лелека, И. Л. Шилович, А. Я. Карвацкий // Алюминий Сибири – 2006 : XII Междунар. конф. выст., (Красноярск, 5—7 сент. 2006г.) : сб. докл. — Красноярск : «Bona Company», 2006. — С. 373—380.

275. Интенсификация процесса графитации электродных изделий в печах Ачесона постоянного тока / Е. Н. Панов, М. В. Коржик, А. Я. Карвацкий // Алюминий Сибири – 2007 : XIII Междунар. конф., (Красноярск, 11—13 сент. 2007 г.) : сб. докл. — Красноярск : «Bona Company», 2007. — С. 331—337.

276. Энергосбережение в технологическом процессе графитации / Е. Н. Панов, И. Л. Шилович, А. Я. Карвацкий [и др.] // UKR-POWER 2005. Энергосбережение в промышленной и коммунальной энергетике : междун. науч.– техн. конф., (Ялта, 5—9 сент. 2005 г.) : материалы. — Ялта, 2005. — С. 84—85.

277. Карвацький А. Я. Застосування методу граничних елементів для розв’язання задач радіаційного та складного теплообміну / А. Я. Карвацький, П. Й. Дудніков, С. В. Лелека // Наукові вісті НТУУ “KПІ”. — 2007. — 4. — С. 39—46.

350

278. Розробка програмного забезпечення для розв’язку тривимірних задач фізичних полів в апаратах кольорової металургії та дослідження процесів графітації та коксування електродних матеріалів : звіт про НДР (заключ.) : 2449 / Нац. техніч. ун-т України «Київ. політехн. ін-т» ; кер. Є. М. Панов ; викон. А. Я. Карвацький [та ін.]. — К., 2001. —78 с. — ДР 0100U000434.

279. Розробка методики та програмного забезпечення для розрахунків тривимірних нестаціонарних температурних полів в печах графітації і алюмінієвих електролізерах : звіт про НДР (заключ.) : 2745п / Нац. техніч. ун-т України «Київ. політехн. ін-т» ; кер. Є. М. Панов ; викон. А. Я. Карвацький [та ін.]. — К., 2005. — 68 с. — ДР 0104U000858.

280. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы / Р. Тьюарсон ; пер. с англ. — М. : Мир, 1977. — 190 с.

281. Джордж А. Численное решение больших разреженных систем уравнений / А. Джордж, Дж. Лю ; пер. с англ. Х. Д. Икрамова. — М. : Мир, 1984. — 334 с.

282. Райс Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение / Дж. Райс ; пер. с англ. О. Б. Арушаняна. — М. : Мир, 1984. — 264 с.

283. Дудніков П. Й. Чисельне моделювання тривимірних фізичних полів в твердих тілах складної форми / П. Й. Дудніков, А. Я. Карвацький // МОСС–2001 : Моделювання та оптимізація складних систем, (Київ, 25—28 січня 2001 р.) : праці конф. — К. : Видавничо-поліграфічний центр “Київський університет”, 2001. — Т. 2. — С. 33—35.

284. Карвацкий А. Я. К вопросу решения нелинейных стационарных задач теплопроводности методом граничных элементов / А. Я. Карвацкий, Е. Н. Панов, А. В. Демидович. — К., 1996. — 13 с. — Деп. в УкрИНТЭИ 02.12.96, 226–Ук96.

285. To the consideration of radiation and complicated heat transfer problem solution by boundary elements method / A. Ya. Karvatsky, P. I. Dudnikov, S. V. Leleka [et al.] // Nauka і studia. Dynamika Naukowych Badan – 2007 : Materialy Miedzynarodowej Konferencji, (Przemysl, 2007) : proceedings of the conference. — Przemysl, 2007. — T. 9. — P. 33—45.

286. Numerical simulation of radiation and complicated heat transfer problem by boundary elements method / A. Ya. Karvatsky, P. I. Dudnikov, S. V. Leleka, V. I. Deshko, I. V. Lokhmanets // CHT’08 : International Symposium on Advances in Computational Heat Transfer, (Marrakech, 11—16 May 2008) : abstracts. — Marrakech; New York; Wallingford (UK), 2008. — Р. 151.

287. Карвацький А. Я. Використання методу граничних елементів для розв’язання осесиметричних стаціонарних задач теплопровідності / А. Я. Карвацький // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 1999. — 1. — С. 83—87.

288. Aral M. M. A boundary only procedure for time-dependent diffusion equations / M. M. Aral, Y. Tang // Appl. Math. Modelling. — 1988. — Vol. 12. — P. 610—618.

289. Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы / И. П. Мысовских. — М. : Наука, 1981.— 338с.

290. Уилкинсон Р. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра / Р. Уилкинсон ; пер. с англ. ; под ред. Ю. И. Топчеева. — М : Машиностроение, 1976. — 389 с.

291. Розробка заходів ресурсоенергозбереження при виробництві первинного алюмінію: звіт про НДР (заключ.) : 2985п / Нац. техніч. ун-т України «Київ. політехн. ін-т» ; кер. Є. М. Панов ; викон. А. Я. Карвацький [та ін.]. — К., 2008. — 92 с. — ДР 0106U002105.

292. Chui E. H. Computation of Radiant Heat Transfer on a Non-Orthogonal Mesh Using the Finite-Volume Method / E. H. Chui, G. D. Raithby // Numerical Heat Transfer. — 1993. — Part B, 23. — P. 269—288.

293. Raithby G. D. A Finite-Volume Method for Predicting a Radiant Heat Transfer in Enclosures with Participating Media / G. D. Raithby, E. H. Chui // J. Heat Transfer. — 1990. — Vol. 112. — P. 415—423.

351

294. Первоочередные научно-технические проблемы при повышении энергетической эффективности алюминиевых электролизеров / Е. Н. Панов, А. Я. Карвацкий, И. Л. Шилович [и др.] // Цветные металлы Сибири – 2009 : первый межд. конгр., (Красноярск, РФ, 8—10 сент. 2009 г.) : сб. докл. — Красноярск : «Verso», 2009. — С. 204—213.

295. Васюнина Н. В. Изучение влияния состава электролита на анодное перенапряжение и растворимость металла с целью повышения производительности электролизеров Эру-Холла : автореф. дис. на соискание науч. степени канд. техн. наук : спец. 05.16.02 «Металлургия черных, цветных и редких металлов» / Н. В. Васюнина. — Красноярск, 2006. — 21 с.

296. Choudhary G. Electrical Conductivity for Aluminum Cell Electrolyte between 950 °C-1025 °C by Regression Equation / G. Choudhary // J. Electrochem. Soc. — 1973. — Vol. 120, No. 3. — Р. 381—383.

297. Wang X. Multiple Regression Equation for the Electrical Conductivity of Cryolite Melts / X. Wang, R. D. Peterson, A. T. Tabereaux // Light Metals. — 1993. — P. 247—255.

298. Liquidus Temperature and Alumina Solubility in the System Na3AlF6-AlF3-LiF-CaF2-MgF2 / A. Solheim, S. Rolseth, E. Skybakmoen, L. Støen, Å. Sterten, T. Støre // Light Metals. — 1995. — P. 451—460.

299. Dewing E. W. The Chemistry of the Alumina Reduction Cell / E.W. Dewing // Can. Metallurgical Quarterly. — 1974. — Vol. 13, No. 4. — P. 607—618.

300. Архипов Г. В. Анализ возможных причин высокого падения напряжения в подине алюминиевого электролизера / Г. В. Архипов // «Алюминий Сибири-99» : V междун. конф. выст., (Красноярск, сент. 1999) : сб. доклад. — Красноярск, 1999. — C. 143—146.

301. Determination of Melting Temperatures and Al2O3 Solubilities for Hall Cell Electrolyte Compositions / S. S. Lee, K. S. Lei, P. Xu, J. J. Brown // Light Metals. — 1984. — P. 841—855.

302. Сопротивление материалов : учебн. для вузов / [Г. С. Писаренко, В. А. Агарев, А. Л. Квитка и др.] ; под ред. Писаренко Г. С. ; [4-е изд.]. — К. : Вища школа, 1979. — 696 с.

303. [461]Технологические, энергетические и экономические аспекты перевода электролизеров на повышенную силу тока / Е. Н. Панов, А. Я. Карвацкий, Г. Н. Васильченко, М. Ф. Боженко // Алюминий Сибири – 2007 : XIII Междунар. конф. выст., (Красноярск, 11—13 сент. 2007 г.) : сб. доклад. — Красноярск : «Bona Company», 2007. — С. 83—90.

304. Краснощеков Е. А. Задачник по теплопередаче : учебн. пособие / Е. А. Краснощеков, А. С. Сукомел. — М. : Энергия, 1969. — 264 c.

305. Гейтвуд Б. Е. Температурные напряжения / Б. Е. Гейтвуд ; пер. с англ. — М. : Изд-во иностранной литературы, 1959. — 352 с.

306. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести : справочное пособие / Г. С. Писаренко, Н. С. Можаровский. — Киев : Наук. думка, 1981. — 496 с.

307. Ворович И. И. Неклассические смешанные задачи теории упругости / И. И. Ворович, В. М. Александров, В. А. Бабешко. — М. : Наука, 1974. — 456 с.

308. Интернет-портал для управленцев. Оценки комплексных показателей эффективности инвестиций. [Електронний ресурс]. — Дата доступу : квіт. 2006 р. — Режим доступу : http://www.management.com.ua/finance/fin006.html.

309. Корпоративный менеджмент. Чистая приведенная стоимость. [Електронний ресурс]. — Дата доступу : квіт. 2006 р. — Режим доступу : http://www.cfin.ru/encycl/npv.shtml.

310. Чарыкова Л. Н. Зависимость теплопроводности сыпучих углеродистых материалов различного грансостава от температуры и давления / Л. Н. Чарыкова, Н. И. Чичулин, Е. И. Евсеев // Техника и технология графитированных электродов : сб. научн.

352

тр. — Челябинск : ГосНИИЭП, 1972. — Вып. 4. — С. 47—53. 311. Шилович І. Л. Визначення кута природного укосу для коксової теплогенеруючої

пересипки печі графітації Ачесона / І. Л. Шилович, І. Ю. Федорчук // Вісник НТУУ “KПІ”. Хімічна інженерія, екологія та ресурсозбереження : зб. наук. праць. — 2009. — 1(3). — С. 77—81.

312. Пат. на корисну модель 15242 Україна, кл. МПК7 СО1В 31/04, Н05В 3/60. Торцева стіна печі графітації / Є. М. Панов, С. В. Лелека, І. Л. Шилович, А. Я. Карвацький, М. В. Коржик ; заявник і патентовласник НТУУ «КПІ». — u 2005 12819 ; заявл. 29.12.2005 ; опубл. 15.06.2006, Бюл. 6. — 2 с.

313. Пат. на корисну модель 26858 Україна, кл. МПК7 С01B 31/04, H05B 3/60. Спосіб графітації / М. В. Коржик, А. Я. Карвацький, А. І. Жученко, С. В. Лелека ; заявник і патентовласник НТУУ «КПІ». — u 2007 05647 ; заявл. 22.05.2007 ; опубл. 10.10.2007, Бюл. 16. — 2 с.

314. Панов Є. М. Числове моделювання теплоелектричного стану алюмінієвих електролізерів / Є. М. Панов, А. Я. Карвацький, С. В. Лелека, І. В. Пулінець // Вісник НТУУ “KПІ”. Хімічна інженерія, екологія та ресурсозбереження : зб. наук. праць. — 2009. — 2(4). — С. 59—65.

315. Urazlina O. Yu. Efficiency analysis of the use of highly graphitized Bottom blocks in 156 – 160 ka aluminum electrolyzers / O. Yu. Urazlina, V. I. Churilin, E. N. Panov, G. N. Vasil’chenko, A. Ya. Karvatskii // Refractories and Industrial Ceramics. — 2005. — Vol. 46, No. 2. — P. 93—97.

316. Панов Є. М., Карвацький А. Я., Шилович І. Л., Лелека С. В., Пулінець І. В. Математичне моделювання складного теплообміну повітряних регенераторів [Текст] : монографія. – К. : НТУУ «КПІ», 2011. – 103 c.

317. Петров Б. Ф. Энергосбережение в производстве электродного термоантрацита / Б. Ф. Петров [Текст] : монография. — К.: «Екотехнологія», 2006. — 144 с.

318. Исследование газопроницаемости слоя антрацита при производстве термоантрацита в электрокальцинаторе / М. И. Гасик, А. Г. Гриншпунт, Е. И.Цыбуля [и др.] // Металлургическая и горнорудная промышленность. — 2007. — 3. — С. 30—33.

319. Комплексная модель прокаливания антрацита в электрокальцинаторе / М. М. Гасик, М. И. Гасик, А. Г. Гриншпунт [и др.] // Электрометаллургия. — 2007. — 2. — С. 30—36.

320. Моделювання графітування нафтового коксу в шахтній електропечі неперервної дії / Є. М. Панов, А. Я. Карвацький, С. В. Кутузов, С. В. Лелека [та ін.] // Вісник НТУУ “KПІ”. Хімічна інженерія, екологія та ресурсозбереження : зб. наук. праць. — 2011. — 1(7). — С. 48—52.

321. Математическое моделирование физических полей при графитации нефтяного кокса / Є. М.Панов, А. Я. Карвацкий, І. Л. Шилович, С. В. Лелека, Т. В. Лазарев // Науково-практ.конф. студ., асп. та наук. каф. ХПСМ НТУУ «КПІ» : Ресурсоенергозберігаючі технології і обладнання хімічних виробництв та підприємств будівельних матеріалів, 27–29 травня 2011 р. : зб. доп. — К. : Січкар, 2011. — С. 6 — 10.

322. Современное состояние проблемы получения графитированного наполнителя электродных изделий в электрокальцинаторах / Е. Н. Панов, А. А. Матвиенко, А. Я. Карвацкий, С. В. Лелека, М. Е. Титов, И. В. Пулинец, Т. В. Лазарев, П. В. Степура // Вісник НТУУ “KПІ”. Хімічна інженерія, екологія та ресурсозбереження : зб. наук. праць. — 2011. — 1(7) додаток. — С. 47—53.

323. Карвацький А. Я. Теплоелектричний та механічний стан високотемпературних енергоємних промислових агрегатів : автореф. дис. на здобуття наук. ступеня докт. техн. наук : спец. 05.05.13 «Машини та апарати хімічних виробництв» / А. Я. Карвацький. — К., 2010. — 40 с.

353

324. Применение модели Дракера-Прагера для исследования состояний печи графитации / Е. Н. Панов, А. Я. Карвацкий, М. В. Коржик, И. Л. Шилович, С. В. Лелека // Вісник НТУУ “KПІ”. Хімічна інженерія, екологія та ресурсозбереження : зб. наук. праць. — 2011. — 1(7) додаток. — С. 35—42.

325. Google patent search. [Электронный ресурс]. — Дата доступа : сент. 2011 г. — Режим доступа : http://go.mail.ru/search?q=google+patent+search&fr=fftb.

326. Kuipers J. A. M. Numerical Calculation of Wall-to-Bed Heat-Transfer Coefficients in Gas-Fluidized Beds / J. A. M. Kuipers, W. Prins, W. P. M / van Swaaij // AIChE Journal. — 1992. — Vol. 38, No. 7. — P. 1079 — 1091.

327. Wen C.-Y. Mechanics of Fluidization / C.-Y. Wen, Y. H. Yu // Chem. Eng. Prog. Symp. Series. — 1966. — Vol. 62. — P. 100—111.

328. Syamlal M. Computer Simulation of Bubbles in a Fluidized Bed / M. Syamlal, T. J. O'Brien // AIChE Symp. Series. — 1989. — Vol. 85. — P. 22—31.

329. Ogawa S. On the Equation of Fully Fluidized Granular Materials / S. Ogawa, A. Umemura, N. Oshima // J. Appl. Math. Phys. — 1980. — Vol. 31. — P. 483—493. Schaeffer D. G. Instability in the Evolution Equations Describing Incompressible Granular Flow / D. G. Schaeffer // J. Differential Equations.— 1987. — Vol. 66, No 1. — P. 19—50.

330. Schaeffer D. G. Instability in the Evolution Equations Describing Incompressible Granular Flow / D. G. Schaeffer // J. Differential Equations.— 1987. — Vol. 66, No 1. — P. 19—50.

354

СОДЕРЖАНИЕ Введение .......................................................................................................................................... 3 Перечень условных обозначений, символов, единиц, сокращений и терминов....................... 6

1. Современное состояние и основные тенденции развития методов исследования физических полей высокотемпературных промышленных агрегатов ............................ 11

1.1. Общие характеристики объектов исследования ........................................................ 11 1.1.1. Алюминиевые электролизеры .............................................................................. 11 1.1.2. Показатели электролиза алюминия...................................................................... 16 1.1.3. Шахтные печи для прокаливания наполнителя .................................................. 21 1.1.4. Печи графитирования............................................................................................ 28 1.1.5. Структура и свойства графита. Показатели процесса графитирования и характеристики качества электродных изделий ................................................. 35 1.2. Теоретико-численные и экспериментальные основы исследований термоэлектрического и механического состояния высокотемпературных агрегатов и процессов................................................................................................... 43 1.2.1. Основные положения неравновесной термодинамики ...................................... 43 1.2.2. Теоретические основы теплоэлектрических и механических процессов сплошной среды .................................................................................. 46 1.2.3. Математическое моделирование нелинейных задач математической физики с учетом контактного взаимодействия................................................... 55 1.2.4. Теоретические основы и современные экспериментально-численные исследования процессов металлургии электролитического способа производства алюминия ......................................................................... 57 1.2.5. Теоретические основы и экспериментально-численные исследования процессов графитирования производства электродных изделий ..................... 63 1.3. Численные методы решения задач математической физики ................................... 68 1.5. Выводы и задачи исследований .................................................................................. 72

2. Математические модели теплоэлектрического и механического состояния высокотемпературных агрегатов ...................................................................... 76

2.1. Алюминиевые электролизеры ..................................................................................... 76 2.2. Шахтные печи для прокаливания наполнителя ......................................................... 84 2.3. Печи графитирования................................................................................................... 89 2.4. Выводы .......................................................................................................................... 93

3. Методики численного решения краевых задач теории потенциала и теплопроводности, сложного теплообмена и механики сплошной среды...................... 94

3.1. Задачи теории потенциала и теплопроводности........................................................ 94 3.2. Задачи статической термоупругости ........................................................................ 122 3.3. Задачи термоупругопластичности ............................................................................ 128 3.4. Задачи гидродинамики и конвективного теплообмена с учетом теплового излучения................................................................................... 129 3.5. Методика расчета энергетического баланса алюминиевого электролизера при температуре окружающей среды ........................................................................ 130 3.6. Реализация эффективных методик решения краевых задач в программном обеспечении...................................................................................... 136 3.6.1. Программное обеспечение для численного анализа физических полей ........ 136 3.6.2. Программное обеспечение для априорной оценки активного сопротивления керна печи графитирования Ачесона ...................................... 140 3.7. Выводы ........................................................................................................................ 143

355

4. Экспериментальные исследования температурно–тепловых и электрических параметров промышленных агрегатов ............................................................................. 146

4.1. Методическое и аппаратно-программное обеспечение натурных экспериментов ........................................................................................... 146 4.2. Экспериментальные исследования алюминиевых электролизеров....................... 149 4.2.1. Данные энерготехнологических параметров эксплуатации электролизеров разной мощности...................................................................... 149 4.2.2. Температурный режим катодного узла при пламенном обжиге и пусковом периоде ............................................................................................. 154 4.2.3. Термические параметры и характеристики внешнего теплообмена при эксплуатации алюминиевых электролизеров ............................................ 164 4.3. Экспериментальные исследования печей графитирования......................................... 178 4.3.1. Печь Ачесона на максимальную силу тока 100 кА .......................................... 178 4.3.2. Печь Ачесона на максимальную силу тока 117 кА .......................................... 185 4.4. Экспериментальные исследования шахтных печей для прокаливания наполнителя ................................................................................. 188 4.5. Выводы ........................................................................................................................ 190

5. Численные исследования теплоэлектрического и механического состояния энергоемких высокотемпературных агрегатов ................................................................ 193

5.1. Алюминиевые электролизеры ................................................................................... 193 5.1.1. Теплоэлектрическое состояние и энергобалансы алюминиевых электролизеров в режиме эксплуатации............................................................ 196 5.1.2. Механическое состояние катодов алюминиевых электролизеров в режиме эксплуатации ....................................................................................... 211 5.1.3. Влияние изменения технологических параметров на энергоэкономические показатели эксплуатации .............................................. 220 5.1.4. Влияние пропитки расплавами футеровочных и теплоизоляционных материалов на теплоэлектрическое состояние и срок эксплуатации электролизеров................................................................. 221 5.1.5. Влияние изменения регламента подвода тепловой мощности на темп подъема температуры при пламенном обжиге подины алюминиевого электролизера............................................................... 223 5.1.6. Исследования внешнего теплообмена при принудительном охлаждении катодов алюминиевых электролизеров при пусковых режимах..................... 228 5.2. Печи графитирования................................................................................................. 231 5.2.1. Теплоэлектрическое и механическое состояние печей графитирования Ачесона .................................................................................... 232 5.2.2. Теплоэлектрическое и механическое состояние печей графитирования Кастнера ................................................................................... 237 5.3. Выводы ........................................................................................................................ 242

Выводы ......................................................................................................................................... 246 Приложение А. Аналитические выкладки при получении соотношений для определения

сингулярных коэффициентов влияния задач теории потенциала ............... 248 Приложение Б. Описание разработанных методов и алгоритмов.......................................... 261 Б.1. Отображение произвольной плоской грани с 3D в 2D и обратно при триангуляции ....................................................................... 261 Б.2. Применение метода двойственной взаимности для решения уравнения Пуассона ..................................................................................... 262

356

Б.3. Соотношения ПМГЭ при решении контактных задач .............................. 265 Б.4. Применение преобразования Кирхгофа для решения нелинейной задачи теплопроводности с фазовым переходом 1-го рода ..................... 269 Б.5. Алгоритм решения СЛАУ методом сопряженных градиентов с учетом ленточной структуры матрицы ................................................... 272 Б.6. Определение прямой видимости между поверхностями диатермической полости для расчета радиационного теплообмена ....................................................................... 273 Б.7. Вычисление интеграла по объему ............................................................... 275 Б.8. Ряд для вычисления xerf ......................................................................... 277 Б.9. Определение тензора температурных деформаций, напряжений и перемещений при использовании ПМГЭ ............................................... 277 Б.10. Определение тензора напряжений на границе 3D области при использовании ПМГЭ......................................................................... 279 Б.11. Методика решения двумерных задач теории упругости с использованием ПМГЭ ........................................................................... 284 Б.12. Комбинированный шаговый алгоритм решения задачи пластичности .............................................................................................. 290 Б.13. Примеры файлов-задания........................................................................... 292 Приложение В. Результаты тестирования ПО и верификации разработанных численных моделей ......................................................................................... 296 В.1. Стационарная теплопроводность ................................................................ 296 В.2. Нестационарная теплопроводность ............................................................ 298 В.3. Радиационный теплообмен.......................................................................... 300 В.4. Термоупругость ............................................................................................ 300 В.5. Упругопластичность..................................................................................... 302 В.6. Контактные задачи ....................................................................................... 303 В.7. Результаты сопоставления численных экспериментов............................. 306 В.8. Результаты верификации численных теплоэлектрических моделей алюминиевых электролизеров .................................................................... 310 В.9. Результаты верификации теплоэлектрической численной модели печи графитирования Ачесона постоянного тока..................................... 311 Приложение Д. Оценка погрешности экспериментальных исследований температур ....... 313 Д.1. Теоретические основы оценки погрешности эксперимента ......................... 313 Д.2. Оценка ошибки экспериментального исследования температур с помощью ТХА и ТВР ................................................................................ 315 Д.3. Оценка погрешности экспериментального исследования яркостной температуры с помощью визирной трубы ................................................. 317 Приложение Е. Технико-экономические расчеты действующих и модернизированных конструкций алюминиевых электролизеров ................................................. 319 Список использованной литературы......................................................................................... 334