criptografia parte i

36.hacker

criptogrAfia

36.hacker

PQ4RSTAU*VWXYZABCARTEEFGHIJKLop

MNOPQ99RDE23UVWXYZABCD@&EOGH!IJKLMNRS232TUVCW666XYZ

MNOPQ99RSU23UVWXYZPQ4RSTU*LWXYZ%00

ABCD@&EFTH!IJKLMNABC4D GaIJ

MNOPQ99RSR23UVWXYZNOPQ99RST23UV

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23UVWXYZR23UVWXYZRNOPQ99RST23UV

R23UVWXYZR

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MPQ4RSTAPQ4RST

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PQ4RSTAPQ4RST U*VWXYZNOPQ99RST23U*VWXYZ

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MPQ4RSTAPQ4RST

MMM

MMNOPQ99RST23NOPQ99RST23

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NOPQ99RST23MNOPQ99RST23MMNOPQ99RST23MNOPQ99RST23

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entenda os bastidores da criptografia

12909328721398472348

porm474R13l

crcriiiiptoptoptoptoptoptoptoptoptoptoptoptoggggggrrrrrrAAAAAfffffiififfif aa

363636363636363636363636363636...hackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhacker

PQ4RSTPQ4RSTPQ4RSTABCPQ4RST

ABCPQ4RST

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ABCPQ4RST

ARTEPQ4RST

ABCPQ4RST

NOPQ99RABCNOPQ99RABCARTENOPQ99R

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ABCD@&EFPQ4RSTU*

ABCD@&EFPQ4RSTU*ABC4D ABCD@&EFABC4D ABCD@&EFNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RSNOPQ99RS

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NOPQ99RS363636363636

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NOPQ99RS......

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NOPQ99RShackerhackerhackerhackerhackerhacker






































NOPQ99RShackerhackerhacker

ABC4D NOPQ99RSABC4D

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MMM

MMM

MMM

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MMNOPQ99RST23

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ABC4D porABC4D ABC4D m474R13lABC4D

U*VWXYZEFGHIJKLopU*VWXYZ

EFGHIJKLopU*VWXYZ

23UVWXYZEFGHIJKLop

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GH!IJKLM23UVWXYZGH!IJKLM23UVWXYZ

N23UVWXYZ

N23UVWXYZGH!IJKLMNGH!IJKLM23UVWXYZGH!IJKLM23UVWXYZ

N23UVWXYZGH!IJKLM23UVWXYZW666XYZGH!IJKLMW666XYZGH!IJKLMGH!IJKLMNGH!IJKLMW666XYZGH!IJKLMNGH!IJKLM23UVWXYZW666XYZ23UVWXYZW666XYZWXYZ%23UVWXYZWXYZ%23UVWXYZ

0023UVWXYZ

0023UVWXYZH!IJKLMWXYZ%H!IJKLMWXYZ%00H!IJKLM

00N00N00

H!IJKLMNH!IJKLMWXYZ%H!IJKLMWXYZ%

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00N00

H!IJKLM00

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NOPQ99RST23NOPQ99RST23NOPQ99RST23U*VWXYZ

NOPQ99RST23U*VWXYZ

NOPQ99RST23NOPQ99RST23



da criptografia

23UVWXYZda criptografia

23UVWXYZ

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entenda os bastidores H!IJKLM

entenda os bastidores H!IJKLMN23UVWXYZ



entenda os bastidores

hacker.37

Segurana um fator essencial para quem deseja

transmitir informaes atravs da rede global de

computadores sem passar por qualquer dor de

cabea no futuro. No caso de proteger as redes

locais, j dispomos de ferramentas consagradas,

que so os firewalls. Como exemplos, temos o Netfilter Iptables

do Linux e o Packet Filter do OpenBSD. Mas e quando enviamos

uma mensagem, o que podemos fazer para proteger as nossas

informaes durante o trfego pela rede?

A resposta pode ser resumida em uma nica palavra: cripto-

grafia.Mas o que a criptografia?

Informalmente, criptografar seria o mesmo que embaralhar

nossas mensagens e modific-las, de modo que no elas no

se tornem acessveis para qualquer pessoa, apenas para quem

conhece o verdadeiro segredo envolvido na codificao.

Antes de comearmos a desenvolver o assunto, precisamos

esclarecer algumas definies fundamentais:

Criptografia: estudo das tcnicas matemticas relaciona-

das aos aspectos de segurana da informao, como con-

fiabilidade, integridade de dados, autenticao de entidades

e da origem dos dados.

Criptanlise: estudo de tcnicas que visam a determinar o

nvel de segurana de um sistema criptogrfico e o quanto

ele resistente a um ataque.

Criptologia: cincia que estuda a criptografia e a criptanlise.

PRELIMINARES MATEMTICOSO mundo da computao como uma moeda: ambos pos-

suem duas faces. Numa delas, somos usurios, no importando

se usamos uma interface grfica ou digitamos raivosamente

linhas e mais linhas de comando, pois no sabemos o que est

acontecendo por trs da tela. J no outro lado, temos uma

abordagem totalmente diferente: o mundo do desenvolvedor,

do coder, do H4CK3R.

Mas, tudo na vida tem um preo, e para entender a cincia

da criptografia sob o ponto de vista do desenvolvedor, no

h outra sada a no ser conhecer muito bem a matemtica

necessria e saber fazer a programao.

Nesta primeira parte do nosso tutorial, vamos apresentar

a fundamentao matemtica da criptografia, o que inclui

termos como chave e texto cifrado, alm de alguns

exemplos bsicos. Na segunda parte que ser publicada na

prxima edio, estudaremos com detalhes a estrutura do

famoso sistema de encriptao RSA, com foco na questo da

encriptao-decriptao.

CONJUNTOS E FUNESNas cincias exatas, chamamos de conceito primitivo uma

premissa-base que no demonstrada matematicamente e

que tida como bvia , intuitiva.

No caso da linguagem de conjuntos, o termo conjunto

assumido como um conceito primitivo, ou seja, sabemos

do que se trata , mas no como exprimi-lo atravs de ou-

tros conceitos mais elementares. Mesmo com o aux lio do

dicionrio, que define o conjunto como uma coleo de

objetos (os elementos) caracterizados por uma propriedade

em comum, no temos realmente um conceito preciso, pois a

palavra coleo meramente um sinnimo de conjunto. Ape-

sar disso, vamos encarar informalmente o assunto, definindo

conjunto como uma coleo de objetos caracterizados por uma

propriedade em comum.

CARACTERIZAO DE CONJUNTOSUtilizando-se da idia anterior sobre conjunto, possvel de-

fini-lo atravs de uma propriedade ou simplesmente listando

seus elementos. Dessa maneira, um conjunto apresentado

na seguinte forma:

X = {...}

Sendo que X uma letra utilizada para identificar o conjunto

e as chaves {...} contm a propriedade que o caracteriza; um

objeto qualquer de X chamado de elemento.

A seguir, apresentamos uma lista de conjuntos, sobre os

quais daremos mais detalhes posteriormente, alm de utiliz-

los tambm.

Exemplo 1: nmeros naturais

O conjunto dos nmeros naturais representa os valores que

PQ4RSTAU*VWXYZABCARTEEFGHIJKLop

MNOPQ99RDE23UVWXYZABCD@&EOGH!IJKLMN

MNOPQ99RSU23UVWXYZPQ4RSTU*LWXYZ%00

MNOPQ99RSR23UVWXYZ12909328721398472348

12909328721398472348S

egurana um fator essencial para quem deseja

transmitir informaes atravs da rede global de

computadores sem passar por qualquer dor de

cabea no futuro. No caso de proteger as redes

locais, j dispomos de ferramentas consagradas,

que so os firewalls. Como exemplos, temos o Netfilter Iptables








CONJUNTOS E FUNES

12909328721398472348CONJUNTOS E FUNESNas cincias exatas, chamamos de conceito primitivo uma

premissa-base que no demonstrada matematicamente e

que tida como bvia , intuitiva.

No caso da linguagem de conjuntos, o termo conjunto

assumido como um conceito primitivo, ou seja, sabemos

do que se trata , mas no como exprimi-lo atravs de ou-

tros conceitos mais elementares. Mesmo com o aux lio do

dicionrio, que define o conjunto como uma coleo de

objetos (os elementos) caracterizados por uma propriedade

em comum, no temos realmente um conceito preciso, pois a

palavra coleo meramente um sinnimo de conjunto. Ape-

sar disso, vamos encarar informalmente o assunto, definindo

conjunto como uma coleo de objetos caracterizados por uma

propriedade em comum.

CARACTERIZAO DE CONJUNTOSUtilizando-se da idia anterior sobre conjunto, possvel de-

fini-lo atravs de uma propriedade ou simplesmente listando

seus elementos. Dessa maneira, um conjunto apresentado

X uma letra utilizada para identificar o conjunto






CONJUNTOS E FUNES

12909328721398472348











Sendo que X uma letra utilizada para identificar o conjunto





los tambm.

Exemplo 1: nmeros naturais


12909328721398472348

X uma letra utilizada para identificar o conjunto





nmeros naturais


12909328721398472348O conjunto dos nmeros naturais representa os valores que

12909328721398472348O conjunto dos nmeros naturais representa os valores que

12909328721398472348


informaes durante o trfego pela rede?

A resposta pode ser resumida em uma nica palavra: cripto-

grafia.Mas o que a criptografia?

Informalmente, criptografar seria o mesmo que embaralhar

nossas mensagens e modific-las, de modo que no elas no

se tornem acessveis para qualquer pessoa, apenas para quem

conhece o verdadeiro segredo envolvido na codificao.

Antes de comearmos a desenvolver o assunto, precisamos

esclarecer algumas definies fundamentais:

PRELIMINARES MATEMTICOSO mundo da computao como uma moeda: ambos pos-

suem duas faces. Numa delas, somos usurios, no importando

se usamos uma interface grfica ou digitamos raivosamente


23UVWXYZ23UVWXYZN

23UVWXYZN

23UVWXYZ

23UVWXYZ23UVWXYZ

NOPQ99RST2312909328721398472348NOPQ99RST2312909328721398472348NOPQ99RST23Sque so os firewalls. Como exemplos, temos o Netfilter Iptables



23UVWXYZ23UVWXYZ

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38.hacker

criptogrAfia

usamos para contar objetos. Deno-

tado pela letra N, definido por N =

{0,1,2,3,4,...}. Os pontinhos ... aps

o nmero 4 indicam que o conjunto con-

tinua para o infinito.

Exemplo 2: conjunto dos nmeros inteiros

um conjunto muito importante para

o estudo de criptografia, pois a partir

dele, construmos o chamado conjunto

dos inteiros mdulo k. O conjunto dos

nmeros inteiros definido como sendo

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}, de forma

anloga ao caso do Exemplo 1. Os pon-

tinhos ... indicam a continuao dos

elementos, mas dessa vez, tambm para

o infinito negativo.

Exemplo 3: conjunto dos inteiros mdulo k

Neste exemplo, precisamos de uma

construo abstrata. Seja k um inteiro

positivo, dado o conjunto kZ = { ...,-3k,-

2k,-k,0,k,2k,3k,...}, vamos agir kZ

sobre Z. Isso significa o seguinte: dado

m Z ( o significa que m um ele-mento de Z e m pertence a Z), definimos

o conjunto [m] = { m + kx | x Z }. Neste conjunto, a barra | significa tal que,

um elemento sinttico auxiliar na carac-

terizao do conjunto.

A semntica de [m] (a chamada classe de

m) que temos um conjunto que representa

todos os elementos que possuem o mesmo

resto que m, quando divididos por k.

O restante da construo definir o

conjunto quociente, dado por

Z/kZ = { [m] | m Z }. Na literatura matemtica, esse o chamado con-

junto dos inteiros mdulo k. Podemos

definir operaes neste conjunto, mais

concretamente, definimos uma adio e

uma multiplicao de tal forma que po-

demos calcular com ele de modo muito

semelhante aos clculos que fazemos

com o conjunto dos nmeros reais das

cincias exatas. Com essas operaes,

Z/kZ um exemplo de uma estrutura

matemtica chamada anel. possvel

mostrar que o nmero de elementos de

Z/kZ igual a k.

FUNES ENTRE CONJUNTOSOutro conceito fundamental em mate-

mtica o de funo. Um modo informal

de pensarmos uma funo o de um obje-

to matemtico que expressa a dependn-

cia entre grandezas fsicas. Por exemplo,

a frase a presso dentro do oceano varia

de modo diretamente proporcional pro-

fundidade est definindo implicitamente

uma funo. Para quantificar essa frase,

basta representar a grandeza presso com

a letra P e a profundidade com a letra H.

Deste modo, temos:

P = cH, onde c uma constante de pro-

porcionalidade positiva. Assim, dizemos

que P uma funo de h, um ponto de

vista que enfatiza grandezas, muito uti-

lizado na fsica e engenharia. Denotamos

o valor da funo presso num elemento

especfico h como P(h).

Mas, para nossos estudos de crip-

tografia, precisamos de uma definio

formal de funo:

Definio: Sejam X e Y conjuntos, uma

funo f de X em Y uma regra que

associa a cada elemento de X (o domnio

da funo) um nico elemento de Y (o

contradomnio da funo). A funo f

denotada simbolicamente como

f: X Y e o seu valor num ponto x X denotado por f(x).

A letra X (em geral so usadas as

ltimas letras do alfabeto latino)

chamada de varivel.

Dada uma funo f: X Y, ela pode apre-sentar trs tipos de comportamento:

funo injetora: f dita ser injetora

se dados quaisquer x,y X. Assim, temos que f(x) f(y).

funo sobrejetora: f dita ser so-

brejetora se qualquer que seja o y Y e existe um x X tal que f(x) = y.

funo bijetora : bijetora se for simul-

taneamente injetora e sobrejetora.

Desses trs casos, o mais importante para

ns a funo bijetora, pois uma bijeo sig-

nifica uma identificao completa entre dois

conjuntos. Mais explicitamente, podemos

transformar qualquer elemento de X em Y

de forma nica e vice-versa (existe a inversa,

cujo conceito veremos logo a seguir). Quan-

do definimos sistema criptogrfico, veremos

que as transformaes de condificao e

decodificao so funes bijetoras.

COMPOSIO DE FUNESA composio de funes um concei-

to bem simples. Dadas as funes f: A

B e g: B C, definimos a compo-sio delas como sendo a funo gof:

A C, dada por:

gof(x) := g(f(x))

Sendo que o s ina l : = in forma

que estamos def inindo uma nova

funo, uma notao herdada da

linguagem Pascal.

FUNO INVERSAAntes de apresentarmos uma sequncia

de exemplos, precisamos definir o concei-

to de funo inversa. Uma funo f : X Y dita invertvel se existe uma funo g:

Y X tal que f(g(y)) = y e g(f(x)) = x para todos xX, yY.

Segue da definio que uma funo

invertvel se e somente se bijetora.

Como exemplos de funes, temos:

funo injetora: f dita ser injetora

X. Assim,

3838383838383838383838...hackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhacker


usamos para contar objetos. Deno-

tado pela letra N, definido por

{0,1,2,3,4,...}. Os pontinhos ... aps

o nmero 4 indicam que o conjunto con-

tinua para o infinito.

Exemplo 2: conjunto dos nmeros inteiros

um conjunto muito importante para

o estudo de criptografia, pois a partir

dele, construmos o chamado conjunto

dos inteiros mdulo k. O conjunto dos

nmeros inteiros definido como sendo

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}, de forma

anloga ao caso do Exemplo 1. Os pon-

tinhos ... indicam a continuao dos

elementos, mas dessa vez, tambm para

o infinito negativo.

Exemplo 3: conjunto dos inteiros mdulo k

Neste exemplo, precisamos de uma

construo abstrata. Seja k um inteiro

positivo, dado o conjunto kZ = { ...,-3k,-

2k,-k,0,k,2k,3k,...}, vamos agir kZ

sobre Z. Isso significa o seguinte: dado

m Z ( o significa que m um ele-mento de Z e m pertence a Z), definimos

o conjunto [m] = { m + kx | x Z }. Neste conjunto, a barra | significa tal que,

um elemento sinttico auxiliar na carac-

terizao do conjunto.

A semntica de [m] (a chamada classe de

m) que temos um conjunto que representa

todos os elementos que possuem o mesmo

resto que m, quando divididos por k.

O restante da construo definir o

conjunto quociente, dado por

Z/kZ = { [m] | m Z }. Na literatura matemtica, esse o chamado con-

junto dos inteiros mdulo k. Podemos

definir operaes neste conjunto, mais

concretamente, definimos uma adio e

uma multiplicao de tal forma que po-

demos calcular com ele de modo muito

semelhante aos clculos que fazemos

com o conjunto dos nmeros reais das

hacker.39

Exemplo 1: Funo bijetora

Consideremos o conjunto dos nmeros reais

(os nmeros usuais) R. Seja uma funo f: R R dada por f(x) = x + 5, conclumos que a funo

g: R dada por g(x) = x 5 a inversa de f.De fato:

f(g(x)) = f(x-5) = x-5+5 = xg(f(x)) = g(x+5) = x+5-5 = x

Portanto f bijetora.

Exemplo 2: Permutaes do conjunto

Xn ={1,2,3,...,n}

Uma permutao em Xn uma bijeo de Xn

em Xn. Por exemplo, a funo

f : Xn Xn dada por f(1) = 2, f(2) = 1 e f(x) = x para todo x 3 uma permutao em Xn.O conjunto de todas as permutaes em

Xn chamado de grupo das permuta-

es, sendo denotado por S(Xn) (para

uma apresentao detalhada sobre gru-

pos, consulte as referncias). De forma

ainda mais concreta, tomemos o caso

X2 = {1, 2}. Temos aqui apenas duas

permutaes dadas pelas funes:

f1(1) = 1, f1(2) = 2 f2(1) = 2, f2(2) = 1

possvel mostrar que o nmero de

elementos de S(Xn) igual a n! , o cha-

mado fatorial de n. No exemplo 3, logo

abaixo, apresentamos mais detalhes

sobre a noo de fatorial.

Exemplo 3: Matrizes

Sejam os conjuntos In = {1,2,3,..,n}

e Im = {1,2,3,...,m}, definimos uma

matriz n x m com entradas reais como

sendo uma funo A : In x Im R. Aqui, o termo In x Im significa o conjunto

dos pares ordenados (x,y) com x In e y Im.

primeira vista, parece uma definio

muito abstrata, principalmente porque na

literatura matemtica as matrizes so de-

finidas utilizando-se tabelas de nmeros.

Mas, esse ponto de vista no faz sentido,

pois no expressvel em termos de

conjuntos; a nossa definio no apenas

rigorosa, mas tambm o que se utiliza na

prtica em programao e, de forma ainda

mais abstrata, pensamos em um tipo de

dado bidimensional, que pode armazenar

caracteres, nmeros, vetores etc.

Exemplo 4: Fatorial de um nmero natural

Dado um nmero natural n, o seu fatorial

denotado como n! e o definimos recur-

sivamente, ou seja:

0! = 1n! = n(n-1)! para n > 0

Fazer clculos com essa definio bem

simples. Por exemplo, para n = 3 temos:

3! = 3(3-1)! = 3.2! = 3.2.(2-1)! = 3.2.1! = 3.2.1.(1-1)! = 3.2.1.0!

Mas, pela definio, sabemos que 0! = 1,

portanto:

3! = 6

A partir disso, definimos uma funo, da

qual chamaremos de fat: N N dada por:

fat(n) = n!

Exemplo 5 : Compondo as funes elevar

ao quadrado e translao

Sejam as funes f: R R e tr3: R R, dadas por:

f(x) = x tr3(x) = x + 3

Pela definio, temos:

f(tr3(x)) = f(x+3) = (x+3)

ELEMENTOS DE CRIPTOGRAFIAAgora que j vimos o background ne-

cessrio sobre conceitos matemticos,

apresentaremos as estruturas bsicas da

criptografia. Na maioria das publicaes no

tcnicas existentes, termos como chaves e

sistema criptogrfico so sempre citados

mas, aps uma leitura atenta, percebemos que

em nenhum momento eles so devidamente

explicados. Vamos esclarecer as principais

dvidas pertinentes ao assunto.

Definio 1: Um sistema criptogrfico

uma quntupla de objetos

SC = < M, C, K, {Ee}, {Dd} > em que temos:

M um conjunto chamado de espa-

o de texto comum, visto que seus

elementos so chamados de texto

comum. Temos aqui os textos que

vamos codificar.

C um conjunto chamado de

espao de texto cifrado, sendo que

seus elementos so chamados de

texto cifrado. Estes so os textos

que queremos decodificar.

K um conjunto chamado de espao

de chaves, lembrando que seus ele-

mentos so chamados de chaves.

{Ee} com e K , uma famlia de bijees Ee : M C ; chamadas de funes de encriptao.

{Dd} com d K , uma famlia de bijees Dd: C M, chamadas de funes de decriptao.

E sujeitos ao seguinte vnculo:

Para cada e K , existe um nico d K tal que Ee a funo inversa de Dd, e

vice-versa, e um par (e,d) chamado

Exemplo 1: Funo bijetora

Consideremos o conjunto dos nmeros reais

(os nmeros usuais) R. Seja uma funo f: R R dada por f(x) = x + 5, conclumos que a funo

dada por g(x) = x 5 a inversa de f.

f(g(x)) = f(x-5) = x-5+5 = x

primeira vista, parece uma definio

muito abstrata, principalmente porque na

literatura matemtica as matrizes so de-

finidas utilizando-se tabelas de nmeros.

Mas, esse ponto de vista no faz sentido,

pois no expressvel em termos de

conjuntos; a nossa definio no apenas

rigorosa, mas tambm o que se utiliza na

prtica em programao e, de forma ainda

mais abstrata, pensamos em um tipo de

dado bidimensional, que pode armazenar

caracteres, nmeros, vetores etc.

Pela definio, temos:

f(tr3(x)) = f(x+3) = (x+3)

ELEMENTOS DE CRIPTOGRAFIAAgora que j vimos o background ne-

cessrio sobre conceitos matemticos,

apresentaremos as estruturas bsicas da

criptografia. Na maioria das publicaes no

tcnicas existentes, termos como chaves e

sistema criptogrfico so sempre citados

mas, aps uma leitura atenta, percebemos que

40.hacker

criptogrAfia

J a chave de encriptao enviada

atravs de um canal seguro (atravs de

ssh, por exemplo), e o envio da chave

e suficiente, pois d=e. A personagem

atacante algum que deseja intercep-

tar o texto cifrado, procurando tambm

obter a chave utilizada para acessar seu

contedo original. Mas, num sistema

de chave simtrica, o atacante tem

acesso apenas ao texto cifrado.

Criptosistema de chave pblica

Esse criptosistema difere do caso ante-

rior em alguns aspectos. Em primeiro

lugar, o sistema no simtrico, tanto a

mensagem c cifrada, quanto a chave de

encriptao, esto disponveis atravs

de canais inseguros. A segurana do sis-

tema garantida devido inviabilidade

computacional de se descobrir qual a

chave de decriptao d.

A arquitetura de um sistema de chave

pblica est ilustrada abaixo:

2) Adicionar a imagem tela2.png aci-

ma deste apontador

Utilizando o exemplo citado anteriormente,

porm com mais detalhes, Joo escolhe um

par de chaves (e,d), envia para Maria a cha-

ve de encriptao e (a chave pblica), mas

mantm a chave de decriptao d secreta e

segura (a chamada chave privada).

De posse da chave, Maria encripta uma men-

sagem e a envia para Joo, que, simples-

de par de chaves. Semanticamente,

o espao de chaves K serve como um

ambiente de classificao para as fun-

es de encriptao e decriptao Ee

e Dd, respectivamente. Uma premissa

bsica da criptografia a de que todo o

sistema criptogrfico SC = deve ser conhecido, porm no

revelado o par de chaves (e,d) utilizado

numa encriptao.

CLASSIFICAO DOSCRIPTOSISTEMAS

Criptosistema de chave simtrica

No caso em que e=d , dizemos que o sis-

tema de encriptao simtrico.

Quando utilizamos um criptosistema

simtrico, a arquitetura do mecanismo

de transmisso, tanto da chave quanto

da mensagem cifrada, pode ser ilustrado

como na figura abaixo:

Temos apenas como exemplo, o caso

de um emissor (Joo) e de um receptor

(Maria). Joo toma um texto fonte e o

codifica atravs da funo de encripta-

o apontada pela chave. Depois, envia

a mensagem codificada c para Maria,

atravs de um canal (um meio fsico de

se transmitir uma informao) inseguro

(via e-mail, por exemplo).

mente, aguarda sua chegada. importante

ressaltarmos que a segurana desse tipo de

sistema se mantm devido ao fato de ser

totalmente impraticvel descobrir qual a

chave de decriptao.

Agora, apresentaremos uma sequncia de

exemplos relacionados a sistemas criptogr-

ficos, que serviro para clarear a definio

formal definida anteriormente e, tambm,

para introduzirmos novos conceitos a res-

peito desse mesmo assunto.

Exemplo 1: Sistema de encriptao

Toy Model (modelo simples)

O sistema criptogrfico SC = dado por :

M = {x1,x2,x3}C = {y1,y2,y3}K = {1,2,3,4,5,6}

As Ee e Dd so as permutaes de um

conjunto de 3 elementos, como vimos na in-

troduo desse tutorial, para a permutao

E1 dada por E1(x1) = y3, E1(x2)=y1 e E1(x3)=

y2. A sua inversa a funo D6, dada por

D6(y1)= x2, D6(y2)=x3 e D6(y3)= x1.

Portanto, concluimos que o par de chaves

(1,6), que no simtrico. Embora esse

exemplo no possua aplicao prtica, serve

para ilustrar um sistema criptogrfico.

Exemplo 2: o cdigo secreto de Csar

isso mesmo que voc est pen-

sando : o imperador romano Jlio

Cesar tinha o seu prprio sistema

criptogrfico. O cdigo de Csar est

definido abaixo:

M = palavras escritas com o alfabeto latino

C = strings escritas com o alfabeto latino

K = {0,1,2,3,...,25}

Para descrevermos as funes de en-

criptao e decriptao, precisamos

Atacante

Joo Maria

Canal Segur o

CanalInseguro

Espao de Chaves

Decriptao

Destino

EncriptaoEe(m)=c

Espao de texto comum

De(c)=m

Atacante

JooMaria

EncriptaoEe(m)=c

Espao de texto comum

Espao de Chaves

Decriptao

Destino

CanalInseguro

De(c)=m

CanalInseguro


J a chave de encriptao enviada

atravs de um canal seguro (atravs de

ssh, por exemplo), e o envio da chave

e suficiente, pois d=e. A personagem

atacante algum que deseja intercep-

tar o texto cifrado, procurando tambm

obter a chave utilizada para acessar seu

contedo original. Mas, num sistema

de chave simtrica, o atacante tem

acesso apenas ao texto cifrado.

Criptosistema de chave pblica

Esse criptosistema difere do caso ante-

rior em alguns aspectos. Em primeiro

de par de chaves. Semanticamente,

o espao de chaves K serve como um

ambiente de classificao para as fun-

es de encriptao e decriptao Ee

e Dd, respectivamente. Uma premissa

bsica da criptografia a de que todo o

sistema criptogrfico SC = deve ser conhecido, porm no

revelado o par de chaves (e,d) utilizado

numa encriptao.

CLASSIFICAO DOSCRIPTOSISTEMAS

mente, aguarda sua chegada. importante

ressaltarmos que a segurana desse tipo de

sistema se mantm devido ao fato de ser

totalmente impraticvel descobrir qual a

chave de decriptao.

Agora, apresentaremos uma sequncia de

exemplos relacionados a sistemas criptogr-

ficos, que serviro para clarear a definio

formal definida anteriormente e, tambm,

para introduzirmos novos conceitos a res-

peito desse mesmo assunto.

Exemplo 1: Sistema de encriptao

Toy Model (modelo simples)

hacker.41

da tabela de identificao entre letras

e nmeros:

Dado eK , a funo de encriptao Ee a resultante da composio das funes:

M Z/Z26 Z/Z26 C f g h

Sendo que:

f a funo dada pela identificao letra-

nmero da tabela acima.

g uma funo dada por g([x]) = [x+e].

h a funo dada pela identificao

nmero - letra da tabela acima.

Portanto, Ee = hogof

Entretanto, a funo de decriptao para

um d K , de forma anloga, dada por:

M Z/Z26 Z/Z26 C f g h

Onde:

f a funo dada pela identificao

letra-nmero da tabela acima.

g uma funo dada por g([x]) = [x-d].

h a funo dada pela identificao

nmero - letra da tabela acima.

Portanto, Dd = hogof.

Vamos calcular alguns casos com Ee

para e=2

E2(D) = hogof(D) = hog([3]) =

h(g([3])) = h([3+2]) = h([5]) = F (

E2(D) = F)

E2(E) = hogof(E) = hog([4]) =

h(g([4])) = h([4+6]) = h([10]) = K

( E2(E) = K)

E2(U) = hogof(U) = hog([20]) =

h(g([20])) = h([20+2]) = h([22])

=W ( E2(U) = W )

E2(S) = hogof(S) = hog([18]) =

h(g([18])) = h([18+2]) = h([20]) =

U ( E2(S) = U )

Ento, se tomarmos o texto que contm

apenas a palavra DEUS , aps a codifica-

o com a funo E2, obtemos o texto

cifrado que contm a palavra FKWU.

Atravs de inspeo direta (calculan-

do), percebe-se que o cdigo de Csar

um sistema criptogrfico simtrico.

De fato, para todo eK , tomando d = e , temos Dd o Ee = idM, sendo que

idM a funo identidade. Vamos

verificar concretamente:

D2oE2 (D) = D2(F) = hogof(D) =

hog([5]) = h([5-2]) = h([3]) = D

Exemplo 3: Encriptao por blocos

A encriptao por blocos consiste em

agrupar os caracteres do texto comum

em blocos de tamanho k. Depois, sobre

estes blocos, aplicada a funo de en-

criptao, rotulada por uma chave e K. Neste exemplo, utilizaremos:

M = palavras escritas com o alfabeto latino

C = strings escritas com o alfabeto latino

K = {1,2,3,4,..., 26! } - espao de chaves,

rotula todas as permutaes de S(X26),

sendo que X26 o alfabeto latino. Ento

ordenamos este conjunto como

A = x1, B= x2, C= x3,..., Z=x26

As funes de encriptao (e de decrip-

tao) so, simplesmente, as permutaes

do conjunto X26.

Como exemplo, tomemos a permutao

que consiste em associar a cada letra, na

ordem determinada acima, aquela letra

que fica trs posies adiante. Deste

modo, temos que Ee dada por:

Alm disso, vamos quebrar o texto fonte

em blocos de comprimento igual a cinco. Para

exemplificar, temos aqui o texto comum:

GOD IS THE LORD OF THE

UNIVERSE

Aps o agrupamento, ficamos com:

GODIS THELO RDOFT HEUNI

VERSE

E aplicando a funo de encriptao Ee,

obtemos finalmente:

JRGLV WKHOR UGRIW KHXQL

YIUVH

Exemplo 4: Composio de sistemas

criptogrficos

Quando comentamos sobre funes, vimos

a noo de composio de funes. Como o

processo de encriptao funcional, no

ABCDEFGHIJKLM

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

NOPQRSTUVWXYZ

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

A

B

C

ABCDEFGHIJKLM

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

NOPQRSTUVWXYZ

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

da tabela de identificao entre letras

e nmeros:

Vamos calcular alguns casos com Ee

para e=2

E2(D) = hogof(D) = hog([3]) =

h(g([3])) = h([3+2]) = h([5]) = F (

E2(D) = F)

E2(E) = hogof(E) = hog([4]) =

h(g([4])) = h([4+6]) = h([10]) = K

( E2(E) = K)

E2(U) = hogof(U) = hog([20]) =

h(g([20])) = h([20+2]) = h([22])

=W ( E2(U) = W )

E2(S) = hogof(S) = hog([18]) =

h(g([18])) = h([18+2]) = h([20]) =



do conjunto






ABCDEFGHIJK

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

NOPQRSTUVWX

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

hackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhacker....4141414141414141

Alm disso, vamos quebrar o texto fonte

em blocos de comprimento igual a cinco. Para

exemplificar, temos aqui o texto comum:

GOD IS THE LORD OF THE

UNIVERSE

Aps o agrupamento, ficamos com:

GODIS THELO RDOFT HEUNI

VERSE

E aplicando a funo de encriptao Ee,

obtemos finalmente:

JRGLV WKHOR UGRIW KHXQL

YIUVH

Exemplo 4: Composio de sistemas

criptogrficos

Quando comentamos sobre funes, vimos

a noo de composio de funes. Como o

processo de encriptao funcional, no

FGHIJKLM

I

J

K

L

M

N

O

P

STUVWXYZ

V

W

X

Y

Z

A

B

C



do conjunto X26.






ABCDE

D

E

F

G

H

NOPQR

Q

R

S

T

U

42.hacker

criptogrAfia

de se estranhar que possamos compor sis-

temas criptogrficos. Neste exemplo,vamos

compor dois criptosistemas. O primeiro

deles, que chamaremos de SC1, consiste

em permutaes de um conjunto com cinco

elementos. definido como segue:

M1 = strings binrias de comprimento

igual a cinco

C1 = strings binrias de comprimento

igual a cinco

K = {p1,p2,...,p120} = chaves de

encriptao que rotulam as permu-

taes de um conjunto com cinco

elementos

As funes de encriptao(Ee) decriptao(Dd)

so as permutaes do conjunto X5.

O segundo criptosistema SC2 baseado

no fato de que podemos expressar 32

nmeros atravs de uma string binria de

comprimento cinco.

Dessa maneira, como o alfabeto latino pos-

sui apenas 26 letras, podemos definir uma

encriptao letra-nmero binrio. De forma

mais concreta, o SC2 definido como:

M2 = palavras escritas com o alfa-

beto latino

C2 = strings binrias

K2 = {1,2,3,4,5,...,26} = o espao

das chaves de encriptao

As funes de encriptao Ee e Dd so

definidas atravs da seguinte tabela:

Para saber mais

Handbook of Applied Cryptography, by A. Menezes, P. van Oorschot, and S. Vanstone, CRC Press, 1996 link: www.cacr.math.uwaterloo.ca/hac

Introduo Criptografia, por Johannes A. Buchmann traduo da Editora Berkeley 2002

Applied Cryptography, second editionby Bruce Schneier - John Wiley & Sons - 1996

Um review sobre o sistema criptogrfico RSAhttp://www.geometer.org/mathcircles/RSA.pdf

Neste caso, encriptar significa ler a

tabela da esquerda para a direita e,

decriptar, o contrrio.

Vamos denotar o criptosistema composto

como SC2oS12. Nessa ordem, significa que

primeiro trocamos cada letra de cada pala-

vra pela correspondente string binria.

Em seguida, efetuamos uma permuta-

o em cada bloco binrio de compri-

mento cinco, comeando da esquerda

para a direita nas sequncias de bits.

Como exemplo concreto, vamos encrip-

tar a palavra DEUS.

Letra String Binria

00000000010001000011001000010100110001110100001001

ABCDEFGHIJ

1 2 3 4 5

2 1 4 3 5

A permutao que utilizaremos dada

pela tabela abaixo:

Primeiro passo de encriptao: con-

verter as letras da palavra em strings

binrias. Para isso, vamos utilizar a

primeira tabela:

D 00011E 00100U 10100S 10010

S e g u n d o p a s s o d a e n c r i p t a o :

p e r m u t a r o s e l e m e n to s d e c a da

str ing b inr ia :

D 00011 00101E 00100 00010U 10100 01010S 10010 01100

Portanto, temos o resultado final da

encriptao composta

DEUS 00101000100101001100

KLMNOPQRSTUVWXYZ

01010010110110001101011100111110000100011001010011101001010110110101111100011001

Letra String Binria





com cinco

strings binrias de comprimento

strings binrias de comprimento

{p1,p2,...,p120} = chaves de



1 2 3 4 5

2 1 4 3 5

A permutao que utilizaremos dada

pela tabela abaixo:

Primeiro passo de encriptao: con-

verter as letras da palavra em strings

binrias. Para isso, vamos utilizar a

primeira tabela:

D 00011 00100

KLMNOPQRSTUVWXY

010100101101100011010111001111100001000110010100111010010101101101011111000

Letra String Binria

4242424242424242424242...hackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhackerhacker

elementos

As funes de encriptao(Ee) decriptao(Dd)

so as permutaes do conjunto X5.

O segundo criptosistema SC2 baseado

no fato de que podemos expressar 32

nmeros atravs de uma string binria de

comprimento cinco.

Dessa maneira, como o alfabeto latino pos-

sui apenas 26 letras, podemos definir uma

encriptao letra-nmero binrio. De forma

mais concreta, o SC2 definido como:

M2 = palavras escritas com o alfa-

beto latino

C2 = strings binrias

K2 = {1,2,3,4,5,...,26} = o espao

das chaves de encriptao

As funes de encriptao Ee e Dd so

definidas atravs da seguinte tabela:definidas atravs da seguinte tabela:

Letra String BinriaLetra String Binria

0000000000000010000100010000100001100100001010010100110001100011100111010000100001001

ABCDEFGHIJ






em permutaes de um conjunto com cinco

elementos. definido como segue:

M1 = strings binrias de comprimento

igual a cinco

C1 = strings binrias de comprimento

igual a cinco

K = {p1,p2,...,p120} = chaves de



elementos

criptografia parte i

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