crisi dei fondamenti la nascita delle geometrie non-euclidee
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Crisi dei fondamenti
La nascita delle geometrie
non-euclidee
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Il metodo assiomatico classico
Proposizioni primitive
Nozioni comuni (il tutto > della parte)
Termini (angolo ottuso>di uno retto)
(punto non ha parti)Postulati
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Postulati 1-4
• Si può condurre una ed una sola retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto
• Una retta finita si può prolungare continuamente in linea retta
• Si può descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni raggio
• Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro
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Il V postulato
• Se una retta, venendo a cadere su due rette, forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, allora le due rette prolungate illimitatamente vengono ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti
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Le “anomalie” del V postulato
• Il V postulato è utilizzato molto avanti nel testo
• La proposizione inversa è un teorema
• Con il V postulato le proposizioni 16 e 17 diventano superflue
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Analisi della “anomalie”
• Proposizione 16: in un triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è maggiore di ciascun dei due angoli interni ed opposti
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• Proposizione 17: in ogni triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore di due retti (oppure: se due rette r ed s, tagliate dalla trasversale t, si incontrano, allora la somma degli angoli che formano con t dalla parte del punto di intersezione è minore di due retti = = inverso del V postulato)
• In genere, quando valgono sia una proposizione che la sua inversa, si riesce a dimostrare entrambe partendo dalle stesse premesse
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• Proposizione 27: se due rette r ed s formano con una trasversale t due angoli coniugati interni la cui somma è due retti, allora r ed s sono parallele
• Proposizione 29: se r ed s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli coniugati interni uguali (interviene il V postulato)
• Proposizione 32: in ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei tre angoli interni è uguale a due retti (interviene la proposizione 29)
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La terza anomalia
• Con la proposizione 32 le proposizioni 16 e 17 diventano superflue
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Tentativi di dimostrare il V postulato
• Unicità della parallela: per un punto esterno ad una data retta passa al più una retta che non incontra la retta data
• Postulato dell’obliqua: una perpendicolare ed un’obliqua ad una stessa retta si incontrano dalla parte in cui l’obliqua forma con la retta un angolo acuto
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Teoremi derivati dal V postulato
• La somma degli angoli interni dei poligoni
• La similitudine fra triangoli
• Il teorema di Pitagora e il suo inverso
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L’opera di Saccheri
• Ipotesi dell’angolo acuto (C=D<retto)
• Ipotesi dell’angolo retto (C=D=retto)
• Ipotesi dell’angolo ottuso (C=D>retto)
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La confutazione dell’ipotesi dell’angolo ottuso
• Saccheri dimostra che nell’ipotesi dell’angolo ottuso e in quella dell’angolo retto vale il postulato dell’obliqua
• Ipotesi dell’angolo ottuso => postulato dell’obliqua => V postulato => ipotesi dell’angolo retto
• L’ipotesi dell’angolo ottuso distrugge sé stessa
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Presunta confutazione dell’ipotesi dell’angolo acuto
• Per un punto esterno ad una retta data passano infinite rette che non intersecano la retta data
• L’ipotesi dell’angolo acuto è falsa perché ripugna alla natura della linea retta
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Geometria iperbolica
• Per un punto P esterno ad una retta data passano due rette che incontrano la retta data ad una distanza infinita senza intersecarla (rette parallele)
• Esistono infinite rette comprese fra quelle parallele che non incontrano la retta data (rette iperparallele)
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La geometria euclidea è un’approssimazione
• Le retta parallele formano con AB due angoli acuti uguali, detti angoli di parallelismo
• Si può dimostrare che l’ampiezza dell’angolo è funzionale alla lunghezza di AB e viceversa
• Se AB tende a 0 l’angolo tende all’angolo retto• In zone “piccole” del piano iperbolico vale la geometria
euclidea
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Triangoli iperbolici
• I lati sono determinati dagli angoli• La somma degli angoli interni è minore di due retti e
varia da triangolo a triangolo• A=K(2R-S) è determinata dagli angoli quindi è
superiormente limitata Amax=k 2R
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Modello di Klein
• Si dimostra la coerenza della nuova geometria
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Modello di Poincaré
• Si elimina il difetto grafico
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Geometria sferica (ellittica)
• Corrisponde all’ipotesi dell’angolo ottuso!
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Come si può accettare l’ipotesi dell’angolo ottuso?
• Per un punto esterno ad una retta data non passano rette parallele alla retta data
• Se viene negato solo il V postulato si crea una geometria contraddittoria
• Quindi per due punti passano almeno due rette (polo nord e polo sud)
• Le rette non hanno lunghezza infinita• Modificando il primo e il secondo postulato si può
costruire una geometria non contraddittoria
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Particolarità della geometria sferica
• La somma degli angoli interni di ogni triangolo è maggiore di due retti
• Tutte le rette hanno la stessa lunghezza finita
• Tutte le perpendicolari ad una stessa retta si incontrano in due punti
• In zone piccole della geometria sferica valgono le leggi di Euclide
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• La misura dei segmenti è determinata dagli angoli al centro della circonferenza
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Il metodo assiomatico moderno
• Distinzione fra sintassi e semantica• È un procedimento ipotetico-deduttivo• Necessita solo di correttezza formale, non di applicabilità
nel mondo materiale• I postulati non sono veri “di per sé” ma solo nell’ambito
della teoria• Ogni teoria, coerente e formalmente corretta, viene
accettata
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Qual è la geometria vera?
• Poincaré: questa domanda non ha senso. E’ come chiedersi se è vero l’ordinamento delle coordinate cartesiano o l’ordinamento di quelle geografiche. Non esistono geometrie vere o false, ma solo più comode o meno comode
• Sono più comode le geometrie non-euclidee per descrivere fenomeni fisici della relatività di Einstein
• Per lo studio del nostro sistema di riferimento è più comoda quella euclidea
• Comunque si giungerebbe alle stesse conclusioni
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La seconda rivoluzione scientifica
• Lo spazio come lo percepiamo noi non è più assoluto, come pensavano Euclide, Newton e Kant, ma varia da regione a regione dell’universo