cross correlation

17
Cross-Correlation, Coregionalization, and Cokriging Pendahuluan Pada bab ini dibahas ide tentang korelasi spasial pada suatu variabel yang dapat digunakan pada situasi dimana dua atau lebih variabel menarik bagi kita secara bersamaan. Terdapat 2 hal dari variasi yang harus dipertimbangkan yaitu hubungan antar variabel, tanpa memperhatikan spasi, yang diekspresikan oleh koefisien korelasi dan juga aspek spasial korelasi yaitu satu variabel bisa jadi berhubungan secara spasial dengan yang lain dimana nilai variabel tersebut pada suatu tempat berkorelasi dengan nilai dari variabel yang lain. Kita dapat mengambil keuntungan dari korelasi dan informasi yang ada pada beberapa variabel untuk memprediksi salah satunya. Estimasi dan Pemodelan Cross-Correlation Eksperimental cross-variogram untuk u dan v dapat ditulis sebagai Cross-variogram dapat dimodelkan seperti autovariogram. Terdapat kondisi tambahan untuk mendeskripsikan coregionalization yaitu kombinasi linear dari variabel itu sendiri merupakan variabel regionalized dan variansinya harus positif atau nol. Dalam model linear coregionalization, diasumsikan masing-masing variabel Z u (x) merupakan penjumlahan linear orthogonal, independent, random variabel Y j k ( x ) dengan rata-rata nol dan variansi 1 di mana k merupakan index seperti berikut: Variogram untuk pasangan variabel sembarang u da v yaitu

Upload: shindyrosalia

Post on 09-Jul-2016

246 views

Category:

Documents


2 download

DESCRIPTION

Pada bab ini dibahas ide tentang korelasi spasial pada suatu variabel yang dapat digunakan pada situasi dimana dua atau lebih variabel menarik bagi kita secara bersamaan. Terdapat 2 hal dari variasi yang harus dipertimbangkan yaitu hubungan antar variabel, tanpa memperhatikan spasi, yang diekspresikan oleh koefisien korelasi dan juga aspek spasial korelasi yaitu satu variabel bisa jadi berhubungan secara spasial dengan yang lain dimana nilai variabel tersebut pada suatu tempat berkorelasi dengan nilai dari variabel yang lain. Kita dapat mengambil keuntungan dari korelasi dan informasi yang ada pada beberapa variabel untuk memprediksi salah satunya.

TRANSCRIPT

Page 1: Cross Correlation

Cross-Correlation, Coregionalization, and Cokriging

Pendahuluan

Pada bab ini dibahas ide tentang korelasi spasial pada suatu variabel yang dapat digunakan pada situasi dimana dua atau lebih variabel menarik bagi kita secara bersamaan. Terdapat 2 hal dari variasi yang harus dipertimbangkan yaitu hubungan antar variabel, tanpa memperhatikan spasi, yang diekspresikan oleh koefisien korelasi dan juga aspek spasial korelasi yaitu satu variabel bisa jadi berhubungan secara spasial dengan yang lain dimana nilai variabel tersebut pada suatu tempat berkorelasi dengan nilai dari variabel yang lain. Kita dapat mengambil keuntungan dari korelasi dan informasi yang ada pada beberapa variabel untuk memprediksi salah satunya.

Estimasi dan Pemodelan Cross-Correlation

Eksperimental cross-variogram untuk u dan v dapat ditulis sebagai

Cross-variogram dapat dimodelkan seperti autovariogram. Terdapat kondisi tambahan untuk mendeskripsikan coregionalization yaitu kombinasi linear dari variabel itu sendiri merupakan variabel regionalized dan variansinya harus positif atau nol.

Dalam model linear coregionalization, diasumsikan masing-masing variabel Zu(x) merupakan penjumlahan linear orthogonal, independent, random variabel Y j

k (x ) dengan rata-rata nol dan variansi 1 di mana k merupakan index seperti berikut:

Variogram untuk pasangan variabel sembarang u da v yaitu

Jika kita mengganti penjumlahan kedua dengan buvk maka didapat:

Dimana buvk merupakan variansi dan covariansi, sebagai contoh nugget dan sill variansi untuk

komponen bebas jika dibatasi. Hasilnya akan mirip dengan model spherical dan nugget. Intercept merupakan variansi nugget, b1, dan perbedaan antara variansi tersebut dengan maxima merupakan sill dari variansi yang terkorelasi b2. Untuk variogram yang tidak dibatasi, buv

k merupakan variansi nugget dan gradient. Koefisien buv

k =bvuk untuk semua k dan untuk masing-

Page 2: Cross Correlation

masing k, koefisien matrix harus definit positif. Karena matrixnya simetri, buuk ≥0

danbvv

k ≥0 dan determinannya positif atau nol. Hal ini disebut Schwarz’s inequality.

Schwarz’s inequality mempunyai konsekuensi untuk masing-masing pasangan variabel:

1. Setiap struktur dasar, gk (h) yang direpresentasikan pada cross-variogram harus juga muncul dalam 2 autovariogram. Jika gk (h) tidak ada dalam autovaiogram, maka tidak diikutkan dalam cross-variogram

2. buvk dapat bernilai nol ketika buu

k >0, dan struktur dapat muncul pada autovariogram tanpa muncul pada cross-variogram

Untuk menguji validitas model coregionalization dapat menggunakan ‘hull of perfect correlation’ yaitu

Garis harus berada di dalam hull agar dapat diterima. Jika nilai cross-variogram dan hull dekat maka cross-correlationnya kuat.

Coregionalisasi Intrinsik

Pada gambar di atas, dapat kita lihat bahwa jika kita mengalikan fungsi model dengan suatu nilai maka bentuk dasarnya akan sama. Intrinsik merupakan spasial cross correlation dimana variabel merupakan second-order stationary

Dengan g(h) 1 ketika |h|∞.

x 2

x 1.2

Nugget x 2dan spherical x 1.2

Nugget x 1.2 dan spherical x 2

Page 3: Cross Correlation

10.4 COKRIGINGSetelah belajar bagaimana model coregionalization, kita dapat menggunakan pengetahuan kita

tentang hubungan spasial antara dua atau lebih variabel untuk memprediksi nilai-nilai dengan kriging. Tujuannya untuk memperkirakan satu variabel, yang kita anggap sebagai variabel utama atau target, pada titik X0 atau di blok B, dari data ditambah dengan satu atau beberapa variabel lain, yang kami anggap sebagai subsidiary variables atau anak variabel. Kriging hanyalah perpanjangan dari auto kriging dalam hal memperhitungkan tambahan informasi yang berkorelasi dalam subsidiary variables kelihatannya lebih kompleks karena tambahan variabel meningkatkan notasi.

Biarlah ada variabel V, l = 1,2,,,,V dan mari kita notasikan yang kita ingin memprediksi sebagai u; ini biasanya sampel yang kurang pembobotan dari yang lain. Dalam kriging biasa kita membentuk penjumlahan linear.

dimana subscript i mengacu pada situs, yang ada n1 dimana variabel i telah diukur. 𝜆i1 adalah pembobotan

Ini adalah kondisi non-bias, dan estimasi varians dari Zu(B) untuk blok a, B, diminimalkan secara penuh dengan solusi dari sistem kriging berikut:

untuk semua v =1,2,...,v dan semua j = 1,2,...,nv. Jumlah 𝛾1v(Xi,Xj) adalah cross-semivariance antara variabel l dan v pada site i dan j, dipisahkan oleh vektor Xi-Xj; 𝛾uv(Xj,B) adalah rata-rata dari (cross)-semivanriance antara a dan situs j dan blok B; dan 𝛹v adalah pengali Lagrange untuk variabel v. Kita mencetak tanda “cross” dalam tanda kurung karena jika l = v atau u = v semivariances adalah autosemivariances. Set dari persamaan ini adalah ektensi dari system autokriging, persamaan (8.11).Solusi persamaan (10.19) diberikan dari pembobotan 𝜆, yang telah dimasukan kedalam persamaan (10.17) untuk menghitung Zu(B), dan menghitung variance, cokriging variance, dipeooleh dariDimana 𝛾uu(B,B) adalah integral dari 𝛾uu(h) lebih dari B, sebagai contoh Varians dalam blok dari u. Persamaan tersebut dapat ditunjukkan dalam bentuk matriks. Untuk memudahkan, hanya mempertimbangkan dua variabel u dan v. Matriks tersebut sangat mudah untuk diperluas. Dengan menotasikan sebuah matriks Tuv dari semivarian (diikuti cross-semivariance dimana u ≠ v) diantara titik sampling yang

.....Persamaan 10.17

.....Persamaan 10.18

.....Persamaan 10.19

.....Persamaan 10.20

Page 4: Cross Correlation

berdekatan. Biarlah tempat dimana ada nu variabel telah dihitung dan nv dimana v telah diukur. Maka urutan matriksnya adalah nu x nv:

Dengan kita menotasikan buu dan buv vektor dari autosemivariance untuk variabel u dan cross-semivariance:

Persamaan matriksnya kemudian

Jika kita menotasikan matriks yang diperbesar dari Ts oleh G, vektor dari pembobotan dan pengali Lagrange dengan 𝜆 dan sisi tangan kanan oleh vektor b, kemudian kita dapat menuliskan solusi ringkas persamaannya sebagai berikut:

Cokriging (prediksi) varian diberikan oleh persamaan:

Seperti dalam auto kriging, blok B mungkin dari berbagai ukuran dan bentuk yang wajar, dan itu dapat dikurangi ke titik, X0, memiliki dimensi yang sama yang didukung oleh data yang diperoleh. Pada keadaan ini rata-rata dari 𝛾uv(Xj,B) menjadi 𝛾uv(Xj,X0), dan 𝛾uu(B,B), adalah nol maka:

dan

.....Persamaan 10.20

.....Persamaan 10.21

.....Persamaan 10.22

Page 5: Cross Correlation

Myers (1982) menyajikan persamaan untuk kriging agak berbeda dan komprehensif.

10.4.1. Is cokriging wort the touble?Kriging lebih kompleks daripada auto kriging, dan praktisi dapat dan harus bertanya apakah

kompleksitas tambahan meningkatkan hasil: adalah perkiraan yang lebih baik dan masuk akal?Kami membedakan dua situasi. Pertama mempertimbangkan kasus undersampled. Dengan

undersampling yang kita maksudkan bahwa variabel yang akan diperkirakan, variabel utama u dalam persamaan kriging, sampel yang intensitasnya kurang dari yang lain, biasanya pada subset dari titik sampling. Dalam hal ini korelasi spasial dalam variabel lain dan hubungannya dengan u menambah informasi yang kurang dari varibel u sendiri. Sebagai hasil kriging meningkatkan presisi, yaitu mengurangi varian estimasi. Dengan berapa banyak tergantung pada derajat undersampling. Secara umum, semakin kecil intensitas sampling dari u dalam kaitannya dengan yang lain (s) semakin besar manfaat dari kriging. Kami menggambarkan hal ini di sebagai berikut:

Dalam sepenuhnya kasus sampel, semua variabel dicatat di semua titik sampling. Berikut keuntungan utama adalah koherensi. Kriging adalah koheren ketika estimasi kriging dari jumlah satu set variabel, mengatakan S, sama dengan jumlah dari perkiraannya kriged individual:

Kriging memastikan koherensi. Jika tidak kesetaraan tergantung pada sifat coregionalization tersebut.

10.4.2 Example of benefits of cokrigingKita bisa melihat sesuatu dari manfaat kriging dengan mengikuti logika yang sama

seperti dalam Bab 8, dimana kita menghitung varians kriging untuk berbagai jarak sampel dari model variogram. Kami menempatkan titik sampling pada grid biasa, dan kami hitung varians di pusat sel grid dimana untuk kriging tepat pada saat krigingnya terbesar. Untuk blok kriging maxima dapat terjadi ketika blok target berpusat pada node grid, dan jadi kita menghitung varians di posisi tersebut juga. Kami telah menampilan hasil sebagai kurva varians kriging maksimal terhadap jarak grid (pada Gambar 8.23).

Untuk kriging, kita memiliki dua atau lebih variabel. Kita bisa memilih grid utama untuk variabel target undersampled, u, dengan cara yang sama seperti untuk auto kriging. Kita kemudian dapat menempatkan di grid padat untuk subsidiary variable (variabel anak). Dengan poin di node dari dua grid ini, kita dapat mengatur dan mencari solusi persamaan cokriging. Varians kriging maksimum tidak lagi harus di pusat sel grid atau terpusat di atas node grid, dan posisinya harus ditemukan dengan mencari kerapatan dari grid subsidiary yang meningkat sehingga varians kriging dari variabel target menjadi berkurang.

.....Persamaan 10.23

.....Persamaan 10.24

Page 6: Cross Correlation

Gambar 10.4 Grafik varians kriging maksimum fosfor (P) terhadap jarak sampel pada grid primer dengan observasi lebih padat dari hasil pada anak grid. (A) Punctual kriging dari P menggunakan model yang difitkan dari coregionalization (Tabel 10.4); (B) kriging dari blok 24m x 24m dengan model yang sama; (C) Punctual kriging dari P menggunakan model korelasi sempurna (Gambar 10.3); (D) blok kriging (24m x 24m blok) dengan model yang sempurna. Dalam setiap grafik kurva paling atas adalah auto-kriging dan yang di bawah ini adalah agar jarak pada anak grid 1/2, 1/3, 1/4 dan 1/5 dari grid utama.

10.5. PRINCIPLE COMPONENTS OF COREGIONALIZATION MATRICESModel coregionalization penuh variabel V memiliki V x (V+1)/2 variograms, dan jika masing-

masing memiliki fungsi dasar K maka ada Koefisien K x V. Kami telah melihat set cross-auto-variogram untuk CEDAR Pertanian, dengan tiga variabel dan K = 2 fungsi dasar (Tabel 10.4 dan Gambar 10.3). Korelasi moderat, dan meskipun kami telah menggunakan hubungan antara P dan hasil untuk menggambarkan cokriging tidak banyak kepentingan dalam mengeksplorasinya lebih lanjut. Dimana korelasi yang kuat, namun, mungkin layak menganalisis matriks coregionalization untuk melihat bagaimana korelasi bervariasi dengan skala. Untuk menggambarkan hal ini kita beralih ke penyelidikan logam berat dalam tanah di Swiss Jura oleh Atteia et al. (1994) dan Webster et al. (1994).

Beberapa 14,5 km2 dekat La Chaux-de-Fonds di Jura disurvei untukmenentukan konsentrasi tujuh logam yang berbahaya, yaitu kadmium (Cd), cobalt (Co), kromium (Cr), tembaga (Cu), nikel (Ni), timbal (Pb) dan seng (Zn), di lapisan atas tanah. Tanah telah dihapus dengan corer silinder dari diameter 5 cm dengan kedalaman 25 cm, yang karenanya didefinisikan dukungan dari sampel. Core diambil pada 214 persimpangan dari m jaringan 250 plus tambahan 152 poin diatur dalam sarang sekitar 38 node jaringan. 'Total' logam diekstraksi dari masing-masing sampel dengan asam kuat dan terukur. Attia et al. (1994) menjelaskan sampel dan prosedur analitis secara rinci.

Page 7: Cross Correlation

Tabel 10.5 merangkum data dari 366 situs. Ini menunjukkan bahwa frekuensi distribusi dari empat logam-Cd, Cu, Pb dan Zn-yang sangat miring, dan data untuk ini ditransformasikan ke logaritma umumnya untuk menstabilkan variansnya.Tabel 10.5 Ringkasan statistik untuk logam berat di La Chaux-de-Fonds pada timbangan asli (mg kg -1) dan dengan Cd, Cu, Pb dan Zn umumnya ditransformasikan ke logaritmanya.

Tabel 10.6 Korelasi matriks untuk tujuh logam berat dalam tanah di La Chaux-de-Fonds di Swiss Jura dengan kebebasan dari 364 derajat.

Selanjutnya, matriks korelasi, Tabel 10.6, menunjukkan beberapa correlations cukup kuat antara Co dan Ni, dan antara Cu dan Pb, misalnya. Umumnya kekuatan korelasi dalam data dapat dinilai dengan mengkonversi matriks untuk komponen utama. Hasilnya dirangkum dalam Tabel 10.7. Dua komponen utama terkemuka untuk 78% dari varians dalam matriks, diberikan dalam kolom sebelah kanan. korelasi kemudian dapat ditampilkan pada bidang dua sumbu pertama dengan menghitung koefisien korelasi, C ij, antara skor komponen utama dan variabel asli, sebagai berikut:

.....Persamaan 10.25

Page 8: Cross Correlation

dimana aij adalah elemen ith dari eigenvector j,vj adalah eigenvalue j, dan 𝝈2i adalah varians dari

variabel asli i. Kami kemudian plot koefisien ini di dalam lingkaran pada unit radius dari rencana komponen terkemuka. Gambar 10.5 (a) menunjukkan hasilnya. Sumbu pertama merupakan besarnya konsentrasi: konsentrasi besar dari satu logam yang terkait dengan konsentrasi besar yang lain. Sumbu 2 logam menyebar keluar, dan itu jelas bahwa Cu dan Pb yang erat terkait, seperti logam transisi Co, Ni dan Cr. Kadmium tampaknya berhubungan dengan logam ini, sementara Zn terletak sekitar setengah antara kedua kelompok.Tabel 10.7. Eigenvalues dari korelasi matriks 7 logam berat dalam tanah di La Chaux-de-Fonds.

Figure 10.5 Proyeksi korelasi antara variabel (standar) asli dan skor komponen utama dalam satuan lingkaran dalam dua komponen utama, pertama untuk logam berat di Swiss Jura: (a) momen Ordinary-produk korelasi matriks; (B) matriks nugget; (C) matriks jarak pendek; (D) matriks jarak jauh.

Page 9: Cross Correlation

Figure 10.6 variogram: (a) Variogram pertama; (B) Prinsip kedua dari komponent logam berat. Titik menunjukkan nilai hasil percobaan, dan garis kompak adalah model sperical ganda yang difitkan secara independent.

Analisis komponen utama memiliki keuntungan lain: Informasi komponen utama terkosentrasi pada terhadap spasial. Gambar 10.6 menunjukkan variograms dari dua komponen utama. Titik-tik adalah plot dari nilai nilai hasil eksperimen, dan garis tebal adalah model yang difitkan. Kami melengkapi fungsi kedua fungsi bola ganda dengan varians nugget (lihat Bab 5), dan koefisien untuk model tercantum pada Tabel 10.8. Struktur dari komponen pertama sangat jelas, dengan dua rentang yang berbeda, a1≈0,2 km dan a2≈1,3 km

Prinsip komponent pertama berisi memuat variasi total yang proporsional yang diperoleh dari susunan sapasial dan rentang dua paramater jarak, sebagai suatu tipical set data yang lengkap. Kami menetapkan ranges tersebut sebagai konstanta dan kemudian kami menemukan sills dari 7 autovariogram dan 21 cross-variogram perulanganya oleh Ghoulard and Voltz algorithm. Sill tersebut termuat dalam tabel 10.9. Gambar 10.7 menunjukkan autovariogramnya dengan model yang difitkan, full set serta cross-variogramnyadapat dilihat pada Webster et all. (1994).

Perbedaan antara logam yang mencolok. Korelasi spasial Cd, Pb dan Cu adalah dominan dari jarak dekat, sedangkan untuk Co dan Ni adalah long ranges. Agak mengherankan, variogram Cr didominasi oleh komponen dengan ranges pendek, Zinc memiliki struktur menengah.

Kita bisa mengambil satu tahap analisis lanjut dengan mencari principal components dari matriks coregionalization, sebagai berikut. Koefisien, bk

uv , untuk semua u = 1,2,...,V dan semua v = 1,2,...,V merupakan a V x V variance-kovariance matriks, Bk dan principal components dapat ditemukan persis sama dengan cara yang lain variance-covariance atau correlation matrix. Unsur-unsur dari matriks, yang tercantum dalam Tabel 10.10, dikonversi ke koefisien korelasi dengan membagi dengan akar kuadrat dari varians pada diagonal sehingga semua variabel memiliki bobot yang sama.

Eigenvalues, v, dan vektor eigen, a, kemudian diekstrak. Untuk mengeksplorasi hubungan antara variabel-variabel yang telah kita hitung korelasi antara variabel asli dan komponen utama pada setiap skala menggunakan persamaan (10.25), menggantikan 𝝈2

i yang relevan dengan bkuu.

Gambar 10.5 (b) - (d) Masing-masing menunjukkan hasil untuk nugget, short-range dan long- range component. Untuk kedua eigen value pertama lebih dari 85% dari variannya dalam semua tiga matriks (Tabel 10.11), dan karena itu semua titik plot dekat circumferences. Kontribusi dari varians nugget muncul sebagai scatter poin di sebelah kiri pusat pada Gambar 10.5 (b). Pada Gambar 10.5 (c), yang mewakili komponenrange pendek, Cu dan Pb sangat berdekatan dan erat korelasinya pada skala ini, sedangkan Co dan Ni tidak berkorelasi, sedikit kontribusi pada skala ini dan terletak lebih dekat ke pusat. sebaliknya adalah kasus di long-range(Gambar 10.5 (d)), di mana sangat jelas antara Co dan Ni.

Page 10: Cross Correlation

Webster et al. (1994) berpikir bahwa dua pola yang berbeda dari variasi mungkin timbul dari dua sumber yang berbeda dari logam: logam lithophile Co dan Ni berasal dari batuan, dan Cu, Pb, Zn dan mungkin Cd yang telah ditambahkan dalam pupuk kandang, pupuk, limbah sludge atau limbah perkotaan. Mereka menggunakan hasil untuk mengeksplorasi kemungkinan ini.Tabel 10.8 Koefisien dari double sperichal model yang difitkan terhadap principal components, La Chaux-de-Fonds.

Tabel 10.9. Koefisien bk, dari model double shperical coregionalization untuk autovariograms yang telah distandarkan dari tujuh logam berat dalam tanah di La Chaux-de-Fonds. Semua perbandingan dari skala telah distandarkan untuk varians sama dengan satu.

Tabel 10.10 Nugget dan koefisien korelasi struktural dalam segitiga yang lebih rendah selama tujuh logam berat dalam tanah di La Chaux-de-Fonds.

Page 11: Cross Correlation

Tabel 10.11 Eigen dari susunan matriks varians-kovarians untuk La Chaux-de-Fonds.

Page 12: Cross Correlation

Figure 10.7 Experimental autovariograms dari tujuh logam berat di tanah Swiss Jura ditunjukkan oleh simbol titik dan model yang difitkan dari coregionalization ditunjukkan oleh garis padat. Semua dari skala perbandingan telah distandarkan untuk varians sama dengan 1, Koefisien tercantum dalam Tabel 10.9.

10.6 PSEUDO-CROSS-VARIOGRAMIni akan menjadi jelas dari rumus komputasi, persamaan (10.10), cross-semivariance dapat

dihitung hanya dari titik di mana kedua variabel u dan v telah diukur. Dalam contoh-contoh dari Broom

Page 13: Cross Correlation

ini Barn Farm dan Jura ada beberapa data yang hilang, dan kecil konsekuensinya terhadap pembatasan. Ada situasi lain, bagaimanapun, di mana sulitnya atau bahkan tidak mungkin untuk mengukur dua variabel di tempat yang sama, seperti ketika sampling destruktif.

Hal ini terjadi dalam pemantauan tanah. Awalnya material tanah diambil untuk analisis inisialnya dan kemudian tidak ada, sehingga pada kesempatan berikutnya tanah harus diukur di tempat yang berbeda (lihat Papritz et al, 1993;. Papritz dan Webster, 1995a, 1995b). Namun demikian, salah satu mungkin memiliki banyak pengamatan untuk menilai hubungan spasial dan yang satunya ingin menggunakannya.

Clark et al. (1989)karena permasalahn tersebut, sehingga mereka mengusulkan 'pseudo-cross-variogram,'. Mereka yang diperkenalkan dengan definisi berikut:

Hal ini tidak memuaskan karena, jikalau 𝞵u = v, 𝛾Cuv(h) tidak sama dengan perbedaan dari setengah variance. Myers (1991) diakui kekurangan ini dan merumuskan kembali pseudo-cross-variogram sebagai varienace:

Jika rata-rata u dan v adalah sama kemudia 𝛾Cuv(h) = 𝛾Puv(h) ; jika tidak fungsi didefinisikan oleh Clark et al. Samadengan 𝛾Puv(h) + (𝞵u - 𝞵v)2. Untuk proses stasioner orde kedua 𝛾Puv(h) adalah terkait dengan fungsi Cross-covariance:

Seperti fungsi cross-covariance, umunya tidak simetri di h. Ini juga berhubungan dengan cross-variorgam biasa:

dan untuk proses stasioner orde dua dengan cross-covariance simetri

Papritz et al. (1993) mengeksplorasi sifat pseudo-cross-variogram dan menemukan bahwavaliditasnya terbatas, meskipun dalam kondisi yang tepat dapat dimodelkan dengan autovariogram biasa dan digunakan untuk kriging, dan ini mungkin menjadi daya tarik utama.

Papritz et al. (1993) menyarankan jalan ke depan untuk situasi dimana pseudo-cross-variogram berlaku, tetapi kemampuan komputasi yang dibutuhkan masih tampak mahal untuk estimasi ukuran sampel yang lebih presisi.

Saat ini kami meninggalkan pembaca dengan pseudo-corss-variogram sebagai fungsi yang mungkin untuk menjelaskan cross-corrlation. Hal ini jauh dari ideal, dan tampaknya kita lebih baik untuk merencanakan survei sedemikian rupa sehingga selalu ada situs dimana semua variabel dapat diukur.

Untuk keterangan lebih lanjut dan penjelasan, melihat Journel dan Huijbregts (1978), Matheron (1979), Myers (1982), McBratney dan Webster (1983), Papritz et al. (1993) dan Wackernagel (1994, 2003).

.....Persamaan 10.26

.....Persamaan 10.27

.....Persamaan 10.28

.....Persamaan 10.29

.....Persamaan 10.29