1 Super�cies regladas

1.1 De�nición y ejemplos

Vamos a estudiar una clase importante de super�cies que son aquellas gen-eradoas por una recta que se mueve a lo largo de una curva. Por tanto, sonaquellas super�cies que contienen in�nitas rectas. Los ejemplos mas sencillosde dichas super�cies son los conos y los cilindros.Varias cuádricas, como por ejemplo el hiperboloide de una hoja y el

paraboloide hiperbólico, son super�ces regladas. De hecho, el hiperboloidede una hoja y el paraboloide hiperbólico son super�cies doblemente regladasen el sentido de que admiten dos familias uniparamétricas de rectas.De�nición. Una super�cie reglada S es una super�cie que contiene al

menos una familia uniparamétrica de rectas.Por tanto, una super�cie reglada admite una parametrización de la sigu-

iente forma:

~r : D � R2 �! R3;~r(u; v) = ~ (u) + v ~w(u)

donde ~ (u) y ~w(u) son curvas en R3. A las parametrizaciones de este es-tilo (lineales en uno de los parámetros) las llamaremos parametrizacionesregladas. La curva ~ (u) se denomina directriz ó curva base. La super�cie asíparametrizada contiene a la siguiente familia de rectas (para cada u tenemosuna recta):

v 7�! ~r(u0; v) = ~ (u0) + v ~w(u0):

Supondremos ~ 0(u) 6= ~0 y ~w(u) 6= ~0 para todo u.Veremos más adelante que toda recta en la super�cie es necesariamente

una línea asintótica.

1.1.1 Helicoide

Se considera la super�cie formada por las rectas que se apoyan en la hélicede ecuación ~�(u) = (cosu; sinu; u), u � 0, paralelas al plano z = 0 y quese apoyan en el eje OZ. Véase la siguiente grá�ca:

1

Un punto X de la super�cie satisface la siguiente ecuación:

��!OX =

��!OP 0 + �

��!P 0P

donde P 0 es el punto del eje OZ y P , P 0 están en la recta que se apoya en lahélice y en el eje OZ y que es paralela al plano z = 0. Por tanto si P es elpunto de la hélice con coordenadas (cosu; sinu; u), las coordenadas de P 0

son (0; 0; u). se tiene:

~r(u; �) = (0; 0; u) + � (cosu; sinu; 0)

= (� cosu; � sinu; u) , con u � 0 y � 2 [0; 1].

Por tanto, la curva base es el eje OZ y el vector director describe una cir-cunferencia.

1.1.2 Banda de Möbius

Super�cie con la siguiente parametrización ~r(u; v) = ~ (u) + v ~w(u) con

~ (u) = (cosu; sinu; 0) ;

~w(u) =�cos

u

2cosu; cos

u

2sinu; sin

u

2

�:

1.1.3 Hiperboloide de una hoja

Consideramos el hiperboloide hiperbólico o de una hoja con ecuación carte-siana:

x2

a2+y2

b2� z

2

c2= 1:

2

Una parametrización de dicha super�cie es:

~r(u; v) = (a cosh v cosu; b cosh v sinu; c sinh v) :

Dicha parametrización tiene la desventaja de que no nos muestra las famil-ias de rectas contenidas en la super�cie. Vamos a ver que esta super�ciees doblemente reglada encontrando dos posibles parametrizaciones regladas.Suponemos a; b; c > 0 y tomamos

~r1(u; v) = ~ (u) + v�~ 0(u) + (0; 0; c)

�;

~r2(u; v) = ~ (u) + v��~ 0(u) + (0; 0; c)

�;

con ~ (u) = (a cosu; b sinu; 0) :

Esto es,

~r1(u; v) = (a cosu; b sinu; 0) + v ((�a sinu; b cosu; 0) + (0; 0; c))= (a (cosu� v sinu) ; b (sinu+ v cosu) ; vc) ;

~r2(u; v) = (a cosu; b sinu; 0) + v (� (�a sinu; b cosu; 0) + (0; 0; c))= (a (cosu+ v sinu) ; b (sinu� v cosu) ; vc) :

1.1.4 Paraboloide hiperbólico

Un paraboloide hiperbólico es la cuádrica cuyas secciones con los planosprincipales son parábolas y cuyas intersecciones con planos ortogonales a losplanos principales son hipérbolas.

3

Consideramos el paraboloide hiperbólico con ecuación cartesiana:

x2

a2� y

2

b2= z:

Es una superfcie doblemente reglada y se pueden dar dos parametrizacionesregladas:

~r1(u; v) =�au; 0; u2

�+ v (a; b; 2u) ;

~r2(u; v) =�au; 0; u2

�+ v (a;�b; 2u) :

1.1.5 Conoide de Plücker

Consideramos la superfcie con ecuación cartesiana:

z =2xy

x2 + y2:

Una parametrización de dicha super�cie es:

~r(u; v) =

�u; v;

2uv

u2 + v2

�;

pero no es una parametrización reglada. Vamos a cambiar a coordenadaspolares; esto es, �

u = r cos�v = r sin�

tenemos:

~r(r; �) = (r cos�; r sin�; 2 cos� sin�)

= (0; 0; 2 cos� sin�) + r (cos�; sin�; 0) :

1.2 Curvatura de una super�cie reglada

Vamos a comprobar que la curvatura de Gauss o total de una super�ciereglada es siempre menor o igual que cero.Sea S una super�cie reglada con parametrización:

~r(u; v) = ~ (u) + v ~w(u); (u; v) 2 D:

4

Supongamos además que todos los puntos de la super�cie son regulares; estoes, ~ru(u; v) ^ ~rv(u; v) 6= ~0, para todo (u; v) 2 D. Se tiene:�

~ru(u; v) = ~ 0(u) + v ~w 0(u);

~rt(u; v) = ~w(u);

~N(u; v) =1

k~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k(~ 0(u) + v ~w 0(u)) ^ ~w(u);8<:

~ruu(u; v) = ~ 00(u) + v ~w 00(u);

~ruv(u; v) = ~w 0(u);

~rvv(u; v) = ~0:

El determinante de la matriz de la segunda forma fundamental en un puntoarbitrario P = ~r(u; t) es:

det(IIP ) =

���� L(u; v) M(u; v)M(u; v) N(u; v)

���� = ���� L(u; v) M(u; v)M(u; v) 0

���� = � (M(u; v))2 � 0:Teniendo en cuenta las expresiones de ~rut(u; t) y ~N(u; t) obtenemos:

M(u; v) = ~ruv(u; v) � ~N(u; v)

= ~w 0(u) � 1

k~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k((~ 0(u) + v ~w 0(u)) ^ ~w(u))

=1

k~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k[~w 0(u); ~ 0(u) + t~w 0(u); ~w(u)]

=1

k~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k[~w 0(u); ~ 0(u); ~w(u)] :

Por tanto,

det(IIP ) = �[~ 0(u); ~w(u); ~w 0(u)]2

k~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k2:

Teniendo en cuenta

det (IP ) = k~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k2 ;

det (IIP ) = � [~ 0(u); ~w(u); ~w 0(u)]2

k~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k2;

la curvatura total o de Gauss de una super�cie reglada es:

KT (u; t) =det (IIP )

det (IP )= � [~

0(u); ~w(u); ~w 0(u)]2

k~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k4� 0:

5

Por tanto, los puntos de las super�cies regladas son hiperbólicos, parabólicoso planos.Llamamos parámetro de distribución y lo denotamos p(u) al valor del

producto mixto:p(u) = [~ 0(u); ~w(u); ~w 0(u)] :

Si p(u) = 0 entonces KT (u; t) = 0 y el punto P = ~r(u; t) es un puntoparabólico o plano. Una de las curvaturas principales es cero y por tanto, laslíneas asintóticas son líneas de curvatura.Si p(u) 6= 0 entonces KT (u; t) < 0 y el punto P = ~r(u; t) es un punto

hiperbólico. Una de las curvaturas principales es negativa y la otra es posi-tiva.

1.2.1 Ejercicio

Hallar el parámetro de distribución y la curvatura de Gauss de las siguientessuper�cies en un punto arbitrario:

1. Helicoide con parametrización

~r(u; �) = (� cosu; � sinu; u) , con u � 0 y � 2 [0; 1].

2. Banda de Möbius con parametrización

~r(u; v) = (cos u; sinu; 0) + v�cos

u

2cosu; cos

u

2sinu; sin

u

2

�:

3. Hiperboloide de una hoja con parametrización

~r(u; v) = (cos u� v sinu; sinu+ v cosu; v) :

4. Paraboloide hiperbólico con parametrización

~r1(u; v) =�u+ v; 2v; u2 + 2vu

�:

5. Conoide de Plücker con parametrización

~r(r; �) = (r cos�; r sin�; 2 cos� sin�) :

6

1.3 Clasi�cación de las super�cies regladas

Recordamos que una super�cie plana es aquella cuya curvatura de Gauss iscero en todo punto. Tales super�cies se llaman super�cies desarrollables yse pueden construir doblando una hoja de papel (por ejemplo, los cilindros,los conos).Por tanto, una super�cie reglada es desarrollable si y sólo si M = 0.

1. Si p(u) = [~ 0(u); ~w(u); ~w 0(u)] = 0 para todo valor del parámetro ula super�cie es desarrollable. Se tienen los siguientes casos:

(a) Si ~w 0(u) = ~0 entonces ~w(u) = ~w es un vector constante y lasuper�cie es una super�cie cilíndrica. En este caso, se tiene:

~ru(u; v) ^ ~rv(u; v) = (~ 0(u) + v ~w 0(u)) ^ ~w(u)= ~ 0(u) ^ ~w:

Si ~ 0(u)^ ~w 6= ~0 (esto es, los vectores ~ 0(u) y ~w no son paralelos)entonces el vector normal es

~N(u; v) =~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k

=~ 0(u) ^ ~wk~ 0(u) ^ ~wk :

OBSERVACIÓN: ~N(u; v) es constante a lo largo de cada genera-triz ya que no depende del parámetro v.

(b) Si ~ 0(u) = ~0 entonces ~ (u) es constante; esto es, consiste en unúnico punto. La super�cie es una super�cie cónica. En este caso,se tiene:

~ru(u; v) ^ ~rv(u; v) = (~ 0(u) + v ~w 0(u)) ^ ~w(u)= v ~w 0(u) ^ ~w(u):

Si ~w 0(u) ^ ~w(u) 6= ~0 (esto es, los vectores ~w 0(u) y ~w(u) no sonparalelos) entonces el vector normal es

~N(u; v) =v ~w 0(u) ^ ~w(u)kv ~w 0(u) ^ ~w(u)k =

~w 0(u) ^ ~w(u)k~w 0(u) ^ ~w(u)k :

OBSERVACIÓN: ~N(u; v) es constante a lo largo de cada genera-triz ya que no depende del parámetro v.

7

(c) Si ~w 0(u) 6= ~0, ~ 0(u) 6= ~0 entonces la condición p(u) = 0 nos indicaque los vectores ~w 0(u), ~ 0(u) y ~w(u) son coplanarios. Se tiene:

~ru(u; v) ^ ~rv(u; v) = ~ 0(u) ^ ~w(u) + v ~w 0(u) ^ ~w(u):

Como ~w 0(u), ~ 0(u) y ~w(u) son coplanarios los vectores ~ 0(u) ^~w(u) y ~w 0(u)^ ~w(u) son paralelos y por tanto, ~ru(u; v)^~rv(u; v) esproporcional al vector ~w 0(u)^ ~w(u) que no depende del parámetrov.OBSERVACIÓN: el plano tangente es el mismo en todos los pun-tos de la generatriz. En este caso la super�cie se denomina desar-rollable tangencial.

2. Si p(u) 6= 0 para todo valor del parámetro u la super�cie es no desar-rollable o alabeada.

1.4 Puntos singulares de una super�cie reglada

Los puntos singulares de una super�cie con parametrización ~r(u; v) = ~ (u)+v ~w(u) son aquellos puntos P con

�!OP = ~r(u; v), que veri�can:

~ru(u; v) ^ ~rv(u; v) = (~ 0(u) + v ~w 0(u)) ^ ~w(u) = ~0:

Vamos a hallar los valores del parámetro v para los cuales se cumple la condi-ción anterior. Para ello, multiplicamos escalarmente la expresión anterior por~w 0(u) ^ ~w(u), suponiendo ~w 0(u) ^ ~w(u) 6= ~0. Se tiene:

0 = (~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)) � (~w 0(u) ^ ~w(u))= ((~ 0(u) + v ~w 0(u)) ^ ~w(u)) � (~w 0(u) ^ ~w(u))= (~ 0(u) ^ ~w(u)) � (~w 0(u) ^ ~w(u)) + v k~w 0(u) ^ ~w(u)k2 ;

de donde, se obtiene:

v = �(~ 0(u) ^ ~w(u)) � (~w 0(u) ^ ~w(u))

k~w 0(u) ^ ~w(u)k2;

Por tanto, los puntos singulares de la super�cie se encuentran en la curvacon parametrización:

~�(u) = ~ (u)� (~ 0(u) ^ ~w(u)) � (~w 0(u) ^ ~w(u))

k~w 0(u) ^ ~w(u)k2~w(u);

8

que llamamos línea de estricción. Llamamos puntos centrales a los puntosregulares de la línea de estricción.OBSERVACIÓN: En la línea de estricción además de los puntos singulares

se encuentran los puntos de la super�cie tales que el vector ~w 0(u) ^ ~w(u) esortogonal al vector ~ru(u; v) ^ ~rv(u; v).

1.4.1 Puntos centrales

Veamos que en una super�cie reglada no desarrollable la curvatura de Gaussalcanza su valor máximo en los puntos centrales. Supongamos p(u) 6= 0,teniendo en cuenta la expresión de la curvatura de Gauss:

KT (u; v) = �[~ 0(u); ~w(u); ~w 0(u)]2

k~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k4< 0;

se deduce que:

jKT (u; v)j es máximo () k~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k2 es mínimo.

Llamamos ~v(u; v) = ~ru(u; v) ^ ~rv(u; v). Teniendo en cuenta la siguiente ex-presión:

~ru(u; v) ^ ~rv(u; v) = ~ 0(u) ^ ~w(u) + v ~w 0(u) ^ ~w(u);

se tiene:

0 =d

dvk~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k2

=d

dv(~v(u; v) � ~v(u; v)) = 2 d

dv~v(u; v) � ~v(u; v)

= 2 (~w 0(u) ^ ~w(u)) � (~ 0(u) ^ ~w(u) + v ~w 0(u) ^ ~w(u))= 2

�(~w 0(u) ^ ~w(u)) � (~ 0(u) ^ ~w(u)) + v k~w 0(u) ^ ~w(u)k2

�:

Por tanto, el valor máximo de k~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k2 se alcanza para el sigu-iente valor de v:

v = �(~w0(u) ^ ~w(u)) � (~ 0(u) ^ ~w(u))

k~w 0(u) ^ ~w(u)k2;

que coincide con el valor del parámetro v de los puntos centrales de la super-�cie.OBSERVACIÓN: En los puntos centrales el valor absoluto de la curvatura

de Gauss es máximo.

9

1.4.2 Arista de retroceso

Si la super�cie es desarrollable entonces los vectores ~ 0(u), ~w(u), ~w 0(u) soncoplanarios y el vector ~w 0(u)^~w(u) no es ortogonal al vector ~ru(u; v)^~rv(u; v).Por tanto, todos los puntos de la línea de estricción son puntos singulares yen este caso, a la curva con parametrización:

~�(u) = ~ (u)� (~w0(u) ^ ~w(u)) � (~ 0(u) ^ ~w(u))

k~w 0(u) ^ ~w(u)k2~w(u);

la llamaremos arista de retroceso.OBSERVACIÓN: A lo largo de la arista de retroceso la super�cie se des-

dobla en dos hojas.Como ~w 0(u), ~ 0(u) y ~w(u) son coplanarios, el vector ~ 0(u) se puede

escribir como combinación lineal de los vectores ~w 0(u) y ~w(u):

~ 0(u) = �(u)~w(u) + �(u)~w 0(u):

Por tanto,

~ 0(u) ^ ~w(u) = (�(u)~w(u) + �(u)~w 0(u)) ^ ~w(u)= �(u)~w 0(u) ^ ~w(u):

Multiplicando escalarmente la expresión anterior por el vector ~w 0(u)^ ~w(u)obtenemos:

(~ 0(u) ^ ~w(u)) � (~w 0(u) ^ ~w(u)) = �(u) k~w 0(u) ^ ~w(u)k2 ;

de donde

�(u) =(~ 0(u) ^ ~w(u)) � (~w 0(u) ^ ~w(u))

k~w 0(u) ^ ~w(u)k2;

y la arista de retroceso se puede parametrizar como sigue:

~�(u) = ~ (u)� �(u)~w(u):

Por tanto, ~ (u) = ~�(u) + �(u)~w(u) y podemos parametrizar la super�cie enfunción de la arista de restroceso como sigue:

~r(u; v) = ~�(u) + �(u)~w(u) + t~w(u)

= ~�(u) + (�(u) + v) ~w(u):

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Derivando ~�(u) = ~ (u)��(u)~w(u) y teniendo en cuenta ~ 0(u) = �(u)~w(u)+�(u)~w 0(u), se tiene:

~� 0(u) = ~ 0(u)� �0(u)~w(u)� �(u)~w 0(u)

= �(u)~w(u) + �(u)~w 0(u)� �0(u)~w(u)� �(u)~w 0(u)

= (�(u)� �0(u)) ~w(u):

Por tanto:

1. Si �(u) = �0(u) entonces ~� 0(u) = ~0 y la super�cie es una super�ciecónica.

2. Si �(u) 6= �0(u), el vector ~w(u) es proporcional a ~� 0(u) y a super�ciees una super�ce desarrollable tangencial y puede parametrizarse comosigue:

~r(u; v) = ~�(u) +v

�(u)� �0(u)~� 0(u); (u; v) 2 I � R;

en función de su arista de retroceso.

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