csi eamms ii prof em craciun 11_ianuarie_2011_ ora 10
TRANSCRIPT
Universitatea OVIDIUS Constanţa Departamentul ID-IFR Facultatea Matematica-Informatica
ELEMENTE DE
ANALIZA MATEMATICA SI
MATEMATICI SPECIALE
Caiet de Studiu Individual
Specializarea IEDM Anul de studii I
Semestrul II
Titular disciplină: Prof. univ. dr. EDUARD-MARIUS CRACIUN
2010
Cuprins
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE
CUPRINS
Unitate de
învăţare 1 2 3
4
5
6
Titlul INTRODUCERE FUNCŢII COMPLEXE DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ 1.1 Definiţia numărului complex. Reprezentare algebrică 1.2 Funcţii complexe de o variabilă complexă 1.3 Serii de puteri. Serii Taylor Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 1 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 1 INTEGRALA CURBILINIE ÎN PLANUL COMPLEX 2.1 Teoremele lui Cauchy Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 2 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 2 REZIDUURI 3.1 Puncte singulare. Reziduuri. Teorema reziduurilor 3.2 Aplicaţii ale teoremei reziduurilor la calculul unor integrale Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 3 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 3 SERII DE NUMERE 4.1 Gradient. Divergenţă. Rotor Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 4 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 4 LIMITE DE FUNCŢII 5.1 Integrarea vectorilor 5.2 Teoreme integrale: Eauss, Stokes, Green Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 5 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 5 ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE
Pagina
5
8 8 9
11 13 13 14
16 16 18 18 18
20 20 21 23 23 24
26 27 28 28 29
31 31 33 34 34 35
37
Cuprins
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
7
8 9
10
11
12
6.1 Ecuaţii diferenţiale cu variabile separabile, omogene, Bernoulli, Ricatti Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 6 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 6 ECUAŢII DIFERENŢIALE LINIARE 7.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n 7.2 Sisteme de ecuaţii diferenţiale liniare Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 7 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 7 SERII FOURIER 8.1 Serii Fourier Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 8 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 8 FUNCŢII ŞI POLINOAME SPECIALE 9.1 Polinoamele Legendre, Cebâşev, Hermite, Laguerre 9.2 Funcţii Bessel şi Gamma Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 9 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 9 ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE 10.1 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 10 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 10 ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR 11.1 Evenimente. Operaţii cu evenimente 11.2 Funcţia probabilitate Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 11 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 11 PROBABILITĂŢI CONDIŢIONATE 12.1 Probabilităţi condiţionate 12.2 Evenimente independente Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 12 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare
37 39 39 40
42 42 44 46 46 47
49 49 51 51 52
54 54
58 60
60 61
63 63 67 67 68
70 70 72 75 75 76
78 78 79 80 81
Cuprins
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
13
14
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 12 SCHEME CLASICE DE PROBABILITATE 13.1 Schema lui Poisson 13.2 Schema bilei neîntoarse Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 13 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 13 VARIABILE ALEATOARE 14.1 Repartiţie. Valoare medie. Dispersie Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 14 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 14 BIBLIOGRAFIE
81
83 83 84 85 86 86
88 88 91 91 92
93
Observaţie: numărul unităţilor de învăţare este egal cu numărul şedinţelor de curs la forma de învăţământ zi (28 ore curs = 14 UI, 14 ore curs = 7 UI)
Introducere
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
INTRODUCERE
foto Stimate student, Numele meu este Eduard-Marius Craciun (n.1965), în prezent sunt profesor universitar, titular al Facultaţii de Matematica-Informatica din cadrul Universităţii „Ovidius” Constanţa. Sunt absolvent al Facultăţii de Matematica-Informatica a Universitatii din Bucureşti. Sunt autor a numeroase cărţi şi articole în domeniul matematicilor aplicate si al mecanicii publicate in prestigiose edituri din tara si din strainatate. Materialul este organizat în 14 unităţi de învăţare, fiecare din aceste unităţi conţinând o parte de prezentare teoretică a subiectului tratat, o parte de exerciţii (teste de autoevaluare), rezolvările acestora şi o lucrare de verificare finală. Testele de autoevaluare ajută la fixarea cunoştinţelor dobândite în fiecare unitate de învăţare şi permit evaluarea continuă a cursantului. Lucrările de verificare reprezintă o evaluare finală la sfârşitul fiecărei etape de învăţare, prin care se urmăreşte determinarea gradului de însuşire de către dumneavoastră a conceptelor, metodelor, tehnicilor etc. prezentate anterior. Răspunsurile pe care le formulaţi vor fi transmise prin e-mail la adresa [email protected] pentru a fi verificate şi comentate. Lucrarea pe care o redactaţii şi pe care o trimiteţi tutorelui trebuie să conţină pe prima pagină denumirea cursului „Elemente de analiza matematica si matematici speciale”, numele şi prenumele dumneavoastră şi adresa de e-mail pe care o aveţi. Pentru o justă identificare a lucrării este de dorit ca pe fiecare pagină să inseraţi numele şi prenumele dumneavoastră. Răspunsurile trebuie să fie clar formulate, în limita posibilităţilor fiind recomandabilă utilizarea unui procesator de texte. În medie răspunsurile ar trebui să se întindă pe o jumătate de pagină, putând exista formulări mai lungi sau mai scurte funcţie de subiectul tratat. Între două răspunsuri succesive este necesar a fi lăsat un spaţiu de 5-6 cm pentru eventuale comentarii din partea tutorelui. Ponderea acestor lucrări de evaluare în totalul notei de examen este de 50%, restul de 50% fiind constituit de examenul propriu-zis.
Succes !
Introducere
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Spor la învăţat şi succes!
…
Integrala curbilinie in planul complex
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Unitate de învăţare Nr. 1
FUNCŢII COMPLEXE DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 1 8
1.1 Definiţia numărului complex. Reprezentare algebrică……………....………………... 8
1.2 Funcţii complexe de o variabilă complexă………....…………………………………. 9
1.3 Serii de puteri. Serii Taylor ……………………………………………………..……. 11
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 1………………………………………….... 13
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 13
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 1…………………………………………………….. 14
Integrala curbilinie in planul complex
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 1
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 1 sunt:
Recapitularea noţiunilor si proprietatilor numerelor complexe din liceu Însuşirea aparatului de calcul din analiza complexa
1.1 Definiţia numărului complex. Reprezentare algebrică Definiţii
1. Definiţia numărului complex. Reprezentarea algebrică a unui număr complex.
Notăm cu R corpul numerelor reale şi considerăm mulţimea RR . Înzestrăm
această mulţime cu două operaţii adunarea şi înmulţirea definite prin
yxxyyyxxyxyx
yyxxyxyx
'',''',',
','',',
Se verifică cu uşurinţă, utilizând faptul că R este un corp comutativ că ,R,R
este corp comutativ. Un număr complex este prin definiţie un element al acestui corp, care se notează cu C. Precizăm în continuare doar elementele de efect nul faţă
de operaţii şi inversabile. Elementul zero este numărul complex 0,0 , elementul
unitate este numărul complex 0,1 , elementul opus numărului complex yxz ,
este elementul yxz , , iar inversul elementului 0, yxz se notează
prin z
1 şi este numărul complex
2222,
yx
y
yx
x. Dacă C21, zz , 02 z
atunci se pune 2
1
z
z în loc de
21
1
zz .
2. Conjugatul unui număr complex. Dacă z este numărul complex iyx , se
numeşte conjugatul lui z numărul complex iyx , care se notează cu z . Se
constată imediat că funcţia zz definită pe C cu valori în C posedă următoarele proprietăţi:
zzz C
212221 , zzzzzz C
222121 , zzzzzz C .
Integrala curbilinie in planul complex
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
3. Modulul unui număr complex. Fie Cz . Se numeşte modulul lui z şi se
notează prin z , numărul real nenegativ 22 yx . Este evident că zz şi că
zzz . Următoarele inegalităţi sunt o consecinţă imediată a definiţiei
modulului:
zzzz
zImRe
Im
Re
Modulul posedă, de asemenea, următoarele proprietăţi:
a) 00 zz
b) 212121 , zzzzzz C
c) 212121 , zzzzzz C .
4. Argumentul unui număr complex. Fie Cz , 0z . Cum 1z
z, rezultă că
există un număr real (unic determinat) în intervalul , cu proprietatea
sincosz
z. Acest număr, , asociat în acest mod lui z se notează cu zarg ,
şi se numeşte argumentul numărului complex z.
Test de autoevaluare 1.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.
Demonstraţi proprietăţile modulului unui număr complex. Răspunsul la test se găseşte la pagina 13 .
1.2 Funcţii complexe de o variabilă complexă Definiţii
şi exemple
1. Definiţie. Relaţia dintre derivabilitate şi K – diferenţiabilitate. Fie CA , '
0 AAz şi CAf : .
Funcţia f se numeşte derivabilă în z0 dacă funcţia C- zAr : definită prin
0
0
zz
zfzfzr
are limită în punctul z0. această limită, dacă există, se numeşte
derivata funcţiei f în z0 şi se notează prin 0' zf .
Exemple 1) Funcţia CC :f definită prin zzf este derivabilă în orice punct din C.
Integrala curbilinie in planul complex
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
2) Funcţia CC 0:f definită prin z
zf1
este derivabilă în orice punct din
0C . Fie CA cu proprietatea că 'AA şi CAf : . Funcţia f se numeşte derivabilă pe A dacă este derivabilă în orice punct din A. Teoremă Fie A o submulţime din CAfC :, şi '
0 AAz . Funcţia f este derivabilă în
z0 dacă şi numai dacă f este C – diferenţiabilă în z0. Teoremă Fie CA , Az 0 şi CAf : . Funcţia f este derivabilă în z0 dacă şi numai
dacă f este R - diferenţiabilă în z0 şi 00
zz
f.
Observaţie Fie CA , Az 0 şi CAf : . Putând ivuf observăm că relaţia
00
zz
f este echivalentă cu relaţiile:
00
00
zx
vz
y
u
zy
vz
z
u
numite relaţiile Cauchy-Riemann. Aşadar o funcţie f , definită pe o mulţime A, din C, este derivabilă într-un punct z0 interior lui A, dacă şi numai dacă este R – diferenţiabilă în z0 şi u şi v satisfac relaţiile Cauchy-Riemann. Propoziţie Fie CA şi '
0 AAz . Dacă f şi g sunt funcţii complexe pe A, derivabile în z0,
atunci funcţiile gf , fg sunt funcţii derivabile în z0. Propoziţie Fie A1 şi A2 două submulţimi ale lui C şi '
110 AAz , 21: AAf , C2: Ag
astfel încât '201 Azfz . Dacă f este derivabilă în z0, g derivabilă z1, atunci
fg este derivabilă în z0 şi are loc relaţia
0'
0'
0' zfzfgzfg .
Integrala curbilinie in planul complex
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Teoremă Fie D un domeniu din C şi CDf : o funcţie derivabilă pe D. Atunci f este
constantă pe D dacă şi numai dacă 0' zfDz . Test de autoevaluare 1.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.
Pentru Cz vom nota cu ze numărul complex yiye x sincos unde zx Re ,
zy Im . Funcţia CC :e definită prin zeze este derivabilă pe C şi ee ' . Răspunsul la test se găseşte la pagina 13.
1.3 Serii de puteri. Serii Taylor Definiţii Definiţie
Se numeşte seria de puteri o serie de forma (1)
0n
nn azc unde a, c0, c1,...,cn,...
sunt constante complexe, iar z este o variabilă complexă.
Pentru 0a , seria (1) devine
0n
nnzc (2).
Studiul seriei (1) poate fi redus la studiul seriei (2) prin substituţia az , de aceea ne vom ocupa de seria (2). Teorema lui Abel Pentru orice serie de puteri (2) există un număr 0R , cu următoarele proprietăţi: 1) dacă Rz , seria este absolut convergentă, 0R ;
2) dacă Rz , seria este divergentă.
Seria de puteri este uniform convergentă pe mulţimea Rzz 0,/ 0R .
Domeniul Rz se numeşte discul de convergenţă al serie de puteri, iar R raza de
convergenţă a acestei serii. Teorema (Cauchy-Hadamard)
Fie nn
ncsuplim
. Raza de convergenţă a seriei
0n
nnzc este
1R dacă 0
şi R dacă 0 . Teoremă O serie de puteri defineşte o funcţie olomorfă în interiorul discului de convergenţă
Rz . În acest domeniu, seria poate fi derivată şi integrată termen cu termen.
Observaţie
Toate proprietăţile seriilor de puteri de forma
0n
nnzc se transpun imediat la seriile
de puteri de forma
0n
nn azc , deoarece substituţia az o aduce la forma
Integrala curbilinie in planul complex
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
seriei precedente. Raza de convergenţă nu depinde de a, ci numai de şirul 0nnc al
coeficienţilor. Discul de convergenţă va avea centrul în punctul az . Teoremă Fie o funcţie olomorfă pe mulţimea deschisă CD . Pentru orice punct Dz 0 şi
orice disc deschis d, inclus în D, cu centrul az funcţia f se poate scrie sub
forma (3)
0
0n
nn zzazf , dz , unde (4) 0!
1zf
na n
n . Seria (3) conver-
ge uniform pe orice mulţime compactă inclusă în d. Definiţie Seria (3) se numeşte seria Taylor a funcţiei f în jurul punctului z0. O funcţie complexă care se poate dezvolta în serie de puteri în jurul oricărui punct al mulţimii deschise CD , se numeşte funcţie analitică pe D. Noţiunile de olomorfie şi analicitate coincid pentru funcţii cu valori complexe definite pe o mulţime deschisă din C. Considerăm o funcţie f definită pe un disc Rzzd 0 , olomorfă pe coroana
Rzz 00 şi neolomorfă pe disc. În aceste condiţii spunem că z0 este punct
singular izolat pentru funcţia f . Teoremă În condiţiile de mai sus, f se poate dezvolta într-o serie de forma (5)
n
nn zzczf 0 , dz unde (6)
rz
nnzz
dzzf
ic 1
02
1 , Zn şi Rr 0 .
Seria (5) converge uniform pe orice mulţime compactă inclusă în d. Definiţie Seria (5) se numeşte seria Laurent a funcţiei f în jurul punctului singular izolat z0.
Funcţia
0
01n
nn zzczf se numeşte partea olomorfă a functiei f şi
1
02n
nn zzczf se numeşte partea principală a funcţiei f .
Test de autoevaluare 1.3 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.
Să se determine raza de convergenţă a seriei:
0
2
11
n
nn
zn
Răspunsul la test se găseşte la pagina 13.
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 1. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această
Integrala curbilinie in planul complex
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 1 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 1
Să se determine raza de convergenţă a seriei:
0
1,!2
n
n
naz
a
n .
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 1.1
00,000 22 zyxyxz
212211221121212121, zzzzzzzzzzzzzzzzzz C
.
22Re2
,
21
21
2
2
2
121
2
2
2
121
2
2
2
1
1221221121212121
zz
zzzzzzzzzzzz
zzzzzzzzzzzzzzzz
C
Răspuns 1.2 Deoarece funcţiile:
yeyx x cos,
yeyx x sin, sunt diferenţiabile, rezultă că funcţiile
zez
zez
Im
Re
,
sunt R – difereţiabile pe C şi deci că e este R – diferenţiabilă pe C. Dacă notăm cu
eu Re , ev Im atunci:
x
vye
y
u
y
vye
x
u
x
x
'sin
cos
,
şi deci relaţiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite în orice punct Cz . Din teoremă rezultă că e este derivabilă pe C. Din exerciţiul 2) rezultă:
Integrala curbilinie in planul complex
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
000000000 sincos' zeeyieyez
x
yiz
x
eze zxx
pentru orice C0z . De aici rezultă că ee ' .
Răspuns 1.3
Notăm 1,1
1
2
n
nc
n
n .
en
cn
n
nn
n
11limlim .
Din teorema Cauchy-Hadamard e
R11
.
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 1
1. Livovschi L. – “Matematici speciale - Exercitii si probleme” – Litografia
Universitatii Bucuresti, 1982 2. Lupu Gh., s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed.
Universitatii Ovidius, Constanta, 1998 3. Olariu V., s.a. - “Analiza Matematica si matematici speciale”, Lit. IPB,
Bucuresti 1978 4. Rudner V. – “Probleme de matematici speciale”, Ed. Didactica si
Pedagogica, Bucuresti, 1970.
Integrala curbilinie in planul complex
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Unitate de învăţare Nr. 2
INTEGRALA CURBILINIE ÎN PLANUL COMPLEX
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 2…………………………………………………….. 16
2.1 Teoremele lui Cauchy………………………………………………………………… 16
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 2………………………………………….... 18
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 18
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 2…………………………………………………….. 18
Integrala curbilinie in planul complex
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 2
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 2 sunt:
Însuşirea noţiunilor din baza ale teoriei integralei in planul complex Aplicatii ale teoriei integralei in planul complex
2.1 Teoremele lui Cauchy
Lema lui Goursat Dacă cba ,, este un sistem de trei puncte din C, vom nota prin T, mulţimea
cbazz |C şi 0,, şi 1 , pe care o vom numi triunghi. Se poate verifica că reprezentarea geometrică a acestei mulţimi în plan este un triunghi. Vom nota prin T lanţul închis accbba ,,,,, . Propoziţie (Lema lui Goursat)
Fie T un triunghi şi f o funcţie derivabilă pe T. Atunci 0Tf .
Fie λ un lanţ închis de drumuri netede din C şi *Cz . Se numeşte
indexul lui λ în raport cu punctul z, numărul
dzi
1
2
1 şi se notează
prin zn .
Teoremă (Teorema de reprezentare integrală a lui Cauchy pentru funcţii derivabile pe un domeniu convex) Fie D un domeniu convex din C şi f o funcţie derivabilă pe D. Atunci pentru orice lanţ închis de drumuri netede din D, λ, are loc relaţia
d
z
f
izfznDz
2
1* .
Teoremă Fie G un deschis din C şi f o funcţie complexă pe G. Atunci f este olomorfă pe G dacă şi numai dacă f este derivabilă pe G. Corolar (Teorema lul Morera) Dacă f este o funcţie complexă continuă pe un deschis G astfel încât
T
f 0 , pentru orice triunghi GT , atunci f este olomorfă pe G.
Fie λ un drum închis din C şi *Cz . Numărul
dzi
1
2
1, se notează
cu zn şi se numeşte indexul drumului λ în raport cu punctul z.
Integrala curbilinie in planul complex
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Fie G un deschis din C şi λ un drum închis din G. Drumul λ se numeşte omolog cu zero în raport cu G dacă indexul său în raport cu orice punct din complementara lui G este zero. Teoremă (Teorema fundamentală a lui Cauchy) Fie G un deschis din C şi f o funcţie olomorfă pe G. Dacă λ este un drum
închis omolog cu zero în raport cu G, atunci 0f .
Teoremă (Teorema de reprezentare integrală a lui Cauchy) Dacă G este un deschis din C, λ un drum închis din G, omolog cu zero în raport cu G şi f o funcţie olomorfă pe G, atunci
d
z
f
izfznGz
2
1* .
Demonstraţie Fie *Gz şi CGzg : definită prin:
z. dacã, '
z dacã,
zf
z
zff
zg
Funcţia gz fiind olomorfă pe G, din teorema fundamentală a lui Cauchy,
rezultă 0zg , de aici rezultând
d
z
f
izfzn
2
1.
Test de autoevaluare 2.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.
Să se calculeze dzz Re , unde λ este lanţul 1,,,1 ii .
Răspunsul la test se găseşte la pagina 18 .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 2. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 2 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Integrala curbilinie in planul complex
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 2
Să se calculeze dzz Re , unde λ este:
a) drumul definit prin
1,0 ,2
1
tett
i;
b) lanţul obţinut din drumul de la punctul a). Şi inversul lanţului de la punctul a).
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 2.1
Din faptul că 2
Rezz
z
, rezultă că
1
0
1
0
,1,1
12
11 1
2
11222
Re
idtiitttt
dtitittit
dzzz
dzzz
dzzz
dzzii
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 2
1. Branzanescu V. - “Matematici speciale – teorie, exemple, aplicatii”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1998
2. Bronson R. – “Theory and problems of differential equations, Schaum’s Outlines Mc Graw-Hill”, New York, 1993
3. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989
4. Lupu Gh. s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed. Universitatii Ovidius, Constanta, 1998
5. Rudner V. – “Probleme de matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1970.
Reziduuri
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Unitate de învăţare Nr. 3
REZIDUURI
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 3…………………………………………………….. 20
3.1 Puncte singulare. Reziduuri. Teorema reziduurilor ………………………………….. 20
3.2 Aplicaţii ale teoremei reziduurilor la calculul unor integrale ………………………... 21
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 3………………………………………….... 23
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 23
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 3…………………………………………………….. 24
Reziduuri
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 3
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 3 sunt:
Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice in aplicatiile practice.
Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în teoria reziduurilor.
3.1 Puncte singulare. Reziduuri. Teorema reziduurilor Puncte singulare izolate. Reziduuri.
Fie f o funcţie olomorfă pe un deschis G şi a un punct din GC . Vom spune că a este un punct singular izolat pentru funcţia f dacă există 0r
astfel încât GaaDr . Fie f o funcţie olomorfă pe G şi a un punct singular izolat pentru funcţia f
şi r un număr real 0 astefl încât GaaDr .
Numărul aDr
fi2
1 nu depinde de alegerea lui r.
Acest număr se numeşte reziduul funcţiei f în punctul a şi se notează cu afz Re .
Observaţie În legătură cu partea principală a dezvoltării funcţiei f în serie Laurent, distingem: partea principală este zero, adică pentru orice 1n , 0nt ;
partea principală conţine un număr infinit de termeni nenuli, adică există Nm astfel încât 0mt şi pentru orice ,mn 0nt ; partea principală
conţine o infinitate de termeni nenuli. În primul caz a se numeşte punct singular izolat aparent, în cazul al doilea a se numeşte punct singular izoloat polar de ordinul m, sau simplu, pol de ordinul m, iar în ultimul caz, se numeşte punct singular izolat esenţial. Exemple 1) Punctul 1 este un punct singular izolat aparent pentru funcţia
C 1,0: Cf , definită prin z
zf1
.
2) Punctul 0 este un punct singular izolat polar de ordinul 1 pentru funcţia
C 0: Cf , definită prin z
zf1
.
3) Punctul 0 este punct singular izolat esenţial pentru funcţia
C 0: Cf , definită prin zezf1
.
Reziduuri
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Propoziţie Fie G un deschis din GOf ,C şi a un punct singular izolat pentru f .
Punctul a este un pol de ordinul n dacă şi numai dacă există *Nn şi o funcţie olomorfă g pe aG diferită de zero în punctul a şi astfel încât
naz
zgzfGz
.
Corolar Fie G un deschis din GOf ,C şi a un punct singular izolat pentru f .
Punctul a este un punct singular polar dacă şi numai dacă az
zf
lim .
Propoziţie Dacă a este un pol de ordin n pentru GOf atunci
1
!1
1limRe
nn
azzfaz
nafz .
Corolar Dacă a este un pol de ordin 1 pentru GOf , atunci
zfazafzaz
limRe .
Test de autoevaluare 3.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.
Calculaţi reziduurile funcţiei zsh
ezf
iaz
în punctele singulare .
Răspunsul la test se găseşte la pagina 23.
3.2 Aplicaţii ale teoremei reziduurilor la calculul unor integrale
A. Calculul unor integrale de forma
2
0
sin,cos dR unde R este o
funcţie raţională. Se face substituţia iez care transformă integrala dată în:
1
1
2
1
'
1
2
1
z z
dz
zz
izzRi care se poate calcula folosind teorema
reziduurilor.
B. Calculul integralelor de forma
dxxR , unde xQ
xPxR este
raţională. Pentru ca integrala să fie convergentă presupunem că polinomul Q nu are rădăcini reale şi xgradPxgradQ 2
Reziduuri
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
dxxRdxxRr
rr
lim
Alegem r suficient de mare astfel încât în interiorul semicercului de ecu-aţie ozrzz Im,|: C să fie toţi polii funcţiei zR care se
găsesc în semiplanul 0y . Aplicăm teorema reziduurilor:
0Im
;Re2
kak
k
r
r
aRzidzzRdxxR .
Trecem la limită când r , integrala pe tinde la zero deoarece
0lim
zzRz
şi obţinem:
0Im
;Re2
kak
kaRzidxxR .
C. Calculul integralelor de forma
0
dxxR , xQ
xPxR funcţie
raţională. Integrala este convergentă dacă polinomul xQ nu are rădăcini
pozitive şi dacă 2 xgradPxgradQ . Observaţie: dacă xRxR , se poate proceda ca în exercitiul anterior. În caz contrar, putem aplica teorema reziduurilor folosind un contur ce mărgineşte un sector circular convenabil ales. D. Calculul integralelor de forma
dxxxFI cos1 ,
dxxxFI sin2 .
În ipoteza că I1 şi I2 sunt convergente vom calcula
dxexFiIII zi 21
aplicând teorema reziduurilor funcţiei ziezFzf pe un contur ase-mănător celui de la punctul I.
Test de autoevaluare 3.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.
Fie z
zzf
1
sin1. Calculaţi 1;frez şi 0;frez .
Răspunsul la test se găseşte la pagina 23 .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 3.
Reziduuri
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 3 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 3
Să se calculeze 0;frez , 1;frez dacă ze
zzzf
1
1
1
.
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 3.1 Evident f are poli de ordin 1 în punctele zk pentru care 0kzsh .
ikzzsh kk 0 , Zk .
Avem:
akkak
zz
iaz
k eikch
e
zsh
ezfrez
k
1'
;
.
Punctul z este punct neizolat kzk , .
Răspuns 3.2 Evident punctul 1z este pol simplu şi
1sin111, 1
z
zfzfrez z .
Pentru reziduul relativ la punctul singular esenţial 0z este necesară o dezvoltare în serie Laurent în jurul acestui punct
...
!5
1
!3
1
!1
11...1sin1
1
15
5
3
332
zzzzzz
zzzf ,
10 z
Astfel: 0sin...!5!3!1
0,53
1
cfrez .
Reziduuri
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 3
1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”,Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004
2. Livovschi L. – “Matematici speciale - Exercitii si probleme” – Litografia Universitatii Bucuresti, 1982
3. Lupu Gh. s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed. Universitatii Ovidius, Constanta, 1998
4. Sabac Gh. – “Matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1981.
Câmpuri scalare şi vectoriale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Unitate de învăţare Nr. 4
CÂMPURI SCALARE ŞI VECTORIALE
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 4…………………………………………………….. 26
4.1 Gradient. Divergenţă. Rotor ……………………………………………………..….... 26
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 4………………………………………….... 28
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 28
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 4…………………………………………………….. 29
Câmpuri scalare şi vectoriale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 4
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 4 sunt:
Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice in aplicatiile practice.
Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicaţii de teoria campurilor ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.)
4.1 Gradient. Divergenţă. Rotor
Definiţii şi exemple
Câmp scalar: Dacă fiecărui punct zyx ,, aparţinând unei reginuni R din
spaţiul 3R îi corespunde un număr sau un scalar zyx ,, , atunci se numeşte funcţie scalară de poziţie. Spunem astfel că pe R s-a definit un câmp scalar . Exemplu: Temperatura în orice loc de pe suprafaţa Pământului la un moment de timp defineşte un câmp scalar. Un câmp scalar care este independent de timp se numeşte câmp scalar staţionar. Câmp vectorial: Dacă fiecărui punct zyx ,, aparţinând unei regiuni R din
spaţiul 3R îi corespunde un vector zyx ,,v , atunci v se numeşte câmp vectorial de poziţie. Spunem astfel că pe R s-a definit un câmp vectorial. Exemplu: Viteza v în orice punct al unui fluid în curgerea sa la un moment de timp. Operatorul diferenţial Nabla, notat este definit
zyxzyx
kjikji
Vom introduce trei funcţii întâlnite în aplicaţiile practice sub denumirea de gradient, divergenţă şi rotor. Gradientul: Fie zyx ,, un câmp scalar diferenţial într-o regiun R a
spaţiului 3R . Definim gradientul lui şi scriem grad sau astfel:
kjikjizyxzyx
Observaţie: defineşte un câmp vectorial. Componenta gradientului în direcţia unui versor a este dată de a
Câmpuri scalare şi vectoriale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
şi reprezintă derivata direcţională a lui în direcţia a. Divergenţa: Fie kjiv 321,, vvvzyx definit şi diferenţiabil în orice
punct zyx ,, dintr-o regiune R a spaţiului 3R . Atunci, divergenţa lui v, notată . v sau div v este definită astfel:
z
v
y
v
x
vvvv
zyx321
321
kjikjiv .
Observaţie: vv Rotorul: Dacă zyx ,,v este un câmp vectorial diferenţiabil, atunci rotorul sau rotaţia lui v , notat v , sau vrot este definit astfel:
kji
kji
kjikjiv
y
v
x
v
x
v
z
v
z
v
y
v
vvvzyx
vvvzyx
123123
321
321
Observaţie: În dezvoltarea determinantului, operatorii zyx
,, trebuie
să preceadă vectorii 321 ,, vvv .
Dacă a şi b sunt funcţii vectoriale diferenţiabile, iar şi ψ sunt funcţii
scalare diferenţiabile de poziţia zyx ,, atunci :
1. gradgradgrad
2. baba divdivdiv
3. baba rotrotrot
4. aaa
5. aaa
6. baab ba
7. babaabab ba
8. baabbaab ba xx
9. 2
2
2
2
2
22
zyx
,
unde 2
2
2
2
2
22
zyx
se numeşte operatorul lui Laplace.
se consideră ca admite derivate parţiale de ordinul doi continue.
Câmpuri scalare şi vectoriale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Test de autoevaluare 4.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Fie 4232 zyx . Determinaţi grad div Răspunsul la test se găseşte la pagina 28.
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 4. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 4 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 4
Demonstraţi că fdiv grad .
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 4.1
kji
kji
32343422
423423423
846
222
zyxyzxzyx
zyxz
zyxy
zyxx
Atunci:
.24412
846
846
2234342
32343422
3334422
zyxzxzxy
zyxz
yzxy
zyxx
zyxyzxzyxx
kjikz
jy
i 3
Câmpuri scalare şi vectoriale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 4
1. Bronson R. – “Theory and problems of differential equations, Schaum’s Outlines Mc Graw-Hill”, New York, 1993
2. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989
3. Demidovici D.P. – “Problems in Mathematical Analysis”, Mir Publishers, Moskow, 1976
4. Lupu Gh. s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed. Universitatii Ovidius, Constanta, 1998
5. Spiegal M.R. .- “Vector analysis and an introduction to tensor analysis”, Schaum’s Outline Series, McGraw Hill,1959.
Integrare vectorială
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Unitate de învăţare Nr. 5
INTEGRARE VECTORIALĂ
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 5…………………………………………………….. 31
5.1 Integrarea vectorilor…………………………………………………………………... 31
5.2 Teoreme integrale: Gauss, Stokes, Green…………………………………………...... 33
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 5…………………………………………... 34
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 34
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 5…………………………………………………….. 35
Integrare vectorială
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 5
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 5 sunt:
Însuşirea noţiunilor de bază ale teoriei integralelor vectoriale Aplicarea calculului integralelor la discipline ce vor fi studiate
5.1 Integrarea vectorilor
Fie kjiR nRnRnRn 321 un vector depinzând de o singură
variabilă scalară n, unde nRnRnR 321 ,, sunt continue pe un interval
considerat. Atunci:
dnnRdnnRdnnRdnn 321 kjiR
se numeşte integrabilă nedefinită a lui nR .
Dacă există un vector nS astfel încât ndn
dn SR , atunci
cSSR ndnndn
dn
unde c este un vector constant arbitrar independent de n. Integrala definită între limitele an şi bn poate fi scrisă în acest caz
abndnndn
ddnn
b
a
b
a
b
a
SScSSR
Integrale curbilinii Fie kjir nznynxn vectorul de poziţie al punctului zyx ,, şi considerăm o curbă C unind punctele P1 şi P2. Presupunem că C se compune dintr-un număr finit de curbe, pe fiecare dintre acestea nr având derivata continuă. Fie kjiAA 321,, AAAzyx o funcţie vectorială continuă de-a
lungul lui C. Atunci integrala componentei tangenţiale a lui A de-a lungul lui C de la P1 la P2,
2
1
321
P
P CC
dzAdyAdxAdd rArA
Integrare vectorială
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
este un exemplu de integrală curbilinie. Teoremă Dacă A într-o regiune R a spaţiului, definită orin 21 axa ,
21 byb , 21 czc unde yzx, este o funcţie cu derivatele continue în R atunci
1. rA dP
P
2
1
este independentă de curba C din R ce uneşte punctele P1 şi P2.
2. 0c
drA , pe orice curbă închisă C în R.
Integrale de suprafaţă Considerăm S o suprafaţă şi n – versorul normalei într-un punct al suprafeţei S. Fie ds elementul diferenţial de suprafaţă căruia îi asociem vectorul Sd de modul Sd , având direcţia şi sensul lui n. Atunci ndSd S . Integrala
S
dSdS
ASA
este un exemplu de integrală de suprafaţă. Alte exemple de integrale de suprafaţă sunt
SS
dxdSd S A nS S
,, .
Integrala de volum Considerăm suprafaţa S care mărgineşte volumul V. Atunci
V
dV A şi V
dV
sunt exemple de integrale de volum.
Test de autoevaluare 5.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Dacă jiF 23 yxy , calculaţi:
rF d , unde C este curba din planul xOy de exuaţie 22xy din punctul
0,0 în punctul 2,1 . Răspunsul la test se găseşte la pagina 34.
Integrare vectorială
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
5.2 Teoreme integrale: Eauss. Stokes, Green
Teorema divergenţei sau teorema lui Gauss Dacă V este volumul mărginit de suprafaţa închisă S şi A o funcţie vectorială cu derivate continue, atunci:
S SV
ddSndV SA A A ,
unde n este vectorul normalei exterioare pozitive la S Teorema lui Stokes Dacă S este o suprafaţă mărginită de o curbă simplă închisă şi dacă A are derivate continue
S AS nArASS
dddC
.
Teorema lui Green în plan Dacă R este o regiune închisă de o curbă simplă închisă C şi dacă MM şi N sunt funcţii continue cu derivate continue în R atunci
dxdyy
M
x
NNdyMdx
C R
,
Teoreme integrale
1. SV
dSdV 2
2. SV
ddV S 22
3. SSV
ddSdV ASAn A
4. S SC
ddSd SAnr
5. Fie ψ o funcţie scalară sau vectorială, iar simbolul reprezentând înmulţirea cu scalari, produsul scalar sau produsul vectorial, atunci:
SSV
ddSdV Sn
S SC
ddSd S nr .
Test de autoevaluare 5.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Verificaţi teorema lui Green în plan pentru
C
dyxdxyxyI 22 , unde C este frontiera domeniului mărginit de
curbele xy şi 2xy .
Integrare vectorială
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Răspunsul la test se găseşte la pagina 34.
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 5. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 5 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 5
Demonstraţi că: a) aa a
b) Calculaţi S
dS nF , unde kjiF yzyxz 24 , iar S este suprafaţa
cubului: 1,0,1,0,1,0 zzyyxx .
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 5.1 Fie jir yx . Atunci:
CCC
dyydxxydydxyxyd 22 33 jijirF
Metoda 1: Fie tx . Eucaţiile parametrice ale curbei C sunt 22, tytx . Punctele
0,0 şi 2,1 corespund lui 0t şi 1t , respectiv. Atunci:
C
dttttdtdtttdL1
0
1
0
532222
6
71662223rF
Metoda 2: Înlocuim 22xy , pentru x de la 0 la 1. Atunci:
C
dxxxxdxdxxxdL1
0
1
0
533222
6
71662223 rF
Răspuns 5.2
xy şi 2xy se intersectează în 0,0 şi 1,1 . Pe curba 2xy avem
Integrare vectorială
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
1
0
1
0
43242
20
1932 dxxxdxxxdxxxx
Pe drapta xy de la 0,0 şi 1,1 avem
1
0
1
0
222 13 dxxdxxdxxxx .
Deci 20
11
20
19I
1
0
1
0
1
0
342
22
20
12
2
2
2
dxxxdxyxydxdyyx
dxdyyxdxdyyxyy
xxy
M
x
N
x
x
x
x
RR R
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 5
1. Branzanescu V. - “Matematici speciale – teorie, exemple, aplicatii”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1998
2. Bronson R. – “Theory and problems of differential equations, Schaum’s Outlines Mc Graw-Hill”, New York, 1993
3. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989
4. Lupu Gh., s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed. Universitatii Ovidius, Constanta, 1998
5. Rudner V. – “Probleme de matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1970.
6. Spiegal M.R.- “Vector analysis and an introduction to tensor analysis”, Schaum’s Outline Series, McGraw Hill,1959.
Ecuaţii diferenţiale ordinare
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Unitate de învăţare Nr. 6
ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 6…………………………………………………….. 37
6.1 Ecuaţii diferenţiale cu variabile separabile, omogene, Bernoulli, Ricatti…………….. 37
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 6………………………………………….... 39
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 39
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 6…………………………………………………….. 40
Ecuaţii diferenţiale ordinare
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 6
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 6 sunt:
Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea ecuatiilor diferentiale in aplicatiile practice.
Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în ecuatii şi rezolvarea oricărei aplicaţii de ecuatii diferentiale ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma.
6.1 Ecuţii diferenţiale cu variabile separabile, omogene, Bernoulli, Ricatti
Definiţii Definiţie O ecuaţie de forma (1) 0',, yyxF , 3',, RDyyx , unde xyy este o funcţie necunoscută, se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul întâi. Funcţia xyy , definită şi derivabilă pe intervalul I, astfel încât
Dxxx ',, , Ix , care satisface 0',, xxxF , Ix se numeşte soluţie a ecuaţiei (1). Soluţia generală a ecuaţiei (1) poate fi scrisă sub una din formele:
Cxgy , (explicită), 0,, Cyx (implicită). A integra ecuaţia (1) cu condiţia iniţială 00 yxy înseamnă a rezolva
problema lui Cauchy pentru ecuaţia (1). 1. Ecuaţii diferenţiale de ordinul înţâi, cu variabile separabile Sunt ecuaţii de forma ygxfy ' , f şi g funcţii continue pe domeniile
lor de definiţie, 0yg . Se separă variabilele: dxxfyg
dy (ecuaţii cu
variabile separate) şi soluţia generală este cdxxfyg
dy . Dacă
pentru 0yy avem 0yg atunci funcţia 0yy este o soluţie a ecuaţiei
şi se numeşte solutie singulară. Ecuaţiile cu variabile separabile pot fi date şi sub forma 011 dyyYxXdxyYxX , 11,,, YXYX funcţii continue pe domeniile
lor de definiţie, 01 yYxX . Se împarte cu yYxX1 şi se ajunge la
forma precedentă. Dacă a este o rădăcină a ecuaţiei 01 xX şi b a
ecuaţiei 01 yY , ax , by , sunt solutii singulare. 2. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi omogene
yxQ
yxPy
,
,' sau 0,, dyyxQdxyxP , unde P şi Q sunt funcţii
omogene de acelaşi grad. Cu schimbarea de funcţie xuxy , obţinem o ecuaţie diferenţială cu variabile separabile.
Ecuaţii diferenţiale ordinare
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
3. Ecuaţii care se reduc la ecuaţii omogene
Fie ecuaţia
222
111'cybxa
cybxafy (2) R212121 ,,,,, ccbbaa .
a) Dacă 022
21 cc , ecuaţia (2)΄ este o ecuaţie omogenă.
b) Dacă 022
21 cc şi 0
22
11 ba
ba, atunci notăm cu 00 , yx soluţia
sistemului
0
0
222
111
cybxa
cybxa şi facem schimbarea de variabilă şi de
funcţie vyyuxx 00 , , ecuaţia (2) se reduce la o ecuaţie omogenă.
c) Dacă 022
21 cc şi 0 , schimbarea de funcţie zybxa 11 , reduce
ecuaţia (2) la o ecuaţie cu variabile separabile. 4. Ecuaţii care provin din diferenţiale totale. Factor integrat. Fie ecuaţia: 0,, dyyxQdxyxP (3), P şi Q continue pe domeniul
3RD .
a) Dacă este verificată condiţia x
Q
y
P
spunem că ecuaţia (3) provine
dintr-o diferenţială totală. Soluţia sa generală este cyxv , , unde
x
x
y
y
dttxQdtytPyxv0 0
,,, 0 .
b) Dacă x
Q
y
P
, dar există un factor integrant yxm , astfel încât
expresia mQdymPdx este diferenţiala totală a unei funcţii, atunci integrarea ecuaţiei (2) se reduce la problema rezolvată la punctul a). Factorul integrant se determină uşor în următoarele 2 cazuri:
- dacă xhy
P
x
Q
Q
1
, atunci xmm şi dxxhm
dm ;
- dacă ygy
P
x
Q
P
1
, atunci ymm şi dyygm
dm .
5. Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi O ecuaţie de forma xQyxPy ' , P şi Q continue pe un interval
Rba, se numeşte ecuaţie liniară de ordinul întâi. Soluţia generelă este:
dxexQcey
dxxPdxxP
.
Ecuaţii diferenţiale ordinare
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
6. Ecuaţia lui Bernoulli O ecuaţie de ordinul întâi, de forma
yxQyxPy' , 1,0-R
P şi Q funcţii continue pe acelaşi interval, se numeşte ecuaţia lui Bernoulli. Această ecuaţie se reduce la o ecuaţie liniară cu ajutorul substituţiei
1yz . 7. Ecuaţia lui Ricatti O ecuaţie diferenţială de forma 0' 2 xRyxQyxPy (4), P, Q, R funcţii continue pe un acelaşi interval se numeşte ecuatia lui Ricatti. Dacă xy1 este o soluţie particulară a ecuaţiei (4), atunci schimbarea de funcţie
zyy
11 , xzz transformă ecuaţia (4) într-o ecuaţie liniară.
Test de autoevaluare 6.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Rezolvaţi problema Cauchy:
xyx
yxyy
2
2
' ; 10 y .
Răspunsul la test se găseşte la pagina 39 .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 6. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 6 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 6
Rezolvaţi problema Cauchy:
xy
xxy
211'
2
2
, 01 y .
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 6.1
011
0112211
2222
dyy
ydx
x
xdyxydxyx
xy
Ecuaţii diferenţiale ordinare
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Cyxdyy
ydx
x
x1ln1ln
1
2
1
2 2222
.
Din condiţia iniţială obţinem 2ln02ln CC . Soluţia problemei
Cauchy va fi 1
212ln1ln1ln
2222
yxyx .
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 6
1. Bronson R. – “Theory and problems of differential equations, Schaum’s Outlines Mc Graw-Hill”, New York, 1993
2. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989
3. Demidovici D.P. – “Problems in Mathematical Analysis”, Mir Publishers, Moskow, 1976
4. Flondor P. – “Lectii de analiza matematica si exercitii rezolvate”, Ed. All, Bucuresti, 1998
5. Livovschi L. – “Matematici speciale - Exercitii si probleme” – Litografia Universitatii Bucuresti, 1982
6. Lupu Gh. s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed. Universitatii Ovidius, Constanta, 1998.
Ecuaţii diferenţiale liniare
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Unitate de învăţare Nr. 7
ECUAŢII DIFERENŢIALE LINIARE
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 7…………………………………………………….. 42
7.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n……………………………………………….. 42
7.2 Sisteme de ecuaţii diferenţiale liniare……………………………………………….... 44
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 7………………………………………….... 46
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 46
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 7…………………………………………………….. 47
Ecuaţii diferenţiale liniare
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 7
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 7 sunt:
Însuşirea noţiunilor de bază ale teoriei ecuatiilor diferenţiale liniare Aplicarea ecuatiilor diferenţiale liniare la probleme ce apar în
practică
7.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n
Definiţii Fie ecuaţia liniară de ordinul n : fyayayanyL nn
nn '... 11
1 unde bafaa n ,,,...,1 C .
Dacă 0f ecuaţia se numeşte liniară şi omogenă, în caz contrar se numeşte liniară neomogenă. Definiţie
Numim sistem fundamental de soluţii, o bază a spaţiului vectorial Ker L. Dacă nyy ,...,1 este un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia 0yL
atunci soluţia ei generală este : (metoda superpoziţiei) R nnn ccycycy ,...,,... 111 .
Teoremă
Dacă pyy este o soluţie a ecuaţiei fyL , atunci soluţia generală a
acestei ecuaţii este
n
iiip ycyy
1
, unde niyi ,...,1, este un sistem fun-
damental de soluţii pentru ecuaţia liniară omogenă 0yL . Pentru determinarea unei soluţii yp a ecuaţiei fyL , se foloseşte, “metoda variaţiei constantelor”, presupunând cunoscut un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă.
Se caută
n
iiip xyxcxy
1
0 , funcţiile nici ,1, determinându-se din
sistemul
n
i
nii
n
iii xyxcxyxc
1
2'
1
' 0,...,0 .
n
i
nii xfxyxc
1
1' al cărui determinant (numit wronskianul ecuaţiei)
este:
Ecuaţii diferenţiale liniare
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
0
..........
..........................
..........
..........
,...,,
111
''1
1
1
xyxy
xyxy
xyxy
yyxw
nn
n
n
n
n
Definiţie Dacă Rnaa ,...,1 , ecuaţia fyL se numeşte ecuaţie diferenţială liniară
cu coeficienţi constanţi. Ecuaţia 0... 1
11
nn
nn arararrg se numeşte ecuaţia
caracteristică ataşată ecuaţiei 0yL . 1) Dacă ecuaţia caracteristică 0rg are rădăcini reale şi distincte
nrr ,...,1 , atunci un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia liniară cu
coeficienţi 0yL este xri
iexy , ni ,...,1 .
2) Dacă ecuaţia 0rg are şi rădăcini complexe, de exemplu ibar şi
ibar , atunci fiecărei perechi de rădăcini complexe conjugate îi corespund soluţiile liniar independente :
bxey ax cos1 , bxey ax sin2 . 3) Dacă printre rădăcinile ecuaţiei 0rg , există şi rădăcini reale
multiple, de exemplu 1rr , cu multiplicitate p, atunci ei îi corespund p soluţii liniar independente:
xrpp
xrxr exyxeyey 111 121 ,...,, .
4) Dacă ecuaţia 0rg are printre soluţiile ei şi rădăcini complexe
ibar , ibar cu ordinul de multiplicitate p, atunci lor le corespund 2p soluţii liniar independente :
.sin,...,sin,sin
cos,...,cos,cos1
221
121
bxexybxxeybxey
bxexybxxeybxeyaxp
pax
pax
p
axpp
axax
În anumite cazuri, după forma membrului doi al ecuaţiei fyL , yp poate fi determinat prin metoda coeficienţilor nedeterminaţi. Dacă: 1) xpexf m
ax ; pm polinom de grad m în x, atunci
xQexy max
p , dacă 0ag , sau xQxexy mpax
p , dacă
0...' 1 agagag p şi mp Qag ,0 fiind polinom de grad m în
x, cu coeficienţi nedeterminaţi, coeficienţii determinându-se prin
Ecuaţii diferenţiale liniare
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
identificare, din fyL p .
2) bxpexf max cos sau bxxpexf m
ax sin , pm polinom de grad m.
atunci bxxRbxxQexy mmax
p sincos dacă 0 biag sau
bxxRbxxQexxy mmaxp
p sincos dacă
0...' 1 biagbiagbiag p , mm
p RQbiag ,,0 fiind
polinoame de gradul m în x, cu coeficienţi nedeterminaţi, coeficienţii lor obţinându-se prin identificarea din fyL p .
Test de autoevaluare 7.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Determinaţi soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale:
04"34 yyy . Răspunsul la test se găseşte la pagina 39 .
7.2 Sisteme de ecuaţii diferenţiale liniare
Definiţii Considerăm sistemul de ecuaţii difereniale liniare 0...11' ninii yayay ,
ni ,1 , baaik ,C care se mai poate scrie sub forma 0' AYYYL
unde
ny
y
Y
.
.
.1
, nikaA 1 .
Definiţie O bază a lui Ker L se numeşte sistem fundamental de solutii. Teoremă Dacă nYY ,...,1 este un sistem fundamental de soluţii, atunci soluţia generală
a sistemului omogen este
R nnn ccYcYcY ,...,,... 111
Teoremă
Dacă yp este o soluţie a sistemului de ecuaţii BAYY ' ,
nb
b
B
.
.
.1
,
Ecuaţii diferenţiale liniare
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
babi ,C , ni ,1 atunci soluţia generală a cestui sistem de ecuaţii este
n
iiip YcYY
1
, nYY ,...,1 fiind un sistem fundamental de soluţii pentru
0' AYY . Soluţia yp poate fi obţinută prin metoda variaţiei constantelor. În cazul
sistemului de ecuaţii cu coeficienţi constanţi 0' AYYYL , nikaA 1 ,
Rika dacă ecuaţia caracteristică 0
...
........................................
...
...
21
22221
11211
raaa
araa
aara
r
nnnn
n
n
are : 1) n rădăcini reale şi distincte nrr ,...,1 , lor le corespund n soluţii
xr
ni
i
iieY
.
.
.1
, ni ,1 , care formează un sistem fundamental de soluţii.
2) 1rr rădăcină reală cu multiplicitate 1p , atunci partea din soluţia
generală corespunzătoare ei, are în general forma:
xrn
xr
eQ
eQ
1
1
.........1
, nQQ ,...,1 fiind
polinoame de grad cel mult 1p , având coeficienţi funcţii liniare şi
omogene de p constante oarecare pcc ,...,1 .
3) Cazul rădăcinilor complexe ale ecuaţiei caracteristice se tratează în mod analog. Pentru determinarea soluţiilor pY ale sistemelor neomogene cu
coeficienţi constanţi, se poate folosi metoda variaţiei constantelor, sau în cazurile în care matricea B are o formă particulară
bxxpexbxpexb iax
iiax
i cossau , se pot găsi soluţii particulare
prin metoda coeficienţilor nedeterminaţi.
Test de autoevaluare 7.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Rezolvaţi sistemul de ecuaţii diferenţiale liniare neomogene:
tgtxxx
txxx
21'2
21'1
2
sin52.
Răspunsul la test se găseşte la pagina 39.
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 7.
Ecuaţii diferenţiale liniare
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 7 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 7
Rezolvaţi sistemul de ecuaţii diferenţiale liniare neomogene:
22'2
21'1
22
cos454
xxx
texxx t
.
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Raspuns 7.1 Ecuaţia caracteristică 043 24 rr are rădăcinile 221 rr , ir 4,3 .
Solutia generală a ecuaţiei va fi:
xcxcxececxy xx sincos 432
22
1 , R4321 ,,, cccc .
Răspuns 7.2 Rezolvăm mai întâi sistemul neomogen:
21'2
21'1
2
52
xxx
xxx.
Ecuaţia caracteristică 021
52
are rădăcinile i1 , i2 . De-
terminăm un vector propriu corespunzător valorii proprii i1 ,
2
1v .
Avem
02
052
21
21
i
i 21 2 i .
Putem alege
1
2iv . Dar
t
tti
t
ttitit
ieit
sin
cossin2
cos
sincos2
1
2sincos
1
2
Obţinem soluţia generală a sistemului omogen
Ecuaţii diferenţiale liniare
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
t
tt
t
ttctx
sin
cossin2
cos
sincos210
Pentru determinarea unei soluţii particulare a sistemului neomogen aplicăm metoda variaţiei constantelor. Căutăm soluţia particulară de forma:
t
tttc
t
tttctxp sin
cossin2
cos
sincos221
unde funcţiile 21 , cc verifică sistemul:
ttgtcttct
ttctttctt
sin cos
sin cossin2 sincos2'2
'1
'2
'1
.sin24
ln4
2coscos2
24ln
22
2sinsin2cos2
cos
2cos2sin2sin
2
21
2'1
tt
tgt
ttc
ttg
tttttc
tttttc
Soluţia generală a sistemului neomogen va fi txtxtx p 0 .
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 7
1. Bronson R. – “Theory and problems of differential equations,
Schaum’s Outlines Mc Graw-Hill”, New York, 1993 2. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si
Pedagogica, Bucuresti 1989 3. Demidovici D.P. – “Problems in Mathematical Analysis”, Mir
Publishers, Moskow, 1976 4. Flondor P. – “Lectii de analiza matematica si exercitii rezolvate”,
Ed. All, Bucuresti, 1998 5. Livovschi L. – “Matematici speciale - Exercitii si probleme” –
Litografia Universitatii Bucuresti, 1982 6. Lupu Gh. s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed.
Universitatii Ovidius, Constanta, 1998.
Serii Fourier
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Unitate de învăţare Nr. 8
SERII FOURIER
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 8…………………………………………………….. 49
8.1 Serii Fourier…………………………………………………….…………………….. 49
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 8………………………………………….... 51
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 51
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 8…………………………………………………….. 52
Serii Fourier
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 8
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 8 sunt:
Însuşirea noţiunilor de bază ale seriilor Fourier Aplicarea notiunilor de serii Fourier la rezolvarea problemelor
ce apar în practică
8.1 Serii Fourier
Definiţii Unei funcţii tf , integrabilă pe intervalul T, i se asociază prin intermediul coeficienţilor Fourier:
T
k dttktfT
a cos2
,
T
k dttktfT
b sin2
seria Fourier:
1
0 sincos2 k
kk tkbtkaa
, T
2 pulsaţia.
Fie ts suma acestei serii; termenii săi fiind funcţii periodice de perioadă
1 , kk
TTk , ts este periodică de perioadă T.
Prin dezvoltarea funcţiei tf în serie Fourier pe T, înţelegem
dezvoltarea funcţiei periodice tf * de perioadă T care coincide cu tf
pe T, . Definiţie Funcţia f satisface condiţiile lui Dirichlet pe intervalul T, dacă:
i f este mărginită pe T, ; ii f are un număr finit de discon-
tinuităţi de speţa întâi; iii intervalul T, poate fi împărţit într-un număr finit de subintervale pe care f este monotonă. Teorema lui Dirichlet: Dacă tf satisface pe T, condiţiile lui Dirichlet, seria Fourier
acosiată funcţiei tf converge în fiecare punct Tt ,0 la
002
100 tftf .
( Dacă t0 este punct de continuitate atunci 00 tfts ).
Dacă f este funcţie pară, xfxf , lT 2 şi llT ,,
Serii Fourier
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
atunci 0nb şi seria Fourier a lui f este:
1
0 cos2 n
n l
xna
a,
1
0
cos2
dxl
xnxf
lan .
Dacă xfxf ( f este impară ) atunci 0na şi seria Fourier
asociată lui f are forma :
1
sinn
n l
xnb ,
1
0
sin2
dxl
xnxf
lbn .
Formula lui Parseval: Dacă R Tf ,: este funcţia de pătrat integrabilă atunci
1
22202
2
1
4
1
kkk
T
baa
dfT
unde kk baa ,,0 sunt coeficienţi Fourier ai funcţiei f .
Forma complexă a seriei Fourier: Fie f o funcţie periodică, de perioadă 2l. Dacă f este integrabilă pe intervalul ll, atunci îi putem asocia seria Fourier sub forma complexă:
k
xl
ik
kec , unde
1
1
,2
1Zkdxexf
lc l
xik
k .
Dacă
k
xl
ik
kecxf , atunci numerele l
kak
se numesc numere de
undă ale funcţiei f , mulţimea lor se numeşte spectru, iar coeficienţii kc se
numesc aplitudini complexe.
Test de autoevaluare 8.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Dezvoltaţi în serie Fourier funcţia periodică
lt
lt
tt
tf
2,2
1
21,0
10,1
Definită pe intervalul l2,0 , de perioadă lT 2 .
Serii Fourier
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Răspunsul la test se găseşte la pagina .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 8. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 8 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 8
Dezvoltaţi în serie Fourier pe 2,0 , ttfcos45
1
, de perioadă 2 .
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 8.1
lT 2 , l
, 0 . Deoarece f verifică pe intervalul l2,0 condiţiile
lui Dirichlet şi este continuă lt 2,0 avem din teorema lui Dirichlet:
1
0 1,0,sincos2 k
kk tl
tkb
l
tka
atf .
1
0
0
4
1
2
1
2dttl
l
a ,
1
0
cos1
dttl
ktll
ak
1,sin1 1
0
kdttl
ktl
lbk .
1
022
1111
k
li
k
ldtetl
liba
k
l
tik
kk .
Obţinem
12,12
12
2,0
22nk
n
l
nk
ak
0 122
sin1
12
12cos2
4
1
n n n
tl
n
n
tl
nltf .
Serii Fourier
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 8
1. Lupu Gh. s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed. Universitatii Ovidius, Constanta, 1998
2. Olariu V., s.a. - “Analiza Matematica si matematici speciale”, Lit. IPB, Bucuresti 1978
3. Rudner V. – “Probleme de matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1970.
4. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953
5. Sabac Gh.– “Matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1981.
Funcţii şi polinoame speciale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Unitate de învăţare Nr. 9
FUNCŢII ŞI POLINOAME SPECIALE
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 9…………………………………………………….. 54
9.1 Polinoamele lui Legendre, Cebâşev, Hermite, Laguerre ……….……………………. 54
9.2 Funcţii Bessel, Gamma……….……………………………….……………………… 58
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 9………………………………………….... 60
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 60
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 9…………………………………………………….. 61
Funcţii şi polinoame speciale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 9
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 9 sunt:
Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice în aplicaţiile practice.
Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în aşi rezolvarea oricărei aplicatii ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.).
9.1 Polinoamele Legendre, Cebâşev, Hermite, Laguerre
Definiţii Polinoamele lul Legendre În teoria potenţialului se întâlneşte funcţia R 1,11,0:g , definită prin
221
1,
rrxxrg
(1)
Dezvoltând funcţia g în serie de puteri ale lui r pentru 1r , obţinem: 1,1,1,0,,
0
xrrxPxrgn
nn (2)
unde
N
kx
kn
kncxP kn
nkk
kkn
kn ,
2!
122...5311 2
2/0
. (3)
Definiţie Polinoamele nP definite prin (3) se numesc polinoamele lul Legendre, iar
funcţia g definită prin (1), a cărei dezvoltare în serie (2) are coeficienţii xPn , se numeşte funcţia generatoare a polinoamelor Legendre.
Teoremă Polinoamele lui Legendre mai pot fi exprimate prin formula lui Olinde-Rodrigues:
nn
n
nn xdx
d
nxP 1
2!
1 2
(4)
Teoremă Între polinoamele lui Legendre există relaţia de recurenţă:
...3,2,1,0121 11 nxnPxxPnxPn nnn (5)
Teoremă
Funcţii şi polinoame speciale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Polinomul lui Legendre N nPn , , este soluţie a ecuaţiei diferenţiale
01'2"12 ynnxyyx (6)
Teoremă Polinoamele lui Legendre formează un sistem de funcţii ortogonale pe intervalul 1,1 . Mai mult,
nkn
nkdxxPxP nk
,12
2
,01
1
. (7)
Polinomul Cebâşev
Din formula lui Moivre N ninin n ,sincossincos , rezultă imediat:
2/0
222 sincos1cosnk
kknkn
k cn .
Definiţie Polinoamele Tn, definite prin
N nxnxTn ,arccoscos (8)
Teoremă Polinoamele lui Cebâşev au următoarele proprietăţi:
1) admit funcţia generatorare 221
1,
x
xx , adică
n
nn xTx
0
, , 1 ;
2) există relaţia de recurenţă
02 11 xTxxTxT nnn , ,...3,2,1n ;
3) polinomul Tn este soluţie a ecuaţiei diferenţiale
0""1 22 ynxyyx , *Nn ; 4) există relaţiile
Funcţii şi polinoame speciale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
1
12
0,
0,2
,0
1
1
nk
nk
nk
dxxTxTx
nk
.
Observăm că polinoamele lui Cebâşev formează un sistem ortogonal cu ponderea p, pe intervalul 1,1 , unde
1,1,1
12
xx
xp .
Polinoamele lui Hermite Să considerăm funcţia CRC : , definită prin
222 2, xxx eeex (9) Această funcţie este olomorfă pe C, în raport cu , R x , deci admite dezvoltarea în serie Taylor
!
,0 n
xHxn
nn
, (10)
unde xHn este derivata de ordinul n în punctul 0 a funcţiei (9),
adică:
22 xn
nx
n edx
dexH , N x (11)
Definiţie Polinoamele nH definite prin (11) se numesc polinoamele lui Hermite, iar
funcţia φ se numeşte funcţia generatoare a polinoamelor lui Hermite. Teoremă Polinoamele lui Hermite au următoarele proprietăţi: 1) verifică relaţia de recurenţă:
022 11 xnHxxHxH nnn , ,...3,2,1n ;
2) nH este o soluţie a ecuaţiei diferenţiale
02'2" nyxyy ;
3) au loc relaţiile:
Funcţii şi polinoame speciale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
nkn
nkdxxHxHe
nnkx
,2!
,02
.
Polinoamele lui Laguerre O altă clasă de polinoame se poate obţine pornind de la funcţia
CRC : , definită prin:
1
1
1,
x
ex (12)
Prin dezvoltare în serie Taylor în jurul originii se obţine:
0
,n
nn xLx , cu coeficienţii
nk
kkn
kn k
xcxL
0 !1 (13)
Definiţie Polinoamele Ln definite prin (13) se numesc polinoamele lui Laguerre, iar funcţia ψ, cu valorile date de (12), se numeşte funcţia generatoare a acestor polinoame. Teoremă Polinoamele lui Laguerre au următoarele proprietăţi:
1) xnn
nx
n exdx
de
nxL
!
1, N n ;
2) există relaţia de recurenţă:
0121 11 xnLxLxnLn nnn , *N n ;
3) polinomul Ln este soluţie a ecuaţiei diferenţiale
0'1" nyyxxy ; 4) au loc relaţiile
nk
nkdxxLxLe nk
x
,1
,0
0
.
Funcţii şi polinoame speciale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Test de autoevaluare 9.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.
Pornind de la dezvoltarea
0
1
1n
t
xt
nn t
etxL să se deducă relaţia de mai
jos:
1,0121 11 nxnLxLxnxLn nnn .
Răspunsul la test se găseşte la pagina 60 .
9.2 Funcţii Bessel, Gamma
Definiţii Definiţie Ecuaţia diferenţială
0'" 222 yvxxyyx , (1)
unde v este un parametru cu valori reale sau complexe, se numeşte ecuaţia lui Bessel, iar solutiile acestei ecuaţii se numesc funcţii Bessel sau funcţii cilindrice. Teoremă Funcţia Jv definită prin
0
2
21!
1
p
pvp
v
x
pvpxJ (2)
în care, pentru 0v , ,0arg vo , are următoarele prorpietăţi :
1) pentru N nv , Jv este o funcţie întreagă ; 2) pentru Nv , Jv este olomorfă pe TD C , unde T este o semidreaptă cu originea în 0. În ambele cazuri, funcţia Jv este soluţie a ecuaţiei Bessel (1), pe domeniul său de olomorfie. Teoremă Cu convenţia ,0arg vo , dacă Nv , atunci soluţia generală a
ecuaţiei lui Bessel pe domeniul TD C , este:
vv BJAJy ,
unde Jv şi J-v sunt funcţii definite prin (2), iar A şi B sunt constante complexe arbitrare. Observaţie Funcţiile Jv şi J-v sunt liniar dependente dacă şi numai dacă Nv .
Funcţii şi polinoame speciale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Teoremă Funcţia
vvv JvJv
Y
cossin
1, Nv ,
are următoarele proprietăţi:
1) xxYxJ
xYxJxYxJW
vv
vvvv
2
, '' , N v ;
2) cu restricţia NR \v , xYxY vnv
n lim , N v , anume:
nv
vvvn v
xJ
v
xJxY
11
(4)
3) nY este solutie a ecuaţiei lui Bessel pentru nv , N n .
defini. Definiţie Funcţiile Jv şi J-v, definite pentru 0v şi pentru şi pentru orice v cu
,0arg vo prin (2), se numesc funcţiile lui Bessel de prima speţă şi
de ordinul v, respectiv v . Funcţia vY definită prin (3) pentru Nv şi prin (4) pentru N nv se
numeşte funcţia lui Bessel de speţa a doua şi de ordinul v. Teoremă
vJ şi vY fiind funcţiile definite anterior, soluţia generală a ecuaţiei lui
Bessel (1) se poate scrie sub forma vv BYAJy , cu A şi B constante
complexe arbitrare. Teoremă
Funcţiile lui Bessel vJ , pentru
2
1nv , Nn , pot fi exprimate prin
funcţii elementare
x
xBx
xA
xxJ nnv sin
1cos
12,
unde An şi Bn sunt polinoame de grad cel mult n.
Funcţii şi polinoame speciale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Test de autoevaluare 9.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Să se integrze ecuaţia:
0'" 222 yvbxxyyx . Răspunsul la test se găseşte la pagina 60.
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 9. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 9 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 9
Să se integreze ecuaţia:
04
1'1" yypxy
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 9.1 Relaţia dată în enunţ se înmulţeşte cu t1 şi se derivează cu privire la t
0 0
11
111
n n
t
xt
nn
nn t
e
t
xtxnLttxL .
După aranjarea convenabilă a termenilor extragem din identitatea
0 0
12 0211n n
nn
nn txnLtttxLxt
coeficientul lui tn. Răspuns 9.2
bxBJbxAJxy vv . Cu schimbarea de variabilă tbx se
obţine ecuaţia lui Bessel 0'" 222 yvttyyt a cărei soluţie generală
este tBYtAJty vv .
Funcţii şi polinoame speciale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 9
1. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989
2. Demidovici D.P. – “Problems in Mathematical Analysis”, Mir Publishers, Moskow, 1976
3. Flondor P. – “Lectii de analiza matematica si exercitii rezolvate”, Ed. All, Bucuresti, 1998
4. Livovschi L. – “Matematici speciale - Exercitii si probleme” – Litografia Universitatii Bucuresti, 1982
5. Lupu Gh. s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed. Universitatii Ovidius, Constanta, 1998
6. Olariu V., s.a. - “Analiza Matematica si matematici speciale”, Lit. IPB, Bucuresti 1978
7. Sabac Gh. – “Matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1981.
Ecuaţii cu derivate parţiale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Unitate de învăţare Nr. 10
ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 10…………………………………………………… 63
10.1 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi…………………………………………. 63
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 10………………………………………….. 67
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 67
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 10…………………………………………………… 68
Ecuaţii cu derivate parţiale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 10
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 10 sunt:
Însuşirea noţiunilor de bază ale teoriei ecuatiilor cu derivate partiale Aplicarea problemelor de ecuaţii cu derivate partiale în practică.
10.1 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi
Definiţii i) Sisteme de ecuaţii diferenţiale sub formă simetrică Se consideră sistemul de ecuaţii diferenţiale:
yxfy ,' , 1,: nf R R (1)
Definiţie Printr-o integrală primă a sistemului de mai sus se întelege o relaţie de forma cyyx n ,...,, 1 care nu este trivială şi care este identic satisfăcută
dacă nyy ,...,1 sunt înlocuite cu o soluţie a sistemului, constanta c putând să
se modifice odată cu soluţia. Dându-se integrale prime ale sistemului (1), funcţional independente
nnn
n
cyyx
cyyx
,...,,
.............................
,...,,
1
111
şi rezolvând în raport cu nyy ,...,1 , se obţine soluţia generală a sistemului
(1):
nnn
n
ccxy
ccxy
,...,,
.............................
,...,,
1
111
Definiţie
Dacă sistemul de ecuaţii diferenţiale este scris sub forma
nn
n
n xxX
dx
xxX
dx
,...,...
,... 111
1 (2)
spunem că este scris sub formă simetrică.
Ecuaţii cu derivate parţiale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Observaţie Rezolvarea sistemului (2) se reduce la determinarea a 1n integrale prime funcţional independente. Determinarea integralelor prime se face prin metoda combinaţiilor integrabile. Vom obţine o combinaţie
integrabilă dacă vom găsi n funcţii ni xx ,...,1 , ki ,1 astfel încât
01
n
iii X , iar 0
1
n
jjjdx este diferenţiala totală a funcţiei
nxxG ,...,1 . Atunci o integrală primă este cxxG n ,...,1 .
ii) Ecuaţii cu derivate de ordinul întâi liniare şi omogene Ecuaţia cu derivate parţiale de ordinul întâi
0,...,...,..., 11
11
nnnn x
uxxX
x
uxxX (3)
unde R:iX , nR , 1CiX , ni ,1 şi
n
ini xxX
11
2 0,..., ,
nxx ,...,1 se numeşte ecuaţie diferenţială parţială de ordinul întâi
liniară si omogenă. Definiţie Sistemul:
nn
n
n xxX
dx
xxX
dx
,...,...
,..., 111
1 (4)
se numeşte sistemul carcateristic al ecuaţiei (3). Teoremă
Dacă inii cxx ,..., , 1,1 ni , 1Ci sunt 1n integrale prime
funcţional independente ale sistemului (4), atunci 11,..., nu , unde
111
1 , nR C este soluţia generală a ecuaţiei (3), funcţia fiind o funcţie arbitrară, derivabilă. Rezolvarea problemei Cauchy
110
111
1 ,...,,,...,,0...
nnnn
n xxxxxux
uX
x
uX
se face astfel: fie inii cxx ,..., , 1,1 ni , 1n integrale prime
funcţional independente ale sistemului (4), şi 1 o vecinătate a punctului
011 ,,..., nn xxx astfel încât sistemul inni cxxx
011 ,,..., , 1,1 ni să
Ecuaţii cu derivate parţiale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
adimtă soluţie unică 11,..., nxx , deci astfel încât niii ccx ,..., ,
1,1 ni . Atunci solutia problemei Cauchy este:
xxxxu nnn 111111 ,...,,...,,..., , nxxx ,...,1 .
iii) Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniare Definiţie O ecuaţie cu derivate parţiale de forma:
uxXx
uuxX
x
uuxX
x
uuxX n
nn ,,...,, 1
22
11
, (5)
unde 11 CiX , 1
1 nR , 1,1 ni şi
1
1
2 0,n
ii uxX se numeşte
ecuaţie cvasiliniară. Am notat nxxx ,...,1 .
Definiţie
Sistemul
uxX
du
uxX
dx
uxX
dx
nn
n
,,...
, 11
1
(6)
se numeşte sistemul caracteristic al ecuaţiei (5).
Dacă ii cux , , ni ,1 , sunt n integrale prime funcţional independente
ale sistemului (6) atunci soluţia generală a ecuaţiei (5) este 0,,...,,1 uxux n , unde R : , nR , 1C este o
funcţie arbitrară. Observaţie Soluţia generală a ecuaţiei (5) este definită implicit. Problema lui Cauchy pentru ecuaţia (5) se formulează şi se rezolvă analog ca în cazul ecuaţiei (3). iv) Ecuatii cu derivate parţiale de ordinul întâi neliniare Fie ecuaţia neliniară
0,,,,
y
u
x
uuyxf . (7)
Notăm qy
up
x
u
, .
Ecuaţii cu derivate parţiale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Definiţie Printr-o integrală completă a ecuaţiei (7) se întelge o familie de soluţii ce depinde de doi parametrii reali bayxyxu ,,,, . Se ataşează ecuaţiei (7) următorul sistem de ecuaţii diferenţiale, numit sistem caracteristic al ecuaţiei:
qUY
dq
pUX
dp
QqPp
du
Q
dy
P
dx
(8)
unde p
fP
, q
fQ
, x
fX
, y
fY
, u
fU
.
Fie aqpuyxg ,,,, o integrală primă a sistemului (8). Dacă sistemul
algebric
aqpuyxg
qpuyxf
,,,,
0,,,, este rezolvabil în p şi q şi se notează cu
auyxFp ,,, , auyxGq ,,, soluţia lui, atunci soluţia generală a
ecuaţiei 0,,,,,, dudyauyxGdxauyxF se scrie sub forma
0,,,, bauyxV şi furnizează integrala completă a ecuaţiei (7). Dacă din 0,,,, bauyxV se poate explicita bayxu ,,, şi este
derivabilă, atunci determinănd din sistemul de ecuaţii
0,,,
a
bayx,
0
,,,
b
bayx pe yxaa , , yxbb , , se obţine
yxbyxayxu ,,,,, , care este integrala singulară a ecuaţiei (7).
Dacă ba
, nu se anulează identic, atunci se anulează determinantul
funcţional 0
,
,
yxD
baD, ceea ce însemnă că între a şi b există o relaţie
funcţională ab . Mulţimea de soluţii aayxu ,,, se numeşte integrala generală a ecuaţiei (7). Problema lui Cauchy se formulează astfel: să se determine suprafeţele integrale ale ecuaţiei (7) care trec printr-o curbă definită de ecuaţia (9)
tx , ty , tu , ,t . Dacă integrala generală a ecuaţiei (7) este aayxu ,,, atunci rezolvarea problemei Cauchy revine la a determina funcţia astfel încât suprafaţa aayxu ,,, să treacă prin curba (9). Înlocuind pe x, y, u obţinem:
Ecuaţii cu derivate parţiale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
0,,,,, aatttaat
Soluţia problemei Cauchy se obţine eliminând parametrul a din ecuaţiile:
0
0'
t
aa .
Test de autoevaluare 10.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Determinaţi soluţia generală a următoarei ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniare.
uy
utgu
x
ux 22 cossin
.
Răspunsul la test se găseşte la pagina 67 .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 10. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 10 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 10
Determinaţi soluţia generală a următoarei ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniare.
222 uyxauy
uy
x
ux
.
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 10.1 Sistemul caracteristic al ecuaţiei este:
u
du
tgu
dy
x
dx22 cossin
.
u
du
x
dx22 cossin
. Aceasta este o ecuaţie cu variabile separate. Integrăm şi
obţinem 1ctguctgx .
Ecuaţii cu derivate parţiale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
2232 cos2
1
cos
sin
cosc
uydu
u
udy
u
du
tgu
dy .
Soluţia generală 0cos2
1,
2
uyctgxtguF , F funcţie arbitrară
derivabilă.
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 10
1. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989
2. Demidovici D.P. – “Problems in Mathematical Analysis”, Mir Publishers, Moskow, 1976
3. Flondor P. – “Lectii de analiza matematica si exercitii rezolvate”, Ed. All, Bucuresti, 1998
4. Livovschi L. – “Matematici speciale - Exercitii si probleme” – Litografia Universitatii Bucuresti, 1982
5. Lupu Gh., s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed. Universitatii Ovidius, Constanta, 1998
6. Olariu V., s.a. - “Analiza Matematica si matematici speciale”, Lit. IPB, Bucuresti 1978
Elemente de teoria probabilităţilor
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Unitate de învăţare Nr. 11
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 11…………………………………………………… 70
11.1 Evenimente. Operaţii cu evenimente…………………………………………..……. 70
11.2 Funcţia probabilitate…………………………………………..……………….……. 72
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 11………………………………………….. 75
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 75
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 11…………………………………………………… 76
Elemente de teoria probabilităţilor
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 11
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 11 sunt:
Însuşirea noţiunilor de bază ale teoriei probabilităţilor Rezolvarea problemelor de teoria probabilitatilor ce apar in practica.
11.1 Evenimente. Operaţii cu evenimente
Definiţii şi exemple
Teoria probabilităţilor are drept conţinut intuitiv principal fenomenele întâmplătoare ce se pot repeta, în condiţii identice, de un mare număr de ori, cel puţin în principiu. Aşadar calculul probabilităţilor studiază fenomene (sau experienţe) întâmplătoare ( sau aleatoare ) care nu conduc întotdeauna la acelaşi rezultat, atunci când sunt studiate în condiţii determinate. În cazul unui fenomen (experiment) aleator F vom realiza o modelare matematică a acestuia cu ajutorul următoarelor trei elemente: universul probelor Ω (- sau încă probelor, o multime finită), mulţimea tuturor evenimentelor legate de fenomenul aleator PF toate submulţimile
lui şi o funcţie ,0: PP care ascociază fiecărui eveniment
PA probabilitatea sa AP . Analizăm pe rând cele trei elemente. Definiţie Mulţimea Ω a tuturor rezultatelor posibile, incompatibile două câte două, care pot avea loc în cazul unei probe a unui experiment aleatoriu se numeşte universul probelor (sau spaţiul probelor). Prin rezultate incompatibile înţelegem acele rezultate care nu se pot obţine simultan în nici o probă. Exemplu La aruncarea simultană a două zaruri avem:
.6,6,5,6,4,6,3,6,2,6,1,6,6,5,5,5
,4,5,3,5,2,5,1,5,6,4,5,4,4,4,3,4,2,4,1,4,6,3,5,3,4,3,3,3
,2,3,1,3,6,2,5,2,4,2,3,2,2,2,1,2,6,1,5,1,4,13,1,2,1,1,1
Definiţie Fie Ω un univers. Se numeşte eveniment orice submulţime a lui Ω. Pentru Ω dată am desenat prin P toate submulţimile lui Ω. Dacă n , atunci
nP 2 (vezi elemente de combinatorică). Deosebim trei feluri de
Elemente de teoria probabilităţilor
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
evenimente : sigur, imposibil şi aleator. Evenimentul sigur este cel care se realizează cu certitudine în fiecare probă a experimentului considerat. Acesta este Ω. Evenimentul imposibil nu se realizează în nici o probă a experimentului. Acesta este . Evenimentul aleator se poate realiza sau nu într-o probă a experimentului considerat. Exemplu La aruncarea zarului 6,5,4,3,2,1 , numărul de evenimente legate de
acest fenomen aleator este egal cu 6426 . Iată câteva evenimente:
5,3,11 A care se pot enunţa: “se obţine un număr impar de puncte”,
3,2,12 A care înseamnă: “se obtine un număr de puncte cel mult egal cu 3”. Negaţia. Definiţie Dacă A este un eveniment, atunci A (citim: non A) este evenimentul care se realizează dacă şi numai dacă nu se realizează A. Dacă PA , atunci APACAA . De exemplu la aruncarea zarului dacă 3,2,1A (care înseamnă că A se realizează dacă la o probă apare una din feţele cu 1,2 sau 3 puncte), atunci
6,5,4A (care se realizează dacă nu se realizează A, adică într-o probă apare una din feţele care conţin 4,5 sau 6 puncte). Reuniunea. Definiţie Fie A, B două evenimente. Se numeşte reuniunea evenimentelor A, B eveni-mentul notat BA (citim: A sau B) care se realizează dacă şi numai dacă se realizează cel puţin unul din evenimentele A, B. Intersecţia. Definiţie Fie A, B două evenimente. Se numeşte intersecţia evenimentelor A, B evenimentul notat BA (citim: A şi B) care se realizează dacă şi numai dacă se realizează simultan A şi B. Exemplu La aruncarea zarului fie evenimentele: 4,3,2,1A , 6,4,2B . Atunci
4,2BA şi se realizează dacă la aruncarea zarului apare faţa cu două puncte sau faţa cu patru puncte. Evenimente incompatibile. Definiţie Două evenimente A, B se numesc incompatibile dacă şi numai dacă
BA .
Elemente de teoria probabilităţilor
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Cu alte cuvinte două evenimente sunt incompatibile dacă nu se pot realiza simultan în nici o probă legată de fenomenul aleator considerat. Exemplu La aruncarea zarului evenimentele 3,2,1A , 6,5,4A sunt incompa-tibile deoarece BA . Evenimente elementare. Definiţie Fie Ω un univers finit n ,...,, 21 . Evenimentele n ,...,, 21 se
numesc evenimente elementare. Exemplu La aruncarea zarului 6,5,4,3,2,1 , iar evenimentele elementare sunt:
6,5,4,3,2,1 . Deoarece orice eveniment legat de o experienţă cu un număr finit de cazuri posibile poate fi interpretat ca o submulţime a muţimii Ω, avem următoarea dualitate de limbaj:
Limbajul evenimentelor Limbajul mulţimilor
- Eveniment - Eveniment sigur - Eveniment imposibil - A implică B - A sau B - A şi B - non A (evenimentul contrar
lui A) - A, B incompatibile - Eveniment elementar
- Submulţime a lui Ω - Mulţimea ( totală) Ω - Mulţimea vidă, - BA - BA
- A - BA
- sau , cu .
Test de autoevaluare 11.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. O urnă conţine trei bile numerotate 1, 2, 3. se extrag succesiv două bile din urnă. Să se determine universul probeleor Ω în cazul: - cu repunerea primei bile extrase în urnă înainte de a două extragere. Răspunsul la test se găseşte la pagina 75 .
11.2 Funcţia probabilitate
Definiţii şi exemple
Matematicianul rus Kolmogorov a creat un fundament axiomatic pentru conceptul de probabilitate care se bazează pe o mulţime Ω de evenimente elementare şi un sistem PB . Evenimentele sistemului B, adică submulţimile lui Ω se numesc evenimente (aleatoare). În plus B verifică
Elemente de teoria probabilităţilor
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
proprietăţile: 1) dacă BAAA n ,...,...,, 21 , atunci BAU i
i
1;
2) dacă BA , atunci BCA ; 3) B . Sistemul B care verifică cele trei axiome se numeşte corp borelian. Cazul pe care îl analizăm noi este mai simplu, în sensul că Ω este o mulţime finită, iar PB . Definiţie Fie Ω un univers. Aplicaţia RPP : se numeşte probabilitate pe P dacă au loc axiomele : 1) PAAP ,0 (Probabilitatea oricărui eveniment este un număr pozitiv). 2) 1P (Probabilitatea evenimentului sigur este egală cu unu)
3) BPAPBAP , dacă BA (Probabilitatea reuniunii a două evenimente incompatibile este egală cu suma proprietăţilor lor). Observaţii 1) Toate evenimentele vor avea probabilităţi de la 0, evenimentul imposibil,
aproape de zero, evenimente puţin probabile, egale cu 2
1, corespund
evenimentelor cu şanse egale, aproape de 1, când vorbim de evenimente foarte probabile şi până la 1, care corespunde evenimentului sigur. 2) Pe un corp borelian PB dat se pot defini mai multe probabilităţi. Chiar dacă Ω este finită se poate defini probabilitatea:
n
AnAPPP ,0: , ,
aceasta fiind de fapt definiţia clasică a probabilităţii, ca raportul între numărul de cazuri favorabile realizării evenimentului A şi numărul de cazuri posibile n . Legat de acelaşi fenomen considerăm un alt mod în care universul probelor formează o mulţime ' , relaţia între cele două universuri ', fiind dată de o funcţie ': f . Considerăm F un fenomen aleator. Modelarea matematică a acestuia este caracterizată de cele trei elemente descrise mai sus: universul probelor (Ω), mulţimea tuturor evenimentelor P şi de probabilitatea P asociată mulţimii evenimentelor. Definiţie Fie F un fenomen aleator. Tripletul PP ,, se numeşte câmp de probabilitate asociat fenomenului F.
Elemente de teoria probabilităţilor
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Exemplu La aruncarea monedei bsbsPbs ,,,,,, , iar
,0: PP , unde 1,,2
1,0 bsPbPsPP .
Din definiţia probabilităţii şi proprietăţile operaţiilor cu mulţimi se deduc reguli de calcul ale probabilităţii unor evenimente. Teoremă Dacă PBA, , atunci ABPBPABP . Corolar 1) 0P ;
2) AAPAP ,1 ;
3) ABAPBPAPBAP , ;
4) dacă BA , atunci BPAP ;
5) AAP ,10 . Evenimente elementare echiprobabile. Definiţie Fie n ,...,, 21 . Evenimentele elementare n ,...,, 21 se
numesc echiprobabile dacă au aceeaşi probabilitate nPPP ...21 .
Teoremă Dacă Ω este un univers format din n evenimente elementare echiprobabile, iar A este un eveniment format din reuniunea a k evenimente elementare, atunci
n
An
n
kAP
Reformulăm rezultatul sub forma: “probabilitatea unui eveniment asociat unui experiment având cazuri elementare echiprobabile este raportul dintre numărul de cazuri favorabile realizării evenimentului şi numărul total de cazuri posibile”. De exemplu în cazul aruncării zarului universul 6,5,4,3,2,1 . Presupunând că zarul este ideal (adică omogen şi cu laturile de aceeaşi
lungime) avem : 6
16...1 PP . Probabilitatea de apariţie a feţei 4
sau 5 este egală cu 3
1
6
25,454 PP ceea ce înseamnă că in
Elemente de teoria probabilităţilor
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
medie 3
1 din numărul de aruncări vor avea ca rezultat pe 4 sau 5.
De multe ori probabilitatea evenimentului A se exprimă şi în procente :
%100n
kAP .
Test de autoevaluare 11.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Într-o clasă de 30 de elevi, 20 sunt pasionaţi de matematică, 15 de limbi straine, iar 8 sunt pasionaţi şi de matematică şi de limbi străine. Dacă se alege la întâmplare un elev din această clasă, care este probabilitatea ca el să fie pasionat de matematică, dar nu de limbi straine? Răspunsul la test se găseşte la pagina 75 .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 11. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 11 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 11
O urnă conţine trei bile numerotate 1, 2, 3. se extrag succesiv două bile din urnă. Să se determine universul probeleor Ω în cazul:
- fără repunerea primei bile extrase în urnă inainte de a doua extragere.
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 11.1 Avem:
3,3,2,3,1,3,3,2,2,2,1,2,3,1,2,1,1,1 . Răspuns 11.2
3
2
30
20AP ,
2
1
30
15BP ,
15
4
30
8BAP .
10
9
15
4
2
1
3
2 BAPAPBAP .
Elemente de teoria probabilităţilor
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 11
1. Ganga M.- “Matematica. Manual pentru clasa a X–a” – Editura Mathpress, 2005.
2. Livovschi L. – “Matematici speciale - Exercitii si probleme” – Litografia Universitatii Bucuresti, 1982
3. Lupu Gh. s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed. Universitatii Ovidius, Constanta, 1998
4. Olariu V., s.a. - “Analiza Matematica si matematici speciale”, Lit. IPB, Bucuresti 1978
5. Rudner V. – “Probleme de matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1970.
6. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953
7. Sabac Gh. – “Matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1981.
Probabilităţi condiţionate
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Unitate de învăţare Nr. 12
PROBABILITĂŢI CONDIŢIONATE
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 12…………………………………………………… 78
12.1 Probabilităţi condiţionate………………………………………………………….… 78
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 12………………………………………….. 80
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 80
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 12…………………………………………………… 81
Probabilităţi condiţionate
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 12
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 12 sunt:
Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice în aplicaţiile practice.
Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicaţii de probabilitati conditionate ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.).
12.1 Probabilităţi condiţionate
Pentru un fenomen aleator F dorim să calculăm probabilitatea unui eveniment A a cărui realizare depinde de realizarea unui alt eveniment B. Dacă realizarea acestuia din urmă a avut loc, atunci această informaţie va modifica probabilitatea de realizare a evenimentului A. Vom nota această nouă probabilitate prin APB (citim: probabilitatea evenimentului A condiţionată de evenimentul B). Fie un eveniment B cu 0BP .
Se numeşte probabilitatea evenimentului A condiţinată de evenimentul B,
numărul BP
BAPAPBAP B
| .
Dacă 0AP putem defini şi probabilitatea lui B condiţionată de A,
BP
BAPBPABP A
| , de unde obţinem formulele:
BPAPAPBPBAP AB .
Probabilitatea ABP | are următoarea interpretare: este probabilitatea evenimentului A presupunând că s-a realizat evenimentul B. Din compa-rarea probabilităţilor AP şi BAP | se poate vedea dacă realizarea lui B influenţează sau nu realizarea evenimentului A. Definiţie
Două evenimente A1 şi A2 sunt independente dacă
2121 APAPAAP .
În acest caz, dacă 021 AAP , avem 121 | APAAP şi
212 | APAAP ; şi reciproc, dacă 121 | APAAP , atunci evenimentele
A1 şi A2 sunt independente.
Evenimentele nkkA ,1 sunt independente dacă:
Probabilităţi condiţionate
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
ss kkkk APAPAAP ......
11 , pentru orice indici nkk s ...1 1 .
Formule pentru calcularea unor probabilitaţi
a) Probabilitatea unei reuniuni de evenimente
.1...1
1
11
k
n
k
n
kjikji
n
k kjkjkk
n
k
AP
AAAPAAPAPAP
(1)
Pentru 2k , formula (1) se reduce la proprietatea ( f ) a probabilităţii.
Dacă evenimentele nkkA ,1 sunt incompatibile 2 câte 2, atunci formula se
reduce la axioma (c) generalizată, iar dacă evenimentele sunt independente, formula (1) devine :
.1...1
1
11
j
n
j
n
kjikji
n
k kjkjkk
n
k
AP
APAPAPAPAPAPAP
b) Probabiltatea unei intersecţii de evenimente
Dacă 01
k
n
kAP , atunci:
....|...|| 1212131211
nnk
n
kAAAAPAAAPAAPAPAP (2)
Dacă evenimentele nkkA ,1 sunt independente, atunci formula (2) devine:
k
n
kk
n
kAPAP
11
.
c) Formula probabilităţii totale Dacă nkkA ,1 este un sistem complet de evenimente jkk AAA , ,
oricare jk , njk ,1, şi
k
n
kA
1 , iar B este un eveniment oarecare,
atunci are loc formula probabilităţii totale:
nn ABPAPABPAPABPAPBP |...|| 2211 .
d) Formula lui Bayes
Probabilităţi condiţionate
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Dacă nkkA ,1 este un sistem complet de evenimente şi B un eveniment
oarecare, atunci are loc formula lui Bayes ( formula ipotezelor):
n
kkk
jjj
ABPAP
ABPAPBAP
1
|
|| , nj ,1 .
Test de autoevaluare 12.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.
Se aruncă 2 zaruri. Care este probabilatea ca suma feţelor să fie 6, ştiind că suma acestor feţe a dat un număr cu soţ?
Răspunsul la test se găseşte la pagina 80 .
În loc de Rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 12. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 12 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 12
O urnă conţine 4 bile albe şi 6 bile negre. Se scoate o bilă care se pune deoparte, apoi se extrage incă o bila din urnă. Necunoscând culoarea primei bile extrase, care este probabilitatea ca a doua bilă sa fie albă? Dar să neagră?
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 12.1 a) Să considerăm evenimentele: A prima bilă este albă
B a doua bilă este albă.
Avem de calculat : ABP | şi ABP | . Dacă s-a realizat evenimentul A,
atunci in urnă au rămas 3 bile albe şi 6 negre, deci:
Probabilităţi condiţionate
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
3
1
9
3| ABP ,
3
2
9
6| ABP .
b) Avem de calculat: BAP şi vom folosi definiţia probabilităţii condi-
ţionate astfel: 15
2
10
1
3
1| APABPBAP , unde
10
4AP .
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 12
1. Ganga M.- “Matematica. Manual pentru clasa a X–a” – Editura Mathpress, 2005.
2. Livovschi L. – “Matematici speciale - Exercitii si probleme” – Litografia Universitatii Bucuresti, 1982
3. Lupu Gh. s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed. Universitatii Ovidius, Constanta, 1998
4. Olariu V., s.a. - “Analiza Matematica si matematici speciale”, Lit. IPB, Bucuresti 1978
5. Rudner V. – “Probleme de matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1970.
6. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953
7. Sabac Gh. – “Matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1981.
Scheme clasice de probabilitate
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Unitate de învăţare Nr. 13
SCHEME CLASICE DE PROBABILITATE
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 13…………………………………………………… 82
13.1 Schema lui Poisson………………………………………………………………….. 82
13.2 Schema bilei neîntoarese…………………………………………………………….. 84
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 13………………………………………….. 85
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 86
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 13…………………………………………………… 86
Scheme clasice de probabilitate
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 13
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 13 sunt:
Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice în aplicaţiile practice.
Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicaţii ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.).
13.1 Schema lui Poisson
Schema lui Poisson sau schema binomială generalizată Teoremă Fie nAAA ,...,, 21 evenimente independente cu ii pAP , ii pq 1 ,
ni ,1 . Probabilitatea de a se realiza k din cele n evenimente (şi să nu se
realizeze kn ) este coeficientul lui kX din polinomul
nn qXpqXpqXp ...2211 .
Corolar (Schema lui Bernoulli). Dacă evenimentele independente nAAA ,...,, 21 au aceeaşi probabilitate
ppi , nipqqi ,1,1 , atunci probabilitatea de a se realiza k din
cele n evenimente, notată kPn , este coeficientul lui kX din polinomul
nqpX , adică: knkknn qpCkP .
Demonstraţie Fie
kiii AAA ,...,,21
, k evenimente care se realizeaza din cele n şi nk ii AA ,...,
1
celelalte kn evenimente care nu se realizează. Realizarea evenimentului
nkk iiiii AAAAA ......121
conduce la
realizarea evenimentului acărui probabilitate ni se cere. Prin urmare evenimentul cerut A este
nkk iiiii AAAAAA ......
121 ,
unde reuniunea se face după toate submulţimile kiii ,...,, 21 ale mulţimii
n,...,2,1 . Găsim uşor că
nkk iiiii qqpppAP ......121
.
Suma din membrul drept fiind egală cu coeficientul lui kX din polinomul
nn qXpqXpqXp ...2211 .
Scheme clasice de probabilitate
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Observaţie Ceea ce caracterizează schema lui Bernoulli sunt următoarele elemente: 1) Orice probă are exact doua rezultate posibile (succes sau insucces) care sunt mutual exclusive. 2) Este fixat un număr n de probe. 3) Orice rezultat dintr-o probă este independent de oricare rezultat din orice altă probă. 4) Probabilitatea succesului în fiecare probă este constantă.
Test de autoevaluare 13.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Se consideră urnele naU 4,31 , naU 3,22 , naU 4,43 . Din fiecare urnă se
extrage câte o bilă. Care este probabilitatea ca toate bilele să fie albe? Răspunsul la test se găseşte la pagina 85.
13.2 Schema bilei neîntoarse
Pentru a doua situaţie cadrul este oferit de o urnă care conţine N bile dintre care a sunt albe, iar b sunt bile roşii. Deci baN . Se extrag n bile Nn fără a repune bila în urnă. Fie k numărul de bile albe obţinute în
cele n extrageri ak . Numărul de bile roşii extrase în cele n probe este
bknkn . Pentru calculul probabilităţii evenimentului de a se obţine k bile albe şi kn bile roşii în urma celor n extrageri aplicăm definiţia probabilităţii (cănd cazurile sunt echiprobabile) ca raportul dintre numărul cazurilor favorabile şi numărul cazurilor posibile. Numărul cazurilor posibile este egal cu numărul de modalităţi de a alege n bile din cele N. Acesta este n
NC .
Pentru a obţine numărul cazurilor favorabile să observăm că cele k bile albe le obţinem din cele a în k
aC , iar celelalte kn bile roşii se pot
extrage din b bile roşii în knbC . Conform regulii produsului din
combinatorică, numărul tuturor posibilităţilor de a extrage k bile albe şi kn bile roşii este kn
bka CC . Deci probabilitatea cerută este:
n
ba
knb
ka
n C
CCkP
Schema 1. O urnă conţine N bile, N1 de culoarea kNC ,...,1 de culoarea Ck. Se extrag
din această urnă succesiv n bile. Probabilitatea de a extrage n1 bile de culoarea knC ,...,1 bile de culoarea Ck este egală cu:
1) extragerea este cu repunerea bilei (cu remiză - legea multinominală)
knk
nn
n
pppnnn
n...
!!...!
!21
2121
, unde N
Np i
i , Nnnnnn k ,...21 .
Scheme clasice de probabilitate
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
2) extragerea este fără repunerea bilei extrase înapoi în urnă (fără remiză – legea polihipergeometrică)
nN
nN
nN
nN
C
CCC k
k...2
2
1
1 , Nnnnnn k ,...21 .
Schema 2. O urnă conţine n bile, dintre care r sunt roşii. Se extrag bile până când se obţine o bilă roşie. Probabilitatea ca aceasta să se întâmple la a 1k - a extragere este egală cu:
1) extragere cu remiză (legea geometrică): kpp 1 , unde n
rp ;
2) extragere fără remiză:
in
r
kn
r k
i1
1
0, rnk ,...,1,0 .
Test de autoevaluare 13.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.
Dintr-o urnă in care sunt aşezate toate numerele intregi de la 1 la 90 se extrag 6 numere. Care este probilitatea ca să iasă 4 din numerele: 6, 12, 28, 35, 82, 44?
Răspunsul la test se găseşte la pagina 85.
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 13. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 13 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 13
Într-o cutie cutie sunt 4 pachete a câte 20 de cartonaşe. În primul pachet este un cartonaş rupt, in al doilea sunt 2 cartonaşe rupte, in al treilea sunt 3 cartonaşe rupte, iar in al patrulea sunt 4 cartonaşe rupte. Din fiecare pachet se ia câte un cartonaş. Care este probabilatea să iasă 3 cartonaşe bune şi unul rupt?
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Scheme clasice de probabilitate
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Răspuns 13.1 Se consideră evenimentele independente: 1A “bila extrasă din 1U este
albă”, 2A “bila extrasă din 2U este albă”, 3A “bila extrasă din 3U este
albă”. Suntem în cadrul schemei lui Poisson pentru 3n şi ak 3 ,
bk 1 , ck 2 . Avem 7
31 AP ,
5
22 AP ,
2
13 AP .
Considerăm polinomul
2
1
2
1
5
3
5
2
7
4
7
3XXX .
Probabilitatea cerută este coeficientului lui 3X din polinom, care este egal cu
35
3
2
1
5
2
7
3 .
Răspuns 13.2 Se aplică schema bilei întoarse ( hipergeometrică) pentru : a=6 ( avem nu-mere favorabile), 84b (restul de numerelor) şi 90 baN (câte numere avem avem la dispoziţie). Observăm că 6n , din care 4 şi
2 , deci: 690
284
462;4C
CCP
.
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 13
1. Ganga M.- “Matematica. Manual pentru clasa a X–a” – Editura Mathpress, 2005.
2. Livovschi L. – “Matematici speciale - Exercitii si probleme” – Litografia Universitatii Bucuresti, 1982
3. Lupu Gh. s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed. Universitatii Ovidius, Constanta, 1998
4. Olariu V., s.a. - “Analiza Matematica si matematici speciale”, Lit. IPB, Bucuresti 1978
5. Rudner V. – “Probleme de matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1970.
6. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953.
Variabile aleatoare
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Unitate de învăţare Nr. 14
VARIABILE ALEATOARE
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 14…………………………………………………… 87
14.1 Repartiţie. Valoare medie. Dispersie ………………………………….…………… 88
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 14………………………………………….. 91
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 91
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 14…………………………………………………… 92
Variabile aleatoare
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 14
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 14 sunt:
Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice în aplicaţiile practice.
14.1 Repartiţie. Valoare medie. Dispersie
Definiţii Definiţie Fie PP ,, un câmp de probabilitate. Se numeşte variabilă aleatoare relativă la probabilitatea P, orice aplicaţie
R:X O variabilă aleatoare este o funcţie ale cărei valori depind de şansă. Definiţie O variabilă aleatoare se numeşte discretă dacă are o multime finită sau numărabilă de valori. O variabilă aleatoare se numeşte continuă dacă are ca multime de valori un interval mărginit al dreptei reale. Schematic vom reprezenta variabila aleatoare X sub forma unui tabel cu două linii (în prima linie sunt trecute valorile variabilei X, iar în a doua linie
probabilităţile corespunzătoare fiecărei valori)
n
n
ppp
xxxX
...
...:
21
21 , unde
ii xXPp , ni ,1 , 0ip , 1...21 nppp .
Funcţia 1,0: RF , xXPxF se numeşte funcţia de repartiţie asociată variabilei aleatoare X. Fie F un fenomen aleator şi PP ,, un câmp de probabilitate asociat lui F, iar X, Y două variabile aleatoare relative la P. Definiţie Spunem că variabilele aleatoare X, Y sunt egale şi scriem YX dacă YX , .
Definiţie Două variabile aleatoare sunt independente dacă evenimentele ixX şi
Variabile aleatoare
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
iyY sunt independente ni ,1 , mj ,1 .
Fie variabila aleatoare
n
n
ppp
xxxX
...
...
21
21 , 1...21 nppp .
Teoremă
1) Suma dintre o constantă a şi variabila aleatoare X este variabila notată Xa , având repartiţia:
n
n
ppp
xaxaxaXa
...
...:
21
21 , 1...21 nppp .
2) Produsul dintre o constantă a şi variabila aleatoare X este variabila notată aX, având repartiţia:
n
n
ppp
axaxaxaX
...
...:
21
21 , 1...21 nppp .
Teoremă
1) Suma dintre variabila aleatoare X şi variabila aleatoare Y este variabila aleatoare notată YX , având repartiţia:
nmijm
mnjim
ppppp
yxyxyxyxyxYX
.........
.........:
11211
12111 ,
n
i
m
jijp
1 1
1, unde iiij yYxXPp , mjni ,1,,1 .
2) Produsul dintre variabila aleatoare X şi variabila aleatoare Y este variabila aleatoare XY, având repartiţia:
nmijm
mnjim
ppppp
yxyxyxyxyxXY
.........
.........:
11211
12111 ,
n
i
m
jijp
1 1
1, unde iiij yYxXPp , mjni ,1,,1 .
2) Câtul dintre variabila aleatoare X şi variabila aleatoare Y este variabila
aleatoare notată Y
X, având repartiţia:
nmijm
m
n
j
i
m
pppppy
x
y
x
y
x
y
x
y
x
Y
X
.........
.........:
11211
1
21
1
1
1
,
Variabile aleatoare
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
n
i
m
jijp
1 1
1, unde iiij yYxXPp , 0,,1,,1 jymjni ,
mj ,1 . Valoare medie Fie variabila aleatoare X de repatiţie:
n
n
ppp
xxxX
...
...:
21
21 , 1ip .
Definiţie Se numeşte valoare medie (sau speranţă matematică) a variabilei aleatoare X, numărul real XM (sau XS sau încă X ) egal cu:
n
iiinn pxpxpxpxXM
12211 ... .
Teoremă ( Proprietăţi ale valorilor medii) 1) Pentru kX o constantă, kkM . Valoarea medie a unei constante este egala cu acea constantă. 2) kXMkXM
XkMkXM Valoarea medie a sumei (produsului) dintre o variabilă aleatoare şi o constantă este egală cu suma (produsul) dintre constantă şi valoarea medie a variabilei. 3) nn xxxXMxxx ,...,,max,...,,min 2121
Valoarea medie este cuprinsă intre cea mai mică şi cea mai mare dintre valorile posibile ale variabilei aleatoare. 4) kk XMXMXMXXXM ...... 2121 .
Valoarea medie a unei sume finite de variabile aleatoare este egală cu suma valorilor medii ale variabileleor aleatoare. 5) Fie X, Y variabile aleatoare independente. YMXMXYM Valoarea medie a produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul valorilor medii ale celor două variabile.
Variabile aleatoare
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
Definiţie Se numeşte varianţa (sau dispersia) variabilei aleatoare X numărul pozitiv XV (sau uneori notat XD2 ) egal cu
2222 XMXMXMXDXV , unde XM .
Test de autoevaluare 14.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.
Să se calculeze media şi dispersia unei variabile aleatoare X care urmează o repartiţie binominala de parametrii n şi p.
Răspunsul la test se găseşte la pagina 91.
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 14. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 14 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 14
Variabilele şi au repatiţiile:
10
3
10
1
10
5
10
11111
şi respectiv
10
3
10
1
10
5
10
11111
Se cere:
a) Să se afle mediile şi dispersiile variabilelor şi ; b) Să se calculeze covariaţia şi coeficientul de corelaţie ştiind că
2,0M ; c) Să se afle dispersia variabilei aleatoare .
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 14.1 Putem evita calculul direct, care este greoi, astfel: experienţei de rang k i ataşăm variabila aleatoare Xk care poate lua valoarea 1 sau 0, după cum în
această experienţă s-a realizat sau nu evenimentul A:
pq
X k
10, nk ,1 .
Variabilele Xk sunt independente deoarece corespund la experienţe indepen-
dente, iar nXXXX ...21 . Atunci:
Variabile aleatoare
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
nXMXMXMXM ...21 şi din independenţa variabilelor Xk,
nXDXDXDXD 22
21
22 ... .
Se observă uşor că:
ppqXM k 10 , pqppXMXMXD 2222 , deci
npXM , npqXD 2 .
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 14
1. Ganga M.- “Matematica. Manual pentru clasa a X–a” – Editura Mathpress, 2005.
2. Livovschi L. – “Matematici speciale - Exercitii si probleme” – Litografia Universitatii Bucuresti, 1982
3. Lupu Gh. s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed. Universitatii Ovidius, Constanta, 1998
4. Olariu V., s.a. - “Analiza Matematica si matematici speciale”, Lit. IPB, Bucuresti 1978
5. Rudner V. – “Probleme de matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1970.
6. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953.
Bibliografie
…
BIBLIOGRAFIE
1. Arnold V.I. – “Ecuatii diferentiale ordinare”, Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1978
2. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”,Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004
3. Branzanescu V. - “Matematici speciale – teorie, exemple, aplicatii”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1998
4. Bronson R. – “Theory and problems of differential equations, Schaum’s Outlines Mc Graw-Hill”, New York, 1993
5. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989
6. Demidovici D.P. – “Problems in Mathematical Analysis”, Mir Publishers, Moskow, 1976
7. Flondor P. – “Lectii de analiza matematica si exercitii rezolvate”, Ed. All, Bucuresti, 1998
8. Ganga M.- “Matematica. Manual pentru clasa a X–a” – Editura Mathpress, 2005 9. Livovschi L. – “Matematici speciale - Exercitii si probleme” – Litografia Universitatii
Bucuresti, 1982 10. Lupu Gh. s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed. Universitatii Ovidius,
Constanta, 1998 11. Olariu V., s.a. - “Analiza Matematica si matematici speciale”, Lit. IPB, Bucuresti 1978 12. Rudner V. – “Probleme de matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti,
1970. 13. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953 14. Sabac Gh. – “Matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1981 15. Spiegel M. R.– “Vector Analysis and an introduction to Tensor Analysis”, Schaum's
Outline Series, Schaum Publishing Co., New York 1969.
...