1

Csoport részcsoport invariáns faktorcsoport részcsoport

Gyűrű részgyűrű ideál faktorgyűrű

2

Ideál, faktorgyűrű

Definíció.

R gyűrűben S R részgyűrű, ha az R-beli műveletek S-re történő leszűkítésére nézve S maga is gyűrűt alkot.

Megjegyzések:

1. Mivel S R teljesül, műveleti zártság esetén az asszociativitás és disztributivitás is teljesülni fog.

2. A 7. tétel szerint csoport valamely A részcsoport AA–1 A.

3. Tehát R-ben S komplexus részgyűrű

S–S S,

SS S.

3

Definíció.

Legyen R gyűrű, I R, I. I az R balideálja, ha

1. I–I I, és

2. RI I.

Triviális ideál: {0}, R.

Valódi ideál: R-től különböző ideál.

Jobbideál hasonlóan.

Ideál, ha jobb és bal oldali ideál egyszerre.

4

Példák:

1. Z-ben az n-nel osztható számok (nN) ideált alkotnak.

I=nZ={nz zZ}

1. I–I I,

2. RI I, IR I.

5

2. nN, n2, F gyűrű (F2) elemeiből álló Fn nn-es mátrixok halmaza a mátrix összeadásra és mátrix szorzásra vonatkozóan. Az

halmaz balideált alkot, de nem alkot jobbideált.

22

120

0

a

a

nkaaI kinkib ha,0,,

1. I–I I,

2. RI I,

Legyen F=R, n=2.

IR I.

22222122

22122112

2221

1211

22

120

0

mama

mama

mm

mm

a

a

22221221

22121211

22

12

2221

12110

0

0

0

amam

amam

a

a

mm

mm

6

47. Tétel.

Ha R kommutatív gyűrű, akkor az

I = (a) = {xa x R} halmaz R-nek ideálja.

Bizonyítás.

1. xaI, yaI

xa–ya = (x–y)aI

I–I I

2. rR, xaI

r(xa) = (rx)a I

Kommutativitás

IR = RI

IR I

RI I

7

Észrevételek.

1. a (a).

2. Ha I tetszőleges ideál R-ben, és aI, akkor (a) I.

Következmény:

Kommutatív egységelemes gyűrűben az (a) ideál az a elemet tartalmazó legszűkebb ideál.

Legyen R gyűrű. Az (a) ideálokat, amelyek egy rögzített a R elem összes többszöröseiből állnak, főideáloknak nevezzük.

Definíció.

Kommutatív egységelemes gyűrűben

8

48. Tétel.

Kommutatív egységelemes R gyűrűnek |R| 2 esetén, akkor és csak akkor vannak csupán triviális ideáljai, ha test.

1. Tfh R nem test

a0 elem, amelyik nem invertálható

a többszörösei között nem fordul elő e

(a) az R-nek nem triviális ideálja.

9

2. Tfh R test, I ideálja, és I{0}

aI : a 0.

R test

a-nak létezik a–1 inverze

továbbá

az ideál 2. tulajdonsága

e = a–1a I .

b R : be I

tehát I = R, triviális ideál.

10

Ideál

Invariáns részcsoport

I ideál R-ben

(I, +) invariáns részcsoport (R, +)-ban

Képezhetők az I szerinti mellékosztályok,

R diszjunkt felbontását adják,

a komplexusösszeadásra csoportot alkotnak

11

Definíció.

Legyen R gyűrű, I kétoldali ideál R-ben. R-nek I szerinti maradékosztály gyűrűje (faktorgyűrűje) R/I = {r + I r R} a következő műveletekkel:

IsrIsIr .1

IsrIsIr .2

Megjegyzés.

A 2. definícióban nem a normál értelemben vett komplexus szorzásról van szó.

pl. Z-ben a (8) ideál, (4+(8)) mellékosztály

Definíció szerint: (4+(8))(4+(8)) = 4 4+(8)=(8)

16-tal osztható elemek 8-cal osztható elemek

DE: két mellékosztály szorzata része a jobboldalnak A szorzás nem függ a reprezentánstól.

12

49. Tétel.

A faktorgyűrű szorzásának definíciója nem függ a rep-rezentánstól.

Bizonyítás.

Legyen r1 r+I és s1 s+I, vagyis

r1=r+i1 és s1 = s+i2 valamilyen i1, i2 I esetén.

r1+I = r+I s1+I = s+I,

szorzás definíciója

r I s I r s I

r I s I r s I

,

.1 1 1 1

21122111 iisiirsrisirsr

r s r s I1 1 .

r1s1 és rs ugyanazt a maradékosztályt reprezentálja

rs+I= r1s1+I

13

Megjegyzés.

1. R/I gyűrűt alkot a definícióban szereplő műveletekre nézve.

2. I a nullelem.

3. Ha R egységelemes, akkor I+e az R/I-ben az egységelem.

Példa

Z-ben nN többszörösei: nZ.

nZ ideál Z-ben, képezhető Z /nZ .

Ez a modulo n maradékosztályok halmaza a maradékosztály összeadásra és szorzásra nézve. Zn

14

Definíció.

Legyen R egységelemes, kommutatív gyűrű.

Egy R-beli I ideált prímideálnak nevezünk, ha

abI-ből aI vagy bI következik.

Maximálisnak akkor mondjuk egy R gyűrű I valódi ideálját, ha abból, hogy I' ideál és I I‘ R, I'=I vagy I‘=R következik,

azaz ha R-en kívül nincsen az I-t valódi módon tartalmazó ideál.

Ha R egységelemes, kommutatív gyűrű, akkor milyen esetben lesz a faktorgyűrűje I. integritási tartomány, illetve II. test.

15

Példa.

1. 2Z prímideál Z-ben :

ab 2Z , ab páros a vagy b páros

a 2Z vagy b 2Z .

2. 2Z maximális ideál is Z-ben :

Tfh. 2Z I Z .

Ha a I páratlan 1 I I = Z ,

Különben I = 2Z .

3.49Z nem maximális és nem is prímideál Z-ben:

7·7 = 49 49Z , de 7 49Z .

49Z 7Z Z ,

16

50. Tétel.

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és I az R-nek ideálja.

I. R/I akkor és csak akkor integritási tartomány, ha IR és I prímideál.

II. R/I akkor és csak akkor test, ha I maximális ideál.

Bizonyítás.

I.R/I int. tart.

nincs nullosztó, legalább kételemű.

(I+a)(I+b) = I I+a = I vagy I+b = I

abI aI vagy bI I prímideál.

17

II/1.

Tfh hogy I maximális ideál R-ben, (0 ) I+a R/I .

S = {i+axiI, xR} ideál:

S–S S : i1 + ax1 – i2 – ax2 = (i1 – i2 ) + a( x1 – x2) S.

I R

RS S : ri +rax =ri +arx S .

I R

Valamint I S , mert a I.

I maximális S = R

alkalmas iI, xR-rel e = i+ax

I e I i a x I a x I a I x .

Az R/I kommutatív egységelemes gyűrűben bármely nemnulla a+I elemnek létezik inverze.

R/I test.

18

II/2.

Tfh R/I test, és legyen M egy olyan ideál, amely valódi módon tartalmazza I-t, létezik egy olyan a elem, amelyre aM és aI.

R/I test

I a I x I b

egyenlet bármely bR-re megoldható

(I+a I, mert aI),

I a x I b .

I M és a M

.MxaI

b M

b az R tetszőleges eleme, M = R.

R/I test I maximális ideál.

19

Következmény.

Kommutatív, egységelemes gyűrűben minden maxi-mális ideál prímideál.

Definíció.

Tegyük fel, hogy (R, +, ) gyűrű, és (R1, , ) két binér műveletes algebrai struktúra. A :RR1 leképezés homomorfizmus, ha

(r+s) = (r) (s)

és (rs) = (r) (s)

minden r, s R esetén fennáll.

Bizonyítás.

Az előző tételből és abból következik, hogy test egyben integritási tartomány is.

20

A csoportelméletből tudjuk, hogy csoport epimorf képe csoport, a művelet belső volta, valamint az

asszociativitás homomorf invariánsok.

A disztributivitás is homomorf invariáns: Legyen r, s, tR.(r(s+t))= (r) ((s) (t)) (*)és (rs+rt)=((r) (s)) ((r) (t)). (**)

R-ben a disztributivitás fennáll (*) és (**) bal oldala azonos, a jobb oldal is megegyezik. A másik oldali disztributivitás hasonlóan

teljesül.

R1 is gyűrű.

51. Tétel.

Gyűrű epimorf képe gyűrű.

Bizonyítás.

21

Definíció.

Legyen R gyűrű, I ideál. A : R R/I leképezést természetes homomorfizmusnak nevezzük, ha (r) = r + I , minden rR esetén.

A természetes homomorfizmus nyilván homomorfizmus:

Ha egy gyűrű homomorf képeit akarjuk felderíteni, elegendő, ha faktorgyűrűit vizsgáljuk.

r s r s I r I s I r s

r s r s I r I s I r s

22

homomorfizmus

R R1

(R)0

I

23

homomorfizmus

R R1

(R)0

I

24

52. Tétel (Homomorfizmus-tétel).

Legyenek R és R1 gyűrűk, : RR1 epimorfizmus.

Ekkor I ideál R-ben (a leképezés magja) melyre R1 R/I :

ahol 0R1 az R1 nullelemét jelöli.

,0,| 1RrRrrKerI

25

Csoportelméletből tudjuk, hogy a leképezés magja invariáns részcsoport (R, +)-ban, és egy-egy R1-beli elem ősképe éppen a mag szerinti valamelyik mellékosztály.

Ahhoz, hogy I ideál, be kell még látnunk azt, hogy RI I.

Legyen rR és iI. (ri)= (r)(i)= (r)0R1=0R1.

IR I hasonlóan I ideál.

A szorzás művelettartása az : R1R/I, ((r))= r+I leképezésre hasonlóan látható, amint az

összeadásra a csoportelméletnél beláttuk.

izomorfizmust létesít R1 és R/I között.

Bizonyítás.

26

R R1 r (r)

R/I r+I