ct apostila 06 descobrindo medidas desconhecidas iii
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7/29/2019 CT Apostila 06 Descobrindo Medidas Desconhecidas III
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Descobrindo medidasdesconhecidas (III)
J dissemos que a necessidade de descobrirmedidas desconhecidas uma das atividades mais comuns na rea da Mecnica.
Por isso, torneiros, fresadores, retificadores, ajustadores e ferramenteiros tm de
dominar esse conhecimento com muita segurana para poder realizar bem seutrabalho.
Voc j aprendeu que, usando o Teorema de Pitgoras, possvel descobrir
a medida que falta, se voc conhecer as outras duas.
Porm, s vezes, as medidas disponveis no so aquelas adequadas
aplicao desse teorema. So as ocasies em que voc precisa encontrar medidas
auxiliares e dispe apenas de medidas de um lado e de um ngulo agudo do
tringulo retngulo. Nesse caso, voc tem de aplicar seus conhecimentos de
Trigonometria.
Por sua importncia, esse assunto sempre est presente nos testes de
seleo para profissionais da rea de Mecnica. Vamos supor, ento, que voc
esteja se candidatando a uma vaga numa empresa. Uma das questes do teste calcular a distncia entre os furos de uma flange, cujo desenho semelhante
ao mostrado abaixo.
Voc sabe resolver esse problema? No? Ento vamos lhe ensinar o caminho.
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O problema
R75
10 furos, 1/2 "10 furos, 1
2
"
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Relao senoSeu problema encontrar a distncia entre os furos. Voc j sabe que, para
achar medidas desconhecidas, pode usar o tringulo retngulo, porque o que lhe
dar a resposta a anlise da relao entre as partes desse tipo de tringulo.
Na aplicao do Teorema de Pitgoras, voc analisa a relao entre os catetos
e a hipotenusa.
Porm, existem casos nos quais as relaes compreendem tambm o uso dos
ngulos agudos dos tringulos retngulos. Essas relaes so estabelecidas pela
Trigonometria.
Recordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprender
ngulo agudongulo agudongulo agudongulo agudongulo agudo aquele que menor que 90.TrigonometriaTrigonometriaTrigonometriaTrigonometriaTrigonometria a parte da Matemtica que estuda as relaes entre osngulos agudos do tringulo retngulo e seus lados.
Vamos ento analisar o problema e descobrir se teremos de usar o Teorema
de Pitgoras ou as relaes trigonomtricas.
A primeira coisa a fazer colocar um tringulo dentro dessa figura, pois o
tringulo que dar as medidas que procuramos.
Unindo os pontos A, B e C, voc obteve um tringulo issceles. Ele o
caminho para chegarmos ao tringulo retngulo.
Traando a altura do tringulo issceles, temos dois tringulos retngulos.
Recordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprender
Tringulo isscelesisscelesisscelesisscelesissceles aquele que possui dois lados iguais. A alturadesse tipo de tringulo, quando traada em relao ao lado desigual,
forma dois tringulos retngulos.
Nossa aula
R75
A
B
C
R75
B
C
A D
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Como os dois tringulos retngulos so iguais, vamos analisar as medidas
disponveis de apenas um deles: a hipotenusahipotenusahipotenusahipotenusahipotenusa, que igual ao valor do raio dacircunferncia que passa pelo centro dos furos (75 mm) e o ngulongulongulongulonguloa, que ametade do ngulo b.
Primeiro, calculamos b, dividindo 360 por 10, porque temos 10 furosigualmente distribudos na pea, que circular:
b = 360 10 = 36
Depois, calculamos:
a = b 2 = 36 2 = 18
Assim, como temos apenas as medidas de um ngulo (a = 18) e dahipotenusa (75 mm), o Teorema de Pitgoras no pode ser aplicado.
Recordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprender
Lembre-se de que, para aplicar o Teorema de Pitgoras no clculo da
medida de um lado do tringulo retngulo, voc precisa da medida de
doisdoisdoisdoisdois dos trs lados.
Com essas medidas, o que deve ser usada a relao trigonomtricachamada senosenosenosenoseno,cuja frmula :
sen a =cateto oposto
hipotenusaou
co
hip
Recordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprender
Em um tringulo retngulo, senosenosenosenoseno de um ngulo a relao entre a me-dida do cateto oposto (co) a esse ngulo e a medida da hipotenusa (hip).
DicaDicaDicaDicaDica
Os valores de seno so tabelados e se encontram no fim deste livro.
Para fazer os clculos, voc precisa, primeiro, localizar o valor do seno de a(18) na tabela:
sen 18 = 0,3090
Substituindo os valores na frmula:
0,3090=co
75
Isolando o elemento desconhecido:
co = 0,3090 x 75
co = 23,175 mm
A
B
D
cohip
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Mesa de Seno
Blocos -padro
DESEMPENO
300
9030
40
X
R
O primeiro tringulo que voc desenhou foi dividido em dois. O resultado
obtido (co = 23,175) corresponde metade da distncia entre os furos. Por isso,
esse resultado deve ser multiplicado por dois:
2 23,175 mm = 46,350 mm
Assim, a distncia entre os furos da pea de 46,350 mm.
Imagine que voc tem de se preparar para um teste em uma empresa. Faa
os exerccios a seguir e treine os clculos que acabou de aprender.
Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1
Calcule a altura dos blocos-padro necessrios para que a mesa de seno fique
inclinada 9 30'.
Soluo: sen a =co
hipsen a = (9 30') =hip = 300
co = ?
..... =co
300co =
Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2
Calcule a cota x deste desenho.
Soluo: x = 30 + hip + R
x = 30 + ? + 20
Clculo da hipotenusa: sen a =co
hip
sen 45 =20
hiphip =
x =
Tente voctambm
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20x
x
60
20
Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3
Calcule a cota x do seguinte desenho.
Relao co-senoVamos supor agora que o teste que voc est fazendo apresente como
problema encontrar a cota x de uma pea semelhante ao desenho mostrado
a seguir.
Como primeiro passo, voc constri um tringulo issceles dentro do seu
desenho e divide esse tringulo em 2 tringulos retngulos. Seu desenho deve
ficar assim:
Em seguida, voc analisa as medidas de que dispe: a hipotenusa (20 mm)
e o ngulo a, que a metade do ngulo original dado de 60, ou seja, 30.A medida de que voc precisa para obter a cota x a do cateto adjacente ao
ngulo a. A relao trigonomtrica que deve ser usada nesse caso o co-seno,co-seno,co-seno,co-seno,co-seno,cuja frmula :
cosa =cat.adjacente
hipotenusaou
ca
hip
80
35
X
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Para descobrir a medida x aplicando a frmula, primeiramente preciso
descobrir o co-seno de a (30), que tambm um dado tabelado que vocencontra no fim deste livro.
cos 30 = 0,8660
Depois, voc substitui os valores na frmula:
0,8660=
ca
20ca = 0,8660 20
ca = 17,32 mm
O valor de cacacacaca corresponde cota x. Portanto, x = 17,32 mm
Releia a aula e aplique o que voc estudou nos exerccios a seguir. Lembre-
se de que, quanto mais voc fizer, mais aprender.
Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4
Calcule a cota x na pea abaixo.
Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5
Calcule a cota x da pea a seguir.
x
50
15
40
48
x
Tente voctambm
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Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6
Calcule o ngulo a do chanfro da pea abaixo.
Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7
Calcule a cota x da pea chanfrada mostrada a seguir.
Esta parte da lio foi criada para voc pr prova seu esforo e seu empenho
no estudo do assunto da aula. Releia a aula e estude os exemplos com
ateno. Depois faa os seguintes exerccios.
Exerccio 8Exerccio 8Exerccio 8Exerccio 8Exerccio 8
Calcule a distncia entre furos da flange com 12 furos igualmente espaados,
cujo raio da circunferncia que passa pelo centro dos furos de 150 mm.
Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Calcule a altura dos blocos-padro para que a mesa de seno fique inclinada
18. A distncia entre o centro dos roletes de apoio da mesa de 300 mm.
Exerccio 10Exerccio 10Exerccio 10Exerccio 10Exerccio 10
Calcule a cota h da pea abaixo.
Exerccio 11Exerccio 11Exerccio 11Exerccio 11Exerccio 11
Calcule a cota x da seguinte pea.
Teste o quevoc aprendeu
80
x
5
x
20