ct image reconstruction

CT Image Reconstruction

1

Κωσταρίδου Ελένη, Σκιαδόπουλος Σπυρίδων

Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής, Τμήμα Ιατρικής, Πανεπιστήμιο Πατρών(τελευταία ενημέρωση Ε. Κωσταρίδου, Μάρτιος 2014)

Γεωμετρία παράλληλης δέσμης(parallel-beam geometry)

Παράμετροι: θ, η γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση της δέσμης ακτίνων X με τον άξονα y

r, η γραμμική απόσταση από την αρχή των αξόνων, σε διεύθυνση κάθετη προς τη διεύθυνση της δέσμηςI0, η αρχική ένταση της δέσμης

Προβολή (Ιθ (r), θ=0)

Εξασθένηση p(r)=-ln(Ι θ (r)/I0 ), θ=0

2

r, θ Sampling - Ημιτονόγραμμα

Στην πράξη, η διακριτή δειγματοληψία, αντιστοιχεί σε γωνιακή λήψη προβολών με βήμα Δθ, και βήμα δειγματοληψίας ανά προβολή Δr, το οποίο αντιστοιχεί στο βήμα δειγματοληψίας (διατομή ή διάσταση στοιχείου) του ανιχνευτή.Ημιτονόγραμμα είναι η δισδιάστατη διακριτή συνάρτηση p(nΔr,mΔθ); Πίνακας Μ γραμμών και Ν στηλών.

Δr

Δθ

3

Ψηφιακό ομοίωμα Shepp-Logan Ημιτονόγραμμα - p(r,θ) του ομοιώματος Shepp-Logan

r, θ Sampling - Ημιτονόγραμμα

4

r Sampling (Δr) – Beam width (Δs)

προβολή

FT προβολήs

Πλάτος δέσμης

FT: πλάτος μετασχηματισμού Fourier, k, χωρική συχνότητα

FT δέσμης FT e

Δειγματοληψίαανιχνευτή

Δείγματα του e

FT i

Η συνθήκη για την αποφυγή της αλληλεπικάλυψης (του FT e) στnν j είναι:

e= a c

FT rnr (

2

sr

(όριο Nyquist)

sr

21

5

Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων(Filtered Backprojection)

• Για την αποφυγή του βήματος της παρεμβολής, χρησιμοποιείται ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier σε πολικές συντεταγμένες:

• Η συνάρτηση f(x,y) ανακατασκευάζεται με οπισθοπροβολή της p*(r,θ), που αντιστοιχεί στον αντίστροφο μονοδιάστατο μετασχηματισμό Fourier, ως προς k, της P*(k,θ).

6

• Φιλτράρισμα FT ημιτονογράμματος ή τροποποίηση ημιτονογράμματος με κατάλληλο πυρήνα συνέλιξης

• Οπισθοπροβολή φιλτραρισμένου ημιτονογράμματος

Η P*(k,θ) υπολογίζεται με πολλαπλασιασμό με τη συνάρτηση φίλτρου . Λόγω ισοδυναμίας των πράξεων της συνέλιξης και του πολλαπλασιασμού μεταξύ του πεδίου του χώρου (εικόνα τομής) και του πεδίου Fourier αυτής, η p*(r,θ) υπολογίζεται με συνέλιξη με κατάλληλλη συνάρτηση (πυρήνας συνέλιξης), που αντίστοιχεί στον αντίστροφο μονοδιάστατο μετασχηματισμό Fourier, της συνάρτησης φίλτρου.

k

Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων(Filtered Backprojection)

7

Λόγω της διακριτής δειγματοληψίας η μέγιστη χωρική συχνότητα του φίλτρου , που ονομάζεται (Ram-Lak), καθορίζεται από:

rsk

2

11max

k

Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων(Reconstruction Filter)

8

Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων(Reconstruction Filter-Window)

Για τον περιορισμό της ενίσχυσης των υψηλών συχνοτήτων η συνάρτηση φίλτρου πολλαπλασιάζεται με συνάρτηση λείανσης (smoothing window):

Για α=0.54 και 0.5 παράθυρα Hamming και Hanning αντίστοιχα.

Hamming window(solid line) Hanning window(dashed line)

x Hamming window x Hanning window

k

k

k

9

Πυρήνες Συνέλιξης(Φιλτράρισμα Προβολών Hμιτονογράμματος)

Επιλογή του κατάλληλου πυρήνα λειαίνει (ομαλοποεί) ήοξύνει τις ακμές της ανακασκευασμένης εικόνας.

10

Αλγόριθμος φιλτραρισμένηςοπισθοπροβολής Εκκίνηση του αλγορίθμου ανακατασκευής (κενή εικόνα)

Χρήση απλής οπισθοπροβολής συνοδεύεται από ασάφεια εικόνας,λόγω της εξάπλωσης τοπικών τιμών εξασθένησης σε απομακρυσμένες θέσεις

Τροποποίηση της κάθε προβολής πριν την οπισθοπροβολή, με κατάλληλη μαθηματική συνάρτηση (πυρήνας συνέλιξης), που περιέχει θετικούς και αρνητικούς λωβούς μειώνει τη ασάφεια εικόνας.

11

Matlab Κώδικας (2010a)

% original (phantom) imageP = phantom(512);figure (1),imshow(P,[])

% Compute parallel-beam projection data of the phantom imageT=1; % T=180, 90, 40, 20, 10, 5, 4, 3, 2, 1 for 2, 4, 9, 18, 36, 72, 90, 120, 180

and 360 projections, respectivelytheta = 0:T:360; [R1,xp] = radon(P,theta);method_inter='nearest'; % Interpolation: 'nearest', 'linear', 'cubic‘, 'spline'filter='Shepp-Logan'; % Filter: 'None‘, 'Ram-Lak', 'Shepp-Logan', 'Cosine',

'Hamming','Hann'filter_cutoff=0.85; % Cut-off frequency: 100%, 95%, 85%, 65%, 55%, 45%, 35% and

25% of window

% Reconstructed imageoutput_size = max(size(P));I1 = iradon(R1,T,method_inter,filter,filter_cutoff,output_size);figure (2),imshow(I1)

Παράλληλη δέσμη (3)

12

Shepp-Logan CT ψηφιακό ομοίωμα

Shepp-Logan CT ψηφιακό ομοίωμα

Τιμές εικονοστοιχείων κατά μήκος της συγκεκριμμένης διεύθυνσης (κατάρυφης άσπρη γραμμής - Profile line ) της προς ανακατασκευή εικόνας (αρχική εικόνα) .

Pixel

P

ixel

val

ue

13

Επίδραση αριθμού προβολών (1)2 προβολές 4 προβολές 9 προβολές 18 προβολές

Παράμετροι: Interpolation: Nearest neighbor; Filter: Shepp-Logan; Cut-off frequency: 85% of window

14

Επίδραση αριθμού προβολών (2)36 προβολές 72 προβολές 90 προβολές 120 προβολές

Παράμετροι: Interpolation: Nearest neighbor; Filter: Shepp-Logan; Cut-off frequency: 85% of window15

Επίδραση αριθμού προβολών (3)180 προβολές 360 προβολές Αρχική

Παράμετροι: Interpolation: Nearest neighbor;

Filter: Shepp-Logan;

Cut-off frequency: 85% of window16

ΑρχικήNearest neighbor Linear

Επίδραση μεθόδου παρεμβολής (interpolation)

Παράμετροι: Projections: 360; Filter: Hanning; Cut-off frequency: 85% of window17

Επίδραση μεθόδου παρεμβολής (2)

Αρχική

Παράμετροι: Projections: 360; Filter: Hanning; Cut-off frequency: 85% of window

Cubic Spline

18

Επίδραση φίλτρου ανακατασκευής (1)

Παράμετροι: Projections: 360; Interpolation: Nearest neighbor; Cut-off frequency: 85% of window

No filter Ram-Lak filter Shepp-Logan filter

19


Παράμετροι: Projections: 360; Interpolation: Nearest neighbor; Cut-off frequency: 85% of window

Cosine filter Hamming filter Hanning filter

20

Επίδραση συχνότητας αποκοπής του φίλτρου ανακατασκευής (1)

Αρχική

Παράμετροι: Projections: 360; Interpolation: Linear; Filter: Hanning

Cut-off freq: 100% Cut-off freq: 95%

21



Cut-off freq: 85% Cut-off freq: 65% Cut-off freq: 55%

22



Cut-off freq: 25%Cut-off freq: 45% Cut-off freq: 35%

23

Γεωμετρία δέσμης τύπου ‘βεντάλιας’ (fan-beam geometry)

Παράμετροι: β, η γωνία που σχηματίζει ο άξονας συμμετρίας της δέσμης ακτίνων X με τον άξονα y (π+fan angle ή 2π)

γ, η γωνία που σχηματίζει ο άξονας συμμετρίας της δέσμης ακτίνων X με την ακτίνα που διέρχεται από το σημείο (x,y) (γωνιακή απόσταση)

R, η απόσταση πηγής και κέντρου field of view (FOV), R FOV / 2

L, η απόσταση του σημείου (x,y) από την πηγή

fan angle

24

Δγ

Δβ

Γεωμετρία δέσμης τύπου ‘βεντάλιας’ (γ, β sampling)

r

θ β

γ

Αντιστοιχία παραμέτρων μεταξύ γεωμετρίας παράλληλης δέσμης και τύπου ‘βεντάλιας’:

25

Όρια ολοκλήρωσης του r’ [ -FOV/2, FOV/2]

θ = γ + βr = R sinγ

Προσαρμογή αλγορίθμου φιλτραρισμένης οπισθοπροβολής

…

26

Δέσμη τύπου ‘βεντάλιας’ (1)

close all; clear all %% phantom imageP = phantom(512); figure (1),imshow(P,[])

%% Compute fan-beam projection data of the phantom imageR = 380; %% R > = image size / 2 %% parametersFanSensorGeometry1='arc'; % 'arc' and 'line'FanSensorSpacing1=0.25; %, the arc of sensors is fixed = 87.7 degrees, Spacing (Δr): 0.850, 0.550, 0.350, 0.250, 0.150 FanRotationIncrement1=1; % Increment (Δs): 10

method_inter='linear'; % Interpolation: 'nearest', 'linear', 'cubic', 'spline'filter='Hann'; % Filter: 'None','Ram-Lak','Shepp-Logan','Cosine','Hamming','Hann‘filter_cutoff=0.85; %% cut-off frequency: 95%, 85%, 65%, 45%, 25% of window

[F3, sensor_pos, fan_rot_angle] = fanbeam(P,R,'FanRotationIncrement',FanRotationIncrement1,

'FanSensorGeometry',FanSensorGeometry1,'FanSensorSpacing',FanSensorSpacing1);

Matlab Κώδικας (2010a)

27

%% Plot the projection datafigure (2), imagesc(fan_rot_angles, sensor_pos, F3)colormap(hot); colorbarxlabel('Fan Rotation Angle (degrees)')ylabel('Fan Sensor Position (degrees)')

% % Reconstruct the image from the fan-beam projection datausing ifanbeam. In each reconstructionoutput_size = max(size(P));FanCoverage1='cycle'; %'minimal', 'cycle', no difference exists

Ifan3=ifanbeam(F3,R,'FanRotationIncrement',FanRotationIncrement1, 'FanSensorGeometry',FanSensorGeometry1, 'FanSensorSpacing',FanSensorSpacing1,'Filter',filter,'FrequencyScaling',... filter_cutoff,'Interpolation',method_inter,'OutputSize',output_size);figure (3), imshow(Ifan3)yi=[84,309];xi=[262,262];c = improfile(Ifan3,xi,yi)figure(4),plot(c)

%%originalc1 = improfile(P,xi,yi)figure(5),plot(c1)

Δέσμη τύπου‘βεντάλιας’ (2)

28

Επίδραση δειγματοληψίας (1)

Αρχική Sampling: 0.850Sampling: 1.000

Παράμετροι: Rotation Increment: 10;

Interpolation: Linear;

Filter: Hanning;


Sampling: 0.650 Sampling: 0.350Sampling: 0.500


30

Sampling: 0.250 Sampling: 0.050Sampling: 0.150


31

Επίδραση μεθόδου παρεμβολής (interpolation)

ΑρχικήNearest neighbor Linear

Παράμετροι: Spacing: 0.250; Increment: 10; Filter: Hanning; Cut-off frequency: 85% of window32

Επίδραση μεθόδου παρεμβολής (2)

ΑρχικήCubic Spline

Παράμετροι: Spacing: 0.250; Increment: 10; Filter: Hanning; Cut-off frequency: 85% of window33

No filter Ram-Lak filter Shepp-Logan filter


Παράμετροι: Spacing: 0.250; Increment: 10; Interpolation: Linear; Cut-off frequency: 85% of window34

Cosine filter Hamming filter Hanning filter


Παράμετροι: Spacing: 0.250; Increment: 10; Interpolation: Linear; Cut-off frequency: 85% of window35


Αρχική Cut-off freq: 95% Cut-off freq: 85%

Παράμετροι: Spacing: 0.250; Increment: 10; Interpolation: Linear; Filter: Hanning 36


Cut-off freq: 65% Cut-off freq: 45% Cut-off freq: 25%

Παράμετροι: Spacing: 0.250; Increment: 10; Interpolation: Linear; Filter: Hanning 37

Συγκριτική αξιολόγηση δεσμών παράλληλης και ‘βεντάλιας’ (1)

Fan-beam: spacing 0.50Parallel beamΑρχική

Παράμετροι: Interpolation: Linear;

Projections: 360;

Filter: Hanning;


Συγκριτική αξιολόγηση δεσμών παράλληλης και ‘βεντάλιας’ (2)

Fan-beam: spacing 0.50Parallel beamΑρχική

Παράμετροι: Interpolation: Spline;

Projections: 360;

Filter: Hanning;


Βιβλιογραφία

Hui Hu. Multi-slice helical CT: Scan and Reconstruction. Med .Phys. 26(1), 1999; 5-18.

David J.Goodenough, Chapter 8: Tomographic Imaging, In Handbook of Medical Imaging Vol.1. Physics and Psychophysics, Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers, SPIE, Press, 2000,Bellingham, Washington, USA.

Flohr et al, Multi–Detector Row CT Systems and Image-Reconstruction Techniques. Radiology 2005; 235:756–773.

Paul Suetens. Chapter 3: X-ray Computed Tomography. Fundamentals of Medical Imaging. Cambridge University Press, second ed. 2009, New York, USA.

Willi A Kalender, X-ray computed tomography (Review). Phys. Med. Biol. 51 (2006) R29–R43.

40

ct image reconstruction

Documents