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Investigación Operativa

Prof. Titular Dr. Ing. Jorge E. Núñez Mc Leod

Prof. Adjunto Concurso solicitado

JTP Ing. Romina Calvo Olivares

JTP Ing. Roberto Martín (licencia médica)

Adscripto Ing. Juan Manuel Leiva Butti

Cátedra

Clases: Martes 14:00-17:00 hs. Aula 16Miércoles 14:00-17:00 hs. Anfiteatro Oeste

Horarios de consulta: Prof. Tit. Jueves 10:00 hs. Edificio DETI II Oficina 2E3

http://fing.uncu.edu.ar/catedras/InvestigacionOperativa

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Investigación OperativaCátedra

UNIDAD 2: Programación Lineal

2.A. Formulación y Resolución

Modelos de programación lineal. Formulación y terminología: variables de decisión, restricciones y función

objetivo. Suposiciones básicas: proporcionalidad, aditividad, divisibilidad, certidumbre. Solución gráfica (dos

variables de decisión). Método Simplex: Fundamentos y terminología. Metodología de resolución. Tipos de

variables: propias, de holgura, de excedente y artificiales. Tipos de soluciones: factibles, básicas y óptimas.Estrategia de manipulación de empates. Soluciones óptimas múltiples. Algoritmo de Punto Interior.

2.B. Teoría de dualidad y análisis de sensibilidad

Fundamentos y terminología. Formulación del problema dual. Relaciones primal-dual. Interpretación de ladualidad. Análisis de sensibilidad. Costos reducidos y precios sombra.

Abundance of Elements by Jonathan Hull. http://blog.jonathan-hull.com

¿Cuán abundantes son los elementos químicos en la corteza terrestre?

Fuente: www.aluar.com.ar

¿Cuán preocupante es la falta de pureza del producto?

Fuente: Optimised Cell Batching for New Zealand AluminiumSmelters Ltd, David M Ryan, Department of Engineering Science, University of Auckland, New [email protected]

¿Cómo se mejora la pureza del producto final?

Photo: BloombergPhoto: AAP

Modelo para mayimizar los beneficios en la producción de Al

𝑧 =

𝑗=1

𝑛

𝑟𝑗 . 𝑥𝑗Max

s.a

𝑗=1

𝑐

𝑎𝑖𝑗 . 𝑥𝑗 = 1 ∀ 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑥𝑗 ≤ 𝑐3

𝑥𝑗 ∈ 0, 1

Variables de decisiónxj = 1, si el lote de la celda j es seleccionado y

0 en cualquier otro caso

Índicesi Celdasj Lotes de celdas

Parámetrosaij = 1, si la celda i está en el lote de celdas j

0 en caso contrario

rj = representa el beneficio del lote de celdasj, el cual es el valor de la aleación en ellote posible multiplicado por la masa

n = Número total de posibles lotes de celdas

c = Número de celdas en la línea de celdas.

Fuente: Virtual Smelter Modelling for Metal Flow Management, T. Harton, Proceedings 45th Annual Conference of the ORSNZ, 2010

Modelos de programación lineal. Formulación y terminología: variables de decisión, restricciones y función objetivo.Suposiciones básicas: proporcionalidad, aditividad, divisibilidad, certidumbre. Solución gráfica (dos variables de decisión).Método Simplex: Fundamentos y terminología. Metodología de resolución. Tipos de variables: propias, de holgura, deexcedente y artificiales. Tipos de soluciones: factibles, básicas y óptimas. Estrategia de manipulación de empates. Solucionesóptimas múltiples. Algoritmo de Punto Interior.

Ver Investigación de Operaciones, Hillier-Lieberman, págs. 27-.

Suposiciones básicas de la programación lineal

• ProporcionalidadLa contribución de cada actividad al valor de la función objetivo Z es proporcional al nivel de la actividad xj, como lo representa el término cjxj en la función objetivo. De manera similar, la contribución de cada actividad al lado izquierdo de cada restricción funcional es proporcional al nivel de la actividad xj, como lo representa en la restricción el término aijxj.

• AditividadCada función de un modelo de programación lineal (ya sea la función objetivo o el lado izquierdo de las restricciones funcionales) es la suma de las contribuciones individuales de las actividades respectivas.

• DivisibilidadEn un modelo de programación lineal, las variables de decisión pueden tomar cualquier valor, incluso valores no enteros, que satisfagan las restricciones funcionales y de no negatividad.

• CertidumbreSe supone que los valores asignados a cada parámetro de un modelo de programación lineal son constantes conocidas.

Formulación general de un problema de programación lineal de maximización



Planta 1

Planta 2

Planta 3

1 h/lote

0 h/lote

3 h/lote

0 h/lote

2 h/lote

2 h/lote

4 h/semana

12 h/semana

18 h/semana

$ 3.000 /lote $ 5.000 /lote

Disponibilidadsemanal encada planta

Puerta Ventana

Ganancia

Wyndor Glass Co.


Ver Investigación de Operaciones, Hillier-Lieberman, págs. 21-26.

Solución gráfica de un problema de programación lineal


Ver Investigación de Operaciones, Hillier-Lieberman, págs. 21-26.

Problema deWyndor Glass Co.

Frontera de restricción

Solución básica factible o Solución en los vértices

Soluciones adyacentes


Ver Investigación de Operaciones, Hillier-Lieberman, Capítulo 4 y 5.

Método Simplex



Formulación general de un problema de programación lineal

Formulación general de un problema de programación lineal para resolver por el Método Simplex

Prueba de optimalidad: Considere cualquier problema de programación lineal que poseaal menos una solución óptima. Si una solución FEV no tiene soluciones FEV adyacentesque sean mejores (según el valor de Z), entonces esa debe ser una solución óptima.

Prueba de optimalidad: Considere cualquier problema de programación lineal que poseaal menos una solución óptima. Si una solución FEV no tiene soluciones FEV adyacentesque sean mejores (según el valor de Z), entonces esa debe ser una solución óptima.



El problema de la convexidad de la región factible



Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder la de

pintura para exteriores en más de 1 (una) tonelada. Asimismo, que la demanda diaria máxima de pintura

para interiores es de 2 (dos) toneladas.

Reddy Mikks se propone determinar la (mejor) combinación óptima de pinturas para interiores y

exteriores que maximice la utilidad diaria total.


Ver Investigación de Operaciones, TAHA, Capítulo 2-

Sujeto a



Terapia de radiación

1. Vejiga y tumor2. Recto, cóccix, etc.3. Fémur, parte de la pelvis, etc.


Ver Investigación de Operaciones, Hillier-Lieberman, págs. 27-

Terapia de radiación

2.C. Teoría de dualidad y análisis de sensibilidad

Fundamentos y terminología. Formulación del problema dual. Relaciones primal-dual. Interpretación de la

dualidad. Análisis de sensibilidad. Costos reducidos y precios sombra. Regla del 100%.Ver Investigación de Operaciones, Hillier-Lieberman, págs. 27-.

INVERSIONESHoy es su día de suerte. Acaba de ganar un premio de $10,000. Dedicará $4,000 a impuestos y diversiones, pero ha decidido invertir los otros $6,000.

Al oír esta noticia, 2 amigos le han ofrecido una oportunidad de convertirse en socio en 2 empresas distintas, cada una planeada por uno de ellos. En ambos casos, la inversión incluye dedicar parte de su tiempo el siguiente verano y dinero en efectivo. Para ser un socio pleno en el caso del primer amigo debe invertir $5,000 y 400 horas, y su ganancia estimada (sin tomar en cuenta el valor de su tiempo) sería de $4,500. Las cifras correspondientes para el segundo caso son $4,000 y 500 horas, con una ganancia estimada igual a la anterior. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían asociarse con cualquier fracción de participación que quiera. Si elige una participación parcial, todas las cifras dadas para la sociedad plena (inversión de dinero y tiempo, y la ganancia) se pueden multiplicar por esta fracción.

Como de todas formas usted busca un trabajo de verano interesante (máximo 600 horas), ha decidido participar en una o ambas empresas en alguna combinación que maximice su ganancia total estimada. Usted debe resolver el problema de encontrar la mejor combinación.

2.B. Método simplex

Fundamentos y terminología. Metodología geométrica de resolución (dos variables de decisión).. VerInvestigación de Operaciones, TAHA, Capítulo 2-.

2.B. Método simplex

Fundamentos y terminología. Metodología geométrica de resolución (dos variables de decisión).. VerInvestigación de Operaciones, TAHA, Capítulo 2-.

2.A. Algoritmo del Punto Interior o Método de Barrera

Método del Punto Interior o Método de Barrera (Narendra Karmarkar, AT&T Bell Laboratories)

Fuente: Hillier-Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones, pág. 130-132 y 267, 9na Edición

Las ideas se pueden resumir de la siguiente manera:

Concepto 1: Obtener, del interior de la región factible, una solución factible que lleve a la solución óptima.

Concepto 2: Moverse en la dirección que mejore el valor de la función objetivo lo más rápido posible.

Concepto 3: Transformar la región factible para colocar la solución de prueba actual cerca del centro, lo que permite una mejora grande cuando se aplique el concepto 2.

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UNIDAD 2: Programación Lineal

2.A. Formulación y Resolución

Modelos de programación lineal. Formulación y terminología: variables de decisión, restricciones y función

objetivo. Suposiciones básicas: proporcionalidad, aditividad, divisibilidad, certidumbre. Solución gráfica (dos

variables de decisión). Método Simplex: Fundamentos y terminología. Metodología de resolución. Tipos de

variables: propias, de holgura, de excedente y artificiales. Tipos de soluciones: factibles, básicas y óptimas.Estrategia de manipulación de empates. Soluciones óptimas múltiples. Algoritmo de Punto Interior.

2.B. Teoría de dualidad y análisis de sensibilidad

Fundamentos y terminología. Formulación del problema dual. Relaciones primal-dual. Interpretación de ladualidad. Análisis de sensibilidad. Costos reducidos y precios sombra.




Teoría de la Dualidad




Teorema de la Dualidad

Teorema de la dualidad: Las siguientes son las únicas relaciones posibles entre losproblemas primal y dual.

1. Si un problema tiene soluciones factibles y una función objetivo acotada (y, por ende, una solución óptima), entonces ocurre lo mismo con el otro problema, de manera que se aplican tanto la propiedad de dualidad débil como la fuerte.

2. Si uno de los problemas tiene soluciones factibles y una función objetivo no acotada (es decir, no tiene solución óptima), entonces el otro problema no tiene soluciones factibles.

3. Si un problema no tiene soluciones factibles, entonces el otro problema no tiene soluciones factibles o bien la función objetivo es no acotada.




Relación Primal-Dual

Teoría de dualidad y análisis de sensibilidad


dualidad. Análisis de sensibilidad. Costos reducidos y precios sombra.Ver Investigación de Operaciones, Hillier-Lieberman, págs. 27-.

Propiedades de la Dualidad

𝑗=1

𝑛

𝑐𝑗 . 𝑥𝑗 −

𝑖=1

𝑚

𝑏𝑖 . 𝑦𝑖 ≤ 0

𝑗=1

𝑛

𝑐𝑗 . 𝑥𝑗 ≤

𝑖=1

𝑚

𝑏𝑖 . 𝑦𝑖

1. Propiedad de la Dualidad Débil

𝑗=1

𝑛

𝑐𝑗 . 𝑥𝑗∗ −

𝑖=1

𝑚

𝑏𝑖 . 𝑦𝑖∗ = 0

𝑗=1

𝑛

𝑐𝑗 . 𝑥𝑗∗ =

𝑖=1

𝑚

𝑏𝑖 . 𝑦𝑖∗

2. Propiedad de la Dualidad Fuerte

3. Propiedad de Simetría

Problema Primal Problema Dual




Interpretación de la Dualidad cuando se cumple la propiedad de la dualidad fuerte

Postulados y resueltos un problema primal de Maximizar Z(xj) sujeto a un conjunto de restricciones lineales y su problema dual de Minimizar W(yi) , cuya solución cumple con la propiedad de la dualidad fuerte; se puede interpretar el problema dual como el problema de minimizar los recursos consumidos para alcanzar la producción xj




Teoría de la Dualidad – Problema de Wyndor Glass Co.




Análisis de Sensibilidad de aij

Z

Z




Análisis de Sensibilidad de bi

El precio sombra




Análisis de Sensibilidad cj

El problema de la orden de producción de aviones

Una empresa fabricante de aviones ha realizado un contrato de provisión de estructuras de aluminio para la fabricación de las estructuras de sus aviones por un total de 120.000 kg. El costo del contrato fue de $ 2.500.000. La empresa fabrica dos tipos de aviones de pasajeros. Una versión económica de 6 pasajeros y una versión de lujo también de 9 pasajeros y de mayor capacidad de carga. La versión económica consume 3.000 kg de aluminio por avión y la versión de lujo 5.000 kg. La ganancia de la versión económica es de $ 9.000.000 y la de lujo de $ 12.000.000. El mercado actual de aviones de este segmento indica que se pueden comercializar anualmente unos 10 aviones de lujo. A su vez los estudios indican que la demanda de aviones económicos nunca excede en más de 4 unidades a la demanda de aviones de lujo. Los tiempos de fabricación indican que los aviones económicos se producen en la mitad de tiempo que los aviones de lujo.

Plantee el problema de Programación Lineal y resuelva gráficamente.¿En la Orden de Producción cuántos aviones de cada tipo se deberán producir?

Ejercitación de programación lineal

El problema de la orden de producción de aviones


Maximizar Z = 9.000 xe + 12.000 xl

s.a3 xe + 5 xl < = 120

xl < = 10xe - xl < = 4

y xe > = 0 y xl > = 0

(10,14)

El problema de la orden de producción de salsa de tomate


Una agroindustria tiene un contrato para recibir 150.000 kg detomate, a $ 5 por kg, con los cuales produce tomate triturado enenvase Tetrabrick y salsa de tomate envasado en botella. Eltomate triturado se empaca en cajas de 12 envases tetra y lasbotellas en grupos de 6 botellas. Un envase Tetrabrick de tomatesrequiere un 0,600 kg de tomates y una botella de salsa requiere1,5 kg de tomates. La participación de mercado de la compañía selimita a 100.000 cajas de triturado de tomate y 7.000 packs debotellas de salsa. Los precios de mayoreo por envase tetra detriturado y por botella de salsa son de $ 120 y $ 80respectivamente.

Plantee el modelo del problema de Programación Lineal y resuelva con Solver.

TomateTomate

El problema de la orden de producción de salsa de tomate


TomateTomate

Maximizar Z = 120 xt + 80 xb

s.a0,6* xt + 1,5* xb < = 150.000

xt < = 100.000*12xb < = 7.000*6

y xt > = 0 y xb > = 0

El problema de la orden de producción de la planta automotriz


Una conocida empresa automotriz radicada en la Provincia deBuenos Aires, ha cerrado un trato con un fabricante europeo demotores por un monto de U$S 60.000.000. El fabricante leproveerá la cantidad necesaria de motores nafteros y gasolerosque requiere la campaña 2018. La fábrica planea sacar al mercadoun vehículo con 2 motorizaciones una naftera y otra gasolera. Laprimer versión tendrá un valor de mercado de U$S 20.000 y lasegunda de U$S 25.000 respectivamente. Los ingresos por losautos nafteros nunca podrán superar, dado el mercado actual losU$S 40.000.000 y los gasoleros no podrán superar los U$S25.000.000. Dado los últimos sondeos del mercado se espera quela relación de nafteros a gasoleros sea de al menos 3 a 1.

Plantee el problema de Programación Lineal, resuelvagráficamente y luego utilice Solver. ¿En la Orden de Produccióncuántos autos de cada tipo se deberán producir?

El problema de la orden de producción de la planta automotriz


Maximizar Z = 20 xn + 25 xg

s.a20.xn <= 40.00025.xg <= 25.000xn – 3.xg >= 0

y xn > = 0 y xg > = 0




El problema de las inspectoras de calidad

Tres inspectoras de calidad de cápsulas medicinales son contratadas para un trabajo de su especialidad. Durante la operación del turno completo de 8 horas, deben controlarse al menos 2000 cápsulas con un error de inspección no mayor que 2%. Debido a las difíciles condiciones laborales, ninguna puede trabajar más de 4 horas por turno.Se designa yj a la cantidad de horas por turno que trabaja cada inspectora. En la tabla a continuación se da la velocidad, exactitud y salario (distintos debido a las condiciones respectivas) de cada una de ellas. Se desea minimizar el costo de la operación.

InspectoraVelocidad

(cápsulas/hora)Exactitud

(%)Salario

($/hora)1 300 98 122 200 99 113 200 97 10




El problema de las inspectoras de calidad

Solución:

Min ( 12 y1 + 11 y2 + 10 y3 )

Sujeto a:

300 . y1 + 200 . y2 + 200 . y3 >= 2000 , deben controlarse al menos 2000 cápsulas300 . 0,02 . y1 + 200 . 0,01 . y2 +200 . 0,03 . y3 <= 0,02.(300.y1+200.y2+200.y3) , el error debe ser menor que 2 %

y1 + y2 + y3 = 8 , el turno debe ser de 8 horasy1 <= 4

y2 <= 4y3 <= 4

Ninguna puede trabajar más de 4 horas

Variables no negativas: yi >= 0

El problema de las computadoras

Karma Computers produce computadoras Standard y DeLuxe. Utiliza 1 disco duro y 1 chasis común para las primeras y 2 discos duros y 1 chasis especial para las segundas. Las contribuciones marginales son $ 300 y $ 400 respectivamente. Dispone de 60 chasis comunes, 50 especiales y 120 unidades de disco. ¿Qué conviene hacer?

1. Formule el modelo matemático de PL.2. Resuelva gráficamente.3. Resuelva utilizando una planilla de cálculo.





Solución:Máx ( 300 . S + 400 . DL )

s.a.:

S <= 60DL <= 50

S + 2 . DL <= 120

No negatividad S >= 0 y DL >= 0





Solución:

Máx ( 300 . S + 400 . DL )

s.a.:S <= 60

DL <= 50S + 2 . DL <= 120

No negatividade S >= 0 y DL >= 0


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